XXI ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ, ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Θεωούµε ένα σύστηµα µε µία είσοδο (πολλές εισόδοι είναι πιθανές ) και µία έξοδο (πολλές έξοδοι είναι επίσης πιθανές). Για να υπολογίσουµε µικολεπτοµέειες της οής πέπει να εφαµόσουµε τα ισοζύγια σε ένα διαφοικό στοιχείο του ευστού (C). Αυτή ήταν η ποσέγγιση για να πάουµε τα µικοσκοπικά ισοζύγια. Σ αυτό το κεφάλαιο δεν ενδιαφεόµαστε για λεπτοµέειες (κατανοµές ταχύτητας, τάσης κλπ), αλλά για µακοσκοπικές ιδιότητες του συστήµατος..e. Ολική αλλαγή της µάζας του συστήµατος (συσσώευση) Απώλειες ενέγειας Μετατοπη µηχανικής ενέγειας σε θεµική (τιβή) Εγο στο σύστηµα από το πειβάλλον Για να υπολογίσουµε αυτές τις ποσότητες εφαµόζουµε τις αχές διατήησης της µάζας, οµής και ενέγειας σε όλο το σύστηµα.
ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΜΑΖΑΣ XXI Εφαµόζουµε την αχή διατήησης της µάζας σε όλο το σύστηµα (βλέπε σχήµα): [CCUMULT ION] [RTE OF MSS IN] - [RTE OF MSS OUT] ή d m d t - όπου, και αντιποσωπεύουν τις µέσες ταχύτητες οής µάζας διά µέσου των εγκάσιων διατοµών µε επιφάνειες and. Για πολλαπλές εισόδους και εξόδους, το ισοζύγιο µάζας παίνει την εξής µοφή: d m d t όπου είναι θετική όταν εισέχεται στο σύστηµα και ανητική όταν εξέχεται. Εάν αντί των (µέση ταχύτητα), η κατανοµή των ταχυτήτων, u (x,y,), είναι γνωστή, το ισοζύγιο µάζας παίνει την εξής µοφή: d m d t u d όπου οι µέσες ταχύτητες αντικαταστάθκκαν από τα ολοκληώµατα.
XXI 3 Για ασυµπίεστα ευστά, η πυκνότητα είναι σταθεή, έτσι d m d όπου χωίς υπόστιξη δείχνει όγκο. Το ισοζύγιο µάζας παίνει την εξής µοφή: d d t and d d t u d Για µόνιµη οή, dm/dt0 ή d/dt0, οπότε: 0 and u d 0 Υποσηµειώνεται ότι το είναι η ογκοµετική παοχή, Q, είναι η µέση ταχύτητα στην t είσοδο ή έξοδο κάθετα στην εγκάσια διατοµή µε επιφάνεια. Ενας άλλος τόπος να εκφάσουµε το ισοζύγιο είναι: Q ( n)d S S n d όπου n είναι το κάθετο στην επιφάνεια µοναδιαίο διάνυσµα που δείχνει πος τα έξω. Παακάτω µεικά πααδείγµατα εφαµογών αυτής της εξίσωσης συζητούνται.
XXI 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Στάθµη νεού σε µια δεξαµενή Το σχήµα παακάτω δείχνει ένα απλό όγανο ύθµισης στάθµης, C, που ενεγοποιεί µία αντλία για να αποµακύνει Q t 3 /mn νεού από τη δεξαµενή ακτίνας R0.5 t έτσι ώστε να διατηήσει το ύψος του νεού σταθεό στο H 0 t, δια µέσου µίας σωλήνας διαµέτου d n. µε µέση ταχύτητα [sn(πt)] t/s. Αχίζοντας από τη χονική στιγµή t0 όπου η δεξαµενή είναι άδεια, πειγάψτε τη διεγασία γεµίσµατος και ύθµισης. Εφαµόζουµε το ισοζύγιο µαζας: d d m t d Για νεό /cm 3 const., το ισοζύγιο µάζας απλοποιείται ως: ή d d t d t π d 4 d - Q - Q
XXI 5 όπου d π d t d dt ( π R H ) R dh dt Συνδιάζοντας, π R dh dt π d 4 - Q Αυτή η εξίσωση πειγάφει πως το H αυξοµειώνεται, µε το αχικό ύψος στο H 0 0. Στάδιο γεµίσµατος: H H 0, Q0. dh dt d R 4 d 4 R [ sn ( π t )] Το οποίο µποεί να ολοκληωθεί για να πάουµε: H ( 0 t ) dh 0.5 d R t 0 [ sn( π t) ] dt ή
H ( t) 0.078 - cos ( π t t π ) t XXI 6 Ετσι ο χόνος που απαιτείται για να γεµίσει η δεξαµενή στο ύψος HH 0 t δίνεται από: H 0 0.078 t - cos ( π t π ) or t 7 s Στάδιο ύθµισης: dh/dt0, επειδή η στάθµη πέπει να µείνει σταθεή. Ετσι, d 3.44 Q π x [ sn ( π t 4 44 ) ] t 3 /s ο οποίος είναι ο υθµός αδειάσµατος/αποµάκυνσης του νεού µε την χήση της αντλίας.
