( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε σ S. Στη συνέχει χρειζόμστε την δυντότητ νπράστσης μις σχέσης νάμεσ σε δύο στοιχεί, κι. Από λογικής πλευράς μι σχέση εκφράζετι πό έν κτηγόρημ Φ(, ), με δύο πρμέτρους, κι δύο στοιχεί κι, θεωρούντι ότι σχετίζοντι κτά τον τρόπο της Φ εάν κι μόνον εάν Φ(, ) = ΑΛΗΘΕΣ. Η λογική έκφρση Φ(, ) μς δίδει τον «κνόν» της σχέσης κι πρπέμπει στο «νόημ» της σχέσης λλά γι ν χειριστούμε σχέσεις, θ στρέψουμε την προσοχή μς όπως κι στη θεωρί σύνολων στην «νφορά», δηλδή στ συγκεκριμμέν ζεύγη, τ μέλη των οποίων σχετίζοντι (κτά τον οποιοδήποτε τρόπο, κι γι τον οποιοδήποτε λόγο): εξωγενής ή διμερής διμελής σχέση (ή περιληπτικά: πεικόνιση) = μι τριάδ Α, Β, S όπου, τ Α κι Β είνι σύνολ, S είνι έν σύνολο ζευγών,, Α κι Β. ΠΡΟΣΟΧΗ: μι σχέση επί των συνόλων Α, Β δεν είνι πρά έν στοιχείο του δυνμοσυνόλου ( ). ονομάζουμε τις σχέσεις υτές «διμελείς», επειδή συσχετίζουν τ στοιχεί ν δύο,, κι τις ονομάζουμε «εξωγενείς» ή «διμερείς» επειδή τ σύνολ νφοράς Α κι Β δεν είνι (κτ νάγκην) ίσ, δηλδή έν στοιχείο πό το Α σχετίζετι με έν στοιχείο (ίσως) έξω πό το Α. συχνά νφερόμστε μόνον στον κνόν Φ(, ) μις σχέσης, π.χ. λέμε «η γονική σχέση». Σε υτές τις περιπτώσεις εννοούμε την σχέση που θ προέκυπτε εάν εφρμόζμε υτόν τον κνόν σε ένν συγκεκριμμένο χώρο νφοράς. Λ.χ. μπορεί ν μιλάμε γενικά γι την «γονική» σχέση, λλά ν πούμε «σε υτή την πρέ όλ τ πιδιά είνι μονχοπίδι». 2. ΣΧΕΣΕΙΣ: η σχεδίση, κι τ μορφικά χρκτηριστικά. Ως σύνολ οι σχέσεις γράφοντι, νγινώσκοντι κι σχεδιάζοντι κι ως σύνολ. Ειδικότερ ως σχέσεις, σχεδιάζουμε τις διμελείς σχέσεις σχεδιάζοντς χωριστά τ δύο σύνολ Α κι Β, κι κάθε ζεύγος, ως έν «έλος» πό το στοιχείο στο στοιχείο. Η πρκάτω σχέση (δεξιά) S ορίζετι επί του, όπου = { 1, 2, 3, 4, 5 } κι Β = {,,,, }, κι είνι η: S = { 1,, 2,, 2,, 2,, 3,, 3,, 5, }. Σχεδιάζοντι επίσης ως υποσύνολ ενός κρτεσινού γινομένου. 1 2 3 S 4 5 1 2 3 4 5 Τ σικά μορφικά χρκτηριστικά που μς ενδιφέρουν είνι τ εξής (σχημτικά): σύνολο φετηρίς θμός εξόδου g(2) = 3 1 2 3 σύνολο προορισμού θμός εισόδου g() = 2 εικόν S[{3, 4, 5}] = {, } 1 2 3 Β 4 4 πεδίο ορισμού omin(s) 5 πεδίο τιμών rng(s) 5 διτετγμέν ζεύγη της σχέσης S διτετγμέν ζεύγη της σχέσης S -1 Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 1 / 7

Με τυπική γλώσσ κι σε κθημερινή γλώσσ, τ πρπάνω μορφικά στοιχεί ορίζοντι ως εξής: Ορολογί: Τυπική περιγρφή: Συνοπτική ερμηνεί: σύνολο φετηρίς Α υθίρετο σύνολο. σύνολο προορισμού Β υθίρετο σύνολο. ζεύγος της σχέσης,, Α κι Β στοιχείο του γινομένου. σχέση S στοιχείο του δυνμοσυνόλου ( ). πεδίο ορισμού omin(s) = { : Α κι Β, S } πεδίο τιμών rng(s) = { : Β κι Α, S } το σύνολο των «πρωτοτύπων»: όσ έχουν μι τουλάχιστον εικόν στο Β. το σύνολο των «εικόνων»: όσ έχουν έν τουλάχιστον πρωτότυπο στο