Übungen zu Teilchenphysik 2 SS Fierz Identität. Handout. Datum: von Christoph Saulder

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008. Fierz Identität. Handout. Datum: 27. 5. 2008. von Christoph Saulder"

Transcript

1 Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008 Fierz Identität Handout Datum: von Christoph Saulder

2 2

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 2 Herleitung der Matrixelemente 7 2. Ansatz rechte Seite Skalar Pseudoskalar Vektor Axialvektor Tensor Ergebniss Physikalische Bedeutung 9 3. Allgemein Beispiel: Neutrino-Elektron Streuung Literaturverzeichnis 2 3

4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel Einleitung Bei der Fierz Identität handelt es sich um eine nach dem schweizer Physiker Markus Fierz benannte Eigenschaft von Spinoren(Dirac, aber auch allgemeinere). Mit der Fierz Identität kann man ein Produkt aus zwei Spinor Biliniearformen in eine Linearkombination aus Produkten von Spinor Biliniearformen umschreiben. Dies ist nützlichen wenn man gewisse Teilchenreaktionen beschreiben will. Man betrachte einfach eine normale Reaktion und eine dazu gekreuzte, so werden die Amplituden der Obsverablen im Ergebniss im Allgemeinen nicht gleich sein. Dennoch kann man, die einen Amplituden aus den anderen errechnen in dem man die Fierz Identität, welche die Beziehung zwischen beiden angibt, verwendet. Die Fierz Identität ist eingentlich nur für Dirac-Spinoren definiert, jedoch gibt es entsprechende Verallgemeinerung für zum Beispiel Gell-Mann Matrizen(SU(3) Algebra) und auch für allgemeine SU(N) Algebren. Diese werden dann als allgemeine Fierz-ähnliche Identitäten (engl.: general Fierz-type identities) bezeichnet. 5

6 6 KAPITEL. EINLEITUNG

7 Kapitel 2 Herleitung der Matrixelemente 2. Ansatz Wir setzen an, dass man ein Produkt aus Spinoren wie folgt anschreiben können: (āλ i b)( cλ i d)= k F ik (āλ i d)( cλ i b) Dies funktioniert, weil die Λ s(definition folgt noch) ein vollständiges orthogonales System bilden. Wenn wir nun nur die Λ s betrachten, können wir die Gleichung ein wenig umschreiben und danach auf beiden Seiten mittig ein Γ hineinmultiplizieren, welches die selben Eigenschaften wie Λ hat. Nun müssen wir das somit erhaltene Gleichungssysteme, welche je aus 5 (Matrix)Gleichungen bestehen, lösen. Es hat folgende Gestalt: (Λ) αβ (Γ) βγ (Λ) γδ = a sλ () αδ (Γ) βγ () γβ + a pλ (γ 5 ) αδ (Γ) βγ (γ 5 ) γβ + a vλ (γ μ ) αδ (Γ) βγ (γ μ ) γβ + a aλ (γ μ γ 5 ) αδ (Γ) βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a tλ (σ μν ) αδ (Γ) βγ (σ μν ) γβ Die Λ s und Γ s können nun für einen Skalar(), Pseudoskalar(γ 5 ), Vektor(γ τ ), Axialvektor(γ τ γ 5 )odertensor(σ λτ ) stehen. Dieses Gleichungssystem ist nun nach allen a...λ) zu lösen. Am Ende erhalten wir 25 solche Koeffizenten, welche wir dann als 5x5 Matrix anschreiben werden. Für die spätere Rechnung ist es nützlich alle Matrizen einmal explizit anzuschreiben: 7

8 8 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE γ 0 = ; γ0 γ 5 = γ = ; γ γ 5 = γ 2 = i 0 0 i 0 0 i 0 0 i 0 0 ; γ2 γ 5 = 0 i 0 0 i i 0 0 i γ 3 = ; γ3 γ 5 = γ 5 = ;(gμν )= Weiters werden folgende Relationen und Definitionen verwendet: σ λτ = i 2 (γλ γ τ γ τ γ λ ) γ λ γ τ + γ τ γ λ =2g λτ γ τ γ τ = γ 5 γ 5 = γ 5 γ τ γ 5 = γ τ 2.2 rechte Seite Die rechte Seite der Gleichung sieht für alle Möglichkeiten von (Γ) αβ gleich aus:

9 2.2. RECHTE SEITE 9 Im Fall () βγ : a s () αδ () βγ () γβ +a p (γ 5 ) αδ () βγ (γ 5 ) γβ +a v (γ μ ) αδ () βγ (γ μ ) γβ +a a (γ μ γ 5 ) αδ () βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a t (σ μν ) αδ () βγ (σ μν ) γβ = a s () αδ Sp()+a p (γ 5 ) αδ Sp(γ 5 )+a v (γ μ ) αδ Sp(γ μ )+a a (γ μ γ 5 ) αδ Sp(γ μ γ 5 )+a t (σ μν ) αδ Sp(σ μν )= a s () αδ weil alle anderen Spuren nämlich Null ergeben Im Fall (γ 5 ) βγ : a s () αδ (γ 5 ) βγ () γβ +a p (γ 5 ) αδ (γ 5 ) βγ (γ 5 ) γβ +a v (γ μ ) αδ (γ 5 ) βγ (γ μ ) γβ +a a (γ μ γ 5 ) αδ (γ 5 ) βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a t (σ μν ) αδ (γ 5 ) βγ (σ μν ) γβ = a s () αδ Sp(γ 5 )+a p (γ 5 ) αδ +a v (γ μ ) αδ 0+a a (γ μ γ 5 ) αδ 0+a t (σ μν ) αδ 0= a p (γ 5 ) αδ dass die letzten Terme Null sind kann man sehr leicht durch explizites anschreiben von γ 5, γ μ, γ 5 γ μ und σ μν alsmatrixsehen. Im Fall (γ τ ) βγ : a s () αδ (γ τ ) βγ () γβ +a p (γ 5 ) αδ (γ τ ) βγ (γ 5 ) γβ +a v (γ μ ) αδ (γ τ ) βγ (γ μ ) γβ +a a (γ μ γ 5 ) αδ (γ τ ) βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a t (σ μν ) αδ (γ τ ) βγ (σ μν ) γβ = a s () αδ Sp(γ τ )+a p (γ 5 ) αδ 0+a v (γ μ ) αδ g τ μ +a a(γ μ γ 5 ) αδ 0+a t (σ μν ) αδ 0= a v (γ τ ) αδ für das verschwinden der letzten Terme kann man wieder das gleiche Argument wie schon zuvor verwenden. Im Fall (γ τ γ 5 ) βγ : a s () αδ (γ τ γ 5 ) βγ () γβ +a p (γ 5 ) αδ (γ τ γ 5 ) βγ (γ 5 ) γβ +a v (γ μ ) αδ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ ) γβ +a a (γ μ γ 5 ) αδ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a t (σ μν ) αδ (γ τ γ 5 ) βγ (σ μν ) γβ = a s () αδ Sp(γ τ γ 5 )+a p (γ 5 ) αδ 0+a v (γ μ ) αδ 0+a a (γ μ γ 5 ) αδ g τ μ( ) + a t (σ μν ) αδ 0= a a (γ τ γ 5 ) αδ

10 0 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE analoges Vorgehen wie zuvor Im Fall (σ λτ ) βγ : a s () αδ (σ λτ ) βγ () γβ +a p (γ 5 ) αδ (σ λτ ) βγ (γ 5 ) γβ +a v (γ μ ) αδ (σ λτ ) βγ (γ μ ) γβ +a a (γ μ γ 5 ) αδ (σ λτ ) βγ (γ μ γ 5 ) γβ + a t (σ μν ) αδ (σ λτ ) βγ (σ μν ) γβ = a s () αδ Sp(σ λτ )+a p (γ 5 ) αδ 0+a v (γ μ ) αδ 0+a a (γ μ γ 5 ) αδ 0+a t (σ μν ) αδ ( )(γ λγ τ γ τ γ λ ) βγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γβ = a a (σ μν ) αδ ( )( 32)δ λμδ τν = 8a a (σ λτ ) αδ Wie wir nun sehen stehen auf der rechten Seiten der Gleichung immer nur Terme, welche nur aus dem jeweiligen Γ αβ und Konstanten bestehen. Somit wird das Lösung des Gleichungssystem nach den Koffezienten a... sehr erleichtert. Wir müssen nun nur noch die linke Seiten der Gleichungen berechnen und vergleichen. 2.3 Skalar Nun wählen wir für Λ einen Skalar und rechnen uns die Koeffezienten für alle Möglichkeiten von Γ aus. Für den Fall Γ βγ =() βγ folgt für die linke Seite: () αβ () βγ () γδ = () αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a s =. Für den Fall Γ βγ =(γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: () αβ (γ 5 ) βγ () γδ = (γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a p =.