XXI 7 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ιακλάδωση (burcaton) οής Για το σύστηµα σωλήνων που δείχνεται στο σχήµα παακάτω, δίνονται τα ακόλουθα: R.5 cm, cm/s, R.5 cm, 0 cm/s, R 5.5 cm, 5 5 cm/s, R 6 R 7 cm. Υπολογίστε τις µέσες ταχύτητες στα σηµεία,b,c, και (R R 3 R 4 ). Για µόνιµη οή, ή 3 ( - 3 3 π R π R π R 3 3 3 ) 0.00 Για να υπολογίσουµε το B, θεωούµε το δεύτεο σύστηµα. cm/s
XXI 8 B 4 3 3-4 Επειδή R 6 R 7, τότε C 0.5 4 4 / 6. 5 5 9.75 cm/s Ενα ισοζύγιο µάζας στο τελευταίο όγκο ελέγχου (control volume), δίνει: B µε C και C. Ετσι, B C C B B C C C 7.6 cm / s Για να επαληθεύσουµε τους υπολογισµούς, εφαµόζουµε ένα ολικό ισοζύγιο µάζας, που είναι: ή ή R 5 0 or 5 0 5 5 6 6 7 7 R 5 R 5 6 R 6 7 R 7 or 68.75 68.75 Το οποίο δείχνει διατήηση της µάζας.
XXI 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Ισοζύγιο µάζας µε κατανοµή ταχυτήτων Ενα ελεύθεο εύµα ευστού µε ταχύτητα U0 m/s, ιξώδες µ c και πυκνότητα /cm 3 έει πάνω από µία επίπεδη πλάκα µήκους L0 m και πλάτους W m, το οποίο είναι παάλληλο πος το εύµα του ευστού. Το πάχος του οιακού στώµατος δίνεται από: δ ( x ) 5 xν U Και η κατανοµή της ταχύτητας από: u ( x, y ) U y δ ( x ) Η ταχύτητα έξω από το οιακό στώµα είναι U. (a) Απεικονίστε το οιακό στώµα στο σχήµα δ(x) vs x. Μετά απεικονίστε τις κατανοµές ταχύτητας στα σηµεία x0, x0.4l και στο τέλος της πλάκας xl. (b) Βείτε τους υθµούς µεταφοάς µάζας, m B, m BC, και m C, που διατέµνουν τα όια B, BC, και C, αντίστοιχα.
XXI 0 (a). Πάχος και κατανοµές ταχύτητας βλέπε σχήµα παακάτω. (b) Εφαµόζουµε ισοζύγιο µάζας µέσα στο B για µόνιµη οή, dm/dt0. ή m B - B u B d 0 m B u B ds - W u ( x 0.4 L) dy 0 ή αντικαθιστώντας για το u, B ή δ ( x ) y U δ m B W U dy W y 0 0 δ ( x 0.4 L ) δ
XXI 0.5W m B U δ (x 0.4 L ).5 W U Εφαµόζουµε ισοζύγιο µάζας στο BCE, έτσι ώστε: B u B d m BC - EC u EC 0.4 Lν 8.46 U d 0 /s ή m BC - B u B d EC u EC d 0 ή ή m BC m BC W δ ( xl 0 ) u(x L) dy - δ ( x0.4l 0 ) u(x 0.4L) dy 0.5W Uδ(x L) - 0.5W Uδ(x 0.4L ) 6.54 /s Για το σύστηµα CE (µόνιµη οή) m C W δ ( xl ) 0 U y δ ( x L ) dy ή mc 0.5W U δ ( x L ) 45 /s Μποούσαµε να πάουµε το ανωτέω αποτέλεσµα από: m C m B m BC (8.46 6.54) /s 45 /s Αυτό αποτελεί και µία επαλήθευση των υπολογισµών.
ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ XXII Γενικά η ενέγεια µποεί να υπάξει σε πολλές µοφές. Εάν είναι να εφαµόσουµε την αχή διατήησης της ενέγειας σε ένα σύστηµα πέπει να θεωήσουµε όλες τις µοφές της. Κινητική ενέγεια (κnetc enery), E (κατέχεται από ένα κινούµενο, σώµα ή σύστηµα ευστού) E m υναµική ενέγεια (otental enery), E φ (κατέχεται από στοιχεία ευστού λόγω της θέσης των, το οποίο µποεί να γίνει κινητική ενέγεια και αντίστοφα, π.χ., εκκεµές) Eφ Ετσι, η µηχανική ενέγεια (mecancal enery) E M οίζεται ως: E E E m M φ m m Για να οίσουµε την ολική ενέγεια (total enery) του συστήµατος, η εσωτεική ενέγεια (nternal enery U), που σχετίζεται µε την θεµική πειεκτικότητα (termal content) πέπει να ποστεθεί στην µηχανική ενέγεια, U U 0 m c όπου U o είναι η εσωτεική ενέγεια σε θεµοκασία T o, U η εσωτεική ( T - T o )
XXII ενέγεια σε θεµοκασία T και c η θεµική χςητικότητα (eat caacty) του σώµατος, ή σύστηµα ευστού. Η ολική ενέγεια, E T είναι: E E U E E T M φ U m m U Και η πυκνότητα της ολικής ενέγειας (ενέγεια ανά µονάδα όγκου) Eˆ T Eˆ M U ˆ Uˆ Θεωούµε τώα ένα σύστηµα µε µία είσοδο και µία έξοδο, το οποίο θεµαίνεται µε υθµό (eatn rate) Q και παάγει έγο (sat wor) µε υθµό, W S. Το έγο, W S, αντιποσωπεύει εκείνο το µέος του έγου που γίνεται ηθεληµένα από µηχανές όπως αντλία (um meller), πιστόνι (ston) ή τουµπίνα. Σηµειώνεται ότι το Q είναι θετική ποσότητα όταν ποστίθεται στο σύστηµα και W S είναι θετική όταν γίνεται από το σύστηµα πος το πειβάλλον.
