ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ. Η ηλεκτρική μηχανή της μελέτης μας είναι ένας ασύγχρονος (ή

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ 1.1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Η ηλεκτρική μηχανή της μελέτης μας είναι ένας ασύγχρονος (ή επαγωγικός) κινητήρας βραχυκυκλωμένου κλωβού (ή δρομέα). Μια τέτοια μηχανή εντάσσεται αρχικά στη γενική κατηγορία των μηχανών εναλλασσόμενου ρεύματος. Οι ηλεκτρικές μηχανές εναλλασσόμενου ρεύματος είναι γεννήτριες που μετατρέπουν μηχανική ενέργεια σε εναλλασσόμενη ηλεκτρική, και κινητήρες που μετατρέπουν εναλλασσόμενη ηλεκτρική ενέργεια σε μηχανική. Τα ρεύματα και οι τάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό των μηχανών αυτών είναι εναλλασσόμενα. Βέβαια η τελευταία αυτή τους ιδιότητα δεν αποτελεί αποκλειστικό χαρακτηριστικό τους, μιας και η ανάπτυξη ρευμάτων και τάσεων, στο εσωτερικό της μηχανής, αποκλειστικά υπό εναλλασσόμενη μορφή, αποτελεί χαρακτηριστικό και των μηχανών συνεχούς ρεύματος. Η ειδοποιός διαφορά όμως των μηχανών συνεχούς ρεύματος, από αυτές του εναλλασσόμενου, έγκειται στο γεγονός ότι οι πρώτες έχουν συνεχή έξοδο και είσοδο, λόγω του 1

2 μηχανισμού μετατροπής των εσωτερικών εναλλασσόμενων τάσεων τους σε συνεχείς (μηχανές με συλλέκτη). Στις ηλεκτρικές μηχανές εναλλασσόμενου ρεύματος το τύλιγμα του οπλισμού (armature winding) βρίσκεται, σε αντίθεση με τις μηχανές συνεχούς ρεύματος, σχεδόν πάντα τοποθετημένο στο στάτη, ενώ το τύλιγμα διέγερσης τοποθετείται στο δρομέα. Το περιστρεφόμενο μαγνητικό πεδίο του δρομέα μιας γεννήτριας εναλλασσόμενου ρεύματος επάγει τριφασικά εναλλασσόμενα ρεύματα στο τύλιγμα οπλισμού του στάτη της. Με εντελώς ανάλογο τρόπο, αν το τύλιγμα οπλισμού του στάτη ενός κινητήρα εναλλασσόμενου ρεύματος τροφοδοτηθεί με ένα τριφασικό σύστημα ρευμάτων, στο εσωτερικό του αναπτύσσεται ένα περιστρεφόμενο μαγνητικό πεδίο, το οποίο επιδρώντας στο πεδίο του δρομέα παράγει ροπή στον άξονά του. 1.2 ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΚΑΙ ΑΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Οι ηλεκτρικές μηχανές εναλλασσόμενου ρεύματος χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες τις σύγχρονες μηχανές και τις ασύγχρονες ή επαγωγικές μηχανές. Η βασική διαφορά των δύο αυτών κατηγοριών μηχανών εναλλασσόμενου ρεύματος, έγκειται στον τρόπο παραγωγής του ρεύματος διεγέρσεώς τους. 2

3 Στις σύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές το ρεύμα διέγερσης παράγεται από ανεξάρτητες πηγές συνεχούς ρεύματος. Αντίθετα στις ασύγχρονες το ρεύμα διέγερσης παράγεται επαγωγικά στα τυλίγματα διέγερσής τους (αρχή λειτουργίας μετασχηματιστή). Για αυτόν ακριβώς τον λόγο οι ασύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές αναφέρονται συχνά και ως επαγωγικές. Όσον αφορά τις εφαρμογές των δύο παραπάνω κατηγοριών ηλεκτρικών μηχανών εναλλασσόμενου ρεύματος, είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι η συντριπτική πλειοψηφία των εφαρμογών παραγωγής ηλεκτρικής ισχύος παγκοσμίως, καλύπτεται με τη χρήση σύγχρονων γεννητριών. Αντίθετα οι ασύγχρονες μηχανές συναντώνται κυρίως ως ασύγχρονοι κινητήρες, με αποτέλεσμα να βρίσκουν ευρεία εφαρμογή στις ηλεκτρικές κινήσεις, στις οποίες χρησιμοποιούνται σε ποσοστό μεγαλύτερο του 80%. Η λειτουργία των ασύγχρονων μηχανών ως γεννητριών είναι εφικτή, αλλά λόγω σημαντικών μειονεκτημάτων που παρουσιάζουν σε αυτή τους τη λειτουργία, η χρήση ασύγχρονων γεννητριών είναι σπάνια. Η υπό μελέτη μηχανή ανήκει στην κατηγορία των ασύγχρονων ή επαγωγικών μηχανών και για την ακρίβεια είναι ένας επαγωγικός κινητήρας. 3

4 1.3 ΑΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γενικά χαρακτηριστικά Σε μία ασύγχρονη (επαγωγική) ηλεκτρική μηχανή η τάση του δρομέα, η οποία με τη σειρά της παράγει το ρεύμα διέγερσης και το πεδίο του δρομέα, αναπτύσσεται εξ επαγωγής στο κύκλωμα διέγερσης, αντί να προσφέρεται σε αυτό με κάποια ηλεκτρική σύνδεση. Το ακίνητο μέρος της επαγωγικής μηχανής είναι ο στάτης και το περιστρεφόμενο ο δρομέας. Μεταξύ των δύο αυτών τμημάτων της μηχανής υπάρχει διάκενο μεγέθους της τάξεως κλασμάτων του χιλιοστού. Μόνο σε περιπτώσεις πολύ μεγάλων κινητήρων μπορεί το μέγεθος του διακένου να φτάσει στη τάξη μερικών χιλιοστών. Ενεργά μέρη ασύγχρονης ηλεκτρικής μηχανής Η ασύγχρονη ηλεκτρική μηχανή αποτελείται από τα ενεργά και τα μη ενεργά μέρη. Τα ενεργά μέρη είναι οι περιελίξεις του στάτη και του δρομέα (φορείς τάσης και ρεύματος) και οι πυρήνες του στάτη και του δρομέα (φορείς της μαγνητικής ροής). Οι περιελίξεις τοποθετούνται στα αυλάκια που βρίσκονται στην εσωτερική περιφέρεια του πυρήνα του στάτη και στην εξωτερική περιφέρεια του πυρήνα του δρομέα. Οι πυρήνες αποτελούνται από πυριτιούχα δυναμοελάσματα, με σκοπό την ελαχιστοποίηση των απωλειών λόγω 4

5 δινορρευμάτων. Τα δυναμοελάσματα αυτά στοιβάζονται σε πυρήνες που συμπιέζονται σε πρέσες και τοποθετούνται σφιχτά στο περίβλημα της μηχανής. Μια επαγωγική μηχανή έχει στάτη όμοιο με αυτόν μιας συνεχούς μηχανής. Διαφέρει όμως σημαντικά στη δομή του δρομέα της. Στα αυλάκια του στάτη τοποθετείται τριφασική περιέλιξη, τα έξι άκρα της οποίας καταλήγουν στους ισάριθμους ακροδέκτες του κιβωτίου άκρων. 5

6 Δρομέας ασύγχρονης ηλεκτρικής μηχανής Οι δρομείς που τοποθετούνται στο εσωτερικό του στάτη μιας επαγωγικής μηχανής είναι δύο τύπων δρομείς βραχυκυκλωμένου κλωβού (squirrel-cage rotor) και δακτυλιοφόροι δρομείς (wound rotor). Με βάση αυτούς τους δύο διαφορετικούς τύπους δρομέων, οι ασύγχρονες μηχανές χωρίζονται επίσης σε δύο τύπους στις ασύγχρονες μηχανές βραχυκυκλωμένου κλωβού ή δρομέα, και στις ασύγχρονες μηχανές δακτυλιοφόρου δρομέα. Ο δρομέας βραχυκυκλωμένου κλωβού αποτελείται από μια σειρά αγώγιμων ράβδων (μπάρες) τοποθετημένων χωρίς μόνωση στα αυλάκια της επιφάνειας του δρομέα και βραχυκυκλωμένων στα δυο τους άκρα μέσω μεγάλων δακτυλίων (shorting rings). Το υλικό του κλωβού είναι χαλκός ή ορείχαλκος ή χυτό αλουμίνιο. Το τελευταίο χρησιμοποιείται σε μηχανές μικρής και μέσης ισχύος, μέχρι 500 KW. Ο δεύτερος τύπος δρομέα, ο δακτυλιοφόρος, διαθέτει ολοκληρωμένο τριφασικό τύλιγμα, τοποθετημένο με τέτοιο τρόπο ώστε να αποτελεί το κατοπτρικό είδωλο του τυλίγματος του στάτη. Οι τρεις φάσεις του τυλίγματος συνδέονται συνήθως σε αστέρα, ενώ τα άκρα των αγωγών συνδέονται σε δακτυλίους και βραχυκυκλώνονται μέσω ψηκτρών που εφάπτονται στους δακτυλίους. Έτσι καθίσταται δυνατή η μέτρηση (στις ψήκτρες) των ρευμάτων του δρομέα, καθώς και η σύνδεση εξωτερικών αντιστάσεων στο κύκλωμα 6

7 διέγερσης. Η τελευταία αυτή δυνατότητα δίνει το πλεονέκτημα επεξεργασίας της χαρακτηριστικής ροπής-ταχύτητας της μηχανής δακτυλιοφόρου δρομέα. Συγκριτικά λοιπόν, ο δρομέας βραχυκυκλωμένου κλωβού υστερεί του δακτυλιοφόρου δρομέα στο ότι δεν προσφέρει τη δυνατότητα σύνδεσης εξωτερικών αντιστάσεων στο κύκλωμά του. Η έλλειψη όμως αυτή των - δακτυλίων ολίσθησης και ψηκτρών στους δρομείς βραχυκυκλωμένου κλωβού, η οποία ευθύνεται και για την αδυναμία σύνδεσης εξωτερικών αντιστάσεων στο κύκλωμά τους, περιορίζει τις τριβές και τις απαιτήσεις συντήρησής τους. Σχεδιάγραμμα δρομέα βραχυκυκλωμένου κλωβού (Σχ. 1.2) 7

8 8

9 Μη ενεργά μέρη ασύγχρονης ηλεκτρικής μηχανής Τα μη ενεργά μέρη μιας ασύγχρονης ηλεκτρικής μηχανής είναι το περίβλημα, ο άξονας, τα έδρανα, τα πλέγματα, ο ανεμιστήρας και άλλα εξαρτήματα στήριξης, στερέωσης και μόνωσης. Το περίβλημα αποτελείται από τον μανδύα και τα πλευρικά καλύμματα, και κατασκευάζεται, στις περισσότερες μικρές μηχανές, από αλουμίνιο. Ο μανδύας έχει διαμήκη πτερύγια ψύξης για την καλύτερη απαγωγή της θερμότητας. Τα έδρανα των ασύγχρονων ηλεκτρικών μηχανών Τα έδρανα των ασύγχρονων μηχανών είναι τοποθετημένα στις φωλιές των πλευρικών καλυμμάτων, ενώ στις πολύ μεγάλες μηχανές έχουν δική τους επιδαπέδια στήριξη. Τα έδρανα του άξονα της μηχανής διακρίνονται σε έδρανα κύλισης (ρουλεμάν) και σε έδρανα ολίσθησης (κουζινέτα). Τα πρώτα πλεονεκτούν των δεύτερων στην ευκολία τοποθέτησης, στο χαμηλότερο κόστος, στις λιγότερες απώλειες και στα ελάχιστα έξοδα συντήρησης. Από την άλλη μεριά όμως τα κουζινέτα είναι πιο αθόρυβα και αντέχουν σε μεγάλες φορτίσεις, γι αυτό προτιμούνται σε πολύ μεγάλες μηχανές, αλλά και σε μικρές όταν η μείωση του θορύβου λειτουργίας των είναι υψηλής σημασίας. 9

10 Ανάλογα με τον τρόπο έδρασης και στήριξης των ασύγχρονων ηλεκτρικών μηχανών υπάρχει μια σειρά κατασκευαστικών μορφών (ή απλά κατασκευών) σύμφωνα με τις προδιαγραφές DIN IEC 34. Είδη προστασίας των ασύγχρονων ηλεκτρικών μηχανών Σύμφωνα με τις προδιαγραφές DIN καθορίζονται τα είδη προστασίας των ασύγχρονων ηλεκτρικών μηχανών έναντι του νερού και των εξωτερικών σωμάτων. Παραδείγματα αποτελούν οι προστασίες IP23 και IP44. Η πρώτη είναι προστασία ανοιχτού τύπου, δηλαδή ο εξωτερικός αέρας εισροφάται από τον ανεμιστήρα και ψύχει άμεσα τις περιελίξεις με αποτέλεσμα να επιτυγχάνεται καλύτερη ψύξη. Η προστασία όμως του κινητήρα, σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα η ΙΡ44 είναι προστασία κλειστού τύπου, οπότε η θερμότητα απάγεται από το περίβλημα της μηχανής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η ψύξη της μηχανής να μην είναι επαρκής, και να είναι απαραίτητη η αύξηση της επιφάνειας απαγωγής της θερμότητας (δηλαδή της επιφάνειας του περιβλήματος). Η αύξηση της επιφάνειας απαγωγής όμως συνεπάγεται σε αύξηση του όγκου της μηχανής. Το πλεονέκτημα ωστόσο της προστασίας ΙΡ44, το οποίο την καθιστά και πιο διαδεδομένη, είναι η εξαιρετική προστασία που εξασφαλίζει στη μηχανή από το νερό και τα εξωτερικά σώματα. Συνήθως οι μηχανές με προστασία ΙΡ44 έχουν εξωτερικό ανεμιστήρα στο ένα άκρο του άξονά τους, ο οποίος με τη 10

11 βοήθεια σταθερού καλύμματος δημιουργεί ρεύμα αέρα κατά μήκος των πτερυγίων ψύξεως του μανδύα, για την καλύτερη απαγωγή της θερμότητας της μηχανής Μόνωση Περιελίξεων Ασύγχρονων Ηλεκτρικών Μηχανών Xaρακτηριστικά Τα μονωτικά υλικά των περιελίξεων πρέπει να έχουν μηχανική, θερμική και διηλεκτρική αντοχή. Η μηχανική αντοχή απαιτείται λόγω αντίστοιχων φορτίσεων στην κατασκευή της περιέλιξης, αλλά και για την περίπτωση βραχυκυκλώματος, όπου τα υψηλής έντασης ρεύματα που αναπτύσσονται δημιουργούν μεγάλες δυνάμεις μεταξύ των αγωγών, ικανές να παραμορφώσουν και να καταστρέψουν τις κεφαλές των περιελίξεων. Η θερμική αντοχή είναι απαραίτητη κατά τη λειτουργία της μηχανής, όπως εξάλλου είναι και η διηλεκτρική αντοχή. Η τελευταία είναι πολύ σημαντική και κατά τη διάρκεια των δοκιμών της περιέλιξης. Επίσης επιθυμητά χαρακτηριστικά των μονωτικών των περιελίξεων είναι η μεγάλη ωμική αντίσταση, ο όσο το δυνατόν λιγότερο υγροσκοπικός τους χαρακτήρας, και σε πολλές περιπτώσεις η αντοχή τους σε λάδια. 11

12 Προδιαγραφές και Κλάσεις Μονώσεως Σύμφωνα με τις προδιαγραφές VDE0530/DIN57530, και ανάλογα με τη θερμική τους αντοχή, τα διάφορα μονωτικά κατατάσσονται σε κατηγορίες ή αλλιώς σε κλάσεις μονώσεως. Αυτές οι κλάσεις είναι συνολικά έξι, ενώ οι συμβολισμοί τους δίνονται με τους παρακάτω λατινικούς χαρακτήρες A, E, B, F, H και C. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι κλάσεις μόνωσης ηλεκτρικών μηχανών εναλλασσόμενου ρεύματος ισχύος μικρότερης των 5 MW, με τις αντίστοιχες επιτρεπτές τιμές θερμοκρασιών στις περιελίξεις αυτών. Κλάση Μόνωσης θ max [C] ΔΘ max [Κ] Δθ max [Κ] Α Ε Β F H C >180 δεν έχουν ορισθεί Στον πίνακα αναγράφονται η θ max, δηλαδή η μέγιστη επιτρεπτή θερμοκρασία πάνω από την οποία παρατηρούνται αλλοιώσεις στο μονωτικό, καθώς και οι ΔΘ max και Δθ max οι οποίες σχετίζονται με την επιτρεπτή 12

13 ανύψωση της θερμοκρασίας. Η πρώτη (ΔΘ max ) καθορίζει τη μέγιστη επιτρεπτή ανύψωση θερμοκρασίας στο θερμότερο σημείο (hot point), δηλαδή τη μέγιστη επιτρεπτή διαφορά ανάμεσα στις θερμοκρασίες του θερμότερου σημείου και του ψυκτικού μέσου (π,χ. του αέρα του περιβάλλοντος). Η δεύτερη (Δθ max ) καθορίζει τη μέγιστη επιτρεπτή διαφορά θερμοκρασίας όπως αυτή προκύπτει με τη μέθοδο της αντίστασης, δηλαδή με μέτρηση των τιμών αντιστάσεων (με χρήση γέφυρας) υπό την επίδραση διαφορετικών θερμοκρασιών. Θέρμανση, μονωτικά και διάρκεια ζωής περιελίξεων Η θέρμανση επιδρά σημαντικά στη διάρκεια ζωής των περιελίξεων. Άυξηση της θερμοκρασίας μιας περιέλιξης κατά 8 Κ περίπου, στη στάσιμη κατάσταση λειτουργίας, συνεπάγεται μείωση της διάρκειας ζωής της στο μισό. Προσεγγιστικά για τον υπολογισμό της διάρκειας ζωής μιας περιέλιξης συναρτήσει της θερμοκρασίας της χρησιμοποιείται η παρακάτω σχέση t t0 1.1 όπου t ο η διάρκεια ζωής της περιέλιξης στη θερμοκρασία θ ο, και t η διάρκεια ζωής της στη θερμοκρασία θ. Η χρήση καλύτερων μονωτικών στις περιελίξεις της μηχανής περιορίζει την καταπόνηση των περιελίξεων από τη θερμοκρασία. Παρά όμως το γεγονός ότι η τοποθέτηση σύγχρονων μονωτικών, κυρίων ρητινών, επιφέρει 13

14 αύξηση στη διάρκεια ζωής των περιελίξεων, η μόνωση δεν παύει να αποτελεί (μαζί με την έδραση του άξονα) την αχίλλειο πτέρνα των ηλεκτρικών μηχανών Εφαρμογές Ασύγχρονων Ηλεκτρικών Μηχανών Επαγωγικές γεννήτριες Μια ασύγχρονη μηχανή κατά την αυτόνομη λειτουργία της ως γεννήτρια παρουσιάζει σοβαρά προβλήματα σταθεροποίησης τάσης. Επειδή στερείται ξεχωριστού κυκλώματος διέγερσης, μια τέτοια γεννήτρια δεν μπορεί να παράγει άεργο ισχύ. Στην πραγματικότητα η ίδια καταναλώνει άεργο ισχύ και γι αυτό το λόγο θα πρέπει να συνδέεται σε κάποια εξωτερική πηγή άεργης ισχύος ώστε να διατηρείται το μαγνητικό πεδίο του στάτη της. Από την ίδια εξωτερική πηγή θα πρέπει να ρυθμίζεται και η τάση στα άκρα της. Το μοναδικό πλεονέκτημα μιας επαγωγικής γεννήτριας είναι η απλότητα της κατασκευής της, μιας και δεν απαιτείται ξεχωριστό κύκλωμα διέγερσης, ούτε και σταθερότητα στην ταχύτητα κίνησής της. Όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή που εφαρμόζεται στον άξονά της, τόσο μεγαλύτερη είναι και η ισχύς εξόδου της. Σε αυτήν την εφαρμοζόμενη από την κινητήριο μηχανή ροπή, καθορίζεται μία μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή, πάνω από την οποία η γεννήτρια επιταχύνεται επικίνδυνα. Η μέγιστη αυτή ροπή ονομάζεται ροπή αναστροφής. 14

15 Λόγω της απλής κατασκευής και του μικρού μεγέθους τους ανά μονάδα παραγόμενης ισχύος, οι ασύγχρονες γεννήτριες θεωρούνται καλή επιλογή για συστήματα ανεμόμυλων, για συστήματα ανάκτησης της θερμότητας και για άλλες παρόμοιες πηγές ισχύος που συνδέονται σε υπάρχοντα συστήματα. Σε τέτοιες εφαρμογές η διόρθωση του συντελεστή ισχύος μπορεί να επιτευχθεί με πυκνωτές, ενώ η τάση εξόδου της γεννήτριας μπορεί να ελέγχεται από το εξωτερικό σύστημα ισχύος. Οι επαγωγικές γεννήτριες είναι συνήθως μικρές μηχανές, ενώ τα συστήματα ελέγχου τους και η συντήρησή τους απαιτούν πολύ μικρό κόστος. 15

16 Επαγωγικοί κινητήρες και μετατροπείς συχνότητας Στην πλειοψηφία λοιπόν των εφαρμογών τους, οι ασύγχρονες ηλεκτρικές μηχανές συναντώνται ως επαγωγικοί κινητήρες. Πράγματι, όπως προαναφέρθηκε, επαγωγικοί είναι οι κινητήρες που καλύπτουν την συντριπτική πλειοψηφία των αναγκών σε ηλεκτρικές κινήσεις σε όλο τον κόσμο. Άλλη μια εφαρμογή των επαγωγικών κινητήρων είναι οι επαγωγικοί μετατροπείς συχνότητας. Αυτή η εφαρμογή υπήρξε ιδιαίτερα διαδεδομένη πριν την εισαγωγή των συσκευών οδήγησης μεταβλητής συχνότητας με ηλεκτρονικούς διακόπτες. Πρόκειται για ηλεκτρικούς επαγωγικούς κινητήρες δακτυλιοφόρου δρομέα, των οποίων η λειτουργία βασίζεται στο γεγονός ότι για δεδομένη ηλεκτρική συχνότητα στο στάτη η συχνότητα του δρομέα είναι δυνατό να μεταβάλλεται με την ταχύτητα περιστροφής, σύμφωνα με τη σχέση όπου f r f e nmp f r = η συχνότητα του δρομέα f e = η ηλεκτρική συχνότητα του στάτη n m = η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα P = ο αριθμός των πόλων της μηχανής 16

17 1. 4 ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ Γενικά χαρακτηριστικά Ο ασύγχρονος ηλεκτρικός κινητήρας είναι ο πιο κοινός τύπος κινητήρα λόγω της απλής κατασκευής του και της ευκολίας που παρουσιάζει στη λειτουργία του, καθώς δεν έχει ξεχωριστό κύκλωμα διέγερσης αλλά οι τάσεις και τα ρεύματα επάγονται στη διέγερσή του σύμφωνα με την αρχή λειτουργίας του μετασχηματιστή. Καθώς τροφοδοτείται με ισχύ μόνο το κύκλωμα του στάτη του, ο επαγωγικός κινητήρας ονομάζεται και μηχανή απλής διέγερσης (singly excited), σε αντιδιαστολή με τις σύγχρονες μηχανές που ονομάζονται μηχανές διπλής διέγερσης (doubly excited). Στην πραγματικότητα ο επαγωγικός κινητήρας είναι ένας στρεφόμενος μετασχηματιστής. Όπως και σε έναν μετασχηματιστή, έτσι και στον επαγωγικό κινητήρα το πρωτεύον τύλιγμα (του στάτη) επάγει κάποια τάση στο δευτερεύον τύλιγμα (του δρομέα). Αντίθετα όμως απ ότι συμβαίνει σ ένα μετασχηματιστή, η συχνότητα του δευτερεύοντος δεν είναι απαραίτητα ίση μ αυτή του πρωτεύοντος. Ο επαγωγικός κινητήρας, στην κανονική λειτουργία, περιστρέφεται με ταχύτητα που πλησιάζει την σύγχρονη, χωρίς όμως ποτέ να την αποκτά. Θα πρέπει πάντα να υφίσταται κάποια σχετική κίνηση που να εξασφαλίζει την επαγωγή τάσης στο κύκλωμα διέγερσης. Συγκεκριμένα η σχετική κίνηση των 17

