ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον θεωρείται ένας από τους 10 πιο διάσημους και επιδραστικούς αλγορίθμους του 20 ου αιώνα. 1

2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. ΜΕΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ max Z = C 1 X 1 +C 2 X 2 + +C n X n a 11 X 1 +a 12 X 2 + +a n X n =b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 + +a 2n X n =b 2. a m1 X 1 +a m2 X 2 + +a mn X n =b m X 1, X 2, X n 0 m: ανεξάρτ. εξίσ. n: άγνωστοι Ή διανυσματικά max Z = C X A X b = X 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Πρέπει m < n m = n μία λύση m > n δεν υπάρχει λύση 2

3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Στη μέθοδο Simplex εργαζόμαστε με εξισώσεις: Περιορισμοί της μορφής. r a x b kj j k j 1 j 1 r a kj x j S k b k Περιορισμοί της μορφής Ορίζουμε και προσθέτουμε σε κάθε περιορισμό μια τεχνητή μεταβλητή Α i και εργαζόμαστε με τη «μέθοδο του μεγάλου Μ» Οι μεταβλητές S k που προσθέσαμε: ονομάζονται ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ (Slack Variables) δείχνουν το ποσό ενός πόρου που έμεινε αδιάθετο έχουν μοναδιαία αξία 0. 3

4 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Λύση: Κάθε διάνυσμα X=[x 1, x 2,, x n ] που ικανοποιεί το σύστημα A x=b Δυνατή Λύση: Κάθε λύση που είναι x 0 Βέλτιστη Δυνατή Λύση: Η Δυνατή λύση που μεγιστοποιεί την Αντικειμενική συνάρτηση Ζ Βάση του συστήματος: Κάθε τετραγωνική μήτρα mxm που προκύπτει από την Α και έχει m γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Βασικές μεταβλητές: Οι m μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες μιας βάσης Βασικές δραστηριότητες: Οι δραστηριότητες που αντιστοιχούν στις βασικές μεταβλητές Μη βασικές μεταβλητές: Οι υπόλοιπες n-m μεταβλητές Οριακό Καθαρό Εισόδημα (Ο.Κ.Ε): C j = C j z j (Καθορίζει τη μεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση) ** Κάθε μη βασικό διάνυσμα μπορεί να εκφρασθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των βασικών διανυσμάτων 4

5 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Το σύνολο των δυνατών λύσεων ενός προβλήματος Γ.Π. είναι κυρτό κλειστό σύνολο. Κάθε βασική δυνατή λύση είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων και κάθε ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου είναι μια βασική δυνατή λύση του συστήματος. Αν υπάρχει μια δυνατή λύση του προβλήματος Γ.Π. υπάρχει και μια βασική δυνατή λύση. Αν υπάρχει μια βέλτιστη δυνατή λύση του προβλήματος Γ.Π. τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή σ ένα τουλάχιστον ακραίο σημείο του συνόλου των δυνατών λύσεων, δηλαδή σε μια βασική δυνατή λύση. 5

6 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Βασική δυνατή λύση: (ως προς μία βάση Β) Η δυνατή λύση που έχει όλες τις βασικές μεταβλητές διάφορες του μηδενός και όλες τις μη βασικές μεταβλητές ίσες με μηδέν Άρα: Στη βέλτιστη λύση του προβλήματος Γ.Π. ο αριθμός των μεταβλητών που θα είναι διάφορες του μηδενός είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων (περιορισμών) ενώ οι υπόλοιπες είναι 0. Π.χ. Έστω πρόβλημα με 5 δραστηριότητες (μεταβλητές) και 2 περιορισμούς. Στη βέλτιστη λύση μόνο 2 μεταβλητές θα είναι 0 ενώ οι άλλες 3 θα είναι μηδενικές. 6

7 ΛΟΓΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ SIMPLEX 7

8 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Έστω το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: max Z = 4X 1 +3X 2 Χ 1 8 Χ 2 6 Χ 1 + 2Χ Χ 1 + Χ 2 18 Χ 1, Χ 2 0 Μετατροπή στην πρότυπη μορφή με την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης max Z = 4X 1 + 3X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 + 0S 4 Χ 1 + S 1 =8 Χ 2 + S 2 =6 Χ 1 + 2Χ 2 + S 3 =15 2Χ 1 + Χ 2 + S 4 =18 Χ 1, Χ 2, S 1, S 2, S 3, S 4 0 8

