ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1 Να γράψετε αναλυτικά τον 6 6 πίνακα A a ij όπου a ij mi{i, j} + i j Λύση Θα έχουµε : A Ασκηση 2 ίνονται οι πίνακες A 1 0 2, B , C Να εκτελεστούν, όπου είναι δυνατόν, οι ακόλουθοι πολλαπλασιασµοί πινάκων : A B, B A, A C, C A, B C Λύση Θα έχουµε : 0 5 A B, A C, B C Τα γινόµενα πινάκων B A και C A δεν ορίζονται Ασκηση 3 Αν x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί και cos x si x A si x cos x cos y si y και B si y cos y να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι αντιστρέψιµοι, να ϐρεθούν οι πίνακες A 1 και B 1, και να δειχθεί ότι : AB BA

2 2 Λύση Θεωρούµε τους πίνακες cos x si x si x cos x και cos y si y si y cos y Θα έχουµε : cos x si x cos x si x cos x 2 + si x 2 si x cos x + si x cos x 1 0 si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x si x 2 + cos x 2 I 2 cos x si x cos x si x cos x 2 + si x 2 si x cos x + six cos x 1 0 si x cos x si x cos x si x cos x si x cos x si x 2 + cos x 2 I 2 cos x si x Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και si x cos x A 1 cos x si x si x cos x cos y si y Παρόµοια ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και si y cos y B 1 cos y si y si y cos y Τέλος ϑα έχουµε : cos x si x cos y si y cos x cos y si x si y cos x si y + si x cos y A B si x cos x si y cos y si x cos y cos x si y si x si y + cos x cos y cosx + y six + y six + y cosx + y Παρόµοια : cos y si y cos x si x cos y cos x si y si x cos y si x + si y cos x B A si y cos y si x cos x si y cos x cos y si x si y si x + cos y cos x cosx + y six + y six + y cosx + y Άρα A B B A Σχόλιο 1 Στην παραπάνω Ασκηση χρησιµοποιήσαµε τις γνωστές ταυτότητες : cosx ± y cos x cos y si x si y και six ± y si x cos y ± cos x si y Ασκηση 4 Θεωρούµε τους πίνακες A 0 0 και B Να προσδιοριστεί 3 3 πίνακας X, ο οποίος να ικανοποιεί την εξίσωση : A + 3X 2X B Λύση Εστω ότι υπάρχει 3 3 πίνακας X x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33

3 3 έτσι ώστε A + 3X 2X B Θα έχουµε τότε : A + 3X x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x x 11 3x 12 3x 13 3x 21 3x 22 3x 23 0 x 31 x 32 x x 31 3x 32 3x 33 3x 11 3x 12 3x x 21 3x x 23 3x 31 3x 32 3x X B 2X 2B 2 x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x x 11 2x 12 2x 13 2x 21 2x 22 2x x 31 x 32 x x 31 2x 32 2x x x x x x x x x x 33 2 Άρα ϑα πρέπει να έχουµε 3x 11 3x 12 3x x 21 3x x 23 2x x x x x x x 31 3x 32 3x x x x 33 2 Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις : 3x 11 2x 11 2 x 11 2, 3x 12 2x 12 2 x 12 2, 3x x 13 2 x x 21 2x 21 2 x 21 2, 3x x 22 2 x 22 3, 3x 23 2x 23 2 x x 31 2x 31 2 x 31 2, 3x 32 2x 32 2 x 32 2, 3x x 33 2 x 33 3 Εποµένως αν υπάρχει τέτοιος 3 3 πίνακας X, τότε X Αντίστροφα, εύκολα ϐλέπουµε ίτι ο παραπάνω πίνακας ικανοποιεί τη σχέση A + 3X 2X B Θα µπορούσαµε να εργαστούµε και ως εξής : Από τη Ϲητούµενη σχέση A + 3X 2X B, ϑα έχουµε : A + 3X 2X B A + 3X 2X 2B 3X 2X A 2B X A 2B Ασκηση 5 Για κάθε m, N και για κάθε i 1, 2,, m, j 1, 2,,, ϑεωρούµε τους πίνακες : { 1, αν k i & l j E ij M m K, όπου E ij kl 0, διαφορετικά Με άλλα λόγια ο πίνακας E ij είναι ο m πίνακας ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στοιχείο του στη ϑέση i, j το οποίο είναι ίσο µε 1 1 Να δειχθεί ότι για κάθε m πίνακα A a ij ισχύει ότι : A a ij E ij i,j1

4 4 2 Για κάθε πίνακα A M m K να προσδιοριστούν οι πίνακες A E ij, όπου E ij M r K E ij A, όπου E ij M s m K Λύση 1 Θα έχουµε : a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A a m1 a m2 a m a 11 0 a 12 0 a a a a a m1 0 a m2 0 a m a 11 + a a a 21 + a a a m a m a m 0 a 11 E 11 + a 12 E a 1 E 1 + +a 21 E 21 + a 22 E a 2 E 2 + +a m1 E m1 + a m2 E m2 + + a m E m m a ij E ij i1 j