18 μαγνητικών πεδίων του στάτη και του δρομέα ευθύνεται για την ανάπτυξη της επαγόμενης τάσης στο δρομέα. Αυτή η τάση με τη σειρά της παράγει κάποιο ρεύμα στο δρομέα του κινητήρα, το οποίο αλληλεπιδρώντας με το πεδίο του στάτη παράγει την επαγόμενη ροπή του κινητήρα. Η ανάπτυξη της επαγόμενης ροπής στους επαγωγικούς κινητήρες Στο σημείο αυτό θα περιγράψουμε αναλυτικά το φαινόμενο της επαγωγής ροπής στον επαγωγικό κινητήρα, με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί. (Σχ. 1.6) 18

19 Εξαιτίας του τριφασικού συστήματος τάσεων που εφαρμόζονται στο στάτη του κινητήρα οι αγωγοί του στάτη διαρρέονται από τριφασικό σύστημα ρευμάτων. Τα ρεύματα αυτά παράγουν το πεδίο του στάτη B s που περιστρέφεται με ανθωρολογιακή φορά και με ταχύτητα n sync 120 f P e 1.3 όπου f e είναι η συχνότητα του συστήματος σε Hz και p ο αριθμός των πόλων της μηχανής. Το μαγνητικό πεδίο B s καθώς διέρχεται πάνω από τους αγωγούς του δρομέα επάγει κάποια τάση στα άκρα τους. Η τάση εξ επαγωγής στα άκρα ενός συγκεκριμένου αγωγού του δρομέα θα είναι όπου e ind ( u B) l 1.4 u=σχετική ταχύτητα των αγωγών του δρομέα ως προς το μαγνητικό πεδίο B=η μαγνητική επαγωγή του πεδίου του στάτη l=το μήκος του αγωγού του δρομέα Η τάση στα άκρα των αγωγών του δρομέα,το οποίο προκαλείται από τη σχετική κίνηση του δρομέα ως προς το μαγνητικό πεδίο του στάτη, επάγει ρεύμα στους αγωγούς του δρομέα. Το ρεύμα αυτό θα παρουσιάζει μια καθυστέρηση φάσης ως προς την τάση του δρομέα, μιας και οι αγωγοί του δρομέα συνθέτουν κάποιο επαγωγικό φορτίο. 19

20 Τελικά η επαγόμενη ροπή θα έχει ανθωρολογιακή φορά, γεγονός που σημαίνει ότι ο δρομέας του κινητήρα θα επιταχύνεται κατά την ανθωρολογιακή φορά, και θα δίνεται από τη σχέση ind kb R B S 1.5 H σταθερά k της σχέσης (1.5), προκύπτει από την έκφραση της ροπής σε αγώγιμο πλαίσιο ind K H R B S 1.6 όπου Κ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της μηχανής. Επειδή η μαγνητική ένταση ισοδυναμεί με τον λόγο της αντίστοιχης μαγνητικής επαγωγής προς τη μαγνητική διαπερατότητα μ, η σχέση (1.6) γράφεται ind K B R B S 1.7 Θέτουμε Κ/μ = k, και από την (1.7) εξάγεται η (1.6). Είδαμε τη σημασία της σχετικής κίνησης του δρομέα ως προς τα μαγνητικά πεδία στην επαγωγή της τάσεως στους αγωγούς του δρομέα του κινητήρα. Γενικά όσο μεγαλύτερη είναι η σχετική ταχύτητα μεταξύ πεδίων στάτη και δρομέα, τόσο μεγαλύτερη είναι η τάση που αναπτύσσεται στο δρομέα της μηχανής. Η μεγαλύτερη σχετική κίνηση λοιπόν επιτυγχάνεται για ακίνητο δρομέα. Σ αυτή την περίπτωση ο δρομέας ονομάζεται ακινητοποιημένος 20

21 (blocked ή locked rotor) και η τάση που επάγεται στα τυλίγματά του είναι η μέγιστη δυνατή. Η ελάχιστη τάση επάγεται στα τυλίγματα του δρομέα για ταχύτητα περιστροφής του ίση με αυτή του πεδίου του στάτη του κινητήρα, δηλαδή για μηδενική σχετική κίνηση. Η έννοια της ολίσθησης του δρομέα Η σχετική κίνηση που προαναφέραμε περιγράφεται συνήθως από δύο μεγέθη την ταχύτητα ολίσθησης και την ολίσθηση. Η ταχύτητα ολίσθησης (slip speed) ορίζεται ως η διαφορά της ταχύτητας του δρομέα από τη σύγχρονη ταχύτητα και δίνεται από τη σχέση slip sync m n n n 1.8 όπου n slip = η ταχύτητα ολίσθησης της μηχανής n sync = η ταχύτητα των μαγνητικών πεδίων n m = η μηχανική ταχύτητα του άξονα της μηχανής Η ολίσθηση (slip) είναι ουσιαστικά η σχετική ταχύτητα εκφρασμένη σε εκατοστιαία ή σε ανά μονάδα (per-unit) βάση και ορίζεται από τη σχέση s n n slip sync ( 100%) 1.9 η οποία μπορεί να εκφραστεί και μέσω της γωνιακής ταχύτητας (rad/s) 21

22 s sync m sync ( 100%) 1.10 Η τιμή της ολίσθησης κυμαίνεται μεταξύ των οριακών τιμών s=0, για την περίπτωση που ο δρομέας της μηχανής περιστρέφεται με τη σύγχρονη ταχύτητα, και s=1 για την περίπτωση που ο δρομέας είναι ακίνητος. Τα παραπάνω μεγέθη δεν προσδιορίζουν μόνο την σχετική κίνηση πεδίων δρομέα - στάτη, αλλά και όλα τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν την επαγωγική λειτουργία του κινητήρα, δηλαδή τα μεγέθη εκείνα που συνοδεύουν την περιστροφική κίνηση του δρομέα ενός επαγωγικού κινητήρα. Τέτοια είναι η συχνότητα του δρομέα, η επαγόμενη τάση στο δρομέα, η αντίδραση του δρομέα, το ρεύμα του δρομέα κ.ά. Η ηλεκτρική συχνότητα του δρομέα Η συχνότητα του δρομέα κυμαίνεται μεταξύ των τιμών f r =0, για την περίπτωση που ο δρομέα περιστρέφεται με τη σύγχρονη ταχύτητα, και f r =f e για την περίπτωση ακίνητου δρομέα. Για οποιαδήποτε άλλη ενδιάμεση τιμή ταχύτητας περιστροφής του, ο δρομέας θα έχει συχνότητα που θα δίνεται από την παρακάτω σχέση f r sf e 1.11 η οποία, λόγω των σχέσεων (1.3) και (1.9), δίνει 22

23 f r p ( n 120 sync n m ) Η ισχύς στους επαγωγικούς κινητήρες Ηλεκτρική ισχύς εισόδου του επαγωγικού κινητήρα Η είσοδος ενός επαγωγικού κινητήρα είναι ένα τριφασικό σύστημα τάσεων και ρευμάτων. Η ηλεκτρική ισχύς εισόδου του P in θα έχει τη μορφή τριφασικού συστήματος τάσεων και ρευμάτων, ενώ θα δίνεται από τη σχέση όπου P in 3V I cos T L 1.13 V T = η ονομαστική τάση του κινητήρα I L = το ονομαστικό ρεύμα του κινητήρα cosθ= ο συντελεστής ισχύος λειτουργίας του κινητήρα Μηχανική ισχύς εξόδου του επαγωγικού κινητήρα Ο επαγωγικός κινητήρας λειτουργεί ως στρεφόμενος μετασχηματιστής. Ενώ όμως σ έναν κοινό μετασχηματιστή η ισχύς στο δευτερεύον τύλιγμα αποτελεί την ηλεκτρική ισχύ εξόδου, στον επαγωγικό κινητήρα δεν εμφανίζεται ηλεκτρική ισχύς στην έξοδο του, καθώς το δευτερεύον τύλιγμα του επαγωγικού κινητήρα (δρομέας) είναι βραχυκυκλωμένο. Αντίθετα η ισχύς εξόδου του επαγωγικού κινητήρα είναι μηχανική. 23

24 Η μηχανική ισχύς εξόδου P out του επαγωγικού κινητήρα είναι δυνατόν να προσδιοριστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος προδιορισμού της μηχανικής ισχύος εξόδου ενός επαγωγικού κινητήρα βασίζεται στη σχέση που συνδέει την μηχανική αυτή ισχύ με την ηλεκτρική ισχύ εισόδου και τις συνολικές απώλειες του κινητήρα. Έτσι αν γνωρίζουμε την ηλεκτρική ισχύ είσοδου και το σύνολο των απωλειών του κινητήρα (Ρ απ ), μπορούμε να βρούμε την μηχανική ισχύ εξόδου από τη διαφορά των δύο παραπάνω μεγεθών, δηλαδή P out P in P 1.14 Ο δεύτερος τρόπος προσδιορισμού της μηχανικής ισχύος εξόδου του επαγωγικού κινητήρα προκύπτει από τη σχέση που συνδέει την παραπάνω ισχύ με την ροπή που ασκείται στον άξονα του δρομέα (τ load ) και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα (ω m ). Με τη γνώση των παραπάνω τιμών ροπής και γωνιακής ταχύτητας, βρίσκουμε την τιμή της ισχύος εξόδου του επαγωγικού κινητήρα σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση Pout load m 1.15 Απώλειες στον επαγωγικό κινητήρα Οι κατηγορίες απωλειών σε έναν επαγωγικό κινητήρα είναι οι ακόλουθες 1. Απώλειες χαλκού στο στάτη και στο δρομέα 2. Απώλειες πυρήνα ή απώλειες σιδήρου 24

25 3. Μηχανικές απώλειες 4. Κατανεμημένες απώλειες Οι απώλειες χαλκού είναι οι απώλειες θερμότητας στους αγωγούς του στάτη και του δρομέα της μηχανής. Συγκεκριμένα οι απώλειες χαλκού στον τριφασικό στάτη (stator copper losses- SCL) ενός επαγωγικού στάτη δίνονται από τη σχέση όπου: P SCL 3 I 2 st R st 1.16 R st = η συνολική ωμική αντίσταση των αγωγών της κάθε φάσης του στάτη I st = το ρεύμα της κάθε φάσης του στάτη Οι απώλειες χαλκού στο δρομέα (rotor copper losses- RCL) δίνονται από τη σχέση όπου: P RCL 3 s I 2 1 R RR s P G P s conv 1.17 R R = η συνολική ωμική αντίσταση των αγωγών της κάθε φάσης του δρομέα I R = το ρεύμα της κάθε φάσης του δρομέα s = η ολίσθηση P ΑG = η ισχύς του διακένου P conv = η μετατρεπόμενη μηχανική ισχύς 25

26 Οι ωμικές αντιστάσεις του στάτη και του δρομέα εξαρτώνται από τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά του κινητήρα (όπως το μήκος κι τη διατομή των τυλιγμάτων του, την ποιότητα του χαλκού του, την κλάση μόνωσης) καθώς και από τη θερμοκρασιακή κατάστασή του. Επίσης οι τιμές των ωμικών αντιστάσεων επηρεάζονται και από το επιδερμικό φαινόμενο. Οι απώλειες πυρήνα P core (ή αλλιώς σιδήρου) οφείλονται στα φαινόμενα υστέρησης και δινορρευμάτων που αναπτύσσονται στα σιδηρομαγνητικά υλικά των κινητήρων. Οι απώλειες υστέρησης (hysteresis losses) P core,h αναφέρονται στη μαγνητική ενέργεια που καταναλώνεται κατά τη μαγνήτιση του πυρήνα, δηλαδή την αναδιάταξη των μαγνητικών τμημάτων του όπως αυτή συμβαίνει σε κάθε περίοδο της εναλλασσόμενης τάσης τροφοδοσίας του κινητήρα. Μπορεί ν αποδειχτεί ότι οι απώλειες ενέργειας σε κάθε περίοδο είναι ανάλογες του εμβαδού που καλύπτει ο βρόχος υστέρησης. Όσο μικρότερη είναι η μέγιστη τιμή της μαγνητεγερτικής δύναμης που εφαρμόζεται στον πυρήνα, τόσο μικρότερο είναι το εμβαδό του βρόχου υστέρησης, άρα και οι αντίστοιχες απώλειες. Οι απώλειες δινορρευμάτων (eddy current losses) P core,e αποτελούν μια ακόμα κατηγορία απωλειών προκαλούμενων από τις μεταβολές της επιβαλλόμενης μαγνητεγερτικής δύναμης σ έναν πυρήνα. Οφείλονται στην ανάπτυξη δινορρευμάτων στον πυρήνα από τάσεις που επάγει μια χρονικά 26

27 μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή και είναι ουσιαστικά οι θερμικές απώλειες που καταναλώνονται στην αντίσταση του μετάλλου του πυρήνα. Εξαρτώνται από τη γεωμετρία του πυρήνα, την ηλεκτρική αγωγιμότητα του υλικού του, την πυκνότητα του ρεύματος και το πάχος των δυναμοελασμάτων. Πρακτικά ο διαχωρισμός των απωλειών πυρήνα σε απώλειες υστέρησης και απώλειες δινορρευμάτων είναι πολύ δύσκολος. Γι αυτό το λόγο οι απώλειες υστέρησης και οι απώλειες δινορρευμάτων δεν υπολογίζονται ανεξάρτητα, αλλά δίνονται στο σύνολό τους από τη σχέση των απωλειών πυρήνα P core 3 E E1 1 GC RC 1.18 όπου Ε 1 είναι η εσωτερική τάση του στάτη (δηλαδή η τάση που προκύπτει στο στάτη μετά την πτώση τάσης στην αντίσταση και την αντίδραση διαρροής της περιέλιξής του), και R C και B C η ισοδύναμη αντίσταση και αγωγιμότητα του πυρήνα αντίστοιχα. Σύμφωνα με την τυποποίηση DIN οι απώλειες πυρήνα προδιορίζονται για μαγνητική επαγωγή Β=1 Tesla, συχνότητα f=50 Hertz και για διάφορα πάχη των δυναμοελασμάτων. Με βάση αυτήν την τυποποίηση μπορούν να βρεθούν οι απώλειες πυρήνα ανά μονάδα βάρους για οποιαδήποτε μαγνητική επαγωγή και συχνότητα σύμφωνα με τη σχέση P core P 2 1/50 B f

28 όπου P 1/50 = oι απώλειες πυρήνα aνά μονάδα βάρους για μαγνητική επαγωγή 1 Tesla και συχνότητα 50 Hertz, και f = η συχνότητα λειτουργίας του κινητήρα Οι μηχανικές απώλειες ενός επαγωγικού κινητήρα συνίστανται στις απώλειες λόγω τριβών μεταξύ των μηχανικών τμημάτων της μηχανής (friction losses) P F, και στις απώλειες εξαερισμού (windage losses) P W. Οι τελευταίες είναι οι απώλειες που προκύπτουν από τις τριβές των μηχανικών τμημάτων του κινητήρα με τον αέρα λόγω περιστροφής. Για τις μηχανικές απώλειες χρησιμοποιείται ο συμβολισμός P F&W. Κατά προσέγγιση θεωρούνται ανάλογες του κύβου της περιστροφικής ταχύτητας του κινητήρα. Tέλος στις κατανεμημένες απώλειες P stray περιλαμβάνονται όλες οι απώλειες που δεν μπορούν να υπολογιστούν σε καμία από τις προηγούμενες κατηγορίες και συνήθως οφείλονται στην αύξηση της μαγνητικής ροής σκέδασης κατά την αύξηση φορτίου και στις υψίσυχνες διακυμάνσεις της ροής αυτής (οι διακυμάνσεις της ροής προέρχονται από την παραμόρφωση της ημιτονοειδούς ιδανικά κατανομής της μαγνητικής επαγωγής στο διάκενο, λόγω της κατανομής των αγωγών στα αυλάκια). Tέτοιες μη υπολογίσιμες απώλειες μπορεί να είναι - Απώλειες δινορρευμάτων στις περιελίξεις εξαιτίας του επιδερμικού φαινομένου που προκαλεί η μαγνητική ροή σκέδασης, με συνέπεια την μείωση 28

29 της ενεργού διατομής των αγωγών και άρα την αύξηση της ωμικής των αντιστάσεως. - Απώλειες δινορρευμάτων λόγω της μαγνητικής ροής σκέδασης στις κεφαλές των τυλιγμάτων του στάτη, με αποτέλεσμα την αύξηση των απωλειών πυρήνα και την πρόκληση απωλειών σιδήρου στο περίβλημα και σε άλλα μη ενεργά μέρη του κινητήρα. Οι απώλειες αυτές εξαρτώνται από τη γεωμετρία των κεφαλών του κινητήρα. Η τιμή τους προσδιορίζεται συμβατικά ως το 1% επί της ισχύος εξόδου του κινητήρα κατά τη λειτουργία με πλήρες φορτίο. Οι μηχανικές απώλειες και οι απώλειες πυρήνα συνήθως υπολογίζονται μαζί και ονομάζονται απώλειες χωρίς φορτίο ή απώλειες της εν κενώ λειτουργίας. Οι απώλειες πυρήνα, οι μηχανικές και οι κατανεμημένες απώλειες πολλές φορές προστίθενται όλες μαζί και ονομάζονται απώλειες περιστροφής (rotational losses). Ο λόγος είναι ότι οι τιμές των παραπάνω απωλειών εξαρτώνται από την ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα. Έτσι όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα, τόσο μεγαλύτερες είναι οι απώλειες τριβών, εξαερισμού και οι κατανεμημένες απώλειες. Από την άλλη μεριά οι απώλειες πυρήνα μειώνονται με την αύξηση της ταχύτητας περιστροφής του κινητήρα (όταν δηλαδή η n m προσεγγίζει την n sync ). 29

30 Παρά την παραπάνω εξάρτηση των επιμέρους απωλειών περιστροφής από την ταχύτητα περιστροφής, η συνολική τιμή τους θεωρείται σταθερή ακόμα και για μεταβαλλόμενη περιστροφική ταχύτητα κινητήρα, αφού οι επιμέρους απώλειες μεταβάλλονται προς αντίθετες κατευθύνσεις. Διάγραμμα ροής ισχύος Η σχέση ανάμεσα στην ηλεκτρική ισχύ εισόδου, την μηχανική ισχύ εξόδου, καθώς και τις επιμέρους απώλειες του επαγωγικού κινητήρα αποδίδεται σχηματικά με το διάγραμμα ροής ισχύος (Σχ. 1.7). Διάγραμμα ροής ισχύος επαγωγικού κινητήρα (Σχ. 1.7) Σύμφωνα με το διάγραμμα ροής ο κινητήρας τροφοδοτείται αρχικά με την ηλεκτρική ισχύ Pin. Οι πρώτες απώλειες της ισχύος εισόδου, εμφανίζονται στο τύλιγμα του στάτη του κινητήρα και είναι οι απώλειες χαλκού του στάτη. Στη συνέχεια χάνεται κάποιο ποσό ισχύος με την μορφή απωλειών υστέρησης και δινορρευμάτων στο στάτη (απώλειες πυρήνα). Η ισχύς που απομένει μεταφέρεται στο δρομέα του κινητήρα διαμέσου του διακένου, και γι αυτό το 30

31 λόγο ονομάζεται ισχύς διακένου (air-gap power) P AG της μηχανής. Ένα μέρος της ισχύος διακένου, δηλαδή της ισχύος που μεταφέρεται μέσω του διακένου στο δρομέα, χάνεται με τη μορφή θερμικών απωλειών στους αγωγούς του δρομέα (απώλειες χαλκού δρομέα). Σε αυτό το σημείο, μετά δηλαδή από τις θερμικές απώλειες του δρομέα, η ισχύς που απομένει μετατρέπεται από ηλεκτρική σε μηχανική (P conv ). Η ισχύς αυτή, που μερικές φορές ονομάζεται αναπτυσσόμενη μηχανική ισχύς, δίνεται από τις σχέσεις P P conv conv P AG ind P m RCL όπου τ ind είναι η ροπή που παράγεται κατά τη μετατροπή της ηλεκτρικής ισχύος σε μηχανική. Αυτή η ροπή διαφέρει από εκείνη που είναι πραγματικά αξιοποίησιμη στην έξοδο του κινητήρα, γεγονός που φαίνεται άλλωστε και από το διάγραμμα ροής ισχύος. Πράγματι η P conv μειώνεται από τις απώλειες τριβών και εξαερισμού, δηλαδή τις μηχανικές απώλειες του κινητήρα (P F&W ), ενώ στο τέλος αφαιρούνται και οι κατανεμημένες απώλειες (P stray ). Το ποσό της μηχανικής ισχύος που απομένει αποτελεί την αξιοποιήσιμη μηχανική ισχύ εξόδου της μηχανής (P out ). Λόγω της φύσης τους, οι απώλειες πυρήνα τοποθετούνται στο διάγραμμα ροής ισχύος σχετικά αυθαίρετα. Στην πραγματικότητα οι συνολικές απώλειες 31

32 του πυρήνα δεν προέρχονται μόνο από το κύκλωμα του στάτη (όπως υποδηλώνεται από το συγκεκριμένο διάγραμμα), αλλά προέρχονται και από το κύκλωμα του δρομέα. Θα μπορούσαν λοιπόν να τοποθετηθούν στο διάγραμμα μετά τις απώλειες χαλκού του δρομέα. Ο λόγος για τον οποίο σ ένα διάγραμμα ροής ισχύος οι συνολικές απώλειες πυρήνα συνήθως τοποθετούνται στο κύκλωμα του στάτη (όπως έγινε και στο διάγραμμα του σχήματος μας), είναι ότι οι απώλειες αυτές, τις περισσότερες φορές, προέρχονται στο μεγαλύτερο ποσοστό τους από το στάτη. Κι αυτό διότι τις περισσότερες φορές ο κινητήρας περιστρέφεται με ταχύτητα πολύ κοντά στην σύγχρονη και κατά συνέπεια η σχετική ταχύτητα που αναπτύσσεται ανάμεσα στα μαγνητικά πεδία είναι πολύ μικρή. Έτσι οι απώλειες πυρήνα στο δρομέα είναι πολύ μικρές συγκριτικά με τις αντίστοιχες του στάτη. Συντελεστής απόδοσης επαγωγικού κινητήρα Ο συντελεστής απόδοσης ενός επαγωγικού κινητήρα είναι ίσος με το λόγο της ωφέλιμης μηχανικής ισχύος εξόδου του κινητήρα προς την ηλεκτρική ισχύ εισόδου του P P out in

33 Διανεμημένα Τυλίγματα - Ανώτερες Αρμονικές Τύλιγμα Κλασματικού Βήματος Επαγωγή ημιτονοειδούς τάσης στο δρομέα Η μαγνητική αντίσταση του διακένου ενός ασύγχρονου κινητήρα, είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μαγνητική αντίσταση του στάτη και του δρομέα του. Έτσι το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής Β του πεδίου έχει διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια του δρομέα, αφού με αυτόν τον τρόπο η διαδρομή της μαγνητικής ροής από το δρομέα στον στάτη είναι η συντομότερη δυνατή. Για να επιτευχθεί επαγωγή ημιτονοειδούς τάσης σε μια τέτοια μηχανή, θα πρέπει η παραπάνω μαγνητική επαγωγή να μεταβάλλεται ημιτονοειδώς κατά μήκος της επιφάνειας του διακένου. Θα πρέπει επομένως η ένταση του μαγνητικού πεδίου Η και η μαγνητεγερτική δύναμη F να μεταβάλλονται ημιτονοειδώς κατά μήκος αυτής της επιφάνειας. Ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για την παραγωγή ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενης μαγνητεγερτικής δύναμης κατά μήκος του διακένου, είναι η ημιτονοειδής κατανομή των αγωγών του τυλίγματος της μηχανής στα αυλάκια της εσωτερικής επιφάνειας του στάτη. Ο αριθμός δηλαδή των αγωγών που τοποθετούνται σε κάθε αυλάκι, πρέπει να μεταβάλλεται ημιτονοειδώς ανάλογα με τη θέση του αυλακιού. Τα δε αυλάκια, πρέπει να είναι το δυνατόν 33