9 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Βήμα 0 Οδηγό στοιχείο Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί X B S S S S C j C j Ζ = 0 Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό Ο.Κ.Ε. θα εισέλθει στη βάση, εδώ η X 1 C j = C j z j Cx 1 = 4 ( ) = 4 Cx 2 = 3 ( ) = 3 Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i1 καθορίζει ποια μεταβλητή θα εξέλθει από τη βάση. Εδώ είναι: 8/1 = 8. Η μέθοδος σταματάει όταν δεν υπάρχει κάποιο θετικό Ο.Κ.Ε. Επομένως η μεταβλητή S 1 βγαίνει από τη βάση. 9

10 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Βήμα 1 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X S S S C j C j Ζ = 32 Νέο Οδηγό στοιχείο (1) Μετατρέπουμε το οδηγό στοιχείο του προηγούμενου βήματος σε μονάδα, διαιρώντας όλα τα στοιχεία της γραμμής με το οδηγό στοιχείο της. (2) Μηδενίζουμε τα στοιχεία της στήλης του οδηγού στοιχείου κατά Gauss-Jordan, με πράξεις μεταξύ των γραμμών των πινάκων. (3) Εντοπίζουμε το νέο οδηγό στοιχείο. Ζ = C j Χ Χ Β ( = 32) 10

11 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Βήμα 2 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X S S Χ C j C j Ζ = 38 Νέο Οδηγό στοιχείο C j = C j z j Cx 1 = 4 ( ) = 0 Cx 2 = 3 ( ) = 0 Cs 1 = 0 [ (-2 3)]= 2 Cs 4 = 0 [4 0+0 (-1)+0 (-2)+(1 3)]= -3 11

12 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Βήμα 3 (υπό διερεύνηση) Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X S S Χ C j C j Ζ = 38 Πώς μεταβαίνουμε στον επόμενο πίνακα Simplex; 12

13 Παράδειγμα προς επίλυση με SIMPLEX Βήμα 3 (Λύση) Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X /3 2/3 7 S /3 1/3 2 S /3-2/3 1 Χ /3-1/3 4 C j C j /3-5/3 Ζ = 40 Δεν υπάρχει άλλο θετικό Ο.Κ.Ε. επομένως δεν υπάρχουν περιθώρια περαιτέρω βελτίωσης της λύσης. Η λύση είναι βέλτιστη και ο αλγόριθμος σταματά. (Χ 1 = 7, Χ 2 = 4 και Ζ = 40) 13

14 Γεωμετρική παράσταση της διαδικασίας SIMPLEX Βέλτιστη λύση Βήμα 0 14

15 Επίλυση προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Το παράδειγμα της εταιρείας DEWAG: max Z = 9.000X X 2 0,0200Χ 1 + 0,0143Χ ,0150Χ 1 + 0,0300Χ ,0222Χ ,0333Χ Χ 1, Χ 2 0 Μετατροπή στην πρότυπη μορφή με την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης S i max Z = 9.000X X S 1 + 0S 2 + 0S 3 + 0S 4 0,0200Χ 1 + 0,0143Χ 2 + S 1 =100 0,0150Χ 1 + 0,0300Χ 2 +S 2 =100 0,0222Χ 1 +S 3 =100 0,0333Χ 2 +S 4 =100 Χ 1, Χ 2, S 1, S 2, S 3, S

16 Επίλυση προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Βήμα 0 Οδηγό στοιχείο Η βάση του πίνακα αποτελείται από τις μεταβλητές απόκλισης Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος Δεξί Χ Β S 1 0,02 0, S 2 0,015 0, S 3 0, S 4 0 0, C j C j Ζ = 0 Για το Χ 1 : Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο Ο.Κ.Ε θα εισέλθει στη βάση, δηλαδή η X 1 C j = C j z j Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i1 είναι: 100/0,0222 = Επομένως η μεταβλητή S 3 βγαίνει από τη βάση. Cx 1 = (0 0,02+0 0, , ) = Για το Χ 2 : Cx 2 = (0 0, , ,0333) =

17 Σύγκριση με γραφική επίλυση (1/4) Ο πρώτος πίνακας Simplex αντιστοιχεί στο σημείο Ο της γραφικής παράστασης με: x 1 = 0, x 2 = 0, και z = 0. x 2 (I) (III) A B (IV) Μ C D (II) 0 E x 1 17

18 Επίλυση προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Βήμα 1 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β S 1 0 0, , ,91 S 2 0 0, , ,4 X , S 4 0 0, C j C j Νέο Οδηγό στοιχείο Ζ = (1) Μετατρέπουμε το οδηγό στοιχείο του προηγούμενου βήματος σε μονάδα, διαιρώντας όλα τα στοιχεία της γραμμής με το οδηγό στοιχείο της. (2) Μηδενίζουμε τα στοιχεία της στήλης του οδηγού στοιχείου κατά Gauss-Jordan, με πράξεις μεταξύ των γραμμών των πινάκων. (3) Εντοπίζουμε το νέο οδηγό στοιχείο. Ζ = C j Χ Χ Β (Z= 9, , = ) 18

19 Σύγκριση με γραφική επίλυση (2/4) Ο δεύτερος πίνακας Simplex μεταβαίνει στο σημείο Ε της γραφικής παράστασης με: x 1 = 4.504, x 2 = 0, και z = x 2 (I) (III) A B (IV) Μ C D (II) 0 E x 1 19

20 Επίλυση προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Βήμα 2 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X , S , , ,64 X S , , ,92 C j C j Z= Νέο Οδηγό στοιχείο 20

21 Σύγκριση με γραφική επίλυση (3/4) Ο τρίτος πίνακας Simplex μεταβαίνει στο σημείο D της γραφικής παράστασης με: x 1 = 4.504, x 2 = 693, και z = x 2 (I) (III) A B (IV) Μ C D (II) 0 E x 1 21

22 Επίλυση προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Βήμα 3 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 μέρος, Δεξί Χ Β X ,91 51, S ,73 0, ,59 X ,82-37, S ,30-1, ,81 C j C j Z= Δεν υπάρχει άλλο θετικό Ο.Κ.Ε επομένως δεν υπάρχουν περιθώρια περαιτέρω βελτίωση της λύσης. Η λύση είναι βέλτιστη και ο αλγόριθμος σταματά. (Χ 1 = 4.073, Χ 2 = και Ζ = ) 22

23 Σύγκριση με γραφική επίλυση (4/4) Ο τέταρτος πίνακας Simplex μεταβαίνει στο σημείο C της γραφικής παράστασης με: x 1 = 4073, x 2 = 1296, και z = x 2 (I) (III) A B (IV) Μ C D (II) 0 E x 1 23

24 Υποπερίπτωση SIMPLEX Μέθοδος του μεγάλου Μ Τι συμβαίνει όταν δεν υπάρχουν μόνο περιορισμοί με πρόσημο αλλά και με πρόσημο ή και ισότητες; Επιλύστε το επόμενο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμό με τη χρήση της μεθόδου Simplex: Min Z =2 X X 2 υ.π. ½ X 1 + ¼ X 2 4 X 1 + 3X 2 20 X 1 + X 2 = 10 X 1, X

25 Υποπερίπτωση SIMPLEX Μέθοδος του μεγάλου Μ 1)Μετατρέπουμε το πρόβλημα στην πρότυπη του μορφή. 2)Προσθέτουμε σε κάθε περιορισμό του τύπου ή του τύπου «=» μια τεχνική μεταβλητή Α για να κατασκευάσουμε την αρχική βάση. Στις ισότητες δεν εισάγεται μεταβλητή απόκλισης S i. 3)Προσθέτουμε το συντελεστή «Μ» (Μ πολύ μεγάλος αριθμός) στο συντελεστή των τεχνικών μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση για κάθε τεχνητή μεταβλητή. Min Z = 2 X X S S 2 + M A 1 + M A 2 υ.π. ½ X 1 + ¼ X 2 + S 1 = 4 X 1 + 3X 2 - S 2 + A 1 = 20 X 1 + X 2 + A 2 = 10 X 1, X 2,S 1, S 2, A 1, A 2 0 Ο συντελεστής μπαίνει με θετικό πρόσημο στα προβλήματα ελαχιστοποίησης και με αρνητικό στα προβλήματα μεγιστοποίησης. Στόχος της εισαγωγής του είναι η απαλοιφή των τεχνητών μεταβλητών Α i από τη βάση. 25

26 Υποπερίπτωση SIMPLEX Μέθοδος του μεγάλου Μ Βήμα 0 Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος S 1 1/2 1/ A A C j Μ -Μ C j 2Μ-2 4Μ-3 0 -Μ 0 0 Ζ = -30Μ Έχουμε μετατρέψει την αντικειμενική συναρτησή από συνάρτηση ελαχιστοποίησης σε μεγιστοποίησης, πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της με (-1). Min Z = 2 X X S S 2 + M A 1 + M A 2 Max Z = - 2 X 1-3 X 2-0 S 1-0 S 2 - M A 1 - M A 2 Στη συνέχεια εργαζόμαστε κατά τα γνωστά. 26

27 Υποπερίπτωση SIMPLEX Μέθοδος του μεγάλου Μ Ακολουθώντας όλα τα βήματα της SIMPLEX καταλήγουμε στον παρακάτω τελικό πίνακα Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος S /8 1/8-5/8 1/4 Χ /2 1/2-1/2 5 Χ /2-1/2 3/2 5 C j Μ -Μ C j /2 1/2-Μ 3/2-Μ Ζ = -25 Πολλαπλασιάζοντας τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης με (-1) μεταβαίνουμε στη βέλτιστη τιμή της αρχική αντικειμενικής [min]. Έτσι είναι z =

28 Υποπερίπτωση SIMPLEX Μέθοδος του μεγάλου Μ Στον τελικό πίνακα, αν τουλάχιστον μια από τις τεχνητές μεταβλητές (A1, A2, ) εξακολουθεί να βρίσκεται στη βάση με μη μηδενική τιμή, τότε το πρόβλημα είναι μη εφικτό. Αν στον τελικό πίνακα υπάρχει μια μεταβλητή εκτός βάσης με Ο.Κ.Ε. ίσο με το μηδέν, τότε το πρόβλημα έχει πολλαπλές βέλτιστες λύσεις. Κατά την εύρεση της μεταβλητής που θα εξέλθει από τη βάση, αν δεν υπάρχει κάποιος θετικός λόγος (όλοι οι όροι στην στήλη του οδηγού στοιχείου είναι αρνητικοί ή μηδενικοί), τότε το πρόβλημα είναι μη φραγμένο. 28

29 Επίλυση Δυαδικού DEWAG με SIMPLEX m i n Z , , , , , , Μετατροπή στην πρότυπη μορφή & Εισαγωγή τεχνητών μεταβλητών Α i MinZ = 100Π Π Π Π 4 + 0S 1 + 0S 2 + ΜΑ 1 + MΑ 2 0,02Π 1 + 0,015Π 2 + 0,00222Π 3 - S 1 + Α 1 = ,0143Π 1 + 0,03Π 2 + 0,0333Π 4 - S 2 + Α 2 = 7500 Βήμα 0 Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος Α 1 0,020 0,015 0, Α 2 0,014 0,030 0,000 0, C j C j Z= Θέσαμε Μ =

30 Επίλυση Δυαδικού DEWAG με SIMPLEX Βήμα 1 Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος Α 1 0, ,022-0, , , Π 2 0, , , , C j C j -76, Ζ= Η μεταβλητή με το αρνητικότερο Ο.Κ.Ε. εισέρχεται στη βάση. Θα μπορούσαμε εναλλακτικά να είχαμε μετατρέψει την αντικειμενική σε συνάρτηση μεγιστοποίησης και να εργαζόμασταν κατά τα γνωστά. Βήμα 2 Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος S 2 0, ,045-0, Π 2 1, , , , C j C j -33, Ζ=

31 Επίλυση Δυαδικού DEWAG με SIMPLEX Βήμα 3 Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος Π 3 0, ,750-45,045 22,523 45,045-22, Π 2 0, , , , C j C j -5, Ζ= Βήμα 4 Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος Π ,728-1,296-77,821 38,911 77,821-38, Π ,824 1,728 37,095-51,881-37,095 51, C j C j 0 0 9,58 56, Ζ=

32 Σύγκριση λύσεων προβλήματος DEWAG με SIMPLEX Λύση Πρωτεύοντος Βάση X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 Δεξί μέρος, Χ Β X ,91 51, S ,73 0, ,59 X ,82-37, S ,30-1, ,81 C j C j Z= Λύση Δυαδικού Βάση Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 S 1 S 2 Α 1 Α 2 Δεξί μέρος, Χ Β Π ,728-1,296-77,821 38,911 77,821-38, Π ,824 1,728 37,095-51,881-37,095 51, C j C j 0 0 9,58 56, Ζ=