ΔΥΪΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Κάθε π.γ.π. συνδέεται μ ένα άλλο π.γ.π. το οποίο ονομάζεται δυϊκό (dual), ενώ το αρχικό για να ξεχωρίζει καλείται πρωτεύον (primary).

Transcript

1 ΔΥΪΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Κάθε π.γ.π. συνδέεται μ ένα άλλο π.γ.π. το οποίο ονομάζεται δυϊκό (dual), ενώ το αρχικό για να ξεχωρίζει καλείται πρωτεύον (primary). Ένα τυχαίο π.γ.π. maimize/minimize z=c Α = b 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maimize z=c Α = b 0 b 0 Κανονική μορφή του π.γ.π. maimize z=c Α b 0 1/16

2 Να βρεθεί η κανονική μορφή του π.γ.π. minimize ( ) = 10 1 R, 2 0, 3 0 Έστω το π.γ.π. σε κανονική μορφή Το δυϊκό π.γ.π. maimize c Α b 0 (Π) Ορίζουμε ως δυϊκό του ανωτέρω π.γ.π. το εξής π.γ.π. minimize b w Α T w c w 0 (Δ) Αναλυτικώτερα 2/16

3 Πρωτεύον π.γ.π. maimize z = (c c c n n ) : α α α 1n n b 1 α α α 2n n b 2 α m1 1 + α m α mn n b m 0 Δυϊκό π.γ.π. minimize u = (b 1 w 1 + b 2 w b m w m ) : α 11 w 1 + α 21 w α m1 w m c 1 α 12 w 1 + α 22 w α m2 w m c 2 α 1n w 1 + α 2n w α nm w m c n Δηλαδή, τόσο οι μεταβλητές όσο και οι περιορισμοί του δυϊκού π.γ.π. κατασκευάζονται συμμετρικά από το πρωτεύον, σύμφωνα με τη λογική : (i) Μια δυϊκή μεταβλητή ορίζεται για καθέναν από τους m περιορισμούς του πρωτεύοντος. (ii) Ένας δυϊκός περιορισμός ορίζεται για κάθε μία από τις n μεταβλητές του πρωτεύοντος. (iii) Οι συντελεστές των μεταβλητών ενός δυϊκού περιορισμού είναι ίσοι με τους συντελεστές (στήλη) της συνδεόμενης μεταβλητής του πρωτεύοντος. Το δεξιό μέλος του περιορισμού είναι ίσο με τον αντικειμενικό συντελεστή της εν λόγω μεταβλητής. (iv) Οι αντικειμενικοί συντελεστές του δυϊκού είναι ίσοι με τα δεξιά μέλη των περιορισμών του πρωτεύοντος. 3/16

4 Να βρεθεί το δυϊκό του π.γ.π. maimize ( ) = , 2 R Κανονική μορφή maimize ( ) , 2 maimize ( ) , 2, 2 0 Δυικό minimize (2w 1-2w 2-3w 3 + w 4 ) w 1 - w 2-2w 3 + w 4 2 w 1 - w 2 + w 3 - w 4 1 -w 1 + w 2 - w 3 + w 4-1 w 1, w 2, w 3, w 4 0 Έχουν κάποια σχέση της λογικής που αναπτύχθηκε??? 4/16

5 minimize (2w 1-2w 2-3w 3 + w 4 ) w 1 - w 2-2w 3 + w 4 2 w 1 - w 2 + w 3 - w 4 1 -w 1 + w 2 - w 3 + w 4-1 w 1, w 2, w 3, w 4 0 Για w 1 = w 1 w 2 minimize (2w 1-3w 3 + w 4 ) w 1-2w 3 + w 4 2 w 1 + w 3 - w 4 1 -w 1 - w 3 + w 4-1 w 1 R, w 3, w 4 0 Οι δύο τελευταίοι περιορισμοί γράφονται ως ισότητα minimize (2w 1-3w 3 + w 4 ) w 1-2w 3 + w 4 2 w 1 + w 3 - w 4 = 1 w 1 R, w 3, w 4 0 Θέτοντας w 3 = -w 3 minimize (2w 1 + 3w 3 + w 4 ) Πρωτεύον = w 1 + 2w 3 + w 4 2 w 1 - w 3 - w 4 = 1 w 1 R, w 3 0, w 4 0 5/16

6 Να βρεθεί το δυϊκό των εξής π.γ.π. maimize ( ) , 2, 3, 4 0 minimize ( ) , 2, 3 0 Το δυϊκό του δυϊκού είναι το πρωτεύον. Κατασκευαστικό Πρώτυπο ΠΡΩΤΕΥΟΝ maimize z ΔΥΪΚΟ minimize u i-περιορισμός i-μεταβλητή w i 0 i-περιορισμός = i-μεταβλητή w i i-περιορισμός i-μεταβλητή w i 0 i-μεταβλητή i 0 i-περιορισμός i-μεταβλητή i R i-περιορισμός = i-μεταβλητή i 0 i-περιορισμός και συνοψίζοντας Αν μια μεταβλητή του ενός δεν έχει περιορισμό στο πρόσημο, τότε ο αντίστοιχος περιορισμός του άλλου είναι εξίσωση (και αντίστροφα). Αν μια μεταβλητή του ενός είναι μη θετική, τότε ο αντίστοιχος περιορισμός του άλλου είναι ανίσωση με φορά αντίθετη της αναμενόμενης (και αντίστροφα). 6/16

7 Οικονομική Ερμηνεία του Δυϊκού Προβλήματος Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) Κατασκευή (ώρες) Φινίρισμα (ώρες) Τιμή Πώλησης 60,000 30,000 20,000 Έχουμε το εξής π.γ.π. maimize (60, , ,000 3 ) (ξυλεία) (κατασκευή) (φινίρισμα) 1, 2, 3 0 Δυϊκό του είναι το minimize (48w 1 + 8w w 3 ) 8w 1 + 2w 2 + 4w 3 60,000 6w w 2 + 2w 3 30,000 w w w 3 20,000 w 1, w 2, w 3 0 Τι εκφράζουν (φυσικό νόημα) οι δυϊκές μεταβλητές w 1, w 2, w 3 ; Τι εκφράζουν (φυσικό νόημα) οι δυϊκοί περιορισμοί; 7/16

8 Σχέσεις ανάμεσα στις λύσεις των δύο προβλημάτων (πρωτεύοντος/maimize και δυϊκού/minimize) Θ (Ασθενής Δυϊκότητα). Αν μια εφικτή λύση του πρωτεύοντος και w μια εφικτή λύση του δυϊκού τότε είναι c b w. Θ. Αν ~ μια εφικτή λύση του πρωτεύοντος και w ~ μια εφικτή λύση του δυϊκού για τις οποίες ισχύει ~ z = c ~ = b w~ = u~ τότε οι ~, w ~ είναι οι άριστες λύσεις του πρωτεύοντος και δυϊκού αντίστοιχα. Οικονομικά Δηλαδή, w ~ i u~ = b w~ + b w~ b m w~ m = ~ z w i ~ z = b είναι ο ρυθμός μεταβολής της αντικειμενικής συνάρτησης z του πρωτεύοντος, που συνεπάγεται η μεταβολή της διαθέσιμης ποσότητας του i- πόρου κατά μία μονάδα. i Δίνεται το π.γ.π. maimize ( ) , 2, 3, 4 0 Γι αυτό και το δυϊκό του θεωρείστε αντίστοιχα τις λύσεις =(5, 5, 0, 0) και w=(1/2, 0). Είναι άριστες; 8/16

9 Σχέσεις ανάμεσα στις λύσεις των δύο προβλημάτων (πρωτεύοντος/maimize και δυϊκού/minimize) Θ. Αν το πρωτεύον πρόβλημα είναι μη φραγμένο, τότε το δυϊκό του δεν έχει εφικτές λύσεις. Το αντίστροφο δεν ισχύει κατ ανάγκη: Αν το δυϊκό πρόβλημα δεν έχει εφικτές λύσεις, τότε το πρωτεύον του είτε δεν έχει εφικτές λύσεις, είτε είναι μη φραγμένο. Θ (Θεώρημα του Δυϊσμού). Αν το πρωτεύον πρόβλημα έχει άριστη λύση τότε και το δυϊκό του έχει άριστη λύση (και μάλιστα οι αντίστοιχες τιμές των αντικειμενικών τους συναρτήσεων ταυτίζονται). Η δυϊκότητα δε συνεπάγεται και συμμετρία μεταξύ των δύο προβλημάτων : Π με άριστη λύση Δ με άριστη λύση Π(Δ) μη φραγμένο Δ(Π) χωρίς εφικτές λύσεις Π(Δ) χωρίς εφικτές λύσεις Δ(Π) μη φραγμένο ή χωρίς εφικτές 9/16

10 Έστω π.γ.π. στην τυπική του μορφή maimize όταν Αρχικό Simple-tableu : z = c + c I ( N I) = b I II I II II Δεξιά μέλη I II B b Ν Ι z c B b -c I 0 Τελικό Simple-tableu : B z Δεξιά μέλη B 1 b I II B B 1 N 1 1 c BB b λ w ~ c II Περιέχει στη γραμμή των z c και την άριστη λύση του δυϊκού του. Οι j j τιμές της γραμμής αυτής για τις στήλες που αντιστοιχούν στις αρχικές βασικές μεταβλητές II είναι ίσες με w ~ c II. Αν όλες οι αρχικές βασικές μεταβλητές είναι περιθώριες, θα είναι c II = 0 και οι προαναφερόμενες τιμές παριστούν τις βέλτιστες δυϊκές τιμές w ~. Διαφορετικά (π.χ. αν κάποια από τις αρχικές βασικές μεταβλητές είναι τεχνητή), θα πρέπει να προσθέσουμε την ποσότητα c στην w ~ c II για να πάρουμε την άριστη δυϊκή λύση. II 10/16

11 Δίνεται το π.γ.π. maimize ( ) , 2, 3 0 Διαδοχικά από τη Simple έχουμε : B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 θ P P /2 P /1 z P /1 P /0.25 P /0.75 z P P P z λ 1 λ 2 λ 3 w 1 -c 4 w 2 -c 5 w 3 -c 6 δυϊκές περιθώριες δυϊκές άριστες 11/16

12 Δίνεται το π.γ.π. maimize z = ( ) = 10 1, 2, 3 0 κάτω από τις συνθήκες Τυπική μορφή maimize z = ( M 6 -M 7 ) = = = 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0 (προσθέσαμε τις περιθώριες μεταβλητές 4 (χαλαρή), 5 (πλεονάζουσα) και τις τεχνητές 6, 7 ) Δυϊκό minimize u = (15w 1 +5w 2 +10w 3 ) w 1 +2w 3 3 3w 1 +2w 2 + w 3 2 2w 1 - w 2-5w 3 5 w 1 0, w 2 0, w 3 R 12/16

13 M -M B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 θ P P 6 -M P 7 -M z 0-15M -3-2M -2-3M -5 +6M : : : 0 0 +Μ P P P z Μ Μ λ 1 λ 2 λ 3 w 1 -c 4 λ 4 w 2 -c 6 w 3 -c 7 Συνεπώς Για το πρωτεύον Για το δυϊκό 1 = 120/23, 2 = 65/23, 3 = 15/23 4 = 0, 5 = 0 z = 565/23 w 1 = 51/23, w 2 = -58/23, w 3 = 9/23 λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 0, λ 4 = 58/23 u = 565/23 13/16

14 Η εκ κατασκευής αντιστοιχία μεταξύ του j-περιορισμού του ενός προβλήματος με τη j-μεταβλητή του άλλου, συσχετίζει εκ των πραγμάτων και τις μεταβλητές απόφασης του ενός, με τις περιθώριες μεταβλητές του άλλου. (Εδώ για παράδειγμα). Εξετάζοντας τις άριστες λύσεις των πρωτεύοντος/δυϊκού προβλημάτων, παρατηρούμε ότι, η συνδεόμενη με τη μεταβλητή απόφασης 1 (βασική στην άριστη λύση του πρωτεύοντος) περιθώρια δυϊκή μεταβλητή λ 1 =z 1 -c 1 είναι μη βασική στην άριστη λύση του δυϊκού. Όμοια, οι 2, 6 είναι βασικές και λ 2 =z 2 -c 2 =0, w 3 =0 μη βασικές. Από την άλλη μεριά, οι w 1, w 2, λ 3 έχουν θετικές τιμές στο βέλτιστο tableau, και οι συνδεόμενες αντίστοιχες μεταβλητές του πρωτεύοντος 4, 5, 3 είναι μη βασικές. Το γεγονός αυτό δεν είναι τυχαίο, αντιθέτως, αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές σχέσεις στη θεωρία της δυϊκότητας, αυτή της συμπληρωματικής χαλαρότητας. Αν, w άριστες λύσεις των (Π) και (Δ) π.γ.π. αντίστοιχα τότε : j m i= 1 a ij w i c j = 0 w i bi n a j= 1 ij i = 0 Με άλλα λόγια αν, w άριστες λύσεις των (Π) και (Δ) π.γ.π. αντίστοιχα τότε αν j >0 η w κάνει τον j-περιορισμό του δυϊκού ισότητα, ενώ αν w i >0 η κάνει τον i- περιορισμό του πρωτεύοντος ισότητα. 14/16

15 Δίνεται το π.γ.π. maimize ( ) = = = 3 1, 2, 3, 4 0 του οποίου βέλτιστη είναι η λύση δυϊκού του. 1 =, 0, 5 21, Να βρεθεί η βέλτιστη λύση του Δυϊκό minimize (8w 1 + 6w 2 + 3w 3 ) w 1 2 2w 1 + w 2-3 w 1 + w 2 +2w 3 1 2w 1 + w 2-3w 3 2 Επειδή 1, 3, 4 > 0 η άριστη λύση w ~ του δυϊκού θα κάνει τον 1ο, 3ο και 4ο περιορισμό ισότητα. 1 5 Επιλύνοντας παίρνουμε w = 2,,. ~ Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και για τα δύο προβλήματα η. 5 15/16

16 Δίνεται το π.γ.π. maimize ( ) , 2 0 του οποίου βέλτιστη είναι η λύση = ( 12, 4) του.. Να βρεθεί η βέλτιστη λύση του δυϊκού Δυϊκό minimize (w 1 + 6w w w 5 ) w 1 + 2w 2 - w 3 - w 4 + 4w w 1-3w 2 + 3w 3 + 6w 4-9w 5 12 w 1, w 2 0 w 3, w 4, w 5 0 Αφού 1, 2 > 0 οι δύο περιορισμοί του δυϊκού θα είναι ισότητα για την άριστη λύση του. Η βέλτιστη λύση του πρωτεύοντος = ( 12, 4) δεν κάνει ισότητα τον, και περιορισμό. Άρα υποχρεωτικά στη βέλτιστη δυϊκή λύση είναι w 1 = w 2 = w 5 = 0. Προκύπτει τότε ως βέλτιστη δυϊκή λύση η w ~ = ( 0, 0, 2, 1, 0). Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και για τα δύο προβλήματα η /16