34 περισσσότερα σε πλήθος, και να βρίσκονται το δυνατόν κοντύτερα το ένα με το άλλο. Κατά την εφαρμογή του παραπάνω τρόπου σχεδίασης της κατανομής των αγωγών της περιέλιξης του στάτη ενός ασύγχρονου κινητήρα, ο αριθμός των αγωγών του τυλίγματος κάθε αυλακιού, δίνεται από τη σχέση n C N C cos 1.23 όπου N C είναι ο αριθμός των αγωγών που τοποθετούνται στο αυλάκι που αντιστοιχεί σε γωνία 0, σύμφωνα με το σχήμα 1.8. Ημιτονοειδής κατανομή αγωγών Σύγκριση ιδανικής και πραγματικής κατανομής μαγνητεγερτικής δύναμης στο διάκενο (Σχ. 1.8) 34

35 Ο σχεδιασμός του τυλίγματος του στάτη, όπως περιγράφεται παραπάνω (με σκοπό την επίτευξη ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενης επαγόμενης τάσης στο διάκενο), είναι στην πράξη ανέφικτος. Ο λόγος είναι ότι, από τη μία ο αριθμός των αυλακιών είναι πεπερασμένος, και από την άλλη ο αριθμός των αγωγών κάθε αυλακιού πρέπει να είναι ακέραιος. Κατά συνέπεια, η κατανομή της μαγνητεγερτικής δύναμης στο διάκενο είναι κατά προσέγγιση ημιτονοειδής, και η εμφάνιση ανώτερων αρμονικών αναπόφευκτη. Από την άλλη μεριά, μια τέτοια κατά προσέγγιση ημιτονοειδής μεταβολή του αριθμού των αγωγών των αυλακιών του στάτη, επιφέρει δυσκολίες στην σχεδίαση και την κατασκευή. Έτσι, προτιμάται η κατασκευή τυλιγμάτων με ίσο αριθμό αγωγών σε κάθε αυλάκι (διανεμημένα τυλίγματα), η οποία όμως συνοδεύεται με εμφάνιση πολύ εντονότερων αρμονικών. Διανεμημένα τυλίγματα Στην πράξη το τύλιγμα κάθε φάσης σχεδόν πάντα τοποθετείται σε περισσότερα του ενός γειτονικά αυλάκια, για τον απλό λόγο ότι δεν είναι δυνατό να χωρέσουν όλοι οι αγωγοί σε ένα μόνο αυλάκι. Τα αυλάκια ισαπέχουν μεταξύ τους. Η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών αυλακιών του στάτη, ονομάζεται βήμα αυλακιου (slot pitch), και μετριέται σε μηχανικές ή σε ηλεκτρικές μοίρες. Οι πλευρές των συστάδων της κάθε φάσης, οι οποίες είναι τοποθετημένες σε 35

36 διαδοχικά αυλάκια, ονομάζονται ομάδα φάσης (phase belt ή phase group). Σε ένα στάτη Ρ πόλων, ο συνολικός αριθμός των ομάδων φάσης είναι 3Ρ (Ρ για κάθε φάση). Η κατανομή των απαραίτητων για τη λειτουργία της μηχανής αγωγών σε περισσότερες από μία συστάδες, επιτρέπει καλύτερη αξιοποίηση της εσωτερικής επιφάνειας του στάτη. Ταυτόχρονα, περιορίζεται το βάθος των αυλακιών, γεγονός που επιφέρει μεγαλύτερη μηχανική αντοχή στο στάτη. Καθώς όμως οι αγωγοί της κάθε φάσης δεν βρίσκονται στην ίδια θέση, αλλά εκτείνονται σε κάποιο τόξο του στάτη, η τάση που παράγεται στα άκρα αυτών των αγωγών διαφοροποιείται από την θεωρητικά αναμενόμενη (η πραγματική τάση είναι μικρότερη της θεωρητικά αναμενόμενης). Ο λόγος της πραγματικής τιμής της τάσης στα άκρα μιας φάσης του διανεμημένου τυλίγματος, προς την τιμή που θα αναμέναμε αν το τύλιγμα διέθετε τον ίδιο αριθμό αγωγών και ήταν συγκεντρωμένο, ονομάζεται συντελεστής κατανομής (breadth factor ή distribution factor). Ο συντελεστής κατανομής αποτελεί μέτρο της μείωσης της τιμής της τάσης που προκαλείται από τη διανομή των συστάδων στην επιφάνεια του στάτη. Αποδεικνύεται ότι σε ένα τύλιγμα με n αυλάκια σε κάθε ομάδα φάσης, τα οποία εκτείνονται σε γωνία γ μοιρών το καθένα, ο συντελεστής κατανομής έχει τιμή 36

37 k d sin( n / 2) n sin( / 2) 1.24 Αρμονικές εγκοπών Η ομοιόμορφη εισαγωγή συστάδων των διανεμημένων τυλιγμάτων στα αυλάκια της εσωτερικής επιφάνειας του στάτη, δημιουργεί συμμετρικές μεταβολές στη μαγνητική αντίσταση και τη ροή του διακένου του κινητήρα, καθώς η μαγνητική αντίσταση του κάθε αυλακιού είναι μεγαλύτερη από αυτήν του αντίστοιχου μεταλλικού τμήματος του στάτη μεταξύ δυο αυλακιών. Έτσι η μαγνητική επαγωγή είναι μικρότερη κάτω από την επιφάνεια του αυλακιού. Οι μεταβολές της ροής αυξάνουν το περιεχόμενο της τάσης εξόδου σε αρμονικές. Αυτού του είδους οι αρμονικές ονομάζονται αρμονικές εγκοπών. Η συχνότητα των αρμονικών εγκοπών εξαρτάται από την απόσταση δύο γειτονικών αυλακιών της μηχανής, σύμφωνα με τη σχέση όπου slot 2 M p S ν slot = η τάξη της αρμονικής S = ο συνολικός αριθμός των αυλακιών του στάτη M = ένας ακέραιος αριθμός p = ο αριθμός των πόλων της μηχανής 37

38 Για Μ=1, λαμβάνουμε τις μικρότερης τάξης αρμονικές, που επηρεάζουν και περισσότερο τη λειτουργία της μηχανής. Μεταβολές της μαγνητικής επαγωγής στο διάκενο της μηχανής, εξαιτίας των αρμονικών εγκοπών (Σχ. 1.9) Μερικά από τα προβλήματα που δημιουργούν οι αρμονικές εγκοπών στους ασύγχρονους κινητήρες, είναι - Η εμφάνιση παρασιτικών ροπών κατά τη λειτουργία τους, εξαιτίας της αλληλεπίδρασης των αρμονικών εγκοπών του στάτη και του δρομέα, οι οποίες σε αρκετές περιπτώσεις είναι δυνατό να επηρεάσουν σημαντικά τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας, - Η ανάπτυξη κραδασμών και θορύβου στον κινητήρα, 38

39 - Η αύξηση των απωλειών πυρήνα, λόγω των μεγάλων συχνοτήτων που παρουσιάζουν. Η επίδραση των αρμονικών εγκοπών στη ροπή εξόδου ενός επαγωγικού κινητήρα εντείνεται επικίνδυνα, καθώς είναι δυνατή η εμφάνιση αρμονικών της ίδιας συχνότητας στο κύκλωμα διέγερσης του δρομέα. Για τη μείωση του πλάτους των αρμονικών εγκοπών εφαρμόζονται δύο τεχνικές η εισαγωγή τυλιγμάτων κλασματικού αυλακιού (fractinal slot), και η εισαγωγή λοξών (skewed) αγωγών στο δρομέα. Αρμονικές τρίτης τάξης και αρμονικές ζώνης Εξαιτίας της συμμετρίας που παρουσιάζουν οι τάσεις, οι άρτιες αρμονικές δεν περιέχονται στις κυματομορφές των πεδιακών μεγεθών. Αντίθετα, όλες οι περιττές αρμονικές επηρεάζουν τη μορφή των παραπάνω κυματομορφών, των οποίων το πλάτος δεν μας επιτρέπει να τις αγνοήσουμε. Επειδή όμως με την αύξηση της τάξης, μειώνεται και το πλάτος των αντίστοιχων αρμονικών, οι αρμονικές μεγάλων τάξεων αγνοούνται. Η συνδεσμολογία των τριών φάσεων του τυλίγματος του στάτη αποτελεί επίσης έναν παράγοντα που επιδρά στην εμφάνιση κάποιων αρμονικών. Έτσι, στην συνδεσμολογία αστέρα οι τρίτες αρμονικές, όπως και όλα τα πολλαπλάσιά τους, εμφανίζονται με την ίδια τιμή σε κάθε φάση, με αποτέλεσμα να αλληλοαναιρούνται. Αλλά και στη συνδεσμολογία τριγώνου που προστίθενται, το 39

40 ρεύμα που δημιουργούν διαρρέει τα τυλίγματα της μηχανής και καταναλώνεται στις εσωτερικές αντιστάσεις των τυλιγμάτων, με αποτέλεσμα να μην εμφανίζονται τρίτες αρμονικές (ή τα πολλαπλάσιά τους) στην έξοδο της μηχανής. Επομένως οι αρμονικές που επηρεάζουν τη μορφή των πεδιακών μεγεθών και την έξοδο του κινητήρα, είναι η πέμπτη και η έβδομη αρμονική, που συνήθως ονομάζονται αρμονικές ζώνης (belt harmonics). Για την εξάλειψη των αρμονικών ζώνης, η τεχνική που εφαρμόζεται είναι η χρήση τυλιγμάτων κλασματικού βήματος. Αρμονικές Αιχμής Τέλος, στην έξοδο ενός ασύγχρονου κινητήρα εμφανίζονται αρμονικές σε πολύ υψηλές συχνότητες, οι οποίες ονομάζονται αρμονικές αιχμής (tooth or slot harmonics). Αυτές δεν μπορούν να μειωθούν με την εφαρμογή των τυλιγμάτων κλασματικού βήματος. Τύλιγμα κλασματικού βήματος Η κατανομή της μαγνητικής επαγωγής στο διάκενο μιας μηχανής περιέχει, εκτός από μια βασική ημιτονοειδή κυματομορφή, και κάποιες αρμονικές της. Αυτές οι αρμονικές του μαγνητικού πεδίου παράγουν αντίστοιχες αρμονικές στις τάσεις και τα ρεύματα εξόδου της μηχανής. 40

41 Οι αρμονικές στην έξοδο της μηχανής είναι ανεπιθύμητες και γι αυτό έχουν αναπτυχθεί κάποιες μέθοδοι για την καταστολή τους. Η σημαντικότερη αυτών, είναι η χρήση τυλιγμάτων κλασματικού βήματος. Η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών πόλων της μηχανής, ονομάζεται πολικό βήμα (pole pitch). Ανεξάρτητα από τον αριθμό των πόλων, η ηλεκτρική γωνία που αντιστοιχεί σε ένα πολικό βήμα είναι πάντοτε 180. Στην περίπτωση που μια συστάδα αγωγών του στάτη εκτείνεται σε τόξο ίσο με ένα πολικό βήμα, τότε ονομάζεται συστάδα πλήρους βήματος (full-pitch coil), όταν όμως εκτείνεται σε τόξο μικρότερο από ένα πολικό βήμα, ονομάζεται συστάδα κλασματικού βήματος (fractional-pitch coil). Στην τελευταία περίπτωση, το βήμα της συστάδας εκφράζεται με το ποσοστό του πολικού βήματος που αυτή καλύπτει. Η επίδραση των τυλιγμάτων κλασματικού βήματος στις αρμονικές της τάσης, βασίζεται στον παρακάτω νόμο η ηλεκτρική γωνία που αντιστοιχεί στη ν-οστή αρμονική είναι ν φορές μεγαλύτερη από την ηλεκτρική γωνία που αντιστοιχεί στη βασική συχνότητα. Ο συντελεστής βήματος για την ν-οστή αρμονική, θα είναι K P sin Για κάθε αρμονική συχνότητα, ο συντελεστής βήματος του τυλίγματος είναι διαφορετικός. Με κατάλληλη επιλογή βήματος, είναι δυνατόν να μειωθούν δραστικά τα μεγέθη των αρμονικών τάσης στην έξοδο της μηχανής. 41

42 Εξαιτίας των πλεονεκτημάτων τους, τα τυλίγματα κλασματικού βήματος βρίσκουν εφαρμογή στις περισσότερες μηχανές σήμερα. Τα τυλίγματα κλασματικού βήματος αναφέρονται συχνά και ως τυλίγματα χορδής (chorded windings). 42

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 2.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Πίνακας Χαρακτηριστικών και Διαστάσεις Ο κινητήρας της μελέτης μας είναι, όπως προαναφέρθηκε, ένας ασύγχρονος κινητήρας βραχυκυκλωμένου κλωβού. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά του αναγράφονται στον πίνακα που ακολουθεί Τύπος Λειτουργία Προστασία Κλάση Μόνωςης Ονομαστική Ισχύς Συχνότητα Δικτύου IEC 280M S1 IP44 B 90 KW 50 Hz Αριθμός Πόλων P=4 Αριθμός Στροφών Φασική Τάση Δικτύου 1485 rpm U=220 V 43

44 Αριθμός Μπάρων Κλωβού N=40 Αριθμός Αυλακιών Στάτη N=48 Συντελεστής Ισχύος Μήκος Δρομέα Υλικό Στάτη Yλικό Δρομέα Υλικό Μπάρων Κλωβού Υλικό Περιελίξεων Στάτη Μάζα Σιδήρου Στάτη Μάζα Χαλκού Στάτη Υλικό μόνωσης Αυλακιού Στάτη Υλικό Μόνωσης Περιέλιξης Στάτη Εξωτερική Διάμετρος Στάτη Εξωτερική Διάμετρος Δρομέα Πάχος Διακένου Cosφ= mm Σίδηρος Σίδηρος Αλουμίνιο Χαλκός Μ Fe = Kg M Cu = 22.5 Kg PRESSPAN Βερνίκι 440 mm mm 0.75 mm O συγκεκριμένος κινητήρας, έχει προστασία κλειστού τύπου ώστε να αποφεύγεται ικανοποιητικά η είσοδος του νερού και ξένων σωματιδίων του περιβάλλοντα χώρου στα μηχανικά του μέρη. Για την καλύτερη απαγωγή της θερμότητας του κινητήρα, από το περίβλημα της μηχανής, γίνεται χρήση ανεμιστήρα. 44

45 Όσον αφορά τη μόνωση των περιελίξεών του, η κλάση μόνωσης του κινητήρα είναι Β. Η κλάση μόνωσης αφορά μόνο την περιέλιξη του στάτη, καθώς οι μπάρες του δρομέα βραχυκυκλωμένου κλωβού τοποθετούνται στα αυλάκια του δρομέα χωρίς μόνωση. Τα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή του συγκεκριμένο κινητήρα είναι σίδηρος στα δυναμοελάσματα του στάτη και του δρομέα, χαλκός στην περιέλιξη του στάτη, και αλουμίνιο στις ράβδους του δρομέα. Επίσης ως αλουμίνιο θεωρείται και το υλικό των πτερυγίων στο περίβλημα της μηχανής. Στην επόμενη σελίδα παρατίθεται τμήμα της εγκάρσιας τομής του κινητήρα, απ όπου φαίνονται οι γεωμετρικές διαστάσεις των επιμέρους τμημάτων του (αυλάκια στάτη και δρομέα, δυναμοελάσματα, άξονας, διάκενο). Όσον αφορά τα πτερύγια, οι διαστάσεις τους προκύπτουν από το δεδομένο ότι η συνολική επιφάνειά τους (πραγματική εξωτερική παράπλευρη επιφάνεια κινητήρα) είναι 1.8 m 2. Για λόγους συμμετρίας στη σχεδίαση του κινητήρα, ο συνολικός αριθμός των πτερυγίων θεωρήθηκε ίσος με 48. Οι διαστάσεις κάθε ένα των 48 αυτών πτερυγίων, φαίνονται στα σχήματα που ακολουθούν. Σημειώνεται ότι κατά τη θεώρηση των συγκεκριμένων διαστάσεων, διατηρήθηκε το συνολικό εμβαδό της εξωτερικής παράπλευρης επιφάνειας του κινητήρα ίσο με το πραγματικό (1.8 m 2 ). 45

46 Διαστάσεις Κινητήρα IEC 280M (Σχ. 2.1) 46

47 Πτερύγια Κινητήρα (Σχ. 2.2) Αυλάκι και Περιέλιξη Στάτη (Σχ. 2.3) Αυλάκι και Μπάρα Δρομέα (Σχ. 2.4) 47

48 Οι μονώσεις αναφέρονται μόνο στα αυλάκια και τα τυλίγματα του στάτη, καθώς στον κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού οι ράβδοι του δρομέα τοποθετούνται στα αυλάκια του χωρίς μόνωση όπως αναλύθηκε προηγούμενα. Παρ όλα αυτά, λόγω της μη τέλειας συναρμογής των αγώγιμων ράβδων στα αυλάκια του δρομέα, παρεμβάλλεται ένα στρώμα αέρα μεταξύ ράβδων και αυλακιών δρομέα το οποίο εκλαμβάνεται σαν ένα είδος μόνωσης. Παρόμοιο στρώμα αέρος δημιουργείται και στη μόνωση που μεσολαβεί μεταξύ περιελίξεων και αυλακιών του στάτη. Συγκεκριμένα στο δρομέα θεωρούμε ότι ανάμεσα στις μπάρες και τα αυλάκια του, παρεμβάλλεται ένα λεπτό στρώμα αέρος πάχους 0.1 χιλιοστών. Στο στάτη θεωρητικά υπάρχουν δύο στρώματα μονωτικών, δηλαδή ένα στρώμα που καλύπτει τα αυλάκια του (PRESSPAN) και ένα στρώμα που περιβάλλει την περιέλιξή του (βερνίκι). Στην πράξη όμως, υπάρχει ακόμα ένα στρώμα μεταξύ των δύο προαναφερθέντων μονωτικών στρωμάτων, λόγω της ατελούς συναρμογής τους, το οποίο είναι ένα λεπτό στρώμα αέρος. Επίσης στον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών του μονωτικού στρώματος των περιελίξεων λαμβάνεται υπόψη και η ύπαρξη αέρα μεταξύ των αγωγών του τυλίγματος. Επομένως τα τρία μονωτικά στρώματα του στάτη, είναι 1. Μονωτικό στρώμα από PRESSPAN που καλύπτει τα αυλάκια του στάτη, πάχους d 1 = 0.5 mm. 2. Στρώμα αέρος πάχους d 2 = 0.15 mm. 48

49 3. Μονωτικό στρώμα που αντιστοιχεί στη μόνωση των αγωγών του στάτη, που αποτελείται από βερνίκι, και στον αέρα μεταξύ των αγωγών της περιέλιξης, με πάχος d 3 = 0.35 mm Χαρακτηριστικά Υλικών Κινητήρα Σίδηρος Καθώς η λειτουργία του ασύγχρονου κινητήρα στηρίζεται στη δημιουργία εναλλασσόμενου πεδίου διέγερσης από το πρωτεύον (στάτης) και στην επαγωγή τάσης στο δευτερεύον (δρομέας), η χρήση πυρήνα από μαγνητικό υλικό θεωρείται αναγκαία για την αύξηση της επαγόμενης αυτής τάσης. Χωρίς τη χρήση μαγνητικού πυρήνα θα απαιτούνταν παρά πολύ μεγάλα ρεύματα στον στάτη για την ανάπτυξη της επιθυμητής τάσης στο δρομέα. Στην περίπτωση του ασύγχρονου κινητήρα της μελέτης μας, οι πυρήνες του δρομέα και του στάτη αποτελούνται από δυναμοελάσματα πυριτιούχου σιδήρου (Fe 2% Si). Ta δυναμοελάσματα Fe Si ανήκουν στην κατηγορία των μαλακών μαγνητικών υλικών και χρησιμοποιούνται σε όλες τις ηλεκτρικές μηχανές που λειτουργούν στην συχνότητα των 50 Hz. Η κραμάτωση του καθαρού σιδήρου με πυρίτιο μειώνει την ηλεκτρική αγωγιμότητα χωρίς να επιφέρει σημαντική μείωση στην μαγνήτιση κόρου. 49

50 Η πυκνότητα τους λαμβάνεται ίση με 7850 Kg/m 3. Οι δε μαγνητικές απώλειες τους ορίζονται από την τυποποίηση DIN 46400, σε σχέση με το πάχος των δυναμοελασμάτων. Σύμφωνα με την τυποποίηση αυτή οι μαγνητικές απώλειες για τα δυναμοελάσματα του συγκεκριμένου κινητήρα, λαμβάνονται ίσες με 3.6 W/Kg για μαγνητική επαγωγή 1 Tesla και συχνότητα λειτουργίας του κινητήρα 50 Hz. Η καμπύλη μαγνήτισης των δυναμοελασμάτων Fe Si, η οποία λήφθηκε ως δεδομένο για τη μαγνητική λύση του προβλήματος, δίνεται από το παρακάτω σχήμα. Καμπύλη μαγνήτισης πυριτιούχων δυναμοελασμάτων σιδήρου (Σχ. 2.5) 50

51 Χαλκός Ο χαλκός, μαζί με το αλουμίνιο είναι τα μόνα πρακτικά χρησιμοποιήσιμα υλικά για την κατασκευή ηλεκτρικών αγωγών μέταλλα. Ο χαλκός είναι υλικό που παρουσιάζει αντοχή στη διάβρωση, εύκολη μηχανουργική κατεργασία, υψηλή ηλεκτρική αγωγιμότητα (δεύτερο πιο αγώγιμο μέταλλο, μετά τον άργυρο), χρώμα και λάμψη. Είναι μαλακό υλικό και παρουσιάζει μικρή ανθεκτικότητα σε πλαστικές παραμορφώσεις. Ο πρότυπος ανοπτημένος χαλκός ηλεκτροτεχνίας χαρακτηρίζεται με το σύμβολο IACS (International Annealed Copper Standard) και παρουσιάζει στους 20C ειδική αγωγιμότητα (μω cm) -1. Για τη μεταφορά ρεύματος ορισμένης έντασης, αν υπήρχε επιλογή στο υλικό των συρμάτων μεταξύ του χαλκού και του αλουμινίου, τα απαιτούμενα σύρματα χαλκού θα είχαν πολύ μικρότερη διατομή από αυτήν των αντίστοιχων συρμάτων αλουμινίου. Αυτό οφείλεται στην υψηλή αγωγιμότητα του χαλκού. Γι αυτό και σε εφαρμογές όπου επιζητείται μικρός όγκος αγωγών, ο χαλκός αποτελεί την πιο κατάλληλη λύση στη επιλογή του υλικού. Μια τέτοια εφαρμογή είναι και η κατασκευή της περιέλιξης ενός κινητήρα. Αλουμίνιο Το αλουμίνιο είναι ένα υλικό που συνδυάζει μικρό ειδικό βάρος, καλή αντοχή σε οξείδωση, καλή ηλεκτρική και θερμική αγωγιμότητα. Τα 51

52 μειονεκτήματά του είναι η μικρή μηχανική του αντοχή και το χαμηλό σημείο τήξης του. Το μικρό ειδικό βάρος του αλουμινίου (d Al = 2.7 gr/cm 3 ), σε σχέση με αυτό του χαλκού, το αναδεικνύει σε μια ενδιαφέρουσα εναλλακτική λύση σε περιπτώσεις που επιζητείται μικρό βάρος και ο όγκος δεν αποτελεί δέσμευση. To aλουμίνιο, κατά τη θέρμανσή του, οξειδώνεται τοπικά σε Al 2 O 3 το οποίο σχηματίζει ένα λεπτό επιφανειακό μονωτικό στρώμα στο υλικό που προστατεύει το μέταλλο από περαιτέρω οξείδωση. Συνέπεια αυτού του φαινομένου είναι η σημαντική αύξηση της αντίστασης επαφής του αλουμινίου με κίνδυνο την τοπική υπερθέρμανση. Αυτή η τοπική υπερθέρμανση, η οποία αναφέρεται και ως ανάπτυξη θερμού σημείου, μπορεί να οδηγήσει ακόμα και στην τήξη. Μονωτικά Υλικά Τα μονωτικά υλικά που χρησιμοποιήθηκαν κατά την κατασκευή του κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού για τη μόνωση του στάτη είναι, όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη παράγραφο, το PRESSPAN και τα βερνίκια. Αναλυτικότερα PRESSPAN Αποτελεί το υλικό του μονωτικού στρώματος των αυλακιών του στάτη του κινητήρα. Παράγεται από χαρτόνι εξαιρετικής ποιότητας σε μορφή πλακών 52

53 ή ρολών υπό μεγάλη πίεση. Πρόκειταιι για υλικό με καλές μηχανικές, θερμικές και ηλεκτρικές ιδιότητες, το οποίο όμως παρουσιάζει ένα μειονέκτημα είναι πολύ υγροσκοπικό. Για τον ικανοποιητικό περιορισμό του υγροσκοπικού χαρακτήρα του υλικού συνηθίζεται ο εμποτισμός του σε βερνίκια. ΒΕΡΝΙΚΙΑ Αποτελούν το υλικό της μονωτικής επικάλυψης των αγωγών της περιέλιξης του στάτη του κινητήρα. Παράγονται από τεχνητές ρητίνες και δεν περιέχουν λάδια σε αντίθεση με τα βερνίκια που παράγονταν παλαιότερα. Τα κυριότερα είναι βερνίκια βακελίτη, τα βερνίκια φενολικής, αλκυδικής, μελανινικής, πολυεστερικής, εποξειδικής ρητίνης και ρητίνης σιλικόνης και πολυουρεθάνης. Για τον εμποτισμό περιελίξεων χρησιμοποιούνται κυρίως τα πολυεστερικά και τα εποξειδικά βερνίκια. Τα βερνίκια δημιουργούν ένα φιλμ γύρω από την περιέλιξη, ενώ συγχρόνως γεμίζουν τους κενούς χώρους μέσα στα αυλάκια και τις κεφαλές της περιέλιξης. Τα βερνίκια εμποτισμού είναι θερμοσκληρυνόμενα. Από την άλλη, τα βερνίκια αέρα (επιχρίσματα) ξηραίνονται σε θερμοκρασία περιβάλλοντος και χρησιμοποιούνται κυρίως για επιδιορθώσεις ή πρόσθετη μόνωση στις κεφαλές των περιελίξεων με επάλειψη. Ο εμποτισμός της περιέλιξης του στάτη του κινητήρα σε βερνίκι είναι απαραίτητος για τη λειτουργία του, καθώς εκτός από το μονωτικό του ρόλο το βερνίκι συνεισφέρει σημαντικά στην απαγωγή της θερμότητας της μηχανής. Η 53

54 θερμοκρασία της περιέλιξης του στάτη κατά τη λειτουργία του κινητήρα χαμηλής τάσης μειώνεται, όταν έχει προηγηθεί εμποτισμός της σε βερνίκι, κατά 5 Κ περίπου. Η μαγνητική συμπεριφορά των υλικών της μόνωσης και του αλουμινίου (μπάρες, πτερύγια) εκφράζεται από την καμπύλη μαγνήτισης του αέρα Καμπύλη μαγνήτισης του αέρα (Σχ. 2.6) 54

55 2.2 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Σύμφωνα με τη θεωρητική μελέτη που έγινε στο πρώτο κεφάλαιο, και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του κινητήρα της μελέτης μας, όπως αυτά περιγράφονται στο παρόν κεφάλαιο, μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής - Η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα είναι n sync = 1500 rpm. - Η ταχύτητα ολίσθησης του κινητήρα είναι n slip = 15 rpm. - H ολίσθησή του είναι s = 0.01, ή s = 1%. - Η σgυχνότητα του δρομέα είναι f r = 0.5 Hz. - H ροπή που ασκείται στο δρομέα, κατά την ονομαστική λειτουργία του κινητήρα, είναι τ load = Nm. - Το πολικό βήμα της μηχανής αντιστοιχεί σε μηχανική γωνία Ο συντελεστής κατανομής του κινητήρα είναι k d =. - Oι αρμονικές εγκοπών που επηρεάζουν περισσότερο τη λειτουργία του κινητήρα (δηλαδή αυτές τις μικρότερης τάξης), εμφανίζονται σε συχνότητες 1150 Hz και 1250 Hz (αφού για Μ=1, έχουμε τάξεις αρμονικών 23 και 25). 55

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 3.1 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΎΝΘΕΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η επίλυση πολλών τεχνικών προβλημάτων εξαρτάται από τη δυνατότητα διατύπωσης κάποιου μαθηματικού μοντέλου που να εκφράζει το δυνατόν πληρέστερα το αρχικό πρόβλημα. Στην πράξη η εύρεση ενός τέτοιου μοντέλου είναι πολλές φορές αδύνατη, εξαιτίας του σύνθετου των προβλημάτων αυτών. Η εξαγωγή αναλυτικών λύσεων κλειστού τύπου είναι εφικτή μονάχα σε λίγες περιπτώσεις (απλές γεωμετρίες κλπ). Στις περιπτώσεις λοιπόν επίλυσης σύνθετων προβλημάτων, παλαιότερα υπήρχαν μόνο δύο δρόμοι η εισαγωγή απλοποιητικών παραδοχών, και το πείραμα. Η εφαρμογή απλοποιητικών παραδοχών σ ένα σύνθετο πρόβλημα επιτρέπει πολλές φορές την προσέγγιση του με κάποιο επιλύσιμο μαθηματικό μοντέλο. Όσο περισσότερες είναι οι απλοποιητικές αυτές παραδοχές, τόσο πιο πολλές είναι οι πιθανότητες εξαγωγής του ζητούμενου μοντέλου. Ταυτόχρονα όμως όσο αυξάνει η έκταση των απλοποιητικών παραδοχών, τόσο περισσότερο 56

57 αποκλίνει το απλοποιημένο πια πρόβλημα από το αρχικό, με αποτέλεσμα το προκύπτον μαθηματικό μοντέλο (το οποίο εκφράζει το απλοποιημένο πρόβλημα) να οδηγεί σε σοβαρές ανακρίβειες και λανθασμένα αποτελέσματα. Η μέθοδος αυτή λοιπόν δεν ενδείκνυται, παρά μόνο σε περιπτώσεις όπου η εφαρμογή οποιασδήποτε εναλλακτικής μεθόδου είναι αδύνατη, ή για λόγους ευκολίας. Η πειραματική μελέτη δίνει διέξοδο στην αδυναμία επίλυσης ενός σύνθετου προβλήματος, όταν η θεωρητική γνώση των φαινομένων που συνοδεύουν το πρόβλημα είναι ελλιπής, ενώ παλαιότερα αποτελούσε το μοναδικό τρόπο εξαγωγής αποτελεσμάτων μεγαλύτερης ακριβείας, όταν οι απλοποιητικές μέθοδοι οδηγούσαν σε σφάλματα. Το πείραμα δεν αποτελεί πάντα μια καλή μέθοδο επίλυσης προβλημάτων, είτε λόγω ασύμφορου οικονομικά εξοπλισμού, είτε λόγω των σφαλμάτων που εισάγονται από τη μέθοδο μέτρησης ή την αδυναμία των μετρητικών συστημάτων να μην παρεμβληθούν στο μετρούμενο σύστημα. Εναλλακτική μέθοδος στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων είναι η εφαρμογή προσεγγιστικών αριθμητικών λύσεων, η οποία επιτρέπει τη διατήρηση της πολυπλοκότητας του προβλήματος. Μια τέτοια μέθοδος θα ήταν ανέφικτη στο παρελθόν, λόγω του όγκου των αναγκαίων υπολογισμών που μια τέτοια μέθοδος απαιτεί. Σήμερα όμως, με τη ραγδαία εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστικών συστημάτων, οι προσεγγιστικές αριθμητικές 57

58 μέθοδοι έχουν εκτοπίσει τις απλοποιητικές μεθόδους και έχουν περιορίσει τις πειραματικές εφαρμογές σε μεγάλο βαθμό. Με την εξέλιξη των υπολογιστών δόθηκε επίσης νέα ώθηση στην έρευνα νέων αριθμητικών προσεγγιστικών, πιο ικανοποιητικών και μεγαλύτερης ακρίβειας, καθώς μια τέτοια προσπάθεια θα είχε πλέον και τεχνολογική υποστήριξη. Μια πρόσφατη σχετικά αριθμητική μέθοδος είναι και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Elements Method F.E.M.). Βασική ιδέα της μεθόδου αυτής είναι η διαίρεση της περιοχής λύσης ενός προβλήματος σε διακριτά και πεπερασμένα στοιχεία, η επίλυση του προβλήματος σε κάθε ένα αυτών χωριστά, και τέλος η σύνθεση των επιμέρους λύσεων σε μία εννιαία που να αντιπροσωπεύει ολόκληρη την περιοχή επίλυσης. H μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση των σύνθετων προβλημάτων του μαγνητικού πεδίου και του θερμοκρασιακού πεδίου στον κινητήρα της μελέτης μας, είναι η αριθμητική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. 58

59 3.2 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η θεωρητική αφετηρία της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων βρίσκεται στις αρχές του αιώνα και είναι συνυφασμένη με τον Γερμανό μαθηματικό W. Ritz (1909) και τον Ρώσο, επίσης μαθηματικό, B.G. Galerkin (1915). Μια από τις πρώτες θεωρητικές εφαρμογές της αποτελεί η προσέγγιση της τιμής του π με ακρίβεια 40 σημαντικών ψηφίων, η οποία βασίστηκε στην παρατήρηση ότι όταν ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου τείνει στο άπειρο, η περίμετρος αυτού τείνει στο μήκος της περιφέρειας του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου. Η πρώτη εφαρμογή της μεθόδου έγινε από τον Hrenikoff για την επίλυση προβλημάτων σχετιζόμενων με την αεροναυπηγική, και χρονολογείται το 1941, ενώ το 1943 ο R. Courant χρησιμοποίησε τριγωνικά στοιχεία για την προσεγγιστική επίλυση προβλημάτων μηχανικής στρέψης. Εξαιτίας του μεγάλου υπολογιστικού της κόστους, η μέθοδος αναπτύχθηκε ουσιαστικά από το 1950 και μετά. Παράλληλα λοιπόν με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών αρκετοί επιστήμονες ασχολήθηκαν με την βελτίωση και εφαρμογή της μεθόδου αυτής σε περισσότερα γνωστικά πεδία. Μερικοί από αυτούς ήταν ο Έλληνας J.H. Argyris (1954), οι Αμερικάνοι M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Matkin και L.J. Topp (1956), και ο Kesley 59

60 (1960). Μάλιστα ο R.W. Clough ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο πεπερασμένο στοιχείο για να δηλώσει τα κομμάτια του διακριτοποιημένου χώρου εφαρμογής της μεθόδου. Αποτέλεσμα της επιστημονικής αυτής προσπάθειας είναι η ευρύτερη χρήση και εφαρμογή της μεθόδου σε προβλήματα Αντοχής Υλικών, Μηχανικής Ρευστών και ιδιαίτερα στη Μετάδοση Θερμότητας. Το πρώτο βιβλίο που γράφτηκε για τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων δημοσιεύτηκε το 1967 από τους Zienkiewicz και Chung, γεγονός που καθιέρωσε και εδραίωσε τη μέθοδο. Η εισαγωγή της μεθόδου στο χώρο της Ηλεκτρολογίας έγινε από τον Sylvester το 1969, ο οποίος σε συνεργασία με σημαίνοντες επιστήμονες της εποχής (Chari, Centers, Lowther και Konrad) επέκτεινε την εφαρμογή της μεθόδου και στο χώρο αυτό. Στη δεκαετία του 80 υπεισήλθαν κάποιες τροποποιήσεις στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων με σκοπό την προσαρμογή της στις ανάγκες επίλυσης πεδιακών κυριώς προβλημάτων, όπως προβλημάτων στατικών πεδίων, δινορρευμάτων, υψηλών συχνοτήτων κ.ά. Το 1982 προτάθηκε από τον Bossavit μια μέθοδος συγγενεύουσα της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, με την ονομασία μέθοδος των στοιχείων ακμής (Edge Element Method). Βάση στη στήριξη της μεθόδου αυτή αποτέλεσαν τα στοιχεία ακμής του Whitney. Μια άλλη παρεμφερής μέθοδος είναι η μέθοδος των οριακών στοιχείων (Boundary Element Method), με 60

61 χαρακτηριστικό την διακριτοποίηση του συνόρου της περιοχής του μέσου. Κατά καιρούς έχουν προταθεί και διάφορες υβριδικές μέθοδοι (FEM-BEM, FEM- αναλυτικές μέθοδοι κ.ά.), στις οποίες αποφεύγονται κάποια μειονεκτήματα της μίας μεθόδου με κατάλληλο συνδυασμό των πλεονεκτημάτων της άλλης. Συνοψίζοντας η FEM εξαπλώθηκε γρήγορα σε όλα τα πεδία γνώσης, επισκιάζοντας άλλες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων. Παράδειγμα αποτελεί η ταχεία επικράτηση της μεθόδου έναντι της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών (FED), την οποία είχε εισάγει το 1943 ο R. Courant. Μεταξύ της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών, η οποία διαδόθηκε νωρίτερα λόγω της απλούστερης δομής της, και της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων δημιουργήθηκε διαμάχη. Λόγω της ανάπτυξης της FEM στην Αντοχή Υλικών με βάση την αρχή των δυνατών έργων, και της θεώρησης της FED ως μιας απλής μεθοδολογίας αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, οι δύο παραπάνω μέθοδοι αντιμετωπίζονταν ως εντελώς ανεξάρτητες η μία από την άλλη. Με την πάροδο του χρόνου όμως άρχισε να γίνεται κατανοητό ότι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων δεν είναι μια ειδική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων αντοχής υλικών, αλλά μια γενική μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, τόσο γενική ώστε να εμπεριέχει σαν υποπερίπτωση τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Η μέθοδος λοιπόν των πεπερασμένων στοιχείων ανάγεται στη γενική θεωρία προσεγγιστικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων όπως διατυπώθηκε 61

62 από τους Galerkin-Ritz. Γι αυτό το λόγο, η γενίκευση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων είναι γνωστή και ως θεωρία Galerkin-Ritz. 3.3 ΠΕΔΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Αφετηρία στην εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων αποτέλεσε η μελέτη προβλημάτων Αντοχής Υλικών. Πολύ γρήγορα όμως η μέθοδος επεκτάθηκε σε όλα τα πεδία προβλημάτων. Μια κατηγορία προβλημάτων είναι τα προβλήματα ισορροπίας που είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Μια δεύτερη κατηγορία είναι τα προβλήματα ιδιοτιμών της μηχανικής των στερεών και της ρευστομηχανικής, ενώ σε μια τρίτη κατηγορία ανήκουν τα ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΡΕΥΣΤΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟ- ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πεδία εφαρμογής της F.E.M. (Σχ. 3.1) 62

63 προβλήματα που παρουσιάζουν εξάρτηση από το χρόνο, δηλαδή τα προβλήματα διάδοσης. 3.4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Σε ένα πρόβλημα συνεχούς μέσου, η μεταβλητή του πεδίου (πίεση, θερμοκρασία, μετατόπιση, τάση κλπ.) παίρνει άπειρες τιμές, καθώς είναι συνεχής συνάρτηση του συνόλου των σημείων της περιοχής λύσης. Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων η περιοχή λύσης χωρίζεται σε επιμέρους στοιχεία. Το πεδίο λύσης θεωρείται συνιστάμενο από ένα μεγάλο αριθμό συνεχών κατά τμήματα πεδίων, κάθε ένα εκ των οποίων καλύπτει την περιοχή ενός στοιχείου. Η άγνωστη μεταβλητή του πεδίου εκφράζεται μονοσήμαντα στην περιοχή του κάθε στοιχείου σαν συνάρτηση των τιμών της σε ορισμένα σημεία του στοιχείου. Τα σημεία αυτά ονομάζονται κόμβοι ή κομβικά σημεία. Αυτό γίνεται με την βοήθεια προσεγγιστικών συναρτήσεων, των συναρτήσεων παρεμβολής. Οι κομβικές τιμές της μεταβλητής πεδίου και οι συναρτήσεις παρεμβολής ορίζουν πλήρως τη συμπεριφορά της πεδιακής μεταβλητής σε κάθε στοιχείο. Οι νέοι άγνωστοι του προβλήματος είναι τώρα οι τιμές της πεδιακής μεταβλητής στους κόμβους των στοιχείων, με αποτέλεσμα ο αριθμός των αγνώστων να θεωρείται πλέον πεπερασμένος. Από τη στιγμή που 63

64 αυτές οι κομβικές τιμές βρεθούν, αναλαμβάνουν οι συναρτήσεις παρεμβολής, οι οποίες ορίζουν την τιμή της μεταβλητής του πεδίου στο σύνολο των στοιχείων, δηλαδή στην αρχική περιοχή λύσης. Η φύση της λύσης και ο βαθμός προσέγγισης, κατά την επίλυση ενός προβλήματος με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, εξαρτώνται τόσο από το μέγεθος και το πλήθος των επιμέρους στοιχείων, όσο και από τις συναρτήσεις παρεμβολής που επιλέγονται για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Η εκλογή των συναρτήσεων παρεμβολής σε μια εφαρμογή της μεθόδου, πρέπει να ικανοποιεί συγκεκριμένες συνθήκες συμβατότητας στα κοινά όρια των γειτνιαζόντων στοιχείων. Μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόδου, έναντι άλλων αριθμητικών μεθόδων, είναι η δυνατότητα διατύπωσης ξεχωριστών λύσεων για κάθε στοιχείο, πριν την σύνθεσή τους για την εξαγωγή της τελικής λύσης του συνολικού προβλήματος. Ένα ακόμα σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η δυνατότητα εξαγωγής αυτών των εξισώσεων που εκφράζουν τις ιδιότητες των επιμέρους στοιχείων, με διαφορετικούς τρόπους. Οι τρόποι (προσεγγίσεις) αυτοί θα περιγραφούν εκτενέστερα στη παράγραφο Τελικά, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων χαρακτηρίζεται από την αναγωγή ενός σύνθετου προβλήματος σε μια σειρά σημαντικά απλοποιημένων προβλημάτων, των οποίων η επίλυση αποτελεί αν όχι εύκολο, 64

65 τουλάχιστο εφικτό εγχείρημα. Ταυτόχρονα, τα σφάλματα που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου είναι αμελητέα σε σύγκριση με αυτά των μεθόδων απλοποιητικών παραδοχών (παράγραφος 6.1), καθώς οι τυχόν απλοποιητικές παραδοχές (που γίνονται κατά την εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων) λαμβάνονται στον μικρό χώρο του στοιχείου και οι προσεγγίσεις που γίνονται τείνουν στα πραγματικά μεγέθη. 3.5 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βήματα στη Διαδικασία Εφαρμογής της Μεθόδου Η διαδικασία που ακολουθείται κατά την εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση ενός προβλήματος συνεχούς μέσου, συνοψίζεται σε έξι διαδοχικά βήματα ή φάσεις. Συνοπτικά, τα βήματα αυτά είναι 1. Διαίρεση της συνεχούς περιοχής λύσης σε επιμέρους στοιχεία, ή αλλιώς διακριτοποίηση 2. Εκλογή των συναρτήσεων παρεμβολής 3. Εύρεση των ιδιοτήτων των επιμέρους στοιχείων 4. Εξαγωγή των εξισώσεων του συστήματος 65

66 5. Επίλυση των εξισώσεων του συστήματος 6. Επεξεργασία της λύσης Η περιγραφή των παραπάνω βημάτων ακολουθεί αναλυτικά στις επόμενες παραγράφους Διαίρεση του Συνεχούς Μέσου σε Στοιχεία Διακριτοποίηση Γενικά Στοιχεία Το πρώτο βήμα κατά τη εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων σε ένα πρόβλημα είναι η αναπαράσταση της περιοχής λύσης του προβλήματος με ένα απλοποιημένο ιδεατό σύστημα. Αυτό επιτυγχάνεται με τη διαδικασία της διακριτοποίησης, δηλαδή της διαίρεσης της συνεχούς αυτής περιοχής σε στοιχεία. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά αποτελεί τμήμα της περιοχής λύσης και συνδέεται με τα εφαπτόμενα γειτονικά του με κοινούς κόμβους που βρίσκονται στις οριακές επιφάνειες ή ακμές αυτών. Η διαίρεση του συνεχούς μέσου σε επιμέρους στοιχεία ποικίλει, ανάλογα με το πρόβλημα που μελετάται κάθε φορά. Ωστόσο λόγω της εμπειρίας που έχει αποκτηθεί κατά την πολυετή και εκτεταμένη εφαρμογή της μεθόδου, έχουν καθιερωθεί κάποιες κατευθυντήριες γραμμές, με εφαρμογή των οποίων προκύπτουν συνήθως ικανοποιητικές αναπαραστάσεις των περιοχών λύσεις και των φαινομένων που συνοδεύουν τα διάφορα προβλήματα. 66

67 Μια από τις πρώτες επιλογές που πρέπει να γίνουν για την εφαρμογή της διακριτοποίησης είναι η επιλογή του τύπου των στοιχείων, κι όταν λέμε τύπο εννοούμε τους τέσσερις παρακάτω παράγοντες που χαρακτηρίζουν ένα στοιχείο το σχήμα του στοιχείου, τον αριθμό και τον τύπο των κόμβων, τον τύπο των κομβικών μεταβλητών και τον τύπο των συναρτήσεων παρεμβολής. Στους παράγοντες αυτούς θα αναφερθούμε αναλυτικά στη συνέχεια του κεφαλαίου. Είναι δυνατόν στο ίδιο πρόβλημα να χρησιμοποιηθούν περισσότεροι του ενός τύποι στοιχείων, όταν το απαιτούν οι συνθήκες του προβλήματος. Το σύνηθες βέβαια είναι η χρήση ενός τύπου. Σημαντικός παράγοντας για τη βέλτιστη αναπαράσταση μιας περιοχής λύσης από ένα σύστημα διακριτών στοιχείων αποτελεί ο αριθμός των στοιχείων αυτών, καθώς η αύξηση του αριθμού στοιχείων συντείνει στην καλύτερη ακρίβεια αποτελεσμάτων. Σε πολλές περιπτώσεις προβλημάτων κάποια από τα όρια της περιοχής λύσης είναι καμπυλόγραμμα (σε μονοδιάστατα και δισδιάστατα προβλήματα) ή καμπύλες επιφάνειες (τρισδιάστατα προβλήματα), με αποτέλεσμα να είναι αδύνατη η ιδανική αναπαράσταση τους με στοιχεία, καθώς τα όρια των χρησιμοποιούμενων στοιχείων είναι ευθύγραμμα τμήματα ή επίπεδες επιφάνειες. Προσέγγιση των πραγματικών καμπύλων ορίων μπορεί να επιτευχθεί με μια σειρά ευθύγραμμων ή επίπεδων τμημάτων, η δε βελτίωση 67