Α. ντίστροφη σχέση S 1 = {, :, κι, S } η σχέση στο ν ντιστρέψουμε τ ζεύγη. εικόν X S[X] = { : Β κι Α, S } το σύνολο των εικόνων του Χ (υποσύνολο Α). θμός (εξόδου) Α() = { : Β κι, S } = S[] το πλήθος των εικόνων του. θμός (εισόδου) Β() = { : Α κι, S } = S 1 [] το πλήθος των πρωτοτύπων του. 3. ΣΧΕΣΕΙΣ οι σχέσεις μετξύ τους: ισότητ, περιορισμός/επέκτση. Δύο σχέσεις κυριρχούν στις διμελείς σχέσεις: η ισότητ (προφνώς όπως πντού!) κι η «συμπερίληψη». Κι οι δύο έχουν συνολοθεωρητικές άσεις. Α1, Β1, S1 = Α2, Β2, S2 εάν κι μόνον εάν Α1 = Α2, Β1 = Β2 κι S1 = S2, όπως κριώς ζητά η θεωρί συνόλων. Ας προσέξουμε εδώ ότι ορισμένες φορές χρησιμοποιούμε τον ίδιο κνόν γι ν ορίσουμε μι σχέση, (ν κι δεν έχουμε μι «θεωρί κνόνων»). Ότν οι κνόνες είνι οι ίδιοι (λ.χ. «φίλος με») οι πργόμενες σχέσεις δεν ποτελούντι κτ νάγκην πό τ ίδι ζεύγη ν οι χώροι νφοράς (Α κι Β) διφέρουν. Α1, Β1, S1 Α2, Β2, S2 εάν κι μόνον εάν Α1 Α2, Β1 Β2 κι S1 S2. Σε υτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείτι συχνά κι η έκφρση ότι η σχέση S2 επεκτείνει την S1, ή ότι η S1 είνι περιορισμός της S2. 4. ΣΧΕΣΕΙΣ η μορφολογί: 4 θεμελικά χρκτηριστικά κι 1+6 σικά είδη. Με άση τ μορφικά χρκτηριστικά προσδιορίζουμε τέσσερ θεμελικά χρκτηριστικά γι τις πεικονίσεις. Τ χρκτηριστικά υτά δίδοντι στον πρκάτω πίνκ. Ορολογί: «ριστερά» (φετηρί) «δεξιά» (προορισμός) ολική μονοσήμντη (ή μονότιμη) Α, g() 1 κάθε στοιχείο «ριστερά» έχει τουλάχιστον μί εικόν. Β, g() 1 κάθε στοιχείο έχει «ριστερά» το πολύ έν πρωτότυπο. Β, g() 1 κάθε στοιχείο «δεξιά» έχει τουλάχιστον έν πρωτότυπο. Α, g() 1 κάθε στοιχείο έχει «δεξιά» το πολύ μί εικόν. Προσέξτε ότι επιλέγουμε το «ριστερά» ολική, διότι η έμφση είνι στην ολικότητ που υπάρχει ριστερά κι επιλέγουμε το «δεξιά» μονοσήμντη, διότι η έμφση είνι στο πλήθος των εικόνων (που υπάρχουν δεξιά). Συνδυάζοντς υτά τ χρκτηριστικά, σχημτίζουμε όλες τις ενδιφέρουσες μορφές πεικονίσεων, με τον τρόπο που εικονίζετι στον μεθεπόμενο πίνκ: στην ριστερή στήλη εικονίζοντι τ χρκτηριστικά, σκιάζοντς τις σχετικές περιοχές. ολική ριστερά ολική δεξιά μονοσήμντη ριστερά μονοσήμντη δεξιά Π.χ. το πρπάνω εικονίδιο περιγράφει μι πεικόνιση ριστερά ολική κι δεξιά μονοσήμντη. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 2 / 7

οι κτκόρυφ συμμετρικές περιπτώσεις πράγουν το ίδιο είδος, λλά γι την ντίστροφη σχέση S ( 1). στη μεσί στήλη είνι η ονομσί της κάθε περίπτωσης. στην δεξιά στήλη έχουμε έν πράδειγμ σχέσης S του εκάστοτε είδους. προσέξτε ότι η περιγρφή μονοσήμντων σχέσεων περιέχει πάντ έν οριστικό άρθρο («ο» «την» κττ). Από τ 7 σύνθετ είδη που πράγοντι, κι χρκτηρίζουν είτε την ίδι την σχέση, είτε την ντίστροφή της S ( 1), σχολιάζουμε συνοπτικά τον «ρόλο που πίζει» το κθέν πό υτά. Θ τ χρειστούμε όλ... ΟΛΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗ Η γενικότερη μετρητική σχέση την νλύουμε στην ενότητ περί κτμέτρησης. Η γνωστή «σίλισσ» των μθημτικών: ντιστοιχεί κάθε στοιχείο του Α σε κριώς έν πό το Β δηλδή «εικονίζει» το σύνολο Α εντός του Β. Ο πυρήνς μις «ομοιότητς»: γι ν εξετάσουμε πότε δύο σύνθετ ντικείμεν ομοιάζουν, νζητούμε μι «κλή» ντιστοίχιση των επί μέρους στοιχείων τους. Απλή σχέση με ευρείς χρήσεως μετρητικό ντίκτυπο: δείχνει ότι το σύνολο φετηρίς είνι μικρότερο πό το σύνολο προορισμού. ΕΝΘΕΤΗΣΗ Πράγει έν ντίτυπο της φετηρίς Α εντός του προορισμού Β. ΕΠΙΘΕΤΗΣΗ Δείχνει ότι όλο το Β είνι μι «σύνοψη» του Α. ΟΛΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ Η κριής μετρητική σχέση («μφιμονοσήμντη πεικόνιση»): Α = Β. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 3 / 7

ΓΕΝΙΚΗ ΣΧΕΣΗ M ΠΡΟΣ N Α: κάποιο χωριό, Β: κάποιο χωριό «φίλος του» ΟΛΙΚΗ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Α: πρόσωπ, Β: οι πρόγονοι των Α «έχει πππού τον» ΟΛΙΚΗ ΔΕΞΙΑ Α: ονόμτ, Β: πρόσωπ «όνομ του»» ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Α: άνδρες, Β: πρόσωπ «είνι πτέρς του» ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ ΔΕΞΙΑ Α: πρόσωπ, Β: πρόσωπ «έχει μεγλύτερο δελφό τον» ΓΕΝΙΚΗ ΣΧΕΣΗ M ΠΡΟΣ N, ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΑ ΟΛΙΚΗ Α: πρόσωπ, Β: οι γλώσσες τους «ομιλεί την» Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 4 / 7

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ (MTCHING) Α: άντρες, Β: οι συγγενείς τους «ο σύζυγος της» S ή S ( 1) : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (FUNCTION) Α: πρόσωπ, Β: οι πρόγονοί τους «έχει πτέρ τον» S ή S ( 1) : ΑΝΙΣΩΣΗ, ΑΦΕΤΗΡΙΑ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ Α: μητέρες, Β: τέκν «έχει πιδί το» S ή S ( 1) : ΕΝΘΕΤΗΣΗ (INJECTION) Α: γονείς, Β: τέκν «έχει πρωτότοκο τέκνο το» S ή S ( 1) : ΕΠΙΘΕΤΗΣΗ (SURJECTION) Α: τέκν, Β: γονείς «έχει μητέρ την» ΟΛΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ (IJECTION) Α: έγγμοι άνδρες, Β: έγγμες γυνίκες «ο σύζυγος της» Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 5 / 7

5. ΣΧΕΣΕΙΣ: πράξεις επί των σχέσεων. Οι πράξεις επί των σχέσεων είνι τριών ειδών, όπως στον πρκάτω πίνκ: Πράξη : Τυπική περιγρφή: Συνοπτική ερμηνεί: S S 1 S 1 = {, :, κι, S } Η ντίστροφη σχέση: (τ ζεύγη της S νεστρμμέν). Η συμπληρωμτική σχέση: S S S = Α Β S (τ πρλειπόμεν πό την S, ζεύγη). S, T S T (όπως στ σύνολ) Η ένωση των ζευγών των S, T. S, T S T (όπως στ σύνολ) Η τομή των ζευγών των S, T. S, T S T (όπως στ σύνολ) Τ ζεύγη της S εξιρώντς όσ ζεύγη της T. S, Τ So T Α, Β, S o, Γ, Τ = Α, Γ, So T, όπου So T = {, γ :, Β,, S,, γ T } Η σύνθεση δύο σχέσεων, εφόσον ο προορισμός της πρώτης είνι η φετηρί της δεύτερης: όλ τ ζεύγη, γ που προκύπτουν πό την σύνθεση ενός ζεύγους, της S με έν «συνεχόμενο» ζεύγος, γ της Τ. S, X S[X] S[X] = { : Β κι Α, S } Η εικόν υπό την S ενός υποσυνόλου Χ Α. Οι δύο πρώτες είνι μονομελείς, κι οι υπόλοιπες πέντε είνι διμελείς. Οι πέντε πρώτες είνι γενικά συνολοθεωρητικές, οι δύο τελευτίες είνι ειδικά χρκτηριστικές των «σχέσεων». 