Γεωμετρία Β λυκείου (Θεωρία) Κεφάλαιο 7: Αναλογίες

Transcript

1 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Γεωμετρί Β λυκείυ (Θεωρί) Κεφάλι 7: Αλγίες Θεώρημ Θλή: Α τρεις ή περισσότερες πράλληλες ευθείες τέμυ δύ άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ πυ ρίζτι στη μί είι άλγ πρς τ τίστιχ τμήμτ πυ ρίζτι άλλη. ηλδή: Α 1 // // 3, τότε ιίρεση Τμημάτω Εσωτερικά κι Εξωτερικά ως πρς σμέ Λόγ Λέμε ότι τ σημεί Μ διιρεί εσωτερικά τ ευθυγρμμ τμήμ ΑΒ σε λόγ λ, κι μό Τ M είι εσωτερικό σημεί τυ τμήμτς AB κι MA λ MB Λέμε ότι τ σημεί Μ διιρεί εξωτερικά τ ευθυγρμμ τμήμ ΑΒ σε λόγ λ, κι μό Τ M είι εξωτερικό σημεί τυ τμήμτς AB κι MA λ MB

2 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Θεώρημ Εσωτερικής ιχτόμυ: Η εσωτερική διχτόμς γωίς τριγώυ χωρίζει τη πέτι πλευρά σε λόγ ίσ με τ λόγ τω πρσκείμεω πλευρώ. ηλδή, στ διπλό σχήμ ισχύει :. Η Α είι η εσωτερική διχτόμς τυ ΑΒΓ. Θεώρημ Εξωτερικής ιχτόμυ: Α η εξωτερική διχτόμς μις γωίς τριγώυ τέμει τ φρέ της πέτι πλευράς, τότε χωρίζει εξωτερικά υτή τη πλευρά σε λόγ ίσ με τ λόγ τω πρσκείμεω πλευρώ. ηλδή, στ σχήμ ισχύει :. Η ΑΕ είι η εξωτερική διχτόμς τυ ΑΒΓ. Κεφάλι 8: Ομιότητ Όμι λέγτι δύ τρίγω πυ έχυ τις πλευρές τυς άλγες κι τις τίστιχες γωίες ίσες. Λόγς μιότητς δύ όμιω τριγώω λέγετι λόγς δύ πλευρώ πυ είι πέτι πό τίστιχ ίσες γωίες. Ισχύυ ι επόμεες πρτάσεις : Α δύ τρίγω είι όμι πρς τρίτ τότε είι κι μετξύ τυς όμι. ύ ίσ τρίγω είι πάτ όμι με λόγ μιότητς λ = 1. Α δύ τρίγω είι όμι τότε όλ τ δευτερεύτ στιχεί τυς έχυ λόγ ίσ με τ λόγ μιότητς τυς. Ο λόγς τω περιμέτρω δύ όμιω τριγώω ισύτι με τ λόγ μιότητς τυς. Κριτήρι μιότητς τριγώω: Κριτήρι 1 : ύ τρίγω είι όμι έχυ δύ γωίες τυς ίσες μί πρς μί Κριτήρι : ύ τρίγω είι όμι έχυ δύ πλευρές άλγες κι τις περιεχόμεες τω άλγω πλευρώ γωίες τυς ίσες. Κριτήρι 3 : ύ τρίγω είι όμι έχυ τις πλευρές τυς άλγες.

3 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Κεφάλι 9: Μετρικές σχέσεις Μετρικές σχέσεις στ ρθγώι τρίγω: Έστω έ ρθγώι τρίγω ΑΒΓ (Α 90 ) κι έστω η πρβλή τυ σημείυ Α στη υπτείυσ ΒΓ (σχήμ). Ισχύυ ι σχέσεις: ΑΒ ΒΓ Β κι ΑΓ ΒΓ Γ ΑΒ ΑΓ Β Γ ΒΓ ΑΒ ΑΓ (Πυθγόρει Θεώρημ) Α Β Γ β γ υ Πρτηρήσεις: Α σε τρίγω ΑΒΓ ισχύει ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ, τότε τ τρίγω είι ρθγώι o (Α 90 ) Τ ύψς εός ισόπλευρυ τριγώυ με μήκς πλευράς δίετι πό τη σχέση: 3 υ Γείκευση τυ Πυθγόρειυ θεωρήμτς: (1 η περίπτωση Οξυγώι τρίγω) ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΖ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΕ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΓ ΓΕ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΒΓ Γ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΖ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ Β

4 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ ( η περίπτωση Αμβλυγώι τρίγω) ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΖ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΕ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΓ ΓΕ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΒΓ Γ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΖ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ Β Σε κάθε τρίγω ΑΒΓ ισχύει ότι: β γ Α 90 β γ Α 90 β γ Α 90 (Οι πρπάω σχέσεις χρησιμπιύτι γι τη εύρεση τυ είδυς εός τριγώυ ότ είι γωστά τ μήκη τω πλευρώ τυ). Νόμς Συημιτόω Σε κάθε τρίγω ΑΒΓ ισχύει ότι: β γ βγσυ Α β γ γσυβ γ β βσυγ Α,β,γ είι τ μήκη τω πλευρώ εός τριγώυ ΑΒΓ κι τ είι η β γ ημιπερίμετρς τυ τ, τότε ισχύει: υ υ γ τ(τ )(τ β)(τ γ), υ β τ(τ )(τ β)(τ γ) β γ τ(τ )(τ β)(τ γ)

5 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Θεωρήμτ διμέσω: (1 Ο Θεώρημ διμέσω) Σε κάθε τρίγω ΑΒΓ με πλευρές,β,γ κι διμέσυς μ,μ β,μ γ ισχύυ ι πρκάτω σχέσεις β γ μ γ β μγ β γ μβ ή ισδύμ μ μ μ β γ β γ γ β β γ ( Ο Θεώρημ διμέσω) Η διφρά τω τετργώω δύ πλευρώ τριγώυ ισύτι με τ διπλάσι γιόμε της τρίτης πλευράς επί τη πρβλή της τίστιχης διμέσυ πάω σε υτό. ηλδή, στ τρίγω, ΑΜ διάμεσς, ΑΕ ύψς κι ΑΓ ΑΒ τότε ισχύει ότι, ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΜΕ Μετρκές σχέσεις σε κύκλ: Α δύ χρδές ΑΒ,Γ εός κύκλυ ή ι πρεκτάσεις τυς τέμτι σε έ σημεί Ρ (Βλέπε σχήμ), τότε ισχύει: ΡΑ ΡΒ ΡΓ Ρ

6 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ A Ρ εξωτερικό σημεί κύκλυ (Ο,R), ΡΕ εφπτόμε τμήμ κι μί ευθεί πυ διέρχετι πό τ Ρ, τέμει τ κύκλ στ σημεί Α κι Β τότε ισχύει ΡΕ ΡΑ ΡΒ Α Ρ είι έ τυχί σημεί στ επίπεδ εός κύκλυ (Ο,R)τότε στθερός ριθμός Ρ δ R όπυ δ ΟΡ λέγετι δύμη τυ (O,R) σημείυ Ρ ως πρς τ κύκλ (Ο,R). Ισχύυ τ πρκάτω. δ R 0 Ρ είι εξωτερικό σημεί τυ κύκλυ. Ρ (O,R) δ R 0 Ρ είι εσωτερικό σημεί τυ κύκλυ. Ρ (O,R) δ R 0 Ρ είι σημεί τυ κύκλυ. Ρ (O,R) R,R R,R

7 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Κεφάλι 10: Εμβδά Πίκς εμβδώ πλυγωικώ χωρίω: Άλλι τύπι γι τ υπλγισμό εμβδύ τριγώυ (ΑΒΓ) βγ ημα γ ημβ β ημγ (ΑΒΓ) τ(τ )(τ β)(τ γ) (τύπς τυ Ήρω), όπυ (ημιπερίμετρς τυ τριγώυ). β γ τ (ΑΒΓ) τ ρ όπυ ρ η κτί τυ εγγεγρμμέυ κύκλυ τυ τριγώυ β γ (ΑΒΓ) όπυ R η κτί τυ περιγεγρμμέυ κύκλυ τυ τριγώυ. R

8 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Πρτηρήσεις: Ο τύπς τυ Ήρω χρησιμπιείτι κυρίως γι υπλγίσυμε τ εμβδό τριγώυ τυ πίυ είι γωστά τ μήκη όλω τω πλευρώ τυ. Α τ τρίγω AΒΓ είι ισόπλευρ με πλευρά, τότε τ εμβδό τυ δίετι 3 πό τη σχέση(αβγ) Κάθε διάμεσς εός τριγώυ χωρίζει τ τρίγω σε δύ ισεμβδικά τρίγω. Λόγι εμβδώ: Α υ, τότε υ (Α ΒΓ) (ΑΒΓ ) Α, τότε (ΑΒΓ) υ (ΑΒΓ ) υ Α Α Α ή (Α ΒΓ) β γ ΑΑ 180, τότε (ΑΒΓ ) β γ Α ΑΒΓ (ΑΒΓ) ΑΒΓ με λόγ μιότητς λ, τότε λ (ΑΒΓ )

9 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Κεφάλι 11: Μέτρηση κύκλυ Κικά Πλύγω: Ορισμός: Έ πλύγω λέγετι κικό, ότ έχει όλες τις πλευρές τυ ίσες κι όλες τις γωίες τυ ίσες. Κάθε κικό πλύγω εγγράφετι σε έ κύκλ κι περιγράφετι σε έ άλλ. Οι δύ υτί κύκλι είι μόκετρι ύ κικά πλύγω με τ ίδι ριθμό πλευρώ είι όμι. Χρκτηριστικά στιχεί κικύ -γωυ: Πλευρά: λ Απόστημ: Γωί: φ Κετρική Γωί: ω Περίμετρς: P Εμβδό: Ε Ισχύυ ι πρκάτω σχέσεις: ω 360 φ ω φ 180 λ R P 1 λ Ε λ Ε P 1 Η πλευρά κι τ πόστημ τριώ βσικώ κικώ πλυγώω, ( ισόπλευρ τρίγω 3, τετράγω εξάγω 6, κικό ), ως συρτήση της κτίς R τυ περιγεγρμμέυ τυς κύκλυ δίτι πό τ διπλό πίκ. 3 6 R R R 3 λ R 3 R R

10 Σωτήρς 0 & Υψηλάτυ Σε κάθε κικό πλύγω ισχύει εγγεγρμμέυ κύκλυ τυ. ρ, όπυ ρ η κτί τυ Μέτρηση κύκλυ: Μήκς κύκλυ κτίς R : L πr Μήκς τόξυ μ σε κύκλ κτίς R : Μήκς τόξυ rad σε κύκλ κτίς R : Εμβδό κυκλικύ δίσκυ κτίς R : Εμβδό κυκλικύ τμέ πr μ AB AB E πr πrμ 180 R μ σε κύκλ κτίς R : E ΟΑΒ 360 Εμβδό κυκλικύ τμέ rad σε κύκλ κτίς R : 1 E R ΟΑΒ Εμβδό κυκλικύ τμήμτς : EEκυκλικύτμέ Ετριγώυ