68 αυτής της προσέγγισης είναι εφικτή με περαιτέρω αύξηση του αριθμού των τμημάτων αυτών. Σημαντική είναι και η τοπολογία του συστήματος, που δεν είναι τίποτε άλλο από την διατεταγμένη αρίθμηση των κόμβων. Η αρίθμηση αυτή γίνεται αρχικά τοπικά, στο στοιχείο που εμπεριέχει τον συγκεκριμένο κόμβο, και στη συνέχεια στον χώρο του δικτύου που σχηματίζεται από το σύνολο των πεπερασμένων στοιχείων του προβλήματος. Η τοπολογία είναι μια έννοια που θα μας απασχολήσει και στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού. Ο σχεδιαστής του συστήματος διακριτών στοιχείων πρέπει να εντοπίσει και να εκμεταλλευτεί τυχόν συμμετρίες στη γεωμετρία του προβλήματος, καθώς τέτοιες συμμετρίες δίνουν τη δυνατότητα ευκολότερης διακριτοποίησης και ταχύτερης επίλυσης του προβλήματος. Σημασία της γεωμετρίας του προβλήματος και των μεταβολών των πεδιακών μεγεθών στη διαδικασία της διακριτοποίησης Ένα ομοιόμορφο σύστημα στοιχείων προσφέρει ευκολία στην σχεδίαση, αλλά υστερεί στην πιστότητα της αναπαράστασης της περιοχής λύσης. Έτσι το μέγεθος, και επομένως και ο αριθμός των στοιχείων που αναλογεί στη μονάδα μήκους, επιφάνειας ή όγκου (ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος), πρέπει να μεταβάλλεται ανάλογα με τη γεωμετρία και τα φαινόμενα που συνοδεύουν κάθε πρόβλημα. Μικρότερα (και επομένως περισσότερα) στοιχεία πρέπει να 68

69 χρησιμοποιούνται σε περιοχές με ανώμαλα όρια, καθώς και σε περιοχές όπου η κλίση της μεταβλητής του πεδίου αναμένεται να έχει έντονες μεταβολές. Η γεωμετρία και η διαμόρφωση του πεδίου ενός προβλήματος πρέπει να ληφθούν υπόψη και κατά την οριοθέτηση των στοιχείων και την επιλογή των σημείων τοποθέτησης των κόμβων τους. Θέσεις υποκείμενες σε σημειακές δράσεις αποτελούν ιδανικές θέσεις για τοποθέτηση των ορίων των γύρω στοιχείων και των κόμβων των στοιχείων αυτών. Επίσης στις κορυφές γωνιακών ορίων πρέπει πάντοτε να τοποθετούνται κόμβοι. Η κλίση της μεταβλητής πεδίου σε κάποια θέση της περιοχής λύσης του προβλήματος καθορίζει τη βέλτιστη αναλογία διαστάσεων ενός στοιχείου στη συγκεκριμένη θέση. Καθώς όμως η γνώση της παραπάνω κλίσης δεν είναι δυνατή σε αυτό το στάδιο της μελέτης, επιδιώκεται ο σχεδιασμός στοιχείων κανονικών αναλογιών. Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος της μικρότερης προς τη μεγαλύτερη διάσταση του στοιχείου πρέπει να τείνει στη μονάδα. Μακρόστενα στοιχεία πρέπει να αποφεύγονται γιατί οδηγούν σε λύσεις εκλεκτικές προς μία διεύθυνση. Πλήθος Στοιχείων Ο αριθμός των διακριτών στοιχείων σχετίζεται με την ακρίβεια της λύσης, το μέγεθος των στοιχείων και το σύνολο των βαθμών ελευθερίας. 69

70 Γενικά, όταν τα στοιχεία ικανοποιούν τις απαιτήσεις συγκλίνουσας λύσης, αναμένεται βελτίωση στην ακρίβεια των αποτελεσμάτων με την αύξηση του αριθμού των στοιχείων που καλύπτουν την περιοχή λύσης. Ο μαθηματικός ορισμός της σύγκλισης προυποθέτει ομαλή αύξηση του αριθμού των στοιχείων. Ο ομαλός αυτός τρόπος μεταβολής του αριθμού των στοιχείων καθορίζεται από τις τρεις παρακάτω συνθήκες - Κατά την αύξηση του αριθμού των στοιχείων, και την ταυτόχρονη σμίκρυνση αυτών, κάθε σημείο της περιοχής λύσης του προβλήματος πρέπει να εξακολουθεί να ανήκει σε κάποιο στοιχείο. - Τα όρια και οι κόμβοι των στοιχείων του αρχικου συστήματος πρέπει να διατηρηθούν και στο νέο σύστημα. - Η μορφή των συναρτήσεων παρεμβολής πρέπει να διατηρηθεί κατά τη διάρκεια της περαιτέρω διακριτοποίησης του συστήματος. Αν και η αύξηση του αριθμού των στοιχείων γενικά συνεπάγεται μεγαλύτερη ακρίβεια αποτελεσμάτων, υπάρχει ένα ανώτατο όριο στον αριθμό τους, πάνω από το οποίο δεν παρατηρείται καμία περαιτέρω βελτίωση στην ακρίβεια. Από την άλλη πλευρά, μεγάλος αριθμός στοιχείων συνεπάγεται και μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Η ύπαρξη μεγάλου αριθμού βαθμών ελευθερίας μπορεί να σημαίνει στην καλύτερη των περιπτώσεων μεγάλη καθυστέρηση στην επεξεργασία των δεδομένων και στη λήψη αποτελεσμάτων, 70

71 αλλά μπορεί να σημαίνει και αδυναμία λήψης οποιουδήποτε αποτελέσματος, καθώς η μνήμη του υπολογιστικού συστήματος ενδέχεται να μην διαθέτει αρκετό χώρο για έναν τόσο μεγάλο αριθμό εξισώσεων και πινάκων αποτελεσμάτων. Baσικά Σχήματα Στοιχείων Κατά την εφαρμογή της διακριτοποίησης επιδιώκεται το δυνατόν ακριβέστερη αναπαράσταση της περιοχής λύσης του προβλήματος με τη συνένωση πεπερασμένων στοιχείων απλού γεωμετρικά σχήματος. Στα μονοδιάστατα προβλήματα τα διακριτά στοιχεία είναι ευθύγραμμα τμήματα. Σε δισδιάστατα προβλήματα υπάρχει μεγαλύτερη επιλογή στο σχήμα των στοιχείων. Έτσι συνηθίζονται τριγωνικά στοιχεία τριών κόμβων, μιας και αυτά μπορούν να αναπαραστήσουν με μεγάλη πιστότητα οποιεσδήποτε γεωμετρίες, ενώ ένα απλό στοιχείο που σχεδιάζεται αυτόματα από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή είναι το παραλληλόγραμμο στοιχείο τεσσάρων κόμβων με πλευρές παράλληλες προς το σύστημα συντεταγμένων του προβλήματος. Άλλα στοιχεία που χρησιμοποιούνται ευρέως είναι το τριγωνικό έξι κόμβων και το απλό τετράπλευρο, το οποίο προκύπτει από τη σύνθεση δύο ή περισσοτέρων τριγωνικών στοιχείων. 71

72 Κατάλογος μορφών πεπερασμένων στοιχείων ενός τυπικού υπολογιστικού προγράμματος (Σχ. 3.2) 72

73 Στα τρισδιάστατα προβλήματα το τετράεδρο τεσσάρων κόμβων αποτελεί το αντίστοιχο του τριγώνου τριών κόμβων των δισδιάστατων εφαρμογών. Χρησιμοποιούνται επίσης στοιχεία σχήματος ορθού πρίσματος. Εκτός από τα στοιχεία με ευθύγραμμα ή επίπεδα όρια, υπάρχουν και στοιχεία καμπύλων ορίων, τα οποία ονομάζονται ισοπαραμετρικά. Αυτά χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση καμπύλων ορίων της περιοχής λύσης, όταν επιθυμείται καλή αναπαράσταση με όσο το δυνατόν μικρότερο αριθμό στοιχείων. Για τον παραπάνω λόγο, η χρήση παραμετρικών στοιχείων καθίσταται αναγκαία σε τρισδιάστατα προβλήματα, όπου ο μοναδικός τρόπος για τον περιορισμό του μεγάλου αριθμού εξισώσεων και πινάκων αποτελεσμάτων, καθώς και του χρόνου και του κόστους υπολογισμών, είναι η χρήση λιγότερων στοιχείων. Στην πράξη τα πιο εύχρηστα και δημοφιλή σχήματα για την αναπαράσταση σύνθετων γεωμετριών, εξαιτίας της ευκολίας στη μεταξύ τους συνένωση, είναι τα τριγωνικά στοιχεία (για δισδιάστατα προβλήματα) και τα τετράεδρα (για τρισδιάστατα προβλήματα). Αριθμός και Τύπος Κόμβων Ο αριθμός των κόμβων, που αντιστοιχίζονται σε ένα στοιχείο, εξαρτάται από τον τύπο της μεταβλητής του πεδίου, τον τύπο της συνάρτησης παρεμβολής και τον βαθμό συνέχειας που απαιτείται. 73

74 Όσον αφορά τον τύπο ενός κόμβου, ο διαχωρισμός γίνεται με βάση την θέση που τοποθετείται ο κόμβος αυτός στην επιφάνεια ή τον όγκο του στοιχείου στο οποίο ανήκει. Διακρίνουμε λοιπόν δύο τύπους κόμβων τους εξωτερικούς και τους εσωτερικούς. Ως εξωτερικός χαρακτηρίζεται ένας κόμβος όταν βρίσκεται σε οριακή ακμή ή επιφάνεια του στοιχείου, όπως είναι οι κορυφές των γωνιών ενός στοιχείου. Οι εξωτερικοί κόμβοι αποτελούν τα σημεία σύνδεσης του στοιχείου με τα γειτνιάζοντα προς αυτό στοιχεία ή με το περιβάλλοντα μέσο (στην περίπτωση που το στοιχείο βρίσκεαι στα όρια της περιοχής λύσης του προβλήματος). Αντίθετα, οι εσωτερικοί κόμβοι δεν συνορεύουν με άλλα στοιχεία του συστήματος ή υλικά που περιβάλλουν την περιοχή λύσης. Βρίσκονται στο εσωτερικό της επιφάνειας ή του όγκου του στοιχείου, για δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα αντίστοιχα. Τοπολογία του Συστήματος Η έννοια της τοπολογίας στην μαθηματική επιστήμη, περιγράφεται ως η δομή που ορίζεται σ ένα σύνολο σημείων, καλούμενο χώρος, με τη βοήθεια μιας οικογένειας υποσυνόλων (στοιχείων), που παρουσιάζουν τις παρακάτω ιδιότητες 74

75 - Η ένωση ορισμένου πλήθους στοιχείων της οικογένειας είναι επίσης στοιχείο της οικογένειας. - Τομή πεπερασμένου αριθμού στοιχείων της οικογένειας είναι στοιχείο της οικογένειας. - Τα στοιχεία της οικογένειας αποτελούν ανοικτά σύνολα του αντίστοιχου χώρου που ονομάζεται τοπολογικός χώρος. Στη διαδικασία σχεδιασμού του συστήματος των πεπερασμένων στοιχείων, κατά την εφαρμογή της αντίστοιχης μεθόδου, η τοπολογία του προκύπτοντος συστήματος συνίσταται στη συστηματική αρίθμηση των κόμβων (των εξεταζόμενων δηλαδή σημείων του χώρου), όχι μόνο στον χώρο των στοιχείων (των υποσυνόλων δηλαδή του χώρου) που αυτοί ανήκουν, αλλά και στο σύνολο των στοιχείων (στην οικογένεια δηλαδή των υποσυνόλων) που καλύπτουν το πεδίο λύσης. Οι κόμβοι έχουν διαφορετική αρίθμηση στο χώρο του στοιχείου που ανήκουν, από την αρίθμησή τους στο σύνολο του διακριτοποιημένου χώρου. Επίσης αριθμούνται και τα επιμέρους στοιχεία στο σύνολο του συστήματος. Ένα σημαντικό στοιχείο που πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά την αρίθμηση των κόμβων, είναι η εξάρτηση του εύρους του συγκεντρωτικού πίνακα επίλυσης του προβλήματος από τον τρόπο της αρίθμησης αυτής. Η αρίθμηση λοιπόν των κόμβων πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να ελαχιστοποιεί το παραπάνω 75

76 εύρος. Ένας τρόπος είναι αριθμώντας τους κόμβους των κορυφών κατά μήκος της μικρότερης διάστασης του σώματος. Επομένως, η συστηματική αρίθμηση των στοιχείων και των κόμβων στο δίκτυο των πεπερασμένων στοιχείων κατά την εφαρμογή της μεθόδου, είναι ουσιαστικής σημασίας για τη διαδικασία της λύσης. Απλοποιήσεις που Προκύπτουν από τη Φυσική Γεωμετρία του Προβλήματος Αν η γεωμετρία της περιοχής λύσης και οι εξωτερικές συνθήκες του προβλήματος παρουσιάζουν συμμετρίες, τότε μπορούμε να εκμεταλλευτουμε τις συμμετρίες αυτές περιορίζοντας την έκταση ή τον όγκο της μελετούμενης περιοχής. Μπορούμε δηλαδή να εστιάσουμε τη μελέτη μας σε ένα από τα συμμετρικά τμήματα του προβλήματος, καθώς η συμπεριφορά του πεδιακού μεγέθους που μας ενδιαφέρει αναμένεται να είναι όμοια σε όλα τα επιμέρους συμμετρικά τμήματα. Φυσικά, η θεώρηση συμμετριών στο χώρο του προβλήματος, πρέπει να γίνεται προσεκτικά, λαμβάνοντας υπόψη κάθε παράγοντα που μπορεί να επιδρά στο πρόβλημα και στα μετρούμενα πεδιακά μεγέθη, ώστε να μην περιέλθουμε σε λάθη. Κατά τη μελέτη του συμμετρικού τμήματος που επιλέγουμε να εξετάσουμε, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι θεωρούμενες συνθήκες συμμετρίας. Έτσι, στα έτοιμα υπολογιστικά προγράμματα εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, οι συνθήκες συμμετρίας πρέπει να 76

77 συμπεριληφθούν στα δεδομένα που θα εισαχθούν στο πρόγραμμα, πριν τη διαδικασία επίλυσης, ώστε τα αποτελέσματα που θα εξαχθούν να είναι ολοκληρωμένα. Μοντέλο στροβιλομηχανής (General Electric) με πεπερασμένα στοιχεία (Σχ.3.3) 77

78 Εφαρμογή σε δορυφόρο (Σχ. 3.4) 78

79 Μοντελοποίηση βάσης με άρθρωση (Σχ. 3.5) 79

80 3.5.3 Εκλογή των Συναρτήσεων Παρεμβολής To δεύτερο βήμα κατά τη διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, είναι η επιλογή του προσεγγιστικού τρόπου μεταβολής της πεδιακής μεταβλητής σε κάθε ένα από τα στοιχεία, στα οποία έχει διακριτοποιηθεί η αρχική περιοχή λύσης του προβλήματος στην προηγούμενη φάση (παραγρ ). Αυτή η επιλογή γίνεται λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση που πρέπει να ισχύει για το πεδιακό μέγεθος σε κάθε στοιχείο. Καθώς επιβάλλεται η επιλογή κάποιας απλής συνάρτησης, για την περιγραφή των μεταβολών της πεδιακής μεταβλητής στα επιμέρους στοιχεία, γίνεται συχνά χρήση των πολυωνυμικών συναρτήσεων. Οι λόγοι που οδηγούν στην ευρύτατη χρήση συναρτήσεων πολυωνυμικής μορφής στην υπολογιστική διαδικασία της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, είναι οι ακόλουθοι - Η εισαγωγή των εξισώσεων των πεπερασμένων στοιχείων στο υπολογιστικό σύστημα, όταν οι συναρτήσεις παρεμβολής είναι αυτής της μορφής, είναι απλή, λόγω της ευκολίας στη διαφόριση και ολοκλήρωση των προκυπτόντων πολυωνύμων. - Υπάρχει πάντα κάποιο περιθώριο περαιτέρω βελτίωσης της ακρίβειας των αποτελεσμάτων, καθώς η αύξηση της τάξης των χρησιμοποιούμενων πολυωνύμων επιφέρει μεγαλύτερου βαθμού προσέγγιση. Θεωρητικά, αν ήταν δυνατή χρήση πολυωνύμων άπειρης τάξης, η λύση που θα προέκυπτε θα ήταν η 80

81 ακριβής. Αν και μπορούμε να κατασκευάσουμε πολυώνυμα πολύ μεγάλης τάξης, στην πράξη προτιμούνται πολυώνυμα μικρής τάξης, καθώς τα προτερήματα της χρήσης των τελευταίων (μικρότερος χρόνος επίλυσης, μικρότερο κόστος) υπερισχύουν της κάποιας μικρής ποσοστιαίας βελτίωσης της ακρίβειας των αποτελεσμάτων που θα προέκυπταν με τη χρήση πολυωνύμων μεγάλης τάξης. Συνήθως λοιπόν γίνεται χρήση πολυωνύμων μίας, δυο ή το πολύ τριών ανεξάρτητων μεταβλητών. Πολυώνυμα Μιας Ανεξάρτητης Μεταβλητής Το γενικό πολυώνυμο n οστού βαθμού μίας ανεξάρτητης μεταβλητής γράφεται Pn( x) Tn (1) aix i0 i 3.1 όπου T n (1) = n + 1, είναι ο αριθμός των όρων του πολυωνύμου. Με αντικατάσταση των τιμών 1 και 2 στη μεταβλητή n, λαμβάνουμε n 1 T (1) 2 P( x) a 1 n 2 T 2 (1) 3 P ( x) a a x a x a x Πολυώνυμα Δύο Ανεξάρτητων Μεταβλητών To γενικό πολυώνυμο n οστού βαθμού δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, δίνεται από τη σχέση 81

82 82 όπου Τ n (2) = (n + 1)(n + 2) /2, είναι ο αριθμός των όρων του πολυωνύμου. Θέτοντας όπου n τις τιμές 1 και 2, έχουμε Πολυώνυμα Τριών Ανεξάρτητων Μεταβλητών To γενικό πολυώνυμο n οστού βαθμού τριών ανεξάρτητων μεταβλητών, δίνεται από τη σχέση όπου Τ n (3) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) /6, είναι ο αριθμός των όρων του πολυωνύμου. Αν θέσουμε όπου n τις τιμές 1 και 2, έχουμε Εύρεση των Ιδιοτήτων των Επιμέρους Στοιχείων Προσεγγιστικές Τεχνικές Το τρίτο βήμα κατά την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι η εύρεση εκείνων των εξισώσεων που εκφράζουν τις ιδιότητες 3.4, ), ( (2) 1 n j i y x a y x P j i T k k n n 3.6 ), ( 6 (2) ), ( 3 (2) y a x a xy a y a x a a y x P T n y a x a a y x P T n 3.7 ),, ( (3) 1 n k j i z y x a z y x P k j i T e e n n 3.9 ),, ( 10 (3) ),, ( 4 (3) z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a a z y x P T n z a y a x a a z y x P T n

83 κάθε διακριτού στοιχείου του συστήματος. Για το σκοπό αυτό υπάρχει η δυνατότητα χρήσης κάποιων προσεγγιστικών τεχνικών. Οι τεχνικές αυτές, που επιτρέπουν την εύρεση των ιδιοτήτων των στοιχείων με διαφορετικό τρόπο η κάθε μία, είναι οι παρακάτω τέσσερις 1. Άμεση Προσέγγιση 2. Προσέγγιση με το λογισμό των μεταβολών 3. Προσέγγιση με την τεχνική των ζυγισμένων υπολοίπων 4. Προσέγγιση με ενεργειακό ισοζύγιο Αν και η προσέγγιση με το λογισμό των μεταβολών είναι συνήθως πιο εύκολη, η επιλογή της τεχνικής προσέγγισης, που θα εφαρμοστεί σε κάθε περίπτωση, εξαρτάται από τη φύση του συγκεκριμένου προβλήματος. Οι εξισώσεις που εκφράζουν τις ιδιότητες του κάθε στοιχείου, διατυπώνονται με χρήση πινάκων. Άμεση Προσέγγιση Η τεχνική της άμεσης προσέγγισης βασίζεται στη μέθοδο της ακαμψίας στην ανάλυση των κατασκευών. Βρίσκει εφαρμογή μόνο σε σχετικά απλά προβλήματα. 83

84 Προσέγγιση με το Λογισμό των Μεταβολών Χρησιμοποιεί τις αρχές ελαχιστοποίησης - μεγιστοποίησης διαφόρων συναρτησιακών του προβλήματος που παρέχει ο λογισμός των μεταβολών. Προσέγγιση με την Τεχνική των Ζυγισμένων Υπολοίπων Για την εφαρμογή της τεχνικής αυτής, είναι απαραίτητη η γνώση μόνο των εξισώσεων που διέπουν το πρόβλημα. Δεν χρειάζονται συναρτησιακές, ούτε αρχές ελαχιστοποίησης μεγιστοποίησης, με αποτέλεσμα την διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και σε προβλήματα όπου η γνώση τέτοιων αρχών δεν είναι δυνατή. Προσέγγιση με Ενεργειακό Ισοζύγιο Η τεχνική της προσέγγισης με ενεργειακό ισοζύγιο, είναι η γενικότερη των υπολοίπων τεχνικών. Βασίζεται στον ισοζυγισμό της ενέργειας στην περιοχή λύσης του προβλήματος Εξαγωγή των Εξισώσεων του Συστήματος Το τέταρτο βήμα της διαδικασίας εφαρμογής της μεθόδου πεπερασμενων στοιχείων είναι η εξαγωγή των εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα των στοιχείων, και συνίσταται στην άθροιση των επιμέρους εξισώσεων που 84

85 αντιστοιχούν σε κάθε ένα διακριτό στοιχείο. Η άθροιση αυτή είναι εφικτή, καθώς οι εξωτερικοί συνδετικοί κόμβοι ανήκουν σε δύο ή και περισσότερα στοιχεία, οπότε οι εξισώσεις που αφορούν έναν τέτοιο κόμβο χαρακτηρίζουν όλα τα συντρέχοντα σε αυτόν στοιχεία. Η παραπάνω διαδικασία οργανώνεται και τελείται από το υπολογιστικό σύστημα. Οι εξισώσεις που προκύπτουν για το μελετούμενο σύστημα, διατυπώνονται σε μορφή πινάκων, όπως και αυτές των μεμονωμένων στοιχείων, με τη διαφορά ότι οι πίνακες αυτοί του συστήματος εμπεριέχουν πολύ περισσότερους όρους, καθώς αναφέρονται στο σύνολο των κόμβων του προβλήματος. Για την λήψη ορθών αποτελεσμάτων στα επόμενα βήματα της διαδικασίας εφαρμογής της μεθόδου, είναι αναγκαία σε αυτό το σημείο, η ένταξη των οριακών συνθηκών του προβλήματος στις παραπάνω εξισώσεις. Για να είναι δυνατή μια τέτοια ένταξη, οι οριακές συνθήκες πρέπει να τροποποιηθούν κατάλληλα Επίλυση των Εξισώσεων Το πέμπτο βήμα της διαδικασίας εφαρμογής της μεθόδου πεπερασμενων στοιχείων είναι η επίλυση των εξισώσεων που εξήχθησαν από το προηγούμενο βήμα της μεθόδου (παραγρ ), και αφορούν το συνολικό σύστημα. 85

86 Αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτού του βήματος, είναι η εύρεση των άγνωστων κομβικών τιμών της μεταβλητής του πεδίου του προβλήματος. Η ύπαρξη μη γραμμικών εξισώσεων δυσχεραίνει και επιβραδύνει τη διαδικασία Επεξεργασία της Λύσης Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη λύση των εξισώσεων του συστήματος, στο προηγούμενο βήμα (παραγρ ), αποδεικνύονται χρήσιμα για την ανάλυση και άλλων φαινομένων και μεγεθών που χαρακτηρίζουν το μελετούμενο πρόβλημα. Έτσι, με κατάλληλη επεξεργασία των αποτελεσμάτων, μπορούν να υπολογιστούν διάφορες άλλες μεταβλητές που συνδέονται με το χώρο του προβλήματος. 3.6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ OPERA 2-D Κατά καιρούς έχουν σχεδιαστεί διάφορα υπολογιστικά πακέτα, βάση της λειτουργίας των οποίων αποτελεί η προσεγγιστική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Ένα από αυτά, είναι και το Opera. Το υπολογιστικό πακέτο Opera είναι ένα προιόν της Vector Fields και προσφέρεται για επίλυση δισδιάστατων, 86

87 αλλά και τρισδιάστατων προβλημάτων, των οποίων η επίλυση απαιτεί χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Στην παρούσα εφαρμογή, εξαιτίας της δυνατότητας δισδιάστατης προσέγγισης του χώρου επίλυσης, έγινε χρήση της δισδιάστατης έκδοσης του προγράμματος (Opera 2-d). Το υπολογιστικό πρόγραμμα Opera 2-d δίνει τη δυνατότητα επίλυσης ποικίλων προβλημάτων, όπως στατικών πεδίων, ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων πεδίων σταθερής κατάστασης, μεταβατικών φαινομένων σε χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία, θερμοκρασιακών πεδίων (σταθερής κατάστασης, αλλά και σε μεταβατικό χρονικό διάστημα), μηχανικών δυνάμεων και τάσεων (μηχανική καταπόνηση υλικών), κ.ά. Για τη μελέτη του θερμοκρασιακού πεδίου στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του κινητήρα, έγινε εφαρμογή αρχικά της AC ανάλυσης για μόνιμη κατάσταση, και στη συνέχεια της θερμικής ανάλυσης για την ίδια κατάσταση λειτουργίας. 87

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Απαραίτητο βήμα για τη μελέτη του αναπτυσσόμενου θερμοκρασιακού πεδίου στα διάφορα τμήματα του κινητήρα που περιγράφηκε στο δεύτερο κεφάλαιο, είναι η επίλυση του μαγνητικού προβλήματος στον εξεταζόμενο χώρο. Πρέπει δηλαδή αρχικά να γίνει η περιγραφή του μαγνητικού πεδίου, όπως αυτό διαμορφώνεται μέσα στον κινητήρα. Το κεφάλαιο αυτό παρατίθεται με σκοπό την περιγραφή των αρχών που διέπουν την ανάπτυξη του μαγνητικού πεδίου σε έναν κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού. Η προσέγγιση αυτή θα έχει σαν αφετηρία την περιγραφή του συμμετρικού τριφασικού συστήματος τάσεων τροφοδοσίας της περιέλιξης του στάτη, ενώ στη συνέχεια θα περιγραφούν τα ρεύματα του στάτη, ο υπολογισμός των εντάσεων τους, καθώς και το επαγόμενο μαγνητικό πεδίο στα διάφορα μέρη της μηχανής (στάτης, δρομέας, διάκενο). Η παραπάνω μελέτη θα γίνει αρχικά στη γενική περίπτωση ενός ασύγχρονου ηλεκτρικού κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού, ενώ στη συνέχεια 88

89 θα προσπαθήσουμε να ανάγουμε το μαγνητικό πρόβλημα στην περίπτωση του συγκεκριμένου κινητήρα, σύμφωνα με τα στοιχεία που παρατέθηκαν στο κεφάλαιο 2. Τέλος θα γίνει αναφορά στις οριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν στην περίπτωση του τετραπολικού κινητήρα της μελέτης μας, ενώ από την αρχή του κεφαλαίου μας θα γίνει παράθεση όλων των παραδοχών που έγιναν για τη λύση του μαγνητικού προβλήματος. 4.2 ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ H επίλυση του προβλήματος της κατανομής του μαγνητικού πεδίου του ασύγχρονου ηλεκτρικού κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού αποτελεί εγχείρημα δύσκολο λόγω της πολυπλοκότητας της δομής της μηχανής και της ποικιλότητας των φαινομένων που συνδέονται με την κατανομή του μαγνητικού πεδίου. Για να είναι δυνατή λοιπόν η προσέγγιση του παραπάνω προβλήματος γίνονται κάποιες παραδοχές. Με βάση τις παραδοχές αυτές αγνοούνται κάποια φαινόμενα, που ούτως ή άλλως έχουν αμελητέα επίδραση στο μαγνητικό πεδίο, και λαμβάνονται κάποιες συμμετρίες οι οποίες κάνουν δυνατή τη μελέτη μικρότερου τμήματος της μηχανής. Σε κάθε περίπτωση οι παραδοχές, οι οποίες 89

90 λαμβάνονται κατά τη μελέτη, περιορίζουν σημαντικά τον όγκο των αναγκαίων για την επίλυση του μαγνητικού προβλήματος υπολογισμών. Λόγω της μεγάλης μαγνητικής διαπερατότητας των δυναμοελασμάτων των πυρήνων στάτη και δρομέα θεωρούμε μαγνητική διάδοση μόνο κατά την εγκάρσια τομή του κινητήρα, ενώ θεωρούμε τις αξονικές συνιστώσες αμελητέες. Λαμβάνεται λοιπόν το μαγνητικό πρόβλημα δισδιάστατο, στο εγκάρσιο επίπεδο του κινητήρα. Το μαγνητικό πεδίο σκέδασης των κεφαλών θεωρείται αμελητέο, καθώς ο υπολογισμός του πεδίου στηρίζεται στην πυκνότητα του ρεύματος του στάτη και όχι στην τάση του. Τα επιφανειακά φορτία και τα ρεύματα μετατόπισης θεωρούνται μηδενικά, παραδοχή που ευσταθεί στην περίπτωση χαμηλών συχνοτήτων (συχνότητα δικτύου τροφοδοσίας του κινητήρα της μελέτης μας 50 Hz). O χαλκός της περιέλιξης στα αυλάκια του στάτη θεωρείται συμπαγής, και σαν συνέπεια το διάρρευμα σε κάθε αυλάκι θεωρείται σταθερό. Στη συμμετρική τριφασική περιέλιξη κάθε φάση λαμβάνεται κατά 120 ηλεκτρικές μοίρες μετατοπισμένη σε σχέση με τη γειτονική της. Τα ρεύματα που διαρρέουν τη συμμετρική τριφασική περιέλιξη του στάτη του κινητήρα θεωρούνται συμμετρικά και ημιτονοειδή, με χρονική διαφορά μεταξύ ρευμάτων διαδοχικών φάσεων 120 μοίρες. Τα φαινόμενα των άκρων θεωρούνται αμελητέα. 90

91 Για τον τετραπολικό κινητήρα του παραδείγματός μας, θεωρούμε αντικείμενο μελέτης μόνο τον έναν από τους τέσσερις πόλους της μηχανής, δηλαδή έναν τομέα 90 της εγκάρσιας τομής της. Αυτή η παραδοχή ευσταθεί λόγω της γεωμετρικής συμμετρίας των τμημάτων του κινητήρα που αναλογούν σε κάθε πόλο, και της συμμετρικής τροφοδοσίας της μηχανής. Για τη λήψη ορθών αποτελεσμάτων κατά τη λύση του μαγνητικού προβλήματος στον ένα των πόλων του κινητήρα, θα πρέπει να τεθούν οι απαραίτητες οριακές συνθήκες, όπως αυτές θα αναλυθούν στη συνέχεια του κεφαλαίου. 4.3 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΑΣΕΩΝ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ Η τριφασική περιέλιξη του στάτη τροφοδοτείται από το δίκτυο με ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα τάσεων, ημιτονοειδώς χρονικά μεταβαλλόμενων με κυκλική συχνότητα ω e και με μεταξύ τους διαφορά φάσεως 2π/3 ακτίνια. Στον υπό εξέταση κινητήρα η συχνότητα του δικτύου είναι f e =50 Hz, επομένως η κυκλική συχνότητα των ημιτονοειδώς χρονικά μεταβαλλόμενων τάσεων θα είναι ω e = 2π f e 314 rad/s4.1 91

92 4.4 ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΑI ΠΥΚΝΟΤΗTA ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΗ Τριφασικό Συμμετρικό Σύστημα Ρευμάτων Στάτη Δεχόμαστε ότι οι αντιστάσεις και αντιδράσεις της μηχανής είναι σταθερές και άρα ότι και τα ρεύματα των τριών περιελίξεων αποτελούν συμμετρικό σύστημα με ιδιότητες ίδιες με αυτές που αναφέρθηκαν για το τριφασικό σύστημα των τάσεων. Τα ρεύματα λοιπόν που διαρρέουν τους αγωγούς των τριών φάσεων U, V και W στα αυλάκια του στάτη, αν Ι St η ενεργός τιμή του ρεύματος στον στάτη, θα είναι αντίστοιχα i i i u v W i st i st i st cos cos cos i st e t e t e t 2 3 2I 4 3 st, Υπολογισμός Πυκνότητας Ρεύματος Στάτη Η πυκνότητα του ρεύματος ορίζεται ως ο λόγος του συνολικού ρεύματος που διαρρέει μια επιφάνεια προς το εμβαδό της επιφάνειας αυτής. Στην περίπτωση του στάτη ενός ασύγχρονου κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού, η παραπάνω πυκνότητα μπορεί να βρεθεί 92

93 ανάγοντας τους υπολογισμούς σε ένα από τα αυλάκια του στάτη. Η τιμή πυκνότητας ρεύματος που θα προκύψει για το αυλάκι, θα εκφράζει την συνολική πυκνότητα ρεύματος του στάτη, λόγω της γεωμετρικής ομοιομορφίας της κατασκευής του. είναι Το συνολικό ρεύμα I α που διαρρέι κάθε ένα των αυλακιών του στάτη θα όπου I a 2N I 4.3 S St N s = ο αριθμός των αγωγών ανά αυλάκι της περιέλιξης του στάτη, και I st = η ενεργός τιμή του ρεύματος που διαρρέει κάθε αγωγό του αυλακιού του στάτη. Αν λάβουμε ως S Cu τη συνολική διατομή του χαλκού της περιέλιξης σε κάθε αυλάκι του στάτη, η πυκνότητα ρεύματος του αυλακιού αλλά και γενικότερα του στάτη θα είναι J S 2 N S S Cu I st 4.4 H φάση της πυκνότητας ρεύματος κάθε αυλακιού του στάτη συμπίπτει με τη φάση του στιγμιαίου ρεύματος που διαρρέει τους αγωγούς του αυλακιού. 93

94 4.5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΝ ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΧΥΣΗΣ Οι εξισώσεις που περιγράφουν το μαγνητικό πεδίο, θεωρώντας αμελητέα τα επιφανειακά φορτία και τα ρεύματα μετατόπισης, είναι: Οι εξισώσεις του Maxwell H E B E J t Η εξίσωση συνέχειας J Τη σημειακή μορφή του νόμου του Ohm J E 4.10 Και την καταστατική εξίσωση όπου 4.11 Η = η ένταση του μαγνητικού πεδίου Β = η μαγνητική επαγωγή Ε = η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου J = η πυκνότητα ρεύματος 94

95 σ = η ειδική αγωγιμότητα μ = μ 0 μ r = η μαγνητική διαπερατότητα (μ 0 = 4π10-7 H/m,η μαγνητική διαπερατότητα του κενού) Τα μεγέθη Β και Η, μπορεί να είναι σταθερά ή χρονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη. Εισάγουμε την έννοια του μαγνητικού διανυσματικού δυναμικού, με στροφή και απόκλιση αντίστοιχα λαμβάνουμε A E t Στην σχέση αυτή, η έκφραση που βρίσκεται μες στην παρένθεση έχει στροφή μηδέν, και κατά συνέπεια μπορεί να παρασταθεί με την κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης φ. Αν ως βαθμωτή συνάρτηση επιλεγεί το ηλεκτρικό βαθμωτό δυναμικό, τότε προκύπτει η παρακάτω εξίσωση που ισχύει σε στατικά, αλλά και σε χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία. A E t 4.15 Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η εξίσωση διάχυσης του μαγνητικού πεδίου 95

96 1 A A t Στην εξίσωση διάχυσης, βλέπουμε ότι εμφανίζονται δύο πυκνότητες 4.16 ρεύματος, η πυκνότητα ρεύματος των δινορρευμάτων J e, που αντιστοιχεί στη χρονική μεταβολή του Α, και η ρευματική πυκνότητα ρεύματος J S, που αντιστοιχεί στην κλίση του βαθμωτού δυναμικού φ. Οι δύο αυτές πυκνότητες ρεύματος, δίνονται επομένως από τις παρακάτω σχέσεις J J e S A t Τελικά, αντικαθιστώντας στην εξίσωση διάχυσης, έχουμε 1 A J S J e ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ανάμεσα στις παραδοχές που κάνουμε, θεωρούμε ότι η μαγνητική επαγωγή έξω aπό την περιοχή λύσης έχει μηδενική τιμή. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ότι δεν υπάρχει διαρροή της μαγνητικής ροής στον περιβάλλοντα χώρο του μελετούμενου κινητήρα. 96

97 Η οριακή συνθήκη που προκύπτει για την εξωτερική επιφάνεια του κινητήρα, δηλαδή για την εξωτερική επιφάνεια των πτερυγίων, είναι η μηδενική τιμή της κάθετης συνιστώσας της μαγνητικής επαγωγής. Επειδή η μαγνητική επαγωγή Β ισούται με τη στροφή του διανυσματικού δυναμικού Α, συμπεραίνουμε ότι σε κάθε σημείο της εξωτερικής επιφάνειας των πτερυγίων και για κάθε χρονική στιγμή. το δυναμικό αυτό θα έχει σταθερή τιμή. Για το διανυσματικό δυναμικό στην παραπάνω οριακή επιφάνεια, θέτουμε την τιμή μηδέν, δηλαδή Α = 0. Η οριακή αυτή συνθήκη είναι η συνθήκη Dirichlet. H δεύτερη συνθήκη που θέτουμε στο μοντέλο του κινητήρα αφορά την εισαγωγή κάποιας περιοδικής συμμετρίας στην περιοχή επίλυσης του προβλήματος, η οποία κατά την εφαρμογή περιλαμβάνει μόνο τον ένα των τεσσάρων πόλων του κινητήρα (κυκλικός τομέας 90). Η περιοδική συμμετρία αφορά τις εξωτερικές ακμές των στοιχείων που εφάπτονται στους ημιάξονες οx και οy (σημεία επιφανειών τομής), σύμφωνα με το σχήμα που ακολουθεί. Για κάθε ένα από τα δύο ζεύγη πόλων του μελετούμενου κινητήρα, τα πεδιακά μεγέθη έχουν ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετο πρόσημο. Επομένως η συνθήκη που εισάγεται στο μοντέλο είναι η αρνητική περιοδική συμμετρία A i A j 97

98 X A=0 A i =-A j Y Οριακές συνθήκες μαγνητικού πεδίου (Σχ. 4.1) Η πρώτη οριακή συνθήκη που θέσαμε στο μοντέλο του ασύγχρονου κινητήρα δεν είναι πάντα ευσταθής. Η θεώρηση μηδενικής μαγνητικής διαρροής από τη μελετούμενη περιοχή στον περιβάλλοντα χώρο μπορεί να απέχει αρκετά από την πραγματικότητα, οταν ο πυρήνας του στάτη βρίσκεται σε υψηλό κορεσμό. 98

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το παρόν κεφάλαιο αναφέρεται στη θεωρία της μετάδοσης της θερμότητας σε ένα σύστημα ή χώρο. Η θεωρία αυτή αποτελεί βάση για την κατανόηση του φαινομένου της μετάδοσης της θερμότητας σε έναν κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού και την επίλυση του θερμοκρασιακού πεδίου, όπως αυτό διαμορφώνεται κατά την λειτουργία του. Στις εξισώσεις και τη θεωρία που παρατίθενται στο κεφάλαιο αυτό και που αφορούν ένα τυχαίο σύστημα, θα στηριχτούμε για να προσδιορίσουμε τα δεδομένα του θερμοκρασιακού πεδίου του ασύγχρονου κινητήρα της μελέτης μας. 5.2 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Με τον όρο μετάδοση θερμότητας εννοούμε την ενέργεια που μεταφέρεται λόγω θερμοκρασιακής διαφοράς. 99

100 Αντικείμενα της Θεωρίας Μετάδοσης Θερμότητας αποτελούν κυρίως οι τρόποι (μηχανισμοί) με τους οποίους μεταφέρεται η θερμότητα, και οι ρυθμοί με τους οποίους πραγματοποιείται η παραπάνω μεταφορά. Το φαινόμενο της μετάδοση θερμότητας, όπως εκδηλώνεται σε οποιοδήποτε σύστημα, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας, πρέπει να ικανοποιεί το παρακάτω ενεργειακό ισοζύγιο όπου ~ E in ~ E g ~ E out ~ E ie 5.1 Ε in = η εισερχόμενη στο σύστημα ενέργεια E g = η παραγόμενη μέσα στο σύστημα ενέργεια E out = η ενέργεια η οποία απάγεται από το περιβάλλον και εξέργχεται από το σύστημα E ie = η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος Η παύλα () πάνω από τα μεγέθη της παραπάνω εξίσωσης, υποδηλώνει χρονική μεταβολή. 5.3 ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Πολλές φορές, στο εσωτερικό ενός συστήματος, πραγματοποιείται μετατροπή κάποιων μορφών ενέργειας (χημική, πυρηνική, ηλεκτρική κ.ά.) σε 100

101 θερμική ενέργεια. Στην περίπτωση αυτή, το ποσό της θερμότητας που παράγεται μέσα στο σώμα, από την παραπάνω μετατροπή, αποτελεί θερμική πηγή του συστήματος, ενώ δίνεται από την ακόλουθη σχέση ~ E g qv W 5.2 όπου q = η ισχύς της θερμικής πηγής [ W/m 3 ] V = ο όγκος του σώματος 5.4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Η αύξηση της θερμοκρασίας ενός συστήματος έχει ως αποτέλεσμα την αποθήκευση κάποιου ποσού θερμότητας στο σύστημα αυτό. Η παρακάτω σχέση εκφράζει την ανά μονάδα χρόνου αποθηκευόμενη στο σύστημα ενέργεια όπου ~ E ie cv dt dt 5.3 ρ = η πυκνότητα του υλικού c = η ειδική θερμότητα του υλικού V = ο όγκος του σώματος 101

102 5.5 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Τρεις είναι οι τρόποι (μηχανισμοί) με τους οποίους μπορεί να πραγματοποιηθεί η μετάδοση της θερμότητας, με - Αγωγή - Συναγωγή - Ακτινοβολία ή με συνδυασμό δύο ή και των τριών αυτών μηχανισμών Μετάδοση με Αγωγή Η αγωγή είναι ο μηχανισμός μετάδοσης θερμότητας κατά τον οποίο πραγματοποιείται μεταφορά ενέργειας από σωματίδια μεγαλύτερης ενέργειας σε σωματίδια χαμηλότερης ενέργειας του ίδιου ή διαφορετικού υλικού, όταν αυτά βρίσκονται σε επαφή, λόγω αλληλεπιδράσεων μεταξύ των σωματιδιών αυτών. Χαρακτηριστικό στοιχείο του μηχανισμού της αγωγής, το οποίο τη διαχωρίζει και από την συναγωγή, είναι ότι κατά τη μετάδοση θερμότητας με αγωγή πραγματοποιείται αποκλειστικά μεταφορά ενέργειας και όχι ύλης. Η θερμοκρασία είναι μέτρο της κινητικής ενέργειας της τυχαίας κίνησης των μορίων ενός σώματος. Αύξηση της θερμοκρασίας των μορίων συνεπάγεται αύξηση στην κινητική τους ενέργεια. Κατά τη σύγκρουση των μορίων μεγάλης 102

103 θερμοκρασίας (και κινητικής ενέργειας) με τα γειτονικά μόρια μικρότερης θερμοκρασίας, μεταφέρεται από τα πρώτα στα δεύτερα μέρος της κινητικής τους ενέργειας. Δηλαδή πραγματοποιείται μετάδοση θερμότητας (μεταφορά ενέργειας) από τα θερμότερα μόρια ή σωματίδια, στα ψυχρότερα. Ο μηχανισμός λοιπόν αυτός περιγράφει την αγωγή. Η αγωγή ως μηχανισμός μεταφοράς θερμότητας συναντάται στα στερεά και σε ακίνητα ρευστά (περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει μεταφορά ύλης), όταν στο μέσο υπάρχει θερμοκρασιακή κλίση. Στα μέταλλα στην αγωγή συμμετέχουν και τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Μαθηματικά η μετάδοση θερμότητας με αγωγή περιγράφεται από τον εμπειρικό νόμο του Fourier. Σύμφωνα με το νόμο αυτό η πυκνότητα θερμορροής, δηλαδή η θερμορροή ανά μονάδα επιφάνειας, η οποία οφείλεται στην αγωγή, είναι ανάλογη και αντίθετου προσήμου ως προς την κλίση της θερμοκρασίας. Για μονοδιάστατο πρόβλημα ισχύει q dt dx 5.4 όπου λ = ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας με διαστάσεις W/mK, o οποίος αποτελεί χαρακτηριστικό του υλικού. Άρα το ποσό της θερμότητας που ρέει κατά την διεύθυνση x, ανά μονάδα χρόνου, διαμέσου μιας επιφάνειας Α, θα είναι 103

104 q A dt dx W Μετάδοση με Συναγωγή Η συναγωγή είναι ο μηχανισμός με τον οποίο πραγματοποιείται μετάδοση θερμότητας μεταξύ μιας επιφάνειας κι ενός κινούμενου ρευστού, όταν η επιφάνεια και το ρευστό βρίσκονται σε επαφή και σε διαφορετική θερμοκρασία. Στην πραγματικότητα ο μηχανισμός της συναγωγής αποτελεί σύνθεση δύο ανεξάρτητων μηχανισμών μεταφοράς ενέργειας της μεταφοράς ενέργειας μεταξύ των μορίων με αγωγή και της μεταφοράς ενέργειας λόγω της μακροσκοπικής κίνησης του ρευστού. Όταν λοιπόν ένα αέριο ή υγρό ρέει γύρω από σώμα διαφορετικής θερμοκρασίας σχηματίζει ένα λεπτό στρώμα το οποίο εφάπτεται της επιφάνειας του σώματος αυτού και ονομάζεται οριακό στρώμα. Στο οριακό στρώμα, η ταχύτητα του ρευστού μεταβάλλεται μεταξύ της μηδενικής τιμής (στην επιφάνεια του σώματος) και της μέσης ταχύτητας του ρευστού, ενώ θεωρείται ότι η μετάδοση της θερμότητας από το θερμότερο στο ψυχρότερο υλικό γίνεται με αγωγή. Στη συνέχεια, και λόγω της κίνησης του ρευστού, μεταφέρεται ενέργεια και μάζα (και ορμή) από το οριακό στρώμα προς την υπόλοιπη μάζα του ρευστoύ, όπου η ενέργεια διαχέεται με αγωγή. Η παραπάνω διαδικασία 104

105 γίνεται και αντίστροφα, ανάλογο με το πιο από τα δύο υλικά υπερέχει σε θερμοκρασία. Ανάλογα με το αίτιο πρόκλησης ροής στο ρευστό, η συναγωγή διακρίνεται σε - Εξαναγκασμένη συναγωγή, όταν η ροή προκαλείται από εξωτερικά μέσα (αντλίες, ανεμιστήρες κλπ.), - Φυσική ή ελεύθερη συναγωγή, όταν η ροή προκαλείται από τις δυνάμεις άνωσης που οφείλονται σε διαφορές πυκνότητας ή θερμοκρασίας στο ρευστό, και - Συνδυασμένη συναγωγή, όταν συνυπάρχουν και οι δυο προηγούμενες μορφές. Ο μηχανισμός της συναγωγής περιγράφεται μαθηματικά από το νόμο ψύξης του Newton, σύμφωνα με τον οποίο η πυκνότητα θερμορροής είναι ανάλογη της διαφοράς θερμοκρασιών επιφάνειας T s και ρευστού T και δίνεται από τη σχέση q h T S 5.6 T Στην παραπάνω σχέση ο συντελεστής συναγωγής h ονομάζεται συντελεστής συναγωγής, έχει διαστάσεις W/m 2 K, και εμπεριέχει όλες τις παραμέτρους που επηρεάζουν τη συναγωγή. Άρα το ποσό της θερμότητας που μεταδίδεται με το μηχανισμό της συναγωγής, όταν η επιφάνεια επαφής του στερεού και του ρευστού είναι εμβαδού Α, στη μονάδα του χρόνου, θα είναι 105

106 T T 5.7 q h A W Μετάδοση με Ακτινοβολία Όλα τα σώματα σε θερμοκρασία μεγαλύτερη του απόλυτου μηδενός (0 Κ) εκπέμπουν ενέργεια υπό τη μορφή ακτινοβολίας. Δύο είναι οι θεωρίες που περιγράφουν την ακτινοβολία ως μηχανισμο μεταφοράς ενέργειας (μετάδοσης θερμότητας) η κλασική ηλεκτρομαγνητική θεωρία και η θεωρία της κβαντομηχανικής. Σύμφωνα με την πρώτη, η οποία είναι και η επικρατέστερη, η ενέργεια (θερμότητα) που ακτινοβολείται μεταφέρεται με ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Από την άλλη, για την κβαντομηχανική, φορείς της ακτινοβολούμενης ενέργειας θεωρούνται τα φωτόνια. Κατά τη μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία η ύπαρξη μέσου δεν αποτελεί προυπόθεση. Δηλαδή η ακτινοβολία μπορεί να λειτουργήσει σαν μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας ακόμα και στο κενό, και μάλιστα με μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα απ ότι σε κάποιο υλικό μέσο. Εδώ ακριβώς έγκειται και η διαφορά ανάμεσα στον μηχανισμο της ακτινοβολίας και στους δύο μηχανισμούς που αναφέραμε προηγουμένως, όπου η ύπαρξη κάποιου μέσου είναι απαραίτητη. Η ένταση της ροής ενέργειας που μεταδίδεται με την ακτινοβολία εξαρτάται από τη θερμοκρασία και τη φύση της επιφάνειας του σώματος που 106

107 ακτινοβολεί. Το ποσό της θερμότητας που μεταδίδεται με το μηχανισμό της ακτινοβολίας υπολογίζεται με την ακόλουθη σχέση όπου q A T 4 T σ = η σταθερά ε = συντελεστής εκπομπής (0ε1) Α = το εμβαδό της επιφάνειας του σώματος διαμέσου του οποίου ρέει η ακτινοβολούμενη θερμότητα Τ = η απόλυτη θερμοκρασία του σώματος Τ = η απόλυτη θερμοκρασία του περιβάλλοντος Η παραπάνω σχέση ισχύει στην περίπτωση μιας τεφρής επιφάνειας (δηλαδή για την περίπτωση επιφάνειας με ιδιότητες ανεξάρτητες του μήκους κύματος εκπομπής), για την οποία ισχύει ε=α (όπου α είναι ο συντελεστής απορρόφησης που λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1). Διαιρώντας τη σχέση με το εμβαδό της επιφάνειας, λαμβάνουμε την αντίστοιχη πυκνότητα θερμορροής. Στις περιπτώσεις ψυχρών σωμάτων, η ακτινοβολούμενη θερμότητα μπορεί να αγνοηθεί, καθώς θεωρείται αμελητέα σε σύγκριση με τη θερμότητα που μεταδίδεται με αγωγή ή συναγωγή. Αντίθετα για σώματα υψηλών θερμοκρασιών, η συνεισφορά της ακτινοβολίας στη μετάδοση της θερμότητας είναι σημαντική. 107

108 5.5.4 Οι Συντελεστές Αναλογίας των Μηχανισμών Μετάδοσης θερμότητας Συντελεστής Θερμικής Αγωγιμότητας Ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας λ, αποτελεί χαρακτηριστικό μέγεθος για κάθε υλικό, και ένδειξη της ικανότητας αυτού να άγει τη θερμότητα. Η τιμή του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας ενός υλικού, εκφράζει την ποσότητα της θερμότητας την οποία άγει το υλικό αυτό ανά μονάδα επιφάνειάς του και ανά μονάδα χρόνου, όταν εφαρμόζεται ανά μονάδα μήκους του θερμοκρασιακή διαφορά ενός βαθμού Kelvin ή Κελσίου. Με βάση αυτόν τον ορισμό του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας, προκύπτουν οι διαστάσεις αυτού, οι οποίες όπως προαναφέρθηκε είναι W/mK. Ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας ενός υλικού εξαρτάται από τη φυσική του δομή (μοριακή και ατομική), την πίεση και την θερμοκρασία. Έχει μεγαλύτερες τιμές στην περίπτωση των μετάλλων, μικρότερη στα υγρά και ακόμα μικρότερη στα αέρια. Τέλος, επειδή στην πλειοψηφία τους τα υλικά είναι ομογενή και ισότροπα, ο συντελεστής λ θεωρείται ανεξάρτητος θέσης και διεύθυνσης. Η θερμοκρασία απότελει παράγοντα που επηρεάζει σχεδόν πάντοτε τον συντελεστή λ. Αύξηση της θερμοκρασίας προκαλεί αύξησή του στα αέρια σε χαμηλές πιέσεις, ενώ στα στερεά και στα υγρά η επίδραση της θερμοκρασίας 108

109 μπορεί να είναι αμφίδρομη. Στην πράξη όμως ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας μπορεί να θεωρηθεί σταθερός όταν το εύρος της θερμοκρασιακής μεταβολής, στην οποία πραγματοποιείται μια διαδικασία, δεν είναι μεγάλο. Συντελεστής Συναγωγής Ο συντελεστής συναγωγής ισούται με το ποσό της θερμότητας το οποίο μεταδίδεται με το μηχανισμό της συναγωγής, ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας, όταν το ρευστό και το στερεό βρίσκονται υπό θερμοκρασιακή διαφορά ενός βαθμού Κελσίου ή Kelvin. H δυσκολία στη μελέτη της διαδικασίας μετάδοσης θερμότητας με συναγωγή, έγκειται στην εξάρτηση του συντελεστή συναγωγής από ένα πλήθος αδιάστατων μεγεθών, γεγονός που κάνει τη διαδικασία προσδιορισμού του επίπονη. Κατά τη μελέτη της συναγωγής λοιπόν η προσπάθεια επικεντρώνεται στον υπολογισμό των αδιάστατων αυτών αριθμών που καθορίζουν την τιμή του συντελεστή h. Σημαντικός είναι και ο προσδιορισμός της ροής του ρευστού που έχουμε στην κάθε περίπτωση. Οι δύο αυτοί παράγοντες (είδος ροής, αδιάστατοι αριθμοί) που διαμορφώνουν τον συντελεστή συναγωγής αναλύονται στη συνέχεια. Διακρίνουμε δύο είδη ροής ενός ρευστού τη στρωτή ροή και την τυρβώδη. 109

110 Στη στρωτή ροή οι τροχιές όλων των σωματιδίων του ρευστού είναι παράλληλες. Η κατεύθυνση της κίνησης κάθε σωματιδίου συμπίπτει κάθε στιγμή με την κατεύθυνση κίνησης του συνόλου της μάζας του ρευστού και με την κατεύθυνση της μέσης τιμής της ταχύτητας του ρευστού. Αντίθετα στην περίπτωση της τυρβώδους ροής όλα τα μεγέθη είναι στοχαστικά. Η ταχύτητα ενός σωματιδίου, η ταχύτητα του ρευστού σε κάποιο σημείο, η ενέργεια, αποτελούν τυχαίες μεταβλητές. Οι τροχιές των σωματιδίων δεν είναι παράλληλες ούτε μεταξύ τους, αλλά ούτε και με τη μέση κατεύθυνση κίνησης της συνολικής μάζας του ρευστού. Η κίνηση των σωματιδίων είναι χαώδης, με αποτέλεσμα την συνεχή ανάμιξη όλων των στρωμάτων του ρευστού. Στη συνεχή αυτή ανάμιξη των στρωμάτων οφείλεται η μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα στη μετάδοση της θερμότητας στην περίπτωση τυρβώδους ροής του ρευστού. Οι αδιάστατοι αριθμοί που καθορίζουν την τιμή του συντελεστή συναγωγής είναι ο αριθμοί Reynolds, Prandtl, Nusselt, Grashof. Ο αδιάστατος αριθμός Reynolds Re αποτελεί χαρακτηριστικό της ροής και ισούται με το λόγο των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις ιξώδους στο υδροδυναμικό στρώμα. Χρησιμοποιείται στην περίπτωση εξαναγκασμένης συναγωγής. Δίνεται δε από την παρακάτω μαθηματική σχέση ul Re

111 όπου u = η ταχύτητα του ρευστού L = η χαρακτηριστική διάσταση της επιφάνειας επαφής, και ν = το κινηματικό ιξώδες Ο αριθμός Prandtl Pr ορίζεται ως ο λόγος του κινηματικού ιξώδους ν προς τον συντελεστή θερμικής διάχυσης α. Ουσιαστικά είναι ένα μέτρο του λόγου της διάχυσης ορμής προς τη διάχυση ενέργειας στην υδροδυναμική και θερμική οριακή στοιβάδα αντίστοιχα. Δίνεται από τη μαθηματική σχέση Pr 5.10 Ο αριθμός Nusselt Nu είναι μέτρο του λόγου της πραγματικής ροής θερμότητας προς τη ροή θερμότητας που θα είχαμε στο ρευστό μόνο με την αγωγή υπό την επίδραση της θερμοκρασιακής κλίσης ΔT/L, όπου ΔT η χαρακτηριστική διαφορά θερμοκρασίας, λ ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και το L χαρακτηριστικό μήκος του προβλήματος. Καθώς η ροή θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας στη συναγωγή δίνεται από τη σχέση q =hδt, και η ροή θερμότητας με αγωγή υπό την ίδια θερμοκρασιακή διαφορά δίνεται από την q λ = λδτ/l, o αριθμός Nusselt θα δίνεται από τη σχέση Nu q" q" hl

112 Ο αριθμός Grashof Gr χρησιμοποιείται στην περίπτωση φυσικής συναγωγής και έχει την ίδια σημασία με αυτή του αριθμού Reynolds στην εξαναγκασμένη συναγωγή. Έτσι, ο αριθμός Grashof αποτελεί το μέτρο του λόγου των δυνάμεων άνωσης προς τις μονάδες ιξώδους που επενεργούν στο ρευστό, και δίνεται από την παρακάτω μαθηματική σχέση όπου Gr g TS T 2 L β = συντελεστής θερμικής διαστολής του ρευστού g = επιτάχυνση της βαρύτητας L = χαρακτηριστικό μήκος ΔΤ = θερμοκρασιακή διαφορά ν = κινηματικό ιξώδες ρευστού Είδαμε ότι από τους παραπάνω αδιάστατους αριθμούς, ο αριθμός Nusselt συνδέεται άμεσα με τον συντελεστή συναγωγής h, αφού από τον ορισμό του προκύπτει η σχέση h u L 5.13 Έτσι, γνωρίζοντας την τιμή του αριθμού Nusselt, τον συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας του ρευστού και του χαρακτηριστικού μήκους, μπορούμε να υπολογίσουμε απευθείας τον συντελεστή συναγωγής h. Παρά όμως το γεγονός 112

113 ότι μόνο ο αριθμός Nusselt εμπεριέχεται στην παραπάνω σχέση του συντελεστή h, όλοι οι προαναφερθέντες αδιάστατοι αριθμοί επηρεάζουν την τιμή του h, καθώς η τιμή του Nu εξαρτάται από αυτούς. Πράγματι η τιμή του αριθμού Nusselt υπολογίζεται βάσει ημιεμπειρικών σχέσεων από τους αριθμούς Reynolds και Prandtl για την περίπτωση εξαναγκασμένης συναγωγής, και από τους αριθμούς Prandtl και Grashof για την περίπτωση φυσικής συναγωγής. Οι αριθμοί Reynolds, Prandtl και Grashof υπολογίζονται με δεδομένα τη γεωμετρία του προβλήματος, τα χαρακτηριστικά της ροής και τις φυσικές ιδιότητες του ρευστού. Όμως και το είδος της ροής του ρευστού παίζει καθοριστικό ρόλο στην τιμή του συντελεστή συναγωγής h, καθώς η επιλογή των κατάλληλων ημιεμπειρικών σχέσεων (για τον προσδιορισμό του αριθμού Nusselt) εξαρτάται κάθε φορά από τον τρόπο ροής του συγκεκριμένου ρευστού. 113

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ 6.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της εργασίας μας είναι η μελέτη του θερμοκρασιακού πεδίου, όπως αυτό αναπτύσσεται στα επιμέρους τμήματα του κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού, στη στάσιμη κατάσταση λειτουργίας αυτού. Η μελέτη αυτή με τη βοήθεια του συγκεκριμένου υπολογιστικού προγράμματος, προυποθέτει την επίλυση του μαγνητικού προβλήματος που περιγράψαμε στο τέταρτο κεφάλαιο, αφού μόνο με τη μαγνητική πεδιακή ανάλυση του κινητήρα είναι δυνατός ο προσδιορισμός των θερμικών πηγών του. Για την κατανόηση και εφαρμογή του θερμοκρασιακού προβλήματος απαραίτητη είναι η αναγωγή των αρχών που διέπουν το φαινόμενο της μετάδοσης της θερμότητας (και περιγράφηκαν στο πέμπτο κεφάλαιο) στο χώρο λύσης του συγκεκριμένου προβλήματος. Θα αναφερθούμε στις παραδοχές που έγιναν κατά την επίλυση του θερμοκρασιακού προβλήματος, στις θερμικές ιδιότητες των υλικών του 114

115 κινητήρα, στις απαραίτητες αναγωγές ορισμένων θερμικών χαρακτηριστικών, καθώς και στις οριακές συνθήκες του θερμοκρασιακά εξεταζόμενου χώρου. 6.2 ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ Για την επίλυση του θερμοκρασιακού προβλήματος έγιναν κάποιες παραδοχές σε σχέση με τη διαδικασία της μετάδοσης της θερμότητας στην περιοχή λύσης, τα χαρακτηριστικά των υλικών του, τις απώλειες, τις θερμικές πηγές και τη συμμετρία του προβλήματος. Οι παραδοχές αυτές, χωρίς να αλλοιώνουν τα εξαγώμενα αποτελέσματα, διευκολύνουν στην κατανόηση, οργάνωση και λύση του προβλήματος, ενώ μειώνουν σημαντικά των αριθμό των άγνωστων μεταβλητών του. Οι παραδοχές που έγιναν είναι οι ακόλουθες Η μετάδοση της θερμότητας γίνεται μόνο ακτινικά (στο εγκάρσιο επίπεδο του κινητήρα), ενώ δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας κατά μήκος του άξονα της μηχανής. Η παραδοχή αυτή στηρίζεται στο γεγονός ότι τα θερμικά ρεύματα είναι κυρίως ακτινικά, λόγω της εντατικής ψύξης του μανδύα της μηχανής. Άρα, η περιοχή λύσης του θερμοκρασιακού προβλήματος λαμβάνεται δισδιάστατη. 115

116 Τα υλικά του κινητήρα θεωρούνται ομογενή και ισότροπα, και κατά συνέπεια οι τιμές των συντελεστών θερμικής αγωγιμότητας τους θεωρούνται ανεξάρτητες της διεύθυνσης. Ως πηγές θερμότητας λαμβάνονται οι απώλειες χαλκού στην περιέλιξη του στάτη, οι θερμικές απώλειες στις ράβδους του δρομέα και οι απώλειες σιδήρου στον πυρήνα του στάτη. Οι απώλειες σιδήρου στον πυρήνα του δρομέα θεωρούνται αμελητέες σε σύγκριση με τις αντίστοιχες του στάτη, καθώς η τιμή της ολίσθησης είναι πολύ μικρή (0.01) και ο δρομέας κινείται με ταχύτητα πολύ κοντά στη σύγχρονη. Επίσης αμελητέες θεωρούνται και οι κατανεμημένες απώλειες και δεν συμπεριλαμβάνονται στις θερμικές πηγές του προβλήματος. Όσον αφορά τον υπολογισμό των θερμικών απωλειών της περιέλιξης του στάτη ως πηγής θερμότητας, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτές αναφέρονται μόνο σε εκείνα τα τμήματα των αγωγών της περιέλιξης που βρίσκονται μέσα στα αυλάκια του στάτη. Θεωρούμε δηλαδή ότι οι απώλειες χαλκού στις κεφαλές των περιελίξεων δεν συνεισφέρουν στην ακτινικά μεταδιδόμενη ενέργεια. Η εκλυόμενη αυτή από τις κεφαλές θερμότητα θεωρείται ότι απάγεται μέσω των πλευρικών καλυμμάτων και του μανδύα του κινητήρα, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει αξονική μετάδοση της θερμότητας μέσα στον κινητήρα. 116

117 Τα ρεύματα που διαρρέουν τους αγωγούς της τριφασικής περιέλιξης του στάτη, θεωρούνται συμμετρικά και ημιτονοειδή. Κατά συνέπεια οι απώλειες ανώτερων αρμονικών λαμβάνονται ως μηδενικές. Όπως και στην περίπτωση της μελέτης του μαγνητικού προβλήματος, έτσι και στην περίπτωση του θερμοκρασιακού, η περιοχή λύσης περιορίζεται στο ένα τεταρτημόριο της εγκάρσιας τομής του κινητήρα. Η παραδοχή αυτή στηρίζεται στη συμμετρία της γεωμετρίας και των αναπτυσσόμενων πεδιακών μεγεθών του τετραπολικού επαγωγικού κινητήρα, όπως αναλύεται και στο τέταρτο κεφάλαιο (παράγρ. 4.2), και περιορίζει σημαντικά των αριθμό των υπολογισμών. 6.3 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΟΥ ΚΛΩΒΟΥ Σε ένα ασύγχρονο κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού, σαν αυτόν της μελέτης μας, συναντούμε δύο από τους τρεις μηχανισμούς μετάδοσης της θερμότητας την αγωγή και την συναγωγή. Ο μηχανισμός της ακτινοβολίας δεν εξετάζεται στο συγκεκριμένο πρόβλημα, καθώς οι θερμοκρασίες που αναπτύσσονται στα τμήματα του επαγωγικού κινητήρα είναι τέτοιες, ώστε το ποσό της θερμότητας που μεταδίδεται με ακτινοβολία να είναι αμελητέο σε 117

118 σύγκριση με αυτά που μεταδίδονται με αγωγή ή συναγωγή. Η μετάδοση λοιπόν της θερμότητας στον κινητήρα γίνεται σε άλλα τμήματα με αγωγή και σε άλλα με συναγωγή, όπως αναλύεται στη συνέχεια Ο Μηχανισμός της Αγωγής στον Κινητήρα Βραχυκυκλωμένου κλωβού Διαμέσου όλων των μηχανικών τμημάτων του κινητήρα η μετάδοση της θερμότητας γίνεται με το μηχανισμό της αγωγής. Αναλυτικότερα αγωγή έχουμε στα δυναμοελάσματα σιδήρου του στάτη και του δρομέα, στα τυλίγματα χαλκού του στάτη, καθώς και στις αλουμινένιες ράβδους του δρομέα. Κατά τη μελέτη του μηχανισμού της αγωγής σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις λαμβάνεται κάθε φορά ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του συγκεκριμένου υλικού (σίδηρος, χαλκός, αλουμίνιο). Επίσης αγωγή έχουμε στα μονωτικά υλικά του στάτη. Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 2 η μόνωση του στάτη περιλαμβάνει τρία μονωτικά στρώματα το στρώμα PRESSPAN στην επιφάνεια των αυλακιών του, το στρώμα βερνικιού γύρω από τα τυλίγματα χαλκού, και το στρώμα αέρα μεταξύ των δύο προηγούμενων ελλείψει τέλειας συναρμογής τους. Στρώμα ανάλογο του στρώματος αέρος της μόνωσης του στάτη σχηματίζεται και στο δρομέα, μεταξύ των ράβδων και των αυλακιών του. Και σε αυτή την περίπτωση η μετάδοση της θερμότητας γίνεται με αγωγή. 118

119 Τέλος, με αγωγή μεταδίδεται η θερμότητα στον άξονα του κινητήρα και διαμέσου της μάζας των πτερυγίων Ο Μηχανισμός της Συναγωγής στον Κινητήρα Βραχυκυκλωμένου κλωβού Η θερμότητα μεταδίδεται με συναγωγή από την εξωτερική επιφάνεια των πτερυγίων του περιβλήματος του κινητήρα προς τον περιβάλλοντα ατμοσφαιρικό αέρα. Η ροή του αέρα θεωρείται τυρβώδης, μιας και η γεωμετρία των πτερυγίων οδηγεί τα μόρια του αέρα σε άτακτη κίνηση. Με συναγωγή επίσης γίνεται η μετάδοση της θερμότητας στο διάκενο μεταξύ του δρομέα και του στάτη του κινητήρα. Η δυσκολία προσδιορισμού του συντελεστή συναγωγής, η οποία προκύπτει από την πολυπλοκότητα των φαινομένων κίνησης του αέρα στο δακτυλοειδές διάκενο, καθιστά αναγκαία τη θεώρηση μετάδοσης με αγωγή και την εύρεση κατάλληλου συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας που να στηρίζει την παραπάνω αυθαίρετη θεώρηση. Σχετικά με τη μετάδοση θερμότητας στο διάκενο θα αναφερθούμε εκτενέστερα στην επόμενη παράγραφο, όπου θα γίνει λόγος και για τον ζητούμενο κατάλληλο συντελεστή που ονομάζουμε ενεργό συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας λ eff. 119

120 6.3.3 Ενεργός Συντελεστής Θερμικής Αγωγιμότητας Διακένου Ο ενεργός συντελεστής της θερμικής αγωγιμότητας λ eff του διακένου ορίζεται ως ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας που θα χαρακτήριζε το ρευστό του διακένου αν ο μηχανισμός μεταφοράς της θερμότητας σε αυτό ήταν η αγωγή, και όχι η συναγωγή που είναι ο πραγματικά επικρατών μηχανισμός, με την προυπόθεση ότι η ποσότητα της μεταφερόμενης θερμότητας και σε αυτήν την περίπτωση (αγωγή) θα παρέμενε ίδια. Με το πρόβλημα του προσδιορισμού του ενεργού συντελεστή στο διάκενο ενός ασύγχρονου κινητήρα, ασχολήθηκαν κατά καιρούς πολλοί επιστήμονες, οι οποίοι κάνοντας κάποιες απλοποιητικές παραδοχές στο σύνθετο μοντέλο μιας πραγματικής μηχανής, προσπάθησαν να προσεγγίσουν πειραματικά τον ζητούμενο συντελεστή σε κάποιο ικανοποιητικό βαθμό. Κατά την επίλυση του προβλήματος του προσδιορισμού του, ακολουθήθηκαν δύο δρόμοι. Κάποιοι μελετητές προσπάθησαν να προσδιορίσουν έναν ισοδύναμο συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας λ eq, και να εξάγουν την τιμή του ενεργού συντελεστή από τη σχέση eff eq 6.1 όπου λ είναι ο γνωστός συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του ρευστού του διακένου, δηλαδή του αέρα. Από την άλλη μεριά, κάποιοι άλλοι ανήγαγαν το πρόβλημα στον προσδιορισμό του αριθμού του Nusselt. 120

121 Προσδιορισμός του λ eff με τη βοήθεια ισοδύναμου συντελεστή Ανάμεσα στις προσπάθειες που έγιναν με σκοπό τον προσδιορισμού του ενεργού συντελεστή αγωγιμότητας με τη βοήθεια ενός ισοδύναμου συντελεστή ήταν - Η πειραματική προσέγγιση των T. H. Kuehn R. και J. Goldstein, για την απλή περίπτωση ακίνητου κυλινδρικού δακτυλοειδούς, από την οποία προέκυψε για τον ενεργό θερμικό συντελεστή η τιμή λ eff = W/mK - H πειραματική μελέτη των K. Ball, B. Farouk και V. Dixit για την περίπτωση μετάδοσης με συναγωγή σε δακτυλοειδές κενό μεταξύ δύο ομόκεντρων κυλίνδρων, εκ των οποίων μόνο ο εσωτερικός είναι περιστρεφόμενος και θερμαινόμενος, που έδωσε ως αποτέλεσμα λ eff = W/mK - Η μελέτη του Gazley πάνω στη μετάδοση της θερμότητας με συναγωγή στο δακτυλοειδές διάκενο μεταξύ περιστρεφόμενου εσωτερικού κυλίνδρου και σταθερού εξωτερικού, στις περιπτώσεις διακένου 0.43 mm και mm, και για επιφάνειες με ή χωρίς εγκοπές, από την οποία προέκυψε λ eff = W/mK. Προσδιορισμός του λ eff με τη βοήθεια του αριθμού Nusselt Ο προσδιορισμός του ενεργού συντελεστή λ eff, μέσω του αριθμού Nusselt, στηρίζεται στην εξίσωση των πυκνοτήτων θερμορροής κατά τη 121

122 μετάδοση της θερμότητας με τους μηχανισμούς της αγωγής και την συναγωγής αντίστοιχα. Η πυκνότητα θερμορροής (θερμότητα ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας), κατά τη μετάδοση θερμότητας με το μηχανισμό της αγωγής, στην περίπτωση του δακτυλοειδούς διακένου, δίνεται από τη σχέση όπου q 2 D R eff ln T in D st T / D out R 6.2 D st = η διάμετρος του στάτη D R = η διάμετρος του δρομέα T in = η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του δρομέα T out = η θερμοκρασία της εσωτερικής επιφάνειας του στάτη H πυκνότητα θερμορροής κατά τη μετάδοση θερμότητας με το μηχανισμό της συναγωγής, δίνεται από τη σχέση q h T in Tout 6.3 Εξισώνοντας τις δύο αυτές σχέσεις, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αριθμού του Nusselt h= (Nuλ)/L, έχουμε eff D R ln D st / D 2 L R Nu

123 όπου L το εύρος του διακένου, και λ ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του ρευστού του διακένου, που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι αέρας (λ= W/mK). Για τον προσδιορισμό του αριθμού Nusselt, έχουν διεξαχθή αρκετές μελέτες, κάποιες των οποίων είναι και οι παρακάτω - Η μελέτη των I. S. Bjorklund και W. M. Kays, με θέμα τα χαρακτηριστικά της μετάδοσης της θερμότητας στο δακτυλοειδές διάκενο συστήματος δύο ομόκεντρων περιστρεφόμενων κυλίνδρων, υπό την παραδοχή ότι η ροή του ρευστού του διακένου δεν γίνεται κατά την αξονική διεύθυνση. Από τη μελέτη προέκυψε ότι λ eff =0.037 W/mK. - Η προσέγγιση του Frank Kreith, όπως προέκυψε από την μελέτη συστήματος ομόκεντρων κυλίνδρων (ενός σταθερού εξωτερικού και ενός περιστρεφόμενου εσωτερικού), με την παραδοχή ότι η ποσότητα της θερμότητας που μεταφέρεται μέσα στο διάκενο του συστήματος με τον μηχανισμό της φυσικής συναγωγής είναι αμελητέα (δηλαδή ότι μέσα στο διάκενο κυριαρχεί ο μηχανισμός της αγωγής). Αποτέλεσμα της προσέγγισης ήταν λ eff = W/mK. - Το ερευνητικό πρόγραμμα των K. Becker και J. Kaye, με αντικείμενο την ποσοτική μελέτη των μεταβλητών που ελέγχουν το ρυθμό μετάδοσης της θερμότητας στο διάκενο μιας εξομοιωθείσας μηχανής, το οποίο κατέληξε στην τιμή λ eff = W/mK για τον ενεργό συντελεστή. 123

124 Επιλογή της τιμής του λ eff για την συγκεκριμένη μελέτη Στο παρόν πρόβλημα, η τιμή που θα χρησιμοποιηθεί για τον ενεργό συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας του διακένου του κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού, επιλέχθηκε να είναι λ eff = W/mK. Στην τιμή αυτή συγκλίνουν τα αποτελέσματα των περισσότερων ερευνητών (K. Ball, B. Farouk και V. Dixit, Frank Kreith, K. Becker και J. Kaye). 6.4 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΛΥΣΗΣ Ως θερμικές πηγές της περιοχής λύσης του προβλήματος, λαμβάνονται οι απώλειες χαλκού του στάτη και του δρομέα, και οι απώλειες πυρήνα του στάτη. Οι απώλειες πυρήνα του δρομέα θεωρούνται αμελητέες, για τους λόγους που αναφέραμε στην παράγραφο 6.2. Ο υπολογισμός αυτών των πηγών θερμικής ενέργειας γίνεται με βάση τις σχέσεις που δίνουν τις παραπάνω απώλειες (παράγρ ). Συγκεκριμένα, για τις πηγές αυτές ισχύουν τα ακόλουθα Απώλειες Χαλκού Στάτη Η ισχύς τους ανά μονάδα όγκου (W/mm 3 ) θα είναι 124

125 όπου P SCL k 3 I 2 st Rst N S l st Cu 6.5 R st = η συνολική ωμική αντίσταση των αγωγών της κάθε φάσης του στάτη I st = το ρεύμα της κάθε φάσης του στάτη S Cu = η συνολική διατομή του χαλκού της περιέλιξης σε κάθε αυλάκι του στάτη Κ = ο συντελεστής που καθορίζει τι ποσοστό του συνόλου του χαλκού, σε κάθε αυλάκι, συνεισφέρει στην ακτινικά μεταδιδόμενη θερμότητα (από το σύνολο του χαλκού αφαιρείται ο χαλκός των κεφαλών) l = το μήκος της μηχανής κατά την αξονική διεύθυνση Ν st = o συνολικός αριθμός των αυλακιών του στάτη του κινητήρα Απώλειες Χαλκού Δρομέα Ως θερμική πηγή, σε μονάδες ισχύος ανά μονάδα όγκου (W/mm 3 ) δίνονται από τη σχέση όπου P RCL 3 I 2 R R R N R 1 S Al l 6.6 R R = η συνολική ωμική αντίσταση των αγωγών της κάθε φάσης του δρομέα I R = το ρεύμα της κάθε φάσης του δρομέα S Αl = η συνολική διατομή του aλουμινίου σε κάθε αυλάκι του στάτη Ν R = ο συνολικός αριθμός των αυλακιών του δρομέα του κινητήρα 125

126 Απώλειες Πυρήνα Στάτη Η ισχύς αυτής της πηγής θερμότητας, ανά μονάδα όγκου (W/mm 3 ) θα είναι όπου P core P / 50 B dfe f P 1/50 = oι απώλειες πυρήνα aνά μονάδα βάρους για μαγνητική επαγωγή 1 Tesla και συχνότητα 50 Hertz f = η συχνότητα λειτουργίας του κινητήρα d FE = η πυκνότητα του σιδήρου Β = το πλάτος της ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενης μαγνητικής επαγωγής σε κάθε σημείο του πυρήνα του στάτη 6.5 ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ POISSON Η εξίσωση θερμικής διάχυσης σε ένα ομογενές και ισότροπο μέσο, δίνεται από τη σχέση όπου 2 q 1 t 6.8 θ = η θερμοκρασία 126

127 t = o χρόνος λ = η θερμική αγωγιμότητα q = οι πηγές θερμότητας ανά μονάδα όγκου (W/mm 3 ) α = ο συντελεστής θερμικής διάχυσης Ο συντελεστής θερμικής διάχυσης α, ισούται με τον λόγο του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας προς το γινόμενο της πυκνότητας ρ επί τη θερμοχωρητικότητα c p ( όπου c p είναι η θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση και μετριέται σε J/KgK). Στην περίπτωση του κινητήρα, η περιοχή λύσης είναι δισδιάστατη. Η εξίσωση θερμικής διάχυσης, για δισδιάστατα προβλήματα, σε καρτεσιανές συντεταγμένες, γράφεται 2 2 x 2 q 1 2 y t 6.9 Εφόσον η μελέτη αφορά το θερμοκρασιακό πεδίο του κινητήρα βραχυκυκλωμένου κλωβού στην στάσιμη κατάσταση, στην παραπάνω εξίσωση ο όρος της χρονικής μεταβολής της θερμοκρασίας θα ισούται με μηδέν. Η εξίσωση που προκύπτει είναι η εξίσωση Poisson, η οποία περιγράφει τη μετάδοση θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο, στη μόνιμη κατάσταση 2 q x 2 q 0 2 y

128 6.6 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Για την επίλυση του θερμοκρασιακού προβλήματος του κινητήρα πρέπει να εισαχθούν δύο οριακές συνθήκες στην περιοχή λύσης (περιοχή του ένα πόλου της μηχανής). Η πρώτη συνθήκη αφορά τη μεταφορά θερμότητας από την εξωτερική επιφάνεια των πτερυγίων. Η μεταφορά της θερμότητας από τον κινητήρα στον περιβάλλοντα ατμοσφαιρικό αέρα γίνεται με το μηχανισμό της συναγωγής, σύμφωνα με τη σχέση n h 6.12 όπου n = το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην οριακή εξωτερική επιφάνεια θ = η θερμοκρασία των σημείων της εξωτερικής επιφάνειας των πτερυγίων θ = η θερμοκρασία του περιβάλλοντος Όπως και στην περίπτωση του μαγνητικού πεδίου, έτσι και για το θερμοκρασιακό η μελέτη γίνεται στον έναν των τεσσάρων πόλων του κινητήρα (για λόγους συμμετρίας). Στις οριακές αυτές επιφάνειες της τομής του κινητήρα εφαρμόζονται συνθήκες τέλειας θερμικής μόνωσης. Ο αδιαβατικός χαρακτήρας των επιφανειών αυτών, εκφράζεται από τη συνθήκη του Neumann n

129 n h n 0 Oριακές συνθήκες θερμοκρασιακου πεδίου (Σχ. 6.1) 129

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ OPERA-2D 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα εφαρμογή. η προσομοίωση του κινητήρα στο πρόγραμμα, αφορούσε το ένα τεταρτημόριο της εγκάρσιας τομής του κινητήρα, για λόγους συμμετρίας. Η σχεδίαση της περιορισμένης αυτής περιοχής του συνολικού προβλήματος είναι ικανοποιητική, καθώς το πρόγραμμα δίνει τη δυνατότητα εισαγωγής συνθηκών συμμετρίας. Έτσι, με την εφαρμογή περιοδικής συμμετρίας τα πεδιακά μεγέθη υπολογίζονται όπως αναπτύσσονται στο σύνολο της εγκάρσιας διατομής του κινητήρα. Αρχικά θα μελετήσουμε την γεωμετρική αναπαράσταση της περιοχής λύσης του κινητήρα στο πρόγραμμα της εφαρμογής, καθώς και τα δεδομένα που εισάγονται (οριακές συνθήκες, διακριτοποίηση), τα οποία είναι απαραίτητα για την περαιτέρω μαγνητική και θερμοκρασιακή ανάλυση. 130

131 Μοντελοποίηση Πόλου του Κινητήρα IEC 280M Γεωμετρική αναπαράσταση y [mm] Σχ. 7.1 x [mm] Σε αυτή την απεικόνιση διακρίνονται τα επιμέρους στοιχεία, τα οποία συνέθεσαν το μοντέλο. Κάθε ένα από αυτά περιέχει ένα πλήθος πεπερασμένων στοιχείων. Σε όλες τις εκτυπώσεις που ακολουθούν στις επόμενες σελίδες, μονάδα μήκους θεωρείται το mm. 131

132 [mm] Σχήμα 7.2 Πάνω (Σχ. 7.2) η περιοχή λύσης διακρίνεται στα διαφορετικά υλικά του κινητήρα Κάτω (Σχ. 7.3) τα πτερύγια του κινητήρα Σχήμα

133 Αυλάκι, περιέλιξη και μονώσεις στάτη (Σχ. 7.4) Αυλάκι και ράβδος δρομέα, ενδιάμεσο στρώμα αέρα (Σχ. 7.5) 133

134 Διακριτοποίηση περιοχής λύσης Κατά τη διακριτοποίηση, o aριθμός των στοιχείων κάθε περιοχής επιλέγεται βάσει της έντασης των μεταβολών που αναμένουμε να έχουμε στην κατανομή των μετρούμενων μεγεθών. Το πλέγμα των στοιχείων παρουσιάζει έντονη πυκνότητα στην περιοχή του διακένου, όπως φαίνεται καθαρά και στα σχήματα 7.7 και 7.8 Διακριτοποίηση περιοχής λύσης (Σχ. 7.6) 134

135 Σχήμα 7.7 Σχήμα 7.8 Στα σχήματα 7.7 και 7.8 φαίνεται η μεγαλύτερη πυκνότητα των διακριτών στοιχείων στην περιοχή του διακένου 135

136 Ελεγχος δεδομένων και δημιουργία αρχείου διακριτοποιημένου μοντέλου Για τη δημιουργία αρχείου του πλέγματος των διακριτών στοιχείων, το πρόγραμμα ελέγχει τα δεδομένα (συνοχή μοντέλου, καμπύλες μαγνήτισης, χαρακτηριστικά στοιχείων, οριακές και περιοδικές συνθήκες, κτλ), όπως φαίνεται και στα σχήματα 7.9 και Σχήμα 7.9 Σχήμα

137 Μαγνητικο Πεδίο Κινητήρα IEC 280M Αφού ολοκληρωθεί η AC ανάλυση από το πρόγραμμα, ελέγχουμε τα αποτελέσματα στον post-processor. Η πρώτη πληροφορία που μας δίνεται αφορά το RMS σφάλμα του προβλήματος. RMS error (Σχ. 7.11) Aνάλογα με το πλήθος των στοιχείων που χωρίστηκε η περιοχή λύσης, το σφάλμα μεταβάλλεται. Το σφάλμα δεν μειώνεται μόνο με την αύξηση των διακριτών στοιχείων, αλλά και με επιλογή τετραγωνικών στοιχείων. Τα στοιχεία διακρίνονται σε γραμμικά και τετραγωνικά ανάλογα με το είδος των συναρτήσεων παρεμβολής που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του δυναμικού μεταξύ δύο κόμβων. Στα γραμμικά οι συναρτήσεις αυτές είναι πρώτου βαθμού, ενώ στα τετραγωνικά δευτέρου. Στην παρούσα εφαρμογή το πλήθος των διακριτών στοιχείων είναι γραμμικά στοιχεία. 137

138 Component POT Ισοδυναμικές γραμμές στην περιοχή λύσης Το Opera μας δίνει την δυνατότητα να ελέγχουμε την κατανομή διαφόρων μεγεθών που συνθέτουν το μαγνητικό πεδίο. Επιλεγόμενα μεγέθη μπορεί να είναι το διανυσματικό δυναμικό, η μαγνητική επαγωγή, η πυκνότητα της έντασης του ρεύματος, ή άλλα που ορίζουμε εμείς συναρτήσει των προηγούμενων μεγεθών. Τα σχήματα που ακολουθούν δείχνουν τις ισοδυναμικές γραμμές τις περιοχής λύσης, σε διαφορετικές χρονικές φάσεις της μόνιμης κατάστασης λειτουργίας του κινητήρα. Οι γωνίες δηλαδή που αναγράφονται ως χρόνος στα σχήματα, δηλώνουν την μεταβολή της ηλεκτρικής φάσης των αρχικών ρευματικών κατανομών των αγωγών του στάτη. Σχήμα

139 Σχήμα 7.13 Σχήμα

140 Σχήμα 7.15 Σχήμα

141 Σχήμα 7.17 Κατανομή Μαγνητικής Επαγωγής Σχήμα

142 Component ΒMOD Στο σχήμα 7.18, όπως και σε αυτά που ακολουθούν, διακρίνεται στην περιοχή του προβλήματος η κατανομή της μαγνητικής επαγωγής, για διάφορες χρονικές φάσεις της μόνιμης κατάστασης (βλ. σελίδα 138). Ανάλογα με τον χρωματισμό κάθε σημείου, και σύμφωνα με τη χρωματική διαβάθμιση του προγράμματος (όπως αυτή φαίνεται στο κάτω μέρος κάθε σχήματος), μπορούμε να εξάγουμε την τιμή της μαγνητικής επαγωγής σε κάθε σημείο του κινητήρα. Σχήμα

143 Σχήμα 7.20 Σχήμα 7.21 Στα σχήματα 7.20 και 7.21 φαίνεται καθαρά ο κορεσμός στον πυρήνα του στάτη στα σημεία γύρω από την περιέλιξη. Τα συγκεκριμένα σχήματα αντιστοιχούν σε μεταβολή των αρχικών φάσεων των ρευμάτων του στάτη +90 ηλεκτρικές μοίρες. 143

144 Σχήμα 7.22 Σχήμα 7.23 Σχήματα μαγνητική επαγωγή και κορεσμό πυρήνα για χρονική μετατόπιση φάσης +120 ηλεκτρικές μοίρες. 144

145 Component J Κατανομή Πυκνότητας Ρεύματος Τα παρακάτω σχήματα δίνουν την κατανομή της πυκνότητας του ρεύματος στα αγώγιμα μέρη του κινητήρα (περιέλιξη στάτη και ράβδοι δρομέα). Παρατηρούμε ότι τo χρώμα στα υπόλοιπα τμήματα του κινητήρα αντιστοιχεί στην τιμή J = 0. Σχήμα

146 Σχήμα 7.25 Σχήμα

147 Σχήμα 7.27 Τα ρεύματα στις τρεις φάσεις (δηλαδή σε κάθε τετράδα αυλακιών), δόθηκαν με αρχική φάση 120, 240 και 0 αντίστοιχα. Ανάλογα με την ηλεκτρική γωνία που δίνουμε, λαμβάνουμε την τιμή του ρεύματος κάθε φάσης (σημείο ημιτονοειδούς κυματομορφής του ρεύματος). Οι κυματομορφές που ακολουθούν, μας δίνουν τη μεταβολή της μαγνητικής επαγωγής κατά μήκος τόξου από 0 εώς 90 μοίρες, για διάφορες ακτίνες. 147

148 Κυματομορφή της Μανητικής Επαγωγής κατά μήκος τόξου ακτίνας mm, από 0ως 90. Στα σχήματα 7.28 εώς 7.32 απεικονίζονται οι τιμές της μεταβολής της μαγνητικής επαγωγής στο διάκενο κατά μήκος τόξου της παραπάνω ακτίνας. Αν και ιδανικά θα έπρεπε οι κυματομορφές αυτές να είναι ημιτονοειδείς, βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα είναι κατά προσέγγιση ημιτονοειδείς λόγω της εμφάνισης ανώτερων αρμονικών. Στα σημεία που αντιστοιχούν στα αυλάκια του στάτη, η τιμή της μαγνητικής επαγωγής πέφτει απότομο, λόγω της μεγαλύτερης μαγνητικής αντίστασης που παρουσιάζουν τα σημεία αυτά. Σχ

149 Σχήμα 7.29 Σχήμα

150 Σχήμα 7.31 Σχήμα

151 Μέγιστες τιμές της πυκνότητας του ρεύματος σε αγωγούς δρομέα και στάτη Στο σχήμα 7.33 φαίνεται η κατανομή του πλάτους της πυκνότητας του ρεύματος. Στο πρόγραμμα επιλέγεται η χρονική τιμή AMPLITUDE, και απεικονίζει σε κάθε σημείο το πλάτος της ζητούμενης ποσότητας. Τα μη αγώγιμα μέρη του κινητήρα έχουν μηδενικό πλάτος πυκνότητας ρεύματος. Σχήμα

152 Απώλειες χαλκού στάτη - #PSCL Ορίζοντας σαν μεταβλητή τις απώλειες του στάτη, λαμβάνουμε την κατανομή τους στα αυλάκια του. Η γνώση της κατανομής αυτής είναι αναγκαία για την επίλυση του θερμοκρασιακού προβλήματος, αφού οι απώλειες χαλκού του στάτη αποτελούν τη μιά των τριών πηγών θερμότητας που θεωρήσαμε στο πρόβλημα. Σχήμα

153 Απώλειες χαλκού δρομέα - #PRCL Ορίζοντας σαν μεταβλητή τις απώλειες του δρομέα, λαμβάνουμε την μέση τιμή τους στα αυλάκια του. Η γνώση της τιμής αυτής είναι επίσης αναγκαία για την επίλυση του θερμοκρασιακού προβλήματος, αφού και οι απώλειες χαλκού του δρομέα αποτελούν σημαντική πηγή θερμότητας στο εσωτερικό του κινητήρα. Στο σχήμα 7.35 υπολογίζεται η μέση τιμή των απωλειών του δρομέα ανά μονάδα όγκου. Ο υπολογισμός προκύπτει από την κατανομή του πλάτους της πυκνότητας ρεύματος στον δρομέα. Σχήμα

154 Απώλειες πυρήνα στάτη - #PFE Και για την τρίτη πηγή θερμότητας, τις απώλειες πυρήνα, ορίζουμε μεταβλητή και λαμβάνουμε την μέση τιμή τους (ισχύς ανά μονάδα όγκου) στον πυρήνα του στάτη. Ο υπολογισμός της μέσης τιμής των απωλειών αυτών, προκύπτει από την κατανομή του πλάτους της μαγνητικής επαγωγής στον πυρήνα του στάτη, όπως φαίνεται και στο σχήμα Η κατανομή των απωλειών σιδήρου απεικονίζεται στο σχήμα Υπολογισμός μέσης τιμής απωλειών πυρήνα στάτη (Σχ. 7.36) Κατανομή απωλειών πυρήνα στάτη (Σχ. 7.37) 154

155 Θερμοκρασιακό Πεδίο Κινητήρα IEC 280Μ Το θερμοκρασιακό πεδίο του κινητήρα, όπως προέκυψε από την εφαρμογή του προβλήματος στο Opera-2d (Σχ. 7.38) 155

156 Θερμοκρασία στην περιέλιξη Η θερμοκρασία που αναπτύσσεται στην περιέλιξη του στάτη και στα γύρω μονωτικά στρώματα μας ενδιαφέρει άμεσα, καθώς τοπική θερμοκρασία μεγαλύτερη των 130C μπορεί να προκαλέσει καταστροφή των μονώσεων. Θερμοκρασίες γύρω από την περιέλιξη του στάτη (Σχ. 7.39) Στην περιέλιξη του στάτη δεν αναπτύσσονται θερμοκρασίες μεγαλύτερες των C, και μάλιστα για επιβαρυμένες συνθήκες λειτουργίας του κινητήρα, καθώς ως θερμοκρασία εξωτερικού αέρα έχουν τεθεί οι 40 C. (Σχ. 7.40) 156

157 Ισοθερμοκρασιακές καμπύλες Σχήμα 7.47 Σχήμα

158 Σχήμα 7.43 Σχήμα 7.44 Στα σχήματα φαίνονται οι ισοθερμοκρασιακές καμπύλες. Βλέπουμε ότι οι τιμές στις μονώσεις δεν ξεπερνούν τους C. Σε όλες τις κατανομές θερμοκρασιών η ζητούμενη μεταβλητή είναι 158

159 Component: TEMP-273 καθώς η συνθήκη θερμοκρασίας εξωτερικού περιβάλλοντος τέθηκε σε Kelvin. Αρα τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι βαθμοί Κελσίου. Η θερμοκρασία στις περιελίξεις του στάτη κυμαίνεται μεταξύ των και βαθμούς Κελσίου (Σχ. 7.45) Σχήμα

160 Μεταβολές της θερμοκρασίας κατά μήκος τόξων διαφόρων ακτινών Τόξο ακτίνας mm (κέντρο διακένου) (Σχ. 7.47) Τόξο ακτίνας 178 mm (δόντια αυλακιών στάτη) (Σχ. 7.48) 160

161 τόξο mm (περιφέρεια δρομέα) (Σχ.7.49) τόξο 140 mm (εσωτερική περιφέρεια στάτη) (Σχ. 7.50) τόξο mm (δόντια ράβδων δρομέα) (Σχ. 7.51) 161

162 τόξο 220 mm (εξωτερική περιφέρεια στάτη) (Σχ. 7.52) μεταβολές θερμοκρασία κατά μήκος δύο διαφορετικών ακτινικών διαδρομών (Σχ. 7.53) 162

163 Component: HEAT Κατανομή της πυκνότητας της θερμικής ισχύος Κατανομή Θερμότητας (HEAT) σε ισχύ ανά μονάδα όγκου (Σχ. 7.54) 163