6. ΣΧΕΣΕΙΣ: οι ιδιότητες των πράξεων. Αυτό που εισάγουν οι σχέσεις (πρπάνω πό τ σύνολ), είνι το ότι μέσω των ζευγών της μις σχέσεως ορίζετι η εικόν S[X] ενός συνόλου Χ. Έτσι υτό που έχουμε εδώ ν εξετάσουμε είνι τις (επιμεριστικές κυρίως) ιδιότητες των πράξεων ως προς την πράξη της «εικόνς» S[ ]. Τ εξής ισχύουν, (μετξύ άλλων): Ιδιότητ: Σχόλιο: (S T)[X] = S[X] S[Y] Η εικόν υπό την ένωση δύο σχέσων είνι η ένωση των επι μέρους εικόνων. (S T)[X] S[X] S[Y] Η εικόν υπό την τομή δύο σχέσεων είνι πλώς υποσύνολο της τομής των εικόνων. (S T)[X] = (S T )[X] (Η εικόν υπό την διφορά δύο σχέσεων νάγετι στην εικόν υπό μί τομή σχέσεων.) S[X Y] = S[X] S[Y] S[X Y] S[X] S[Y] S[X Y] = S[X ( Y)] Η εικόν της ένωσης δύο συνόλων είνι η ένωση των επι μέρους εικόνων. Η εικόν της τομής δύο συνόλων είνι πλώς υποσύνολο της τομής των εικόνων. (Η εικόνς μις διφοράς συνόλων νάγετι στην εικόν μις τομής συνόλων.) (So T)[Χ] = T[ S[X] ] Η εικόν υπό μί σύνθεση (So T) είνι η 2 η εικόν, υπό T, της 1 ης εικόνς, υπό S. X Y S[X] S[Y] Η εικόνιση διτηρεί την σχέση του υποσυνόλου. Οι πρπάνω ιδιότητες είνι συνολοθεωρητικές ιδιότητες, κι έτσι νλύοντι με κριώς τον ίδιο τρόπο όπως κι στ σικά σύνολ. Γι ν δείξουμε λ.χ. ότι (S T)[X] = S[X] S[Y], δείχνουμε τ εξής δύο: σ (S T)[X] σ S[X] S[Y] (ευθύ). σ S[X] S[Y] σ (S T)[X] (ντίστροφο). Κι γι ν δείξουμε ότι S[X Y] S[X] S[Y] (κι όχι κτ ν γκην «ίσο»), δείχνουμε τ εξής δύο: σ S[X Y] σ S[X] S[Y]. υπάρχει σ S[X] S[Y] γι το οποίο όμως ισχύει σ S[X Y], (ντιπράδειγμ). Δίνουμε στη συνέχει τις πρπάνω (πρδειγμτικές) νλύσεις, κτ νλογί με εκείνες που είχμε δώσει γι τ σύνολ. Οι υπόλοιπες σχέσεις του πρπάνω πίνκ νλύοντι κτά κριώς πρόμοιο τρόπο. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 6 / 7

Η κτεύθυνση: σ (S T)[X] σ S[X] S[Y]:,σ S σ S[ σ ( S T )[ Α,, σ ( S T ) σ S[ T[,σ T σ T[ Η ντίστροφη κτεύθυνση: σ S[X] S[Y] σ (S T)[X]: σ S[, σ S σ S[ T[ Α,, σ ( S T ) σ ( S T )[ σ T[, σ T Η κτεύθυνση: σ S[X Y] σ S[X] S[Y]: X, σ S, σ S[ σ S[ X Y ] ( X Y ),, σ S σ S[ T[ Y, σ S, σ S[ Y ] Πργωγή ντιπρδείγμτος γι την ντίστροφη κτεύθυνση: σ, σ S[X] S[Y], λλά σ S[X Y]. σ S[ S[ Y ] σ S[ σ S[Y ] X, σ S X Y, σ T Y X Y X = Y X Y ( X Y ),, σ S σ S[ X Y ] Η πόδειξη «κολλάει» στην περίπτωση Χ Υ, κι άρ γι ντιπράδειγμ ρκεί το: S = { Χ, σ, Y, σ }, Χ = { Χ }, Υ ={ Υ }: S[X Y] = S[ ] = S[X] S[Y] = { σ } { σ } = { σ }.?? Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Γ. Φ. Γεωργκόπουλος ΕΚΔ. 12/10/2015 ΣΕΛ. 7 / 7