مثلث بندی دلونی فصل 9 مژگان صالحی- دی 92 استاد راهنما: جناب آقای دکتر محمد فرشی

مثلث بندی دلونی فصل 9 مژگان صالحی- دی 92 استاد راهنما: جناب آقای دکتر محمد فرشی 1

روش اول گراف دوگان دیاگرام ورونوی : دیاگرام ورونوی مثلث بندی وجوهی که مثلث نیستند 2

: روش دوم )الگوریتم تصادفی افزایشی( مستقیم P-2 p0 P-1 3

نکات : نقاط حذف از پس های یال همه و و مثلث بندی دولونی واقعی مجاورشان به دست می آید و چنان دور از هم را خراب نمی کنند انتخاب بندی مثلث از یک هیچ که می شوند نقاط های دلونی نقاط و قرار نمی گیرد. حاصل دوایر از یک هیچ در مجموعه از نقطه از سه نقاط 4

مجاز نیست! تصویر 7-9 5

معرفی رویه ازبین بردن یال های غیر مجاز و جایگزینی آن ها با یال های مجاز 6

الگوریتم مثلث بندی دلونی DELAUNAYTRIANGULATION(P) ورودی : مجموعه P با 1+n نقطه در خروجی : مثلث بندی دلونی روی P 7

?سوال: کدام یال ها ممکن است تغییر کند تمام یال های جدید با مجاور هستند! تصویر 8-9 9

10 لم 9- رویه نقاط هر یال جدید ایجاد شده توسط الگوریتم DELAUNAYTRIANGULATION یا LEGALIZEEDGE هنگام درج pr یالی از گراف دلونوی مربوط به مجموعه pr} {p 2, p 1, p0,..., است. 19

اثبات : یال های جدید دایره های کوچک شده داخلی C دایره های بزرگتر بیرونی C 20

21 3-9 ینولد یدنب ثلثم هبساحم هحفص اب هفاضا ندش هطقن pr رد یلاح هک ثلثم pipjpl لابق ینولد دوب نونکا لای pipj ریغ زاجم دوخ یاج و ار هب plpr یم.دهد اب کچوک ندرک هریاد یطیحم یور نیا ثلثم و طقف دوجو ود هطقن pr و pl یور ثلثم رتکچوک ناشن هداد یم دوش هک لای plpr ینولد.تسا

در الگوریتم مثلث pr است را بیابیم دلونی بندی چگونه مثلثی که شامل.1 با نقاط اضافه شده در ابتدای الگوریتم در خط LEGALIZEEDGE چگونه رفتار می کنیم رویه دوم.2 22

23 3-9 ینولد یدنب ثلثم هبساحم هحفص دروم لوا : هیبش شور 6 لصف نامتخاس هداد طوبرم هب ناکم یبای هطقن لثم D - هک یفارگ تهج راد نودب رود تسا - ار نامزمه اب ثلثم یدنب ینولد.میزاس یم گرب یاه D رظانتم اب ثلثم یاه طوبرم هب نیرخآ ثلثم یدنب دنتسهƬ و هراشا یرگ نیب نیا گرب اه و ثلثم یدنب هگن یم.میراد یاهدون D ینایم رظانتم اب ثلثم ییاه دنتسه هک رد دنچ ماگ لبق رت رد ثلثم یدنب هدوب دنا اما نونکا زا نیب هتفر.دنا

: نحوه ساختن ساختمان داده D منفرد برگ یک با است برابر ابتدا در دلونی بندی p0 در خط 3 الگوریتم مثلث شامل مثلث 2 p p0 1 p P-2 Δ1 P-1 24

Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 Δ1 Δ2 Δ3 نکته : حداکثر خروجی هر نود برابر 3 است زیرا برگ ها متناظر با مثلث های جاری هستند. 25

Δ2 Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 Δ3 26

Δ2 3-9 Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 Δ3 Δ2 Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 27

Δ2 3-9 Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 Δ2 Δ1 Δ1 Δ2 Δ3 28

نکات : شوند تدریج در هنگام جستجوی pr در D حداکثر نودهایی که مالقات می متناظر با مثلث هایی هستند که pr قبال در داخل آن ها بوده و به کوچک شده اند زمان دیگر بنابراین چون درجه هر نود حداکثر 3 است زمان جستجو یک خطی وابسته به تعداد نودهای مسیر جستجو می باشد یا به عبارت به تعداد مثلث های ذخیره شده در D که شاملpr هستند. 29

دوم مورد : به اندازه کافی سمت چپ که خارج از هر دایره تعریف شده توسط 3 باشد نقطه از P p0 خطی باالتر از همه نقاط مجموعه P خطی پایینتر از همه نقاط مجموعه P به اندازه کافی سمت چپ که خارج از هر دایره تعریف شده توسط 3 باشد نقطه از P 30

مثلث بندی دلونی مجموعه {2 p P,1 p} شامل : مثلث بندی دلونی مجموعه P. یال هایی است که 1-p را به همه رئوس سمت راست مجموعه محدب مجموعه P متصل می کند. یال هایی است که 2-p را به همه رئوس سمت چپ مجموعه محدب مجموعه P متصل می کند. یک یال p 2..p 1 )ونکته: باالترین نقطه و پایینترین نقطه در P هم به 1 p و هم به 2 p متصل است.( 31

pj در طول مرحله مکان یابی از pi به pk مشخص شود. جهتدار خط به نسبت نقط موقعیت باید نقطه : با پس انتخاب 1-p هستند یکسان زیر مورد و 2-p سه Pj در سمت چپ خط pi به 1-p قرار دارد. Pj در سمت چپ خط 2-p به pi قرار دارد. Pj از نظر ترتیب لغت نامه ای بزرگتر از pi است. 32

فرض میکنیم pipj یالی باشد که باید بررسی شود و pk و pl راس دو از مثلث هایی باشند که با pipj مجاور باشند ( در صورت وجود( : مثلث 2 p p0 1 p باشد باید همیشه مجاز باشد. l,k,j,i هیچ کدام منفی نباشند بررسی به صورت اگر pipj یالی از اگر اندیس هاس انجام شود. معمول min(k, l) < min(i, j). : pipj اگر تنها و اگر است مجاز یال بقیه حاالت در 33

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی مهمترین مسئله: بررسی تعداد مثلث هایی است که در طول روند الگوریتم ایجاد و حذف می شوند. Pr := {p1,..., pr} و DGr := DG({p 2, p 1, p0} Pr) معرفی چند نماد : 34

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی اثبات لم 11-9 تعداد : ابتدا مورد انتظار مثلث p 2 p0 p 1 در و سه امین r یال تکرار در جدید الگوریتم را مثلث های ایجاد شده توسط الگوریتم حداکثر 1+9n ایجاد هنگام می اضافه کنیم. pr کردن Dgr یال عالوه از بر Dgr هر این مجاور تعویض pr مثلث تعداد شود. ایجاد یال می شود. جدید مثلث دو نیز ابتدا ایجاد یک می مثلث کند های جدید ایجاد شده حداکثر برابر خواهند بود با : k = deg(pr,dgr) و 2(k 3)+3 = 2k 3 را که سه به باعث است. مثلث شود می تبدیل یک 35

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی ادامه اثبات تحلیل الگوریتم : طبق قضیه 3-7 Dgr حداکثر 6 (3+r)3 یال دارد. 3 تا از این یال ها متعلق به مثلث 2 p p0 1 p بنابراین درجات رئوس دنباله کمتر از Pr یعنی درجه مورد انتظار یک نقطه تصادفی از بنابراین: هستند. 2[3(r+3) 9] = 6r است. 6 حداکثر Pr مثلث های ایجاد شده در مرحلهE[r [تعداد E[2k-3] است. =2E[k]-3 2*6-3=9 در مجموع n مرحله و حداکثر 1+9n مثلث خواهیم داشت. 36

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی قضیه 12-9 O(nlogn) مثلث بندی دلونی را می توان مورد انتظار O(n) انجام داد. انتظار مورد زمان در حافظه از استفاده با و : اثبات در مورد حاظه چنان چه در ساختمان داده D هر نود متناظر با یک مثلث ایجاد شده توسط الگوریتم بود و با توجه به لم قبل O(n) اثبات می شود. در مورد زمان اجرا بدون در نظر گرفتن مرحله تعیین مکان نقطه ( خط 7( توسط الگوریتم با تعداد مثلث های ایجاد شده متناسب است : یعنی O(n) زمان هزینه شده 37

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی در مورد مرحله : location point فرض کنید T(i) هزینه جستجو در گراف در هنگام اضافه کردن نقطه pi باشد. این هزینه را به هر مثلث موجود در مسیر جستجو اضافه میکنیم یعنی به جای هزینه های جستجو از مجموع تعداد دفعات شارژ مثلث ها استفاده کنیم. مجموع در ساختارD pr زمان پیدا کردن = (1)O + که از بین رفته اند pr در ساختارD pr زمان کل پیدا کردن = O(n) + که از بین رفته اند pr =O(n) + card(k(δ)) تعداد مثلث های قبلی حاوی مجموع تعداد مثلث های قبلی حاوی Δ تعداد نقاط موجود در داخل دایره محیطی مثلث = k(δ) 38

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی لم 13-9 آنگاه باشد کلی موقعیت در نقاط مجوعه یک اگر P دلونی Δ های مثلث همه روی مجموع می شوند. ایجاد الگوریتم توسط که است اثبات : r باشد. فرض : Tr مجموعه مثلث های Dgr باشد Tr\Tr-1 : مجموعه مثلث های دلونی ایجاد شده در مرحله 39

4-9 تحلیل الگوریتم مثلث بندی دلونی 40

با تشکر از توجه شما 45