11 2.. PSEUDOSKALAR Für den Fall Γ βγ =(γ τ ) βγ folgt für die linke Seite: () αβ (γ τ ) βγ () γδ = (γ τ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a v =. Für den Fall Γ βγ =(γ τ γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: () αβ (γ τ γ 5 ) βγ () γδ = (γ τ γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a a =. Für den Fall Γ βγ =(σ λτ ) βγ folgt für die linke Seite: () αβ (σ λτ ) βγ () γδ = (σ λτ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a t = Pseudoskalar Als nächstes wählen wir für Λ einen Pseudoskalar und rechnen uns die Koeffezienten für alle Möglichkeiten von Γ aus. Für den Fall Γ βγ =() βγ folgt für die linke Seite: (γ 5 ) αβ () βγ (γ 5 ) γδ = (γ 5 ) αβ (γ 5 ) βδ = () αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a s =. Für den Fall Γ βγ =(γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ 5 ) αβ (γ 5 ) βγ (γ 5 ) γδ = (γ 5 ) αβ () βδ =

12 2 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE (γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a p =. Für den Fall Γ βγ =(γ τ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ 5 ) αβ (γ τ ) βγ (γ 5 ) γδ = (γ τ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a v =. Für den Fall Γ βγ =(γ τ γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ 5 ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ 5 ) γδ = (γ τ γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a a =. Für den Fall Γ βγ =(σ λτ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ 5 ) αβ (σ λτ ) βγ (γ 5 ) γδ = i 2 (γ5 ) αβ (γ λ γ τ γ τ γ λ ) βγ (γ 5 ) γδ = i 2 (γ5 γ λ γ 5 γ 5 γ τ γ 5 γ 5 γ τ γ 5 γ 5 γ λ γ 5 ) αδ = i 2 (γλ γ τ γ τ γ λ ) αδ = (σ λτ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a t = Vektor Nun wählen wir für Λ einen Vektor und rechnen uns die Koeffezienten für alle Möglichkeiten von Γ aus. Für den Fall Γ βγ =() βγ folgt für die linke Seite: (γ μ ) αβ () βγ (γ μ ) γδ = (γ μ ) αβ (γ μ ) βδ = () αδ

13 2.5. VEKTOR 3 Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a s =. Für den Fall Γ βγ =(γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ ) αβ (γ 5 ) βγ (γ μ ) γδ = (γ μ ) αβ (γ 5 ) βγ (γ μ ) γɛ (γ 5 ) ɛζ (γ 5 ) ζδ = (γ μ ) αβ ( γ μ ) βζ (γ 5 ) ζδ = (γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a p =. Für den Fall Γ βγ =(γ τ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ ) αβ (γ τ ) βγ (γ μ ) γδ = (γ μ ) αβ ( (γ μ ) βγ (γ τ ) γδ +2g τ μ)= (γ τ ) αδ +2(γ τ ) αδ = 2(γ τ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a v = 2. Für den Fall Γ βγ =(γ τ γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ ) γδ = (γ μ ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ ) γɛ (γ 5 ) ɛζ (γ 5 ) ζδ = (γ μ ) αβ ( γ τ γ μ ) βζ (γ 5 ) ζδ = (γ μ ) αβ (γ μ γ τ 2g τ μ) βζ (γ 5 ) ζδ = (γ τ ) αδ 2(γ τ ) αδ = 2(γ τ γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a a = 2. Für den Fall Γ βγ =(σ λτ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ ) αβ (σ λτ ) βγ (γ μ ) γδ = 0 Die Rechnung ergibt Null wegen der Symmetrie des Ausdrucks der beiden γ μ s und der Antisymmetrie des Tensors σ λτ. Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a t =0.

14 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE 2.6 Axialvektor Nun wählen wir für Λ einen Axilvektor und rechnen uns die Koeffezienten für alle Möglichkeiten von Γ aus. Für den Fall Γ βγ =() βγ folgt für die linke Seite: (γ μ γ 5 ) αβ () βγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ μ γ 5 ) αβ (γ μ γ 5 ) βδ = (γ μ ) αβ ( γ μ ) βδ = () αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a s =. Für den Fall Γ βγ =(γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ γ 5 ) αβ (γ 5 ) βγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ μ ) αβ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ 5 ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a p =. Für den Fall Γ βγ =(γ τ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ γ 5 ) αβ (γ τ ) βγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ μ γ 5 ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ 5 γ μ γ 5 ) γδ = (γ μ ) αβ ( γ τ ) βγ ( γ μ ) γδ = (γ μ ) αβ ( γ μ γ τ +2g τ μ) βδ = ( γ τ +2γ τ ) αδ = 2(γ τ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a v = 2. Für den Fall Γ βγ =(γ τ γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ γ 5 ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ μ ) αβ ( γ τ ) βγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ τ γ μ 2g τμ ) αγ (γ μ γ 5 ) γδ = (γ τ γ 5 2γ τ γ 5 ) αδ = 2(γ τ γ 5 ) αδ

15 2.7. TENSOR 5 Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a a = 2. Für den Fall Γ βγ =(σ λτ ) βγ folgt für die linke Seite: (γ μ γ 5 ) αβ (σ λτ ) βγ (γ μ γ 5 ) γδ = 0 Die Rechnung ergibt Null wegen der Symmetrie des Ausdrucks der beiden γ μ γ 5 s und der Antisymmetrie des Tensors σ λτ. Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a t = Tensor Nun wählen wir für Λ einen Tensor und rechnen uns die Koeffezienten für alle Möglichkeiten von Γ aus. Für den Fall Γ βγ =() βγ folgt für die linke Seite: (σ μν ) αβ () βγ (σ μν ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ () βγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) βδ = (γμ γ ν γ μ γ ν γ ν γ μ γ μ γ ν γ μ γ ν γ ν γ μ + γ ν γ μ γ ν γ μ ) αδ = (γμ γ ν γ μ γ ν γ ν γ ν γ μ γ μ + γ ν γ μ γ ν γ μ ) αδ = (γμ γ ν ( γ ν γ μ +2g νμ ) γ ν γ μ ( γ μ γ ν +2g μν )) αδ = ( 6 + 2γμ γ μ γ μ γ μ ) αδ = ( ) αδ = 2() αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a s =3. Für den Fall Γ βγ =(γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (σ μν ) αβ (γ 5 ) βγ (σ μν ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ 5 γ μ γ ν γ 5 γ ν γ μ ) βδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ 5 γ μ γ 5 γ 5 γ ν γ 5 γ 5 γ 5 γ ν γ 5 γ 5 γ μ γ 5 γ 5 ) βδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (( γ μ )( γ ν )γ 5 ( γ ν )( γ μ )γ 5 ) βδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ ((γ μ γ ν γ ν γ μ )γ 5 ) βδ = 2(γ 5 ) αδ

16 6 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE Der Großteil der Rechnung verläuft dann total analog zum skalaren Fall. Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a p =3. Für den Fall Γ βγ =(γ τ ) βγ folgt für die linke Seite: (σ μν ) αβ (γ τ ) βγ (σ μν ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ τ ) βγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γδ = (γμ γ ν γ τ γ μ γ ν γ ν γ μ γ τ γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ ν γ μ + γ ν γ μ γ τ γ ν γ μ ) αδ = (γμ γ ν ( γ μ γ τ +2g τ μ )γ ν γ ν γ μ ( γ μ γ τ +2g τ μ )γ ν γ μ γ ν ( γ ν γ τ +2g τ ν )γ μ + γ ν γ μ ( γ ν γ τ +2g τ ν)γ μ ) αδ = ( γμ γ ν γ μ γ τ γ ν +2γ μ γ ν g τ μ γ ν + γ ν γ μ γ μ γ τ γ ν 2γ ν γ μ g τ μ γ ν + γ μ γ ν γ ν γ τ γ μ + 2γ μ γ ν g τ ν γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ μ +2γ ν γ μ g τ ν γ μ) αδ = ( γμ γ ν γ μ γ τ γ ν +8γ τ +γ ν γ τ γ ν 2γ ν γ τ γ ν +γ μ γ τ γ μ +2γ μ γ τ γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ μ + 8γ τ ) αδ = ( 2γμ γ ν γ μ γ τ γ ν +γ ν γ τ γ ν +6γ τ ) αδ = ( 2γμ ( γ μ γ ν +2g ν μ )γτ γ ν +γ ν ( γ ν γ τ +2g τ ν )+6γτ ) αδ = (8γν γ τ γ ν γ ν γ τ γ ν 6γ τ +8γ τ +6γ τ ) αδ = (γν γ τ γ ν +8γ τ ) αδ = (γν ( γ ν γ τ +2g τ ν )+8γτ ) αδ = ( 6γτ +8γ τ +8γ τ ) αδ = 0 Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a v =0. Für den Fall Γ βγ =(γ τ γ 5 ) βγ folgt für die linke Seite: (σ μν ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (σ μν ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ τ γ 5 ) βγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ τ γ 5 γ μ γ 5 γ 5 γ ν γ 5 γ 5 γ τ γ 5 γ ν γ 5 γ 5 γ μ γ 5 γ 5 ) βδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ τ ( γ μ )( γ ν )γ 5 γ τ ( γ ν )( γ μ )γ 5 ) βδ = (γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ ((γ τ γ μ γ ν γ τ γ ν γ μ )γ 5 ) βδ = 0 Der Großteil der Rechnung verläuft dann total analog zum vektoriellen Fall. Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a a =0. Für den Fall Γ βγ =(σ λτ ) βγ folgt für die linke Seite: (σ μν ) αβ (σ λτ ) βγ (σ μν ) γδ = i 8 ((γμ γ ν γ ν γ μ ) αβ (γ λ γ τ γ τ γ λ ) βγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γδ )= i 8 ((γμ γ ν γ λ γ τ γ ν γ μ γ λ γ τ γ μ γ ν γ τ γ λ + γ ν γ μ γ τ γ λ ) αγ (γ μ γ ν γ ν γ μ ) γδ )=

17 2.8. ERGEBNISS 7 i 8 (γμ γ ν γ λ γ τ γ μ γ ν γ ν γ μ γ λ γ τ γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ λ γ μ γ ν +γ ν γ μ γ τ γ λ γ μ γ ν γ μ γ ν γ λ γ τ γ ν γ μ + γ ν γ μ γ λ γ τ γ ν γ μ + γ μ γ ν γ τ γ λ γ ν γ μ γ ν γ μ γ τ γ λ γ ν γ μ ) αδ = i (γμ γ ν γ λ γ τ γ μ γ ν γ ν γ μ γ λ γ τ γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ λ γ μ γ ν + γ ν γ μ γ τ γ λ γ μ γ ν ) αδ = i (γμ γ ν γ λ ( γ μ γ τ +2g τ μ )γ ν γ ν γ μ γ λ ( γ μ γ τ +2g τ μ )γ ν γ μ γ ν γ τ ( γ μ γ λ + 2g λ μ)γ ν + γ ν γ μ γ τ ( γ μ γ λ +2g λ μ)γ ν ) αδ = i ( γμ γ ν γ λ γ μ γ τ γ ν +2γ τ γ ν γ λ γ ν +γ ν γ μ γ λ γ μ γ τ γ ν 2γ ν γ τ γ λ γ ν +γ μ γ ν γ τ γ μ γ λ γ ν 2γ λ γ ν γ τ γ ν γ ν γ μ γ τ γ μ γ λ γ ν +2γ ν γ λ γ τ γ ν ) αδ = i ( γμ γ ν γ λ γ μ ( γ ν γ τ +2g τ ν )+2γτ ( γ λ γ ν +2g νλ )γ ν + γ ν γ μ γ λ γ μ ( γ ν γ τ + 2g τ ν) 2γ ν γ τ ( γ ν γ λ +2g λ ν )+γ μ γ ν γ τ γ μ ( γ ν γ λ +2g λ ν ) 2γ λ ( γ τ γ ν +2g ντ )γ ν γ ν γ μ γ τ γ μ ( γ ν γ λ +2g λ ν )+2γν γ λ ( γ ν γ τ +2g τ ν )) αδ = i (γμ γ ν γ λ γ μ γ ν γ τ 2γ μ γ τ γ λ γ μ 8γ τ γ λ +γ τ γ λ γ ν γ μ γ λ γ μ γ ν γ τ +2γ τ γ μ γ λ γ μ + 2γ ν γ τ γ ν γ λ γ λ γ τ γ μ γ ν γ τ γ μ γ ν γ λ +2γ μ γ λ γ τ γ μ +8γ λ γ τ γ λ γ τ +γ ν γ μ γ τ γ μ γ ν γ λ 2γ λ γ μ γ τ γ μ 2γ ν γ λ γ ν γ τ +γ τ γ λ ) αδ = i (γμ γ ν ( γ μ γ λ +2g λ μ)γ ν γ τ 2( γ τ γ μ +2g τμ )γ λ γ μ γ ν γ μ ( γ μ γ λ +g λ μ)γ ν γ τ + 2γ τ ( γ λ γ μ +2g λμ )γ μ +2γ ν ( γ ν γ τ +2g τ ν )γλ γ μ γ ν ( γ μ γ τ +2g τ μ )γ νγ λ + 2γ μ γ λ ( γ μ γ τ +2g τ μ)+γ ν γ μ ( γ μ γ τ +2g τ μ)γ ν γ λ 2γ λ ( γ τ γ μ +2g τμ )γ μ 2γ ν ( γ ν γ λ +2g λ ν )γτ ) αδ = i ( γμ γ ν γ μ γ λ γ ν γ τ +8γ λ γ τ +2γ τ γ μ γ λ γ μ γ λ γ τ +γ ν γ λ γ ν γ τ 2γ ν γ λ γ ν γ τ 8γ τ γ λ +γ τ γ λ 8γ τ γ λ +γ τ γ λ +γ μ γ ν γ μ γ τ γ ν γ λ 8γ τ γ λ 2γ μ γ λ γ μ γ τ +γ τ γ λ γ ν γ τ γ ν γ λ +2γ ν γ τ γ ν γ λ +8γ λ γ τ γ λ γ τ +8γ λ γ τ γ λ γ τ ) αδ = i ( γμ γ ν γ μ ( γ ν γ λ +2g λ ν )γτ +2γ τ ( γ λ γ μ +2g λμ )γ μ +2γ ν ( γ ν γ λ +2g λ ν )γτ + γ μ γ ν γ μ ( γ ν γ τ +2g τ ν)γ λ 2γ μ ( γ μ γ λ +2g λ μ)γ τ 2γ ν ( γ ν γ τ +2g τ ν)γ λ +2γ λ γ τ 2γ τ γ λ ) αδ = i (γμ γ ν γ μ γ ν γ λ γ τ 2γ μ γ λ γ μ γ τ 8γ τ γ λ +γ τ γ λ 8γ λ γ τ +γ λ γ τ γ μ γ ν γ μ γ ν γ τ γ λ + 2γ μ γ τ γ μ γ λ +8γ λ γ τ γ λ γ τ +8γ τ γ λ γ τ γ λ +2γ λ γ τ 2γ τ γ λ ) αδ = i (γμ ( γ μ γ ν +2g ν μ )γ νγ λ γ τ 2γ μ ( γ μ γ λ +2g λ μ )γτ γ μ ( γ μ γ ν +2g ν μ )γ νγ τ γ λ + 2γ μ ( γ μ γ τ +2g τ μ)γ λ +2γ λ γ τ 2γ τ γ λ ) αδ = i ( 6γλ γ τ +8γ λ γ τ +8γ λ γ τ γ λ γ τ +6γ τ γ λ 8γ τ γ λ 8γ τ γ λ +γ τ γ λ + 2γ λ γ τ 2γ τ γ λ ) αδ = i (8γλ γ τ 8γ τ γ λ ) αδ = 2i(γ λ γ τ γ τ γ λ ) αδ = (σ λτ ) αδ Durch Vergleich mit der rechte Seite erhalten wir a t = Ergebniss Wenn mann nun die einzelnen Koeffizienten geschickt anordnet ergibt sich folgendes Schema:

18 8 KAPITEL 2. HERLEITUNG DER MATRIXELEMENTE S S V T A P 8 V T A P 8 Es ist für das selbe Λ von links nach rechts zu lesen. Diese Matrix ist die gesuchte Matrix der Koeffizienten der Fierz Identität. Durch die gut gewählte Anordnung ist sie symmetrisch bezüglich des zentralen Elements

19 Kapitel 3 Physikalische Bedeutung 3. Allgemein In der Teilchenphysik werden Fierz Identitätenimmerwiedergebraucht.Man verwendet sie zum Umschreiben von Reaktionen auf andere bis auf Amplituden gleichwertige, welche aber leichter zu berechnen sind. Man nehme vier Bispionoren ā, b, c und d und schreibe Produkte von daraus konstruierten Lorentzskalaren an: (āγ i b)( cγ i d)= k F ik (āγ i d)( cγ i b) Die Γ i entsprechen dann unseren üblichen Skalar, Pseudoskalar, Vektor, Axialvektor und Tensor. Mit Hilfen der Koeffizenten der Fierz-Matrix kann man nun die Amplituden verschiedener vergleichbarer Reaktionen ineinander umrechnen. 3.2 Beispiel: Neutrino-Elektron Streuung Am Beispiel der Neutrino-Elektron Streuung lässt sich die Wirkung der Fierz- Transformation veranschaulichen. Sie führt die beiden tree-level Feynman- Graphen (a) und (b) ineinander über: 9

