Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών."

Transcript

1 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν κάποια από αυτά να τα αγαπήσει. Η Ιάπωνες ανήκουν σε εκείνους τους λαούς που δύσκολα κάποιος δε θα βρει πράγματα να τα αγαπήσει. Οι ταινίες του Ακίρα Κουρασάβα, τα παραδοσιακά τους συγκροτήματα κρουστών (όπως οι Kodo), η ποίηση χαϊκού και το παιχνίδι λογικής sudoku είναι αυτά που προσωπικά, και μετά από μακροχρόνια ενασχόληση μαζί τους, έχω αγαπήσει. Τι είναι το sudoku; Πρόκειται για ένα παιχνίδι με αριθμούς και με παράδοση αρκετών αιώνων στην Ιαπωνία. Το ότι χρησιμοποιούνται αριθμοί δεν έχει να κάνει με αριθμητική ή μαθηματικά. Πρόκειται για παιχνίδι λογικής και μόνο. Αντί για τους αριθμούς το ίδιο άνετα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν γράμματα ή κάποια άλλα σύμβολα. Το sudoku παίζεται σε ένα τετράγωνο χωρισμένο σε 1 κουτάκια (Χ). Στόχος του παιχνιδιού είναι, ο παίκτης, να συμπληρώσει έναν αριθμό, από το 1 έως το, σε κάθε κουτάκι με τον περιορισμό ότι, ο κάθε αριθμός από το 1 έως το, πρέπει να εμφανίζεται σε κάθε οριζόντια γραμμή, σε κάθε κάθετη γραμμή και σε κάθε ένα από τα τετράγωνα συγκροτήματα (3Χ3) κουτιών που περιβάλλονται με πιο έντονη γραμμή (που θα ονομάζουμε στη συνέχεια: μπλοκ) μόνο μια φορά. Σε κάθε παιχνίδι sudoku ο δημιουργός έχει ήδη σημειώσει τις θέσεις κάποιων αριθμών, με τη βοήθεια των οποίων, ο παίκτης, καλείται να συμπληρώσει τους υπόλοιπους. Η τεχνική για να συμπληρώνονται, σε κάθε κουτάκι, οι αριθμοί που λείπουν βασίζεται στον, άμεσο ή έμμεσο, αποκλεισμό των υπόλοιπων αριθμών έτσι ώστε τελικά να μένει ένας. Όπως σε κάθε παιχνίδι λογικής, έτσι και στο sudoku, υπάρχουν πολλά επίπεδα δυσκολίας. Επίπεδα δυσκολίας που, στο sudoku, εξαρτιούνται από το αν και σε τι βαθμό απαιτούνται οι έμμεσοι αποκλεισμοί για να λυθεί. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών X Στη θέση του Χ, στο ανωτέρω παράδειγμα, οι αριθμοί 1,3,4, κι αποκλείονται διότι βρίσκονται στην ίδια οριζόντια γραμμή με το Χ. Επίσης αποκλείονται και οι αριθμοί 2,6 κι 7 διότι βρίσκονται στο ίδιο μπλοκ με το Χ. Έτσι στη θέση του Χ θα συμπληρώσουμε το μόνο αριθμό που μένει, δηλαδή το 5. και 2) Αποκλεισμός ενός αριθμού από όλα, πλην ενός, τα ελεύθερα κουτάκια σε κάποιο μπλοκ X

2 2 από 10 Στο δεξί μπλοκ, στο ανωτέρω παράδειγμα, ο αριθμός 4 αποκλείεται από όλα τα ελεύθερα κουτάκι εκτός από αυτό που έχουμε σημειώσει το Χ, οπότε το 4 πρέπει να γραφεί σε αυτό. - Οι έμμεσοι αποκλεισμοί βασίζονται στο ότι μπορούμε ακόμα και χωρίς να ξέρουμε την ακριβή θέση κάποιων αριθμών - αλλά με βάση τη γραμμή ή το μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια στα οποία βρίσκονται - να τους χρησιμοποιούμε για να αποκλείουμε άλλους αριθμούς X 4 5 Κοιτώντας το ανωτέρω παράδειγμα διαπιστώνουμε ότι στα κουτάκια της τρίτης γραμμής του αριστερά μπλοκ περιέχονται (χωρίς όμως να ξέρουμε το που ακριβώς) οι αριθμοί 2,6 κι. Αυτό όμως σημαίνει ότι αυτοί οι αριθμοί δε μπορεί να βρίσκονται στο κουτάκι που έχουμε σημειώσει με Χ, οπότε για τη θέση του Χ μένει μόνον ο αριθμός 3 τον οποίο και θα γράψουμε σε αυτό X 4 5 Κοιτώντας επίσης το ανωτέρω παράδειγμα διαπιστώνουμε ότι στα κουτάκια της πρώτης στήλης του δεξιά μπλοκ περιέχονται (χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή τους θέση) οι αριθμοί 2,7 και, ενώ σε αυτά της τρίτης γραμμής του μεσαίου μπλοκ περιέχονται (χωρίς και πάλι να γνωρίζουμε την ακριβή τους θέση) οι αριθμοί 1,2 και 7. Επομένως για το κουτάκι που σημειώσαμε το Χ αποκλείονται οι 2 και 7 και απομένει ο αριθμός τον οποίο και θα γράψουμε σε αυτό. Προτού δούμε τα ανωτέρω στην πράξη οφείλουμε να τονίσουμε ότι ένα sudoku έχει πάντα μια ακριβώς λύση. Στις μέρες μας κυκλοφορούν πολλά περιοδικά με sudoku τα οποία, σε αντίθεση με τα παραδοσιακά γιαπωνέζικα - έργα τέχνης, φτιάχνονται σωρηδόν σε προγράμματα υπολογιστών και δυστυχώς, πέραν της έλλειψης πρωτοτυπίας, δεν είναι πάντα σωστά αφού είτε δεν έχουν ακριβώς μία λύση (μου έχει τύχει να λύσω sudoku και ο δημιουργός να δίνει άλλη λύση επίσης συμβατή με τους αρχικούς αριθμούς) είτε να μην έχουν καν λύση (μου προέκυψε και περίπτωση όπου σε ένα κουτάκι αποκλειόντουσαν όλοι οι αριθμοί χωρίς κάποιο δικό μου λάθος!). Το κατωτέρω παράδειγμα ανήκει στην κατηγορία των πολύ δύσκολων sudoku αλλά είναι ιδανικό για τις ανάγκες του παρόντος. Καλό πάντως είναι για όποιον θελήσει να παρακολουθήσει τη λύση να το κάνει αφού, πρώτα, εκτυπώσει (τουλάχιστον) την τελευταία σελίδα στην οποία υπάρχει το συγκεκριμένο sudoku σε μεγέθυνση

3 3 από Κατ αρχή διαπιστώνουμε ότι, με άμεσο αποκλεισμό του αριθμού 4 από τη μεσαία στήλη του κεντρικού μπλοκ, ο 4 υποχρεωτικά περιέχεται στο μεσαίο κουτάκι της αριστερής στήλης του εν λόγω μπλοκ. Ομοίως, ο 3 στο πάνω δεξιά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της πάνω σειράς των μπλοκ, ο 5 στο κάτω δεξιά κουτάκι του ίδιου μπλοκ, ο 6 στο μεσαίο κουτάκι της δεξιάς στήλης ίδιου μπλοκ, ο 3 στο κεντρικό κουτάκι του κεντρικού μπλοκ, ο 7 στο μεσαίο κουτάκι της αριστερής στήλης του πάνω αριστερά μπλοκ, ο 7 στο πάνω δεξιά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ στη δεξιά στήλη των μπλοκ, ο 7 στο πάνω αριστερά κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ και ο 4 στο κάτω αριστερά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ στην κάτω σειρά των μπλοκ Κοιτώντας λίγο προσεκτικά το κεντρικό μπλοκ διαπιστώνουμε ότι στα δυο κουτάκια, που εκκρεμεί η συμπλήρωση των αριθμών, οι μόνοι δυνατοί αριθμοί που δύνανται να μπουν είναι οι: 1 και, κάτι που σημαίνει ότι στο μεσαίο κουτάκι του κεντρικού μπλοκ της πάνω γραμμής των

4 4 από 10 μπλοκ δε μπορεί να μπει ο 1 (έμμεσος αποκλεισμός!) που έτσι γράφεται στο ακριβώς δίπλα του κουτάκι και τέλος, στο μόνο ασυμπλήρωτο του εν λόγω μπλοκ, ο Κατόπιν παρατηρούμε ότι ο 2 μπορεί να μπει μόνο στο πάνω αριστερά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ και ο 3 ακριβώς από κάτω του. Συνεχίζουμε, στο ίδιο μπλοκ της, και με άμεσο αποκλεισμό γράφουμε τον 7 στο κεντρικό κουτάκι και τον 5 ακριβώς από πάνω του και στο κάτω δεξιά κουτάκι του αριστερού μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ, με άμεσο αποκλεισμό, γράφουμε τον 7 (ως κατωτέρω σχήμα) Στο σημείο διαπιστώνουμε ότι δε φαίνεται κάποιο κουτάκι να μπορεί να συμπληρωθεί με άμεσο αποκλεισμό. Ακόμα βέβαια και αν η εκτίμησή μας αυτή είναι εσφαλμένη η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε στη συνέχεια μας εξασφαλίζει την εύρεση λύσης και θα μας φανερώσει και τα τυχόντα κουτάκια που θα μπορούσαμε να είχαμε συμπληρώσει με άμεσο αποκλεισμό αλλά μας διέφυγαν!

5 5 από 10 Ας ξεκινήσουμε (βλέπε κατωτέρω σχήμα) από το δεξί μπλοκ της πάνω γραμμής των μπλοκ και ας σημειώσουμε σε κάθε κουτάκι όλους τους αριθμούς που θα μπορούσαν να γραφτούν σε αυτό λαμβανομένων υπόψη των κανόνων του παιχνιδιού. Οι 4 κι μπορούν να βρίσκονται μόνον εκεί που είναι σημειωμένοι διότι, στην οριζόντια γραμμή που ανήκουν, είναι οι μόνοι που εκκρεμούν. Επιπλέον δε επειδή οι δύο αυτοί αριθμοί είναι υποψήφιοι για δυο ακριβώς κουτάκια δε μπορεί να είναι υποψήφιοι για κανένα άλλο κουτάκι του μπλοκ αυτού(έμμεσος αποκλεισμός) Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε και σημειώνουμε σε όλα τα κουτάκια τους πιθανούς αριθμούς κι έτσι παίρνουμε τον κάτωθι πίνακα Μετά από ενδελεχή μελέτη του πίνακα προσέχουμε ότι στην τελείως δεξιά στήλη, στο πρώτο (ξεκινώντας την αρίθμηση από πάνω), στο τρίτο και στο πέμπτο κουτάκια οι αριθμοί που είναι υποψήφιοι, να τα καταλάβουν, είναι αντίστοιχα οι: 1-6-, 1-6 και 6-. Τρεις αριθμοί υποψήφιοι για τρία κουτάκια! Είναι σαφές ότι, στη στήλη αυτή, οι εν λόγω αριθμοί (και ανεξάρτητα του γεγονότος ότι τη στιγμή αυτή δε γνωρίζουμε τις ακριβείς τους θέσεις!) δύνανται να βρίσκονται μόνο σε αυτά και κατά συνέπεια θα πρέπει να αποκλειστούν, ως υποψήφιοι, από τα υπόλοιπα

6 6 από 10 κουτάκια (έμμεσος αποκλεισμός). Με βάση λοιπόν αυτή μας τη διαπίστωση το sudoku μας διαμορφώνεται ως εξής: Μπορούμε τώρα άνετα να συνεχίσουμε! Η ύπαρξη του 3 στο πάνω δεξί κουτάκι του δεξιού μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ μας οδηγεί στο να αποκλείσουμε τον 3 από το κάτω δεξιά κουτάκι του ίδιου μπλοκ και να γράψουμε, στο κουτάκι αυτό, τον 5 (ως το μόνο πλέον υποψήφιο αριθμό), Ομοίως (με άμεσο αποκλεισμό) αποκλείουμε τον 5 από το κάτω δεξί κουτάκι του δεξιού μπλοκ της μεσαίας στήλης των μπλοκ και γράφουμε τον 4, Ομοίως αποκλείουμε τον 4 από το δεξί κουτάκι της μεσαίας γραμμής του πάνω δεξιά μπλοκ, όπου γράφουμε τον και ακριβώς δίπλα του τον Με τη βοήθεια τώρα των αριθμών που συμπληρώσαμε και με τη βοήθεια του άμεσου αποκλεισμού στις στήλες και στα μπλοκ που αυτοί ανήκουν ο πίνακας διαμορφώνεται σε:

7 7 από Στον οποίο μπορούμε κατευθείαν, με άμεσο αποκλεισμό, να γράψουμε τον 3 στο κάτω αριστερά κουτάκι, τον 3 στο κάτω δεξιά κουτάκι του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 5 στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του δεξιού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του ίδιου μπλοκ, τον 1 στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του κεντρικού μπλοκ, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του κεντρικού μπλοκ, τον 6 στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ και δίπλα του τον 4, τον 4 στο κάτω δεξί κουτάκι του πάνω αριστερά μπλοκ Στον πίνακα τώρα, αφού διαγράψουμε από υποψήφιους τους αριθμούς που μόλις γράψαμε από τα άλλα κουτάκια, που πιθανόν ήταν υποψήφιοι, των στηλών και των μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια των αριθμών αυτών, διαπιστώνουμε ότι στην κάτω γραμμή σε δυο κουτάκια ως υποψήφιοι είναι οι 1 και οπότε (με έμμεσο αποκλεισμό) στο μεσαίο κουτάκι της κάτω σειράς του κάτω αριστερά μπλοκ γράφουμε το 2 και

8 από 10 με την ίδια λογική γράφουμε το 2 στο πάνω κουτάκι της τρίτης από αριστερά στήλης και αποκλείουμε τους 1 και 6 από τα υπόλοιπα κουτάκια (πλην των δυο στα οποία είναι αποκλειστικά υποψήφιοι) του κάτω αριστερά μπλοκ και αφού διαγράψουμε από υποψήφιους τους αριθμούς που μόλις γράψαμε από τα υπόλοιπα κουτάκια των στηλών και των μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια των αριθμών αυτών, ο πίνακας διαμορφώνεται σε στον οποίο με άμεσο αποκλεισμό γράφουμε τον 2 στο κάτω αριστερά κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ, τον στο κάτω αριστερά κουτάκι του δεξιού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 6 στο πάνω αριστερά κουτάκι του κάτω δεξιά μπλοκ, τον 1 στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 2 ακριβώς δίπλα του, τον ακριβώς πάνω από το προηγούμενο 2, τα 2 κι 6 στο δεξί άκρο της μεσαίας οριζόντιας γραμμής τον 1 στο κάτω δεξί κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ, τον στο πάνω δεξί κουτάκι και τον 6 ακριβώς δίπλα του, τον 6 στο κάτω αριστερά κουτάκι του πάνω αριστερά μπλοκ, τον 1 στο πάνω δεξιά κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ και τον 6 ακριβώς από κάτω του, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του πάνω αριστερά μπλοκ, τον 1 στο πάνω αριστερά κουτάκι και τον 5 ακριβώς δίπλα του, τον στο μεσαίο κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ, τον στο πάνω αριστερά κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ και τον 5 ακριβώς από κάτω του,

9 από τέλος γράφουμε με άμεσο αποκλεισμό, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του κάτω δεξιά μπλοκ, τον 1 ακριβώς από πάνω του, τον 1 στο κάτω δεξί κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ, τον ακριβώς από πάνω του και τέλος τον (στο τελευταίο κουτάκι που είχε απομείνει). Η τελική του μορφή είναι η Γιώργος Πρίμπας.

10 10 από

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πώς γίνεται το debug? Το debug γίνεται με δύο τρόπους, ως επί το πλείστον. Τουλάχιστον, εγώ δύο έμαθα, και αυτούς αναφέρω.

Πώς γίνεται το debug? Το debug γίνεται με δύο τρόπους, ως επί το πλείστον. Τουλάχιστον, εγώ δύο έμαθα, και αυτούς αναφέρω. Τι είναι το debug μαμα? Με απλά λόγια, debug (αποσφαλμάτωση αλλά που να κάθεσαι να το πεις), είναι η διαδικασία εντοπισμού και διόρθωσης σφαλμάτων που υπάρχουν σε κώδικα (ασχέτως γλώσσας προγραμματισμού).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII. Moodle

ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII. Moodle ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII Moodle Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: Γνωρίσει τα βασικά εργαλεία δημιουργίας περιεχομένου στο Moodle Κατανοήσει τη δομή ενός μαθήματος στο Moodle Δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους. Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου

Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους. Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου Χαιρετίζοντας την σημερινή εκδήλωση εκ μέρους του Πανεπιστημίου Κύπρου, θα

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης.

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. 1 Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα υπήρχε μια αντίληψη για τη φύση των πραγμάτων βασισμένη στις αρχές που τέθηκαν από τον Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ.15: Παιχνίδια. 15.1 Super Pong. [15_π01.sb]

Κεφ.15: Παιχνίδια. 15.1 Super Pong. [15_π01.sb] Κεφ.15: Παιχνίδια... Σε αυτό το κεφάλαιο: 15.1 Super Pong 15.1 Ναρκοπέδιο! 15.3 Σκοποβολή 15.4 Ο καρχαρίας 15.5 Παραλλαγή Pacman 15.6 Καροτοκυνηγός... 15.1 Super Pong [15_π01.sb] Στο παιχνίδι Super Pong

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Επαγγελματική σταδιοδρομία σε μία επιχείρηση Σ. Αλεξανδράκη, M.Sc. Στέλεχος Φαρμακευτικής Εταιρείας

Επαγγελματική σταδιοδρομία σε μία επιχείρηση Σ. Αλεξανδράκη, M.Sc. Στέλεχος Φαρμακευτικής Εταιρείας Επαγγελματική σταδιοδρομία σε μία επιχείρηση Σ. Αλεξανδράκη, M.Sc. Στέλεχος Φαρμακευτικής Εταιρείας Επαγγελματική σταδιοδρομία σε μία επιχείρηση Εισαγωγικά: Θα ήθελα να αρχίσω ζητώντας σας μία σχετική

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο ακαδ. έτους 2012-2013 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σοφία Άιζενμπαχ Α.Μ. 5898 Πάτρα,

Διαβάστε περισσότερα

1965 " ΑΝΕΓΕΡΣΗ ΙΣΟΓΕΙΟΥ ΟΙΚΟΔΟΜΗΣ"

1965  ΑΝΕΓΕΡΣΗ ΙΣΟΓΕΙΟΥ ΟΙΚΟΔΟΜΗΣ 162. Μια δήλωση του Ν.4014 που έχει καταβάλει το παράβολο (αρχική υποβολή) όταν μεταφερθεί στον Ν.4178 δεν έχει δικαίωμα στην εφάπαξ πληρωμή; (απάντηση 100). Μήπως πρέπει να υποβληθεί εκ νέου για να έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του ΠΕΤΡΟΥ Ι. ΒΕΝΕΤΗ. Καθηγητής Ε..Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του ΠΕΤΡΟΥ Ι. ΒΕΝΕΤΗ. Καθηγητής Ε..Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Αποδοτικά ευρετήρια για ερωτήματα ομοιότητας σε τυχαίους υποχώρους πολυδιάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα αξιολόγησης της σχολικής μονάδας

Σύστημα αξιολόγησης της σχολικής μονάδας IΙΙ Σύστημα αξιολόγησης της σχολικής μονάδας Ορισμός και Φιλοσοφία της Αυτοαξιολόγησης Η αυτοαξιολόγηση μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία που επιτελεί η σχολική μονάδα για τη συστηματική συλλογή πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Ένα πρώτο πρόγραμμα ΔΟΜΗ TOY ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ. Τι σημαίνουν οι εντολές. Από τι αποτελείται ένα πρόγραμμα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Ένα πρώτο πρόγραμμα ΔΟΜΗ TOY ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ. Τι σημαίνουν οι εντολές. Από τι αποτελείται ένα πρόγραμμα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι ΔΟΜΗ TOY ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Ένα πρώτο πρόγραμμα Κατασκευάστε πρόγραμμα που θα εμφανίζει στην οθόνη τη λέξη: PROGRAM FIRST C Αυτό είναι ένα απλό υπόδειγμα προγράμματος. 1 2 Από τι αποτελείται ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων

Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων Πολυτεχνείο Κρήτης Αυτόνομοι Πράκτορες 2012-2013 Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει του ιστορικού των αναμετρήσεων Δουγιάκης Λάζαρος 13 Πρόβλεψη αποτελεσμάτων ποδοσφαιρικών αγώνων βάσει

Διαβάστε περισσότερα

Προστασία της ιδιωτικής μας σφαίρας στον ιστοχώρο κοινωνικής δικτύωσης Facebook

Προστασία της ιδιωτικής μας σφαίρας στον ιστοχώρο κοινωνικής δικτύωσης Facebook Προστασία της ιδιωτικής μας σφαίρας στον ιστοχώρο κοινωνικής δικτύωσης Facebook Πώς μπορούμε να ελέγχουμε και να ρυθμίζουμε την πρόσβαση στα δεδομένα μας μέσα από τις οθόνες του Facebook Με τη συγχρηματοδότηση

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στην επιλογή «Κενή βάση δεδομένων» στο Παράθυρο Εργασιών. Θα εμφανιστεί το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ. κοινωνική μάθηση ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ. κοινωνική μάθηση ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ κοινωνική μάθηση ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ κοινωνική μάθηση ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Β ΕΝΟΤΗΤΑ Εκπαιδευτικές δραστηριότητες

Β ΕΝΟΤΗΤΑ Εκπαιδευτικές δραστηριότητες Β ΕΝΟΤΗΤΑ Εκπαιδευτικές δραστηριότητες ΟΙ ΛΙΜΝΕΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ ΜΑΣ! Β ΕΝΟΤΗΤΑ 57 Γενικές οδηγίες Το παρόν πρόγραμμα είναι διαθέσιμο για κάθε δάσκαλο/εκπαιδευτικό που επιθυμεί να υλοποιήσει μια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα