ΕΡΜΗΝΕΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΠΟΧΗ

Transcript

1 ΕΡΜΗΝΕΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΤΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΠΟΧΗ. ΜΥΘΟΣ Ή ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΝΤΙΛΗΨΕΩΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ; Βιργινία Α. ΣΤΕΡΓΙΟΥ Διδάκτωρ του Τμήματος των Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Επιστημονικός Συνεργάτης (407/80) του Π.Τ.Δ.Ε. του Πανεπιστημίου Πατρών, πρώην Σύμβουλος Εκπαίδευσης ΜΕΑ UNESCO. ΠΕΡΊΛΗΨΗ Η εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη της οικονομίας, του πολιτισμού, της φιλοσοφίας, της αστρονομίας, της βιολογίας, της ιατρικής, της τεχνολογίας κλπ. και έδωσε ερεθίσματα για την αξιοποίηση απεριόριστων ιδεών στους ποικίλους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας από μια τεράστια συλλογή πληροφοριών για την καλυτέρευση των συνθηκών ζωής και την επίτευξη της ευημερίας. Μέσα από τη μελέτη της Ιστορίας των Μαθηματικών διαφαίνεται η ανάπτυξη και η εξέλιξη του μαθηματικού οικοδομήματος του Απειροστικού Λογισμού αλλά αναδύονται ταυτόχρονα και οι διαφωνίες και οι αντιπαραθέσεις σχετικά με τις διφορούμενες έννοιες του άπειρα μεγάλου, του άπειρα μικρού και των σχετικά με αυτό επ άπειρον διαδικασιών, που όμως αποτελεί τη δημιουργικότερη ίσως και τη συναρπαστικότερη σύνθεση της μαθηματικής επιστήμης. Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνευτικού χαρακτήρα σύντομη διαδρομή της έννοιας του απειροστού από την Ελληνική Αρχαιότητα μέχρι τη σύγχρονη εποχή, της έννοιας που αμφισβητήθηκε πολύ, αλλά που συνέβαλε στη διαμόρφωση της αντίληψης εννοιών της Γεωμετρίας και της Κλασσικής Μαθηματικής Ανάλυσης. Από την πορεία εξέλιξης των μαθηματικών, διαφαίνεται η συμβολή της ιστορικής ανάλυσης στην ανάπτυξη σύγχρονης διδακτικής προοπτικής νέων διδακτικών μεθόδων, που είναι και η αφετηρία για μια φιλόδοξη εφαρμογή των μαθηματικών και της ιστορίας τους στη σύγχρονη πραγματικότητα. INTERPRETATIVE APPROACH OF THE CONCEPT OF INFINITESIMAL FROM THE GREEK ANTIQUITY TO OUR ERA. ΤΗΕ MODULATION OF THE PERCEPTIONS THROUGH DEEP STUDY OF HISTORY, COULD BE TAKEN AS A MYTH OR AS REALITY? ABSTRACT The development of mathematical science contributed significantly in the growth of economy, philosophy, astronomy, biology, medicine, technology, etc, and gave an impulse of evolvement of ideas from a vast area of multiple fields of human activities in order to ameliorate conditions of life and achieve prosperity. The records from the deep study of the History of Mathematics reflect the development and the evolution of the mathematical construction of Infinitesimal Calculus, while simultaneously arguments and contradictions which appeared, with respect to the concepts of infinitely great, infinitely small and infinitesimal processes, possibly reflect to the most fascinated and productive structure of the mathematical science. This work aims at a brief interpretation of the notion of infinitely small quantities from Greek Antiquity to our era. The concept of infinitesimal was harshly criticized and characterized as incorrect notion by many mathematicians, but scientists continued to use infinitesimals in order to produce correct results. Therefore, infinitesimal concept played an essential role in the development of Geometry and Calculus. The study of the historical evolution and interpretation of the concept of infinitesimal leads to the construction of a framework of interpretation into potential modern didactical material and inducts feasible, the perspective of an ambitious implementation of mathematics and their history to our contemporary reality. 1

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη ιστορικών στοιχείων και η ανάλυση των ιστορικών ιδιαιτεροτήτων αποτελεί το βασικό άξονα στις κοινωνικές επιστήμες και έναν από τους κύριους μοχλούς ανάπτυξης του πολιτισμού. Παράλληλα, η ανάπτυξη και η αναδόμηση της οικονομίας δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί χωρίς την επαρκή γνώση της ιστορίας. Η προσπάθεια εξερεύνησης των διαφορετικών πτυχών της ιστορίας μπορεί να χρησιμεύσει ως μέσο αντίληψης των ιδιαίτερων πλευρών της πραγματικότητας και να συμβάλει αποτελεσματικά στο να αποτρέπονται και να μην επαναλαμβάνονται λάθη του παρελθόντος. Η οικονομική κρίση που απειλεί σε κατάρρευση ολόκληρη τη Ευρώπη και που χτυπά ανελέητα τη χώρα μας είναι μια απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. Μήπως λοιπόν η οικονομία παρέβλεψε την ιστορία; Το 1946 στην πρώτη συνεδρίαση των κρατών μελών της UNESCO, του Διεθνούς Οργανισμού για την Εκπαίδευση, τις Επιστήμες και τον Πολιτισμό, συμφωνήθηκε ότι μέρος της εκπαιδευτικής, επιστημονικής και πολιτιστικής αποστολής των Ηνωμένων Εθνών ήταν να θέσει τα θεμέλια για μια συλλογική μνήμη της ανθρωπότητας, όπως αυτή διαδόθηκε στον κόσμο και εκφράζει τον κάθε πολιτισμό. Η Επιστημονική Επιτροπή αποφάσισε τη σύνταξη της ιστορίας της επιστημονικής και πολιτιστικής ανάπτυξης της ανθρωπότητας στην προσπάθεια ερμηνείας, αξιοποίησης και επιστημονικής αναδημιουργίας των διαφορετικών και σημαντικότερων συλλογικών σταδίων της ανθρώπινης εξέλιξης. Στην εξέλιξη και ανάπτυξη του πολιτισμού, της φιλοσοφίας, της αστρονομίας, της βιολογίας, της ιατρικής, της τεχνολογίας, της οικονομίας συνέβαλε ουσιαστικά η μαθηματική επιστήμη, μέσω της οποίας επιτεύχθηκε η αξιοποίηση των ποικίλων ιδεών που αναδύθηκαν σε πλείστους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, για την καλυτέρευση των συνθηκών ζωής και την επίτευξη ευημερίας. Μέσα από τη μελέτη της Ιστορίας των Μαθηματικών διαφαίνεται η ανάπτυξη και η εξέλιξη του μαθηματικού οικοδομήματος του Απειροστικού Λογισμού, με έντονες διαφωνίες και αντιπαραθέσεις κυρίως γύρω από τις διφορούμενες έννοιες του άπειρα μεγάλου, του άπειρα μικρού και των σχετικά με αυτό επ άπειρον διαδικασιών, που όμως αποτελεί τη συναρπαστικότερη, ίσως και τη δημιουργικότερη σύνθεση της μαθηματικής επιστήμης. Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνευτικού χαρακτήρα σύντομη διαδρομή της έννοιας του απειροστού από την Ελληνική Αρχαιότητα μέχρι τη σύγχρονη εποχή κατά την οποία διαπιστώνεται η συμβολή της ιστορικής ανάλυσης στην ανάπτυξη σύγχρονης διδακτικής προοπτικής νέων διδακτικών μεθόδων που είναι και η αφετηρία για μια φιλόδοξη εφαρμογή των μαθηματικών και της ιστορίας τους στη σύγχρονη πραγματικότητα. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ «ΑΠΕΙΡΑ ΜΙΚΡΟΥ» ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΜΗΝΕΥΤΙΚΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ Η προσπάθεια και ταυτόχρονα η ελπίδα των Πυθαγορείων να συνδέσουν απευθείας τα μεγέθη με τους αριθμούς απέτυχε και μπορεί να θεωρηθεί ότι μια από τις δυσκολίες ήταν τα απειροστά μεγέθη και οι σχετικές με αυτά επ άπειρον διαδικασίες 1. Μια «ελάχιστη» 1 Είναι γνωστό ότι ενώ οι Πυθαγόρειοι ήταν πανευτυχείς για την ύπαρξη των ρητών λόγων, ήταν αδύνατο γι αυτούς να αντιμετωπίσουν επιτυχώς τους αρρήτους και ιδιαίτερα σε γεωμετρικούς όρους με λόγους ασύμμετρων μεγεθών. Υπήρξε όμως εποχή, κατά πάσα πιθανότητα γύρω στον πέμπτο αιώνα π.χ, όταν ο Αρχαίος Ελληνικός Μαθηματικός κόσμος συμβιβάστηκε με την επίμονη αντίληψη ότι η χρήση των ακεραίων καθώς και των λόγων τους ήταν αδύνατο να επιτύχουν τον υπολογισμό μερικών θεμελιωδών στοιχείων απλών γεωμετρικών σχημάτων. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα 2

3 μονάδα μήκους, που θα χωρούσε ταυτόχρονα στη διαγώνιο και στην πλευρά ενός τετραγώνου, λαμβανόμενη άπειρες φορές, θα μπορούσε να υπάρξει μόνο σαν ένα απειροστό! Οι Ίωνες Στοχαστές τον 6 ος π.χ αι. προκειμένου να εξηγήσουν το φαινόμενο της μεταβολής και πολλαπλότητας του κόσμου, θεώρησαν τον κόσμο ως μια αρχή η οποία διασπάστηκε σε πολλά μέρη. Η πρώτη έννοια του αδιαίρετου όντος, αλλά και της έννοιας του απείρου διαφαίνεται στον Παρμενίδη. Το ον είναι ένα, αδιαίρετο, συνεχές, ομοιογενές, δεν έχει αρχή και τέλος και αποτελείται από το είναι. Η βασική αρχή της Ατομικής Θεωρίας είναι η ύπαρξη των α-τόμων, τα οποία διατηρώντας τις ιδιότητες της Παρμενίδειας οντολογίας, θεωρούνται τα έσχατα δομικά υλικά όλων των φυσικών πραγμάτων. Εκτός του Εμπεδοκλή και του Αναξαγόρα, οι Ατομικοί φιλόσοφοι επίσης προσπάθησαν να τροποποιήσουν την Παρμενίδεια λογική, χωρίς όμως να ξεφύγουν από την βασική αρχή της, πως οτιδήποτε προϋπάρχει δεν έχει γένεση και φθορά (Δημόκριτος, Μαθηματικά Φυσικές Επιστήμες, Αστρονομία-Κοσμολογία Της Ατομικής Θεωρίας., σελ.13.,εκδ. Ζήτρος., 2004). Για τον Αναξαγόρα η ύλη έχει συνθετικό χαρακτήρα και αποτελείται από απείρως διαιρετά στοιχεία τα οποία θεωρεί ότι προϋπήρχαν (Δημόκριτος., Μαθηματικά Φυσικές Επιστήμες, Αστρονομία-Κοσμολογία Της Ατομικής Θεωρίας., πρόλογος Θεόπης Παρισάκη, σελ ,εκδ. Ζήτρος., Θεσ/κη 2004). Ο Δημόκριτος θεωρεί ότι τα πρωταρχικά στοιχεία, τα οποία ονομάζει «άτομα», είναι άπειρα στο πλήθος και αδιαίρετα στο μέγεθος. (DK 67 A 49) Σιμπλ., Εις τα Φυσικά Ι84bI5,.. «Οι οπαδοί του Λεύκιππου και του Δημόκριτου αποκαλούν τα ελάχιστα πρώτα σώματα άτομα» (Δημόκριτος, Μαθηματικά Φυσικές Επιστήμες, Αστρονομία-Κοσμολογία Της Ατομικής Θεωρίας., σελ. 111.,εκδ. Ζήτρος., μετάφραση του Σταύρου Γκιργκένη., Θεσ/κη 2004). Ο Επίκουρος ισχυρίστηκε ότι τα πρωταρχικά στοιχεία ονομάζονται αδιαίρετα, άτομα, ναστά εξαιτίας της απάθειάς τους. Ο Λεύκιππος και ο Δημόκριτος, θεωρούσαν ότι τα πρώτα στοιχεία ονομάζονται έτσι, επειδή είναι πάρα πολύ μικρά και, δεν μπορούν να υποστούν τομή και διαίρεση». Ο Ξενοκράτης και ο Διόδωρος έδωσαν το χαρακτηρισμό α-μερή (δεν έχουν μέρη) στα ελάχιστα σώματα. Όμως η ύπαρξη ή μη, ατόμων και α-μερών, όπως και η αντίθετη άποψη για τη δυνατότητα της επ άπειρον διαίρεσης της ύλης φαίνεται ότι βρέθηκε στο κέντρο του προβληματισμού της εποχής, όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται στο απόσπασμα Περί γενέσεως και φθοράς (3Ι6aΙ3) του Αριστοτέλη (ο.π. σελ ). Ο Αριστοτέλης δεν αποδέχεται την έννοια των αδιαιρέτων ποσοτήτων, όπως αναφέρεται στο Δημόκριτο, ενώ διακρίνει αντίθετα δύο είδη απείρου: το «εν δυνάμει» άπειρο και το «ενεστωτικό» άπειρο. Για «τον αριθμό κατά την κατεύθυνση του ελαχίστου υπάρχει ένα πέρας, προς την κατεύθυνση όμως της αύξησης ο αριθμός κάθε φορά ξεπερνά οποιοδήποτε πλήθος» (Φυσικής Ακροάσεως Γ ). Ο Αριστοτέλης άσκησε σφοδρή κριτική στις απόψεις των Ατομικών και του Επίκουρου σχετικά με την ύπαρξη των α-μερών αφού η ύπαρξή τους παρεμποδίζει την επ άπειρο διαίρεση. Ενώ οι απόψεις του Αριστοτέλη για τη φύση του συνεχούς έτυχαν την γενική αποδοχή των μαθηματικών φιλοσόφων του 13ου και 14ου αιώνα. Η διαδικασία της διαίρεσης για τον Αριστοτέλη, είναι μια συνεχιζόμενη χωρίς τέλος διαδικασία και στην εξέλιξή της δεν υπάρχει κανένα στάδιο από το οποίο αυτή η διαδικασία να μην προχωρεί ακόμη περισσότερο. Μελετώντας το έργο του Αριστοτέλη, θα μπορούσαμε είναι η διαγώνιος του τετραγώνου σε σχέση με την πλευρά του, αφού δεν υπήρχε κοινή μονάδα μέτρησης η οποία θα μπορούσε να εκφράζει το ένα τμήμα με όρους του άλλου. Με όρους της (μη- Συμβατικής) Μαθηματικής Ανάλυσης ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα χωρούσε ταυτόχρονα στη διαγώνιο και στην πλευρά ενός τετραγώνου, λαμβανόμενο «άπειρες φορές», θα μπορούσε να υπάρξει μόνο σαν ένα απειροστό! Πράγματι, σύμφωνα με τον Ε.Σταμάτη, οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί, των οποίων ο λόγος τείνει προς τον άρρητο αριθμό (ρίζα του 2) και οι οποίοι στον Νεοπυθαγόρειο φιλόσοφο Θέωνα τον Σμυρναίο, ορίζονται ως αναδρομικές ακολουθίες με πρώτους όρους α 1 =δ 1 =1. Ο Ε.Σταμάτης, ερμηνεύει αυτή την κατασκευή ως εξής (Ευκλείδου Στοιχεία, Βιβλία V-IX Εισαγωγή, σελ. 8-9): «Κατά τον Θέωνα τον Σμυρναίον, (Θέων Σμυρν.42-45, E.Hiller, Leipzig, 1878) οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί σχηματίζονται ως εξής: θεωρούμεν τετράγωνον, του οποίου η πλευρά ισούται προς την μονάδα και η διάμετρος (διαγώνιος) επίσης.(ακοκουθεί σημείωση Ε.Σταμάτη ). Τούτο εις την Μαθηματικήν Ανάλυσιν λέγεται: θεωρούμεν τετράγωνον απειροελαχίστως μικρόν.)( )». 3

4 να σημειώσουμε ότι: 1) δεν υπάρχουν αδιαίρετα μεγέθη και 2) ο αριθμός μπορεί να αυξηθεί χωρίς όριο. Αντίθετα, ο Αριστοτέλης θεωρεί τη γεωμετρία πρότυπο για όλες τις επιστήμες καθότι η γεωμετρία, σύμφωνα με τον ίδιο είναι σε θέση να αποδείξει τα συμπεράσματά της. Κατ αυτόν τον τρόπο ο Αριστοτέλης επινόησε την ίδια την ιδέα της επιστήμης, θεωρώντας ότι κάθε επιστήμη μελετά διαφορετικά αντικείμενα, αλλά όλες οι επιστήμες έχουν την ίδια δομή, μεθοδολογία και υπηρετούν μια κοινή αρχή- την επιστημονική αλήθεια, η οποία όμως δεν μπορεί εμπεριέχεται στην έννοια του άπειρα μικρού. Ο Ευκλείδης, στα «Στοιχεία», αναφέρεται σ ένα είδος μη-συμβατικής γωνίας, που ήταν γνωστή ως κερατοειδής γωνία, η οποία σχηματίζεται από καμπύλες γραμμές ή από μια ευθεία και μια καμπύλη. Σύμφωνα με τον Thomas Heath παρόλο που ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τον όρο «κερατοειδής γωνία», αυτό το όνομα χρησιμοποιείται από τον Πρόκλο σαν ένας όρος ήδη γνωστός (Heath, T.L. The 13 Books of Euclid s, proposition III.16. Εκδ..,Dover, τόμος 2 ος,σελ., 41). Ο Ευκλείδης αποδεικνύει ότι κάθε κερατοειδής γωνία είναι μικρότερη από κάθε συμβατική γωνία. (ο.π. σελ.38). Ο ισχυρισμός αυτός οδηγεί στη θεώρηση της κερατοειδούς γωνίας ως ενός γεωμετρικού απειροστού, άποψη την οποία φαίνεται ότι ο Ευκλείδης αποδέχεται μεν, αλλά αν λάβει κανείς υπόψη του ότι για τον ίδιο το γεωμετρικό σημείο έχει θέση και όχι διαστάσεις, έμμεσα αποκλείει την ύπαρξη και χρήση τέτοιων ποσοτήτων από γεωμετρικά θέματα (Κ.Δρόσος «Εισαγωγή στη Μαθηματική Σκέψη».,τομ.1 ος : Μαθηματικές Περιηγήσεις., σελ. 243, Πάτρα 1999). Ο Πρόκλος, όπως έχει ήδη αναφερθεί, χρησιμοποιεί τον όρο κερατοειδής γωνία (horn-like ή cornicular angle) και κάνει μια μεγάλη και πολύπλοκη ταξινόμηση των επιπέδων και των στερεών γωνιών. (The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus, 2 vols. (μετάφραση Taylor, T.), London, 1788, I, σελ., , Αναφέρεται από την Μargaret E.Baron στο: The Origins Of The Infinitesimal Calculus.,κεφ. 1 ο, σελ.53., εκδ. Dover 1969). Ο Εύδοξος ( π.χ) εισάγει την «μέθοδο της εξάντλησης» με σκοπό να εξομαλύνει τα προβλήματα που δημιούργησε η χρήση των απειροστών στη Γεωμετρία. Στην ουσία ο Εύδοξος προσπάθησε να εξοβελίσει τα απειροστά από τη Γεωμετρία με μια αυστηρότερη προσέγγιση. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί εκτενώς την πρόταση του Ευδόξου, ότι δηλαδή δύο ομοειδή μεγέθη έχουν λόγο και χαρακτηρίζει πρόταση αυτή ως αξίωμα, ενώ κατά τα άλλα θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως μια «μετρική» έκφραση της αντίληψης του Ευκλείδη ότι κάθε σημείο έχει θέση αλλά όχι διάσταση. Τελικά η πρόταση αυτή αποδόθηκε στον Εύδοξο αλλά είναι σήμερα γνωστή ως αξίωμα Ευδόξου-Αρχιμήδη. Ερμηνεύοντας την Αρχιμήδεια ιδιότητα, αν θεωρήσουμε δύο οποιαδήποτε ευθύγραμμα τμήματα και πάρουμε το μικρότερο από αυτά πεπερασμένες το πλήθος φορές, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάστημα το οποίο να ξεπερνάει το μεγαλύτερο σε μήκος τμήμα. Ο Αρχιμήδης, ασχολήθηκε με την έννοια των απειροστών, χρησιμοποιώντας την αποδεικτική μέθοδο της εξάντλησης, απέφευγε όμως να χρησιμοποιήσει «επίσημα» την έννοια του απείρως μεγάλου και του απειροστού. Η Αρχιμήδεια ιδιότητα στα σύγχρονα Μαθηματικά προσδιορίζει την δομή της πραγματικής ευθείας του R. Στην ιστοριογραφία των επιστημών παρατηρείται ότι οι τρόποι προσέγγισης των πρώτων μελετητών σε αρκετά θέματα, παραμένουν συχνά ως η βάση πάνω στην οποία εργάστηκαν και όλοι οι επόμενοι ερευνητές και επιστήμονες. Η επιλογή ανάγνωσης των ιστορικών πηγών παραμένει πολλές φορές εγκλωβισμένη στα ερωτήματα και στις προκλήσεις που τέθηκαν από τους πρώτους μελετητές και επομένως κατά κάποιον τρόπο φαίνεται να οριοθετούνται οι μέθοδοι και το ερμηνευτικό περίγραμμα βάσει του οποίου επιχειρούνται σήμερα νέες μεθοδολογικές προσεγγίσεις. Παράδειγμα αυτού του ισχυρισμού μπορεί να θεωρηθούν οι μελέτες για τον Αρίσταρχο το Σάμιο (3 ο αι. π.χ. ) σχετικά με τη θεωρία του ηλιοκεντρισμού, τόσο στην ελληνική, όσο και στην ξένη βιβλιογραφία. ( Τ.Η. Martin: Mémoires sur I' histoire des hypothèses astronomiques chez les Grecs et les Romains. Mémoires de l'académie des Inscriptions et des Belles-Lettres, t. XXX, 2e partie P. Tannery: Recherches sur l histoire de l Astronomie ancienne. Mémoires de la Societe des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 4e série, t I, 1893 J.V. Schiaparelli: Origine del sislema planetario eliocenlrico presso i Greci. Mcmorie del R. 4

5 Inslituto Lombardo di Scienze e I.ettere. Classe di Scienze matematiche e naturali), t. XVIII, 1898' J.L.E. Dreyer: A History of Astronomy from Thales to Kepler. Νέα Υόρκη, Dover, (Πρώτη έκδοση, με τον τίτλο History of the Planetary Systems from Thales to Kepler, I906) T.I.. Heath: Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus. Νέα Υόρκη, Dover, (Πρώτη έκδοση. 1913). Η μελέτη του Αρίσταρχου, θεωρήθηκε ως ένα ζήτημα παρεξηγημένης για την εποχή της θεωρίας, που όμως επρόκειτο να επανεμφανιστεί και να θριαμβεύσει πολλές εκατονταετίες αργότερα. Η αναφορά του Κοπέρνικου στο έργο του Αρίσταρχου ήταν η αρχή για συστηματική μελέτη του ιστοριογραφικού πλαισίου από τους επόμενους ιστορικούς μελετητές και υπάρχει εκτενής αναφορά γι αυτό στο έργο του Heath. Επιπλέον, ένα νέο ερμηνευτικό πλαίσιο οδηγεί στην ανάγκη μιας νέας συστηματικής ανάγνωσης των σχετικών θεμάτων των πηγών των πρώτων ελληνιστικών χρόνων, περίοδος η οποία χαρακτηρίζεται από την εμφάνιση και ανάπτυξη μιας νέας κουλτούρας στη διατύπωση μαθηματικών θεωριών. Ο Bonaventura Cavalieri ( ), μαθητής του Galileo, εισήγαγε την ιδέα και τη μέθοδο των αδιαιρέτων ποσοτήτων, και παρόλο που δεν διευκρινίζει τι ακριβώς εννοεί με την έννοια «αδιαίρετο» σε κανένα σημείο της εργασίας του (Stereometria doliorum), βάζει τη βάση για τη Γεωμετρική αποδεικτική μέθοδο στην Ανάλυση. Θεωρεί ότι κάθε γεωμετρικό μέγεθος μπορεί να διαιρείται σε άπειρα το πλήθος γεωμετρικά μεγέθη που μπορούν να αποτελούν κάθε ζητούμενο λόγο και τα οποία είναι οι αδιαίρετες ποσότητες (Victor J.Katz., A History of Mathematics, δεύτερη έκδοση., κεφ. 12, σελ ). Ο Giles Persone de Roberval ( ), ασπάζεται τη μέθοδο των αδιαιρέτων του Cavalieri, και παρόλο που η δική του άποψη για τα αδιαίρετα διαφέρει ριζικά από την προηγούμενη παράδοση, διαφαίνεται ότι οι προτάσεις «προοιωνίζουν» τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, μερικές δε εκ των προτάσεων αυτών είναι παρόμοιες αλλά σε νόημα σαφώς διαφορετικές. Είναι δύσκολο να προσδιορίσει κανείς την έκταση της επιρροής της δουλειάς του Roberval στους μαθηματικούς της εποχής του, αφού το έργο του Traité des Indivisibles δεν δημοσιεύτηκε πριν το 1663, οπότε πλέον ο Απειροστικός Λογισμός είχε αρχίσει να αναπτύσσεται. Είχε όμως χωρίς αμφιβολία ισχυρή επίδραση πάνω στον Blaise Pascal του οποίου ο πατέρας ήταν στενός φίλος του Roberval ( Walker, A Study of the Traite des Indivisibles of Roberval, p.16.αναφέρεται στο βιβλίο του Carl B.Boyer, The Ηistory of the Calculus and its conceptual Development, εκδόσεις Dover, σελ ). Ο Blaise Pascal ( ) δέχτηκε την επίδραση των εργασιών του Roberval, επέδειξε αξιοσημείωτη κλίση στον τομέα της Υδροστατικής και ασχολήθηκε με την Θεολογία. Στις μαθηματικές του εργασίες προσπάθησε να συγκρίνει τα αδιαίρετα της γεωμετρίας με το μηδέν της αριθμητικής, αλλά στις μετέπειτα αριθμητικές αποδείξεις του αποφεύγει συστηματικά να χρησιμοποιήσει τις άπειρα μικρές ποσότητες, θεωρεί όμως ότι οι έννοιες του άπειρα μικρού και του άπειρα μεγάλου σχετίζονται μεταξύ τους. (Carl B.Boyer, The Ηistory of the Calculus and its conceptual Development, εκδόσεις Dover, σελ.150.),(j.chevarier., Blaise Pascal., Η Τέχνη της Πειθούς., μετάφραση Δ. Κουτσουρή., επιστημ. επιμέλεια Τ.Μηχαηλίδης., εκδ., Ροές, 2005., σελ ). Η αντίληψη αυτή επαναλαμβάνεται στις σημερινές αυθόρμητες αντιλήψεις των φοιτητών (Β.Α.Στεργίου, Ph.D thesis., 3 ο κεφ. σελ ). Ο John Wallis ( ) ακολουθώντας τους Viete, Descartes, Fermat και Harriot, έγινε γνωστός γιατί εφήρμοσε την Αριθμητική και την Άλγεβρα στα προβλήματα της Γεωμετρίας και πέτυχε να κάνει μια «άμεση» αριθμητική προσέγγιση της έννοιας των απειροστών ποσοτήτων, η οποία μέθοδος έγινε γνωστή ως αριθμητικοποίηση της Γεωμετρίας). Στις απειροστικές μεθόδους του, ο Wallis, σύμφωνα με την εργασία του «Arithmetica Infinitorum» (αν μπορούμε να τις ονομάσουμε έτσι γιατί ο ίδιος δεν αποδέχτηκε επίσημα την έννοια του απειροστού αφού έλεγε ότι τα απειροστά είναι ένα «τίποτα») εργάστηκε αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αδιαιρέτων, όμως διαφορετικά από ότι ο Cavalieri και οι άλλοι μαθηματικοί που ακολουθούσαν την παράδοση των αδιαιρέτων. Για παράδειγμα, ένα δοσμένο μέγεθος παρουσιάζεται σαν αριθμητικός λόγος ο οποίος προέρχεται από σύγκριση με μια μονάδα του ίδιου μεγέθους. Ο Wallis χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το σύμβολο του για το άπειρο, ενώ το «1/» χρησιμοποιεί για να 5

6 συμβολίσει τα απειροστά ή non-quanta όπως τα ονομάζει (Carl B.Boyer, The history of the Calculus and its conceptual Development, εκδόσεις Dover,σελ ). Ο Isaac Barrow ( ) παρουσιάζει την χρησιμότητα της μαθηματικής γνώσης μέσω της Γεωμετρίας, (ενώ λίγο πριν o John Wallis ( ) εισήγαγε την χρήση της Άλγεβρας σε Γεωμετρικά θέματα). Στην πραγματικότητα προσπάθησε να αποκλείσει την Άλγεβρα από τα Μαθηματικά και θεωρώντας την Αριθμητική κομμάτι της Γεωμετρίας, δεν θα μπορούσε να οδηγηθεί στην έννοια του ορίου, καθόσον γι αυτό απαιτείται όχι μόνον η κλασσική αντίληψη της έννοιας του αριθμού, αλλά μια περισσότερο διευρυμένη αντίληψη αυτού. Στις γεωμετρικές αναλύσεις του, ο Barrow χρησιμοποιεί όρους όπως «απείρως λεπτά παραλληλόγραμμα» - τα οποία δεν ορίζονται στην Κλασσική Ανάλυση, ενώ αποκτούν νόημα και παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον στην σύγχρονη περιοχή της λεγόμενης Συνθετικής Διαφορικής Γεωμετρίας (βλ. A.Kock, John Bell). Η γεωμετρική μέθοδος του Barrow για την εύρεση και απόδειξη ενός αριθμητικού αποτελέσματος μπορεί να θεωρηθεί πρόδρομος της ιδέας της χρήσης γεωμετρικών μοντέλων στη Μαθηματική Ανάλυση (Β.Στεργίου Τ.Πατρώνης., Γωμετρικά Μοντέλα και Απειροστικός Λογισμός. Από τις «βασικές» Μαθηματικές Έννοιες στις επ άπειρον Διαδικασίες.., Οι Αναπαραστάσεις και τα Γεωμετρικά Μοντέλα στη Μάθηση των Μαθηματικών., εκδ. Γαγάτσης & ά. Λευκωσία 2003). Ο Isaac Newton ( ) υπήρξε μαθητής του Barrow στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και μάλιστα βοήθησε τον δάσκαλό του να προετοιμάσει την δημοσίευση του έργου του Geometrical Lectures. Ο Isaac Newton ασχολήθηκε επιτυχώς με την Φυσική αναπτύσσοντας τις βασικές αρχές της Οπτικής και της Μηχανικής. Η μεγαλύτερη όμως συνεισφορά του ήταν στην προσπάθεια της κατανόησης του κόσμου που μας περιβάλλει μέσω της νέας σύνθεσης του Απειροστικού Λογισμού. Η αντίληψη του Newton για την έννοια του αριθμού, μοιάζει περισσότερο με του Wallis παρά του Barrow, δηλαδή ο Newton δεν θεωρεί τον αριθμό ως ένα σύνολο μονάδων αλλά περισσότερο σαν ένα λόγο που προκύπτει από την μεταβολή μιας ποσότητας σε σχέση μ αυτό που ήταν αρχικά, ορισμός που θεωρεί και τα άρρητα κλάσματα ως αριθμούς ( More, Isaac Newton, p.184. Βλ. το βιβλίο του Carl B.Boyer The history of the Calculus and its conceptual Development, εκδόσεις Dover, σελ. 173). Ο Newton ανέπτυξε τον Λογισμό των ροών γύρω στα , χρησιμοποιώντας την ιδέα ενός απείρως μικρού ορθογωνίου ή μια «στιγμή» μιας επιφάνειας, τετραγώνισε τις επιφάνειες που ορίζονται από τις γνωστές καμπύλες. Η έννοια του απειροστού δημιούργησε τόσο μεγάλη δυσκολία στις αντιλήψεις του Newton, ώστε ο ίδιος να επικεντρωθεί στον λόγο απειροστών ποσοτήτων, ο οποίος είναι εν γένει πεπερασμένος αριθμός οπότε θα μπορούσαν να αντικατασταθούν οι απειροστές ποσότητες με κάποια άλλα πεπερασμένα μεγέθη, που είναι κατανοητά και έχουν τον ίδιο λόγο. O Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ), όπως και ο Newton, ανέπτυξε κανόνες και ερμηνευτικούς συμβολισμούς έχοντας σαν στόχο να βάλει τις απειροστές θεωρήσεις κάτω από μια αλγοριθμική διαδικασία. Ο Leibniz μέσα από την ανάγκη να δημιουργήσει ένα μεταφυσικό σύστημα ώστε να συνδέσει τα μαθηματικά με την μεταφυσική, δημιούργησε ένα ολοκληρωτικά δικό του φιλοσοφικό σύστημα, στο οποίο όμως μπορεί να παρατηρήσει κανείς ίχνη Αριστοτελικής επίδρασης. Ο κόσμος του Leibniz αποτελείται από μεταφυσικές, κλειστές και διακριτές οντότητες που ονομάζει μονάδες που η καθεμία αναπαριστάνει όλες τις άλλες, έτσι ώστε να δημιουργείται η εντύπωση ότι επικοινωνούν μεταξύ τους, ενώ στην πραγματικότητα αυτό δεν ισχύει. Οι Μονάδες δεν επικοινωνούν μεταξύ τους και δεν αλληλεπιδρούν. Είναι μοναδικές και δεν φθείρονται ή πεθαίνουν, αλλά μετασχηματίζονται, αναπαριστάνοντας κάποιο διαφορετικό σχηματισμό. Για τον Leibniz ο χώρος (χωροχρονικό σύμπαν) αποτελείται από ύλη που αντιπροσωπεύεται από μια άπειρη σειρά Μονάδων, χωρίς διάκενα, οι δε Μονάδες διαφέρουν μεταξύ τους κατά βαθμίδες άπειρα μικρού μεγέθους (Erdmann, op.cit.1840,p.135. Αναφέρεται στο άρθρο του R.H.Moorman, The Influence of Mathematics on the Philosophy of Leibniz, National Mathematics Magazine, Vol.19, Issue 3 (1944)). Η ακινησία για τον Leibniz είναι η μεταβολή της κίνησης κατά ένα απειροστό, ενώ η ανισότητα προσεγγίζει την ισότητα επίσης κατά ένα απειροστό. (L.E. Loemker (Ed.) G.W.Leibniz: Philosophical Papers and Letters, Synthese Historical Library, D. Reidel publ. Co., Dordrecht,1969, σσ Η μετάφραση του κειμένου αποδίδεται στο βιβλίο του 6

7 Δ.Α.Αναπολιτάνου Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδόσεις Νεφέλη, 1985., σελ. 352). Οι άπειρα μικρές ποσότητες ήταν μικρότερες από οποιαδήποτε άλλη οσοδήποτε μικρή δοσμένη ποσότητα αλλά μεγαλύτερες από το μηδέν και οι άπειρα μεγάλες ποσότητες μεγαλύτερες από οποιαδήποτε δοσμένη ποσότητα. Και τα δύο είδη των ποσοτήτων αυτών είναι μεταβλητές ποσότητες. Η ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟΥ ΚΑΙ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Στα μέσα της δεκαετίας του 1690, ο Ολλανδός Bernard Nieuwentijt, ο Γάλλος Michel Rolle, ο Abbé Jean Galois, Abbé Thomas Gouye, και άλλοι, προέβαλαν σημαντικές αντιρρήσεις χαρακτηρίζοντας τον Λογισμό αρρωστημένο και ανακριβή, τα θεμέλια του οποίου στερούνταν αυστηρότητας. οι οποίοι, ως λάτρεις της αυστηρότητας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, είχαν σημαντικές ενστάσεις για την χρήση των απειροστικών μεθόδων. Από το 1700 μέχρι το 1706 στην Ακαδημία Επιστημών στο Παρίσι, υπήρξαν δύο παρατάξεις: από τη μια οι οπαδοί των νέων απειροστικών μεθόδων του Leibniz, με μια κωδικοποιημένη εκδοχή από τον l Hospital, αλλά γενικότερα οπαδοί της ύπαρξης και πλήρους αποδοχής της έννοιας των απειροστών ποσοτήτων, οι οποίοι χαρακτηρίζονταν με τον όρο infinitesimalists και από την άλλη η ομάδα των οπαδών των κλασσικών τεχνικών μεθόδων, αυτών δηλαδή που δεν ήθελαν να προσδώσουν ένα status στις απειροστικές θεωρήσεις (Paolo Mancosu., Historia Mathematica.,The Metaphysics of the Calculus : A Foundational Debate in the Paris Academy of Sciences, , τεύχος 16.,σελ. 226., εκδ., Academic Press, 1989). Επικρίσεις στη Νέα Ανάλυση, εκτός από τον Michel Rolle, έγινε και από τον επίσκοπο George Berkeley το 1734 με την εργασία του που είχε τον τίτλο The Analyst (The Works of George Berkeley,Vol.III. Αναφέρεται από τον Carl.B.Boyer στο The History of The Calculus and its Conceptual Development, Dover Publ. κεφάλαιο VI. Σελ. 224). Ο στόχος τόσο του Rolle όσο και του Berkeley ήταν ο ίδιος, είχαν όμως διαφορετικά κίνητρα. Για τον Rolle, οι αντιρρήσεις περιστρέφονταν γύρω από την Καρτεσιανή άρνηση αποδοχής των απειροστικών διαδικασιών ως αυστηρής διαδικασίας, ενώ ο Berkeley στράφηκε εναντίον των επιστημολογικών θεωρήσεων που είχαν σχέση με τις απειροστικές μεθόδους. Για τον Rolle, οι βασικές αρχές της Ανάλυσης ήταν λανθασμένες οπότε και κατέληγαν σε εσφαλμένες διαδικασίες, ενώ αντίστοιχα ο Berkeley ποτέ δεν ασχολήθηκε με ζητήματα της Ανάλυσης και πρότεινε μια θεωρία βασισμένη πάνω σε διπλά λάθη με σκοπό να αποδείξει πως μέσα από πολλά λάθη μπορεί κανείς να φθάσει αν όχι στην επιστήμη, αλλά σίγουρα στην αλήθεια (Paolo Mancosu., Historia Mathematica, The Metaphysics of the Calculus: A Foundational Debate in the Paris Academy of Sciences, , τεύχος 16.,σελ. 244., εκδ., Academic Press, 1989). Κατά την διάρκεια ολόκληρου του 18 ου αιώνα υπήρξε μια γενική αμφισβήτηση τόσο για την φύση των θεμελίων των μεθόδων των Ροών, 2 όσο και για τον Διαφορικό Λογισμό. 2 Ο όρος «ροή» οφείλεται στον Isaac Newton, για τον οποίο, οι βασικές ιδέες του Απειροστικού Λογισμού είχαν σχέση με την κίνηση. Κάθε μεταβλητή μιας εξίσωσης έπρεπε να θεωρηθεί ως απόσταση εξαρτώμενη από τον χρόνο. Βέβαια η ιδέα της κίνησης δεν ήταν μια νέα έννοια την οποία ανακάλυψε ο Newton, όμως ο Newton έδωσε στην ιδέα της κίνησης θεμελιώδη χαρακτήρα και ουσιαστικά θεώρησε ως αξίωμα την σταθερή αυτή αύξηση του χρόνου, οπότε δεν έδωσε ορισμό για την έννοια του χρόνου. Έδωσε όμως τον ορισμό της έννοιας της ροής: Ροή (fluxion) x μιας ποσότητας x εξαρτώμενης από τον χρόνο (την ποσότητα x ονόμασε ρευστόν ή ρέον (fluent) ), ήταν η ταχύτητα με την οποία αυξανόταν η μεταβλητή x, δια μέσου της κίνησης η οποία δημιουργούσε την μεταβολή αυτή (Victor Katz., A History of Mathematics, Addison-Wesley Longman,Inc., Κεφάλαιο 12,σελ.510). Δηλαδή εάν x και y είναι ρευστά τότε οι ροές τους θα είναι x και y 7

8 Η έννοια του απειροστού ως μεταβλητής ποσότητας η οποία προσεγγίζει το μηδέν, όπως φαίνεται και στην εργασία του Augustin-Louis Cauchy ( ), ήταν η επικρατούσα άποψη σχεδόν καθ όλη τη διάρκεια του 19 ου αιώνα, η οποία όμως στερούνταν της αυστηρής μαθηματικής τεχνικής του Karl Weierstrass ( ) που δημιουργήθηκε κατά το δεύτερο μισό του 19 ου αιώνα. Από την άλλη μεριά ο Abraham Robinson το 1966 νομιμοποίησε εξ ολοκλήρου την χρήση των απειροστών στην Ανάλυση, μέσα από τη λογική θεμελίωση της μη-συμβατικής Ανάλυσης. Ο Cauchy ανέπτυξε την έννοια του ορίου με μια σχεδόν αριθμητική πραγμάτευση, ενώ τις άπειρα μικρές ποσότητες, περιγράφει ως μεταβλητές με όριο το μηδέν. Ο Cauchy χρησιμοποιούσε τον όρο «απειροστό» συνεχώς. Οι ιστορικοί ερμηνεύοντας την επαναλαμβανόμενη αυτή χρήση της έννοιας του απειροστού ισχυρίστηκαν ότι επρόκειτο απλά για ένα τρόπο έκφρασης, ότι, ούτε λίγο ούτε πολύ, ο Cauchy χρησιμοποιούσε τη λέξη «απειροστό» για να δηλώσει «τίποτα περισσότερο από μια μεταβλητή η οποία συγκλίνει προς το μηδέν». Ο Weierstrass, για να εξασφαλίσει μια λογική ακρίβεια και αυστηρότητα στα Θεμέλια της Ανάλυσης, προσπάθησε να θεμελιώσει τον Απειροστικό Λογισμό στηριζόμενος μόνο πάνω στην έννοια του πραγματικού αριθμού, την οποία και διαχώρισε εντελώς από την γεωμετρική της εποπτεία. Με την αυστηρή έννοια, οι μεταβλητές του Cauchy, είναι ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Οι άπειρα μεγάλοι αριθμοί είναι κλάσεις αυξουσών και μη συγκλινουσών ακολουθιών πραγματικών. Οι άπειρα μικρές ποσότητες, είναι κλάσεις ακολουθιών οι οποίες κατά την Weiersrtassian έννοια συγκλίνουν στο μηδέν. Κατ αυτή την έννοια τα απειροστά, τα οποία δεν μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά αριθμοί οι οποίοι καταστρατηγούν κατά κάποιον τρόπο την Αρχιμήδεια συνθήκη, στην οποία υπακούει το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Στη Γεωμετρία, όπου τα διαφορικά εκφράζονται γεωμετρικά, υπήρξε διαφωνία σχετικά με την τυπική έκφρασή τους, γιατί τα απειροστά, πέραν από αυτά της πρώτης τάξης, αγνοούνταν. Ο Abraham Robinson τo 1960 χρησιμοποιώντας μεθόδους Μαθηματικής Λογικής σε πρωτοβάθμια γλώσσα, επέκτεινε την υπάρχουσα Μαθηματική Ανάλυση με την προσθήκη του «άπειρα μεγάλου» και των «απειροστών αριθμών» όπου οι συνήθεις νόμοι της Αριθμητικής και των πραγματικών αριθμών συνεχίζουν να ισχύουν. Ο Paul du Bois-Reymond ( ) διαμορφώνει μια θεωρία σχετικά με το μαθηματικό συνεχές, στην οποία θεωρεί τις συναρτήσεις διατεταγμένες σύμφωνα με το όριο του πηλίκου τους (G. Fisher, (1981)., The infinite and infinitesimal quantities of du-bois- Reymond and their reception, Archieve for History of Exact Sciences., 24 (2) σελ Αναφέρεται στον J.Bell., The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy., Polimetrica., International Scientific Publisher, σελ.,190). Ο du Bois-Reymond συγκρίνει το σύστημα των συναρτήσεων και των «απειροτήτων τους» με αυτό των «συνηθισμένων» αριθμών. Δηλαδή εισάγει μια διαφορετική για τα μέχρι στιγμής ιστορικά δεδομένα προσέγγιση, κατά την οποία προκειμένου να συγκρίνει συναρτήσεις σχετικά με τις «απειρότητες» τους, χρησιμοποιεί το πηλίκο τους αντί τη διαφορά τους (που χαρακτηρίζει τη διάταξη των πραγματικών αριθμών). Δηλαδή εισάγει ένα κριτήριο σύγκρισης μέσω του οποίου ταξινομεί τις συναρτήσεις σε συναρτήσεις που «τείνουν» να γίνουν μηδέν, ή «τείνουν» να γίνουν άπειρες και σ αυτές που παραμένουν πεπερασμένες και διάφορες του μηδέν (ο.π.σελ.192). Το 1882, ο du Bois-Reymond στο βιβλίο του με τίτλο Die allgemeine Functionentheorie, παρουσιάζει τις απόψεις του για την ύπαρξη και τη φύση των απειροστών, όπου εξηγεί ότι για να αναλύσει κανείς την έννοια των «συνεχών μαθηματικών ποσοτήτων» πρέπει να αρχίσει με τη «γεωμετρική ποσότητα» και ότι πρέπει να συνδεθούν και άλλες ποσότητες με αυτή. Έτσι οι πεπερασμένοι δεκαδικοί προσδιορίζονται σε σχέση με ένα ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή με «σημεία». Ο συσχετισμός αυτός μεταξύ πεπερασμένων δεκαδικών και σημείων, επεκτείνεται και στους άπειρους δεκαδικούς με τη διαδικασία του ορίου. Αλλά το σύνολο τέτοιων σημείων δεν μπορεί ποτέ να συμπληρώσει ένα ευθύγραμμο τμήμα γιατί «τα σημεία είναι αδιάστατα οπότε μια οσοδήποτε πυκνή ακολουθία σημείων δεν μπορεί ποτέ να καλύψει μια απόσταση». Επομένως ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να περιέχει και «κάτι άλλο» εκτός από τους πεπερασμένους και τους άπειρους δεκαδικούς. Αυτό το «κάτι άλλο» σύμφωνα με τον Du Bois-Reymond είναι τα απειροστά τμήματα και μάλιστα «υπάρχουν άπειρα εξ αυτών μέσα σε κάθε ευθύγραμμο 8

9 τμήμα». (J.Bell., The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy., Polimetrica., International Scientific Publisher, σελ., 194). Ο Giuseppe Veronese, ( ) στο έργο του (Fondamenti di Geometria,) κατασκεύασε απείρως μεγάλα και απειροστά τμήματα, τα οποία θεώρησε ως στοιχεία ενός διατεταγμένου μη-αρχιμήδειου σώματος. Η προσέγγιση όμως αυτή παρουσίασε κάποιες ατέλειες, τις οποίες συμπλήρωσε ο μαθητής του Levi-Civita, προσεγγίζοντας το πρόβλημα αριθμητικά, ολοκληρώνοντας το οικοδόμημα αυτό το Γενικεύοντας την κατασκευή του ο Levi-Civita εισήγαγε απειροστά με έναν συνεπή τρόπο, κατασκευάζοντας το 1898 ένα μη- Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα του οποίου τα στοιχεία ήταν τυπικές δυναμοσειρές. Ο F.Klein αργότερα, στα 1908 παραθέτει ένα μη-αρχιμήδειο μοντέλο ερμηνείας των κερατοειδών γωνιών με τη βοήθεια συναρτήσεων που αναπτύσσονται σε δυναμοσειρές. Κατά πάσα πιθανότητα το μοντέλο αυτό οφείλεται στους Veronese, και Levi-Civita, αλλά δεν υπάρχει σχετική αναφορά από τον Felix Klein. Ενώ ο David Hilbert ( ) ασχολήθηκε με την θεμελίωση τόσο της Αριθμητικής όσο και της Γεωμετρίας και εισήγαγε ένα αξίωμα κατά το οποίο το σύστημα των πραγματικών αριθμών είναι ένα πλήρες Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα, σύμφωνα με τις απαιτήσεις της σύγχρονης Μαθηματικής Λογικής. Το ακόλουθο σχηματικό διάγραμμα είναι μια απεικόνιση της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας του άπειρα μικρού από τους Πυθαγόρειους μέχρι και το τέλος του 19 ου αιώνα (Β. Στεργίου, Ph.D thesis, σελ.148,149). 9

10 Ίωνες Στοχαστές & Πυθαγόρειοι (6 ος αι. π.χ) Δημόκριτος ( π.χ περίπου) Ζήνων ο Ελεάτης ( π.χ) Ακαδημία Πλάτωνα Εύδοξος ( π.χ) Μέθοδος της εξάντλησης Ομοιογενή μεγέθη & απάλειψη των απειροστών Ανομοιογενή απειροστά (άτομα ή αμερή) Αριστοτέλης ( π.χ) Δυνητικό άπειρο Παράδοξα και απάλειψη του ενεστωτικού απείρου (άπειρα μεγάλου& άπειρα μικρού) Ευκλείδης: Κερατοειδείς γωνίες (300 π.χ περίπου) Αρχιμήδης ( π.χ) Bonaventura Cavalieri: Μέθοδος των αδιαιρέτων ( ) Giles Persone de Roberval ( ) & Blaise Pascal ( ) Απειροστά & Απειροστικός Λογισμός John Wallis ( ) & Isaac Barrow ( ) Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) & Isaac Newton ( ) Ερμηνευτικά Μοντέλα του δευτέρου μισού του 19 ου αιώνα Du Bois Reymond Giuseppe Veronese ( ) ( ) David Hilbert: Μοντέλο της Γεωμετρίας με βασικό σώμα, Μη-Αρχιμήδειο, ( ) 10

11 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η σύντομη αυτή περιγραφή των ιστορικών δεδομένων εστιάζει στη διαδικασία ανάλυσης της έννοιας του απειροστού αλλά και του απείρου και αποτελεί τμήμα μιας μεγαλύτερης ενότητας πολιτογράφησης της επιστημολογίας των μαθηματικών, βασισμένης στην πρόοδο της εμπειρικής μελέτης της προηγούμενης μαθηματικής γνώσης μέσα από συγκριτικές προσεγγίσεις, στοχεύοντας στον αναστοχασμό και στην κριτική κατανόηση σύνθετων εννοιών των μαθηματικών. Η ανάπτυξη των μαθηματικών συμβάλλει στην αειφόρο ανάπτυξη, στη διαμόρφωση της σημερινής δομής του κοινωνικού ιστού και παρακολουθεί τις ραγδαίες τεχνολογικές εξελίξεις της εποχής μας για τη δημιουργία ενός βιώσιμου μέλλοντος. Με την βοήθεια της Ιστορικής εξέλιξης των μαθηματικών εννοιών και τη σύγκρισή τους με τη σημερινή τους μορφή, μπορούν να αναπτυχθούν διδακτικές μέθοδοι οι οποίες μέσα από την άτυπη απόδειξη, δίνουν στους φοιτητές την ευκαιρία να ανακαλύψουν την αναγκαιότητα της τυπικής απόδειξης. Παράδειγμα οι υπολογισμοί του Wallis, οι οποίοι δείχνουν μια συμπερασματική διαδικασία που συγκλίνει σε απλοϊκές αντιλήψεις του Απειροστικού Λογισμού, τις οποίες μερικές φορές παρατηρούμε μέσα στην τάξη. Η σύγχρονη διδακτική προσέγγιση των εννοιών του άπειρα μικρού, του άπειρα μεγάλου και της επ άπειρον διαδικασίας, μέσα από τα πλαίσια της μη-συμβατικής Ανάλυσης, οφείλεται σημαντικά και στην προσφορά του Wallis. Η ένταξη των μαθηματικών εννοιών σε μια θεωρία, οδηγεί εκ των πραγμάτων στην αποδοχή της ιστορικότητάς τους. Η Ιστορία των Μαθηματικών είναι η αναμφισβήτητη εκδοχή αυτής της άποψης, δηλαδή η συλλογική ιστορικότητα συνίσταται στην εξέλιξη της μαθηματικής γνώσης στα πλαίσια του κοινωνικού συνόλου, της πολιτισμικής πολυμορφίας και της αλληλεπίδρασής της στο σύνολο της ανθρωπότητας. Ειδικότερα βέβαια, η ιστορικότητα, αντανακλά στην ανάπτυξη και κατανόηση της μαθηματικής θεωρίας και σχετίζεται με τη διδασκαλία και τη διδακτική προσέγγιση των μαθηματικών εννοιών. Αν ερμηνεύσουμε τις αυθόρμητες αντιλήψεις των φοιτητών που συναντούμε σε μια Πανεπιστημιακή τάξη, με σκοπό τη διδακτική αξιοποίηση των ιστορικών κειμένων και την ανάλυση της επίδρασης της διδασκαλίας στη διαμόρφωση νέων απόψεων στους φοιτητές, παρατηρούμε ότι οι αντιλήψεις που διακρίνονται σήμερα στους φοιτητές, όσον αφορά στην έννοια του απειροστού και της επ άπειρον διαδικασίας, συνδέονται με αυτές που συναντούμε στην Ιστορία των Νεότερων Μαθηματικών. Οι αντίστοιχες ερμηνείες μαθηματικών θεμάτων παρουσιάζουν πολλές ομοιότητες με αυτές της σύγχρονης εποχής 3. Οι θεωρήσεις των διαφόρων εννοιών που προβλημάτισαν τους στοχαστές από το 17 ο αιώνα (εννοιών όπως του αριθμού, του μεγέθους, του απείρου και του πεπερασμένου, των αδιαιρέτων και της επ άπειρον διαίρεσης), οδήγησαν σε πολλά ερωτήματα που επικεντρώθηκαν τελικά τον 18 ο αιώνα στην κριτική της έννοιας των απειροστών ποσοτήτων, που όμως είναι τα ίδια που απασχολούν και σήμερα τους φοιτητές. Για παράδειγμα, μπορεί μια άπειρα μικρή ποσότητα να θεωρηθεί ως πολλαπλάσια ποσότητα μιας άλλης; Μπορούν όλες οι απειροστές ποσότητες να θεωρηθούν ως ποσότητες του ιδίου μεγέθους (συγκρινόμενες μεταξύ τους) και ως ομοειδείς με τις πεπερασμένες ποσότητες; Και το μέγεθος ενός αδιαιρέτου μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητο από τη διαδικασία διαίρεσης από την οποία προκύπτει; Αξίζει να επισημάνουμε ότι η ιστορική αναδρομή φαίνεται να επηρεάζει και να διαμορφώνει μέσα από τη διδακτική διαδικασία τις αντιλήψεις των φοιτητών με σκοπό την κατανόηση και ερμηνεία δύσκολων και ευαίσθητων εννοιών της κλασσικής Ανάλυσης. Η 3 Ευρεία ανάλυση των αντιλήψεων των φοιτητών, αλλά και μια σύντομη συγκριτική αντιπαράθεση των διαφόρων σύγχρονων απόψεων, παρατηρείται στην επιστημονική έρευνα που διεξήχθη στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Πατρών, κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διδακτορικής μου διατριβής: Β. Στεργίου, Ph.D thesis, «Ιστορική Εξέλιξη, Ερμηνείες και Διδακτικές Προσεγγίσεις της Έννοιας του Απειροστού»., σελ , Πάτρα

12 προσπάθεια ερμηνείας των προβληματισμών και των αντιλήψεων που σχετίζονται με τις έννοιες του άπειρα μεγάλου, του άπειρα μικρού και των επ άπειρων διαδικασιών, οδηγεί στη σύσταση ερμηνευτικών μοντέλων για τις παραπάνω έννοιες που διακρίναμε στην Ιστορία των Μαθηματικών μέσα από σύγχρονες θεωρήσεις αυτών των θεμάτων. (Β. Στεργίου και Τ. Πατρώνης., L-SIZE: Μια Αναπαράσταση Μεγέθους Ανεξάρτητη από τη Γεωμετρική Διάσταση. (Η έννοια του απειροστού είναι ανεξάρτητη από την διάσταση), «Αναπαραστάσεις και Μάθηση των Μαθηματικών», τόμος Ι, σελ , Λευκωσία 2004, εκδ. Πανεπιστημίου Κύπρου). Η εργασία αυτή στοχεύει στο δώσει μια διαφορετική προοπτική στις έννοιες που ενώ φαίνεται να αντιλαμβανόμαστε διαισθητικά, δεν είναι εύκολο να τις συνδέσουμε λογικά μεταξύ τους. Η χρήση «αμφιλεγόμενων» μαθηματικών εννοιών, όπως τα απειροστά, συνδέει τις ιστορικές αντιλήψεις με τις σύγχρονες, φωτίζοντας τις δυσκολίες αυτές εννοιολογικά. Η καταγραφή των ιστορικών στοιχείων δίνει τη δυνατότητα της συγκριτικής ανάλυσης, του αναστοχασμού, της επανεκτίμησης ερευνητικών συμπερασμάτων, της διαμόρφωσης των αντιλήψεων και της επανατοποθέτησης στόχων διδασκαλίας εννοιών της Ανάλυσης που είναι η αφετηρία ανάπτυξης της Μαθηματικής επιστήμης. Φιλοσοφικά, ένας τέτοιος απολογισμός μπορεί να προσαρμόσει αρμονικά τις διάφορες προσεγγίσεις. Τέλος, η Ιστορία των Μαθηματικών, ως βάση της Φιλοσοφίας των Επιστημών αλλά και της Τεχνολογίας είναι ο συνδετικός κρίκος μεταξύ επιστήμης και ανθρωπότητας. Τα ιστορικά στοιχεία είναι αναπόσπαστα στοιχεία της ανάπτυξης της γνώσης, του πολιτισμού και της κοινωνίας και είναι εννοιολογικά και θεωρητικά η προσφορότερη περιοχή για φιλοσοφική ανάλυση. Τα ιστορικά στοιχεία προβάλλουν φιλοσοφικές, οικονομικές και κοινωνικές προεκτάσεις και βάζουν τη βάση για ανάπτυξη και κατανόηση της οικονομικής και κοινωνικής ιστορίας. Η φιλοσοφία των επιστημών διερευνά τις έννοιες, το θεωρητικό υπόβαθρο και τη μεθοδολογία των επιστημών εξερεύνηση που θα εμπλουτίσει τη μελέτη και κατανόηση της φύσης της επιστήμης και της σημερινής κυριαρχίας της ως μέσο για την απόκτηση γνώσης. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Αναπολιτάνος, Δ., (1985) Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, εκδόσεις Νεφέλη. Δημόκριτος, (2004) Μαθηματικά Φυσικές Επιστήμες, Αστρονομία-Κοσμολογία Της Ατομικής Θεωρίας, εκδ. Ζήτρος. Δρόσος, Κ., (1999) Εισαγωγή στη Μαθηματική Σκέψη, τομ. 1ος : Μαθηματικές Περιηγήσεις, Πάτρα. Στεργίου Β., Πατρώνης Τ., (2005) L-SIZE: Μια Αναπαράσταση Μεγέθους Ανεξάρτητη από τη Γεωμετρική Διάσταση, Αναπαραστάσεις και Μάθηση των Μαθηματικών., τόμος Ι, Λευκωσία, εκδ. Πανεπιστημίου Κύπρου. Baron, Margaret., (1969) The Origins Of The Infinitesimal Calculus, εκδ. Dover. Bell, John.,(2005) The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy., Polimetrica., International Scientific Publisher. Boyer, Carl., (1959) The History of The Calculus and its Conceptual Development, εκδ.dover. Fisher, G., (1978) Cauchy and the Infinitely Small. Historia Mathematica 5, pp Heath, T.L. (1963) The 13 Books of Euclid s, proposition III.16., τόμος 2 ος εκδ..,dover. Katz., Victor., (1998) A History of Mathematics, 2 nd edition, eds. Addison Wesley. Kline, M., (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 3 volumes., Oxford University. Mancosu, Paolo, (1989) Historia Mathematica., The Metaphysics of the Calculus: A Foundational Debate in the Paris Academy of Sciences, , τεύχος 16., εκδ., Academic Press. 12

13 R.H.Moorman, R.H. (1944), The Influence of Mathematics on the Philosophy of Leibniz, National Mathematics Magazine, Vol.19, Issue 3. Pascal, Blaise, (2005) Η Τέχνη της Πειθούς., μετάφραση Δ. Κουτσουρή., επιστημ. επιμέλεια Τ. Μηχαηλίδης., εκδ., Ροές. Taylor, T., (1788), Ι, The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus, 2 vols, London. 13

14 ΟΙ ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ/ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΥ/-ΚΗΣ ΝΗΠΙΑΓΩΓΟΥ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΦΕ Μαρία Γιαλλούση b, Βασίλης Γιαλαμάς a, Βασίλης Τσελφές a a Καθηγητής ΤΕΑΠΗ/ΕΚΠΑ, b Δρ Παιδαγωγικά-Εκπαιδευτική Έρευνα Σκοπός της μελέτης υπήρξε η αξιολόγηση των πεποιθήσεων των φοιτητών στο ΤΕΑΠΗ/ΕΚΠΑ, το , για τα χαρακτηριστικά του/της αποτελεσματικού νηπιαγωγού στη διδασκαλία του μαθήματος των Φυσικών Επιστημών (ΦΕ). Στο πλαίσιο του μετα-θετικιστικού παραδείγματος (Hanson et. al., 2005) εφαρμόστηκε ένας διαδοχικός σχεδιασμός μικτής έρευνας και ελήφθησαν υπόψη τα αποτελέσματα σχετικών ερευνών σε άλλες χώρες. Η περιγραφική στατιστική ανάλυση στα δεδομένα των δύο (πριν και μετά) μετρήσεων των πεποιθήσεων για την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας ανέδειξε δύο ακραίες ομάδες φοιτητών, την ομάδα στην οποία οι πεποιθήσεις βελτιώθηκαν και εκείνη στην οποία χειροτέρευσαν. Οι δύο ποιοτικές τεχνικές ανάλυσης οι οποίες εφαρμόστηκαν στα κείμενα των συνεντεύξεων, όπου το διατυπωθέν ερώτημα υπήρξε «Τι σημαίνει να είσαι αποτελεσματικός στη διδασκαλία των ΦΕ;», ανέδειξαν έξι θέματα-χαρακτηριστικά. Η «επαρκής διδασκαλία» αναδείχθηκε ως το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό και στις δύο ομάδες των φοιτητών The purpose of the study was the evaluation of students' beliefs in Early Childhood Education Department/ University of Athens, in , for the features of kindergarten teacher's effective science teaching. In accordance with the post-positivist paradigm (Hanson et. al., 2005) a sequential mixed design research was applied. The results of relevant research in other countries were taken into account. Descriptive statistical analysis of the data from the two (pre and post) measurements of beliefs about effectiveness revealed two extreme students groups: the group in which the beliefs were improved and that to which worsened. Two qualitative analysis techniques were implemented in the texts of the interviews, where the formulated question was "What it means to be effective in teaching science?", revealed six themes-characteristics. The "competent teaching" emerged as the most important feature in both students groups. 14

15 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα έρευνα μικτών μεθόδων είχε σκοπό μεταξύ άλλων την αξιολόγηση των πεποιθήσεων των φοιτητών στο ΤΕΑΠΗ/ΕΚΠΑ, το , για τα χαρακτηριστικά του/της αποτελεσματικού νηπιαγωγού στη διδασκαλία του μαθήματος των Φυσικών Επιστημών (ΦΕ). Η συνολική διδακτική πρόταση του μαθήματος επιλογής Α εξαμήνου Οι έννοιες των ΦΕ που παρακολούθησαν οι φοιτητές που συμμετείχαν στην έρευνα υιοθέτησε μια κονστρουξιονιστική προσέγγιση συνδυασμένη με ιδέες του κοινωνικού κοντρουκτιβισμού (Hacking, 1999). Το κεντρικό ερώτημα της έρευνας υπήρξε: ««Τι σημαίνει να είσαι αποτελεσματικός στη διδασκαλία των ΦΕ;». Στο πλαίσιο του μετα-θετικιστικού παραδείγματος (Hanson et. al., 2005) εφαρμόστηκε ένας σχεδιασμός μικτής έρευνας και ελήφθησαν υπόψη τα αποτελέσματα σχετικών ερευνών σε άλλες χώρες. Ειδικότερα, στην παρούσα έρευνα μικτών μεθόδων ο σχεδιασμός υπήρξε διαδοχικός με τη χρήση ένθετων δειγμάτων (Γιαλλούση κι άλ. 2012). Αυτός αρχικά περιελάμβανε τη συλλογή και την κατάλληλη ανάλυση των ποσοτικών δεδομένων. Η σκόπιμη δειγματοληψία που βασίστηκε στους συμμετέχοντες φοιτητές στην ποσοτική φάση τροφοδότησε στη συνέχεια τη διεξαγωγή της ποιοτικής φάσης, καθώς και την μικτών μεθόδων ανάλυση των στοιχείων της έρευνας. (Γιαλλούση κι άλ. 2013, Giallousi, Tselfes, & Gialamas, 2014). 2. ΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΙΚΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ (ΜΜΕ) 2.1 ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΦΑΣΗ Οι φοιτητές που συμμετείχαν στην ποσοτική φάση ήταν 98, στη συντριπτική πλειοψηφία τους δε ήταν γυναίκες, οι οποίες επέλεξαν να παρακολουθήσουν στο Α εξάμηνο το μάθημα Οι έννοιες των ΦΕ. Μεταξύ των ερωτημάτων που διερευνήθηκαν αυτό που σχετίζεται με το προαναφερθέν αντικείμενο έρευνας σε αυτή τη φάση ήταν το εξής: "Ποιες υπήρξαν οι πριν και μετά την παρακολούθηση του μαθήματος Οι έννοιες των ΦΕ πεποιθήσεις των φοιτητριών ως προς την αποτελεσματικότητά τους στη διδασκαλία των ΦΕ, μελλοντικά; Για την διερεύνηση του ερωτήματος χρησιμοποιήθηκαν ένα ερωτηματολόγιο 5-βαθμης κλίμακας Likert το οποίο διερευνούσε τις Πεποιθήσεις Αποτελεσματικότητας των φοιτητριών, με τις κλίμακες Πεποιθήσεις αυτό- Αποτελεσματικότητας (ΠαΑπ) και Προσδοκίας Αποτελέσματος (ΠρΑπ). Οι Παραγοντικές Αναλύσεις που έγιναν στα ερευνητικά δεδομένα και η αξιοποίηση κατάλληλων κριτηρίων, με μονάδα ανάλυσης την φοιτήτρια, απέδειξαν την εγκυρότητα των παραγόντων που αντιστοιχούσαν στις κλίμακες του ερωτηματολογίου. Τα δεδομένα από τις δύο μετρήσεις της ποσοτικής φάσης αξιοποιήθηκαν κατάλληλα με σκοπό να αναδειχτούν κυρίως οι δύο ομάδες φοιτητριών με ακραίες αλλαγές στις πεποιθήσεις τους (και η ενδιάμεση ομάδα). Συγκεκριμένα, η ομάδα με θετική εξέλιξη στις πεποιθήσεις της (οι πεποιθήσεις βελτιώθηκαν) και η ομάδα με αρνητική εξέλιξη στις 15

16 πεποιθήσεις της (οι πεποιθήσεις χειροτέρευσαν). Οι ομάδες ορίστηκαν αντίστοιχα ως αυτές για τις οποίες η διαφορά των πριν από τις μετά πεποιθήσεις κάθε ατόμου αυτής της ομάδας υπήρξε αντίστοιχα μεγαλύτερη και μικρότερη από το μισό της τυπικής απόκλισης των διαφορών προσαυξημένης με τη μέση διαφορά του δείγματος (Πίνακας 1). Πίνακας 1: Ο αριθμός των φοιτητριών των δύο ομάδων ακραίας εξέλιξης πεποιθήσεων και οι αντίστοιχες μέσες μεταβολές τους Αριθμός φοιτητριών/[μέση Μεταβολή] ΟΜΑΔΕΣ Πεποιθήσεων ΕΞΕΛΙΞΗ Πεποιθήσεις Αυτό- Αποτελεσματικότητας (ΠαΑπ) Προσδοκία Αποτελέσματος (ΠρΑπ) Θετικής εξέλιξης Μ.Τ+ 0.5*τ.α < διαφ 10 / [1,10] 8 / [1,12] Αρνητικής εξέλιξης διαφ < Μ.Τ -0.5*τ.α 8 / [-2,63] 7 / [-2] 2.2 ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΦΑΣΗ Η ποιοτική φάση περιελάμβανε τη λήψη συνεντεύξεων από 10 φοιτήτριες (6 από την ομάδα με αρνητική εξέλιξη και 4 από την ομάδα με θετική εξέλιξη στις πεποιθήσεις τους) που δέχτηκαν να συμμετέχουν στην έρευνα. Το φαινομενολογικό μοντέλο - μία φαινομενολογική μελέτη εστιάζει στην ουσία ή στη δομή μίας εμπειρίας (Goetz & Lecompte, 1984) - υπήρξε το υπόβαθρο στη διατύπωση του ερωτήματος καθώς και στην εις βάθος ερμηνεία των συνεντεύξεων. Στις φοιτήτριες και των δύο ομάδων διατυπώθηκε το ερώτημα: - «Τι σημαίνει να είσαι αποτελεσματική στη διδασκαλία των ΦΕ;». Οι ποιοτικές τεχνικές ανάλυσης που εφαρμόστηκαν στα κείμενα των επιμελώς απομαγνητοφωνημένων συνεντεύξεων υπήρξαν δύο: της σταθερής σύγκρισης και της κλασικής ανάλυσης περιεχομένου. Τα επικρατέστερα ευρήματα του ερωτήματος αναφορικά με τις απόψεις των φοιτητριών για τα χαρακτηριστικά της αποτελεσματικής νηπιαγωγού στη διδασκαλία των ΦΕ και την υπάρχουσα σχετική βιβλιογραφία (Witcher, Onwuegbuzie, & Minor, 2001) ανέδειξαν έξι θέματα, με τίτλους: 1) ενθουσιώδης με τη διδασκαλία, 2) τηρεί ηθικούς κανόνες και αρχές, 3) αποτελεσματική διαχείριση της τάξης και των συμπεριφορών, 4) διδάσκει μαθητο-κεντρικά, 5) καλή γνώση αντικειμένου, και 6) επαρκής διδασκαλία των ΦΕ. 16

17 Διδάσκει μαθητό-κεντρικά Επαρκής διδασκαλία ΠΡΑΚΤΙΚΑ : 7oυ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΘΝΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ 3. ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΜΕ ΓΙΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ-ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗΣ ΝΗΠΙΑΓΩΓΟΥ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΦΕ Οι ορισμοί των θεμάτων καθώς και τα παραδείγματα των περιγραφικών όρων και των φράσεων που παρατίθενται για κάθε ένα θέμα αντλήθηκαν από αντίστοιχου αντικειμένου έρευνες (Minor et al., 2002; Witcher et al., 2001). Οι πεποιθήσεις των φοιτητριών και των δύο ομάδων για τα χαρακτηριστικά της αποτελεσματικής νηπιαγωγού βρέθηκαν να είναι πολλαπλών διαστάσεων (βλέπε παραδείγματα κωδικών στον Πίνακα 2), συνεπείς με τα ευρήματα των προαναφερθέντων ερευνών (Πίνακας 2). Πίνακας 2: Θέματα και κωδικοί των χαρακτηριστικών της αποτελεσματικής νηπιαγωγού Θέματα Ορισμός / περιγραφικοί όροι (Minor et al., 2002; Witcher et al., 2001) Η νηπιαγωγός μεταδίδει κρίσιμες πληροφορίες με σαφήνεια και ακρίβεια, προσφέρει σχετικά παραδείγματα, ενσωματώνει ποικίλες τεχνικές επικοινωνίας για την προώθηση της απόκτησης της γνώσης και της εμπειρίας. / «δημιουργικότητα», «ανοιχτή σε καινούργιο ύφος διδασκαλίας», «σαφήνεια στη διδασκαλία του μαθήματος», «ικανότητα να προκαλεί το ενδιαφέρον του παιδιού». Κωδικοί (παραδείγματα) στην παρούσα μελέτη ο τρόπος που διδάσκει, οι δραστηριότητες, το παιχνίδι, η μεταδοτικότητα, δίνει στα παιδιά τις αφορμές για να μαθαίνουν μόνα τους, δεν μεταδίδει στα παιδιά αυτό που θέλει να καταλάβουν, Βελτίωση Ενδιαφέροντος/Συμμετοχής/Ευχαρί στησης, Απόκτηση γνώσεων, Βιωματική μάθηση, Συμμετοχή αλλά όχι για να αρέσουν, Στοιχειώδης κατανόηση, Η νηπιαγωγός τοποθετεί τα παιδιά στο κέντρο της διαδικασίας μάθησης, δίνει προτεραιότητα στη διδασκαλία που ανταποκρίνεται στη διαφορετικότητα και τα ενδιαφέροντα των μαθητών της, είναι κάτοχος δυνατών επικοινωνιακών δεξιοτήτων./ («αγάπη για τα παιδιά», «υποστηρικτική», «τα φροντίζει» «υπομονετική») τα παιδιά μπορεί να τροποποιήσουν την πορεία του μαθήματος, ανατροφοδότηση γι αυτό που μπορούν: να κάνουν τα παιδιά, να καταλάβουν τα παιδιά, να καταλαβαίνουν, να βοηθάει τα παιδιά: να καταλαβαίνουν τι τους διδάσκει, να αντιλαμβάνονται τα φυσικά φαινόμενα γύρω τους 17

18 Ενθουσιώδης με τη διδασκαλία Καλή γνώση γνωστικού αντικειμένου Τηρεί ηθικούς κανόνες, αρχές Αποτελεσματική διαχείριση της τάξης και συμπεριφορών ΠΡΑΚΤΙΚΑ : 7oυ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΘΝΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Η νηπιαγωγός οργανώνει το χρόνο της αποτελεσματικά, βελτιστοποιεί τις πηγές για να δημιουργεί ένα ασφαλές και ομαλό μαθησιακό περιβάλλον./ «καλή στην επιβολή πειθαρχίας», «παρατηρητική», «με ηγετικές ικανότητες» «είναι σε εγρήγορση». προετοιμάζεται, σωστή διεκπεραίωση, εμπιστοσύνη στις ικανότητές της, καταλαβαίνει με τον τρόπο της, ανατροφοδότηση αισθήματος σιγουριάς από αποτελέσματα Η νηπιαγωγός επιδεικνύει συνοχή στην εφαρμογή πολιτικών στην τάξη, ανταποκρίνεται στις ανησυχίες των παιδιών και στις συμπεριφορές τους, παρέχει ίδιες ευκαιρίες στα παιδιά να αλληλεπιδρούν./ «αμερόληπτη», «τίμια» «αντικειμενική», «δίκαιη». αποφυγή διακρίσεων, μη υποτίμηση παιδιών, ειλικρινής διάλογος Παραδείγματα περιγραφικών όρων και φράσεων που σχετίζονται με το χαρακτηριστικό είναι «διδάσκει αποτελεσματικά και γνωρίζει υλικά», «καλή γνώση αντικειμένου». στοιχειώδης γνώση ΦΕ, γνώση διεξαγωγής πειραμάτων Η ενθουσιώδης με τη διδασκαλία νηπιαγωγός παρουσιάζει μεράκι ιδιαίτερα κατά την παράδοση των μαθημάτων, και στην παρουσίαση του πεδίου, γενικότερα. / «αγάπη για το μάθημα», «αφοσίωση», «ακούραστη» και «πρόθυμη». θέληση γι αυτό που κάνει, προθυμία. Το στάδιο της ποσοτικοποίησης (quantitizing) των θεμάτων επέτρεψε τον υπολογισμό της συχνότητας του κάθε θέματος (Onwuegbuzie & Teddlie 2003; Tashakkori & Teddlie 1998). Από αυτές τις συχνότητες υπολογίστηκαν τα ποσοστά επικράτησης κάθε θέματος τα οποία λειτούργησαν ως μετρήσεις των μεγεθών δηλωτικής επίδρασης. 18

19 Πίνακας 3: Μεγέθη Έντασης της Επίδρασης και Κατανομή Συχνότητας για τα 6 θέματα που σχετίζονται με τα χαρακτηριστικά της αποτελεσματικής νηπιαγωγού, σύμφωνα με τις φοιτήτριες των οποίων οι πεποιθήσεις βελτιώθηκαν (Β). ΘΕΜΑ Αριθμός κωδικών ανά θέμα Συχνότητα Εμφάνισης κωδικού Μεγέθη Έντασης Επίδρασης 1 Ενθουσιώδης με τη διδασκαλία % 2 Διδάσκει μαθητο-κεντρικά % 3 Τηρεί ηθικούς κανόνες & αρχές % 4 Αποτελεσματική διαχείριση τάξης και συμπεριφορών % 5 Καλή γνώση του αντικειμένου % 6 Επαρκής διδασκαλία % Πίνακας 4: Μεγέθη Έντασης της Επίδρασης και Κατανομή Συχνότητας για τα 6 θέματα που σχετίζονται με τα χαρακτηριστικά της αποτελεσματικής νηπιαγωγού, σύμφωνα με τις φοιτήτριες των οποίων οι πεποιθήσεις χειροτέρεψαν (Χ). ΘΕΜΑ Αριθμός κωδικών ανά θέμα Συχνότητα Εμφάνισης κωδικού Μεγέθη Έντασης Επίδρασης 1 Ενθουσιώδης με τη διδασκαλία % 2 Διδάσκει μαθητο-κεντρικά % 3 Τηρεί ηθικούς κανόνες & αρχές % 4 Αποτελεσματική διαχείριση τάξης και συμπεριφορών % 5 Καλή γνώση του αντικειμένου % 6 Επαρκής διδασκαλία % 19

20 Πίνακας 5: Μεγέθη Έντασης της Επίδρασης για τα 6 θέματα που σχετίζονται με τα χαρακτηριστικά της αποτελεσματικής νηπιαγωγού, σύμφωνα με τις φοιτήτριες των οποίων οι πεποιθήσεις βελτιώθηκαν και χειροτέρευσαν. Κατάταξη των αποτελεσμάτων. ΟΙ ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ΒΕΛΤΙΩΘΗΚΑΝ (Β) ΧΕΙΡΟΤΕΡΕΥΣΑΝ (Χ) 1 Ενθουσιώδης με τη διδασκαλία 00.00% 6η 02.68% 6η 2 Διδάσκει μαθητο-κεντρικά 20.00% 2η 16.78% 2η 3 Τηρεί ηθικούς κανόνες & αρχές 00.87% 5η 07.38% 4η 4 Αποτελεσματική διαχείριση τάξης και συμπεριφορών 15.65% 3η 06.04% 5η 5 Καλή γνώση του αντικειμένου 05.22% 4η 10.74% 3η 6 Επαρκής διδασκαλία 58.26% 1η 56.37% 1η 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΛΟΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΕΩΝ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΩΝ Στην παρούσα μελέτη οι φοιτήτριες και των δύο ομάδων έφεραν στην πρώτη θέση των γνωρισμάτων της αποτελεσματικής διδασκαλίας των ΦΕ στο νηπιαγωγείο εκείνο της επαρκούς διδασκαλίας και την περιέγραψαν με στοιχεία που θα μπορούσαν να αντιστοιχηθούν σε εκείνα της σχετικής βιβλιογραφίας (Witcher et al., 2001, σελ. 53) όπως «δημιουργικότητα», «ανοιχτή σε καινούργιο ύφος διδασκαλίας», «σαφήνεια στη διδασκαλία του μαθήματος», «ικανότητα να προκαλεί το ενδιαφέρον του παιδιού». Επισημαίνεται ότι οι διαφορετικές απόψεις των φοιτητριών των δύο ομάδων για τη μεθοδολογία τους στη διδασκαλία απέρρεαν από τη διαφορά που χαρακτήριζε τις απόψεις τους για τη φύση του μαθήματος των ΦΕ. Οι φοιτήτριες που οι πεποιθήσεις αποτελεσματικότητάς τους χειροτέρεψαν φαίνεται ότι διατήρησαν την άποψη για τη μετάδοση της γνώσης των ΦΕ κατά τη διάρκεια του μαθήματος στα παιδιά περισσότερο από τις συμφοιτήτριές τους που οι πεποιθήσεις αποτελεσματικότητάς τους βελτιώθηκαν. Λεμονιά (X): «Η νηπιαγωγός παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στο αν θα το κατανοήσει το παιδί... Γιατί δεν είναι ότι το παιδί θα κάτσει μόνο του να διαβάσει κάτι και να το καταλάβει. Είναι το πώς θα του το δείξει, πώς θα το οδηγήσει, πώς θα του το μεταδώσει.» 20