Ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Μιχαήλ Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου

Ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος Μιχαήλ Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Στην παρούσα έρευνα εξετάζεται ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος (ΕΜΠ), στα πλαίσια ενός πειραματικού μοντέλου επικοινωνίας αλληλεπίδρασης μεταξύ ερευνητή μαθητών και μαθητών μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα, η έρευνα μελετά την επίδραση του γεωμετρικού σχήματος στη συμπεριφορά τεσσάρων μαθητών Στ Δημοτικού κατά την ΕΜΠ, σε σχέση με τις διάφορες κατηγορίες προβλημάτων (προβλήματα λειτουργικής σύλληψης: τροποποιήσεις μερολογικές, οπτικές, αλλαγής θέσης/ πρόβλημα αντιληπτικής σύλληψης), τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές ως προς τη χρήση του γεωμετρικού σχήματος σε κάθε κατηγορία προβλήματος (αναλυτική σκέψη, εξεικόνιση ή συνδυασμός των δύο) και τις απόψεις τους αναφορικά με το ρόλο του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση προβλήματος. Επιπλέον, συζητούνται τα χαρακτηριστικά της επικοινωνίας των μαθητών κατά τη μεταφορά προφορικού νοήματος κατά την ΕΜΠ. Εισαγωγή Αναπαραστάσεις και Επίλυση Μαθηματικού Προβλήματος Η σημασία της εξεικόνισης στην ΕΜΠ υποστηρίζεται από τα πορίσματα μελετών, που επισημαίνουν ότι η ικανότητα να σχηματίζει κανείς εικόνες (images) μαθηματικών σχέσεων είναι αναγκαία για την αποτελεσματική ΕΜΠ (Bοοth and Thomas, 2000, στο Elia and Philippou, 2004). Η εξεικόνιση στα πλαίσια της ΕΜΠ σημαίνει την κατανόηση του προβλήματος με τη δημιουργία ή χρήση ενός διαγράμματος ή μιας εικόνας που βοηθά στην επίλυσή του. Ειδικότερα, η εξεικόνιση αποτελεί μια από τις λειτουργίες που εμπλέκονται στο γεωμετρικό συλλογισμό (Duval, 1998). Η εξεικόνιση αποτελεί τη διαδικασία που σχετίζεται με την αναπαράσταση του χώρου για επεξήγηση μιας δήλωσης, για διερεύνηση πολύπλοκων καταστάσεων, για συνοπτική αντίληψη του χώρου ή για υποκειμενική επιβεβαίωση. Στις διαδικασίες εξεικόνισης εμπίπτει η οπτική αναπαράσταση μιας γεωμετρικής πρότασης. Από πολλούς παιδαγωγούς επισημαίνεται ότι ένα πρόβλημα μπορεί να λυθεί με ένα ή περισσότερα μέσα που μπορεί να περιλαμβάνουν εξεικόνιση ή όχι (Lowrie, 2000 στο Elia and Philippou, 2004). Μια άλλη προσέγγιση κατά την ΕΜΠ είναι η αναλυτική, που σύμφωνα με τον Zazkis και τους συνεργάτες του (1996, στο Elia and Philippou, 2004) είναι «οποιοσδήποτε νοητικός χειρισμός αντικειμένων και διαδικασιών με ή χωρίς τη βοήθεια των συμβόλων». Ο συνδυασμός των δυο στρατηγικών, της εξεικόνισης και της αναλυτική προσέγγισης, συντελεί σε βελτίωση της επίδοσης στην ΕΜΠ. Το Γεωμετρικό Σχήμα ως Αναπαράσταση Κατά την επίλυση γεωμετρικού προβλήματος τα σύγχρονα προγράμματα των μαθηματικών (NCTM, 2000) τονίζουν τη χρήση οπτικοποίησης, χωρικής αιτιολόγησης και γεωμετρικών μοντέλων. Στη Γεωμετρία εμπλέκονται τρία συστήματα αναπαράστασης: 1) της φυσικής γλώσσας, 2) των συμβόλων, 3) το σχηματικό (Mesquita, 1996). Η μάθηση της γεωμετρίας βασίζεται σε μια συνεχή 37

αλληλεπίδραση ανάμεσα στη θεωρία και στα διαγράμματα. Η θεωρία στηρίζει τη γνώση και το θεωρητικό έλεγχο, ενώ τα σχήματα ενισχύουν την οπτική αντίληψη με την πιθανή βοήθεια γεωμετρικών οργάνων ή άλλων μέσων. Ο όρος σχήμα είναι ταυτόσημος με την εξωτερική, εικονική αναπαράσταση μιας έννοιας ή κατάστασης στη γεωμετρία (Mesquita, 1998). Ο Fischbein (1993), αναφέρει πως το γεωμετρικό σχήμα μπορεί να περιγραφεί έχοντας εννοιολογικές ιδιότητες, αλλά δεν αποτελεί μια γνήσια έννοια. Αποτελεί μια οπτική εικόνα, η οποία κατέχει μια ιδιότητα που οι συνηθισμένες έννοιες δεν κατέχουν, αφού περιλαμβάνει τη νοητή αναπαράσταση των ιδιοτήτων του χώρου. Η χρησιμότητα του γεωμετρικού σχήματος κατά την ανάλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος θεωρείται αδιαμφισβήτητη, αφού παρέχει μια διαισθητική παρουσίαση των συνιστωσών και σχέσεων σε μια γεωμετρική κατάσταση (Duval, 1995). Ο Duval πραγματοποίησε μια προσέγγιση από γνωστική σκοπιά, κατά την οποία καθορίζονται οι γνωστικές διαδικασίες που εμπλέκονται στη γεωμετρική σκέψη. Στην ανάλυση του κεντρική θέση κατέχει η περιγραφή τεσσάρων τύπων γνωστικής κατανόησης, μέσα από τους οποίους οι μαθητές προσεγγίζουν το γεωμετρικό σχήμα: 1. Αντιληπτική κατανόηση (perceptual apprehension): Συνίσταται στην κατανόηση της συνολικής μορφής του σχήματος και στη διάκριση των υπο-σχημάτων του, με τρόπο όμως που δεν επιτρέπει περαιτέρω επεξεργασία του. 2. Σειριακή κατανόηση (sequential apprehension): Απαιτείται κατά την κατασκευή ή την περιγραφή της κατασκευής ενός σχήματος. 3. Λεκτική κατανόηση (discursive apprehension): Συνδέεται με την αδυναμία προσδιορισμού των μαθηματικών σχέσεων σε ένα σχήμα μόνο από την αντιληπτική κατανόηση, αφού απαιτείται και λεκτική περιγραφή του. 4. Λειτουργική κατανόηση (operative apprehension): Μας εξασφαλίζει πρόσβαση στη λύση του προβλήματος. Εξαρτάται από τους διάφορους τρόπους τροποποίησης ενός σχήματος, που μπορούν να οδηγήσουν σε μετασχηματισμούς που υποβοηθούν την επίλυση του προβλήματος. Οι μερολογικές (mereologic) τροποποιήσεις αφορούν στη διάσπαση του ολόκληρου σχήματος σε διάφορα υποσχήματα, στο συνδυασμό των υποσχημάτων αυτών σε ένα άλλο ενιαίο σχήμα και στην εμφάνιση νέων υποσχημάτων. Οι οπτικές (optic) τροποποιήσεις επιτρέπουν τη σμίκρυνση ή μεγέθυνση του σχήματος ή το να εμφανίζεται λοξό, σαν να γίνεται χρήση φακών. Με τις τροποποιήσεις αλλαγής θέσης (place way) αλλάζει ο προσανατολισμός του σχήματος στο επίπεδο της εικόνας. Οι διάφορες αυτές λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν είτε νοερά, είτε φυσικά. Συνθέτουν μια συγκεκριμένη επεξεργασία του σχήματος, η οποία του προσδίδει μια ευρετική λειτουργία. Ο ρόλος της αντιληπτικής, της λειτουργικής, της σειριακής και της λεκτικής κατανόησης στην κατανόηση γεωμετρικού σχήματος έχει επιβεβαιωθεί πρόσφατα (Deliyianni, Michael, Monoyiou, Gagatsis, and Elia, 2011). Διερευνήθηκε, ακόμη, ο ρόλος των τριών τύπων τροποποίησης σχήματος στη λειτουργική κατανόηση και επιβεβαιώθηκε ένα δομικό μοντέλο (Michael, Elia, Gagatsis and Kalogirou, 2010), με το οποίο υποστηρίχτηκαν οι απόψεις του Duval (1995) για τις γνωστικές λειτουργίες που εμπλέκονται στη λειτουργική κατανόηση σχήματος. 38

Μεθοδολογία Στην παρούσα έρευνα εξετάζεται ο ρόλος του γεωμετρικού σχήματος με βάση την εκάστοτε λειτουργία του στην ΕΜΠ, σε μαθητές Στ τάξης Δημοτικού, στα πλαίσια ενός πειραματικού μοντέλου επικοινωνίας αλληλεπίδρασης (Σχήμα 1) μεταξύ ερευνητή μαθητών και μαθητών μεταξύ τους. Σε αυτό το μοντέλο επικοινωνίας (Weber-Kubler, 1982) παρεμβαίνουν δύο μηχανισμοί που αναφέρονται στον πομπό και στο δέκτη των πληροφοριών. Πομπός είναι ο ερευνητής ή ένας μαθητής που περιγράφει λεκτικά το πρόβλημα και δέκτης ένας άλλος μαθητής που προσπαθεί να το λύσει με τη χρήση (ή μη) εικόνας (στην περίπτωσή μας γεωμετρικό σχήμα). Συγκεκριμένα, στα πλαίσια του μοντέλου επικοινωνίας ο ερευνητής περιγράφει λεκτικά το πρόβλημα στο μαθητή 1, έτσι ώστε να το λύσει σε αλληλεπίδραση με τον ερευνητή. Ακολούθως, ανεξάρτητα από την επιτυχία της λύσης, δίνεται στο μαθητή 1 σε γραπτή μορφή το πρόβλημα συνοδευόμενο από το γεωμετρικό σχήμα για ανατροφοδότηση (διορθωτική ή μη) και εκ νέου επίλυση, ώστε να διαπιστωθεί τυχόν αλλαγή στη διαδικασία λύσης του. Έπειτα, ο μαθητής 1 γίνεται πομπός και εκφωνεί το πρόβλημα στο μαθητή 2, ανακαλώντας και επιλέγοντας πληροφορίες του προβλήματος με ή χωρίς την περιγραφή του σχήματος ή επί μέρους στοιχείων του. Ο μαθητής 2 προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα σε αλληλεπίδραση με το μαθητή 1 και με παρεμβάσεις του ερευνητή (όποτε θεωρείται αναγκαίο). Τέλος, δίνεται στο μαθητή 2 το πρόβλημα σε γραπτή μορφή μαζί με το σχήμα για εκ νέου επίλυσή του. Συγκεκριμένα, τα ερευνητικά ερωτήματα με τα οποία καταπιάνεται η έρευνα είναι τα ακόλουθα: 1. Ποια είναι η επίδραση του γεωμετρικού σχήματος στη συμπεριφορά των μαθητών κατά την ΕΜΠ, σε σχέση με τις διάφορες κατηγορίες προβλημάτων (προβλήματα λειτουργικής κατανόησης: τροποποιήσεις μερολογικές οπτικές αλλαγής θέσης και πρόβλημα αντιληπτικής κατανόησης); 2. Ποια/ες στρατηγική/ές επίλυσης χρησιμοποιούν οι μαθητές σε κάθε κατηγορία προβλήματος (αναλυτική σκέψη/ εξεικόνιση/ συνδυασμός των δύο); 3. Ποιες είναι οι απόψεις των μαθητών για το ρόλο του γεωμετρικού σχήματος στην επίλυση προβλήματος; 4. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της επικοινωνίας των μαθητών κατά τη μεταφορά προφορικού νοήματος κατά την επίλυση προβλήματος; Η έρευνα πραγματοποιήθηκε με τη συμμετοχή δύο κοριτσιών (Α1 πομπός, Α2 δέκτης) και δύο αγοριών (Β1 πομπός, Β2 δέκτης) Στ τάξης δημοτικού σχολείου, με επίδοση πάνω από το μέτριο. Οι πληροφορίες για την επίδοση των μαθητών πάρθηκαν από τους διδάσκοντες τους. Η συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκε με τη χρήση τριών μεθόδων: δοκίμιο, παρατήρηση και συνέντευξη. Στους μαθητές χορηγήθηκε δοκίμιο το οποίο περιλάμβανε 4 προβλήματα γεωμετρίας που συνοδεύονταν από γεωμετρικό σχήμα (βλέπε Παράρτημα). Για την επίλυση των προβλημάτων ήταν απαραίτητη η εμπλοκή της λειτουργικής κατανόησης σχήματος και συγκεκριμένα των τριών ειδών τροποποίησης γεωμετρικού σχήματος, αντίστοιχα (πρόβλημα 1: οπτική, πρόβλημα 2: αλλαγής θέσης, πρόβλημα 3: μερολογική), ενώ το τέταρτο έργο εξέταζε την αντιληπτική κατανόηση του γεωμετρικού σχήματος. Για κάθε πρόβλημα οι μαθητές καλούνταν να περιγράψουν τη διαδικασία λύσης που ακολούθησαν και να εξηγήσουν με ποιο τρόπο τους βοήθησε το σχήμα. 39

Σχήμα 1: Το Μοντέλο Διεξαγωγής του Πειράματος Επικοινωνίας Αποτελέσματα Συμπεριφορές μαθητών κατά την ΕΜΠ Από την ανάλυση των δεδομένων προκύπτουν ομοιότητες, αλλά και διαφοροποιήσεις στις συμπεριφορές των μαθητών κατά την ΕΜΠ (Πίνακας 1), αναφορικά με τον τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων, το σχεδιασμό σχήματος και τη χρήση του δοσμένου σχήματος. Συνέπεια στη συμπεριφορά των μαθητών παρουσιάζεται τόσο στη χρήση της εξεικόνισης, όσο και της αναλυτικής μεθόδου κατά την ΕΜΠ. Ειδικότερα, για την επίλυση του πρώτου προβλήματος, που εμπλέκει οπτική τροποποίηση σχήματος (μεγέθυνση), οι μαθητές χρησιμοποιούν το συνδυασμό εξεικόνισης και αναλυτικής μεθόδου. Συγκεκριμένα, οι δύο μαθήτριες του πρώτου πειράματος (Α1, Α2) κάνουν το δικό τους σχήμα, ενώ οι δύο μαθητές του δεύτερου πειράματος (Β1, Β2) προσεγγίζουν το πρόβλημα αναλυτικά. Η συμπεριφορά των μαθητών διαφοροποιείται όταν έρχονται σε επαφή με το δοσμένο σχήμα. Οι μαθητές που δε χρησιμοποίησαν την εξεικόνιση κατά την πρώτη επίλυση του προβλήματος, στη συνέχεια χρησιμοποιούν το δοσμένο σχήμα, ενώ συμβαίνει το αντίθετο με μια από τις δύο μαθήτριες που σχεδίασαν σχήμα. Ο ρόλος του σχήματος αναδεικνύεται ενισχυτικός και βοηθητικός για τους μαθητές. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η περίπτωση της μαθήτριας, η οποία αρχικά παρουσίασε δυσκολίες κατά την επίλυση του προβλήματος και εξέφρασε την ανάγκη για σχεδίαση σχήματος («Γίνεται να σου το κάνω με εικόνα;»). Όντως, το σχήμα είχε ενισχυτικό ρόλο για αυτή, αφού σχεδιάζοντας το και σημειώνοντας σε αυτό τα δεδομένα για τις πλευρές, κατάλαβε πώς θα υπολογίσει την περίμετρο. Έτσι, οδηγήθηκε σε επιτυχή λύση του προβλήματος και συνειδητοποίησε ότι το σχήμα είχε πράγματι βοηθητικό ρόλο, εκφράζοντας ότι το πρόβλημα με το δοσμένο σχήμα ήταν πιο ξεκάθαρο για εκείνη. Ο ενισχυτικός ρόλος του σχήματος αναδεικνύεται και στην περίπτωση του μαθητή Β1, ο οποίος για την εύρεση της περιμέτρου κατά την πρώτη επίλυση του προβλήματος προσθέτει μόνο τις δύο πλευρές του σχήματος. Στη συνέχεια, με τη χρήση του δοσμένου σχήματος ο μαθητής βρίσκει σωστά την 40

περίμετρο, παρέχοντας άλλη μια ένδειξη για τον καθοριστικό ρόλο της παρουσίας σχημάτων, αφού ο μαθητής δηλώνει πως «το πρόβλημα στο φυλλάδιο ήταν πιο εύκολο, γιατί έβλεπε». Πίνακας 1: Συνοπτική Παρουσίαση Αποτελεσμάτων της Συμπεριφοράς των Μαθητών κατά την ΕΜΠ Μαθητές Συμπεριφορές Είδος προβλήματος Α1 Α2 Β1 Β2 Εξεικόνιση Οπτικό Αλλαγής θέσης Μερολογικό Αντιληπτικό Αναλυτική προσέγγιση Δημιουργία τους σχήματος Αξιοποίηση του σχήματος δικού δοσμένου Οπτικό Αλλαγής θέσης Μερολογικό Αντιληπτικό Οπτικό Αλλαγής θέσης Μερολογικό Αντιληπτικό Οπτικό Αλλαγής θέσης Μερολογικό Αντιληπτικό Για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος, όπου το σχήμα απαιτεί τροποποίηση αλλαγής θέσης, οι μαθητές εμπλέκουν και την εξεικόνιση και την αναλυτική μέθοδο. Και οι τέσσερις μαθητές δημιουργούν ένα δικό τους σχήμα, το οποίο χρησιμοποιούν για να καταγράψουν τα δεδομένα του προβλήματος και για να το κατανοήσουν. Το δοσμένο σχήμα χρησιμοποιείται από τους τρεις μαθητές. Φαίνεται, λοιπόν, πως και σε αυτό το πρόβλημα ο ρόλος του σχήματος προκύπτει ουσιαστικός για την κατανόηση και την επιτυχή επίλυσή του. Μάλιστα, σε δύο περιπτώσεις το σχήμα καθίσταται, όχι μόνο βοηθητικό, αλλά και απαραίτητο για τη λύση. Στην πρώτη περίπτωση, η μαθήτρια δεν μπορεί να φτιάξει τη νέα φιγούρα που ζητείται («Μα δε σχηματίζεται κανένα σχήμα. Τι θα βγει, δε θα βγει τίποτε. Δεν ενώνεται»), έτσι συνειδητοποιεί ότι δεν έχει κατανοήσει πλήρως το πρόβλημα («Ναι, αλλά πρέπει να βρεις ένα σχήμα. Αλλά δε βρίσκεις κανένα σχήμα με αυτά».) και δεν μπορεί να προχωρήσει, «γιατί δεν ξέρει τι σχήμα είναι». Η συμπεριφορά της αλλάζει όταν το πρόβλημα συνοδεύεται από σχήμα, αφού στο φυλλάδιο οπτικοποιεί πλέον τη νέα φιγούρα. Η αποτυχία στη σχεδίαση του σχήματος οφειλόταν, λοιπόν, στο ότι «δεν κατάλαβε ότι θα ενώσει και τα δύο τρίγωνα για να φτιάξει τη φιγούρα». Η δεύτερη περίπτωση αφορά στο μαθητή Β2, ο οποίος δοκιμάζει αρκετές φορές να σχεδιάσει το σχήμα. Η αποτυχία του στην κατασκευή του σχήματος δεν του επιτρέπει να συνεχίσει με τα ερωτήματα της άσκησης. Αναδεικνύεται, συνεπώς, ο καταλυτικός ρόλος του σχήματος, αφού ο μαθητής φαίνεται να εξαρτάται από το σχήμα για να λύσει το πρόβλημα. Αυτό ενισχύεται και από τη δεύτερη επίλυση του προβλήματος που ήταν επιτυχής, λόγω του ότι έγινε χρήση του δοσμένου σχήματος. 41

Αναφορικά με την επίλυση του τρίτου προβλήματος, που πραγματοποιείται με μερολογική τροποποίηση, γίνεται συνδυασμός εξεικόνισης και αναλυτικής μεθόδου από όλους τους μαθητές. Όλοι οι μαθητές δημιουργούν το δικό τους σχήμα, γεγονός που δείχνει ότι η επίλυση του προβλήματος διευκολύνεται από αυτό. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τα λόγια των μαθητών και συγκεκριμένα από τη μια μαθήτρια, η οποία χαρακτηρίζει το σχήμα ως βοηθητικό, «αφού αν δεν το σχεδίαζε δε θα έλυνε το πρόβλημα». Το τελευταίο πρόβλημα είναι το μοναδικό που λύνεται αποκλειστικά με εξεικόνιση. Οι μαθητές χρησιμοποιούν το σχήμα και βασίζονται μόνο σε αυτό για να βρουν την απάντηση. Η αναλυτική μέθοδος δεν είναι απαραίτητη για αυτούς σε αυτό το πρόβλημα, αφού η αντιληπτική κατανόηση του σχήματος επιτυγχάνεται από τους μαθητές. Κατά την πρώτη επίλυση του προβλήματος όλοι οι μαθητές σχεδιάζουν το δικό τους σχήμα, το οποίο είναι όμοιο με το δοσμένο σχήμα. Το δοσμένο σχήμα δε χρησιμοποιείται μόνο από μια μαθήτρια. Από την ανάλυση του τρόπου επίλυσης των προβλημάτων από τους μαθητές, προκύπτουν κάποια επιπλέον στοιχεία, σχετικά με το ρόλο του σχήματος. Μέσα από τα σχόλια των μαθητών για την επίλυση των προβλημάτων, προκύπτει ότι η παρουσία σχήματος, πέρα από τη βοηθητική του λειτουργία, παρέχει ανατροφοδότηση στους μαθητές για τον τρόπο σκέψης και λύσης που ακολουθούν. Μια μαθήτρια, στην ερώτηση για το κατά πόσο το δοσμένο σχήμα τη βοήθησε στην επίλυση του προβλήματος, απαντά θετικά, αφού «είχε σχήμα και μπορούσε να τα δει και να είναι σίγουρη ότι ήταν σωστά». Το σχήμα παρέχει σιγουριά στη μαθήτρια αυτή για την ορθότητα του τρόπου σκέψης της. Απόψεις των μαθητών για το ρόλο του γεωμετρικού σχήματος στην Ε.Μ.Π Στα πλαίσια της συνέντευξης, ζητήθηκε από τους μαθητές να σχολιάσουν το ρόλο της παρουσίας του σχήματος στα προβλήματα. Οι μαθητές εκφράζουν ότι η παρουσία του σχήματος, του δικού τους ή του δοσμένου, είχε βοηθητικό χαρακτήρα. Θεωρούν ότι η επίλυση των προβλημάτων που συνοδεύονται από σχήμα είναι πιο εύκολη από την επίλυση των προφορικών προβλημάτων, γιατί όπως αναφέρει ένας μαθητής στα προβλήματα που δίνονταν στο φυλλάδιο «διάβαζε και έβλεπε και το σχήμα». Ένας μαθητής εκφράζει διαφορετική άποψη, δηλώνοντας ότι «παρόλο που σε κάποιες περιπτώσεις βοηθήθηκε από το σχήμα και οι δύο φορές επίλυσης κάθε προβλήματος είχαν το ίδιο επίπεδο δυσκολίας». Δηλώνει ότι τα δοσμένα σχήματα τον βοήθησαν, ότι του αρέσουν τα προβλήματα με σχήματα και ότι ζωγραφίζει σχήματα, αλλά δε φαίνεται να νιώθει ότι του είναι πάντα απαραίτητα στα προβλήματα, γιατί «και να μην έχει σχήμα πάλι τα λύνει». Οι υπόλοιποι μαθητές εκφράζουν θετικές στάσεις σχετικά με την παρουσία σχήματος στα προβλήματα και τα θεωρούν πιο εύκολα. Σύμφωνα με ένα μαθητή, «βλέπει το σχήμα και τον βοηθά περισσότερο στη σκέψη του». Μάλιστα, ο ίδιος μαθητής δηλώνει και χρήση αναπαραστάσεων από τον ίδιο, αφού ζωγραφίζει σχήματα όταν δυσκολεύεται. Χαρακτηριστικά αναφέρει τη χρήση εικονικής αναπαράστασης στα κλάσματα («Ας πούμε με τις πίτσες όταν κάνουμε κλάσματα κάνω ένα κυκλικό και το μοιράζω»), η οποία γίνεται και μετά από παρότρυνση της δασκάλας του («Μας λέει η κυρία μας μερικές φορές»). Επιπλέον, από τις απαντήσεις των μαθητών αναδεικνύεται και πάλι ο ρόλος του δοσμένου σχήματος για σκοπούς ανατροφοδότησης για τον 42

τρόπο επίλυσης που ακολούθησαν («Μας βοήθησε, γιατί ακόμα κι αν κάναμε το σχήμα στο χαρτί δεν ήμασταν σίγουρες ότι ήταν σωστό»). Επικοινωνία μαθητών κατά την Ε.Μ.Π Η μαθήτρια πομπός, στο πρώτο πείραμα επικοινωνίας περιγράφει με απλά, δικά της λόγια τα προβλήματα, δείχνοντας πως η ίδια τα έχει κατανοήσει. Επαναλαμβάνει φράσεις που θεωρεί ότι θα οδηγήσουν το δέκτη σε καλύτερη κατανόηση του προβλήματος και στην περίπτωση που η μαθήτρια δέκτης δείχνει να μην έχει κατανοήσει εντελώς ένα πρόβλημα, η μαθήτρια πομπός προσπαθεί να εξηγήσει ξανά, αν και δηλώνει να δυσκολεύεται. Τελικά, καταφέρνει να δώσει μια πιο ξεκάθαρη εξήγηση, με την οποία η μαθήτρια δέκτης κατανοεί το πρόβλημα και καταφέρνει να σχεδιάσει σωστά το σχήμα. Η σύνταξη που χρησιμοποιεί διαφοροποιείται κάπως από τη διατύπωση των προβλημάτων στο φυλλάδιο. Η μαθήτρια πομπός περιγράφει τα προβλήματα, χωρίς όμως να παρεμβαίνει στην πορεία επίλυσης της μαθήτριας δέκτη. Ο μαθητής πομπός, του δεύτερου πειράματος επικοινωνίας, περιγράφει και αυτός με απλά λόγια το πρόβλημα. Εξηγεί τα προβλήματα με δικά του λόγια, γεγονός που δείχνει ότι ο ίδιος τα έχει όντως κατανοήσει. Ο μαθητής πομπός τονίζει τα δεδομένα και επαναλαμβάνει αρκετές φορές τα σημαντικά στοιχεία του προβλήματος, ώστε να βοηθήσει το μαθητή δέκτη να κατανοήσει και να λύσει το πρόβλημα. Όταν το κρίνει απαραίτητο προσθέτει και δικές του πληροφορίες, για να αποσαφηνίσει το πρόβλημα («Βρες την περίμετρο του σχήματος, του μεγάλου όχι του μικρού», «Θα ενώσεις την πλευρά που δε βρήκαμε πόσα είναι, με το ορθογώνιο»). Κάνει, επίσης, καθοδηγητικές ερωτήσεις, ώστε να κατευθύνει τη σκέψη του μαθητή δέκτη προς τη λύση του προβλήματος. Η προφορική διατύπωση των προβλημάτων από τους μαθητές πομπούς εμπεριέχει, επίσης, και την περιγραφή του σχήματος. Συμπεράσματα Σκοπός της έρευνας αυτής ήταν η μελέτη του ρόλου που διαδραματίζει το γεωμετρικό σχήμα στην ΕΜΠ, μέσα από την εφαρμογή ενός πειραματικού μοντέλου επικοινωνίας. Μέσα από τα αποτελέσματα ο ρόλος του σχήματος αναδεικνύεται ενισχυτικός και βοηθητικός για τους μαθητές. Το σχήμα διαδραματίζει ουσιαστικό ρόλο στην κατανόηση και την επιτυχή επίλυση των προβλημάτων, αφού βοηθά τους μαθητές να οργανώσουν τα δεδομένα τους και να ξεκαθαρίσουν τη σκέψη τους. Παρατηρούνται περιπτώσεις όπου το σχήμα καθίσταται καθοριστικό και απαραίτητο για την επίτευξη της λύσης, όπως στο πρόβλημα που εμπλέκει τροποποίηση αλλαγής θέσης, στο οποίο οι μαθητές φάνηκαν να εξαρτώνται από το σχήμα για την κατανόηση και την επιτυχή επίλυση του. Ολοκληρωτική επίδραση του σχήματος φαίνεται και στην περίπτωση του προβλήματος αντιληπτικής κατανόησης, αφού κανένας μαθητής δεν το λύνει αναλυτικά. Όσο για τις άλλες δύο κατηγορίες προβλημάτων, το σχήμα ασκεί επίσης, σημαντική επίδραση για την επίλυση τους. Τα αποτελέσματα αυτά συνδέονται με αποτελέσματα άλλων ερευνών, από τις οποίες προκύπτουν ότι οι οπτικές αναπαραστάσεις αποτελούν θεμελιώδες γνωστικό σύστημα αναπαράστασης για τη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος (DeWindt-King and Goldin, 2003). Τα αποτελέσματα δείχνουν, επίσης, ότι η συμπεριφορά των μαθητών στα προβλήματα σχετικά με τη σχεδίαση δικού τους σχήματος είναι αρκετά σταθερή. Εξαίρεση αποτελεί το πρόβλημα οπτικής τροποποίησης, το οποίο προσεγγίζεται αναλυτικά από το δεύτερο ζευγάρι μαθητών, κατά την πρώτη επίλυση του προβλήματος. Επιπλέον, οι μαθητές κάνουν χρήση του 43

δοσμένου σχήματος στις περισσότερες περιπτώσεις. Επεξεργάζονται το σχήμα και το χρησιμοποιούν κατά την πορεία επίλυσης του προβλήματος. Μεταξύ των μαθητών κάθε ζευγαριού εντοπίζεται συνέπεια στη χρήση του δοσμένου σχήματος. Συγκεκριμένα, οι μαθητές πομποί εμφανίζουν όμοια συμπεριφορά με τους μαθητές δέκτες, σε όλα τα προβλήματα που διατυπώνονται προφορικά. Αυτό πιθανόν να φανερώνει την επίδραση της επικοινωνίας μεταξύ των μαθητών. Ο τρόπος περιγραφής του προβλήματος από τον πομπό είναι πιθανό να κατευθύνει το δέκτη σε όμοια συμπεριφορά, μέσω των σημείων που ο πομπός εντόπισε ως σημαντικά όταν ο ίδιος έλυνε το πρόβλημα, και τα οποία προσπαθεί να τονίσει και στο δέκτη. Παρόλο που οι μαθητές χρησιμοποιούν το σχήμα και φαίνονται να ενισχύονται από αυτό, εντούτοις, η αναγνώριση της θετικής επίδρασης που ασκεί κατά την επίλυση των προβλημάτων δεν γίνεται από όλους. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να συνδεθεί με τα αποτελέσματα των Elia και Philippou (2004) αναφορικά με τη μη συνειδητοποίηση του βοηθητικού ρόλου των εικόνων από τους μαθητές. Παρατηρούνται, επίσης, περιπτώσεις όπου το δοσμένο σχήμα δε χρησιμοποιείται από τους μαθητές. Αυτή η συμπεριφορά των μαθητών πιθανόν να συνδέεται με την εισήγηση των Verdi και Kulhavi (2002 στο Schontz, 2002), οι οποίοι εισηγούνται πως οι εικόνες και τα κείμενα δεν μπορούν να παρουσιάζονται ταυτόχρονα. Με βάση την έρευνά τους, ισχυρίζονται ότι η εικόνα πρέπει να παρουσιάζεται πρώτη και ακολούθως το κείμενο. Εξηγούν ότι όταν η επεξεργασία κειμένου συμβαίνει πρώτη, χρησιμοποιείται το μεγαλύτερο μέρος της χωρητικότητας της εργαζόμενης μνήμης, αφήνοντας έτσι λίγη χωρητικότητα για την επεξεργασία της εικόνας. Επιπρόσθετα, η μη αξιοποίηση και επεξεργασία του δοσμένου σχήματος είναι δυνατό να συνδέεται και με την επιτυχή σχεδίαση σχήματος από τους μαθητές κατά την πρώτη επίλυση του προβλήματος. Τα σχήματα που οι μαθητές σχεδίαζαν στην πρώτη επίλυση ήταν όμοια με τα σχήματα που τους δίνονταν κατά τη δεύτερη επίλυση του προβλήματος, συνεπώς βλέποντας το σχήμα στο φυλλάδιο επιβεβαιώνονταν για τον τρόπο επίλυσης που ακολούθησαν και η αξιοποίηση του δοσμένου σχήματος δεν ήταν αναγκαία. Αναφορικά με τη χρήση της εξεικόνισης και της αναλυτικής μεθόδου κατά την ΕΜΠ, οι μαθητές εμφανίζουν συνέπεια στη συμπεριφορά τους, αφού συνδυάζουν την εξεικόνιση με την αναλυτική μέθοδο κατά την επίλυση των τριών προβλημάτων λειτουργικής κατανόησης. Σύμφωνα με τους Mayer και Sims (1994), ο συνδυασμός της παρουσίασης λεκτικών και οπτικών πληροφοριών οδηγεί σε καλύτερη επίλυση του προβλήματος. Το πρόβλημα αντιληπτικής κατανόησης είναι το μόνο που λύνεται αποκλειστικά με εξεικόνιση. Φαίνεται, λοιπόν, πως η εξεικόνιση ήταν σημαντική, αλλά κάποτε και καθοριστική, για την επίλυση των προβλημάτων από τους μαθητές. Η εξεικόνιση στα προβλήματα πραγματοποιείται είτε με τη σχεδίαση σχήματος από τους μαθητές, είτε με την επεξεργασία και ερμηνεία του δοσμένου σχήματος (Elia and Philippou, 2004). Οι μαθητές εξέφρασαν τις απόψεις τους αναφορικά με το ρόλο του σχήματος, οι οποίες απαντούν στο τρίτο ερευνητικό ερώτημα. Οι μαθητές προσδίδουν βοηθητικό χαρακτήρα στην παρουσία του σχήματος, του δικού τους ή του δοσμένου, στην επίλυση των προβλημάτων. Για το λόγο αυτό, η επίλυση των προβλημάτων που συνοδεύονταν από σχήμα θεωρήθηκε πιο εύκολη από την επίλυση των αντίστοιχων προφορικών προβλημάτων. Εντούτοις, εκφράζεται και μια διαφορετική άποψη από ένα μαθητή, ο οποίος παρουσιάζεται να θεωρεί ότι τα σχήματα δεν είναι πάντα 44

απαραίτητα για εκείνον στην επίλυση προβλημάτων. Γενικότερα, τα προβλήματα που συνοδεύονται από σχήμα ή εικόνα φαίνεται να αρέσουν στους μαθητές και να τα θεωρούν πιο εύκολα. Η παρουσία σχήματος στα προβλήματα σχολιάζεται με θετικό τρόπο από τους μαθητές, αφού αναφέρουν ότι τους βοηθά στην οργάνωση της σκέψης τους. Από τους μαθητές, δηλώνεται, επίσης, και χρήση αναπαραστάσεων, και συγκεκριμένα η σχεδίαση εικόνων, και σε άλλες έννοιες των μαθηματικών. Πέρα από το βοηθητικό ρόλο που το σχήμα διαδραματίζει στην κατανόηση του προβλήματος, οι μαθητές αναδεικνύουν και άλλες λειτουργίες του σχήματος. Το γεωμετρικό σχήμα παρέχει ανατροφοδότηση στους μαθητές για τον τρόπο σκέψης και λύσης που ακολουθούν. Βοηθά τους μαθητές να αισθανθούν σίγουροι για την πορεία λύσης που ακολούθησαν. Επιπρόσθετα, οι μαθητές χρησιμοποιούν το σχήμα για να καταγράφουν, να συγκεντρώνουν και να οργανώνουν τις πληροφορίες του προβλήματος. Ο Schontz (1993) αναφέρει ότι μέσα από έρευνες προκύπτει ότι τα άτομα θυμούνται καλύτερα τις πληροφορίες από ένα κείμενο, όταν αυτές παρουσιάζονται και από εικόνες. Από άλλες έρευνες προκύπτει ότι η κατανόηση αυξάνεται όταν ένα κείμενο συνοδεύεται με εικόνες, ειδικά για τους πιο αδύναμους μαθητές. Όσον αφορά στο τελευταίο ερευνητικό ερώτημα, το οποίο σχετίζεται με την επικοινωνία των μαθητών κατά τη διάρκεια του πειράματος, προκύπτει ότι η επικοινωνία μεταξύ των μαθητών κατά τη μετάδοση προφορικών νοημάτων διεξάγεται με επιτυχία. Οι μαθητές πομποί καταφέρνουν να περιγράψουν με κατάλληλο τρόπο τα προβλήματα, ώστε να γίνουν κατανοητά από τους δέκτες και να είναι σε θέση να τα λύσουν. Αναλυτικά, οι πομποί περιγράφουν τα προβλήματα με απλά, δικά τους λόγια, γεγονός που καταδεικνύει κατανόηση του προβλήματος από αυτούς. Τείνουν να επαναλαμβάνουν φράσεις που θεωρούν σημαντικές και απαραίτητες για την κατανόηση και λύση του προβλήματος. Σε περιπτώσεις που κρίνεται απαραίτητο από αυτούς, οι πομποί προσθέτουν και δικές του πληροφορίες, ώστε να αποσαφηνίσουν το πρόβλημα. Επιπρόσθετα, είναι στιγμές όπου διατυπώνονται καθοδηγητικές ερωτήσεις, ώστε να κατευθύνουν τη σκέψη του δέκτη προς τη σωστή λύση του προβλήματος. Από την παρούσα έρευνα ο ρόλος του σχήματος φάνηκε να είναι βοηθητικός. Παρόλα αυτά, τα αποτελέσματα αυτά δεν οδηγούν στην κατάργηση των λεκτικών αναπαραστάσεων από τις εικονικές, και συγκεκριμένα από το γεωμετρικό σχήμα. Το κάθε είδος αναπαράστασης επιτελεί το δικό του ρόλο και συμβάλλει με το δικό του τρόπο στην ΕΜΠ. Συνεπώς, η χρήση διαφορετικών αναπαραστάσεων πρέπει να ενθαρρύνεται από τον εκπαιδευτικό μέσα στην τάξη, ώστε να ικανοποιούνται οι γνωστικές ανάγκες όλων των μαθητών και να επιτυγχάνεται καλύτερη κατανόηση και επίλυση των προβλημάτων και γενικότερα των μαθηματικών εννοιών. Επίσης, περαιτέρω ερευνητική προσπάθεια καθίσταται αναγκαία για τη μελέτη των διαδικασιών και των γνωστικών λειτουργιών που εμπλέκονται κατά τη μετάδοση προφορικών μαθηματικών μηνυμάτων. Προσοχή πρέπει, τέλος, να δοθεί στο γεγονός ότι τα αποτελέσματα αυτά περιορίζονται για τη συγκεκριμένη έρευνα. Δεν υπάρχει οποιαδήποτε δυνατότητα γενίκευσης, λόγω του πολύ μικρού αριθμού δείγματος που χρησιμοποιήθηκε. Η έρευνα αυτή αποτελεί μια προσπάθεια προσέγγισης των παραγόντων που μελετήθηκαν και μέσα από αυτήν προκύπτουν ενδείξεις, οι οποίες μπορούν να μελετηθούν περαιτέρω και πιο αναλυτικά, σε μεγαλύτερο δείγμα και εύρος ηλικιών. 45

Αναφορές Deliyianni, E., Michael, P., Monoyiou, A., Gagatsis, A. and Elia, I. (2011). A composite model of students geometrical figure understanding. In Ubuz, B. (Ed.), Proceedings of the 3 5th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol.2 (pp. 257 264). Turkey: PME. DeWindt-King, Α., and Goldin, G. (2003). Children s Visual Imagery: Aspects of Cognitive Representation in Solving Problems with Fractions. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education,2(1): 1-42. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view, In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 st century (pp. 37-51). Dordrecht: Kluwer Academic. Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: Kinds of representation and specific processes. In R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting mental imagery with computers in mathematical education (pp. 142-157). Berlin: Springer-Verlag. Elia, I., and Philippou, G. (2004). The functions of pictures in problem solving. In M. Johnsen Høines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 327-334). Bergen, Norway: PME. Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2):139-162. NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Mayer, R., and Sims, V. (1994). For whom is a picture worth a thousand words? Extensions of a dual coding theory of multimedia learning. Journal of educational psychology, 86 (3):289-401. Mesquita, A. L. (1998). On conceptual obstacles linked with external representation in geometry. Journal of mathematical behavior, 17(2): 183-195.. Mesquita, A. L. (1996). On the utilization of encoding procedures on the treatment of geometrical problems. In L. Puig & A. Gutierrez (Eds), Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. III, pp. 399-406). Valencia. Michael, P., Elia, I., Gagatsis, A., and Kalogirou, P. (2010). Primary school students operative apprehension of geometrical figures. Quaderni di Ricerca in Didattica Mathematica,Supplemento n.1, N.2, 47-62. Schnotz, W. (1993). Some remarks on the commentary on the relation of dual coding and mental models in graphics comprehension. Learning and Instruction, Vol. 3, (pp. 247-249). 46

Weber-Kubler, J. (1981). Traitement d informations mathématiques dans une transmission oral chez des élèves de douze et quatorze ans. Published Doctoral Dissertation, L Université Louis Pasteur de Strasbourg. France: L Institut de Recherche Mathématique Avancée. Παράρτημα 1) Το μήκος μιας ορθογώνιας εικόνας είναι 7 εκ. και το πλάτος της είναι 10 εκ. Όταν η εικόνα μεγεθύνθηκε το μήκος της έγινε 21 εκ. α. Πόσα εκατοστά έγινε το πλάτος; β. Βρες την περίμετρο του δεύτερου σχήματος. 2) Έχω 2 τρίγωνα με πλευρές 3 εκ., 4 εκ. και 5 εκ. Πήρα από κάθε τρίγωνο τις πλευρές των 5 εκ., τις ένωσα και έφτιαξα ένα σχήμα. Μπορείς να βρεις: α) την περίμετρο της φιγούρας που έφτιαξα; β) το εμβαδό της; 3) Ο Γιώργος έφτιαξε ένα ορθογώνιο με μήκος 40 εκ. και πλάτος 30 εκ. Βρήκε το μέσο της κάθε πλευράς και ακολούθως τα ένωσε. α) Πόσα ορθογώνια σχηματίζονται όταν ενώσει τα μέσα των πλευρών; β) Ποιο είναι το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου που σχηματίζεται; 4) Στο πιο κάτω σχήμα παριστάνεται ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το μήκος της πλευράς ΔΕ είναι 8 cm, της πλευράς ΓΕ είναι 10 cm και της πλευράς ΒΓ είναι 6 cm. Βρες το μήκος της πλευράς ΓΔ. 47