6 Ekuazioak. Unitatearen aurkezpena. Gutxieneko ezaguerak EKUAZIOAK. Unitatearen eskema

Transcript

1 Ekuziok Unitteren urkezpen Ekuziok iksteren helburu ngusi problemk ebzteko pliktze d. Horretrko, iksleek nhitez jkin behr dituzte, urreko unitten iksitko hizkuntz ljebrikoz gin, lehen et bigrren milko ekuziok ebzteko teknikk. Hl ere, teknik horiek iksi urretik, ezinbesteko d iksleek honko kontzeptu huek ondo ulertze: ekuzio, et ekuzio bten et ekuzio bliokideen soluzio. Izn ere, horiek dir pliktuko ditugun prozeduren oinrri. Iksleentzt zil izn ohi d ulertze «berdin» zeinuk trter desberdin duel ritmetikn et ljebrn. Ekuzioen «berdin» zeinun, ergiket ritmetikoetn ez bezl, bi tlk bter mneitu behr dir. Ekuzio btetik beste ekuzio bliokide bter igrotzeko uker emten diguten trnsformziok brnertzeko, behrrezko d iksleek honko hu ulertze: ekuzio bten, «berdin» zeinuk orek egoer bt sortzen duel. Behin puso hori emnd, sko prktiktu behr d, ekuzio bten soluzio lortzeko uker emten duten teknikk trebetsunez erbiltzeko. Bigrren milko ekuzioetn, ebzpen-formul urkeztuko dugu. Formul horren justifikzio sihestu dugu; izn ere, ziltsun hndik ditu ikslerik gehienentzt. Hl ere, kontzeptu skondu nhi iznez gero, ikslerik urrertuenek zenbit blibide urkituko dituzte Anyren webgunen. Hlber, diskrimintzileren zeinuren rberko soluzio-kopururi buruzko eztbid ere intzt hrtu dugu. Ekuzio ostugbek prozedur zehtzekin lnduko dir; horrel, ekuziok ebzte prozesu zurrun ez del ikusiko dugu. Problemk plntetzeko et ebzteko ordun, iksleek trebetsunk konbintu et pliktu behrko dituzte, enuntzituk hizkuntz ljebrikon kodifiktzeko. Hlber, problem ritmetikok ebzteko trebetsunk ere kontun izn behrko dituzte: ehunekok, nhstek Gutieneko ezguerk Unitte mitu orduko, iksleek ezguer huek jkin behrko dituzte, gutienez: Ekuzioren kontzeptu et hren soluzioren ulertze. Ekuzio bten soluzio biltze, hztmuz edo beste zenbit metodo ez lgoritmiko erbiliz. Lehen milko ekuziok ebzte. Unitteren eskem EKUAZIOAK EZEZAGUN BATEKO EKUAZIOAK HAINBAT EZEZAGUN DITUZTEN EKUAZIOAK Lehen milko ekuziok Bigrren milko ekuziok Beste ekuzio btzuk b 0 itur dute, 0-rekin Osok: b c 0, 0, b 0, c 0 Ostugbek: b 0 o c 0 Hztmuz ebzte Hu d soluzio: b Ekuzio ez-ohikok Soluziok b± b c c 0 ± c/ b 0 0 b/ 0 b 0 0 b Ez duk soluziorik. 0 b Infinitu soluzio ditu. b c > 0 bd, bi soluzio. b c 0 bd, soluzio bt. b c < 0, ez duk soluziorik. 7

2 Bigrren milko ekuzio oso bten elementuk identifiktze, et ebzte. Bigrren milko ekuzio ostugbek ebzte, erregel orokorr pliktu gbe. Problemk plntetze et ebzte, ekuziok erbiliz. Osgrri grrntzitsuk Bigrren milko ekuzio bten diskrimintzileren zeinu ikste. Bigrren milko ekuzio bten soluzio-kopuru. Soluziorik gbeko et infinitu soluzio dituzten lehen milko ekuziok. Lnk urrertu Ergiketen lehentsunri et prentesiren erbilerri buruzko ezguerk berrikuste. Ztikik zuzen erbiltze: ergiketk egiteko prozedur. Zenbkizko berdintz et berdintz ljebriko bereizte. Ergiketk monomioekin et polinomioekin. Hizkuntz ljebrikoren oinrrizko erbiler. Hitzezko enuntzituk er ljebrikon dierzte. Jrrin urkeztu dugun tuln, lnkidetz, pentsmendu ulerkorr, pentsmendu kritiko, diziplinrtekotsun, IKTk, ekimen et problemen ebzpen lntzeko riket-sort bt propostu dugu. Horietko btzuk iksleren liburun propostu ditugu, et hemen dierzi ditugu bkoitzri dgozkion orrilde et riket. Beste riket btzuk, orde, Proposmen didktikon bertn jso ditugu. Irdokizun horien ukerket bt iksleren liburun dgo dierzit, ikono btekin; hemen, izrto (*) btekin dierzi ditugu. LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA 07., 08. et. or. PD honetn irdokitko riket. 07. or. Orrilderen lbo bten ebtzitko 0. or.. riket. (*) riket. (*). or. «Prktiktu» tl oso. (*) 08. or. Orrilderen lbo bten ebtzitko riket. (*) 09. or.. riket. (*). or. «Ariket ebtzik». or. «Ariket et problem ebtzik». (*) 08. or.. riket (soluziok nolkok diren erbkitze). DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA 0. or.. riket. (*) 0. or. Informzio biltze 0. or. «Ebtzi». Iksleren liburun propostutko problem guztik tl honi dgozkio. Jrrin, interes berezi duten btzuk dierziko ditugu. 0. or.. riket. (*) 0. or.. riket. (*). et. or. «Ariket ebtzik». (*) 8. or.. riket.. et. or. «Pentstu et egin». (*) 0. or. «Interprettu, deskribtu, dierzi». or.. riket. (*) 7. or. 9. (*),. (*), 7. (*) et. (*) riketk. 8. or.. (*) et. (*) riketk.. or. «Trebtu problemk ebtziz». (*) 7

3 Ekuziok Hsierko hztmuk Antzinroko mtemtikrik ekuziok ebzteko metodok biltzen hlegindu ziren. Lehenengo hlegink, berezko denez, zlntztik izn ziren et ez zuten ondorio sendorik emn: hztmuzko edo ksu prtikulrretrko bin ez orokorretrko blio zuten ebzpenk-et izn ziren. Esterko, K.. 0. urteko Egiptoko ppiro bten honko problem hu geri d ebtzit: «Pilo gehi piloren zzpiren d. Zenbt dude pilon?». Bide teoriko bin Er zehtzen bide hori hrtu zuen Greziko Diofnto izn zen, iii. menden. Aritmetik liburun, lehen milko ekuzioen et bigrren milko btzuen ebzpenk lndu zituen. Horrez giner, propostu zituen problemek mendek gerogo grtu zen ekuzioen teori sendotzeko bide presttu zuten. Diofntoren lnen, er honetko problemk geri dir: «Ibin edten ri diren elefnteen kopururi letgin kopuru et hnk kopuru gehituz gero, kopuru horren krrtu lortzen dut. Zenbt elefnte dir?». Aurrerbide nbrmenk Bgdden, i. menden, funtsezko pertsoni gertu zen, Al-Jwrizmi rbirr, et oso grrntzi hndiko puso emn zuen. Hrk idtzi zuen Al-jbr w-l-muqbl izeneko liburu funtsezko d ljebrren historin. Hurrengo mendeetn, hizkuntz guztietr itzuli et lndu zuten liburu hori. Tituluk «trnsposizio et ezezttze» esn nhi du et ezezgun bkntzeko koefizienteekin egiten diren mugimenduk iptzen ditu. Libururi, zkenen, Al-ybr, besterik gbe, esn zioten, et hori dierzten zuen zientzi (l-jbr ljebr) izendtzeko erbili zen tzenen. 0 Ahmes-en (edo Rhind-en) ppiro. K.. vi. menden idtzi zen et 8 mtemtik-problem ditu. Al-Jwrizmi-ren omenezko Errusiko seilu. Diofntori buruzko problem Kondirk dioenez, Diofnto hil zenen, dizipuluek hilobin, igrkizun ern, epitfio grbtu zuten; epitfio hori interprettuz gero, misuk zenbt urte izn zituen sm zitekeen. Honel zioen: Misuren gztrok bere bizitzren seiren hrtu zuen. Hurrengo hmbirenen, biloz estli zitzion msil. Beste zzpiren bt igro zen ezkondu rte. Bost urte gerogo, seme izn zuen. Aitren dinren erdi izn zuenen hil zen seme. Diofnto seme hil et beste lu urtez bizi izn zen. Blibide geometrikok Arbir ljebrlriek metodo bitik smtu zituzten ekuzio mot btzuk er geometrikon ebzteko. Hrtu kontun nol ebzten zituzten erko bigrren milko ekuziok: Ebtzi AZALERA: AZALERA: ( ) AZALERA: Itzuli hizkuntz ljebrikor et ebtzi hztmuz Egiptoko ppiroko problem: Pilo gehi piloren zzpiren. Honko ekuzio huen rten, huttu elefnteen problemren itzulpen ljebriko. Ebtzi problem, lehenengo, hztmuz et, gero, situ ezgutzen duzun beste metodoren bt erbiliz. I II III (). Honko ekuzio huetko zeinek ebzten du Diofntoren epitfio? I II 7 7 Zenbt urte zituen hil zenen?. Gorgo zldu den metodo geometrikoren bidez, ebtzi honko ekuzio huek: ) 8 8 b) Azken krrturen zler 00 d. Ondorioz, lde 0 d et. 0 Unitte hsteko Historin zehr, ljebrri lotutko prozedurek gero et erginkortsun et orokortsun gehigo izn zuten; hori notzioren lguntzri esker lortu zuten. Unitteren hsierko irkurgietn idei hori nbrmenduko dugu. Norml denez, ljebrren bultztzile ngusik gertuko zizkigu berriro ere: Alejndriko Diofnto, et, btez ere, Al-Jwrizmi (780-80). Azken hori klkulu ljebrikoren lehen ruen itzindri izn zen: ekuzioren gik ekuzioren tl btetik bester irultze et bi tletko gi berdink ezbtze. Hren lnk mundu musulmneko lehen ljebr-liburuk dir. Izn ere, ikerketk egiteko, hinbt leku bisittu zituen, Bbilonitik Indirino et Grezirino. Hl ere, orindik ez zuen ezezgun gur egungo ern erbiltzen; hri buruz ri zenen, «guz» esten zuen. Arbirrek, bestek beste, oso srri erbili izn zituzten metodo geometrikok (euskrri grfiko et guzti) ekuziok ebzteko. Eskuineko orrilden, metodo horietko bt zltzen d, errz-errz, bigrren milko ekuziok ebzteko uker emten duen. IKT Honko riket hu irdokitzen dugu: Biltu informzio Interneten gi honi buruz: ntzinko Tinn problemk ekuzioen bitrtez ebzteko erbiltzen zituzten teknikk (Bedertzi liburuk; Liu Hui; Quin Jiu-sho ). AZALERA: AZALERA: 8( 8) AZALERA: 8 00 lde 0 0 AZALERA: AZALERA: 0( 9) AZALERA: 9 9 lde 9, 0,, OHARRAK «Ebtzi» tlren soluziok Diofnto 8 urte zituel hil zen. 7

4 Ekuziok. Ekuzioren soluziok Nomenkltur zeinuren bi ldeetn duden dierzpenei tl esten zie. Eskuinen geri den ekuzion, ( ) ( ) lehenengo tl d et, bigrren tl. Pentstu et egin. Honko ekuzio huetko bten soluzio l d? Justifiktu erntzun: ) 8 b) 00 c) 7 0 d) e) 7 f) Hiru zuhitzen ltuerk ondoz ondoko zenbki osok dir et horien btur d. Klkultu zenbt den zuhitzik tikienren ltuer. Enuntzitu hizkuntz ljebrikon idtziz gero, honko ekuzio hu lortuko dugu: ( ) ( ) Esnhi honko hu d: «( ) ( ) berdin izte nhi dugu. -ren zer bliorekin gerttuko d?». Ekuzio ebzte glder horri erntzute d. 0 este honko hu este d: «-k 0 blioz gero», ordun egi d «( ) ( ) berdin del». Ekuzio, berdintz bino gehigo, ezezgun deritzogun letrk prte hrtzen duen berdintzrko proposmen d. Ekuzioren soluzio berdintz egi bihurtzen duen ezezgunren blio bt d. Ekuzio ebzte horren soluzio edo soluziok urkitze edo soluziorik ez duel ondoriozttze d. Ekuzio motk Er skotko ekuziok urki ditzkezu. Adibidez: Ekuzio polinomikok. Horietn, ezezgun dierzpen polinomikoetn bkrrik gertzen d. Honko ekuzio huek: ( ) ( ) 9 ( ) lehen, bigrren et hirugrren milko polinomikok dir, hurrenez hurren. Errotzileekin. 7 Izendtzilen dutenk. 8 Berretzilen dutenk. ; 8; Unitte honetn, lehen et bigrren milko ekuziok lnduko ditugu bereziki. g) h) 0 i) 0 j) k) ( ) l) ( ) 8 0. Aurreko riketn, hinbt ekuzio polinomiko dude. Idtzi ekuzio horiek et dierzi zer mil duten. Irkslek dki Ekuziok hztmuz ebzte probetu hndiko riket d; klkulgilu erbiliz ebtzi rren, buruz klkultzeko gitsun grtzen du. Hl ere, irkslek esngo dizu metodo hori noiz erbiltze komeni den. Zlntzrik gbe, berk jkingo du ondoen une bkoitzen zer komeniko zizun. Pentstu et egin. Hztmuz, klkultu zenbt den honko ekuzio huetko bkoitzren soluzio oso: ) 0 b) 0 c) d) ( ) 8 e) ( ) ( ) f) g) 0 h) 87 i) j) 7 9 k) l) 8 Ekuziok hztmuz klkultze Aurreko iksturteetn, ekuziok metodo lgoritmikoz ebzten iksi zenuen; hu d, soluzior segurtsunez ermten gituzten puso jkin btzuk emnez. Unitte honetko hurrengo tletn, metodo horiek erbiliko ditugu lehen et bigrren milko ekuziok ebzteko. Ekuzioren soluzio hztmuz lortzeko bide guztiz bligrri d, hl ere. Ksu btzuetn, hztmuz jotze erbkitzen dugu, buruz edo klkulgilu erbiliz, soluzio «ikuste» errzgo izngo del uste izten dugunez gero. Albin, ksu btzuetn ekuzio hztmuz bino ezin izngo dugu ebtzi. Soluzio oso bldin bd, errz urkituko dugu, behrbd. Bin, oso izn ezik, hztmuz jo behrko dugu behin et berriz soluziorko hurbiltze hmrtr egoki lortzeko. Adibide btzuk ikusiko ditugu. Ariket ebtzi Honko ekuzio huek hztmuz ebzte: ) b) 00 ) Zenbki osoekin hztmuz jot, lster urkituko dugu soluzio, denez gero. b) -ri blio osok emnez, honko hu geri d: 79 Ondorioz, bino hndigo et bino tikigo d. 09 Hu d,, -ri,;,;,; bliok emn et honko hu geri d:, 07, < 00 Ondorioz,,, 9, > 00 Berz, hmrrenetr biribilduz, ekuzioren soluzio, del esn dezkegu.. Hmrrenetr rte biribilduz, klkultu zein den honko ekuzio huetko bkoitzren soluzio. Egizu hztmuz, klkulgiluren lguntzz. ) 000 b) 00 c) 00 d) 0 0 e) ( ) 07 f) 0 g) 00 h) 00 i) j) Irdokizunk Ekuzioren kontzeptu urkezteko, iksleei esngo diegu ekuzio glder honen erntzun del: «-ren zer bliorko gerttzen d hori?». Iksleek iksi et similtu behrko dute glder horri erntzuten dioten zenbkik ekuzioren soluziok direl. Horrez gin, berdintze gerttzeko -k ez bduk bliorik, ekuziok soluziorik ez duel ulertu behrko dute. Horregtik guztirengtik, ekuzio berdintze-proposmen bt del esngo dugu. Ekuzio bt ebzteri buruz ri grenen, gogon izn behr dugu prozesu hori ekuzioren soluzio guztik urkitzeri buruzko del; bestel, ekuziok soluziorik ez duel ondoriozt dezkegu, dibidez 0 ekuzioren ksun. Ekuzioren, ezezgunren et soluzioren kontzeptuk ezinbestekok dir unitte honetn. Oso grrntzitsu d iksleek egizttzen jkite zenbki bt ekuzio bten soluzio den l ez, et urkko riket ebzte: ekuzio bt idzte, soluzio dkigunen. Orrilde huetn, hinbt ekuzio mot lnduko ditugu; horrel, iksleek ikusiko dute mil honetn ez dutel iksiko zenbit ekuzio mot ebzten. Hl ere, hztmu izngo dute beti blibide gis, soluzior hurbiltzeko. Ekuzio bten soluzio hztmuz biltze ohiko prozedurk bezin interesgrri d; izn ere, soluzioren kontzeptu finktzen lguntzen du. Hlber, mil honetn (ezt urrergo ere) ebtzi ezin ditezkeen ekuzioekin erbiltzeko moduko tresn d. Hztmu erbiltzen hsteko, buruzko klkuluren bitrtez ebtz ditezkeen egoerk izngo ditugu kontun. Prozesu pusoz puso zlduko dugu, soluzior heltzeko, dibidez: ( ) ( ) 0 izn behr d blio, zeren et 0. ( ) izn behr du, zeren et :. izn diteke izn diteke 7 Bete zenbit ksutn, problemk ebzteko, klkulgilu erbili behrko dugu. Hsierko husnrket, hztmu hsteko erbili behrreko zenbkiri buruzko, riket egoki d soluzio guti gorbeher klkultzeko. Indrtu et skondu Honko huek gomendtzen dir: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. kodernotik: Indrtzeko: 0. et. orrildeetko. et. riketk. Skontzeko:. et. orrildeetko.,. et. riketk. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTU izeneko fotokopitzeko mteriletik: Indrtzeko: A fitko «Prktiktu» tleko. et. riketk. Skontzeko: B fitko «Prktiktu» tleko. riketk. «Pentstu et egin» tlren soluziok ) Bi b) Bi c) Ez d) Ez e) Bi f ) Bi g) Bi h) Ez i ) Bi j ) Ez k) Ez l ) Bi ). milko ekuzio polinomiko. b). milko ekuzio polinomiko. c). milko ekuzio polinomiko. e). milko ekuzio polinomiko. ) 0 b) c) d) e) 8 f ) g) h) 7 i ) j ) k) l ) ), b), c), d), e), f ), g), h), i ), j ), 77

5 Lehen milko ekuziok Soluzio erro Ekuzioren soluziori erro ere esten zio. Pusok btuz pstzen d kenduz pstzen d ztituz pstzen d ( ) 8 8 Ksu berezik 0 b, b 0 iznik Ekuziok ez du soluziorik. 0 0 Ekuziok infinitu soluzio ditu. Identitte d. Webgunen Hstpenk. Izendtzile et guztiko oso ekuzio sinplek ebzte. 0 Lehen milko ekuzio polinomikoei lehen milko ekuzio esten zie, besterik gbe. Ekuzio horietn, er jsot bino ez d geri ( ). Lehen milkok dir: 7 8;, 9; 7 Ez dir lehen milkok: ( ) 8; 8 ; Lehen milko ekuzioek soluzio bkrr dute et soluzio ezezgun sktuz lortzen d. Lehen milko ekuzio honko form honetr lburtu ditekeen dierzpen d: b 0, 0 iznik. Soluzio bkrr du: b ekuzio bliokidek Bi ekuzio bliokidek dir soluzio ber iznez gero edo biek soluziorik izn ezik. Hortz, 9 et 7 89 ekuziok bliokidek dir bien soluzio denez gero. ekuzioen bliokidetsun gordetzen duten trnsformziok Ekuzio ebzteko, hinbt puso emnez bkndu behr dugu. Pusoetko bkoitzen, ekuzio beste bliokide bt lortzeko trnsformtu behr d, bkntzetik gero et hurbilgo egon gitezen. Aru btzuk gogortuko ditugu: trnsformzio Berdintzko bi tletn dierzpen ber btze edo kentze. Bi tlk zero ez den zenbki berrekin biderktze edo ztitze. erregel prktiko Atl bten btzen ri den kentzen pstzen d beste tler, et lderntziz. Atl bten biderktzen ri den ztitzen pstzen d beste tler, et lderntziz. ekuzio ez-ohikok Adierzpen btzuek lehen milko ekuzioren itur izn rren, ez dute soluziorik edo infinitu soluzio dituzte. Adibidez: ( ) 0 8 Ezin diteke izn 0 8. Ondorioz, ekuziok ez du soluziorik. ( ) egi d edozein iznd ere, 0 0 denez gero. Ondorioz, ekuziok infinitu soluzio ditu. Egi esn, berdintz horiek ez dir ekuziok, -n girik ez dutenez gero. Hl ere, sinplifiktu bino lehen zer bihurtuko diren ez dkigunez, lehen milko ekuziok blir legez erbiliko ditugu. Adibide Honko ekuzio hu ebtziko dugu: ( ) 0 mkt (0,, ) 0 Bi tlk 0rekin biderktzen dir. ( ) ( ) ( ) Soluzio: 7 _ 7 7 ( ) 0 b ` 7 b Bt dtoz. Soluzio zuzen d. Pentstu et egin Lehen milko ekuziok ebzteko pusok Aurreko iksturten, seguru sko, iksi zenuen lehen milko ekuzio errzk ebzten. Orin, lehen milko ekuzio korpiltsugok ebzten trebtuko gr. Srri, ebtzi behr ditugun ekuzioek itur korpiltsu izten dute. Adibidez: ( ) 0 Gutik-gutik, bkntzeko zer puso emn behrko diren ikusiko dugu (bzterren, dibideko ekuzio nol ebtzi dugun ikus dezkezu, ondoren deskribtzen diren pusok emnez):. Izendtzilek kentze, hlkorik egonez gero. Horretrko, ekuzioren lehenengo bi tlk izendtzileen multiplo komunetko btekin biderktzen dir; hl iznez gero, multiplo komunetko tikienrekin.. Prentesi kentze, hlkorik egonez gero.. duten gik tletko bter pstze et zenbkik, beste tler.. Atletko bkoitz sinplifiktze.. bkntze.. Biezttze: hsierko ekuzioko tletko bkoitzen soluzio ordezte emitzk bt dtozel biezttzeko. Segid hori ez d beti zorrotz bete behr izten; ksu btzuetn, prentesik kenduz, sinplifiktuz hsi behrko d. Trebkuntz et zentzuk orienttuko du noiz komeni den guz bt edo beste egite.. Ebtzi honko ekuzio huek: ) 9 b) c) d) e) f) ( ) g) h) i) ( ) j) ( ) k) 9 l) ( )( ) ( ) ( ) m) ( )( ) n) 7 ( ) ( 7) 07 Irdokizunk Lehen grduko ekuziok, b 0, ( 0-rekin) gis lburtu ditekeenk, ondorio honetr grmtz: 0 b edo 0 0 dierzpenk ez dir lehen milko ekuziok, ez bitute 0 bldintz betetzen. Iksleek errz ulertuko dute 0 0 ksun infinitu soluzio dudel, et 0 b ksun ez dgoel btere soluziorik. Gure proposmen dierzpen horiek ekuzio gis hrtze d; izn ere, normlen urkezten diren ern, sinplifiktu urretik ez dgo jkiterik zein den -ren koefiziente. Ekuzio bliokideen kontzeptu ebzpen-prozesu ulertzeko oinrri d. Hlber, kontzeptu horrek honko hu egiteko blioko digu: ebzpen-prozesuren pusoetko bkoitz ekuzio bt beste ekuzio bliokide bt bihurtzeko prozesurekin lotzeko. Komeni d iksleek, hsiern, zenbit ksu ebzte, et pusoz puso egindko trnsformzio zltze; horrel, bkntze lortuko dute. Hori lderdi teorikoei buruzko husnrket on izngo d, et gerogo modu utomtikon pliktuko den erregel prktikor helduko dir. Komenigrri iruditzen zigu iksleen gitsun-mil zein den ikertze, lehen milko ekuziok ebzteri dgokionez. Horrel, irkslek unitten zehr lnduko diren riketen kopuru et ziltsun zehztuko du. Eskuineko orrildeko mrjinn dgoen riket ebtzi ulertzeko, iksleek honko ezguer huek gogortu behrko dituzte: izendtzile komunetko tikiener lburtze, izendtzilek ezbtze, et ztiki bten urreko minus zeinuren esnhi. Iksleek sistemtikoki egizttuko dute soluzio. Prozesu hori erginkorrgo izteko, iksleek prentesik ise erbiltzen jkin behrko dute, bit ztikiren tekl klkulgilun erbiltzen ere. Lnkidetzn iksi Ekuziok ebzteko teknikk indrtzer bidertutko orrilde huetrko, honko metodologi koopertibo hu irdokitzen dugu: Ikslek tlde tikitn jrriko dir (biko edo hiruko tldek). Zenbit dierzpen ebtziko dituzte, bnk; gero, prozesuk et soluziok egizttuko dituzte. Desdostsunik bdgo, ktsk dierzi behrko dituzte. Zlntzk rgitzeko gi ez bdir edo dos jrtzen ez bdir, irkslek prte hrtuko du. Indrtu et skondu Honko huek gomendtzen dir: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko.,. et. riketk.. et. orrildeetko 8tik rko riketk. Skontzeko:. orrildeko.,. et 7. riketk. 7. orrildeko tik erko riketk. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopitzeko mteriletik: Indrtzeko: A fitko «Prktiktu» tleko. riket. Skontzeko: B fitko «Prktiktu» tleko. riketko ) et b) tlk. «Pentstu et egin» tlren soluziok ) 9 b) c) d) e) f ) g) h) i ) / j ) k) 0 l ) / m) n) 78

6 Bigrren milko ekuziok Webgunen Arrzoibiderko lguntz. Bigrren milko ekuzio ebzten duen formul lortze. Bigrren milko ekuziok ebzteko lguntz. Adibide 0 bigrren milko ekuzio d, et horretn:, b, c ± ( ) ( ) ± 9 ± 7 Δ () () 9 > 0 Horregtik, ekuzio horrek bi soluzio ditu. Ariket ebtzi Honko ekuzio huek ebzte: ) 0 b) 0 c) 7 0 Bigrren milko ekuzioek honko form hu dute: b c 0, 0 iznik bkntzeko, hemen ikusiko ez dugun prozesu luze et korpiltsu bete behr d. Azken emitz honko formul hu d: Bigrren milko ekuzio bten soluziok b± b c (±) zeinu bikoitzk bi soluzio egon ditezkeel esn nhi du: b b c b b c Bi soluzio horiek soluzio bter lburtu ditezke edo bter ere ez, ksuen rber. Soluzio kopuru Bigrren milko ekuzio bten soluzioetn erroren brrun dgoen dierzpenri, Δ b c, ekuzioren diskrimintzile esten zio. Soluzio kopuru Δ zeinuren mende dgo: Δ > 0, iznez gero, ekuziok bi soluzio ditu: b D b D et Δ 0 iznez gero, soluzio bt bino ez dgo: b. Soluzio bikoitz del esten d. Δ < 0 iznez gero, D-k ez du zentzurik. Ekuziok ez du soluziorik. ± ( ) ± 0 ± ) ± ± b) ± 0 Soluzio bikoitz. 8 ± 7 ± 80 c) Ez du soluziorik. Webgunen Bigrren milko ekuziok silktze. Hrtu kontun iznez gero, ordun, ±; ek bi erro krrtu dituelko, et. Bi fktoreren biderkdur zero izn ddin, fktore horietko btek 0 izn behr du: (7 ) 0 0 edo 7 0 Webgunen Ebtzi ekuzio ostugbek, b 0 iznik. Ebtzi ekuzio ostugbek, c 0 iznik. Ariket ebtzi Ebzte: ) 98 0 b) 98 0 c) 9 0 Bigrren milko ekuzio ostugbek b c 0 erko bigrren milko ekuzioei, b edo c koefizientek zero iznik, ostugbe esten zie: c 0 et b 0. Formul orokorr erbiliz ebtz ditezkeen rren, soluziok er skoz errzgon urki ditezke. Adibidez: ± ± (7 ) 0 * c 0 motko ekuziok c 0 motko ekuziok ebzteko, ez d behrrezko formul orokorr erbiltze, oso errz bkndu ditekeenez gero: c ± c b 0 motko ekuziok b 0 motko ekuziok ebzteko, ez d behrreko formul orokorr erbiltze; fktore komun gis ter et bi fktoreetko bkoitz zeror berdindu diteke: ( b) 0 Soluziok: 0, b ) ± 9 ±7 Soluziok 7, 7 dir. b) Ez du soluziorik, zenbki bten krrtu ezin ditekeelko negtibo izn. Hu d, 9-k ez du zentzurik. c) ( 9) 0 * Pentstu et egin. Ebtzi honko ekuzio huek: ) 0 b) 9 0 c) 9 0 d) 7 0 e) 0 f) 0 g) 0 h) 0, 0, 0 Pentstu et egin. Ebtzi honko ekuzio huek: ) b) c) 9 0 d) 0 e) f) 7 0 g) ( ) ( ) ( ) h) Irdokizunk Ikslek urreko iksturten hsi ziren bigrren milko ekuziok lntzen; hl ere, kontun izn behr d b c 0 notzio orokorrk duen ziltsun, ebzpen-formuln, b et c koefizientek identifiktzeko, bit ± zeinu formul horretn erbiltzeko ere. Formul pliktu urretik, mot honetko dibide errzekin hs gitezke: ( ) 0; ( ) ; 0. Izn ere, dibide horien soluzio buruz lor dezkete. Horrel, errz ulertuko dute bigrren milko ekuzio btek soluzio bt edo bi izn ditzkeel, edo bt ere ez. Iksleen milren rber, irkslek ebzpen-formulren demostrzio egingo du. Ekuzio huek ebzteko prozedur orokorr ezgutu ondoren, prozedur errzgok pliktuko ditugu giren bt flt duten ekuziok ebzteko. b 0 bd, ezezgun ziltsunik gbe bknduko dugu; c 0 bd, fktore komun tertzek errz ermngo gitu soluzior. Hlber, interesgrri d iksleek ondorio hu tertze: b 0 ekuziok beti ditu bi soluzio, et horietko bt 0 d. Er beren, c 0 ez duk soluziorik, et c zeinu berekok bdir. Komeni d iksleek ulertze prozedur zehtz horiek erginkorrgok direl, et horiekin kts gutigo egiten direl. Lnkidetzn iksi Iksket koopertibor bidertutko metodologi hu irdokitzen dugu: Ikslek tlde tikitn jrriko dir (biko edo hiruko tldek). Zenbit dierzpen ebtziko dituzte, bnk; gero, prozesuk et soluziok egizttuko dituzte. Indrtu et skondu Honko huek gomendtzen dir: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. kodernotik: Indrtzeko: 9. et 0. orrildeetko etik erko riketk.. orrildeko. riketko ), b), c), d) et f) tlk. Skontzeko:. et. Orrildeetko etik rko riketk.. orrildeko. Ariketko g), h), i) et j) tlk. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopitzeko mteriletik: Indrtzeko: A fitko «Prktiktu» tleko. riket. Skontzeko: B fitko «Prktiktu» tleko. riket. «Pentstu et egin» tlren soluziok ), b) /, soluzio bikoitz c) /, soluzio bikoitz d) 7± e), f ), g) ±, soluziorik gbe h) ), b) 8 7 0, ± 079, c), d) 0, e) 0, f ) 0, 7 g) Ez duk soluziorik. h) 9, 9, soluziorik gbe, ez duk soluziorik, ez duk soluziorik 79

7 Webgunen Bigrren milko ekuziok ebzteko lguntz. Hrtu kontun b c 0 ( 0, b 0, c 0) Erbili formul: b± b c c 0 Bkndu b 0 Ater fktore komun Ariket ebtzik. Honko ekuzio hu ebzte: ( )( ) ( ) ( ) ( ) Pentstu et egin Bigrren milko ekuziok ebzteko erregelk Bigrren milko ekuzio oso bldin bd (gi guztik iznez gero), erbili formul. Ekuzio ostugbe iznez gero, urreko tlen ikusi dugunez, errz ebtzi hl izngo duzu formul erbili gbe. Fisionomi korpiltsu iznez gero, konpondu ezzu: kendu izendtzilek, kendu prentesik, tldektu gik et pstu guztik lehenengo tler. Sinplifiktut dgoenen, ordu bkrrik, erbili urreko holkuetko bt. Egizttu soluziok. Ekuzio enuntzitu duen problem btetik etorriz gero, egizu egiztpen bertn, soluzioetko bt benetko zentzurik ez izte gert ditekeelko,. orrilden ikusiko dugunez. Hsierko ekuziok izendtzilen iznez gero, situ izendtzileren bliorik ezezttuko duen soluziorik ez emten. Ksu hori gerttuz gero, soluzio hori bztertu egin behrko d. ( )( ) ( ) ( ) ( ) Krrtuk grtu et biderketk egingo ditugu: 9 ( ) Prentesik kenduko ditugu: 9 Gik tldektuko ditugu, urretiz ekuzioko lehenengo tler pstuz: Formul pliktuko dugu, kontun hrtuz, b, c : ± ( ) ± 9 ± Honko hu egizttuko dugu: zein erko, hsierko ekuzioko lehenengo tlk hrtzen duen blio bt dtorrel bigrren tlk hrtzen duen bliorekin.. Ebtzi honko ekuzio huek: ) ( ) ( ) 9 b) ( )( 7) ( 7) c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Ariket ebtzik. Honko ekuzio hu ebzte: 7 ( ) 9. Honko ekuzio hu ebzte: 7 7 ( ) 9 mkt (,,, ) Izendtzilek kenduko ditugu rekin biderktuz: ( ) ( 7) ( ) ( 9) Krrtuk grtu, sinplifiktu et prentesik kenduko ditugu: ( 8 ) Gik tldektuko ditugu, guztik lehenengo tler pstuz: Formul pliktuko dugu: 7 ± ± 7 ± Soluziok hsierko ekuzion frogtuko ditugu. Pentstu et egin. Ebtzi honko ekuzio huek: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b) c) d) 7 mkt (,, ) Izendtzilek kentzeko, -rekin biderktuko dugu: c m e 7 o ( ) ( ) (7 ) Prentesik kendu et guzti lehenengo tler pstuko dugu: 7 0 Formul pliktuko dugu: ( ) ± ± ± / Soluziok hsierko ekuzion frogtuko ditugu (soluzio 0 lortuz gero, bztertu egin behrko d, izendtzileetko btzuk ezezttuko lituzkeenez gero). 0 Webgunen Ebtzi bigrren milko ekuziok. Irdokizunk Iksturte honetn iksleek ebtziko dituzten bigrren milko ekuzioek, oro hr, ohiko definizion erbiltzen dugun ( b c 0) bino itur konpliktugo izngo dute. Ekuzio horiek sinplifiktzeko et ru orokorr pliktzeko uker emten digun dierzpener heltzeko emn behrreko urrtsk, lehen milko ekuziok ebzteko erbili ditugun berdink dir: izendtzilek et prentesik ezbtze, binomioen berreketk grtze, biderkdurk egite, ntzeko gik lburtze, gik irultze Hl ere, bd ezberdintsun hndi bt btetik bester. Izn ere, lehen milko ekuzioetn, honko hu d soluzio lortu urreko puso: ezezgun lehen tlen uzte, et zenbkik bigrren tlen; bigrren milko ekuzioetn, orde, gi guztik lehen tler pstzen dir, bigrren tl 0rekin berdintzeko. Propostutko riketk sinplifiktzen, oso ohiko d lehen milko ekuziok edo bigrren milko ekuzio oso edo ostugbek lortze. Horiek ebtzi urretik, ondo pentstu behrko dugu zein den joktzeko errik egokien. Ariket ebtzietn, izendtzilen duen ekuzio bt geri d; ekuzio hori urreko ksuen prozedur berdink erbiliz ebzten d. Ksu honetn, oso errz d ikuste izendtzileen multiplo komunetko tikien del. Ekuzio mot hori hurrengo miln iksiko dugu zehtzgo. Lnkidetzn iksi Ekuziok ebzteko teknikk indrtzer bidertutko orrilde huetrko, honko metodologi koopertibo hu irdokitzen dugu: Ikslek tlde tikitn jrriko dir (biko edo hiruko tldek). Zenbit dierzpen ebtziko dituzte, bnk; gero, prozesuk et soluziok egizttuko dituzte. Desdostsunik bdgo, ktsk dierzi behrko dituzte. Zlntzk rgitzeko gi ez bdir edo dos jrtzen ez bdir, irkslek prte hrtuko du.. Indrtu et skondu Honko huek gomendtzen dir: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. kodernotik: Indrtzeko:. orrildeko 7. riketko ), b), c) et d) tlk. Skontzeko:. orrildeko 7.riketko e), f), g) et h) tlk. 8. et 9. orrildeetko., 8. et 9. riketk. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopitzeko mteriletik: Indrtzeko: A fitko «Prktiktu» tleko. riket. Skontzeko: B fitko «Prktiktu» tleko. Ariketko c) et d) tlk. «Pentstu et egin» tlren soluziok ) 8 0 0, b) , c) 9 0, 7 d) , 9 ) 0 0, b) , c) 0, d) 0, 80

8 Problemk ekuzioen bidez ebzte Ohrr Hurrengo unitten, ekuzio-sistemk iksten ditugunen, ezezgun bt bino gehigo erbili hl izngo dituzu. Horrel, enuntzitu ekuzio bihurtzeko zeregin sinplifiktu egiten del ikusiko duzu. Problem ebtzik. Tringelu zuzen bten, kteto bt hipotenus bino cm tikigo et beste kteto bino cm hndigo d. Hiru ldeen luzerk zenbt diren klkultze.. m estrberekin, gel ngeluzuzen oson zehr ipin dezket zoklo. Gel m -ko del dkigu. Zer dimentsio ditu? Pentstu et egin. Lukizuzen bten oinrri ltuer bino 9 cm hndigo d. Azler 00 cm d. Klkultu zenbt diren lukizuzen horren dimentsiok. Problem bten oinrri hrtut ekuzio plntetze dkigun jkin nhi dugunrekin lotzen duten bldintzk hizkuntz ljebrikor itzultze d. Zeregin ntoltze komeni d; erbilgrri izngo d, berz, honko puso huek emte:. Ezgutzen ditugun dtuk et ezgutu nhi ditugunk identifiktze. Ezezgunri izen emte.. Berdintz (ekuzio) bten bidez, ezgutzen dugun et ezgutzen ez dugun erlzion jrtze.. Ekuzio ebzte.. Soluzio interprettze enuntzitur doituz. Hiru luzerk erlzion jrtzeko, Pitgorsen teorem pliktuko dugu: ( ) ( ) Grtuz: 8 9 Sinplifiktuz: 9 0 Ekuzio ebtziko dugu: ± 9 ± ± 8. Soluzio: ldeen neurrik 0 cm, cm et cm dir. 8. Soluzio bliogbe d, ldeetko btek neurri negtibo izngo lukeenez gero. m-ko perimetroko gel ngeluzuzen dugu. Dimentsiok, ondorioz, irudin geri direnk izngo dir: Gelk m -ko zler du, ondorioz: (7 ) Ebtzi egingo dugu ekuzio: 7± ( 7) 7± 7±. Soluzio: ldek m et m-kok dir.. Soluzio: ldek m et m-kok dir; hu d, soluzio ber d.. Errdio 0 m hndigo eginez, lursil zirkulr bten zler m hndigo d. Zenbt d lursil hndigoturen dimetro? 7 Problem ebtzik. Gozogile btek,0 / kg-ko kg zukre,0 /kg-ko ezti kntitte btekin nhsi du. Nhste, /kg-ko prezion ter d. Zenbt ezti ipini du?. A et B hirien rten, 80 km dude. Tren A-tik B-rntz ter d 80 km/h-ko bidurn. Ordu erdi berndugo, uto ter d B-tik A-rntz et, ordu behr izn du trenrekin gurutztzeko. Zer bidur drm utok?. Hiru diskidek 0, 0 et 0 egunen egin dute ln negozio bten. Hiru hilbete ondoren, etekink bntu dituzte et hirugrrenri bigrrenri bino 00 gehigo egokitu zizkio. Zer kntitte bntu dute?. Bi torrotk ndel ordun betetzen dute. Bietko bt bkrrik irekiz gero, ordun beteko luke. Zenbt denbor behrko luke beste torrotk ndel betetzeko? Pentstu et egin. kg-ko pisu et % 80ko purutsun duen urrezko lingote kg-eko pisu duen beste lingote btekin urtu d. Zenbt d bigrren lingoteren purutsun, ter den nhsteren % 7 iznez gero?. Autok h behrko ditu A-tik B-rko bide egiteko. Kmioi ordu beren ter d B-tik A-rko bide egiteko et h et min brru gurutztuko d utorekin. Zenbt irungo du kmioiren bidldi osok? kntitte (kg) prezio ( /kg) kostu ( ) zukre,0,0,0 ezti,0,0 nhste,,( ) Erlzio: zukreren kostu eztiren kostu nhsteren kostu,0,0,( ),0,0 8,08,,8,88,88/,8 8 kg ezti. Tren ordu erdi lehengo ter denez, trenk 0 km egin ditu uto mrtn hsi denerko. 0 km-ko distntzin dude, berz. Autoren bidurri esngo diogu. Auto et tren ( 80) km/h-ko bidurn hurbiltzen dir et, ordun 0 km egiten dituzte. Hori honel itzultzen d: Espzio Abidur 80 0, Denbor, Autok 0 km/h-ko bidur drm. 0 eguneko ln egin duenri etekinen kntitte dgokio et 0 eguneko ln egin duenri 00. Hori honel itzultzen d: Orin, lehenengori, l, zenbt dgokion klkultuko dugu: 0 l l Ondorioz, bntu den kntitte Torrotk ordun betetzen du ndel; ondorioz, ndelren / betetzen du orduko. Beste torrotk ndelren zti beteko ditu orduko. Biek bter, ndelren / betetzen dute orduko; hu d, ndelren / orduko. Berz: Beste torrotk ordu bkoitzen ndelren / betetzen duenez, / 7, ordu behrko ditu, hu d: 7 ordu et 0 minutu.. Bi igeltserok elkrtut egiten dute ln et 00 jso dituzte ln bt egitegtik. Zenbt jso behrko du bkoitzk, kontun hrtuz lehenengok bigrrenren lnren bi bosten egin duel?. Iturri btek beste btek behr duen denbor bi hlko behr du depositu bt betetzeko. Bi iturrik bter betez gero, 8 ordun beteko dute. Zenbt denbor behrko du bkoitzk depositu bereiz betetzeko? Webgunen Indrtu problemk ekuzioen bidez ebzteko prozedur. Webgunen Ebtzi «Torik» izeneko problem. Irdokizunk Unitte honetn lnduko ditugun problem ljebrikoetn, hinbt pusori jrritu behr diegu. Horiek testun geri dir, modu lbur et zehtzen. Puso horiez gin, hon hemen beste zenbit ehetsun: Lehenik et behin, enuntzitu zehtz irkurriko dugu, hren zentzu ulertzeko. Honko huek biltuko ditugu: Informzio esplizitu et inplizitu. Dturik ipgrrienk. Zer klkultu nhi dugun. Ezezgun zuzen ukertze. Bigrrenez, ekuzior heltzeko, enuntzituren hitzezko enuntzitu hizkuntz ljebrikor itzuli behr dugu. Horretrko, hinbt teknik erbil ditzkegu: Tul bt egite, informzio ntoltzeko. Problemren dtu guztik biltzen dituen mrrzki, grfiko edo digrm bt egite. Ksu errzgok plntetze et ebzte. Unitte honetn ebtziko ditugun problem skoren enuntzituetn, hinbt egoer geri dir; horietn, ztikik, proportzionltsun, ehunekok et zken horrekin lotutko kontzeptuk urkituko ditugu: bnketk, nhsketk, bidurk, interes Horiek ritmetikko unitteetn ebtzi ziren, zenbkik erbiliz. Indrtu et skondu Honko huek gomendtzen dir: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. kodernotik: Indrtzeko:. et 7. orrildeetko etik 9rko riketk.. orrildeko. et. riketk. Skontzeko: 8. et 9. orrildeetko tik 8rko riketk.. orrildeko. et. riketk. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopitzeko mteriletik: Indrtzeko: A fitko «Apliktu» tleko. et. riketk. Skontzeko: B fitko «Apliktu» tleko. et. riketk. «Pentstu et egin» tlren soluziok Altuer cm dir, et oinrri, cm. Lursil hndigoturen dimetro 0 cm dir, guti gorbeher. Bigrren lingoteren purutsun % 8ko d. Kmioiren bidldi osok 7 h irungo ditu. Igeltseroetko btek 000 jso behrko du, et bestek, 00. Iturrietko btek ordu behrko ditu, et bestek, ordu. OHARRAK Une hrtn, ebzten erbili behrreko gko-ideik iksi genituen. Idei horiek hizkuntz ljebrikor itzultzeko uker emngo digute. 8

9 Ariket et problem ebtzik. Zenbt bzkide dir? Kirol tlde bteko bzkideen / futbolen jolsten dir; besteen /, sskibloin; 8, eskubloin et orindik tletismon ri diren / gertzen d. Zenbt bzkide dir?. Zer din du bkoitzk? Aitren gurko din semeren hiru hlko d et, urte brru, bi hlko izngo d. Zer din du bkoitzk?. Interes konpostu Kntitte jkin bt urten urteko % n jrtzeren et kntitte hori urtebete et erdin, hileroko kpitlizzioko ldiekin, % n jrtzeren rteko lde 8 euroko d. Kntitte hori zenbt den klkultze.. Krrtu cm-ko lde duen ABCD krrtun, P, Q, R et S puntuk seinltu ditugu. Zenbt blio behrko du -k PQRS lukiren zler 0 cm -ko izn ddin? B Q C R P A S D Bzkideen kopuru osori esngo diogu. futbolen jolsten dir gertzen d: sskibloin ri dir gertzen d: Horiei eskubloin jolsten diren 8k kenduz gero, tletismon ri direnk gertzen zizkigu: 8 Ebtzi egingo dugu: 80 0 dir kirol tldeko bzkidek. din gur urte brru seme it urte brru, itren din semeren bi hlko izngo d: ( ) 8 Semek urte ditu et itk,. Lehenengo ukerren bidez, kntitte,0 bihurtzen d. Bigrren ukerren bidez, urteko % hilen % 0, d. Urtebete et erdi 8 hilbete direnez, uker horren bidez kntitte honko hu bihurtzen d: c 0, 8 m, Ondorioz:,0, , Jrri den kntitte 0000 d. PQRS lukiren zler zenbt den klkultuko dugu hsierko krrturen zlerri erpinetko bkoitzen sortu diren et et ktetok dituzten tringelu zuzenen zler kenduz. ( ) ± ± ± Bi soluzio dude: -ren blio cm edo cm izn diteke. Zeuk egin. Irudi berorretn, klkultu zenbt blio duen -k kolorezttut dgoen krrturen lde cm-ko izn ddin. Ariketk et problemk Egin Buruz et hztmuz ebzte. Ebtzi buruz et zldu prozesu hitzen bidez. ) ( ) b) 7 c) 8 d) ( ) 0 e) f) 7. Biltu hztmuz honko ekuzio huetko bkoitzren soluzio zehtz: ) 7 b) 9 c) ( ) d). Biltu hztmuz honko ekuzio huetko bkoitzren guti gorbeherko soluzio: ) 8 b) c) 0 d) 0,00 e) 0, f ) 0,7 7 Lehen milko soluziok. Ebtzi honko ekuzio huek et egizttu bkoitzren soluzio: ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 0 c) 7 ( ) ( ) d) ( 7) ( ) (7 ). Ebtzi honko soluzio huek: ) b) c) d) 8 e). Ebtzi, et egizttu honko ekuzio huetko bkoitzren soluzio: ) b) 0 8 c) 0 0 d) ( ) ( ) ( ) 7. Egizttu honko ekuzio huek lehen milkok direl et ebtzi ekuziok: ) ( )( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Honko ekuzio huetko btzuek ez dute soluziorik et beste btzuek infinitu soluzio dituzte. Ebtzi ekuziok et egizttu emitzk. ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) d) 7 9. Honko ekuzio huetko btek bino ez du soluzio bkrr. Ebtzi et egizttu. ) b) c) d) ( ) ( ) 0. Ebtzi. ) ( ) ( ) c m b) 8 7 ( ) 8 c) ( ) ( ) 7c m d) (8 ) ( ) (7 ) ( ) «Zeuk egin» tlren soluziok Bi soluzio dude: ; «Ariketk et problemk» tlren soluziok ) b) c) d), 7 e) f ) ) 8 b) 0 c) d) ) 7, b),8 c) d) e) 0,7 f ) ) b) c) 0 d) 8 ) 0 Ez duk soluziorik. b) 0 0 Infinitu soluzio ditu. c) d) 9 ) 0 Ez duk soluziorik. b) 0 0 Infinitu soluzio ditu. c) 0 d) 0 0 Infinitu soluzio ditu. 0 ) 0 Ez duk soluziorik. b) c) d) OHARRAK ) 8 b) 0 c) d) e) ) 0 b) 0 c) d) 7 ) b) 9 c) 8 8

10 Ariketk et problemk Bigrren milko ekuziok. Ebzteko formul erbili gbe, ebtzi bigrren milko honko ekuzio huek: ) 0 b) 0 c) 0 d) 8 0 e) 9 0 f) 00 0 g) 00 h) 0. Ebtzi. ) 0 b) c) 9 0 d) 0 e) f) 0 g) 0 0 h) 0. Ebtzi fktoreetko bkoitz zeror berdinduz: ) ( ) 0 b) ( ) 0 c) ( )( ) 0 d) ( )( ) 0 e) ( ) 0 f) ( ) 0. Ergin et ebtzi. ) ( )( ) ( )( ) b) ( ) ( )( ) 0 c) ( ) ( )( ) d) ( ) (7 )( ) 0. Ebtzi honko ekuzio huek: ) ( )( ) ( )( ) 8 b) ( )( ) ( ) 0 c) ( ) ( )( ) d) ( ) ( ) 8. Ebtzi honko ekuzio huek: ) ( )( ) ( ) 9 b) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( )( ) c) d) ( ) 0 ( ) ( ) e) 7. Ebtzi. 7( ) ) c 9 m( ) 8 ( ) b) 9 c) ( )( ) 7 ( ) d) Ebtzi honko ekuzio huek: ) b) c) d) 7 Erbili iksi duzun 9. Ondoz ondoko hiru zenbki rrunten btur tikien bost hlko ken d. Zer zenbki dir horiek? 0. Klkultu zenbki bt; zenbki horren erdi btu zein zenbki berorren 9/-i kendu emitz ber tertzen d.. Klkultu ondoz ondoko hiru zenbki bkoiti; horien bturk 7 izn behr du. Edozein zenbki bkoiti idtz diteke honel:.. Boligrfo, koderno et krpet,0 ordindu ditut. Krpetren prezio kodernoren hlko d et koderno, boligrforen bi hlko. Zenbt blio du guz bkoitzk?. Klkultu zer ltuer duen zuhitz btek, jkinik zuhitz bi hlko den poste bino metro bt lburrgo del.. Zpten prezio % igo d bendun et % 0 jitsi d urtrrilen. Horrel, hsierko prezio,9 jitsi d. Zenbt zen hsierko prezio? 7 ), 0 b), 0 8 c) Ez duk soluziorik. d) 0, 8 ), 8 0 b). 0 soluzio bztertu behr dugu, zenbit izendtzile bliogbetzen bititu. c). 0 soluzio bztertu behr dugu, zenbit izendtzile bliogbetzen bititu. d), 9 Zenbkik 7, 8 et 9 dir. 0 Zenbki 0 d. Zenbkik 7, 9 et dir. Boligrfok,0 blio du; kodernok,,0, et krpetk,. Zuhitzk metro bteko ltuer du. Hsierko prezio 87 ziren. OHARRAK «Ariketk et problemk» tlren soluziok ) 0, b) 0, c) 0, e), g), d), f ) Ez duk soluziorik. h), ), 7 b), c) e) 7 g) ) 0, d) Ez duk soluziorik. f ) Ez duk soluziorik. h), b) 0, c), d), e) f ) ) 0, b) c), d), 7 ), b) c), d) Ez duk soluziorik. ) 0, 7 b) c), d) Ez duk soluziorik. e), 8

11 . Dudn diru gehi,0 gehigo izngo bnu, nire tlderen kmiset erosi hl izngo nuke. Bi hlko iznez gero, 7, izngo nituzke sober. Zenbt diru dut?. Zenbki bten krrturi zenbki hori hiru hlko kenduz gero, 0 lortzen d. Zer zenbki d? 7. Ondoz ondoko bi zenbki ditugu; zenbki horien krrtuen btur d. Zer zenbki dir? 8. Zenbki rrunt bten et hurrengoren rteko biderkdurri kenduz gero, bi zenbkien btur bost hlko lortuko d. Zer zenbki d hori? Ebtzi problemk 9. Bnkuko kontun izn dugun diruren /7 ter dugu; gero, gertu denren / srtu dugu et flt dir orindik hsierko kntitte izteko. Zenbt diru zegoen kontun? 0. urte dituen itk 9 et urteko seme-lbk ditu. Zenbt urte igroko dir seme-lben dink btut itren dinren prer iristeko?. Torizo ogitrtekok egiten ri gr ibilldirko. Ogitrteko bkoitzen err ipiniz gero, egongo dir sober et ipiniz gero, 8 fltko dir. Zenbt ogitrteko presttu behr ditugu?. Jtete jkin bteko bzkrin, honko hu ter dute: ziglk (plter bt bi pertsonko), tirlk (plter bt hiru pertsonko), et lnpernk (plter bt lu pertsonko). Guztir, plter ter dir. Zenbt pertson ri dir bzkltzen?.,0 /l-ko olib-ptsren zenbt litro olio nhsi behr ditugu,80 /l-ko 0 l olib-oliorekin,0 /l-ko nhste lortzeko?. 0 kg pintur klitte esksgoko pinturren 0 kg-rekin nhsit,,0 /kg-ko nhste ter d. Pintur merkeren prezio pintur grestiren prezioren erdi iznez gero, zenbt d pintur mot bkoitzren prezio?., /kg-ko kfe-mrk bten honko nhste hu dgo: % 0, 8 /kg blio duen Kolonbiko kfe d et ginerko, beste kfe mot bteko. Zenbt blio du beste kfe horrek?. Ikstete btek utobus hrtu du irtenldi bterko. Jrleku guztik hrtuz gero, billeteren prezio d; bin jrleku gertu dir libre et, ondorioz,, ordindu behr izn dute. Zenbt jrleku ditu utobusk? 7. Lgun tlde btek sri bt bntu behr du et bkoitzk hrtuko lituzke, bin beste lu lgunen rten bntuko dute sri et, horrel, bkoitzk gutigo hrtuko ditu. Zenbt lgun izngo dir guztir? 8. Zenbki bt % 0 hndigo eginez gero, % tikituz gero bino unitte hndigo d. Zer zenbki d hori? 9. Inbertitzile btek ditu; diru horren zti bt bnku bten srtu du % n, et ginerko, beste bnku bten, %,en. Lehenengo ztik urten bigrrenk bino 0 gehigo emnez gero, zenbt diru jrri du bnku bkoitzen? 0. Bi hiri, A et B, 0 km-ko distntzin dude. Kmioi bt ter d A-tik B-rntz 90 km/h-ko bidurn. Ordu beren, utomobil bt ter d B-tik A-rntz et ordubete et lurden brru elkrtu dir. Zer bidur drm utomobilk?. km/h-ko bidurn don tirrindulrik hiru ordu lurden behr izn ditu, km-ko urre izn duen beste bt hrrptzeko. Zer bidur zermn urreko tirrindulrik?. Ane 80 km/h-ko bidurn ter d utomobilen. minutuko geldildi egin du gsolin hrtzeko et, gero, 00 km/h-ko bidurn jon d denbor bten. Helmugr iritsi denen, ordun 0 km egin dituel konturtu d, kontun hrtut geldildi. Zenbt denbor emn du 80 km/h-ko bidurn?. Klkultu zer neurri duten lukizuzen bten ldeek, jkinik digonl 0 cm-ko del et oinrri ltuer bino cm luzego del.. Tringelu zuzen bten ktetoen btur 8 cm d et zler, 0 cm. Zer neurri dute tringelu horren ktetoek?. Lukizuzen bten oinrri ltuer bino cm luzego d. Altuer cm tikigo iznez gero, lukizuzenren zler 0 cm -ko izngo litzteke. Zer neurri dute tringeluren ldeek? Altuer cm dir, et oinrri, 8 cm. Ktetoek 8 cm et 0 cm dituzte. Altuerk 7 cm ditu, et oinrrik, cm. OHARRAK 7 «Ariketk et problemk» tlren soluziok 0,7 ditut. Zenbki edo 0 izn diteke. 7 8 edo 9 dir; edo, bestel, 9 et 8. 8 Zenbki edo izn diteke. 9 Kontun 0 zeuden. 0 ute igroko dir. 0 ogitrteko presttu behr ditugu. 0 pertson zeuden. 0 litro nhsi behr ditugu. Pintur grestik,80 /kg blio du, et pintur merkek,,0 /kg. Beste kfek,0 /kg blio du. Autobusk jrleku ditu. 7 Guztir 0 lgun izngo dir d zenbki. 9 07,0 jrri ditu bnku bten, et 97,70 beste bten. 0 Automobilk 0 km/h-ko bidur drm. 8 km/h-ko bidur zermn., h emn du 80 km/h-ko bidurn. 8

12 Ariketk et problemk. Ptio ngeluzuzen btek 8 m gutigo ditu zblern luzern bino, et erdin urmel ngeluzuzen dgo, m-ko zblerko igrobidez ingurtut. Azken zon horren zler m -ko d. Zenbt dir ptioren et urmelren dimentsiok? 7. Zenbt izngo d -ren blio, honko irudi honen zler 8 cm -ko izn ddin? 0 8. Klkultu btur 8 duten bi zenbki rrunt; ngusiren krrtu zti tikiren krrtu eginez ztidur d et hondrr, Bi zifrko zenbki bti zifren orden lderntziktuz lortzen den zenbki kenduz, emitz 8 d. Klkultu zer zenbki den, unitteetko zifr iznik. 0. Urezttzeko ur duen ndel btek hornitzeko torrot et hustubide ditu. Hornitzeko torrotk 9 ordun betetzen du ndel. Torrot et hustubide irekiz gero, ordu behr dir ndel betetzeko. Klkultu zenbt denbor behr den beterik dgoen ndel husteko, torrot itit dgoel.. Torrot btek beste btek behr duen denbor bi hlko behr du ndel betetzeko. Bik bter irekiz gero, 8 ordun betetzen dute. Zenbt denbor behrko du bkoitzk ndel betetzeko?. Igeltserok 9 ordu behr ditu suklde bteko luzk jrtzeko et beste btek, 0 ordu. Bter ln eginez gero, bnn egind bino luz gutigo jrtzen dituzte. Behin, biek bter egin zuten ln beste suklde bten, et ordun mitu zuten ln. Zenbt luz ipini behr ziren suklde bkoitzen? 0 Problem korpiltsugok. Ane, iksteterko biden dol, honetz jbetu d: oinez km/h-ko bidurn jonez gero, minutu berndu iristen d; bizkorrgo jonez gero, km/h-ko bidurn, ordu bino 0 minutu lehengo iristen d. Zer bide dgo etetik iksteter? Orduordun iritsiko l d bideren erdi km/h-ko bidurn egin et beste erdi km/h-kon eginez gero?. Prism ngeluzuzenren form duten hiru mottko tetrbrikk ditugu; oinrrik cm cm, cm cm et cm cm-kok dir et ltuerk, hurrenez hurren,, b et c. Lehenengoren edukier bigrren bi hlko d; et bigrrenren, hirugrrenren bi hlko. Altueren btur 9 cm d; zer neurri du bkoitzk?. Koldo et Mikel iton-monk bisittzer jon dir. Biziklet bt bino ez dutenez, honko hu erbki dute: Mikelek bideren erdi egingo du bizikletn et hn utziko du hrik et Koldok, bide oinez hsit, bilduko duen rte. Bigrren erdi Mikelek oinez egingo du et Koldok, bizikletn. Horrel, ordubeten egingo dute bide. Oinez don km/h-ko bidurn do et bizikletn don, km/-kon. Zer distntzi egin dute? Zenbt denbor emn zuen geldirik bizikletk?. Enpres bt lortegi et guztiko bi mottko bnkko bizitetek, A et B, egiten ri d. A motkok: Zblern luzern bino metro lburrgo den lursil ngeluzuzen. Lursilren brrun, etek 0 m-ko ldeko krrtu okuptzen du. B motkok: A-ko tminko bizitete et A-ko luzerko et 0 m gutigoko zblerko lortegi. ) Klkultu zenbt den bi lursilen oinrriren neurri lortegiren zler ber izn ddin. b) -ren blio horretrko, klkultu zenbt den lursil bkoitzren zler et lursil horri dgokion lortegiren. ETXEA ETXEA 7. Ibi bten bi ertzetn, bi plmondo dude. Hndien 0 besoko d; beste, 0 besoko, et bien rteko distntzi 0 besoko d. Plmondo bkoitzren burun tori bt dgo. Bi toriek ibiren zlen rrin ikusi et berehl ter dir et rrin une beren hrrptu dute. Plmondo hndiren enborretik zer distntzi dgo rrin gertu den tokir? 8. Krmele egin dituen erosketen kontuk egiten ri d et berokik poltsk hiru hlko blio duel konturtu d; poltsk, lkndork bino gutigo; lkndork, oinetkoek bino gehigo; oinetkoek, kuttilk bi hlko; kuttilk, frken erdi, et frkek, beste guz guztiek bter bino 0 gutigo. Klkultu zenbt blio duen guz bkoitzk et zenbt diru gsttu duen Krmelek guztir. Husnrtu teoriri buruz 9. edo l d honko ekuzio huetko bten soluzio? Egizttu. ) b) c) d) ( ) 0. Egi l gezurr? Arrzoitu erntzunk. ) 0 ekuziok ez du soluziorik. b) Ekuzio bten tlk rekin biderktuz gero, soluzio ez d ldtzen. c) 0 ekuziok infinitu soluzio ditu. d) Bigrren milko ekuzioren diskrimintzile b c d. e) c 0 ekuziok ez du soluziorik c > 0 iznez gero.. Bliokidek l dir honko ekuzio huek? ( ) ( ) ( ) Et 0 et 0? Justifiktu erntzunk.. t t t ekuzion, dierzi: ) Zein den ezezgun. b) Zenbt diren, b et c-ren bliok. c) Zein den bigrren tl. d) Ekuzio oso l ostugbe den.. ( ) b ekuzion. ) Zenbt blio behr dute -k et b-k infinitu soluzio izn ditzn? b) Et soluziorik izn ez dezn?. Ariket ebtzi et soluziok dituen bigrren milko ekuzio smtze. Ebzpen: Soluziok et izte nhi iznez gero, honko hu egingo dugu: c m( ) Asmtu bigrren milko ekuziok: ) Bi soluziorekin: et b) Bi soluziorekin: et c) Bi soluziorekin: 0 et d) Soluzio btekin: e) Soluziorik gbe.. Bigrren milko diskrimintzile Δ iznez gero, zer esn dezkegu ekuzioren soluzio kopururi buruz? Et Δ 0 iznez gero? 7. m 0 ekuzion: ) Zer blio hrtu behr du m-k bi soluzio berdin izteko? b) Et desberdink izteko? c) Et soluziorik ez izteko? 8. Zenbt blio behr du -k, ( ) 0 ekuzioren soluzio izn ddin? Justifiktu erntzun. 8 9 «Ariketk et problemk» tlren soluziok Ptio 0 m luze et m zbl. Urmel m luze et 8 m zbl. 7 cm (-k izn behr du 0 bino tikigo). 8 Zenbkik et 0 dir. 9 Zenbki d. 0 h behr ditu. Torrotetko btek h behrko ditu, et bestek, h. Infinitu soluzio.. dibide: Lehenengo igeltserok 0 luz jrtzen ditu orduko; bigrrenk, 9. Lehenengo sukldek 90 luz ditu, et bigrrenk.. dibide: Lehenengo igeltserok 0 luz jrtzen ditu orduko; bigrrenk, 8. Lehenengo sukldek 80 luz ditu, et bigrrenk 0. Iksteter km dude. Bi, ordu-ordun bino lehentego iritsi d. 8 cm; b cm, c 9 cm km egin dituzte. Biziklet ordu erdi egon d geldirik. ) 00 m b) A Lursilren zler: 7 00 m ; Lortegiren zler: 000 m B Lursilren zler: 00 m ; Lortegiren zler: m 7 Arrin plmondorik hndienetik 0 m-r gertu zen. 8 Krmelek 0 gsttu zituen guztir: frkk, 0 ; kuttil, 0 ; oinetkok, 0 ; lkndor, ; polts, ; beroki,. 9 ) d soluzio. b) d soluzio. c) d soluzio. d) d soluzio. 0 ) G b) E c) G d) G e) G Lehenengo bik, bi, soluzio ber bitute:. Azkenengok ez dir bliokidek. t t 0 ) Ezezgun t d. b), b, c 0 c) t d) Ostugbe. b ), b b), b ez den beste edozein zenbki. ) ( )( ) 0 b) ( ) e o 0 c) ( ) 0 d) ( ) 0 e) 00 0 Δ bd, ekuziok bi soluzio ditu. Δ 0 bd, ekuziok bi soluzio ditu. 7 ) m 9 b) m 9 et m < 9 c) m >

13 Interprettu, deskribtu, dierzi Tller Mtemtik-lntegi de mtemátics Komeni d iksleek hinbt dibide egite, hrik et honko hu ondoriozttzen duten rte: hmrrekoen zifr beti del 9, et unitteen et ehutrebtuzifren problemk nekoen bturebtziz ere beti del 9. ekutore: poloettik distntzi beren dgoen zirkunferentzi hndien. Jo informzio bil B l zenekien? Bserritrr, rrutzk otrren btu ondoren, pents- tzen ri d: ekiltero: lde berdink dituen. Eskuinen erro bereko beste hitz btzuk dituzu. Biltu ekuzio hitzren erro ber duten beste zenbit hitz. Joktu zuhur Orek oson Dorreko erlojuk segundo behr ditu seik jotzeko. Zenbt denbor behrko du hmbik jotzeko? Hl ere, gehienentzt ez d errz propostzen zien prozedurri beren Dozenk ontzirtuz gero, izngo ditut sober. kbuz Lguntzeko smoz, gure zenbkikuntz-sistemren ezu Bt jrritze. gehigo iznez gero, zehtz ontzirtuko nituzke 0eko kk erbiliz. grrik gogortuko dizkiegu (hmrreko et posizionl). Horrel, hm I 00 rrutz btu ditut. rrekotik unitter edo ehunekotik hmrrekor igrotzek zenbkiren zizenbt rrutz btu ditu bserritrrk? frei nol ergiten dien ikusiko dute. Erbili i Ostu tul ondoz ondoko bi lukitotko zenbkik btuz, hurrengo lukitoko lortzeko ern: 8 Klkultu zer zler duen krrtu berdek. Soluziok: 8 8 9, 9 8; 98, m Ekuzio ltineko equtio hitzetik dtor et hitz hori, equre (berdindu) edo equus (berdin) hitzetik. OHARRAK Konpondu zitez honko ekuzio honen soluzioren bt urkitzeko: kg Autoebluzio Bol bkoitzren pisu kilo bteko iznez gero, zer pisu du k bkoitzk? izn ekimen et iksi Interprettu, deskribtu, dierzi Btur hori beti d 8! ) Egizttu, dibidek erbiliz, beti betetzen del urreko bieztpen. B l dkizu zergtik gerttzen den hori? b) Anliztu et zldu ondoren zltzen den prozesu. bc hiru zifrko zenbki d. > c del joko dugu.. puso. puso c b. puso b c 0 c b c<0 0 c 0 b c 0 c b c 9 0 c Kendurko zifrk btu et 0 B l zenekien Atl honetn esten denri buruz husnrtuz gero, egunerokotsunen erbiltzen ditugun zenbit kontzepturen jtorri ezgutuko dugu. Soluziok: Hon hemen gztelnizko zenbit hitz: equittivo, ecuánime, equilibrio, equinocio. Joktu zuhur Orek oson Soluzio modu grfikon lndu diteke, blntzk etengbe mrrztuz. Horrel, blntz horiek hsierko sinplifiktuz jongo dir, et, modu prlelon, guz ber egin dezkegu hizkuntz ljebrikorekin. Horrel, blntzren eduki ekuzio btekin dierzi, et gero ebtzi egingo dugu. Soluziok: K gorri bkoitzk kg-ko pisu du. Erbili i Izenburuk problem ber ebzteko gko emngo digu. Bigrren lukiton jrriz gero, et, hortik urrer, bi lukito -ren rber btuz gero, ekuzio errz bt ebtziko dugu Konpondu zitez Ekuzio hu ebzteko, iksleei propostuko diegu unitte honen hsiern urkeztutko hztmu-metodo erbiltzeko. Ksu honetn, hinbt errokizun et soluzio ditugunez, jrritu behrreko bide errzgo urkituko dugu. Soluziok: 8 b) ( ) ) b) c). Ebtzi honko ekuzio huek: ) 0 b) 0 c) ( )( ) 9 98 ( )( ) ( ) c) Honko riket huen ebzpenk..,0 /kg-ko kg irin 0,70 /kg-ko beste irin mot btekin nhsiko ditugu,0 /kg-ko nhste lortzeko. Bigrren motko zenbt irin ipini behrko dugu nhsten?. Tren A-tik B-rntz ter d km/h-ko bidurn. Ordubete berndugo, beste tren bt ter d B-tik Arntz km/h-kon. A-tik B-rko distntzi 8 kmko d. Zenbt denbor brru gurutztuko dir? 7. Hiru lgunek 0 jsotzen dituzte ln bt egite- gtik. Lehenengok ordu egin zituen et bigrrenk, hirugrrenk bino ordu gehigo egind, 80 hrtu ditu. Zenbt ordu et zenbt diru dgozkio hiruretko bkoitzri? 8. m luze den sok btekin, tringelu zuzen egin dugu et ktetoetko bt m-ko d. Zer neurri izngo dute beste ktetok et hipotenusk? 9. 8 m-ko zler duen egongel luztzeko, 7 bl- dos ngeluzuzen erbili dir; bldosen lde bt beste bino 8 cm lburrgo d. Klkultu zer dimentsio dituzten bldosek. Jo informzio bil Soluziok: b) 8. Ebtzi. Kendu tikien hndienri et btu lortu duzun kendurren zifrk. c ) ( ) ) ( ) 0 Idtzi zenbki ber lderntziz: cb b tu duzun prozesu:. Hztmuz jot, ebtzi klkulgiluren lguntzz. Idtzi hiru zifrko zenbki bt: bc Webgunen. Ebtzi buruz honko ekuzio huek et zldu buru-