ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1

2

3

4

5 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον αριθμός χ ο (α,β), ώστε f(χ ο)=η. (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Β) Έστω οι αριθμοί α,β,λ R με α<β και η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f. Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν για την f ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α,β], τότε η γραφική παράσταση της f έχει σ ένα τουλάχιστον σημείο της οριζόντια εφαπτομένη. β. Υπάρχουν χ, χ [α,β] με f( ) f ( ) f( ), για κάθε χ [α,β]. γ. Αν f(α)f(β)>, τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α,β). β δ. Ισχύει: f ( ) d = f '( ). α ' ε. λ f ( ) d = λ f ( ) d, για κάθε λ R. (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Γ) Δίνονται οι μιγαδικοί z, z και έστω Α, Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο. Να αποδείξετε ότι: α. Η εξίσωση z z = z z τμήματος ΑΒ., παριστάνει την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου (ΜΟΝΑΔΕΣ ) β. Αν z =iz το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Ο είναι η αρχή των αξόνων) (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) Δ) Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο χ ο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. (ΜΟΝΑΔΕΣ 5)

6 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, για την οποία ισχύουν: lim f ( ) = +, lim f ( ) = και f ()= + f ( ) e για κάθε χ R με f ()=. + Α) Να αποδείξετε ότι η f: α. είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β. στρέφει τα κοίλα κάτω στο R γ. έχει μοναδική ρίζα την χ=. (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) (ΜΟΝΑΔΕΣ ) (ΜΟΝΑΔΕΣ ) Β) Να αποδείξετε ότι: α. ισχύει f(χ)+e f() =+, για κάθε χ R. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β. η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. (ΜΟΝΑΔΕΣ ) γ. οι γραφικές παραστάσεις των f και f έχουν κοινή εφαπτομένη στην αρχή των αξόνων. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) Γ) α. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) ΘΕΜΑ 3 ο z Δίνεται ο μιγαδικός z i και θεωρούμε τον f(z)= z + i όρισμα του μιγαδικού z+i.. Έστω ρ το μέτρο και θ ένα α. Βρείτε τις συντεταγμένες της εικόνας Α του μιγαδικού z ο στο μιγαδικό επίπεδο, για τον οποίο ισχύει f(z ο)=3+i. (ΜΟΝΑΔΕΣ 3) β. Να βρείτε συναρτήσει των ρ και θ, το μέτρο και ένα όρισμα του μιγαδικού f(z). (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) γ. Αν f ( z ) =, να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο c, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (ΜΟΝΑΔΕΣ 7) π δ. Αν Arg(f(z) )=, να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε 4 μία ημιευθεία ε. (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) ε. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α ανήκει στον κύκλο c και στην ημιευθεία ε. (ΜΟΝΑΔΕΣ )

7 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f(χ)= + F()= e f ( t ) dt, G()= Να αποδείξετε ότι: e f ( t ) dt t, >. Α) α. f =f() για κάθε χ R*. β. f '( ), για κάθε χ R. 8 και έστω οι συναρτήσεις F, G με (ΜΟΝΑΔΕΣ ) (ΜΟΝΑΔΕΣ 6) Β) Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β με <α<β ισχύει: f f β α. β α (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) Γ) Ο τύπος της συνάρτησης g με g(χ)=f()+g(), > είναι g()=ln+, >. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4) π Δ) Αν η συνάρτηση h είναι συνεχής στα σημεία, και h(χ)=f(εφχ)+g(σφχ) με π <χ<, τότε είναι σταθερή στο π, και να βρεθεί η τιμή της. (ΜΟΝΑΔΕΣ 5) Ε) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (), h() και την ευθεία χ= είναι ίσο με. (ΜΟΝΑΔΕΣ 4)

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει: f '( ) = g' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει: f ( ) = g ( ) + c για κάθε ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ) Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό : Πότε η f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο. ΜΟΝΑ ΕΣ 3 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν µια συνάρτηση f : A R έχει αντίστροφη συνάρτηση γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο τις τιµές του κοντά στο. f, τότε η f είναι και f ( ) >, τότε f ( ) > για γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ α, β] τότε, υπάρχει ( α β ) τέτοιος ώστε να ισχύει ( ), f ' >. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει f ''( ) > για κάθε. ε) Αν f συνεχής στο [ aβ, ] µε f ( ) και ισχύει f ( ) d> [ α β] τέτοιος ώστε ( ), f >. β a, τότε υπάρχει στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ α, β] και β ισχύει ( ) = a f d, τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. ΜΟΝΑ ΕΣ 9

9 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση ( ) ln ( a) f =, a>. Α. Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(, f ( ) ) είναι παράλληλη στην ευθεία y =, να βρείτε την τιµή του α. Β. Για a= : α) Να µελετήσετε τη µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. κ γ) Να αποδείξετε: ότι ( κ ) ( κ ) Θέµα 3ο ίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [, ] αριθµοί z= a+ βi και w f ( α ) + i f ( β) Α. Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθµός z κ + > + για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 = µε ( ) + β i z ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 α β µε < α< β και οι µιγαδικοί f β. = είναι πραγµατικός αν και µόνο αν f ( a) + f ( β ) i w ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β) Αν z = iw τότε οι εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων, είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Β. Έστω ότι ισχύει α) a f ( β ) β f ( α ) = z iw = z + iw. Να αποδείξετε ότι: β) Οι εικόνες των z, w και η αρχή είναι συνευθειακά σηµεία. γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( aβ, ) παράστασης της f στο σηµείο (, ( )) = a ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 3 τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής M f να διέρχεται από το σηµείο (,). ΜΟΝΑ ΕΣ 8

10 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f µε f ''( ) συνεχή στο R τέτοια ώστε να ισχύουν: ( t + ) f ''( t) dt = t f '( t) dt 4 t f ( ) dt για κάθε R f ( ) = και ( ) f ' =. α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι f ( ) =, R +, µε ΜΟΝΑ ΕΣ β) Έστω E ( a ) το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = a>. Αν το a µεταβάλλεται µε ρυθµό cm / sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του 3 E a, τη χρονική στιγµή κατά την οποία a= 3cm. εµβαδού ( ) γ) Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: ( ) ( ) g + f για κάθε R. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν + ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (ii) Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την πλάγια ασύµπτωτη της στο + και τις ευθείες = και =, να αποδείξετε ότι: E ln 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α ο Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε τ ο θ ε ώ ρ η µ α : Έ σ τ ω µ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f, η ο π ο ί α ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν η σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η µ α [ α, β ]. Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α, β ] κ α ι f ( α ) f ( β ) τ ό τ ε, γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ µ ό η µ ε τ α ξ ύ τ ω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς, τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ( α, β ) τ έ τ ο ι ο ς, ώ σ τ ε f ( ) = η Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Β. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f, π ο υ η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α, ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ µ ο ύ τ η ς µ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο. y y = f () 3 y Ν α β ρ ε ί τ ε, α ν η τ ι µ ή τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν I, I, I 3 ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ή ή α ρ ν η τ ι κ ή. 3 I = f () d Μ Ο Ν Α Ε Σ I = 3 f '() d Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 3= Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 I f ''() d

12 Γ. Ν α α ν τ ι σ τ ο ι χ ί σ ε τ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α ό ρ ι α τ η ς σ τ ή λ η ς Α µ ε τ η ν τ ι µ ή τ ο υ τ η ς σ τ ή λ η ς Β. Σ Τ Η Λ Η Α Σ Τ Η Λ Η Β. lim ηµ α.. lim ηµ 3. lim ln + 4. lim e β. γ. δ. + Μ Ο Ν Α Ε Σ 8. Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( ) = ν, ν IN -{, }. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο IR κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( ) = ν ν -. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Θ Ε Μ Α ο. Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε Α ν σ τ ο ό ρ ι ο L = f ( ) g ( ) =, f ( ) γ ι α κ ά θ ε IR... g() + ε φ α ρ µ ό σ ο υ µ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ ο ρ ί ο υ π η λ ί κ ο υ, + f() lim π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ί α τ η ς µ ο ρ φ ή ς. α. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο L. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ µ π τ ω τ ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι g σ τ ο +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g έ χ ε ι τ ο π ο λ ύ µ ι α ρ ί ζ α σ τ ο IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 γ. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ( ) g ( ) = + 4 γ ι α κ ά θ ε IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

13 Θ Ε Μ Α 3 ο Γ ι α κ ά θ ε IR. ο ρ ί ζ ο υ µ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η g() = t α+ e dt, α > κ α ι τ ο ν µ ι γ α δ ι κ ό z = g ( ) + i µ ε z + i z. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι i ) η g α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι κ α ι i i ) ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ z α ν ή κ ο υ ν σ τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς g -. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι : α. R e ( z ) I m ( z ), γ ι α κ ά θ ε IR Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 β. α =. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. < dt dt < t t + e α + e α + e + e Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 Θ Ε Μ Α 4 ο Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε g ( ) = κ α ι f ( ) = g ( ), f ( ) + g ( ) = γ ι α κ ά θ ε IR. α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : i ) g ( ) = g ( ) f ( ), IR.. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 i i ) Η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς µ ο ν ό τ ο ν η σ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α δ ι α σ τ ή µ α τ α (, ], [, + ) κ α ι έ χ ε ι α κ ρ ό τ α τ ο τ ο. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 β. i ) Ν α µ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α σ η µ ε ί α κ α µ π ή ς τ η ς. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο µ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η µ ε ί ο τ η ς Ο (, ). Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 γ. Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε µ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ, π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς y =, =, ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι Ε = ln[ g ()] +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

14 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα ο Α. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι: Αν f ( ) ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. f Β. Έστω η συνάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι: '( ) >. a = µε α και f a a =. Μονάδες 9 Γ. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις.. Μια συνάρτηση f : A είναι << >> αν και µόνο αν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν = τότε f ( ) = f ( ). Αν lim f ( ) < lim g ( ) τότε f ( ) < g ( ) κοντά στο. 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ aβ, ] και υπάρχει ( aβ, ) τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε f ( a) f ( β ) <. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] υπάρχει ( aβ ) τέτοιο ώστε f '( ) <. β, 5. Αν ( ) = a aβ και γνησίως αύξουσα, τότε f d και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ aβ, ], τότε f ( ) για κάθε [ aβ, ]. Μονάδες Θέµα ο f = ln, > Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε το lim f '( ) + ln f ' =, >.. Μονάδες 4

15 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Μονάδες 3 γ) Να µελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σηµείο της καµπής της. Μονάδες 8 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) και Θέµα 3 ο = e. ln ίνεται ο µιγαδικός z = e + ( ) i,. α) Να αποδείξετε ότι: Re( z) Im( z) =, τον άξονα και τις ευθείες > για κάθε.. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ), w z z i = + + να είναι πραγµατικός. = e Μονάδες Μονάδες 8 τέτοιος ώστε ο αριθµός γ) Να βρείτε το µιγαδικό z του οποίου το µέτρο να γίνεται ελάχιστο. Θέµα 4 ο ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύουν ( ) και e f ( ) + f '( ) + ηµ = f '( ) για κάθε. f ) = συν + e f + f = συν για κάθε.. Μονάδες 8 Μονάδες 9 f = α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι (, και ότι ισχύει ( ) ( ) β) Να βρείτε το lim f ( ) + γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( ) δ) Να αποδείξετε ότι: f ( ). π π I= f d. π π d 4. Μονάδες 7

16 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα Α. α) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f '( ) =. Μονάδες β) Πότε η ευθεία = λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Μια συνάρτηση f : Α R είναι << >> όταν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: f ( ) = f ( ) τότε =. lim f g τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα ( ) β) Αν υπάρχει το ( ) ( ) lim f ( ) και lim ( ) g γ) Αν lim f ( ) = + ή τότε ( ). f για τις τιµές του κοντά στο. δ) Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και δεν παρουσιάζει καµπή σε κανένα σηµείο του, f '' για κάθε. τότε ( ) β f d και a β ε) Αν ( ) = a κάθε [ aβ, ]. f = για < τότε κατ ανάγκη ισχύει ( ) Μονάδες