5 5 Εποµένως δείξαµε ότι a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A a ij m i1 a m1 a m2 a m a ij E ij 2 Θεωρούµε έναν m πίνακα A a ij και τον t πίνακα E ij ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στηχείο στην i-γραµµή και στην j-στήλη το οποίο είναι ίσο µε 1 Τότε ο πίνακας A E ij είναι ο m t πίνακας : 0 0 a i 0 0 a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a a 2i 0 0 A E ij a m1 a m2 a 0 0 a ii 0 0 m a i 0 0 a 1i a 2i όπου τα στοιχεία ϐρίσκονται στην j-στήλη a ii a i Παρόµοια αν ϑεωρήσουµε τον s m πίνακα E ij ο οποίος έχει κάθε στοιχείο του ίσο µε 0 εκτός από το στοιχείο στην i-γραµµή και στην j-στήλη το οποίο είναι ίσο µε 1, τότε ο πίνακας E ij A είναι ο s πίνακας : a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a E ij A a j1 a j2 a ji a j 0 0 a m1 a m2 a m όπου τα στοιχεία aj1 a j2 a ji a j j1 ϐρίσκονται στην i-γραµµή Ασκηση 6 Να εξετασθεί αν ισχύει η ακόλουθη σχέση στο σύνολο M K των πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K: A + B 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Λύση Θα έχουµε : A + B 2 A + B A + B A 2 + AB + BA + B 2 A+B 3 A+B 2 A+B A 2 +AB+BA+B 2 A+B A 3 +A 2 B+ABA+AB 2 +BA 2 +BAB+B 2 A+B 3 Αν AB BA, τότε προφανώς ϑα έχουµε και BA 2 A 2 B και B 2 A AB 2, και εποµένως από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι : A+B 3 A 3 +A 2 B+ABA+AB 2 +BA 2 +BAB+B 3 A 3 +A 2 B+A 2 B+AB 2 +BA 2 +AB 2 +B 2 A+B 3

6 6 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι αν AB BA, τότε γενικά : Θεωρούµε τους 2 2 πίνακες A + B 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 A 1 0 και A Τότε έυκολα υπολογίσουµε ότι : 1 1 A + B, A + B 2 A + B A + B Άρα Από την άλλη πλυερά υπολογίζουµε : Άρα A + B 3 A + B A 2 A και άρα A 3 A 2 A A 2 A B 2 B B A 2 B A B B και AB 2 A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 A+3B+3O+O A+3B Εποµένως : A + B 3 A + B O και άρα B 3 O O 1 1 A + B A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ασκηση 7 Θεωρούµε τους πίνακες A και B 0 Να υπολογιστεί ο πίνακας A 2018 B Λύση Υπολογίζουµε πρώτα την -οστή δύναµη του πίνακα A Θα έχουµε : 1 2 A 0 1 A A A A 3 A A A 4 A 2 A Ισχυρισµός: Για κάθε 1: A

7 7 Για την απόδειξη του Ισχυρισµού, παρατηρούµε ότι η σχέση είναι αληθήες για 1, 2, 3, 4 Υποθέτουµε ότι η σχέση ισχύει για k, όπου k 2 Τότε ϑα έχουµε : A k+1 A k 1 k 1 A k 2k k k k + 1 k 2k k+1 1 k+1 1 k 2k k+1 1 k+1 1 k+1 2k k+1 Εποµένως η σχέση ισχύει και για k + 1 Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, συµπεραίνουµε ότι η σχέση ισχύει για κάθε 1 Τότε ϑα έχουµε : A 1 1 B Ιδιαίτερα, ϑέτοντας 2018, έπεται ότι : A B B Ασκηση 8 Να υπολογιστεί η -οστή δύναµη A του πίνακα A Λύση Υπολογίζουµε πρώτα τους πίνακες A, όπου 1, 2, 3, 4 Θα έχουµε : A A 2 A A A 3 A 2 A A 4 A 2 A Ισχυρισµός: Για κάθε 1: A Για την απόδειξη του Ισχυρισµού, παρατηρούµε ότι η σχέση είναι αληθήες για 1, 2, 3, 4 Υποθέτουµε ότι η σχέση ισχύει για k, όπου k 2 Τότε ϑα έχουµε : A k+1 A k A 1 1 2k k k

8 8 Εποµένως η σχέση ισχύει και για k + 1 Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, συµπεραίνουµε ότι η σχέση ισχύει για κάθε 1 Άρα ϑα έχουµε : A Υπενθυµίζουµε ότι το ίχνος TrA ένός τετραγωνικού πίνακα A a ij M K ορίζεται να είναι το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του : TrA Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : i1 TrA + B TrA + TrB, και TrλA λtra Υπενθυµίζουµε επίσης ότι ο ανάστροφος t A ενός πίνακα A M m K ορίζεται να είναι ο πίνακας t A M m K, όπου : Από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι : t A + B t A + t B a ii t A ij A ji και t λa λ t A Τέλος, υπενθυµίζουµε ότι ένας τετραγωνικός πίνακας A M K καλείται συµµετρικός αν και µόνον αν t A A, δηλαδή ισχύει ότι : a ij a ji, 1 i, j Ασκηση 9 Εστω A, B M K δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : TrA B TrB A Ως εφαρµογή να δειχθεί ότι για κάθε αντιστρέψιµο πίνακα P και κάθε πίνακα A ισχύει ότι : Λύση Θα έχουµε : TrA B A B kk k1 l1 k1 TrP 1 A P TrA A kl B lk k1 l1 B lk A kl B lk A kl k1 l1 B lk A kl l1 k1 k1 l1 B A ll TrB A l1 B lk A kl Αν P είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε για κάθε κάθε πίνακα A: TrP 1 A P Tr P 1 A P Tr A P P 1 Tr A P P 1 TrA I TrA Ασκηση 10 Να εξετασθεί αν για τυχόντες τετραγωνικούς πίνακες A a ij, B b ij M K, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις : TrA B TrATrB και Tr t A TrA Λύση Θεωρούµε τους πίνακες Τότε A και B 0 1 TrA 0 και TrB 1

9 9 Εποµένως : Από την άλλη πλευρά έχουµε : A B TrA TrB Εποµένως : TrA B 1 Από τις σχέσεις και έπεται ότι : TrA B 1 0 TrATrB Αν A a ij M K, τότε TrA i1 a ii Επειδή τα διαγώνια στοιχεία του αναστρόφου t A του A συµπίπτουν µε τα διαγώνια στοιχεία του A, ϑα έχουµε Tr t A i1 a ii Εποµένως : Tr t A TrA Ασκηση 11 Εστω A, B M K δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : t A B t B ta Λύση Εστω A a ij και B b ij Τότε, για κάθε i, j 1, 2,,, ϑα έχουµε t A B A B ji A jk B ki ij Εποµένως ϑα έχουµε t A B t B ta B ki A jk k1 k1 k1 t B ik t A kj t B ta ij Ασκηση 12 Θεωρούµε τους 1 πίνακες A, B M 1 K 1 Να δειχθεί ότι : t A B t B A 2 Να δειχθεί µε ένα αντιπαράδειγµα ότι : A tb B ta 3 Να δειχθεί ότι : 4 Να δειχθεί ότι : 5 Να δειχθεί ότι : TrA tb t A B t A A 0 A O A ta 0 A O Λύση Οι πίνακες A και B είναι της µορφής A a 1 a 2 a b 1 και B b 2 b και εποµένως t A a 1 a 2 a και t B b 1 b 2 b

10 10 1 Ο πίνακας t A B είναι µεγέθους 1 1 και : b 1 t A B b 2 a 1 a 2 a a 1b 1 + a 2 b 2 + a b Παρόµοια ο πίνακας t B A είναι µεγέθους 1 1 και t B A b 1 b 2 b i1 b a 1 a 2 a b 1a 1 + b 2 a 2 + b a Επειδή a i b i b i a i, i 1, 2,,, ϑα έχουµε : t A B a i b i b i a i t B A 2 Ο πίνακας A tb είναι µεγέθους και : A tb ij A i1 t B 1j A i1 B j1 a i1 b j1 i1 a i b i i1 b i a i i1 Εποµένως ο πίνακας A tb είναι ο εξής : a 1 a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b A tb a 2 b a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 1 b 2 b a a b a b a b Παρόµοια, ο πίνακας B ta είναι µεγέθους και : B ta ij B i1 t A 1j B i1 A j1 b i a j Εποµένως ο πίνακας A tb είναι ο εξής : b 1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a B ta b 2 a b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 1 a 2 a b b a 1 b a 2 b a Παρατηρούµε ότι γενικά A tb ij a i b j b i a j B ta ij και εποµένως A tb B ta Για παράδειγµα, έστω A και B Τότε : και A tb B ta

11 11 Προφανώς A tb B ta αν και µόνον αν 1 3 Από τους υπολογισµούς που κάναµε στο µέρος 2 προκύπτει ότι TrA tb a 1 b 1 + a 2 b a b a i b i b i a i b 1 a 1 + b 2 a b a 4 Εστω ότι t A A O Τότε όπως στο µέρος 1 ϑα έχουµε : 0 t A A a 1 a 2 a i1 a 1 a 2 a i1 b i a i TrB ta i1 a 1a 1 + a 2 a 2 + a a a a a 2 Επειδή προφανώς i1 a2 i 0 αν και µόνον αν a i 0, i 1, 2,,, έπεται ότι : t A A 0 A O i1 a 2 i 5 Εστω ότι A ta O Από τους υπολογισµούς που κάναµαε στο µέρος 2 προκύπτει ότι : a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 O A ta a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 1 a 2 a a 2 a 1 a 2 2 a 2 a a a a a a a a a a a a a 2 Ιδιαίτερα ϑα έχουµε a 2 i 0, δηλαδή a i 0, i 1, 2,,, και εποµένως A O Παρατήρηση 1 Θεωρούµε τους 1 πίνακες A, B M 1 K Τότε, όπως προκύπτει από την παραπάνω Ασκηση : t A B TrA tb TrB ta t B A Ασκηση 13 1 Αν A M K, να εξετασθεί αν ισχύει ότι : A ta t A A 2 Αν A M 1 K, να δειχθεί ότι : αʹ Οι πίνακες A ta και t A A είναι συµµετρικοί ϐʹ Tr t A A TrA ta γʹ Ο αριθµός Tr t A A είναι µη-αρνητικός και : Tr t A A 0 A O Λύση 1 Εστω A a ij Για τους πίνακες A ta και t A A, ϑα έχουµε : A ta ij A ik t A kj A ik A jk a ik a jk a i1 a j1 + a i2 a j2 + + a i a j t A A ij k1 t A ik A kj k1 k1 A ki A kj k1 k1 a ki a kj a 1i a 1j + a 2i a 2j + + a i a j Θεωρούµε τον πίνακα A και τότε t 0 A Θα έχουµε : A ta k1

12 12 και t 0 A A Παρατηρούµε ότι A ta t A A αν και µόνον αν 1 2 αʹ Ο πίνακας A ta είναι συµµετρικός αν και µόνον αν t A ta A ta Επειδή t A ta t t A ta A ta έπεται ότι ο πίνακας A ta είναι συµµετρικός Παρόµοια, ο πίνακας t A A είναι συµµετρικός αν και µόνον αν t t A A t A A Επειδή t t A A t A t t A t A A έπεται ότι ο πίνακας t A A είναι συµµετρικός ϐʹ Επειδή, για τυχόντες πίνακες A και B ισχύει ότι TrA B TrB A, ϑα έχουµε : Tr t A A TrA ta γʹ Εστω A a ij Τότε ϑα έχουµε : Tr t A A t A A kk k1 k1 l1 t A kl A lk k1 l1 A lk A lk k1 l1 a lk a lk k1 l1 Εποµένως ο αριθµός Tr t A A, ως άθροισµα τετραγώνων, είναι µη-αρνητικός και προφανώς : Tr t A A 0 a 2 lk 0 a lk 0 A O k1 l1 3 1 Ασκηση 14 Αν A, να δειχθεί ότι A A 8I 2 0 Επιπλέον να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο πίνακας A 1 Λύση Θα έχουµε : A A A και άρα : A A 8I Τέλος ϑα έχουµε O a 2 lk A 2 2A 8I 2 O A 2 2A 8I 2 AA 2I 2 8I 2 A 1 8 A 2I 2 I A 2I 2 A Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A A 2I A 1 4 I Σχόλιο 2 Η παρακάτω Ασκηση είναι γενίκευση της Ασκησης 14

13 13 Ασκηση 15 Εστω a b A c d ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθεί ότι 1 : Να συµπεράνετε ότι : και τότε : A 2 a + da + ad bci 2 O ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ad bc 0 A 1 1 A + a + di 2 ad bc 1 ad bc d b c a Λύση Θα έχουµε : A 2 a b a b a b 1 0 a + da + ad bci 2 a + d + ad bc c d c d c d a 2 + bc ab + bd a ca + cd cb + d ad ab + bd ac bd 0 ac + cd ad + d ac bd a 2 + bc a 2 ad + ad bc ab + bd ab bd ac + cd ac cd cb + d 2 ad d 2 O + ad bc Άρα πράγµατι έχουµε : Η παραπάνω σχέση γράφεται : A 2 a + da + ad bci 2 O A 2 a + da ad bci 2 A A a + di 2 ad bci2 A a + di 2 A Υποθέτουµε ότι ad bc 0 Τότε πολλαπλασιάζοντας ϐαθµωτά και τα δύο µέλη της ισότητας πινάκων 1 µε τον αριθµό, ϑα έχουµε : ad bc a + d A ad bc I 1 a + d 2 ad bc A I 2 ad bc I 1 2 ad bc A A Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και a + d a b A 1 a + d ad bc I 1 2 ad bc A 0 ad bc a + d ad bc ad bc c d 0 ad bc ad bc ad bc d b ad bc ad bc 1 d b c a ad bc c a ad bc ad bc Υποθέτουµε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 Αν ad bc 0, τότε από τη σχέση ϑα έχουµε : A A a + di 2 O Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση µε A 1, έπεται ότι : A 1 A A a + di 2 A 1 O I 2 A a + di 2 O A a + di2 O a a + d a b a + d 0 b 0 A a + di 2 c d 0 a + d c 0 a + d d 1 Ο αριθµός a + d είναι το ίχνος TrA του A, και ο αριθµός ad bc καλείται ορίζουσα του A και συµβολίζεται µε A ή DetA

14 14 d 0 b 0 c 0 a 0 A O Αυτό όµως είναι άτοπο διότι ο µηδενικός πίνακας δεν είναι αντιστρέψιµος Στην αντίφαση αυτή καταλήξαµε υποθέτοντας ότι ad bc 0 Άρα ϑα έχουµε : ad bc 0 Ασκηση 16 Εστω N µε 2 Ας είναι AT K αντιστοίχως KT K το σύνολο των άνω αντιστοίχως κάτω τριγωνικών πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι η τοµή AT K KT K των δύο αυτών συνόλων ισούται µε το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Λύση Συµβολίζουµε µε K το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Ενα τυπικό στοιχείο του συνόλου αυτού είναι της µορφής : k k 2 0 k όπου k i K, 1 i Εστω ένας πίνακας A AT K KT K, δηλαδή A AT K και A KT K Αφού ο πίνακας A είναι άνω και κάτω τριγωνικός έπεται ότι κάτω και πάνω από την κύρια διαγώνιο έχει µηδέν Συνεπώς, ο πίνακας A K και άρα δείξαµε ότι AT K KT K K Επίσης είναι ϕανερό ότι αν έχουµε έναν διαγώνιο πίνακα τότε αυτός είναι άνω και κάτω τριγωνικός, δηλαδή K AT K KT K Εποµένως AT K KT K K Υπενθυµίζουµε ότι ένας πίνακας A καλείται ταυτοδύναµος αν A 2 A Για παράδειγµα ο πίνακας A είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 17 1 Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας A M K είναι ταυτοδύναµος, τότε και ο πίνακας I A είναι ταυτοδύναµος 2 Να ϐρεθούν όλοι οι ταυτοδύναµοι και αντιστρέψιµοι πίνακες 3 Υποθέτουµε ότι για τους πίνακες κατάλληλων µεγεθών A και B ισχύει ότι : AB A και BA B Να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι ταυτοδύναµοι Λύση 1 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : I A I A I 2 I A A I + A 2 I A A + A I A Άρα ο πίνακας I A είναι ταυτοδύναµος 2 Εστω A ένας πίνακας ο οποίος είναι ταυτοδύναµος και αντιστρέψιµος Τότε ϑα έχουµε A 2 A και A A 1 I A 1 A Εποµένως πολλαπλασιάζοντας τη σχέση A 2 A από τα αριστερά µε τον πίνακα A 1, ϑα έχουµε : A 1 A 2 A 1 A A 1 A A I I A I A I Αντίστροφα ο µοναδιαίος πίνακας I είναι προφανώς αντιστρέψιµος και ταυτοδύναµος

15 15 3 Υποθέτουµε ότι AB A και BA B Χρησιµοποιώντας αυτές τις σχέσεις ϑα έχουµε : A B A A B A A A A B A A 2 A B A 2 A A 2 B A B B A B B B B A B B 2 B A B 2 B B 2 Εποµένως οι πίνακες A και B είναι ταυτοδύναµοι Ασκηση 18 1 Αν ο πίνακας P είναι ταυτοδύναµος, τότε να δειχθεί ότι : 2P I 2 I 2 Αν για τον πίνακα A ισχύει ότι A 2 I, τότε να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 A + I 2 είναι ταυτοδύναµος Λύση 1 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : 2P I 2 2P I 2P I 2P 2P 2P I I 2P +I 2 4P 2 2P 2P +I N 4P 4P +I I 2 Χρησιµοποιώντας γνωστές ιδιότητες πράξεων πινάκων, Θα έχουµε : A + I 2 A + I 2 A + I 2 A I 1 2 A I 1 2 A 1 2 A A 1 2 I I 1 2 A I 1 2 I 1 4 A A I I A I I 1 4 I A A I 1 2 A I 1 2 A + I Εποµένως ο πίνακας 1 2 A + I είναι ταυτοδύναµος Ασκηση 19 ίνεται ο πίνακας A 0 0 Να δείξετε ότι A 4 I 3 και ο ακολούθως να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Στην συνέχεια να ϐρείτε τους πίνακες A 1 και A 2018 Λύση Υπολογίσουµε εύκολα ότι : A και A 4 A 2 A I Επειδή A 4 I 3, ϑα έχουµε : A 3 A I 3 και A A 3 I 3 A 1 A 3 A 2 A Τέλος, επειδή , ϑα έχουµε : A 2018 A A A 2 A A 2 I A 2 I 3 A 2 A Ασκηση 20 Εστω A 1 2 Βρείτε τον πίνακα A, N

16 16 Λύση Υπολογίζουµε εύκολα : A A 4 1 8, A , A , A , Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι, 1: A k Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι αληθής για 1, 2 Υποθέτουµε ότι A, όπου k 3 Τότε : A k+1 A k 1 2k k k + 1 A Άρα η επαγωγική υπόθεση είναι αληθής για k+1, και εποµένως από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής : A 1 2, 1 Ασκηση 21 Για κάθε 1, να ϐρείτε την -οστή δύναµη του πίνακα A Λύση Για να καταλάβουµε τη περιγραφή του A, ξεκινάµε πρώτα κάνοντας τους παρακάτω πολλαπλασιασµούς πινάκων : A 2 AA A 3 A 2 A A 4 A 2 A Γνωρίζουµε ότι : Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι : A , Για 1, και λαµβάνοντας υπ οψιν ότι A 1 A και τη µορφή του πίνακα A, η Ϲητούµενη σχέση προφανώς ισχύει 2 Υπόθεση Επαγωγής: Εστω ότι ισχύει για k, δηλαδή δεχόµαστε ότι : A k 1 k kk+1 2 k 0

17 17 3 Θα δείξουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ισχύει για k + 1 Εχουµε A k+1 A k A 1 k kk+1 2 k k + 1 k+1k+2 2 k Εποµένως, η -οστή δύναµη του πίνακα A είναι ο πίνακας A , 1 0 Ασκηση 22 Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 0 A a b 1 0 c d 0 1 είναι αντιστρέψιµος και ακολούθως να ϐρεθεί ο αντίστροφός του A 1 Λύση Υπολογίζουµε : 1 0 A 2 A A a b 1 0 a b I 4 A A I 4 A A c d 0 1 c d 0 1 Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, και : A 1 A Ασκηση 23 Εστω A και B δύο πίνακες και υποθέτουµε ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε οι πίνακες P 1 AP και P 1 BP είναι διαγώνιοι Να δειχθεί ότι : AB BA Λύση Θέτοντας P 1 AP X και P 1 BP Y, ϑα έχουµε : P 1 AP X AP P X A P XP 1 και P 1 BP X BP P Y B P Y P 1 AB P XP 1 P Y P 1 P XP 1 P Y P 1 P XI Y P 1 P XY P 1 BA P Y P 1 P XP 1 P Y P 1 P XP 1 P Y I XP 1 P Y XP 1 Επειδή οι πίνακες P 1 AP X και P 1 BP Y είναι διαγώνιοι, µπορούµε να γράψουµε : λ 1 0 κ λ 2 0 κ 2 λ 3 0 κ X 3 0 και Y λ 1 0 κ λ 0 κ όπου τα στοιχεία λ i, κ i K, 1 i Επειδή λ 1 κ λ 2 κ 2 λ 3 κ 3 0 XY Y X λ 1 κ λ κ

18 18 ϑα έχουµε : AB P XY P 1 P Y XP 1 BA Υπενθυµίζουµε ότι µια σχέση R επί ενός συνόλου S είναι ένα υποσύνολο R S S του καρτεσιανού γινοµένου S S Αν s 1, s 2 S, και s 1, s 2 R ϑα γράφουµε : s 1 R s 2, δηλαδή : s 1, s 2 S : s 1 R s 2 s 1, s 2 R Μια σχέση R επί του συνόλου S καλείται σχέση ισοδυναµίας αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : 1 s S: s R s Ανακλαστική ιδιότητα 2 s 1, s 2 S: s 1 R s 2 s 2 R s 1 Συµµετρική ιδιότητα { 3 s 1, s 2, s 3 S: s 1 R s 2 s 2 R s 3 s 1 R s 3 Μεταβατική ιδιότητα Αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου S και δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχισης ϑα συµβολίζουµε την R µε και ϑα γράφουµε s 1 s 2 αντί s 1 R s 2 Ασκηση 24 ύο πίνακες A και B καλούνται όµοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P 1 AP B Να δειχθεί ότι ορίζοντας A, B M K : A B οι πίνακες A και B είναι όµοιοι απκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M K όλων των πινάκων υπεράνω του σώµατος K Λύση είχνουµε ότι η σχέση στο σύνολο M K όλων των πινάκων υπεράνω του σώµατος K είναι ανακλαστική, συµµετρική, και µεταβατική 1 «Ανακλαστική»: Για κάθε πίνακα A M K, έχουµε ότι ο µοναδιαίος πίνακας I είναι αντιστρέψιµος και : I 1 AI I A A Εποµένως A A 2 «Συµµετρική»: Εστω οι πίνακες A, B M K, και υποθέτουµε ότι A B Τότε υπάρχει αντιστρέψι- µος πίνακας P έτσι ώστε P 1 AP B Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση από τα αριστερά µε τον πίνακα P και από τα δεξιά µε τον πίνακα P 1 ϑα έχουµε : P 1 AP B AP P B A P BP 1 A P 1 1 BP 1 Επειδή ο πίνακας P 1 είναι αντιστρέψιµος, έπεται ότι B A 3 «Μεταβατική»: Εστω οι πίνακες A, B, C M K, και υποθέτουµε ότι A B και B C Τότε υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες P και Q έτσι ώστε P 1 AP B και Q 1 BQ C Τότε : Q 1 BQ C Q 1 P 1 AP Q C Q 1 P 1 AP Q C P Q 1 AP Q B Επειδή ο πίνακας P Q είναι αντιστρέψιµος µε αντίστροφο τον πίνακα Q 1 P 1, έπεται ότι A C Συµπεραίνουµε ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική και άρα είναι µια σχέση ισοδυναµίας Παρατήρηση 2 Στις επόµενες τέσσερις ασκήσεις Ϲητείται να προσδιοριστεί αν ένας άνω τριγωνικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ακολούθως, αν είναι αντιστρέψιµος, να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Αργότερα µε χρήση οριζουσών ϑα δούµε αποτελεσµατικά κριτήρια για το πότε ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος και µεθόδους εύρεσης του αντίστροφου πίνακα Η µέθοδος η οποία ακολουθείται στις παρακάτω ασκήσεις για την εύρεση του αντίστροφου του πίνακα A, αν αυτός υπάρχει, είναι η εξής : αναζητούµε πίνακα X x ij έτσι ώστε A X I X A Τότε ϑα έχουµε το ακόλουθο σύστηµα ως προς x ij, 1 i, j : { 1, αν i j A X ij I ij a ik x kj δ ij 0, αν i j k1

19 X A ij I ij x ik a kj δ ij k1 { 1, αν i j 0, αν i j Αν το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική λύση, τότε υπολογίσουµε τα στοιχεία x ij συναρτήσει των στοιχείων a ij και τότε ο πίνακας X που προκύπτει είναι ο πίνακας A 1 Αν το σύστηµα δεν έχει λύση, τότε ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Σηµειώνουµε ότι αν ο πίνακας A είναι άνω ή κάτω τριγωνικός, τότε και ο πίνακας X που αναζητούµε, αναγκαστικά ϑα είναι άνω ή κάτω τριγωνικός αποδείξτε το σαν Ασκηση Σε αυτή την περίπτωση οι πράξεις είναι σηµαντικά απλούστερες 19 Ασκηση 25 Για κάθε 1, να ϐρεθεί η -οστή δύναµη των πινάκων a b και λ λ 1 λ όπου a, b, λ R Πότε οι παραπάνω πίνακες είναι αντιστρέψιµοι ; Αν είναι αντιστρέψιµοι, ποιοί είναι οι αντίστροφοί τους ; Λύση 1 Θα δείξουµε µε χρήση Μαθηµατικής Επαγωγής ότι, 1: a b a b1 + a + a a 1 a b 1 k0 ak Αν 1, τότε η σχέση 1 είναι προφανώς αληθής Αν 2, τότε η σχέση 1 είναι αληθής, διότι : 2 A 2 a b a b a b a 2 ab + b a b1 + a Υποθέτουµε ότι η σχέση 1 είναι αληθής όταν Τότε +1 A +1 a b a b a b a b1 + a + a a 1 a b a +1 a b + b1 + a + a a 1 a +1 b1 + a + a a 1 + a Σύµφωνα µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, η σχέση 1 είναι αληθής για κάθε 1 a Αν a 0, τότε ϑεωρούµε 2 1 ba 1 τον πίνακα και ϑα έχουµε : a b a 1 ba a 1 ba 1 a b a b Άρα ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος και 1 a b a 1 ba 1 2 x y Αναζητούµε πίνακα X έτσι ώστε X A I z w 2 A X Επειδή ο πίνακας A είναι άνω τριγωνικός, µπορούµε να υποθέσουµε ότι και ο πίνακας X που αναζητούµε είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή z 0 Θα έχουµε : a b x y 1 0 ax ay + bw 1 0 A X I 2 ax 1, w 1, ay + bw 0 0 w 0 w Ετσι, για να είναι ο A αντιστρέψιµος, πρέπει a 0 και τότε x a 1, w 1, και y a 1 bw a 1 b, δηλαδή a 1 a 1 b X 1

20 20 Αν a 0, τότε ο πίνακας x y έτσι ώστε z w 0 b 0 b δεν είναι αντιστρέψιµος, διότι αν ήταν ϑα υπήρχε 2 2 πίνακας x y z w 1 0 x y z w 0 b από όπου προκύπτει άµεσα ότι ϑα πρέπει να έχουµε 1 0 το οποίο είναι άτοπο Άρα ο πίνακας 0 b δεν είναι αντιστρέψιµος 2 Αν λ 0, ϑεωρούµε 3 τον πίνακα λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ 1 και τότε : λ λ 1 λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ λ 1 λ λ 1 0 λ 1 λ Εποµένως ο πίνακας λ λ 1 είναι αντιστρέψιµος και λ λ λ 1 λ 1 λ 2 λ 3 0 λ 1 λ 2 λ λ 1 Αν λ 0, ο πίνακας 0 0 δεν είναι αντιστρέψιµος διότι αν ήταν αντιστρέψιµος, τότε 4 και ο 0 πίνακας 0 0 ϑα ήταν αντιστρέψιµος, 1 Επειδή O, καταλήγουµε στην 0 0 αντίφαση ότι ο µηδενικός πίνακας είναι αντιστρέψιµος Εποµένως ο πίνακας 0 0 δεν είναι 0 αντιστρέψιµος Για τις δυνάµεις του πίνακα, υπολογίζουµε : λ λ 1 λ2 2λ λ 2 2λ λ2 1 λ 1 2 λ 0 0 λ λ 1 λ λ 2 λ 2 3 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2 4 Εστω ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 και ισχύει A A 1 I A 1 A Για κάθε k 1, ϑα έχουµε : A A 1 I A 1 A A A 1 k I k A 1 A k A k A 1 k I A 1 k A k όπου χρησιµοποιήσαµε ότι επειδή οι πίνακες A και A 1 µετατίθενται, ισχύει ότι A A 1 k A k A 1 k και A 1 A k A 1 k A k Εποµένως ο πίνακας A k είναι αντιστρέψιµος και A k 1 A 1 k

21 όπου λ λ 1 λ3 3λ 2 3λ 3 0 λ 3 3λ 2 λ2 1 λ λ 1 0 λ λ 2 λ λ 3 λ 2 k! k! k! είναι ο διωνυµικό συντελεστής Ισχυριζόµαστε ότι λ λ 1 λ 1 λ 1 2 λ 2 0 λ 1 λ 1 2 λ λ Οι παραπάνω υπολογισµοί δείχνουν ότι η σχέση 2 είναι αληθής όταν 2 ή 3 Υποθέτουµε ότι ισχύει η σχέση 2, και τότε : λ λ 1 λ λ 1 λ λ 1 λ 1 λ 1 2 λ 2 0 λ 1 λ 1 λ λ 1 λ λ λ λ λ λ+1 λ + 1 λ 1 λ λ 1 0 λ +1 λ + 1 λ λ λ λ λ 1 0 λ λ λ +1 Εύκολα ϐλέπουµε ότι!! + 1! + 1 1! + 1! ! 1! 1! 1! 1!! ! 1! +! 2! 2!! 1 2! ! + 1! 2 1! 2! 1!! 2! ! ! 1 Εποµένως ο τελευταίος πίνακας ϑα είναι λ λ 1 λ λ λ λ λ λ+1 1 λ +1 2 λ 1 0 λ +1 λ λ +1 1 λ λ +1 Σύµφωνα µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, ϑα έχουµε ότι η σχέση 2 είναι αληθής, 1 Ασκηση 26 Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του

22 22 Λύση Θεωρούµε 5 τον πίνακα B Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A Ασκηση 27 Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του A Λύση Θεωρούµε 6 τον πίνακα B Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2 6 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2

23 23 Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A Ασκηση 28 Για κάθε x R, να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 x x 2 x 3 x 1 x x x 2 x 2 x 1 0 x x 3 x 2 A x x 2 1 x είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφός του Λύση Θεωρούµε 7 τον πίνακα 1 x x 0 0 x B x 0 1 x Εκτελώντας τους πολλαπλασιασµούς A B και B A, εύκολα ϐλέπουµε ότι A B I B A Άρα ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και 1 x x 0 0 x A 1 x 0 1 x Ασκηση 29 Εστω A και B πίνακες τέτοιοι ώστε ο πίνακας I AB 2 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας I BA 2 είναι αντιστρέψιµος και I BA 2 1 I + B I AB 2 1 ABA Λύση Αρκεί να δείξουµε ότι I BA 2 [I + BI AB 2 1 ABA] I [I + BI AB 2 1 ABA] I BA 2 7 Ο πίνακας που ϑεωρούµε προκύπτει αν εργασθούµε όπως περιγράφεται στην Παρατήρηση 2

24 24 1 Θα έχουµε : I BA 2 [I + BI AB 2 1 ABA] I + BI AB 2 1 ABA 2 Θα έχουµε : BA 2 BA 2 BI AB 2 1 ABA I + BI AB 2 1 ABA BA 2 BABABI AB 2 1 ABA I BA 2 + +BI AB 2 1 ABA BAB 2 I AB 2 1 ABA I BA 2 + +B [ I AB 2 1 AB 2 I AB 2 1] ABA I BA 2 + B I AB 2 I AB 2 1 ABA I BA 2 + BI ABA I BA 2 + BA 2 I [I + BI AB 2 1 ABA] I BA 2 I + BI AB 2 1 ABA BA 2 BI AB 2 1 ABABA 2 I BA 2 + +BI AB 2 1 ABA BI AB 2 1 ABABABA I BA 2 + +BI AB 2 1[ ABA AB 2 ABA ] I BA 2 + +BI AB 2 1 I AB 2 ABA I BA 2 + BI ABA I BA 2 + BABA I BA 2 + BA 2 I Από τα 1 και 2 έχουµε το Ϲητούµενο Παρατήρηση 3 Εστω A, B δύο πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Τότε, όπως ϑα δούµε σύντοµα µε χρήση της ϑεωρίας οριζουσών, ισχύει ότι : A B I B A I και άρα, αν ικανοποιείται µία από τις σχέσεις A B I ή B A I, τότε ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 B Εποµένως στην Ασκηση 29 και σε ανάλογες Ασκήσεις, ϐλέπε την Ασκηση 32 παρακάτω, αρκεί να δειχθεί µόνο η µία εκ των δύο απαιτουµένων ισοτήτων Ασκηση 30 Εστω A ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει ότι A 4 A 3 + A 2 A + I 0, Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 A 4 Λύση Από τη σχέση A 4 A 3 + A 2 A + I 0 έχουµε A 4 + A 3 A 2 + A I και άρα A A 3 + A 2 A + I I και A 3 + A 2 A + I A I

25 25 Συνεπώς ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 A 3 + A 2 A + I A 4 Ασκηση 31 Εστω A, B M K Να δειχθεί ότι : ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος Λύση Υποθέτουµε ότι ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος Συµβολίζουµε µε C τον αντίστροφό του : C : I + AB 1 και έτσι ϑα έχουµε : I + AB C I C I + AB, ιδιαίτερα ϑα έχουµε : C + ABC I, δηλαδή ABC I C Θεωρούµε τον πίνακα I BCA Θα δείξουµε ότι ο πίνακας I +BA είναι αντιστρέψιµος και I +BA 1 I BCA Θα έχουµε : I BCA I + BA I + BA BCA BCABA I + BA BCA BCABI A I + BA BCA BCABCC 1 A I + BA BCA BCABCC 1 A I + BA BCA BCI CC 1 A I + BA BCA BCI C 1 A BCCC 1 A I + BA BCA BA BCA I + BA BCA BA + BCA I και εποµένως : Παρόµοια ϑα έχουµε : I BCA I + BA I 1 I + BA I BCA I BCA + BA BABCA I BCA + BA BI CA και εποµένως I BCA + BA BA + BCA I I + BA I BCA I 2 Από τις σχέσεις 1 και 2 προκύπτει ότι ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος και I + BA 1 I BCA I BI + AB 1 A Η απόδειξη είναι ανάλογη 8 και αφήνεται ως άσκσηση στον αναγνώστη Ασκηση 32 Θεωρούµε τους πίνακες A και B και υποθέτουµε ότι ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A + B AB Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A 1 + B 1 I Λύση Επειδή ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος, υπάρχει ο αντίστροφός του B 1 Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση από δεξιά µε τον πίνακα B 1 ϑα έχουµε : A + B AB A + BB 1 ABB 1 AB 1 + I A A AB 1 I AI B 1 I Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 3, ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A 1 I B 1 Τέλος έχουµε ότι A 1 + B 1 I B 1 + B 1 I 8 Αν ο πίνακας I + BA είναι αντιστρέψιµος, ϑέτουµε D I + BA 1 και τότε I + BA D I Εποµένως ϑα έχουµε BAD I D Θεωρούµε τον πίνακα I ADB και δείχνουµε ότι I + AB I ADB I I ADB I + AB Εποµένως ο πίνακας I + AB είναι αντιστρέψιµος και I + AB 1 I ADB I AI + BA 1 B

26 26 Ασκηση 33 Εστω A, B δύο αντιστρέψιµοι πίνακες έτσι ώστε ο πίνακας A+B 1 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : Λύση Παρατηρούµε ότι : A 1 + B 1 A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 A + B A B A + B 1 1 I + B A B A + B B 1 1 I + B A I + B A 1 I Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 3, ο πίνακας A 1 +B είναι αντιστρέψιµος και A 1 +B 1 A A+B 1 1 B 1 ιαφορετικά, υπολογίζουµε : A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B A A + B 1 1 B 1 A 1 + B 1 B A A + B 1 1 A B 1 + I A 1 1 A + B 1 1 A B 1 + I A + B 1 A 1 1 A B 1 + I A A 1 + B 1 A 1 1 A B 1 + I A B I A B 1 + I I Άρα A 1 + B A A + B 1 1 B 1 I A A + B 1 1 B 1 A 1 + B Άρα ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος και A 1 + B 1 A A + B 1 1 B 1 Παρατήρηση 4 Εστω A και B δύο αντιστρέψιµοι πίνακες Ακολουθώντας τη µέθοδο λύσης της παραπάνω Ασκησης 33, αποδεικνύονται ακριβώς ανάλογα και οι ακόλουθοι ισχυρισµοί 1 Αν ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A + B 1 είναι αντιστρέψιµος και A + B 1 1 A 1 A 1 + B 1 B 2 Αν ο πίνακας A 1 + B 1 είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A + B είναι αντιστρέψιµος και A + B 1 A 1 A 1 + B 1 1 B 1 3 Αν ο πίνακας A + B είναι αντιστρέψιµος, τότε ο πίνακας A 1 + B 1 είναι αντιστρέψιµος και A 1 + B 1 1 A A + B 1 B Ασκηση 34 Να ευρεθούν όλοι οι πίνακες που µετατίθενται µε τους πίνακες τής µορφής : A, B a b a b a b 0 Λύση Ας είναι C ένας πίνακας µε AC CA, δηλαδή Τότε b 0 c d a b c d 0 και c d a Εποµένως ο πίνακας C είναι της µορφής a 0 C a, d K d a d Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι κάθε πίνακας της παραπάνω µορφής µετατίθεται µε τον A

27 Ας είναι C a b c d e f ένας πίνακας µε BC CB, δηλαδή d e f g h k 0 a b 0 d e Τότε g h k g h d 0, g 0, h 0, e a, k a, f b Εποµένως ο πίνακας C είναι της µορφής C a b c 0 a b a, b, c K a Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι κάθε πίνακας της παραπάνω µορφής µετατίθεται µε τον B 27 Ασκηση 35 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 ταυτοδύναµοι πίνακες a b Λύση Ας είναι A ένας 2 2 πίνακας µε A c d 2 A, δηλαδή a 2 + bc a 1 a 2 + bc ab + bd a b ab + bd b 2 ac + cd bc + d 2 c d ac + cd c 3 bc + d 2 d 4 Εστω ότι b 0, τότε η 2 δίνει τη λύση d 1 a, η οποία ικανοποιεί και την 3 Από την 1 έχουµε c a a2 b Αυτές οι τιµές των c, d ικανοποιούν την 4 Άρα αν b 0, τότε οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής : a b a a 2 b 1 a Εστω ότι b 0, τότε το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων γίνεται a 2 a ac + cd c d 2 d Παίρνοντας υπ όψιν ότι a 0 ή 1 και d 0 ή 1 έχουµε τις λύσεις : a 0, b 0, d 1, c K, a 1, b 0, d 0, c K, a 0, b 0, c 0, d 0, a 0, b 0, c 0, d 1, a 1, b 0, c 0, d 0, a 1, b 0, c 0, d 1, δηλαδή οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής c K:, c 1 1 0, c 0, 1 0 Συνοψίζοντας οι ταυτοδύναµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K είναι οι πίνακες της µορφής : a b 0 0 a, b K, b 0 και,,, c K 1 a c 1 c 0 a a 2 b Ασκηση 36 Να προσδιοριστούν όλοι οι 2 2 πίνακες A που υψούµενοι στο τετράγωνο είναι ίσοι µε τον µηδενικό 2 2 πίνακα, δηλαδή όλοι οι 2 2 πίνακες A για τους οποίους ισχύει ότι A 2 O a b Λύση Ας είναι A ένας 2 2 πίνακας µε A c d 2 O, δηλαδή a 2 + bc 0 1 a 2 + bc ab + bd ab + bd 0 2 ac + cd bc + d 2 ac + cd 0 3 bc + d 2 0 4

28 28 Εστω ότι b 0, τότε η 1 δίνει c a2 b και η 2 δίνει d a Οι 3 και 4 ικανοποιούνται από τις προηγούµενες λύσεις Ετσι προκύπτουν οι πίνακες a b a2 b a b 0 Εστω ότι b 0, τότε επειδή έπεται a 0 και d 0, έχουµε τη λύση a 0, b 0, c K, d 0 ηλαδή προκύπτει ο πίνακας c K c 0 Συνοψίζοντας οι 2 2 πίνακες A µε στοιχεία από το σώµα K έτσι ώστε A 2 O, είναι οι πίνακες της µορφής : a b a, b K, b 0 και c K a c 0 a2 b

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα