laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes. Suspažnt su pagrndnas dskrečasas r tolydžasas tkmybnas modelas r šmokt juos takyt praktkoje. Teorjos klausma. Atstktno dydžo apdrėžmas.. Atstktnų dydžų klasfkacja. 3. Skrstno (passkrstymo) funkcjos apbrėžmas, grafkas r savybės. 4. Tkmybės masės funkcja r jos savybės. 5. Tanko funkcja r jos savybės. 6. Kap rast atstktno dydžo patekmo į duotąjį ntervalą tkmybę? 7. Atstktno dydžo skatnės charakterstkos r jų savybės. 8. Dvmačo dskretaus atstktno dydžo skrstno funkcja r jos savybės. 9. Absoluča tolydžojo dvmačo atstktno dydžo tanks. 0. Kap apskačuojama absoluča tolydžojo dydžo patekmo į plokštumos srtį D tkmybė?. Atstktno vektoraus skatnės charakterstkos.. Sąlygna skrstna. Regresja. 3. Dskretej tkmybna modela (bnomns, Puasono, geometrns, hpergeometrns) r jų savybės. 4. Tolydej tkmybna modela (normaluss, Stjudento, ch-kvadrato, Fšero, eksponentns) r jų savybės. 5. Atstktnų dydžų sekų generavmas. Tkmybų teorjos funkcjų rnknys sstemoje Mathcad Sstemoje MathCad yra funkcjų rnknys skrtas tkmybų teorjos uždavnų sprendmu. Prmoj šų funkcjų vardo radė nusako jų paskrtį : d - dskrečojo atstktno dydžo tkmybų masės funkcjos arba tolydydžojo atstktno dydžo tanko funkcjos rekšmų skačavmas; p - skrstno funkcjos rekšmų skačavmas; q - kvantlų skačavmas; r - atstktnų dydžų sekų generavmas. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas Puasono (Posson) Stjudento (Student's) Tolyguss (Unform) X ~P(λ) X ~t(ν) X ~TT(a,b) ppos(, λ) pt(, ν) punf(, a, b) Vebulo (Webull) X ~W(s) dwebull(, s) Tpnų uždavnų sprendmas Skrstno funkcja Skrstno funkcja (dstrbuton functon) - ta funkcja, kur kekvena rekšme prskra tkmybę, kad atstktns dyds X bus ne ddesns už, F () PX ( ). Tarkme, kad dskretuss atstktns dyds X tur skrstnį : 4 5 p : 0. 0. 0.3 Užrašysme skrstno funkcją r nubražysme jos grafką. F (): 0 f < 0. f < 0.3 f < 4 0.6 f 4 < 5 f 5 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas :.. 6. 0.8 F ( ) 0.6 0. 0 3 4 5 6 0. pav. Atstktno dydžo X skrstno funkcja Apskačuosme skrstno funkcjos rekšmę taške 4, F4 ( ) 0.6. Išvada. Tkmybė, kad atstktns dyds X bus ne ddesns už 4 lyg 0,6. Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X bus: ne ddesns už ; ddesns už 4; [ PX ( ) ] : F ( ) [ PX ( ) ] 0.3 [ PX ( > 4) ] : F( 4) [ PX ( > 4) ] Duota tolydžojo atstktno dydžo Y skrstno funkcja Fy ( ) : 0 f y < ( y 3 + ) f y < 9 f y KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 3
laboratorns darbas Nubražysme skrstno funkcjos grafką y :,.99.. 3. 0.8 F( y) 0.6 0. 0 3 0. y pav. Atstktno dydžo Y skrstno funkcja Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds Y: bus ne ddesns už.5; bus ddesns už ; pateks į ntervalą tarp 0 r. pateks į ntervalą tarp - r 3. [ P( X.5) ] : F(.5) [ P( X.5) ] 86 [ PX ( > ) ] : F( ) [ PX ( > ) ] 0.778 [ P0 ( X ) ] : F ( ) F( 0) [ P0 ( X ) ] 0. [ P( X 3) ] : F3 ( ) F( ) [ P( X 3) ] KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 4
laboratorns darbas Tkmybės masės r tanko funkcjos Tkmybės masės funkcja (probablty mass functon arba trumpa probablty functon ) - ta funkcja, kur kekvena dskretaus atstktno dydžo X rekšme prskra tkmybę p ( ) PX ( ). Tarkme, kad dskretuss atstktns dyds X tur skrstnį : p : 4 5 0. 0. 0.3. Nubražysme atstktno dydžo X tkmybės masės funkcjos grafką. 0.3 p 0. 0. 0 3 4 5 6 3 pav. Atstktno dydžo X tkmybės masės funkcja Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X bus: ne ddesns už 4; ddesns už 4; ORIGIN: KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 5
laboratorns darbas 3 [ PX ( 4) ] : [ PX ( 4) ] 0.6 p [ PX ( > 4) ] : p 4 [ PX ( > 4) ] Duota tolydžojo atstktno dydžo Y skrstno funkcja Fy ( ) : 0 f y < ( y 3 + ) f y < 9 f y Rasme tanko funkcją p(y) r nubražysme jos grafką. py ( ) F' ( y) Ka y < - r y, ta Ka Tag y <, ta d dy 9 ( ) y 3 + d dy py ( ) 0.. 3 y py ( ) : 0 f y < 3 y f y < 0 f y Nubražysme tanko funkcjos grafką r apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds Y : bus ne ddesns už.5; bus ddesns už ; pateks į ntervalą tarp 0 r ; pateks į ntervalą tarp - r 3; bus lygus. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 6
laboratorns darbas y :,.999.. 3.4. 0.8 py ( ) 0.6 0. 0 3 0. y 4 pav. Atstktno dydžo Y tanko funkcja.5 [ P( Y.5) ] : py ( ) dy [ P( Y.5) ] 86 [ PY ( > ) ] : py ( ) dy [ PX ( > ) ] 0.778 [ P0 ( Y ) ] : py ( ) dy [ P0 ( Y ) ] 0. 0 3 [ P( Y 3) ] : py ( ) dy [ P( Y 3 ] [ P( Y) ] : py ( ) dy [ P( Y) ] 0 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 7
laboratorns darbas Skatnų charakterstkų skačavmas Atstktno dydžo pagrndnės skatnės charakterstkos yra vdurks, dspersja r standartns nuokryps. Tarkme dskretuss atstktns dyds X tur skrstnį : 4 5 p : 0. 0. 0.3 Rasme atstktno dydžo X vdurkį, dspersją r vdutnį kvadratnį nuokrypį. ORIGIN: MX : 4 p MX 3.5 DX : 4 ( MX) p DX 3.45 SX : DX SX.86 Tolydžojo atstktno dydžo Y skatnės charakterstkos šreškamos ntegralas: MY y p( y) dy DY Rasme atstktno dydžo Y, kuro tanks py ( ) vdurkį, dspersją r standartnį nuokrypį. py ( ) : 0 f y < 3 y f y < 0 f y ( y MY) py ( ) dy KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 8
laboratorns darbas MY : DY : y p( y) dy ( y MY) py ( ) dy MY.5 DY 0.64 SY : DY SY 0.8 Dvmača atstktna vektora. Dskretej dvmača vektora Duotas dvmačo atstktno dydžo (X,Y) skrstnys X\Y 4 6 0. 0. 4 0. 0 0. ORIGIN: XY : "X\Y" 4 0. 4 0. 0 6 0. 0. Rasme koordnačų X r Y skrstnus (besąlygnus). Pažymėkme p j ( ), [ P X, Yy j ]. Iš matrcos XY šskrame X r Y galmų rekšmų vektorus r y be tk matrcą p. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 9
laboratorns darbas y : submatr( XY,,,, 4) T p : submatr( XY,, 3,, 4) Skačuojame atstktno dydžo X rekšmų tkmybes p (besąlygnes) :.. p : Atstktno dydžo X skrstnys yra: 3 j p j, 4 p 0.7 0.3 Išvada. Tkmybė, kad X įgs rekšmę lyg 0,7, o rekšmę 4 lyg 0,3. Skačuojame atstktno dydžo X vdurkį MX, dspersją DX r standartnį nuokrypį SX (besąlygnus): MX : DX : p ( MX) p MX.6 DX 0.84 SX : DX SX 0.9 Skačuojame atstktno dydžo Y rekšmų tkmybes p y (besąlygnes) j:.. 3 p y j : Atstktno dydžo Y skrstnys yra: p j, y j 4 6 p yj 0.5 0. 0.3 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 0
laboratorns darbas Skačuojame atstktno dydžo Y vdurkį MY, dspersją DY r standartnį nuokrypį SY (besąlygnus): MY : DY : j 3 3 j y j y j p yj ( MY) p yj MY 3. DY 4.89 SY : DY SY. Rasme X sąlygnį skrstnį X Yy, sąlygnį vdurkį M( X Yy ), X r Y kovaracją be korelacjos koefcentą. Sąlygnės tkmybes [ P( X Yy )] ( ) [ ( )] [ P X, Yy ] P Yy p, p y vadnamos dskrečojo atstktno dydžo X sąlygnu skrstnu, ka Y y 4 p, p y p, p y 0.8 0. Išvada. Ka Y tkmybė, kad X įgs rekšmę yra lyg 0,8, o rekšmės 4 įgjmo tkmybė yra 0,. [ M( X Yy )] : Skačuojame X r Y kovaracją [ cov( X, Y) ] : p, p y 3 j ( MX) y j MY [ M( X Yy )].4 ( ) p j, KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas [ cov( X, Y) ] 0.74 r korelacjos koefcentą [ cov( X, Y) ] ρ : DX DY ρ 0.365. Tolydej dvmača vektora Duotas dvmačo atstktno dydžo (X,Y) tanks py (, ) : + f + y 0 f + y >. Apskačuosme tkmybę, kad atstktns dyds (X,Y) pateks į skrtulį + y 0.5 (srtį D). [ P ( (X,Y) D )] : 0.5 0.5 [ P ( (X,Y) D )] 0.609 py (, ) dy Rasme venmačų atstktnų dydžų X r Y tankus (margnaluosus). Preš ntegralų skačavmą rašome prskyrmo operatorus : y : y nes a tlekant smbolnus (symbolc) skačavmus su Mathcad, reka atšaukt vsus ankstesnus rekšmų prskyrmus kntamesems. Jegu, preš ta kntamesems nebuvo prskrtos rekšmės, ta šų operatorų nereka rašyt. Atstktno dydžo X tanko funkcją yra, KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas p X () : + 0 f > dy f. Apskačavę ntegralą + dy ( ) gauname ekvvalentšką X tanko šrašką ( + ) p X () ( + ) : f 0 f >. Apskačuojame X vdurkį (besąlygnį) MX : p X () MX 0.5 Atstktno dydžo Y tanko funkcja yra p Y ( y) : y y + 0 f y > f y KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 3
laboratorns darbas p X () : + 0 f > dy f. Apskačavę ntegralą + dy ( ) gauname ekvvalentšką X tanko šrašką ( + ) p X () ( + ) : f 0 f >. Apskačuojame X vdurkį (besąlygnį) MX : p X () MX 0.5 Atstktno dydžo Y tanko funkcja yra p Y ( y) : y y + 0 f y > f y KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 4
laboratorns darbas Apskačuojame Y vdurkį (besąlygnį) MY : g () [ M ( Y X )] Funkcja g() vadnama atstktno dydžo Y regresja X atžvlgu. g () [ p Y ( y ) ] [ p Y ( y ) ] [ p Y ( y ) ] Randame atstktno dydžo Y sąlygnį vdurkį. : g () 0 yp Y ( y) dy : py (, ) p X () + y ( y [ p Y ( y ) ]) [ p Y ( y ) ] dy Rasme atstktno dydžo X sąlygnį vdurkį. ( ) MY 0 Atstktno dydžo Y sąlygns tanks ( + ),, dy.. y py (, ) p X () dy φ( y) [ M ( X Yy )] [ p X ( y) ] py (, ) p Y ( y) Funkcja φ( y)vadnama atstktno dydžo X regresja Y atžvlgu. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 5
laboratorns darbas φ( y) : y y + +, y. φ( y) 3 ( y ) φ( y) : 3 y y : 0.99, 0.98.. 0.99 0.8 0.6 φ( y) 0. 0.5 0 0.5 5 pav. Regresjos funkcja φ(y) y Dvmačo normalojo skrstno tanko funkcj Dvmatį normalųjį skrstnį sutrumpnta žymėsme ( X, Y) Dvmačo normalojo skrstno tanks prklauso nuo 5 parametrų. Nubražysme tanko pavršų, ka ρ : 0. ~ ( ) N µ, µ, σ, σ, ρ, ča ρ korelacjos koefcentas, < ρ <. µ : 0 σ : µ y : 0 σ y : KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 6
laboratorns darbas k : ρ σ py (, ) : k e σ y ρ ( ) µ σ ρ µ σ y µ y σ y + y µ y σ y Sudarysme funkcjos rekšmų matrcą r nubražysme dvmačo normalojo skrstno tanko funkcjos grafką ORIGIN: 0 N: 30 : 0.. N j: 0.. N ( ) + ( 3 σ ) norm : µ 3 σ ( ) + ( 3 σ y ) y norm : µ y 3 σ y N N ( ) Dvmats_Normaluss, j : p norm, y normj k : p (, y ) : k e ( ) σ σ y ρ ρ σ µ ρ µ y σ Sudarysme funkcjos rekšmų matrcą r nubražysme dvmačo normalojo skrstno tanko funkcjos grafką ORIGIN : 0 N : 30 : 0.. N j : 0.. N norm : µ 3 σ ( ) + ( 3 σ ) N norm y norm y norm : µ y 3 σ y ( ) + ( 3 σ y ) N Dvmats_Normaluss, j : p (, ) j µ y y + σ y σ y µ y 6 pav. Dvmačo normalojo skrstno tanks KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 7
laboratorns darbas Dskretej tkmybna modela Atstktnį dydį, kurs įgyja rekšmes š bagtnės arba skačos rekšmų abes vadname dskrečuoju. Skat rekšmų abė - ta begalnė abė, kuros elementus galma sunumeruot (pvz., vsų natūralųjų skačų abė). Dažnausa praktkoje pastako še dskretej skrstna: bnomns, geometrns, hpergeometrns r Puasono. Bnomns skrstnys. Nubražysme bnomno skrstno funkcjos grafką, ka parametra n4 r p0.5. :.. 6. 0.8 pbnom(, 4, 0.5) 0.6 0. 0 3 4 5 6 0. 7 pav. Bnomno skrstno funkcja Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X~B(4, 0.5) bus: ne ddesns už ; ne ddesns už 3; lygus 3. [ PX ( ) ] : pbnom(, 4, 0.5) [ PX ( ) ] 0.687 [ PX ( 3) ] : pbnom( 3, 4, 0.5) [ PX ( 3) ] 0.938 [ P( X3) ] : [ PX ( 3) ] [ PX ( ) ] [ P( X3) ] 0.5 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 8
laboratorns darbas Nubražysme bnomno skrstno su parametras n4 r p0.5 tkmybės masės funkcjos grafką. : 0.. 4 0.3 dbnom(, 4, 0.5) 0. 0. 0 0 3 4 5 8 pav. Bnomno skrstno tkmybės masės funkcja Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X~B(4, 0.5): bus lygus 3; pateks į ntervalą [ ; 3]; bus ne ddesns už ; [ P( X3) ] : dbnom( 3, 4, 0.5) [ P( X3) ] 0.5 3 [ P ( X 3) ] : dbnom(, 4, 0.5) [ P ( X 3) ] 0.875 [ PX ( ) ] : dbnom(, 4, 0.5) [ PX ( ) ] 0.688 0 6. Tolydej tkmybna modela Atstktnį dydį, kurs gal įgyt kekveną rekšmę š bagtno arba begalno ntervalo vadname tolydžuoju. Dažnausa praktkoje pastako še tolydej skrstna: normaluss, Stjudento,eksponentns, tolyguss tolyduss, ch-kvadrato, Fšero, beta, gama r Vebulo. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 9
laboratorns darbas Normaluss skrstnys. Nubražysme normalaus skrstno funkcjos grafką, ka parametra µ : 0, σ : 3. : 0, 9.5.. 0 0.8 ( ) pnorm, µ, σ 0.6 0. 0 8 6 4 0 4 6 8 0 9 pav. Normalojo skrstno funkcja Apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X~N(µ, σ): bus ne ddesns už ; bus ne ddesns už 4; pateks į ntervalą tarp r 4. ( ) [ PX ( ) ] : pnorm, µ, σ [ PX ( ) ] 0.748 ( ) [ PX ( 4) ] : pnorm 4, µ, σ [ PX ( 4) ] 0.909 [ P ( X 4 ] : [ PX ( 4) ] [ PX ( ) ] [ P ( X 4 ] 0.6 Nubražysme normalaus skrstno tanko funkcjos grafką, ka parametra µ0 r σ3 be apskačuosme tkmybes, kad atstktns dyds X~N(0, 3): bus ne ddesns už ; bus ne ddesns už 6; pateks į ntervalą [ ; 6 ]; bus lygus. KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 0
laboratorns darbas : 0, 9.5.. 0 0.5 0. dnorm(, 0, 3) 0.09 0.06 0.03 0 6 6 0 0 pav. Normalojo skrstno tanks [ PX ( ) ] : dnorm(, 0, 3) [ PX ( ) ] 0.748 6 [ PX ( 6) ] : dnorm(, 0, 3) [ PX ( 6) ] 0.977 [ P ( X 6) ] : dnorm(, 0, 3) [ P ( X 6) ] 0.3 [ P( X) ] 6 : dnorm(, 0, 3) [ P( X) ] 0 Tolydžojo atstktno dydžo X skatnės charakterstkos šreškamos ntegralas: MX p() DX ( MX) p () KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas Pavyzdžu, normalojo skrstno tanko funkcja p () σ e ( µ ) σ, σ > 0. µ : µ Skačuojame vdurkį σ: σ : σ e ( µ ) ( ) σ smplfy µ r standartnį nuokrypį ( µ ) σ e ( µ ) ( ) σ smplfy σ Pastaba. Preš ntegralų skačavmą rašome prskyrmo operatorus µ : µ σ: σ :, nes atlekant smbolnus (symbolc) skačavmus su Mathcad, reka atšauka vsus ankstesnus rekšmų prskyrmus kntamesems. Jegu, preš ta kntamesems nebuvo prskrtos rekšmės, ta šų operatorų nereka rašyt. Kvantlų skačavmas Apskačuosme s tandartno normalojo skrstno 0,05 r 0,95 kvantlus. Tarkme, kad Z~N(0,), tuomet [ ] : qnorm( 0.05, 0, ) z 0.05 [ ].645 z 0.05 P( Z.645)0.05 [ ] : qnorm( 0.95, 0, ) z 0.95 [ z 0.95 ].645 P( Z.645)0.95 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003
laboratorns darbas Apskačuosme Stjudento skrstno 0,05 r 0,95 kvantlus. Tarkme, kad T~t(0), tuomet [ t 0.05; 0 ] : qt( 0.05, 0) [ t 0.05; 0 ].8 [ t 0.95; 0 ] : qt( 0.95, 0) [ t 0.95; 0 ].8 Atstktnų skačų sekų generavmas Sugeneruosme 6 atstktnus skačus, kurų skrstnys yra normaluss su vdurku r standartnu nuokrypu. rnorm( 6,, ).56.306.567.0485 0.343.0435 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Takomosos matematkos katedra, 003 3