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί z και z+ i w= όπου z i. + i z α) Να αποδείξετε ότι: w i = z w + i Μονάδες 5 β) Αν z= και Μ η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ ανήκει στον άξονα. γ) Να αποδείξετε την ισοδυναµία: w φανταστικός z φανταστικός. Μονάδες 7 f a > και έστω δ) Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο [ aβ, ] µε ( ) z = f ( a) i και w f ( β ) i έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β). Θέµα 3 =. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) f = Μονάδες 7 ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e a όπου a>. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης, f. ( ) της f στο σηµείο ( ) Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. Μονάδες 8 γ) Έστω ( a) παράσταση της f, την εφαπτοµένη της στο, ( ) = a>. Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική i) Να αποδείξετε ότι: ( ) ii) Να βρείτε το lim ( a) a + a a Ε a = e a. Ε. ( ) f και την ευθεία Μονάδες 7

18 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα 4 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R µε f ( ) > και έστω ( ) ( ) g = t f t dt, t, R. Να αποδείξετε ότι: g t f t dt για κάθε. α) ( ) = ( ) β) Η g είναι συνεχής στο =. γ) g ( ) ( ) < f t dt για κάθε >. δ) Αν ( ) = 3 ( ) Μονάδες 7 t f t dt t f t dt τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιος ώστε: g ( ξ ) f ( ξ ) =.

19 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Α. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. Μονάδες 4 β) Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και f ' > για κάθε εσωτερικό σηµείο του. ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.. Αν για µια συνάρτηση A R f : ισχύει ( ) f κ όπου κάθε Α, τότε το κ είναι η µέγιστη τιµή της f. κ R για. Αν υπάρχει το lim f ( ) =, τότε υπάρχει το όριο της ( ) lim =. και είναι f ( ) f στο 3. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( a ) f ( β ) < και f ( ) για κάθε ( a, β ), τότε η f δεν είναι συνεχής στο [ a, β ]. 4. Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει ( ) = ' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f ( ) = g ( ) f ' g για κάθε. 5. Αν για µια συνάρτηση f υπάρχει παράγουσα στο διάστηµα, τότε για κάθε λ R ισχύει: λ f ( ) d = λ f ( ) d 6. Αν οι συναρτήσεις,. f g είναι συνεχείς στο [, ] a β και ισχύει f ( ) < g ( ) για κάθε [ a, β], τότε ( ) < ( ) β f d g d. a β a Μονάδες

20 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ( + a) e. Αν η ευθεία y = +, R εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (, f ( )) α) Να αποδείξετε ότι: a=. β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f lim f i) ( ) ii) ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 7 Μ τότε: Μονάδες 7 f = έχει ακριβώς µια λύση στο R. Θέµα 3 ο ίνονται οι µιγαδικοί z, w µε z w για τους οποίους ισχύει: Να αποδείξετε ότι: α) ( z w ) Re =. z + w = z w. β) Ο αριθµός z w είναι φανταστικός. Μονάδες 5 γ) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο. Μονάδες 7 a β µε < a< β και δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] z = a + i f ( a ), w = f ( β ) βi τότε η εξίσωση f ' ( ) = f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ). Θέµα 4 ο ίνεται η συνάρτηση g ( ) = d t όπου t, R. + t α) Να µελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g. + β) Να αποδείξετε ότι: g ( ) γ) Να αποδείξετε ότι: g ( ) g ( ) για κάθε + = για κάθε R. Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 7

21 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 δ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα και τις ευθείες =, = είναι Ε = g ( ) ln τ.µ. Μονάδες 8 Καλή Επιτυχία στις Γενικές εξετάσεις

22 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () = g() + c ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = ν, ν IN {, } είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει: f () = ν ν ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ): α. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των z και z είναι το άθροισµα των διανυσµατικών τους ακτίνων. ΜΟΝΑ ΕΣ β. Είναι: z + z= z+ z γ. Είναι: z z z + z z + z ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ δ. Η εξίσωση z z = z z µε z z παριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z ) και Β(z ). ΜΟΝΑ ΕΣ

23 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ. Έστω η συνάρτηση F() = f(t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι Ε(Ω) = 36 τ.µ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. F() = β. F(4) = γ. F() = y B 4 A Ω Ο 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε ηµ + λ, αν > f() = µε λ, µ IR (µ ) +, αν α. Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να βρείτε την τιµή του µ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι -. δ. Για λ = και µ =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f() d. π ΜΟΝΑ ΕΣ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e e, IR. α. i. Να την µελετήσετε ως προς την µονοτονία. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 + e ii. Να αποδείξετε ότι f () = (e ) e, να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής της παράστασης. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f (), τους άξονες, y y και την ευθεία = ln. ΜΟΝΑ ΕΣ 6

24 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ 4 ο Οι συναρτήσεις f, g: IR IR είναι συνεχείς και για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f(t) dt = g(t) dt () και g() () α. Η f είναι παραγωγίσιµη στο = και f () = g() β. g() < για κάθε IR γ. f(t) dt f(t)dt για κάθε IR ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 δ. H εξίσωση f () = g() + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (, ). ΜΟΝΑ ΕΣ 7

25 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να δείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες 9 B..Πότε η ευθεία ψ = λ +β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 α, β ;.Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ ] Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ): f = l f + h =l lim lim. Ισχύει ( ) ( ) h lim. Αν < α < τότε a =. 3. Αν η f είναι συνεχής στο [, ] ακρότατα τα f ( α ) και f ( β ). Μονάδες Μονάδες α β τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά Μονάδες α, β 4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [ ] ισχύει: β α α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g d f g d = f g 5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιμών της f ( ), η ( ) λύση ως προς τότε η f είναι -. β β α Μονάδες f χ = ψ έχει Μονάδες ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση z+ =, z C z 3 Α. z z = και z =. 9 9 Β. ( z ) + z R και z, z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 4 Μονάδες 4

26 Γ. z + + = 8 z Μονάδες 4 Δ. Αν f ( ) συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [, ] με z z f ( ) = z + z και () f = z + 3 z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (,), ώστε f ( ) = 3. Μονάδες 7 Ε. Αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού w= z+ z και Α, Β οι εικόνες των z και z αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισισκελές. ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln = + +. Α. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. Γ. Αν g( ) ln = να δείξετε ότι υπάρχει > ώστε: + g( ) g( ) για κάθε > Μονάδες 7 > f ( ) < f ( + ) f ( + 4). Δ. Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει: ΘΕΜΑ 4ο Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (, + ) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: + f = και f () = e e f = e Α. Να δείξετε ότι ( ) / Μονάδες 8 Β..Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη =. ( ).Να δείξετε ότι f ( ) d> e f ( ) Γ. Αν g( ) =, να βρείτε το εμβαδόν ( t) Μονάδες Μονάδες 7 Ε του χωρίου που περικλείεται 3 από τη C, τον και τις ευθείες = και = t με t >. g Μονάδες 5

27 lim () Δ. Να βρείτε το E t. t + Μονάδες 3

28 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β]. Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β ) G( α ). B.. B.. α (Μονάδες ) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Μονάδες 3) Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του παράγωγου αριθµού στο σηµείο Μ, f της γραφικής παράστασης της f. ( ( ) (Μονάδες ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν z z + = και z, z C αναγκαστικά z =z =. g α lim g α lim f y = l τότε β) Αν ( ) κοντά στο µε ( ) = και ( ) ( ( )) lim f g = l. γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και ( ) συνάρτησης, τότε κατ ανάγκη θα είναι ( ) =. y α f β µέγιστη τιµή της f β δ) Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα, τότε f ( ) >. ε) Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 5 ] και f ( ) στο [ ] f d. τότε ( ) 5, 5, (Μονάδες )

29 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ο + w Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση z = και η εικόνα του w w Κ και ακτίνα ρ =. ανήκει στον κύκλο µε κέντρο (,) α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ =. () β) Αν z= () και z, z, z 3 οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z3 z+ z3 i) Ο αριθµός α= + + είναι πραγµατικός. z3 z z (Μονάδες 7) ii) Αν επιπλέον z +z +z 3 = τότε να αποδείξετε ότι: z z z 3 3 Re + + = z z z 3 (Μονάδες 7) γ) ίνεται η ευθεία (ε): 3 + 4y =. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(, ) + ισχύουν f ( ) = f ( ) e + και ( ) f =. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = e + είναι -. β) Να δείξετε ότι f ( ) ln = για κάθε >. γ) Να µελετήσετε τη συνάρτηση h( ) βρεθεί το σύνολο τιµών της. + R τέτοια, ώστε για κάθε > ( ) (Μονάδες ) () f = ως προς την µονοτονία και να ()

30 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ συν ηµ ηµ συν δ) Να λύσετε την εξίσωση π = αν e e,. (Μονάδες 5) ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι για κάθε, µε h( ) h( ) > > ισχύει. 5 e () ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιµη και τέτοια, ώστε u ( ) f t dt du 6 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: 3 α) 3 f ( t) dt=. (Μονάδες 7) β) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (, f ()) είναι η ευθεία 4 + y 3 = να υπολογίσετε το γ) Αν για κάθε ισχύει f ( ) > και ότι για κάθε > ισχύει h( ) h ( ) >. 3 t f ( t) dt lim. 4 (Μονάδες 5) h( ) = f ( t) dt, να αποδείξετε δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) f ( ξ ) + 3= ξ. (Μονάδες 7) ξ τέτοιο, ώστε ()

31 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, ) τέτοιος, ώστε ΜΟΝΑ ΕΣ 7 Β. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης ; ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Γ. Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος του Rolle. ΜΟΝΑ ΕΣ 4. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασµένη (Λ).. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z είναι.. Είναι. ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 3. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f : A ΙR και g : B ΙR, αν ορίζεται η συνάρτηση, τότε έχει πεδίο ορισµού την τoµή. ΜΟΝΑ ΕΣ 4. Αν µια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο. ΜΟΝΑ ΕΣ 5., όπου, είναι συνεχείς στο,. ΜΟΝΑ ΕΣ Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

32 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f : ΙR ΙR µε 4, για κάθε ΙR. όπου λ ΙR, η οποία παρουσιάζει στο = καµπή. α. i. Να αποδείξετε ότι. ii. β. Να βρείτε το όριο Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. lim ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ. i. Να βρείτε την αρχική της της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο,. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. ΘΕΜΑ 3 Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της και τον άξονα. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Έστω µια συνεχής συνάρτηση f : ΙR ΙR για την οποία ισχύει α. Να αποδείξετε ότι: ηµ συν, για κάθε ΙR.. και ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ii. Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ΜΟΝΑ ΕΣ 7 β. Έστω, επιπλέον, ότι η είναι παραγωγίσιµη και για κάθε IR., i. Να βρείτε την και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο της µε τετµηµένη. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. Να υπολογίσετε το όριο: ΜΟΝΑ ΕΣ 8 Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)

33 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 Α. Να αποδείξετε ότι, για κάθε IR. Πότε ισχύει η ισότητα ; ΜΟΝΑ ΕΣ 3 Β. Έστω µια συνεχής συνάρτηση :,,. Για κάθε θεωρούµε το µιγαδικό z, µε: όπου. Να αποδείξετε ότι:.. και,, για κάθε. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ii., για κάθε. β. Η είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (,, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε. ΜΟΝΑ ΕΣ 4

34 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Να αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες 5 A. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο Α; Μονάδες 4 A3. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = α, α > είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και ισχύει f () = α lnα A4. Να βρείτε ποιοι από τους επόµενους ισχυρισµούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς: i. Μια συνάρτηση είναι, αν και µόνο αν δεν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε ίδια τεταγµένη. Μονάδες ii. i 4ν + 3 = i, για κάθε ν ΙΝ. iii. Αν lim f () > iv., τότε f () > κοντά στο. Μονάδες Μονάδες Αν δύο µεταβλητά µεγέθη, y συνδέονται µε τη σχέση y = f (), όταν f είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο, τότε o ρυθµός µεταβολής του y ως προς στο σηµείο είναι η παράγωγος y = f ( ). Μονάδες v. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, τότε τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία f ( ), δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f. Μονάδες

35 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται οι συναρτήσεις f() = e και g() = ln+. B. Να βρείτε τις συνθέσεις fog και gof και να εξετάσετε αν είναι ίσες. B. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την f. B3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e = ln + έχει µία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (e, ). B4. Να αποδείξετε ότι: f () g() lim = lim = (gof )() + (fog)() ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f: IR IR είναι συνεχής και για κάθε IR ισχύει όπου α IR {}. Γ. Να αποδείξετε ότι: t f (t) dt (+ 3α ) f () = e, Μονάδες 7 i. Η f είναι παραγωγίσιµη µε f ' () = f (), για κάθε IR. Μονάδες 4 ii. f () = + 3α, για κάθε IR. Γ. Να αποδείξετε ότι η τιµή του ολοκληρώµατος του α. Γ3. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f. α Μονάδες 4 t f (t) dt είναι ανεξάρτητη Μονάδες 4 Μονάδες 8 Γ4. Αν Ε είναι το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από τους άξονες, την γραφική παράσταση της f και την ευθεία = α, να αποδείξετε ότι: < E < 4 α 3 α Μονάδες 5

36 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR µε f () =, + f () e lim = και f () <, για κάθε IR. + Να αποδείξετε ότι:. f ( ) = και f () + 4, για κάθε IR.. Η f παρουσιάζει µέγιστο σε σηµείο (, ). 3. Η εξίσωση ( 5) ( ) f f (t )dt = f () έχει µοναδική λύση στο IR την = Ο µιγαδικός αριθµός z για τον οποίο ισχύει f( z + i ) f( z + ) είναι φανταστικός. Μονάδες 7

37 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οποίο όµως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι, αν f ( ) > στο ( a, ) (,β), τότε το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). Μονάδες 9 Α. α. Πότε το σηµείο Α(, f( )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f. Μονάδες 3 β. Αν f, g συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β αντιστοίχως, τι ονοµάζουµε σύνθεση της f µε την g και ποιο είναι το πεδίο ορισµού της; Μονάδες 3 Α3. Να χαρακτηρίστε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] τότε, ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γράφεται β f ( ) g ( ) d β f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g ( )] β a a a β) Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει v v * =, N. z z ν γ) Κάθε συνάρτηση, είναι γνησίως µονότονη. δ) Αν < a< τότε lim log a + = +. * ε) Για κάθε ν N η συνάρτηση f( ) = v * είναι παραγωγίσιµη στο R µε v f ( ) = v. Μονάδες

38 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z ( z + ) = i z 3 και w= z i, Β. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z. Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z ; Μονάδες 7 Β. Να βρείτε την µέγιστη τιµή του z z και τις τιµές του z για τις οποίες επιτυγχάνεται. Β3. Αν για τους µιγαδικούς z των προηγούµενων ερωτηµάτων ισχύει z z= και Im( z ) >, τότε να υπολογίσετε την τιµή του z z 3. B4. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w και να αποδείξετε ότι η απόσταση των εικόνων των z και w είναι ίση µε την απόσταση της εικόνας του z από το σηµείο Α(,). ΘΕΜΑ Γ, αν ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e. ln a, αν = Γ. Βρείτε τον a (, + ) ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη και δείξτε ότι f () =. Μονάδες 7 Έστω α = e. Γ. α. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της και τις ασύµπτωτες της γραφικής της παράστασης, εφόσον υπάρχουν. Γ3. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση dt= έχει µοναδική ρίζα στο f ( t) + 3 (, ).

39 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις f, G και F, οι οποίες είναι ορισµένες στο διάστηµα [, + ) µε f παραγωγίσιµη και G δύο φορές παραγωγίσιµη στο ίδιο διάστηµα. Έστω ότι ισχύουν: f () =, G() = και για κάθε είναι f ( ) >, G '( ) > και =. F( ) f ( t) dt. Να αποδείξετε ότι F( ) και G( ) για κάθε.. Να υπολογίσετε το όριο lim [ F( )ln ] τέτοιο, ώστε 3. ίνεται, επιπλέον, ότι F( ξ ) f ( ξ ) ln ξ+ =. ξ Μονάδες 5 και να αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (, ) [ ] [ ] f ( ) F( ) + f ( ) = G ( ) G( ) + G ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 α. F( ) = G( ), για κάθε. Μονάδες 7 β. Για κάθε >, οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων C F, CG στα Β, F και Γ, G αντιστοίχως, τέµνονται σε σηµεία τους ( ( ) ) ( ( ) ) σηµείο Α του άξονα y y (µονάδες 3) και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισεµβαδικό µε το χωρίο, που ορίζεται από τις C F, C G και την ευθεία = (µονάδες 3).

40 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 3-4 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει:

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει: AΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 5o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : Tέσσερις (4) ΘΕΜΑ A Α. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Αν z, z

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα.

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 211 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/,

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα