Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου

2 Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση Μεθόδου 3. Ερμηνεία Βασικών Μεγεθών 4. Παραδείγματα 2

3 Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου του Γενικού Προβλήματος ΓΠ Όλες οι ανισοϊσότητες θα πρέπει να γίνουν εξισώσεις για να επιλυθεί το πρόβλημα του ΓΠ Τους περιορισμούς της μορφής <= τους μετατρέπουμε σε ισότητες με την εισαγωγή μεταβλητών χαλαρότητας Τους περιορισμούς της μορφής >= τους μετατρέπουμε σε ισότητες με την εισαγωγή μεταβλητών περίσσειας Γενικότερα, οι μεταβλητές που εισάγονται για να μετατραπούν οι ανισοϊσότητες σε ισότητες ονομάζονται μεταβλητές αποκλίσεως (ή βοηθητικές ή ουδέτερες) Όνομα Αρχείου 3

4 Ορισμένα Μαθηματικά (1/2) Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Πρώτη κατηγορία περιορισμών Δεύτερη κατηγορία περιορισμών r Σ α hj x j <= b h j=1 x r+h = b h - Σ α hj x j >= 0 r Σ α hj x j + x r+h = b h j=1 r Σ α kj x j >= b h j=1 x r+k = Σ α kj x j - b k >= 0 r Σ α kj x j - x r+k = b k j=1 Σταδιακά επιτυγχάνουμε την μετατροπή όλων των αρχικών περιορισμών στο ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων r Σ α hj x j + x r+h = b h j=1 r Σ α kj x j - x r+k = b k j=1 r Σ α ρj x j j=1 = b ρ h = 1, 2,, u k = u+1, u+2,, v ρ = v+1, v+2,, m Όνομα Αρχείου 4

5 Ορισμένα Μαθηματικά (2/2) Τελικώς, καταλήγουμε στην μήτρα mxn που φαίνεται παρακάτω: Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου α 11 α 12 α 1r α 21 α 22 α 1r α u1 α u2 α ur A = α u+1, 1 α u+1,2 α u+1,r α v1 α v2 α vr α v+1,1 α v+1,2 α v+1,r α m1 α m2 α mr Όνομα Αρχείου 5

6 Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Τελικώς... Επειδή οι εισαγόμενες μεταβλητές αποκλίσεως έχουν μοναδιαίες αξίες μηδενικές, λέμε ότι οι αντίστοιχες δραστηριότητες είναι ουδέτερες Το πρόβλημα που προκύπτει με τους περιορισμούς των εξισώσεων έχει το ίδιο σύνολο βέλτιστων λύσεων με το αρχικό Η φυσική ερμηνεία των μεταβλητών αποκλίσεως είναι ότι παριστάνουν το μέρος του διαθεσίμου μέσου που μένει αχρησιμοποίητο Όνομα Αρχείου 6

7 Στοιχεία Θεωρίας Προκαταρκτικά Θεωρίας Μεθόδου Simplex max (ή min) z = cx Ax = b (b>=0) Μοντέλο Γενικού Προβλήματος x>=0 Λύση: Κάθε λύση του Ax = b, δηλαδή κάθε διάνυσμα x = [x 1, x 2, x 3,... X n ] που ικανοποιεί το σύστημα αυτό Εφικτή Λύση: Κάθε λύση του Ax = b που ικανοποιεί τους περιορισμούς (x>=0) Βέλτιστη Δυνατή Λύση: Η εφικτή λύση που βελτιστοποιεί τη z Όνομα Αρχείου 7

8 Παραδείγματα Μορφοποίησης Προβλημάτων Παράδειγμα Πρότυπης Μορφής Μαθηματικού Μοντέλου του Γενικού Προβλήματος ΓΠ Max {4 x 1 +3 x 2 } υποκείμενο στους παρακάτω περιορισμούς: 2 x x 2 <= 6 x x 2 >= 4 x 1 + x 2 = 3 x 1, x 2 >0 z = 4 x x 2 = c x c = (4, 3, 0, 0) Με μεταβλητές απόκλισης 2 x x 2 + x 3 = 6 x x 2 - x 4 = 4 x 1 + x 2 = 3 x 1, x 2 >0 Μητρική μορφή x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x x 2 = x 3 3 x 4 Α =(α 1, α 2, α 3, α 4 ) b = [6, 4, 3] α 1 = [2, 1, 1] α 2 = [3, 7, 1] α 3 = [1, 0, 0] α 4 = [0, -1, 0] Όνομα Αρχείου 8

