Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα"

Transcript

1 Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα

2 Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία 4. Συμπεράσματα ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 2

3 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας Κανονική Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου του Γενικού Προβλήματος ΓΠ Η αντικειμενική συνάρτηση μεγιστοποιείται Οι περιορισμοί είναι όλοι ανισότητες (<=) εν υπάρχει περιορισμός για το πρόσημο των b i ηλαδή: max z = Σ c j x j με τους περιορισμούς: r Σ α ij x j <=b i για i = 1, 2, m j=1 r j=1 x j >=0, για j = 1, 2,, r Κάθε πρόβλημα ΓΠ μπορεί να τεθεί στην κανονική μορφή ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 3

4 Βασικές Τεχνικές Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας min z = c 1 x 1 + c 2 x c r x r ισοδυναμεί με: max z = -z = -c 1 x 1 -c 2 x c r x r >= ισοδυναμεί με -<=- r Σ α ij x j =b i ισοδυναμεί με j=1 r Σ α ij x j <=b i και j=1 r Σ α ij x j >=b i ή -Σ α ij x j <=-b i j=1 r j=1 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 4

5 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας Ορισμένες Γενικές Αρχές (1/2)... Το δυαδικό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποιήσεως σε κανονική μορφή Όταν το πρωτεύον πρόβλημα έχει n μεταβλητές απόφασης, τότε το δυαδικό έχει n περιορισμούς. Ο 1ος περιορισμός του δυαδικού συσχετίζεται με την μεταβλητή x 1 του πρωτεύοντος, ο 2ος με τη μεταβλητή x 2 κ.ο.κ. Όταν το πρωτεύον έχει m περιορισμούς, το δυαδικό έχει m μεταβλητές. Η μεταβλητή του δυαδικού u 1 συσχετίζεται με τον πρώτο περιορισμό του πρωτεύοντος κ.ο.κ. ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 5

6 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας Ορισμένες Γενικές Αρχές (2/2)... Τα δεξιά τμήματα των περιορισμών του πρωτεύοντος προβλήματος γίνονται οι σταθερές της αντικειμενικής συνάρτησης στο δυαδικό πρόβλημα Οι σταθερές της αντικειμενικής συνάρτησης στο δυαδικό πρόβλημα γίνονται τα δεξιά τμήματα των περιορισμών του δευτερεύοντος Οι σταθερές των περιορισμών της μεταβλητής i του πρωτεύοντος προβλήματος γίνονται οι σταθερές στον περιορισμό i του δυαδικού προβλήματος ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 6

7 Ένα Παράδειγμα Κανονικοποίησης... Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας και που στην κανονική μορφή γίνεται: min z = 3 x 1-3 x x 3 max z = -z = -3 x x 2-7 x 3 με τους παρακάτω περιορισμούς: x 1 + x x 3 <= 40 x x 2-7 x 3 >= 50 5 x x x 3 = 20 x 1, x 2, x 3 >= 0 με τους παρακάτω περιορισμούς: x 1 + x x 3 <= 40 -x 1-9 x x 3 <= x x x 3 <= 20-5 x 1-3 x x 3 <= -20 x 1, x 2, x 3 >= 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 7

8 Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος Σύγκριση Πρωτεύοντος & υαδικού Προβλήματος max z x =c 1 x 1 + c 2 x c j x j + + c r x r a 11 x a 1j x j + a 1r x r <= b 1 a i1 x a ij x j + a ir x r <= b i a m1 x a mj x j + a mr x r <= b m min z u =b 1 u b i u i + + b m u m a 11 u a i1 u i + a m1 u m >= c 1 a 1j u a ij u i + a mj u m >= c j a 1r u a jr u j + a mr u m >= c r και x j >=0, j = 1, 2,, r και u i >=0, i = 1, 2,, m max z x =c x R x <= b x>=0 και σε μητρική μορφή... και σε μητρική μορφή... min z u =b u R u >= c u>=0, όπου u = [u 1,u 2,, u m ], ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 8

9 Ένα Ακόμα Παράδειγμα... Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος max z x = 2 x x x 3 min z u = 15 u u u u 4 +9 u 5 με τους παρακάτω περιορισμούς: 2 x x 2 <= 15 x 1 + x 3 <= 4 4 x x 3 <= 22 x 1 + x 2 + x 3 <= 6 3 x 1 + x 2 <= 9 x 1, x 2, x 3 >= 0 με τους παρακάτω περιορισμούς: 2 u 1 + u 2 +u u 5 >= 2 3 u u 3 +u 4 + u 5 >= 3 u u 3 +u 4 >= 7 u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 >= 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 9

10 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας Βασικά Θεωρήματα (1/3) Θεώρημα 6: Το δυαδικό του δυαδικού ενός προβλήματος ΓΠ είναι αυτό το ίδιο το πρωτεύον πρόβλημα Θεώρημα 7: Εάν, είτε το πρωτεύον είτε το δυαδικό πρόβλημα έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση, τότε και το άλλο έχει πεπερασμένη βέλτιστη δυνατή λύση και η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης των δύο προβλημάτων είναι η ίδια, δηλαδή: max z x = min z u Εάν ένα από τα δύο προβλήματα έχει λύση μη πεπερασμένη (άρα έχει μη φραγμένο περιορισμό) τότε το άλλο πρόβλημα δεν έχει δυνατή λύση (το αντίστροφο δεν ισχύει) Εάν ένα πρόβλημα δεν έχει δυνατή λύση, τότε το άλλο ή δεν έχει δυνατή λύση ή έχει μη φραγμένο περιορισμό ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 10

11 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας Βασικά Θεωρήματα (2/3) Θεώρημα 8: Η βέλτιστη τιμή της i δυαδικής μεταβλητής u i ισούται με την αρνητική (θετική στην περίπτωση που το πρωτεύον είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης με περιορισμούς >= ) τιμή του οριακού καθαρού εισοδήματος της i-στης μεταβλητής αποκλίσεως του πρωτεύοντος προβλήματος που βρίσκεται στην τελευταία σειρά του πίνακα της βέλτιστης λύσης Θεώρημα 9: Η βέλτιστη τιμή της j-στης μεταβλητής αποκλίσεως του δυαδικού προβλήματος ισούται με την αρνητική (θετική στην περίπτωση που το πρωτεύον είναι πρόβλημα ελαχιστοποίησης με περιορισμούς >=) τιμή του οριακού καθαρού εισοδήματος της j-στης αρχικής μεταβλητής του πρωτεύοντος, που βρίσκεται στην τελευταία σειρά του πίνακα της βέλτιστης λύσης ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 11

12 Βασικά Θεωρήματα (3/3) Θεώρημα 10: Αν και το πρωτεύον και το δυαδικό πρόβλημα έχουν πεπερασμένες δυνατές λύσεις και είναι (x 1, x 2,, x r+m ) μία βασική δυνατή μη βέλτιστη λύση του πρωτεύοντος με αντίστοιχα οριακά καθαρά εισοδήματα c j z j τότε η u i = z r+i = -c - r+i για i=1,2,,m u m+j = z j c j = -c- j για j=1,2,,r Η Simplex ψάχνει για βασικές μη βέλτιστες λύσεις (η βέλτιστη είναι η τελευταία) στο πρωτεύον πρόβλημα, αλλά συγχρόνως, εμμέσως (μέσω του αντίστοιχου δυαδικού) ψάχνει μη δυνατές λύσεις καλύτερες της βέλτιστης Το παραπάνω είναι αποτέλεσμα του ότι μη βέλτιστες δυνατές λύσεις οποιουδήποτε των δύο προβλημάτων είναι συμπληρωματικές προς βασικές λύσεις του άλλου προβλήματος ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 12 Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας

13 Άλλο Ένα Παράδειγμα... Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος max z x = 2 x 1 + x 2 min z u = 8 u u u u 4 με τους παρακάτω περιορισμούς: x 1 + x 2 <= 8 3 x 1 - x 2 <= 10 x x 2 <= 6 x 2 <= 2 x 1, x 2 >= 0 με τους παρακάτω περιορισμούς: u u 2 + u 3 >= 2 u 1 - u u 3 + u 4 >= 1 u 1, u 2, u 3, u 4 >= 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 13

14 Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος Επίλυση Πρωτεύοντος, Αρχικός Πίνακας... r=2 Βάση α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 x B α α α α c j -z j z=0 κ=1 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 14

15 Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος Επίλυση Πρωτεύοντος, εύτερος Πίνακας... r=2 Βάση α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 x B α 3 0 4/3 1-1/ /3 α 1 1-1/3 0 1/ /3 α 5 0 7/3 0-1/ /3 α c j -z j 0 5/3 0-2/3 0 0 z=20/3 κ=1 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 15

16 Επίλυση Πρωτεύοντος, Τελικός Πίνακας... Σύνδεση Πρωτεύοντος & Δυαδικού Προβλήματος Βάση α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 x B α /7-4/7 0 22/7 α /7 1/7 0 26/7 α /7 3/7 0 8/7 α /7-3/7 1 6/7 c j -z j /7-5/7 0 z*=60/7 Θεώρημα 9 Θεώρημα 8 Λύσεις υαδικού Προβλήματος u* 5 =0, u* 6 =0 u* 1 =0, u* 2 =3/7, u* 3 =5/7, u* 4 =0 z* u =60/7 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 16

17 Οικονομική Ερμηνεία Οικονομική Ερμηνεία (1/4) x j : H στάθμη της δραστηριότητας j c j : Η μοναδιαία αξία (κέρδος) της δραστηριότητας j b i : Η ποσότητα του πόρου i που διατίθεται συνολικά α ij : Η ποσότητα του πόρου i που καταναλίσκεται από την δραστηριότητα j u i : (αξία / μον. μέτρ. x j ) / (μον. μέτρ. πόρου i / μον. μέτρ. x j ) = αξία / μον. μέτρ. πόρου i u* i : Μοναδιαία ή οριακή αξία (marginal value) του πόρου i a 1j u a ij u i + a mj u m >= c j ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 17

18 Οικονομική Ερμηνεία Οικονομική Ερμηνεία (2/4) Πρωτεύον Πρόβλημα Με δεδομένη την αξία ανά μονάδα προϊόντος, ζητείται να βρεθεί η ποσότητα παραγωγής που θα μεγιστοποιεί την αξία της συνολικής παραγωγής. Οι περιορισμοί αναφέρονται σε περιορισμένη παρουσία των πόρων. υαδικό Πρόβλημα Με δεδομένη τη διαθεσιμότητα κάθε πόρου (b i ), ζητείται να βρεθεί η αξία ανά μονάδα πόρου ώστε η συνολική αξία των πόρων να ελαχιστοποιείται. Οι περιορισμοί απαιτούν η ανά μονάδα αξία των πόρων να είναι μεγαλύτερη ή ίση από την αξία κάθε μονάδας που παράγεται. ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 18

19 Οικονομική Ερμηνεία Οικονομική Ερμηνεία (3/4) α ij : Η ποσότητα του πόρου i που καταναλίσκεται από την δραστηριότητα j u i : Μοναδιαία αξία πόρου i για εκείνον που χρησιμοποιεί τον πόρο m Σ α ij u i : Αποδιδόμενο κόστος λειτουργίας δραστηριότητας j i=1 Η ποσότητα επί την μοναδιαία αξία του πόρου i θα πρέπει να υπερβαίνει το κέρδος που θα μπορούσε να ληφθεί από την δραστηριότητα... Σ α ij u i >=c j m i=1 αλλιώς το u i θα υποεκτιμούσε τις αληθινές αποδιδόμενες αξίες μερικών από τους διαθέσιμους πόρους ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 19

20 Οικονομική Ερμηνεία Οικονομική Ερμηνεία (4/4) z* u = b 1 u* 1 + b 2 u* b m u* m Το u* i μας δίνει το ρυθμό αύξησης (ή μείωσης) του κέρδους που συνεπάγεται η αύξηση (ή μείωση) της ποσότητας b i του διαθέσιμου πόρου i μέσα σε ορισμένα όρια μεταβολής του b i στα οποία διατηρείται η βέλτιστη βάση. Άρα, η u* i μπορεί να ερμηνευθεί ως η μοναδιαία ή οριακή αξία του πόρου i Παράδειγμα: Η αύξηση της διαθέσιμης ποσότητας του πόρου i κατά 1 σημαίνει αύξηση του κέρδους κατά u* i (εφόσον η βέλτιστη βάση παραμένει η ίδια) ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 20

21 Οικονομική Ερμηνεία Συσχέτιση Πρωτεύοντος & υαδικού Θα πρέπει να προσεχθούν τα παρακάτω: 1. Εάν ο i-στός περιορισμός του πρωτεύοντος προβλήματος είναι ισότητα, η αντίστοιχη i-στη μεταβλητή του δυαδικού προβλήματος δεν έχει περιορισμό ως προς το πρόσημο. 2. Εάν η j-στή μεταβλητή του πρωτεύοντος προβλήματος δεν έχει περιορισμό ως προς το πρόσημο, ο j-στός περιορισμός του δυαδικού του θα είναι ισότητα. Αυτή είναι και η μόνη περίπτωση που θα έχουμε σχέση ισότητας στο δυαδικό πρόβλημα. ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 21

22 Σύνοψη Συσχέτισης Πρωτεύοντος & υαδικού Πρωτεύον Πρόβλημα -Πρόβλημα μεγιστοποιήσεως -Συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης -Σταθεροί όροι περιορισμών -Τεχνολογική μήτρα -Περιορισμοί i στη ανισότητα <= i στη ανισότητα = -Μεταβλητές x j >=0 x j ><0 υαδικό Πρόβλημα -Πρόβλημα ελαχιστοποιήσεως -Σταθεροί όροι περιορισμών Συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης -Ανάστροφη Τεχνολογική μήτρα -Μεταβλητές u j >=0 u j ><0 -Περιορισμοί j-στη ανισότητα >= j-στη ανισότητα = ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 22

23 Χρησιμότητα Θεωρίας υαδικότητας Γενικά Στοιχεία Θεωρίας Δυαδικότητας ιευκολύνει την επίλυση του αντίστοιχου πρωτεύοντος προβλήματος σε ορισμένες περιπτώσεις (εάν οι περιορισμοί του ενός προβλήματος είναι περισσότεροι από τους αντίστοιχους του δυαδικού προβλήματος, είναι προτιμότερο να λυθεί απευθείας το δυαδικό) Παρέχει οικονομικές πληροφορίες για τα μεγέθη του πρωτεύοντος Χρησιμεύει στην πραγματοποίηση αναλύσεων ευαισθησίας ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 23

24 Παράδειγμα Δυαδικότητας Παράδειγμα Προβλήματος υαδικότητας Έστω ότι κάποιος αντιμετωπίζει το κλασικό πρόβλημα δίαιτας, σύμφωνα με το οποίο επιχειρείται να ελαχιστοποιηθεί το κόστος αγοράς τροφίμων ώστε να εξασφαλιστούν κάποιες ελάχιστες ποσότητες βιταμινών Έστω, λοιπόν, ότι ενδιαφερόμαστε για 2 βιταμίνες, τις A και C, οι οποίες μπορούν να εξασφαλιστούν από έξι διαφορετικές τροφές, τις Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ 4, Φ 5, Φ 6, ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 24

25 Παράδειγμα Δυαδικότητας εδομένα Προβλήματος ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 25

26 Παράδειγμα Δυαδικότητας Μαθηματική ιατύπωση Προβλήματος Min z = Min { 1.05x x x x x x 6 } Περιορισμοί x 1 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 +2x 6 >=9 2x 2 + 3x 3 + x 4 + 3x 5 +2x 6 }>=19 x i >=0, i =1..6 Εισάγουμε δύο βοηθητικές μεταβλητές s 1 και s 2 Αντικειμενικός σκοπός είναι ο περιορισμός του κόστους λαμβάνοντας όμως τις ελάχιστα απαιτούμενες βιταμίνες A και C ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 26

27 Παράδειγμα Δυαδικότητας Τελικός Πίνακας Simplex Προβλήματος Εάν η δίαιτα θα έπρεπε να αυξηθεί κατά μία μονάδα σε Α θα έπρεπε να πληρώσω 0.12 παραπάνω από τα 5.07 (= z) Αντίστοιχα ισχύουν και για τη βιταμίνη C ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 27

28 Παράδειγμα Δυαδικότητας υαδικές Τιμές Με βάση το δυαδικό πρόβλημα ισχύει: u 1 = 0.12, u 2 = 0.21 u 3 = 0.93, u 4 = 0.69, u 5 = 0.93, u 6 = 1.05, u 7 = 0, u 8 = 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 28

29 ιατύπωση υαδικού Προβλήματος Παράδειγμα Δυαδικότητας Έστω ότι ένας φαρμακοποιός μπορεί να εξασφαλίσει τις βιταμίνες Α και C σε φαρμακευτικά σκευάσματα και θέλει να παρέχει εναλλακτική λύση στους ίδιους πελάτες με αυτούς που επιδιώκουν την απόκτηση μίας ελάχιστης ποσότητας βιταμινών ίδιας με αυτής του προηγούμενου προβλήματος Για να είναι τα φαρμακευτικά σκευάσματα ανταγωνιστικά, θα πρέπει η μοναδιαία τιμή στην οποία προσφέρονται (έστω Υ Α και Υ C ) να συμφέρει σε σχέση με την αγορά των τροφίμων του αρχικού προβλήματος Άρα, η τιμή για κάθε συνδυασμό βιταμινών που αντιστοιχούν σε ένα τρόφιμο θα πρέπει να είναι μικρότερη από το κόστος του τροφίμου στην αγορά ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 29

30 Παράδειγμα Δυαδικότητας Μαθηματική ιατύπωση υαδικού Προβλήματος Αντικειμενική Συνάρτηση Max { 9 Y A + 19 Y C }, δηλαδή μεγιστοποίηση των εσόδων του φαρμακοποιού για το ελάχιστο των βιταμινών που ζητά ο κάθε πελάτης Υφιστάμενοι Περιορισμοί Y A <=1.05 (Τιμή Τροφίμου Φ 1 ) Y C <=0.90 (Τιμή Τροφίμου Φ 2 ) 2Y A + 3Y C <=1.80 (Τιμή Τροφίμου Φ 3 ) Y A + Y C <=1.50 (Τιμή Τροφίμου Φ 4 ) Y A + 3Y C <=0.75 (Τιμή Τροφίμου Φ 5 ) 2Y A + 2Y C <=0.66 (Τιμή Τροφίμου Φ 6 ) ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 30

31 Παράδειγμα Δυαδικότητας Επίλυση υαδικού Προβλήματος Για την επίλυση του προβλήματος, πρέπει να εισαχθούν έξι βοηθητικές μεταβλητές (ε 1..ε 6 ), οι οποίες εκφράζουν τη διαφορά της τιμής μίας μονάδας τροφής Φ i στην αγορά τροφίμων σε σχέση με το φαρμακείο Η επίλυση του προβλήματος οδηγεί στον προσδιορισμό των ακόλουθων τιμών Y A * = 0.12, Y c * = 0.21 ε 1 = 0.93, ε 2 = 0.69, ε 3 = 0.93, ε 4 = 1.05, ε 5 = 0, ε 6 = 0 Οι ε 5 και ε 6 είναι εκτός βάσης, επομένως παίρνουν τις τιμές 0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 31

32 Παράδειγμα Δυαδικότητας Ερμηνεία υαδικού Προβλήματος Εάν οι βιταμίνες πωληθούν προς 12 και 21 λεπτά, τότε τα τρόφιμα Φ 5 και Φ 6 δεν θα έχουν διαφορά σε σχέση με την αγορά (στοιχείο που είχε προκύψει έμμεσα και από το πρωτεύον πρόβλημα, αφού αυτά τα δύο τρόφιμα είχαν δώσει τη βέλτιστη λύση) Τα τρόφιμα Φ 1, Φ 2, Φ 3, και Φ 4 είναι ακριβότερα στην αγορά απ ότι στο φαρμακείο κατά τα νούμερα των μεταβλητών ε 1..ε 4 Επομένως, οι δυαδικές τιμές εκφράζουν την αξία των Ά Υλών του προβλήματος (όπως οι βιταμίνες είναι οι Ά Ύλες των τροφίμων) Εάν αυξηθούν οριακά οι τιμές ενός περιορισμού, η επίπτωση στην αντικειμενική συνάρτηση θα ισούται οριακά με τη δυαδική τιμή του αντίστοιχου περιορισμού ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 32

33 Παράδειγμα Δυαδικότητας Ερμηνεία υαδικών Τιμών Η δυαδική (ή δυική) τιμή που αντιστοιχεί σε έναν περιορισμό (αφού εισάγεται η αντίστοιχη βοηθητική μεταβλητή για να καταστήσει την ανισοισότητα σε ισότητα) είναι η αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που θα προκύψει από μοναδιαία αύξηση της αντίστοιχης σταθεράς b j του περιορισμού Η δυαδική τιμή μιας Ά Ύλης είναι η πραγματική (εσωτερική) αξία (ή κόστος) που έχει οριακά μία μονάδα αυτής της Ά Ύλης στη δεδομένη παραγωγή ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 33

34 Παράδειγμα Δυαδικότητας Επιπλέον Κόστος Το επιπλέον κόστος μίας μεταβλητής i είναι η μεταβολή την οποία πρέπει να υποστεί ο συντελεστής αυτής της μεταβλητής στην αντικειμενική συνάρτηση ώστε η μεταβλητή αυτή να πάρει θετική τιμή στη βέλτιστη λύση Το επιπλέον κόστος εκφράζεται από το οριακό καθαρό εισόδημα ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 34

35 Παράδειγμα Δυαδικότητας Επιπλέον Κόστος Ένας τρόπος για να επαληθευτεί το επιπλέον κόστος ενός προϊόντος είναι ο εξής: α. Να υπολογιστεί η αξία του προϊόντος Αξία ενός προϊόντος είναι το άθροισμα των αξιών των συστατικών του, όπου η αξία μίας μονάδας Ά Ύλης είναι η δυική της τιμή Π.χ. Για την τροφή Φ 3, που περιλαμβάνει 2 βιταμίνες Α και 3 βιταμίνες C έχουμε: α 3 = 2 Υ Α + 3Υ C = 2 * * 0.21 = 0.87 β. Να αφαιρεθεί η αξία του προϊόντος από τον συντελεστή του προϊόντος στην αντικειμενική συνάρτηση Έτσι, για το παράδειγμα του Φ 3, είναι c 3 = 1.80 και ε 3 = c 3 α 3 = = 0.93 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 35

36 Ανάλυση Ευαισθησίας Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας Με τον όρο «ανάλυση ευαισθησίας» αναφερόμαστε στη μελέτη και ανάλυση της λύσης, όταν μεταβάλλονται ορισμένες από τις σταθερές προϋποθέσεις του προβλήματος Μπορούμε να ορίσουμε τρία βασικά είδη ανάλυσης ευαισθησίας που αντιστοιχούν σε: Μεταβολές στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης Μεταβολές στη διαθεσιμότητα των περιορισμών Εισαγωγή πρόσθετης μεταβλητής ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 36

37 Ανάλυση Ευαισθησίας Παράδειγμα... Μία επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες, τις Α, Β και Γ για να παράγει δύο προϊόντα Π 1 και Π 2. Με βάση τις προδιαγραφές της παραγωγής, για την παραγωγή μίας μονάδας προϊόντος Π 1 πρέπει να χρησιμοποιηθούν 1 μονάδα Α, 1 μονάδα Β και 2 μονάδες Γ. Για μία μονάδα προϊόντος Π 2 απαιτούνται 2 μονάδες Α, 1 μονάδα Β και 1 μονάδα Γ. Η επιχείρηση διαθέτει αποθέματα ύψους 30, 20 και 36 μονάδων Α, Β και Γ αντίστοιχα. Τα προϊόντα πωλούνται στην αγορά με 200 (Π 1 ) και 300 (Π 2 ) ανά μονάδα Ζητείται να βρεθούν οι ποσότητες των Π 1 και Π 2 οι οποίες πρέπει να παραχθούν ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό εισόδημα. ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 37

38 ιαμόρφωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Ανάλυση Ευαισθησίας Πρώτη Ύλη Προϊόντα 1 2 Ολικό ιαθέσιμο Απόθεμα Α Β Γ Τιμή Πώλησης Max {Ζ = 200 x x 2 } x x 2 <=30 x x 2 <=20 2x 1 + x 2 <=36 x 1 >=0, x 2 >=0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 38

39 Μεταβολές στους Συντελεστές της Αντικειμενικής Συνάρτησης x 2 Ανάλυση Ευαισθησίας Μικρή μεταβολή στην αντικειμενική συνάρτηση δεν μεταβάλλει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος 2 3 Η κλίση ορίζεται ως c 1 / c 2 4 Max {Ζ = 200 x x 2 } 5 x 1 x x 2 <=30 x x 2 <=20 2x 1 + x 2 <=36 x 1 >=0, x 2 >=0 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 39

40 x 2 Ανάλυση Ευαισθησίας Μεταβολές στους Συντελεστές της Αντικειμενικής Συνάρτησης Z C 2 = x C 1 ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 40

41 Ανάλυση Ευαισθησίας Επιπτώσεις στις υαδικές Τιμές Εάν αλλάξει ο συντελεστής μίας βασικής μεταβλητής τότε αλλάζουν οι δυαδικές τιμές Εάν αλλάξει ο συντελεστής μίας μη βασικής μεταβλητής, τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις: Εάν η αλλαγή καθιστά τη μεταβλητή λιγότερο ανταγωνιστική (σε πρόβλημα μεγιστοποίησης μειωθεί ο συντελεστής της), τότε δεν υπάρχει καμία μεταβολή στις δυαδικές τιμές Εάν η αλλαγή καθιστά τη μεταβλητή ανταγωνιστικότερη, τότε οι δυαδικές τιμές αλλάζουν μόνο εάν η μεταβολή στο συντελεστή είναι μεγαλύτερη από το επιπλέον κόστος αυτής της μεταβλητής ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 41

42 Ανάλυση Ευαισθησίας Μεταβολές στις εξιές Σταθερές των Περιορισμών Εάν ένας περιορισμός είναι ισότητα, τότε οποιαδήποτε μεταβολή στην αντίστοιχη διαθεσιμότητα του πόρου επιδρά αυτόματα στη βέλτιστη λύση Εάν ένας περιορισμός ισχύει με ανισότητα, τότε μικρές μεταβολές στην αντίστοιχη διαθεσιμότητα δεν έχουν καμία επίδραση στη βέλτιστη λύση ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 42

43 Θέματα για συζήτηση - Συμπεράσματα Ερωτήσεις... ΕΜΠ - Τμήμα Μηχ. Μηχ 43

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton minu = b 1 Π 1 + b Π + + b m Π m ΔΥΑΔΙΚΟ X 1 X X n Π 1 α 11 a 1... a 1n b 1 Π α 1 a... a n b............ Π m a m1 a m a mn b m c 1 c... c n maxz

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2014

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2014 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥΠΟΛΗ - ΡΙΟ 00 ΠΑΤΡΑ UNIVERSITY CAMPUS-RIO 00 PATRAS, GR ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ( Μονάδες ) Στο παρακάτω πρόβληµα γ.π c max = + s. t + - + + + 0 +,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές 4. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ζήτηση εργασίας στο σύνολο της οικονομίας ορίζεται ως ο αριθμός εργαζομένων που οι επιχειρήσεις επιθυμούν να απασχολούν

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ευαισθησίας. Άσκηση 3 Δίνεται ο παρακάτω τελικός πίνακας Simplex. Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος

Ανάλυση ευαισθησίας. Άσκηση 3 Δίνεται ο παρακάτω τελικός πίνακας Simplex. Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Άρτα Επιχειρησιακή Έρευνα Γκόγκος Χρήστος Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων Μεταπτυχιακό Μηχανικών Η/Υ και Δικτύων ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ 1. Στην περίπτωση των εξωτερικών επιβαρύνσεων στην παραγωγή, η επιβολή ενός φόρου ανά µονάδα προϊόντος ίσου µε το µέγεθος της οριακής εξωτερικής επιβάρυνσης µπορεί να οδηγήσει:

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Αγορές - Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 6 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Αγορές - 6 Δεκεμβρίου 2012 1 / 26 Ως τώρα, υποθέσαμε ότι οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Μία συνέπεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας

2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α Θεωρία Ζήτησης Ενός Αγαθού - Ανάλυση Συμπεριφοράς Καταναλωτή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έννοια και Στόχοι της Μικροοικονομικής Θεωρίας 1. Γενικά...27 2. Το Πρόβλημα της Επιλογής...29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αποφάσεων Marketing. Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων

Αποφάσεων Marketing. Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Αποφάσεων Marketing ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5.

Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Άλυτες Ασκήσεις ΓΠ Α. Μέρη ενός προβλήματος ΓΠ - Λυμένο πρόβλημα 1, Άσκηση 1. Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Γ. Διατύπωση μαθηματικού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα

Πολιτική Οικονομία Ενότητα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 03: Ζήτηση και προσφορά αγαθών Πολυξένη Ράγκου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβλητή & Ολική Κοστολόγηση

Μεταβλητή & Ολική Κοστολόγηση Οργάνωση Παραγωγής & ιοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Κοστολόγηση Επιχειρήσεων & Λήψη Αποφάσεων Κεφάλαιο 4 Μεταβλητή & Ολική Κοστολόγηση Νικόλαος Α. Παναγιώτου 2004 ΕΜΠ Τομέας Βιομηχανικής ιοίκησης & Επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό. της Επιχείρησης παραγωγής Σοκολάτας ΜC

Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό. της Επιχείρησης παραγωγής Σοκολάτας ΜC ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας: Ποσοτικές Μέθοδοι Στατιστική & Οικονομετρία Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Ο Γραμμικός Προγραμματισμός στο Σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ υτικής Μακεδονίας -Τµήµα ιοίκησης επιχειρήσεων- Μάθηµα: Ποσοτικές µέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάµηνο

ΤΕΙ υτικής Μακεδονίας -Τµήµα ιοίκησης επιχειρήσεων- Μάθηµα: Ποσοτικές µέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάµηνο ΤΕΙ υτικής Μακεδονίας -Τµήµα ιοίκησης επιχειρήσεων- Μάθηµα: Ποσοτικές µέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάµηνο Ηµεροµηνία: Τρίτη 23 ΜΑΪ 2017, 2 η γραπτή Πρόοδος Εκπαιδευτής: Βασίλειος Ισµυρλής, ιάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Ο Δυναμικός Προγραμματισμός (ΔΠ) είναι μία υπολογιστική μέθοδος η οποία εφαρμόζεται όταν πρόκειται να ληφθεί μία σύνθετη απόφαση η οποία προκύπτει από τη σύνθεση επιμέρους

Διαβάστε περισσότερα