XXII 3 Στα όια του συστήµατος όπου οι ταχύτητες είναι, έχουµε την πιθανότητα της ενέγειας λόγω πίεσης (ressure enery) ή έγο το οποίο γίνεται στο σύστηµα ή παάγεται από το σύστηµα πος το πειβάλλον µε υθµό, W όπου είναι η τοπική απόλυτη πίεση. W αντιποσωπεύει το έγο που απαιτείται για την ώθηση µίας µονάδας µάζας του ευστού στο σύστηµα µε τον υπεκεασµό της τοπικής πίεσης,, ή το έγο που γίνεται από το σύστηµα πος το πειβάλλον µε την ώθηση πος τα έξω µίας µονάδας µάζας ευστού κάτω από πίεση. Εάν η ταχύτητα είναι ανοµοιόµοφη στη είσιδο ή έξοδο τότε, W ( n)d CS Τελικά θεωούµε το έγο διάτµησης (sear wor) λόγω των ιξωδών τάσεων. Αυτό ποκύπτει από το γινόµενο των ιξωδών τάσεων και της αντίστοιχης ταχύτητας. Μποεί να εκφασθεί ως: W υ Ετσι ο υθµός έγου είναι: W CS ( τ )d ( n) d ( τ )d W s CS CS
XXII 4 ή W ιατήηση της ενέγειας δίνει: d E dt T [ Eˆ W s ( τ )d T,, ] [ CS,, ] W s W υ Q Το έγο πίεσης συνδιάστηκε µε την ολική ενέγεια του συστήµατος. Εάν οι ποσότητες, όπως,, και U δεν είναι οµοιόµοφες σε όλη την επιφάνεια, οι µέσες τιµές χησιµοποιούνται: q ave q d Οι µέσες τιµές των δυνάµεων των διαφόων ποσοτήτων όπως 3 είναι διαφοετικές από 3 3. Αυτές ποκύπτουν από:. d α 3 3 όπου α είναι ο συντελεστής ανοµοιοµοφίας (actor o velocty nonunormty) ή συντελεστής διόθωσης της κινητικής ενέγειας (netc enery correcton actor): 3
XXII 5 Το ισοζύγιο ενέγειας σε µαθηµατική µοφή για µόνιµη οή µποεί να γαφεί (de T /dt0). 0 Q W W m U a s υ ˆ όπου έχουµε υποθέσει ότι όλες οι ποσότητες είναι οµοιόµοφες στις εισόδους και εξόδους, εκτός από τις ταχύτητες. Τώα, low rate) (mass m Για ένα σύστηµα µε µία είσοδο και έξοδο: 0 Q W W m U a - m U a s υ ˆ ˆ
XXII 6 όπου m και m. Οµως για µόνιµη όη m m. Εάν η οή είναι τυβώδης (η πιο πακτική πείπτωση) τότε είναι λογικό να υποθέσουµε ότι α α. Το ισοζύγιο γίνεται: 0 Q W W m a - m a s υ ˆ ˆ όπου / ˆ ˆ u είναι η ενθαλπία. Το έγο διάτµησης υ W είναι σπάνια σπουδαίο και τις πιο πολλές φοές πααλείπεται. Ετσι το ισοζύγιο ενέγειας στην πιο χήσιµη µοφή του µποεί να γαφεί ως:
XXII 7 0 Q W m a - m a s ˆ ˆ
XXII 8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Μέσες τιµές σε οή ευστού Υπολογίστε τις µέσες τιµές u u u, 3,,... των δυνάµεων της ταχύτητας σε οή ευστού µε ιξώδες µ που ποκαλείται από µία πτώση πίεσης (ressure radent) σε ένα αγωγό διαµέτου. Οπως είναι γνωστό η κατανοµή ταχύτητας σε γαµµική οή είναι: u u 4 µ Η µέση τιµή οίζεται ως: Για γαµµική οή, q ave L r q d - 4 u π / 0 π u r /4 dr 8 / o r 4 µ L r - 4 dr / 8 r r - dr - 4µ L 4 6 µ L Οµως δείξαµε ποηγουµένως ισχύει ότι: o - 3 µ L u Ετσι,
XXII 9 u - 3 µ L Ως εκ τούτου, u u ή For For u u u u 4 3 For 3 u u 3 3 3 3 Για τυβώδη οή, µία καλη ποσεγγισική κατανοµή είναι: u u max - r n Ακολουθώντας την ίδια µέθοδο: u 8 umax 4( n)( n) και
XXII 0 umax u (n)(n) Έτσι ώστε u (n ) umax (n ) και u u ( n ) ( n ) ( n)( n) - Μία τυπική τιµή για το n στην τυβώδη οή είναι /7. Ετσι, For u u For u u ( n ) (n ) ( n)( n) For 3 u u 3 3 3 3 (n ) (n ) 4( 3n)( 3n) Ετσι στην τυβώδη οή όλοι οι συντελεστές είναι σχεδόν ίσοι µε τη µονάδα..
