Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya"

Transcript

1 Differentialrechnung: Aufgaben Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

2 ii Inhaltsverzeichnis. Erste Ableitung der elementaren Funktionen Ableitungsregeln Einige Regeln Rechenregeln mit Potenzen Rechenregeln mit Wurzeln Rechenregeln mit Logarithmen Trigonometrische Formeln Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitungen von Logarithmusfunktionen Logarithmische Differentiation Ableitungsregeln: Lösungen Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitungen von Logarithmus- und Eponentialfunktionen Logarithmische Differentiation

3 Ableitungsregeln. Erste Ableitung der elementaren Funktionen C = 0 C = const, n = n n n R log a = ln a a > 0, ln = > 0 e = e, a = ln a a sin = cos, cos = sin tan = cos, cot = sin arcsin =, arccos = arctan = +, arccot = + sinh = cosh, cosh = sinh tanh = cosh, coth = sinh arsinh = +, arcosh = artanh =, arcoth =. Ableitungsregeln Faktorregel: y = C f C = const, y = C f Summenregel: y = f + f f n, y = f + f f n Produktregel: y = u v, y = u v + u v Quotientenregel: y = u v, y = u v u v v Kettenregel: y = F u, y = dy d = dy du du d

4 Einige Regeln 3. Einige Regeln 3.. Rechenregeln mit Potenzen a n a m = a n + m, a n b n = a b n, a n a m = an m, a n b n = a b n a 0 =, a n = a n, an = a n a n m = a n m 3.. Rechenregeln mit Wurzeln Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Eponenten a m n = n a m, n a n b = n a b, n n n a b = a b m n n a = m a = m n a 3.3. Rechenregeln mit Logarithmen log a y = log a + log a y log a = log y a log a y log a r = r log a log a = log a

5 Einige Regeln 3.4. Trigonometrische Formeln sin α + cos α = sin α = sin α, cos α = cos α π sin α = cos α, π cos α = sin α sin α = sin π α, cos α = cos π α sin α = sin α cos α, cos α = cos α sin α sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β, cos α ± β = cos α cos β sin α sin β α + β α β α + β α β sin α + sin β = sin cos, sin α sin β = cos sin α + β α β α + β α β cos α + cos β = cos cos, cos α cos β = sin sin sin α sin β = sin α cos β = [ cos α β cos α + β ], cos α cos β = [ sin α β + sin α + β ] [ cos α β + cos α + β ] sin α = cos α, cos α = + cos α sin 3 α = 4 3 sin α sin 3α, cos3 α = cos3α + 3 cos α 4

6 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4. Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4.. Summenregel Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen a, b, c, m, n R: A Beispiel: f = 3 3 = 3 3, f = = = a f = , g = b f = , g = c f = m 5 n, g = a m + n b cm n A Beispiel : Beispiel : f = = = f = = = 5 5 f = 4 3 = /4 /3 = 4 3 = f = = = a f = +, g = , h = b f = + +, g = c f = 3, g = 3 4, h = 3 3 6

7 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A3 Beispiel: f = = 3 3 /3 = 3 3 4/3 = 3 4/9 = 3 9 = 7 f = 7 7 = = = a f = b f =, g =, g = 3, h = , h = 3 4 A4 a f = sin + tan + ln, g = 3 sin 7 cos b f = tan cot, g = sinh + 3 cosh A5 Bestimmen Sie die drei ersten Ableitungen folgender Funktionen: a f = e b f = sin + cos c f = ln + e d f = sinh + cosh e f = n A6 4.. Produktregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Produktregel zu differenzieren: a f = +, g = + b f = + + 3, g = + + c f = +, g = +

8 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A7 a f = ln, g = + ln b f = cos, g = cot, h = tan c f = e sin 4.3. Quotientenregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Quotientenregel zu differenzieren: A8 a f =, g = +, h = 3 5 b f = +, g = +, h = + c f = + +, g =, h = d f =, g = +, h = 3 4 e f =, g = +, h = A9 a f =, g = 3, h = 3 4 b f = c f = + + +, g = 3 + +, h = , g = d f = , g = e f = , g = f f = + +, g =, h =, h = g f = + + +, g = +, h = +

9 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen 4.4. Kettenregel Folgende Funktionen sind unter Verwendung der Kettenregel zu differenzieren: A0 a f = 6, g = + 5, h = b f = 4 5, g = , h = c f = 4 4, g = 3 3 7, h = A a f = 6, g = , h = ln 4 b f = + 6, g = 3 + 4, h = c f = 3 3, g = , h = 5 3 A f = 4, g = , h = A3 f = +, g = 5 +, h = + 4 A4 f = +, g = 3 7, h = + 4 A5 a f = sin 3, g = sin 4 +, h = sin 4 b f = cos, g = cos3 +, h = cos 3 4 c f = sin, g = sin 3, h = sin d f = cos, g = cos 5, h = cos 5 3 +

10 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A6 a f = sin, g = sin 5, h = 5 sin, p = 5 sin 3 b f = cos, g = cos, h = 4 cos, p = 4 cos + 6 c f = d f = sin 5, g =, h = sin 5 cos, g = cos 3, h = sin sin 5 +, p = sin cos sin, p = sin 3 + cos A7 a f = sin 3, g = sin 3, h = sin 3 b f = cos 4, g = cos 4, h = cos 4 c f = sin +, g = sin +, h = d f = cos 3, g = cos 3 7, h = sin 3 + cos 4 + A8 a f = sin sin + π, g = sin sin + π b f = cos cos + π, g = cos cos + π A9 a f = sin cos, g = sin 3 cos + π b f = sin cos, g = sin +, h = sin + c f = sin cos 3, g = sin cos A0 f = e, g = e 3, h = e, p = e + 4 A a f = 3 e, g = e, h = e 3, e p = b f = e, g = + 3 e, h = e, p = 3 e

11 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A a f = cos e, g = cos 3 e, h = sin e b f = sin + cos e, g = e sin, h = e sin Ableitungen von Logarithmusfunktionen A3 Regeln: ln u = u u, eu = e u u, a u = a u ln a u Beispiel : f = ln 4 + 3, f = ln ln u = 4 + 3, ln = ln u = u u f 4 = ln = = Beispiel : f = ln + 3 = 3 ln +, f = 3 + a f = ln, g = ln, h = + ln b f = ln 5, g = ln 3, h = ln 3 + c f = + ln +, g = ln, h = ln d f = ln 4 + 4, g = ln, h = ln 3 8 e f = ln + 4, g = ln 5, h = ln A4 Beispiel : Beispiel : f = ln 5 = ln 5 = 5 ln, f = 5 f = ln + = ln + = ln +, f = + a f = ln, g = ln 3, h = ln n b f = ln +, g = ln +, h = ln + + c f = ln + +, g = ln

12 Aufgaben zur Bestimmung von Ableitungen A5 Beispiel : f = ln = ln + 3 f = 3 = + 3 Beispiel : f = ln 3 = 3 ln = 9 3 ln 9 = 3 = ln [3 3 + ] = ln ln + 3 = 3 f = 3 [ln 3 + ln 3 + ] [ 3 + ] = a f = ln, g = ln + + +, h = ln + 4 b f = ln, g = ln , h = ln c f = ln, g = ln, h = ln A6 a f = ln cos, g = ln sin, h = ln tan b f = ln cos 3, g = ln sin 5, h = ln tan c f = ln cos, g = ln sin 3, h = ln tan + 4 d f = ln cos 3, g = ln sin 3, h = ln tan + 4 A7 a f = ln cos, g = ln + sin, h = ln tan b f = ln 3 cos, g = ln 4 + sin, h = ln 3 tan A8 a f = ln, g = 3 ln, h = + ln A9 f = + ln ln, g = ln, h = lnsin

13 Logarithmische Differentiation 5. Logarithmische Differentiation Bei manchen Differentiationsaufgaben ist es sinnvoll, die Funktionsgleichung y = f vor dem Differenzieren zu logarithmieren. Das bietet sich immer dann an, wenn sich die Funktionsgleichung durch Anwendung der Logarithmengesetze wesentlich vereinfachen lässt. A30 Benutzen Sie die Methode der logarithmischen Differentiation, um die Produktregel für die Funktion f = u v und die Quotientenregel für die Funktion f = u /v zu beweisen. A3 A3 A33 A34 Bestimmen Sie die Ableitungen folgender Funktionen durch Logarithmische Differentiation Beispiel : a y = 5, y = 3 4, y = 7 3 b y = e, y = e e c y = e, y = e a y = e, y = 4 3 e b y = +, y = + 7 c y = e a y = + 4, b y =, c y = y = +, ln y = ln ln + = + = y y = + = y = y = + = = + =

14 Logarithmische Differentiation Beispiel : + y = = + + ln y = + 3 ln = ln ln ln + = + = 3 ln + + ln ln + ln y = y y = y = y = + = Aufgabe: a y = +, b y = +, c y = , d y = + A35 a y = sin 3, b y = 3 cos, c y = tan e

15 Ableitungsregeln: Lösungen 6. Ableitungsregeln: Lösungen 6.. Summenregel L a f = , f = 3 6 g = , g = b f = , f = g = = + 3, g = c f = m 5 n, f = m m 5 n n g = a m + n b cm n, g = a m m + n b n + c n m m n L a f = +, f = + g = = 3/ + 4/3 + 8/3, g = 3 / / /3 = h = = /3 + /5, h = 3 / /5 = b f = / + / + 3/, f = 3 g = = /3 + 3/5 + 5/6, g = 3 4/ /5 5 6 /6 = c f = g = h = 3 = /6, f = 6 7/6 = 3 4 = /, g = / 3 3 =, h 6 = 6 6

16 Ableitungsregeln: Lösungen L3 a f = g = = 3/4, f = 3 4 /4 = = /3, g = 3 /3 = 3 3 h = 3 4 = /3, h = 3 /3 = b f = g = h = 3 3 = 7/8, f = 7 8 /8 = = 5/8, g = 5 8 7/8 = = 7/8, h = 7 8 /8 = L4 a f = sin + tan + ln, f = cos + + tan + g = 3 sin 7 cos, g = 3 cos + 7 sin b f = tan cot, f = sin cos g = sinh + 3 cosh, g = cosh + 3 sinh L5 a f = 4 + 3/ + e, f = e f = e, f = 4 b f = sin + cos, f = cos sin f = sin cos, f = cos + sin 3 + e 8 3/ c f = ln + e, f = + e f = + e, f = 3 + e d f = sinh + cosh, f = f = f = sinh + cosh e f = n , f = n n n n

17 Ableitungsregeln: Lösungen 6.. Produktregel L6 a f = +, f = g = + =, g = b f = + + 3, f = g = + + = + = 4, g = 4 3 c f = + =, f = g = +, g = + L7 a f = ln, f = ln + g = + ln, g = ln + + b f = cos, f = cos sin g = cot, g = cot + cot = cot cot h = tan, h = tan + + tan, c f = e sin, f = e sin e cos

18 Ableitungsregeln: Lösungen L Quotientenregel a f =, g = +, h = 3 5, f = g = h = b f = +, f = g = +, h = +, g = h = c f = +, f = g = +, h = + 3 4, d f = g = h = g = h = , f = + +, g = + 3 4, h = e f = = + = + g = + = + = +,, f = g = 4 h = = = h = 7,

19 Ableitungsregeln: Lösungen L9 a f =, f = 3 = 3 g = 3, g = 3 4 = 3 4 h = 3 4, h = 3 4 = 3 4 = g Die Ableitungen f, g und h kann man auch mit Hilfe der Summenregel bestimmen, indem man die Funktionen f, g und h entsprechend darstellt: f =, g = 3, h = 3 = g b f = g = +, f = , g = h = , h = c f = + + g = = = h = = +, + + = +, = = + 3 3, f = g = 4 h = 3 d f = = 3 9 = = 3 + 3, f = g = g = + = + + = + + = + e f = = + 3 = +, g = = 3 =, f = g = +

20 Ableitungsregeln: Lösungen f f = +, f = + + g =, g = h =, h = / + = 3/ g f = + + +, f = g = +, g = + h =, h 3 = + + 3/ 6.4. Kettenregel L0 a f = 6, f = 6 5 g = + 5, g = h = 4 3 4, h = b f = 4 5, f = g = , g = h = 4 3 3, h = = c f = g = h = h = 3 4 4, f = = , g = = 4 3 3, =

21 Ableitungsregeln: Lösungen L a f = 6, f = 6 5 g = , g = 3 / /3 + 3 h = ln 4, h = 4 + /3 + ln 3 = /3 b f = + 6, f = + 6 g = 3 + 4, g = h = 3 3 3, h = 3 3 /3 c f = 3 3, f = 3 3 g = , g = 3 h = 5 3, h = / /3 L f = g = h = 4, f 3 = , g = , h = L3 f = +, f = + g = 5 +, g = 5 + 4/5 + h = + 4 =, h = 3/

22 Ableitungsregeln: Lösungen L4 f = +, f = = g = h = + 3 7, g = 4, h = = /3 + 4 L5 a f = sin 3, f = 3 cos 3 g = sin 4 +, g = 4 cos 4 + h = sin 4, h = cos 4 b f = cos = cos, f = sin g = cos3 +, g = 3 sin 3 + h = cos 3 4, h = 4 3 sin 3 4 c f = sin, f = cos g = sin 3, g = 3 cos 3 3 h = sin 3 + 4, h = 3 cos d f = cos, f = sin g = cos 5, g = 5 sin 5 5 h = cos 5 3 +, h = 3 5 sin

23 Ableitungsregeln: Lösungen L6 a f = sin, f = cos sin g = sin 5, g = 5 cos 5 sin 5 h = 5 sin, h = 5 p = 5 sin 3, p = 5 cos sin 4/5 = 5 b f = cos, f = sin cos g = cos, g = h = 4 cos, h = 4 p = 4 cos + 6, p = c f = g = h = p = d f = g = h = p = sin 5, cos 5 sin 4 cos 3 sin 3 4/5 = 5 sin cos sin cos 3/4 = 4 f = 5 cos5 sin 5 sin 5, g = 5 sin sin 5 +, h = sin 4 cos 3 sin + 6 cos + 6 3/4 = cos 5 sin 5 3/ = 5 cos sin 5 + sin, p = cos sin cos, f = cos 3, g = 3 cos sin 3 +, h = sin cos sin 3 cos 3 3/ = 3 sin sin 3 + cos 3 5 sin 4 3 cos 5 sin sin cos 5 + sin 5 + sin 3 cos 3 3 sin cos cos cos 3 + sin 3 + sin cos, p = cos cos + sin sin cos

24 Ableitungsregeln: Lösungen L7 a f = sin 3, f = 3 cos 3 g = sin 3, g = 3 cos sin h = sin 3, h = 6 cos sin b f = cos 4, f = 4 3 sin 4 g = cos 4, g = 4 sin cos 3 h = cos 4, h = 8 sin cos 3 c f = sin +, f = sin + cos + + g = sin +, g = cos sin + h = sin 3 +, h = 3 sin cos sin 3 + d f = cos 3, f = 3 sin 3 cos 3 3 g = cos 3 7, g = 3 sin 3 cos 3 7 h = cos 4 +, h = cos3 sin cos 4 + L8 a f = sin sin + π = sin, f = 4 sin cos = sin4 g = sin sin + π = sin sin, g = cos sin sin cos b f = cos cos + π = cos sin = sin, f = cos = sin cos g = cos cos + π = cos sin, g = sin sin cos cos

25 Ableitungsregeln: Lösungen L9 a f = sin cos, f = sin cos sin 3 = sin cos sin g = sin 3 cos + π = sin 3 cos, g = 6 sin3 cos cos3 + sin 3 sin = sin3 sin sin3 6 cos cos3 b f = sin cos, f = cos g = sin +, g = + cos + h = sin +, h = cos + c f = sin cos 3, f = cos cos 3 3 sin sin 3 g = sin cos, g = cos sin = cos L0 f = e, g = e 3, h = e, f = e g = e 3 h = e = e p = e + 4, p = + 3 e + 4 L a f = 3 e, f = e 3 + g = e, g = e + h = e 3, p = e, h = e 3 3 e 4 p = e b f = e, f = e g = + 3 e, = e 3 4 e = e g = e h = e, h = e + p = 3 e, p = 3 e

26 Ableitungsregeln: Lösungen L a f = cos e, f = e cos sin g = cos 3 e, g = e cos 3 3 sin 3 h = sin e, h = e cos + sin b f = sin + cos e, f = e 3 cos sin g = e sin, g = cos e sin h = e sin, h = cos e sin Ableitungen von Logarithmus- und Eponentialfunktionen L3 a f = ln, f = + ln g = ln, g = + ln = + ln h = + ln, h = ln b f = ln 5, f = g = ln 3, g = ln 3 + h = ln 3 +, h = ln c f = + ln +, f = + ln + = [ + ln + ] g = ln, g = ln + + h = ln, h = ln + = [ln + ] d f = ln 4 + 4, f = = g = ln, g = 4 ln + 4 h = ln 3 8, h = ln = ln e f = ln + 4, f = + 4 g = ln 5, g = 5 h = ln + 3 3, h = + 3

27 Ableitungsregeln: Lösungen L4 a f = ln = ln, f = g = ln 3 = 3 ln, h = ln n = n ln, g = 3 h = n b f = ln +, f = + g = ln +, g = + h = ln + +, h = c f = ln + +, f = = g = ln, g = +

28 Ableitungsregeln: Lösungen L5 a f = ln, f = g = ln, g = h = ln = ln = ln 4 + h = = ln ln = ln b f = ln = + ln = ln ln + + f = = + + g = ln 3 + +, g = h = ln 5 4, h = 5 c f = ln, f = + g =, g = h =, h = =

29 Ableitungsregeln: Lösungen L6 a f = ln cos, f = sin cos, g = ln sin, h = ln tan, g = cos sin, h = + tan tan b f = ln cos 3, f 3 sin 3 = cos 3, g = ln sin 5, g = h = ln tan, = sin cos cos 5 sin 5, h = + tan tan = sin cos c f = ln cos, f = sin cos, g = ln sin 3, g = cos 3 3 sin 3, h = ln tan + 4, h = + 4 cos + 4 sin + 4 sin 3 d f = ln cos 3, f = 3 cos 3, g = ln h = ln sin 3, g = tan + 4, h = 3 cos 3 3 sin 3, + 4 cos + 4 sin + 4.

30 Logarithmische Differentiation L7 a f = ln cos = ln cos, f = sin cos, g = ln + sin = ln + sin, g = + cos + sin h = ln tan = ln tan, h = sin cos b f = ln 3 cos = 3 ln cos, f = sin 3 cos, g = ln 4 + sin = 4 ln + sin, g = + cos 4 + sin tan tan = 3 h = ln 3 tan = 3 ln tan, h = 3 = cos 3 sin cos = 3 sin cos = 3 sin. tan cos = L8 a f = ln, f = ln ln g = 3, g = 3 ln ln + h =, h = ln 3 ln + ln + ln L9 f = ln + ln, f + + ln = g = ln, g = + ln h = lnsin, h = cos sin = cot L30 7. Logarithmische Differentiation f f = u v, ln f = ln u + ln v, f u f = f u + v u = u v v u + v = u v + v u v = u u + v v f = u v, ln f = ln u ln v, f f u f = f u v = u u v v u v = u v v uv v = u u v v = u v v u v

31 Logarithmische Differentiation L3 a y = 5, y = 5 ln 5, y = 3 4, y = ln 3 y = 7 3, y = ln 7 b y = e, ln y = e ln, y = e e + ln y = e e, ln y = ln + e, y = e e + e c y = e, ln y = ln e = ln y y =, y = e y = e, y = e = e L3 a y = e, ln y = ln, y = e y = 4 3 e, ln y = ln ln, y = 4 3 e 3 b y = +, ln y = ln + = ln + y = + ln y = + 7, ln y = ln + 7 = ln + 7 y = + 7 ln c y = e 3 4, ln y = ln e 3 4 = + 3 ln + ln 4 ln y y = , y = e

32 Logarithmische Differentiation L33 a y = + 4 y, ln y = ln + 4 ln +, y = y = = b y =, ln y = ln, y = ln y y = ln c y =, ln y = ln = ln = ln y y = ln +, y = ln + = ln + L34 a y = +, ln y = ln ln +, y y = + y = + = + + b y = +, ln y = ln + ln, y y = + y = = c y =, ln y = ln + ln ln + 3 ln y y = , y = d y =, ln y = ln + ln, y y = + y = + + = +

33 Logarithmische Differentiation L35 a y = sin 3, ln y = 3 ln sin y y = 3 ln sin + 3 cos sin, y = sin 3 3 ln sin + 3 cos sin b y = 3 cos, ln y = ln 3 + ln + ln cos y = 3 cos + ln cos tan = 3 cos + ln cos tan c y = tan e, ln y = ln tan y y = cos tan, y = tan e cos tan = e cos tan

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Basic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x)

Basic Formulas. 8. sin(x) = cos(x π 2 ) 9. sin 2 (x) =1 cos 2 (x) 10. sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) 11. cos(2x) =2cos 2 (x) tan(x) = 1 cos(2x) Bsic Formuls. n d =. d b = 3. b d =. sin d = 5. cos d = 6. tn d = n n ln b ln b b cos sin ln cos 7. udv= uv vdu. sin( = cos( π 9. sin ( = cos ( 0. sin( = sin(cos(. cos( =cos (. tn( = cos( sin( 3. sin(b

Διαβάστε περισσότερα

Formulario di Trigonometria

Formulario di Trigonometria Formulario di Trigonometria Indice degli argomenti Formule fondamentali Valori noti delle funzioni trigonometriche Simmetrie delle funzioni trigonometriche Relazioni tra funzioni goniometriche elementari

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER IM WINTERSEMESTER 2011/12

MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER IM WINTERSEMESTER 2011/12 Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme MATERIALIEN ZUR VORBEREITUNG AUF DIE KLAUSUR INFORMATIK II FÜR VERKEHRSINGENIEURWESEN ANTEIL VON PROF. VOGLER

Διαβάστε περισσότερα

Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder...

Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder... Wenn ihr nicht werdet wie die Kinder... . Der Memoriam-Garten Schön, dass ich mir keine Sorgen machen muss! Mit dem Memoriam-Garten bieten Ihnen Friedhofsgärtner, Steinmetze

Διαβάστε περισσότερα

ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω!

ἀξιόω! στερέω! ψεύδομαι! συγγιγνώσκω! Assimilation νλ λλ νμ μμ νβ/νπ/νφ μβ/μπ/μφ νγ/νκ/νχ γγ/γκ/γχ attisches Futur bei Verben auf -ίζω: -ιῶ, -ιεῖς, -ιεῖ usw. Dehnungsaugment: ὠ- ὀ- ἠ- ἀ-/ἐ- Zur Vorbereitung die Stammveränderungs- und Grundformkarten

Διαβάστε περισσότερα

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie A. Goniometrie A.1. Additionstheoreme für α β für α = β (α ± β) =α cos β ± cos α β ( α) =α cos α cos (α ± β) =cosα cos β β = cos α tan α ± tan β tan (α ± β)

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Niveau A1 & A2 PHASE 3 ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Niveau A1 & A2 PHASE 3 ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION)

ΤΡΟΠΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOL ATION) . 1 (INTERPOLATION) A a 1x1 [ ] Sin[ A] [ Sin[ a]], Cos[ A] [ Cos[ a]], Tan[ A] [ Tan[ a]], Cot[ A] [ Cot[ a]]. a x + yi x, y R Sin[ a] Cosh[ y] Sin[ x] + Cos[ x] Sinh[ y] i Cos[ a] Cos[ x] Cosh[ y] Sin[

Διαβάστε περισσότερα

Technisches Handbuch. Pergola Top Star 120X70. metaform Bescha ungssysteme

Technisches Handbuch. Pergola Top Star 120X70. metaform Bescha ungssysteme 02 Technisches Handbuch Pergola Top Star 120X70 Exklusiv von Metaform ΑVΕΕ entworfen, ist es die Innova on bei der professionellen Bescha ung, denn das wegweisende Hebesystem erlaubt es Ihnen, sie an jeder

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008. Fierz Identität. Handout. Datum: 27. 5. 2008. von Christoph Saulder

Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008. Fierz Identität. Handout. Datum: 27. 5. 2008. von Christoph Saulder Übungen zu Teilchenphysik 2 SS 2008 Fierz Identität Handout Datum: 27. 5. 2008 von Christoph Saulder 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 2 Herleitung der Matrixelemente 7 2. Ansatz...............................

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού Σχολείου

Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού Σχολείου ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΑΣΤΑΝΟΣ» Το σύστημα των αξιών της ελληνικής κοινωνίας μέσα στα σχολικά εγχειρίδια της Λογοτεχνίας του Δημοτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32

ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32 ΟΔΟΘ ΔΘΖΗΣΘΟΣ Θ,28-32 Πξώηε Αλάγλωζε Δξκελεία [... ] ρ ξ ε ω 1 δ ε ζ ε π α λ η α π π ζ ε ζ ζ α η 2 1 ΘΔΚΗΠ, ΓΗΘΖ, ΑΛΑΓΘΖ, ΚΝΗΟΑ / ΣΟΖ, ΣΟΔΩΛ: νλνκαηα ηνπ ΡΝ ΑΡΝΛ! Ρν Απξνζσπν Martin Heidegger, Απν Ρν Σι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Αρ. Φακέλου.: Ku 622.00/3 (Παρακαλούμε να αναφέρεται στην απάντηση) Αριθμός Ρημ. Διακ: 22/14 2 αντίγραφα Συνημμένα: -2- ΑΝΤΙΓΡΑΦΟ Ρ Η Μ Α Τ Ι Κ Η Δ Ι Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Η Πρεσβεία της Ομοσπονδιακής Δημοκρατίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ HÖRVERSTEHEN. Mai 2012

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ HÖRVERSTEHEN. Mai 2012 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στη σειρά. Σχηματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν.

Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στη σειρά. Σχηματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν. Station Luft Aufgabe 1 Dreierkette Legt mit den Bild- und Wortkarten eine Dreierkette. Τρεις στ σειρά. Σχματίστε τριάδες με εικόνες και λέξεις που ταιριάζουν. der Sturm die Windkraftanlage θύελλα οι ανεμογε

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch Niveau A1 & A2 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

A1 A2 B2 C1. www.dielupe.gr. Ολοκληρωμένες προτάσεις για αποτελεσματική διδασκαλία για όλες τις ηλικίες και όλα τα επίπεδα

A1 A2 B2 C1. www.dielupe.gr. Ολοκληρωμένες προτάσεις για αποτελεσματική διδασκαλία για όλες τις ηλικίες και όλα τα επίπεδα A1 A2 www.dielupe.gr Εκδόσεις για τη Γερμανική Γλώσσα B2 C1 Ολοκληρωμένες προτάσεις για αποτελεσματική διδασκαλία για όλες τις ηλικίες και όλα τα επίπεδα Αναλυτική παρουσίαση των βιβλίων στην ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung, Lebenslanges Lernen und Religionsangelegenheiten Griechisches Staatszertifikat

Διαβάστε περισσότερα

FLASHBACK: Der Mechanismus ist nicht komplett, verstehst du? Es fehlt ein Teil. Seit neunzehnhunderteinundsechzig.

FLASHBACK: Der Mechanismus ist nicht komplett, verstehst du? Es fehlt ein Teil. Seit neunzehnhunderteinundsechzig. 12 Εκκλησιαστική µουσική Στην Άννα µένουν ακόµα 65 λεπτά. Στην εκκλησία ανακαλύπτει ότι το µουσικό κουτί είναι κοµµάτι που λείπει από το αρµόνιο. Η γυναίκα στα κόκκινα εµφανίζεται και ζητά από την Άννα

Διαβάστε περισσότερα

Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Fragen wo man ein Formular findet. Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde

Auswandern Dokumente. Dokumente - Allgemeines. Fragen wo man ein Formular findet. Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde - Allgemeines Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Fragen wo man ein Formular findet Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wann ein Dokument ausgestellt wurde Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Fragen wo ein Dokument

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ

Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ TΑ TΡΙΑ ΣΥΝΗΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ O P(,, ) O φ φ φ P(, φ, ) P(,, φ) O φ (α) (β) (γ) (α) Κατεσιαό σύστηµα συτεταγµέω,,. (σχήµα (α)) (β) Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful

Διαβάστε περισσότερα

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based

English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based English PDFsharp is a.net library for creating and processing PDF documents 'on the fly'. The library is completely written in C# and based exclusively on safe, managed code. PDFsharp offers two powerful

Διαβάστε περισσότερα

B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6

B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6 B.A.-Eingangstest Neugriechisch (Niveau TELC B1) MUSTERTEST Seite 1 von 6 Name, Vorname:... Teil 1: Hörverstehen * Hören Sie den Text und beantworten Sie kurz (mit 1-2 Wörtern) die Fragen in der folgenden

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 17 Οδοφράγµατα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 17 Οδοφράγµατα 17 Οδοφράγµατα 50 λεπτά ακόµα: Ο παίκτης αποφασίζει να τα παίξει όλα για όλα και να εµπιστευθεί την ταµία. Το ράδιο µεταδίδει ότι οι Ανατολικογερµανοί στρατιώτες στήνουν οδοφράγµατα. Αυτό είναι το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 24 Το ρολόι χτυπάει

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 24 Το ρολόι χτυπάει 24 Το ρολόι χτυπάει Η Άννα βρίσκει πάλι τη µεταλλική θήκη που είχε κρύψει το 1961, αλλά δεν µπορεί να την ανοίξει, επειδή έχει σκουριάσει. Όταν τελικά τα καταφέρνει, βρίσκει µέσα ένα παλιό κλειδί. Το κλειδί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl

Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Φιλοσοφίας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Η προβληματική της Protention στη φαινομενολογία του χρόνου του Husserl Διπλωματική Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer

ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΩΡΙΜΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Bildung älterer Arbeitnehmer Kassandra Teliopoulos IEKEP 06/03/06 ΜΕΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΛΕΙΔΙΑ Einige Gedankenansätze!Στις περισσότερες χώρες μέλη της Ε.Ε. μεγάλης ηλικίας εργαζόμενοι

Διαβάστε περισσότερα

1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική. 2. Μπορείς να το πεις κι αλλιώς. Χρησιμοποίησε τα ρήματα schmecken και gefallen

1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική. 2. Μπορείς να το πεις κι αλλιώς. Χρησιμοποίησε τα ρήματα schmecken και gefallen Name: Datum: Klasse: Note: 1. Βρες το σωστό αντικείμενο και συμπλήρωσε το σε αιτιατική eine Torte, eine Limonade, die Blumen, der Arzt, die Tür, der Schulbus a) Peter ist krank. Seine Mutter ruft an. b)

Διαβάστε περισσότερα

PASSANT A: Ja, guten Tag. Ich suche den Alexanderplatz. Können Sie mir helfen?

PASSANT A: Ja, guten Tag. Ich suche den Alexanderplatz. Können Sie mir helfen? 03 Για την οδό Kantstraße Η Άννα ξεκινά για την Kantstraße, αλλά καθυστερεί, επειδή πρέπει να ρωτήσει πώς πάνε µέχρι εκεί. Χάνει κι άλλο χρόνο, όταν εµφανίζονται πάλι οι µοτοσικλετιστές µε τα µαύρα κράνη

Διαβάστε περισσότερα

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε 1 ÈÖ Ð Ñ Για να είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green, θαπρέπειηομογενής εξίσωση Ly =+ Ο.Σ.Σ. να έχει ως μοναδική λύση τη μηδενική. α) Η ομογενής εξίσωση y =έχει λύση y = A + B, από τις δεδομένες

Διαβάστε περισσότερα

Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα

Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα Weihnachtsbrief aus Kindergarten und Vorschule Χριστουγεννιάτικο γράμμα από το προνηπιακό/νηπιακό τμήμα 13.12.2016 Liebe Eltern des Kindergartens und der Vorschule, Die Weihnachtszeit ist eingeläutet.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΛΟΡΕΛΑΪ DIE LORELEY FABEL

Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΛΟΡΕΛΑΪ DIE LORELEY FABEL Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΛΟΡΕΛΑΪ DIE LORELEY FABEL Η Λορελάϊ, είναι η Γοργόνα του Μεγαλέξανδρου στη γερμανική της έκδοση Ή μια Σειρήνα απ την Οδύσσεια που απομακρύνθηκε απ τις συντρόφισσές της και βρέθηκε στον Ρήνο.

Διαβάστε περισσότερα

Lebenslauf, Dr. Lambis Tassakos

Lebenslauf, Dr. Lambis Tassakos Lebenslauf, Dr. Lambis Tassakos 1959 Geboren in Athen 1963 1965 Deutschland-Aufenthalt (Bielefeld) Deutscher Kindergarten, erste private Griechische Grundschule in Deutschland 1966 1976 Griechenlandaufenthalt

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 13 Βοήθεια εκ Θεού

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 13 Βοήθεια εκ Θεού 13 Βοήθεια εκ Θεού Η εκκλησία φαίνεται πως είναι το σωστό µέρος για να πάρει κανείς πληροφορίες. Ο πάστορας εξηγεί στην Άννα τη µελωδία και της λέει ότι είναι το κλειδί για µια µηχανή του χρόνου. Αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Das Präpositionalobjekt Εμπρόθετο αντικείμενο

Das Präpositionalobjekt Εμπρόθετο αντικείμενο Πολλά ριματα ςυντάςςονται με εμπρόκετο αντικείμενο. Η πρόκεςθ κακορίηει τθν πτώςθ του ουςιαςτικοφ. Das Präpositionalobjekt Εμπρόθετο αντικείμενο Το εμπρόθετο αντικείμενο αφορά πρόςωπο warten auf + Akk.

Διαβάστε περισσότερα

FLOTT 3 - LEKTION 1. 1 η. S. 8, Teil A München. dran (S. 10) Hausaufgaben: LB S. 12-13, München ist auch für Kinder schön! S.

FLOTT 3 - LEKTION 1. 1 η. S. 8, Teil A München. dran (S. 10) Hausaufgaben: LB S. 12-13, München ist auch für Kinder schön! S. FLOTT 3 Πλάνο διδασκαλίας* ιδασκαλία σε φροντιστήριο ή ιδιαίτερο µάθηµα : 4 ώρες την οµάδα Σύνολο ωρών ετησίως κατά προσέγγιση: 120-130 (34 οµάδες) Κάθε κεφάλαιο θα πρέπει να διδάσκεται σε συνολικά 10-12

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ. 3000 Bern www.grgb.ch

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ. 3000 Bern www.grgb.ch ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ ΒΕΡΝΗΣ COMMUNAUTÈ HELLÈNIQUE DE BERNE 3000 Bern www.grgb.ch Δευτέρα 9 Δεκεμβρίου 2013 Αγαπητά μέλη και φίλοι της Κοινότητας γεια σας Το 2013 φτάνει στο τέλος τους και ήρθε η ώρα να σας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE MONATSZEITUNG DEUTSCHLAND UND EUROPA

ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE MONATSZEITUNG DEUTSCHLAND UND EUROPA ΕLLINIKI GNOMI ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2014 ΕΤΟΣ 16ο ΑΡ. ΦΥΛΛΟΥ 168 www.elliniki-gnomi.eu ΕΔΡΑ ΒΕΡΟΛΙΝΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΝΩΜΗ April 2014 η εφημερίδα που διαβάζεται! ΜΗΝΙΑΙΑ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟ ΓΕΡΜΑΝΙΑ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΗ GRIECHISCH-DEUTSCHE

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 0 5 Ασκήσεις παραγώγισης γινοµένου No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen

Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen Bergische Universität Wuppertal Lehr- und Forschungsgebiet Geotechnik Bodenmechanik Tafeln für Erddruck- und Erdwiderstandsbeiwerte für ebene Gleitflächen Bergische Universität Wuppertal Lehr- und Forschungsgebiet

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 09 Στοιχεία που λείπουν

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 09 Στοιχεία που λείπουν 09 Στοιχεία που λείπουν Η Άννα φεύγει από το θέατρο, αλλά η γυναίκα µε τα κόκκινα την κυνηγά µέχρι το µαγαζί του Paul. Η Άννα τη γλιτώνει πάλι µε τη βοήθεια της Heidrun. Τώρα έχει ένα κοµµάτι του παζλ,

Διαβάστε περισσότερα

22 είκοσι δύο. Κύπρος. Ελλάδα. Ελβετία. Αυστρία. Γερμανία. Από πού είσαι; Είμαι από τη Γερμανία. Εσύ; Από την Κύπρο. Από πού είσαι; Είμαι από

22 είκοσι δύο. Κύπρος. Ελλάδα. Ελβετία. Αυστρία. Γερμανία. Από πού είσαι; Είμαι από τη Γερμανία. Εσύ; Από την Κύπρο. Από πού είσαι; Είμαι από 3 τρί 1. μάθμα Wie heißen die Länder auf Griechisch? Bitte verbinden Sie die Namen mit den richtigen Zeichnungen. Hören Sie dann die Ländernamen und sprechen Sie sie nach. 1.18 Ελλάδα Αυστρία Κύπρος Ελβετία

Διαβάστε περισσότερα

Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen

Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen GABLER RESEARCH Simon Schiffel Implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten von Unternehmensanleihen Eine empirische Analyse in unterschiedlichen

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικοί προσχολικής ηλικίας στη Γερμανία. Ευκαιρία και πρόκληση

Εκπαιδευτικοί προσχολικής ηλικίας στη Γερμανία. Ευκαιρία και πρόκληση Εκπαιδευτικοί προσχολικής ηλικίας στη Γερμανία Ευκαιρία και πρόκληση Περιεχόμενα Ποιοί είμαστε / Τι κάνουμε / Τι προσφέρουμε Η ζωή στη Γερμανία Επί της ουσίας Η ζούγκλα των παραγράφων Τι χρειάζομαι ms

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

FLASHBACK: Die Spieldose, aha? Sie ist kaputt. Kein Problem Anna, ich repariere sie dir.

FLASHBACK: Die Spieldose, aha? Sie ist kaputt. Kein Problem Anna, ich repariere sie dir. 06 Η γυναίκα µε τα κόκκινα Η Άννα συναντά µια γυναίκα που ισχυρίζεται ότι ήταν φίλες το 1961. Κι εκτός αυτού η Άννα τα χάνει µε την πληροφορία ότι την κυνηγά µια γυναίκα ντυµένη στα κόκκινα. Σε κάθε γωνιά

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 22 Έλα τώρα, κουνήσου

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 22 Έλα τώρα, κουνήσου 22 Έλα τώρα, κουνήσου Η Άννα µεταφέρεται στο Βερολίνο του έτους 1989, όπου κυριαρχεί ο ενθουσιασµός για την πτώση του Τείχους. Πρέπει να περάσει µέσα από το πλήθος και να πάρει τη θήκη. Θα τα καταφέρει;

Διαβάστε περισσότερα

FLOTT 1 - LEKTION 1. 1 η. S.13, Übungen 1, 2. 2 η ώρα S. 18, Das bin ich! Hausaufgaben: ΑΒ Übungen 3, 4 S. 13 Übungen S S. 19, Ηörverstehen 1

FLOTT 1 - LEKTION 1. 1 η. S.13, Übungen 1, 2. 2 η ώρα S. 18, Das bin ich! Hausaufgaben: ΑΒ Übungen 3, 4 S. 13 Übungen S S. 19, Ηörverstehen 1 FLOTT 1 Πλάνο διδασκαλίας* ιδασκαλία σε φροντιστήριο ή ιδιαίτερο µάθηµα : 4 ώρες την εβδοµάδα Σύνολο ωρών ετησίως κατά προσέγγιση: 120-130 (32 εβδοµάδες) Κάθε κεφάλαιο θα πρέπει να διδάσκεται σε συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch

Griechisches Staatszertifikat - Deutsch ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ Griechisches Ministerium für Bildung und Religion Griechisches Staatszertifikat - Deutsch NIVEAU B1 Entspricht dem Gemeinsamen

Διαβάστε περισσότερα

Griechische und römische Rechtsgeschichte

Griechische und römische Rechtsgeschichte ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Griechische und römische Rechtsgeschichte Ενότητα 7: Gortyna Παπακωνσταντίνου Καλλιόπη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός 2ο μάθημα

Ηλεκτρισμός 2ο μάθημα Μάθημα (τίτλος): Ένα κλειστό κύκλωμα Επίπεδο επάρκειας γλώσσας A1 A2 B1 B2 C1 Τάξη/βαθμίδα: 5η τάξη Αριθμός μαθητών στην τάξη: 11 Αντικείμενο: Φυσική Θέμα: Ηλεκτρισμός Προϋποθέσεις / απαιτήσεις: (π.χ.:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Mathematik in L A TEX

Mathematik in L A TEX Mathematik in L A TEX Hartwig Bosse 21. November 2007 Hartwig Bosse () Mathematik in LATEX 21. November 2007 1 / 1 Umgebungen \begin{document} \end{document} Hartwig Bosse () Mathematik in LATEX 21. November

Διαβάστε περισσότερα

Η παράσταση αυτή ήταν πολύ καλή και οργανωµένη, να συνεχίσουµε έτσι. Langer ( ιευθύντρια του Albrecht-Ernst Gymnasium)

Η παράσταση αυτή ήταν πολύ καλή και οργανωµένη, να συνεχίσουµε έτσι. Langer ( ιευθύντρια του Albrecht-Ernst Gymnasium) ΓΕΡΜΑΝΙΑ 2008 Πειραµατικό Σχολείο Πανεπιστηµίου Πατρών Καλησπέρα, Είµαστε η Μαρία και ο Θοδωρής από το Πειραµατικό Σχολείο Πατρών. Έχουµε συγκεντρώσει τις απόψεις Ελλήνων και Γερµανών για τη συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

γςω 6Ω ΩςΠΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩ γςω 0ΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩ %: %7,

γςω 6Ω ΩςΠΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩ γςω 0ΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩ %: %7, γςω6ω ΩςΠΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩγςΩ0ΗΛςΩΗΥςΦΚ ΙΩ:7, 6Ω ΓΩς Ο+ΡΟΟ ΕΥΞΘΘ ΡςΗΙ:ΗΛςΟΗΛΘ6ΩΥ Η+ΡΟΟ ΕΥΞΘΘ ΞςΥΛΦΚΩΗΥ 7ΞΥΘΛΗΥΓ ΩΞΠ :6ΖΛΘϑΛΘΥΡΦς ΗΛςΛΩ]ΗΥ +ΗΛΓΛ6ΩΗΛΘΛΘϑΗΥ 3ΥΡΩΡΦΡΟ ΟΙΥΗΓ ΥΩΡς 7ΞΥΘΛΗΥΕΗΡΕ ΦΚΩΗΥ5ΡΕΗΥΩΛϑΘΗΥ ΥΠ

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Αμερικανική γραφή διεύθυνσης:

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

PREPARING TEACHERS TO TEACH WITH ICT

PREPARING TEACHERS TO TEACH WITH ICT Cyprus Pedagogical Institute PREPARING TEACHERS TO TEACH WITH ICT LEONARDO EUPT3 PROJECT Deliverable D12 Project Flyers WP9: Dissemination, exploitation of results and sustainability WP Leader: ICEM Project

Διαβάστε περισσότερα

Die Präposition Πρόθεςη

Die Präposition Πρόθεςη Präpositionen mit Dativ Οι προκζςεισ διακρίνονται όχι μόνο ανάλογα με το νόθμα τουσ και τθ χριςθ τουσ αλλά και ανάλογα με τθ ςφνταξι τουσ. Υπάρχουν προκζςεισ που ςυντάςςονται πάντα με δοτικι (Dativ) ι

Διαβάστε περισσότερα

Vertretungsberechtigung. gegenüber der Bank 1 ικαίωµα εκπροσώπησης έναντι της Τράπεζας 1

Vertretungsberechtigung. gegenüber der Bank 1 ικαίωµα εκπροσώπησης έναντι της Τράπεζας 1 Piraeus Bank S.A. Frankfurt Βranch Baseler Strasse 46 D-60329 Frankfurt am Main & δείγµατα υπογραφής για κατάχωρηµένους εµπόρους, προσωπικές & κεφαλαιουχικές εταιρίες και εταιρικές επιχειρήσεις und Unterschriftsproben

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική γερμανικής τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου. Η διδακτική της τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου

Διδακτική γερμανικής τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου. Η διδακτική της τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου Διδακτική γερμανικής τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου Η διδακτική της ορολογίας Η διδακτική της τεχνικής ορολογίας αυτοκινήτου Οόρος«ορολογία» Σύμφωνα με τον Schmidt η ορολογία αποτελεί το μέσο συνεννόησης

Διαβάστε περισσότερα

QC5015 A D E 1 2 3 4 F M H 5 6 7 1 B G 2 I 8 9 10 1 J K L 2 C 11 1 12 13 2 14 15 16 17 18

QC5015 A D E 1 2 3 4 F M H 5 6 7 1 B G 2 I 8 9 10 1 J K L 2 C 11 1 12 13 2 14 15 16 17 18 QC5015 A D E 1 2 3 4 M F H 5 1 6 7 B G 2 I J K L 1 8 9 10 2 C 11 1 12 13 2 14 15 16 17 18 Deutsch Einführung Herzlichen Glückwunsch zu Ihrem Kauf und willkommen bei Philips! Um den Support von Philips

Διαβάστε περισσότερα

UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1

UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1 Seite 1 von 6 UMDENKEN Βοηθητικό υλικό διδασκαλίας για την προετοιμασία της επίσκεψης στην έκθεση, Επίπεδο Α1 AUFGABE 1: VIER ELEMENTE Σύμφωνα με μια αρχαία θεωρία τα πάντα στο σύμπαν μας αποτελούνται

Διαβάστε περισσότερα

Επίσηµη Εφηµερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΑ

Επίσηµη Εφηµερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΔΙΟΡΘΩΤΙΚΑ 18.3.2016 L 73/9 Στη σελίδα 7, στο παράρτημα, στην καταχώριση με αύξοντα αριθμό 09.2761: «09.2761 ex 0304 79 50 Γρεναδιέρος της Ν. Ζηλανδίας (Macruronus ex 0304 95 90 11 Novaezelandiae), κατεψυγμένα φιλέτα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. Münzen der Livia unter Augustus. RPC 2359 (Pergamon/Mysien)

I. Münzen der Livia unter Augustus. RPC 2359 (Pergamon/Mysien) I. Münzen der Livia unter Augustus 1. RPC 2359 (Pergamon/Mysien) - nicht später als 2 v. Chr.; wahrscheinlich nach 10 v. Chr. - unter dem Magistrat Charinos geprägt Avers: Livia als Hera; ΛΙΒΙΑΝ ΗΡΑΝ ΧΑΡΙΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN

STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN 16.4.2014 DE Amtsblatt der Europäischen Union C 117/125 STAATLICHE BEIHILFEN ZYPERN Staatliche Beihilfen SA.37220 (2014/C) (ex 2013/NN) Umstrukturierungsbeihilfe für Cyprus Airways (Public) Ltd und SA.38225

Διαβάστε περισσότερα

FLOTT 2 - LEKTION 1. 1 η. S. 8, Hallo, da sind wir wieder: S. 11, Grammatik - Wiederholung 2 η ώρα S. 9 Hörverstehen 1

FLOTT 2 - LEKTION 1. 1 η. S. 8, Hallo, da sind wir wieder: S. 11, Grammatik - Wiederholung 2 η ώρα S. 9 Hörverstehen 1 FLOTT 2 Πλάνο διδασκαλίας* ιδασκαλία σε φροντιστήριο ή ιδιαίτερο µάθηµα : 4 ώρες την εβδοµάδα Σύνολο ωρών ετησίως κατά προσέγγιση: 120-130 (32 εβδοµάδες) Κάθε κεφάλαιο θα πρέπει να διδάσκεται σε συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία του/της συζύγου ή του/ της συντρόφου του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση

Στοιχεία του/της συζύγου ή του/ της συντρόφου του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση Επώνυμο και όνομα του προσώπου που υποβάλλει την αίτηση Name und der antragstellenden Person Αριθμός επιδόματος τέκνων Kindergeld-Nr. F K KG 51R Παράρτημα Εξωτερικό (Ausland) της αίτησης για γερμανικό

Διαβάστε περισσότερα

Register your product and get support at www.philips.com/welcome HR1399 1 16 Deutsch Einführung Herzlichen Glückwunsch zu Ihrem Kauf und willkommen bei Philips! Um das Kundendienstangebot von Philips

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 16 Παλιοί γνωστοί

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 16 Παλιοί γνωστοί 16 Παλιοί γνωστοί Και το 1961 η Άννα καταδιώκεται από τους ένοπλους µοτοσικλετιστές. Σε αυτή την επικίνδυνη φάση τη βοηθά µια άγνωστη γυναίκα. Αλλά γιατί σπεύδει προς βοήθεια; Μπορεί η Άννα να την εµπιστευθεί;

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα 1: Αριθμοί ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι, Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ

Ομάδα 1: Αριθμοί ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι, Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι, 5-6 Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Ομάδα : Αριθμοί. (Άθροισμα Minkowski) Εκτός από την ένωση και την τομή, μπορούμε να ορίσουμε και το άθροισμα δύο συνόλων.

Διαβάστε περισσότερα

Hessisches Kultusministerium. Schulbücherkatalog. für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen.

Hessisches Kultusministerium. Schulbücherkatalog. für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen. Hessisches Kultusministerium Schulbücherkatalog für den Unterricht in Herkunftssprachen in Verantwortung des Landes Hessen Schuljahr 2013/2014 Unterrichtsmaterialien, die im uftrag des Hessischen Kultusministeriums

Διαβάστε περισσότερα

FLASHBACK: «Nostalgie» von Friedrich August Dachfeg. Unsere Melodie, Anna! Erinnerst du dich?

FLASHBACK: «Nostalgie» von Friedrich August Dachfeg. Unsere Melodie, Anna! Erinnerst du dich? 10 Σε αδιέξοδο Ο παίκτης ανακαλύπτει ότι στις 13 Αυγούστου 1961 χτίστηκε το Τείχος του Βερολίνου και στις 9 Νοεµβρίου 1989 έπεσε. Η αποστολή έχει άµεση σχέση µε τις δυο αυτές ηµεροµηνίες. Αλλά τι µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 18 Η κρυµµένη θήκη

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 18 Η κρυµµένη θήκη 18 Η κρυµµένη θήκη Η Άννα ανακαλύπτει ότι η γυναίκα µε τα κόκκινα είναι η αρχηγός της RATAVA. Μένουν 45 λεπτά. Το σηµαντικότερο στοιχείο για την Άννα είναι τώρα µια θήκη που έκρυψε η γυναίκα µε τα κόκκινα.

Διαβάστε περισσότερα

B(α, β) B(α + n, β + n x n) α 1 Modus der Be(α, β)-verteilung : α + β 2 α Erwartungswert der Be(α, β)-verteilung : α + β

B(α, β) B(α + n, β + n x n) α 1 Modus der Be(α, β)-verteilung : α + β 2 α Erwartungswert der Be(α, β)-verteilung : α + β Aufgabe X,..., X n iid G(π) a) Bestimmung der Loglikelihoodfunktion n P L(π) = π( π) xi = π n x ( π) i n = π n ( π) n( x ) Damit folgt: Insgesamt also ˆπ ML = i= l(π) = n log(π) + n( x ) log( π) S(π) =

Διαβάστε περισσότερα

. Zeit: Synoptische Betrachtung # αβ αα a) Allgemeine Abkürzungen Abkürzung Ausführung/Bedeutung AOGCM/GCM (atmosphärisch-ozeanisch gekoppeltes) globales Zirkulations-/Klimamodell (engl.: (atmosphere

Διαβάστε περισσότερα

Ausarbeitung des Seminarvortrags. Trigonometrie

Ausarbeitung des Seminarvortrags. Trigonometrie Veranstaltung: Seminar zur Geometrie Wintersemester 005/06 Martin Epkenhans Universität Paderborn Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema: Trigonometrie vorgelegt von: Marina Müller Eva Maria Sievers

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Bohrbild im Längsholz. Einstellbereich

Bohrbild im Längsholz. Einstellbereich Montageanleitung/Construction Manual GIGANT 120 Fräsbild Art. Nr. K051 a=h x 0,7 im Längsholz Bauzugelassene Holzbauverbindung im Hirnholz 26,5 ±0,25 40 +2-0 h a + 47 Schraubenbild im Längsholz Schraubenbild

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 25 Απρόοπτες δυσκολίες

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 25 Απρόοπτες δυσκολίες 25 Απρόοπτες δυσκολίες Ο χρόνος τελειώνει και η Άννα πρέπει να αποχαιρετήσει τον Paul, για να επιστρέψει στην 9 η Νοεµβρίου 2006. Για την εκπλήρωση της αποστολής της αποµένουν τώρα µόνο 5 λεπτά. Θα φθάσουν;

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 05 εν γνωριζόµαστε;

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 05 εν γνωριζόµαστε; 05 εν γνωριζόµαστε; Η Άννα πηγαίνει το µουσικό κουτί στον ρολογά για να το διορθώσει. Για τον Paul Winkler όµως είναι περισσότερο από µια απλή δουλειά. Νοµίζει ότι ξέρει την Άννα από παλιά. Μα πώς είναι

Διαβάστε περισσότερα

ZERTIFIKAT DEUTSCH FÜR DEN BERUF

ZERTIFIKAT DEUTSCH FÜR DEN BERUF ZERTIFIKAT DEUTSCH FÜR DEN BERUF (ZDFB) DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Stand: Februar 2010 Τελευταία ενηµέρωση: Φεβρουάριος 2010 Kommentierte Durchführungsbestimmungen zur Prüfung

Διαβάστε περισσότερα

GOETHE-ZERTIFIKAT B1 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014

GOETHE-ZERTIFIKAT B1 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014 DURCHFÜHRUNGSBESTIMMUNGEN ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Stand: 1. Oktober 2014 Τελευταία ενημέρωση: 1 Οκτωβρίου 2014 Zertifiziert durch Πιστοποίηση: Durchführungsbestimmungen ΟΡΟΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗς ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 23 Θα τα πούµε µετά

Mission Berlin. Deutsch lernen und unterrichten Arbeitsmaterialien. Mission Berlin 23 Θα τα πούµε µετά 23 Θα τα πούµε µετά Μια µοτοσικλέτα που πάει στη Bernauer Straße παίρνει την Άννα. Την οδηγεί ο Emre Ogur που της εύχεται καλή τύχη στο Βερολίνο. Αλλά φτάνει αυτό για να ξεφύγει από τη γυναίκα µε τα κόκκινα

Διαβάστε περισσότερα