ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
|
|
- Οφέλια Αθανασίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1 Να γράψετε αναλυτικά τον 6 6 πίνακα A a ij όπου a ij mi{i, j} + i j Λύση Θα έχουµε : A Ασκηση 2 ίνονται οι πίνακες A 1 0 2, B , C Να εκτελεστούν, όπου είναι δυνατόν, οι ακόλουθοι πολλαπλασιασµοί πινάκων : A B, B A, A C, C A, B C Λύση Θα έχουµε : 0 5 A B, A C, B C Τα γινόµενα πινάκων B A και C A δεν ορίζονται Ασκηση 3 Αν x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί και cos x si x A si x cos x cos y si y και B si y cos y να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι πίνακες A 1 και B 1, και να δειχθεί ότι : AB BA
2 2 Λύση Θεωρούµε τους πίνακες cos x si x si x cos x και cos y si y si y cos y Θα έχουµε : cos x si x cos x si x cos x 2 + si x 2 si x cos x + si x cos x 1 0 si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x si x 2 + cos x 2 I 2 cos x si x cos x si x cos x 2 + si x 2 si x cos x + six cos x 1 0 si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x si x 2 + cos x 2 I 2 cos x si x Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και si x cos x A 1 cos x si x si x cos x cos y si y Παρόµοια ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και si y cos y B 1 cos y si y si y cos y Τέλος ϑα έχουµε : cos x si x cos y si y cos x cos y si x si y cos x si y + si x cos y A B si x cos x si y cos y si x cos y cos x si y si x si y + cos x cos y cosx + y six + y six + y cosx + y Παρόµοια : cos y si y cos x si x cos y cos x si y si x cos y si x + si y cos x B A si y cos y si x cos x si y cos x cos y si x si y si x + cos y cos x cosx + y six + y six + y cosx + y Άρα A B B A Σχόλιο 1 Στην παραπάνω Ασκηση χρησιµοποιήσαµε τις γνωστές ταυτότητες : cosx ± y cos x cos y si x si y και six ± y si x cos y ± cos x si y Ασκηση 4 Θεωρούµε τους πίνακες A 0 0 και B Να προσδιοριστεί 3 3 πίνακας X, ο οποίος να ικανοποιεί την εξίσωση : A + 3X 2X B Λύση Εστω ότι υπάρχει 3 3 πίνακας X x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33
3 3 έτσι ώστε A + 3X 2X B Θα έχουµε τότε : A + 3X x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x x 11 3x 12 3x 13 3x 21 3x 22 3x 23 0 x 31 x 32 x x 31 3x 32 3x 33 3x 11 3x 12 3x x 21 3x x 23 3x 31 3x 32 3x X B 2X 2B 2 x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x x 11 2x 12 2x 13 2x 21 2x 22 2x x 31 x 32 x x 31 2x 32 2x x x x x x x x x x 33 2 Άρα ϑα πρέπει να έχουµε 3x 11 3x 12 3x x 21 3x x 23 2x x x x x x x 31 3x 32 3x x x x 33 2 Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις : 3x 11 2x 11 2 x 11 2, 3x 12 2x 12 2 x 12 2, 3x x 13 2 x x 21 2x 21 2 x 21 2, 3x x 22 2 x 22 3, 3x 23 2x 23 2 x x 31 2x 31 2 x 31 2, 3x 32 2x 32 2 x 32 2, 3x x 33 2 x 33 3 Εποµένως αν υπάρχει τέτοιος 3 3 πίνακας X, τότε X Αντίστροφα, εύκολα ϐλέπουµε ίτι ο παραπάνω πίνακας ικανοποιεί τη σχέση A + 3X 2X B Θα µπορούσαµε να εργαστούµε και ως εξής : Από τη Ϲητούµενη σχέση A + 3X 2X B, ϑα έχουµε : A + 3X 2X B A + 3X 2X 2B 3X 2X A 2B X A 2B Ασκηση 5 Για κάθε m, N και για κάθε i 1, 2,, m, j 1, 2,,, ϑεωρούµε τους πίνακες : { 1, αν k i & l j E ij M m K, όπου E ij kl 0, διαφορετικά Με άλλα λόγια ο πίνακας E ij είναι ο m πίνακας ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στοιχείο του στη ϑέση i, j το οποίο είναι ίσο µε 1 1 Να δειχθεί ότι για κάθε m πίνακα A a ij ισχύει ότι : A a ij E ij i,j1
4 4 2 Για κάθε πίνακα A M m K να προσδιοριστούν οι πίνακες A E ij, όπου E ij M r K E ij A, όπου E ij M s m K Λύση 1 Θα έχουµε : a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A a m1 a m2 a m a 11 0 a 12 0 a a a a a m1 0 a m2 0 a m a 11 + a a a 21 + a a a m a m a m 0 a 11 E 11 + a 12 E a 1 E 1 + +a 21 E 21 + a 22 E a 2 E 2 + +a m1 E m1 + a m2 E m2 + + a m E m m a ij E ij i1 j
5 5 Εποµένως δείξαµε ότι a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A a ij m i1 a m1 a m2 a m a ij E ij 2 Θεωρούµε έναν m πίνακα A a ij και τον t πίνακα E ij ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στηχείο στην i-γραµµή και στην j-στήλη το οποίο είναι ίσο µε 1 Τότε ο πίνακας A E ij είναι ο m t πίνακας : 0 0 a i 0 0 a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a a 2i 0 0 A E ij a m1 a m2 a 0 0 a ii 0 0 m a i 0 0 a 1i a 2i όπου τα στοιχεία ϐρίσκονται στην j-στήλη a ii a i Παρόµοια αν ϑεωρήσουµε τον s m πίνακα E ij ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στοιχείο στην i-γραµµή και στην j-στήλη το οποίο είναι ίσο µε 1, τότε ο πίνακας E ij A είναι ο s πίνακας : a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a E ij A a j1 a j2 a ji a j 0 0 a m1 a m2 a m όπου τα στοιχεία aj1 a j2 a ji a j j1 ϐρίσκονται στην i-γραµµή Ασκηση 6 Να εξετασθεί αν ισχύει η ακόλουθη σχέση στο σύνολο M K των πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K: A + B 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Λύση Θα έχουµε : A + B 2 A + B A + B A 2 + AB + BA + B 2 A+B 3 A+B 2 A+B A 2 +AB+BA+B 2 A+B A 3 +A 2 B+ABA+AB 2 +BA 2 +BAB+B 2 A+B 3 Αν AB BA, τότε προφανώς ϑα έχουµε και BA 2 A 2 B και B 2 A AB 2, και εποµένως από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι : A+B 3 A 3 +A 2 B+ABA+AB 2 +BA 2 +BAB+B 3 A 3 +A 2 B+A 2 B+AB 2 +BA 2 +AB 2 +B 2 A+B 3
6 6 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι αν AB BA, τότε γενικά : Θεωρούµε τους 2 2 πίνακες A + B 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 A 1 0 και A Τότε έυκολα υπολογίσουµε ότι : 1 1 A + B, A + B 2 A + B A + B Άρα Από την άλλη πλυερά υπολογίζουµε : Άρα A + B 3 A + B A 2 A και άρα A 3 A 2 A A 2 A B 2 B B A 2 B A B B και AB 2 A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 A+3B+3O+O A+3B Εποµένως : A + B 3 A + B O και άρα B 3 O O 1 1 A + B A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ασκηση 7 Θεωρούµε τους πίνακες A και B 0 Να υπολογιστεί ο πίνακας A 2018 B Λύση Υπολογίζουµε πρώτα την -οστή δύναµη του πίνακα A Θα έχουµε : 1 2 A 0 1 A A A A 3 A A A 4 A 2 A Ισχυρισµός: Για κάθε 1: A
7 7 Για την απόδειξη του Ισχυρισµού, παρατηρούµε ότι η σχέση είναι αληθήες για 1, 2, 3, 4 Υποθέτουµε ότι η σχέση ισχύει για k, όπου k 2 Τότε ϑα έχουµε : A k+1 A k 1 k 1 A k 2k k k k + 1 k 2k k+1 1 k+1 1 k 2k k+1 1 k+1 1 k+1 2k k+1 Εποµένως η σχέση ισχύει και για k + 1 Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, συµπεραίνουµε ότι η σχέση ισχύει για κάθε 1 Τότε ϑα έχουµε : A 1 1 B Ιδιαίτερα, ϑέτοντας 2018, έπεται ότι : A B B Ασκηση 8 Να υπολογιστεί η -οστή δύναµη A του πίνακα A Λύση Υπολογίζουµε πρώτα τους πίνακες A, όπου 1, 2, 3, 4 Θα έχουµε : A A 2 A A A 3 A 2 A A 4 A 2 A Ισχυρισµός: Για κάθε 1: A Για την απόδειξη του Ισχυρισµού, παρατηρούµε ότι η σχέση είναι αληθήες για 1, 2, 3, 4 Υποθέτουµε ότι η σχέση ισχύει για k, όπου k 2 Τότε ϑα έχουµε : A k+1 A k A 1 1 2k k k
8 8 Εποµένως η σχέση ισχύει και για k + 1 Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, συµπεραίνουµε ότι η σχέση ισχύει για κάθε 1 Άρα ϑα έχουµε : A Υπενθυµίζουµε ότι το ίχνος TrA ένός τετραγωνικού πίνακα A a ij M K ορίζεται να είναι το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του : TrA Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : i1 TrA + B TrA + TrB, και TrλA λtra Υπενθυµίζουµε επίσης ότι ο ανάστροφος t A ενός πίνακα A M m K ορίζεται να είναι ο πίνακας t A M m K, όπου : Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : t A + B t A + t B a ii t A ij A ji και t λa λ t A Τέλος, υπενθυµίζουµε ότι ένας τετραγωνικός πίνακας A M K καλείται συµµετρικός αν και µόνον αν t A A, δηλαδή ισχύει ότι : a ij a ji, 1 i, j Ασκηση 9 Εστω A, B M K δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : TrA B TrB A Ως εφαρµογή να δειχθεί ότι για κάθε αντιστρέψιµο πίνακα P και κάθε πίνακα A ισχύει ότι : Λύση Θα έχουµε : TrA B A B kk k1 l1 k1 TrP 1 A P TrA A kl B lk k1 l1 B lk A kl B lk A kl k1 l1 B lk A kl l1 k1 k1 l1 B A ll TrB A l1 B lk A kl Αν P είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε για κάθε κάθε πίνακα A: TrP 1 A P Tr P 1 A P Tr A P P 1 Tr A P P 1 TrA I TrA Ασκηση 10 Να εξετασθεί αν για τυχόντες τετραγωνικούς πίνακες A a ij, B b ij M K, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις : TrA B TrATrB και Tr t A TrA Λύση Θεωρούµε τους πίνακες Τότε A και B 0 1 TrA 0 και TrB 1
9 9 Εποµένως : Από την άλλη πλευρά έχουµε : A B TrA TrB Εποµένως : TrA B 1 Από τις σχέσεις και έπεται ότι : TrA B 1 0 TrATrB Αν A a ij M K, τότε TrA i1 a ii Επειδή τα διαγώνια στοιχεία του αναστρόφου t A του A συµπίπτουν µε τα διαγώνια στοιχεία του A, ϑα έχουµε Tr t A i1 a ii Εποµένως : Tr t A TrA Ασκηση 11 Εστω A, B M K δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : t A B t B ta Λύση Εστω A a ij και B b ij Τότε, για κάθε i, j 1, 2,,, ϑα έχουµε t A B A B ji A jk B ki ij Εποµένως ϑα έχουµε t A B t B ta B ki A jk k1 k1 k1 t B ik t A kj t B ta ij Ασκηση 12 Θεωρούµε τους 1 πίνακες A, B M 1 K 1 Να δειχθεί ότι : t A B t B A 2 Να δειχθεί µε ένα αντιπαράδειγµα ότι : A tb B ta 3 Να δειχθεί ότι : 4 Να δειχθεί ότι : 5 Να δειχθεί ότι : TrA tb t A B t A A 0 A O A ta 0 A O Λύση Οι πίνακες A και B είναι της µορφής A a 1 a 2 a b 1 και B b 2 b και εποµένως t A a 1 a 2 a και t B b 1 b 2 b
10 10 1 Ο πίνακας t A B είναι µεγέθους 1 1 και : b 1 t A B b 2 a 1 a 2 a a 1b 1 + a 2 b 2 + a b Παρόµοια ο πίνακας t B A είναι µεγέθους 1 1 και t B A b 1 b 2 b i1 b a 1 a 2 a b 1a 1 + b 2 a 2 + b a Επειδή a i b i b i a i, i 1, 2,,, ϑα έχουµε : t A B a i b i b i a i t B A 2 Ο πίνακας A tb είναι µεγέθους και : A tb ij A i1 t B 1j A i1 B j1 a i1 b j1 i1 a i b i i1 b i a i i1 Εποµένως ο πίνακας A tb είναι ο εξής : a 1 a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b A tb a 2 b a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 1 b 2 b a a b a b a b Παρόµοια, ο πίνακας B ta είναι µεγέθους και : B ta ij B i1 t A 1j B i1 A j1 b i a j Εποµένως ο πίνακας A tb είναι ο εξής : b 1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a B ta b 2 a b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 1 a 2 a b b a 1 b a 2 b a Παρατηρούµε ότι γενικά A tb ij a i b j b i a j B ta ij και εποµένως A tb B ta Για παράδειγµα, έστω A και B Τότε : και A tb B ta
11 11 Προφανώς A tb B ta αν και µόνον αν 1 3 Από τους υπολογισµούς που κάναµε στο µέρος 2 προκύπτει ότι TrA tb a 1 b 1 + a 2 b a b a i b i b i a i b 1 a 1 + b 2 a b a 4 Εστω ότι t A A O Τότε όπως στο µέρος 1 ϑα έχουµε : 0 t A A a 1 a 2 a i1 a 1 a 2 a i1 b i a i TrB ta i1 a 1a 1 + a 2 a 2 + a a a a a 2 Επειδή προφανώς i1 a2 i 0 αν και µόνον αν a i 0, i 1, 2,,, έπεται ότι : t A A 0 A O i1 a 2 i 5 Εστω ότι A ta O Από τους υπολογισµούς που κάναµαε στο µέρος 2 προκύπτει ότι : a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 O A ta a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a a 2 a 1 a 2 2 a 2 a a a a a a a a a a a a a 2 Ιδιαίτερα ϑα έχουµε a 2 i 0, δηλαδή a i 0, i 1, 2,,, και εποµένως A O Παρατήρηση 1 Θεωρούµε τους 1 πίνακες A, B M 1 K Τότε, όπως προκύπτει από την παραπάνω Ασκηση : t A B TrA tb TrB ta t B A Ασκηση 13 1 Αν A M K, να εξετασθεί αν ισχύει ότι : A ta t A A 2 Αν A M 1 K, να δειχθεί ότι : αʹ Οι πίνακες A ta και t A A είναι συµµετρικοί ϐʹ Tr t A A TrA ta γʹ Ο αριθµός Tr t A A είναι µη-αρνητικός και : Tr t A A 0 A O Λύση 1 Εστω A a ij Για τους πίνακες A ta και t A A, ϑα έχουµε : A ta ij A ik t A kj A ik A jk a ik a jk a i1 a j1 + a i2 a j2 + + a i a j t A A ij k1 t A ik A kj k1 k1 A ki A kj k1 k1 a ki a kj a 1i a 1j + a 2i a 2j + + a i a j Θεωρούµε τον πίνακα A και τότε t 0 A Θα έχουµε : A ta k1
12 12 και t 0 A A Παρατηρούµε ότι A ta t A A αν και µόνον αν 1 2 αʹ Ο πίνακας A ta είναι συµµετρικός αν και µόνον αν t A ta A ta Επειδή t A ta t t A ta A ta έπεται ότι ο πίνακας A ta είναι συµµετρικός Παρόµοια, ο πίνακας t A A είναι συµµετρικός αν και µόνον αν t t A A t A A Επειδή t t A A t A t t A t A A έπεται ότι ο πίνακας t A A είναι συµµετρικός ϐʹ Επειδή, για τυχόντες πίνακες A και B ισχύει ότι TrA B TrB A, ϑα έχουµε : Tr t A A TrA ta γʹ Εστω A a ij Τότε ϑα έχουµε : Tr t A A t A A kk k1 k1 l1 t A kl A lk k1 l1 A lk A lk k1 l1 a lk a lk k1 l1 Εποµένως ο αριθµός Tr t A A, ως άθροισµα τετραγώνων, είναι µη-αρνητικός και προφανώς : Tr t A A 0 a 2 lk 0 a lk 0 A O k1 l1 3 1 Ασκηση 14 Αν A, να δειχθεί ότι A A 8I 2 0 Επιπλέον να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο πίνακας A 1 Λύση Θα έχουµε : A A A και άρα : A A 8I Τέλος ϑα έχουµε O a 2 lk A 2 2A 8I 2 O A 2 2A 8I 2 AA 2I 2 8I 2 A 1 8 A 2I 2 I A 2I 2 A Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A A 2I A 1 4 I Σχόλιο 2 Η παρακάτω Ασκηση είναι γενίκευση της Ασκησης 14
13 13 Ασκηση 15 Εστω a b A c d ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθεί ότι 1 : Να συµπεράνετε ότι : και τότε : A 2 a + da + ad bci 2 O ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ad bc 0 A 1 1 A + a + di 2 ad bc 1 ad bc d b c a Λύση Θα έχουµε : A 2 a b a b a b 1 0 a + da + ad bci 2 a + d + ad bc c d c d c d a 2 + bc ab + bd a ca + cd cb + d ad ab + bd ac bd 0 ac + cd ad + d ac bd a 2 + bc a 2 ad + ad bc ab + bd ab bd ac + cd ac cd cb + d 2 ad d 2 O + ad bc Άρα πράγµατι έχουµε : Η παραπάνω σχέση γράφεται : A 2 a + da + ad bci 2 O A 2 a + da ad bci 2 A A a + di 2 ad bci2 A a + di 2 A Υποθέτουµε ότι ad bc 0 Τότε πολλαπλασιάζοντας ϐαθµωτά και τα δύο µέλη της ισότητας πινάκων 1 µε τον αριθµό, ϑα έχουµε : ad bc a + d A ad bc I 1 a + d 2 ad bc A I 2 ad bc I 1 2 ad bc A A Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και a + d a b A 1 a + d ad bc I 1 2 ad bc A 0 ad bc a + d ad bc ad bc c d 0 ad bc ad bc ad bc d b ad bc ad bc 1 d b c a ad bc c a ad bc ad bc Υποθέτουµε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 Αν ad bc 0, τότε από τη σχέση ϑα έχουµε : A A a + di 2 O Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση µε A 1, έπεται ότι : A 1 A A a + di 2 A 1 O I 2 A a + di 2 O A a + di2 O a a + d a b a + d 0 b 0 A a + di 2 c d 0 a + d c 0 a + d d 1 Ο αριθµός a + d είναι το ίχνος TrA του A, και ο αριθµός ad bc καλείται ορίζουσα του A και συµβολίζεται µε A ή DetA
14 14 d 0 b 0 c 0 a 0 A O Αυτό όµως είναι άτοπο διότι ο µηδενικός πίνακας δεν είναι αντιστρέψιµος Στην αντίφαση αυτή καταλήξαµε υποθέτοντας ότι ad bc 0 Άρα ϑα έχουµε : ad bc 0 Ασκηση 16 Εστω N µε 2 Ας είναι AT K αντιστοίχως KT K το σύνολο των άνω αντιστοίχως κάτω τριγωνικών πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι η τοµή AT K KT K των δύο αυτών συνόλων ισούται µε το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Λύση Συµβολίζουµε µε K το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Ενα τυπικό στοιχείο του συνόλου αυτού είναι της µορφής : k k 2 0 k όπου k i K, 1 i Εστω ένας πίνακας A AT K KT K, δηλαδή A AT K και A KT K Αφού ο πίνακας A είναι άνω και κάτω τριγωνικός έπεται ότι κάτω και πάνω από την κύρια διαγώνιο έχει µηδέν Συνεπώς, ο πίνακας A K και άρα δείξαµε ότι AT K KT K K Επίσης είναι ϕανερό ότι αν έχουµε έναν διαγώνιο πίνακα τότε αυτός είναι άνω και κάτω τριγωνικός, δηλαδή K AT K KT K Εποµένως AT K KT K K Υπενθυµίζουµε ότι ένας πίνακας A καλείται ταυτοδύναµος αν A 2 A Για παράδειγµα ο πίνακας A είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 17 1 Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας A M K είναι ταυτοδύναµος, τότε και ο πίνακας I A είναι ταυτοδύναµος 2 Να ϐρεθούν όλοι οι ταυτοδύναµοι και αντιστρέψιµοι πίνακες 3 Υποθέτουµε ότι για τους πίνακες κατάλληλων µεγεθών A και B ισχύει ότι : AB A και BA B Να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι ταυτοδύναµοι Λύση 1 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : I A I A I 2 I A A I + A 2 I A A + A I A Άρα ο πίνακας I A είναι ταυτοδύναµος 2 Εστω A ένας πίνακας ο οποίος είναι ταυτοδύναµος και αντιστρέψιµος Τότε ϑα έχουµε A 2 A και A A 1 I A 1 A Εποµένως πολλαπλασιάζοντας τη σχέση A 2 A από τα αριστερά µε τον πίνακα A 1, ϑα έχουµε : A 1 A 2 A 1 A A 1 A A I I A I A I Αντίστροφα ο µοναδιαίος πίνακας I είναι προφανώς αντιστρέψιµος και ταυτοδύναµος
15 15 3 Υποθέτουµε ότι AB A και BA B Χρησιµοποιώντας αυτές τις σχέσεις ϑα έχουµε : A B A A B A A A A B A A 2 A B A 2 A A 2 B A B B A B B B B A B B 2 B A B 2 B B 2 Εποµένως οι πίνακες A και B είναι ταυτοδύναµοι Ασκηση 18 1 Αν ο πίνακας P είναι ταυτοδύναµος, τότε να δειχθεί ότι : 2P I 2 I 2 Αν για τον πίνακα A ισχύει ότι A 2 I, τότε να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 A + I 2 είναι ταυτοδύναµος Λύση 1 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : 2P I 2 2P I 2P I 2P 2P 2P I I 2P +I 2 4P 2 2P 2P +I N 4P 4P +I I 2 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : A + I 2 A + I 2 A + I 2 A I 1 2 A I 1 2 A 1 2 A A 1 2 I I 1 2 A I 1 2 I 1 4 A A I I A I I 1 4 I A A I 1 2 A I 1 2 A + I Εποµένως ο πίνακας 1 2 A + I είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 19 ίνεται ο πίνακας A 0 0 Να δείξετε ότι A 4 I 3 και ο ακολούθως να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Στην συνέχεια να ϐρείτε τους πίνακες A 1 και A 2018 Λύση Υπολογίσουµε εύκολα ότι : A και A 4 A 2 A I Επειδή A 4 I 3, ϑα έχουµε : A 3 A I 3 και A A 3 I 3 A 1 A 3 A 2 A Τέλος, επειδή , ϑα έχουµε : A 2018 A A A 2 A A 2 I A 2 I 3 A 2 A Ασκηση 20 Εστω A 1 2 Βρείτε τον πίνακα A, N
16 16 Λύση Υπολογίζουµε εύκολα : A A 4 1 8, A , A , A , Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι, 1: A k Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι αληθής για 1, 2 Υποθέτουµε ότι A, όπου k 3 Τότε : A k+1 A k 1 2k k k + 1 A Άρα η επαγωγική υπόθεση είναι αληθής για k+1, και εποµένως από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής : A 1 2, 1 Ασκηση 21 Για κάθε 1, να ϐρείτε την -οστή δύναµη του πίνακα A Λύση Για να καταλάβουµε τη περιγραφή του A, ξεκινάµε πρώτα κάνοντας τους παρακάτω πολλαπλασιασµούς πινάκων : A 2 AA A 3 A 2 A A 4 A 2 A Γνωρίζουµε ότι : Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι : A , Για 1, και λαµβάνοντας υπ οψιν ότι A 1 A και τη µορφή του πίνακα A, η Ϲητούµενη σχέση προφανώς ισχύει 2 Υπόθεση Επαγωγής: Εστω ότι ισχύει για k, δηλαδή δεχόµαστε ότι : A k 1 k kk+1 2 k 0
17 17 3 Θα δείξουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ισχύει για k + 1 Εχουµε A k+1 A k A 1 k kk+1 2 k k + 1 k+1k+2 2 k Εποµένως, η -οστή δύναµη του πίνακα A είναι ο πίνακας A , 1 0 Ασκηση 22 Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 0 A a b 1 0 c d 0 1 είναι αντιστρέψιµος και ακολούθως να ϐρεθεί ο αντίστροφός του A 1 Λύση Υπολογίζουµε : 1 0 A 2 A A a b 1 0 a b I 4 A A I 4 A A c d 0 1 c d 0 1 Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, και : A 1 A Ασκηση 23 Εστω A και B δύο πίνακες και υποθέτουµε ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε οι πίνακες P 1 AP και P 1 BP είναι διαγώνιοι Να δειχθεί ότι : AB BA Λύση Θέτοντας P 1 AP X και P 1 BP Y, ϑα έχουµε : P 1 AP X AP P X A P XP 1 και P 1 BP X BP P Y B P Y P 1 AB P XP 1 P Y P 1 P XP 1 P Y P 1 P XI Y P 1 P XY P 1 BA P Y P 1 P XP 1 P Y P 1 P XP 1 P Y I XP 1 P Y XP 1 Επειδή οι πίνακες P 1 AP X και P 1 BP Y είναι διαγώνιοι, µπορούµε να γράψουµε : λ 1 0 κ λ 2 0 κ 2 λ 3 0 κ X 3 0 και Y λ 1 0 κ λ 0 κ όπου τα στοιχεία λ i, κ i K, 1 i Επειδή λ 1 κ λ 2 κ 2 λ 3 κ 3 0 XY Y X λ 1 κ λ κ
18 18 ϑα έχουµε : AB P XY P 1 P Y XP 1 BA Υπενθυµίζουµε ότι µια σχέση R επί ενός συνόλου S είναι ένα υποσύνολο R S S του καρτεσιανού γινοµένου S S Αν s 1, s 2 S, και s 1, s 2 R ϑα γράφουµε : s 1 R s 2, δηλαδή : s 1, s 2 S : s 1 R s 2 s 1, s 2 R Μια σχέση R επί του συνόλου S καλείται σχέση ισοδυναµίας αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : 1 s S: s R s Ανακλαστική ιδιότητα 2 s 1, s 2 S: s 1 R s 2 s 2 R s 1 Συµµετρική ιδιότητα { 3 s 1, s 2, s 3 S: s 1 R s 2 s 2 R s 3 s 1 R s 3 Μεταβατική ιδιότητα Αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου S και δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχισης ϑα συµβολίζουµε την R µε και ϑα γράφουµε s 1 s 2 αντί s 1 R s 2 Ασκηση 24 ύο πίνακες A και B καλούνται όµοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P 1 AP B Να δειχθεί ότι ορίζοντας A, B M K : A B οι πίνακες A και B είναι όµοιοι απκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M K όλων των πινάκων υπεράνω του σώµατος K Λύση είχνουµε ότι η σχέση στο σύνολο M K όλων των πινάκων υπεράνω του σώµατος K είναι ανακλαστική, συµµετρική, και µεταβατική 1 «Ανακλαστική»: Για κάθε πίνακα A M K, έχουµε ότι ο µοναδιαίος πίνακας I είναι αντιστρέψιµος και : I 1 AI I A A Εποµένως A A 2 «Συµµετρική»: Εστω οι πίνακες A, B M K, και υποθέτουµε ότι A B Τότε υπάρχει αντιστρέψι- µος πίνακας P έτσι ώστε P 1 AP B Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση από τα αριστερά µε τον πίνακα P και από τα δεξιά µε τον πίνακα P 1 ϑα έχουµε : P 1 AP B AP P B A P BP 1 A P 1 1 BP 1 Επειδή ο πίνακας P 1 είναι αντιστρέψιµος, έπεται ότι B A 3 «Μεταβατική»: Εστω οι πίνακες A, B, C M K, και υποθέτουµε ότι A B και B C Τότε υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P και Q έτσι ώστε P 1 AP B και Q 1 BQ C Τότε : Q 1 BQ C Q 1 P 1 AP Q C Q 1 P 1 AP Q C P Q 1 AP Q B Επειδή ο πίνακας P Q είναι αντιστρέψιµος µε αντίστροφο τον πίνακα Q 1 P 1, έπεται ότι A C Συµπεραίνουµε ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική και άρα είναι µια σχέση ισοδυναµίας Παρατήρηση 2 Στις επόµενες τέσσερις ασκήσεις Ϲητείται να προσδιοριστεί αν ένας άνω τριγωνικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ακολούθως, αν είναι αντιστρέψιµος, να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Αργότερα µε χρήση οριζουσών ϑα δούµε αποτελεσµατικά κριτήρια για το πότε ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος και µεθόδους εύρεσης του αντίστροφου πίνακα Η µέθοδος η οποία ακολουθείται στις παρακάτω ασκήσεις για την εύρεση του αντίστροφου του πίνακα A, αν αυτός υπάρχει, είναι η εξής : αναζητούµε πίνακα X x ij έτσι ώστε A X I X A Τότε ϑα έχουµε το ακόλουθο σύστηµα ως προς x ij, 1 i, j : { 1, αν i j A X ij I ij a ik x kj δ ij 0, αν i j k1
19 X A ij I ij x ik a kj δ ij k1 { 1, αν i j 0, αν i j Αν το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση, τότε υπολογίσουµε τα στοιχεία x ij συναρτήσει των στοιχείων a ij και τότε ο πίνακας X που προκύπτει είναι ο πίνακας A 1 Αν το σύστηµα δεν έχει λύση, τότε ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Σηµειώνουµε ότι αν ο πίνακας A είναι άνω ή κάτω τριγωνικός, τότε και ο πίνακας X που αναζητούµε, αναγκαστικά ϑα είναι άνω ή κάτω τριγωνικός αποδείξτε το σαν Ασκηση Σε αυτή την περίπτωση οι πράξεις είναι σηµαντικά απλούστερες 19 Ασκηση 25 Για κάθε 1, να ϐρεθεί η -οστή δύναµη των πινάκων a b και λ λ 1 λ όπου a, b, λ R Πότε οι παραπάνω πίνακες είναι αντιστρέψιµοι ; Αν είναι αντιστρέψιµοι, ποιοί είναι οι αντίστροφοί τους ; Λύση 1 Θα δείξουµε µε χρήση Μαθηµατικής Επαγωγής ότι, 1: a b a b1 + a + a a 1 a b 1 k0 ak Αν 1, τότε η σχέση 1 είναι προφανώς αληθής Αν 2, τότε η σχέση 1 είναι αληθής, διότι : 2 A 2 a b a b a b a 2 ab + b a b1 + a Υποθέτουµε ότι η σχέση 1 είναι αληθής όταν Τότε +1 A +1 a b a b a b a b1 + a + a a 1 a b a +1 a b + b1 + a + a a 1 a +1 b1 + a + a a 1 + a Σύµφωνα µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, η σχέση 1 είναι αληθής για κάθε 1 a Αν a 0, τότε ϑεωρούµε 2 1 ba 1 τον πίνακα και ϑα έχουµε : a b a 1 ba a 1 ba 1 a b a b Άρα ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος και 1 a b a 1 ba 1 2 x y Αναζητούµε πίνακα X έτσι ώστε X A I z w 2 A X Επειδή ο πίνακας A είναι άνω τριγωνικός, µπορούµε να υποθέσουµε ότι και ο πίνακας X που αναζητούµε είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή z 0 Θα έχουµε : a b x y 1 0 ax ay + bw 1 0 A X I 2 ax 1, w 1, ay + bw 0 0 w 0 w Ετσι, για να είναι ο A αντιστρέψιµος, πρέπει a 0 και τότε x a 1, w 1, και y a 1 bw a 1 b, δηλαδή a 1 a 1 b X 1
20 20 Αν a 0, τότε ο πίνακας x y έτσι ώστε z w 0 b 0 b δεν είναι αντιστρέψιµος, διότι αν ήταν ϑα υπήρχε 2 2 πίνακας x y z w 1 0 x y z w 0 b από όπου προκύπτει άµεσα ότι ϑα πρέπει να έχουµε 1 0 το οποίο είναι άτοπο Άρα ο πίνακας 0 b δεν είναι αντιστρέψιµος 2 Αν λ 0, ϑεωρούµε 3 τον πίνακα λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ 1 και τότε : λ λ 1 λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ λ 1 λ λ 1 0 λ 1 λ Εποµένως ο πίνακας λ λ 1 είναι αντιστρέψιµος και λ λ λ 1 λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ λ 1 Αν λ 0, ο πίνακας 0 0 δεν είναι αντιστρέψιµος διότι αν ήταν αντιστρέψιµος, τότε 4 και ο 0 πίνακας 0 0 ϑα ήταν αντιστρέψιµος, 1 Επειδή O, καταλήγουµε στην 0 0 αντίφαση ότι ο µηδενικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος Εποµένως ο πίνακας 0 0 δεν είναι 0 αντιστρέψιµος Για τις δυνάµεις του πίνακα, υπολογίζουµε : λ λ 1 λ2 2λ λ 2 2λ λ2 1 λ 1 2 λ 0 0 λ λ 1 λ λ 2 λ 2 3 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2 4 Εστω ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 και ισχύει A A 1 I A 1 A Για κάθε k 1, ϑα έχουµε : A A 1 I A 1 A A A 1 k I k A 1 A k A k A 1 k I A 1 k A k όπου χρησιµοποιήσαµε ότι επειδή οι πίνακες A και A 1 µετατίθενται, ισχύει ότι A A 1 k A k A 1 k και A 1 A k A 1 k A k Εποµένως ο πίνακας A k είναι αντιστρέψιµος και A k 1 A 1 k
21 όπου λ λ 1 λ3 3λ 2 3λ 3 0 λ 3 3λ 2 λ2 1 λ λ 1 0 λ λ 2 λ λ 3 λ 2 k! k! k! είναι ο διωνυµικό συντελεστής Ισχυριζόµαστε ότι λ λ 1 λ 1 λ 1 2 λ 2 0 λ 1 λ 1 2 λ λ Οι παραπάνω υπολογισµοί δείχνουν ότι η σχέση 2 είναι αληθής όταν 2 ή 3 Υποθέτουµε ότι ισχύει η σχέση 2, και τότε : λ λ 1 λ λ 1 λ λ 1 λ 1 λ 1 2 λ 2 0 λ 1 λ 1 λ λ 1 λ λ λ λ λ λ+1 λ + 1 λ 1 λ λ 1 0 λ +1 λ + 1 λ λ λ λ λ 1 0 λ λ λ +1 Εύκολα ϐλέπουµε ότι!! + 1! + 1 1! + 1! ! 1! 1! 1! 1!! ! 1! +! 2! 2!! 1 2! ! + 1! 2 1! 2! 1!! 2! ! ! 1 Εποµένως ο τελευταίος πίνακας ϑα είναι λ λ 1 λ λ λ λ λ λ+1 1 λ +1 2 λ 1 0 λ +1 λ λ +1 1 λ λ +1 Σύµφωνα µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, ϑα έχουµε ότι η σχέση 2 είναι αληθής, 1 Ασκηση 26 Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του
22 22 Λύση Θεωρούµε 5 τον πίνακα B Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A Ασκηση 27 Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του A Λύση Θεωρούµε 6 τον πίνακα B Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2 6 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2
23 23 Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A Ασκηση 28 Για κάθε x R, να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 x x 2 x 3 x 1 x x x 2 x 2 x 1 0 x x 3 x 2 A x x 2 1 x είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Λύση Θεωρούµε 7 τον πίνακα 1 x x 0 0 x B x 0 1 x Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και 1 x x 0 0 x A 1 x 0 1 x Ασκηση 29 Εστω A και B πίνακες τέτοιοι ώστε ο πίνακας I AB 2 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας I BA 2 είναι αντιστρέψιµος και I BA 2 1 I + B I AB 2 1 ABA Λύση Αρκεί να δείξουµε ότι I BA 2 [I + BI AB 2 1 ABA] I [I + BI AB 2 1 ABA] I BA 2 7 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2
24 24 1 Θα έχουµε : I BA 2 [I + BI AB 2 1 ABA] I + BI AB 2 1 ABA 2 Θα έχουµε : BA 2 BA 2 BI AB 2 1 ABA I + BI AB 2 1 ABA BA 2 BABABI AB 2 1 ABA I BA 2 + +BI AB 2 1 ABA BAB 2 I AB 2 1 ABA I BA 2 + +B [ I AB 2 1 AB 2 I AB 2 1] ABA I BA 2 + B I AB 2 I AB 2 1 ABA I BA 2 + BI ABA I BA 2 + BA 2 I [I + BI AB 2 1 ABA] I BA 2 I + BI AB 2 1 ABA BA 2 BI AB 2 1 ABABA 2 I BA 2 + +BI AB 2 1 ABA BI AB 2 1 ABABABA I BA 2 + +BI AB 2 1[ ABA AB 2 ABA ] I BA 2 + +BI AB 2 1 I AB 2 ABA I BA 2 + BI ABA I BA 2 + BABA I BA 2 + BA 2 I Από τα 1 και 2 έχουµε το Ϲητούµενο Παρατήρηση 3 Εστω A, B δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Τότε, όπως ϑα δούµε σύντοµα µε χρήση της ϑεωρίας οριζουσών, ισχύει ότι : A B I B A I και άρα, αν ικανοποιείται µία από τις σχέσεις A B I ή B A I, τότε ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 B Εποµένως στην Ασκηση 29 και σε ανάλογες Ασκήσεις, ϐλέπε την Ασκηση 32 παρακάτω, αρκεί να δειχθεί µόνο η µία εκ των δύο απαιτουµένων ισοτήτων Ασκηση 30 Εστω A ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει ότι A 4 A 3 + A 2 A + I 0, Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 A 4 Λύση Από τη σχέση A 4 A 3 + A 2 A + I 0 έχουµε A 4 + A 3 A 2 + A I και άρα A A 3 + A 2 A + I I και A 3 + A 2 A + I A I
25 25 Συνεπώς ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 A 3 + A 2 A + I A 4 Ασκηση 31 Εστω A, B M K Να δειχθεί ότι : ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος Λύση Υποθέτουµε ότι ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος Συµβολίζουµε µε C τον αντίστροφό του : C : I + AB 1 και έτσι ϑα έχουµε : I + AB C I C I + AB, ιδιαίτερα ϑα έχουµε : C + ABC I, δηλαδή ABC I C Θεωρούµε τον πίνακα I BCA Θα δείξουµε ότι ο πίνακας I +BA είναι αντιστρέψιµος και I +BA 1 I BCA Θα έχουµε : I BCA I + BA I + BA BCA BCABA I + BA BCA BCABI A I + BA BCA BCABCC 1 A I + BA BCA BCABCC 1 A I + BA BCA BCI CC 1 A I + BA BCA BCI C 1 A BCCC 1 A I + BA BCA BA BCA I + BA BCA BA + BCA I και εποµένως : Παρόµοια ϑα έχουµε : I BCA I + BA I 1 I + BA I BCA I BCA + BA BABCA I BCA + BA BI CA και εποµένως I BCA + BA BA + BCA I I + BA I BCA I 2 Από τις σχέσεις 1 και 2 προκύπτει ότι ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος και I + BA 1 I BCA I BI + AB 1 A Η απόδειξη είναι ανάλογη 8 και αφήνεται ως άσκσηση στον αναγνώστη Ασκηση 32 Θεωρούµε τους πίνακες A και B και υποθέτουµε ότι ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A + B AB Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A 1 + B 1 I Λύση Επειδή ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος, υπάρχει ο αντίστροφός του B 1 Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση από δεξιά µε τον πίνακα B 1 ϑα έχουµε : A + B AB A + BB 1 ABB 1 AB 1 + I A A AB 1 I AI B 1 I Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 3, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 I B 1 Τέλος έχουµε ότι A 1 + B 1 I B 1 + B 1 I 8 Αν ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος, ϑέτουµε D I + BA 1 και τότε I + BA D I Εποµένως ϑα έχουµε BAD I D Θεωρούµε τον πίνακα I ADB και δείχνουµε ότι I + AB I ADB I I ADB I + AB Εποµένως ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος και I + AB 1 I ADB I AI + BA 1 B
26 26 Ασκηση 33 Εστω A, B δύο αντιστρέψιµοι πίνακες έτσι ώστε ο πίνακας A+B 1 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : Λύση Παρατηρούµε ότι : A 1 + B 1 A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 A + B A B A + B 1 1 I + B A B A + B B 1 1 I + B A I + B A 1 I Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 3, ο πίνακας A 1 +B είναι αντιστρέψιµος και A 1 +B 1 A A+B 1 1 B 1 ιαφορετικά, υπολογίζουµε : A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B 1 B A A + B 1 1 A B 1 + I A 1 1 A + B 1 1 A B 1 + I A + B 1 A 1 1 A B 1 + I A A 1 + B 1 A 1 1 A B 1 + I A B I A B 1 + I I Άρα A 1 + B A A + B 1 1 B 1 I A A + B 1 1 B 1 A 1 + B Άρα ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος και A 1 + B 1 A A + B 1 1 B 1 Παρατήρηση 4 Εστω A και B δύο αντιστρέψιµοι πίνακες Ακολουθώντας τη µέθοδο λύσης της παραπάνω Ασκησης 33, αποδεικνύονται ακριβώς ανάλογα και οι ακόλουθοι ισχυρισµοί 1 Αν ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A + B 1 είναι αντιστρέψιµος και A + B 1 1 A 1 A 1 + B 1 B 2 Αν ο πίνακας A 1 + B 1 είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A + B είναι αντιστρέψιµος και A + B 1 A 1 A 1 + B 1 1 B 1 3 Αν ο πίνακας A + B είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A 1 + B 1 είναι αντιστρέψιµος και A 1 + B 1 1 A A + B 1 B Ασκηση 34 Να ευρεθούν όλοι οι πίνακες που µετατίθενται µε τους πίνακες τής µορφής : A, B a b a b a b 0 Λύση Ας είναι C ένας πίνακας µε AC CA, δηλαδή Τότε b 0 c d a b c d 0 και c d a Εποµένως ο πίνακας C είναι της µορφής a 0 C a, d K d a d Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι κάθε πίνακας της παραπάνω µορφής µετατίθεται µε τον A
27 Ας είναι C a b c d e f ένας πίνακας µε BC CB, δηλαδή d e f g h k 0 a b 0 d e Τότε g h k g h d 0, g 0, h 0, e a, k a, f b Εποµένως ο πίνακας C είναι της µορφής C a b c 0 a b a, b, c K a Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι κάθε πίνακας της παραπάνω µορφής µετατίθεται µε τον B 27 Ασκηση 35 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 ταυτοδύναµοι πίνακες a b Λύση Ας είναι A ένας 2 2 πίνακας µε A c d 2 A, δηλαδή a 2 + bc a 1 a 2 + bc ab + bd a b ab + bd b 2 ac + cd bc + d 2 c d ac + cd c 3 bc + d 2 d 4 Εστω ότι b 0, τότε η 2 δίνει τη λύση d 1 a, η οποία ικανοποιεί και την 3 Από την 1 έχουµε c a a2 b Αυτές οι τιµές των c, d ικανοποιούν την 4 Άρα αν b 0, τότε οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής : a b a a 2 b 1 a Εστω ότι b 0, τότε το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων γίνεται a 2 a ac + cd c d 2 d Παίρνοντας υπ όψιν ότι a 0 ή 1 και d 0 ή 1 έχουµε τις λύσεις : a 0, b 0, d 1, c K, a 1, b 0, d 0, c K, a 0, b 0, c 0, d 0, a 0, b 0, c 0, d 1, a 1, b 0, c 0, d 0, a 1, b 0, c 0, d 1, δηλαδή οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής c K:, c 1 1 0, c 0, 1 0 Συνοψίζοντας οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής : a b 0 0 a, b K, b 0 και,,, c K 1 a c 1 c 0 a a 2 b Ασκηση 36 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 πίνακες A που υψούµενοι στο τετράγωνο είναι ίσοι µε τον µηδενικό 2 2 πίνακα, δηλαδή όλοι οι 2 2 πίνακες A για τους οποίους ισχύει ότι A 2 O a b Λύση Ας είναι A ένας 2 2 πίνακας µε A c d 2 O, δηλαδή a 2 + bc 0 1 a 2 + bc ab + bd ab + bd 0 2 ac + cd bc + d 2 ac + cd 0 3 bc + d 2 0 4
28 28 Εστω ότι b 0, τότε η 1 δίνει c a2 b και η 2 δίνει d a Οι 3 και 4 ικανοποιούνται από τις προηγούµενες λύσεις Ετσι προκύπτουν οι πίνακες a b a2 b a b 0 Εστω ότι b 0, τότε επειδή έπεται a 0 και d 0, έχουµε τη λύση a 0, b 0, c K, d 0 ηλαδή προκύπτει ο πίνακας c K c 0 Συνοψίζοντας οι 2 2 πίνακες A µε στοιχεία από το σώµα K έτσι ώστε A 2 O, είναι οι πίνακες της µορφής : a b a, b K, b 0 και c K a c 0 a2 b
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότερα0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,
I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις
202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο
Διαβάστε περισσότεραακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα
Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραακτύλιοι και Υποδακτύλιοι
Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές
Διαβάστε περισσότερα