20 20 KAPITEL 3. PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG

21 Literaturverzeichnis D. Bailin; Weak Interactions ; Sussex U.P. (977) L. B. Okun; Leptons and Quarks ; Elsevier Science Pub Co (987) C. C. Nishia; Simple derivation of general Fierz-type identities ; Am. J. Phys. 73(2) (2005) J. F. Nieves & P. B. Pal; Generalized Fierz identities ; Am. J. Phys. 72(8) (200) U. Langenfeld; Eine untere Massenschränke für Neutralinos aus Supernova- Kühlung ; Universität Bonn (200) 2

Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme

Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Schöberl markus.schoeberl@jku.at Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universität Linz KV Ausgewählte Kapitel

Διαβάστε περισσότερα

cos(2α) τ xy sin(2α) (7) cos(2(α π/2)) τ xy sin(2(α π/2)) cos(2α) + τ xy sin(2α) (8) (1 + ν) cos(2α) + τ xy (1 + ν) sin(2α) (9)

cos(2α) τ xy sin(2α) (7) cos(2(α π/2)) τ xy sin(2(α π/2)) cos(2α) + τ xy sin(2α) (8) (1 + ν) cos(2α) + τ xy (1 + ν) sin(2α) (9) Festigkeitslehre Lösung zu Aufgabe 11b Grundsätzliches und Vorüberlegungen: Hookesches Gesetz für den zweidimensionalen Spannungszustand: ε = 1 ( ν (1 ε = 1 ( ν ( Die beiden Messwerte ε = ε 1 und ε = ε

Διαβάστε περισσότερα

Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder...

Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder... Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder... . Der Memoriam-Garten Schön, dass ich mir keine Sorgen machen muss! Mit dem Memoriam-Garten bieten Ihnen Friedhofsgärtner, Steinmetze

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού Σχολείου

Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού Σχολείου ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΑΣΤΑΝΟΣ» Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl

Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Φιλοσοφίας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl Διπλωματική Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER IM WINTERSEMESTER 2011/12

MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER IM WINTERSEMESTER 2011/12 Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32

ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32 ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32 Πξώηε Αλάγλωζε Δξκελεία [... ] ρ ξ ε ω 1 δ ε ζ ε π α λ η α π π ζ ε ζ ζ α η 2 1 ΘΔΚΗΠ, ΓΗΘΖ, ΑΛΑΓΘΖ, ΚΝΗΟΑ / ΣΟΖ, ΣΟΔΩΛ: νλνκαηα ηνπ ΡΝ ΑΡΝΛ! Ρν Απξνζσπν Martin Heidegger, Απν Ρν Σι

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 13 Βοήθεια εκ Θεού

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 13 Βοήθεια εκ Θεού 13 Βοήθεια εκ Θεού Η εκκλησία φαίνεται πως είναι το σωστό µέρος για να πάρει κανείς πληροφορίες. Ο πάστορας εξηγεί στην Άννα τη µελωδία και της λέει ότι είναι το κλειδί για µια µηχανή του χρόνου. Αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 22 Έλα τώρα, κουνήσου

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 22 Έλα τώρα, κουνήσου 22 Έλα τώρα, κουνήσου Η Άννα µεταφέρεται στο Βερολίνο του έτους 1989, όπου κυριαρχεί ο ενθουσιασµός για την πτώση του Τείχους. Πρέπει να περάσει µέσα από το πλήθος και να πάρει τη θήκη. Θα τα καταφέρει;

Διαβάστε περισσότερα

Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen

Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen GABLER RESEARCH Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen Eine empirische Analyse in unterschiedlichen

Διαβάστε περισσότερα

PASSANT A: Ja, guten Tag. Ich suche den Alexanderplatz. Können Sie mir helfen?

PASSANT A: Ja, guten Tag. Ich suche den Alexanderplatz. Können Sie mir helfen? 03 Για την οδό Kantstraße Η Άννα ξεκινά για την Kantstraße, αλλά καθυστερεί, επειδή πρέπει να ρωτήσει πώς πάνε µέχρι εκεί. Χάνει κι άλλο χρόνο, όταν εµφανίζονται πάλι οι µοτοσικλετιστές µε τα µαύρα κράνη

Διαβάστε περισσότερα

Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα

Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα 13.12.2016 Liebe Eltern des Kindergartens und der Vorschule, Die Weihnachtszeit ist eingeläutet.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ. 3000 Bern www.grgb.ch

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ. 3000 Bern www.grgb.ch ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ COMMUNAUTÈ HELLÈNIQUE DE BERNE 3000 Bern www.grgb.ch Δευτέρα 9 Δεκεμβρίου 2013 Αγαπητά μέλη και φίλοι της Κοινότητας γεια σας Το 2013 φτάνει στο τέλος τους και ήρθε η ώρα να σας

Διαβάστε περισσότερα

Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στη σειρά. Σχηματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν.

Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στη σειρά. Σχηματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν. Station Luft Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στ σειρά. Σχματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν. der Sturm die Windkraftanlage θύελλα οι ανεμογε

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΙ ΡΕΤΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ Δρα ΠΕΤΡΟΥ Μ. ΚΑΡΕΚΛΑ ΣΤΗΝ ΤΕΛΕΤΗ ΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΠΟΥ ΔΙΑΚΡΙΘΗΚΑΝ ΣΤΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΟΥ ΔΙΟΡΓΑΝΩΝΕΙ Η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ HÖRVERSTEHEN. Mai 2012

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ HÖRVERSTEHEN. Mai 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful

Διαβάστε περισσότερα

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 14 Στο παρελθόν για το µέλλον

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 14 Στο παρελθόν για το µέλλον 14 Στο παρελθόν για το µέλλον Η Άννα ανακαλύπτει τη µηχανή του χρόνου και µαθαίνει ότι οι τροµοκράτες θέλουν να εξαλείψουν ένα ιστορικό γεγονός. Αλλά ποιο; Ο παίκτης τη στέλνει στη χρονιά 1961. Της µένουν

Διαβάστε περισσότερα

Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya Differentialrechnung: Aufgaben Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Erste Ableitung der elementaren Funktionen......................... Ableitungsregeln......................................

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός 2ο μάθημα

Ηλεκτρισμός 2ο μάθημα Μάθημα (τίτλος): Ένα κλειστό κύκλωμα Επίπεδο επάρκειας γλώσσας A1 A2 B1 B2 C1 Τάξη/βαθμίδα: 5η τάξη Αριθμός μαθητών στην τάξη: 11 Αντικείμενο: Φυσική Θέμα: Ηλεκτρισμός Προϋποθέσεις / απαιτήσεις: (π.χ.:

Διαβάστε περισσότερα

Niveau A1 & A2 PHASE 3 ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Niveau A1 & A2 PHASE 3 ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen

Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen Bergische Universität Wuppertal Lehr- und Forschungsgebiet Geotechnik Bodenmechanik Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen Bergische Universität Wuppertal Lehr- und Forschungsgebiet

Διαβάστε περισσότερα

ένωση κλασικού αθλητισµού ωδώνη Ιωαννίνων 6η συνάντηση ακαδηµιών

ένωση κλασικού αθλητισµού ωδώνη Ιωαννίνων 6η συνάντηση ακαδηµιών ένωση κλασικού αθλητισµού ωδώνη Ιωαννίνων 6η συνάντηση ακαδηµιών Γιάννενα 29 Απριλίου 2012 30μ αγοριών Α-Β Δημοτικού 1 ΛΙΟΥΓΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 2003 5 39 2 ΓΙΟΥΓΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2004 5 44 3 ΚΑΜΠΕΡΗΣ ΠΕΤΡΟΣ 2003

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE MONATSZEITUNG DEUTSCHLAND UND EUROPA

ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE MONATSZEITUNG DEUTSCHLAND UND EUROPA ΕLLINIKI GNOMI ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014 ΕΤΟΣ 16ο ΑΡ. ΦΥΛΛΟΥ 168 www.elliniki-gnomi.eu ΕΔΡΑ ΒΕΡΟΛΙΝΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΝΩΜΗ April 2014 η εφημερίδα που διαβάζεται! ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE

Διαβάστε περισσότερα

Griechische und römische Rechtsgeschichte

Griechische und römische Rechtsgeschichte ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 7: Gortyna Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

2012-2013 Πειραιάς:17/10/2012

2012-2013 Πειραιάς:17/10/2012 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ (ΕΞΑΜΗΝΟ: 1) ΨΣ-001-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I 08:15 08:15-10:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Π.Δ. 11:15 11:15-13:00, 103 ΨΣ-003-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 10:15 10:15-12:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Χαιρετισμοί Opening ceremony Begrüßung

Χαιρετισμοί Opening ceremony Begrüßung Χαιρετισμοί Opening ceremony Begrüßung Γεώργιος Σπυρ. Δοντᾶς (Πρόεδρος τῆς Ὀργανωτικῆς Ἐπιτροπῆς καὶ Πρόεδρος τῆς ἐν Ἀθήναις Ἀρχαιολογικῆς Ἑταιρείας) Ἀγαπητοὶ Σύνεδροι, Κυρίες καὶ Κύριοι, Ὡς πρόεδρος τῆς

Διαβάστε περισσότερα

22 είκοσι δύο. Κύπρος. Ελλάδα. Ελβετία. Αυστρία. Γερμανία. Από πού είσαι; Είμαι από τη Γερμανία. Εσύ; Από την Κύπρο. Από πού είσαι; Είμαι από

22 είκοσι δύο. Κύπρος. Ελλάδα. Ελβετία. Αυστρία. Γερμανία. Από πού είσαι; Είμαι από τη Γερμανία. Εσύ; Από την Κύπρο. Από πού είσαι; Είμαι από 3 τρί 1. μάθμα Wie heißen die Länder auf Griechisch? Bitte verbinden Sie die Namen mit den richtigen Zeichnungen. Hören Sie dann die Ländernamen und sprechen Sie sie nach. 1.18 Ελλάδα Αυστρία Κύπρος Ελβετία

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 25 Απρόοπτες δυσκολίες

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 25 Απρόοπτες δυσκολίες 25 Απρόοπτες δυσκολίες Ο χρόνος τελειώνει και η Άννα πρέπει να αποχαιρετήσει τον Paul, για να επιστρέψει στην 9 η Νοεµβρίου 2006. Για την εκπλήρωση της αποστολής της αποµένουν τώρα µόνο 5 λεπτά. Θα φθάσουν;

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 17 Οδοφράγµατα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 17 Οδοφράγµατα 17 Οδοφράγµατα 50 λεπτά ακόµα: Ο παίκτης αποφασίζει να τα παίξει όλα για όλα και να εµπιστευθεί την ταµία. Το ράδιο µεταδίδει ότι οι Ανατολικογερµανοί στρατιώτες στήνουν οδοφράγµατα. Αυτό είναι το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική. 2. Μπορείς να το πεις κι αλλιώς. Χρησιμοποίησε τα ρήματα schmecken και gefallen

1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική. 2. Μπορείς να το πεις κι αλλιώς. Χρησιμοποίησε τα ρήματα schmecken και gefallen Name: Datum: Klasse: Note: 1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική eine Torte, eine Limonade, die Blumen, der Arzt, die Tür, der Schulbus a) Peter ist krank. Seine Mutter ruft an. b)

Διαβάστε περισσότερα

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie A. Goniometrie A.1. Additionstheoreme für α β für α = β (α ± β) =α cos β ± cos α β ( α) =α cos α cos (α ± β) =cosα cos β β = cos α tan α ± tan β tan (α ± β)

Διαβάστε περισσότερα

Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Fragen wo man ein Formular findet. Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde

Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Fragen wo man ein Formular findet. Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde - Allgemeines Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Fragen wo man ein Formular findet Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wo ein Dokument

Διαβάστε περισσότερα

ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω!

ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω! Assimilation νλ λλ νμ μμ νβ/νπ/νφ μβ/μπ/μφ νγ/νκ/νχ γγ/γκ/γχ attisches Futur bei Verben auf -ίζω: -ιῶ, -ιεῖς, -ιεῖ usw. Dehnungsaugment: ὠ- ὀ- ἠ- ἀ-/ἐ- Zur Vorbereitung die Stammveränderungs- und Grundformkarten

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch NIVEAU B1 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 24 Το ρολόι χτυπάει

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 24 Το ρολόι χτυπάει 24 Το ρολόι χτυπάει Η Άννα βρίσκει πάλι τη µεταλλική θήκη που είχε κρύψει το 1961, αλλά δεν µπορεί να την ανοίξει, επειδή έχει σκουριάσει. Όταν τελικά τα καταφέρνει, βρίσκει µέσα ένα παλιό κλειδί. Το κλειδί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΕΔΡΙΚΟ ΔΙΑΤΑΓΜΑ ΥΠ ΑΡΙΘΜ. 147 «Οργανισμός της Περιφέρειας Ιονίων Νήσων» Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ

ΠΡΟΕΔΡΙΚΟ ΔΙΑΤΑΓΜΑ ΥΠ ΑΡΙΘΜ. 147 «Οργανισμός της Περιφέρειας Ιονίων Νήσων» Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΠΡΟΕΔΡΙΚΟ ΔΙΑΤΑΓΜΑ ΥΠ ΑΡΙΘΜ. 147 «Οργανισμός της Περιφέρειας Ιονίων Νήσων» Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Έχοντας υπόψη: 1. Τις διατάξεις: α. Των παραγράφων 1 και 7 του άρθρου 241 του ν.3852/2010

Διαβάστε περισσότερα

Griechische und roemische Rechtsgeschichte

Griechische und roemische Rechtsgeschichte ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und roemische Rechtsgeschichte Ενότητα 4: Griechische Rechtsgeschichte Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ HISTORISCHES WÖRTERBUCH DER PHILOSOPHIE * THEO KOBUSCH Ruhr Universität Bochum

ΤΟ HISTORISCHES WÖRTERBUCH DER PHILOSOPHIE * THEO KOBUSCH Ruhr Universität Bochum ΤΟ HISTORISCHES WÖRTERBUCH DER PHILOSOPHIE * THEO KOBUSCH Ruhr Universität Bochum Τ ο Historisches Wörterbuch der Philosophie (εφεξής HWPh), ο πρώτος τόμος του οποίου εκδόθηκε το 1971 και ο τελευταίος

Διαβάστε περισσότερα

FLASHBACK: Die Spieldose, aha? Sie ist kaputt. Kein Problem Anna, ich repariere sie dir.

FLASHBACK: Die Spieldose, aha? Sie ist kaputt. Kein Problem Anna, ich repariere sie dir. 06 Η γυναίκα µε τα κόκκινα Η Άννα συναντά µια γυναίκα που ισχυρίζεται ότι ήταν φίλες το 1961. Κι εκτός αυτού η Άννα τα χάνει µε την πληροφορία ότι την κυνηγά µια γυναίκα ντυµένη στα κόκκινα. Σε κάθε γωνιά

Διαβάστε περισσότερα

Überblick und Einführung: Was lernen Sie im Abschnitt zu den Pronomen?

Überblick und Einführung: Was lernen Sie im Abschnitt zu den Pronomen? Die neugriechischen Pronomen: Überblick und Einführung: Was lernen Sie im Abschnitt zu den Pronomen? In diesem Kapitel werden Sie alles rund um die Pronomen im Griechischen und ihren Gebrauch lernen. Wie

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 7. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 7. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 7 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 29: B Γυμνασίου, Μέρος B, Κεφάλαιο 1, Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων Β Γυμνασίου, Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Αρ. Φακέλου.: Ku 622.00/3 (Παρακαλούμε να αναφέρεται στην απάντηση) Αριθμός Ρημ. Διακ: 22/14 2 αντίγραφα Συνημμένα: -2- ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Η Πρεσβεία της Ομοσπονδιακής Δημοκρατίας

Διαβάστε περισσότερα

BIOABFALL. Beantworte folgende Fragen: 1. Welche Farbe hat die Biotonne a) blau b) grün c) gelb d) rot. 2. Was kommt in die Biotonne?

BIOABFALL. Beantworte folgende Fragen: 1. Welche Farbe hat die Biotonne a) blau b) grün c) gelb d) rot. 2. Was kommt in die Biotonne? BIOABFALL Mein Name ist Laura. Zuhause essen wir viel Obst und Gemüse. Die Abfälle, wie zum Beispiel Orangen- oder Kartoffelschalen, aber auch Teeblätter oder Eierschalen, sammeln wir in der Küche in einem

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ. ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ. ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ. ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 18-12-2015 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 14:30 23.00 23.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ ΤΗΣ: 18-12-2015

Διαβάστε περισσότερα

Computerlinguistik. Lehreinheit 10 : Computerlinguistik Hausarbeit - Aufgaben

Computerlinguistik. Lehreinheit 10 : Computerlinguistik Hausarbeit - Aufgaben Computerlinguistik Lehreinheit 10 : Computerlinguistik Hausarbeit - Aufgaben Dr. Christina Alexandris Nationale Universität Athen Deutsche Sprache und Literatur Περιεχόμενα Ενότητας Κατευθυντήριες Γραμμές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΠΑΙΔΙΚΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΔΟΠΑΦΜΑΗ

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΠΑΙΔΙΚΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΔΟΠΑΦΜΑΗ Τ Μ Η Μ Α Α Θ Λ Η Τ Ι Σ Μ Ο Υ Δ/νση : Ν. Ξυλούρη & Σόλωνος γωνία Ηράκλειο : 19/05 /2015 Πατέλες Ηράκλειο Τ.Κ 71306 Πληροφ : Συνάνης Σωτήρης. Τηλ. 2810-215087.Φαξ.2810-215099 Ε-mail : sot_sinanis@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer

ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΩΡΙΜΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer Kassandra Teliopoulos IEKEP 06/03/06 ΜΕΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΛΕΙΔΙΑ Einige Gedankenansätze!Στις περισσότερες χώρες μέλη της Ε.Ε. μεγάλης ηλικίας εργαζόμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Griechische und roemische Rechtsgeschichte

Griechische und roemische Rechtsgeschichte ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und roemische Rechtsgeschichte Ενότητα 2: Griechisce Rechtsgeschichte Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΝΙΑΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 90% ΒΑΣΕΙΣ 2008 ΒΑΣΕΙΣ 2009 ΔΙΑΦΟΡΑ. Κωδ. Ε.Π. ΙΔΡ. ΤΜΗΜΑΤΑ (ΟΛΑ) ΠΟΛΗ

ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΝΙΑΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 90% ΒΑΣΕΙΣ 2008 ΒΑΣΕΙΣ 2009 ΔΙΑΦΟΡΑ. Κωδ. Ε.Π. ΙΔΡ. ΤΜΗΜΑΤΑ (ΟΛΑ) ΠΟΛΗ ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΝΙΑΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 90% Κωδ. Ε.Π. ΙΔΡ. ΤΜΗΜΑΤΑ (ΟΛΑ) ΠΟΛΗ ΒΑΣΕΙΣ 2008 ΒΑΣΕΙΣ 2009 ΔΙΑΦΟΡΑ 543 Β,Ε ΤΕΙ Αγροτικής Ανάπτυξης και Διοίκησης Αγροτικών Επιχειρήσεων Θεσσαλονίκη 10.024 9.253-771

Διαβάστε περισσότερα

7. GWB-NOVELLE: Η ΡΙΖΙΚΗ ΑΝΑ ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΓΕΡ- ΜΑΝΙΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ ΠΕΡΙ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

7. GWB-NOVELLE: Η ΡΙΖΙΚΗ ΑΝΑ ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΓΕΡ- ΜΑΝΙΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ ΠΕΡΙ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ 7. GWB-NOVELLE: Η ΡΙΖΙΚΗ ΑΝΑ ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΓΕΡ- ΜΑΝΙΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ ΠΕΡΙ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ηµήτρη-παναγιώτη Λ. Τζάκα, ικηγόρου, LL.M. (Hamburg) Αριστείδη Χ. Καλαφάτη, ικηγόρου, LL.M. (Hamburg) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1

UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1 Seite 1 von 6 UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1 AUFGABE 1: VIER ELEMENTE Σύμφωνα με μια αρχαία θεωρία τα πάντα στο σύμπαν μας αποτελούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 1 από 106 23/11/2012

Σελίδα 1 από 106 23/11/2012 ΑΓΓΔΗΟΥΔΗΡΟΤΡΓΟ ΑΚΣΗΝΟΛΟΓΟ-ΑΚΣΗΝΟΓΗΑΓΝΧΣΖ ΠΑΠΑΝΑΓΝΟΤ ΑΝΔΣΖ ΣΗΜΠΗΓΖ ΘΔΟΓΧΡΟ ΔΜΗΣΔΛΟΤ 6 ΜΔΓΑΡΟ ΜΟΤΗΚΖ ΑΘΖΝΑ 11528 Κ. ΠΑΛΑΗΟΛΟΓΟΤ 5, Ν. ΜΤΡΝΖ 17523 2107215984 210 7711312 6932372949 ΓΔΤΣΔΡΑ-ΣΔΣΑΡΣΖ 18.00-21.00ΠΔΜΠΣΖ

Διαβάστε περισσότερα

6. Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik

6. Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik 6. Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik Grundgleichungen (diese werden im Folgenden begründe) Klein-Gordon-Gl. Maxwell-Gl. (äquvivalen) ( ) + + m ie e ie Nomenklaur

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 08:00 20.00 20.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

89 = 51 89 89 = 68 89

89 = 51 89 89 = 68 89 .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 76 A Οµάδας.i) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία x + y + 0. d ( ) + 3+ +.ii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία y x 3

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟ μνονρολο ΝΣ Ν Σ Ν Ι Θ ΣΙΚ - ΚΟ Μ ΣΟΛΟΓΙ

ΛΟ μνονρολο ΝΣ Ν Σ Ν Ι Θ ΣΙΚ - ΚΟ Μ ΣΟΛΟΓΙ Λ Ξ Ν Ρ ΙΟΝΣ ΥΝΟΛΟΓΙΚΟΝ ΚΠ Ι ΤΣΙΚΟΝ Ι ΡΤΜ ΝΘ ΛΟΝΙΚ ΥΟΛ Ν Π ΓΓ ΛΜ ΣΧΝΝΤΓ Ι ΝΚ ΙΝΠΡΟΝΟΙ ΣΜ Μ Ν Ι Θ ΣΙΚ -ΚΟ Μ ΣΟΛΟΓΙ ΠΣΤΥΙ Κ Ν ΡΓ Ι Νη ΝΘΫηαμ ΛΟ μνονρολο ΝΣ Ν Σ Ν Ι Θ ΣΙΚ - ΚΟ Μ ΣΟΛΟΓΙ Οθκηα πυθυηκνφκδ β

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΕΙΜΕΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΗΝ ΖΑΙΔΑ ΤΟΥ ΑΛΕΞΗ ΠΑΝΣΕΛΗΝΟΥ: ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΔΙΑΚΕΙΜΕΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΗΝ ΖΑΙΔΑ ΤΟΥ ΑΛΕΞΗ ΠΑΝΣΕΛΗΝΟΥ: ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1 Μάρθα Βασιλειάδη-Μιχάλης Λασιθιωτάκης Πανεπιστήμιο Γενεύης ΔΙΑΚΕΙΜΕΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΗΝ ΖΑΙΔΑ ΤΟΥ ΑΛΕΞΗ ΠΑΝΣΕΛΗΝΟΥ: ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ «Το μυθιστόρημα είναι η κατασκευή ενός μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN

STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN 16.4.2014 DE Amtsblatt der Europäischen Union C 117/125 STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN Staatliche Beihilfen SA.37220 (2014/C) (ex 2013/NN) Umstrukturierungsbeihilfe für Cyprus Airways (Public) Ltd und SA.38225

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï ï Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία, επίπεδο). Να γνωρίζει τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 ο Κριτήριο (Π-Γ-Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. 2 ο Κριτήριο (Γ-Π-Γ) Αν

Διαβάστε περισσότερα

FLASHBACK: Der Mechanismus ist nicht komplett, verstehst du? Es fehlt ein Teil. Seit neunzehnhunderteinundsechzig.

FLASHBACK: Der Mechanismus ist nicht komplett, verstehst du? Es fehlt ein Teil. Seit neunzehnhunderteinundsechzig. 12 Εκκλησιαστική µουσική Στην Άννα µένουν ακόµα 65 λεπτά. Στην εκκλησία ανακαλύπτει ότι το µουσικό κουτί είναι κοµµάτι που λείπει από το αρµόνιο. Η γυναίκα στα κόκκινα εµφανίζεται και ζητά από την Άννα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β λυκείου (Θεωρία) Κεφάλαιο 7: Αναλογίες

Γεωμετρία Β λυκείου (Θεωρία) Κεφάλαιο 7: Αναλογίες Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ 19 www.nea-simboli.gr 10100055-6 Γεωμετρί Β λυκείυ (Θεωρί) Κεφάλι 7: Αλγίες Θεώρημ Θλή: Α τρεις ή περισσότερες πράλληλες ευθείες τέμυ δύ άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ πυ ρίζτι στη μί είι

Διαβάστε περισσότερα

GOETHE-ZERTIFIKAT B2 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014

GOETHE-ZERTIFIKAT B2 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014 Zertifiziert durch Πιστοποίηση: Durchführungsbestimmungen ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΣΛΟ ΜΓΛΓΣΗ : ΠΑΡΑΓΩΓΗ, ΓΚΣΤΠΩΗ, ΓΜΦΑΚΓΛΩΗ ΛΟΓΑΡΙΑΜΩΝ ΤΔΡΓΤΗ. ΠΡΟΤΠΟΛΟΓΙΜΟ : 15.000,00 πιέμκ ημο ακαιμγμύκημξ Φ.Π.Α.

ΣΙΣΛΟ ΜΓΛΓΣΗ : ΠΑΡΑΓΩΓΗ, ΓΚΣΤΠΩΗ, ΓΜΦΑΚΓΛΩΗ ΛΟΓΑΡΙΑΜΩΝ ΤΔΡΓΤΗ. ΠΡΟΤΠΟΛΟΓΙΜΟ : 15.000,00 πιέμκ ημο ακαιμγμύκημξ Φ.Π.Α. Δ Ε Υ Α Κ Δ Η Μ Ο Σ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Η Υ Δ Ρ Ε Τ Η Α Π Ο Χ Ε Σ Ε Τ Η ΚΙΛΚΙ 1ο ΧΛΜ ΚΙΛΚΙ - ΞΗΡΟΒΡΤΗ, 61100 - ΑΦΜ 090133167 ΔOY ΚΙΛΚΙ ΣΗΛ: 23410 29330 FAX: 23410 29320 Email: info@deyak.gr ΣΙΣΛΟ ΜΓΛΓΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια στο ποίημα του Παρμενίδη

Σχόλια στο ποίημα του Παρμενίδη Γιάννη Τζαβάρα 1 Σχόλια στο ποίημα του Παρμενίδη «Φιλοσοφικά Δημοσιεύματα 2016» 1 Ο Γιάννης Τζαβάρας (1950- ) είναι ομότιμος καθηγητής του Πανεπιστημίου Κρήτης. Σχόλια στο ποίημα του Παρμενίδη ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η παράσταση αυτή ήταν πολύ καλή και οργανωµένη, να συνεχίσουµε έτσι. Langer ( ιευθύντρια του Albrecht-Ernst Gymnasium)

Η παράσταση αυτή ήταν πολύ καλή και οργανωµένη, να συνεχίσουµε έτσι. Langer ( ιευθύντρια του Albrecht-Ernst Gymnasium) ΓΕΡΜΑΝΙΑ 2008 Πειραµατικό Σχολείο Πανεπιστηµίου Πατρών Καλησπέρα, Είµαστε η Μαρία και ο Θοδωρής από το Πειραµατικό Σχολείο Πατρών. Έχουµε συγκεντρώσει τις απόψεις Ελλήνων και Γερµανών για τη συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11B «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Διάθλαση Πρίσματα Φακοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11B «Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα» Διάθλαση Πρίσματα Φακοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ B «Γωμτρική οπτική - οπτικά όργανα» Διάλασ Πρίσματα Φακοί Μαρία Κατσικίν katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Διάλασ του φωτός προσπίπτουσα ανακλώμν Νόμοι τς ιάλασς ιαλώμν Α. Ηπροσπίπτουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κατάλογος Πλειστηριασμών Αθηνών - Πειραιώς

Κατάλογος Πλειστηριασμών Αθηνών - Πειραιώς Κατάλογος Πλειστηριασμών Αθηνών - Πειραιώς Τεύχος 689-168/2015 Ημερομηνία Έκδοσης: 20/07/15 Αριθμός Πλειστηριασμών: 210 Εμφανιζόμενοι Πλειστηριασμοί: 210 Α/Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΚΙΝΗΤΟΥ ΕΙΔΟΣ ΑΚΙΝΗΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΗ / Περιοχή Δράμας: Αιτήσεις σύνδεσης φωτοβολταϊκών συστημάτων του Ειδικού Προγράμματος

ΔΕΗ / Περιοχή Δράμας: Αιτήσεις σύνδεσης φωτοβολταϊκών συστημάτων του Ειδικού Προγράμματος 1 ΜΗΤΡΟΥΣΗΣ Ν. ΑΓΓΕΛΟΣ & ΣΙΑ 10ο χλμ ΔΡΑΜΑΣ-ΚΑΒΑΛΑΣ 66300 ΔΟΞΑΤΟ Δράμας 9,90 24/9/2009 1/10/2009 22/3/2010 2 ΦΡΑΓΚΟΥΛΗ ΟΥΡΑΝΙΑ ΔΟΞΑΤΟ ΔΡΑΜΑΣ 66300 ΔΟΞΑΤΟ Δράμας 9,90 25/9/2009 1/10/2009 19/4/2010 3 ΓΚΟΝΤΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία του/της συζύγου ή του/ της συντρόφου του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση

Στοιχεία του/της συζύγου ή του/ της συντρόφου του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση Επώνυμο και όνομα του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση Name und der antragstellenden Person Αριθμός επιδόματος τέκνων Kindergeld-Nr. F K KG 51R Παράρτημα Εξωτερικό (Ausland) της αίτησης για γερμανικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου!! αν α = ρ η ε λέγεται τέµνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΣηάηαΝΛκΰκγ λαπ έαμ. ΑΣ ΙΝΚαζαηΪ αμ. αλδθσν ιϊηβθκνβί1γ. δ Ϊ εκυ αμν ΑέΝ βηβ λαεκπκτζκυ- δ Ϊε πλν Φδζκ κφέαμν Παθ\ηέκυΝ Αγβθυθ

ΣηάηαΝΛκΰκγ λαπ έαμ. ΑΣ ΙΝΚαζαηΪ αμ. αλδθσν ιϊηβθκνβί1γ. δ Ϊ εκυ αμν ΑέΝ βηβ λαεκπκτζκυ- δ Ϊε πλν Φδζκ κφέαμν Παθ\ηέκυΝ Αγβθυθ ΣηάηαΝΛκΰκγ λαπ έαμ ΑΣ ΙΝΚαζαηΪ αμ βη δυ δμν κνηϊγβηαμνη α ο ο ο α ου πα α ο αλδθσν ιϊηβθκνβί1γ δ Ϊ εκυ αμν ΑέΝ βηβ λαεκπκτζκυ- δ Ϊε πλν Φδζκ κφέαμν Παθ\ηέκυΝ Αγβθυθ 1 βν δ α εαζέαμνβν υγτθβν κυνζκΰκγ

Διαβάστε περισσότερα

Bohrbild im Längsholz. Einstellbereich

Bohrbild im Längsholz. Einstellbereich Montageanleitung/Construction Manual GIGANT 120 Fräsbild Art. Nr. K051 a=h x 0,7 im Längsholz Bauzugelassene Holzbauverbindung im Hirnholz 26,5 ±0,25 40 +2-0 h a + 47 Schraubenbild im Längsholz Schraubenbild

Διαβάστε περισσότερα

Εξερεύνηση. Διερεύνηση

Εξερεύνηση. Διερεύνηση Σχέσεις γωνιών που σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη. Εξερεύνηση Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται τέσσερα κτίρια και δύο δέντρα. Nα περιγράψετε την θέση των Α και Ε σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Mathematik. Note. Fußball. Müsli. Stadion

Mathematik. Note. Fußball. Müsli. Stadion Seite 5, Übung 1 Fußball Bus Schokolade Auto Stadion Socke Schuh Marmelade Automat Name Adresse Note Mathematik Seite 6, Übung a Auto Name Adresse Schuh Schokolade Mathematik Note Fußball Müsli Stadion

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΝΟΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜ.ΠΡΩΤ:36231/24-9-13 ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΝΟΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜ.ΠΡΩΤ:36231/24-9-13 ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΡΙΘΜ.ΠΡΩΤ:36231/24-9-13 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό της αριθμ. 16/2013 τακτική συνεδρίασης του Δημοτικού Συμβουλίου Καστοριάς.

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 23 Θα τα πούµε µετά

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 23 Θα τα πούµε µετά 23 Θα τα πούµε µετά Μια µοτοσικλέτα που πάει στη Bernauer Straße παίρνει την Άννα. Την οδηγεί ο Emre Ogur που της εύχεται καλή τύχη στο Βερολίνο. Αλλά φτάνει αυτό για να ξεφύγει από τη γυναίκα µε τα κόκκινα

Διαβάστε περισσότερα

B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6

B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6 B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6 Name, Vorname:... Teil 1: Hörverstehen * Hören Sie den Text und beantworten Sie kurz (mit 1-2 Wörtern) die Fragen in der folgenden

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υπχρωτικό 3 υ Εξαμήνυ) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτς, Επίκυρς Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 3 : ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ. Θέμα : «Εκπαιδευτικοί που εμπίπτουν στις διατάξεις του άρθρου 59 παρ. 17 εδάφ. α του Ν. 3966/2011 σχολικού έτους 2012-2013»

ΑΠΟΦΑΣΗ. Θέμα : «Εκπαιδευτικοί που εμπίπτουν στις διατάξεις του άρθρου 59 παρ. 17 εδάφ. α του Ν. 3966/2011 σχολικού έτους 2012-2013» E Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Δ Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ----- Δ/ΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Τηλ.: 2103442387, 2103442789

Διαβάστε περισσότερα

2. Σε καθεμία από ηις παρακάηφ προηάζεις σπάρτει ένα οσζιαζηικό ζε αιηιαηική ή ζε δοηική. Υπογράμμιζε ηο και ζσμπλήρφζε ηο ζε ονομαζηική

2. Σε καθεμία από ηις παρακάηφ προηάζεις σπάρτει ένα οσζιαζηικό ζε αιηιαηική ή ζε δοηική. Υπογράμμιζε ηο και ζσμπλήρφζε ηο ζε ονομαζηική Grivaki Schule für Fremdsprachen Finaltest zu Grammatikland 1 Kapitel 6 + 7 A Klasse 1. Σσμπλήρφζε ηοσς πίνακες der Papagei Akkusativ Der Bleistift Dativ das Huhn Die Puppe eine Tafel Ein Lineal Ein Esel

Διαβάστε περισσότερα

1 @ copyright @ www.learngerman.gr

1 @ copyright @ www.learngerman.gr 1 @ copyright @ www.learngerman.gr SPRACHE ΠΡΑΧΕ ΓΛΩΑ Sprichst du Griechisch? Σπριχςτ ντου γκρίχιςσ? Μιλάσ ελλθνικά; Sprichst du Deutsch? Σπριχςτ ντου ντόθτςσ? Μιλάσ γερμανικά; Welche Sprache sprichst

Διαβάστε περισσότερα

ΕΒ ΟΜΑ ΙΑΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2012-2013

ΕΒ ΟΜΑ ΙΑΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2012-2013 ΕΒ ΟΜΑ ΙΑΙΟ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2012-2013 Θ. Ζυγκιρίδης- Μ. Λούτα- Θ. Ζυγκιρίδης- Μ. Λούτα- Θ. Ζυγκιρίδης- Π. Αγγελίδης- Μ. Λούτα- Π. Αγγελίδης-,Β Θ. Ζυγκιρίδης- Π. Αγγελίδης- Μ. Λούτα- Π. Αγγελίδης-,Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΣΤΥΙ ΚΗΝ ΡΓ Ι Ο Σ ΟΠΟΡΧ ΗΝΚ Ι ΗΝ ΠΙ Ρ ΗΝΣΗ Ν Ι ΣΡΟΦΗ ΝΚ ΙΝ Ο Σ ΟΠΟΡΧΣΙΚΧΝΝ ΝΘΡΧΠΧΝ ΙΧ ΝΝΙ ΟΤΝ ΤΜ Λ

ΠΣΤΥΙ ΚΗΝ ΡΓ Ι Ο Σ ΟΠΟΡΧ ΗΝΚ Ι ΗΝ ΠΙ Ρ ΗΝΣΗ Ν Ι ΣΡΟΦΗ ΝΚ ΙΝ Ο Σ ΟΠΟΡΧΣΙΚΧΝΝ ΝΘΡΧΠΧΝ ΙΧ ΝΝΙ ΟΤΝ ΤΜ Λ Λ Ξ Ν Ρ ΙΟΝΣ ΥΝΟΛΟΓΙΚΟΝΙ ΡΤΜ ΝΘ ΛΟΝΙΚΗ ΥΟ ΛΗΝΣ ΥΝΟΛΟΓΙ ΝΓ ΧΠΟΝΙ Ν Σ ΥΝΟΛΟΓΙ ΝΣΡΟΦΙΜΧΝΝ Κ ΙΝ Ι ΣΡΟΦΗ Ν ΣΜΗΜ Ν Ι ΣΡΟΦΗ ΝΚ ΙΝ Ι ΙΣΟΛΟΓΙ ΠΣΤΥΙ ΚΗΝ ΡΓ Ι Ο Σ ΟΠΟΡΧ ΗΝΚ Ι ΗΝ ΠΙ Ρ ΗΝΣΗ Ν Ι ΣΡΟΦΗ ΝΚ ΙΝ ΛΛΧΝΝΠ Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Β! &% Β #! #.!!)!.? # #. &%Β!. Β, 2,% Β Β! Β 8Β! & ΒΒ +& Β!3 ΚΑ ΣΣ

Β! &% Β #! #.!!)!.? # #. &%Β!. Β, 2,% Β Β! Β 8Β! & ΒΒ +& Β!3 ΚΑ ΣΣ ? #.Α &# ).!, #Α 0,+. 5 ψβ ) ) :6Ν[ο! Α! ψ?.#α!η,0, 5 δ+ ι:6ν[εξξ> ψ2 &. πυ+ ι:6ν[θφσσθϖπ[< ι:6ν[α++α> # Β! &% Β #! #.!!)!.? # #. &%Β!. Β, 2,% Β Β! Β 8Β! & ΒΒ +& Β!3 ΚΑ ΣΣ # Γ #! 5 4 # #..#0) # ). %? &!

Διαβάστε περισσότερα

Hessisches Kultusministerium. Schulbücherkatalog. für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen.

Hessisches Kultusministerium. Schulbücherkatalog. für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen. Hessisches Kultusministerium Schulbücherkatalog für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen Schuljahr 2013/2014 Unterrichtsmaterialien, die im uftrag des Hessischen Kultusministeriums

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ 15 Ιουν 2014 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4 x 50m ΜΙΚΣΗ ΟΜΑΓΙΚΗ - ΚΟΡΙΣΙΑ 9 ΔΣΩΝ (50) 15/6/2014 Ππωί ΣΔΛΙΚΔ ΔΙΡΔ 27

ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ 15 Ιουν 2014 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4 x 50m ΜΙΚΣΗ ΟΜΑΓΙΚΗ - ΚΟΡΙΣΙΑ 9 ΔΣΩΝ (50) 15/6/2014 Ππωί ΣΔΛΙΚΔ ΔΙΡΔ 27 ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ 15 Ιουν 2014 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4 x 50m ΜΙΚΣΗ ΟΜΑΓΙΚΗ - ΚΟΡΙΣΙΑ 9 ΔΣΩΝ (50) 15/6/2014 Ππωί ΣΔΛΙΚΔ ΔΙΡΔ 27 1 201 Α.. ΑΡΗ ΘΔ/ΝΙΚΗ 02:54.64 1 162419 ΓΘΝΕΔΞΑ ΞΔΡΟΝΞΝΙΝ ΔΙΔΛΖ 2005 ΑΟΖΠ 162208 ΑΞΝΠΡΝΙΝ ΗΩΑΛΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόεδρος: Ιωάννης Σίδερης, Αντιπρόεδρος. Εισηγήτρια: Ευγενία Προγάκη, Αρεοπαγίτης. Δικηγόροι: Ιω. Μαλταμπές, Κων. Γεωργιάδης (Πάρεδρος ΝΣΚ).

Πρόεδρος: Ιωάννης Σίδερης, Αντιπρόεδρος. Εισηγήτρια: Ευγενία Προγάκη, Αρεοπαγίτης. Δικηγόροι: Ιω. Μαλταμπές, Κων. Γεωργιάδης (Πάρεδρος ΝΣΚ). ΓΑΙΕΣ ΚΥΚΛΑΔΩΝ. Διακρίσεις γαιών κατά το οθωμανικό δίκαιο. Μετά την απελευθέρωση με τις διατάξεις των πρωτοκόλλων της 3.2.1830 «περί ανεξαρτησίας της Ελλάδος», και τα ερμηνευτικά των εν λόγω πρωτοκόλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Technisches Handbuch. Pergola Top Star 120X70. metaform Bescha ungssysteme

Technisches Handbuch. Pergola Top Star 120X70. metaform Bescha ungssysteme 02 Technisches Handbuch Pergola Top Star 120X70 Exklusiv von Metaform ΑVΕΕ entworfen, ist es die Innova on bei der professionellen Bescha ung, denn das wegweisende Hebesystem erlaubt es Ihnen, sie an jeder

Διαβάστε περισσότερα

In meiner Freizeit... Στον ελεύθερό μου χρόνο...

In meiner Freizeit... Στον ελεύθερό μου χρόνο... In meiner Freizeit... Στον ελεύθερό μου χρόνο... Υποδειγματικό Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Γερμανική Γλώσσα Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΝΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΘΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ορθή Επανάληψη (ως την προσθήκη τριών ΚΑΕ)

Ορθή Επανάληψη (ως την προσθήκη τριών ΚΑΕ) Ορθή Επανάληψη (ως την προσθήκη τριών ΚΑΕ) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Δ/νση: Λ. Συγγρού 15 17 Τ.Κ.: 117 43 Αθήνα Τηλ.: 213 20 63 776 213 20 63 537 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι-Α: Στοιχεία Υποδομής/ Διαδρομές Τμήμα Πειραιάς Αθήνα Πλατύ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι-Α: Στοιχεία Υποδομής/ Διαδρομές Τμήμα Πειραιάς Αθήνα Πλατύ Σελίδα:Π-1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι-Α: Στοιχεία Υποδομής/ Διαδρομές Τμήμα Πειραιάς Αθήνα Πλατύ Αρχικό Σημείο Διαδρομής/ Κόμβος Δικτύου Τελικό Σημείο Διαδρομής/ Κόμβος Δικτύου Συμπεριλαμβανόμενο στο Δίκτυο ΤΕΝ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα