ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει: f '( ) = g' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει: f ( ) = g ( ) + c για κάθε ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ) Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό : Πότε η f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο. ΜΟΝΑ ΕΣ 3 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν µια συνάρτηση f : A R έχει αντίστροφη συνάρτηση γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο τις τιµές του κοντά στο. f, τότε η f είναι και f ( ) >, τότε f ( ) > για γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ α, β] τότε, υπάρχει ( α β ) τέτοιος ώστε να ισχύει ( ), f ' >. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει ( ) ε) Αν f συνεχής στο [ aβ, ] µε ( ) [ α β] τέτοιος ώστε ( ), f >. f '' > για κάθε. f και ισχύει f ( ) d> ÈÅÌÁÔÁ 3 β a, τότε υπάρχει στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ α, β] και β ισχύει f ( ) d= a, τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. ΜΟΝΑ ΕΣ 9

2 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση ( ) ln ( a) f =, a>. Α. Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(, f ( ) ) είναι παράλληλη στην ευθεία y =, να βρείτε την τιµή του α. Β. Για a= : α) Να µελετήσετε τη µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. κ γ) Να αποδείξετε: ότι ( κ ) ( κ ) Θέµα 3ο ίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [, ] αριθµοί z a βi = + και w f ( α ) + i f ( β) Α. Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθµός z + κ > + για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 = µε ( ) + β i z ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 α β µε < α< β και οι µιγαδικοί f β. = είναι πραγµατικός αν και µόνο αν f ( a) + f ( β ) i w ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β) Αν z = iw τότε οι εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων, είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Β. Έστω ότι ισχύει α) a f ( β ) β f ( α ) = z iw = z + iw. Να αποδείξετε ότι: β) Οι εικόνες των z, w και η αρχή είναι συνευθειακά σηµεία. γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( aβ, ) παράστασης της f στο σηµείο (, ( )) = a ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ÈÅÌÁÔÁ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 3 τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής M f να διέρχεται από το σηµείο (,). ΜΟΝΑ ΕΣ 8

3 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f µε f ''( ) συνεχή στο R τέτοια ώστε να ισχύουν: ( t + ) f ''( t) dt = t f '( t) dt 4 t f ( ) dt για κάθε R f ( ) = και ( ) f ' =. α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι f ( ) =, R +, µε ΜΟΝΑ ΕΣ β) Έστω E ( a ) το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = a>. Αν το a µεταβάλλεται µε ρυθµό cm / sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του 3 E a, τη χρονική στιγµή κατά την οποία a= 3cm. εµβαδού ( ) γ) Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: ( ) ( ) g + f για κάθε R. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν + ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (ii) Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την πλάγια ασύµπτωτη της στο + και τις ευθείες = και =, να αποδείξετε ότι: E ln 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ÈÅÌÁÔÁ 3

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α ο Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε τ ο θ ε ώ ρ η µ α : Έ σ τ ω µ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f, η ο π ο ί α ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν η σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η µ α [ α, β ]. Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α, β ] κ α ι f ( α ) f ( β ) τ ό τ ε, γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ µ ό η µ ε τ α ξ ύ τ ω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς, τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ( α, β ) τ έ τ ο ι ο ς, ώ σ τ ε f ( ) = η Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Β. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f, π ο υ η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α, ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ µ ο ύ τ η ς µ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο. y y y = f () 3 Ν α β ρ ε ί τ ε, α ν η τ ι µ ή τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν I, I, I 3 ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ή ή α ρ ν η τ ι κ ή. 3 I = f () d Μ Ο Ν Α Ε Σ ÈÅÌÁÔÁ 4 I = 3 f '() d Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 3= Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 I f ''() d

5 Γ. Ν α α ν τ ι σ τ ο ι χ ί σ ε τ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α ό ρ ι α τ η ς σ τ ή λ η ς Α µ ε τ η ν τ ι µ ή τ ο υ τ η ς σ τ ή λ η ς Β. Σ Τ Η Λ Η Α Σ Τ Η Λ Η Β. lim ηµ. lim ηµ 3. lim ln + 4. lim e α. β. γ. δ. + Μ Ο Ν Α Ε Σ 8. Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( ) = ν, ν IN -{, }. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο IR κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( ) = ν ν -. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Θ Ε Μ Α ο. Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε Α ν σ τ ο ό ρ ι ο L = f ( ) g ( ) =, f ( ) γ ι α κ ά θ ε IR... g() + ε φ α ρ µ ό σ ο υ µ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ ο ρ ί ο υ π η λ ί κ ο υ, + f() lim π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ί α τ η ς µ ο ρ φ ή ς α. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο L. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6. ÈÅÌÁÔÁ 4 i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ µ π τ ω τ ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι g σ τ ο +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g έ χ ε ι τ ο π ο λ ύ µ ι α ρ ί ζ α σ τ ο IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 γ. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ( ) g ( ) = + 4 γ ι α κ ά θ ε IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

6 Θ Ε Μ Α 3 ο Γ ι α κ ά θ ε IR. ο ρ ί ζ ο υ µ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η g() = t α+ e dt, α > κ α ι τ ο ν µ ι γ α δ ι κ ό z = g ( ) + i µ ε z + i z. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι i ) η g α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι κ α ι i i ) ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ z α ν ή κ ο υ ν σ τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς g -. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι : α. R e ( z ) I m ( z ), γ ι α κ ά θ ε IR Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 β. α =. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. < dt dt < t t + e α + e α + e + e Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 Θ Ε Μ Α 4 ο Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε g ( ) = κ α ι f ( ) = g ( ), f ( ) + g ( ) = γ ι α κ ά θ ε IR. α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : i ) g ( ) = g ( ) f ( ), IR.. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 i i ) Η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς µ ο ν ό τ ο ν η σ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α δ ι α σ τ ή µ α τ α (, ], [, + ) κ α ι έ χ ε ι α κ ρ ό τ α τ ο τ ο. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 β. i ) Ν α µ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α σ η µ ε ί α κ α µ π ή ς τ η ς. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο µ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο ÈÅÌÁÔÁ 4 σ η µ ε ί ο τ η ς Ο (, ). Μ Ο Ν Α Ε Σ 3 γ. Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε µ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ, π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς y =, =, ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι Ε = ln[ g ()] +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

7 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα ο Α. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι: Αν f ( ) ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. f Β. Έστω η συνάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι: '( ) >. a = µε α και f a a =. Μονάδες 9 Γ. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις.. Μια συνάρτηση f : A είναι << >> αν και µόνο αν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν = τότε f ( ) = f ( ). Αν lim f ( ) < lim g ( ) τότε f ( ) < g ( ) κοντά στο. 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ aβ, ] και υπάρχει ( aβ, ) τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε f ( a) f ( β ) <. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] υπάρχει ( aβ ) τέτοιο ώστε f '( ) <. β, 5. Αν f ( ) d= a aβ και γνησίως αύξουσα, τότε και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ aβ, ], τότε f ( ) για κάθε [ aβ, ] Θέµα ο. Μονάδες OEΦE ΘEMATA 5 f = ln, > Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε το lim f '( ) + ln f ' =, >.. Μονάδες 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

8 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Μονάδες 3 γ) Να µελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σηµείο της καµπής της. Μονάδες 8 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) και Θέµα 3 ο = e. ln ίνεται ο µιγαδικός z = e + ( ) i,. α) Να αποδείξετε ότι: Re( z) Im( z) =, τον άξονα και τις ευθείες > για κάθε.. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ), w z z i = + + να είναι πραγµατικός. = e OEΦE ΘEMATA 5 Μονάδες Μονάδες 8 τέτοιος ώστε ο αριθµός γ) Να βρείτε το µιγαδικό z του οποίου το µέτρο να γίνεται ελάχιστο. Θέµα 4 ο ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύουν ( ) και e f ( ) + f '( ) + ηµ = f '( ) για κάθε. f ) = συν + e f + f = συν για κάθε.. Μονάδες 8 Μονάδες 9 f = α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι (, και ότι ισχύει ( ) ( ) β) Να βρείτε το lim f ( ) + γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( ) δ) Να αποδείξετε ότι: f ( ). π π I= f d. π π d 4. Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

9 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα Α. α) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f '( ) =. Μονάδες β) Πότε η ευθεία = λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Μια συνάρτηση : f Α R είναι << >> όταν για κάθε, Α f = f τότε =. lim f g τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα ισχύει η συνεπαγωγή: ( ) ( ) β) Αν υπάρχει το ( ) ( ) lim f ( ) και lim ( ) g ( ) γ) Αν lim f ( ) = + ή τότε ( ). f για τις τιµές του κοντά στο. δ) Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και δεν παρουσιάζει καµπή σε κανένα σηµείο του, f '' για κάθε. τότε ( ) β f d και a β ε) Αν ( ) = a κάθε [ aβ, ]. ÈÅÌÁÔÁ 6 f = για < τότε κατ ανάγκη ισχύει ( ) Μονάδες Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

10 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί z και z+ i w= όπου z i. + i z α) Να αποδείξετε ότι: w i = z w + i Μονάδες 5 β) Αν z= και Μ η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ ανήκει στον άξονα. γ) Να αποδείξετε την ισοδυναµία: w φανταστικός z φανταστικός. δ) Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο [ aβ, ] µε ( ) z = f ( a) i και w f ( β ) i f a > και έστω =. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β). Θέµα 3 ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e a όπου a>. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης, f. ( ) της f στο σηµείο ( ) Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. Μονάδες 8 γ) Έστω ( a) παράσταση της f, την εφαπτοµένη της στο, ( ) = a>. Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική i) Να αποδείξετε ότι: ( ) ii) Να βρείτε το lim ( a) a a Ε a = e a. ( ) f και την ευθεία ÈÅÌÁÔÁ 6 a + Ε. Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

11 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 3 Θέµα 4 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R µε f ( ) > και έστω ( ) ( ) g = t f t dt, t, R. Να αποδείξετε ότι: g t f t dt για κάθε. α) ( ) = ( ) β) Η g είναι συνεχής στο =. γ) g ( ) ( ) < f t dt για κάθε >. δ) Αν ( ) = 3 ( ) t f t dt t f t dt τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιος ώστε: g ( ξ ) f ( ξ ) =. ÈÅÌÁÔÁ 6 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

12 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Α. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. Μονάδες 4 β) Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και f ' > για κάθε εσωτερικό σηµείο του. ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.. Αν για µια συνάρτηση A R f : ισχύει ( ) κάθε Α, τότε το κ είναι η µέγιστη τιµή της f. f κ όπου κ R για. Αν υπάρχει το lim f ( ) =, τότε υπάρχει το όριο της ( ) και είναι f ( ) lim =. f στο 3. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( a ) f ( β ) < και ( ) κάθε ( a, β ), τότε η f δεν είναι συνεχής στο [ a, β ]. 4. Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει f για ( ) = ' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f ( ) = g ( ) f ' g για κάθε. 5. Αν για µια συνάρτηση f υπάρχει παράγουσα στο διάστηµα, τότε για κάθε λ R ισχύει: λ f ( ) d = λ f ( ) d 6. Αν οι συναρτήσεις, OEΦE ΘEMATA 7. f g είναι συνεχείς στο [, ] a β και ισχύει ( ) < ( ) για κάθε [ a, β], τότε ( ) < ( ) f g β f d g d. a β a Μονάδες Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

13 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ( + a) e. Αν η ευθεία y = +, R εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (, f ( )) α) Να αποδείξετε ότι: a=. β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f lim f i) ( ) ii) ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 7 Θέµα 3 ο ίνονται οι µιγαδικοί, Να αποδείξετε ότι: α) ( z w ) Re =. Μ τότε: f = έχει ακριβώς µια λύση στο R. z w µε z w για τους οποίους ισχύει: z + w = z w. β) Ο αριθµός z w είναι φανταστικός. Μονάδες 5 γ) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο. a, β µε < a< β και δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [ ] z = a + i f ( a ), w = f ( β ) βi τότε η εξίσωση f ' ( ) = f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ). Θέµα 4 ο ίνεται η συνάρτηση g ( ) = d t όπου t, R. + t OEΦE ΘEMATA 7 α) Να µελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g. + β) Να αποδείξετε ότι: g ( ) γ) Να αποδείξετε ότι: g ( ) g ( ) για κάθε + = για κάθε R. Μονάδες 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

14 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 3 δ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα και τις ευθείες =, = είναι Ε = g ( ) ln τ.µ. Μονάδες 8 Καλή Επιτυχία στις Γενικές εξετάσεις OEΦE ΘEMATA 7 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 3