9 Παράδειγμα Διαμόρφωσης Προβλήματος προς Επίλυση Παράδειγμα (1/3) 2X 1 + 3X 2 <= 6 X 1 + 7X 2 >= 4 X 1 + X 2 = 3 όπου, X 1 >= 0, X 2 >= 0 2X 1 + 3X 2 + X 3 = 6 X 1 + 7X 2 - X 4 = 4 X 1 + X 2 = 3 όπου, X 1 >= 0, X 2 >= 0, X 3 >= 0, X 4 >= x x x 3 3. = X 3, X 4 =μεταβλητές αποκλίσεως Όνομα Αρχείου 9 x 4 A X = b

10 Παράδειγμα Διαμόρφωσης Προβλήματος προς Επίλυση Παράδειγμα (2/3) = (α 1, α 2, α 3, α 4 ) Χ= [X 1, X 2, X 3, X 4 ] b = [6, 4, 3] α 1 = [2, 1, 1] α 2 = [3, 7, 1] α 3 = [1, 0, 0] α 4 = [0, -1, 0] Όνομα Αρχείου 10

11 Παράδειγμα Διαμόρφωσης Προβλήματος προς Επίλυση Παράδειγμα (3/3) Η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται: Ζ = 4X 1 +3X 2 = C X = 4X 1 +3X 2 + 0X 3 + 0X 4 C = (4, 3, 0, 0) ή Ζ = (C 1, C 2, C 3, C 4 ) X 1 X 2 X 3 X 4 Όνομα Αρχείου 11

12 Τυπική Περίπτωση Μεγιστοποιήσεως z3 x 2 5x 1 +2x 2 =10 5 z1 z2 max z = 5x 1 + 3x 2 4 3x 1 + 5x 2 <=15 3 A z =5x 1 +3x 2 5x 1 + 2x 2 <=10 x 1 >=0 2 x 2 >= x 1 3x 1 +5x 2 =15 Όνομα Αρχείου 12

13 Λύσεις Προβλήματος Λύσεις Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Για να έχει μία τουλάχιστον λύση η Ax=b, θα πρέπει ο βαθμός της μήτρας Α να ισούται με το βαθμό της επαυξημένης μήτρας Αb (στήλες της Α και στήλη b) Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων m θα πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών n Εάν m=n,υπάρχει μόνο μία λύση Εάν m<n,υπάρχουν άπειρες λύσεις Εάν m>n,δεν υπάρχει λύση Όνομα Αρχείου 13

14 Βάση Συστήματος Βάση Συστήματος Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Βάση Β είναι η τετραγωνική μήτρα mxm που προκύπτει από την Α και έχει m γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Βασικές μεταβλητές (ή εξαρτημένες) ονομάζονται οι μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες μιας βάσεως Β Μη βασικές μεταβλητές (ή ανεξάρτητες) είναι οι n-m μεταβλητές που δεν είναι βασικές Όνομα Αρχείου 14

15 Βάση Συστήματος Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Β = (α 1, α 2,... α m ) η βασική μήτρα της Α Α = (α m+1, α m+2,... α n ) η υπομήτρα mx(n-m) των μη βασικών διανυσμάτων x B =[x 1, x 2,... x m ] το διάνυσμα στήλης των βασικών μεταβλητών x=[x m+1, x m+2,... x n ] το διάνυσμα στήλης των μη βασικών μεταβλητών Α x=b ή [Β,Α] [ ] = b ή Β x B +A x = b ή B -1 B x B + B -1 A x = B -1 b ή x B = B -1 b - B -1 A x x B x Βάση Συστήματος Όνομα Αρχείου 15

16 Βάση Συστήματος Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Η σχέση x B = B -1 b - B -1 A x υποδηλώνει ότι λύση μπορεί να βρεθεί εάν εκλεγούν (n-m) αυθαίρετες τιμές για τα στοιχεία του x και μετά προσδιορισθούν από αυτές τα στοιχεία του x B. Γι αυτό το λόγο τα στοιχεία του διανύσματος x καλούνται και ανεξάρτητες μεταβλητές, του δε x B εξαρτημένες Βασική (δυνατή) λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ως προς μια βάση Β καλείται μία λύση που έχει το πολύ όλες τις βασικές μεταβλητές ως προς τη βάση αυτή διάφορες του μηδενός και όλες τις μη βασικές ίσες με το μηδέν Εκφυλισμένη βασική (δυνατή) λύση καλείται μία βασική όπου μία ή περισσότερες βασικές μεταβλητές είναι μηδενικές Βάση Συστήματος Όνομα Αρχείου 16

17 Θεωρήματα Βασικά Θεωρήματα (1/2) Θεώρημα 1: Ο αριθμός των βασικών δυνατών λύσεων ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι πεπερασμένος Θεώρημα 2: Το σύνολο των δυνατών λύσεων προβλήματος ΓΠ είναι κυρτό κλειστό σύνολο Θεώρημα 3: Κάθε βασική δυνατή λύση του προβλήματος ΓΠ είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου (κορυφή του πολυέδρου) των δυνατών λύσεων, και κάθε ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου είναι μια βασική δυνατή λύση του συστήματος των περιορισμών Όνομα Αρχείου 17

18 Θεωρήματα Βασικά Θεωρήματα (2/2) Θεώρημα 4: Αν υπάρχει μία δυνατή λύση του προβλήματος ΓΠ, υπάρχει και μία βασική δυνατή λύση αυτού Θεώρημα 5: Αν υπάρχει μια βέλτιστη δυνατή λύση του προβλήματος ΓΠ, τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της σε ένα τουλάχιστον ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων, δηλαδή σε μια βασική δυνατή λύση Πόρισμα: Αν υπάρχει τουλάχιστον μία βέλτιστη δυνατή λύση που δεν είναι βασική, τότε υπάρχουν άπειρες βέλτιστες δυνατές λύσεις Όνομα Αρχείου 18

19 Θεωρήματα Σχόλια για τη Βέλτιστη Λύση Η κάθε γωνία του πολυτόπου της επιτρεπτής περιοχής ενός συστήματος με m περιορισμούς και n+m μεταβλητές ορίζεται το πολύ από m μεταβλητές θετικές και τουλάχιστον n μεταβλητές (τις υπόλοιπες) ίσες με το μηδέν Η βέλτιστη λύση ενός προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού το οποίο έχει m περιορισμούς και n+m μεταβλητές χαρακτηρίζεται το πολύ από m μεταβλητές θετικές και τουλάχιστον n μεταβλητές (τις υπόλοιπες) ίσες με το μηδέν Όνομα Αρχείου 19

20 Τυπική Περίπτωση Μεγιστοποιήσεως z3 x 2 5x 1 +2x 2 =10 5 z1 z2 max z = 5x 1 + 3x 2 4 3x 1 + 5x 2 <=15 3 A z =5x 1 +3x 2 5x 1 + 2x 2 <=10 x 1 >=0 2 x 2 >= x 1 3x 1 +5x 2 =15 20

21 Βασική Προσέγγιση Μεθόδου Simplex (1/3) Προσέγγιση Μεθόδου Simplex Η μέθοδος Simplex ξεκινά από μία αρχική δυνατή λύση Επιλέγονται κάποιες μεταβλητές ως βασικές, ενώ οι υπόλοιπες είναι μη βασικές και επομένως είναι μηδενικές (δε συμμετέχουν στη διαμόρφωση του αποτελέσματος της αντικειμενικής συνάρτησης) Στη συνέχεια, η βασική μεταβλητή εξέρχεται από τη βάση και στη θέση της εισέρχεται μία μη βασική 21

22 Βασική Προσέγγιση Μεθόδου Simplex (2/3) Προσέγγιση Μεθόδου Simplex Η μεταβλητή που εξέρχεται είναι αυτή που είναι η λιγότερο «χρήσιμη» και αυτή που εισέρχεται είναι αυτή που βελτιώνει με ταχύτερο βήμα την αντικειμενική συνάρτηση Οι ανταλλαγές μεταξύ βασικών και μη βασικών μεταβλητών (μία τη φορά) συνεχίζεται μέχρι τη στιγμή που δεν μπορεί να επιτευχθεί περαιτέρω βελτίωση Σε αυτό το σημείο, ο αλγόριθμος έχει επιτύχει τη βέλτιστη λύση 22

23 Βασική Προσέγγιση Μεθόδου Simplex (3/3) Προσέγγιση Μεθόδου Simplex Η μέθοδος Simplex δεν αναζητά όλους τους πιθανούς συνδυασμούς λύσεων οι οποίες έχουν m περιορισμούς και n μεταβλητές αλλά μόνο ένα πολύ μικρό υποσύνολο αυτών 23

24 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (1/7) Max z =6 x x 2 υποκείμενο στους παρακάτω περιορισμούς: 8 x x 2 <= 28 4 x x 2 <= 8 x 1, x 2 > x x 2 8 x 3 x 4 α 1 α 2 α 3 α 4 Χ = b. = β 1 = α 3 28 x β 2 = α Β = 4 8 c B = (0, 0) x 1 = x 2 = 0 z = c B x B - c j = c j - z j = c j - c B y j = c j y j = B -1 a j = a j 24

25 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (2/7) Cj c B 0 0 c B1 r c B2 βάση (x 1 ) (x 2 ) (x 3 ) (x 4 ) x Β α 1 α 2 α 3 α 4 (b) β 1 = α y 11 β 2 = α y 21 y 12 y 13 y 14 y 22 y 23 y 24 x B1 x B2 c j - z j z = 0 κ 25

26 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (3/7) Το μη βασικό διάνυσμα που θα εισέλθει σε προβλήματα μεγιστοποιήσεως είναι αυτό για το οποίο έχουμε το μεγαλύτερο θετικό οριακό καθαρό εισόδημα Όταν όλα τα οριακά καθαρά οριακά εισοδήματα γίνονται <= 0, τότε έχει βρεθεί η βέλτιστη λύση Σε περίπτωση προβλήματος ελαχιστοποιήσεως επιλέγεται το διάνυσμα με το απολύτως μεγαλύτερο αρνητικό οριακό καθαρό εισόδημα 26

27 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (4/7) Το διάνυσμα που θα εξέλθει σε προβλήματα μεγιστοποιήσεως είναι αυτό το οποίο προσδιορίζεται από την σχέση: θ = x Br / y rk = min (x Bi / y ik, y ik > 0) 27

28 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (5/7) Cj c B 0 6 c B1 r c B2 βάση (x 1 ) (x 2 ) (x 3 ) (x 4 ) x Β α 1 α 2 α 3 α 4 (b) β 1 = α y 11 β 2 = α y 21 y 12 y 13 y 14 y 22 y 23 y 24 x B1 x B2 c j - z j z = 12 κ 28

29 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (6/7) Cj c B 5 6 c B1 c B2 βάση (x 1 ) (x 2 ) (x 3 ) (x 4 ) x Β α 1 α 2 α 3 α 4 (b) β 1 = α y 11 β 2 = α y 21 y 12 y 13 y 14 y 22 y 23 y 24 x B1 x B2 c j - z j z =

30 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (7/7) και τα τελικά αποτελέσματα είναι τα ακόλουθα: x 2* = 2.4 x 1* = 0.2 z * =

31 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (1/7) 1. Επιλέγουμε τη μεταβλητή που θα εισέλθει στη βάση. Εισέρχεται αυτή που παρουσιάζει το μεγαλύτερο οριακό καθαρό εισόδημα c j -z j (τελευταία σειρά του πίνακα). Παράδειγμα Simplex Είσοδος x 1 31

32 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (2/7) Παράδειγμα Simplex 2. Επιλέγουμε τη μεταβλητή που θα εξέλθει από τη βάση με βάση το κριτήριο εξόδου. Εξέρχεται αυτή με το min {x Β /y ik } για τα y ik που ορίζονται από τη στήλη της μεταβλητής που εισέρχεται στη βάση στην επόμενη επανάληψη (μόνο για y ij >0). Έξοδος x 4 Είσοδος x 1 32 Min{28/8,8/4} = 8/4, που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x 4, η οποία και εξέρχεται

33 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (3/7) 3. Συμπληρώνουμε το νέο πίνακα Simplex σε 4 βήματα: α. Συμπληρώνουμε τα μοναδιαία διανύσματα των μεταβλητών που είναι στη βάση. Παράδειγμα Simplex 33

34 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (4/7) 3. Συμπληρώνουμε το νέο πίνακα Simplex σε 4 βήματα: β. Συμπληρώνουμε τη γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στη μεταβλητή που εισήλθε διαιρώντας τα αντίστοιχα στοιχεία του προηγούμενου πίνακα με το στοιχείο τομής της στήλης της μεταβλητής που εισήλθε και της γραμμής της μεταβλητής που εξήλθε. Παράδειγμα Simplex 3/4 = /4 = /4 =

35 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (5/7) 3. Συμπληρώνουμε το νέο πίνακα Simplex σε 4 βήματα: γ. Εφαρμόζουμε τον μνημονοτεχνικό κανόνα του πλαγιαστού Π εκτελώντας τις πράξεις: α-β/γ*δ για όλα τα κελιά που παραμένουν κενά εκτός του z. Παράδειγμα Simplex γ δ β α α-β/γ*δ = 5-6/4*3 =

