ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση Γραμμικών Φίλτρων σε Κυματομορφές FM Μη Γραμμικά Φαινόμενα σε Συστήματα FM Γ. Αθανασιάδου Διαμόρφωση Γωνίας Η διαμόρφωση γωνίας (agle odulato) είναι ένας άλλος τρόπος διαμόρφωσης ημιτονικής κυματομορφής, στον οποίο η γωνία του φέροντος μεταβάλλεται σύμφωνα με το σήμα βασικής ζώνης, ενώ το πλάτος του φέροντος διατηρείται σταθερό. Έχει καλύτερη συμπεριφορά ως προς το θόρυβο και την παρεμβολή σε σύγκριση με τη διαμόρφωση πλάτους, αλλά με κόστος την αύξηση του εύρους ζώνης μετάδοσης. Διαμόρφωση Γωνίας Υπάρχουν δύο μορφές διαμόρφωσης γωνίας που μπορούμε να διακρίνουμε: διαμόρφωση φάσης (phae odulato, PM) Διαμόρφωση Γωνίας θ ( η γωνία ενός διαμορφωμένου ημιτονικού φέροντος που είναι συνάρτηση της πληροφορίας ( διαμορφωμένη κατά γωνία κυματομορφή ( A o[ θ ( διαμόρφωση συχνότητας (requey odulato, FM) Αυτές οι δύο μέθοδοι διαμόρφωσης συνδέονται στενά και οι ιδιότητες της μιας μπορούν να προέλθουν από εκείνες της άλλης. 3 Αν η θ ( αυξάνει μονότονα με το χρόνο, η μέση συχνότητα (σε Hertz) δίνεται από τον τύπο: Στιγμιαία συχνότητα (tataeou requey): Δt () t θ ( t + Δ θ ( π Δt () t l () t Δt Δt 0 dθ 4 π dt () t
Διαμόρφωση Γωνίας () t A o [ θ ( Μπορούμε να εκλάβουμε τη διαμορφωμένη κυματομορφή σαν ένα περιστρεφόμενο φασιθέτη (phaor) μέτρου Α και γωνίας θ (. Στην απλή περίπτωση ενός αδιαμόρφωτου φέροντος: θ ( π t+ φ Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να μεταβάλλεται η γωνία σύμφωνα με το σήμα βασικής ζώνης. Εδώ εξετάζουμε τις πιο κοινά χρησιμοποιούμενες μεθόδους (δηλ. τις 5 PM και FM). Διαμόρφωση Γωνίας -PM Διαμόρφωση φάσης (Phae Modulato - PM) είναι η μορφή διαμόρφωσης γωνίας στην οποία η γωνία θ ( μεταβάλλεται γραμμικά με το σήμα βασικής ζώνης (: θ ( π t+ k p ( k p ευαισθησία φάσης (phae etvty) (rad/vol [ ( A o π t k ( + p 6 Διαμόρφωση Γωνίας -FM Διαμόρφωση συχνότητας (Frequey Modulato - FM) είναι η μορφή διαμόρφωσης γωνίας στην οποία η στιγμιαία συχνότητα ( μεταβάλλεται γραμμικά με το σήμα βασικής ζώνης (: ( + k ( k ευαισθησία συχνότητας (requey etvty) (hertz/vol θ () t π t + π k ( τ ) dτ t () t A o π t + π k ( τ ) dτ 0 t 0 7 Διαμόρφωση Γωνίας Μια κυματομορφή FM μπορεί να θεωρηθεί σαν κυματομορφή PM στην οποία το σήμα διαμόρφωσης είναι το t 0 () τ dτ αντί το (. Αντίστροφα μια κυματομορφή PM μπορεί να παραχθεί παραγωγίζοντας αρχικά το ( και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα σαν είσοδο σε διαμορφωτή συχνότητας. Μπορούμε λοιπόν να συνάγουμε όλες τις ιδιότητες των κυματομορφών PM από εκείνες των κυματομορφών FM, και 8 αντίστροφα.
Διαμόρφωση Γωνίας Διαμόρφωση από Απλό Τόνο Σήμα Διαμόρφωσης Ολοκληρωτής Διαμορφωτής φάσης Κυματο -μορφή FM Α o(π Σήμα Διαμόρφωσης Διαφοριστής Διαμορφωτής συχνότητας Κυματο -μορφή PM Α o(π 9 0 Διαμόρφωση από Απλό Τόνο Διαμόρφωση Συχνότητας από Απλό Τόνο Η FM είναι μια μη γραμμική διαδικασία διαμόρφωσης (olear odulato proe). Έτσι, αντίθετα με τη διαμόρφωση πλάτους, το φάσμα της κυματομορφής FM δε συνδέεται με απλό τρόπο με αυτό του σήματος διαμόρφωσης. Θεωρούμε πρώτα την απλούστερη περίπτωση, δηλαδή τη διαμόρφωση FM από απλό τόνο. 3
Διαμόρφωση Συχνότητας από Απλό Τόνο () t A o ( π Στιγμιαία συχνότητα της κυματομορφής FM: όπου: () t + k A o ( π + Δ o ( π Δ k A Δ απόκλιση συχνότητας (requey devato) Η Δ παριστάνει τη μέγιστη απομάκρυνση της στιγμιαίας συχνότητας από τη. Η Δ είναι ανάλογη του πλάτους του σήματος διαμόρφωσης και ανεξάρτητη της συχνότητάς του. 3 Διαμόρφωση Συχνότητας από Απλό Τόνο Η γωνία θ ( της κυματομορφής FM: όπου: t Δ θ () t π ( τ ) dτ π t + ( π β Δ 0 δείκτης διαμόρφωσης (odulato dex) ( Α o [ π t + β ( π Ανάλογα με την τιμή του β συγκρινόμενο με το rad: - FM στενής ζώνης (arrow-bad FM) - FM ευρείας ζώνης (wde-bad FM) 4 Διαμόρφωση Συχνότητας Στενής Ζώνης ( Α o [ π t + β ( π ( Α o( π o[ β ( π Α ( π [ β ( π Διαμόρφωση Συχνότητας Στενής Ζώνης ( Α o( π β Α ( π ( π Ολοκληρωτής Διαμορφωτής γινομένου - Α (π Σ + Σήμα διαμόρφωσης Κυματομορφή FM στενής ζώνης Όταν το β είναι μικρό συγκρινόμενο με το rad: () t Α o( π β Α ( π ( π 5 Μετατοπιστής φάσης 90 ο Φέρον Διαμορφωτής φάσης στενού εύρους ζώνης Α o(π 6 4
Διαμόρφωση Συχνότητας Στενής Ζώνης Ιδανικά η κυματομορφή FM έχει σταθερή περιβάλλουσα και στην περίπτωση ενός ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης συχνότητας, η γωνία θ ( είναι επίσης ημιτονική με την ίδια συχνότητα. Η διαμορφωμένη κυματομορφή που παράγεται από το διαμορφωτή στενής ζώνης διαφέρει απο την ιδανική γιατί: / Η περιβάλλουσα περιέχει μια παραμένουσα (redual) διαμόρφωση πλάτους / Για ημιτονικό σήμα διαμόρφωσης, η γωνία θ ( περιέχει αρμονική παραμόρφωση (haro dtorto) με τη μορφή Διαμόρφωση Συχνότητας Στενής Ζώνης ( t ) Α o ( π t ) β Α ( π t ) ( π t ) 7 8 τρίτης και υψηλότερης τάξης αρμονικών της. () t Α o( π βα [ o( π ( + ) o( π ( ) AM Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με την αντίστοιχη που ορίζει μια κυματομορφή ΑΜ: () t Α o( π + μα [ o( π ( + ) + o( π ( ) βλέπουμε ότι στην περίπτωση ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης, η βασική διαφορά μεταξύ μιας κυματομορφής ΑΜ και μιας κυματομορφής FM στενής ζώνης είναι το πρόσημο της κάτω πλευρικής συχνότητας. Διαμόρφωση Συχνότητας Στενής Ζώνης () t Α o( π βα [ o( π ( + ) o( π ( ) Έτσι, στην περίπτωση ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης, η κυματομορφή FM στενής ζώνης απαιτεί στην ουσία το ίδιο εύρος μετάδοσης όπως η κυματομορφή ΑΜ (δηλαδή ). 9 Καταρχήν θέλουμε να καθορίσουμε το φάσμα κυματομορφής FM από απλό τόνο για αυθαίρετη τιμή του δείκτη διαμόρφωσης β. ( Α o [ π t + β ( π Γενικά η κυματομορφή αυτή είναι απεριοδική, εκτός αν η είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της. () t Re [ Α exp ( jπ t + jβ ( π ) () t Re ~ () t exp ( jπ 0 5
~ όπου () t Α exp ( jβ ( π ) η μιγαδική περιβάλλουσα της (, η οποία είναι περιοδική. Την αναπτύσουμε σε μιγαδική σειρά Fourer: A ~ π () t exp ( jπ A π π ~ () t exp ( jπ exp exp ( jβ ( π jπ [ j( β ( x) x) dt dx dt Η -στής τάξης συνάρτηση Beel πρώτου είδους και ορίσματος β: π J ( β ) exp [ j( β ( x) x) dx π π Επομένως: και ~ A J ( ) β () t A J ( β ) exp ( jπ () t A Re J ( β ) exp ( jπ ( + ) Άρα, αναπαράσταση σε σειρά Fourer της κυματομορφής FM ( διαμορφωμένη από απλό τόνο για αυθαίρετη τιμή του β: () t A J ( β ) o( π ( + ) Το διακριτό φάσμα της (: S A ( ) J ( β )[ δ ( ) + δ ( + + ) 3 4 6
Μερικές ιδιότητες των συναρτήσεων Beel:. J ( β ) ( ) J ( β ). Για μικρές τιμές του β: J 0 (β), J (β) β/, J (β) 0, > S A ( ) J ( β )[ δ ( ) + δ ( + + ). Το φάσμα της κυματομορφής FM περιέχει μια συνιστώσα που οφείλεται στο φέρον και ένα άπειρο σύνολο πλευρικών συχνοτήτων που τοποθετούνται συμμετρικά εκατέρωθεν του φέροντος σε διαστήματα συχνότητας,, 3,. 3. J ( β ) 5. Για β <rad (FM στενής ζώνης) η κυματομορφή αποτελείται στην ουσία από το φέρον και ένα μόνο ζευγάρι πλευρικών συχνοτήτων στα ±. 6 3. Το πλάτος της συνιστώσας που οφείλεται στο φέρον μεταβάλλεται με το β σύμφωνα με το J 0 (β). (Η μέση ισχύς μιας κυματομορφής FM είναι σταθερή, PA /. H ισχύς στις πλευρικές συνιστώσες μπορεί να εμφανιστεί μόνο εις βάρος της αρχικής ισχύος του φέροντος.) P A J β A ( ) 7 β.0 β.0 β5.0 Διακριτά φάσματα πλάτους σήματος FM, κανονικοποιημένα ως προς το πλάτος φέροντος, για την περίπτωση ημιτονικής διαμόρφωσης σταθερής συχνότητας και μεταβαλλόμενου 8 πλάτους. 7
Κυματομορφές FM από Πολλούς Τόνους Έστω ότι το φέρον διαμορφώνεται κατά συχνότητα από δύο τόνους και. () t Α o [ π t + β ( π + β ( π όπου β Δ/ και β Δ/ οι δείκτες διαμόρφωσης. () t A J ( β ) J ( β ) o[ π ( + + ) t Το φάσμα αποτελείται από όρους τεσσάρων τύπων:. Μια συνιστώσα φέροντος πλάτους J 0 (β )J 0 (β ) και 9 συχνότητας. ->> Κυματομορφές FM από Πολλούς Τόνους. Πλευρικές συνιστώσες που αντιστοιχούν στη συχνότητα διαμόρφωσης, με πλάτη J (β )J 0 (β ) και συχνότητες ±,,, 3, 3. Πλευρικές συνιστώσες που αντιστοιχούν στη συχνότητα διαμόρφωσης, με πλάτη J 0 (β )J (β ) και συχνότητες ±,,, 3, 4. Ένα σύνολο όρων ετεροδιαμόρφωσης με πλάτη J (β )J (β ) και συχνότητες ± ±,,, 3, και,, 3, Στη διαμόρφωση FM δεν ισχύει η υπέρθεση και είναι μια μη 30 γραμμική διαδικασία. Κυματομορφές FM από Πολλούς Τόνους khz, 0.77kHz β.0, β 0.0 β 0.0, β.3 β.0, β.3 Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Θεωρητικά μια κυματομορφή FM περιέχει άπειρο αριθμό πλευρικών συχνοτήτων, αλλά στην πράξη έχει ένα πεπερασμένο αριθμό σημαντικών πλευρικών συχνοτήτων. Ενεργό εύρος ζώνης. Τα φάσματα των άνω πλευρικών συχνοτήτων μιας κυματομορφής 3 FM δύο τόνων για μεταβαλλόμενα β και β. 3 8
Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Διαμόρφωση από απλό τόνο : - Για μεγάλες τιμές του δείκτη διαμόρφωσης β, το εύρος ζώνης συγκλίνει και είναι ελάχιστα μεγαλύτερο από τη συνολική μεταβολή της στιγμιαίας συχνότητας Δ. - Για μικρές τιμές του δείκτη διαμόρφωσης β, το φάσμα αποτελείται ουσιαστικά από συνιστώσες στην και ένα ζευγάρι από πλευρικές στις ±. B T Δ + Δ + β Κανόνας του Caro 33 Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Ορίζουμε το εύρος ζώνης μετάδοσης μιας κυματομορφής FM σαν την απόσταση μεταξύ των δύο συχνοτήτων πέρα από τις οποίες καμία από τις πλευρικές συχνότητες δεν είναι μεγαλύτερη από το % του πλάτους του αδιαμόρφωτου σήματος. B T ax ax η μέγιστη τιμή του ακέραιου που ικανοποιεί την απαίτηση J(β) >0.00. Ητιμή του ax μεταβάλλεται με το δείκτη διαμόρφωσης β. 34 Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Η τιμή του ax μεταβάλλεται με το δείκτη διαμόρφωσης και καθορίζεται εύκολα από πίνακες με τιμές της J (β). Για περισσότερη ευκολία στον υπολογισμό του εύρους ζώνης μετάδοσης χρησιμοποιείται η παγκόσμια καμπύλη (ΒΤ/Δ σε συνάρτηση με το β): -> - Παρατηρείστε ότι όσο αυξάνει ο δείκτης διαμόρφωσης, το εύρος ζώνης συγκλίνει προς εκείνο μέσα στο οποίο μεταβάλλεται η στιγμιαία συχνότητα φέροντος. 35 36 9
Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Εκτίμηση του Β Τ χρησιμοποιώντας την ανάλυση για τη χειρότερη περίπτωση διαμόρφωσης από απλό τόνο: Λόγος απόκλισης (devato rato), D, ορίζεται σαν ο λόγος της απόκλισης συχνότητα Δ που αντιστοιχεί στο μέγιστο δυνατό πλάτος του σήματος διαμόρφωσης (, με την υψηλότερη συχνότητα διαμόρφωσης W: D Δ ax /W To D παίζει το ίδιο ρόλο στη μη ημιτονική διαμόρφωση με αυτόν που παίζει το β στην ημιτονική διαμόρφωση. 37 Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Προσεγγιστική τιμή του Β Τ με αντικατάστση β D W και χρήση της παγκόσμιας καμπύλης ή/και του Κανόνα του Caro (B T *Δ+*W). Η επιλογή μιας τιμής ανάμεσα στις δύο τιμές που προκύπτουν από τους παραπάνω εμπειρικούς κανόνες είναι αποδεκτή για τους περισσότερους πρακτικούς σκοπούς. 38 Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Παράδειγμα: μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ 75kHz D75/55 μέγιστη συχνότητα εκπομπής ήχου W5Hz Προσεγγιστική τιμή με χρήση του Κανόνας του Caro και αντικατάσταση β D, W: BT*(Δ+W)(75+5)80kHz Με χρήση της παγκόσμιας καμπύλης: BT3.*Δ 3.*75 40kHz Άρα ο κανόνας του Caro υποτιμά το Β Τ κατά 5% σε σχέση με το αποτέλεσμα από τη χρήση της παγκόσμιας καμπύλης. 39 0