15 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () = g() + c ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = ν, ν IN {, } είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει: f () = ν ν ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ): α. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των z και z είναι το άθροισµα των διανυσµατικών τους ακτίνων. ΜΟΝΑ ΕΣ β. Είναι: z + z= z+ z γ. Είναι: z z z + z z + z ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 8 δ. Η εξίσωση z z = z z µε z z παριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z ) και Β(z ). ΜΟΝΑ ΕΣ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

16 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ. Έστω η συνάρτηση F() = f(t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι Ε(Ω) = 36 τ.µ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. F() = β. F(4) = γ. F() = ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε ηµ + λ, αν > f() = µε λ, µ IR (µ ) +, αν α. Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. Ο 4 ÈÅÌÁÔÁ 8 y 4 A Ω B ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να βρείτε την τιµή του µ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι -. δ. Για λ = και µ =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f() d. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e e, IR. α. i. Να την µελετήσετε ως προς την µονοτονία. π ΜΟΝΑ ΕΣ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 + e ii. Να αποδείξετε ότι f () = (e ) e, να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής της παράστασης. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f (), τους άξονες, y y και την ευθεία = ln. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 ΘΕΜΑ 4 ο Οι συναρτήσεις f, g: IR IR είναι συνεχείς και για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f(t) dt = g(t) dt () και g() () α. Η f είναι παραγωγίσιµη στο = και f () = g() β. g() < για κάθε IR γ. f(t) dt f(t) dt για κάθε IR ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 δ. H εξίσωση f () = g() + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (, ). ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ÈÅÌÁÔÁ 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 3

18 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 9 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και χ ο ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χ ο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να δείξετε ότι f (χ ο )= Μονάδες 9 Β. α. Πότε η ευθεία y=λχ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 β. Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή λανθασμένη (Λ): α. Ισχύει lim f() = l lim f( + h) = l. o h β. Αν <α< τότε lim α χ =. o γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] τότε έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β). δ. Για τις συναρτήσεις f,g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β] ισχύει: β α β f ()g'()d f'()g()d = α [ f()g() ] β α. ε. Αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της συνάρτησης f(χ), η f(χ)=y έχει λύση ως προς χ τότε η f είναι. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z + =, z C και z,z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι: z α. z z = και z 3 =. Μονάδες 4 9 β. ( z + 9 z ) R. 8 γ. z + + =. z Μονάδες 4 Μονάδες 4 z z 3 δ. αν f(χ) παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [,] με f() = + και f()= + z z z z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ ο (,), ώστε f(χ ο )=3χ ο.

19 ε. αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού w=z +z και Α, Β οι εικόνες των z και z αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Δίνονται η συνάρτηση f(χ)= χ++ln. ΘΕΜΑ Γ α. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. ln γ. Αν g(χ)= + να δείξετε ότι υπάρχει χ ο > ώστε: g(χ) g(χ ο ) για κάθε χ>. δ. Να δείξετε ότι για κάθε χ> ισχύει: f(χ-)<f(+) f(+4). ΘΕΜΑ Δ Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (,+ ) για την οποία ισχύουν οι + σχέσεις: f' = και f()=. e e Α. Να δείξετε ότι f(χ)=χ e. Μονάδες 8 Β. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη χ=. Μονάδες β. Να δείξετε ότι f()d >. e f() Γ. Αν g(χ)= 3, να βρείτε το εμβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από τη C g, τον χ χ και τις ευθείες χ= και χ=t με t>. Μονάδες 5 Δ. Να βρείτε το lim E(t). t + Μονάδες 3

20

21

22

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιeryuiopasdfghjklερυυξnmηq σwωψerβνyuςiopasdρfghjklcvbn mqweryuiopasdfghjklcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klcvλοπbnαmqweryuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2003 ÏÅÖÅ ( ) ) ( x ) ( ) Β. α) Για α=1 έχουµε: max. Η x= 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= 0 οριζόντια ασύµπτωτη.

ÈÅÌÁÔÁ 2003 ÏÅÖÅ ( ) ) ( x ) ( ) Β. α) Για α=1 έχουµε: max. Η x= 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= 0 οριζόντια ασύµπτωτη. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. ) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης Τετάρτη, 9 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0. ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 15 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

α,β,γ και α 0 στο σύνολο των μιγαδικών

α,β,γ και α 0 στο σύνολο των μιγαδικών ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 )ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 215 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α 2 αz + βz +

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα