سینماتیک مستقیم و وارون

3 سینماتیک مستقیم و وارون بهنام میری پور فرد استادیار گروه مهندسی رباتیک دانشگاه صنعتی همدان همدان ایران bmf@hut.ac.ir B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 1

در سینماتیک حرکت بررسی کند می ایجاد را آن که گشتاورهایی و نیروها گرفتن نظر در بدون شود. می در سینماتیک تنها با هندسه سروکار داریم نه با قوانین فیزیکی موقعیت جهت گیری سرعت و شتاب B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 2

در این درس با بازوهای مکانیکی ماهر سریال سرو کار خواهیم داشت بازوی مکانیکی موازی بازوی مکانیکی سریال )Hexapod( B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 3

ابتدا سینماتیک بودن معلوم با نهایی مجری گیری جهت و موقعیت آن در که شود می بررسی مستقیم می شود معین مفصلی مقادیر موقعیت بودن معلوم با وارون سینماتیک در شود. می تعیین مفصلی مقادیر نهایی مجری گیری و جهت B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 4

زنجیره سینماتیکی می شوند متصل هم به مفاصل با که لینکها از ای مجموعه از ماهر مکانیکی بازوی است. شده تشکیل B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 5

revolute q i = q i : angle of rotation of link i relative to link i 1 link i link i 1 q i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 6

prismatic q i = d i : displacement of link i relative to link i 1 link i 1 link i d i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 7

مفاصل می توانند ساده باشند مانند یک مفصل دورانی و یا کشویی و یا پیچیده باشند مانند مفصل گوی و ساچمه ای مفاصل ساده تنها یک درجه آزادی دارند در صورتی که مفاصل پیچیده مانند کاسه ساچمه دو یا سه درجه آزادی دارند. در سراسر این درس فرض شده است که همه مفاصل تنها یک درجه آزادی دارند. این فرض از کلیت مساله نمی کاهد زیرا مفاصل دو و یا سه درجه آزادی را می توان به صورت مفاصل پی در پی که لینک بین آنها دارای طول صفر است در نظر گرفت. Ball an Socket Hinge joint B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 8

حقیقی عدد یک با توان می را لینک هر عمل دارد آزادی درجه یک تنها مفصل هر اینکه فرض با کرد. توصیف در مبحث سینماتیک مستقیم هدف تعیین تاثیر جمعی متغیرهای مجری نهایی است در سنماتیک وارون بر عکس هدف تعیین مقادیر مفصلی یا مجری نهایی است مفصلی درتعیین موقعیت و جهت مشخص بودن موقعیت و جهت گیری گیری B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 9

یک بازوی مکانیکی ماهر با n لینک 1-n مفصل خواهد داشت زیرا هر مفصل دو لینک را به هم وصل می کند مفاصل را از شماره 1 تا n و لینکها را از صفر تا n با شروع از پایه نامگذاری می کنیم. i با این قرارداد مفصل i لینک 1-i ثابت است. و لینک 1-i اگر مفصل زا به لینک i متصل می کند. فرض می شود i عمل کند آنگاه لینک i حرکت می کند به نسبت مفصل موقعیت که بنابراین لینک صفر کردن عمل با و است ثابت اول( )لینک مفاصل حرکت کند. نمی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 10

البته بازوی مکانیکی می تواند سیار هم باشد )بازو بر روی ارابه متحرک و یا وسیله ای خود مختار( در این درس این مورد در نظر گرفته نمی شود. چنین مسایلی را می توان با اندکی توسعه دادن روشهای نشان داده شده در این فصل حل کرد. ө 3 ө 2 ө 1 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 11

)q i ( متغیر مفصلی مربوط به i می شود داده نشان با ام مفصل q i جابجایی q i زاویه لوالیی مفصل یک در کشویی مفصل یک در و است دوران است مفصل به منظور انجام تحلیل های سینماتیکی یک چارچوب مختصات به هر لینک چسبانده می شود می شود( )جوش داده B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 12

چارچوب o i x i y i z i به لینک i چسبانده می شود. بنابراین در هنگام حرکت ربات مختصات هر نقطه ای بر روی لینک i که بر حسب چارچوب o i x i y i z i توصیف می شود ثابت است. عالوه بر آن زمانی که مفصل i عمل می کند لینک i و چارچوب متصل به آن حرکت می کنند. چارچوب o 0 x 0 y 0 z 0 که به پایه ربات متصل می شود چارچوب اینرسیال نامیده می شود. z i o i y i z i-1 x i z 0 o i-1 x i-1 y i-1 o 0 x 0 y 0 مفصل i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 13

