1 Εισαγωγή. 1.1 Ιστορικά. 1.2 Πλαίσιο

Transcript

1 1 Εισαγωγή 1.1 Ιστορικά Θεωρώ αρκετά ασφαλές να ορίσω ως τη χρονική έναρξη της σύγχρονης θεωρίας Αυτομάτου Ελέγχου τις αρχές της δεκαετίας του Την περίοδο αυτήν οι ανάγκες επίλυσης προβλημάτων του διαστημικού προγράμματος της NASA (αλλά και της αντίστοιχης Σοβιετικής υπηρεσίας) απετέλεσαν το γόνιμο έδαφος πάνω στο οποίο αναπτύχθηκαν προχωρημένες τεχνικές πολυμεταβλητών συστημάτων. Εκ των κυρίων ερευνητών της περιόδου αυτής είναι ο R. E. Kalman, στον οποίο αποδίδεται η θεμελίωση της κλασικής θεωρίας γραμμικών πολυμεταβλητών συστημάτων σε δομή χώρου κατάστασης. Η δουλειά του R. Bellman στον τομέα του δυναμικού προγραμματισμού και του ontryagin στον βέλτιστο έλεγχο, συμπληρώνουν τους βασικούς ερευνητές της σύγχρονης θεωρίας βέλτιστου ελέγχου γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων. Μία γεωμετρική προσέγγιση του θέματος δίδεται από τον Wonham. Η περίοδος αυτή χαρακτηρίζεται επίσης από μία διαμάχη, με τα δύο μέρη να είναι τοποθετημένα εκατέρωθεν του Ατλαντικού, ως προς το ποιος είναι ο καταλληλότερος χώρος για την ανάλυση και σύνθεση των πολύπλοκων συστημάτων: ο χρόνος ή η συχνότητα; Όμως τα «κλασικά» ερωτήματα παραμένουν καθώς οι μέθοδοι αυτές δεν δίνουν πειστικές απαντήσεις στο πρόβλημα της ευρωστίας, δηλαδή της ικανοποιητικής απόδοσης σε συνθήκες αβεβαιότητας. Στις αρχές της δεκαετίας του 1980 μπορεί κανείς να διακρίνει την αρχή μιας νέας περιόδου της θεωρίας του Αυτομάτου Ελέγχου. Η δουλειά του Zames περί του ελέγχου = σηματοδοτεί τη χρήση νορμών ως κριτήριο απόδοσης των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου και εισάγει την αβεβαιότητα αναλυτικά στο μαθηματικό υπόδειγμα. Οι πρώτες απόπειρες επίλυσης των δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων, τις οποίες η νέα προσέγγιση δημιουργεί, χρησιμοποιούν το δοκιμασμένο υπόδειγμα του χώρου κατάστασης στο πεδίο του χρόνου, αλλά αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες. Ο Doyle, χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση του Youla, λύνει ένα πρόβλημα Nehari, και προτείνει την πρώτη λύση στο γενικό, ρητό πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου =. Όμως το σημαντικό βήμα περιγράφεται στη δημοσίευση DGKF (Doyle, Glover, Khargonekar, Francis) το 1989, η οποία εκτός των άλλων, συμφιλιώνει την παλιά έριδα χρόνου και συχνότητας, παρουσιάζοντας μια λύση η οποία χρησιμοποιεί στοιχεία και από τις δύο προσεγγίσεις. Έκτοτε, νέα προβλήματα αναζητούν λύσεις και παλαιά προβλήματα αναδιατυπώνονται και λύνονται πιο αποδοτικά. Η γραμμική θεωρία επεκτείνεται στη μη γραμμική περιοχή, η πεπερασμένη διάσταση δεν α- ποτελεί περιορισμό, χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα μπαίνουν στο παιγνίδι και ούτω καθεξής. 1.2 Πλαίσιο Στα επόμενα κεφάλαια θα παρουσιαστεί ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να υλοποιηθούν τα τελευταία αποτελέσματα από τη θεωρία του Ελέγχου Συστημάτων. Στην ενότητα αυτή θα δώσω το γενικό πλαίσιο στο οποίο θα κινηθώ. Αν ο αναγνώστης δεν είναι εξοικειωμένος με κάποιες από τις έννοιες, ας μην αποθαρρυνθεί. Οι έννοιες αυτές θα αναλυθούν διεξοδικά στη συνέχεια. Ως «σύστημα» θα θεωρήσω μαθηματικές αναπαραστάσεις φυσικών διαδικασιών. Συγκεκριμένα θα θεωρήσω ότι το σύστημα είναι μία απεικόνιση, η οποία συσχετίζει μία συνάρτηση εισόδου (t) με μία συνάρτηση εξόδου (t): (t)=[(t)] Σχηματικά θα εκφράσω το σύστημα αυτό με το ακόλουθο δομικό διάγραμμα: ~ 15 ~

2 Σχήμα 1.1 Στοιχειώδες δομικό διάγραμμα. Κάποιοι συγγραφείς σχεδιάζουν το Σχ. 1.1 με αντίστροφη φορά βελών, δηλαδή, Σχήμα 1.2 Αντίστροφο στοιχειώδες δομικό διάγραμμα. Ο λόγος είναι ότι επειδή ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, δηλαδή, (s)(s) (s)(s) (όταν και οι δύο πολλαπλασιασμοί επιτρέπονται από τις διαστάσεις των, ), το Σχ. 1.2 δηλώνει την πράξη (s)=(s)(s) (η (s) εξ αριστερών του (s)), ενώ το Σχ. 1.1 την (s)=(s)(s) (η (s) εκ δεξιών του (s)). Μεταξύ των πολλών κατηγοριών απεικονίσεων (συστημάτων) και συναρτήσεων εισόδου-εξόδου θα περιοριστώ σε: Γραμμικά, αιτιατά, χρονικά αμετάβλητα συστήματα πεπερασμένης διάστασης. Τα συστήματα αυτά αναπαρίστανται στο πεδίο της συχνότητας με τελεστές οι οποίοι ανήκουν στον χώρο G= 2 των ρητών, αυστηρά πρεπουσών συναρτήσεων μεταφοράς. Σήματα πεπερασμένης ενέργειας ή σήματα 2. Με τον όρο «έλεγχο» ή «αντιστάθμιση» εννοώ ένα άλλο (υπο)σύστημα K το οποίο συνδεδεμένο κατάλληλα με το θα ελαχιστοποιεί κάποιο κριτήριο επιθυμητής συμπεριφοράς του συνολικού συστήματος ( και Κ). Στο Σχ. 1.3 φαίνεται το δομικό διάγραμμα της προκύπτουσας αρχιτεκτονικής. Κ Σχήμα 1.3 Δομικό διάγραμμα ελεγκτή-εγκατάστασης. Η δομή αυτή ίσως να παραξενέψει αυτούς οι οποίοι είναι συνηθισμένοι στα «κλασικά» δομικά διαγράμματα, όπως αυτό του Σχ ~ 16 ~

3 e(s) d(s) r(s) C(s) u(s) u d (s) G(s) y(s) y n (s) n(s) Σχήμα 1.4 Κλασικό δομικό διάγραμμα συστήματος με ανατροφοδότηση. Όπως όμως θα δείξω, το Σχ. 1.4 μπορεί να μετατραπεί στο Σχ. 1.3, και τα κλασικά κριτήρια σχεδίασης (εύρος ζώνης, κορυφή συντονισμού κ.λπ) μπορούν να εκφραστούν στο πλαίσιο βελτιστοποίησης κάποιας νόρμας της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου T. Για να έχει μία τέτοια προσέγγιση νόημα, το θα πρέπει να αναπαριστά μεταβλητές οι οποίες πρέπει να διατηρηθούν «μικρές», ενώ και το θα πρέπει να είναι έτσι ορισμένο ώστε να είναι «μικρό». Στη θεωρία η οποία θα ακολουθήσει, θα παρουσιαστούν οι γνωστές τεχνικές σχεδίασης (τοποθέτηση πόλων, γραμμικός τετραγωνικός ρυθμιστής, κ.λπ.) και μέσω του εντοπισμού των αδυναμιών τους θα οδηγηθούμε σταδιακά στη σχεδίαση με βάση νόρμες του Τ. Ειδικότερα, θα παρουσιαστούν τεχνικές σχεδίασης με βάση τις νόρμες = 2 και =. Η νόρμα = έχει ένα πλεονέκτημα: προκύπτει ως η επαγόμενη νόρμα όταν τα σήματα, ανήκουν στον χώρο 2, είναι δηλαδή σήματα με πεπερασμένη ενέργεια (σημ.: η νόρμα = 2 δεν είναι επαγόμενη και δεν υπακούει στην υποπολλαπλασιαστική ιδιότητα). Η ιδιότητα αυτή, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι είναι μικρότερη από τη μονάδα, εξασφαλίζει την ισχύ του «θεωρήματος της μικρής απολαβής». Το θεώρημα αυτό είναι η βάση για την ανάλυση και σύνθεση συστημάτων με αβεβαιότητα. Η φυσική σημασία της χρήσης της νόρμας = είναι ότι: Η ελαχιστοποίησή της ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση της μέγιστης απολαβής του συστήματος (ως προς την ενέργεια). Αν το είναι οποιοδήποτε 2 σήμα, τότε ελαχιστοποίηση της νόρμας = ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση της χειρότερης επίδρασης του επί της ενέργειας του. Η δυνατότητα της ανάλυσης και σύνθεσης συστημάτων με αβεβαιότητα με τη χρήση της νόρμας = έχει συμβάλει στην περαιτέρω εξάπλωση των εφαρμογών των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Η αβεβαιότητα γενικά είναι μία κατάσταση η οποία προκύπτει επειδή: Οι αρχικές συνθήκες του συστήματος δεν είναι επακριβώς γνωστές. Το σύστημα υπόκειται σε διαταραχές από το περιβάλλον του και η εκάστοτε επιθυμητή κατάσταση του δεν είναι γενικά γνωστή εκ των προτέρων. Το μαθηματικό υπόδειγμα της διαδικασίας είναι ανεπαρκές, είτε λόγω απλοποίησης, είτε λόγω λανθασμένων τιμών των παραμέτρων. Έτσι, ο στόχος του ελέγχου μπορεί να προσδιοριστεί ως: Να βρεθεί ένας αντισταθμιστής ανατροφοδότησης τέτοιος ώστε να ελαχιστοποιείται η επίδραση των άγνωστων αρχικών συνθηκών και των εξωτερικών διαταραχών στη συμπεριφορά του συστήματος, υπό τον περιορισμό της μη ακριβούς αναπαράστασης του συστήματος. ~ 17 ~

4 Για την επίτευξη του στόχου θα μελετηθούν δύο προβλήματα: Πρόβλημα ανάλυσης: δοθέντος του ελεγκτή, να υπολογιστεί αν τα υπό ρύθμιση σήματα (σφάλμα, έλεγχος) ικανοποιούν τις επιθυμητές ιδιότητες για κάθε αποδεκτή διαταραχή και αβεβαιότητα. Πρόβλημα σύνθεσης: σχεδίαση ενός ελεγκτή τέτοιου ώστε τα υπό ρύθμιση σήματα να ικανοποιούν τις επιθυμητές ιδιότητες για κάθε αποδεκτή διαταραχή και αβεβαιότητα. Για την επίλυση των προβλημάτων αυτών, το σύστημα θα αναπαρασταθεί σχηματικά από το διάγραμμα δύο θυρών του Σχ Δ u y Κ Σχήμα 1.5 Διάγραμμα δύο θυρών με μπλοκ αβεβαιότητας. Πιο τυπικά: ας εκφράσω τον πίνακα συνάρτησης μεταφοράς από την είσοδο στην έξοδο, ως T, και ας υποθέσω ότι η αποδεκτή αβεβαιότητα Δ ικανοποιεί την, 1 σ (Δ) < γ για κάποιο γ u >0. Τότε το πρόβλημα της ανάλυσης είναι: δοθέντος του Κ, να απαντηθεί αν το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές για όλες τις αποδεκτές Δ και T γ p για κάποιο προδιαγεγραμμένο γ p. Το πρόβλημα της σύνθεσης είναι η εύρεση του αντισταθμιστή Κ, έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι προαναφερθείσες απαιτήσεις. Τέλος θα χρησιμοποιήσω την ακόλουθη ορολογία: Ονομαστική απόδοση: Το σύστημα ικανοποιεί τις προδιαγραφές απόδοσης θεωρώντας το μαθηματικό υπόδειγμα ακριβές («βέβαιο»). Κατ ακολουθία ορίζεται και η ονομαστική ευστάθεια. Στιβαρή απόδοση: Το σύστημα ικανοποιεί τις προδιαγραφές απόδοσης για κάθε αποδεκτή αβέβαιη εγκατάσταση. Όπως θα φανεί στη συνέχεια, το πλαίσιο του ελέγχου = ενοποιεί την επίλυση των δύο αυτών προβλημάτων. Είναι προφανές ότι κάποια συστήματα (ίσως τα περισσότερα) δεν πληρούν τις προαναφερόμενες προϋποθέσεις. Στις περιπτώσεις αυτές, το πρόβλημα θα πρέπει να αναδιατυπωθεί, ίσως μέσω κατάλληλων μετασχηματισμών ή συναρτήσεων βαρών, έτσι ώστε να μπορεί να επιλυθεί στο πλαίσιο του ελέγχου =. Τέλος ας σημειωθεί ότι η προσέγγιση αυτή (η οποία δεν είναι φυσικά μοναδική) προσπαθεί να απα- u ~ 18 ~

5 ντήσει καλύτερα από τις προηγούμενες στο μόνιμο ερώτημα το οποίο θέτει η θεωρία αυτομάτου ελέγχου: πώς δηλαδή θα σχεδιαστεί ένα σύστημα το οποίο θα λειτουργεί ικανοποιητικά στο περιβάλλον για το οποίο έχει κατασκευαστεί. Ίσως αυτό να ακούγεται απλό, αλλά δεν είναι, όπως θα γίνει αντιληπτό στη συνέχεια. Βιβλιογραφικές αναφορές Bellman, R Dynamic rogramming. rinceton University ress, N. J. Doyle, J. C., Glover K., Khargonekar.. and B.A. Francis State-space solutions to standards H2 and H control problems. IEEE Transactions on Automatic Control AC-34 (8): Kalman, R. E Contributions to the theory of optimal control. Bol. Soc. Mat. Mex. 5: ontryagin, L. S., Boltyanskii, V. G., Gamkrelide, R. V. and E. F. Mishchenko The mathematical theory of optimal processes. Ne York: Interscience ublishers, Inc Wonham, W. M Linear Multivariable Control: a Geometric Approach. Springer Verlag, N.Y Youla, D. C., Jahr H. A. & Bongiorno J. J Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers, part II: The multivariable case. IEEE Transactions on Automatic Control AC-21: Zames, G On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems-art II: Conditions involving circles in the frequency plane and sector nonlinearities. IEEE Transactions on Automatic Control AC-11 (3): ~ 19 ~