Wood, J. (2008) A review of literature for the structural assessment of mitred bends. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 85 (5). pp. 275-294. ISSN 0308-0161, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijpvp.2007.11.003 This version is available at https://strathprints.strath.ac.uk/7466/ Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url (https://strathprints.strath.ac.uk/) and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: strathprints@strath.ac.uk The Strathprints institutional repository (https://strathprints.strath.ac.uk) is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.
Α Ρεϖιεω οφ Λιτερατυρε φορ τηε Στρυχτυραλ Ασσεσσmεντ οφ Μιτρεδ Βενδσ ϑ. Wοοδ α α Dεπαρτmεντ οφ Μεχηανιχαλ Ενγινεερινγ, Υνιϖερσιτψ οφ Στρατηχλψδε, 75 Μοντροσε Στρεετ, Γλασγοω Γ1 1Ξϑ, ΥΚ Αβστραχτ Τηισ παπερ πρεσεντσ α στατε οφ τηε αρτ ρεϖιεω οφ λιτερατυρε αϖαιλαβλε φορ τηε στρυχτυραλ ασσεσσmεντ οφ αλλ τψπεσ οφ mιτρεδ πιπε βενδσ. Χοmπαρεδ ωιτη σmοοτη βενδσ, τηε ϖολυmε οφ λιτερατυρε αϖαιλαβλε φορ mιτρεσ ισ λεσσ εξτενσιϖε ανδ ιτσ σχοπε ισ νοτ ασ ωιδε. Ηιστοριχαλλψ, τηισ ρεφλεχτσ α ρεδυχεδ αππλιχατιον λεϖελ, ασ ωελλ ασ α λεσσ δεmανδινγ ρανγε οφ αππλιχατιονσ, συχη ασ νον ηιγη τεmπερατυρε υσε. Τηερε ισ αλσο τηε ισσυε τηατ αν αναλψσισ οφ α mιτρεδ βενδ ισ χοmπλιχατεδ βψ δισχοντινυιτψ στρεσσεσ, ασ ωελλ ασ τηοσε δυε το χροσσ σεχτιον οϖαλισατιον. Τηισ φαχτ, δελαψεδ τηε δεϖελοπmεντ οφ νον λινεαρ αναλψσισ οφ mιτρεδ βενδσ. Νεϖερτηελεσσ, τηερε ισ νοω α συβσταντιαλ βοδψ οφ ωορκ ον mιτρεδ βενδσ. Τηισ ρεϖιεω ταβυλατεσ ανδ χηαραχτερισεσ αλλ πυβλιχατιονσ το δατε ιν χηρονολογιχαλ ορδερ. Τηε δεταιλσ οφ εξπεριmενταλ σπεχιmενσ αρε ηιγηλιγητεδ, ωιτη α ϖιεω το τηεσε περηαπσ προϖιδινγ υσεφυλ ϖεριφιχατιον δατα φορ ανψ φυτυρε φινιτε ελεmεντ αναλψσισ φορ εξαmπλε. Ισσυεσ οφ παρτιχυλαρ ιντερεστ το πιπεωορκ δεσιγνερσ αρε δισχυσσεδ, ινχλυδινγ τηε εφφεχτσ οφ χοmβινατιονσ οφ λοαδινγ, ουτ οφ χιρχυλαριτψ, τανγεντ πιπε λενγτη ανδ φλανγεσ. Φαιλυρε χηαραχτεριστιχσ ανδ λοαδσ αρε δισχυσσεδ ωηερε ρελεϖαντ. Τοπιχσ φορ φυρτηερ ρεσεαρχη αρε αλσο νοτεδ. Φορ εξαmπλε, χοmπρεηενσιϖε δεσιγν χυρϖεσ δο νοτ εξιστ φορ τηε ελαστιχ ανδ πλαστιχ βεηαϖιουρ οφ αλλ mιτρε τψπεσ, οϖερ α πραχτιχαλ ρανγε οφ γεοmετρψ ανδ λοαδινγ παραmετερσ. Σιmιλαρλψ, τηερε ισ στιλλ σχοπε φορ φυρτηερ ωορκ ον τηε εφφεχτ οφ χοmβινεδ λοαδινγ, ενδ εφφεχτσ ανδ ουτ οφ χιρχυλαριτψ. Λιmιτ, χολλαπσε ανδ βυρστ λοαδσ αρε νοτ ψετ αϖαιλαβλε αχροσσ τηε εντιρε σπεχτρυm οφ βενδσ ανδ λοαδινγ παραmετερσ ειτηερ. Χρεεπ ανδ οπτιmισατιον ρεπρεσεντσ ϖιργιν τερριτορψ ασ φαρ ασ mιτρεδ βενδσ αρε χονχερνεδ ανδ γιϖεν τηατ υνφορεσεεν ϖιβρατιον ισ α χοmmον σουρχε οφ ηιγη χψχλε φατιγυε φαιλυρε ιν πιπεωορκ, τηερε mυστ αλσο βε σχοπε φορ ϖιβρατιον ινδυχεδ φατιγυε στυδιεσ. Κεψωορδσ: Μιτρεδ πιπε βενδ; λιτερατυρε ρεϖιεω, στρυχτυραλ ασσεσσmεντ. 1. Ιντροδυχτιον Μιτρεδ βενδσ αρε ωιδελψ υσεδ ιν ινδυστρψ. Ιν παρτιχυλαρ, αππλιχατιονσ ινχλυδε λαργε διαmετερ πιπεωορκ ορ δυχτινγ ιν χηεmιχαλ χοmπλεξεσ, δεσαλινατιον πλαντσ, ωατερ συππλψ ανδ νυχλεαρ ποωερ στατιονσ, ωηερε τηε mανυφαχτυρε οφ σmοοτη βενδσ mαψ βε ειτηερ ιmπραχτιχαλ ορ υνεχονοmιχαλ. Ιν mανψ χασεσ δεσιγνερσ ωιλλ πρεφερ το υτιλισε σmοοτη πιπε βενδσ δυε το τηε λαχκ οφ δισχοντινυιτψ, τηε ρελατιϖελψ σmαλλερ στρεσσ χονχεντρατιον ανδ τηε mορε φαϖουραβλε φλοω χηαραχτεριστιχσ. Ηοωεϖερ, ιν λαργε διαmετερ αππλιχατιονσ ορ αππλιχατιονσ ωιτη ρεστριχτεδ σπαχε ορ α τιγητ βυδγετ, mιτρεδ βενδσ στιλλ φινδ αππλιχατιον. Α δεταιλεδ ρεϖιεω ανδ ασσεσσmεντ οφ εϖερψ δοχυmεντ πυβλισηεδ ον mιτρεδ βενδσ ισ οβϖιουσλψ νοτ ποσσιβλε ωιτηιν τηε σχοπε οφ τηισ παπερ. Τηε mαιν αιm οφ τηισ ρεϖιεω τηερεφορε ισ το δραω αττεντιον το τηε ινφορmατιον αϖαιλαβλε ιν τηε οπεν λιτερατυρε, το γιϖε τηε ρεαδερ αν ινδιχατιον οφ σχοπε, το ηιγηλιγητ σπεχιφιχ τοπιχσ οφ ιντερεστ το τηε δεσιγνερ ανδ το ιδεντιφψ
ποσσιβλε αρεασ φορ φυρτηερ ρεσεαρχη. Τηε χηαλλενγε βεινγ το τρψ ανδ συmmαρισε τηισ ρεσεαρχη ιν α υσεφυλ mαννερ το ινδυστρψ ανδ αχαδεmια τοδαψ. Wηιλε συχη α χηρονολογιχαλ πρεσεντατιον οφ ρεφερενχεσ [1 101] ιν ταβλεσ 1 3, ισ νο δουβτ ιντερεστινγ φροm α ηιστοριχαλ ϖιεωποιντ, ιτ ισ περηαπσ τρυε το σαψ, τηατ mοστ οφ τηε εαρλψ τηεορετιχαλ ωορκ, ιν παρτιχυλαρ, ωιλλ ηολδ λιττλε ρεαλ ιντερεστ. Μυχη οφ τηε εαρλψ τηεορετιχαλ ωορκ, ωηιχη ωασ χλεαρλψ γρουνδ βρεακινγ ατ τηε τιmε, ρελατεδ το τηε δεϖελοπmεντ ανδ συβσεθυεντ ρεφινεmεντ οφ φυνδαmενταλ τηεορετιχαλ δεταιλσ. Τηισ αχτιϖιτψ ωασ οφτεν ινφορmεδ βψ χοmπαρισονσ ωιτη εξπεριmεντσ. Φορ εξαmπλε, εαρλψ τηεοριεσ ασσυmεδ τηε υν ρεινφορχεδ σεγmεντ οφ α mυλτι mιτρε το ηαϖε α υνιφορm φλαττενινγ ανδ τηε ιντερσεχτιον οφ α ρεινφορχεδ mιτρε το βε ριγιδλψ χονστραινεδ. Λατερ τηεοριεσ ρελαξεδ τηεσε χονστραιντσ ανδ ινϖολϖεδ σεριεσ εξπανσιονσ το αλλοω φορ τηε δεχαψ οφ χροσσ σεχτιοναλ οϖαλισατιον, ποστυλατινγ τηε εξιστενχε οφ λονγ ανδ σηορτ δεχαψ λενγτησ. Τηισ νοτ ονλψ ιmπροϖεδ χοmπαρισον ωιτη εξπεριmεντ, βυτ αλσο αλλοωεδ χονσιδερατιον οφ τηε εφφεχτσ οφ ενδ χονστραιντσ. Ιτ ισ αλσο αππαρεντ φροm τηε εαρλψ δοχυmεντσ τηατ τηε δεϖελοπmεντ οφ τηε τηεορψ ανδ γενεραλ τοπιχσ οφ ιντερεστ ηαδ mυχη ιν χοmmον ωιτη σmοοτη πιπε βενδσ. Τηισ ισ νοτ συρπρισινγ γιϖεν τηατ τηε βασιχ βεηαϖιουρ οφ τηεσε χοmπονεντσ ισ σιmιλαρ. Τηισ ινχλυδεσ τηε φαχτ τηατ βοτη δεϖελοπ αν ινχρεασε ιν φλεξιβιλιτψ ανδ λοχαλ στρεσσ λεϖελσ δυε το χροσσ σεχτιον οϖαλισατιον. Τηε mιτρε οβϖιουσλψ ηασ τηε αδδεδ χοmπλεξιτψ οφ δισχοντινυιτψ στρεσσεσ ατ τηε ιντερσεχτιον. Ιν τηε εαρλψ τηεορετιχαλ ωορκ, αν εδγε σολυτιον ωασ δεϖελοπεδ φορ τηισ χασε, ωηιχη ωασ τηεν συπεριmποσεδ ον τηε φλαττενινγ αναλψσισ. Τηε λατερ παπερσ ινϖαριαβλψ χονταιν τηε ρεφινεδ τηεοριεσ ανδ προϖιδε βεστ χοmπαρισονσ ωιτη εξπεριmεντ ιν γενεραλ. Ηοωεϖερ, τοδαψ τηε ρεαλ ρελεϖανχε το ινδυστρψ οφ εϖεν τηεσε λατερ τηεοριεσ, mυστ βε θυεστιοναβλε. Ιντερεστινγλψ, ασ φαρ βαχκ ασ 1970, Σοβιεσχζανσκι[22] φελτ τηατ τηε Φινιτε Ελεmεντ Μετηοδ ωασ τηε αναλψτιχαλ τοολ τηατ σηουλδ βε υσεδ ανδ τηατ ηισ τηεορετιχαλ χονχεπτ οφ αν εθυιϖαλεντ σmοοτη βενδ σηουλδ βε αβανδονεδ. Τοδαψ, τηε Φινιτε Ελεmεντ Μετηοδ ηασ α δοmιναντ ρολε ιν τηε στυδψ οφ ενγινεερινγ στρυχτυρεσ ανδ χοmπονεντσ ιν γενεραλ ανδ mοστ οργανισατιονσ φαχεδ ωιτη τηε νεεδ το εξαmινε α mιτρεδ πιπε βενδ ωιλλ αλmοστ χερταινλψ υσε τηισ ασ τηε πρεφερρεδ αππροαχη. Ιν τηε γενεραλ αρεα οφ Dεσιγν βψ Αναλψσισ οφ πρεσσυρε ϖεσσελσ ανδ χοmπονεντσ, φινιτε ελεmεντ αναλψσισ ισ νοω γενεραλλψ πρεφερρεδ το ηανδ χαλχυλατιονσ υσινγ σηελλ τηεορψ. Τηε mιτρεδ βενδ αλσο ρεπρεσεντσ α ϖερψ χηαλλενγινγ τηεορετιχαλ προβλεm ανδ τηισ ισ ωηψ ιτ ηασ κεπτ νυmερουσ ρεσεαρχηερσ βυσψ φορ δεχαδεσ. Τηε νυmβερ οφ ενγινεερσ ιν γενεραλ, ωηο χαν υνδερστανδ συχη τηεοριεσ ανδ αππλψ τηεm, ισ αλmοστ χερταινλψ ιν δεχλινε. Εϖεν Κιτχηινγ, ωηο ηαδ σπεντ mανψ ψεαρσ δεϖελοπινγ ανδ ρεφινινγ ηισ τηεορετιχαλ σολυτιονσ, τυρνεδ το φινιτε ελεmεντ αναλψσισ ωιτη ηισ ρεσεαρχη στυδεντσ, ωηεν εξαmινινγ νον λινεαρ βεηαϖιουρ. Ιτ σηουλδ βε ρεχογνισεδ ηοωεϖερ τηατ τηεσε τηεορετιχαλ δεϖελοπmεντσ αλσο ηαδ αν ινφλυενχε ον χοδε γυιδελινεσ ανδ ρυλεσ οϖερ τηε ψεαρσ ανδ τηειρ χοντριβυτιον το υνδερστανδινγ οφ τηε συβϕεχτ ανδ ινδυστριαλ πραχτιχε σηουλδ νοτ βε υνδερεστιmατεδ. Εϖεν τηουγη τοδαψ, φινιτε ελεmεντ αναλψσισ ισ τηε πρεφερρεδ αππροαχη, τηερε ισ νο δουβτ τηατ ηαϖινγ α κνοωλεδγε οφ τηε ϖαριουσ ρελεϖαντ ισσυεσ ιν τηε βεηαϖιουρ οφ συχη χοmπονεντσ ωιλλ βε ινϖαλυαβλε. Μανψ οφ τηεσε ισσυεσ ωερε ιδεντιφιεδ ιν τηε δεϖελοπmεντ οφ τηε τηεορψ ανδ ιτ ισ τηεσε ισσυεσ τηατ ωιλλ προϖιδε α φοχυσ φορ τηισ ρεϖιεω οφ λιτερατυρε. Υνλικε τηε τηεορετιχαλ δεϖελοπmεντ, τηε εξτενσιϖε (ανδ νο δουβτ εξπενσιϖε) εξπεριmενταλ τεστινγ χαρριεδ ουτ οϖερ τηε ψεαρσ ισ γενεραλλψ στιλλ ηιγηλψ ρελεϖαντ τοδαψ. Τηε ισσυε οφ ϖαλιδατιον οφ φινιτε ελεmεντ mοδελσ ισ περηαπσ συρπρισινγλψ στιλλ ασ ιmπορταντ τοδαψ ασ ιτ εϖερ ωασ. Ιτ ισ ωιδελψ ρεχογνισεδ τηατ βενχηmαρκινγ φινιτε ελεmεντ ρεσυλτσ αγαινστ θυαλιτψ εξπεριmενταλ δατα ισ α ϖαλυαβλε εξερχισε βοτη ιν τερmσ οφ τηε εδυχατιον οφ τηε αναλψστ ανδ αλσο ιν τερmσ οφ ϖαλιδατινγ τηε mοδελ. Α στυδψ οφ τηε σιγνιφιχανχε οφ ρεαλ ωορλδ ϖαριαβλεσ ρελατινγ το γεοmετρψ, mατεριαλ ανδ βουνδαρψ χονδιτιονσ, χαν βε αν ενλιγητενινγ εξπεριενχε φορ αναλψστσ. Ασ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ mοϖεσ ιντο mορε χοmπλεξ χοmβινεδ πηψσιχαλ πηενοmενα (ε.γ. φλυιδ φλεξιβλε στρυχτυρε ιντεραχτιον), ωηερε νο τηεορετιχαλ βενχηmαρκ ισ αϖαιλαβλε, τηε ιmπορτανχε οφ εξπεριmενταλ ϖαλιδατιον ινχρεασεσ.
2. Ρεϖιεω οφ Λιτερατυρε ον Μιτρεσ Τηισ παπερ πρεσεντσ αν υπ το δατε ανδ χοmπρεηενσιϖε λιστ οφ αλλ ρεφερενχεσ ρελατινγ το τηε στρυχτυραλ βεηαϖιουρ οφ mιτρεδ πιπε βενδσ οφ αλλ τψπεσ. Τηε γενεραλ νατυρε ανδ χοντεντ οφ τηεσε πυβλιχατιονσ ισ πρεσεντεδ ιν ταβλεσ 1 3. Α mορε εξτενσιϖε ρεϖιεω οφ τηε λιτερατυρε, υπ το 1983, ον αλλ ασπεχτσ οφ mιτρεδ βενδ βεηαϖιουρ ισ αϖαιλαβλε ιν α συππλεmεντ το ρεφερενχε [35]. Τηισ ρεφερενχε δισχυσσεσ τηε σιγνιφιχαντ χονχλυσιονσ φροm εαχη πυβλιχατιον, ωηιχη ισ οβϖιουσλψ νοτ ποσσιβλε ιν τηε πρεσεντ παπερ, δυε το σπαχε ρεστριχτιονσ. Βεφορε χονσιδερινγ ανψ δεταιλσ ρελατινγ το πρεϖιουσ ωορκ, ιτ mαψ προϖε ινστρυχτιϖε το δισχυσσ τηε γενεραλ στρυχτυρε οφ τηεσε ταβλεσ ανδ ηοω τηεψ mαψ βε υσεδ. Τηερε αρε 3 ταβλεσ ονε φορ σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεδ βενδσ, ονε φορ σινγλε ρεινφορχεδ mιτρεδ βενδσ (ωηερε τηε mιτρε ιντερσεχτιον ισ ρεινφορχεδ ιν σοmε ωαψ το ρεδυχε οϖαλισατιον ανδ ηενχε στρεσσεσ) ανδ ονε φορ mυλτι mιτρε βενδσ (αλσο κνοων ασ γυσσετεδ ορ λοβστερ βαχκ βενδσ). Τηε σπεχτρυm οφ mιτρεδ βενδσ ισ ιλλυστρατεδ ιν φιγυρε 1. Φιγυρε 1. Μιτρεδ Πιπε Βενδ Σπεχτρυm
Τηισ φιγυρε σηοωσ τηε χονϖεργενχε τοωαρδσ α στραιγητ πιπε σολυτιον ασ βενδ ανγλε ινχρεασεσ ανδ τοωαρδσ α σmοοτη πιπε σολυτιον ασ τηε νυmβερ οφ σεγmεντσ ινχρεασεσ. Ιτ σηουλδ βε βορνε ιν mινδ ηοωεϖερ, τηατ ανψ ωελδεδ ιντερσεχτιον ωιλλ γιϖε ρισε το λοχαλισεδ πεακ στρεσσεσ, ωηιχη ωιλλ ιν τυρν βε ιmπορταντ ιν ρελατιον το φατιγυε περφορmανχε. Τηε ϖαριουσ τψπεσ οφ ρεινφορχεδ mιτρε βενδσ αρε σηοων ιν φιγυρε 2. Τηε τψπεσ οφ mιτρε ρεινφορχεmεντ ινχλυδεσ: (α) Wελδ mεταλ εϖεν τηισ ρεπρεσεντσ α δεγρεε οφ mιτρε ρεινφορχεmεντ. Ιτ ωιλλ γενεραλλψ βε mορε σιγνιφιχαντ φορ βενδσ οφ ηιγη α/τ ρατιο (ωηερε α ισ τηε mεαν ραδιυσ οφ τηε πιπε ανδ τ ισ τηε πιπε ωαλλ τηιχκνεσσ) ανδ ωιλλ ηαϖε α ρολε ιν τηε δετερmινατιον οφ φατιγυε ηοτ σποτ στρεσσεσ. Ιτ ισ αλσο ρεχογνισεδ τηατ ανψ mισmατχη βετωεεν ωελδ ανδ παρεντ mεταλ ωιλλ αλσο αφφεχτ τηε δεγρεε οφ ρεινφορχεmεντ ατ τηε ιντερσεχτιον. (β) Λοχαλ αρεα ρεινφορχεmεντ mορε χοmmον ωιτη ΓΡΠ (γλασσ ρεινφορχεδ πλαστιχ) βενδσ. Τηε ποσσιβιλιτψ οφ δετερmινινγ αν οπτιmυm τηιχκνεσσ προφιλε εξιστσ, βυτ τηισ ηασ νεϖερ βεεν ινϖεστιγατεδ. (χ) Ελλιπτιχαλ ινσερτ. (δ) Γυσσετ πλατεσ. (ε) Ρεινφορχινγ ρινγ ωιτη ϖαριουσ προφιλεσ οφ στιφφενινγ σεχτιον σηοων ιν (ι) το (ϖιι). Τηε φιγυρε σηοωσ α ϖαριαβλε προφιλε ρινγ, βυτ υνιφορm προφιλε ισ αλσο υσεδ. Τηε ποσσιβιλιτψ οφ δετερmινινγ αν οπτιmυm προφιλε αλσο εξιστσ, βυτ τηισ ηασ νεϖερ βεεν ινϖεστιγατεδ. (φ) Ρεπρεσεντσ αν ασσυmπτιον χοmmονλψ mαδε ιν τηε αναλψσισ οφ mιτρεδ πιπε βενδσ, πριορ το τηε ποπυλαριτψ οφ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ. Τηισ ηασ βεεν σηοων νοτ το βε ρεπρεσεντατιϖε, εϖεν φορ ρεινφορχεδ mιτρεσ. Φιγυρε 2. Τψπεσ οφ Ρεινφορχεmεντ Μανψ λαργε διαmετερ mιτρεδ πιπε βενδσ mαψ αλσο ηαϖε σοmε φορm οφ ιντερναλ ρεινφορχεmεντ δυε το τηε χασχαδε βλαδινγ, ωηιχη ισ σοmετιmεσ ατταχηεδ το τηε ινσιδε συρφαχεσ οφ τηε ελλιπτιχαλ ινσερτ (χ), το ιmπροϖε φλοω χηαραχτεριστιχσ. Τηε εφφεχτ οφ τηισ ισ λιmιτεδ ιν σοmε δεσιγνσ βψ χοννεχτινγ τηε βλαδινγ το τηε βενδ ατ νευτραλ ποσιτιονσ ανδ υσινγ σλιδινγ ϕοιντ χοννεχτιονσ.
Ασ χαν βε σεεν φροm φιγυρε 2, τηε ϖαριετψ οφ ρεινφορχεmεντ τηατ χαν βε υσεδ το ρεδυχε τηε στρεσσ χονχεντρατιον εφφεχτ ανδ οϖαλισατιον οφ τηε ελλιπτιχαλ ιντερσεχτιον ισ λαργε. Ηολλανδ[20, 47] εmπηασιζεδ τηε δανγερσ ιν ασσυmινγ α περφεχτλψ χλαmπεδ ϕοιντ (φ) ωηεν αναλψσινγ α ρεινφορχεδ mιτρε. Οωεν, Ηολλανδ & Εmmερσον[12], φορ τηε χασε οφ ιντερναλ πρεσσυρε, δισχυσσεδ τηε προβλεmσ οφ σελεχτινγ τηε mοστ αππροπριατε σιζε ανδ σηαπε οφ στιφφενινγ ρινγ. Ιφ τηε σεγmεντ λενγτη οφ α mυλτι mιτρε ωασ λαργε ενουγη το περmιτ τηε αναλψσισ οφ εαχη ιντερσεχτιον ασ α σινγλε mιτρε, τηεν τηε ινφορmατιον ρελατινγ το σινγλε mιτρεσ ωουλδ βε διρεχτλψ αππλιχαβλε. Ιν τηε ταβλεσ, φορ εαχη τψπε οφ βενδ, τηε ρεφερενχεσ αρε πρεσεντεδ ιν χηρονολογιχαλ ορδερ. Τηισ χαν ιν ιτσελφ προϖιδε αν ιντερεστινγ πιχτυρε οφ αχτιϖιτψ ιν τηισ αρεα. Φορ εξαmπλε, τηε εαρλψ ιντερεστ ωασ χλεαρλψ δριϖεν βψ τηε δεσιγν χονσιδερατιονσ οφ τηε Μαγνοξ νυχλεαρ ποωερ στατιον δεϖελοπmεντ ιν τηε ΥΚ. Τηε δεσιγν οφ τηεσε στατιονσ ρεθυιρεδ λαργε διαmετερ δυχτινγ, ωηιχη γενεραλλψ πρεχλυδεδ τηε υσε οφ σmοοτη πιπε βενδσ. Τηισ ωορκ ωασ χλεαρλψ χηαλλενγινγ φροm αν αχαδεmιχ ϖιεωποιντ ανδ ασ α χονσεθυενχε γενερατεδ ρεσεαρχη αχτιϖιτψ ιν α νυmβερ οφ ΥΚ Υνιϖερσιτιεσ. Τηε εξτενσιϖε ρεσεαρχη αχτιϖιτψ βψ Κιτχηινγ ατ τηε Υνιϖερσιτψ οφ Μανχηεστερ, οϖερ α λονγ περιοδ οφ τιmε, ισ νοτεωορτηψ ιν τηισ ρεγαρδ. Τηε νεω ΙΤΕΡ φυσιον νυχλεαρ ρεαχτορ [92] ισ λικελψ το υτιλισε mιτρεδ βενδσ ιν τηε ωαϖεγυιδεσ. Τηεσε ωαϖεγυιδεσ, ωηιχη αρε 72m ιν λενγτη, βυτ ονλψ 63.5mm διαmετερ, ινχλυδε 9 mιτρεδ βενδσ. Αλτηουγη τηε πρινχιπλεσ οφ οπερατιον οφ τηε φυσιον ανδ εαρλψ Μαγνοξ ρεαχτορσ αρε χοmπλετελψ διφφερεντ, ιτ ισ ιντερεστινγ το νοτε τηε σιmιλαριτιεσ ιν τερmσ οφ σολυτιονσ το τηε χηαλλενγεσ βρουγητ αβουτ βψ τηε οπερατινγ τεmπερατυρεσ. Ινστεαδ οφ τρανσmιττινγ α φλυιδ χονταινινγ ενεργψ, τηε εϖαχυατεδ ωαϖεγυιδεσ τρανσmιτ mιχροωαϖε ποωερ. Το mινιmισε τρανσmισσιον λοσσεσ, τηε τηερmαλ διστορτιον οφ τηε λινεσ mυστ βε mινιmισεδ ανδ το τηισ ενδ, τηε τρανσmισσιον λινεσ χονταιν εξπανσιον βελλοωσ. Τηε mιτρεδ βενδσ χονταιν mιρρορσ το ρεφλεχτ τηε mιχροωαϖε βεαm ανδ τηεσε mυστ αλσο βε ηελδ ριγιδ δυρινγ οπερατιον. Ιν αδδιτιον, τηε βενδσ αβσορβ σmαλλ αmουντσ οφ ποωερ ανδ ωιλλ ηαϖε το βε αχτιϖελψ χοολεδ. Μιτρεσ πιπεσ αρε αλσο πρεσεντ ιν πεββλε βεδ ρεαχτορ δεσιγνσ. Ιντερεστ ιν mιτρεδ βενδσ φορ νυχλεαρ ποωερ γενερατιον ισ νοτ ατ αν ενδ, ιτ ωουλδ αππεαρ. Τηε εαρλψ ωορκ ιν τηε ΥΣ, λαψινγ τηε φουνδατιονσ φορ τηε φατιγυε στρενγτη ρεδυχτιον φαχτορ, στρεσσ χονχεντρατιον φαχτορ ανδ φλεξιβιλιτψ φαχτορ δατα ιν τοδαψ σ ΑΣΜΕ δεσιγν χοδεσ φορ συχη χοmπονεντσ, ισ αλσο αππαρεντ ιν ταβλεσ 1 3. Τηε τρενδ ιν mιτρεδ βενδ πυβλιχατιον ισ σηοων ιν φιγυρε 3. 30 29 25 24 Νυmβερ οφ Πυβλιχατιονσ 20 15 10 5 2 9 19 6 5 0 1940 1949 1950 1959 1960 1969 1970 1979 1980 1989 1990 1999 2000 δατε Φιγυρε 3. Μιτρε Πιπε Βενδ Πυβλιχατιονσ
Τηε δατα ιν ταβλεσ 1 3 διστινγυισηεσ τηεορετιχαλ ανδ εξπεριmενταλ παπερσ, φορ ιν πλανε βενδινγ (ΙΠΒ), ουτ οφ πλανε βενδινγ (ΟΠΒ), τορσιον (ΤΟΡΣ) ανδ ιντερναλ πρεσσυρε (ΠΡΕΣΣ). Τηε ταβλεσ αλσο δεταιλ τηε σαλιεντ διmενσιονσ οφ τηε εξπεριmενταλ σπεχιmενσ. Τηισ ωουλδ ηοπεφυλλψ αλλοω ανψονε σεεκινγ ϖαλιδατιον φορ ανψ φινιτε ελεmεντ mοδελ το σελεχτ αν εξπεριmεντ ωιτη σιmιλαρ χηαραχτεριστιχσ. Τηε λοαδινγ αρρανγεmεντσ, τψπιχαλλψ υσεδ ιν εξπεριmεντσ, αρε σηοων ιν φιγυρε 4. Φροm τηεσε αρρανγεmεντσ, ιτ ισ χλεαρ τηατ ιν σοmε χασεσ, τηε λοαδινγ ισ νοτ σψmmετριχαλ αβουτ τηε mιτρε ιντερσεχτιον ανδ ασ α χονσεθυενχε, εαχη λεγ οφ τηε mιτρε ωιλλ ηαϖε α διφφερεντ στρεσσ φιελδ. Σο φορ εξαmπλε, ιν mανψ ινστανχεσ, α νοτιοναλ ουτ οφ πλανε βενδινγ λοαδ ωιλλ αλσο συβϕεχτ παρτσ οφ τηε βενδ το τορσιον ανδ σηεαρ (ινχλυδινγ τηε mιτρε ιντερσεχτιον). Φιγυρε 4. Τψπιχαλ Εξπεριmενταλ Λοαδινγ Αρρανγεmεντσ Υνλικε εξπεριmενταλ στυδιεσ, τηεορετιχαλ αναλψσεσ ινϖαριαβλψ εξαmινεδ σιmπλιφιεδ σψmmετριχαλ χασεσ, ωιτη ονε λοαδινγ αχτιον. Φινιτε ελεmεντ στυδιεσ, ηαϖε αλσο βεεν εmπλοψεδ το εξαmινε ϖαριουσ υνιτ λοαδινγ χασεσ ασ ωελλ ασ το αχχυρατελψ ρεφλεχτ αν εξπεριmενταλ τεστ σετ υπ. ςαριουσ υνιτ λοαδινγ χασεσ mαψ βε εξαmινεδ υσινγ τηε φορχε αχτιονσ σηοων ιν φιγυρε 5. Τηεσε υνιτ λοαδινγ χασεσ, mαψ βε βυιλτ υπ ιντο mορε χοmπλεξ λοαδινγ σχεναριοσ υσινγ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον οφ Στατεσ (ωηερε ρελεϖαντ). Τηερε αρε ϖαριουσ εφφεχτσ τηατ χαν ινϖαλιδατε τηισ πρινχιπλε, ινχλυδινγ πλαστιχιτψ, λαργε δισπλαχεmεντσ ανδ χονταχτ. Ιν τηε χασε οφ πιπε βενδσ, τηε πρεσενχε οφ πρεσσυρε λοαδινγ χαν αλσο ινϖαλιδατε συπερποσιτιον οφ ρεσυλτσ φροm ινδιϖιδυαλ λοαδινγ χασεσ ανδ τηισ ισ δισχυσσεδ φυρτηερ ιν σεχτιον 3.1. Υσε οφ σψmmετριχαλ ανδ ασψmmετριχαλ βουνδαρψ χονδιτιονσ χαν βε υσεδ το ρεστριχτ τηε mοδελ το α θυαρτερ οφ τηε βενδ ιν τηε ιλλυστρατιον σηοων. Wιτη τηε ινχρεασινγ ποωερ οφ χοmπυτερσ, ασψmmετριχαλ (περηαπσ εϖεν σψmmετριχαλ) ιδεαλισατιονσ αρε λεσσ λικελψ το βε υσεδ, ωιτη mοστ αναλψστσ σιmπλψ mοδελλινγ τηε εντιρε γεοmετρψ.
Φιγυρε 5. Υνιτ Λοαδ Χασε Ποσσιβιλιτιεσ Ταβλεσ 1 3 αλσο ιδεντιφψ ανψ ρεφερενχεσ ωηερε πλαστιχ βεηαϖιουρ ηασ βεεν εξαmινεδ (ε.γ. βυρστ ορ χολλαπσε λοαδσ). Τηεσε παπερσ αρε οφτεν εξπεριmενταλ ιν νατυρε. Τηε ταβλεσ αλσο ηιγηλιγητ ανψ υνυσυαλ χονσιδερατιονσ υνδερ τηε χολυmν ηεαδινγ ΟΤΗΕΡ. 3. Σπεχιαλ Ιντερεστ Τοπιχσ Τηε φολλοωινγ τοπιχσ ρελατε το ισσυεσ τηατ αρε οφ παρτιχυλαρ ιντερεστ το ενγινεερσ ανδ δεσιγνερσ χονχερνεδ ωιτη mιτρεδ πιπε βενδσ. Ιν εαχη σεχτιον, τηε ινφορmατιον ισ πρεσεντεδ ιν τηε σαmε ορδερ ασ τηε ταβλεσ σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεσ, φολλοωεδ βψ σινγλε ρεινφορχεδ mιτρεσ ανδ τηεν mυλτι mιτρεσ. 3.1 Χοmβινατιονσ οφ Λοαδσ Wιτη τηε ποσσιβλε εξχεπτιον οφ ιντερναλ πρεσσυρε, πλαστιχιτψ ανδ χονταχτ, τηε χοmβινεδ εφφεχτ οφ ϖαριουσ λοαδινγσ ον τηε ελαστιχ ρεσπονσε οφ mιτρεδ πιπε βενδσ χαν οφτεν βε οβταινεδ υσινγ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον, ωηιχη ισ κνοων το βε ϖαλιδ ασ λονγ ασ βεηαϖιουρ ισ λινεαρ, τηε δεφορmατιονσ αρε σmαλλ ανδ τηεσε σmαλλ δισπλαχεmεντσ δο νοτ αφφεχτ συβσταντιαλλψ τηε αχτιον οφ τηε εξτερναλ φορχεσ. Wηεν ιντερναλ πρεσσυρε ισ πρεσεντ ηοωεϖερ, τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον χαν βεχοmε ινϖαλιδ δυε το τηε στιφφενινγ εφφεχτ οφ τηε πρεσσυρε, ινφλυενχινγ τηε βεηαϖιουρ οφ τηε βενδ. Τηε σουρχε οφ τηισ νονλινεαριτψ ισ δισχυσσεδ φυρτηερ ιν σεχτιον 3.7. Σεϖεραλ εαρλψ ινϖεστιγατιονσ [4, 22] ιντο τηε βεηαϖιουρ οφ mιτρεδ πιπε βενδσ, ωρονγλψ ασσυmεδ τηατ, βεχαυσε αλλ λοαδ/δεφορmατιον χυρϖεσ ωερε λινεαρ ιν τηειρ ινϖεστιγατιονσ ιντο τηε ινδιϖιδυαλ λοαδινγ χασεσ, τηατ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον χουλδ βε υσεδ το δετερmινε τηε χοmβινεδ λοαδινγ εφφεχτ. Ιν ηισ Μαστερ σ τηεσισ, Σο[26] χαρριεδ ουτ εξπεριmεντσ ον τηε χοmβινεδ εφφεχτσ οφ πρεσσυρε ανδ βοτη ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε βενδινγ, φορ τωο σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεσ. Σο οβσερϖεδ τηατ τηε εφφεχτ οφ πρεσσυρε, ωασ mορε σιγνιφιχαντ ωιτη λαργερ α/τ ρατιοσ. Ιν αδδιτιον, ηε οβσερϖεδ τηατ τηερε ωασ α προγρεσσιϖε mοϖεmεντ οφ τηε mαξιmυm στρεσσ λοχατιον το τηε χροτχη ποσιτιον, ωιτη ινχρεασινγ ιντερναλ πρεσσυρε. Τηισ ισ ινδιχατιϖε οφ βεηαϖιουρ mορε ανδ mορε ακιν το σιmπλε βενδινγ τηεορψ.
Μορε ρεχεντλψ, Γρεσνιγτ[91] στυδιεδ τηε ελαστιχ ανδ πλαστιχ βεηαϖιουρ οφ σινγλε mιτρεσ ωιτη τωο διφφερεντ βενδ ανγλεσ ανδ ραδιυσ το τηιχκνεσσ ρατιοσ. Τηε σπεχιmενσ ωερε συβϕεχτεδ το ιν πλανε βενδινγ mοmεντσ ειτηερ οπενινγ ορ χλοσινγ τηε βενδ ανγλε, ωιτη ειτηερ ζερο πρεσσυρε ορ α φιξεδ ϖαλυε οφ πρεσσυρε. Τηε αυτηορ δοεσ νοτ δισχυσσ τηε νον λινεαρ πρεσσυρε στιφφενινγ εφφεχτ, αλτηουγη τηερε αρε σιγνιφιχαντ διφφερενχεσ ιν τηε φλεξιβιλιτψ φαχτορσ, στρεσσ ιντενσιφιχατιον φαχτορσ ανδ δεφορmατιον χαπαχιτιεσ. Μαρκλ[48] ινϖεστιγατεδ τηε εφφεχτ οφ α χονσταντ ιντερναλ πρεσσυρε ον τηε χψχλιχ ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε βενδινγ φατιγυε βεηαϖιουρ οφ mυλτι mιτρεδ βενδσ. Μαρκλ ρεπορτεδ τηατ τηε ρεσυλτινγ mεαν στρεσσ λεϖελ ηαδ λιττλε εφφεχτ ον τηε mαγνιτυδε οφ τηε φατιγυε στρεσσ χονχεντρατιονσ. Αλτηουγη, φροm α χοmπαρισον ωιτη τηε Σ Ν χυρϖεσ ωιτηουτ πρεσσυρε, τηερε ωασ α τρενδ πρεσεντ ωηιχη ινδιχατεδ τηε ινχρεασεδ σιγνιφιχανχε οφ τηε χονσταντ πρεσσυρε στρεσσεσ ασ τηε αππλιεδ ϖαριαβλε βενδινγ στρεσσεσ ωερε ρεδυχεδ. Τηισ τρενδ ωουλδ βεχοmε mυχη mορε σιγνιφιχαντ φορ βενδσ ωιτη ηιγη α/τ ρατιοσ. Λανε[52] συβϕεχτεδ α mυλτι mιτρε σιmυλτανεουσλψ το τηε αχτιον οφ ιν πλανε βενδινγ ανδ ιντερναλ πρεσσυρε. Λανε ρεπορτεδ τηατ τηε ρεσυλτσ οφ τηε συmmατιον οφ τηε στρεσσεσ οβταινεδ σεπαρατελψ φορ εξτερναλ λοαδινγ ανδ ωιτη ιντερναλ πρεσσυρε, ωερε ιν γοοδ αγρεεmεντ ωιτη τηοσε οβταινεδ ιν τηε τεστσ ιν ωηιχη τηε τωο τψπεσ οφ λοαδινγ ωερε αππλιεδ σιmυλτανεουσλψ. Τηερεφορε, Λανε χονχλυδεδ τηατ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον χουλδ βε αππλιεδ το mυλτι mιτρεδ βενδσ φορ διmενσιονσ ανδ λοαδινγ χονδιτιονσ σιmιλαρ το τηοσε ιν τηε αβοϖε τεστσ. Τηε αβοϖε ρεσυλτσ ωερε αλσο ρεπορτεδ βψ Λανε & Ροσε[54]. Βονδ[25] ανδ Βονδ & Κιτχηινγ[62] ρεπορτεδ τηε ρεσυλτσ οφ τεστσ ον α mυλτι mιτρεδ πιπε βενδ ωηεν συβϕεχτεδ το αν ιν πλανε βενδινγ λοαδ ατ ϖαριουσ ιντερναλ πρεσσυρεσ. Τηε ρεσυλτσ οφ τηεσε τεστσ ωερε χοmπαρεδ ωιτη τηοσε δεριϖεδ φροm τηε τηεορψ προδυχεδ βψ τηε σαmε αυτηορσ. Τηε τηεορετιχαλ αππροαχη ωασ σιmιλαρ το τηατ υσεδ βψ Ροδαβαυγη & Γεοργε[75], φορ τηε αναλψσισ οφ σmοοτη βενδσ. Τηε αυτηορσ χονχλυδεδ τηατ τηε φλεξιβιλιτψ φαχτορ ωασ νοτ λινεαρλψ ρελατεδ το πρεσσυρε ανδ τηατ στρεσσ χονχεντρατιον φαχτορσ δυε το βενδινγ ωερε ρελατεδ το πρεσσυρε ιν mυχη τηε σαmε ωαψ ασ ωερε φλεξιβιλιτψ φαχτορσ. Φυρτηερmορε, ιτ ωασ φουνδ τηατ τηε mαξιmυm στρεσσεσ δυε το βενδινγ διδ νοτ νεχεσσαριλψ οχχυρ ατ τηε σαmε λοχατιον ορ ιν τηε σαmε διρεχτιονσ, φορ αλλ πρεσσυρεσ. Ρεσυλτσ οβταινεδ υσινγ τηε αβοϖε τηεορψ, αλσο χοmπαρεδ φαϖουραβλψ ωιτη τηε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ οφ Λανε & Ροσε[54]. Βονδ[25] ανδ Κιτχηινγ & Βονδ[63], ωηιλε ινϖεστιγατινγ ουτ οφ χιρχυλαριτψ εφφεχτσ, αλσο χονσιδερεδ τηε χοmβινεδ λοαδινγ χασε οφ ιντερναλ πρεσσυρε ανδ ιν πλανε βενδινγ. Τηε αυτηορσ ρεπορτεδ γοοδ αγρεεmεντ βετωεεν τηεορετιχαλ ανδ εξπεριmενταλ ρεσυλτσ φορ στρεσσεσ δυε το τηε βενδινγ mοmεντ ανδ αλσο φορ φλεξιβιλιτψ φαχτορσ, ωηεν τηε σπεχιmεν ωασ συβϕεχτεδ το ιν πλανε βενδινγ ιν τηε πρεσενχε οφ α χονσταντ ιντερναλ πρεσσυρε. Στραινσ ανδ δεφλεχτιονσ, ιν τηισ χασε, ωερε λινεαρ ωιτη βενδινγ mοmεντ φορ ανψ γιϖεν πρεσσυρε. Ιτ ωασ αλσο ρεπορτεδ τηατ ωηεν τηε σπεχιmεν ωασ συβϕεχτεδ το ιντερναλ πρεσσυρε ονλψ, ορ το ιντερναλ πρεσσυρε ιν τηε πρεσενχε οφ α χονσταντ βενδινγ mοmεντ, τηε ρελατιονσηιπσ βετωεεν στραινσ ανδ πρεσσυρε ωερε νον λινεαρ. Τηισ νον λινεαριτψ ωασ τηουγητ το βε χαυσεδ βψ ινιτιαλ ουτ οφ χιρχυλαριτψ οφ τηε πιπε χροσσ σεχτιον. Τηε τηεορετιχαλ διστριβυτιονσ βορε ονλψ παρτιαλ ρεσεmβλανχε το τηε εξπεριmενταλ διστριβυτιονσ ιν τηισ χασε. Φιναλλψ, ιτ ωασ χονχλυδεδ τηατ τηε τοταλ στραινσ, δυε το χοmβινατιονσ οφ ιντερναλ πρεσσυρε ανδ ιν πλανε βενδινγ, ωερε φουνδ το βε ινδεπενδεντ οφ τηε σεθυενχε οφ λοαδινγ φορ τηε ρανγε οφ λοαδσ υσεδ. Wηιλε τηισ χονχλυσιον ισ τρυε φορ τηε βενδσ εξαmινεδ, ιτ ισ γενεραλλψ δεπενδεντ ον τηε βενδ γεοmετρψ ανδ λοαδινγ mαγνιτυδεσ [83]. Ροδαβαυγη[28] δισχυσσεδ χοmβινεδ mοmεντ ανδ πρεσσυρε λοαδινγ ανδ φροm α χοmπαρισον ωιτη τηε ρεσυλτσ οφ Βονδ & Κιτχηινγ[62], σηοωεδ τηατ τηε αππροξιmατε εξπρεσσιονσ δεριϖεδ βψ Ροδαβαυγη & Γεοργε[75], φορ τηε εφφεχτ οφ ιντερναλ πρεσσυρε ον τηε βενδινγ βεηαϖιουρ οφ σmοοτη βενδσ, χουλδ βε υσεδ το ασσεσσ τηε εφφεχτσ φορ mυλτι mιτρεδ βενδσ. Τηε ωορκ ηιγηλιγητεδ τηε ρεδυχτιον ιν mαξιmυm στρεσσ ανδ φλεξιβιλιτψ ωιτη ινχρεασε ιν πρεσσυρε. Ιτ ωουλδ αππεαρ φροm τηεσε ρεσυλτσ τηατ υσε οφ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον το χοmβινε τηε
εφφεχτσ οφ πρεσσυρε ανδ βενδινγ, ωιλλ οϖερεστιmατε τηε αχτυαλ στρεσσεσ εξιστινγ ιν α βενδ, εσπεχιαλλψ φορ ηιγη α/τ ρατιοσ. Τηε Υσερ σ Γυιδε το Μιτρε βψ Βεϖεριδγε & Χαρmιχηαελ[30], ουτλινεσ ηοω τηε Μιτρε προγραm mαψ βε υσεδ το δετερmινε τηε φλεξιβιλιτψ οφ, ανδ στρεσσεσ ιν, mυλτι mιτρεδ πιπε βενδσ συβϕεχτεδ το ιντερναλ πρεσσυρε ωιτη ορ ωιτηουτ ιν ανδ/ορ ουτ οφ πλανε βενδινγ. Τηε προγραm ωασ δεριϖεδ φροm τηε ωορκ οφ Βονδ[18, 25]. Τηε στατυσ οφ τηισ σοφτωαρε ισ νοω υνκνοων. Ινγενηουσζ[66], φορ α 90 0 σινγλε σεγmεντ ΓΡΠ mιτρε, φουνδ τηατ τηε δεφορmατιον δυε το χοmβινατιονσ οφ πρεσσυρε, mοmεντ ανδ λατεραλ φορχε, ωασ αππροξιmατελψ τηε σαmε ασ τηε συm οφ τηε δεφορmατιονσ φουνδ φορ εαχη οφ τηεσε λοαδσ σεπαρατελψ. Ψουσιφ & Αλ Dακηιλ[69], χαρριεδ ουτ χοmβινεδ πρεσσυρε ωιτη ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε βενδινγ φορ α 3 σεγmεντ ανδ 5 σεγmεντ mιτρε. Ρεσυλτσ ωερε αλσο χοmπαρεδ ωιτη ϖαριουσ τηεοριεσ. Τηε αυτηορσ χονχλυδεδ τηατ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ φορ τηε τηρεε διφφερεντ τψπεσ οφ λοαδινγ προϖεδ το βε συπεριmποσαβλε. Ιν ηισ mαστερσ τηεσισ, Λαι[36], υσινγ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ, εξαmινεδ τηε εφφεχτσ οφ χοmβινεδ πρεσσυρε ανδ βενδινγ φορ τωο σινγλε σεγmεντ mιτρεδ βενδσ ιν τηε Ηυντερστον Α νυχλεαρ ποωερ στατιον. Τηε φινιτε ελεmεντ προγραmmε υσεδ διδ νοτ χατερ φορ τηε νον λινεαρ εφφεχτ οφ χοmβινινγ πρεσσυρε ανδ βενδινγ ανδ τηε αυτηορ υσεδ τηε προχεδυρε δεϖελοπεδ βψ Ροδαβαυγη[28] το mοδιφψ τηε βενδινγ ρεσυλτσ, βεφορε αλγεβραιχαλλψ αδδινγ το τηε πρεσσυρε στρεσσεσ. Ρεσυλτσ ωερε χοmπαρεδ ωιτη τηοσε φροm τηε Μιτρε προγραm [30] ανδ ιτ ωασ χονχλυδεδ τηατ τηε χοmπαρισον ωασ σατισφαχτορψ. Ηοωεϖερ, ιτ ωασ νοτεδ τηατ σιmπλψ αδδινγ, ωιτηουτ φαχτορινγ, προϖιδεδ α βεττερ χοmπαρισον ιν τηισ χασε. Βαττλε ετ αλ[79], ρεϖιεωεδ τηε ινφορmατιον αϖαιλαβλε φορ τηε εφφεχτσ οφ πρεσσυρε ον τηε φλεξιβιλιτψ ανδ στρεσσ ιντενσιφιχατιον φαχτορσ φορ mιτρεδ βενδσ, ωηιλε δραφτινγ αmενδmεντ 3 το ΒΣ806:1975[98]. Τηε ωορκινγ γρουπ νοτεδ τηε χορρελατιον βετωεεν εξπεριmεντ ανδ τηεορψ ον τηισ mαττερ, βυτ αλσο νοτεδ τηατ ιτ ωουλδ βε ιναππροπριατε το ρεχοmmενδ ινχλυσιον οφ τηισ εφφεχτ φορ mιτρεδ βενδσ, ωηεν τηε χοδε διδ νοτ χονσιδερ ιτ φορ σmοοτη βενδσ. Τηε mαττερ ωασ ρεφερρεδ το τηε mαιν στανδαρδ χοmmιττεε φορ χονσιδερατιον. Τηισ στανδαρδ ηασ νοω βεεν ρεπλαχεδ βψ ΒΣΕΝ 13480[99] ανδ ιτ ωουλδ αππεαρ τηατ τηισ εφφεχτ οφ πρεσσυρε ηασ ψετ το βε ινχλυδεδ. Ιν ηισ ΠηD τηεσισ, Βαβαιι Κοχηεχκσεραιι[83] εξαmινεδ χοmβινεδ πρεσσυρε ανδ βενδινγ λοαδινγ οφ σινγλε mιτρεδ πιπε βενδσ υσινγ λαργε δισπλαχεmεντ φινιτε ελεmεντ mετηοδσ. Ιτ ωασ χονχλυδεδ τηατ τηε φιναλ στρεσσ στατε ωασ ιν φαχτ δεπενδεντ υπον τηε λοαδινγ σεθυενχε. Βαβαιι Κοχηεχκσεραιι & Ροβινσον[94] υσινγ βοτη εξπεριmεντ ανδ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ, εξαmινεδ τηε χοmβινεδ εφφεχτσ οφ πρεσσυρε ανδ ιν πλανε βενδινγ φορ α ΠςΧ (πολψ ϖινψλ χηλοριδε) λινεδ ΓΡΠ mυλτι mιτρε. Τηε αυτηορσ χονχλυδεδ τηατ ονλψ λαργε δισπλαχεmεντ φινιτε ελεmεντ αναλψσισ ισ συιταβλε φορ τηε πραχτιχαλ δεσιγν οφ βενδσ συβϕεχτεδ το χοmβινεδ ιντερναλ πρεσσυρε ανδ ιν πλανε βενδινγ. Τηε mεχηανισm οφ νον λινεαρ ιντεραχτιον ωασ βεψονδ τηε σχοπε οφ τηειρ στυδψ, βυτ ιτ ωασ ηιγηλιγητεδ ασ βεινγ τηε συβϕεχτ οφ ποσσιβλε φυτυρε στυδψ. Ιτ ισ αλσο ωορτη εmπηασισινγ τηε χοmπλιχατιονσ τηατ τηε αβοϖε εφφεχτσ ιντροδυχε ιντο τηε αναλψσισ οφ πιπελινεσ, εσπεχιαλλψ λινεσ χονταινινγ πιπεσ ωιτη λαργε α/τ ρατιοσ. Τηε φαχτ τηατ τηε πρεσσυρε νορmαλλψ δεχρεασεσ τηε φλεξιβιλιτψ φαχτορ οφ τηε βενδ, αχτυαλλψ ρεσυλτσ ιν αν ινχρεασε ιν τηε mοmεντσ βεινγ αππλιεδ το τηε βενδ (ανδ οφ τηε τερmιναλ ρεαχτιονσ). Το τηε αυτηορ σ κνοωλεδγε, τηερε αρε νο πυβλισηεδ ρεφερενχεσ περταινινγ το τηισ συβϕεχτ ιν ρελατιον το σινγλε ρεινφορχεδ mιτρεδ βενδσ. Ιτ ισ λικελψ ηοωεϖερ, τηατ τηε γενεραλ οβσερϖατιονσ φορ υν ρεινφορχεδ σινγλε ανδ mυλτι mιτρεσ, ρεπορτεδ αβοϖε, ωιλλ αλσο βε αππλιχαβλε το τηε ρεινφορχεδ χασε (τηε σιγνιφιχανχε οφ τηε πρεσσυρε στιφφενινγ εφφεχτ βεινγ λεσσ). 3.2 Ενδ Εφφεχτσ ανδ τηε Ινφλυενχε οφ Λεγ Λενγτη Τωο φαχτορσ ωηιχη αφφεχτ τηε φλεξιβιλιτψ ανδ ηενχε στρεσσεσ ιν πιπε βενδσ αρε τηε λοχατιον οφ φλανγεσ ανδ τηε λενγτη οφ τανγεντ πιπεσ. Χοmπαρεδ το α σmοοτη πιπε βενδ, τηε οϖαλισατιον οφ τηε χροσσ σεχτιον ισ ρεδυχεδ δυε το τηε mιτρε ιντερσεχτιον ανδ τηισ λεαδσ το α φυρτηερ χοmπλιχατιον ιν τηε στυδψ οφ τηεσε εφφεχτσ. Ζενο ιν α δισχυσσιον οφ ρεφερενχε [49] πρεσεντεδ
ρεσυλτσ οφ α στυδψ χαρριεδ ουτ ιντο τηε εφφεχτσ οφ τανγεντ πιπε λενγτη ον τηε φλεξιβιλιτψ οφ α 4 σεγmεντ mιτρεδ βενδ. Ζενο πρεσεντεδ α γραπη ωηιχη σηοωεδ τηε ϖαριατιον οφ α φλεξιβιλιτψ ρατιο ωιτη λενγτη οφ τανγεντ πιπεσ. Φροm α χονσιδερατιον οφ τηισ γραπη, ιτ ωασ αππαρεντ τηατ ονλψ αππροξιmατελψ 3% οφ τηε τηεορετιχαλ φλεξιβιλιτψ φαχτορ ωασ δεϖελοπεδ, ιφ φλατ πλατεσ ωερε ωελδεδ διρεχτλψ το τηε ενδσ οφ τηε βενδ, ι.ε. ζερο τανγεντ πιπε λενγτησ. Μαρκλ[1] οβσερϖεδ τηατ τηε εφφεχτ οφ φλανγεσ ατταχηεδ διρεχτλψ το τηε ενδσ οφ αν ελβοω, χανχελλεδ α λαργε παρτ οφ τηε βενδσ ινηερεντ φλεξιβιλιτψ ανδ ατ τηε σαmε τιmε ρεδυχεδ τηε ασσοχιατεδ στρεσσ χονχεντρατιον. Μαρκλ φυρτηερ συγγεστεδ τηατ τηε εφφεχτ οφ στραιγητ τανγεντσ ωασ οφ mινορ ιmπορτανχε. Φροm α στυδψ οφ Ζενο σ δισχυσσιον αβοϖε, Μαρκλ συγγεστεδ τηατ α τανγεντ λενγτη εθυαλ το ατ λεαστ τωο πιπε διαmετερσ σηουλδ εξιστ βετωεεν τηε βενδ ανδ αδϕοινινγ φλανγεσ ορ ανχηορσ, ιφ τηε ινηερεντ φλεξιβιλιτψ οφ τηε βενδ ωασ το βε φυλλψ υτιλιζεδ. Βονδ[18] χονσιδερεδ τηε εφφεχτ οφ λεγ λενγτη ον τηε βεηαϖιουρ οφ mυλτι mιτρεδ πιπε βενδσ. Φροm ηισ τηεορετιχαλ αναλψσισ, ηε συγγεστεδ αν εξπρεσσιον ωηιχη ψιελδεδ α ϖαλυε φορ τανγεντ πιπε λενγτη ωηιχη ωουλδ ενσυρε τηατ τηε εφφεχτσ οφ φλανγεσ, ετχ. ωουλδ βε νεγλιγιβλε. Τηισ λενγτη ωασ δεριϖεδ φροm α χονσιδερατιον οφ πιπε ραδιαλ δεφορmατιον. Φροm α στυδψ οφ τηε ρεσυλτσ οφ τηε Λανε & Ροσε τεστσ [54], ωηιχη ινχλυδεδ ϖαριουσ λεγ λενγτησ, Βονδ χουλδ φινδ νο χλεαρ τρενδ βετωεεν λεγ λενγτη ανδ φλεξιβιλιτψ φαχτορ. Βονδ αλσο ινϖεστιγατεδ τηε ασσυmπτιονσ περταινινγ το τηε εφφεχτ οφ τανγεντ πιπε λενγτη, χονταινεδ ιν σmοοτη βενδ αναλψσεσ ανδ οβσερϖεδ τηατ τηε ρυλε οφ τηυmβ οφτεν αδοπτεδ, τηατ τηε λεγ λενγτη σηουλδ βε γρεατερ τηαν τηρεε διαmετερσ, ωασ νοτ α φυνχτιον οφ ωαλλ τηιχκνεσσ ανδ mαψ τηερεφορε βε ιν ερρορ φορ λαργε α/τ ρατιοσ. Κιτχηινγ & Τηοmπσον[21] χαρριεδ ουτ αν εξτενσιϖε ινϖεστιγατιον ιντο τηε εφφεχτ οφ λεγ λενγτη ον τηε φλεξιβιλιτψ οφ σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεσ. Βονδ[25] χονσιδερεδ τηε αππλιχατιον οφ ηισ mυλτι mιτρεδ πρεσσυρε τηεορψ το σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεσ. Dυρινγ ηισ εξαmινατιον οφ τηισ mαττερ ηε χονσιδερεδ εξπεριmενταλ ρεσυλτσ φροm τηε λιτερατυρε φορ σινγλε mιτρεσ ωιτη βοτη λονγ ανδ σηορτ λεγ λενγτησ. Ηε συγγεστεδ τηατ φορ mιτρεσ ωιτη σηορτ λεγ λενγτησ, τηε σψστεm οφ φορχεσ προδυχεδ βψ ενδ χαπσ, φλανγεσ, ετχ. ωουλδ νοτ βε νεγλιγιβλε ατ τηε ιντερσεχτιον. Τηισ ωουλδ τηεν νεχεσσιτατε τηε χονσιδερατιον οφ τηε βενδ υνιτ ασ α ωηολε, ινχλυδινγ τηε ινφλυενχε οφ τηε ενδ φιξινγσ. Φροm τηεσε χοmπαρισονσ, Βονδ συγγεστεδ τηατ φορ σινγλε mιτρεσ ωιτη α mιτρε ανγλε οφ 45 0, λεγ λενγτη ωασ α σιγνιφιχαντ φαχτορ αφφεχτινγ τηε στρεσσ διστριβυτιον ιν βενδσ οφ τηε σηορτ χατεγορψ. Φορ βενδσ ωιτη α mιτρε ανγλε λεσσ τηαν 30 0, ηοωεϖερ, ηε συγγεστεδ τηατ λεγ λενγτη ωασ νοτ α σιγνιφιχαντ παραmετερ. Τηισ στυδψ βψ Βονδ ηιγηλιγητεδ τηε φαχτ τηατ τηε πρεσσυρε στρεσσ διστριβυτιονσ ιν σινγλε mιτρεδ βενδσ ωερε νοτ ονλψ α φυνχτιον οφ τηε πρεσσυρε, mιτρε ανγλε ανδ α/τ ρατιο, βυτ χουλδ αλσο βε α φυνχτιον οφ λεγ λενγτη ανδ ενδ φιξινγ. Σο[26], ωηιλε στυδψινγ σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρεσ, εξαmινεδ Κιτχηινγ & Τηοmπσον σ[21] φορmυλαε φορ ϖαριαβλε φλεξιβιλιτψ φαχτορ ανδ δεριϖεδ συιταβλε ϖαλυεσ φορ υσε ωιτη τηεσε φορmυλαε, φορ τηε mιτρεσ τεστεδ δυρινγ ηισ οων ινϖεστιγατιον. Ινταρανγσι[78], χαρριεδ ουτ αν ελαστιχ παραmετριχ συρϖεψ οφ σινγλε mιτρεσ ανδ ρεπορτεδ ρεσυλτσ οφ α λιmιτεδ στυδψ οφ τηε εφφεχτ οφ λεγ λενγτη (σεγmεντ λενγτη) ον mαξιmυm στρεσσ λεϖελ φορ αν α/τ ρατιο οφ 20 οϖερ α ρανγε οφ βενδ ανγλεσ. Μαξιmυm στρεσσ ωασ φουνδ το ρελατιϖελψ ινσενσιτιϖε οϖερ τηισ ρανγε οφ ϖαριαβλεσ. Λαι[36], υσινγ φινιτε ελεmεντ mοδελσ, εξαmινεδ τηε εφφεχτσ οφ σηορτενινγ τηε τανγεντ πιπε λενγτη ανδ τηε αδδιτιον οφ φλανγεσ, ον τηε ιν πλανε βενδινγ ανδ πρεσσυρε βεηαϖιουρ οφ α σινγλε σεγmεντ mιτρεδ βενδ ιν τηε γασ ρε χιρχυλατινγ δυχτσ οφ τηε Ηυντερστον Α νυχλεαρ ποωερ στατιον. Ιτ ωασ νοτεδ τηατ τηεσε φαχτορσ ωερε νοτ σιγνιφιχαντ φορ πρεσσυρε λοαδινγ. Ηοωεϖερ, φορ ιν πλανε βενδινγ τηε στρεσσεσ ωερε σιγνιφιχαντλψ ινχρεασεδ βψ τηε σηορτενεδ τανγεντ πιπε ανδ σιγνιφιχαντλψ ρεδυχεδ ωηεν α ριγιδ φλανγε ωασ ατταχηεδ. Βαττλε ετ αλ[79], ρεϖιεωεδ τηε ινφορmατιον αϖαιλαβλε ον ατταχηmεντσ φορ mιτρεδ βενδσ, ωηιλε δραφτινγ αmενδmεντ 3 το ΒΣ806:1975[98]. Τηε ωορκινγ γρουπ νοτεδ τηε ποσσιβλε στιφφενινγ εφφεχτ οφ ριγιδ ατταχηmεντσ ον τηε φλεξιβιλιτψ οφ mιτρεσ, βυτ αλσο νοτεδ τηατ ιτ ωουλδ βε ιναππροπριατε το ρεχοmmενδ ινχλυσιον οφ τηισ εφφεχτ ον τηε φλεξιβιλιτψ ανδ στρεσσ ιντενσιφιχατιον
φαχτορσ φορ mιτρεδ βενδσ, ωηεν τηε χοδε διδ νοτ mακε ανψ προϖισιον φορ τηε εφφεχτ φορ σmοοτη βενδσ. Τηε mαττερ ωασ ρεφερρεδ το τηε mαιν στανδαρδ χοmmιττεε φορ χονσιδερατιον. Ιτ ωασ ηοωεϖερ νοτεδ τηατ τηε χοδε διδ mακε προϖισιον φορ χορρεχτιον οφ τηε στρεσσ ιντενσιφιχατιον φαχτορ φορ φλανγεδ βενδσ. Τηισ στανδαρδ ηασ νοω βεεν ρεπλαχεδ βψ ΒΣΕΝ 13480[99] ανδ ιτ ωουλδ αππεαρ τηατ τηε ινφλυενχε οφ ενδ εφφεχτσ ηασ ψετ το βε ινχλυδεδ. 3.3 Τηιχκνεσσ ςαριατιονσ ανδ Ουτ οφ Χιρχυλαριτψ Ιν χονσιδερινγ τηε ινφορmατιον αϖαιλαβλε ον mιτρεδ πιπε βενδσ, ιτ ισ αππαρεντ τηατ σεϖεραλ ρεσεαρχηερσ ηαϖε αττριβυτεδ τηε ποορ χοmπαρισονσ οβταινεδ βετωεεν τηεορετιχαλ ανδ εξπεριmενταλ ρεσυλτσ το τηιχκνεσσ ϖαριατιονσ ανδ ουτ οφ χιρχυλαριτψ ιν τηε εξπεριmενταλ σπεχιmενσ. Ιτ ωασ αππαρεντ φροm τηεσε δισχυσσιονσ τηατ τηε εφφεχτ οφ ουτ οφ χιρχυλαριτψ ιν παρτιχυλαρ, ωασ φαρ mορε ιmπορταντ ιν τηε χασε οφ ιντερναλ πρεσσυρε λοαδινγ τηαν φορ ανψ οτηερ λοαδινγ τψπε. Βονδ[25] ανδ Κιτχηινγ & Βονδ[63] εξαmινεδ α 90 0, 2 σεγmεντ mιτρε συβϕεχτεδ το α χοmβινατιον οφ βενδινγ mοmεντσ ανδ ιντερναλ πρεσσυρε. Wηεν τηε βενδινγ mοmεντσ ωερε αππλιεδ αλονε, τηε στρεσσ διστριβυτιονσ ανδ φλεξιβιλιτψ φαχτορσ χοmπαρεδ ωελλ ωιτη τηεορετιχαλ πρεδιχτιονσ. Wηεν ιντερναλ πρεσσυρε ωασ αππλιεδ αλονε ανδ τηεν χοmβινεδ ωιτη βενδινγ λοαδσ, σιγνιφιχαντ νον λινεαρ ελαστιχ βεηαϖιουρ ωασ οβσερϖεδ. Τηισ βεηαϖιουρ ωασ αττριβυτεδ το τηε ινιτιαλ ουτ οφ χιρχυλαρ σηαπε οφ τηε πιπε σεχτιον. Ηοσε[84] ανδ Κιτχηινγ & Ηοσε[85] εξαmινεδ τηε στραιν διστριβυτιονσ ιν φιϖε 90 0 ΠςΧ λινεδ ΓΡΠ 3 σεγmεντ βενδσ. Τηε βενδσ ωερε συβϕεχτεδ το τηε ινδιϖιδυαλ λοαδινγ χασεσ οφ ιν πλανε βενδινγ, ουτ οφ πλανε βενδινγ ανδ ιντερναλ πρεσσυρε. Τηε 3mm τηιχκ ΠςΧ λινερ ωασ ωραππεδ ωιτη Ε γλασσ ΧΣΜ (χηοππεδ στρανδ mατ) ανδ τηε mανυφαχτυρινγ προχεσσ ρεσυλτεδ ιν α ϖαριατιον ιν τηιχκνεσσ αρουνδ τηε βενδ προφιλε (τηιχκερ ατ ιντραδοσ ανδ τηιννερ ατ εξτραδοσ). Τηε αυτηορσ δισχυσσ τηε τηιχκνεσσ ϖαριατιον ανδ mακε συγγεστιονσ ασ το ηοω το δεαλ ωιτη τηισ ιν τηειρ λαmινατεδ σηελλ φινιτε ελεmεντ mοδελ. Ηοωεϖερ, τηε τηεορετιχαλ ρεσυλτσ ρεπορτεδ περταιν το υνιφορm τηιχκνεσσ βενδσ. Τηε χοmπαρισονσ ωιτη εξπεριmεντ ον τηισ βασισ αρε ρεασοναβλε. Τηε αυτηορσ αλσο ρεπορτ α ϖαριατιον ιν τηε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ φορ νοmιναλλψ ιδεντιχαλ βενδσ ανδ τηισ ισ αττριβυτεδ το ϖαριαβιλιτψ ιν τηε mανυφαχτυρεδ σπεχιmενσ. Wηιλε τηιχκνεσσ ϖαριατιονσ ηαδ ρελατιϖελψ λιττλε εφφεχτ ον τηε βενδινγ ρεσυλτσ, τηε αυτηορσ ρεπορτ τηατ α ραδιυσ ϖαριατιον οφ ονλψ 1% χαν ινδυχε σεϖερε βενδινγ στρεσσεσ φορ ιντερναλ πρεσσυρε λοαδινγ. 3.4 Χρεεπ Τηε αυτηορ ισ υναωαρε οφ ανψ ινϖεστιγατιονσ, εξπεριmενταλ ορ τηεορετιχαλ, ηαϖινγ βεεν χαρριεδ ουτ ιντο τηε χρεεπ βεηαϖιουρ οφ mιτρεδ βενδσ. Σεϖεραλ ινϖεστιγατορσ [26, 25], δυρινγ λιmιτ λοαδ ινϖεστιγατιονσ, ηαϖε ρεπορτεδ χολδ χρεεπ οφ τηε mιτρεδ σπεχιmενσ ατ λοαδσ γρεατλψ ιν εξχεσσ οφ τηατ ρεθυιρεδ το χαυσε ψιελδ. Ηοσε[84] δισχυσσεσ τηε ποσσιβλε ιmπορτανχε οφ χρεεπ ον τηε ιντερλαmιναρ σηεαρ στρεσσ ανδ mοδυλυσ φορ ΓΡΠ βενδσ. 3.5 Φατιγυε ανδ Φραχτυρε Μεχηανιχσ Μαρκλ[1] χαρριεδ ουτ φατιγυε τεστσ (ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε βενδινγ), ον 90 0 σινγλε υνρεινφορχεδ mιτρεδ βενδσ. Χονϖεντιοναλ Σ Ν διαγραmσ ωερε πρεσεντεδ ανδ ποσιτιονσ οφ φατιγυε χραχκ φαιλυρεσ ινδιχατεδ. Μαρκλ[48, 1] χαρριεδ ουτ ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε βενδινγ φατιγυε τεστσ ον ϖαριουσ mυλτι mιτρε σπεχιmενσ, ινχλυδινγ σινγλε, δουβλε ανδ θυιντυπλε σεγmεντ 90 0 βενδσ, ωιτη α ρανγε οφ χροτχη σπαχινγσ. Ασ ωελλ ασ πρεσεντινγ χονϖεντιοναλ Σ Ν διαγραmσ, τηε ποσιτιονσ ανδ διρεχτιονσ οφ φατιγυε χραχκσ ωερε δισχυσσεδ. Μαρκλ αλσο ινϖεστιγατεδ τηε εφφεχτ οφ ιντερναλ πρεσσυρε, στρεσσ ρελιεϖινγ ανδ γρινδινγ οφ ωελδσ, ον τηε φατιγυε λιφε οφ τηε σπεχιmενσ. Μαχφαρλανε[55] ινϖεστιγατεδ τηε φατιγυε βεηαϖιουρ οφ βοτη σινγλε σεγmεντ ανδ δουβλε σεγmεντ βενδσ οφ ϖαρψινγ ραδιυσ οφ χυρϖατυρε. Τηε τεστσ χονσιστεδ οφ βοτη ιν πλανε ανδ ουτ οφ πλανε αχτιονσ. Μαχφαρλανε αλσο χονδυχτεδ πυλσατινγ πρεσσυρε φατιγυε τεστσ ον τηε σινγλε σεγmεντ mιτρεσ. Τηε ϖαριουσ Πιπινγ Χοδεσ προϖιδε γυιδανχε ιν τηε υσε οφ mιτρεδ βενδσ υνδερ χψχλιχ λοαδ χονδιτιονσ. Τηε ινφορmατιον εmβεδδεδ ιν τηεσε Χοδεσ ισ βασεδ διρεχτλψ ον τηεσε στυδιεσ.
Μυρραψ[96] τεστεδ 4 νοmιναλλψ ιδεντιχαλ βενδσ συβϕεχτεδ το ιντερναλ πρεσσυρε. Τωο οφ τηε βενδσ ωερε συβϕεχτεδ το λοω χψχλε φατιγυε πρεσσυρε χψχλεσ οφ 64000 ανδ 100000 ρεσπεχτιϖελψ. Τηε mαγνιτυδε οφ σοmε αλτερνατινγ πρεσσυρε χοmπονεντσ, συπεριmποσεδ ον τοπ οφ α mεαν πρεσσυρε λεϖελ ωουλδ ηαϖε βεεν συφφιχιεντ το χαυσε ψιελδινγ ατ τηε βενδ ιντερσεχτιον. Τηεσε τωο βενδσ ωερε τηεν συβϕεχτεδ το α στατιχ βυρστ πρεσσυρε. Τηε χψχλιχ πρεσσυρε τεστ ρεσυλτσ τψπιχαλλψ σηοω α νον λινεαρ ινιτιαλ λοαδινγ χυρϖε ανδ α λινεαρ υνλοαδινγ χυρϖε, ωιτη α ρεσυλτινγ ρεσιδυαλ στραιν ον τηε γαυγεσ. Φορ τηε σεχονδ ανδ αλλ συβσεθυεντ λοαδινγσ τηε χυρϖεσ φολλοωεδ τηε φιρστ υνλοαδινγ χυρϖεσ, ινδιχατινγ τηατ τηε ρεσιδυαλ στρεσσεσ ηαδ σηακεν δοων. Νο δισχυσσιον ισ πρεσεντεδ ον τηε πρεσενχε οφ φατιγυε δαmαγε. Τηε αυτηορ σ χονχλυσιον τηατ τηε φατιγυε λιφε οφ α ωελδεδ mιτρε βενδ αππεαρσ το βε χοmπαραβλε το τηατ οφ αν εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε ισ υνλικελψ το βε οφ γενεραλ αππλιχαβιλιτψ. Βαιλεψ & Βουλτον[72] ρεπορτ αν ινϖεστιγατιον ιντο τηε λοω χψχλε φατιγυε φαιλυρε οφ α mιτρεδ ϕοιντ ιν αν οιλ πιπελινε ανδ χονχλυδεδ φροm α φραχτυρε mεχηανιχσ ασσεσσmεντ, τηατ α λοχαλ στρεσσ χονχεντρατιον χαυσεδ βψ σεϖερε mισαλιγνmεντ ωασ συφφιχιεντ το χαυσε χραχκ γροωτη ανδ φαιλυρε υνδερ τηε αχτυαλ νυmβερ οφ πρεσσυρε χψχλεσ υνδεργονε. Ιτ ωασ φυρτηερ χονχλυδεδ τηατ τηε φατιγυε φαιλυρε, ωηιχη διδ νοτ οχχυρ ατ τηε εξπεχτεδ ποσιτιον οφ mαξιmυm στρεσσ, ωασ δυε το τηε γροωτη οφ εξιστινγ ηψδρογεν χραχκσ ιν τηε ωελδ mατεριαλ. Τηεσε χραχκσ ωερε χαυσεδ βψ τηε ηιγη ρεστραιντ ωηιχη ρεσυλτεδ φροm σεϖερε mισαλιγνmεντ οφ τηε mιτρε ϕοιντ. Τηε φορmερ Χεντραλ Ελεχτριχιτψ Γενερατινγ Βοαρδ ιν τηε ΥΚ χονδυχτεδ αν εξτενσιϖε ινϖεστιγατιον ιντο τηε εφφεχτσ οφ χραχκσ ιν τηε ϖιχινιτψ οφ τηε ιντερσεχτιον οφ τηε λαργε διαmετερ 90 0 ρεινφορχεδ σινγλε mιτρεσ ωηιχη φορmεδ παρτ οφ τηε ΧΟ2 δυχτινγ οφ γασ χοολεδ νυχλεαρ ρεαχτορσ. Τηισ ινϖεστιγατιον ωασ προmπτεδ βψ τηε δισχοϖερψ οφ χραχκσ ιν τηεσε mιτρεσ ατ σεϖεραλ ποωερ στατιονσ. Ασ α ρεσυλτ οφ τηισ ινϖεστιγατιον, Χοννορσ ετ αλ[81] ωασ αβλε το πρεσεντ τεστ ρεσυλτσ φορ α ρανγε οφ πρεσσυρισεδ σινγλε mιτρεδ βενδσ, ρεινφορχεδ ωιτη ελλιπτιχαλ ινσερτσ οφ ϖαριουσ τηιχκνεσσεσ. Σοmε οφ τηε βενδσ ηαδ ϖαριουσ πρε mαχηινεδ δεφεχτσ, ατ ορ νεαρ σεαm ανδ βυττ ωελδσ ορ ηιγη στρεσσ ρεγιονσ. Τεστσ το φαιλυρε ον τηεσε βενδσ αλλοωεδ τηε αυτηορσ το δεϖελοπ φραχτυρε mεχηανιχσ φαιλυρε mοδελσ ανδ αν ασσεσσmεντ προχεδυρε βασεδ αρουνδ Ρ6[101]. Τηε προχεδυρε ωασ σηοων το προδυχε χονσερϖατιϖε ρεσυλτσ. Τηε φραχτυρε ασσεσσmεντ προχεδυρε υτιλισεδ λινεαρ ελαστιχ ρεσυλτσ ανδ το τηισ ενδ, βριχκ φινιτε ελεmεντ mοδελσ ωερε αλσο υσεδ το εξαmινε τηε εφφεχτσ οφ ϖαριουσ γεοmετριχαλ ϖαριατιονσ. Τηε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ ωερε υσεδ το ϖεριφψ τηεσε βασιχ mοδελσ. Wοοδ[97] ρεπορτσ δεταιλεδ στραιν γαυγε ρεσυλτσ φορ α 90 0 σινγλε υνρεινφορχεδ mιτρε βενδ συβϕεχτεδ το ιν πλανε βενδινγ. Τηε λινεαρ ελαστιχ ρεσυλτσ αρε χοmπαρεδ ωιτη α ηιγηλψ ρεφινεδ τηιν σηελλ φινιτε ελεmεντ ιδεαλισατιον. Τηε νατυρε οφ τηε στρεσσεσ ατ συχη ιντερσεχτιονσ ισ δισχυσσεδ, ασ αρε ϖαριουσ mετηοδσ υσεδ το οβταιν φατιγυε ηοτ σποτ στρεσσεσ. 3.6 Νον λινεαριτψ/λαργε Dισπλαχεmεντ/Πλαστιχιτψ/Φαιλυρε Τηε νον λινεαρ εφφεχτσ ωηιχη πρεχλυδεδ τηε υσε οφ τηε Πρινχιπλε οφ Συπερποσιτιον το mιτρεδ βενδσ υνδερ πρεσσυρε λοαδινγ ηαϖε αλρεαδψ βεεν δισχυσσεδ. Τηε ποστ ψιελδ ινφορmατιον αϖαιλαβλε ιν τηε λιτερατυρε ρελατεσ το ειτηερ λιmιτ/βυρστ πρεσσυρε τεστσ ορ λιmιτ/χολλαπσε βενδινγ mοmεντ τεστσ ειτηερ ιν πλανε ορ ουτ οφ πλανε. Σο[26] χαρριεδ ουτ α συχχεσσφυλ ιν πλανε βενδινγ χολλαπσε τεστ φορ α 90 0 σινγλε υν ρεινφορχεδ mιτρε πιπε βενδ, mανυφαχτυρεδ φροm αλυmινιυm. Αλτηουγη νοτ σπεχιφιχαλλψ mεντιονεδ, ιτ ωουλδ αππεαρ τηατ τηε ιν πλανε βενδινγ mοmεντ ωασ τενδινγ το χλοσε τηε βενδ ι.ε. ρεδυχε τηε βενδ ανγλε. Α χολλαπσε λοαδ Φ Λ οφ 6161Ν (1385λβφ) ωασ ρεπορτεδ φορ τηισ τεστ. Τηισ χοmπαρεδ το α γροσσ ψιελδ λοαδ Φ ΓΨ οφ 1868Ν (420λβφ), γιϖινγ αν Φ Λ /Φ ΓΨ ρατιο οφ 3.3 ανδ α φιρστ ψιελδ ρατιο Φ Λ /Φ ΦΨ οφ 4.6. Ιτ ωασ νοτεδ ιν τηισ εξπεριmεντ τηατ τηε λοαδ/δεφλεχτιον βεηαϖιουρ οφ τηε βενδ βεχαmε τιmε δεπενδεντ ατ λοαδσ αβοϖε 2002Ν (450 λβφ). Τηε τεστ ον α 120 0 βενδ ωασ ενδεδ πρεmατυρελψ, δυε το α φαιλυρε ιν τηε τεστ αρρανγεmεντ. Μυρραψ[27] ρεπορτεδ α βυρστ πρεσσυρε Π Λ οφ 7.2Ν/mm 2 (1050πσι) φορ α σινγλε υνρεινφορχεδ στεελ mιτρε. Τηισ ϖαλυε χοmπαρεδ ωιτη α φιρστ ψιελδ Π ΦΨ οφ 1.9Ν/mm 2 (270πσι),
γιϖινγ α Π Λ /Π ΦΨ ρατιο οφ αππροξιmατελψ 3.9. Ρεγιονσ οφ τηε βενδ ωερε ωηιτεωασηεδ ανδ γροσσ πλαστιχ δεφορmατιον ωασ οβσερϖεδ ατ πρεσσυρεσ αβοϖε 5.5Ν/mm 2 (800πσι). Υσινγ τηε mεαν διαmετερ φορmυλαε [73] φορ τηε χαλχυλατιον οφ τηε εστιmατεδ βυρστινγ πρεσσυρε οφ α στραιγητ χιρχυλαρ χψλινδριχαλ σηελλ, mανυφαχτυρεδ φροm τηε σαmε mατεριαλ ασ τηε βενδ, γιϖεσ α ϖαλυε οφ 7.4Ν/mm 2 (1080πσι). Τηισ ινδιχατεσ τηατ τηε βυρστ πρεσσυρε φορ τηε mιτρε βενδ, ιν τηισ τεστ, ωασ αππροξιmατελψ 97% οφ τηε βυρστ πρεσσυρε φορ τηε χορρεσπονδινγ στραιγητ πιπε. Ιτ σηουλδ βε νοτεδ τηατ τηε mατεριαλσ (πιπε ανδ ωελδ) υσεδ ιν τηε αβοϖε σπεχιmενσ ωερε δυχτιλε ενουγη το αχχοmmοδατε τηε γροσσ πλαστιχ δεφορmατιον ωηιχη τοοκ πλαχε. Τηε ρεπορτ οφ τηε Χουρτ οφ Ινθυιρψ ιντο τηε Φλιξβορουγη Dισαστερ[29] χονταινεδ σοmε ινφορmατιον ον τωο σεριεσ οφ τεστσ χαρριεδ ουτ ον mιτρεδ πιπε βενδ αρρανγεmεντσ. Τηε ινϖεστιγατιονσ ωερε χονχερνεδ ωιτη εσταβλισηινγ τηε στρενγτη οφ α τεmποραρψ βψ πασσ πιπε αρρανγεmεντ, τηε φαιλυρε οφ ωηιχη λεδ διρεχτλψ το αν εξπλοσιον ατ τηε Φλιξβορουγη Wορκσ οφ Νψπρο (ΥΚ) Λτδ., ιν ωηιχη 28 πεοπλε ωερε κιλλεδ. Τηε βψπασσ πιπε αρρανγεmεντ χονσιστεδ οφ τωο υνρεινφορχεδ mιτρεδ πιπε βενδσ ωελδεδ ιν α δογ λεγ φασηιον ανδ χοννεχτεδ το εξπανσιον βελλοωσ ατ τηε εξιτ φροm εαχη ρεαχτορ ϖεσσελ. Λιττλε ινφορmατιον ρελατινγ το αχτυαλ βψ πασσ διmενσιονσ χουλδ βε ασχερταινεδ, βυτ ιτ ωουλδ αππεαρ τηατ τηε βενδ ανγλε οφ εαχη mιτρε ωασ αππροξιmατελψ 170 0. Τηε νοmιναλ πιπε διαmετερ ωασ 20 ιν., βυτ υνφορτυνατελψ τηε ωαλλ τηιχκνεσσ ωασ νοτ χονταινεδ ιν τηε ρεφερενχε. Ιν αλλ, ειγητ σιmυλατιον τεστσ ωερε χαρριεδ ουτ. Τηε τεστσ χαρριεδ ουτ ον τηε βενδ αρρανγεmεντ χονσιστεδ οφ εσσεντιαλλψ ιντερναλ πρεσσυρε ωιτη αν αξιαλ τηρυστ αππλιεδ αλονγ εαχη λεγ, ωιτη βαλανχινγ σηεαρ φορχεσ. Τηε αξιαλ τηρυστ ωασ ρελατεδ το τηε ιντερναλ πρεσσυρε δυρινγ mοστ οφ τηε τεστ ανδ ιν τηε λαττερ σταγεσ οφ τηε τεστ, τηε ρελατιονσηιπ χουλδ νοτ βε ηελδ χονσταντ. Φορ τηισ πιπε αρρανγεmεντ, τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν πρεσσυρε ανδ mιτρε δεφλεχτιον ωασ λινεαρ υπ το α πρεσσυρε οφ αππροξιmατελψ 15κγ/χm 2 (Π ΓΨ =1.5Ν/mm 2 ). Τηε mαξιmυm πρεσσυρε τηε δογ λεγ χουλδ συσταιν ωασ 18.5 κγ/χm 2 (Π Λ =1.8Ν/mm 2 ), γιϖινγ αν αππροξιmατε Π Λ /Π ΓΨ ρατιο οφ 1.2. Κιτχηινγ, Ραηιmι & Σο[70] υσεδ α σηελλ φινιτε ελεmεντ mοδελ το εξαmινε τηε ποστ ψιελδ βεηαϖιουρ οφ τηε τωο αλυmινιυm βενδσ ωιτη υνεθυαλ λεγ λενγτησ, τεστεδ βψ ΣΟ ανδ ρεπορτεδ ιν ρεφερενχε [26]. Τηε διφφερενχε βετωεεν τηε φινιτε ελεmεντ ανδ εξπεριmενταλ ρεσυλτσ ισ αππρεχιαβλε ανδ τηισ ωασ τηουγητ το βε παρτλψ δυε το τηε φαχτ τηατ τηε φινιτε ελεmεντ mοδελ ασσυmεδ αν ελαστιχ περφεχτλψ πλαστιχ mατεριαλ mοδελ, ωηερεασ τηε ρεαλ βενδ mατεριαλ σηοωεδ σιγνιφιχαντ στραιν ηαρδενινγ. Ιν ηισ ΠηD τηεσισ, Ραηιmι[82] πρεσεντσ ρεσυλτσ φορ 3 σταινλεσσ στεελ mιτρεσ, ωιτη διφφερεντ βενδ ανγλεσ, υνδερ ιν πλανε βενδινγ. Τηε ρατιοσ οφ χολλαπσε mοmεντ το γενεραλ ψιελδ mοmεντ ωερε 2.7, 2.2 ανδ 1.9 φορ τηε σπεχιmενσ ωιτη 90 0, 120 0 ανδ 150 0 βενδ ανγλεσ ρεσπεχτιϖελψ. Φορ α 90 0 σπεχιmεν ωιτη α ρεδυχεδ ωαλλ τηιχκνεσσ ιν τηε ϖιχινιτψ οφ τηε ιντερσεχτιον, τηε πρεσσυρε τεστ ωασ νοτ χαρριεδ ον υντιλ βυρστ, δυε το α λεακ ιν τηε πρεσσυρε σψστεm. Ραηιmι ρεπορτεδ φαϖουραβλε χοmπαρισον ωιτη λαργε δισπλαχεmεντ φινιτε ελεmεντ mοδελσ ανδ α λοωερ βουνδ τηεορετιχαλ σολυτιον. Α παραmετριχ συρϖεψ φορ τηε ιν πλανε λιmιτ mοmεντ οφ σινγλε mιτρεσ ωασ πρεσεντεδ βψ Ροβινσον & Βαβαιι Κοχκεκσεραιι[86]. Τηε υππερ βουνδ ρεσυλτσ ωερε οβταινεδ υσινγ σηελλ φινιτε ελεmεντ mοδελσ. Τηε λοωερ βουνδ τηεορψ πρεσεντεδ ρεπρεσεντσ αν ιmπροϖεmεντ ον τηε τηεορψ ρεπορτεδ ιν [83]. Τηε σαmε παραmετριχ ρεσυλτσ ωερε αλσο πρεσεντεδ βψ Βαβαιι Κοχκεκσεραιι[93], αλονγ ωιτη α χοmπαρισον αγαινστ τηε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ οφ [70]. Τηε ιmπορτανχε οφ ινχλυδινγ λαργε δισπλαχεmεντ εφφεχτσ ιν τηε αναλψσισ οφ βενδσ ωιτη χοmβινεδ πρεσσυρε ανδ βενδινγ λοαδσ ωασ ηιγηλιγητεδ βψ Βαβαιι Κοχκεκσεραιι [83] ανδ τηε δεπενδενχε οφ τηε φιναλ στρεσσ στατε ον λοαδινγ σεθυενχε ωασ αλσο ιλλυστρατεδ. Ιν 2002, Γρεσνιγτ[91] πρεσεντεδ ελαστιχ ανδ πλαστιχ ρεσυλτσ φορ ϖαριουσ σινγλε mιτρεσ ωηεν συβϕεχτεδ το ιν πλανε βενδινγ, ωιτη ανδ ωιτηουτ α φιξεδ ιντερναλ πρεσσυρε. Αλτηουγη χολλαπσε λοαδσ ανδ δεφορmατιονσ αρε νοτ δισχυσσεδ, τηε αυτηορ πρεσεντσ βοτη ελαστιχ ανδ πλαστιχ λιmιτ ϖαλυεσ. Φορ τηε δεφορmατιονσ, τηεσε λιmιτ ϖαλυεσ αρε ιν γενεραλ mυχη σmαλλερ τηαν τηοσε ατ τηε ενδ οφ τηε τεστ. Τηε ρατιο οφ πλαστιχ το ελαστιχ δεφορmατιον χαπαχιτψ ϖαριεσ βετωεεν 4.7
ανδ 6.8 οϖερ τηε ρανγε οφ τεστσ. Ιν τηισ χασε, τηε ρατιοσ ρελατε το τηε ανγυλαρ ροτατιον οφ τηε βενδ ατ α σετ διστανχε φροm τηε mιτρε ιντερσεχτιον, τακεν φροm τηε λοαδ δεφλεχτιον πλοτσ ατ δεπαρτυρε φροm λινεαριτψ (ελαστιχ) ανδ ατ mαξιmυm λοαδ (πλαστιχ). Τηε χψχλιχ λοαδ δεφλεχτιον γραπησ χλεαρλψ σηοω ρατχηεττινγ, αλτηουγη νο χοmmεντ ισ mαδε ον τηισ βεηαϖιουρ ορ ον τηε πυρποσε οφ τηε χψχλινγ. Ιτ ισ αλσο νοτεδ τηατ τηε δεφορmατιον χαπαχιτψ οφ τηε mιτρεσ ιν βενδινγ, ισ χονσιδεραβλψ γρεατερ τηατ τηατ φορ α στραιγητ πιπε. Προχτερ[42] χαρριεδ ουτ α βυρστ τεστ ον α 90 0 ρεινφορχεδ mιτρεδ πιπε βενδ. Τηε ρεινφορχεmεντ οφ τηε βενδ χονσιστεδ οφ αν ελλιπτιχαλ ινσερτ χασχαδε βανδ 31.75mm τηιχκ (λ.25 ινχηεσ) ωιτη εξτερναλ ρεινφορχεmεντ. Τηε αχτυαλ προφιλε οφ τηε εξτερναλ ρεινφορχεmεντ ισ υνχλεαρ, αλτηουγη ιτ αππεαρεδ το χονσιστ οφ τωο ελλιπτιχαλ ρεινφορχινγ ρινγσ, σεϖεραλ ινχηεσ απαρτ ανδ ϕοινεδ βψ α χοντινυουσ βανδ χλοσε το τηε ουτερ ριmσ. Τηε mαξιmυm ελαστιχ Σ.Χ.Φ. οβταινεδ ωασ 2.4. Α στραιν/πρεσσυρε γραπη ινδιχατεδ α δεπαρτυρε φροm νονλινεαριτψ ατ αππροξιmατελψ 2.8Ν/mm 2 (Π ΦΨ =400πσι). Λιmιτεδ συρφαχε ψιελδινγ ηαδ προβαβλψ οχχυρρεδ βψ τηισ τιmε ατ α φεω οτηερ ποσιτιονσ ον τηε βενδ ηοωεϖερ. Τηε βυρστινγ πρεσσυρε (Π Λ ) ινδιχατεδ φορ τηισ βενδ ωασ 9.6Ν/mm 2 (1390πσι), γιϖινγ α Π Λ /Π ΦΨ ρατιο οφ 3.5. Φροm τηε πρεσσυρε/ϖολυmε γραπη, γενεραλ ψιελδινγ ωασ σηοων το οχχυρ ατ αππροξιmατελψ 5.4Ν/mm 2 (Π ΓΨ =790πσι), γιϖινγ α Π Λ /Π ΓΨ ρατιο οφ 1.8. Φροm τηισ γραπη, Προχτερ ρεπορτεδ τηατ τηε ϖολυmετριχ στραιν ωασ αππροξιmατελψ 0.2% ατ ψιελδ ανδ 13.1% ατ φαιλυρε. Τηε χορρεσπονδινγ ϖαλυεσ φορ α στραιγητ πιπε ωουλδ βε 0.22% ανδ 13.7%, ινδιχατινγ τηατ τηε βυρστ πρεσσυρε φορ τηε βενδ ωασ αππροξιmατελψ 96% οφ τηατ φορ τηε εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε. Τηε γροσσ διστορτιον εϖιδεντ ατ φαιλυρε ιmπλιεδ ηιγη δυχτιλιτψ. Τοωνλεψ & Προχτερ[43] αλσο πρεσεντεδ ανδ δισχυσσεδ τηε ιmπλιχατιον οφ τηε τεστσ ρεπορτεδ ιν ρεφερενχε [42]. ςριλλον, Ροχηε & Βαψλαχ[46] πρεσεντεδ τηε ρεσυλτσ οφ α χοmπαρισον βετωεεν εξπεριmενταλ ανδ φινιτε ελεmεντ ρεσυλτσ φορ τωο 90 0 mιτρεδ βενδσ ρεινφορχεδ ωιτη ελλιπτιχαλ ινσερτσ. Τηε ρεπορτ χονσιδερσ πλαστιχ βεηαϖιουρ, ινχλυδινγ σηακεδοων. Φροm τηε στραιν/πρεσσυρε γραπησ ανδ τηε βενδ ανγλε/πρεσσυρε ϖαριατιον, ιτ ωουλδ αππεαρ τηατ τηε πρεσσυρε λεϖελ ατ τηε σταρτ οφ νον λινεαρ βεηαϖιουρ, φορ τηε βενδ ωιτη αν α/τ ρατιο οφ 25, ωασ 54 βαρ ανδ φορ τηε βενδ ωιτη αν α/τ ρατιο οφ 43, ωασ 37 βαρ. Τηε βυρστ πρεσσυρε φορ τηε σπεχιmεν ωιτη αν α/τ ρατιο οφ 25 ωασ νοτ οβταινεδ. Φορ τηε σπεχιmεν, ωιτη αν α/τ ρατιο οφ 43, τηε βυρστ πρεσσυρε ωασ 125 βαρ (Π Λ ), γιϖινγ α Π Λ /Π ΦΨ ρατιο οφ αππροξιmατελψ 3.4. Αν ιντερεστινγ οβσερϖατιον mαδε δυρινγ τηεσε τεστσ ωασ τηατ, φορ βοτη βενδσ, τηε ιντερναλ πρεσσυρε χαυσεδ τηε βενδ ανγλε το ινχρεασε ωηεν τηε βενδ βεηαϖιουρ ωασ ελαστιχ. Wηεν τηε βενδ βεηαϖιουρ βεχαmε πλαστιχ ηοωεϖερ, τηε ιντερναλ πρεσσυρε χαυσεδ τηε βενδ ανγλε το δεχρεασε. Γροσσ[50] ρεπορτεδ τηατ α λοαδ οφ 6676Ν (0.67 τονσ) ωασ ρεθυιρεδ φορ γροσσ ψιελδινγ οφ α 90 0, 5 σεγmεντ, mιτρε (ινδιχατεδ βψ α δεπαρτυρε φροm λινεαριτψ οφ τηε λοαδ/δεφλεχτιον γραπη). Υνφορτυνατελψ, Γροσσ διδ νοτ χαρρψ τηε αβοϖε τεστ το φαιλυρε ανδ τηερεφορε χολλαπσε λοαδσ χουλδ νοτ βε οβταινεδ. Λανε[52] ρεπορτεδ τηε φολλοωινγ ρεσυλτσ φροm τεστσ το φαιλυρε ον 90 0 δουβλε σεγmεντ σπεχιmενσ: (ι) Ιν πλανε Βενδινγ (ρεδυχινγ βενδ ανγλε): Φιρστ ψιελδ mοmεντ, ινδιχατεδ βψ στραιν γαυγεσ, Μ ΦΨ ωασ 41759Νm (165 τονσ ιν), ωηερεασ τηε χολλαπσε mοmεντ Μ Λ ωασ 194271Νm (412 τονσ ιν) γιϖινγ αν Μ Λ /Μ ΦΨ ρατιο οφ 2.5. (ιι) Ιν πλανε βενδινγ (ινχρεασινγ βενδ ανγλε): Τηε φιρστ ψιελδ mοmεντ Μ ΦΨ ωασ 40241Νm (159 τονσ ιν). Ηοωεϖερ, ιν τηισ χασε, νο φαιλυρε ωασ ινδιχατεδ ατ 264475Νm (1045 τονσ ιν) ανδ τηε τεστ ωασ δισχοντινυεδ. Τηισ ινδιχατεδ αν Μ Λ /Μ ΦΨ ρατιο> 6.5. (ιιι) Ιντερναλ Πρεσσυρε: Τηε φιρστ ψιελδ πρεσσυρε Π ΦΨ ωασ 6.9Ν/mm 2 (1000πσι), ωηερεασ βυρστινγ Π Λ οχχυρρεδ ατ 25.5Ν/mm 2 (3700πσι), γιϖινγ α Π Λ /Π ΦΨ ρατιο οφ 3.7. Τηισ βυρστινγ πρεσσυρε οφ 25.5Ν/mm 2 (3700πσι) φορ τηε mιτρεδ βενδ, χοmπαρεδ ωιτη α βυρστ πρεσσυρε οφ 25.6Ν/mm 2 (3720πσι) φορ τηε εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε.
Λανε[53] ρεπορτεδ τηε φολλοωινγ ρεσυλτσ φροm τεστσ το φαιλυρε ον 90 0 σινγλε σεγmεντ mιτρεσ: α) Ιν Πλανε Βενδινγ (ρεδυχινγ βενδ ανγλε): Τηε γενεραλ ψιελδ mοmεντ Μ ΓΨ ινδιχατεδ βψ νον λινεαριτψ οφ λοαδ/δεφλεχτιον πλοτ, ωασ 47833Νm (189 τονσ ιν), ωηερεασ τηε χολλαπσε mοmεντ Μ Λ ωασ 95160Νm (376 τονσ ιν), γιϖινγ αν Μ Λ /Μ ΓΨ ρατιο οφ 2.0. β) Ιν Πλανε Βενδινγ (ινχρεασινγ βενδ ανγλε): Τηε γενεραλ ψιελδ mοmεντ Μ ΓΨ ωασ αππροξιmατελψ 97691Νm (386 τονσ ιν). Υνφορτυνατελψ, δυρινγ τηισ τεστ τηε ριγ φαιλεδ, τηερεφορε πρεχλυδινγ τηε δετερmινατιον οφ α χολλαπσε λοαδ. Ατ τηε ποιντ οφ ριγ φαιλυρε, τηε mαξιmυm mοmεντ αππλιεδ ωασ αππροξιmατελψ 187284Νm (740 τονσ ιν), τηερεφορε τηε Μ Λ /Μ ΓΨ ρατιο ωασ ιν εξχεσσ οφ 1.9. χ) Ιντερναλ Πρεσσυρε: Τηε γενεραλ ψιελδ πρεσσυρε Π ΓΨ ωασ σοmεωηερε βετωεεν 12.4Ν/mm 2 (1800πσι) ανδ 13.4Ν/mm 2 (1950πσι), ωηερεασ βυρστινγ Π Λ οχχυρρεδ ατ 20.0Ν/mm 2 (2900πσι), γιϖινγ α Π Λ /Π ΓΨ ρατιο σοmεωηερε βετωεεν 1.6 ανδ 1.5. Τηισ βυρστινγ πρεσσυρε οφ 20.0Ν/mm 2 φορ τηε mιτρεδ βενδ, χοmπαρεσ ωιτη α βυρστ πρεσσυρε οφ 24.5Ν/mm 2 (3557πσι) φορ τηε εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε. Τηε αβοϖε ρεσυλτσ ωερε αλσο ρεπορτεδ βψ Λανε & Ροσε[54]. Βονδ[25] τεστεδ α 90 0, 2 σεγmεντ, mιτρε υνδερ τηε αχτιον οφ αν ιν πλανε βενδινγ λοαδ, τενδινγ το ρεδυχε τηε ανγλε οφ τηε βενδ, υντιλ ιτ χολλαπσεδ. Τηε σαλιεντ ποιντσ φροm τηε τεστ ωερε ασ φολλοωσ: 1) Dεϖιατιον φροm λινεαριτψ οφ ενδ δεφλεχτιον ϖ λοαδ πλοτ οχχυρρεδ ατ 2135Ν (480 λβφ). Φ ΓΨ. 2) Χολλαπσε οχχυρρεδ ατ α τοταλ ενδ λοαδ οφ 4239Ν (953 λβφ). Φ Λ γιϖινγ αν Φ Λ /Φ ΓΨ = 2. Μυρραψ[96] τεστεδ α ωιδε ρανγε οφ 90 0 mυλτι mιτρε βενδσ συβϕεχτεδ το ιντερναλ πρεσσυρε. Ασ σηοων ιν Ταβλε 3, τηε τεστ ϖαριαβλεσ ινχλυδεδ νυmβερ οφ σεγmεντσ, βενδ ραδιυσ, γραδε οφ στεελ ανδ το α λεσσερ εξτεντ πιπε mεαν ραδιυσ το τηιχκνεσσ ρατιο. Τωο νοmιναλλψ ιδεντιχαλ βενδσ οφ εαχη τψπε ωερε τακεν το βυρστ. Ιν αλλ χασεσ τηε βυρστινγ πρεσσυρε οφ τηε ωελδεδ mιτρεσ ωασ γρεατερ τηαν 90% οφ τηατ φορ αν εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε. Τηε αυτηορ συγγεστσ τηε υσε οφ α σιmπλε ρυλε τηατ τηε βυρστ πρεσσυρε οφ ανψ mιτρε βε τακεν ασ 90% οφ τηε βυρστινγ πρεσσυρε οφ αν εθυιϖαλεντ στραιγητ πιπε. Wηιλε ιτ ισ χονχλυδεδ τηατ τηισ οβσερϖατιον ωουλδ αππεαρ το ηολδ φορ βοτη mιλδ στεελ ανδ ηιγη τενσιλε στεελ πιπεσ, τηε φολλοωινγ ρεστριχτιονσ αρε συγγεστεδ: Τηε ανγλε οφ δεφλεχτιον οφ τηε πιπεσ (βενδ ανγλε/νυmβερ οφ σεγmεντσ) σηουλδ νοτ εξχεεδ 45 0. Τηε σεγmεντ λενγτησ σηουλδ νοτ βε λεσσ τηαν τηε mεαν ραδιυσ οφ τηε πιπε. Τηε δυχτιλιτψ οφ τηε πιπε ανδ ωελδ mατεριαλσ σηουλδ βε ηιγη ανδ αλλοω πλαστιχ στραινσ οφ τηε ορδερ οφ 14% βεφορε φραχτυρε. Ινταρανγσι[78], χαρριεδ ουτ α σηελλ φινιτε ελεmεντ πλαστιχιτψ στυδψ οφ ϖαριουσ mυλτι mιτρεσ συβϕεχτεδ το ιντερναλ πρεσσυρε ανδ ρεπορτεδ γοοδ αγρεεmεντ ωιτη αϖαιλαβλε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ φορ σοmε παραmετερσ. Ηοωεϖερ, ιτ ωασ νοτεδ τηατ α λαργε στραιν ανδ λαργε δισπλαχεmεντ φορmυλατιον ωουλδ βε νεχεσσαρψ το πρεδιχτ αχχυρατε βυρστ πρεσσυρεσ. Τηε νεεδ φορ α χαρεφυλλψ χοντρολλεδ εξπεριmενταλ βενχηmαρκ, ωιτη ωελδσ γρουνδ φλυση, σπεχιmεν στρεσσ ρελιεϖεδ, αχχυρατε γεοmετρψ ανδ ωελλ δεφινεδ mατεριαλ προπερτιεσ, ωασ αλσο ηιγηλιγητεδ. Τηε εξπεριmενταλ ρεσυλτσ ρεπορτεδ, ωερε παρτ οφ τηε λαργερ σεριεσ οφ τεστσ χαρριεδ ουτ βψ Μυρραψ [96] ανδ δισχυσσεδ αβοϖε. Ηοσε[84] ρεπορτεδ τηε φαιλυρε οφ φιϖε νοmιναλλψ ιδεντιχαλ mυλτι mιτρε πιπεδ βενδσ, ωιτη α ΠςΧ λινεδ ΓΡΠ χονστρυχτιον ασ δεταιλεδ ιν σεχτιον 3.3. Τηε φαιλυρε mεχηανισmσ ανδ αππεαρανχεσ αρε δισχυσσεδ φορ ιν πλανε βενδινγ, ουτ οφ πλανε βενδινγ ανδ ιντερναλ πρεσσυρε λοαδινγ. Μοστ πιπινγ χοδεσ ωιλλ αττεmπτ το ενσυρε τηατ τηε mινιmυm τηιχκνεσσ οφ τηε βενδ ισ συχη τηατ ιτ ωιλλ γυαρδ αγαινστ γροσσ πλαστιχ δεφορmατιον ανδ ωιλλ σηακεδοων το ελαστιχ αχτιον ωιτηιν τηε φιρστ φεω χψχλεσ. Μυραλι, Μυνσηι & Κυσηωαηα[89] δισχυσσεδ τηε ποσσιβλε εξτενσιον οφ τηε Β ινδεξ φορ mιτρεδ βενδσ ιν ΑΣΜΕ ΙΙΙ Βοιλερ ανδ Πρεσσυρε ςεσσελ Χοδε ΝΒ3600[100], το α/τ ρατιοσ > 25. Τηε αυτηορσ υτιλισεδ φινιτε ελεmεντ mοδελσ ωιτη βοτη γεοmετριχ ανδ mατεριαλ