ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ. Πρόταση: Το άθροισµα των απείρων όρων µιας γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ. Πρόταση: Το άθροισµα των απείρων όρων µιας γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α"

Σαναχάριβος Οικονόμου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ Πρότση: Το άθροισµ τω πείρω όρω µις γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ, λ < είι Το άθροισµ S = S = λ Εφρµογή : Ν υπολογίσετε το άθροισµ : Οι άπειροι όροι,,, Άρ S = = = = 6. λ = κι, είι διδοχικοί όροι Γ.Π. µε λ=. Εφρµογή : Ν βρείτε το κοιό κλάσµ, πό το οποίο πράγετι το δεκδικό περιοδικό κλάσµ,55... Το δεκδικό κλάσµ (περιοδικό) γράφετι (000) (000) Αλλά = 000 = 000 (000) Άρ 5 509,55... = + =

λ = κι, είι διδοχικοί όροι Γ.Π. µε λ=. Εφρµογή : Ν βρείτε το κοιό κλάσµ, πό το οποίο πράγετι το δεκδικό περιοδικό κλάσµ,55.

2 Εφρµογή : Συδέουµε τ µέσ A, B,Γ τω πλευρώ ισοπλεύρου τριγώου ABΓ του οποίου η πλευρά είι. Στη συέχει συδέουµε τ µέσ του ABΓ κι έστω ABΓ το επόµεο τρίγωο του οποίου συδέουµε τ µέσ, κ.ο.κ. Ν υπολογιστεί το άθροισµ τω περιµέτρω κι τω εµβδώ τω πείρω τριγώω. Είι γωστό ότι: Το ύψος κι το εµβδό ισοπλεύρου τριγώου πλευράς δίετι πό τους τύπους: υ= κι Ε= τίστοιχ. Στο ABΓ έχουµε περίµετρο κι εµβδό Στο ABΓ έχουµε περίµετρο κι εµβδό 6 Στο ABΓ έχουµε περίµετρο.. Άρ: άθροισµ περιµέτρω S= = = 6 κι εµβδό 6 Άθροισµ εµβδώ: Ε= = = =

Είι γωστό ότι: Το ύψος κι το εµβδό ισοπλεύρου τριγώου πλευράς δίετι πό τους τύπους: υ= κι Ε= τίστοιχ.

3 Εφρµογή : Ν λυθεί η εξίσωση... x = 6 8 Το άπειρο πλήθος που έχουµε µέσ στη γκύλη είι γεωµετρική πρόοδος µε λ = <. Άρ = = 8 Κι η εξίσωση γίετι x = 6 x= 6 Εφρµογή 5: Ν ποδειχτεί ότι... (άπειρο πλήθος ριζικώ) = Απόδειξη: =... =... =... = =... = =

4 ΜΙΚΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ Ορισµός: Μί κολουθί,,...,,... κλείτι µικτή γεωµετρική πρόοδος τότε κι µόο τότε, ότ ο -ιοστός όρος υτής, γι κάθε είι γιόµεο τω -ιοστώ όρω µις ριθµητικής προόδου (, ω ) κι µις γεωµετρικής ( β, λ ), δηλδή γι κάθε ο είι της µορφής { ( ) } { + ω βλ } Πρότση: Α Sτο άθροισµ τω πρώτω όρω µις µικτής γεωµετρικής προόδου µε ιοστό { },( ) γ = + ω βλ λ τότε όρο ( ) Απόδειξη: S { ( ) } βωλ ( λ ) λ ( λ) β + ω βλ = + { } Επειδή S ( )... ( ) Έπετι ότι =β + +ω βλ+ + + ω βλ { } ( ) ( ) S λ=βλ+ +ω βλ ω βλ Με φίρεση κτά µέλη έπετι ότι: ( ) ( ) { } S λ =β +ωβλ+ωβλ ωβλ + ω βλ = ωβλ ωβλ β + { + ( ) ω} βλ λ S Άρ: { ( ) } βωλ ( λ ) λ ( λ) β + ω βλ = +

λ ), δηλδή γι κάθε ο είι της µορφής { ( ) } { + ω βλ } Πρότση: Α Sτο άθροισµ τω πρώτω όρω µις µικτής γεωµετρικής προόδου µε ιοστό { },( ) γ = + ω βλ λ τότε όρο ( )

5 Άσκηση Ν υπολογιστεί το άθροισµ S... = , Λύση () Πρτηρούµε ότι ο -ιοστός όρος είι γιόµεο -ιοστώ όρω ριθµητικής (, ) κι γεωµετρικής (, ). Τότε εργζόµστε ως εξής: Πολλπλσιάζουµε τη () µε λ: λ S= S= () Με φίρεση τω () κι () πίρουµε: ( ) = { } S = = S( ) = S= ( )

6 . Έστω η κολουθί ( ) Γεικές Ασκήσεις µε = κι = Ν. Ν δείξετε ότι η κολουθί ( β ) µε γεικό όρο β = είι µι γεωµετρική πρόοδος µε ω=. Ύστερ βρείτε τους ιοστούς όρους β κι 5 κι ( ) τιστοίχως συρτήσει του. τω κολουθιώ ( β ). Έστω η κολουθί,,... =, µε ( ) = + κι =, =β. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί β, =,,... µε γεικό όρο β = είι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο συρτήσει τω, β κι.. Έστω η κολουθί, =,,... γι τη οποί είι: ω=. Στη συέχει εκφράσετε το =ξ + n Ν, ξ, n R + + Ν ποδείξετε ότι: Α ο λόγος, όπου 0είι ρίζ της εξίσωσης x ξx n= 0, τότε η κολουθί ( ) Ν είι µι γεωµετρική πρόοδος.. Συδέουµε τ µέσ Α, Β, Γ, τω πλευρώαβγ τετργώου πλευράς. Μετά συδέουµε τ µέσ Α, Β, Γ, τω πλευρώ ΑΒΓ, έπειτ τ µέσ τω πλευρώ, κ.ο.κ. Ν βρεθεί ως συάρτηση του, το άθροισµ τω περιµέτρω τω τετργώω που σχηµτίζοτι. 5. Σε κύκλο µε κτί ρ εγγράφουµε τετράγωο, σ υτό εγγράφουµε κύκλο, στο κύκλο έο τετράγωο κ.ο.κ. Ν βρεθεί συρτήσει τουρ, το άθροισµ τω εµβδώ τω πείρω σε πλήθος i) κύκλω κι ii) τετργώω.

.. µε γεικό όρο β = είι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο συρτήσει τω, β κι.. Έστω η κολουθί, =,,... γι τη οποί είι: ω=.

7 λ µ 6. Έστω οι θετικοί ριθµοί, β, γ, κι θετικοί κέριοι λ, µ, µε = β= γ. Ν δείξετε ότι οι, β, γ διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, κι µόο οι λ, µ, είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 7. Α σε µί ριθµητική πρόοδο το άθροισµ τω κ πρώτω όρω είι 0, ποδείξτε ότι το άθροισµ τω µ επόµεω όρω της είι ( ) κ+µ µ κ, κ>. 8. Α οι, β, γ διδοχικοί όροι ρµοικής προόδου δείξετε ότι οι ( β+γ ), β( γ+ ), γ( +β ) διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 9. Ν βρεθεί ο λ Ζ ώστε η εξίσωση ( λ+ ) ( ) x x + λ = 0 έχει ρίζες διφορετικές κι είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. x β y=γ 0. Α το σύστηµ x + β x +γ y = 0 διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β γ 0 έχει λύση δείξτε ότι, β, γ. Ν βρεθεί ο (µέγιστος) ριθµός τω χωρίω που σχηµτίζοτι πό ευθείες στο ( ) + επίπεδο. [Απ.: + ]. Ν βρεθεί ο (µέγιστος) ριθµός τω χωρίω που σχηµτίζοτι πό κύκλους στο επίπεδο. [Απ.: +, ]

Α οι, β, γ διδοχικοί όροι ρµοικής προόδου δείξετε ότι οι ( β+γ ), β( γ+ ), γ( +β ) διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 9.

Σχετικά έγγραφα

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ 1.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµς ηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει ηµα. Νόµς συνηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει συνα συνβ συνγ ΣΧΟΛΙΑ 1. Με τν νόµ των ηµιτόνων Ότν νωρίζυµε µι