ایده چسباندن چارچوبها ربات آرنج Elbow B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 14

o i 1 x i 1 y i 1 z را i 1 o i x i y i z i فرض کنید A i جهت و موقعیت که باشد همانندی تبدیل ماتریس به نسبت کند. می بیان ماتریس A i کند. می تغییر ربات پیکربندی تغییر با و نیست ثابت A i تنها که دارد این بر داللت کشویی یا و )لوال( دورانی مفصل یک صورت به مفاصل همه گرفتن نظر در q i است. یعنی مفصلی متغیر یک از تابعی به عبارت دیگر: A i = A i (q i ) (3.2) B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 15

ماتریس تبدیل همگن که موقعیت و جهت گیری o j x j y j z j را نسبت به o i x i y i z i بیان می کند بر قرارداد یک ماتریس تبدیل است که به صورت اساس T i j نشان داده می شود. در فصل دوم دیدیم که: چسباندن با چارچوبهای به نسبت که نهایی مجری از نقطه هر موقعیت متناظر لینکهای به مختلف توصیف است. ربات پیکربندی از مستقل می شود چارچوب n B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 16

o 0 n موقعیت و موقعیت بردار که بردار از استفاده با )پایه( مرجع چارچوب به نسبت نهایی مجری گیری جهت مبدا چارچوب است نهایی مجری به متصل و R 0 n ماتریس دوران 3 3 مشخص زیر تبدیل ماتریس قالب در می شود B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 17

جهت گیری و موقعیت مجری نهایی در چارچوب مرجع )اینرسیال( بنابراین o i x i y i z i را o j x j y j z j ماتریس R i j گیری جهت به نسبت ماتریس دورانی بخش از و کند می بیان A آید: می دست به B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 18

بردارهای مختصات مبدا چارچوبها به صورت بازگشتی به دست می آیند: بنابراین در سینماتیک مستقیم دو کار زیر باید انجام شود: تعیین توابع ) i A i q) و ضرب آنها هر جا که الزم باشد. با استفاده از قراردادهایی نظیر دناویت- موثرتر انجام داد. هارتنبرگ برای مفصل می توان دو کار فوق را به طور ساده تر و B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 19

قرارداد دناویت هارتنبرگ روش یک سیستماتیک تحلیل برای سینماتیکی بازوهای ماهر مکانیکی تحلیل پیچیده مزیت مهندسان سینماتیکی خواهد دیگر از بود. این سراسر یک روش دنیا بازوی آن را n است آسان لینکی که کند. به بدون عنوان استفاده یک قرارداد از جهانی زبان هم فوق مشترک امکانپذیر می است تواند به اما همکاری شدت بین B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 20

قرارداد دناویت- هارتنبرگ )DH( Denavit J and Hartenberg RS, A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices. Trans ASME J. Appl. Mech, 23: 215 221, 1955. در این قرارداد هر تبدیل همگن A i به صورت حاصلضرب چهار تبدیل پایه نشان داده می شود. فیلم B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 21

i )3-10( a i, پارامتر چهار i, d i θ i رابطه لینک آفست ام مفصل زاویه از: عبارتند ترتیب به i لینک و طول لینک پیچش ماتریس A i باال پارامتر چهار از پارامتر سه لینک هر برای بنابراین است متغیر یک از تابعی تنها d i θ i باشد کشویی اگر و پارامتر باشد دورانی مفصل اگر بود. خواهد ثابت خواهد متغیر پارامتر بود. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 22

اما است الزم پارامتر شش دلخواه همگن تبدیل یک شدن مشخص برای که شد مشاهده دوم در فصل دناویت نمایش در هارتنبرگ چهار است. کافی پارامتر چگونه این امر امکانپذیر است جواب: با انتخاب هوشمندانه مبدا این چارچوبها چنین امری امکان چارچوب های پذیر است همچنین و لینک هر به یافته تخصیص محورهای B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 23

مساله وجود و یکتایی )3-10( رابطه شکل به پارامتر چهار با تنها توان می را تبدیلهایی چه سوال داد نشان همگن A.1 0 چارچوب دو کنید فرض تبدیل بنابراین و نامهای به باشیم داشته محورهای که دارد وجود چارچوب 0 محورهای روی بر را کند. منطبق چارچوب 1 باشند: داشته را زیر ویژگی دو شده گرفته نظر در چارچوب دو کنید فرض حال فرضیات دناویت هارتنبرگ )DH( برای چارچوبها x 1 x 1 عمود بر محور z 0 محور )DH1( محور )DH2( است با محور z 0 متقاطع است B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 24

z 0 محور x 1 عمود بر محور )DH1( است محور z 0 متقاطع x 1 با محور )DH2( است بر اساس چنین فرضیاتی ادعا می شود که اعداد یکتای, θ,a,d به گونه ای وجود دارند که: B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 25

البته چون θ برای نمایش و زاویه هستند بنابراین آنها اعداد یکتایی بین ضرایب 2π هستند. اینکه ماتریس A را می توان به این فرم نوشت آن را به صورت زیر نویسیم: می R 1 0 اگر (DH1) برقرار باشد بنابراین =0 0 x 1 z با بیان این قید نسبت به o 0 x 0 y 0 z 0 با در نظر گرفتن این دهنده بردار واحد در چارچوب 0 است خواهیم داشت: ماتریس اول ستون که حقیقت نشان x 1 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 26

θ چون = 0 31 r که: دارند وجود و واحد زاویه که دهیم نشان است کافی تنها بنابراین r 31 = 0 تنها اطالعاتی که برابر واحد است: که است این داریم فوق ماتریس ردیف هر چون است. کافی همین اما B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 27

بنابراین زاویه واحد θ و وجود دارد که R 0 1 عناصر بقیه که داد نشان توان می راحتی به شدند پیدا و که وقتی θ داده نشان فرم به باید R 0 1 در شده (3.13) زیرا باشند است. دوران ماتریس o 1 o 0 فرض (DH2) به صورت توان می را و بین جابجایی که معناست این به خطی ترکیب x 1 نوشت و بردارهای z 0 o 1 = o 0 + dz 0 + ax 1. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 28

چارچوب در این رابطه o 0 x 0 y 0 z 0 شود: می نوشته زیر به صورت رابطه فوق نتایج ترکیب با آید. می دست به شد ادعا که به صورتی (3.10) (DH2) (DH1) بنابراین مشاهده شد که برای مشخص می کند تنها چهار پارامتر کافی است. قیدهای که همگنی تبدیل شدن برآورده را و B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 29

z i-1 x i است. جهت در شده گیری اندازه تا محور بین زاویه زاویه z i i xاست. i i-1 z و z i و پارامتر محور بین فاصله جهت در شده گیری اندازه a i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 30

x i پارامتر محور d i z i-1 فاصله است. چارچوب مبدا از عمودی جهت در شده گیری اندازه با محور تقاطع محل تا z i-1 i-1 z 0 x i در صفحه شده گیری اندازه و بین زاویه 1-i x است. بر عمود θ i (DH2) (DH1) موارد باال تخصیص نحوه درک برای برآورده را و که قیدهایی که چارچوبهایی است. الزم کند می B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 31

تخصيص چارچوبها (DH1) n,..., 0 بازوی هر برای ماهر مکانیکی چارچوبهای قید دو که شوند می انتخاب ای گونه به و (DH2) باشند. برقرار T 0 n توجه: باید همیشه توجه داشت که حتی با رعایت قیدهای باال ممکن است چندین حالت تخصیص چارچوب وجود داشته باشد که همگی صحیح باشند. اما صرف نظر از اینکه تخصیص چارچوبها برای لینکهای میانی چگونه باشد نتیجه نهایی یعنی حالتها بر هم منطبق باشند(. یکسان خواهد بود )با فرض اینکه محورهای چارچوب n همه B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 32

برای شروع دقت شود z i انتخاب که است. دلخواه بنابراین در گام اول ابتدا محورهای 1 n z 0,..., z را به دلخواه مشخص می کنیم. z i در واقع به عنوان محور عمل مفصل + 1 i انتخاب می شود. بنابراین محور عمل z 0 شماره مفصل 1 خواهد بود z 1 محور عمل مفصل شماره 2 و... B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 33

دو حالت را می توان در نظر گرفت z i z i (1) مفصل 1+i ام دورانی است (2) مفصل 1+i ام کشویی است است محور دوران مفصل 1+i ام است. در امتدا لغزش مفصل 1+i ام o i x i y i z i i i چارچوب و لینک کند می عمل مفصل که زمانی توجه: به آن با آن به متصل آید. می در حرکت B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 34

شدن z i ها چارچوب مرجع مشخص می شود. مبدا را می توان در هر نقطه از z 0 سپس x 0, y 0 را به گونه ای مشخص می کنیم که یک دستگاه راستگرد ایجاد شود. بعد از مشخص در نظر گرفت. i 0 چارچوب شدن مشخص از پس تعیین برای تکراری فرآیند یک از استفاده با چارچوب چارچوب 1-i چارچوب 1 از شروع با شود. می آغاز B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 35

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 36

در تعیین چارچوب i سه حالت ممکن است رخ (1) محورهای 1 i z و z i هم صفحه نباشند. (2) محورهای i 1 z و z i متقاطع باشند. (3) محورهای و موازی باشند. دهد: z i z i 1 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 37

z i و z i 1 هم صفحه نباشند بنابراین خط یکتایی وجود دارد که هم بر 1 i z و هم بر عمود z i است به گونه ای که دوخط را به هم وصل می کند و مینیمم طول را دارد. در این حالت خط هم راستا با این عمود مشترک محور x i است و نقطه تالقی آن با است. o i مبدا z i (1) کرد. استفاده راست دست قانون از توان می شدن مشخص برای y i z i-1 o i z i x i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 38

موازی دارد وجود مشترک عمود بینهایت حالت این در باشند موازی محور دو اگر باشد: z i z i 1 )2( o i x i شرط و )DH1( انتخاب دلخواه به را مبدا توان می حالت این در کند. نمی مشخص کامال را شود. ساده معادالت که ای گونه به کرد z i 1 o i در )یا باشد مشترک عمود راستای در سمت به از که شود می انتخاب ای گونه به محور x i بردار(. این عکس جهت z i-1 z i oi x i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 39

z i 1 z i و )3( متقاطع باشند. در این حالت x i از z i و 1 i z باشد. جهت مثبت x i اختیاری است. در این حالت یکی از انتخاب های معمول برای مبدا در امتدا z i کفایت می کند. در این حالت برابر صفر است. o i به گونه ای انتخاب می شود که عمود بر صفحه متشکل i 1 z و z i نقطه تالقی a i است. اگر چه هر نقطه ای 0,..., n 1 یک در ربات n برای روال این لینکی چارچوبهای شود. می انجام B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 40

برای تکمیل ساختار که است الزم دستگاه n نیز تعیین شود. دستگاه مختصات o n x n y n z n چارچوب شود. می نامیده ابزار چارچوب یا نهایی مجری B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 41

گیرد می قرار ربات گیره انگشتان بین متقارن به طور معموال مبدا o n a s n ترتیب z n y n امتداد در یکه بردارهای x n به و شوند. می نامگذاری و )approach direction( a امتداد در نهایی مجری که است این نامگذاری این علت رسد. می شی به دهد می نشان را خوردن سر جهت انگشتان( شدن بسته و باز )جهت )sliding direction( S است. قبلی جهت دو بر عمود n B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 42

z n و z n 1 در بیشتر رباتهای امروزی محورهای و است دورانی انتهایی مفصل حرکت متقاطعند. این موضوع حل مساله سینماتیک کرد. خواهد آسان را وارون B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 43

مهم: چند نکته i هستند ثابت و مقادیر دورانی( یا و باشد کشویی نظر مورد مفصل )چه موارد همه در a i مرتبطند. بازو شکل به و i d i θ i مفصل اگر i باشد. می مفصل مفصلی متغیر و بود خواهد ثابت نیز باشد کشویی i θ i d i i مفصل اگر مشابه طور به می مفصل مفصلی متغیر و بود خواهد ثابت باشد دورانی باشد. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 44

خالصه روش دناویت هارتنبرگ روش دناویت- هارتنبرگ برای استخراج معادالت سینماتیک مستقیم بازوی مکانیکی ماهر: گام یک: محورها را مشخص کنید n 1 z 0,..., z گام دو: چارچوب پایه را در جایی بر روی محور z 0 مشخص کنید. محورهای و x 0 y 0 به طور قراردادی طوری تعیین می شوند که چارچوبهای راستگرد برای 1 n i =,1..., ایجاد کنند. گام های سه تا پنج را انجام دهید. گام سه: مبدا باشند دهید. o i را در جایی که عمود مشترک z i و z با i 1 z i متقاطعند قرار دهید. اگر z i و z i 1 o i را در محل تقاطع قرار دهید. و اگر موازی باشند o i را در هر موقعیت دلخواه در امتداد متقاطع قرار z i B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 45

z i 1 z i o i z i 1 z i گام چهار: x i و که در صورتی یا و کنید رسم از و و بین مشترک عمود امتدا در را z i 1 z i بر صفحه عمود جهت در باشند متقاطع بگیرید. نظر در و از متشکل پنج: گام y i دستگاه یک که بگیرید نظر در را طوری شود. ایجاد راستگرد n o n x n y n z n چارچوب شش: گام نهایی مجری مفصل اینکه فرض با کنید. مشخص را باشد دورانی امتداد z n )ترجیجا( n 1. z مبدا دهید قرار z n = a جهت در در ای نقطه در را یا و نهایی مجری مرکز در.x n = n y n = s دهید قرار دهید. قرار نهایی مجری به متصل ابزار انتهای در و B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 46

a i, d i, i, θ i گام هفت: جدول پارامترهای دهید. تشکیل را (3.10). A i هشت: گام ماتریسهای رابطه و فوق جدول کمک با را همانندی های تبدیل دهید. تشکیل آورید دست به را زیر ماتریس نه: گام T 0 n = A 1 A n در را نهایی مجری گیری جهت و موقعیت فوق ماتریس چارچوب صفر دهد. می ارایه قرار داد DH متغیرهای از نگاشتی واقع در دهد. می نهایی مجری گیری جهت و موقعیت به مفصلی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 47

3.2.3 مثال ها قرارداد چند c i cos θ i θ 1 + θ 2 θ 12 cos(θ 1 + θ 2 ) c 12 روش DH که است یادآوری به الزم روش یک اینکه با سیستماتیک عمل آزادی وجود این با اما است بعضی انتخاب در توجهی قابل حالت در خصوص )به دهد. می پارامترها محورهای در یا و موازی اند( کشویی مفاصل که مواقعی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 48

Example 3.1 Planar Elbow Manipulator Fig. 3.6 Two-link planar manipulator. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 49

مبدا در محل تالقی z 0 با صفحه انتخاب جهت دلخواه است x 0 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 50

(3.10) A= B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 51

ماتریس های T o 2 y x T 0 2 توجه شود می باشند. چارچوب در مبدا و های مولفه همان آخر ستون ابتدایی مولفه دو که صفر o 2 x 2 y 2 z 2 چارچوب گیری جهت هم دورانی بخش T 0 2 به نسبت چارچوب صفر است. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 52

Example 3.2 Three-Link Cylindrical Robot o 0 مبدا به طوری که در گرفته می شود )دلخواه(. شکل نشان داده شده در نظر و z 0 z 1 بر هم منطبقند o 1 مبدا می شود. در مفصل 1 انتخاب B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 53

θ 1 x 1 اگر =0 1 θ محور تغییر با آن جهت و است بر صفحه عمود بود. خواهد متغیر... B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 54

پارمترهای DH ماتریسهای A و T B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 55

Example 3.3 Spherical Wrist متقاطعند محور سه هر B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 56

بازوی استنفورد دارد. نوع این از هایی مچ که است بازوهایی جمله از B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 57

o 3 x 3 y 3 z 3 A6 را به θ 4, θ 5, θ 6 به ترتیب نسبت دادن آن کافیست ماتریسهای می توان نشان داد سه متغیر مفصلی انتهایی زوایای اولر θ,ψ,,φ می باشند. برای نشان کمک جدول )3.3( محاسبه کنیم: به چارچوب A4, A5 و B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 58

θ 4, θ 5, θ 6 ) مقایسه قسمت دورانی )6 R( 3 با به چارچوب o 3 x 3 y 3 z 3 زوایای تبدیل اویلر )رابطه 2.27 اولر θ,ψ,,φ می باشند. که دهد می نشان نسبت ترتیب به B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 59

Example 3.4 Cylindrical Manipulator with Spherical Wrist 3.2 مثال بازوی به را کروی مچ یک کنید فرض کنیم متصل 3.2 z 3 z 2 مفصل 4 دوران محور که شود توجه موازات به مثال محور بر بنابراین و است منطبق است. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 60

بنابراین می توان استخراج کرد: معادالت تا کرد ترکیب را قبلی عبارت دو سینماتیک زیر صورت به را مستقیم B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 61

پیچیدگی که است جالب نکته این به توجه سینماتیک نهایی مجری گیری جهت از ربات این مستقیم حالیکه در شود می ناشی عبارتهای موقعیت به مربوط )عبارت.3( 14 اند. نسبتا ساده استخراج مساله تنها نه مچ کروی معادالت سینماتیک مساله بلکه کند می ساده را مستقیم سینماتیک کند. می تسهیل بعد بخش در هم را وارون B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 63

Example 3.5 Stanford Manipulator )RRP( با یک مچ کروی است. اندکی مساله سینمانیک مستقیم و وارون این این بازو بازو یک یک نمونه آفست از بازوی کروی در شانه دارد که سازد. می مشکل را B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 64

تخصیص چارچوبها بر اساس قرارداد DH B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 65

محاسبه ماتریسهای A i 66 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology

که در آن بازگشت به مثال 3.7 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 67

Example 3.6 SCARA Manipulator )RRP( به عنوان یک مثال دیگر از روش و یک مچ با یک درجه آزادی است کلی ربات اسکارا را در نظر بگیرید. این ربات متشکل که تنها یک دوران )رول( حول محور عمودی دارد. بازوی یک از B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 68

همه محورها شکل همانند مثال دارد. وجود مبدا انتخاب در عمل آزادی بنابراین اند موازی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 69

معادالت سینماتیک مستقیم اسکارا B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 70

نوراو کیتامنیس رد شخب لبق تیعضو یرجم ییاهن اب مولعم ندوب یاهریغتم یلصفم صخشم.دش رد نیا شخب هلاسم سکع حرطم یم.دوش نییعت یاهریغتم یلصفم اب مولعم ندوب تیعقوم یرجم.ییاهن ادتبا اب لومرف یدنب هلاسم کیتامنیس نوراو رد تلاح یلک عورش یم مینک و دعب ید هلپوک یزاس یکیتامنیس حیرشت یم.دوش اب هدافتسا زا نیا شور یم ناوت هلاسم تیعقوم و تهج یریگ ار روط هب لقتسم یسررب.درک کی شور یسدنه یارب لح هلاسم تیعقوم حیرشت یم دوش و یرتماراپ یزاس یایاوز رلیوا یارب لح هلاسم تهج یریگ حیرشت یم.دوش B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 71

مساله سینماتیک وارون در حالت کلی 4 4 همگن تبدیل بودن معلوم با with R є SO(3), جواب )یکی از جوابها و یا همه آنها( معادله زیر را بیابید که در آن در اینجا H موقعیت و جهت گیری دلخواه )معلوم( مجری نهایی را نشان می دهد. q 1,..., q n مقادیر کردن پیدا ما کار پارامترهای مفصلی که ای گونه به است T 0 n(q 1,..., q n ) = H B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 72

q 1 =θ 1 q 2 =θ 2 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 73

n معادله باال منجر به دوازده صورت زیر نوشت: معادله به توان می را معادالت این شد. خواهد نامعلوم متغیر با غیرخطی آن در که T ij, h ij دوازده مولفه غیر بدیهی ماتریسهای H و T 0 n هستند. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 74

بازوی مکانیکی ماهر استفورد مثال 3.3.5 را در نظر بگیرید. فرض کنید موقعیت و جهت گیری مطلوب چارچوب نهایی به صورت زیر داده شده باشد: 3.7 مثال θ 1, θ 2, d 3, θ 4, θ 5, θ 6 کردن پیدا برای متغیرهای مفصلی مجموعه باید فوق حالت با متناظر به طور زیر مثلثاتی خطی غیر معادالت شوند حل همزمان B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 75

d 6 = 0.263 d 2 = 0.154 مقادیر اگر پارامترهای DH غیر صفر برابر و برای جواب یک باشد بود: خواهد زیر به صورت باال معادالت به جواب آیا که کرد بررسی توان می آمده دست به جواب به توجه با فوق مساله حل روش از نظر صرف معادالت آمده دست سینماتیک بازوی مستقیم نه. یا کند می آورده بر را استنفورد >>fsolve Solve system of nonlinear equations B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 77

در حل معادالت سینماتیک وارون عالقه مندیم یک جواب به فرم بسته برای معادالت به دست آوریم تا اینکه یک حل عددی. حل به فرم بسته یعنی یک رابطه صریح به صورت زیر: B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 78

مزایای جواب بسته: فرم به کاربردها از بسیاری در بینایی سیستم توسط نقطه هر موقعیت که جوش خط کردن دنبال مانند (1) 20ms مساله شود می مشخص سینماتیک هر مثال شود حل سریع باید وارون این صورت در )شامل گیر وقت عددی یک حل جای به بسته فرم به جواب داشتن جستجوی است. الزام یک تکراری( برای قوانینی توان می بسته فرم به جوابهای داشتن با باشد داشته وجود حل چندین که حالتی در (2) داشت. نظر در مناسب جواب انتخاب B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 79

وجود جواب عالوه بر اینکه به شکل ریاضی معادالت بستگی دارد به محدودیت های مهندسی هم بستگی دارد! برای مثال ممکن است یک مفصل دورانی زاویه دورانش محدود به کمتر از 360 درجه باشد اما حل ریاضی زاویه خارج از این محدوده را به دست دهد. ای B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 80

چند نکته: معادالت حل سینماتیک است. سخت بسته( فرم )به وارون روشهای توسعه دنبال به بنابراین هستیم. کارآمد و سیستماتیک سینماتیک دارد. یکتا جواب یک همواره مستقیم سینماتیک نباشد. یکتا است ممکن باشد داشته وجود جواب اگر و باشد نداشته جواب است ممکن وارون B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 81

دی کوپله سازی سینماتیکی مساله کلی سینماتیک وارون پیچیده است. برای بازوهایی که شش مفصل دارند و محورهای سه مفصل انتهایی آن در یک نقطه متقاطع اند )مانند بازوی استنفورد( امکان پذیر است که مساله سینماتیک وارون را به دو مساله ساده تر دی کوپله کرد سینماتیک وارون موقعیت سینماتیک وارون جهت گیری به بیان دیگر برای بازوی شش درجه آزادی با مچ کروی مساله سینماتیک وارون به دو مساله ساده تر تجزیه می شود: یافتن موقعیت محل تقاطع محورهای مچ که بعد از این مرکز مچ نامیده می شود یافتن جهت گیری مچ B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 82

RPP + Spherical Wrist B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 83

تقاطع محل و دارد وجود آزادی درجه شش دقیقا کنید فرض مساله بودن ملموس برای سه محورهای است. نقطه نهایی مفصل o c معادله )3-2( به صورت را مجموعه معادالت دهیم: می نشان موقعیت و دورانی R و o آن در که o و R گیری جهت و موقعیت مختصات در نهایی چارچوب جهانی )اینرسیال( است. مجهوالت و اند معلوم از: عبارتند q 1,..., q 6. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 84

o 5 o 4 o c متقاطع z 5 کروی مچ در z 3, z 4 در و و های مبدا بنابراین و اند چارچوبهای تخصیص o c اساس بر شده داده قرارداد DH دارند قرار مچ مرکز در همواره با فرض باال مشخص است که حرکت سه لینک آخر موقعیت موقعیت مرکز مچ تنها به سه مفصل ابتدایی وابسته است. را تغییر نمی دهد و بنابراین مبدا چارچوب نهایی )چارچوب ابزار( با انتقال به اندازه z 5 و با شروع از o c می آید )جدول 3.3( o c در امتداد d 6 دست به B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 85

o c o d 6 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 86

R = (r ij ) o بنابراین برای گیری جهت با و نقطه در نهایی مجری اینکه مرکز که است الزم بگیرد قرار مچ o c باشد زیر به صورت. R برابر o 6 x 6 y 6 z 6 چارچوب گیری جهت و پایه به نسبت باشد B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 87

مولفه مولفه های های موقعیت مجری نهایی ( z )o x, o y, o )x c, y c, z c ( مرکز مچ o 0 c )x c, y c, z c 3.41 معادله از استفاده با بودن )معلوم آنجا از و یافت را ابتدایی مفصلی متغیر سه توان می آورد. دست به را دوران ماتریس R 0 3 o 3 x 3 y 3 z 3 چارچوب به نسبت نهایی مجری گیری جهت توان می سپس یافت: زیر رابطه از را B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 88

به صورت توان می را نهایی مفصلی زاویه سه که دید خواهیم بعد در بخش مجموعه با متناظر اویلر زوایای R 3 6 یافت. )شکل 3.12( سازی کوپله دی ایده سینماتیکی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 89

3.3.1 موقعیت وارون رهیافت هندسی )3.40( o 0 c q 1, q 2, q 3 متغیرهای یافتن برای هندسی روش یک معادله در با متناظر شود. می استفاده به دو دلیل روش هندسی استفاده می شود: 1. بسیاری از بازوهای مکانیکی کنونی از نظر سینماتیکی ساده هستند و معموال یکی از )فصل یک( را به همراه یک مچ کروی دارند. 2. روشهای معدودی وجود دارند که توانایی حل مساله سینماتیک وارون کلی را برای را دارند. پیکربندیهای پایه پیکربندی دلخواه B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 90

غیر صفر های مولفه تعداد چه هر بازوها بیشتر برای اما شود. می تر سخت مساله باشد بیشتر لینکها پارامترهای برابر صفر یا و برابر صفر یا هم و است هندسی روش حالتها این در است. ±π/2 i a i, d i ترین ساده از یکی روشهاست. θ 1 ایده کلی روش در این است که q i را با تصویر بازو بر روی صفحه 1 i x 1 i y و حل مساله مثلثاتی ساده به دست می آورد. برای مثال برای به دست آوردن می یابیم. با دو مثال این روش را توضیح می دهیم. بازو را روی صفحه x 0 y 0 تصویر کرده و با استفاده از مثلثات را θ 1 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 91

مثال اول: ربات بندبند )Articulated( )x c, y c, z c ( بازوی آرنجی مولفه های o 0 c عبارت است از oc را روی صفحه x 0 y 0 تصویر میکنیم B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 92

توجه شود که جواب دیگر برای θ 1 به صورت زیر است این جواب منجر به جوابهای متفاوتی برای θ 2 و θ 3 می شود این جوابها برای θ 1 معتبر است مگر آنکه = 0 c x c = y در این حالت (3.44) تعریف نشده است و ربات در وضعیت دارد. قرار تکین B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 93

بنابراین زمانی که o c با z 0 تقاطع دارد بینهایت جواب برای θ 1 وجود خواهد داشت اگر مطابق شکل )3.16( آفست d غیر صفر وجود داشته باشد مرکز مچ نمی تواند با z 0 باشد. در این حالت بسته به اینکه پارامترهای DH چگونه تخصیص داده شده اند خواهیم داشت: d 2 = d or d 3 = d در این حالت تنها دو جواب برای داشته تقاطع وجود دارد. θ 1 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 94

این پیکربندی ها به اصالح از شکل 3.17 داریم: شوند می نامیده راست بازوی و چپ بازوی B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 95

جواب دوم با توجه به شکل 3.18 since cos(θ +π ) = cos(θ) and sin( θ+π ) = sin(θ). B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 96

برای یافتن θ 2, θ 3 برای بازوی آرنجی با معلوم بودن θ 1 صفحه ای که با لینکهای دوم و سوم تشکیل می شود را در نظر میگیریم. چون حرکت لینکهای دو و سه صفحه ای است همانند بازوی دولینکی می توان مساله را حل کرد. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 97

یک فصل روابط از استفاده با )رابطه 1.8 و 1.7( کسینوسها قانون و θ 2 دو جواب برای θ 3 متناظر با موقعیت باالیی و پایینی آرنج است. به طور مشابه برابر است با B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 98

ربات PUMA یک جواب وجود دارد مساله حل در است. آفست دارای بازوهای از نمونه سینماتیک چهار موقعیت وارون هم جواب دو که دید خواهیم ادامه در برای مساله جهت گیری مچ وجوددارد. رویهم PUMA ربات برای بنابراین وجود وارون سینماتیک جواب 8 رفته دارد. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 99

مثال دوم پیکربندی کروی مساله سینماتیک کروی ماهر بازوی برای موقعیت وارون B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 100

همانند بازوی آرنجی جواب دوم B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 101

ریشه دوم منفی برای تقاطعی با d 3 z 0 در نظر گرفته نمی شود بنابراین در این حالت تا زمانی که مرکز مچ ندارد دو جواب به دست می آید. اگر آفست وجود داشته باشد پیکربندیهای بازوی راست و چپ همانند بازوی آرنجی وجود خواهد داشت. )مساله 3.25( B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 102

مساله سینماتیک وارون جهت گیری مساله سینمانیک مقادیر یافتن شامل گیری جهت وارون متغیرهای متناظر که است انتهایی مفصل سه مفصلی o 3 x 3 y 3 z 3 جهتگیری با چارچوب به نسبت مشخص شود. می مجموعه یافتن از است عبارت واقع در مساله این بعدی سه مچ برای ماتریس با متناظر اویلر زوایای داده دوران شده R. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 103

معادله )3.15( نشان داد در رابطه )2.27( دارد. شده داده اویلری تبدیل دوران ماتریس همانند شکلی کروی مچ دوران ماتریس که B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 104

بنابراین همان بخش 2.5.1 روش کنیم. می استفاده کروی مچ مفصلی زاویه سه حل برای را (2.29) (2.34) روابط از استفاده با را اویلر زوایای زیر نگاشت از سپس و آورده دست به کنیم می استفاده B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 105

مثال 3.8 ربات کروی مچ با بند بند B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 107

R 0 3 با ضرب ماتریسهای A i متناظر ماتریس آید. می دست به آرنجی یا بند بند ربات برای حل زوایای اویلر را می توان به معادله باال اعمال کرد. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 108

برای مثال سه معادله به دست آمده از ستون سوم ماتریس باال به صورت زیر است: θ 5 را (3.66) (3.65) عبارت دو هر اگر بنابراین و نباشند صفر معادله از توان می 2.29 و 2.30 آورد دست به θ 6 θ 5 )2.32( اگر عالمت مثبت در رابطه باال انتخاب شود می توان از معادالت )2.31( آورد: و و را به دست B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 109

z 5 z 3 s 5 = 0 به صورت توان می را دیگر جوابهای اگر آورد. دست به تحلیلی محورهای خط هم و θ 4 + θ 6 توان می تنها و است تکین حالت یک این بود. خواهند تواند می حلها از یکی آورد. دست به را )2.38( )2.36( θ 6 روابط از را سپس و شود انتخاب دلخواه به که باشد گونه این θ 4 آورد. دست به و B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 110

حل کامل مثالها مثال 3.9 بازوی آرنجی- به منظور خالصه سازی رهیافت هندسی برای حل معادالت سینماتیک وارون یک جواب سینماتیک وارون برای بازوی شش درجه آزادی آرنجی )شکل 3.13( برای حالتی که مچ کروی دارد و هیچ آفستی هم وجود ندارد نشان داده می شود. با معلوم بودن Then with B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 111

یک مجموعه از متغیرهای مفصلی DH به صورت زیر است جوابهای دیگر را به عنوان تمرین )تمرین 3.24( به دست آورید. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 112

مثال 3.10 بازوی اسکارا سینماتیک مستقیم اسکارا با T 0 4 )رابطه 3.30( تعریف می شود. حل سینماتیک وارون از مجموعه حل های معادله زیر به دست می آید. B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 113

هر شکل راحتی به ممکن H در فضای SE(3) یک جواب برای معادله می توان مشاهده کرد حلی برای )3.81( وجود ندارد چون اسکارا چهار درجه آزادی دارد )3.81( به دست نمی دهد. در حقیقت مگر آنکه R به فرم زیر باشد: در این صورت خواهیم داشت: B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 114

)3.22( x 0 y 0 کردن تصویر با روی صفحه بر ربات پیکربندی شکل حالت می دست به آید: a 1 a 2 B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 115

o y o x a 1 β a 2 θ 1 θ 2 a 2 s 2 را می توان از )3.83( به دست آورد: θ 4 d 3 را می توان به صورت زیر به دست آورد: B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 116

Problems B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 117