Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (2)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (2)"

Αναστασούλα Βλαστός
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στοχαστικές Στρατηγικές 6 η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο Μακεδονίας angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: 1

2 ) Η μέθοδος των βημάτων Η μέθοδος Dijkstra μπορεί να εφαρμοστεί μόνο αν οι αποστάσεις μεταξύ των κόμβων είναι μη αρνητικοί αριθμοί. H μέθοδος των βημάτων εφαρμόζεται σε κυκλικά δικτυωτά ανεξάρτητα αν τα τόξα έχουν θετικές ή αρνητικές τιμές. 1-6 Βέλτιστη συνάρτηση για i = 1,,,.., Ν f i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο 1 στον κόμβο k, όταν i ή λιγότερα τόξα πρέπει να χρησιμοποιηθούν} *Γενικά: με L το πολύ βήματα (L N ) το πολύ L βήματα 1 k

3 Επαναληπτική σχέση f i k = min j k {f i 1 j + a jk } i = 1,,,.., L, όπου L N L: o μέγιστος αριθμός βημάτων k =,,.., N το πολύ i 1 βήματα 1 j k Οριακές συνθήκες f 0 k = 0, αν k = 1, αν k 1 Αν k = 1 και j = 1,.., N: f i 1 = min{f i 1 j + a j1 } 1-6 a = : Το αρνητικό κόστος εκφράζει κέρδος. Δεν μας ενοχλεί το αρνητικό πρόσημο.

4 Άσκηση Να βρεθεί η διαδρομή ελάχιστου κόστους από τον κόμβο 1 στον κόμβο με το πολύ βήματα. Λύση 1-6 Οριακές συνθήκες Για i = 0 και j = 1,,, : f 0 1 = 0 f 0 = f 0 = f 0 =

5 Για i = 1 και j = 1,,, : f 1 1 = min f a 11, f 0 + a 1, f 0 + a 1, f 0 + a 1 = min 0 + 0, +, +, + = 0 f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a = min 0 +,, + = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a = min 0 +, + 6, + = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a = min 0 +, +, + = 1-6

6 Για i = και j = 1,,, : f 1 = min f a 11, f 1 + a 1, f 1 + a 1, f 1 + a 1 = min 0 + 0, +, +, + = 0 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a = min 0 +,, + = 1 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a = min 0 +, + 6, + = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a = min 0 +, +, + 1 = 1-6 6

7 Για i = και j = 1,,, : f 1 = min f 1 + a 11, f + a 1, f + a 1, f + a 1 = min 0 + 0, 1 +, +, + = 0 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a = min 0 +,, + = 1 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a = min 0 +, 1 + 6, + = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a = min 0 +, 1 +, + 1 = 1-6 7

8 Για i = και j = 1,,, : f = min f 1 + a 1, f + a, f + a = min 0 +, 1 +, + 1 = Για να βρούμε την ελάχιστη διαδρομή: f = min f 1 + a 1, f + a, f + a f = min f 1 + a 1, f + a, f + a f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a = = 1 = 1-6 Συνολικό κόστος ελάχιστης διαδρομής = Η ελάχιστη διαδρομή είναι: 1 8

9 Άσκηση Να βρεθεί η διαδρομή ελάχιστου κόστους από τον κόμβο 1 στον, με το πολύ βήματα. Οι τιμές στα τόξα παριστάνουν κόστος. Λύση 1 - Βέλτιστη συνάρτηση για i = 1,,,.., Ν f i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο 1 στον κόμβο k, με i το πολύ βήματα} - Επαναληπτική σχέση f i k = min j k {f i 1 j + a jk } f i 1 = min{f i 1 j + a j1 } Οριακές συνθήκες f 0 k = 0, αν k = 1, αν k 1 9

10 Λύση Οριακές συνθήκες Για i = 0 και j = 1,,,, : f 0 1 = 0 f 0 = f 0 = f 0 = f 0 = 10

11 Για i = 1 : f 1 1 = min f a 11, f 0 + a 1, f 0 + a 1, f 0 + a 1, f 0 + a 1 = min 0,,,, = 0 f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = 11

12 Για i = : f 1 = min f a 11, f 1 + a 1, f 1 + a 1, f 1 + a 1, f 1 + a 1 = min 0,,,, = 0 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min,,, = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min 0 +, +, +, + = 8 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min, 6,, = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min, 6,, 7 = 6 1

13 Για i = : f 1 = min f 1 + a 11, f + a 1, f + a 1, f + a 1, f + a 1 = min 0,,,, = 0 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,,, = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,,, 10 = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,1,1, = 1 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min, 1,11,1 = 1 1

14 Για i = : f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min, 1,0,6 = 0 Συνολικό κόστος ελάχιστης διαδρομής = 0 Για να βρούμε την ελάχιστη διαδρομή: f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = 0 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = Άρα η διαδρομή ελάχιστου κόστους είναι: 1 1

15 Άσκηση Να βρεθεί η διαδρομή ελάχιστου κόστους από τον κόμβο 1 στον κόμβο, σε το πολύ βήματα, περνώντας το πολύ μια φορά από τον κόμβο. Οι τιμές στα τόξα παριστάνουν κόστος. Λύση Βέλτιστη συνάρτηση για i = 1,,,.., Ν f i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο 1 στον κόμβο k, με i το πολύ βήματα} Επαναληπτική σχέση Οριακές συνθήκες f i k = min j k {f i 1 j + a jk } f i 1 = min{f i 1 j + a j1 } f 0 k = 1-0, αν k = 1, αν k

16 Λύση Οριακές συνθήκες Για i = 0 και j = 1,,,, : f 0 1 = 0 f 0 = f 0 = f 0 = f 0 = - 16

17 Για i = 1 : f 1 1 = min f a 11, f 0 + a 1, f 0 + a 1, f 0 + a 1, f 0 + a 1 = min 0,,,, = 0 f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = f 1 = min f a 1, f 0 + a, f 0 + a, f 0 + a = min,,, = 17

18 Για i = : f 1 = 0 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min,,, = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min,, 1, = 1 f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min,,, = f = min f a 1, f 1 + a, f 1 + a, f 1 + a = min, 9,, 9 = 9 18

19 Για i = : f 1 = min f 1 + a 11, f + a 1, f + a 1, f + a 1, f + a 1 = min 0,,,, = 0 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,,,6 = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,, 11,11 = 11 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,,, = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min, 9,, 8 = 8 19

20 Για i = : f 1 = 0 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,,, = f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,, 11,10 = 10 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,1,, 1 = 1 f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f () + a = min, 8,, 8 = 8 0

διαδρομές με συνολικό κόστος 10: 1 1 1 1 1 Οι διαδρομές με

21 Για i = : f = min f 1 + a 1, f + a, f + a, f + a = min,, 10,10 = 10 Συνολικό κόστος ελάχιστης διαδρομής = 10 Υπάρχουν διαδρομές με συνολικό κόστος 10: Οι διαδρομές με κόστος 10 που απορρίπτονται (εμφανίζεται φορές ο κόμβος ) είναι: 1 και 1 1

22 Βιβλιογραφία 1) Π.-Χ. Βασιλείου (001) Εφαρμοσμένος Μαθηματικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Ζήτη. ) Π.-Χ. Βασιλείου, Γ. Τσακλίδης, Ν. Τσάντας (1998) Ασκήσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Ζήτη.

Σχετικά έγγραφα

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (3)

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (3) Στοχαστικές Στρατηγικές 6 η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο