89 = = 68 89

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "89 = 51 89 89 = 68 89"

Αντώνης Αλαφούζος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 76 A Οµάδας.i) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία x + y + 0. d ( ) ii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία y x 3 y x 3 x y 3 0 d ( ) iii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία x y + 3 3x + y 6 3x + y 6 0 d 3 ( ) x y + 3.iv) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία 5x +3y ( ) d

ii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία y x 3 y x 3 x y 3 0 d ( ) 3 3 + 3 3 5 0 5 5.

2 . ίνονται οι ευθείες ε : 5x 8y 5 0 και ε : 5x 8y i) Να δείξετε ότι ε ε ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις ε, ε. iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε. (i) λ λ ε ε (ii) d(o, ε ) d(o, ε ) (iii) H ε, για y 0, δίνει x 5 d( ε, ε ) d(κ, ε ) 5. Άρα το σηµείο Κ 5 (, 0 5 ) ε ίνονται οι ευθείες ε : x 3y 9 0 και ε : x 3y 0. i) Να δείξετε ότι ε ε ii) Να βρείτε ένα σηµείο της ε και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε. (i) λ 3 3 λ ε ε (ii) H ε, για y 0, δίνει x 9. Άρα το σηµείο Κ 9 (, 0 ) d( ε, ε ) d(κ, ε ) ε.

(i) λ 5 5 8 8 λ ε ε (ii) d(o, ε ) 5 0 8 0 5 5 + 8 5 5+ 6 5 89 5 89 89 d(o, ε ) 5 0 8 0+ 68 5 + 8 68 5+ 6 68 89 68 89 89 (iii) H ε, για y 0, δίνει x 5 d( ε, ε ) d(κ, ε ) 5.

3 3. Ποιο σηµείο της ευθείας x 3y 30 ισαπέχει από τα σηµεία Α(, 3) και Β(7, 9) Το ζητούµενο σηµείο Κ θα ανήκει στη µεσοκάθετο µ του τµήµατος ΑΒ. λ AB µ AB λ µ. Έστω Μ το µέσο του ΑΒ. Τότε x Μ + 7 και y Μ Εξίσωση της µεσοκαθέτου µ: y 6 (x ) y 6 x + x + y 0 x 3y 30 Σύστηµα των ε, µ : x+ y Α M Κ µ Β ε x , 0 y x x K x 60 5 και y K το ζητούµενο σηµείο είναι το Κ(, ) y Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε 5 µονάδες. Έστω ε: y 3x + β 3x + y β 0 η ζητούµενη ευθεία. d(o, ε ) β 3 + β β 5 0 β ± 5 0 Άρα ε: y 3x ή y 3x 5 0

Τότε x Μ + 7 και y Μ 3 + 9 6 Εξίσωση της µεσοκαθέτου µ: y 6 (x ) y 6 x + x + y 0 x 3y 30 Σύστηµα των ε, µ : x+ y 0 3 + 3 5 Α M Κ µ Β ε x 30 3 30 + 30 60, 0 y 30 0 0 30 0

4 6. Η ευθεία ε : 3x y + 0 είναι µεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε και ε, που απέχουν 8 µονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. Οι ζητούµενες ευθείες θα έχουν εξίσωση της µορφής 3x y + β 0. Έστω Μ(x, y) το τυχαίο σηµείο τους. Θα είναι d(μ, ε) x 3 y x y+ 3 3x y + 3 ή 3x y + 3 3x y ή 3x y i) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(0, 0), Β(6, 0), Γ(, 3) AB (6 0, 0 0) (6, 0), (ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) AΓ ( 0, 3 0) (, 3) ii) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(, ), Β(, 6), Γ(5, ) AB ( +, 6 ) (, 0), AΓ (5 +, ) (7, 0) (ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) iii) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(, ), Β(3, ), Γ( 5, ) AB (3, ) (, ), AΓ ( 5, ) ( 6, 6) (ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ)

i) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(0, 0), Β(6, 0), Γ(, 3) AB (6 0, 0 0) (6, 0), (ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) AΓ ( 0, 3 0) (, 3) 6 0 3 8 9 7.

5 5 8. ίνονται τα σηµεία Α(5, ) και Β(, 3). Να βρείτε το σηµείο Μ του άξονα x x, για το οποίο το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο µε 7. Έστω Μ(x, 0) το ζητούµενο σηµείο. AB ( 5, 3 ) (, ) AM (x 5, 0 ) (x 5, ) (ΜΑΒ) 7 det ( ΑΒ, ΑΜ) x 5 x+ 0 x 7 x ή x x 0 ή x 8 x 0 ή x Το ζητούµενο σηµείο είναι Μ(0, 0) ή Μ(, 0)

να είναι ίσο µε 7. Έστω Μ(x, 0) το ζητούµενο σηµείο.

6 6 9. ίνονται τα σηµεία Α(3, ) και Β(5, ). Να βρείτε το σηµείο Μ τέτοιο, ώστε ΜΑ ΜΒ και (ΜΑΒ) 0. Έστω Μ(x, y) το ζητούµενο σηµείο. AB (5 3, ) (, 6) AM (x 3, y ) ΜΑ ΜΒ (ΜΑ ) (ΜΒ ) (ΜΑΒ) 0 Σύστηµα των (), () 3 3 (3 x ) + ( y ) (5 x ) +( y ) 9 6x + x + 6 8y + x y x 3y () det ΑΒ, ΑΜ 0 ( ) 6 x 3 y 0 y 8+ 6x 8 0 y+ 6x 6 0 3x+ y 3 0 y 5 0x + x + + y + 3x + y 3 0 ή 3x + y 3 0 3x + y 3 () ή 3x + y 3 (3) x 3y 3x+ y 3 y x , y x x y y Σύστηµα των (), (3) x 3y 3x+ y 3 (0µοίως) x, y 0 Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι Μ(7, ) ή Μ(, 0)

det ΑΒ, ΑΜ 0 ( ) 6 x 3 y 0 y 8+ 6x 8 0 y+ 6x 6 0 3x+ y 3 0 y 5 0x + x + + y + 3x + y 3 0 ή 3x + y 3 0 3x + y 3 () ή 3x + y 3 (3) + 9 0 x 3y

7 7 0. Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγµένες ( 3, ), (, 3) και (, 5). Να υπολογίσετε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου. Έστω Α( 3, ), Β(, 3) και Γ(, 5). AB ( + 3, 3 ) (, ) AΓ ( + 3, 5 ) (7, 6) (ΑΒΓ ) (ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) Β Oµάδας. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σηµεία Α(, 0) και Β(0, ). Η ζητούµενη ευθεία ε θα έχει εξίσωση x 0 ή y λx, λ R. Όταν ε : x 0. Ελέγχουµε αν τα σηµεία Α, Β ισαπέχουν από την ε. Είναι d(a, ε) και d(β, ε) 0. Άρα η ευθεία x 0 δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος. Όταν ε : y λx λx y 0 λ( ) d(a, ε) d(β, ε) λ + λ λ + λ ή λ Άρα η ζητούµενη ευθεία είναι y x ή y x

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σηµεία Α(, 0) και Β(0, ).

8 8. Να βρείτε το σηµείο του άξονα x x, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5x + y Έστω Α(α, 0) το ζητούµενο σηµείο. 5α Θα έχουµε α 5 + 5α α 3 3 α 5α 60 5α 60 3α ή 5α 60 3α 8α 60 ή 8α 60 α 5 ή α 0 3 Άρα Α( 5, 0) ή Α( 0 3, 0)

9 9 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Μ(, ) και σχηµατίζουν µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν Ε. Η ζητούµενη ευθεία ε, αφού διέρχεται από το σηµείο Μ(, ) θα έχει εξίσωση x ή y λ(x ), λ R. () Η x αποκλείεται, αφού είναι παράλληλη στον άξονα y y, άρα δε σχηµατίζει τρίγωνο µε τους άξονες. Επίσης, λ 0 αποκλείεται, αφού η ευθεία θα είναι παράλληλη στον άξονα x x. Για x 0, η () y λ y λ. Άρα η ε θα τέµνει τον άξονα y y σε σηµείο Κ(0, λ) Για y 0, η () λx λ λx λ x Άρα η ε θα τέµνει τον άξονα x x σε σηµείο Λ( λ λ, 0) Ε λ λ + 0 (ΟΚ)(ΟΛ) λ λ λ 6 8 λ λ + λ λ ( λ ) λ 8 ( λ ) 8 λ 8 λ λ + 8λ ή λ λ + 0 ± 8 β α ή 6 ± 3 Άρα ε : y (6 ± 3 )(x ) ή y (x ) y (6 ± 3 )x ή y x + λ λ. λ λ + 8λ λ + λ + 0

() Η x αποκλείεται, αφού είναι παράλληλη στον άξονα y y, άρα δε σχηµατίζει τρίγωνο µε τους άξονες. Επίσης, λ 0 αποκλείεται, αφού η ευθεία θα είναι παράλληλη στον άξονα x x.

10 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σηµείο Α(, 3) απόσταση ίση µε. Η ζητούµενη ευθεία ε, αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων, θα έχει εξίσωση x 0 ή y λx, λ R. () Όταν ε : x 0 d(α, ε) ( ) , άρα η ευθεία x 0 είναι λύση του προβλήµατος. Όταν ε : y λx λx y 0 λ. ( ).3+ 0 d(α, ε) λ + Άρα ε : y 3 x λ+ 3 λ + λ +6λ + 9 λ + 6λ 8 λ 3 5. Να βρείτε τα σηµεία της ευθείας x y + 0 τα οποία απέχουν από την ευθεία x 5x απόσταση ίση µε. Η δοσµένη ευθεία x y + 0 γράφεται y x +. Έστω, λοιπόν, Α(α, α + ) το ζητούµενο σηµείο της. Τότε θα έχουµε α 5( α+ ) Άρα α + α 5α α α ή 7α α 37 ή 7α 63 α 37 7 ή α ή , ή Α( 9, 7) Εποµένως Α ( )

Όταν ε : y λx λx y 0 λ. ( ).3+ 0 d(α, ε) λ + Άρα ε : y 3 x λ+ 3 λ + λ +6λ + 9 λ + 6λ 8 λ 3 5. Να βρείτε τα σηµεία της ευθείας x y + 0 τα οποία απέχουν από την ευθεία x 5x + 60 0 απόσταση ίση µε.

11 6. Να δείξετε ότι τα σηµεία Α(α, β), Β(γ, δ) και Γ(α γ, β δ) είναι συνευθειακά, αν και µόνο αν αδ βγ ΑΒ (γ α, δ β) και ΑΓ (α γ α, β δ β) ( γ, δ) Α, Β, Γ συνευθειακά ΑΒ ΑΓ γ α δ β γ δ 0 γδ + αδ + γδ γβ 0 αδ βγ

12 7. ίνονται τα σηµεία Α(α, 0) και Β(0, β), µε α, β 0. Αν η µεσοκάθετος του ΑΒ τέµνει τους άξονες στα σηµεία P(p, 0) και Q(0, q), να δείξετε ότι : i) αq + βp pq ii) αp + βq 0 Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β. P(p, 0) στη µεσοκάθετο του ΑΒ (PA) (PB) (PA ) (PB ) (α p ) + (0 0 ) (0 p ) + (β 0 ) α αp + αp p α α β α Q(0, q) στη µεσοκάθετο του ΑΒ (QA) (QB) p (QA ) (QB ) p + β β () () (α 0 ) + (0 q ) (0 0 ) + (β q ) α + q β βq + βq ( α q () + (3) αp + βq 0 αp + βq 0 α β β q β ) (3) () αq + βp pq (3),() α α β β +β α β α α β + β α α β αβ α + β α + α β α β που ισχύει. α β β

13 3 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες 3x y + 0 και 5x + y + 0. Ας είναι ε, ε οι δύο ευθείες. Έστω Μ(x, y) το τυχαίο σηµείο των διχοτόµων d(μ, ε ) d(μ, ε ) 3x y+ 5x+ y x y+ 5 5x+ y x y+ 5 5x+ y+ 3(3x y + ) 5(5x + y + ) ή 3(3x y + ) 5(5x + y + ) 39x 5y + 3 5x + 60y + 0 ή 39x 5y + 3 5x 60y 0 x y 7 0 ή 6x + 8y x 6y 0 ή 6x + 8y

Έστω Μ(x, y) το τυχαίο σηµείο των διχοτόµων d(μ, ε ) d(μ, ε ) 3x y+ 5x+ y+ 3 + 5 + 3x y+ 5 5x+ y+ 3

14 9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών x y + 0 και x 3y και απέχει από το σηµείο Α(3, ) απόσταση ίση µε 7 5. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των δύο ευθειών, για να έχουµε το σηµείο τοµής τους Κ x 3 5 y x x K και y y 3. Άρα Κ(, 3) K Η ζητούµενη ευθεία ε, αφού διέρχεται από το σηµείο Κ(, 3) θα έχει εξίσωση x ή y 3 λ(x ), λ R. () Όταν ε : x x 0 d(α, ε) , άρα η ευθεία x δεν αποτελεί λύση 5 Όταν ε : y 3 λ(x ) y 3 λx λ λx + y + λ 3 0 d(α, ε) 7 5 λ 3+ + λ 3 λ + λ 7 λ λ+ 7 λ ( λ + λ + ) 9( λ + ) 5λ + 50λ + 5 9λ + 9 λ 50λ + 0 λ 5λ , λ 5 ± 7 3 ή 8 του προβλήµατος Άρα ε : 3 x + y ή 3 x + y x + 3y ή 3x + y x + 3y 0 ή 3x + y ή 3

Άρα Κ(, 3) K Η ζητούµενη ευθεία ε, αφού διέρχεται από το σηµείο Κ(, 3) θα έχει εξίσωση x ή y 3 λ(x ), λ R.

15 5 0. ίνονται τα σηµεία Α(, ) και Β(3, ). Να βρείτε το σύνολο των σηµείων Μ, για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ) 8 Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο για το οποίο ισχύει (ΜΑΒ) 8 ΑΜ (x +, y + ), ΑΒ (3 +, + ) (, 3) (ΜΑΒ) 8 det ( ΑΜ, ΑΒ) x+ y x+ 3 y 8 6 3x y 5 6 3x y 5 6 ή 3x y 5 6 3x y 0 ή 3x y + 0

Σχετικά έγγραφα

2 Συντεταγµένες στο επίπεδο

2 Συντεταγµένες στο επίπεδο Συντεταγµένες στο επίπεδο Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σύστηµα συντεταγµένων Ένα σύστηµα δυο κάθετων αξόνων µε κοινή αρχή Ο και µοναδιαία διανύσµατα, i και j λέµε ότι αποτελεί ένα καρτεσιανό σύστηµα