. GI. KLKULU MTRIZIL. Mtrizek. Defiiziok. Mtrizee rteko ergiketk. Mtrizee tuket. Esklr te et mtrize te rteko iderket. Mtrizee iderket. Mtrize iruli,simetriko et tisimetriko 4. Mtrize krrtu te determite 4. Defiizio 4. Determitee propiettek 4. Determite te grpe 5. Mtrize krrtu te ldertzizko mtrize 6. Mtrize ortogolk 7. Mtrize te hei
. GI. KLKULU MTRIZIL Jki d, fisik, kimik, igeiritz et este rlo skotko prolem ugri, ekuzio lieletko sisteme idez ezte direl. Mtrizek oso erilgrrik suerttuko zizkigu ekuzio lieletko sistemk modu errz te dierzteko et este plikzio-mot itz dute: plikzio lielk, iderket esklrrk, koikk, et r. Horrel, ezezgueko et m ekuzio lieletko sistem:.x +.x +.. +.x =.x +.x +.. +.x =.. m.x + m.x +.. + m.x = mtrizilki modu hoet dierz dezkegu: m m x x. =.... m x m Iksgi hoet mtrize delko kotzeptu iksiko dugu; mtrize-mot deserdik, mtrizee rte defii ditezkee ergiketk et mtrize krrtue determitere kotzeptuk ere ztertuko dir. m. MTRIZEK. DEFINIZIOK Defiizio. K gorputzre gieko mx ordeko mtrize t, K gorputzre mx elemeture multzo t d, m errekdt et zutet ezrritko multzo. -re elemetuk ij ikurre idez dierzte dir, o i et j zpiidizeek ij elemetu zei errekdt et zei zutet dgoe dierzte dute, hurreez hurre. Jeerle, K = R edo K = C kotsidertuko dugu. = m m m = ( ij ) i,, m j=,, = = mx K gorputzre gieko mx ordeko mtrizee multzo M mx (K) dierziko dugu.
Defiizio. et B mtrizek orde erdieko mtrizek ldi dir, dimetsiokidek direl este d, hots, zute et errekd-kopuru erdik dituztee. Defiizio. et B mtrize dimetsiokidek erdik direl este d ij = ij i,j etetze dee. Defiizio. Mtrize te errekd et zute-kopuru erdik diree, mtrize krrtu del este d. Mtrize krrtu te ii elemetuei elemetu digolk edo gusik este zie et digol gusi dudel este d. Defiizio. Mtrize krrtu te digol gusi ez dude elemetu guztik uluk diree, mtrize digol del este d. = Defiizio. ordeko mtrize digol te digol gusiko elemetu guztik diree, ordeko uitte mtrize del este d. o I = = ( δ ij) ; δ ij ikurrk Kroecker-e siolok dire. δ ij = ldi ldi i = j i j Defiizio. Mtrize digol te digol gusiko elemetu guztik erdik diree, esklrr del este dugu. =.. =. I, K (esklrr). Defiizio. Mtrize krrtu te digol gusire mepeko (goiko) elemetu guztik uluk diree mtrize goi-trigelurr (ehe-trigelurr) del este dugu. Goi-trigelurr Behe-trigelurr = B =
Defiizio. mtrize krrture elemetu digol edo gusie turri ztr deritzo. Tr() = i= = + + + ii Defiizio. Bldi mtrize te elemetu guztik uluk dir, mtrize ulu edo zero mtrize deritzo et ere ikurr () d. Defiizio. Iz edi = ( mtrize este zio. ) mx ij mtrize. = ( ij ) mx mtrizeri -re urkko Defiizio. Lerro kr t due edozei mtrize, lerro mtrize d. Errekd (zute) kr tez ostut ldi dgo errekd (zute) mtrize deritze. ( ) Errekd mtrize.. Zute mtrize. MTRIZEEN RTEKO ERGIKETK. Mtrizee tuket. Iz edi M mx (K) K gorputzre gieko mx ordeko mtrizee multzo. Iz itez = ( ij ), B = ( ij ) M mx (K). C M mx (K) mtrize, C = (c ij ) o c ij = ij + ij i,j dire, et B mtrizee rteko tur este d et C = + B dierzte d. ( M mx (K), + ) tlde eldrr d. ( + re-ergiket, elkrkorr, elemetu eutro, elemetu simetriko et trukkorr).. Esklr te et mtrize te rteko iderket. Iz itez M mx (K) mtrize et α K esklrr. α esklrrre et mtrizere rteko iderket hoel defiitze d: α. = B = ( ij ) M mx (K) / ij = α. ij i, j 4
Propiettek: ) α.(+b) = α. + α.b α K, B M mx (K) ) ( α + β). = α. + β. α K, B M mx (K) c) ( α. β ). = α.(β. ) α, β K M mx (K) d) K. = M mx (K) ( K K-re iderketrekiko elemetu eutro d).. Mtrizee iderket. Bi mtrize et B iderktu hl izteko ehrrezko d -re zute-kopuru et B-re errekd-kopuru erdik izte, hu d,.b egi hl izteko M mx (K) et B M xp (K) ete ehr d. Iz itez M mx (K) et B M xp (K) mtrizek. C =(c ij ) M mxp (K) mtrize, o c ij = k=. ik iderkdur deitze d et C =.B dierzte d. kj de i=,,,m ; j=,,,p, et B mtrizee rteko.b mtrizere c ij elemetu koitz -re i errekdko et B-re j zuteko orde erdieko elemetue rteko iderkdure tur d. diide: 4 5.+. +. 7. = = 4.+ 5. +. 4 Mtrizee iderketre defiiziore rer,.b egi diteke ere, B. egite eziezko izte gert diteke, eze horretrko B mtrizere zute-kopuruk et mtrizere lerro-kopuruk erdik iz ehrko ilukete. Et B. egi ditekee rre,.b B. gert diteke, hu d, MTRIZEEN BIDERKET EZ D TRUKKORR. diide: =, B =.B = 8 5 = B. Propiettek: ) Elkrkorr: M mx (K), B M xp (K), C M pxq (K) (.B).C =.(B.C) ) Btuketrekiko tze-propiette: M mx (K), B, C M xp (K).(B+C) =.B+.C, B M mx (K), C M xp (K) ( + B).C =.C + B.C 5
c) Biderket ulu: Mtrizee rteko iderket.b = () gert diteke hiz et B () iz. (Esklrre rteko iderket:. = = edo = edo = = ) diide: = (), B = () et.b = = () Bestlde,.B =.C erditztik, hiz et () iz, ez d odoriozttze B = C, zere et.(b-c) = () iz ititeke, B-C () izik.. MTRIZE IRULI, SIMETRIKO ET NTISIMETRIKO Defiizio. Bldi mtrizere errekdk zute ihurtze ditugu orde ldtu ge (leheego errekd leheego zute et r.), lortuko dugu mtrizeri -re mtrize iruli deitze zio, t edo ikurrk eriliko ditugulrik. Hots, = ( ij ) M mx (K) d, ordu t = ( ji ) M xm (K). 7 diide: =, t = 5 7 Propiettek: ) ( t ) t = 5 ), B M mx (K) ( + B) t = t + B t c) M mx (K), B M xp (K) (.B) t = B t. t d) M mx (K), λ K (λ.) t = λ. t Defiizio. mtrize krrtu simetriko del esgo dugu, er et ere mtrize iruli erdik diree: = t. Defiizio. mtrize krrtu tisimetriko del esgo dugu, er et ere irulire urkko erdik diree: = -. Mtrize tisimetrikoet elemetu digolek ii = - ii erditz ete ehr dute; erz, ii = i. diidek: = 4 5 6 7 6 8 9 4 7 simetriko d et B = 9 tisimetriko d. 6
Propiettek: ) Bldi mtrize krrtu d, ordu + t simetriko d. ( + t ) t = t + ( t ) t = t + = + t ) Bldi mtrize krrtu d, ordu t tisimetriko d. ( t ) t = t - ( t ) t = t - = - ( t ) Defiizio. Bldi mtrize krrtuk = etetze du, idepotete este zio. Defiizio. Bldi mtrize krrtuk = I etetze du, iolutio este zio. Defiizio. mtrize krrturi p idizeko mtrize ilpotete este zio, odoko etetze duee: p- () et p = (); p N et p > diree. 4. MTRIZE KRRTU BTEN DETERMINNTE 4.. Defiizio. Determitek ekuzio lieletko sisteme ezpek et mtrizee ldertzizko mtrizek modu errze dierzteko oso ligrrik izgo dir. Bi x io orde hdigoko ekuzio lieletko sisteme soluzioe klkulu determitee eriler ergikorr ez del zpimrrtze oso grrtzitsu d. Defiizio. Iz edi M (K). -re determite, edo det() ikurrre idez dierziko dugu, et odoko er defiituko dugu: Bldi mtrizere orde d, = ( ), ordu, = = * Bldi mtrizere orde d, =, ordu = =.. * Bldi mtrizere orde d: = =. -. +. = = + + (Gogortu Srrus-e erregel) 7
* ordeko mtrize krrtu te determite. Iz edi = (ij) M (K). ordeko mtrize krrtu te determite - ordeko mtrizee determitek eriliz klkultuko dugu. Et horretrko elemetu te miore osgrrire et djuture defiiziok em ehr ditugu. Defiizio. mtrize i errekd et j zute keduz lortze de - ordeko mtrizere determiteri, ij elemeture miore osgrri deitze zio et ikurrre idez dierziko dugu. αij Defiizio. ij = (-) i+j. α ij zekiri, ij elemeture djutu este zio. Hu d, i+j ikoiti dee, ij = diide. α ij et i+j koiti dee, ij = - α ij eteko d. Bldi = d, ordu: α = = et = (-). α = ; α = = 6 et = (-) 6. α = 6 Defiizio. = t = mtrizere mtrize djutu este zio o ij ij elemeture djutu de. mtrizeri, diide. = = 6 Defiizio. Iz edi M (K). Ordu, -re determite hoel defiitze d: = = i. i + i. i + + i. i = jj + jj + + i, j =,., j j 8
mtrize krrture determite -re edozei lerrore elemetue et dgozkie djutue rteko iderkdure tur d. Ohrr. urreko defiizio eriliz, ordeko determite te klkulu - ordeko determitere klkulu d, et - ordeko determite koitzre klkulu - ordeko - determitere klkulu d. Prozesu hoeki jrrituz, klkultzeko errzk dire ordeko determitek lortuko ditugu. diidek. 4 4 =.. + 4.. 4 4 4 = 4 =.. +. = -6 + + = 8 4 =.. 4 +. 4 = - + + = 4 =.. 4 +. 4 = 8 + = -4 4. Determitee propiettek. Defiizio eriliz, orde hdiko mtrizee klkulu oso ekez suerttze d. L hu errzteko determitee propiettek ztertuko ditugu. Propiette hue frogpe idukzio-metodo eriliz egi diteke. ) Mtrize te lerro (errekd edo zute) teko elemetu guztik uluk ldi dir, ere determite ulu d. = 9
) i i i + + + = i i i i i i + i i i i =,, Jeerle, mtrizere lerro teko elemetu koitz p (p N) tugire tur d, determite este p determitere tur deskopos diteke, determite horiek hoel lortze direlrik: Lerro guztik, tugiek iz ezik, erdi idzte dir determite koitze, et lerro hori deskopostut gertze d lerro koitze tugi t idtziz (leheego tugi leheego determite, igrre tugi igrre determite, ). ) Iz edi B M (K), mtrize lerro teko elemetu guztik r esklr tez iderktuz lortze de mtrize.ordu, B = r.. r. r. r. = r. 4) Mtrize te i lerro prlelo lekuz elkr ldtze ditugu, determitere zeiu ldtu egite d. = - 5) Mtrize te i lerro prlelo erdik dir, ere determite ulu d. 6) Mtrize te i lerro prlelo proportziolk dir, ere determite ulu d. r. r. r. = r. 7) Mtrize te lerro t (errekd edo zute) gierko lerro prleloe koizio liel ldi d, ere determite ulu d. =
α. + β.m m α. + β. α.c + β.p c p ) = 6) α. m c m c + β. p m p c p = 8) Mtrize te lerro ti gierko lerro prleloe koizio liel t tuz lortze de mtrizere determite et hsierko mtrizere determite erdik dir. 9) t = ).B =. B,, B M x (K) 4. Determite te grpe. Jeerle, elemetu ulu gehie ditue errekd edo zute ukertuko dugu determite grtzeko. Horrel, determitee propiettek eriliko ditugu lio ldtu ge zero gehigo dituzte determitek lortzeko. 5. MTRIZE KRRTU BTEN LDERNTZIZKO MTRIZE Defiizio. Mtrize te determite zerore deserdi ldi d, mtrize erregulrr del este d. Defiizio. Mtrize t sigulrr del este d, ere determite ulu dee. Defiizio. mtrize erregulrrre ldertzizko mtrize - ikurrre idez dierzte d et. - = -. = I erditzk etetze ditue mtrize d. Odore, determitee teori eriliz mtrize erregulr te ldertzizko mtrizere klkulu egiteko formul t emgo dugu. Teorem. Mtrize erregulr te ldertzizko mtrize existitze d et krr d, et gier odoko etetze d: - = o ikurrre idez -re mtrize djutu dierzte de.. diide. Iz edi = mtrize. = 8 erregulrr d et ere ldertzizko mtrize - =. =. 8 d. 6
Propiettek. ) Bldi erregulrr d et.b = (), ordu B = (). ) Bldi erregulrr d et.b =.C, ordu B = C. ) Bldi erregulrr d,ordu 4) ( - ) - = 5) ( - ) t = ( t ) - = 6) Bldi et B erregulrrk dir, ordu (.B) - = B -. - et jeerle.,,, erregulrrk dir, ordu (.. ) - =... 6. MTRIZE ORTOGONLK Mtrize ortogolk mtrize erregulrre ksu prtikulr t dir. Defiizio. mtrize krrtu ortogol del este d, ere mtrize iruli mtrize ldertzizkore erdi dee. Hots, t = - t t. =. cos x si x diide. = ortogol d. si x cos x Propiettek. ) Mtrize ortogol te determite edo d. ) Bi mtrize ortogole rteko iderkdur mtrize ortogol d. ) Uitte mtrize ortogol d. 4) Mtrize ortogol te ldertzizko mtrize ortogol d. Propiette huek kotu hrtuz, ordeko mtrize ortogole M multzo, mtrizee rteko iderkketreki, tlde del frog dezkegu (re-ergiket, elkrkorr, elemetu eutro,elemetu simetrikok). = I 7. MTRIZE BTEN HEIN Defiizio. Iz edi M mx (K). mtrizere edozei h errekdk et h zutek ertze dute mtrizeri, h (h m et h ) ordeko -re zpimtrize este zio. diide. Iz edi = 5 9 6 7 4 8 mtrize.
4 et mtrizere ordeko i zpimtrize dir. 5 6 Defiizio. mtrizere p ordeko edozei zpimtrizere determiteri, mtrizere p ordeko miore este zio. Defiizio. mtrizere hei, orde hdie due miore ez-ulure orderi este zio, et r() dierzte d. mtrizere hei k d, hoek gutxieez k ordeko miore ez-ulu t existitze del es hi du, k io orde hdigoko miore guztik uluk izik. Hu d, mtrizere hei k d ldi et soilik ldi k+ ordeko mtrizere miore guztik zero dir et ulu ez de k ordeko miore t gutxieez existitze d., ordeko mtrize erregulrr d -re hei =, ordeko mtrize sigulrr d -re hei < Mtrize te heire klkulu prktiko: Mtrizere r ordeko miore ez-ulu t urkitu odore, gehituko diogu errekd t et miore gertze ez dire -re zutek, -. Hoel lortutko r+ ordeko determite guztik uluk dir, kotsidertutko errekd miore ez-ulu gertze dire r errekde koizio liel d, et erz, kedu egi diteke, prozesu este errekd teki errepiktuko dugu. Gierko errekdeki erdi rituz, kotsidertu ehr ditugu determite guztik uluk dir, emdko mtrizek r ordeko miore ez-ulu gertze dire r errekdk krrik izgo ditu idepedete, erz, ere hei r izgo d. Kotrko ksu, r+ ordeko determite t zerore deserdi izgo litz, hsierko r ordeko miore ez-ulureki jrdu dugu ezl jrdugo geuke erreki ere, et erdi ehrreko ksu guztiet. Mtrizere hei urkitzeko prozesu eru ligrri iz diteke errekdei ordez zuteei pliktzekot.