XXII
XXII
XXII 3
XXII 4
XXIII ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΤΡΙΒΗΣ (FRICTIONL LOSSES) (TOTL HE LOSS) Θεωούµε πάλι ένα σύστηµα µε µία είσοδο και µία έξοδο σε µόνιµη κατάσταση. Το ισοζύγιο ενέγειας µποεί να γαφεί: Q0 -W m U - m U S α α ˆ ˆ µε Q m Q Q or m m ιαώντας µε m Q, το ισοζύγιο παίνει την εξής µοφή: 0 m Q m W - U - U S α α ˆ ˆ ή m W - - m Q - -U U s α α ˆ ˆ
XXIII όπου ο κάθε όος αντιποσωπεύει τα ακόλουθα: ˆ -Uˆ U Q - [LOSSES] m ή µε άλλα λόγια την µετατοπή µηχανικής ενέγειας σε ανεπιθύµητη εσωτεική ενέγεια (nternal enery) Q / m, Uˆ ˆ ) / και θεµικές απώλειες ( U α [Mecancal Enery a t Cross - secton] και α W S m [Mecancal Enery a t Cross - secton ] [Sat ower roduced or consumed by unt mass o lud] Στην εξίσωση ενέγειας κάνουµε την εξής αντικατάσταση: Uˆ -Uˆ Q - m όπου lt αντιποσωπεύει την µη αναστέψιµη µετατοπή της µηχανικής ενέγειας σε ανεπιθύµητη θεµική ενέγεια και απώλεια ενέγειας δια µέσου µεταφοάς θεµότητας. Ο όος lt έχει µονάδες ενέγειας ανά µονάδα µάζας. Ετσι το ισοζύγιο παίνει τη µοφή: lt
XXIII 3 m W - - S lt α α Μία άλλη µοφή είναι: turbne um rcton α α Ο κάθε ένας από τους όους έχει µονάδες µήκους και ο όος µηχανικού έγου έχει διασπασθεί σε ένα ανητικό µηχανικό έγο (neatve sat wor) για αντλία (έγο που γίνεται από το πειβάλλον στο σύστηµα πόσθεση ενέγειας) και ένα θετκό µηχανικό έγο για τουµπίνα (έγο που γίνεται από το σύστηµα πος το πειβάλλον εξαγωγή ενέγειας). Σε όους ειδικού βάους, γ η εξίσωση γάφεται: turbne um rcton α γ α γ Υποθέτουµε άτιβη οή, έτσι ώστε 0 και ότι το µηχανικό έγο είναι µηδέν, um turbne 0. Επειδή η οή είναι άτιβη α α. Το ισοζύγιο γίνεται: 0 - Η οποία είναι η εξίσωση Bernoull equaton.
XXIII 4
XXIII 5
XXIII 6
XXIII 7
XXIII 8
XXIII 9
XXIII 0
XXIII
XXI ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΤΡΙΒΗΣ Σε πολλές εφαµογές, ευστά µε µεγάλα ιξώδη έουν σε αγωγούς όπου οι ιξώδεις αντιστάσεις έχουν σαν επακόλουθο τη µετατοπή της µηχανικής ενέγειας σε ανεπιθύµητη θεµική. Αυτή η απώλεια λέγεται ιξώδης απώλεια ενέγειας (vscous dssaton) και οφείλεται στις κάθετες και διατµητικές τάσεις. Οι απώλειες ενέγειας ( rcton ) σε πλήως ανεπτυγµένη οή σε αγωγούς µε σταθεή εγκάσια διατοµή, λέγονται κύιες απώλειες τιβής (major rcton loss),, και οι απώλειες λόγω των εισόδων, εξόδων, αλλαγών εγκάσιας διατοµής κ.λ.π λέγονται δευτεεύουσες (mnor losses), m. Ετσι οι ολικές απώλειες µποούν να γαφούν: m tot rcton Το ισοζύγιο ενέγειας γάφεται: turbne um tot α α ή turbne um m α α ΚΥΡΙΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ: Ο συνετελεστης τιβής (rcton actor)
XXI Θεωούµε πλήως ανεπτυγµένη οή σε ένα κυλινδικό αγωγό διαµέτου,. Εφαµόζουµε το µηχανικό ισοζύγιο ενέγειας µεταξύ των δύο εγκάσιων διατοµών στα σηµεία "" και "", όπως φαίνεται στο σχήµα:,, 0 tot um - turbne ENERGY MSS αντιποσωπεύει τις απώλειες µηχανικής ενέγειας ανά µονάδα ευστού. Θεωούµε πώτα γαµµική οή, Re <,300. a. Γαµµική οή σε κυλινδικούς αγωγούς: Η πτώση πίεσης για οή σε κυλινδικό αγωγό δίνεται από (λύση των εξισώσεων Naver-Stoes): 8µ LQ 8µ L( π π 4 4 π Συνδιάζοντας: 3 L µ 64 Re L /4) 3 Were L µ Re µ Ο συντελεστής 64/Re λέγεται συντελεστής τιβής του arcy (arcy rcton actor): 8 τ w
XXI 3 Ετσι οι κύιες απώλειες µποούν να εκφασθούν ως: L µε να είναι 64/Re για γαµµική οή. b. Τυβώδης οή σε κυλινδικούς αγωγούς: Για τέτοιες οές δεν µποούµε να υπολογίσουµε την πτώση πίεσης αναλυτικά. Ετσι µποούµε να χησιµοποιήσουµε πειαµατικά δεδοµένα και διαστατική ανάλυση. Πώτα µποούµε να γάψουµε ότι: L,e),,, (, µ όπου e είναι η ταχύτητα (rouness) της επιφάνειας του αγωγού που έχει βεθεί οτι επηεάζει την τιβή µόνο στην τυβώδη οή. Χησιµοποιώντας διαστατική ανάλυση: e, L, µ ή e, L Re, Χησιµοποιώντας ότι, µποούµε να γάψουµε: e, L Re, 3 /
XXI 4 Πειάµατα έχουν δείξει ότι L/. Ετσι, / L 4 Re, e ή L 5 Re, e (rcton actor) Ετσι ο συντελεστής τιβής για τυβώδη οή είναι συνάτηση του αιθµού Re και της σχετικής ταχύτητας, e/. Αυτό δίνεται στο διάγαµµα Moody. Οταν γνωίζουµε το Re και το e/, µποούµε να βούµε το. Η ταχύτητα, e, δίνεται σε διάφοους πίνακες σε βιβλία ευστοδυναµικής.
XXI 5 Συνοψίζοντας για να βούµε τις κύιες απώλειες (major ead losses), ακολουθούµε τα εξής βήµατα:. Υπολογίζουµε το Re. Εάν η οή είναι γαµµική Re <,300 τότε L wt 3. Εάν η οή είναι τυβώδης τότε πώτα βίσκουµε το e από πίνακες και ακολούθως χησιµοποιούµε το διάγαµµα Moody για να υπολογίσουµε το συντελεστή τιβής,. 64 Re Εάν θέλουµε να χησιµοποιήσουµε ένα υπολογιστή για να λύσουµε
XXI 6 ένα πολύπλοκο πόβληµα τότε χειάζοµαστε µία αναλυτική εξίσωση για το,, σαν συνάτηση του Re, και e/. Μεικές εµπειικές εξισώσεις δίνονται παακάτω. - Η συσχέτιση του Blasus για τυβώδη or Re<0 5, που είναι: 0.364 Η διατµητική τάση στο τοίχωµα δίνεται από (πως ποκύπτει?): τ W Re 0.5 0.0335 ν R Αυτές οι εξισώσεις ισχύουν µόνο για λείους αγωγούς. - Για πιό γενικές εφαµογές µποούµε να χησιµοποιήσουµε την εξίσωση Colebroo, e /.5 -.0 lo 0.5 3.7 0.5 Re Όµως πέπει να κάνουµε πόσθετους υπολογισµούς για να βούµε το (teratons). Η σχέση Mller µποεί να χησιµοποιηθεί για να µας δώσει µία καλή αχική τιµή γι αυτούς τους υπολογισµούς e / 5.74 0 0.5 lo 0.9 3.7 Re Μία άλλη εξίσωση λιγότεο ακιβής (% από Colebroo) είναι: 6.9 e. -. 8 lo 0.5 Re 3.7 0.5 -
XXI 7 EXMPLE PROBLEM: Flow n a Pelne. Crude ol lows trou a level secton o te lasan elne at a rate o.6 mllon barrels er day ( barrel 4 al). Te e nsde dameter s 48 n.; ts rouness s equvalent to alvaned ron. Te maxmum allowable ressure s 00 s; te mnmum ressure requred to ee dssolved ases n soluton n te crude ol s 50 s. Te crude ol as SG0.93; ts vscosty at te umn temerature o 40 F s µ3.5 x 0-4 lb s /t. For tese condtons, determne te maxmum ossble sacn between umn statons. I te um ecency, η, s 85 ercent, determne te ower tat must be suled at eac umn staton. Fnd: (a) Maxmum sacn, L. (b) Power needed at eac um staton. (a). ly te enery equaton or steady ncomressble low or C: α α rcton um turbne Note tat we consder only major losses, no sat wor. In addton we assume turbulent low (α α ), orontal e and constant
XXI 8 vscosty. lso rom contnuty one may nd. Tus, te above equaton smles to: rcton or L were ( Re, e/ ). Calculate Re and e/. Q.6x0 bbl 4 day π (4 ) t L 6 3 al t day 4 bbl 7.48 al 4 r r 3600 8.7 s Re/µ.7x0 5 (turbulent low as assumed). From Tables we can et tat e0.0005t, so tat e/0.0005 and rom Moody cart we obtan 0.07. Ten, L 63,000 t (0 m). t/s (b)to nd te umn ower, aly te enery balance to C, across te um. Ts s: lt Q - α m lt - - α W s - m W s - m Te um loss er unt mass lt n te um can be exresses n terms o te ecency o te um.
lt ( -η ) W - m S XXI 9 were η s te ecency o te um. Tus combnn to elmnate lt we can obtan: or W S W S - - η 36,800 m Q η η (ower suled by um) Ts quantty s neatve because t s done to te system by te envronment. Note tat.s 550 t.lb
XXI 0 EXMPLE: etermnaton o ressure dro r under standard condtons lows trou a 4.0-mm-dameter drawn tubn wt an averae velocty o 50 m/s. For suc condtons te low would normally be turbulent. However, recautons are taen to elmnate dsturbances to te low (te entrance to te tube s very smoot, te ar s dust ree, te tube does not vbrate, etc.), t may be ossble to mantan lamnar low. (a) etermne te ressure dro n a 0.-m secton o te tube te low s lamnar. (b) Reeat te calculatons te low s turbulent (e0.005 mm). Under standard temerature and ressure condtons te densty and vscosty are.3 /m 3 and µ.79 x 0-5 Ns/m. Tus, 3 (.3 / m )( 50m / s)( 0.004m) Re 3,700 µ 5.79 0 Ns / m wc would ndcate turbulent low. (a). I low s lamnar ten 64/Re0.00467 and te ressure dro over a 0.-m-lon orontal secton o te e would be or L ( 0. m ) (0.00467) ( 0.004 m ) 0.79 Pa (.3 / m 3 )(50 m/s (b) I te low s turbulent, ten (Re, e/), were e0.005 mm, and tus e/0.005 mm/4.0 mm 0.000375. From te Moody cart wt )
XXI Re3,700 and e/0.000375 we obtan 0.08. Tus, te ressure dro n ts case s: or L ( 0. m ) (0.08) (.3 / m ( 0.004 m ).076 Pa 3 )(50 m/s consderable savns n eort to orce te lud trou te e could be realed (0.79 Pa rater tan.076 Pa) te low could be mantaned as lamnar low at ts Reynolds number. In eneral ts s very dcult to do, altou lamnar low n es as been mantaned u to Re00,000. n alternatve metod to determne te rcton actor or turbulent low s to use te Colebroo ormula. Ts s: or 0.5 -.0 lo e/.5 3.7 Re 0.5 -.0 lo 0.000375.5 3.7 3,700.83-4 0 -.0 lo.0-4 0.5 0 0.5 n teratve rocedure ves te soluton 0.09, n areement wt te result obtaned rom te Moody cart o 0.08. Te teratve rocedure s as ollows: reasonable value or s assumed and te ormula s aled to determne a new value o. Ts new s used to aly te ormula aan, and te rocedure stos wen te same s recovered at two consecutve tmes. ) 0.5
XXI EXMPLE 6.7: Calculaton o Pressure ro 3 Ol wt 900 / m and ν 0.0000m / s lows at 0.m 3 /s trou 500 m o 00-mm-dameter cast ron e. etermne (a) te ead loss and (b) te ressure dro te e slos down at 0 o n te low drecton. Frst comute te averae velocty: Q m / s πr 6.4 Ten te Reynolds number Re 8,000 ν Ten rom tables we can et tat e0.6mm or cast ron, ten e/0.003 From Moody cart, 0.05. Tus, te ead loss s: L 7m Usn te enery equaton: α α L sn0 65, 000 o Pa m um, Solve or ressure dro turbne
XX- ΕΥΤΕΡΕΥΟΥΣΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΓΩΓΩΝ Οπως συζητήθηκε πίν, οι δευτεεύουσες απώλειες (mnor losses), m είναι µέος των ολικών απωλειών: rcton Οι δευτεεύουσες απώλειες µποεί να οφείλονται σε:. Είσοδο αγωγού ή έξοδο.. Ξαφνικό στένεµα ή διαστολή του αγωγού. 3. Καµπύλη (bends), γωνές (elbows), και άλλα εξατήµατα (ttns). 4. Βαλβίδες ή δικλείδες (valves), ανοιχτές ή µεικώς κλειστές. 5. Σταδιακά στενέµατα ή διαστολές αγωγών. tot m Σε µεικές πειπτώσεις µποεί και να µην είναι δευτεεύουσες, για παάδειγµα µία µεικώς κλειστή δικλείδα έχει µεγαλύτεες απώλειες από ένα µακύ σωλήνα. Οι δευτεεύουσες απώλειες δίνονται σαν συντελεστής απώλειας, Κ: Loss Coecent K m /( ) Ενα σύστηµα µποεί να έχει πολλές δευτεεύουσες απώλειες. Εάν όλες αναφέονται στον αγωγό µε την ίδια διάµετο τότε. tot K m L d
XX- Οι απώλειες πέπει να αθοίζονται ξεχωιστά εάν η εγκάσια δαιτοµή αλλάζει έτσι ώστε το αλλάζει. Η εξίσωση ενέγειας γίνεται: turbne um tot α α ή turbne um m α α ή um turbne K d L α α
XX-3 Βαλβίδες ή δικλείδες : Υπάχουν διάφοα είδη δικλείδων που φαίνονται στο σχήµα παακάτω (a) ate wc sldes down across te secton; (b) te lobe, wc closes a ole n a secal nsert; (c) anle, smlar to a lobe but wt a 90 o turn; (d) te swn-cec valve, wc allows only one way low; and (e) te ds, wc closes te secton wt a crcular ate.
XX-4 Ο πίνακας 6.5 δίνει τον συντελεστή απώλειας, K, για τέσσεεις τύπους δικλείδων, τείς διαφοετικές γωνίες για «γωνιές» αγωγών (elbow ttn) και δύο συνδετήες αγωγών (tee connectons).
XX-5 Οι απώλειες για µεικώς ανοιχτές δικλείδες µποεί να είναι πολύ σηµαντικές. Ενα παάδειγµα δίνεται παακάτω στο σχήµα. Κοιτάξτε πόσο απότοµα µεγαλώνει ο συντελεστής απώλειας για 5-30% ανοιχτή δικλείδα.
XX-6 Μία καµπύλη αγωγού (bend or curve) όπως φαίνεται στο σχήµα παακάτω, µποεί να δώσει σηµαντικές απώλειες. Μία γενική εξίσωση για 90 o σε τυβώδη οή είναι: 0.84.96 90 o R 0.7 R bend: K 0.388α Re were α 0.95 4.4 d d Tο σχήµα παακάτω δίνει το Κ για αιθµό Reynolds00,000. Εχει απεικονισθεί χησιµοποιώντας την εξίσωση.
XX-7 Απώλειες εισόδου (entrance losses) εξατώνται από τη γεωµετία της εισόδου. Οι απώλειες εξόδου είναι ανεξάτητες από τη γεωµετία.. Τα δύο γαφήµατα παακάτω δίνουν το συντελεστή απώλειας για διάφοες γεωµετίες εισόδου.
XX-8 Οι απώλειες για ξαφνικά στενέµατα και διαστολές δίνονται στο σχήµα παακάτω. Θεωητική ανάλυση για ξαφνική διαστολή έδωσε την εξής εξίσωση: d K SE m /() Αντίστοιχη θεωητική εξίσωση για ξαφνικό στένεµα δεν υπάχει, παά µόνο η εξής εµπειική εξίσωση: K SC d 0.4
XX-9
XX-0
XX- EXMPLE: Calculaton o Entrance Loss coecent Exermental results were reorted o measurements made to determne entrance losses or low rom a reservor to a e wt varous derees o entrance roundn. coer e 0 t lon, wt.5 n..d., was used or te tests (use e/0.00004). Te e dscared to atmosere. For a square-eded entrance, a dscare o 0.566 t 3 /s was measured wen te reservor level was 85. t above te e centerlne. From tese data, evaluate te loss coecent or a square-eded entrance. Consder te enery equaton, α L α K d um turbne For te ven roblem, atm, 0 (lare reservor). Te enery equaton smles to:
XX- or K α entrance Te averae velocty s: Q 4 Q π - L L - 46. α K entrance t/s ssumn T75 F (4 o C), v8.8x0-7 m /s. Tus, Re 6.08 5 0 ν For drawn tube, e/0.00004, so 0.03. So, t s 0 t entrance 3. 85. t -(0.03) s (46. ) t.5 K were t as been assumed tat α (turbulent low). n t - 0.54 Te value obtaned rom Fure 6. (d/0) s 0.4 tat s somewat derent rom te calculated value o 0.54.
ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ Ποβλήµατα οής µε µία είσοδο και µία έξοδο (snle-ated) XXI Η πτώση πίεσης για oή σε αγωγό µποεί να γαφεί ως ακολούθως: φ ( L, Q,, e,, system conuraton,, µ ) Οι ιδιότητες του ευστού µποεί να υποτεθούν σταθεεές για ασυµπίεστη, ισόθεµη οή, και τα, e, και η διάταξη του συστήµατος εξατώνται από τη διαµόφωση του αγωγού. Ετσι, φ (L, Q, Ετσι µποούµε να δούµε ότι υπάχουν τεσσάων ειδών ποβλήµατα: (a) άγνωστη ποσότητα (b) L άγνωστη ποσότητα c) Q άγνωστη ποσότητα (d) άγνωστη ποσότητα ) Για τις δύο πώτες πειπτώσεις µποούµε να εφαµόσουµε την εξίσωση συνεχείας και την εξίσωση ενέγειας για να πάουµε τη λύση άµεσα, ενώ οι δύο τελευταίες πειπτώσεις απαιτούν µία επαναληπτική διαδικασία υπολογισµών (teratve rocedures). Πααδείγµατα για όλες αυτές τις πειπτώσεις παουσιάζονται παακάτω.
XXI EXMPLE: Pe low rom a Reservor - Pressure dro unnown 00 m lent o smoot orontal e s attaced to a lare reservor. Wat det, d, must be mantaned n te reservor to roduce a volume low rate o 0.0084 m 3 /s o water? Te nsde dameter o te smoot e s 75 mm. Te nlet s square-eded and water dscares to te atmosere. Consder te enery equaton (no sat wor only losses), m α α or K d L α α For te ven roblem, atm, 0,, and α. ssumn 0, ten d. Tus te enery equaton smles to: K L - d
XXI 3 or d L K Snce Q/4Q/π, ten 8 Q d 4 π L K ssumn water at 0 0 C, 999 /m 3, and µ.0x0-3 /m.s. Tus, 4 Q Re.4 5 0 µ πµ Flow s turbulent and rom te Moody cart or smoot e, 0.07. lso rom Fure n te notes, K0.5. Ten, 8 Q d π 4 L K 6 8 m s 00 m x ( 0.0084 ) x x (0.07) 0.5 4 s ( 0.075 4 π ) m 9.8 m 0.075 m or d 4.45 m
XXI 4 EXMPLE: (etermne Flowrate) Water at 0 0 C (998 /m 3 and µ.00 x 0-3 Ns/m ) s soned rom one rraton dtc to anoter trou a 50-mm-dameter,.8-m-lon ose (e0.0 mm), as s sown n te ure below. Te loss coecent or eac bend s K0.4. etermne te low rate. ly te enery equaton between te ree suraces o te two rraton dtces, α L K d α were K or entrance (assumed to act as a re-entrant entrance) s K ent 0.78 (lare l/d and t/d0.0 see F. n te notes), wle tat o eac bend s ven to be K bend 0.4 and or te ext K ext. lso - 0.3 m, L.8 m, 0, and 0. Tus, te above equaton smles to: or L ( - ) [ K ent Kbend K ext ]
XXI 5 ( L - ) [ K ent Kbend K ext ] or 0.3 m.8 0.05 m [0.8 x 0.4] m x 9.8m / s or.55(36.60) or ( 36.55.60 ) were s n m/s. Te value o deends on Re, wc s deendent on, an unnown. Tus an teratve rocedure sould be used. Ts s as ollows: Re µ were s n m/s. (998 / m ) (0.05.00 x -3 0 Ns / m 3 m) 49,800 lso snce e/(0.00mm)/(50mm)0.004, we now wc artcular curve o te Moody cart s ertnent to te low. ltou values o eter, or Re could be assumed as our ntal uess, t s smlest to assume a value o because te correct value oten les on te relatve lat orton o te Moody cart or wc s qute nsenstve to Re. Tus we assume 0.03, ten rom
XXI 6 ( 36 (.55 0.03 ).60 ) 0.83 m / s and rom Re 49,800 (0.83 m/s) 4,400 Wt ts Re4,400 and e/, Moody cart ves 0.03, wc s not equal to te assumed soluton 0.030 (altou t s close). We try aan, ts tme wt te newly obtaned value o 0.03, wc ves 0.88 m/s, and Re4,300. Wt tese values te Moody cart ves 0.03, wc arees wt te assumed value. Te teratve rocedure as been convered. Tus te soluton s 0.88 m/s, or π Q.63-3 3 0 m 4 Note tat te need or ts teratve rocedure s because one o te equatons s n racal orm (Re, e/). However, we can use te Colebroo equaton or wc s, / s -.0 lo e / 3.7 Re.5 -.0 lo 0.0008.5 Re Combnn (36.55.60)
XXI 7 wt Re49,800 to elmnate we obtan, 79,500 Re ( 36.60 ) Combnn ts wt te Colebroo ormula rovdes a snle equaton or, tat s - 5 -.0 lo 0.0008 3.6 x 0.6 36 smle teratve soluton o ts equaton ves 0.03, n areement wt te above soluton wc used te Moody cart.
XXI 8 EXMPLE: ameter unnown Water at 0 0 C (v.307 x 0-6 m /s) s to low rom reservor to reservor B trou a cast-ron e (e0.6 mm) o lent 0 m at a rate o 0.000 m 3 /s as sown n te scematc below. Te system contans a sar eded entrance and sx reular treaded 90 0 elbows (K elbow.5). etermne te e dameter needed. Te enery equaton s aled between two onts on te suraces o te reservors, K d L α α wt atm, 0, and 0, we obtan K L were Q/4Q/π 4(x0-3 m 3 /s)/π, or 0.55-3
XXI 9 Te loss coecents are: K ent 0.4, K elbow.5, and K ext. Tus te enery equaton s: m 9.8 m/s 0 (6 x.50. 4 ) Combnn te last two to elmnate, we obtan 6 6.03 5 0-0.5-0 To determne we must now, wc s a uncton o Re and e/, were.95 0 Re ν were was substtuted rom te above exresson n terms o. lso.6 0 e/ were s always n meters. an an teratve rocedure s used. I we start wt a value o ten we would ave to solve a t-order equaton to et. Tus t s easer to assume a value or. ssume 0.05 m, so tat ts ves 0.068, Re3.9x0 4 and e/5.x0-3. Wt tese values o Re and e/, rom Moody cart we et 0.033 wc does not concde wt wat was ound. Tus 0.05 m. 3-3 ew more rounds o calculatons wll reveal tat sould be about equal to 0.045 m wt 0.03. Tus, 45 mm 0