36 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (6/7) 3. Συμπληρώνουμε το νέο πίνακα Simplex σε 4 βήματα: δ. Εφαρμόζουμε τον μνημονοτεχνικό κανόνα του πλαγιαστού Π εκτελώντας τις πράξεις: α+β/γ*δ για το z. Παράδειγμα Simplex γ δ β α α+β/γ*δ = 0+6/4*8 = 12 36

37 Οδηγίες Συμπλήρωσης Πίνακα Simplex (7/7) Παράδειγμα Simplex 4. Ελέγχουμε τα οριακά καθαρά εισοδήματα για να δούμε εάν έχουμε φτάσει στη βέλτιστη λύση (που θα συμβεί όταν όλα τα οριακά καθαρά εισοδήματα είναι 0 ή αρνητικά). Απαιτείται και νέα επανάληψη 37

38 Πίνακας Μεθόδου Simplex Πίνακας Simplex c j c 1 c 2... c j c n c Bi Βάση (x 1 ) (x 2 ) (x j ) (x n ) (x Bi ) a 1 a 2 a j a n (b) c B1 β 1 y 11 y 12 y 1j y 1n x B1 r c B2 β 2 y 21 y 22 y 2j y 2n x B2... c Bm β m y m1 y m2 y mj y mn x Bm c j - z j c 1 - z 1 c 2 - z 2 c j - z j... c n - z n Z k 38

39 Υπολογισμός Στοιχείων Νέου Πίνακα Πίνακας Simplex c j c 1 c 2... c j c n c Bi Βάση (x 1 ) (x 2 ) (x j ) (x n ) (x Bi ) a 1 a 2 a j a n (b) c B1 β 1 y 11 y 12 y 1j y 1n x B1 r c B2 β 2 y 21 y 22 y 2j y 2n x B2... c Bm β m y m1 y m2 y mj y mn x Bm c j - z j c 1 - z 1 c 2 - z 2 c j - z j... c n - z n Z k y rj = y rj / y rk y ij = y ij - (y ik / y rk ) y rj z = z + [(c k - z k ) / y rk ] x Br x Br = x Br / y rk x Bi = x Bi - (y ik / y rk ) x Br c j - z j = (c j - z j ) - y rj (c k - z k ) / y rk 39

40 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (1/8) Max z =50 x x 2 υποκείμενο στους παρακάτω περιορισμούς: 3 x x 2 <= 150 x 2 <= 20 8 x x 2 <= 300 x 1, x 2 >0 40

41 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (2/8) Max z =50 x x s s s 3 υποκείμενο στους παρακάτω περιορισμούς: 3 x x 2 + 1s 1 = x s 2 = 20 8 x x s 3 = 300 x 1, x 2 >0 41

42 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (3/8) C j C 1 C 2 C n c B βάση (x 1 ) (x 2 ) (x n ) x Β α 1 α 2 α n (b) β 1 α 11 α 12 α 1n b 1 β 2 α 21 α 22 α 2n b 2 β m α m1 α m2 α mn b m c j - z j z 42

43 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (4/8) C j c B βάση (x 1 ) (x 2 ) S 1 S 2 S 3 (b) 0 s s s c j - z j z 43

44 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (5/8) C j c B βάση (x 1 ) (x 2 ) S 1 S 2 S 3 (b) 0 s s s c j - z j z=0 44

45 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (6/8) C j c B βάση (x 1 ) (x 2 ) S 1 S 2 S 3 (b) 0 s / /8 75/2 0 s x 1 1 5/ /8 75/2 c j - z j 0 70/ /8 z=

46 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (7/8) c B C j βάση (x 1 ) (x 2 ) (S 1 ) (S 2 ) (S 3 ) (b) 40 x /25 0-3/ s /25 1 3/ x /25 0 5/25 30 c j - z j /5 0-26/5 z=

47 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Μεθόδου Simplex (8/8) και τα τελικά αποτελέσματα είναι τα ακόλουθα: x 2* = 12 x 1* = 30 s 2* = 8 z * =

48 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Κενού Πίνακα Simplex C j c B βάση (x 1 ) (x 2 ) S 1 S 2 S 3 (b) 0 s / /8 75/2 0 s x 1 5/ /8 75/2 c j - z j 48

49 Παράδειγμα Simplex Συμβολισμοί C j : Οι σταθερές των μεταβλητών i της αντικειμενικής συνάρτησης b i : Οι δεξιές τιμές (όρια) των ισοτήτων α ij : Οι δείκτες των μεταβλητών j στους περιορισμούς i 49

50 Παράδειγμα Simplex Συμβολισμών Συνέχεια... z j : Εκφράζει τη μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης εάν μία μονάδα της μεταβλητής που αντιστοιχεί στη στήλη j εισέλθει στη βάση c j - z i : Εκφράζει την τελική καθαρή αλλαγή στην αντικειμενική συνάρτηση εάν μία μονάδα της μεταβλητής που αντιστοιχεί στη στήλη j εισέλθει στη βάση 50

51 Παράδειγμα Μεθόδου Simplex Επεξήγηση Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Παράδειγμα Simplex Max z =6 x x 2 υποκείμενο στους παρακάτω περιορισμούς: 8 x x 2 <= 28 4 x x 2 <= 8 x 1, x 2 > x x 2 8 x 3 x 4 α 1 α 2 α 3 α 4 Χ = b. = β 1 = α 3 28 x β 2 = α Β = 4 8 c B = (0, 0) x 1 = x 2 = 0 z = c B x B - c j = c j - z j = c j - c B y j = c j y j = B -1 a j = a j 51

52 Παράδειγμα Simplex Επεξήγηση z j (1/3) Έστω ότι αποφασίζουμε να αυξήσουμε κατά 1 μονάδα την τιμή της μη βασικής μεταβλητής x 1 Για να συνεχίσουν να ικανοποιούνται οι περιορισμοί θα πρέπει οι τιμές των βασικών μεταβλητών να αλλάξουν. Οι σταθερές της στήλης x 1 δείχνουν το ποσό μείωσης στις παρούσες βασικές μεταβλητές όταν η μη βασική μεταβλητή x 1 αυξηθεί κατά 1. Αντίστοιχα ισχύουν για τις σταθερές όλων των μεταβλητών. 52

53 Παράδειγμα Simplex Επεξήγηση z j (2/3) Παράδειγμα: Έστω ο περιορισμός: 8 x x 2 <= 28 ή 8 x x x 3 = 28 Αν αυξηθεί το x 1 κατά 1, θα πρέπει να μειωθεί το x 3 κατά 8 Η σταθερά 8 είναι ο συντελεστής y 11 Αντίστοιχα συμβαίνει και για τα υπόλοιπα y ij 53

54 Παράδειγμα Simplex Επεξήγηση z j (3/3) Παράδειγμα: Εάν η x 2 γίνει βασική, τότε η x 3 θα πρέπει να μειωθεί κατά 11 και η x 4 κατά 3 Για να υπολογιστούν τα z j (η μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης αν η x j αυξηθεί κατά 1) θα πρέπει να υπολογιστούν τα αντίστοιχα αθροίσματα των γινομένων των c B με τους αντίστοιχους συντελεστές. Παράδειγμα: Το z 1 είναι y 11 c 3 + y 21 c 4 = 8x0+4x0=0 54

55 Παράδειγμα Simplex Υπολογισμός z j (1/3) Έστω ότι μία μη βασική μεταβλητή, ας είναι αυτή η x 1 αυξάνεται κατά 1 (από 0 γίνεται 1) Για να συνεχίσουν να ικανοποιούνται οι περιορισμοί θα πρέπει να αλλάξουν οι τιμές κάποιων άλλων βασικών μεταβλητών 55

56 Υπολογισμός z j (2/3) Παράδειγμα Simplex 3 x x 2 + 1s 1 = 150 (1ος περιορισμός) Για x 1 =1, s 1 = 150 ή s 1 =150 3 (μείωση κατά 3) x 2 + 1s 2 = 20 (2ος περιορισμός) Δεν υπάρχει καμία μείωση (μείωση κατά 0) 8 x x 2 + 1s 3 = 300 (3ος περιορισμός) Για x 1 =1, s 3 = 300 ή s 3 =300 8 (μείωση κατά 8) Άρα z 1 = 0 * (3) + 0 * (0) + 0 * (8) = 0 56

57 Παράδειγμα Simplex Υπολογισμός z j (3/3) Τα z j υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τα C B με τα αντίστοιχα α ij Έχουμε στο παράδειγμά μας: Z 1 = 0(3) + 0(0) + 0(8) Z 2 = 0(5) + 0(1) + 0(5) Z 3 = 0(1) + 0(0) + 0(0) Z 4 = 0(0) + 0(1) + 0(0) Z 5 = 0(0) + 0(0) + 0(1) 57

58 Παράδειγμα Simplex Υπολογισμός c j - z j Από τη μια υπάρχει μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης λόγω μείωσης κάποιων βασικών μεταβλητών, από την άλλη υπάρχει όμως πιθανή αύξηση λόγω της αύξησης της μη βασικής μεταβλητής κατά μία μονάδα Γι αυτό το λόγο υπολογίζουμε τα c j - z j για κάθε στήλη 58

59 Παράδειγμα Simplex Επιλογή Διανύσματος που θα Εισέλθει στη Βάση Το διάνυσμα που θα εισέλθει σε προβλήματα μεγιστοποιήσεως είναι αυτό με το μεγαλύτερο καθαρό οριακό εισόδημα (το πιο οφέλιμο) 59

60 Παράδειγμα Simplex Επιλογή Διανύσματος που θα Εξέλθει από τη Βάση Το διάνυσμα που θα εξέλθει σε προβλήματα μεγιστοποιήσεως είναι αυτό που συνεισφέρει λιγότερο στην αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή αυτό που τοποθετεί τον μεγαλύτερο περιορισμό στην τιμή που μπορεί να πάρει η μεταβλητή που θα εισέλθει (το λιγότερο ωφέλιμο) 60

61 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Επιλογής Διανύσματος που θα Εξέλθει από τη Βάση 3 x x 2 + 1s 1 = 150 (1ος περιορισμός) 3 x s 1 = 150 ή x 1 =150 / 3 για s 1 = 0 (μέγιστη τιμή x 1 ) 8 x x 2 + 1s 3 = 300 (3ος περιορισμός) 8 x s 3 = 300 ή x 1 =300 / 8 για s 3 = 0 (μέγιστη τιμή x 1 ) Ο 3ος περιορισμός είναι και ο πιο σκληρός, άρα διώχνουμε το αντίστοιχο διάνυσμα 61

62 Παράδειγμα Simplex Υπολογισμός Νέου Πίνακα Simplex Πραγματοποιώ πράξεις μεταξύ γραμμών ακολουθώντας του επόμενους βασικούς κανόνες: Μπορώ να πολλαπλασιάζω οποιαδήποτε γραμμή με ένα μη μηδενικό αριθμό Μπορώ να αντικαθιστώ τη γραμμή με το αποτέλεσμα πρόσθεσής της ή αφαίρεσής της με οποιοδήποτε γινόμενο άλλης 62

63 Παράδειγμα Simplex Παράδειγμα Υπολογισμού Νέου Πίνακα Simplex Αφού βασικό διάνυσμα θα γίνει αυτό που αντιστοιχεί στην μεταβλητή x 1, θέλω το διάνυσμα να είναι της μορφής [0,0,1] Πολλαπλασιάζω την 3η εξίσωση με 1/8 και έχω: 1/8 (8 x x s 3 ) = 1/8 (300) ή x 1 + 5/8 x 2 + 1/8 s 3 = 75/2 Πολλαπλασιάζω τη νέα γραμμή με 3 και την αφαιρώ από την 1: 0x /8 x 2 + 1s 1-3/8 s 3 = 75/2 63

64 Θέματα για συζήτηση - Συμπεράσματα Ερωτήσεις... 64

65 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Ένα Παράδειγμα... max z = 524 x x x x 4 με τους παρακάτω περιορισμούς: 1.5 x 1 + x x 3 + x 4 <=2000 x 1 + 5x 2 + x x 4 <= x 1 + 3x x 3 + x 4 <=5000 και που στην πρότυπη μορφή γίνεται: 1.5 x 1 + x x 3 + x 4 + x 5 =2000 x 1 + 5x 2 + x x 4 + x 6 = x 1 + 3x x 3 + x 4 + x 7 =

66 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος...Συνέχεια του Παραδείγματος... α 1 = [1.5, 1, 1.5] α 5 = [1, 0, 0] α 2 = [1, 5, 3] α 6 = [0, 1, 0] α 3 = [2.4, 1, 3.5] α 7 = [0, 0, 1] α 4 = [1, 3.5, 1] b = [2000, 8000, 5000] στήλες Μια βασική λύση του συστήματος είναι η x 1, x 2, x 6 <> 0 και x 3 = x 4 = x 5 = x 7 = 0, αφού: <> 0 66

67 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος...Συνέχεια του Παραδείγματος... Β =(α 1, α 2, α 6 ) = (β 1, β 2, β 3 ) = όπου β 1 =α 1, β 2 =α 2, β 3 =α 6 Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο x B = B -1 b ή επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα x 1 + x x 3 + x 4 + x 5 =2000 x 1 + 5x 2 + x x 4 + x 6 = x 1 + 3x x 3 + x 4 + x 7 =5000 λαμβάνουμε τη βασική λύση (η οποία κατά σύμπτωση είναι και δυνατή): x B1 = x 1 = 1000/3, x B2 = x 2 =1500, x B3 = x 6 = 500/3 και x 3 = x 4 = x 5 = x 7 = 0. 67

68 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος...Συνέχεια του Παραδείγματος... Δεδομένου ότι από πριν... max z = 524 x x x x 4 x B1 = x 1 = 1000/3, x B2 = x 2 =1500, x B3 = x 6 = 500/3 η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι... Ζ 0 = C B X B = c B1 x B1 + c B2 x B2 + c B3 x B3 ή Ζ 0 = C B X B = 524 x 1000/ x 1500 = 1,269,000 68

69 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Άρα, Μέχρι Στιγμής Έχουμε... x B1 = x 1 = 1000/3 x B2 = x 2 = 1500 x B3 = x 6 = 500/3 x 3 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 7 = 0 και το εβδομαδιαίο κέρδος που συνεπάγεται η βασική αυτή λύση είναι... Ζ 0 = C B X B = 1,269,000 69

70 Τώρα Μεταβάλουμε τη Στάθμη Μίας Μη Βασικής Μεταβλητής... Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Υποθέτουμε ότι η στάθμη της δραστηριότητας α 3 αυξάνεται κατά μία μονάδα Αυτό σημαίνει ότι τώρα θα παράγεται μία μονάδα του προϊόντος 3 ενώ πριν δεν παραγόταν καμία Θα πρέπει να μεταβληθούν κατάλληλα οι στάθμες των βασικών μεταβλητών ώστε να συνεχίσουν να ικανοποιούνται οι περιορισμοί του προβλήματος 70

71 Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Επομένως... Εάν: Κάθε στήλη της Α που δεν ανήκει στη Βάση μπορεί να εκφρασθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στηλών της Β y 13 η μείωση της στάθμης της βασικής δραστηριότητας 1 y 23 η μείωση της στάθμης της βασικής δραστηριότητας 2 y 33 η μείωση της στάθμης της βασικής δραστηριότητας 3 τότε θα πρέπει... 1 α 3 = y 13 β 1 + y 23 β 2 + y 33 β 3 α j = B y j Εφαρμόζοντας τον τύπο y j = B -1 a j και επιλύοντας το παρακάτω σύστημα y 13 + y y 33 = 2.4 y 13 = 1.23 μείωση παραγωγής 1 1 y y y 33 = 1 ή y 23 = 0.55 μείωση παραγωγής y y y 33 = 3.5 y 33 = αύξηση ωρών αργίας μηχ. Β 71

72 και το Οριακό Καθαρό Εισόδημα......απαντά στο ερώτημα: ποιο το οικονομικό αποτέλεσμα της αυξήσεως της στάθμης της μη βασικής δραστηριότητας 3 κατά μία μονάδα; Θα αυξηθεί η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (κατά c 3 ) αφού αυξάνεται η τιμή της μεταβλητής x 3 Θα μειωθεί η τιμή της z 0 αφού οι βασικές μεταβλητές μειώνονται κατά y 13, y 23 και y 33 Το τελικό αποτέλεσμα στο Οριακό Καθαρό Εισόδημα θα είναι: Παράδειγμα Οριακού Καθαρού Εισοδήματος Εφαρμόζοντας τον τύπο y j = B -1 a j και επιλύοντας το παρακάτω σύστημα... c 3 - z 3 = c 3 - (c 1 y 13 + c 2 y 23 + c 6 y 33 ) = (1.23 x x x 0) = -212 Επομένως ορθά επιλέξαμε την x 3 ως μη βασική μετ.! 72

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚΔΟΣΗ 2.4 ΜΑΪΟΣ 2012 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηματικός Προγραμματισμός...1-3

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ: Ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μαθηματικού υποδείγματος. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό έχει σκοπό να παρουσιάσει και να υπογραμμίσει τη σημασία της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

x 3 = 0 x 6 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 aff(p )

x 3 = 0 x 6 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 aff(p ) Διάλεξη 5: 22.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφείς: Ζακυνθινού Λυδία & Τζιώτης Ισίδωρος 5.1 Εκφυλισμένες βασικές λύσεις Ορισμός 5.1 Εστω πολύεδρο P = {x Ax b}

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός

Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n

Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n KΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα