ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ"

Transcript

1 ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3 Παράσταση πραγματικών αριθμών.3. Παράσταση αριθμών σταθερής υποδιαστολής.3. Μετατροπή αριθμών με κλασματικό μέρος από ένα σύστημα αρίθμησης σε ένα άλλο σύστημα αρίθμησης Παράσταση αριθμών κινητής υποδιαστολής Πράξεις με αριθμούς κινητής υποδιαστολής 3.4 Θεωρία Σφαλμάτων 9.4. Ορισμοί 9.4. Είδη Σφαλμάτων Μετάδοση Σφαλμάτων στις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής 37. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 49. Έννοιες, ορισμοί και σχέσεις πεπερασμένων διαφορών 49. Μετάδοση σφαλμάτων σε διαφορές ανώτερης τάξης 58

4 .. Μετάδοση ενός απομονωμένου σφάλματος στον πίνακα διαφορών 60.3 Αλγόριθμος της Συνθετικής Διαίρεσης 65 Ασκήσεις ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ 8 3. Γενικά 8 3. Ισαπέχοντα σημεία Τύπος παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory Τύπος παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών των Newto-Gregory Τύπος παρεμβολής των κεντρικών διαφορών Μη ισαπέχοντα σημεία Πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage Εφαρμογές 3.4. Γενικά 3.4. Αριθμητική Παραγώγιση Αριθμητική Ολοκλήρωση 7 Ασκήσεις 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 4. Γενικά 5 4. Επαναληπτικές μέθοδοι, που χρησιμοποιούν τα άκρα του διαστήματος εντοπισμού της ρίζας της εξίσωσης 30

5 4.3 Γενική επαναληπτική μέθοδος Περιγραφή της μεθόδου Είδος σύγκλισης της γενικής επαναληπτικής μεθόδου Μέθοδος των Newto-Raphso Περιγραφή της μεθόδου Ρίζες πραγματικών αριθμών 49 Ασκήσεις ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμοί Συμβολισμοί Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων Νόρμες διανυσμάτων Νόρμες πινάκων Σύγκλιση ακολουθιών διανυσμάτων και πινάκων 78 Ασκήσεις ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Γενικά Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων Αναγωγή ενός μιγαδικού γραμμικού συστήματος σε πραγματικό Άμεσες μέθοδοι Μέθοδος του Gauss Μέθοδος του Gauss με φυσική οδήγηση 0

6 6.4.. LU Ανάλυση Μέθοδος του Gauss με μερική οδήγηση 6.4. Μέθοδος του Jorda Αξιολόγηση των άμεσων μεθόδων Εφαρμογές της μεθόδου του Gauss Υπολογισμός της ορίζουσας ενός ομαλού πίνακα A Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός ομαλού πίνακα A Επαναληπτικές ή έμμεσες μέθοδοι Γενική επαναληπτική μέθοδος Βασικές επαναληπτικές μέθοδοι 4 Ασκήσεις 50 Βιβλιογραφία 55

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Συνήθως, στην επίλυση προβλημάτων της σύγχρονης έρευνας και της ανάπτυξης της τεχνολογίας, ενδιαφερόμαστε, χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους, να πάρουμε πεπερασμένης ακρίβειας αριθμητικά αποτελέσματα, παρά για τη θεωρητική λύση των προβλημάτων αυτών, που ούτως ή άλλως είναι δύσκολο να βρεθεί και όταν βρεθεί θεωρητική λύση η μορφή της είναι πολύπλοκη, τις περισσότερες φορές, και άρα μη χρησιμοποιήσιμη εύκολα. Ο στόχος αυτός πετυχαίνεται με αριθμητικές, όπως ονομάζονται, μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης (των Υπολογιστικών Μαθηματικών). Για αυτό στη μαθηματική εκπαίδευση των εφαρμοσμένων, κυρίως, επιστημόνων η Αριθμητική Ανάλυση θα πρέπει να καταλαμβάνει θέση ανάλογη με τη σημασία της, αφού δίνει προσεγγιστική, έστω, λύση σε εφαρμοσμένα προβλήματα της καθημερινής πραγματικότητας, στα οποία κατά κανόνα δεν διαθέτουμε την θεωρητική ( την αναλυτική) τους λύση. Οι μέθοδοι (οι αλγόριθμοι), λοιπόν, της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι προσεγγιστικές και οι ρίζες της, παρότι ως κλάδος των Μαθηματικών ξεχώρισε μετά τον δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο, παράλληλα με την αλματώδη ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, βρίσκονται μερικές χιλιετηρίδες πίσω. Οι αρχαίοι Έλληνες, για παράδειγμα, είχαν σημαντική συνεισφορά στην ανάπτυξη αριθμητικών (προσεγγιστικών) μεθόδων. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι περί το 00 π.χ. ο Αρχιμήδης υπολόγισε προσεγγιστικά τον γνωστό μας αριθμό π, που αποτελεί το λόγο του

8 μήκους της περιφέρειας του οποιουδήποτε κυκλικού δίσκου προς την διάμετρό του, ως π = 3.459, ο Ήρωνας περί το 00 π. Χ. χρησιμοποίησε τον επαναληπτικό αλγόριθμο a x = + ( x ), 0,,, + x = με x 0 > 0 αυθαίρετο, για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας του θετικού πραγματικού αριθμού a, αλγόριθμος που χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα από τους πιο σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, και τέλος ο Διόφαντος περί το 50 μ.χ. ασχολήθηκε με αόριστες εξισώσεις και εισήγαγε μια αριθμητική μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού. Στη συνέχεια και ύστερα από μερικούς αιώνες βαθιά επίδραση στην Αριθμητική Ανάλυση ασκήθηκε από ερευνητές, που εργάστηκαν στο πεδίο της Αστρονομίας, όπως οι Newto, Gauss, Laplace και Bessel, καθώς και οι πρωτεργάτες του κλάδου της Πληροφορικής, όπως ο Babbage με την αναλυτική του μηχανή το 834 και ο Kelv με τη διαφορική ανάλυση το 876. Σκοπός του συγγράμματος αυτού είναι να γνωρίσουν οι φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών, και όχι μόνον, μερικές από τις απλές αριθμητικές μεθόδους και προέκυψε από τις πανεπιστημιακές παραδόσεις μου, για τις διδακτικές ανάγκες των δευτεροετών φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, που έχουν ως υποχρεωτικό στο τρίτο εξάμηνο σπουδών το μάθημα Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Αποτελείται από έξι κεφάλαια, από τα οποία το πρώτο είναι βοηθητικό κεφάλαιο για τα υπόλοιπα, που ακολουθούν, και περιέχει

9 διάφορους βασικούς ορισμούς και προτάσεις. Βοηθητικό θα μπορούσε να θεωρηθεί και το πέμπτο κεφάλαιο, που περιέχει τη θεωρία των νορμών διανυσμάτων και πινάκων από τη Γραμμική Άλγεβρα και είναι βοηθητικό κεφάλαιο για αυτό που ακολουθεί της αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια των πεπερασμένων διαφορών και έτσι αποκτώνται τα μαθηματικά εργαλεία για τα επόμενα κεφάλαια, όπου παράγονται συγκεκριμένες αριθμητικές μέθοδοι για την αντιμετώπιση προβλημάτων των Μαθηματικών προσεγγιστικά. Έτσι, στο τρίτο κεφάλαιο ασχολείται με την έννοια της προσέγγισης εμπειρικών, κυρίως, δεδομένων με την πιο απλή μορφή της, που είναι η πολυωνυμική παρεμβολή, η οποία είναι από τα πιο δημοφιλή και χρήσιμα, όπως θα δούμε, γνωστικά αντικείμενα της Αριθμητικής Ανάλυσης και δίνονται εφαρμογές της στην αριθμητική παραγώγιση και την αριθμητική ολοκλήρωση. Στη συνέχεια στο τέταρτο κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της επίλυσης των εξισώσεων αριθμητικά και τέλος στο έκτο κεφάλαιο αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων με άμεσες, κυρίως, μεθόδους καθώς και με τις βασικές επαναληπτικές μεθόδους. Κλείνοντας παρακαλώ τους αναγνώστες και κυρίως τους φοιτητές μου στην αντίληψη των οποίων θα υποπέσουν λάθη, σφάλματα ή παραλείψεις, να μη διστάσουν να μου τις υποδείξουν. Θα τους είμαι υποχρεωμένος για αυτό. Σοφοκλής Δ. Γαλάνης

10

11 . ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά Ορισμός. Αριθμητική Ανάλυση (Υπολογιστικά Μαθηματικά) είναι ένας κλάδος των σύγχρονων Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και περιλαμβάνει την ανάπτυξη και αξιολόγηση μεθόδων για τον υπολογισμό αριθμητικών αποτελεσμάτων από αριθμητικά δεδομένα. Με την έννοια αυτή η Αριθμητική Ανάλυση θεραπεύει ένα γενικότερο πρόβλημα επεξεργασίας πληροφοριών και περιληπτικά τα βασικά συστατικά της αντιμετώπισης ενός προβλήματος με Αριθμητική Ανάλυση μπορεί να δοθεί από το παρακάτω διάγραμμα ροής Πληροφορίες εισόδου Αλγόριθμος Πληροφορίες εξόδου Έτσι, τα δεδομένα αποτελούν τις πληροφορίες εισόδου, τα αποτελέσματα τις πληροφορίες εξόδου και η μέθοδος υπολογισμού τον αλγόριθμο. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από το όνομα του Πέρση συγγραφέα του 9 ου αιώνα Abu Jafar Mohammed b Musa al Κhowarzm, δηλαδή πατέρας του Γιαφάρ Μωχάμετ γιου του Μωϋσή από το Κοβαρίσμ. Ο Πέρσης αυτός συγγραφέας έγραψε το περίφημο βιβλίο Κtab al jabr W al-mugabala (Κανόνες αποκατάστασης και αναγωγής). Έτσι, από τη λέξη ακριβώς al- khowarzm και προς τιμή του προέρχεται η λέξη αλγόριθμος και από τη λέξη al jabr η λέξη

12 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση άλγεβρα. Ανεξάρτητα όμως με την πρωταρχική σημασία και την προέλευση της λέξης αλγόριθμος, θα δοθεί στη συνέχεια ένας ορισμός για τη σημερινή έννοια της λέξης αυτής. Ορισμός. Αλγόριθμος είναι μια πεπερασμένη ακολουθία οδηγιών, που καθορίζει πως πρέπει να διεξαχθεί κάποια διαδικασία (υπολογιστική στην περίπτωσή μας). Παράδειγμα. Να καθοριστούν οι πληροφορίες εισόδου, ο αλγόριθμος και οι πληροφορίες εξόδου στο πρόβλημα του γινομένου των αριθμών 3 και 5(3 5). Απάντηση Αλγόριθμος 3 5 πληροφορίες εισόδου 65 πληροφορίες εξόδου Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το παραπάνω γινόμενο με τον «αλγόριθμο του Ρώσου χωρικού» και να καθοριστούν οι πληροφορίες εισόδου, ο αλγόριθμος και οι πληροφορίες εξόδου.

13 Εισαγωγικές Έννοιες 3 Απάντηση Αλγόριθμος 3 ν 5 πληροφορίες εισ όδου ν 0 ν πληροφορίες εξόδου. Με την μέθοδο αυτή, διπλασιάζεται ο ένας παράγοντας του γινομένου, υποδιπλασιάζεται ο άλλος και συγχρόνως σημειώνονται με ν τα σημεία, όπου παρουσιάζονται υπόλοιπα. Τέλος, το γινόμενο των δύο αριθμών δίνεται από την πρόσθεση των πολλαπλασίων του αριθμού, που αντιστοιχούν σε υπόλοιπα. Το γιατί αυτή η μέθοδος είναι σωστή, για τον υπολογισμό του γινομένου δύο αριθμών, είναι δυνατό να δειχθεί με λεπτομερή ανάλυση των πράξεων, που γίνονται σε αυτή. Έτσι στο συγκεκριμένο παράδειγμα, με λεπτομερή ανάλυση των πράξεων, έχουμε 3 = 6+ = ( 3)+ = (+)+= = 3++ = 8+4+, οπότε 3 5 = (8+4+) 5 = = 65. Η ανάπτυξη της Αριθμητικής Ανάλυσης έγινε παράλληλα με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Είναι η συνέπεια του ότι η Αριθμητική Ανάλυση ανάγει τη λύση του οποιουδήποτε προβλήματος των Μαθηματικών και γενικότερα των θετικών επιστημών στις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής (Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Διαίρεση), τις

14 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση αριθμητικές πράξεις δηλαδή, που αυτές και μόνο μπορεί να φέρει σε πέρας ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής. Στο σημείο αυτό σημειώνουμε ότι ο ηλεκτρονικός υπολογιστής στην ουσία γνωρίζει μόνο την πρόσθεση από τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής και μάλιστα στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης και την αφαίρεση ως το συμπλήρωμα της πρόσθεσης. Στην επόμενη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου θα περιγράψουμε πως γίνεται η αφαίρεση ως συμπλήρωμα της πρόσθεσης, με τη μέθοδο, δηλαδή, του συμπληρώματος όπως είναι γνωστή, και μάλιστα στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, που μας είναι και πιο εύχρηστο. Κατά συνέπεια, εφόσον ο ηλεκτρονικός υπολογιστής γνωρίζει πρόσθεση και αφαίρεση, μπορεί να κάνει πολλαπλασιασμό, που είναι ένα σύνολο διαδοχικών προσθέσεων και διαίρεση, που είναι ένα σύνολο διαδοχικών αφαιρέσεων. Όπως είδαμε, όμως, στα παραπάνω παραδείγματα, που παρουσιάσαμε για την εύρεση του γινομένου δύο αριθμών, διαφορετικοί αλγόριθμοι είναι δυνατόν να δίνουν τις απαραίτητες πληροφορίες εξόδου για το ίδιο αριθμητικό πρόβλημα. Έτσι, όμως, γεννάται το ερώτημα. Ποιος είναι ο καλύτερος αλγόριθμος για την κάθε περίπτωση, που έχουμε να αντιμετωπίσουμε, και ποιον από αυτούς θα προτιμούμε; Με άλλα λόγια, ποια είναι τα κριτήρια επιλογής μεταξύ αλγορίθμων, οι οποίοι επιλύουν το ίδιο μαθηματικό πρόβλημα; Αυτό είναι ένα ερώτημα, στο οποίο πρέπει να δίνει απάντηση η Αριθμητική Ανάλυση πέρα από το κύριο έργο της, που είναι η κατασκευή αλγορίθμων για την αριθμητική επίλυση μαθηματικών

15 Εισαγωγικές Έννοιες 5 προβλημάτων, κάτι που δικαιολογεί τη χρησιμοποίηση της λέξης «αξιολόγηση» στον ορισμό.. Υπάρχουν διάφορα κριτήρια, που πρέπει να εξετάζουμε ώστε να είμαστε σε θέση να προτιμήσουμε έναν αλγόριθμο από έναν άλλο, για τη λύση του ιδίου προβλήματος. Τέσσερα, όμως, είναι τα προφανή κριτήρια, που πρέπει να μας απασχολούν οπωσδήποτε κάθε φορά και αυτά είναι η ταχύτητα, η ακρίβεια, η ευστάθεια και η απαιτούμενη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η ταχύτητα είναι συνάρτηση του αριθμού των απαιτούμενων πράξεων για τη λύση του προβλήματος και φυσικά αν στα άλλα κριτήρια οι αλγόριθμοι είναι ίδιοι, η ταχύτερη μέθοδος θα προτιμάται τελικά. Ανάλογα ενεργούμε και για την απαιτούμενη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ο αλγόριθμος, που χρησιμοποιεί λιγότερη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή, είναι καλύτερος. Εκείνο, όμως, που θα μας απασχολήσει περισσότερο εδώ και θα απορροφήσει μέρος από την προσπάθειά μας είναι η ακρίβεια, με άλλα λόγια η παρουσία σφαλμάτων τόσο στα δεδομένα μας, δηλαδή στις πληροφορίες εισόδου, όσο και στους διάφορους υπολογισμούς. Γιατί στην πράξη σπάνια οι πληροφορίες εισόδου είναι ακριβείς, αφού προέρχονται από μετρήσεις ή παρατηρήσεις. Αλλά και ο αλγόριθμος εισάγει συχνά σφάλματα. Έτσι, οι πληροφορίες εξόδου θα περιέχουν σφάλματα σύμφωνα με το παρακάτω λογικό διάγραμμα

16 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σφάλματα Εισόδου Σφάλματα Αλγορίθμου Σφάλματα Εξόδου Μια εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων θα γίνει στην παράγραφο.4 αυτού του κεφαλαίου και θα χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία αυτή για να δίνουμε το σφάλμα σε κάθε αλγόριθμο, που θα προτείνουμε στα επόμενα κεφάλαια. Τέλος, η ευστάθεια έχει να κάνει με το κατά πόσο το πρόβλημα, που καλούμαστε να αντιμετωπίσουμε, είναι ασταθές ή όχι και θα το δούμε ως ένα σημείο στο τελευταίο κεφάλαιο του παρόντος, της αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων και μόνο.. Αλγόριθμος του συμπληρώματος Έστω ότι έχουμε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς α και β ( α > β) με ν ψηφία ο καθένας στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και θέλουμε τη διαφορά τους α β. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι παραπάνω υποθέσεις δεν είναι δεσμευτικές για την πράξη της αφαίρεσης διότι:. Αν οι αριθμοί α και β έχουν και κλασματικό μέρος, μετακινούμε την υποδιαστολή τους προς τα δεξιά τόσο, όσο χρειάζεται, για να έχουμε αριθμούς χωρίς κλασματικό μέρος. Στη συνέχεια κάνουμε την αφαίρεση μεταξύ των ακέραιων αριθμών και στο αποτέλεσμα βάζουμε την υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση.

17 Εισαγωγικές Έννοιες 7. Αν ο ένας από τους δύο αριθμούς έχει λιγότερα ακέραια ψηφία, προσθέτουμε αριστερά του τόσα μηδενικά, όσα χρειάζονται για να έχουν και οι δύο το ίδιο πλήθος ακέραιων ψηφίων. 3. Αν ο ένας από τους δύο αριθμούς έχει λιγότερα ψηφία στο κλασματικό μέρος του, βάζουμε δεξιά του τόσα μηδενικά, όσα χρειάζονται για να έχουν και οι δύο αριθμοί κλασματικά μέρη με τον ίδιο αριθμό ψηφίων. 4. Τα ίδια συμπεράσματα και με την ίδια ακριβώς τεχνική θα έχει κανείς, αν εργαστεί στο οποιοδήποτε άλλο σύστημα αρίθμησης (δυαδικό, οκταδικό, δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης κ.τ.λ.). 5. Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν οι αριθμοί α, δεν είναι υποχρεωτικά και οι δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δεδομένου ότι α > β δύο περιπτώσεις έχουμε να αντιμετωπίσουμε β τότε: 5α) α > 0 και β < 0, οπότε α β = α + ( β), όπου β > 0 και η διαφορά α β ανάγεται άμεσα στην πρόσθεση των θετικών ακέραιων α και β και 5β) α < 0 και β < 0. Τότε α β = ( β) ( α), όπου α > 0 και β > 0 με β > α και το πρόβλημά μας ανάγεται ξανά στην αφαίρεση δύο θετικών ακέραιων αριθμών. Επιστρέφοντας τώρα στο κυρίως πρόβλημά μας, η διαφορά

18 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση α β μπορεί να γραφεί ως ν ν ν ν α β = α β + (0 ) (0 ) = α + (0 β) 0 + όπου ν ο πληθικός αριθμός των ψηφίων των αριθμών α και β. Με μια πρώτη ματιά η τιμή της παράστασης, στην οποία καταλήξαμε για τη διαφορά α β είναι πολυπλοκότερη από ό,τι η τιμή της διαφοράς αυτής καθαυτής. Εάν, όμως, κοιτάξουμε προσεκτικά, μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω διαπιστώσεις, που οδηγούν στον αλγόριθμο του συμπληρώματος.. Ο αριθμός 0 ν αποτελείται από ν ψηφία, που το καθένα είναι ο αριθμός 9. Έτσι, η αφαίρεση ν 0 β γίνεται πάρα πολύ εύκολα, αφού δεν έχουμε κρατούμενα.. Η πρόσθεση ν α + (0 β) + γίνεται κανονικά. Εξάλλου, επειδή ο α έχει ν ψηφία, έχουμε α < 0 ν και επειδή β < α είναι προφανές ότι ν ν ν 0 < α + (0 β) + < 0. Από την τελευταία σχέση, συμπεραίνουμε ότι το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης είναι ένας αριθμός με ν + ψηφία, που το πρώτο ψηφίο του είναι μονάδα.

19 Εισαγωγικές Έννοιες 9 3. Τέλος, για να έχουμε το αποτέλεσμα, δηλαδή την τιμή της διαφοράς α β, θα πρέπει να αφαιρέσουμε από την ποσότητα το 0. ν ν α + (0 β) + Είναι προφανές, όμως, ότι αυτό επιτυγχάνεται αρκεί να ν διαγράψουμε (να αγνοήσουμε) από τον αριθμό α + (0 β) + το πρώτο από τα ν + ψηφία του, που όπως αναφέραμε παραπάνω είναι πάντα η μονάδα. Ορισμός.3 Η ποσότητα (0 ν ν β = β) + = 0 β ονομάζεται συμπλήρωμα του αριθμού β ως προς τον αριθμό 0. ν Για παράδειγμα, το συμπλήρωμα του αριθμού 345 είναι = 654+ = 655, του αριθμού είναι 99-+ = 87+ = 88 κ. ο. κ.. Τέλος, σημειώνουμε ότι ακριβώς επειδή για να έχει κανείς τη διαφορά α β, αρκεί να προσθέσει στον αριθμό α το συμπλήρωμα του β και να διαγράψει το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος, η μέθοδος, που περιγράψαμε παραπάνω, είναι γνωστή ως η μέθοδος ή ο αλγόριθμος του συμπληρώματος.

20 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Συμπερασματικά, λοιπόν, για την εύρεση της διαφοράς α β με τη μέθοδο του συμπληρώματος ( α, β θετικοί ακέραιοι με τον ίδιο αριθμό ψηφίων), τα βήματα που ακολουθούμε είναι ο βήμα : Βρίσκουμε το συμπλήρωμα του β, β. ο βήμα : Κάνουμε την πρόσθεση α + β. 3 ο βήμα : Αγνοούμε το πρώτο ψηφίο του αριθμού α + β, που είναι πάντα μονάδα, και το αποτέλεσμα είναι το ζητούμενο, δηλαδή η διαφορά α β. Παράδειγμα.3 Να βρεθεί η διαφορά , με τον αλγόριθμο του συμπληρώματος. Απάντηση Για να έχουν ίδιο αριθμό ψηφίων οι δύο αριθμοί θεωρούμε τον αριθμό 345 ως 0345 και στην συνέχεια εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο του συμπληρώματος. Έτσι έχουμε ο βήμα Το συμπλήρωμα του 0345 ως προς το 0 4 είναι =9654+ =9655. ο βήμα =37 3 ο βήμα 37 / και το ζητούμενο αποτέλεσμα είναι το = 37.

21 Εισαγωγικές Έννοιες Παράδειγμα.4 Να βρεθεί με την μέθοδο του συμπληρώματος η διαφορά , όπου με. συμβολίζουμε το σημείο της υποδιαστολής. Απάντηση Σύμφωνα με τη θεωρία μας, θα βρούμε τη διαφορά των ακέραιων αριθμών 36879, 450, δηλαδή το , με τον αλγόριθμο του συμπληρώματος και στο τελικό αποτέλεσμα θα χωρίσουμε δύο δεκαδικά ψηφία. Έτσι έχουμε ο βήμα Το συμπλήρωμα του αριθμού 450 ως προς το 0 5 είναι = = ο βήμα = ο βήμα 359, / οπότε =359. Άρα, το αποτέλεσμα της διαφοράς, είναι 3.59.

22 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση.3 Παράσταση πραγματικών αριθμών.3. Παράσταση αριθμού σταθερής υποδιαστολής Η παράσταση ενός αριθμού x σταθερής υποδιαστολής, δίνεται από τον τύπο x = aa aabb b (.) 0 m, όπου το σημείο μεταξύ των ψηφίων a 0 και b ξεχωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος του αριθμού x, είναι δηλαδή το σημείο της υποδιαστολής. τύπο Η αριθμητική τιμή του αριθμού x θα δίνεται τότε από τον m β j (.) = 0 j= j vx ( ) = a + bβ, όπου β είναι η βάση του αριθμητικού συστήματος, που χρησιμοποιούμε, και οι τιμές των ψηφίων a και b j του αριθμού, για κάθε = 0() και j = () m, είναι τέτοιες ώστε 0 a, b < β. j Έτσι, για παράδειγμα, για β = 0 έχουμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, που κυρίως χρησιμοποιούμε, με ψηφία a και b j τα 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9, ενώ για

23 Εισαγωγικές Έννοιες 3 β = έχουμε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης με ψηφία a και b j τα 0 και, και χρησιμοποιείται από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Άλλα αριθμητικά συστήματα, που χρησιμοποιούνται και βρίσκουν εφαρμογή στους σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές είναι τα συστήματα αρίθμησης, που έχουν ως βάση δυνάμεις του αριθμού, όπως το οκταδικό σύστημα αρίθμησης με βάση 3 β = 8= και ψηφία 0,,, 3, 4, 5, 6, και 7 και το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης με βάση και ψηφία 4 β = 6 = 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E και F..3. Μετατροπή αριθμών με κλασματικό μέρος από ένα σύστημα αρίθμησης σε ένα άλλο σύστημα αρίθμησης Είναι φανερό από τη σχέση (.), ότι η μετατροπή ενός αριθμού με κλασματικό και μόνο μέρος από το οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης στο δεκαδικό, είναι άμεση συνέπεια αυτής ακριβώς της σχέσης. Πράγματι, σύμφωνα με τη σχέση (.), εύκολα κανείς έχει. (0.0) = = = /+/4+/6 = 3/6 = (0.85) 0

24 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. (0.) 3 = = /3+/9 = 5/9 = (0.55 ) 0 3. (0.46) 8 = = /8+4/64+6/5 = 66/5 = ( ) 0 4. (0.0) 6 = = /6+/56 = 44/56 = (0.7875) 0. Σημειώνουμε ότι ο αριθμός, που υπάρχει στα παραπάνω παραδείγματα κάτω δεξιά της παρένθεσης, δηλώνει το αριθμητικό σύστημα στο οποίο έχουμε τον αριθμό. Εκείνο, που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια αυτής της παραγράφου είναι η μετατροπή ενός αριθμού με κλασματικό και μόνο μέρος από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στο οποιοδήποτε άλλο σύστημα αρίθμησης. Έτσι θα μπορούμε με ενδιάμεσο σύστημα αρίθμησης το δεκαδικό να πηγαίνουμε από το οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης στο οποιοδήποτε άλλο σύστημα αρίθμησης. Έστω, λοιπόν, ότι έχουμε τον αριθμό x με κλασματικό και μόνο μέρος στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και θέλουμε να τον μετατρέψουμε στο αριθμητικό σύστημα με βάση β, με πράξεις μέσα στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Αν ο αριθμός x στο αριθμητικό σύστημα με βάση β παρασταθεί ως, θα έχει τιμή x= bb β (0. ), vx ( ) = bβ. = Παρατηρούμε ότι

25 Εισαγωγικές Έννοιες 5 + ( ) β. = β vx = b+ b (.3) Από τη σχέση (.3) είναι φανερό ότι το άγνωστο ψηφίο b, που ψάχναμε στο σύστημα αρίθμησης με βάση το β του αριθμού x, μπορεί να βρεθεί ως το ακέραιο μέρος του γινομένου β vx ( ). Έτσι, συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο για το κλασματικό μέρος του αριθμού β vx ( ), = b β +, βρίσκουμε το ψηφίο b του αριθμού x, κ. ο. κ.. Παράδειγμα.5 Να μετατραπεί ο αριθμός (0.475) 0 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Απάντηση (0.475) 0 = 0.95, άρα b =0 (0.95) 0 =.9, άρα b = (0.9) 0 =.8, άρα b 3 = (0.8) 0 =.6, άρα b 4 = (0.6) 0 =., άρα b 5 = (0.) 0 = 0.4, άρα b 6 =0 (0.4) 0 = 0.8, άρα b 7 =0 (0.8) 0 =.6, άρα b 8 = (0.6) 0 =., άρα b 9 =

26 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση (0.) 0 = 0.4, άρα b 0 =0 (0.4) 0 = 0.8, άρα b =0 Συνεπώς, (0.475) 0 = ( ). Παράδειγμα.6 Να μετατραπεί ο αριθμός ( ) 0 στο δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης. Απάντηση 6 ( ) 0 = 0.875, άρα b = A, 6 (0.875) 0 = 3.0, άρα b =3 και συνεπώς, ( ) 0 = (0. A 3) 6. Παρατήρηση Φυσικά όταν ο αριθμός έχει και ακέραιο μέρος, όπως στον τύπο (.), τότε στην μετατροπή από το ένα σύστημα αρίθμησης στο άλλο εργαζόμαστε ξεχωριστά για το ακέραιο μέρος του αριθμού και ξεχωριστά για το κλασματικό μέρος του αριθμού και στο τέλος ενώνουμε τα δύο αποτελέσματα, χωρίζοντας τα με το σημείο της υποδιαστολής. Δεν μιλήσαμε καθόλου για μετατροπή ακέραιων αριθμών από το ένα αριθμητικό σύστημα αρίθμησης στο άλλο, γιατί το θεωρήσαμε γνωστό από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Σημειώνουμε πάντως, ότι η μετατροπή ακέραιου αριθμού από οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης με βάση β στο δεκαδικό σύστημα

27 Εισαγωγικές Έννοιες 7 αρίθμησης, είναι άμεση συνέπεια του τύπου (.) αν αγνοήσουμε τον όρο αυτού m j= b β j j, ενώ για την μετατροπή ενός ακέραιου αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στο οποιοδήποτε άλλο, χρησιμοποιούμε την μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων, που θα περιγράψουμε στην συνέχεια με δύο λόγια. Αν x είναι ο αριθμός, που θέλουμε να μετατρέψουμε στο σύστημα αρίθμησης με βάση το β, θα έχει σε αυτό το σύστημα αρίθμησης ως παράσταση την έκφραση και τιμή x = ( bb bb 0) β 0 = 0 vx ( ) = b β = b+ b β + b β + + b β. Αν διαιρέσουμε την τιμή αυτή με τη βάση β του συστήματος αρίθμησης, που θέλουμε να μετατρέψουμε τον αριθμό x, έχουμε vx ( ) β b 0 = + b β = β. Η τελευταία σχέση, έχοντας υπόψη την ταυτότητα της διαίρεσης Δ= δ π + υ, όπου Δ ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης, π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο μιας διαίρεσης, μας δείχνει ότι το ψηφίο b 0 του αριθμού που ψάχνουμε είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του vx ( ) με τη βάση β.

28 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Στην συνέχεια και με το ίδιο σκεπτικό θα μπορούσε κανείς να βρει το ψηφίο b ως το υπόλοιπο της διαίρεσης του όρου = b β με τη βάση του συστήματος αρίθμησης β και συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο να έχουμε τα ψηφία b, b3,, και τέλος το ψηφίο b του ζητούμενου αριθμού x στο σύστημα αρίθμησης με βάση το β. Παράδειγμα.7 Να μετατραπεί ο αριθμός ( ) 0 στο δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης. Απάντηση Όπως αναφέραμε στην παραπάνω παρατήρηση, θα εργαστούμε χωριστά για το ακέραιο μέρος και χωριστά για το κλασματικό μέρος του αριθμού, που μας δόθηκε. Για το κλασματικό μέρος του αριθμού από το παράδειγμα.6 αυτής της παραγράφου έχουμε ( ) 0 = (0.Α3) 6. Επίσης, για το ακέραιο μέρος του αριθμού, με διαδοχικές ακέραιες διαιρέσεις, έχουμε 45/6=34 με υπόλοιπο το, 34/6= 8 με υπόλοιπο το 6 και 8/6=0 με υπόλοιπο το 8. Άρα, (45) 0 = (86) 6 και τελικά έχουμε

29 Εισαγωγικές Έννοιες 9 ( ) 0 = (86. A 3) 6. στην μορφή.3.3 Παράσταση αριθμών κινητής υποδιαστολής Ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός x, μπορεί να γραφεί m x= s 0 d d β, (.4) όπου s είναι το πρόσημο του αριθμού x ( s = ή s = ), η υποδιαστολή, d, =,,, ψηφία του αριθμητικού συστήματος με βάση το β και m ακέραιος αριθμός. Ανάλογα με τον ηλεκτρονικό υπολογιστή, που χρησιμοποιούμε, ο αριθμός m είναι τέτοιος ώστε m [ L, U]. Εάν m< L κατά την παράσταση του αριθμού στον ηλεκτρονικό υπολογιστή έχουμε σφάλμα, που ονομάζεται uderflow, ενώ για m > U έχουμε σφάλμα, που ονομάζεται overflow. Προφανώς το uderflow σφάλμα είναι λιγότερο σοβαρό από το overflow. Σημειώνουμε ότι αν ο αριθμός στη σχέση (.4) είναι τέτοιος ώστε d 0, τότε λέμε ότι ο αριθμός x είναι κανονικοποιημένος αριθμός κινητής υποδιαστολής και το πλήθος των ψηφίων d, =,,, αποτελούν τα σημαντικά ψηφία, όπως λέμε, του αριθμού. Για παράδειγμα, οι αριθμοί του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και , στην μορφή (.4) και μάλιστα κανονικοποιημένοι παίρνουν τη μορφή *0 και *0 με επτά σημαντικά και τρία σημαντικά ψηφία αντίστοιχα.

30 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ο τρόπος αυτός παράστασης των αριθμών(κανονικοποιημένη μορφή) επιτρέπει τη χρησιμοποίηση στην πράξη πολύ μεγάλων ή πολύ μικρών αριθμών. Έτσι, για παράδειγμα ο αριθμός , που παριστάνει την ηλικία της γης σε χρόνια, με τον τρόπο αυτό είναι ο αριθμός ενώ ο αριθμός , που παριστάνει την απόσταση της γης από τον ήλιο σε μέτρα, είναι ο Ακόμη η ακτίνα του ατόμου του υδρογόνου σε χιλιοστά βρέθηκε ότι είναι , αριθμός που θα ήταν δύσκολο να κατανοηθεί με το συνηθισμένο τρόπο γραφής ως Όπως μπορεί να παρατηρήσει κανείς, η παράσταση αριθμών σε διάφορα αριθμητικά συστήματα, απαιτεί πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό ψηφίων. Για παράδειγμα είδαμε ότι (0.46) 8 (0.3487) 0 και (0.475) 0 ( ), όπου το σύμβολο σημαίνει περίπου ίσον. Αν τα ψηφία όμως ενός αριθμού είναι άπειρα σε ένα αριθμητικό σύστημα, στο οποίο εργάζεται ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, τότε μόνο ένας ορισμένος (πεπερασμένος) αριθμός ψηφίων μπορεί να παρασταθεί και να απομνημονευτεί στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Άρα στην πράξη δεν έχουμε τον ακριβή αριθμό κινητής υποδιαστολής πάντα, αλλά ένα προσεγγιστικό αριθμό αυτού με k και μόνο σημαντικά ψηφία, που έχει τη δυνατότητα να αναγνωρίσει ο ηλεκτρονικός υπολογιστής. Ο αριθμός, ακριβώς, των k ψηφίων του κλασματικού μέρους του αριθμού κινητής υποδιαστολής, που μπορεί να παραστήσει ο

31 Εισαγωγικές Έννοιες ηλεκτρονικός υπολογιστής, ονομάζεται ακρίβεια. Συνήθως, βέβαια, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές διαθέτουν ειδικό υλικό για την παράσταση αριθμών κινητής υποδιαστολής με διπλή ακρίβεια (διπλάσιο αριθμό σημαντικών ψηφίων). Έτσι, για τον ηλεκτρονικό υπολογιστή, οι αριθμοί αναγνωρίζονται με την μορφή (.4) και ανάλογα με τη δυνατότητα, που έχει, τους στρογγυλοποιεί σε k σημαντικά ψηφία, που είναι η ακρίβεια, που διαθέτει, με έναν από τους παρακάτω τρόπους ανάλογα με την κατασκευή του.. Μέθοδος αποκοπής Αγνοεί τα ψηφία d j, όπου j k+.. Μέθοδος στρογγυλοποίησης Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής παραλείπει τα σημαντικά ψηφία, που υπάρχουν πέρα από την k κλασματική θέση, το ψηφίο, όμως, d k της k κλασματικής θέσης το αυξάνει κατά μια μονάδα, αν το ψηφίο d k + της k + κλασματικής β θέσης είναι μεγαλύτερο από το, όπου β η βάση του αριθμητικού συστήματος, στο οποίο εργάζεται, διαφορετικά το αφήνει όπως είναι. β Στην κρίσιμη περίπτωση όπου d k + = και δεν υπάρχουν άλλα ψηφία στον αριθμό, δηλαδή dk+ = 0, dk+ = 0,, κατά την στρογγυλοποίηση του αριθμού σε k σημαντικά ψηφία συμφωνούμε να αυξάνουμε κατά μονάδα το ψηφίο dk αν αυτό είναι περιττός αριθμός και να το αφήνουμε όπως έχει αν αυτό είναι άρτιος αριθμός.

32 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώνουμε ότι στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο στρογγυλοποίησης και μόνο για την στρογγυλοποίηση ενός αριθμού κινητής υποδιαστολής σε k σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα.8 Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός α = ( ) 0 σε επτά σημαντικά ψηφία, στη συνέχεια σε έξι κ. ο. κ. και τέλος σε ένα σημαντικό ψηφίο. Απάντηση α α α α α 0.45 α 0.45 α 0.4. Παρατήρηση Θα πρέπει να σημειώσουμε εδώ, ότι όταν στρογγυλοποιούμε έναν αριθμό κινητής υποδιαστολής σε k σημαντικά ψηφία με τη μέθοδο της στρογγυλοποίησης, και μάλιστα βήμα-βήμα όπως στο παράδειγμα.8, τις περισσότερες φορές έχουμε διαφορετικό αποτέλεσμα από το να στρογγυλοποιούσαμε τον αριθμό κατευθείαν σε k σημαντικά ψηφία.

33 Εισαγωγικές Έννοιες 3 Πράγματι, αν στρογγυλοποιούσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα τον αριθμό α κατευθείαν σε ένα σημαντικό ψηφίο το αποτέλεσμα σύμφωνα με την μέθοδο στρογγυλοποίησης θα ήταν α 0.5 και όχι α 0.4, που βρήκαμε στο παράδειγμα..3.4 Πράξεις με αριθμούς κινητής υποδιαστολής Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με κανονικοποιημένους αριθμούς κινητής υποδιαστολής γίνεται κανονικά και αν επιζητούμε ακρίβεια k σημαντικών ψηφίων, το αποτέλεσμα του κλασματικού μέρους στρογγυλοποιείται με τη μέθοδο στρογγυλοποίησης σε k σημαντικά ψηφία, αφού κανονικοποιηθεί. Για παράδειγμα, αν έχουμε k = 3 και θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης α = και β = έχουμε α β = = και β/α = = Όμως, η πρόσθεση ή η αφαίρεση δύο αριθμών κινητής υποδιαστολής μπορεί να γίνει σε τέσσερα διαδοχικά βήματα.. Μετασχηματισμός του ενός από τους αριθμούς έτσι ώστε και οι δύο αριθμοί να έχουν τον ίδιο εκθέτη.. Πρόσθεση ή αφαίρεση των κλασματικών μερών των αριθμών.

34 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 3. Κανονικοποίηση του αριθμού, που προκύπτει και 4. Στρογγυλοποίηση αυτού σε k σημαντικά ψηφία, που είναι η επιζητούμενη ακρίβεια. Για παράδειγμα, αν στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης έχουμε τους κανονικοποιημένους αριθμούς α = και β = και θέλουμε ακρίβεια k = 3 σημαντικών ψηφίων έχουμε για την πρόσθεση α + β = = = ( ) 0 = , ενώ για την αφαίρεση α-β = = = ( ) 0 = Με λίγη προσοχή στο παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε πως είτε προσθέσουμε τον αριθμό β στον αριθμό α είτε αφαιρέσουμε τον αριθμό β από τον αριθμό α, το αποτέλεσμα και στις δύο περιπτώσεις είναι το ίδιο. Αυτό είναι συνέπεια της ακρίβειας των τριών σημαντικών ψηφίων, που απαιτούμε, και τον τρόπο στρογγυλοποίησης, που χρησιμοποιήσαμε. Για αυτό θα πρέπει να είμαστε πάρα πολύ προσεκτικοί, όταν αναθέτουμε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή να κάνει πράξεις. Σημειώνουμε, για παράδειγμα, ότι για την αριθμητική του ηλεκτρονικού υπολογιστή δεν ισχύει για την πράξη της πρόσθεσης πάντοτε η προσεταιριστική ιδιότητα. Υπάρχει περίπτωση δηλαδή για τους πραγματικούς αριθμούς a,b και c να έχουμε (a+b)+c a+(b+c).

35 Εισαγωγικές Έννοιες 5 Αυτό θα το δούμε στο παράδειγμα.9 παρακάτω. Σημειώνουμε, τέλος, ότι αυτό μπορεί να συμβεί και για την προσεταιριστική ιδιότητα ως προς τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή να έχουμε a ( b c ) (a b) c ή και για την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση ή την αφαίρεση, να έχουμε δηλαδή το παράδοξο a (b±c) a b ± a c. Παράδειγμα.9 Αν έχουμε στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης τους αριθμούς a = b = c = και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, που χρησιμοποιούμε, έχει δυνατότητα ακρίβειας έξι σημαντικών ψηφίων, να εξεταστεί αν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση για τους παραπάνω αριθμούς. και Απάντηση Έχουμε (a+b)+c = ( ) = ( ) = ( = ( = a+ (b+c)= (

36 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 6 = = = και συνεπώς για τους αριθμούς a, b και c ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα για την πρόσθεση. 6 Παράδειγμα.0 Αν έχουμε στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης τους αριθμούς a = b = c = και ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, που χρησιμοποιούμε, έχει τη δυνατότητα ακρίβειας δύο σημαντικών ψηφίων, να δειχτεί ότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα για την πρόσθεση, όταν ο υπολογιστής στρογγυλοποιεί τους αριθμούς με τη μέθοδο της αποκοπής. Απάντηση Έχουμε (a+b)+c = ( ) = ( ) = = = , ενώ (a+b)+c = ( ) = =

37 Εισαγωγικές Έννοιες 7 = , οπότε πράγματι βλέπουμε ότι (a+b)+c a+(b+c). Σημειώνουμε ότι κι αν ακόμη ο ηλεκτρονικός υπολογιστής ήταν κατασκευασμένος, ώστε να κάνει τη στρογγυλοποίηση των αριθμών με τη μέθοδο της στρογγυλοποίησης και μάλιστα με την τροποποίηση, που εμείς συμφωνήσαμε να ακολουθούμε σε αυτή τη μέθοδο, όταν εργαζόμαστε με το χέρι, ξανά δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα για την πρόσθεση και για το συγκεκριμένο παράδειγμα. Αυτό αφήνεται ως άσκηση. Παράδειγμα. Να βρεθεί το άθροισμα , που αποτελείται από δύο εκατομμύρια όρους ίσους με του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, με τη βοήθεια ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή, ο οποίος μπορεί να απομνημονεύει σε μια θέση μνήμης του αριθμούς με έξι το πολύ σημαντικά ψηφία. Απάντηση Στο παράδειγμα αυτό, αν η πρόσθεση γίνει με το γνωστό τρόπο, δηλαδή ο δεύτερος όρος προστεθεί στον πρώτο, ο τρίτος στο άθροισμα των δύο πρώτων κ. ο. κ., το τελικό αποτέλεσμα, που θα δώσει ο συγκεκριμένος υπολογιστής, θα είναι ίσο με και όχι ίσο με, που αποτελεί και τη σωστή απάντηση. Αυτό οφείλεται ακριβώς στις δυνατότητες του συγκεκριμένου ηλεκτρονικού υπολογιστή, που χρησιμοποιούμε. Γιατί ενώ όλα θα πηγαίνουν κανονικά μέχρι και την

38 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση πρόσθεση του εκατομμυριοστού στη σειρά όρου, οπότε το άθροισμα θα είναι.00000, η πρόσθεση του εκατομμυριοστού πρώτου όρου θα αφήσει το αποτέλεσμα αμετάβλητο, αφού το σωστό άθροισμα τότε είναι.00000, αλλά ο αριθμός αυτός έχει επτά σημαντικά ψηφία και ο συγκεκριμένος υπολογιστής θα τον στρογγυλοποιήσει στα έξι σημαντικά ψηφία. Συνεπώς απαιτείται πολύ μεγάλη προσοχή, όταν αναθέτουμε στον υπολογιστή την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων και θα πρέπει να έχουμε πάντα κατά νου τις δυνατότητες, τις οποίες διαθέτει ο ηλεκτρονικός υπολογιστής που χρησιμοποιούμε κάθε φορά. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, αφού γνωρίζουμε ότι μόνο έξι σημαντικά ψηφία μπορεί να απομνημονεύσει ο υπολογιστής μας, ένας τρόπος για να υπολογίσομε με τον υπολογιστή το παραπάνω άθροισμα είναι ο παρακάτω. Να βρεθεί χωριστά το άθροισμα των ένα εκατομμύριο πρώτων όρων, χωριστά το άθροισμα των ένα εκατομμύριο τελευταίων όρων, που το καθένα θα είναι και τέλος να προστεθούν τα δύο μερικά αθροίσματα, οπότε θα έχουμε το σωστό αποτέλεσμα

39 Εισαγωγικές Έννοιες 9.4 Θεωρία Σφαλμάτων.4. Ορισμοί Στην πράξη, τα αρχικά δεδομένα (πληροφορίες εισόδου) για υπολογιστικά προβλήματα είναι γενικά προσεγγιστικοί αριθμοί. Άλλωστε ο όρος «Υπολογιστικά Μαθηματικά» οδηγεί στη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή για τη λύση προβλημάτων με πραγματικούς αριθμούς. Οι υπολογιστές όμως, όπως αναφέραμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο είναι πεπερασμένης δυνατότητας μηχανές. Δηλαδή, έχουν τη δυνατότητα να παριστάνουν τους πραγματικούς αριθμούς με πεπερασμένο αριθμό σημαντικών ψηφίων. Έτσι, τα δεδομένα μας, τα ενδιάμεσα αποτελέσματα και οι τελικές απαντήσεις, που θα πάρουμε σε ένα υπολογιστικό πρόβλημα, θα δίνονται προσεγγιστικά. Για αυτό πριν αρχίσουμε τη μελέτη για λύση διαφόρων προβλημάτων με Αριθμητική Ανάλυση, θα πρέπει να γνωρίσουμε γενικούς κανόνες χρήσης προσεγγιστικών αριθμών και υπολογισμού των σφαλμάτων, που έχουμε ως εκ τούτου. Ορισμός.4 Αν x είναι η ακριβής ή αληθινή τιμή μιας αριθμητικής ποσότητας και x η προσεγγιστική τιμή (αυτή που έχουμε υπολογίσει ή παρατηρήσει) της ίδιας ποσότητας, τότε η διαφορά ε = x x, (.5) ονομάζεται σφάλμα του προσεγγιστικού αριθμού x. Το αντίθετο ακριβώς της παραπάνω διαφοράς

40 30 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση ε = x x ονομάζεται διόρθωση του προσεγγιστικού αριθμού x. Στην πράξη, όμως, για το σφάλμα ή τη διόρθωση, επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημό τους, χρησιμοποιούμε το απόλυτο σφάλμα, το οποίο ορίζεται αμέσως παρακάτω. Ορισμός.5 Αν x είναι η ακριβής τιμή και x η προσεγγιστική τιμή μιας ποσότητας, τότε καλούμε απόλυτο σφάλμα την ποσότητα ε = ε = x x, (.6) όπου με a συμβολίζουμε την απόλυτο τιμή της αριθμητικής ποσότητας a. Όμως το απόλυτο σφάλμα δεν είναι αρκετό για να μας περιγράψει την ακρίβεια μιας μέτρησης ή μιας παρατήρησης. Κι αυτό γιατί θα πρέπει στον υπολογισμό του απολύτου σφάλματος να λαμβάνουμε υπόψη και το μέγεθος της ποσότητας, που μετράμε ή παρατηρούμε. Για παράδειγμα, αν μετρήσουμε το ύψος μιας πολυκατοικίας με ακριβή τιμή ύψους 0 μέτρα και την απόσταση δύο πόλεων με ακριβή τιμή απόστασης 0 χιλιομέτρων και βρούμε αντίστοιχα μέτρα και 000 μέτρα, τότε το απόλυτο σφάλμα και για τις δύο περιπτώσεις θα είναι ε = μέτρα.

41 Εισαγωγικές Έννοιες 3 Ενδόμυχα, όμως, πιστεύουμε ότι στην πρώτη περίπτωση κάνουμε μεγαλύτερο σφάλμα από ότι στη δεύτερη περίπτωση. Για αυτό στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό του σχετικού σφάλματος, το οποίο μας δίνει το σφάλμα σε σχέση με την ποσότητα, που μετράμε. Ορισμός.6 Αν x είναι η ακριβής τιμή και x η προσεγγιστική τιμή μιας ποσότητας, τότε το σχετικό σφάλμα αυτής, το οποίο θα συμβολίζουμε με δ, είναι x x ε ε δ = =, (.7) x x x όπου ε το σφάλμα, όπως ορίστηκε στον ορισμό.4. τύπο Επί πλέον το απόλυτο σχετικό σφάλμα θα δίνεται από τον x x ε ε δ = =. (.8) x x x Έτσι, στο παράδειγμά μας, για μεν την πολυκατοικία έχουμε απόλυτο σχετικό σφάλμα δ = = 0., 0 ενώ για την απόσταση των δύο πόλεων έχουμε απόλυτο σχετικό σφάλμα δ = = 0.000, 0000 που αποδεικνύει αυτό, το οποίο πιστεύαμε ενδόμυχα.

42 3 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση.4. Είδη σφαλμάτων Αν εξαιρέσουμε τα σφάλματα, που υπάρχουν στα δεδομένα ενός υπολογιστικού προβλήματος, τα οποία μπορούν να προέρχονται από τη μετατροπή του πραγματικού προβλήματος σε μαθηματικό πρόβλημα ή από τυχαία σφάλματα των οργάνων μέτρησης στις διάφορες μετρήσεις ή παρατηρήσεις, δύο είναι τα κύρια είδη σφαλμάτων, που εισχωρούν στους υπολογισμούς. Τα σφάλματα στρογγυλοποίησης και τα σφάλματα αποκοπής. Ύστερα από τον ορισμό του σφάλματος στην προηγούμενη παράγραφο και σύμφωνα με την παράγραφο.3.3 της παράστασης αριθμών κινητής υποδιαστολής, είναι προφανές τι εννοούμε όταν μιλάμε για σφάλματα στρογγυλοποίησης. Όπως, είναι προφανές πως, αν χρησιμοποιούμε την μέθοδο στρογγυλοποίησης και μάλιστα με την τροποποίηση, που παρουσιάσαμε στην παράγραφο.3.3, για να στρογγυλοποιήσουμε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης σε k δεκαδικά ψηφία, τότε το σφάλμα στρογγυλοποίησης ε για μια αριθμητική ποσότητα x είναι τέτοιο ώστε 0 k ε. (.9) Σημειώνουμε εδώ, ότι η περίπτωση ισότητας στην παραπάνω ανισοϊσότητα (.9) προκύπτει από την κρίσιμη περίπτωση, όπου το ψηφίο της k + δεκαδικής τάξης είναι το πέντε και δεν υπάρχουν άλλα δεκαδικά ψηφία ανώτερης τάξης για τον αριθμό (δεν υπάρχουν δηλαδή ψηφία k + δεκαδικής τάξης, k + 3 δεκαδικής τάξης κτλ. ). Τα σφάλματα αποκοπής παρουσιάζονται όταν κάποιες διαδικασίες στα θεωρητικά Μαθηματικά απαιτούν ένα άπειρο πλήθος βημάτων, ενώ στην πράξη είμαστε υποχρεωμένοι, για να πάρουμε

43 Εισαγωγικές Έννοιες 33 κάποιο συγκεκριμένο αποτέλεσμα, να ασχοληθούμε με πεπερασμένο πλήθος βημάτων. ώστε, Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση s x είναι τέτοια x x x s x= x + +, 3! 5! 7! έχει δηλαδή άπειρους όρους. Σημειώνεται εδώ ότι k!, όπου k θετικός ακέραιος, είναι το γνωστό k παραγοντικό k! = 3 ( k ) k με 0! =. Είναι προφανές, πως για να βρει κανείς την ακριβή τιμή του s x, θα πρέπει να αντικαταστήσει το x με το ίσον του στο δεύτερο μέλος και ύστερα από το άθροισμα άπειρων όρων να τη βρει. Όλα αυτά βέβαια, με την προϋπόθεση ότι δεν θα υπάρχουν σφάλματα στρογγυλοποίησης, πράγμα αναληθές. Στην πράξη, όμως, είμαστε υποχρεωμένοι να πάρουμε ένα συγκεκριμένο αριθμό όρων για το s x, ώστε να έχουμε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα για την τιμή του, έστω και προσεγγιστική. Το άθροισμα των όρων, που παραλείπουμε, και μάλιστα με αρνητικό πρόσημο, σύμφωνα με τον ορισμό.4 του σφάλματος αποτελεί το σφάλμα αποκοπής. Σε πολλές περιπτώσεις προσπαθώντας να ελαττώσουμε το σφάλμα αποκοπής, παίρνοντας όσο το δυνατό περισσότερους όρους, προκαλούμε αύξηση του σφάλματος στρογγυλοποίησης. Αυτό γιατί, ενώ το σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι ανάλογο του πλήθους των δεκαδικών ψηφίων, που χρησιμοποιούμε, το σφάλμα αποκοπής είναι αντιστρόφως ανάλογο σε σχέση με το πλήθος των όρων, που χρησιμοποιούμε.

44 34 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παρατήρηση Θα πρέπει να τονίσουμε εδώ, πως εκτός από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης και αποκοπής, έχουμε και τα σφάλματα, που προκύπτουν, εξαιτίας του συστήματος αρίθμησης και των δυνατοτήτων του ηλεκτρονικού υπολογιστή, που χρησιμοποιούμε. ή Για παράδειγμα, έχουμε (0.) 3 = (0.333 ) 0 (0.8) 0 = ( ). Έτσι, αν είχαμε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, που να είχε δυνατότητα απομνημόνευσης των αριθμών με έξι σημαντικά ψηφία και χρησιμοποιούσε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης, τότε ο ακριβής για μας αριθμός 0.8 στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, θα ήταν για τον υπολογιστή ο προσεγγιστικός αριθμός 0.00 του δυαδικού συστήματος αρίθμησης. Μετατρέποντας όμως τον δυαδικό αριθμό 0.00 στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης σύμφωνα με τον τύπο (.), παρατηρούμε ότι δεν θα έχουμε τον ακριβή αριθμό (0.8) 0 αλλά έχουμε τον αριθμό για οποιαδήποτε χρήση μέσου του συγκεκριμένου ηλεκτρονικού υπολογιστή. Έτσι, για παράδειγμα, ενώ για μας (0.8) 0 + (0.8) 0 = (.6) 0 για τον ηλεκτρονικό υπολογιστή έχουμε (0.00) + (0.00) = (.00) = ( ) 0.

45 Εισαγωγικές Έννοιες 35 Παράδειγμα. Ποιο από τα παρακάτω σφάλματα είναι στρογγυλοποίησης και ποιο αποκοπής; x. Αντικατάσταση του e, όπου x πραγματικός αριθμός και e η βάση των νεπερίων λογαρίθμων με 3 4 x x x + x ! 3! 4! Δίνεται ότι e x k x =. k! k = 0. Χρησιμοποίηση για τον αριθμό π, π ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του αντιστοίχου κυκλικού δίσκου, του αριθμού Χρήση της τιμής x 9 ως την τετραγωνική ρίζα του αριθμού ( ), όπου x 9 δίνεται ως η ενάτη επανάληψη του αλγορίθμου των Newto-Raphso x = k+ ( xk ), k 0,,, + x = με x 0 =. k 4. Διαίρεση του αριθμού με τον αριθμό 3 (, 3 αριθμοί του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης) και θεωρώντας ως αποτέλεσμα της παραπάνω πράξης τον αριθμό (0.333) 0. Απάντηση. Σφάλμα αποκοπής. Σφάλμα στρογγυλοποίησης

46 36 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 3. Σφάλμα αποκοπής και στρογγυλοποίησης 4. Σφάλμα στρογγυλοποίησης. Παράδειγμα.3 Να βρεθούν ελάχιστα φράγματα, για το απόλυτο σφάλμα και το απόλυτο σχετικό σφάλμα του αριθμού 0.0, που δίνεται με ακρίβεια τριών σημαντικών ψηφίων ή με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. Απάντηση Σύμφωνα με τον τύπο (.9) για το απόλυτο σφάλμα του αριθμού 0.0 έχουμε ε = Έτσι, το ελάχιστο φράγμα για το απόλυτο σφάλμα είναι ακριβώς ο αριθμός 0.05, ενώ για το απόλυτο σχετικό σφάλμα έχουμε από τον τύπο (3.4) ε δ, 0.0 οπότε ε 0.05 δ = Έτσι, το ελάχιστο φράγμα για το απόλυτο σχετικό σφάλμα είναι κατά προσέγγιση

47 Εισαγωγικές Έννοιες Μετάδοση σφαλμάτων στις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής Αν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς, τους οποίους γνωρίζουμε ακριβώς, για παράδειγμα τον αριθμό 4 και τον αριθμό 6, έχουμε ως αποτέλεσμα ένα ακριβές αποτέλεσμα τον αριθμό 4. Αν, όμως, έχουμε να πολλαπλασιάσουμε δύο προσεγγιστικούς αριθμούς, στρογγυλοποιημένους κατά τα γνωστά σε ένα δεκαδικό ψηφίο, για παράδειγμα τους αριθμούς.4 και 4.6, μπορούμε να δούμε βέβαια ότι το γινόμενό τους είναι ο αριθμός.04. Αλλά, ο αριθμός.4 μπορεί, σύμφωνα με τη μέθοδο της στρογγυλοποίησης να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το.35 μέχρι το.45 και ο αριθμός 4.6 μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το 4.55 μέχρι το Συνεπώς, στην πραγματικότητα, το γινόμενο των δύο παραπάνω αριθμών μπορεί να είναι ο οποιοσδήποτε αριθμός από το = μέχρι τον αριθμό =.395. Ακόμη στρογγυλοποιημένο το γινόμενο, που ζητάμε, σε ένα δεκαδικό ψηφίο, θα μπορούσε να είναι ο οποιοσδήποτε αριθμός από τον αριθμό 0.7 μέχρι τον αριθμό.4 και όχι ο αριθμός.0, που καταρχήν φαίνεται να έχουμε. Από το παράδειγμα αυτό είναι φανερό, ότι τα σφάλματα στις πληροφορίες εισόδου αποτελούν ένα σημαντικό για μελέτη θέμα στην Αριθμητική Ανάλυση, αφού μεταδίδονται στις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής και αυτό θα αποτελέσει το αντικείμενο μελέτης αυτής

48 38 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση της παραγράφου. Στην συνέχεια θα υποθέσουμε ότι δεν εισχωρούν κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων άλλα νέα σφάλματα εκτός από τα αρχικά σφάλματα στις πληροφορίες εισόδου. Αυτό βέβαια δεν είναι αλήθεια, γιατί στην πράξη είτε εργαζόμαστε με το χέρι, είτε με μια αριθμομηχανή, είτε με έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας αριθμούς με πεπερασμένο πλήθος σημαντικών ψηφίων. Έτσι, κι αν ακόμη αποφύγουμε όλα τα άλλα είδη σφαλμάτων, δεν θα αποφύγουμε τα σφάλματα στρογγυλοποίησης, στους διάφορους υπολογισμούς μας. Ας δούμε λοιπόν, πως τα μόνα υπάρχοντα αρχικά σφάλματα, πράγμα αναληθές, των πληροφοριών εισόδου, μεταδίδονται στις πληροφορίες εξόδου ενός υπολογιστικού προβλήματος. Για την μετάδοση τότε των απόλυτων σφαλμάτων και των απόλυτων σχετικών σφαλμάτων στις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής, ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα αντίστοιχα, τα οποία και θα αποδείξουμε. Θεώρημα. Το μέγιστο του απολύτου σφάλματος στην πρόσθεση δυο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων των αριθμών αυτών. Απόδειξη Έστω x, x είναι οι ακριβείς τιμές των αριθμών, που θέλουμε να προσθέσουμε και x, x αντίστοιχα οι προσεγγιστικές τους τιμές. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό.4 για το σφάλμα, έχουμε για τον κάθε αριθμό σφάλματα

49 Εισαγωγικές Έννοιες 39 αντίστοιχα. ε = x x και ε = x x Έτσι, αν ε είναι το σφάλμα του αθροίσματος των αριθμών x και x, θα έχουμε πάλι από τον ορισμό.4 ότι ε = ( x + x ) ( x + x ) = ( x + x ) ( x + x ) = = ( x x ) + ( x x ) = ε + ε. Άρα, το απόλυτο σφάλμα του αθροίσματος των αριθμών x και x,, ε θα είναι σύμφωνα με τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών, ε = ε + ε ε + ε. Από τη σχέση αυτή έχουμε τελικά max ε = ε + ε, (.0) δηλαδή το ζητούμενο. Πόρισμα. Το μέγιστο του απολύτου σφάλματος ενός αθροίσματος k αριθμών, είναι ίσο με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων των αριθμών αυτών. Απόδειξη x, x,, xk είναι οι ακριβείς τιμές των αριθμών και Αν x, x,, xk οι αντίστοιχες προσεγγιστικές τους τιμές, τότε σύμφωνα με τον ορισμό.4 για κάθε έναν από τους k αριθμούς θα έχουμε σφάλμα ε = x x, = () k.

50 40 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώνουμε εδώ ότι ο συμβολισμός = () k, δίνει την αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο τη μονάδα, λόγο τη μονάδα και τελευταίο όρο τον αριθμό k. Διαφορετικά θα μπορούσαμε να συμβολίσουμε το ίδιο πράγμα ως =,,, k. Επιστρέφοντας ξανά στην απόδειξη του πορίσματος, αν ε είναι το σφάλμα, όταν προσθέσουμε τους k αριθμούς, θα έχουμε πάλι από τον ορισμό.4 ότι ε = ( x + x + + x ) ( x + x + + x ) = k = ( x + x + + x ) ( x + x + + x ) = k = ( x x ) + ( x x ) + + ( x x ) = k = ε + ε + + ε k. k k k Σύμφωνα με το θεώρημα., πλέον, ή κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών έχουμε ε = ε + ε + + ε = ε + ( ε + + ε ) k ε + ε + ε + ε = ε + ε + ( ε + + ε ) 3 k 3 ε + ε + ε + + ε ε + ε + + ε 3 k k, από όπου παίρνουμε το ζητούμενο max. ε = ε + ε + + ε k k k Θεώρημα. Το μέγιστο του απολύτου σφάλματος στην αφαίρεση δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων των αριθμών αυτών.

51 Εισαγωγικές Έννοιες 4 Απόδειξη Έστω x, x με x > xοι ακριβείς τιμές δύο πραγματικών αριθμών με αντίστοιχες προσεγγιστικές τιμές x, x. Τότε, από τον ορισμό.4, για τον κάθε αριθμό έχουμε σφάλματα αντίστοιχα. ε = x x και ε = x x (.) Έτσι αν ε είναι το σφάλμα της διαφοράς των δύο αριθμών, θα έχουμε ότι ε = ( x x ) ( x x ) = = ( x x ) ( x x ) = = ( x x) ( x x) = ε ε. Από τη σχέση αυτή και τις ιδιότητες των απολύτων τιμών πραγματικών αριθμών, έχουμε για το απόλυτο σφάλμα στην αφαίρεση των αριθμών x και x ότι ε = ε ε ε + ε, από όπου παίρνουμε το ζητούμενο, ίδιο με τη σχέση (.0), max ε = ε + ε. Θεώρημα.3 Το μέγιστο του απολύτου σχετικού σφάλματος του γινομένου δύο αριθμών, είναι ίσο κατά προσέγγιση με το άθροισμα των απολύτων σχετικών σφαλμάτων των αριθμών αυτών.

52 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Απόδειξη Έστω x, x ( x 0, x 0) οι ακριβείς τιμές και x, x οι αντίστοιχες προσεγγιστικές τιμές δύο αριθμών, που θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό.4, έχουμε σφάλματα αντίστοιχα. ε = x x και ε = x x Αν καλέσουμε ε το σφάλμα του γινομένου των δύο αριθμών, θα έχουμε ε = ( x x ) x x = x x x x. (.) Από τις σχέσεις (.), όμως, έχουμε ότι x = ε + x και x = ε + x, οπότε αν αντικαταστήσουμε με αυτά τα x, x στη σχέση (.) θα πάρουμε ε ε ε = ( + x)( + x) xx εx εx εε x ε x. = + + ε + (.3) Εξάλλου, σύμφωνα με τον ορισμό.5 για το σχετικό σφάλμα, αν δ είναι το σχετικό σφάλμα του γινομένου xx και δ, δ τα σχετικά σφάλματα των αριθμών x, x αντίστοιχα, θα έχουμε κάνοντας χρήση και της σχέσης (.3) ότι ε ε x + ε x ε ε δ = = + = δ+ δ xx xx x x Έτσι, από τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών των πραγματικών αριθμών και τη σχέση, που καταλήξαμε, έχουμε δ δ + δ δ + δ,.

53 Εισαγωγικές Έννοιες 43 από όπου παίρνουμε max δ δ + δ, (.4) δηλαδή το ζητούμενο. Πόρισμα. Το μέγιστο του απόλυτου σχετικού σφάλματος του γινομένου k αριθμών x, x,, x k, είναι ίσο κατά προσέγγιση με το άθροισμα των απολύτων σχετικών σφαλμάτων των αριθμών αυτών. Απόδειξη Έστω δ, δ,, δk είναι τα σχετικά σφάλματα των πραγματικών αριθμών x, x,, x k, αντίστοιχα και δ το σχετικό σφάλμα του γινομένου των αριθμών αυτών θα έχουμε x x x k. Τότε από το θεώρημα.3, επειδή x x x = x ( x x x ), k 3 k max δ δ + το απόλυτο σχετικό σφάλμα του ( x x x k ) 3 3 δ + το απόλυτο σχετικό σφάλμα του ( x ( x x k )) δ + δ + το απόλυτο σχετικό σφάλμα του 3 4 ( x x x k )

54 44 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση δ + δ + + δ k, δηλαδή το ζητούμενο. Θεώρημα.4 Το μέγιστο του απολύτου σχετικού σφάλματος του πηλίκου δύο αριθμών, είναι ίσο κατά προσέγγιση με το άθροισμα των απολύτων σχετικών σφαλμάτων των αριθμών αυτών. Απόδειξη Έστω x, x ( x 0, x 0) είναι οι ακριβείς τιμές των δύο πραγματικών αριθμών και x, x οι αντίστοιχες προσεγγιστικές τιμές τους. Τότε τα αντίστοιχα σφάλματα, όπως και στη σχέση (.), θα είναι ε = x x και ε = x x και τα σχετικά σφάλματα για τους αριθμούς αυτούς θα είναι ε ε δ = και δ = αντίστοιχα. x x Αν καλέσουμε με ε το σφάλμα του πηλίκου των δύο αυτών αριθμών, θα έχουμε x x ε = = x x x x x x x x = =. (.5) x x x x Αλλά, όπως και στο θεώρημα.3, από τις σχέσεις (.), έχουμε x = ε + x και x = ε + x,

55 Εισαγωγικές Έννοιες 45 οπότε αντικαθιστώντας στον αριθμητή του κλάσματος της σχέσης (.5) όπου x και x τα ίσα τους από αυτές τις σχέσεις, θα πάρουμε ( x + ε ) x x ( x + ε ) ε x ε x = =. (.6) ε xx xx Από τον ορισμό.5, πλέον, για το σχετικό σφάλμα και κάνοντας χρήση της σχέσης (.6) έχουμε εx ε x ε xx εx εx εx εx ε ε δ = = = = = δ δ. x x xx xx x x x x Έτσι, παίρνοντας απόλυτες τιμές στην παραπάνω σχέση, βρίσκουμε δ δ δ δ + δ, από όπου έχουμε το ζητούμενο max δ δ + δ. Θα δώσουμε στην συνέχεια μερικά παραδείγματα για καλύτερη εμπέδωση της θεωρίας αυτής της παραγράφου, αλλά και ολόκληρου του κεφαλαίου της θεωρίας σφαλμάτων. Παράδειγμα.4 Να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αλγεβρικού αθροίσματος , όταν είναι γνωστό ότι όλοι οι αριθμοί, που δίνονται, είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία σημαντικά ψηφία.

56 46 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Απάντηση Αν ε, ε και ε 3 είναι αντίστοιχα τα σφάλματα για τους αριθμούς 3.54, 0.00 και 5.0, από τη θεωρία μας και ειδικότερα από τη σχέση (.9), έχουμε ότι ε ε , = = και ε3 = Εξάλλου, αν ε είναι το σφάλμα του αλγεβρικού αθροίσματος, που μας δόθηκε, τότε σύμφωνα με τα θεωρήματα. και. καθώς και το Πόρισμα., έχουμε ε ε + ε + ε3 + + = από όπου έχουμε το ζητούμενο max ε = , Παράδειγμα.5 Να βρεθεί κατά προσέγγιση το μέγιστο απόλυτο σχετικό σφάλμα για τη συνάρτηση y = xx, αν τα απόλυτα σχετικά σφάλματα των ποσοτήτων x και x είναι αντίστοιχα δ = 0. και δ = 0..

57 Εισαγωγικές Έννοιες 47 Απάντηση Αν δ είναι το σχετικό σφάλμα της συνάρτησης y, από το πόρισμα. έχουμε αφού max δ δ + δ + δ, y = x x = x x x. Συνεπώς, από την παραπάνω σχέση παίρνουμε max δ = 0.5. Παράδειγμα.6 Αν οι αριθμοί x.00 και x.00 δίνονται στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία, να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της έκφρασης x + x + x x, όπου x και x οι ακριβείς τιμές των παραπάνω αριθμών x και x αντίστοιχα. Απάντηση Καταρχήν από τις πληροφορίες εισόδου για το πρόβλημα μας και τον τύπο (.9), αν ε και ε είναι αντίστοιχα τα σφάλματα για τους αριθμούς x και x, έχουμε ε = και ε =

58 48 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εξάλλου, αν ε είναι το σφάλμα της έκφρασης του προβλήματος μας θα έχουμε ε = ( x + x + x x ) ( x + x + x x ) = x + x + x x x + x + x x, όπου x, x οι προσεγγιστικές τιμές των x, x αντίστοιχα. Ακόμη, από τον ορισμό.4 του σφάλματος, έχουμε x = x ε και x = x ε, οπότε xx = ( x ε )( x ε ) = xx ε x ε x + ε ε. Συνεπώς, το σφάλμα ε της έκφρασης, που μελετάμε, γίνεται ε = ( x x ) + ( x x ) + x x ( x x ε x ε x + ε ε ) = = ε + ε + ε x + ε x ε ε και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων των απολύτων τιμών των πραγματικών αριθμών και των πληροφοριών εισόδου έχουμε ε ε + ε + ε + ε + ε ε = = = = , από όπου έχουμε το ζητούμενο max ε =

59 . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ. Έννοιες, ορισμοί και σχέσεις πεπερασμένων διαφορών Έστω ότι δίνονται οι τιμές της συνάρτησης f ( x ) για ορισμένες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x, για παράδειγμα για x = x, = 0(), οπότε οι τιμές της συνάρτησης f ( x ) είναι f = f( x ). Τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα πίνακα, που ονομάζεται πίνακας διαφορών, αν δεξιά της στήλης των τιμών της συνάρτησης f, = 0(), γράψουμε μια στήλη που θα έχει ως στοιχεία τη διαφορά της προηγούμενης από την επόμενη τιμή της συνάρτησης. Οι διαφορές αυτές, που γράφονται σε μια νέα στήλη μεταξύ των τιμών της συνάρτησης καλούνται πρώτες διαφορές ή διαφορές πρώτης τάξης. Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να συνεχίσουμε οπότε θα έχουμε τις δεύτερες διαφορές ή τις διαφορές δεύτερης τάξης κ. ο. κ.. Παράδειγμα. x f( x) ες Διαφ. ες Διαφ. ες 3 Διαφ. ες 4 Διαφ

60 50 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Στο παραπάνω παράδειγμα, όπου είχαμε πέντε τιμές της συνάρτησης, ο πίνακας διαφορών ολοκληρώθηκε στις τέταρτες διαφορές και καθίσταται προφανές πως αν διαθέτουμε + τιμές της συνάρτησης ο πίνακας διαφορών θα ολοκληρωθεί στις διαφορές τάξης. Σημειώνουμε ότι οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x δεν παίζουν κανένα ρόλο στην ανάπτυξη του πίνακα διαφορών. Επίσης, θα πρέπει να τονίσουμε εξαρχής ότι οι πεπερασμένες διαφορές παίζουν μεγάλο ρόλο στην ανάπτυξη της θεωρίας, που θα ακολουθήσει στο επόμενο κεφάλαιο και αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία της Αριθμητικής Ανάλυσης. Ανάλογα με τον τρόπο που θα συμβολίζουμε τα στοιχεία του πίνακα διαφορών, παρότι ο πίνακας διαφορών παραμένει ο ίδιος και το τονίζουμε αυτό, διακρίνουμε τρεις τύπους πεπερασμένων διαφορών, που θα ορίσουμε στη συνέχεια. Ορισμός. Οι προς τα εμπρός διαφορές, που συμβολίζονται με Δ, ορίζονται από τη σχέση Δ f = f f +. Έτσι, οι προς τα εμπρός διαφορές δεύτερης τάξης θα δίνονται από τη σχέση Δ f =Δ( Δ f) =Δ( f+ f) =Δf+ Δ f = f+ f+ ( f+ f) = = f f + f + + και οι k τάξης προς τα εμπρός πεπερασμένες διαφορές θα δίνονται από τη σχέση

61 Πεπερασμένες διαφορές 5 Δ f =Δ ( Δ f ) =Δ ( f f ) =Δ f Δ f = k k k k k + + k k k k j k + k + k k j + k j j= 0 = f () f + + ()() f = ()() f. (.) Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης είναι πάρα πολύ εύκολη αρκεί να εισαγάγουμε τον τελεστή μετατόπισης Ε, που ορίζεται ως Ε f ( x) = f( x+ h), όπου h η διαφορά δυο διαδοχικών τιμών του x, όταν τα σημεία, οι διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής δηλαδή, είναι ισαπέχοντα. Τότε, επειδή Δ f = f+ f =Εf f = ( Ε ) f, k k k k j k k j j k f f j f j fk+ j j= 0 j= 0 Δ = ( Ε ) = ( ) ( ) Ε = ( ) ( ), δηλαδή το ζητούμενο. Σημειώνουμε ότι η τελευταία σχέση ισχύει και για μη ισαπέχοντα σημεία x, = 0(), και η απόδειξη γίνεται με τέλεια επαγωγή. Επίσης αποδεικνύεται εύκολα ότι ο τελεστής μετατόπισης Ε, που εισαγάγαμε, είναι γραμμικός και διαθέτει αντίστροφο (βλέπε βιβλίο Α. Χατζηδήμος, Αριθμητική Ανάλυση Ι, σελίδες 3-3 και 4-43 ). Όπως ορίστηκαν οι προς τα εμπρός πεπερασμένες διαφορές, ο πίνακας διαφορών θα έχει γενικά την παρακάτω μορφή

62 5 x f Δ 0 3 Δf Δ f0 4 Δ Δ 0 3 Δf Δ f 3 3 Δ 4 4 Δf x f f x f f f x f f x f Δf 3 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση και οι ίδιοι δείκτες των προς τα εμπρός διαφορών παρατηρούμε ότι εμφανίζονται σε παράλληλες γραμμές με φορά από πάνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά. Ορισμός. Οι προς τα πίσω διαφορές, που συμβολίζονται με, ορίζονται από τη σχέση f = f f. Έτσι, οι διαφορές δεύτερης τάξης θα δίνονται από τη σχέση f = ( f) = ( f f ) = f f = = f f ( f f ) = f f + f και οι προς τα πίσω διαφορές k τάξης θα δίνονται από τη σχέση f = ( f ) = ( f f ) = f f. k k k k k Όπως ορίστηκαν οι προς τα πίσω διαφορές, ο πίνακας διαφορών θα έχει πλέον τη μορφή

63 Πεπερασμένες διαφορές 53 x f f f f3 f f x f f x f f f x f f x f f 4 και οι ίδιοι δείκτες στις προς τα πίσω διαφορές εμφανίζονται σε παράλληλες γραμμές με φορά από κάτω αριστερά προς τα πάνω δεξιά. Ορισμός.3 Οι κεντρικές διαφορές πρώτης τάξης, που συμβολίζονται με δ, ορίζονται από τη σχέση f = f f. δ + + Έτσι, οι κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης θα δίνονται από τη σχέση δ f = δ( δ f ) = δ( f f ) = δ f δ f = + + = f f ( f f ) = f f + f + + και οι κεντρικές διαφορές k τάξης θα δίνονται από τη σχέση δ f = δ ( δ f ) = δ ( f f ) = δ f δ f. k k k k k + +

64 54 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Όπως ορίστηκαν οι κεντρικές διαφορές, ο πίνακας διαφορών θα έχει πλέον τη μορφή x f 0 0 δ 3 δ f3 δ f3 4 3 δ f5 δ f5 3 3 δ δ f x f f x f δ f δ f x f f x f δ f 7 και οι ίδιοι δείκτες εμφανίζονται πλέον κατά μήκος της ίδιας οριζόντιας γραμμής. Είναι φανερό, από τους ορισμούς.,. και.3, ότι f f =Δ f = f = δ f f f + f =Δ f = f = δ f , και γενικότερα μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι ισχύουν οι σχέσεις Δ f = f = δ f, k =,,. (.) k k k + k + k Η τελευταία σχέση μας δίνει τον τύπο, ο οποίος διέπει τα τρία είδη πεπερασμένων διαφορών που περιγράψαμε παραπάνω.

65 Πεπερασμένες διαφορές 55 Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (.) και (.), έχουμε επί πλέον αποδείξει το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα. Η οποιαδήποτε διαφορά k τάξης μιας συνάρτησης εκφράζεται ως συνάρτηση των τιμών της συνάρτησης και μόνο. Συγκεκριμένα ισχύουν οι σχέσεις ( ) k k k k j k + k δ + k j k+ j j= 0 Δ f = f = f = ( ) f, k =,,, όπου f είναι η τιμή της συνάρτησης f ( x ) για x = x, = 0(). Όπως είδαμε παραπάνω η απόδειξη του θεωρήματος. ευκολύνεται κατά πολύ όταν οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, για τις οποίες δίνονται οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης, ισαπέχουν. Στη συνέχεια θα θεωρούμε ότι οι διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x ισαπέχουν, δηλαδή x x = h, + = 0(), και η σταθερά h θα αποκαλείται βήμα πινακοποίησης. Έτσι είμαστε σε θέση, πλέον, να αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα. σταθερές. Θεώρημα. Οι διαφορές τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού είναι

66 56 Απόδειξη Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (.), που αποδεικνύουν ότι οι τρεις τύποι διαφορών συμπίπτουν απόλυτα και μόνο ο συμβολισμός τους και οι σχετικοί δείκτες αλλάζουν, είναι φανερό, πως αρκεί να αποδείξουμε το θεώρημα. μόνο για τις προς τα εμπρός διαφορές. Έστω λοιπόν p ( x) = a x + a x + + a x+ a, a 0, 0 το πολυώνυμο βαθμού. Τότε Δ p ( x) = p ( x+ h) p ( x) = a ( x+ h) + a ( x+ h) + + a ( x+ h) + a 0 ( ax + a x + + ax+ a) = 0 = a ( x + hx + ) + a ( x + ( ) hx + ) + + a ( x + h) + a 0 ( ax + a x + + ax+ a) = 0 = + ροι < του ( ) βαθμο. ahx ό ύ Έτσι, αποδείξαμε ότι η προς τα εμπρός διαφορά πρώτης τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου το a αποτελεί πολυώνυμο βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου το ah. Εφαρμόζοντας το συμπέρασμα αυτό διαδοχικά έχουμε

67 Πεπερασμένες διαφορές 57 Δ p ( x) =Δ( Δ p ( x)) =Δ ( a hx + όροι < του ( ) βαθμού) = = ah hx + ό < ύ ( ) ροι του ( ) βαθμο, Δ p( x) = ah ( ) h ( ) hx + όροι < του ( 3) βαθμού 3 3 και τ έλος Δ p( x) = ah ( ) h ( ) h hhx = ah! = σταθερά, οπότε αποδείχτηκε το ζητούμενο. Πόρισμα Οι διαφορές ( + ) και ανώτερης τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού είναι ίσες με μηδέν. Παράδειγμα. Να κατασκευαστεί ο πίνακας διαφορών για το πολυώνυμο x 3 x+, όταν δίνονται οι τιμές του για x = 0()5. Απάντηση x f Δ Δ Δ Δ Δ

68 58 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παρατηρούμε πράγματι ότι στον πίνακα διαφορών, που κατασκευάσαμε, επαληθεύεται το θεώρημα. και το αντίστοιχο πόρισμά του. τάξης. Μετάδοση σφαλμάτων σε διαφορές ανώτερης Έστω ότι οι τιμές της συνάρτησης f ( x), f = f( x ), = 0(), είναι εμπειρικές, προέρχονται δηλαδή από ένα πείραμα ή μια παρατήρηση. Τότε είναι προφανές ότι θα υπάρχουν σφάλματα στις τιμές της συνάρτησης f ( x ) και αντί για παράδειγμα να έχουμε διαθέσιμη την ακριβή τιμή f για x = x, θα έχουμε την προσεγγιστική της τιμή Από τον ορισμό του σφάλματος θα έχουμε κατά αυτόν τον τρόπο ένα σφάλμα για κάθε τιμή της συνάρτησης f ε = f f 0 * και είναι φυσικό, χωρίς βλάβη της γενικότητας, λόγω των σχέσεων (.), οι k τάξης διαφορές των προς τα εμπρός διαφορών να είναι f *. προσεγγιστικές και αντί για την ακριβή τιμή τους Δ να έχουμε k f διαθέσιμες τις προσεγγιστικές τους τιμές k * k * ( Δ f) =Δ f. Έτσι, από τον ορισμό του σφάλματος, στις k τάξης διαφορές θα έχουμε ένα σφάλμα ε =Δ f Δ k k * k και σύμφωνα με τη σχέση (.) θα έχουμε f

69 Πεπερασμένες διαφορές 59 ε k * ( ) f ( ) k k j k j k ( ) j + k j ( ) j f+ k j j= 0 j= 0 = = k ( ) f f ( ) k j k * j k 0 ( ) j ( + k j + k j) ( ) jε+ k j. j= 0 j= 0 = = (.3) Η σχέση (.3) μας δίνει το σφάλμα στις k τάξης διαφορές ως συνάρτηση των σφαλμάτων ε 0 l, l = () + k, που υπάρχουν στις τιμές της συνάρτησης f. Εξάλλου, από τη σχέση (.3) έχουμε ε k 0 ( ) k k j ε + k j j= 0 (.4) και έτσι έχουμε ένα πάνω φράγμα για το απόλυτο σφάλμα στις k τάξης διαφορές μιας συνάρτησης. Οι τύποι (.3) και (.4) είναι πολύ χρήσιμοι στην πράξη και αν, για παράδειγμα, υποθέσουμε ότι στις τιμές της συνάρτησης υπάρχουν μόνο σφάλματα στρογγυλοποίησης θα πάρουμε πιο εξειδικευμένο πάνω φράγμα για το απόλυτο σφάλμα στις k τάξης διαφορές μιας συνάρτησης. Ειδικότερα, αν υποθέσουμε ότι οι τιμές της συνάρτησης f ( x), f, = 0(), είναι στρογγυλοποιημένες σε m δεκαδικά ψηφία αυτό σημαίνει ότι m ε l *0, l = () + k, 0 και ο τύπος (.4) θα ισοδυναμεί με k k k k m k k j j m k m k m ε ( j) 0 = ( j) 0 = ( + ) 0 = 0. j= 0 j= 0 Θα κλείσουμε αυτή την παράγραφο αντιμετωπίζοντας στη συνέχεια μια ειδική περίπτωση όπου έχουμε την παρουσία ενός και μόνο σφάλματος, απομονωμένου σφάλματος όπως το αποκαλούμε, σε μια από τις τιμές της συνάρτησης f ( x ).

70 60 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση.. Μετάδοση ενός απομονωμένου σφάλματος στον πίνακα διαφορών Υποθέτουμε ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης f ( x ) είναι ακριβείς εκτός από μια τιμή της, έστω την f, η οποία είναι προσεγγιστική, * f έστω, τέτοια ώστε f = f + ε, * όπου ε το σφάλμα της προσεγγιστικής τιμής. Το ερώτημα είναι πως μεταδίδεται το σφάλμα ε στις διαφορές πρώτης ή και ανώτερης τάξης της συνάρτησης; Προς τούτο σχηματίζουμε τον πίνακα διαφορών με τα παραπάνω δεδομένα και έχουμε f f f Δ f 3 3 f f 3 f Δ f + ε 3 f ε f + ε Δ f ε 3 f ε f f+ Δ f + ε 3 f+ f f+ Δ f+ f f + 3 Δf Δ Δ + ε Δ + Δ 3ε Δ Δ + 3ε Δ Δ ε Δf Δ Δ Δ +

71 Πεπερασμένες διαφορές 6 Όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα διαφορών η μετάδοση του σφάλματος ε εμφανίζεται σε τριγωνική μορφή και επί πλέον παρατηρούμε ότι τα σφάλματα στις k τάξης διαφορές έχουν τιμές ε k επί τους διωνυμικούς συντελεστές ( j ), j = 0() k, με εναλλασσόμενα πρόσημα. Επίσης παρατηρούμε ότι η τιμή της συνάρτησης f ( x), f, στην οποία παρουσιάζεται το σφάλμα ε βρίσκεται στην ίδια οριζόντια γραμμή με την διαφορά k τάξης, που έχει το μεγαλύτερο απόλυτο σφάλμα αν το k είναι άρτιος αριθμός ή βρίσκεται στην οριζόντια γραμμή, που διέρχεται ανάμεσα από τις διαφορές k τάξης, που έχουν το μέγιστο απόλυτο σφάλμα, αν το k είναι περιττός αριθμός. Από τα παραπάνω είναι φανερό πως αν η συνάρτηση f ( x ) είναι πολυώνυμο συγκεκριμένου βαθμού ή μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμο γνωστού βαθμού με μεγάλη ακρίβεια με κάποια διαδικασία προσέγγισής της, έχοντας υπόψη και το θεώρημα., μπορούμε να ανακαλύψουμε την ύπαρξη του απομονωμένου σφάλματος και να το υπολογίσουμε. Στη συνέχεια και για να το κατανοήσουμε καλύτερα αυτό, δίνουμε ένα παράδειγμα και την αντίστοιχη λύση του. Παράδειγμα.3 Να βρεθεί το απομονωμένο σφάλμα που υπάρχει σε μια από τις τιμές της συνάρτησης f ( x ), που δίνονται από τον παρακάτω πίνακα τιμών

72 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση x f( x) και να διορθωθεί η αντίστοιχη τιμή της, όταν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f ( x ) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Λύση Σχηματίζουμε τον πίνακα διαφορών της συνάρτησης f ( x ) και παρατηρούμε ότι οι τέταρτες διαφορές της συνάρτησης δεν είναι μηδέν, παρότι γνωρίζουμε ότι αυτή είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού και σύμφωνα με το πόρισμα του θεωρήματος. θα έπρεπε να ήταν μηδέν. Επομένως οι τέταρτες διαφορές, που δεν είναι ίσες με μηδέν, θα πρέπει να είναι ίσες με τα γινόμενα του απομονωμένου σφάλματος ε επί τους αντίστοιχους δυωνυμικούς συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, σύμφωνα με αυτά που αναπτύξαμε στη θεωρία μας.

73 Πεπερασμένες διαφορές 63 f( x) Δ Δ Δ Δ Επομένως λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές από τον πίνακα διαφορών έχουμε ε = = = = = =, δηλαδή ε =. Σύμφωνα με το γενικό πίνακα διαφορών και την παρατήρηση που κάναμε εκεί υπάρχει σφάλμα στην τιμή της συνάρτησης f () ίσον με και η αντίστοιχη διορθωμένη τιμή, αφού

74 64 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση f * () = f() + ε, είναι * () = () = 3 =. f f ε Πράγματι αν σχηματίσουμε τώρα τον πίνακα διαφορών με διορθωμένη την τιμή f () έχουμε f( x) Δ Δ Δ Δ

75 Πεπερασμένες διαφορές 65 από όπου φαίνεται ότι ικανοποιείται τόσο το θεώρημα. όσο και το αντίστοιχο πόρισμά του. Τέλος, όπως θα δούμε στο επόμενο κυρίως κεφάλαιο πολλές φορές απαιτείται η εύρεση της τιμής ενός πολυωνύμου ή και των παραγώγων αυτού σε κάποιο σημείο. Για αυτό θα δώσουμε στη συνέχεια έναν αλγόριθμο για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος και όχι μόνον..3 Αλγόριθμος της συνθετικής διαίρεσης Όπως είδαμε στην παράγραφο. του πρώτου Κεφαλαίου, από τη μεριά της Αριθμητικής Ανάλυσης μας ενδιαφέρει εκτός από την ακρίβεια, που τη μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και η ταχύτητα, με την οποία ένας αλγόριθμος θα φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Η ταχύτητα ενός αλγορίθμου είναι συνάρτηση του αριθμού των πράξεων, που απαιτούνται ώστε ο αλγόριθμος να οδηγήσει στη λύση του προβλήματος, γιατί περισσότερες πράξεις του αλγορίθμου σημαίνει περισσότερο χρόνο χρήσης του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Έτσι η Αριθμητική Ανάλυση έχει ως στόχο να υποδεικνύει αλγορίθμους, που να φθάνουν στο επιδιωκόμενο αποτέλεσμα στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα, κάνοντας δηλαδή όσο το δυνατό λιγότερες πράξεις. Αυτό θα κατανοηθεί καλύτερα μελετώντας από την άποψη πράξεων το παρακάτω παράδειγμα, που αναφέρεται στην εύρεση της τιμής ενός πολυώνυμου για μια συγκεκριμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής του. Έστω λοιπόν ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή του πολυωνύμου βαθμού

76 66 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση p ( x) a x + a x + + a x+ a, (.5) 0 για τυχαίο πραγματικό αριθμό r. Χωρίς να πολυσκεφτούμε, ένας τρόπος και ο πιο συνηθισμένος άλλωστε για την εύρεση της τιμής p () r είναι να πολλαπλασιάσουμε το a με το r, το αποτέλεσμα ξανά με r κ. ο. κ. και στο τέλος ύστερα από πολλαπλασιασμούς να έχουμε τον πρώτο όρο του πολυωνύμου της σχέσης (.5) για x = r ar. Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο, ύστερα από πολλαπλασιασμούς θα έχουμε τον όρο a r κ. ο. κ., και τέλος θα έχουμε τον όρο ar ύστερα από έναν πολλαπλασιασμό. Επίσης, για την εύρεση του ζητούμενου, δηλαδή του p () r a r + a r + + ar+ a, 0 έχουμε να κάνουμε και προσθέσεις των γνωστών πλέον όρων και ar, a r,, ar, a. 0 Συνολικά, δηλαδή, ύστερα από ( + ) ( ) + πολλαπλασιασμούς προσθέσεις,

77 Πεπερασμένες διαφορές 67 έχουμε την τιμή του πολυωνύμου p ( x ) για τον πραγματικό αριθμό r, που μας ζητείται. Με λίγη σκέψη, όμως, θα μπορούσαμε να περιορίσουμε τον αριθμό των πράξεων στο παραπάνω πρόβλημα, οπότε και η λύση του μέσω ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή θα απαιτούσε λιγότερο χρόνο. Καταρχήν σχηματίζουμε τις δυνάμεις της ποσότητας r και έχουμε στη σειρά τα r r r r,,,,, ύστερα από πολλαπλασιασμούς. τους όρους Στη συνέχεια με ακόμη πολλαπλασιασμούς σχηματίζουμε ar, ar,, a r, ar του πολυωνύμου p ( x ) της σχέσης (.5) για x = r. Τέλος, ύστερα από προσθέσεις των όρων a, ar, a r,, a r, a r 0 έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή το p (). r Ο δεύτερος τρόπος είναι πιο γρήγορος από τον πρώτο, αφού οι πολλαπλασιασμοί σε αυτόν είναι και ( + ) ( ) = ( )( ) > 0, όταν το πολυώνυμο p ( x ) είναι μεγαλύτερου βαθμού από δύο. Είναι φανερό ότι για = και = οι δύο τρόποι συμπίπτουν από την άποψη της ταχύτητας.

78 68 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Όσο και να φαίνεται παράξενο υπάρχει και άλλη μέθοδος, γνωστή ως η μέθοδος της συνθετικής διαίρεσης ή του σχήματος του Horer, που είναι ακόμη πιο γρήγορη από τον δεύτερο τρόπο εύρεσης της τιμής p () r του πολυωνύμου της σχέσης (.5) στο σημείο r. Η μέθοδος αυτή κατασκευάζεται κάνοντας χρήση του αλγορίθμου της διαίρεσης, p ( x) ( x r) q ( x) + R, (.6) όπου q ( ) x είναι το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου p( x ) με το x r και είναι πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή έστω το q ( x) β x + β x + + β x+ β, (.7) και του θεωρήματος του υπολοίπου p (), r R (.8) και στηρίζεται στη δυνατότητα γραφής του πολυωνύμου p ( x ) με τη μορφή p ( x) ( (( a x+ a ) x+ a ) x+ + a ) x+ a. 0 Αντικαθιστώντας στον αλγόριθμο της διαίρεσης (.6), όπου q ( ) x το ίσον του από τη σχέση (.7), όπου R το ίσον του από τη σχέση (.8) και κάνοντας πράξεις έχουμε p ( x) a x + a x + + a x+ a 0 ( x r)( β x + β x + + β x+ β ) + p ( r) β x + ( β rβ ) x + + ( β β r) x+ ( p ( r) rβ ).

79 Πεπερασμένες διαφορές 69 Εξισώνοντας, πλέον, τους συντελεστές των ιδίων δυνάμεων του x στα δύο εκ ταυτότητας ίσα πολυώνυμα της παραπάνω σχέσης έχουμε β =, β β = a r a, β β rβ =, a rβ = a p () r rβ = a, 0 από όπου έχουμε β = a β β = a + rβ = a + rβ β = a + rβ δηλαδή οι συντελεστές του πηλίκου του πολυωνύμου p ( x ) με το x r και τέλος p r a + rβ (), 0 δηλαδή το ζητούμενο. Στην πράξη για τον απλούστερο και χωρίς καμία σκέψη υπολογισμό των συντελεστών και του β, = ( ), R = p (), r

80 70 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση που βρίσκονται από τις προηγούμενες σχέσεις, ακολουθείται η διάταξη των συντελεστών και των πράξεων, που δίνουν αυτούς, όπως στο επόμενο διάγραμμα r a a rβ a a a 0 rβ rβ rβ β a β β β R p (). r Είναι φανερό ότι με τη συνθετική διαίρεση οι πράξεις, που απαιτούνται για τον υπολογισμό της τιμής του πολυωνύμου της σχέσης (.5) βαθμού στο τυχαίο σημείο r είναι πολλαπλασιασμοί και προσθαφαιρέσεις. Επειδή τώρα = > 0 για >, είναι προφανές ότι ο αλγόριθμος της συνθετικής διαίρεσης υπερτερεί στην ταχύτητα σε σχέση με τους προηγούμενους αλγορίθμους, που περιγράψαμε γρηγορότερα, για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του πρώτου. Για =, δηλαδή για πολυώνυμα πρώτου βαθμού, οι αλγόριθμοι απλώς συμπίπτουν. Θα πρέπει, όμως, να τονίσουμε το γεγονός, ότι ο αλγόριθμος της συνθετικής διαίρεσης μας εξασφαλίζει συγχρόνως και το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου p( x ) με τον παράγοντα x r, που είναι το q ( x) β x + β x + + β x+ β.

81 Πεπερασμένες διαφορές 7 Παρατήρηση Σημειώνουμε εδώ, χωρίς απόδειξη, ότι το διάγραμμα της συνθετικής διαίρεσης αν συνεχιστεί μια ακόμη φορά, όπως στο παρακάτω διάγραμμα, μας δίνει και την τιμή της πρώτης παραγώγου του πολυωνύμου p ( x ) στο σημείο r. Υπενθυμίζουμε ότι η πρώτη παράγωγος του πολυωνύμου p ( ) x της σχέσης (.5) συμβολίζεται με p ( ) x και είναι ίση με p ( x) a x + ( ) a x + + a x+ a. Το αντίστοιχο διάγραμμα της συνθετικής διαίρεσης για την εύρεση της τιμής της πρώτης παραγώγου στο σημείο r του πολυωνύμου p ( x ) είναι r a a rβ a rβ a rβ 3 a rβ a 0 rβ r β a β rγ γ β a β rγ γ β rγ 3 β rβ γ γ γ p () r p () r R Θα δώσουμε στη συνέχεια μερικά παραδείγματα για την καλύτερη εμπέδωση της θεωρίας του αλγορίθμου της συνθετικής διαίρεσης.

82 7 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα.4 Να βρεθεί η τιμή του πολυωνύμου p x x x x x 4 3 ( ) = Για x =, το πηλίκο της διαίρεσης του παραπάνω πολυωνύμου με x καθώς και η τιμή της πρώτης του παραγώγου στο ίδιο σημείο. Απάντηση Σύμφωνα με το διάγραμμα της συνθετικής διαίρεσης, που περιγράψαμε παραπάνω, έχουμε p() 4 5 p () Έτσι, από το διάγραμμα, παίρνουμε όλα τα ζητούμενα μας, που είναι η τιμή του πολυωνύμου για x = p () = 3, αν π ( x) είναι το πηλίκο του πολυωνύμου p( x ) με x, το πηλίκο π x = x x + 3 ( ) και η τιμή της πρώτης παραγώγου του πολυωνύμου p( x ) για x = p () = 5. Σημειώνουμε ότι πράγματι η παράγωγος του πολυωνύμου, που δόθηκε, είναι το πολυώνυμο qx x x x 3 ( ) = ,

83 Πεπερασμένες διαφορές 73 οπότε με το σχήμα του Horer για το πολυώνυμο qx ( ) στο σημείο x = έχουμε = q() = p () Παράδειγμα.5 Να βρεθεί η τιμή του πολυωνύμου p( x ) στο σημείο x = 3 καθώς και η τιμή της πρώτης παραγώγου του στο ίδιο σημείο, αν px x x x 5 3 ( ) = 3 +. Απάντηση Από το σχήμα του Horer έχουμε = p( 3) = p ( 3) Παράδειγμα.6 Να βρεθούν οι τιμές των α και β, ώστε το πολυώνυμο px ( ) x α x = + + β

84 74 να έχει τον αριθμό 5 ως διπλή ρίζα. Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Απάντηση Από το σχήμα του Horer ή της συνθετικής διαίρεσης έχουμε 5 5 α 5 α+5 5 a+ 0 = p (5) β 5α +5 5α+β+5 = p(5) Από τις πληροφορίες εισόδου του προβλήματός μας, ότι ο αριθμός 5 είναι διπλή ρίζα του πολυωνύμου p( x ), θα πρέπει τόσο το p (5) = 0 όσο και το p (5) = 0. Από τις σχέσεις αυτές έχουμε 5α + β = 5 α = 0, οπότε τελικά έχουμε α = 0, β = 5 και το πολυώνυμο p( x ) έχει τη μορφή ( ) = = ( 5), px x x x που επαληθεύει τα δεδομένα μας.

85 Πεπερασμένες διαφορές Μια χρήσιμη εφαρμογή του σχήματος Horer Μια άμεση εφαρμογή του σχήματος Horer ή της μεθόδου της συνθετικής διαίρεσης είναι η μετατροπή ενός αριθμού από οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Από τη σχέση (.) του πρώτου κεφαλαίου έχουμε ότι ( dd dd ) β = ( d + dβ + + d β + dβ ), t t t t 0 0 t t 0 όπου d, = 0() t, τα ψηφία ενός αριθμού στο σύστημα αρίθμησης με βάση το β και έτσι έχουμε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης,όμως, δεν είναι παρά η τιμή του πολυωνύμου t t dx, t + dt x + + dx + d0 για x = β, που εύκολα μπορεί να τη βρει κανείς με το σχήμα του Horer. Για παράδειγμα ο δυαδικός αριθμός (00) στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης δεν είναι παρά η τιμή του πολυωνύμου , x x x x για x =, οπότε από το σχήμα του Horer έχουμε

86 76 Συνεπώς (00) = (07) 0. Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ομοίως για τη μετατροπή ενός αριθμού με κλασματικό και μόνο μέρος από οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης με βάση β στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, από τη σχέση (.), έχουμε (0. dd d) β = ( dβ + dβ + + dβ ). t t t 0 Αυτό όμως δεν είναι παρά η τιμή του πολυωνύμου t t dx, t + dt x + + dx για x =. β Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός (0.0) 3 στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης δεν είναι παρά η τιμή του πολυωνύμου 3 x + x για x =. 3 Από το σχήμα του Horer έχουμε =

87 Πεπερασμένες διαφορές 77 και συνεπώς παίρνουμε (0.0) 3 = ( ) 0. Παράδειγμα.7 Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης, να μετατραπούν οι παρακάτω αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. (000). (34067) 8 3. (0.0) 4. (0.740) 8 5. (0.0). Απάντηση Άρα, (000) =(86) Άρα, (34067) 8 = (439) 0.

88 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση =0.85 Άρα, (0.0) = (0.85) = Άρα, (0.740) 8 = ( ) Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης δύο φορές, χωριστά για το ακέραιο μέρος και χωριστά για το κλασματικό μέρος του αριθμού Έτσι, για το ακέραιο μέρος του αριθμού έχουμε

89 Πεπερασμένες διαφορές 79 οπότε (0) = (3) 0 και για το κλασματικό μέρος του αριθμού έχουμε = οπότε (0.0) = (0.6875) 0. Άρα, (0.0) = (3.6875) 0 Ασκήσεις. Στις τιμές f 0 και f του πίνακα τιμών μιας συνάρτησης f υπάρχουν σφάλματα ε 0 = ε = 0.00 αντίστοιχα. Να βρεθεί το σφάλμα, που θα υπάρχει στην τιμή Δ του f 0 πίνακα διαφορών της υπόψη συνάρτησης.. Αφού δειχτούν οι σχέσεις, Δ = Ε= δε να δειχτεί στη συνέχεια πως είναι δυνατό να προκύψει από αυτές ότι Δ f = f = δ f k k k + k k Ένας από τους παρακάτω αριθμούς,, 4, 8, 6, 6, 4, 64, 93 είναι λάθος. Ποιος είναι;

90

91 3. ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΒΛΕΨΗ 3. Γενικά Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση f ( x ), της οποίας γνωρίζουμε τις τιμές της f = f( x ) σε + σημεία x, = 0(). Θέλουμε να υπολογίσουμε μια συνάρτηση p( x ) τέτοια ώστε p( x ) = f, = 0(). Τότε λέμε ότι η συνάρτηση p( x ) παρεμβάλλεται (προσεγγίζει) την συνάρτηση f ( x ) στα σημεία x, = 0(). Πολλές συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συναρτήσεις παρεμβολής, για παράδειγμα πολυώνυμα, ρητές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις κ.α.. Στο παρόν θα περιοριστούμε στα πολυώνυμα και ως εκ τούτου στην πολυωνυμική παρεμβολή. Η προσέγγιση μιας συνάρτησης με πολυώνυμα, είναι από τα σημαντικότερα θέματα της Αριθμητικής Ανάλυσης. Κι αυτό γιατί στην πράξη, κάνοντας ένα πείραμα ή παρατηρώντας ένα φαινόμενο, τις περισσότερες φορές έχουμε τιμές της συνάρτησης f ( x ), που περιγράφει το πείραμα ή τα φαινόμενο, για κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x, αγνοούμε όμως την ίδια τη συνάρτηση f ( x ). Ακόμη και να γνωρίζουμε τη συνάρτηση f ( x ) τις περισσότερες φορές αυτή είναι πολύπλοκη και ως εκ τούτου δύσχρηστη. Αλλά ένα πολυώνυμο p( x ) χρησιμοποιείται αντί μιας συνάρτησης f ( x ) για πολλούς λόγους. Ο σπουδαιότερος είναι γιατί με τα πολυώνυμα μπορούμε να κάνουμε εύκολα υπολογισμούς, αφού περιέχουν μόνο ακέραιες δυνάμεις. Επίσης, παραγωγίζονται

92 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση και ολοκληρώνονται εύκολα και ξαναδίνουν πολυώνυμα, οι ρίζες τους βρίσκονται πιο εύκολα σε σχέση με τις ρίζες των συναρτήσεων και γενικά δεν είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς γιατί τα πολυώνυμα προτιμώνται σε σχέση με τις συναρτήσεις. Συμπερασματικά, το λεγόμενο για ευνόητους λόγους πολυώνυμο παρεμβολής p( x ), είναι εκείνο το πολυώνυμο που για συγκεκριμένες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x, x, = 0(), για τις οποίες γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης f ( x ), παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση f ( x ). Έχουμε δηλαδή f ( x ) = p( x ), = 0(). Για το λόγο αυτό ακριβώς, το πολυώνυμο παρεμβολής ονομάζεται και συμπτωτικό πολυώνυμο, τα δε σημεία x, = 0(), για τα οποία συμπίπτει το πολυώνυμο παρεμβολής p( x ) με την συνάρτηση f ( x ), ονομάζονται σημεία παρεμβολής και χωρίς βλάβη της γενικότητας συνήθως τα θεωρούμε διατεταγμένα έτσι ώστε x < x < < x 0. Τελικά, δηλαδή, το πρόβλημα της παρεμβολής είναι βρούμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) είτε γνωστή είναι η συνάρτηση f ( x ) είτε άγνωστη, για κάποιο σημείο x x, = 0(), x0 < x< x, όπου x τα σημεία παρεμβολής και για αυτό το λόγο από πολλούς η παρεμβολή θεωρείται η τέχνη να διαβάζει κανείς μεταξύ των πληροφοριών εισόδου του προβλήματος μας. Είναι φανερό βέβαια ότι την τιμή της συνάρτησης f ( x ), που ζητάμε, θα την πάρουμε ως να

93 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 83 την προσεγγιστική τιμή του πολυωνύμου παρεμβολής p( x ) στο ίδιο σημείο x, δηλαδή για το συγκεκριμένο σημείο θεωρούμε σημείο f ( x) p( x). Φυσικά, αν θέλουμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) για κάποιο x x, = 0(), και x < x0 ή x > x, η φιλοσοφία και η τεχνική αντιμετώπισης του προβλήματος παραμένει η ίδια και απλώς το αποτέλεσμα το θεωρούμε ως πρόβλεψη. Για την καλύτερη κατανόηση όσων ακολουθούν ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα. Έστω ότι γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης f ( x ) σε τρία σημεία και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα πολυώνυμο p( x ) που θα παρεμβάλλει (θα προσεγγίζει) την συνάρτηση f ( x ). Το ερώτημα είναι ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου; Γενικά, μια ευθεία (πολυώνυμο πρώτου βαθμού) δεν μπορεί να παρεμβάλλει την συνάρτηση f ( x ) στα τρία δεδομένα σημεία, δηλαδή να πάρει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση f ( x ) στα τρία δεδομένα σημεία. Μπορούμε, όμως, να υπολογίσουμε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, το οποίο περνάει από τρία δεδομένα σημεία και άρα παίρνει τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση σε αυτά τα σημεία, και φυσικά θα υπάρχουν πολλά διαφορετικά πολυώνυμα τρίτου βαθμού και παραπάνω, που θα ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή της παρεμβολής.

94 84 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα 3. Να βρεθεί ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, το οποίο είναι πολυώνυμο παρεμβολής για τη συνάρτηση f ( x ) με δεδομένα x f 0 4. Απάντηση Έστω ότι το πολυώνυμο, που ζητείται, είναι το p ( x) = c + c ( x 0) + c ( x 0)( x ). 0 Έτσι, η γενική απαίτηση της παρεμβολής p ( ), x = f εξειδικεύεται για το συγκεκριμένο παράδειγμα στη λύση του παρακάτω γραμμικού συστήματος c = c + c = c + c + c = 4, που είναι ένα τριγωνικό σύστημα και με προς τα αντικατάσταση θα μας δώσει εμπρός c0 = = c και c =. Συνεπώς το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής είναι το p( x) = + x+ x( x ), για το οποίο πράγματι έχουμε p(0) =, p() = + = και p () = + + ( ) = 4.

95 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 85 Παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτοι όροι του πολυωνύμου παρεμβολής αποτελούν το πολυώνυμο παρεμβολής πρώτου βαθμού, (την ευθεία) που περνάει από τα δύο πρώτα σημεία του επιπέδου των δεδομένων μας, και ο τρίτος όρος μηδενίζεται στα αντίστοιχα σημεία x = 0,και τέλος ο συντελεστής c, που αντιστοιχεί στο μεγιστοβάθμιο όρο x, προέκυψε από την απαίτηση p ( x ) = 4. Η ίδια τεχνική, που χρησιμοποιήσαμε στο παραπάνω παράδειγμα, μπορεί να εφαρμοστεί για την κατασκευή πολυωνύμων παρεμβολής μεγαλύτερου και μεγαλύτερου βαθμού, όταν διαθέτουμε περισσότερα δεδομένα, και χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής, που αποτελεί τη βάση της πολυωνυμικής παρεμβολής. Έτσι, στη συνέχεια θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 3. Δίνονται τα σημεία του επιπέδου ( x, f), = 0(), όπου τα x είναι διακεκριμένα και διαφορετικά μεταξύ τους. Τότε υπάρχει και είναι μοναδικό ένα πολυώνυμο p( x ), βαθμού το πολύ, τέτοιο ώστε επαγωγή. p ( x ) = f, = 0(). Απόδειξη Η απόδειξη της ύπαρξης του πολυωνύμου p ( x ) θα γίνει με Για =, μπορούμε να πάρουμε το πολυώνυμο

96 86 f f p ( x) = f + ( x x ), x x0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση που αποτελεί την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία του επιπέδου ( x0, f ), ( x, f ) και ως εκ τούτου θα έχουμε o 0 o p ( x ) = f και p( x) = f. Υποθέτουμε ότι το πολυώνυμο p ( ), x βαθμού k, είναι πολυώνυμο παρεμβολής, δηλαδή είναι τέτοιο ώστε p ( x ) = f, = 0() k, k και θα αποδείξουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο pk ( x), k βαθμού, που προσεγγίζει τη συνάρτηση f ( x ) στα σημεία x, = 0() k. Προς τούτο θέτουμε p ( x) = p ( x) + c( x x )( x x ) ( x x ), k k 0 k όπου c προσδιορίσιμη σταθερά. Είναι προφανές ότι το πολυώνυμο p ( x ) είναι το πολύ k βαθμού και ισχύει p ( x ) = f, = 0() k. k Επειδή τα σημεία x, = 0() k, είναι διακεκριμένα και διαφορετικά μεταξύ τους, μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά c από τη σχέση p ( x ) = f k k k οπότε έχουμε fk pk ( xk) c =. ( x x )( x x ) ( x x ) k 0 k k k k k

97 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 87 Προφανώς τότε το πολυώνυμο p ( x ), βαθμού το πολύ k υπάρχει και είναι πολυώνυμο παρεμβολής για την συνάρτηση f ( x ) με σημεία παρεμβολής τα σημεία x, = 0() k. Έτσι, σύμφωνα με τους κανόνες της επαγωγής αποδείχτηκε το ζητούμενο, δηλαδή η ύπαρξη του πολυωνύμου παρεμβολής p ( ) x για τα δεδομένα του θεωρήματός μας. Για να αποδείξουμε και την μοναδικότητα του πολυωνύμου p ( ), x βαθμού το πολύ, υποθέτουμε ότι υπάρχει και ένα άλλο πολυώνυμο βαθμού το πολύ, το Q ( x ), για το οποίο ισχύει η ιδιότητα της παρεμβολής, δηλαδή Q ( x ) = f, = 0(). Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο p ( x) Q ( x), βαθμού το πολύ, είναι τέτοιο ώστε p ( x ) Q ( x ) = f f = 0, = 0(), δηλαδή το πολυώνυμο αυτό έχει + ρίζες, τα σημεία παρεμβολής x, = 0(), όντας πολυώνυμο το πολύ βαθμού. Σύμφωνα με θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας το πολυώνυμο p ( x) Q ( x) είναι εκ ταυτότητας ίσο με το μηδενικό πολυώνυμο, που σημαίνει ότι p ( x) Q ( x) και έτσι αποδείχτηκε ότι το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό. k Το ερώτημα, που μπαίνει τώρα, είναι:

98 88 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Πόσο μεγάλο είναι το σφάλμα όταν μια συνάρτηση, που ξέρουμε τις τιμές της στα σημεία παρεμβολής, οι οποίες αποτελούν συνήθως εμπειρικά δεδομένα, προσεγγιστεί από ένα πολυώνυμο παρεμβολής; Είναι φανερό ότι για να δώσουμε απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα πρέπει να έχουμε περισσότερες πληροφορίες για τη συνάρτηση f ( x ), από τις τιμές της στα σημεία παρεμβολής. Για παράδειγμα αν η συνάρτηση f ( x ) δεν είναι συνεχής, τότε τα σφάλματα ανάμεσα στα σημεία παρεμβολής μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλα. Μια γεύση από τα σφάλματα που παρουσιάζονται κατά την παρεμβολή παίρνουμε από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 3. Έστω f ( x ) είναι μια συνεχής συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους μέχρι + -τάξης στο διάστημα που καθορίζεται από το x και τα σημεία παρεμβολής x, = 0(), δηλαδή όπου f x + ( ) ( I), I m( x, x, x, x ), max( x, x, x, x ). = 0 0 Αν p ( x ) είναι το πολυώνυμο παρεμβολής, βαθμού το πολύ, με σημεία παρεμβολής τα x, = 0(), έτσι ώστε p ( x ) = f( x ) τότε η συνάρτηση σφάλμα ε ( x) δίνεται από τον παρακάτω τύπο ( ξ ( x) ) ( + ) f ε ( x) = p( x) f( x) = ( x x), (3.) ( + )! = o

99 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 89 όπου ξ ( x) I. Απόδειξη Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό θεώρημα του Rolle ότι «αν η συνάρτηση gxείναι ( ) συνεχής στο κλειστό διάστημα [ a, β ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( a, β ) και επί πλέον ga ( ) = gβ ( ), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο η στο ανοικτό διάστημα ( a, β ) τέτοιο ώστε g ( η) = 0.» Από τον ορισμό.4 του σφάλματος είναι προφανές ότι η συνάρτηση-σφάλμα ε ( x) στην παρεμβολή δίνεται από τον τύπο ε ( x) = p ( x) f( x), όπου p ( x) το πολυώνυμο παρεμβολής με σημεία παρεμβολής τα x, = 0(). Μάλιστα, ε = ε ( x ) = p ( x ) f = f f = 0, = 0(). Για οποιοδήποτε άλλο σημείο ˆx τέτοιο ώστε xˆ x, = 0() το σφάλμα γενικά θα είναι ε ( xˆ) = p ( xˆ) f( xˆ) 0. Υποθέτουμε ότι για x = xˆ η συνάρτηση σφάλμα ε ( x) δίνει ε ( xˆ) = p ( xˆ) f( xˆ) = R ( xˆ xˆ ). = o Για τον υπολογισμό του R στην παραπάνω σχέση εισάγουμε τη συνάρτηση Gx ( ) = p( x) f( x) + R ( x x) Προφανώς για Gx ( ˆ) = 0. = o x = xˆ έχουμε

100 90 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Επειδή το πολυώνυμο p ( x ) είναι πολυώνυμο παρεμβολής θα έχουμε, όπως είπαμε παραπάνω, p ( ) ( ) 0 x f x = για τα σημεία παρεμβολής x = x, = 0() και ως εκ τούτου θα έχουμε Gx ( ) = 0, εκτός από το x = xˆ, και για τα σημεία παρεμβολής x = x, = 0(), δηλαδή τελικά έχουμε Gx ( ) = 0 για x = xˆ, x0, x,, x. Σύμφωνα με τις υποθέσεις του θεωρήματος, η συνάρτηση Gx ( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη μέχρι + -τάξης. Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle, η πρώτη παράγωγός της, G, θα έχει μια ρίζα σε κάθε διάστημα μεταξύ δύο ριζών της G και ως εκ τούτου η G θα έχει + ρίζες. Ομοίως η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης G, G, θα έχει ρίζες σε κάθε διάστημα μεταξύ δύο ριζών της G και ως εκ τούτου η G θα έχει ρίζες. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, τελικά βλέπουμε ότι η + -τάξης παράγωγος της συνάρτησης G, ( G + ), θα έχει μια ρίζα ξ, στο διάστημα m( xx ˆ, ˆ 0, x), max( xx, 0, x), δηλαδή ( + G ) ( ξ) = 0, ξ I. Παραγωγίζοντας πλέον την έκφραση της συνάρτησης Gx ( ) + φορές έχουμε ( + ) ( + ) G x = f x + + R από όπου έχουμε για x ( ) ( ) ( )!, = ξ

101 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 9 ( + f ) ( ξ ) R = ( + )! και το θεώρημα αποδείχτηκε. Παράδειγμα 3. Αν η συνάρτηση f x x x προσεγγιστεί με το ( ) [ 0, ] πρωτοβάθμιο πολυώνυμο παρεμβολής για τα σημεία του επιπέδου ( x0, f0), ( x, f ) να δειχτεί ότι το μέγιστο απόλυτο σφάλμα αποκοπής είναι τέτοιο ώστε h max ε max f ( x), 8 x [ x0, x] x [ x0, x] όπου h το βήμα πινακοποίησης, h= x x0. Απόδειξη Σύμφωνα με το θεώρημα 3. f ε = ( x x )( x x ) 0 f = ( x0 x)( x x) και επειδή και η συνάρτηση gx ( ) = ( x x)( x x) 0 ( ξ ( x) )! ( ξ ( x) ) ως πολυώνυμο είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ x0, x ], έχουμε f ( x) max ε max gx ( ) max. x [ x0, x] x [ x0, x] x [ x0, x] Αλλά, gx ( ) = ( x x)( x x h) 0 0

102 9 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση = ( x x ) h( x x) 0 0 = ( x xx+ x) hx + hx = x + ( x + h) x x hx οπότε και g ( x) = x+ ( x + h) g ( x) = < 0. 0 Συνεπώς, κατά τα γνωστά από τον απειροστικό λογισμό, υπάρχει μέγιστο, που θα προκύψει από τη λύση της εξίσωσης δηλαδή για g ( x) = 0, x0 + h x = και έχουμε max ( ) x [ x0, x] x0 + h x0 + h x0 + h gx= g = + x0 hx0 ( x0 + h) 4x0 + 4x0h+ h h = x0 hx0 = x0 hx0 =, οπότε, τελικά, έχουμε το ζητούμενο h max ε max f ( x). 8 x [ x0, x] x [ x0, x] Μπορούμε να παρατηρήσουμε πως, αν για παράδειγμα η συνάρτηση f ( x ) είναι τέτοια ώστε f ( x) = sx ή f ( x) = cosx τότε η έκφραση του φράγματος του μέγιστου απόλυτου σφάλματος αποκοπής απλοποιείται περαιτέρω και συγκεκριμένα είναι

103 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 93 h max ε. 8 Στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε συγκεκριμένους τύπους πολυωνύμων παρεμβολής αντιμετωπίζοντας χωριστά την περίπτωση ισαπεχόντων σημείων παρεμβολής και χωριστά την περίπτωση μη ισαπεχόντων σημείων παρεμβολής. 3. Ισαπέχοντα Σημεία 3.. Τύπος παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory. Υποθέτουμε ότι δίνονται οι τιμές της συνάρτησης f ( x ) = f, = 0() στα ισαπέχοντα σημεία x = x0 + h, όπου h το βήμα πινακοποίησης, και θέλουμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) σε ένα ενδιάμεσο σημείο x των σημείων παρεμβολής. Τότε, αν θεωρήσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το προηγούμενο σημείο παρεμβολής είναι το x 0 θα έχουμε ότι x= x0 + θh, 0< θ <. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση και τον γραμμικό τελεστή της μετατόπισης E έχουμε ότι f ( x) = f( x + θh) = E f = ( +Δ ) f θ θ 0 0 0

104 94 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση θ θ f0 θ θ = f0 + Δ f0 + Δ f0 +, = + Δ+ Δ + x x0 όπου θ =. h Γενικότερα και με βάση τα δεδομένα, που διαθέτουμε από τον πίνακα διαφορών, μπορούμε να γράψουμε ότι θ θ f ( x) = f0 + Δ f0 + + Δ f + R+ ( x), (3.) όπου R ( ) + x είναι η διόρθωση και δίνεται από τον τύπο (3.) του θεωρήματος 3. με αντίθετο πρόσημο. Παρατηρούμε ότι το κομμάτι θ p( x) = Δ f 0 = 0 (3.3) στον τύπο (3.) είναι ένα πολυώνυμο, βαθμού ως προς x και θα ισχύει για κάθε σημείο παρεμβολής x, j = 0(), j j j j j j p( xj) = Δ f0 = Δ f0 = ( +Δ ) f0 = E f0 = f j, j = 0(). = 0 = 0 Η παραπάνω σχέση αποδεικνύει ότι το πολυώνυμο p ( x) της σχέσης (3.3) είναι πολυώνυμο παρεμβολής με σημεία παρεμβολής τα σημεία x, = 0(), και ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory. Σημειώνουμε ότι αν η συνάρτηση f ( x ) ήταν πολυώνυμο

105 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 95 βαθμού, σύμφωνα με το θεώρημα. του δεύτερου κεφαλαίου στον τύπο (3.) θα είχαμε R ( ) 0 x + = και ως εκ τούτου δεν θα υπάρχει καθόλου σφάλμα κατά την διαδικασία της παρεμβολής. Επίσης είναι φανερό ότι για την εύρεση του πολυωνύμου παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών είναι καλύτερα η παρεμβολή να εφαρμόζεται στην αρχή του πίνακα διαφορών γιατί τότε είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν περισσότεροι όροι από τη σχέση (3.) ή με άλλα λόγια να χρησιμοποιηθούν περισσότερα από τα δεδομένα μας. Παράδειγμα 3.3 Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory, δεύτερου βαθμού, με δεδομένα εκείνα του παραδείγματος 3. αυτού του κεφαλαίου. Απάντηση Ο πίνακας διαφορών είναι x f Δ Δ και το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής από τον τύπο (3.3) θα είναι

106 96 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση θ θ θ θ θ θ p( x) = Δ f0 = f0 + Δ f0 + Δ f0 = + + = = 0 0 θ ( θ ) = + θ +. Αλλά x= x0 + hθ, h=, x0 = 0 οπότε x = θ και το πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory είναι το p( x) = + x+ x( x ), πράγμα που περιμέναμε άλλωστε, αφού σύμφωνα με το θεώρημα 3. αυτού του κεφαλαίου, το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό και άρα το ίδιο με εκείνο, που βρήκαμε στο παράδειγμα 3., αφού χρησιμοποιήσαμε τα ίδια δεδομένα. 3.. Τύπος παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών των Newto-Gregory Το πρόβλημα σε αυτή την περίπτωση παραμένει το ίδιο με εκείνο της προηγούμενης παραγράφου με τη διαφορά ότι θα πρέπει να διαλέξουμε ως x 0 το επόμενο σημείο από εκείνο του σημείου x. Επίσης θα πρέπει, για την εύρεση του πολυωνύμου παρεμβολής και με σκοπό τη χρησιμοποίηση όλων των πληροφοριών του πίνακα διαφορών, να χρησιμοποιήσουμε τελικά ως x 0 το τελευταίο από τα σημεία παρεμβολής. Έτσι, x= x0 θh, 0< θ <, όπου h το βήμα πινακοποίησης και ο τύπος (3.) είναι πλέον

107 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 97 αφού θ θ θ 0 θ f ( x) = f( x h) = E f = ( ) f = ( ) f θ θ = f0 f0 + f0 + ( ) f0 + R+ ( x), f x = f x f x h = f x E f x = E f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (3.4) από όπου έχουμε E = ( ). Συνεπώς, το πολυώνυμο παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών των Newto-Gregory είναι θ p( x) = f. = 0 ( ) (3.5) 0 Παράδειγμα 3.4 Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής των προς τα πίσω διαφορών των Newto-Gregory δευτέρου βαθμού, χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες του πίνακα διαφορών του παραδείγματος 3. αυτού του κεφαλαίου. Απάντηση Ο πίνακας διαφορών είναι φυσικά ο ίδιος, όπου τώρα f = 4, f = και 0 0 f 0 = και από τον τύπο (3.5) έχουμε

108 98 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση θ θ θ p ( x) = f + f + f 0 θθ ( ) = f0 θ f0 + f0 θθ ( ) = 4 θ +, όπου x= x0 θh, x0 =, h=, οπότε θ = x και p ( x) = 4 ( x) + ( x)( x ) ( x)( x) = 4 4+ x x+ x 4x+ 3x+ x = x + = + x+ x + x+ x x = = = + x+ x( x ), ίδιο δηλαδή με εκείνο του παραδείγματος 3.3, πράγμα που περιμέναμε άλλωστε, αφού όπως αποδείξαμε στη θεωρία μας το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό Τύπος παρεμβολής των κεντρικών διαφορών Είναι φανερό πως αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) για κάποιο σημείο x που είναι κοντά σε κάποιο σημείο παρεμβολής, που είναι στη μέση από το σύνολο των σημείων παρεμβολής, θα πρέπει, για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε όσο το δυνατό περισσότερες πληροφορίες από τον πίνακα διαφορών, να χρησιμοποιήσουμε κεντρικές διαφορές. Τότε, εργαζόμενοι όπως και στις δύο προηγούμενες παραγράφους, θα είχαμε ένα τύπο παρεμβολής των κεντρικών διαφορών για το

109 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 99 πολυώνυμο παρεμβολής ανάλογο εκείνων των σχέσεων (3.3) και (3.5). Στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρονται διάφοροι τύποι παρεμβολής κεντρικών διαφορών, όπως του Bessel, του Sterlg και του Everett. Όλοι αυτοί οι τύποι εκφράζονται με όρους του τελεστή των κεντρικών διαφορών δ καλύτερα από ότι αν εκφράζονταν με όρους των τελεστών Δ των προς τα εμπρός διαφορών και των προς τα πίσω διαφορών, αν και είναι δυνατό να εκφράσουμε τους τύπους αυτούς και με τους τελεστές Δ και. Από τους παραπάνω τύπους θα περιγράψουμε στη συνέχεια μόνο τον τύπο του Bessel, χωρίς αποδείξεις που ξεφεύγουν από τις ανάγκες και το σκοπό του συγκεκριμένου μαθήματος και δεν θα ασχοληθούμε περαιτέρω. Ο τύπος του Bessel, είναι της γενικής μορφής f( x) = a ( f + f ) + aδ f + a ( δ f + δ f ) + aδ f +, (3.6) όπου x 0 είναι η αμέσως μικρότερη τιμή της τιμής του x στον πίνακα διαφορών, όπως ακριβώς στην περίπτωση του τύπου των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory, και a, = 0,,, προσδιορίσιμοι συντελεστές. Για τον προσδιορισμό των συντελεστών a δεν έχουμε παρά να αντικαταστήσουμε τον τελεστή δ των κεντρικών διαφορών συναρτήσει του τελεστή Δ των προς τα εμπρός διαφορών, οπότε καταλήγουμε σε μια έκφραση που περιέχει μόνο δυνάμεις του τελεστή Δ. Συγκεκριμένα έχουμε ότι f ( x) = [ a + ( a + a ) Δ+ a Δ + ( a a ) Δ + ] f

110 00 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Από την τελευταία σχέση και τον τύπο (3.3), πλέον, εξισώνοντας τους συντελεστές των όμοιων όρων και δεδομένου ότι x= x0 + θh, 0< θ < και στις δύο περιπτώσεις έχουμε a0 = θ a0 + a = θ a = θ a3 a = 3 οπότε τελικά για τους συντελεστές των τεσσάρων πρώτων δυνάμεων όρων στον τύπο (3.6) έχουμε θθ ( )( θ ) θ ( θ ) a0 =, a = θ, a = και a 3 =. 4 6 Παράδειγμα 3.5 Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής των κεντρικών διαφορών του Bessel δεύτερου βαθμού, χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες του πίνακα διαφορών του παραδείγματος 3. αυτού του κεφαλαίου. Απάντηση Ο πίνακας διαφορών, προφανώς, είναι ο ίδιος και για να χρησιμοποιήσουμε όλες τις πληροφορίες του θα πρέπει να πάρουμε όπως στις προς τα εμπρός διαφορές οπότε x 0 = 0,

111 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 0 f =, f =, δ f =, δ f =. 0 Επιπλέον για να χρησιμοποιήσουμε πλήρως τον τύπο (3.6) θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι οι δεύτερες διαφορές είναι σταθερές, ως και οι τιμές του πίνακα διαφορών να δινόταν από πολυώνυμα δευτέρου βαθμού, οπότε δηλαδή για δ = f 0. Τότε αντικαθιστώντας στον τύπο (3.6) έχουμε για x = x + h θ = x, 0 θ, p( x) = a0(+ ) + a + a(+ ) xx ( ) = 3+ x = + x + x ( x ) = + x+ x( x ), αποτέλεσμα ίδιο με τα δυο προηγούμενα παραδείγματα και το οποίο αναμέναμε, άλλωστε, αφού το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό. 3.3 Μη ισαπέχοντα σημεία 3.3. Πολυώνυμο του Lagrage Όπως είδαμε στην παράγραφο 3. αυτού του κεφαλαίου, σκοπός μας είναι η εύρεση ενός πολυωνύμου βαθμού, το οποίο

112 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση στα + σημεία παρεμβολής x, = 0(), να παίρνει τις τιμές της συνάρτησης f ( x ), που περιγράφει το πρόβλημα, που μελετάμε. Ένα τέτοιο πολυώνυμο γνωστό και ως πολυώνυμο του Lagrage, είναι το παρακάτω p ( x) L( x) f( x ), = 0(), (3.7) = 0 όπου τα L ( x ) είναι πολυώνυμα βαθμού τέτοια ώστε {, αν = j ( j) 0, αν j. L x = (3.8) Αφού, από τις παραπάνω σχέσεις (3.8), έχουμε L( x ) = 0, j όταν j και επειδή το L( x ) για το οποιοδήποτε = 0() είναι πολυώνυμο βαθμού και ως εκ τούτου διαθέτει ακριβώς ρίζες συμπεραίνουμε ότι L( x) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ), α 0 + όπου α σταθερά ποσότητα. Η σταθερά ποσότητα α της παραπάνω σχέσης μπορεί να υπολογιστεί από τις άλλες συνθήκες των σχέσεων (3.8) ότι δηλαδή L( x ) =, = 0(). Πράγματι, η τελευταία σχέση, λαμβάνοντας υπόψη την προτελευταία σχέση, ισοδυναμεί με ( )( ) ( )( ) ( ) = α x x0 x x x x x x+ x x από όπου έχουμε α =. ( x x ) j= 0 j j

113 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 03 Έτσι, το πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage δίνεται από τη σχέση (3.7), όπου L ( x ) είναι οι λεγόμενοι συντελεστές του Lagrage και δίνονται από τις σχέσεις j= 0 j j= 0 j ( x x ) L ( x) =, = 0(). ( x x ) j j (3.9) Από τους τύπους (3.7) και (3.9) πλέον για = έχουμε την γραμμική παρεμβολή με πολυώνυμο παρεμβολής x x x x p ( x) = f( x ) + f( x ) 0 0 x0 x x x0 και για = έχουμε τον τύπο της τετραγωνικής παρεμβολής με πολυώνυμο παρεμβολής ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) p ( x) = f( x ) + f( x ) ( x0 x)( x0 x) ( x x0)( x x) ( x x )( x x ) ( )( ) 0 + x x0 x x f ( x ). Το πολυώνυμο p ( x ) του Lagrage ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής, μόνον όταν ζητάμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) για κάποιο σημείο x, για το οποίο συμβαίνει x0 < x< x. Στην περίπτωση κατά την οποία επιζητούμε την τιμή της συνάρτησης f ( x ) έξω από τα σημεία παρεμβολής, για x < x0 ή x > x δηλαδή,

114 04 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση το πολυώνυμο p ( x ) του Lagrage ονομάζεται πολυώνυμο πρόβλεψης. Και στις δύο περιπτώσεις πάντως δεχόμαστε, ότι η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x συμπίπτει προσεγγιστικά με την τιμή του πολυωνύμου παρεμβολής ή πρόβλεψης p ( x ) έχουμε δηλαδή p ( ) ( ). x f x Από τον ορισμό.4 του σφάλματος στην παράγραφο.4, έχουμε ότι το σφάλμα στην προσεγγιστική διαδικασία, που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω για την κατασκευή του πολυωνύμου του Lagrage, είναι ε ( x) = p ( x) f( x). Από τον τύπο αυτό παίρνουμε κάποια ιδέα για το σφάλμα κατά τη διαδικασία αντικατάστασης μιας συνάρτησης f ( x ) με ένα πολυώνυμο, το πολυώνυμο παρεμβολής ή πρόβλεψης, αν η συνάρτηση f ( x ) είναι γνωστή. Όμως στην πράξη η συνάρτηση f ( x ) είναι άγνωστη και άρα ο προηγούμενος τύπος άχρηστος. Κάτω όμως από ορισμένες συνθήκες μπορούμε, κάνοντας οπωσδήποτε χρήση του παραπάνω τύπου, να βρούμε φράγματα για το σφάλμα, που δημιουργείται κατά την παρεμβολή ή πρόβλεψη. Δεν θα μας απασχολήσει σε αυτό το σημείο κάτι τέτοιο, επειδή ξεφεύγει από τους στόχους αυτού του μαθήματος. Εκείνο που σίγουρα πρέπει να σημειώσουμε εδώ είναι ότι μπορεί κανείς να αντιμετωπίσει με την περιγραφή, που έγινε παραπάνω και το αντίστροφο πρόβλημα, γνωστό και ως πρόβλημα της αντίστροφης παρεμβολής. Είναι το πρόβλημα, που θέλουμε εκτίμηση της τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής x, για την οποία η συνάρτηση f ( x ) παίρνει μια δεδομένη τιμή. Σε αυτή την περίπτωση

115 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 05 δεν έχουμε παρά να θεωρήσουμε ως σημεία παρεμβολής τις τιμές της συνάρτησης f ( x ), για τις οποίες γνωρίζουμε τα αντίστοιχα x και αφού βρούμε το αντίστοιχο πολυώνυμο παρεμβολής να βρούμε με αντικατάσταση τα x, που επιζητούμε. Θα δώσουμε στη συνέχεια μερικά παραδείγματα, για την καλύτερη κατανόηση της θεωρίας αυτής της παραγράφου. Παράδειγμα 3.6 Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής, που προσαρμόζεται στα δεδομένα, 0,, 8 με σημεία παρεμβολής, 0,, αντίστοιχα. Στη συνέχεια να βρεθεί η προσεγγιστική τιμή της άγνωστης συνάρτησης f ( x ), που περιγράφει τα παραπάνω δεδομένα για x =.5 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων και να γίνει μια πρόβλεψη για x = 0. Απάντηση Από τα δεδομένα του προβλήματός μας μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα x y = f( x )

116 06 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Από τους τύπους πλέον (3.7) και (3.9) και τα δεδομένα του πίνακά μας έχουμε, ότι το πολυώνυμο παρεμβολής τρίτου βαθμού είναι ( x x )( x x )( x x ) ( x x )( x x )( x x ) p ( x) = f + f ( x0 x)( x0 x)( x0 x3) ( x x0)( x x)( x x3) ( x x )( x x )( x x ) ( x x )( x x )( x x ) + f + f = ( x x )( x x )( x x ) ( x x )( x x )( x x ) xx ( )( x ) ( x+ )( x ) ( x+ )( x ) x = ( ) + + 8= ( )( ) ( + )( ) ( + )( ) xx ( )( x ) xx ( + )( x ) 4 xx ( )( x+ ) = + = 6 3 xx ( )( x ) 3 xx ( + )( x ) + 8 xx ( )( x+ ) = 6 x x x x x x 6 = [( 3 + ) 3( ) + 8( )] = x = x = 6 3 ( ) x. Συνεπώς έχουμε τα ζητούμενα f 3 (.5) p3(.5) = (.5) = και με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων f (.5) 3.38 και ακόμη f(0) p (0) =

117 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 07 Παράδειγμα 3.7 Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής, που προσεγγίζει τη συνάρτηση f x 3 ( ) = x στα σημεία x =,, και στη συνέχεια να βρεθεί το σφάλμα, που γίνεται στο σημείο x =.5. Απάντηση Από τα δεδομένα του προβλήματος μας μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα x f f( x ) Εξάλλου από τον τύπο της τετραγωνικής παρεμβολής έχουμε το πολυώνυμο παρεμβολής δευτέρου βαθμού, που στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) p ( x) = f + f + f = ( x0 x)( x0 x) ( x x0)( x x) ( x x0)( x x) ( x+ )( x ) ( x+ )( x ) = + + = = x + x+ ( + )( ) ( + )( ) ( 9) 0. Τότε το σφάλμα ε( x ) θα δίνεται από τη σχέση

118 08 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση ε ( x) = p ( x) f( x) = x + x+ x 3 ( ) = x x x = ( + ) + ( + ) x x x = x+ x ( )( ) = ( x+ )( x+ )( x ), οπότε για x =.5 έχουμε το ζητούμενο ε (.5) = (.5 + )(.5 + )(.5 ) = 0.5( 0.5)(.5) = ήταν και Παράδειγμα 3.8 Η ένδειξη του θερμόμετρου, τοποθετημένο σε έναν άνθρωπο, 0 36 C σε ένα λεπτό από τη στιγμή, που βάλαμε το θερμόμετρο 0 38 C στα τρία λεπτά, που το βγάλαμε. Να βρεθεί προσεγγιστικά σε πόσο χρόνο, από τη στιγμή που βάλαμε το θερμόμετρο, η ένδειξη του θερμόμετρου ήταν 0 37 C. Απάντηση Είναι προφανές ότι το πρόβλημα αυτό αποτελεί ένα πρόβλημα αντίστροφης παρεμβολής. Αν λοιπόν θεωρήσουμε τις θερμοκρασίες ως σημεία παρεμβολής, από τον τύπο της γραμμικής παρεμβολής και τον πίνακα των δεδομένων μας

119 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 09 θ t , όπου με θ συμβολίσαμε τη θερμοκρασία και t τον χρόνο, έχουμε θ θ θ θ0 t( θ ) = t0 + t = θ0 θ θ θ0 θ 38 θ 36 = + 3 = (θ 70) Συνεπώς για θ = 37 έχουμε ότι 4 t = t(37) = (*37 70) = =. Άρα η ένδειξη του θερμόμετρου ήταν 0 37 C δύο λεπτά από τη στιγμή, που βάλαμε το θερμόμετρο στον συγκεκριμένο άνθρωπο. Παράδειγμα 3.9 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών x f x Να βρεθεί προσεγγιστικά η τετραγωνική ρίζα του 7, 7, χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες αυτού του πίνακα και στη συνέχεια να γίνει μια πρόβλεψη για την τετραγωνική ρίζα του 3, 3.

120 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Απάντηση Το πολυώνυμο, που προσαρμόζεται στα δεδομένα του πίνακα, είναι δευτέρου βαθμού και συνεπώς από τον τύπο της τετραγωνικής παρεμβολής έχουμε ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) x p ( x) = f + f + f = ( x0 x)( x0 x) ( x x0)( x x) ( x x0)( x x) ( x 4)( x 9) ( x )( x 9) ( x )( x 4) = ( 4)( 9) (4 )(4 9) (9 )(9 4) Συνεπώς, (7 4)(7 9) (7 )(7 9) (7 )(7 4) = ( 3)( 8) 3( 5) 8*5 3( ) 6( ) 6* = = + + = = Σημειώνεται, ότι η τετραγωνική ρίζα του 7, με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων, είναι τύπο έχουμε Εξάλλου για την τετραγωνική ρίζα του 3, από τον παραπάνω (3 4)(3 9) (3 )(3 9) (3 )(3 4) = * 4 * 4* *9* = + = + = = = Σημειώνεται ξανά, ότι η τετραγωνική ρίζα του 3, με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων, είναι

121 Παρεμβολή - Πρόβλεψη Παρατήρηση Από το παραπάνω παράδειγμα φαίνεται, ότι τουλάχιστον για την πρόβλεψη της 3 είμαστε μακριά από την πραγματικότητα. Για αυτό θα πρέπει να αποφεύγουμε την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας αριθμών με τη θεωρία παρεμβολής αυτού του κεφαλαίου. Στο επόμενο κεφάλαιο του παρόντος, όμως, θα περιγράψουμε μια επαναληπτική μέθοδο, γνωστή ως η μέθοδος των Newto-Raphso, για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού. Για να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος χρειάζεται, όπως θα δούμε, κάποιο x 0 για να ξεκινήσουμε. Η παραπάνω διαδικασία του παραδείγματος 4 θα μπορούσε να βοηθήσει ουσιαστικά σε αυτή ακριβώς την κατεύθυνση. Στο να δώσει δηλαδή μια πρώτη προσέγγιση x 0 για την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x και να εφαρμοστεί στη συνέχεια ο αλγόριθμος των Newto-Raphso για τη βελτιστοποίηση αυτής της προσέγγισης. Παρατήρηση Ένα μειονέκτημα της παρεμβολής κατά Lagrage είναι πως αν έχουμε ( + ) -σημεία παρεμβολής, το πολυώνυμο παρεμβολής που ψάχνουμε, θα είναι βαθμού. Τι γίνεται όμως αν οι τιμές των εμπειρικών δεδομένων μας προέρχονται πιθανόν από τη συνάρτηση f ( x ), που είναι πολυώνυμο m βαθμού και m< ; Ένα απλός τρόπος να αποφύγουμε τον μεγάλο όγκο πράξεων, ψάχνοντας για βαθμού πολυώνυμο παρεμβολής ιδιαίτερα αν το m είναι πολύ μικρό σε σχέση με το είναι να σχηματίσουμε τον πίνακα των διηρημένων διαφορών οπότε οι m -τάξης διηρημένες διαφορές θα πρέπει να είναι

122 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση σταθερές αν τα εμπειρικά δεδομένα προέρχονται από πολυώνυμο βαθμού m και τα σημεία παρεμβολής είναι μη ισαπέχοντα. Αν συμβεί αυτό, δηλαδή οι m -τάξης διηρημένες διαφορές να είναι σταθερές δεν χρειάζεται, να χρησιμοποιήσουμε όλα τα δεδομένα μας για την εύρεση του πολυωνύμου παρεμβολής αλλά μόνο m + τον αριθμό από αυτά και υπολογίζουμε για αυτά το πολυώνυμο παρεμβολής του Lagrage. Ανάλογα εργαζόμαστε με τον πίνακα διαφορών και για ισαπέχοντα σημεία, όταν το πολυώνυμο παρεμβολής θέλουμε να υπολογίζεται με την μέθοδο του Lagrage. 3.4 Εφαρμογές 3.4. Γενικά Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση f ( x ) μιας μεταβλητής x περιγράφει μαθηματικά ένα φαινόμενο. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, όμως, δεν διαθέτουμε την ακριβή έκφραση της συνάρτησης f ( x ), αλλά τις τιμές της, f = f( x ), σε ( + ) -σημεία x, = 0(). Επίσης, πολλές φορές, ακόμη και αν γνωρίζουμε την έκφραση της συνάρτησης f ( x ), η πολυπλοκότητά της δεν μας επιτρέπει να βρούμε, για παράδειγμα, την τιμή της παραγώγου της σε ένα δεδομένο σημείο x ή ακόμη να ολοκληρώσουμε την συνάρτηση f ( x ) σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της με τη χρησιμοποίηση μεθόδων Ανάλυσης. Έτσι είμαστε αναγκασμένοι να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους Αριθμητικής Ανάλυσης.

123 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 3 Η ιδέα αυτών των μεθόδων είναι απλή και συνίσταται στο γεγονός ότι η συνάρτηση f ( x ) μπορεί να προσεγγιστεί από ένα πολυώνυμο παρεμβολής p( x ) βαθμού, με σημεία παρεμβολής τα σημεία x, = 0(), θεωρούμε δηλαδή ότι f ( x) p ( x) και αντί να παραγωγίσουμε ή να ολοκληρώσουμε την συνάρτηση f ( x) παραγωγίζουμε ή ολοκληρώνουμε αντίστοιχα το πολυώνυμο παρεμβολής, που είναι μια γνωστή, και η ευκολότερη δυνατή, διαδικασία παραγώγισης ή ολοκλήρωσης στα Μαθηματικά. Η μελέτη δοκιμαστικών περιπτώσεων έχει δείξει, ότι οιπαράγωγοι με την παραπάνω διαδικασία πρέπει να αντιμετωπίζονται με επιφύλαξη εκτός και αν διαθέτουμε πολύ ακριβή δεδομένα. Η βασική δυσκολία προκύπτει από το ότι το σφάλμα p ( ) ( ) x f x μπορεί να είναι πολύ μεγάλο και όταν ακόμη το σφάλμα p ( ) ( ) x f x είναι πολύ μικρό. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει, ότι δύο καμπύλες μπορεί να είναι πολύ κοντά και να έχουν πολύ διαφορετικές κλίσεις. Εκτός αυτού υπάρχουν και εδώ οι γνωστές πηγές σφάλματος, σφάλματα στα εμπειρικά μας δεδομένα f, σφάλματα αποκοπής, που ορίζονται ως p ( ) ( ), x f x p ( x) f ( x),, σφάλματα στρογγυλοποίησης κ. ο. κ. με σημαντικότερο εκείνο των σφαλμάτων εισόδου, όπως λέμε, τα σφάλματα στις τιμές της

124 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση συνάρτησης f ( x ), που πολλαπλασιάζονται κατά την εφαρμογή των αλγορίθμων. Κρίσιμο ρόλο, επίσης, παίζει σε αυτό και για ισαπέχοντα σημεία η επιλογή του βήματος πινακοποίησης h, που πρέπει ανάλογα με το πρόβλημα, που έχουμε, να επιλέγουμε κατάλληλα. Αντίθετα, στην Αριθμητική Ανάλυση η αριθμητική ολοκλήρωση θεωρείται αρκετά επιτυχής και αξιόπιστη πράξη. Άλλωστε, στην Αριθμητική Ανάλυση αυτή η πράξη θεωρείται «εύκολη», ενώ η αριθμητική παραγώγιση «δύσκολη», αντίθετα από ότι συμβαίνει στην στοιχειώδη Ανάλυση. Τέλος, η σπουδαιότητα της αριθμητικής ολοκλήρωσης γίνεται αντιληπτή, εάν σκεφτούμε πόσο συχνά η διατύπωση προβλημάτων στην εφαρμοσμένη Ανάλυση περιέχει παραγώγους, οπότε είναι φυσικό η λύση των προβλημάτων αυτών να περιέχει ολοκληρώματα και επειδή τα περισσότερα ολοκληρώματα δεν υπολογίζονται αναλυτικά ο αριθμητικός υπολογισμός τους είναι αναπόφευκτος. Στη συνέχεια και στις επόμενες δύο παραγράφους θα δώσουμε συγκεκριμένους τύπους για αριθμητική παραγώγιση και αριθμητική ολοκλήρωση για ισαπέχοντα σημεία και όταν το p ( x ) δίνεται από τις προς τα εμπρός διαφορές των Newto-Gregory. Είναι φανερό, πως όταν έχουμε μη ισαπέχοντα σημεία το πολυώνυμο παρεμβολής p ( x ) θα παίρνεται από τον τύπο του Lagrage Αριθμητική Παραγώγιση Σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο και τον τύπο παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory της σχέσης (3.3) έχουμε

125 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 5 θ θ θ f ( x) p ( x) = f0 + Δ f0 + Δ f0 + + Δ f0, x x όπου θ = 0, h το βήμα πινακοποίησης. h Παραγωγίζοντας ως προς x έχουμε dp( x) dθ d θ f ( x) p ( x) = = Δ f0 = dθ dx h dθ = 0 3 d θ = Δ f0 + ( θ ) Δ f0 + ( 3θ 6θ + ) Δ f0 + + Δ f0. h 6 dθ (3.6) Ο τύπος (3.6) όταν μας ζητείται η πρώτη παράγωγος σε ένα από τα σημεία παρεμβολής μπορεί να απλοποιηθεί πάρα πολύ. Για παράδειγμα αν ζητείται η πρώτη παράγωγος στο σημείο x = x, 0 οπότε θ = 0, ο τύπος (3.6) γίνεται 3 f ( x0) f0 f0 f0 ( ) f0 h Δ Δ + Δ + Δ 3 και για συγκεκριμένες τιμές του μπορούμε να έχουμε πιο συγκεκριμένους τύπους. Έτσι, Για = έχουμε f f0 f ( x0) Δ f0 =, (3.7) h h για = f 4f+ 3f0 f ( x0) ( Δf0 Δ f0) =, (3.8) h h κ. ο. κ..

126 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Τέλος, για παραγώγους ανώτερης τάξης μπορούμε να συνεχίσουμε κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Για παράδειγμα για την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f ( x ) έχουμε d 3 d θ f ( x) Δ f0 + ( θ ) Δ f0 + ( 3θ 6θ + ) Δ f0 + + Δ f0 hdx 6 dθ d 3 d θ = f Δ 0 + ( θ ) Δ f0 + ( 3θ 6θ + ) Δ f0 + + Δ f0 h dθ 6 dθ 3 d θ = f Δ 0 + ( θ ) Δ f0 + + f Δ 0. (3.9) h dθ Ο τύπος (3.9) για x = x0 και =, για παράδειγμα, θα έχει την απλούστατη μορφή f f+ f0 f ( x0) Δ f 0 =. (3.0) h h Παράδειγμα 3.0 Να βρεθούν οι παράγωγοι f (0) και f (0) για τον πίνακα δεδομένων του παραδείγματος 3.3 αυτού του κεφαλαίου, χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες του πίνακα. Απάντηση Από τον τύπο (3.8) έχουμε f f 4f + 3f 4 4*+ 3* h * 0 = = (0) και από τον τύπο (3.0) έχουμε f f+ f0 4 *+ f (0) = =. h

127 Παρεμβολή - Πρόβλεψη Αριθμητική Ολοκλήρωση Εργαζόμενοι ανάλογα με την προηγούμενη παράγραφο, χρησιμοποιώντας δηλαδή το πολυώνυμο παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory, προκύπτουν τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης που είναι γνωστοί στην βιβλιογραφία ως κλειστοί τύποι των Newto-Cotes. Οι τύποι αυτοί έχουν να κάνουν με τον βαθμό του πολυωνύμου παρεμβολής, που χρησιμοποιούμε, και θα δώσουμε στη συνέχεια τους απλούς τύπους και τους αντίστοιχους γενικευμένους, όπως θα λέμε, για =, και 3. Έτσι, για = έχουμε θ f ( x) dx p ( x) dx = f + Δ f hdθ = h ( f + θδf ) dθ x x x x0 x0 x0 0 θ h θ ( ) ( ) = h f + Δ f h f f f f f = + = +. (3.) Ο τύπος (3.) είναι ο απλούστερος από τους κλειστούς τύπους των Newto-Cotes και είναι γνωστός ως ο απλός κανόνας του τραπεζίου, αφού προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα x x0 f ( xdx ) με το εμβαδόν του τραπεζίου με παράλληλες πλευρές τα f 0 και f και ύψος το βήμα πινακοποίησης h. Ο απλός κανόνας του τραπεζίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

128 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση x k x0 f ( xdx ), όταν k >. Τότε xk x x f( x) dx= f( x) dx+ f( x) dx+ + f( x) dx x0 x0 x xk h h h ( f0 + f) + ( f+ f) + + ( fk + fk) f0 fk = h + f+ f + + fk +. (3.) xk τραπεζίου. Ο τύπος (3.) αποτελεί τον γενικευμένο κανόνα του Ακόμη για = έχουμε x x x0 x0 0 θ θ 0 ( ) 0 ( ) 0 0 f( x) dx p ( x) = f + Δ f + Δ f = = h f0 + θδ f0 + ( θ θ) Δ f0 dθ = 3 θ θ θ = h θ f0 + Δ f0 + Δ f0 = 3 = h f0 + ( f f0) + ( f f+ f0) = 3 h = ( f f + f ). (3.3) 3 0

129 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 9 Ο τύπος (3.3) των Newto-Cotes είναι γνωστός και ως ο απλός κανόνας του 3 του Smpso στην βιβλιογραφία. Είναι φανερό ότι από τον τύπο (3.3) μπορούμε να έχουμε και τον γενικευμένο τύπο του 3 του Smpso, όταν επιζητούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα, που αποτελείται από k διαδοχικά και ίσα με h, h το βήμα πινακοποίησης, διαστήματα. Γιατί τότε x k x x4 x k f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx + + f ( x) dx x0 x0 x xk h h h ( f0 + 4f+ f) + ( f + 4f3+ f4) + + ( fk + 4fk + fk) = h = ( f f + f + 4 f 3+ f f k + 4 f k + f k). (3.4) 3 Τέλος εργαζόμενοι όπως στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις για = και =, για = 3 έχουμε τον απλό κανόνα των 3, 8 όπως λέγεται, αντίστοιχο των κανόνων (3.) ή (3.3), x3 3h f ( xdx ) ( f0 + 3f+ 3f + f3) (3.5) 8 x0 και τον αντίστοιχο γενικευμένο κανόνα των 3 8 για να καλύψει την περίπτωση των 3k διαδοχικών και ίσων διαστημάτων

130 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση x3k x3 x6 x3k f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx + + f ( x) dx x0 x0 x3 x3k 3 3h f + f + f + f + f + f + f + + f + f + f + f 8 ( ) k 3 3k 3k 3k (3.6) Παράδειγμα 3. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες του πίνακα x 0 3 f( x) και κατάλληλο τύπο απλό ή γενικευμένο των Newto-Cotes να βρεθεί η τιμή του ολοκληρώματος 3 0 f ( xdx ). Απάντηση Από τον γενικευμένο κανόνα (3.) του τραπεζίου έχουμε 3 0 f0 f f( x) dx h + f+ f = = + = = Εξάλλου, από τον απλό κανόνα (3.5) των 3 8 έχουμε f( x) dx ( ) = = Σημειώνουμε ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ούτε τον απλό κανόνα (3.3) του 3 του Smpso, αφού δεν μπορεί να

131 Παρεμβολή - Πρόβλεψη χρησιμοποιήσει όλες τις πληροφορίες του πίνακα των δεδομένων μας (μας περισσεύει μια τιμή της συνάρτησης), αλλά ούτε τον γενικευμένο κανόνα (3.4) του 3 του Smpso αφού μας λείπει μια πληροφορία στον πίνακα των δεδομένων για την εφαρμογή του. Ασκήσεις. Η συνάρτηση f ( x ), που τιμές της δίνονται από τον παρακάτω πίνακα τιμών x y = f( x) 0 0, είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου το. Χρησιμοποιώντας τύπους από την παρεμβολή και τη σχετική θεωρία της, να βρεθεί η συνάρτηση f ( x ). τιμών. Η συνάρτηση f ( x ) παίρνει τιμές από τον παρακάτω πίνακα x = 0,,, 3 f( x) =, 0, 3, 8. Χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Bessel και όλες τις πληροφορίες του πίνακα, να βρεθεί η τιμή f (.4).

132 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 3. Να αποδειχτεί αναλυτικά ότι στην περίπτωση των τριών σημείων x = x0 + h, = 0(), ο τύπος παρεμβολής του Lagrage συμπίπτει με τον τύπο παρεμβολής των προς τα εμπρός διαφορών των Newto-Gregory. 4. Για την συνάρτηση f x = να βρεθεί το πολυώνυμο 4 ( ) x, παρεμβολής p( x ), χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες του πίνακα x = 0,, f( x) = 0,, 6 και στη συνέχεια να βρεθεί μια έκφραση για τη διόρθωση R( x ). 5. Χρησιμοποιώντας υποχρεωτικά όλα τα δεδομένα του πίνακα x = 0,,, 3 f( x) =,, 5, 53, να βρεθεί η τιμή της παραγώγου f (0.5). 6. Να προσδιοριστούν οι συντελεστές α 0 και α έτσι ώστε ο τύπος αριθμητικής παραγώγισης f ( x ) α f( x ) + α f( x ), όπου x 0 και x γνωστοί αριθμοί, να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβής. 7. Δίνεται το ολοκλήρωμα 3 x dx. 3

133 Παρεμβολή - Πρόβλεψη 3 Να βρεθεί η τιμή του, χρησιμοποιώντας τους γενικευμένους κανόνες του τραπεζίου και του του Smpso με βήμα 3 πινακοποίησης h =. Ποιο από αποτελέσματα είναι ακριβές; 8. Να δειχτεί, με οποιοδήποτε τρόπο, ο τύπος της αριθμητικής ολοκλήρωσης x x0 h f ( xdx ) ( 5f0 + 8 f f), όπου x = x0 + h και f = f( x ), = 0(). 9. Να προσδιοριστούν τα α, x0 και x έτσι ώστε ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης [ ] f ( xdx ) α f( x) + f( x) 0 να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβής.

134

135 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 4. Γενικά Έστω η εξίσωση f( x ) = 0, (4.) όπου f ( x ) γνωστή συνάρτηση και x η ανεξάρτητη μεταβλητή. Ορισμός 4. Καλείται ρίζα ή λύση της εξίσωσης (4.) κάθε τιμή ξ τέτοια ώστε f ( ξ ) = 0. Ορισμός 4. Η εξίσωση (4.) καλείται αλγεβρική ή πολυωνυμική αν η συνάρτηση f ( x ) είναι πολυώνυμο, ενώ καλείται μη αλγεβρική ή υπερβατική αν η συνάρτηση f ( x ) εμπεριέχει τριγωνομετρικές ή x εκθετικές συναρτήσεις, όρους δηλαδή όπως cos x, s x, e κτλ.. Είναι γνωστό ότι ελάχιστες μόνο κατηγορίες εξισώσεων είναι δυνατόν να επιλυθούν με μεθόδους της Άλγεβρας και της Ανάλυσης. Για να περιοριστούμε στις απλούστερες από αυτές αναφέρουμε τις πολυωνυμικές εξισώσεις, τις εξισώσεις δηλαδή της μορφής x + a x + + ax+ a0 = 0, (4.)

136 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση βαθμού. Από τις εξισώσεις της μορφής (4.) εύκολα μπορούμε να επιλύουμε τις γραμμικές εξισώσεις, τις εξισώσεις δηλαδή πρώτου βαθμού, με λύση x+ a 0 = 0 x = a, 0 τις τετραγωνικές εξισώσεις, τις εξισώσεις δηλαδή δεύτερου βαθμού, με λύσεις x + ax+ a0 = 0 a± a 4a0 x, = και δύσκολα μπορούμε να επιλύουμε τριτοβάθμιες και τεταρτοβάθμιες εξισώσεις. Η λύση τριτοβαθμίων και τεταρτοβαθμίων αλγεβρικών εξισώσεων διαδόθηκε από το 545 μ.χ. με το βιβλίο Arts Maga (Μεγάλη Τέχνη) του Ιταλού μαθηματικού Cardao, γι αυτό και η επίλυση τέτοιων εξισώσεων αναλυτικά φέρει το όνομά του. Στη συνέχεια η αναζήτηση μεθόδων για την εύρεση ριζών σε μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού της μορφής (4.), συνίστατο στην εύρεση γενικών τύπων με τους οποίους οι ρίζες της εξίσωσης να εκφράζονται ως συνάρτηση των συντελεστών της a, = 0(). Έτσι αν ρ, ρ,, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (4.), βρέθηκαν οι γνωστοί με το όνομα του Veta τύποι (4.3) = < j ρ = a ρρ,, j = a

137 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 7 (4.3) ρ = ( ) a0. = Από τους τύπους (4.3), όμως, όπως μπορεί να παρατηρήσει κανείς, μπορούμε εύκολα να βρούμε την εξίσωση, όταν έχουν δοθεί οι ρίζες της και όχι το αντίστροφο, που είναι και το πρόβλημά μας. Το συμπέρασμα λοιπόν είναι ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις για βαθμό 5, εκτός από εξαιρέσεις (διτετράγωνες, αντίστροφες κτλ.), δεν μπορούν να επιλυθούν, τουλάχιστον εύκολα, με αναλυτικές μεθόδους. Τι γίνεται όμως, όταν η f ( x ) είναι υπερβατική εξίσωση, που είναι και το πιο συνηθισμένο, αν όχι αποκλειστικό, φαινόμενο στη σύγχρονη έρευνα και τεχνολογία; Για παράδειγμα, η εξίσωση x 0.s x 0.5 = 0 είναι μια ειδική περίπτωση και συγχρόνως η απλούστερη των εξισώσεων του Kepler, που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό των τροχιών των πλανητών. Εξάλλου στο σχεδιασμό των υψηλών ηλεκτρονικών δυνάμεων των σωληνοειδών ηλεκτρικών μονωτήρων παρουσιάζονται εξισώσεις της μορφής π q ( x ) Q =, q σταθερά (l x) και ζητάμε την τιμή του x έτσι ώστε το Q να γίνει ελάχιστο. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αδιανόητο ακόμη και να σκεφτούμε ότι είναι δυνατό να υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις, που να δίνουν τις λύσεις των αντίστοιχων εξισώσεων.

138 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Συνεπώς η ανάγκη χρησιμοποίησης μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης, για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων των εξισώσεων, είναι κάτι περισσότερο από επιτακτική. Πράγματι στην Αριθμητική Ανάλυση υπάρχουν μέθοδοι με τις οποίες από το ένα μέρος μπορούμε να βρούμε το πλήθος των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης σε ένα διάστημα [ α, β ] και από το άλλο μέρος μπορούμε να προσεγγίσουμε με σημαντική ακρίβεια και τις πραγματικές και τις μιγαδικές ρίζες της. Ιδιαίτερα με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών οι προσεγγιστικές μέθοδοι έχουν προσαρμοστεί στις δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών και γίνεται πλέον ευρεία χρήση στις διάφορες εφαρμογές για την κατά προσέγγιση εύρεση των ριζών των εξισώσεων. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε κυρίως με την αριθμητική εύρεση μιας πραγματικής ρίζας ξ της εξίσωσης (4.), όπου η συνάρτηση f ( x ) είναι μια συνεχής συνάρτηση με πραγματικούς συντελεστές. Για το σκοπό αυτό και για την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων, είναι απαραίτητος ο εντοπισμός της ρίζα ξ της εξίσωσης (4.). Με άλλα λόγια για να εφαρμόσουμε μια αριθμητική μέθοδο, θα πρέπει να βρούμε πρώτα ένα διάστημα μέσα στο οποίο να βρίσκεται η ρίζα ξ, που επιζητάμε, και μόνο. Προς τούτο υπάρχουν τόσο αναλυτικές όσο και γραφικές μέθοδοι, δεν θα επιμείνουμε όμως στην περιγραφή τους γιατί ξεφεύγει από το σκοπό του παρόντος. Απλώς θα αναφέρουμε το παρακάτω θεώρημα, γνωστό από την Μαθηματική Ανάλυση, που είναι πολύ χρήσιμο στη διαδικασία εντοπισμού των ριζών της εξίσωσης (4.).

139 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 9 Θεώρημα 4. Αν f( a) f( β ) < 0, a < β, και η συνάρτηση f ( x ) είναι συνεχής και γνήσια μονότονη στο κλειστό διάστημα [ a, β ], τότε θα υπάρχει μια και μόνο ρίζα ξ της εξίσωσης (4.), τέτοια ώστε a < ξ < β. Όταν έχουμε βρει ένα διάστημα εντοπισμού της ρίζας, τότε παίρνουμε ως μια πρώτη προσέγγιση x 0 της άγνωστης ρίζας ξ ένα σημείο του διαστήματος αυτού. Μετά εφαρμόζουμε την αριθμητική (προσεγγιστική) μέθοδο της Αριθμητικής Ανάλυσης, που επιλέξαμε για την επίλυση της εξίσωσης, και βρίσκουμε με βάση το x 0 και την εξίσωση (4.) μια νέα προσέγγιση x κ. ο. κ.. Έτσι, εφαρμόζοντας την μέθοδο επαναληπτικά, παράγουμε μια ακολουθία { x}, =,,3,, η οποία κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις συγκλίνει στη ρίζα ξ της εξίσωσης (4.). Σε μια τέτοια περίπτωση μπορούμε, ύστερα από κατάλληλο αριθμό επαναλήψεων του αλγόριθμου (της προσεγγιστικής μεθόδου), ανάλογα με την ακρίβεια που επιζητούμε, να βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης (4.) ως το lm x, lm x = ξ. δηλαδή παίρνουμε

140 30 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Στη συνέχεια από τις πολλές επαναληπτικές μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης, που έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση εξισώσεων, θα αναπτύξουμε δυο επαναληπτικές μεθόδους, που χρησιμοποιούν τα άκρα του διαστήματος εντοπισμού της απλής ρίζας ξ της εξίσωσης (4.), τη μέθοδο της διχοτόμησης και τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής, θα παρουσιάσουμε μια εισαγωγή της λεγόμενης γενικής επαναληπτικής μεθόδου για την επίλυση της εξίσωσης (4.) από μια αναδιάταξη αυτής και θα κλείσουμε με τη μέθοδο των Newto-Raphso, που αποτελεί μια εξειδίκευση της γενικής επαναληπτικής μεθόδου. Τέλος, θα δώσουμε μια χρήσιμη εφαρμογή της μεθόδου των Newto-Raphso για την εύρεση της ν-οστής ρίζας του αριθμού α, α. 4. Επαναληπτικές Μέθοδοι, που χρησιμοποιούν τα άκρα του διαστήματος εντοπισμού της ρίζας της εξίσωσης (4.) Για την καλύτερη κατανόηση του προβλήματος θα ξεκινήσουμε με την εξίσωση f( x) = x e x = 0 (4.4) ως μοντέλο, που προφανώς δεν είναι αλγεβρική εξίσωση. Είναι εύκολο, να διαπιστώσει κανείς, κάνοντας για παράδειγμα τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων y = x και y = e x, ότι η λύση της εξίσωσης (4.4) είναι η τετμημένη των παραπάνω συναρτήσεων και είναι κοντά στον αριθμό 0.6.

141 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 3 Εξάλλου είναι προφανές πως, επειδή η συνάρτηση y = x είναι μονότονα αύξουσα και η συνάρτηση y = e x είναι μονότονα φθίνουσα, οι συναρτήσεις αυτές θα τέμνονται μια φορά και επομένως η εξίσωση (4.4) θα έχει μοναδική λύση. Επίσης, παρατηρούμε ότι f (0.5) = 0.< 0, f (0.6) = 0.05 > 0 και σύμφωνα με το θεώρημα 4. η ρίζα της εξίσωσης (4.4), που ψάχνουμε, θα βρίσκεται στο ανοικτό διάστημα (0.5, 0.6). Με σκοπό να βρούμε μια προσέγγιση της ρίζας και να την καλυτερεύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της διχοτόμησης, γνωστή και ως μέθοδο του Bolzao. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην ιδέα του διαδοχικού εγκλεισμού της ρίζας, που ψάχνουμε, σε μικρότερα και μικρότερα υποδιαστήματα του διαστήματος I 0 = [0.5, 0.6] μέσα στο οποίο εντοπίσαμε τη ρίζα. Έτσι, επειδή f (0.55) < 0, 0.55 = το μέσο του διαστήματος 0 I, η ρίζα που ψάχνουμε, σύμφωνα με το θεώρημα 4., θα βρίσκεται στο υποδιάστημα (0.55, 0.6). Επίσης το μέσο του διαστήματος I = [0.55, 0.6], που είναι είναι τέτοιο ώστε f (0.575) > 0, και άρα, σύμφωνα με το θεώρημα 4., η ρίζα θα ανήκει στο υποδιάστημα (0.55, 0.575).

142 3 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Είναι προφανές ότι συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο θα φθάσουμε τελικά σε ένα πολύ μικρό υποδιάστημα μέσα στο οποίο θα βρίσκεται η ρίζα, που ψάχνουμε, και ανάλογα με την ακρίβεια που επιθυμούμε να τη βρούμε εκλαμβάνουμε ως τη ζητούμενη ρίζα το μέσο του πολύ μικρού αυτού υποδιαστήματος. Από τα παραπάνω είναι εύκολο να κατασκευάσει κανείς τον αλγόριθμο της μεθόδου της διχοτόμησης, η οποία υπό τις προϋποθέσεις, που θέσαμε παραπάνω, συγκλίνει πάντα, αλλά η σύγκλισή της είναι αργή, και είναι ο παρακάτω. Έστω I0 = [ α0, β0] το αρχικό διάστημα στο οποίο ανήκει η απλή ρίζα ξ της εξίσωσης (4.). Θεωρούμε ως πρώτη προσέγγιση της ρίζας ξ το x α + β =. Αν f( x 0) = 0, συνεπάγεται ξ = x. 0 Διαφορετικά θέτουμε α = x0 και β = β, αν 0 f( x0) f( β 0) < 0 ή α = α0 και β = x, αν 0 f( α 0) f( x0) < 0. Έτσι σε κάθε περίπτωση, ορίζουμε ένα καινούργιο διάστημα I = [ α, β ] μέσα στο οποίο θα εξακολουθεί να βρίσκεται η ρίζα ξ και, σύμφωνα με αυτά που περιγράψαμε παραπάνω, θα έχουμε μια δεύτερη προσέγγισή της την x α + β =. Συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο, η ακολουθία

143 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 33 { x}, = 0,,,, που παράγεται συγκλίνει πράγματι στη ρίζα ξ της εξίσωσης (4.). Και τούτο γιατί το διάστημα I είναι το μισό από το διάστημα I, 0 αφού β β α 0 0 α =, το διάστημα I είναι το μισό του διαστήματος I κ. ο. κ., οπότε το μήκος του διαστήματος I θα είναι β α = β0 α 0. Έτσι, αν η ποσότητα ε = x ξ αποτελεί το σφάλμα στην επανάληψη του παραπάνω αλγορίθμου, θα έχουμε ότι και συνεπώς α + β α + β ε = x ξ = ξ < α = α + β α β α β0 α0 = = = + lmε = 0 lm x = ξ, αφού, όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό β0 α0 lm 0. + = (4.5) Η μέθοδος της διχοτόμησης παρότι, όπως προείπαμε, είναι αργή, έχει το καλό ότι δίνει τη δυνατότητα να γνωρίζουμε εκ των

144 34 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση προτέρων σε πόσες επαναλήψεις θα έχουμε σύγκλιση, αν απαιτήσουμε την εύρεση της ρίζας ξ με προσέγγιση (ακρίβεια) k δεκαδικών ψηφίων. Πράγματι τότε, ε 0 k και από τη σχέση (4.5) για να συμβαίνει αυτό αρκεί β0 α0 0 k +, από όπου έχουμε k log[0 ( β0 α0)]. log Με σκοπό να αποφύγουμε την αργοπορία του αλγορίθμου της διχοτόμησης μπορούμε, εκμεταλλευόμενοι τη γραμμική παρεμβολή, να αναπτύξουμε ένα καινούργιο αλγόριθμο. Έστω ότι γνωρίζουμε ότι η ρίζα ξ της εξίσωσης (4.) είναι απλή στο διάστημα [ α0, β 0]. α0 + β0 Τότε αντί να πάρουμε ως x 0, το x0 = σύμφωνα με τη μέθοδο της διχοτόμησης, παίρνουμε κατά τα γνωστά από το προηγούμενο κεφάλαιο ως σημείο x 0 το σημείο τομής του πολυωνύμου παρεμβολής, που περνάει από τα σημεία ( α, f( α )), ( β, f( β )) με τον άξονα των x. Το πολυώνυμο παρεμβολής πρώτου βαθμού, σύμφωνα με τον τύπο του Lagrage (3. 7) για =, είναι

145 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 35 x β x α p ( x) = f( α ) + f( β ) α0 β0 β0 α0 και για p ( x ) = 0, έχουμε για x = x0 x 0 α0f( β0) β0f( α0) =. f( β ) f( α ) 0 0 Αν συνεχίσουμε, τώρα, την ίδια διαδικασία, όπως και για τον αλγόριθμο της διχοτόμησης, δηλαδή αν f( x 0) = 0, συνεπάγεται ξ = x0 διαφορετικά θέτουμε θα έχουμε α = x0 και β = β, αν 0 f( x0) f( β 0) < 0 ή α = α0 και β = x, αν 0 f( α 0) f( x0) < 0, αf( β) βf( α) x = f( β ) f( α ) κ. ο. κ. και τελικά ο αλγόριθμος της γραμμικής παρεμβολής, γνωστός και ως ο αλγόριθμος της εσφαλμένης θέσης (regula fals), για την επανάληψη x θα δίνεται από την έκφραση x αf( β) βf( α) =, = 0,,,, (4.6) f( β ) f( α ) όπου α, β τα άκρα του διαστήματος, όπως ορίστηκαν στην προηγούμενη επανάληψη. Παράδειγμα 4. α. Να βρεθεί η απλή ρίζα, που βρίσκεται στο κλειστό διάστημα [, 3], της εξίσωσης 3 x x 5= 0

146 36 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής και με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων. β. Να υπολογιστεί το ελάχιστο πλήθος επαναλήψεων με τη μέθοδο της διχοτόμησης για την εύρεση της ίδιας ρίζας και με την ίδια ακρίβεια της παραπάνω εξίσωσης. Απάντηση α. Σύμφωνα με την περιγραφή της μεθόδου της γραμμικής παρεμβολής έχουμε από τα δεδομένα μας α =, β = 3 και ( ) = 5= 0. f x x x Έτσι, εφαρμόζοντας τον τύπο (4.6) για = 0 βρίσκουμε καλούμε με x 0 = Ακόμη, επειδή f( x0) f( β 0) < 0, α = x0 =.0588 και β = β0 = 3. Εφαρμόζοντας ξανά τον τύπο (4.6) για = βρίσκουμε x =.083. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε διαδοχικά x =.0897, x3 =.098, x4 =.0939 και x = αφού 5 Επομένως, ξ.094,

147 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 37 3 x4 x5 = β. Αν πάρουμε, σύμφωνα με την περιγραφή της μεθόδου της διχοτόμησης, ως αρχικό διάστημα εντοπισμού της ρίζας ξ το I 0 = [, 3], τότε έχουμε α 0 = και β 0 = 3. Έτσι, αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές για k = 3 στον τύπο βρίσκουμε k log[0 ( β0 α0)], log 3 log(0 (3 )) 3 = log Άρα το ελάχιστο πλήθος των επαναλήψεων της μεθόδου της διχοτόμησης είναι = Γενική Επαναληπτική Μέθοδος 4.3. Περιγραφή της μεθόδου Κάνοντας μια αναδιάταξη της εξίσωσης (4.), έτσι ώστε x = gx ( ) (4.7) είναι φανερό ότι η ρίζα ξ της εξίσωσης (4.), που ψάχνουμε, θα ικανοποιεί και την εξίσωση (4.7), δηλαδή ξ = g( ξ ). Η εξίσωση (4.7) υποδεικνύει, πλέον, τον παρακάτω επαναληπτικό αλγόριθμο x = g( x), = + 0,,,, (4.8)

148 38 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση με x 0 δεδομένο, ο οποίος κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, οι οποίες εξαρτώνται από τη συνάρτηση gx ( ) και την αρχική προσέγγιση x, 0 παράγει ακολουθία { x }, = 0,,,, που συγκλίνει στη ρίζα ξ. Το κέρδος, αν εξασφαλίσουμε συνθήκες σύγκλισης της μεθόδου (4.8), είναι ότι η επανάληψη x βρίσκεται ως συνάρτηση μόνο της προηγούμενης επανάληψης x και αποφεύγουμε την πολυπλοκότητα των μεθόδων, που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Στη συνέχεια θα δώσουμε ένα θεώρημα, που εξασφαλίζει τη σύγκλιση του αλγορίθμου (4.8). Θεώρημα 4. Αν I = [ α, β ] είναι ένα διάστημα στο οποίο ανήκει η ρίζα ξ της εξίσωσης (4.7) και ( ) ( I) gx με g ( x) L<, για κάθε x I, τότε αν η αρχική προσέγγιση x 0 και οι επαναλήψεις x, =,,3,, που παράγονται από τον αλγόριθμο (4.8), ανήκουν στο διάστημα I, η ακολουθία { x}, = 0,,,, θα συγκλίνει στη ρίζα ξ. Απόδειξη Αν καλέσουμε ε το σφάλμα στην επανάληψη του αλγορίθμου (4.8), από τις σχέσεις (4.7), (4.8) και το θεώρημα του Taylor θα έχουμε ε = gx ( ) g( ξ) = ( x ξ) g ( ξ ) = ε g ( ξ ), όπου ξ [m( x, ξ), max( x, ξ)].

149 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 39 Παίρνοντας απόλυτες τιμές στην τελευταία σχέση και λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του θεωρήματος έχουμε ε L ε ε. L 0 Επειδή, όμως, από τα δεδομένα μας γνωρίζουμε ότι 0< L <, με βάση τον Απειροστικό Λογισμό θα έχουμε άμεσα ότι lm ε = 0 και συνεπώς lm( x ξ ) = 0, από όπου έχουμε το ζητούμενο lm x = ξ. (4.9) Σημειώνουμε ότι είναι εύκολο να δει κανείς ότι αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος 4. και η αρχική προσέγγιση x 0 για την εφαρμογή του αλγορίθμου (4.8) εκλεγεί από το «μικρότερο», με την έννοια ότι η ρίζα ξ ανήκει σε αυτό το υποδιάστημα, από τα δυο υποδιαστήματα [ α, ξ ] και [ ξ, β ], τότε όλες οι επαναλήψεις x, που παράγονται από τον αλγόριθμο (4.8), θα βρίσκονται στο διάστημα I και επομένως θα ισχύει η σχέση (4.9) Είδος σύγκλισης της Γενικής Επαναληπτικής Μεθόδου Έστω I = [ α, β ] ένα διάστημα που περιέχει την απλή ρίζα ξ της εξίσωσης (4.7) και k gx ( ) ( I) με ( m g ) ( ξ ) = 0, m= () k, και ( k g ) ( ξ ) 0.

150 40 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εξυπακούεται, επίσης, πως τόσο η αρχική προσέγγιση x, 0 όσο και τα στοιχεία της ακολουθίας, που παράγονται από τον αλγόριθμο (4.8), ανήκουν στο διάστημα I και μάλιστα ισχύει η σχέση (4.9). Τότε, αν θεωρήσουμε το σφάλμα στην ( + ) επανάληψη του αλγορίθμου (4.8) και χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Taylor και τις υποθέσεις, που θέσαμε στην αρχή αυτής της παραγράφου, θα έχουμε ε = x ξ = g( x ) g( ξ) = + + k k ( x ξ) ( x ξ) ( k ) ( x ξ) ( k) x g g g g = ( ξ) ( ξ) + ( ξ) + + ( ξ) + ( ξ ) =! ( k )! k! k ε ( k ) = g ( ξ), k! όπου ξ [m( x, ξ), max( x, ξ)]. Η τελευταία ακριβώς σχέση μας λέει ότι το σφάλμα στην ( + ) επανάληψη είναι ανάλογο της k δύναμης του σφάλματος στην προηγούμενη επανάληψη και επειδή στο όριο το σφάλμα τείνει στο μηδέν, ή τουλάχιστον αυτό επιζητούμε, η σύγκλιση στη ρίζα ξ από ένα σημείο και μετά, οριακά δηλαδή, θα είναι ταχύτατη. Από τα παραπάνω για k = και αν ισχύει το θεώρημα 4., η γενική επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει πάντοτε και η σύγκλιση ονομάζεται πρώτης τάξης ή γραμμική σύγκλιση. Αν k > τότε g ( ξ ) = 0< και επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα 4., η ακολουθία, που παράγεται από τον αλγόριθμο (4.8), συγκλίνει στη ρίζα ξ. Στην

151 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 4 περίπτωση αυτή η σύγκλιση ονομάζεται k τάξης και ειδικότερα για k = ονομάζεται τετραγωνική σύγκλιση ενώ για k = 3 ονομάζεται κυβική σύγκλιση. Παράδειγμα 4. Να εξεταστεί αν ο αλγόριθμος x = + (5 s x ), 0,,,, 3 + = μπορεί με κατάλληλες προϋποθέσεις να δώσει ακολουθία που να συγκλίνει. Απάντηση Σύμφωνα με τη θεωρία ο αλγόριθμος αυτός προέρχεται από την εξίσωση x = (5 + s x ) g ( x ), 3 που είναι αναδιάταξη της εξίσωσης f( x) 3x sx 5= 0. Η εξίσωση αυτή έχει μια πραγματική ρίζα ξ και επειδή ισχύει cos x g ( x) = < 3 3 για κάθε πραγματικό x, για οποιαδήποτε εκλογή του x 0 ο παραπάνω αλγόριθμος παράγει ακολουθία, η οποία συγκλίνει στη ρίζα ξ της εξίσωσης.

152 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα 4. 3 Αφού πρώτα βρεθεί σε τι μπορεί να χρησιμεύσει ο αλγόριθμος x x + α =, = 0,,, 3 + 3x με x 0 γνωστό και α 0, να αποδειχτεί στη συνέχεια ότι αυτός ο αλγόριθμος είναι δεύτερης τάξης σύγκλισης. Απάντηση Όπως είναι γνωστό, αν ο αλγόριθμος που δόθηκε συγκλίνει, τότε θα συγκλίνει στη ρίζα ξ της εξίσωσης 3 x +α x = gx ( ) 3x ή της εξίσωσης f x x α = 3 ( ) 0, με άλλα λόγια θα χρησιμεύει για την εύρεση της ξ = α 3. Για να είναι, τώρα, ο αλγόριθμος αυτός δεύτερης τάξης σύγκλισης θα πρέπει g ( ξ) = 0 και g ( ξ) 0. Για το σκοπό αυτό βρίσκουμε 3 ( x α) α g ( x) = και g ( x) = x x Επομένως και [( α) α] ( ξ) = g ( α) = = g 3( α )

153 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 43 α g ξ = α = = ( α) α 3 ( ) g ( ) Άρα ο αλγόριθμος, που δόθηκε, πράγματι είναι δεύτερης τάξης (τετραγωνικής) σύγκλισης. 4.4 Μέθοδος των Newto-Raphso 4.4. Περιγραφή της μεθόδου Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τη ρίζα ξ της εξίσωσης (4.) σε ένα διάστημα, μέσα στο οποίο η ρίζα ξ είναι απλή. Από το ανάπτυγμα του Taylor έχουμε όπου f ( ξ) = f( x) + ( ξ x) f ( x) + ( ξ x) f ( h), (4.0) m{ ξ, x } < h< max{ ξ, x } και f ( h) η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f ( x ) στο σημείο h. Φυσικά από τον ορισμό 4. αφού το ξ είναι ρίζα της εξίσωσης (4.) έχουμε στον τύπο του Taylor (4.0) f ( ξ ) = 0. (4.) Αν υποθέσουμε, πλέον, ότι lm x + = ξ και από το ανάπτυγμα του Taylor της σχέσης (4.0) κρατήσουμε τους δύο πρώτους όρους του, οπότε θα κατασκευάσουμε έναν

154 44 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση προσεγγιστικό αλγόριθμο, και ακόμη λάβουμε υπόψη μας τη σχέση (4.) παίρνουμε 0 = f ( x ) + ( x x ) f ( x ), (4.) + από όπου έχουμε f ( x ) x = x +. (4.3) f ( x ) Ακριβώς ο επαναληπτικός αλγόριθμος (4.3) για =,, αποτελεί τη μέθοδο, τον αλγόριθμο των Newto-Raphso. Πράγματι, αν lm x = ξ, από τον ορισμό για το σφάλμα έχουμε ότι το σφάλμα ε στην επανάληψη εφαρμογής του αλγόριθμου των Newto-Raphso είναι ε = x ξ. (4.4) Αν αφαιρέσουμε από τη σχέση (4.) τη σχέση (4.0) και έχοντας υπόψη τη σχέση (4.) παίρνουμε f x x x f x f x x f + x x f h από όπου έχουμε ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ξ ) ( ) ( ξ ) ( ) = 0, ( x+ ξ) f ( x) ( x ξ) f ( h) = 0. Από την τελευταία σχέση, πλέον, λαμβάνοντας υπόψη και τη σχέση (4.4), έχουμε ότι το σφάλμα στην + επανάληψη είναι ε + = f ( h) ε. f ( x ) (4.5) Ο τύπος (4.5) μας λέει, πως το σφάλμα στην + επανάληψη εφαρμογής του αλγορίθμου των Newto-Raphso είναι

155 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 45 ανάλογο με το τετράγωνο του προηγουμένου σφάλματος στην επανάληψη εφαρμογής του αλγορίθμου. Συνεπώς η σύγκλιση, που έχουμε, κατά την εφαρμογή της μεθόδου των Newto-Raphso είναι τετραγωνική. Με άλλα λόγια με τη μέθοδο των Newto-Raphso το πλήθος των σωστών δεκαδικών ψηφίων της λύσης ξ της εξίσωσης (4.) διπλασιάζεται από επανάληψη σε επανάληψη εφαρμογής του αλγορίθμου. Η μεγάλη ταχύτητα της μεθόδου των Newto-Raphso δείχνει ότι χρειάζεται μια λογική εκτίμηση της ρίζας ξ της εξίσωσης (4.) για αρχική τιμή και ότι ο ρόλος της μεθόδου είναι να κάνει αυτή τη λογική εκτίμηση «άριστη». Αυτό κάνει πολύ δημοφιλή τη μέθοδο των Newto-Raphso. Ένας άλλος λόγος, που κάνει αυτή τη μέθοδο δημοφιλή, είναι ότι προγραμματίζεται εύκολα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ειδικά όταν η συνάρτηση f ( x ) είναι πολυώνυμο η μέθοδος των Newto-Raphso είναι γνωστή ως μέθοδος των Brge-Veta και έχει πάρα πολλές εφαρμογές, όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου. Η μέθοδος των Brge-Veta βρίσκει τη ρίζα ξ της πολυωνυμικής εξίσωσης (4.) ή γενικότερα της πολυωνυμικής εξίσωσης ax + a x + + ax + a0 = 0 με τη μέθοδο των Newto-Raphso, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης (σχήμα του Horer) της παραγράφου.3 του κεφαλαίου. Αυτό θα γίνει καλύτερα κατανοητό με το παρακάτω παράδειγμα.

156 46 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα 4.4 Να βρεθεί με τη μέθοδο των Brge-Veta και ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων η ρίζα της εξίσωσης f x x x x x 4 3 ( ) = 0, που είναι κοντά στον αριθμό 3. Απάντηση Από τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης για x 0 = 3 έχουμε = f (3) 8= f (3) Συνεπώς, από τη μέθοδο των Newto-Raphso της σχέσης (4.3) και για = 0 έχουμε x x f( x ) ( ) = 0 = = f ( x0 ) 8 Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία έχουμε

157 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων = f ( x ) = f ( x ) oπότε x f( x ) = x f ( x ) =.838 = και = f ( x ) = f ( x) οπότε x f( x ) = 3 x f ( x) =.76 = Σύμφωνα με την ακρίβεια, που επιζητούμε, και επειδή x3 x = = 0.000,

158 48 που είναι μικρότερο από το Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση , ε = = η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, που είναι κοντά στον αριθμό 3, με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων είναι η ξ Παρατήρηση Η γενική επαναληπτική μέθοδος, που αναπτύχτηκε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι απλή στην εφαρμογή της παρουσιάζει, όμως, μια δυσκολία αφού από τις άπειρες αναδιατάξεις της εξίσωσης f( x ) = 0 στη μορφή x = gx ( ) θα πρέπει να βρούμε εκείνη για την οποία g ( ξ ) <, όπου ξ η ζητούμενη ρίζα. Εκτός αυτού θα έχουμε αργή σύγκλιση στη ρίζα ξ, επειδή η γενική επαναληπτική μέθοδος εκτός εξαιρέσεων γενικά θα είναι γραμμικής σύγκλισης. Αντίθετα, η μέθοδος των Newto-Raphso έχει τη μορφή γενικής επαναληπτικής μεθόδου, αλλά η συνάρτηση gx ( ) είναι συγκεκριμένη και δίνεται από τον τύπο f ( x) gx ( ) = x. f ( x) Επειδή, τώρα, f ( x) f ( x) g ( x) =, [ f ( x)] έχουμε g ( ξ ) = 0. Συνεπώς η μέθοδος των Newto-Raphso, σύμφωνα με την παράγραφο 4.3., είναι τουλάχιστον τετραγωνικής σύγκλισης στην

159 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 49 περίπτωση απλής ρίζας ξ και ως εκ τούτου θα είναι πιο γρήγορη από ό,τι μια οποιαδήποτε γενική επαναληπτική μέθοδος Ρίζες πραγματικών αριθμών Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε πως θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των Newto-Raphso ή ειδικότερα τη μέθοδο των Brge- Veta για την εύρεση ριζών πραγματικών αριθμών. Πριν όμως κάνουμε αυτό θα πούμε μερικά γενικά πράγματα, που αφορούν τις ρίζες πραγματικών αριθμών. Ορισμός 4.3 Έστω a πραγματικός αριθμός και ν φυσικός αριθμός. Κάθε αριθμός ο οποίος είναι ρίζα της εξίσωσης v x = a (4.6) ονομάζεται ρίζα ν τάξης ή νιοστή ρίζα του αριθμού a. Αποδεικνύεται ότι αν a 0 υπάρχει ακριβώς ένα x 0, που ικανοποιεί τη σχέση (4.6) και συμβολίζεται με v a, ενώ αν a < 0 και ν περιττός αριθμός τότε υπάρχει μια μόνο πραγματική ρίζα της εξίσωσης (4.6) η v x = a, η οποία συμβολίζεται ξανά με v a. Τα μέρη v, και a της ρίζας ονομάζονται δείκτης, ριζικό και υπόρριζο αντίστοιχα. Ειδικά αν v =, η ρίζα ονομάζεται και

160 50 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση τετραγωνική ρίζα του πραγματικού αριθμού a, ενώ αν v = 3 η ρίζα ονομάζεται και κυβική ρίζα του πραγματικού αριθμού a. Το σύνολο S των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης (4.6), για ένα πραγματικό αριθμό a δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. a 0 { v v S a, a} ν άρτιος ν περιττός v = S = { a} v a < 0 S S = { a} με 6 = 4, Για παράδειγμα, αν a =6 οι ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης της (4.6) είναι ± 4 αν a = 8 και ν = 3, η πραγματική ρίζα της αντίστοιχης εξίσωσης της (4.6) είναι με 3 8 = και αν a =8 και ν = 3, η πραγματική ρίζα της αντίστοιχης εξίσωσης (4.6) είναι με 3 8 =. Ποια όμως είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού ή η κυβική ρίζα του αριθμού 7; Τέτοια ερωτήματα, όπως το παραπάνω, μας ωθούν να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους Αριθμητικής Ανάλυσης και για την εύρεση των ριζών πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια θα δούμε πως ο αλγόριθμος των Newto-Raphso θα χρησιμοποιηθεί και για αυτό το σκοπό.

161 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 5 Από την ισότητα (4.6) μπορεί κανείς εύκολα να πάρει την πολυωνυμική εξίσωση v f( x) x a= 0. (4.7) Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f ( x ) στη σχέση (4.7) είναι εύκολο να βρεθεί και είναι v f ( x) vx. (4.8) Από τον αλγόριθμο (4.3) των Newto-Raphso, αν αντικαταστήσουμε τις f ( x ) και f ( x ) με τα ίσα τους από τις σχέσεις (4.7) και (4.8), έχουμε x x a v + = x v vx v v vx x + a = v v x v ( v ) x + a = v v x a = ( v ) x + v v x. (4.9) Ο αλγόριθμος (4.9) αποτελεί τον αλγόριθμος των Newto- Raphso για την εύρεση της νιοστής ρίζας του πραγματικού αριθμού a, ξεκινώντας βέβαια με κατάλληλη αρχική προσέγγιση x. Ειδικά 0 για ν= ο αλγόριθμος των Newto-Raphso παίρνει τη μορφή a x+ = x +, = 0,,,, (4.0) x με x 0 κατάλληλη αρχική προσέγγιση.

162 5 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώνουμε ότι τον τύπο (4.0) χρησιμοποιούσε ο Ήρωνας περί το 00 π.χ. για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού a, χρειάστηκαν όμως δεκαοκτώ αιώνες περίπου για να θεμελιωθεί θεωρητικά από τον αλγόριθμο των Newto-Raphso. Αποδεικνύεται ότι αν εκλέξουμε την αρχική προσέγγιση x 0 από την περιοχή, που θα περιέχει στο εσωτερικό της την a, τότε ο αλγόριθμος (4.0) θα συγκλίνει σε αυτή, ενώ αν εκλέξουμε την αρχική προσέγγιση x 0 από την περιοχή, που θα περιέχει την a, τότε ο αλγόριθμος (4.0) θα συγκλίνει στην a. Μπορούμε, όμως, να αποδείξουμε κάτι γενικότερο όταν ο αριθμός a, του οποίου θέλουμε την τετραγωνική ρίζα είναι θετικός. Συγκεκριμένα τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι για κάθε x 0 > 0 ο αλγόριθμος (4.0) παράγει ακολουθία, που συγκλίνει στην a. Καταρχήν από τη μορφή του αλγορίθμου (4.0) είναι φανερό πως αν x 0 > 0 τότε θα έχουμε και x > 0, =,, 3,. (4.) Επίσης, παρατηρούμε ότι a x+ a = x + a x a = x a + x a = x 0, x

163 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 53 από όπου συμπεραίνουμε κι ακόμη x a, = 0,,,, (4.) a x x+ = x ( x + ) x x a = 0 x σύμφωνα με τη σχέση (4.) και άρα έχουμε x x, =,, 3,. + (4.3) Από τις σχέσεις ακριβώς (4.) και (4.3) συμπεραίνουμε ότι η ακολουθία { x}, =,, 3,, που σχηματίζεται από την εφαρμογή του αλγορίθμου (4.0) των Newto-Raphso και έχει θετικούς όρους, είναι μονότονη και φραγμένη από τα κάτω από την τετραγωνική ρίζα του a, a. Επομένως, σύμφωνα με την Μαθηματική Ανάλυση, η ακολουθία αυτή συγκλίνει και, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (4.), θα συγκλίνει στην a. Παράδειγμα 4.5 Να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αριθμού με τη μέθοδο των Newto-Raphso και ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. τη μορφή Απάντηση Ο αλγόριθμος (4.0) των Newto-Raphso για a = παίρνει

164 54 x = + ( x ), 0,,, + x = Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση και σύμφωνα με όσα αναπτύξαμε παραπάνω μπορούμε να ξεκινήσουμε με x 0 οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Παίρνοντας x 0 =, έχουμε διαδοχικά x =.5, x =.4667, x3 =.44 και x = Επειδή x4 x3 = , που είναι μικρότερο από το 0 4 ε = = , δεχόμαστε ότι.44 με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Παράδειγμα 4.6 Να βρεθεί η κυβική ρίζα του αριθμού 7 με τη μέθοδο των Newto-Raphso και ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων, παίρνοντας ως αρχική προσέγγιση x 0 =.

165 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 55 Απάντηση Από τον τύπο (4.9) έχουμε για ν = 3 ότι ο αλγόριθμος των Newto-Raphso για την εύρεση της κυβικής ρίζας ενός πραγματικού αριθμού a είναι a x+ = x +, = 0,,,. 3 x Έτσι, για την συγκεκριμένη περίπτωση ( a = 7 ) ο αλγόριθμος παίρνει τη μορφή 7 x+ = x +, 0,,,. = 3 x Παίρνοντας x 0 = σε αυτόν τον αλγόριθμο έχουμε x =.967, x =.99 και x = Επειδή, πλέον, δύο διαδοχικές επαναλήψεις του αλγόριθμου συνέπεσαν, δεχόμαστε ότι με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

166 56 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ασκήσεις. Να βρεθεί η απλή ρίζα, που βρίσκεται στο κλειστό διάστημα [0, ], της εξίσωσης f x x x x 3 ( ) = + τόσο με τη μέθοδο της διχοτόμησης, όσο και με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής και με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου.. Σε τι μπορεί να χρησιμέψει ο αλγόριθμος x = x + x + =, 0,,, ; 3. Η εξίσωση f x x x ( ) = 3 + = 0 έχει ρίζες τις ξ = και ξ =. Να βρεθεί μια αναδιάταξη αυτής της εξίσωσης της μορφής x αx + βx+ γ g x έτσι ώστε ο αλγόριθμος ( ), x = g( x), = + 0,,,, με x 0 δεδομένο, να είναι τετραγωνικής σύγκλισης και να συγκλίνει στη ρίζα ξ =. 4. Να βρεθεί η 3 7, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο των Newto-Raphso, με ακρίβεια δυο δεκαδικών ψηφίων και αρχική προσέγγιση x 0 =. 5. Να δειχτεί ότι ο αλγόριθμος των Newto-Raphso

167 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων 57 f( x ) x = x, 0,,, + f ( x ) = με x 0 δοσμένο για την εύρεση της ρίζας ξ της εξίσωσης f( x ) = 0, είναι γραμμικής σύγκλισης στην περίπτωση κατά την οποία η ρίζα ξ είναι πολλαπλή με βαθμό πολλαπλότητας k >. 6. Να αποδειχτεί ότι ο αλγόριθμος x = x ( α x), = + 0,,, με x 0 δοσμένο, δεν αποτελεί παρά έναν αλγόριθμος των Newto- Raphso για την εύρεση του αντιστρόφου του αριθμού α, α 0.

168

169 5. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 5. Ορισμοί Συμβολισμοί Ορισμός 5. Μια ορθογώνια παράταξη αριθμών a, = () m, j = (), του σώματος F της μορφής j A a a a a a a a a a = ονομάζεται πίνακας. m m m (5.) Αν m = ο πίνακας ονομάζεται τετραγωνικός και ο αριθμός m = ονομάζεται τάξη του πίνακα. Στη γενική περίπτωση ο πίνακας (5.), λέμε ότι είναι διάστασης m. Στην ειδική περίπτωση που το = έχουμε τον πίνακα-στήλη, ενώ όταν έχουμε m = έχουμε τον πίνακα-γραμμή. Οι αριθμοί a, = () m, j = (), ονομάζονται στοιχεία του j πίνακα A. Είναι φανερό ότι ο πρώτος δείκτης των στοιχείων του πίνακα A δηλώνει τις σειρές του, ενώ ο δεύτερος δείκτης δηλώνει τις στήλες του.

170 60 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Τέλος, αν ο πίνακας A είναι τετραγωνικός τάξης, θα γράφουμε για συντομία A = ( a ),, j = (), και θα συμβολίζουμε την ορίζουσά του με det( A ). j Ορισμός 5. Ο τετραγωνικός πίνακας, τάξης, στον οποίο όλα τα στοιχεία τα εκτός της κυρίας διαγωνίου είναι μηδέν, ονομάζεται διαγώνιος πίνακας και συμβολίζεται με d 0 0 D= ( d ) = 0 0 d 0 d 0. Αν d =, για κάθε = (), έχουμε τον μοναδιαίο πίνακα τάξης, που συμβολίζεται με I, ενώ αν και 0, d = για κάθε = ( ) έχουμε τον μηδενικό πίνακα τάξης, που συμβολίζεται με O., Ορισμός 5.3 Ένας τετραγωνικός πίνακας A= ( a j ), τάξης, ονομάζεται πάνω τριγωνικός (κάτω τριγωνικός), αν όλα τα στοιχεία τα κάτω (πάνω) της κυρίας διαγωνίου του είναι μηδέν, δηλαδή έχουμε αντίστοιχα A a a a 0 a a, 0 0 a = A a 0 0 a a 0. a a a =

171 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 6 Αν και τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου των παραπάνω πινάκων είναι μηδέν, τότε έχουμε αντίστοιχα τον αυστηρά πάνω τριγωνικό και αυστηρά κάτω τριγωνικό πίνακα τάξης. Σημειώνουμε εδώ, ότι ο διαγώνιος πίνακας είναι μια ειδική περίπτωση τόσο του πάνω όσο και του κάτω τριγωνικού πίνακα. Ακόμη, θα συμβολίζουμε με A Τ τον ανάστροφο πίνακα του * πίνακα A της μορφής (5.), με A τον συζυγή του και με A Η συζυγή ανάστροφό του και θα έχουμε αντίστοιχα A a a a a a a a a a m Τ m = m, A a a a = am am am * a a a και τον A Η a a a m a a am =. a a am Εξάλλου, θα συμβολίζουμε με A τον αντίστροφο ενός τετραγωνικού πίνακα A, αν υπάρχει, δηλαδή τον πίνακα για τον οποίο έχουμε A A= AA = I. Στη συνέχεια, θα αναφέρουμε μερικές ειδικές περιπτώσεις τετραγωνικών πινάκων.

172 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ορισμός 5.4 Ο πίνακας A θα ονομάζεται συμμετρικός, αν και μόνο αν A Τ = A. Ορισμός 5.5 Ο πίνακας A θα ονομάζεται A Η = A. ερμιτιανός, αν και μόνο αν Σημειώνεται ότι, ο συμμετρικός πραγματικός πίνακας είναι υποπερίπτωση του ερμιτιανού πίνακα * ( A Τ = A = A ). Ορισμός 5.6 Ο πίνακας A θα ονομάζεται αντί-ερμιτιανός, αν και μόνο αν A Η = A. Ορισμός 5.7 Ο πίνακας A θα ονομάζεται ορθογώνιος, αν και μόνο αν A = A Τ. Τέλος, θα δώσουμε μερικά στοιχεία από τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα A, τάξης. Ορισμός 5.8 Αν A είναι τετραγωνικός πίνακας τάξης και x ένα διάστατο διάνυσμα (πίνακας διάστασης x ), διάφορο από το μηδενικό διάνυσμα, και ισχύει η σχέση Ax = λx, (5.)

173 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 63 όπου λ γενικά ( το σώμα των μιγαδικών αριθμών), τότε η ποσότητα λ ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα A και το διάνυσμα x ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A, αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ. Φυσικά η σχέση (5.) αποτελεί ένα ομογενές γραμμικό σύστημα με αγνώστους τις συνιστώσες του διανύσματος x και θα έχει λύση διάφορη της μηδενικής, αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι ίση με μηδέν, δηλαδή ( A λ I) det = 0. (5.3) Το πρώτο μέλος της σχέσης (5.3) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ως προς λ ( η τάξη του πίνακα A ) και ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A, ενώ η σχέση (5.3) ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A. Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι κάθε πίνακας τάξης έχει ιδιοτιμές (όχι κατ ανάγκη διαφορετικές μεταξύ τους). Φυσικά όταν οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες, τότε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Σημειώνουμε εδώ (χωρίς απόδειξη) ότι ένας ερμιτιανός πίνακας τάξης έχει πραγματικές ιδιοτιμές λ, = (), και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ( x ), = (), ορθογώνια (άρα γραμμικά ανεξάρτητα), που μπορούν να παρθούν ορθοκανονικά, δηλαδή () ( ) 0, αν j Η x x j =. (5.4), αν = j Ειδικά δε, όταν ο πίνακας είναι πραγματικός συμμετρικός σημειώνουμε ότι μπορούμε πάντοτε να εκλέξουμε πραγματικά ιδιοδιανύσματα.

174 64 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ακόμη, σημειώνουμε ότι ένας αντί-ερμιτιανός πίνακας έχει καθαρά φανταστικές ιδιοτιμές. Επίσης, από τη σχέση (5.3) που αποτελεί και ορισμό για τις ιδιοτιμές του πίνακα A, είναι φανερό ότι οι ιδιοτιμές ενός διαγωνίου, ενός κάτω τριγωνικού και ενός πάνω τριγωνικού πίνακα είναι τα διαγώνια στοιχεία τους. Θα κλείσουμε, τέλος, αυτή την παράγραφο δίνοντας έναν ακόμη ορισμό, χρήσιμο στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, αλλά και για το επόμενο κεφάλαιο. Ορισμός 5.9 Αν A = ( a j ) είναι ένας μιγαδικός πίνακας τάξης με ιδιοτιμές λ, = (), τότε η θετική ποσότητα ρ( A) = max λ, = (), (5.5) ονομάζεται φασματική ακτίνα του πίνακα Α. Γεωμετρικά από τον ορισμό 5.9 συμπεραίνουμε πως, αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α σχεδιαστούν πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η φασματική ακτίνα ρ ( A) δεν είναι παρά η ακτίνα του μικρότερου κυκλικού δίσκου με κέντρο την αρχή των αξόνων, ο οποίος περιέχει όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα A.

175 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων 5.. Νόρμες διανυσμάτων Έστω ο διανυσματικός χώρος, δηλαδή ο χώρος με στοιχεία τα -διάστατα διανύσματα x με συνιστώσες από το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Θα μελετήσουμε, στη συνέχεια, την έννοια του μεγέθους ενός διανύσματος x, x. Όπως γνωρίζουμε, το φυσικότερο μέτρο ενός διανύσματος είναι η νόρμα ή η στάθμη αυτού. Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη, δίνοντας τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός 5.0 Νόρμα στον χώρο είναι μια πραγματική συνάρτηση, που x δίνει ένα πραγματικό μη αρνητικό αριθμό x, τέτοιο ώστε. x, x > 0 και x = 0 x= o.. cx = c x, x και. c (5.6) 3. x + y x + y, xy, (τριγωνική ιδιότητα). Θα δοθεί στη συνέχεια ένα θεώρημα, το οποίο θα μας επιτρέψει να ορίσουμε κάποιες από τις πιο γνωστές νόρμες διανυσμάτων. Θεώρημα 5. Να δειχτεί ότι η ποσότητα

176 66 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση x p = όπου ( ) p p = ( x ), (5.7) T x = xx x και p μη αρνητικός ακέραιος αριθμός διάφορος του μηδενός, είναι νόρμα του διανύσματος x, δηλαδή πληρούνται οι προϋποθέσεις (5.6) του ορισμού 5.0. Απόδειξη Η σχέση (5.6)-. είναι προφανής. Για τη σχέση (5.6.)-. έχουμε p p p p = = cx = ( cx ) = ( c x ) = p p p p p p p p p = = οπότε ισχύει και = ( c x ) = ( c ) ( x ) = c x, απομένει να αποδείξουμε την τριγωνική ιδιότητα, δηλαδή, ότι x + y x + y p p p, όπου T y, δηλαδή ( ), y = y y y που ισοδυναμεί με την άνισοισότητα p p p p p p x + y x + y = = = (5.8) ( ) ( ) ( ) Η άνισο-ισότητα (5.8), όμως, δεν είναι παρά η άνισο-ισότητα του Mkowsk, που, όπως γνωρίζουμε, ισχύει πάντα για p μη αρνητικό ακέραιο διάφορο από το μηδέν και συνεπώς ολοκληρώθηκε η απόδειξη του θεωρήματος.

177 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 67 νόρμες Από το θεώρημα 5., για p =,, έχουμε αντίστοιχα τις x = = x και (5.9) = H x = ( x ) = ( x x). Η νόρμα x του διανύσματος x, στη σχέση (5.9), δεν είναι παρά η λεγόμενη ευκλείδεια νόρμα και εκφράζει το μήκος του διανύσματος x. Θα εξετάσουμε, στη συνέχεια, την ποσότητα (5.7) όταν το p, οπότε έχουμε αφού και άρα lm x = lm ( x ) = p p p p = = p p p x p p = lm[ (max x ) ( ) ] max x = p x p p = lm[(max x ) ( ) ] = p max x p = = p p = x max x lm[ ( ) ] max x = = max x, max x x

178 68 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση = x p ( ) = a, max x όπου a, το σώμα των πραγματικών αριθμών, και συνεπώς, όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό, p lm a =. p Έτσι, από τη σχέση (5.7), έχουμε και την γνωστή ως μέγιστη νόρμα του διανύσματος x, x = max x. (5.0) Στη συνέχεια, θα ορίσουμε την ισοδυναμία μεταξύ δύο νορμών. Ορισμός 5. Δύο νόρμες είναι ισοδύναμες ή συγκρίσιμες, αν υπάρχουν θετικές ποσότητες c, c, τέτοιες ώστε c x x c x (5.), p p p για κάθε x. Οι σταθερές c και c λέγονται σταθερές σύγκρισης των νορμών x p και x και γενικά εξαρτώνται από τη διάσταση του p χώρου. Ειδικά για τις τρεις νόρμες διανυσμάτων, που ορίσαμε παραπάνω, έχουμε τις σχέσεις. x x x. x x x. (5.) 3. x x x..

179 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 69 Παρατηρήσεις. Για κάθε διανυσματική νόρμα ισχύει ότι x y x y, x, y. (5.3) Η απόδειξη της σχέσης (5.3) είναι πολύ εύκολη, αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι x = x y + y και y = x + y x και να εφαρμόσει τις ιδιότητες (5.6) για οποιαδήποτε νόρμα.. Ως απόσταση d( x, y ) μεταξύ δυο διανυσμάτων x, y στο χώρο ορίζεται η νόρμα d( x, y) = x y. (5.4) Με τον ορισμό (5.4), η ποσότητα d( x, y ) είναι πράγματι μια απόσταση στο χώρο, αφού ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες. d( x, y ) = 0 και d( x, y) = 0 x= y. d( x, y) = d( y, x) και (5.5) 3. d( x, y) d( x, z) + d( z, y), όπου x, y, z. {, d} Συμπέρασμα των παραπάνω είναι, ότι ο διανυσματικός χώρος είναι μετρικός χώρος.

180 70 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Τέλος, η απόδειξη των ιδιοτήτων (5.5) της απόστασης δύο διανυσμάτων στο χώρο είναι άμεση συνέπεια του ορισμού (5.4) για την απόσταση μεταξύ δυο διανυσμάτων και των ιδιοτήτων των νορμών διανυσμάτων (σχέσεις (5.6)). 5.. Νόρμες πινάκων Είναι γνωστό ότι κάθε πίνακας A τάξης, με μιγαδικά στοιχεία a,, j = (), δηλαδή j, A, μπορεί με μια ορισμένη διάταξη των στοιχείων του, να θεωρηθεί ως διάνυσμα στο χώρο. Συνεπώς, θα μπορούσε κανείς να ορίσει τις νόρμες πινάκων θεωρώντας τους πίνακες ως διανύσματα του χώρου, όπως στην προηγούμενη παράγραφο 5... Επειδή, όμως, θέλουμε οι νόρμες πινάκων να έχουν μια ορισμένη ιδιότητα, που σχετίζεται με το γινόμενο δύο πινάκων, δίνουμε τον παρακάτω ορισμό. συνάρτηση, Ορισμός 5. Νόρμα του πίνακα A, τάξης, είναι μια πραγματική συμβολίζεται με που δίνει ένα μη αρνητικό πραγματικό αριθμό, A και έχει τις ιδιότητες. A 0 και A = 0 A= O.. ca = c A, c. (5.6) 3. A + B A + B, A,, B. 4. AB A B, A,, B.

181 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 7 Η ιδιότητα 4. είναι γνωστή ως η ιδιότητα της συνέπειας ή της αξιοπιστίας. Θα δοθεί στη συνέχεια ένα θεώρημα, το οποίο θα μας επιτρέψει τον ορισμό των αντίστοιχων νορμών για πίνακες, όπως εκείνες για τα διανύσματα. Θεώρημα 5. Να δειχτεί ότι η λεγόμενη φυσική νόρμα ενός πίνακα, A A Ax = sup, x, (5.7) x 0 x αποτελεί νόρμα του πίνακα A, δηλαδή ικανοποιεί τις σχέσεις (5.6). Απόδειξη Για την απόδειξη αυτού του θεωρήματος θα πρέπει, πρώτα, να αποδείξουμε τη σχέση έχουμε Ax A x, όπου Πράγματι, για x, A και. = o η σχέση (5.8) ισχύει. x (5.8) Αν x o, από τον ορισμό της φυσικής νόρμας, σχέση (5.7), Ax x Α, αφού το supremum μιας συνάρτησης είναι το ελάχιστο από τα πάνω φράγματά της, που ισοδυναμεί με τη σχέση (5.8). Προχωρούμε, τώρα, στην απόδειξη του θεωρήματος 5., δηλαδή αποδεικνύουμε για τη σχέση (5.7) τις σχέσεις (5.6).. Α 0 και Α = 0 Α= O, προφανής.

182 7 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. cax c Ax c Α = sup = sup = x 0 x x 0 x = Ax c sup c A, x = ισχύει. x 0 3. ( A+ B) x Ax+ Bx A+ B = sup = sup x 0 x x 0 x A x sup + B x A x sup x x 0 x + sup x 0 x 0 = A + B, ισχύει. B x x = Τέλος, 4. AB ( AB) x A( Bx) A B x = sup = sup sup = x 0 x x 0 x x 0 x Bx = A sup = A B, x 0 x ισχύει και συνεπώς η φυσική νόρμα αποτελεί νόρμα του πίνακα A. Σημειώνεται ότι στην απόδειξη της ιδιότητας 4 έγινε χρήση της σχέσης (5.8). Εξάλλου από τη σχέση (5.6)- έχουμε Ax x = Ax = A = Ay x x x, όπου x y = = x =. x x Συνεπώς, ο ορισμός (5.7) για τη φυσική νόρμα ισοδυναμεί με τον παρακάτω ορισμό

183 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 73 A Ax = sup = sup Ay. (5.9) x 0 x y = Η συνάρτηση A y είναι συνεχής συνάρτηση, αφού κάθε νόρμα διανύσματος στο χώρο Ακόμη, το σύνολο { : } S = y y = είναι συνεχής συνάρτηση. είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο) σύνολο. Είναι κλειστό, αφού ορίζεται στη μοναδιαία σφαίρα και φραγμένο, αφού η απόσταση d( x, y ) για κάθε x, y S είναι τέτοια ώστε d( x, y) = x y x + y = + =. Συνεπώς, αφού η συνάρτηση A y είναι συνεχής συνάρτηση και το σύνολο S είναι συμπαγές, το supremum στη σχέση (5.9) θα συμπίπτει με το maxmum, δηλαδή για τη φυσική νόρμα, που ορίστηκε από τη σχέση (5.7), έχουμε και τον ισοδύναμο ορισμό A = max Ay, y S. (5.0) y = Από τη σχέση (5.0), πλέον, έχουμε εκφράσεις για τις αντίστοιχες νόρμες πινάκων, όπως και στα διανύσματα, που δίνονται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 5.3 Αν A a j, = ( ), να δειχτεί ότι. A = max a j = j

184 74 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. A = max aj και (5.) j= 3. A ρ ( A H A) =, H H όπου ρ ( A A) είναι η φασματική ακτίνα του πίνακα A A, όπως δόθηκε στον ορισμό 5.9. Απόδειξη. Από τη σχέση (5.0), για κάθε y S, έχουμε A = max A y = max a y = y = = j= j y j max a y = max ( a y ) = j j j j y = y = = j= j= = αφού = max ( a ) max, j yj aj y = j j= = = (5.) j= y j = y = και συνεπώς y για κάθε j = (). j Εξάλλου, από τη σχέση (5.8) έχουμε A = A y Ay = a y = a j j k = j= = αν k είναι η στήλη του πίνακα A για την οποία = a k = max a j = j,

185 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 75 και διαλέξουμε το διάνυσμα y S έτσι ώστε η k συνιστώσα του να είναι μονάδα και όλες οι άλλες μηδέν. Καταλήξαμε, λοιπόν, ότι υπάρχει y S τέτοιο ώστε A max a. (5.3) j = j Από τις σχέσεις (5.) και (5.3) έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή τη σχέση (5.)-... Εργαζόμενοι ανάλογα, όπως και παραπάνω, έχουμε A = max A y = max a j y j max a y = y = j= y = j= j y j max a, (5.4) j= αφού y = και άρα j y, για κάθε j = (). j Εξάλλου, αν διαλέξουμε τις συνιστώσες του διανύσματος y S έτσι ώστε y j a = a, j j, αν αν a a j j 0 = 0 και λάβουμε υπόψη μας τη σχέση (5.8) έχουμε A = A y A y = max a j= j y j = j j (5.5) j= j= = max a = max a. Από τις σχέσεις (5.4) και (5.5), πλέον, έχουμε το ζητούμενο, δηλαδή τη σχέση (5.)-..

186 76 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 3. Από τη σχέση (5.0) έχουμε A = max Ay = max ( Ay) H Ay = y = y = H y y= H H = max ( y A Ay). (5.6) Ο πίνακας A H σχέση (5.4) τα ιδιοδιανύσματά του ορθοκανονική βάση στο χώρο. A είναι ερμιτιανός και συνεπώς σύμφωνα με τη () x, = (), αποτελούν Επειδή το διάνυσμα y της σχέσης (5.6) ανήκει στο χώρο μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων () H x του πίνακα, y A A δηλαδή () = ax, όπου. = a (5.7) Εξάλλου, οι ιδιοτιμές λ, = (), του πίνακα A H A εκτός από πραγματικές (αφού ο πίνακας αρνητικές, επειδή A H A είναι ερμιτιανός) είναι και μη () Η Η () H () () () λ 0 Α x = x A Ax = x x = λ για κάθε = (), και συνεπώς η φασματική ακτίνα του πίνακα A H A είναι τέτοια ώστε ρ ( A Η A) = max λ = maxλ. (5.8) Έτσι, η σχέση (5.6), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.7) και (5.8), γίνεται Η () H () Α = max H α x A A ax = y y= = =

187 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 77 Η () () = max H α x aλx = y y= = = H = max ( ) max ( ) H a λ H a ρ A A = y y= y y= = = H H ρ y y= = H = ρ( A A) max ( a ) = ( A A), αφού, από τη σχέση y Η y =, έχουμε με τη χρήση της σχέσης (5.7) = a =. Παρατηρούμε ότι η άνισο-ισότητα στις παραπάνω σχέσεις γίνεται ισότητα, αν επιλέξουμε ως διάνυσμα y το ιδιοδιάνυσμα ( k x ), Η που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ρ( A A) H του πίνακα A A. Άρα αποδείχτηκε και η σχέση (5.)-3. του θεωρήματος. Τέλος, σημειώνεται ότι η νόρμα A είναι γνωστή, για ευνόητους λόγους, και ως φασματική νόρμα του πίνακα A. Παρατήρηση Είναι φανερό ότι οι παραπάνω νόρμες πινάκων είναι ισοδύναμες αφού ορίζονται από τις αντίστοιχες νόρμες διανυσμάτων, οι οποίες είναι ισοδύναμες, σύμφωνα με τις σχέσεις (5.).

188 78 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 5.3 Σύγκλιση ακολουθιών Διανυσμάτων και Πινάκων Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη αυτής της παραγράφου δίνοντας δύο ορισμούς. Ορισμός 5.3 Μια ακολουθία διανυσμάτων () () ( ) x, x,, x m, συγκλίνει στο διάνυσμα x, αν και μόνο αν ( m) lm x = x, = (), m όπου x και x οι συνιστώσες των διανυσμάτων ( m ) αντίστοιχα. ( m) x και x Ορισμός 5.4 Η ακολουθία πινάκων () () ( m), A, A,, A,, συγκλίνει στον πίνακα, A, αν και μόνο αν ( m) lm aj = aj,, j = (), m όπου a και a j τα στοιχεία των πινάκων ( m ) j ( m) A και A αντίστοιχα. Από τους ορισμούς 5.3, 5.4 και τις σχέσεις (5.6)-. και (5.6)-. έχουμε ως άμεση συνέπεια τα δύο θεωρήματα που ακολουθούν. Θεώρημα 5.4 ( m) Η ακολουθία διανυσμάτων { } x, m=,, 3, συγκλίνει στο διάνυσμα ( ) ( m x x, x ), αν και μόνο αν lm ( m) x x 0. m = (5.9)

189 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 79 Θεώρημα 5.5 ( m) Μια ακολουθία πινάκων { } ( m), πίνακα ( ) A A, A, αν και μόνο αν lm ( m) A A 0. m A, m=,, 3, συγκλίνει στον = (5.30) Στη συνέχεια θα δοθούν δυο θεωρήματα για τη σχέση που διέπει τη φασματική ακτίνα και τις νόρμες ενός πίνακα A. Αυτά θα μας βοηθήσουν να αποδείξουμε τελικά τη σύγκλιση της ακολουθίας m των δυνάμεων ενός πίνακα A, { A }, m=,, 3,, και της m ακολουθίας των διανυσμάτων { A x}, m=,, 3,, πράγμα πάρα πολύ χρήσιμο για τη σύγκλιση των επαναληπτικών μεθόδων στη λύση ενός γραμμικού συστήματος, όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Θεώρημα 5.6 Για οποιαδήποτε νόρμα του πίνακα, A έχουμε ρ ( A) A, (5.3) όπου ρ ( A) η φασματική ακτίνα του πίνακα A. Απόδειξη Από τη σχέση (5.), για την τυχούσα ιδιοτιμή λ του πίνακα A με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα x, έχουμε Ax= λ x λ x = Ax λ x = Ax A x λ A,

190 80 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση σύμφωνα με τις ιδιότητες (5.6) των νορμών διανυσμάτων και τη σχέση (5.8). Συνεπώς, λαμβάνοντας υπόψη και τον ορισμό 5.9 για τη φασματική ακτίνα ενός πίνακα, έχουμε στο ζητούμενο, ότι δηλαδή ρ ( A) A. Σημειώνεται πως, αν A είναι ερμιτιανός πίνακας, η ευκλείδεια νόρμα του είναι τέτοια ώστε Α = ρ( A H A) = ρ( A ) = ρ( A), ενώ, αν ο πίνακας A είναι ορθογώνιος πραγματικός, η ευκλείδεια νόρμα του είναι Τ [ ] A = ρ( A H A) = ρ( A A) = ρ( A A) = ρ( I) =. Ο Householder το 964 απέδειξε, ότι ισχύει, κατά κάποιο τρόπο, και το αντίστροφο θεώρημα του θεωρήματος 5.6. Το παρουσιάζουμε εδώ χωρίς απόδειξη, μιας και η απόδειξη ξεφεύγει από το σκοπό των παραδόσεων του συγκεκριμένου μαθήματος, για να το χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια. Θεώρημα 5.7 Για κάθε πίνακα, A και για κάθε αριθμό ε > 0, υπάρχει νόρμα του πίνακα A (όχι κατ ανάγκη κάποια από τις γνωστές νόρμες, που ορίσαμε παραπάνω) τέτοια ώστε A ρ ( A) + ε. (5.3)

191 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 8 Άμεσο συμπέρασμα αυτού του θεωρήματος μπορεί να θεωρηθεί το παρακάτω πόρισμα. Πόρισμα Αν για κάποιο πίνακα A έχουμε ρ ( A) <, τότε θα υπάρχει νόρμα του πίνακα A, τέτοια ώστε A <. Απόδειξη Αν διαλέξουμε ρ( A) ε =, από τη σχέση (5.3), έχουμε τελικά ρ ( A) ρ( A) + ρ( A) ρ( A) + + A ρ( A) + ε = ρ( A) + = = < =. Θα συνεχίσουμε τώρα, διατυπώνοντας και αποδεικνύοντας δυο πολύ σημαντικά θεωρήματα για τη σύγκλιση της ακολουθίας m { A }, m=,, 3, των διαδοχικών δυνάμεων του πίνακα, A από το ένα μέρος και από το άλλο μέρος για τη σύγκλιση της m ακολουθίας { A x}, m=,, 3,, x διάφορο του μηδενικού διανύσματος, που θα μας χρησιμέψουν στη σύγκλιση των επαναληπτικών μεθόδων για την αριθμητική επίλυση των γραμμικών συστημάτων του επομένου κεφαλαίου.

192 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Θεώρημα 5.8 Η ακολουθία των διαδοχικών δυνάμεων ενός πίνακα A,, m { A }, m=,, 3,, συγκλίνει στο μηδενικό πίνακα, δηλαδή lm Α m = O, m αν και μόνο αν ρ ( A) <. Απόδειξη Έστω lm Α m = O. m Αυτό, σύμφωνα με το θεώρημα 5.5, ισοδυναμεί με m lm Α = 0. (5.33) m Ας υποθέσουμε τώρα ότι ρ ( A). Αυτό σημαίνει ότι [ ρ ] m m A ρ( A ) = ( A). Συνεπώς, lm Α m 0, m δηλαδή δεν ισχύει η σχέση (5.33), πράγμα άτοπο. Άρα ρ ( A) <. Αντίστροφα, έστω ρ ( A) <. m Τότε σύμφωνα με το πόρισμα του θεωρήματος 5.7, υπάρχει κάποια νόρμα του πίνακα A για την οποία A <. Αλλά,

193 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 83 m A A m, σύμφωνα με τη σχέση (5.6)-v), και έχουμε m A m A <, οπότε m lm A lm A = 0, δηλαδή m m lm Α m = 0 m και συνεπώς, από το θεώρημα 5.5, έχουμε lm Α m = O. m m Έτσι, ολοκληρώθηκε η απόδειξη του θεωρήματος 5.8. Θεώρημα 5.9 Να δειχτεί ότι η ακολουθία διανυσμάτων m { A x}, m=,, 3,, όπου m, A, x και A O, x o συγκλίνει στο μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή m lm Α x = o, αν και μόνο αν ρ ( A ) <. m Απόδειξη Έστω m lm Α x = o, για κάθε διάνυσμα x o. m Από το θεώρημα 5.4 έχουμε ότι m lm Α x = 0, για κάθε x o. m Διαλέγω ως x ένα από τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. Τότε,

194 84 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 0, αν λ < m m m lm A x = lm λ x = x lm λ = x, αν λ =. m m m, αν λ > Επειδή, όμως, lm A m x = 0, m σημαίνει ότι για την τυχούσα ιδιοτιμή λ του πίνακα A, έχουμε λ <, και αυτό θα συμβαίνει για όλες τις ιδιοτιμές του πίνακα A, οπότε τελικά έχουμε ρ ( A) <. Αντίστροφα, έστω ρ ( A) <. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα 5.8 έχουμε lm A m m = O και από το θεώρημα 5.5 έχουμε m lm A = 0. m Αλλά, A m x A m x σύμφωνα με τη σχέση (5.8), και συνεπώς lm A m x lm ( A m x ) = x lm A m = 0. m m m Άρα lm Α m x = 0 m και σύμφωνα με το θεώρημα 5.4 lm Α m x = o, m δηλαδή το ζητούμενο.

195 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων 85 Ασκήσεις. Αν T x = (, ),, όπου =, να βρεθούν οι τρεις γνωστές νόρμες του διανύσματος x, καθώς και H οι αντίστοιχες νόρμες του πίνακα x x.. Αν x να δειχτεί η ισοδυναμία των τριών γνωστών νορμών του διανύσματος x, δηλαδή οι σχέσεις (5.). 3. Αν ο πίνακας, A είναι ερμιτιανός, να δειχτεί ότι H x A x 0, για κάθε διάνυσμα x. 4. Αν ο πίνακας, A είναι ομαλός και H A = A, (ορθομοναδιαίος), να δειχτεί ότι Ax = x = A x, για κάθε διάνυσμα x. 5. Αν οι πίνακες, A, B είναι ομαλοί, να δειχτεί ότι A B A B A B, για οποιαδήποτε νόρμα πινάκων. 6. Αν οι πίνακες. ρ ( A + B) ρ ( A) + ρ ( B), A, B είναι ερμιτιανοί, να δειχτεί ότι

196 86 και. ρ( AB) ρ( A) ρ( B). Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 7. Αν οι πίνακες, A, B και ο A είναι ερμιτιανός, ενώ ο B είναι τέτοιος ώστε ρ ( AB) ρ ( A). H B = B (ορθομοναδιαίος) να δειχτεί ότι 8. Αν ο πίνακας να δειχτεί ότι, A είναι ομαλός, με ιδιοτιμές λ, = (),. A A και. A λ A, = ().

197 6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 6. Γενικά Ένα από τα βασικά αντικείμενα, με τα οποία ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση, είναι η αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων. Κι αυτό γιατί πάρα πολλές φορές στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και γενικότερα στις εφαρμοσμένες επιστήμες καταλήγουμε στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων με αγνώστους της μορφής a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b (6.) a x + a x + + a x = b ή ισοδύναμα, σε μορφή πινάκων, στο γραμμικό σύστημα όπου γενικά και Ax= b, (6.) A= ( a ),, j = (), A j ( ) b= bb b, b. T, Παραδείγματα προβλημάτων, που τελικά οδηγούν στην επίλυση γραμμικών συστημάτων, έχουμε πάρα πολλά και ενδεικτικά αναφέρουμε τα παρακάτω.

198 88 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και, κυρίως, διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους με συνοριακές συνθήκες, όταν αυτές προσεγγίζονται με μεθόδους πεπερασμένων διαφορών οπότε το συνεχές πρόβλημα μετατρέπεται σε διακεκριμένο. Αριθμητική επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων. Εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα. Πολυωνυμικές και άλλες προσεγγίσεις συναρτήσεων. Προσαρμογή «άριστου» πολυωνύμου σε εμπειρικά δεδομένα με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Προβλήματα γραμμικού ή μη γραμμικού προγραμματισμού. Προβλήματα βέλτιστου ελέγχου κ.ά.. Ακόμη και οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και άλλα μη γραμμικά προβλήματα ανάγονται τελικά με προσεγγιστικές μεθόδους Αριθμητικής Ανάλυσης στην επίλυση γραμμικών συστημάτων της μορφής (6.) ή ισοδύναμα της μορφής (6.). Ένας διαχωρισμός των γραμμικών συστημάτων της μορφής (6.) γίνεται ανάλογα με την τάξη τους. Έτσι, για 00, 00 < 500 και 500 < έχουμε αντίστοιχα τα μικρά, τα μεσαία και τα μεγάλα γραμμικά συστήματα. Τα πάρα πολύ μικρά γραμμικά συστήματα ( 0 ) θα έλεγε κανείς ότι αντιμετωπίζονται καλά ακόμη και από τα στοιχειώδη Μαθηματικά και βέβαια με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Συνήθως, όμως, στην σύγχρονη έρευνα και στην ανάπτυξη της

199 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 89 τεχνολογίας τα γραμμικά συστήματα, που παρουσιάζονται, είναι μεσαία και πολλές φορές πάρα πολύ μεγάλα (και όχι απλώς μεγάλα). Ένας άλλος διαχωρισμός των γραμμικών συστημάτων της μορφής (6.) είναι σε πυκνά και αραιά. Θα δώσουμε αμέσως παρακάτω τον ορισμό του αραιού συστήματος. Ορισμός 6. Ένα γραμμικό σύστημα ονομάζεται αραιό ή σποραδικό (sparse), αν τα μη μηδενικά στοιχεία a,, j = () του πίνακα A των συντελεστών των αγνώστων του είναι γραμμική συνάρτηση της τάξης του πίνακα A. Φυσικά αν δεν συμβαίνει αυτό το γραμμικό σύστημα ονομάζεται πυκνό. j Είναι γνωστό από τη Γραμμική Άλγεβρα, ότι το γραμμικό σύστημα (6.) έχει μοναδική λύση, όταν ισχύει μια από τις παρακάτω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναμες.. Ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος (ομαλός).. Η ορίζουσα του πίνακα A είναι διάφορη από το μηδέν (det ( A) 0). 3. Το αντίστοιχο ομογενές γραμμικό σύστημα του (6.), Ax= o, έχει ως μοναδική λύση την τετριμμένη (μηδενική) και 4. Οι στήλες (ή οι γραμμές) του πίνακα A είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

200 90 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 5. Οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι διάφορες από το μηδέν. Φυσικά, αν ισχύει μία από τις παραπάνω συνθήκες, η λύση του γραμμικού συστήματος (6.) θα είναι η x = A b. Η Γραμμική Άλγεβρα αντιμετωπίζει το πρόβλημα (6.) καλά, θα μπορούσε να πει κανείς, με δύο κυρίως τρόπους. Με τη μέθοδο του Cramer και. Με την απαλοιφή κατά Gauss. Στη συνέχεια, θα αναφέρουμε δυο λόγια για την πρώτη από αυτές τις μεθόδους, αφού τη δεύτερη θα την αναπτύξουμε παρακάτω συστηματικά. Σύμφωνα με τη μέθοδο του Cramer η λύση του γραμμικού συστήματος (6.), όταν αυτή υπάρχει, θα δίνεται από τις σχέσεις det ( A ) x =, = (), (6.3) det ( A) όπου det ( A ) είναι η ορίζουσα του πίνακα A, στον οποίο τη θέση της στήλης του παίρνει το σταθερό διάνυσμα b. Η αξία της μεθόδου αυτής είναι τελείως θεωρητική και ίσως είναι χρήσιμη για πολύ μικρά συστήματα. Κι αυτό γιατί από τις σχέσεις (6.3) είναι φανερό ότι για να βρούμε τη λύση του γραμμικού συστήματος (6.) απαιτείται ο υπολογισμός + οριζουσών, τάξης. Αλλά, για να υπολογίσει κανείς μια ορίζουσα τάξης, η τάξη μεγέθους των πολλαπλασιασμών και μόνο που απαιτούνται είναι!.

201 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 9 Αυτό σημαίνει πως για τον υπολογισμό των x στην σχέση (6.3) απαιτούνται περίπου ( + )! πολλαπλασιασμοί. Έτσι, αν είχαμε να επιλύσουμε το μεγαλύτερο μικρό γραμμικό σύστημα ( = 00), θα είχαμε να αντιμετωπίσουμε 60 0 περίπου πολλαπλασιασμούς. Συνεπώς, κι αν ακόμη διαθέταμε ένα σύγχρονο υπολογιστή, που να κάνει ένα δισεκατομμύριο 9 (0 ) πράξεις το δευτερόλεπτο, για να εξαντλήσει τους πολλαπλασιασμούς και μόνο με σκοπό την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.) θα χρειαζόταν αιώνες!!!. Από το παράδειγμα αυτό γίνεται επιτακτική η ανάγκη χρησιμοποίησης αλγορίθμων Αριθμητικής Ανάλυσης (αριθμητικών μεθόδων) για την αντιμετώπιση του προβλήματος της επίλυσης των γραμμικών συστημάτων. Κριτήρια για την ποιότητα αυτών των αλγορίθμων θα είναι. Η ευστάθεια του αλγορίθμου.. Οι απαιτούμενες πράξεις (ταχύτητα του αλγόριθμου). 3. Η απαιτούμενη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή και φυσικά 4. Η ακρίβεια. Βεβαίως το σημαντικότερο από τα κριτήρια αυτά είναι το πρώτο, που μετράει την ευαισθησία του αλγορίθμου από την παρουσία σφαλμάτων κυρίως στρογγυλοποίησης ή μηχανής. Ειδικά, εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης και των δυνατοτήτων του ηλεκτρονικού υπολογιστή, που διαθέτουμε, υπάρχει περίπτωση

202 9 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση ένα μη ομαλό γραμμικό σύστημα, της μορφής (6.), να αντικατασταθεί από ένα ομαλό κατά την εφαρμογή κάποιου αλγορίθμου και να βρεθεί λύση, που στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Για αυτό θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί στην χρήση αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Οι αριθμητικές μέθοδοι, για την αντιμετώπιση του προβλήματος (6.), χωρίζονται χοντρικά σε τρεις κατηγορίες. Άμεσες μέθοδοι.. Έμμεσες ή Επαναληπτικές μέθοδοι και 3. Μικτές μέθοδοι. Οι άμεσες μέθοδοι είναι αυτές, που ακολουθώντας μια συγκεκριμένη διαδικασία (έμμεση εύρεση του αντιστρόφου του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων A ) σε προκαθορισμένα βήματα, δίνουν την ακριβή λύση στο πρόβλημα (6.). Οι επαναληπτικές μέθοδοι δίνουν τη λύση στο πρόβλημα (6.) ως το όριο κάποιας ακολουθίας διανυσμάτων (προσεγγιστική λύση), που κατασκευάζεται από τον επαναληπτικό αλγόριθμο. Σημειώνεται ότι στις επαναληπτικές μεθόδους δεν χρειάζεται η εύρεση του αντιστρόφου του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων A. Τέλος, οι μικτές μέθοδοι είναι στην ουσία επαναληπτικές μέθοδοι, οι οποίες με κάποια διαδικασία βρίσκουν ακριβή ή προσεγγιστική λύση στο πρόβλημα (6.). Σημειώνουμε ότι μερικές από αυτές (μέθοδοι ορθογωνοποίησης), παρότι επαναληπτικές μέθοδοι, τελειώνουν σε βήματα ακριβώς, όση δηλαδή είναι και η τάξη του γραμμικού συστήματος, που επιλύεται.

203 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 93 Πριν κλείσει αυτή η παράγραφος επισημαίνεται ότι, στην πράξη, για μικρά και πυκνά γραμμικά συστήματα, συνήθως, χρησιμοποιούνται οι άμεσες και μικτές μέθοδοι, ενώ για μεσαία, μεγάλα, αλλά αραιά γραμμικά συστήματα, χρησιμοποιούνται οι επαναληπτικές μέθοδοι. Τέλος, σημειώνουμε ότι στο συγκεκριμένο σύγγραμμα θα ασχοληθούμε κυρίως με άμεσες μεθόδους, θα παρουσιάσουμε τις βασικές επαναληπτικές μεθόδους και δεν θα αναφερθούμε καθόλου σε μικτές μεθόδους. 6. Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων Γενικά, ένα πρόβλημα λέγεται ασταθές αν μικρές μεταβολές στα δεδομένα του μπορούν να προκαλέσουν μεγάλες μεταβολές στη λύση του (στα αποτελέσματά του). Έτσι, ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (6.) θα λέγεται ασταθές, αν μικρές μεταβολές στον πίνακα A και στο διάνυσμα b προκαλούν μεγάλες μεταβολές στη λύση του x. Για παράδειγμα, το γραμμικό σύστημα x + x = 0.x + x = 0.4 είναι ασταθές σύστημα. Κι αυτό γιατί, ενώ η λύση του είναι x = 4 και x = 3, αν αλλάξουμε το. στη δεύτερη εξίσωση και το κάνουμε.05, δηλαδή επιλύσουμε το γραμμικό σύστημα x + x = 0.05x + x = 0.4,

204 94 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση η λύση του είναι x = 8 και x =. Προβλήματα αστάθειας δημιουργούνται, κυρίως, στην περίπτωση που η ορίζουσα του γραμμικού συστήματος είναι κοντά στο μηδέν, δηλαδή ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι σχεδόν μη αντιστρέψιμος. Αυτό, όμως, καμιά φορά μπορεί να συμβεί στην πράξη αποκλειστικά και μόνο από την ακρίβεια, την οποία επιζητούμε, για την επίλυση του προβλήματός μας. Υπάρχουν, όμως, περιπτώσεις, που ορισμένα γραμμικά συστήματα είναι από τη φύση τους ασταθή. Σε αυτή την περίπτωση η προσοχή μας, που επιστήθηκε προηγούμενα δεν φτάνει, αφού οποιοδήποτε αλγόριθμο και οποιαδήποτε ακρίβεια κι αν επιζητήσουμε δεν θα έχουμε καλά αποτελέσματα. Η μόνη ενέργεια μας, τότε, είναι η επισήμανση αυτών των προβλημάτων και η γνώση ότι τα αποτελέσματα, που παίρνουμε, δεν είναι αξιόπιστα. Μια ποσότητα, που παίζει σημαντικό ρόλο στο κατά πόσο ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (6.) είναι ευσταθές, είναι ο δείκτης ή αριθμός κατάστασης του πίνακα A. Ορισμός. Ο δείκτης κατάστασης ή ο αριθμός κατάστασης, όπως ονομάζεται, του πίνακα A συμβολίζεται με k( A ) και ορίζεται ως k( A) = A + A, αν A ομαλός π ίνακας, αν A μη ομαλός π ίνακας. (6.3)

205 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 95 Από τη σχέση (6.3), λοιπόν, για τις τρεις γνωστές νόρμες πινάκων έχουμε αντίστοιχα για έναν ομαλό πίνακα A τους δείκτες κατάστασης k A A =, k A A = και k = A A. Ο k ονομάζεται φασματικός αριθμός κατάστασης του πίνακα Α σε σχέση με το γραμμικό σύστημα (6.). Ένα άμεσο κάτω φράγμα για το δείκτη κατάστασης ενός ομαλού πίνακα δίνεται από τον ορισμό του και τη σχέση (5.6)-4. και είναι η μονάδα. Πράγματι, k A A A A A I ( ) = = =. Εξάλλου, λαμβάνοντας υπόψη και το θεώρημα 5.6, ένα άλλο κάτω φράγμα για τον δείκτη κατάστασης ενός πίνακα A δίνεται από την παρακάτω σχέση max λ k A = A A A A = (6.4) ( ) ρ( ) ρ( ), m λ όπου λ, = (), οι ιδιοτιμές του πίνακα A. Ειδικά βέβαια όταν ο πίνακας A είναι ερμιτιανός έχουμε k max λ =. m λ Είναι φανερό, από τη σχέση (6.4), ότι δεν πρέπει να περιμένουμε μικρές τιμές για το δείκτη κατάστασης ενός πίνακα. Ύστερα από αυτή την παρεμβολή για το δείκτη κατάστασης ενός πίνακα, ας επανέλθουμε στη μελέτη της ευστάθειας ενός γραμμικού συστήματος.

206 96 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι έχουμε για επίλυση το γραμμικό σύστημα (6.) και ότι τόσο ο πίνακας A όσο και το διάνυσμα b, δηλαδή τα δεδομένα μας, παρουσιάζουν κάποια μικρή μεταβολή δ A και δ b αντίστοιχα. Τότε και η λύση x του γραμμικού συστήματος (6.) θα παρουσιάζει κάποιο σφάλμα δ x, γνωστό και ως διατάραξη της λύσης x του γραμμικού συστήματος (6.). Αυτό σημαίνει πως στην πράξη εμείς δεν έχουμε να λύσουμε το γραμμικό σύστημα (6.), αλλά το γραμμικό σύστημα ( A δ A)( x δx) b δb, + + = + (6.5), όπου δ A και δ x, δb. Αν τώρα ορίσουμε το απόλυτο σχετικό σφάλμα για διανύσματα ή πίνακες, τη νόρμα του σφάλματος του διανύσματος ή του σφάλματος του πίνακα προς την αντίστοιχη νόρμα του διανύσματος ή του πίνακα, μπορούμε να διατυπώσουμε και να δώσουμε εδώ, χωρίς απόδειξη, ένα θεώρημα γνωστό και ως θεώρημα της διατάραξης, που αφορά το απόλυτο σχετικό σφάλμα της λύσης x του γραμμικού συστήματος (6.). Θεώρημα 6. Αν A, Α, δ A με A ομαλό πίνακα και δα <, και ικανοποιούνται οι σχέσεις (6.) και (6.5), τότε για το απόλυτο σχετικό σφάλμα της λύσης x του γραμμικού συστήματος (6.) ισχύει δ x k δ b δ A + x δ A b A k A, (6.6)

207 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 97 όπου k = k( A) ο δείκτης κατάστασης του πίνακα A. Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα δυο πορίσματα, που ακολουθούν. Πόρισμα 6. Αν δ b = 0 στη σχέση (6.5), δηλαδή δεν έχουμε σφάλμα στο σταθερό διάνυσμα b του γραμμικού συστήματος (6.) και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος 6., το απόλυτο σχετικό σφάλμα της λύσης x του γραμμικού συστήματος (6.) φράσσεται, σύμφωνα με τη σχέση (6.6), όπως παρακάτω δ x A δ A. x A δ A Πόρισμα 6. Αν δ A = 0 στη σχέση (6.5), δηλαδή δεν έχουμε σφάλμα στον πίνακα A του γραμμικού συστήματος (6.) και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος 6., το απόλυτο σχετικό σφάλμα της λύσης x του γραμμικού συστήματος (6.) φράσσεται, σύμφωνα με τη σχέση (6.6), όπως παρακάτω δ x x δ b k( A). b Συμπέρασμα Αν υποθέσουμε ότι ισχύει το θεώρημα 6. και θέσουμε a = k( A) δ A A,

208 98 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση οπότε α = A δa <, από τα δεδομένα μας, η ποσότητα ( ) a αναπτύσσεται σε συγκλίνουσα σειρά, δηλαδή ( a) α α. = Από την ισχύ, πλέον, του θεωρήματος 6., άμεσο συμπέρασμα είναι το εξής «Μια πρώτης τάξης προσέγγιση του σχετικού σφάλματος της λύσης x ενός γραμμικού συστήματος, της μορφής (.), είναι k( A ) φορές το άθροισμα των σχετικών σφαλμάτων του πίνακα A και του διανύσματος b». Συνεπώς, όσο πιο μεγάλος είναι ο δείκτης κατάστασης του πίνακα A του γραμμικού συστήματος (6.), τόσο πιο πολλές πιθανότητες έχουμε το σύστημά μας να είναι ασταθές, ενώ όσο πιο μικρός είναι ο δείκτης κατάστασής του τόσο πιο πολλές πιθανότητες έχουμε το σύστημά μας να είναι ευσταθές. Μικρές τιμές για τον δείκτη κατάστασης ενός ομαλού πίνακα A θεωρούνται οι τιμές για τις οποίες k( A) 00, οπότε και περιμένουμε το αντίστοιχο γραμμικό σύστημα να είναι ευσταθές, ενώ για k( A ) > 00 περιμένουμε ότι το αντίστοιχο γραμμικό σύστημα θα είναι ασταθές. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ευσταθούς γραμμικού συστήματος είναι όταν ο πίνακας A είναι ορθογώνιος οπότε ο φασματικός αριθμός κατάστασης είναι.

209 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αναγωγή ενός Μιγαδικού Γραμμικού Συστήματος σε Πραγματικό Γραμμικό Σύστημα στο χώρο. Έστω ότι έχουμε για επίλυση το γραμμικό σύστημα (6.). Είναι φανερό ότι η λύση του συστήματος αυτού, x, θα ανήκει Αν χωρίσουμε τα πραγματικά από τα φανταστικά μέρη στη σχέση (6.), στην ουσία έχουμε να επιλύσουμε το γραμμικό σύστημα ( A + A )( x + x ) = b + b, (6.7) όπου, A, A, x, x, b, b, το σώμα των πραγματικών αριθμών και = η φανταστική μονάδα. Κάνοντας πράξεις, πλέον, στη σχέση (6.7) και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα «δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν τόσο τα πραγματικά όσο και τα φανταστικά μέρη τους είναι ίσα», έχουμε ή ισοδύναμα A = x A x b A = x + A x b A A x b A A =. (6.8) x b Τελικά, από τη σχέση (6.8), είναι προφανές, ότι έχουμε να επιλύσουμε το πραγματικό γραμμικό σύστημα όπου Ax = b, (6.9)

210 00 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Α A, Τ Τ Τ A = A A και x ( x, x), Τ Τ = = ( ) b b, b Τ. Άρα, κάθε γραμμικό μιγαδικό σύστημα μπορεί, τελικά, να αναχθεί σε πραγματικό το οποίο, όμως, είναι διπλάσιας τάξης. Έτσι, από εδώ και κάτω και χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα μιλάμε μόνο για πραγματικά γραμμικά συστήματα. Παράδειγμα 6. Να αναχθεί σε πραγματικό το παρακάτω μιγαδικό γραμμικό σύστημα ( + 3 x ) + ( ) y= + (4+ 6) x+ (3 6) y= 5. Λύση Από την ανάλυση στην παραπάνω παράγραφο 6.3, έχουμε 3 A =, 4 3 A =, 6 6 Συνεπώς, αν θέσουμε x = x + και y = y + y, x b = και b =. 5 το πραγματικό γραμμικό σύστημα της μορφής (6.9), που έχουμε να επιλύσουμε, είναι το 3 x y =. 3 x y 5 Θα προχωρήσουμε, τώρα, στην παρουσίαση και μελέτη συγκεκριμένων αριθμητικών μεθόδων.

211 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Άμεσες Μέθοδοι 6.4. Μέθοδος του Gauss Η μέθοδος του Gauss συνίσταται σε μια συστηματική απαλοιφή των στοιχείων του πίνακα A στο γραμμικό σύστημα (6.) με σκοπό τον μετασχηματισμό του σε ένα τριγωνικό γραμμικό σύστημα, ισοδύναμο με αυτό, της μορφής a x + a x + + a x + + a x = b () () () () () a x + + a x + + a x = b () () () () (6.0) a x + + a x = b () () () a x b ( ) ( ) =, όπου a 0, = (), οπότε η λύση του αρχικού γραμμικού () συστήματος (6.) θα δίνεται με προς τα πίσω αντικατάσταση από τις σχέσεις x ( ) ( ) () () [ b aj xj] j=+ () a x =, = ( ). b = a (6.) Το παραπάνω μας το επιτρέπουν στοιχειώδεις και προφανείς ενέργειες, που μπορούμε να κάνουμε στις εξισώσεις του αρχικού γραμμικού συστήματος (6.), όπως. Αλλαγή των θέσεων δύο εξισώσεων ή. Πολλαπλασιασμό μιας των εξισώσεων του γραμμικού

212 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση συστήματος (6.) με μια σταθερά και πρόσθεση του αποτελέσματος σε μια άλλη εξίσωσή του, χωρίς να επηρεαστεί η λύση του αρχικού μας γραμμικού συστήματος Μέθοδος του Gauss με φυσική οδήγηση Υποθέτουμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα ομαλό πραγματικό γραμμικό σύστημα της μορφής (6.) ή ισοδύναμα της μορφής (6.). Για την ομοιόμορφη περιγραφή της μεθόδου συμβολίζουμε με ( ) a και b (),, j = (), τα δεδομένα a j και b,, j = () αντίστοιχα του γραμμικού συστήματος (6.). j Έστω () a 0. Τότε σύμφωνα με το σκεπτικό, που έχει ως αποτέλεσμα τις σχέσεις (6.0), στο πρώτο βήμα εφαρμογής της μεθόδου θέλουμε την απαλοιφή όλων την () a, (). = Αυτό εύκολα μπορεί να το πετύχει κανείς, αν πολλαπλασιάσει την πρώτη εξίσωση του γραμμικού συστήματος (6.) με τον πολλαπλασιαστή a () = () a και την προσθέσει στην εξίσωσή του, για κάθε = (). Στην ουσία αυτό επιτυγχάνεται αν πολλαπλασιάσουμε από αριστερά τη σχέση (6.) με τον κάτω τριγωνικό πίνακα

213 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 03 L = Τότε θα έχουμε για λύση το ισοδύναμο προς το (6.) γραμμικό σύστημα a x + a x + + a x = b () () () () a x + + a x = b () () () (6.) όπου a x a x b a = a + a () () () + + =, () () () j j j b = b + b () () (),, j = (). (6.3) Σημειώνεται ότι το στοιχείο () a θα το ονομάζουμε οδηγό στοιχείο και την εξίσωση, που ανήκει, οδηγό εξίσωση. το Έστω, τώρα, () a 0. Τότε, στο δεύτερο βήμα εφαρμογής της μεθόδου, θεωρούμε () a στο σύστημα (6.) ως οδηγό στοιχείο και την εξίσωση, που ανήκει, ως οδηγό εξίσωση. Στην ουσία, σύμφωνα και με το σκεπτικό του πρώτου βήματος, θέλουμε τώρα την απαλοιφή των () a, 3(). = Αυτό επιτυγχάνεται, αν πολλαπλασιάσουμε από αριστερά τη σχέση LAx = Lb,

214 04 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση δηλαδή τη σχέση (6.), με τον κάτω τριγωνικό πίνακα L 0 Ο = 0, όπου οι πολλαπλασιαστές, 3(), = δίνονται τώρα από τη σχέση a () = () a, οπότε το γραμμικό σύστημα (6.) ισοδυναμεί με το γραμμικό σύστημα a x + a x + a x + + a x = b () () (0 () () 3 3 a x + a x + + a x = b () () () () 3 3 a x + + a x = b (3) (3) (3) a x a x b (3) (3) (3) =. Είναι φανερό, πλέον, πως αν συνεχίσουμε κατά τον ίδιο τρόπο, όπως στα δυο προηγούμενα βήματα, τελικά ύστερα από 3 βήματα ακόμη, το γραμμικό σύστημα L L L L Ax L L L L b (6.4) =, δεν θα είναι παρά ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (6.0) και η λύση του θα προκύπτει από τις σχέσεις (6.). Αυτό, φυσικά, μπορεί να γίνει αν όλα τα οδηγά στοιχεία () a, = (), που προκύπτουν, είναι διάφορα από το μηδέν.

215 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 05 Η διαδικασία αυτή, αν μπορεί να εφαρμοστεί, είναι γνωστή ως απαλοιφή του Gauss με φυσική οδήγηση. Παράδειγμα 6. Να λυθεί το γραμμικό σύστημα x + x + x3 = x + 3x + x3 x 4 = x x3 = 9 με τη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση. Λύση Έχουμε 4 A = 3 και b = 9. Σύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή της μεθόδου έχουμε ο βήμα 0 0 L = 0, 0 οπότε LA = και Lb = 6 ο βήμα L 0 0 = 0 0, οπότε LLA = και LLb =. 4 Άρα το ισοδύναμο με το αρχικό γραμμικό σύστημα, που

216 06 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση θέλουμε να επιλύσουμε, είναι το L L A = L L b ή ισοδύναμα το γραμμικό σύστημα x + x + x3 = x x3 = 3 4 4x = 4, οπότε, με προς τα πίσω αντικατάσταση, έχουμε x 3 =, x = και x =. Στην πράξη, και μάλιστα όταν ένα γραμμικό σύστημα λύνεται με το χέρι ή με μια αριθμομηχανή, ακολουθούμε μια διαδικασία που διευκολύνει τους υπολογισμούς και εξοικονομεί χώρο. Στη διαδικασία αυτή δεν βρίσκουμε άμεσα τους πίνακες L, = (), παραλείπεται η καταγραφή των αγνώστων, υπογραμμίζονται τα οδηγά στοιχεία και οι πολλαπλασιαστές γράφονται αριστερά από τις αντίστοιχες γραμμές σε μια στήλη. Έτσι, για το συγκεκριμένο παράδειγμα, έχουμε A b

217 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 07 ( 3) ( ) T T,,,,. T x x x x = = LU Ανάλυση Από τη σχέση (6.4) έχουμε LAx= Lb, όπου ο πίνακας L= L L L L είναι ένας κάτω τριγωνικός πίνακας με μονάδες τα διαγώνια στοιχεία του και ως εκ τούτου ομαλός πίνακας. Είναι γνωστό, από τη Γραμμική Άλγεβρα, ότι ο αντίστροφος ενός κάτω τριγωνικού πίνακα, αν υπάρχει, είναι κάτω τριγωνικός πίνακας. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι εύκολο να δει κανείς, με μεθόδους που θα αναπτύξουμε στη συνέχεια για την εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα, ότι ο αντίστροφος του πίνακα L είναι Ο 0, 0 0 L = 3 του πίνακα L είναι 0 Ο = L 3 κ. ο. κ., οπότε, επειδή

218 08 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση έχουμε L L L L L =, L Ο = Θα πρέπει να σημειωθεί, εδώ, ότι (6.5) Ο L Εξάλλου, από την κατασκευή της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση, έχουμε ότι LA= U, (6.6) όπου U πάνω τριγωνικός πίνακας, που δίνεται από τους συντελεστές των αγνώστων του γραμμικού συστήματος (6.0). Τότε η σχέση (6.6), έχοντας υπόψη τη σχέση (6.5), ισοδυναμεί με τη σχέση A L U. = (6.7) Η σχέση (6.7) αποδεικνύει ότι κάθε ομαλός πίνακας A, για τον οποίο μπορεί να εφαρμοστεί η απαλοιφή του Gauss με φυσική οδήγηση, διασπάται σε γινόμενο δύο τριγωνικών πινάκων, ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L = L και ενός πάνω τριγωνικού πίνακα U. Ακριβώς τη διάσπαση αυτή

219 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 09 ενός πίνακα A την ονομάζουμε LU -ανάλυση, και η παραπάνω παρουσίαση αποτελεί την απόδειξη του παρακάτω θεωρήματος Θεώρημα 6. Αν ο αλγόριθμος του Gauss με φυσική οδήγηση μπορεί να εφαρμοστεί για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.), τότε ο πίνακας A μπορεί να χωριστεί σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L και ενός πάνω τριγωνικού πίνακα U, που δίνονται από τις σχέσεις (6.5) και (6.0) αντίστοιχα. Σημειώνεται ότι το παραπάνω θεώρημα ισχύει πάντα, όταν ο πίνακας A είναι διαγώνια υπέρτερος ή θετικά ορισμένος. Αποδεικνύεται, τέλος, ότι σε κάθε πίνακα A, ανεξάρτητα της δυνατότητας εφαρμογής της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση ή όχι, μπορούμε να κάνουμε LU ανάλυση. Αυτό μπορεί να γίνει ακόμη και όταν ο πίνακας A είναι μη αντιστρέψιμος, πράγμα που έχει ως αποτέλεσμα και ο πίνακας U να είναι μη αντιστρέψιμος. Το να είναι γνωστή η LU ανάλυση για ένα πίνακα A εκ των προτέρων, δηλαδή να έχουμε τη μορφή των L και U, έτσι ώστε A= LU, όπου L κάτω τριγωνικός πίνακας και U πάνω τριγωνικός πίνακας, είναι πολύ σημαντικό πράγμα. Κι αυτό γιατί η λύση x του γραμμικού συστήματος (6.) μπορεί να προκύψει από την επίλυση των δυο παρακάτω τριγωνικών συστημάτων L y = b και Ux= y, (6.8) αφού

220 0 όπου A x= b ( LU) x= b L( Ux) = b Ly = b, Ux= y. Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Η λύση των γραμμικών συστημάτων (6.8) γίνεται απλά, αφού το πρώτο γραμμικό σύστημα είναι κάτω τριγωνικό, άρα η λύση του δίνεται με προς τα εμπρός αντικατάσταση, ενώ το δεύτερο γραμμικό σύστημα είναι πάνω τριγωνικό και η λύση του θα δίνεται με προς τα πίσω αντικατάσταση. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι με αφορμή την LU ανάλυση έχουν αναπτυχθεί διάφοροι μέθοδοι, οι λεγόμενες συμπαγείς μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, γνωστότερες των οποίων είναι οι μέθοδοι Doolttle, Crout και η μέθοδος του Cholesky για πραγματικούς συμμετρικούς πίνακες και θετικά ορισμένους. Οι μέθοδοι αυτές στηρίζονται στην ανάλυση του πίνακα A σε γινόμενο τριών πινάκων, ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με μονάδες τα διαγώνια στοιχεία του, ενός διαγώνιου πίνακα D και ενός πάνω τριγωνικού πίνακα U με μονάδες τα διαγώνια στοιχεία του ( A= LDU). Θα ήθελα, όμως, να αναφέρω στο σημείο αυτό, κυρίως για ιστορικούς λόγους, ότι ο Adre - Lous Cholesky (875 98) ήταν Γάλλος αξιωματικός του Μηχανικού, που έκανε γεωδαιτικές και τοπογραφικές μετρήσεις στην Κρήτη και την Βόρεια Αφρική πριν από τον πρώτο παγκόσμιο πόλεμο. Στην προσπάθειά του αυτή, ανακάλυψε την ομώνυμη μέθοδο, για να υπολογίζει τις λύσεις γραμμικών συστημάτων, που προκύπτουν από τις λεγόμενες «κανονικές εξισώσεις» της μεθόδου των Ελάχιστων Τετραγώνων, που εφαρμόζεται για την προσέγγιση δεδομένων σε γεωδαιτικά

221 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων προβλήματα. Η μέθοδός του δημοσιεύτηκε μετά το θάνατό του στο Bullet Geodesque to 94. Παράδειγμα 6.3 Να λυθεί το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος της παραγράφου με LU ανάλυση. Λύση Από τη λύση του παραδείγματος της παραγράφου 6.4.., έχουμε L = 0 και L = Εξάλλου, σύμφωνα με την παραπάνω παράγραφο, αν A = LU είναι η LU ανάλυση του πίνακα A από την απαλοιφή του Gauss με φυσική οδήγηση, έχουμε 0 0 L ( LL) = = 0 από τη σχέση (6.5), ενώ από τη σχέση (6.6) έχουμε U = L L A= Έτσι, έχουμε για λύση τα γραμμικά συστήματα της σχέσης (6.8), όπου L και U δίνονται από τις παραπάνω σχέσεις, η λύση των οποίων θα μας απαντήσει στο πρόβλημά μας. Από το πρώτο σύστημα των σχέσεων (6.8)

222 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 0 0 y 4 0 y = 9 y 3 με προς τα εμπρός αντικατάσταση έχουμε y = 4, y = και y 3 = 4, ενώ από το δεύτερο σύστημα των σχέσεων (6.8) x 4 0 x = x 4 3 με προς τα πίσω αντικατάσταση έχουμε x 3 =, x = και x =, δηλαδή το ζητούμενο Μέθοδος του Gauss με μερική οδήγηση Όπως είναι φανερό, η εφαρμογή της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση, για τη λύση ενός ομαλού γραμμικού συστήματος της μορφής (6.), είναι αδύνατη αν κάποιο από τα οδηγά στοιχεία () a, = (), είναι μηδέν. Φυσικά αν a = 0, το γραμμικό σύστημα (6.) δεν θα ήταν ( ) ομαλό και θα ήταν αδύνατη η λύση του, εκτός και είχαμε και οπότε θα είχαμε άπειρες λύσεις. των b = 0, Αν λοιπόν το γραμμικό σύστημα (6.) είναι ομαλό και κάποιο () a, = (), είναι μηδέν, αυτό μπορεί να το αποφύγει κάποιος με την εναλλαγή δύο εξισώσεων του γραμμικού συστήματος ( )

223 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 3 (6.), έτσι ώστε το καινούριο οδηγό στοιχείο () a, = (), να είναι διάφορο από το μηδέν. Αυτό μπορεί να γίνει με τους απλούς μεταθετικούς πίνακες, που δεν είναι παρά οι πίνακες οι οποίοι έχουν ως γραμμές (στήλες) εκείνες του μοναδιαίου πίνακα I, με εναλλασσόμενες δυο από τις γραμμές (στήλες) του. Ειδικά, για την εναλλαγή δυο γραμμών ενός πίνακα, έστω των γραμμών και j στη σειρά, ο απλός μεταθετικός πίνακας θα είναι της μορφής Ο 0 γραμμή Pj = (6.9) Ο Ο 0 j γραμμή Ο Είναι φανερό ότι, όταν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα A με τον απλό μεταθετικό πίνακα P j της παραπάνω σχέσης (6.9) από αριστερά, τότε εναλλάσσονται οι γραμμές του και j. Επειδή, όμως, P = P = P Τ j j j,

224 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση για να εναλλάξουμε δυο στήλες του πίνακα A αρκεί να τον πολλαπλασιάσουμε από δεξιά με τον απλό μεταθετικό πίνακα P Τ j = P. j Σημειώνεται, τέλος, ότι γενικά ένας πίνακας είναι μεταθετικός, όταν έχει ως γραμμές τις γραμμές του αντίστοιχου μοναδιαίου πίνακα με περισσότερες από δυο εναλλασσόμενες γραμμές του μοναδιαίου πίνακα. Έτσι, στο πρώτο βήμα της απαλοιφής Gauss, για να εξασφαλίσουμε () a 0, έχουμε στην αρχή πολλαπλασιασμό της σχέσης (6.) με ένα απλό μεταθετικό πίνακα P της μορφής (6.9) από αριστερά και ύστερα με τον πίνακα L της παραγράφου 6.4.., δηλαδή στο πρώτο βήμα το ισοδύναμο προς το (6.) γραμμικό σύστημα, που προκύπτει, είναι το LPAx= (6.0) LPb. Φυσικά, αν από την αρχή το () a είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε ο απλός μεταθετικός πίνακας P θα είναι ο μοναδιαίος πίνακας I. Στο δεύτερο βήμα, ακολουθώντας την πορεία του πρώτου βήματος, έχουμε καταρχήν το ισοδύναμο προς το (6.0) γραμμικό σύστημα PLPAx = PLPb, όπου ο απλός μεταθετικός πίνακας P εξασφαλίζει a ( P = I, () 0 αν () a 0 από μόνο του) και στη συνέχεια πολλαπλασιασμό της

225 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 5 τελευταίας σχέσης πινάκων με τον πίνακα L της παραγράφου από αριστερά, οπότε έχουμε το ισοδύναμο γραμμικό σύστημα προς το γραμμικό σύστημα (6.) L P L P Ax = L P LPb. Τελικά, ύστερα από 3 βήματα ακόμη της ίδιας μορφής, θα έχουμε για λύση το ισοδύναμο πάνω τριγωνικό γραμμικό σύστημα προς το αρχικό γραμμικό σύστημα (6.) LAx= Lb, (6.) όπου L= L P L P L P L P. Ακριβώς η διαδικασία αυτή μας οδηγεί στην απαλοιφή του Gauss με μερική οδήγηση. Η ιδέα είναι πως, αντί να εξασφαλίζουμε σε κάθε βήμα οδηγό στοιχείο a 0, = (), χρησιμοποιούμε () στο βήμα εκείνο τον απλό μεταθετικό πίνακα P, = (), για τον οποίο έχουμε () () a a, j = (), για κάθε = (). j Φυσικά, με ανάλογη λογική θα μπορούσε κανείς να μιλήσει και για τη μέθοδο του Gauss με ολική οδήγηση. Σε αυτή την περίπτωση, με απλούς μεταθετικούς πίνακες, φέρνουμε ως οδηγό στοιχείο () a, = () στο βήμα εκείνο το στοιχείο, για το οποίο έχουμε a = max a,, j = (). () () j j

226 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώνεται εδώ, ότι η μέθοδος του Gauss με ολική οδήγηση περιορίζει τα σφάλματα στρογγυλοποίησης στο ελάχιστο, επειδή οι πολλαπλασιαστές είναι αριθμοί απόλυτα μικρότεροι της μονάδος και παίρνουν τη μικρότερη δυνατή τιμή, είναι όμως πολύπλοκη στην εφαρμογή της. Για αυτό, στην πράξη, συνιστάται η μέθοδος του Gauss με μερική οδήγηση, η οποία είναι ευκολότερη στην εφαρμογή της και περιορίζει αρκετά τα σφάλματα στρογγυλοποίησης, αφού και σε αυτή τη μέθοδο οι πολλαπλασιαστές είναι απόλυτα μικρότεροι της μονάδος, δεν παίρνουν όμως και τη μικρότερη δυνατή τιμή. Τέλος, σημειώνεται ότι με τη μέθοδο του Gauss με μερική οδήγηση, η LU ανάλυση του πίνακα A των συντελεστών των αγνώστων ενός γραμμικού συστήματος είναι ισοδύναμη με την LU ανάλυση της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση, πλην όμως οι πίνακες L και U στη μια μέθοδο είναι διαφορετικοί από εκείνους της άλλης μεθόδου και δεν θα επιμείνουμε, όμως, περισσότερο αφού είναι έξω από τους σκοπούς του παρόντος. Παράδειγμα 6.4 Να λυθεί το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος της παραγράφου με τη μέθοδο του Gauss και μερική οδήγηση. Λύση ο βήμα Σύμφωνα με την περιγραφή της μεθόδου θα πρέπει να ανταλλάξουμε την πρώτη με τη δεύτερη εξίσωση, αφού >. Ο απλός μεταθετικός πίνακας P για το σκοπό αυτό είναι ο

227 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων P = P = και το προς επίλυση γραμμικό σύστημα ισοδυναμεί με το γραμμικό σύστημα P A x = P b ή αντικαθιστώντας και κάνοντας πράξεις με το γραμμικό σύστημα 3 x 9 x = 4. x 3 Τότε ο πίνακας των πολλαπλασιαστών L είναι 0 0 L = 0 0 και έχουμε για λύση το ισοδύναμο γραμμικό σύστημα L P A x = L P b ή ισοδύναμα το γραμμικό σύστημα 3 x 9 0 x = x 3 3

228 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση ο βήμα Όπως παρατηρούμε στο δεύτερο βήμα χρειαζόμαστε εναλλαγή της τρίτης και δεύτερης εξίσωσης του γραμμικού συστήματος, που καταλήξαμε, αφού 5 >, οπότε ο απλός μεταθετικός πίνακας P είναι ο 0 0 P = P3 = και το ισοδύναμο προς επίλυση γραμμικό σύστημα το P L P A x = P L P b ή ισοδύναμα το γραμμικό σύστημα 3 x x = 3. 0 x 3 Τότε ο πίνακας των πολλαπλασιαστών L είναι ο L 0 0 = και το ισοδύναμο προς επίλυση γραμμικό σύστημα το L P L P A x = L P L P b ή ισοδύναμα το γραμμικό σύστημα 3 x x = 3, x 3 4 5

229 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 9 από το οποίο, με προς τα πίσω αντικατάσταση, έχουμε x 3 =, x = και x =, δηλαδή το ζητούμενο. Στην πράξη, για εξοικονόμηση χώρου και διευκόλυνση στους υπολογισμούς, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία ακριβώς, όπως και στη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση, και επί πλέον δεν χρησιμοποιούμε τους απλούς μεταθετικούς πίνακες P, = (), δηλαδή δεν αλλάζουμε θέση στις εξισώσεις του αρχικού γραμμικού συστήματος. Έτσι για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε A b T T x= ( x, x, x ) = (,, ). 3

230 0 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 6.4. Μέθοδος του Jorda Η μέθοδος του Jorda συνίσταται σε μια συστηματική απαλοιφή των στοιχείων του πίνακα A στο γραμμικό σύστημα (.) με σκοπό το μετασχηματισμό του σε ένα διαγώνιο γραμμικό σύστημα, ισοδύναμο με το αρχικό, της μορφής a x = b () ( + ) () ( + ) a x = b οπότε η λύση του θα είναι a x = b ( ) ( + ), (6.) b x =, = (), (6.3) () ( + ) a όπου a 0 για κάθε = (). ( ) Τα στοιχεία () a, = (), και στη μέθοδο του Jorda τα ονομάζουμε οδηγά στοιχεία, τις δε εξισώσεις του γραμμικού συστήματος στις οποίες ανήκουν τα οδηγά στοιχεία οδηγές εξισώσεις. Αν εργαστούμε με πίνακες, όπως στη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση, μπορεί κανείς να βρει ένα πίνακα J, έτσι ώστε JAx= Dx= Jb, όπου J A = D διαγώνιος πίνακας. Εδώ ο πίνακας J, ο αντίστοιχος του πίνακα L στη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση, θα είναι γινόμενο των πινάκων των

231 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων πολλαπλασιαστών J, = (), J = J J J J, αντίστοιχων των πινάκων των πολλαπλασιαστών στη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση L, = (), όπου J = L, με J = a =, = (), κ. ο. κ.. () () a Σημειώνεται ότι ο πίνακας J = ( J J J J ) δεν είναι γνωστή μορφή σε σχέση με τα στοιχεία j, j, των πινάκων J, = (), όπως συνέβαινε για τον πίνακα L στη σχέση (6.5) στη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση. Επίσης, σημειώνεται ότι με ανάλογο τρόπο, όπως και στη μέθοδο του Gauss με μερική ή ολική οδήγηση, μπορούμε να κατασκευάσουμε αντίστοιχα τη μέθοδο του Jorda με μερική ή ολική οδήγηση. Στην περίπτωση αυτή, όμως, οι πολλαπλασιαστές δεν είναι υποχρεωτικά όλοι απολύτως μικρότεροι ή ίσοι της μονάδας, όπως συμβαίνει στην μέθοδο του Gauss με μερική οδήγηση.

232 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παράδειγμα 6.5 Να λυθεί το γραμμικό σύστημα του παραδείγματος της παραγράφου με τη μέθοδο του Jorda με φυσική οδήγηση. Λύση ο βήμα Το πρώτο βήμα, όπως γίνεται φανερό από την περιγραφή παραπάνω της μεθόδου του Jorda, συμπίπτει με εκείνο της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση. Έτσι έχουμε J 0 0 = 0, 0 οπότε το ισοδύναμο με το αρχικό γραμμικό σύστημα J A J b = είναι το γραμμικό σύστημα x 4 0 x =. 0 x 6 3 ο βήμα Εδώ J 0 = και το ισοδύναμο με το αρχικό γραμμικό σύστημα J J A J J b = είναι το γραμμικό σύστημα

233 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 3 0 x 3 0 x = x ο βήμα Εδώ J 3 0 = και το ισοδύναμο με το αρχικό γραμμικό σύστημα J 3 J J A = J 3 J J b είναι το γραμμικό σύστημα 0 0 x 0 0 x =, x 4 3 η λύση του οποίου είναι πλέον προφανής και είναι η x =, x = και x 3 =, δηλαδή το ζητούμενο. Στην πράξη, βέβαια, ακολουθούμε μια διαδικασία ανάλογη εκείνης της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση για εξοικονόμηση χώρου και διευκόλυνση στους υπολογισμούς. Σύμφωνα με αυτή τη διαδικασία δεν βρίσκονται άμεσα οι πίνακες J, = (), παραλείπεται η καταγραφή των αγνώστων, υπογραμμίζονται τα οδηγά στοιχεία και οι πολλαπλασιαστές γράφονται αριστερά από τις αντίστοιχες γραμμές σε μια στήλη.

234 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Έτσι, για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε ο βήμα Α b ο βήμα ο βήμα οπότε

235 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 5 δηλαδή το ζητούμενο. T T x= ( x, x, x ) = (,, ), Αξιολόγηση των άμεσων μεθόδων Όπως τονίστηκε στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου, παράγραφος 6., κριτήρια για την ποιότητα μιας αριθμητικής μεθόδου είναι, εκτός από την ευστάθεια της μεθόδου, που αντιμετωπίστηκε γενικά στην παράγραφο 6., η ακρίβεια με την οποία επιτυγχάνεται η λύση, οι απαιτούμενες πράξεις της μεθόδου, που έχουν να κάνουν με την ταχύτητά της, και η απαιτούμενη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Πάνω στα δυο τελευταία κριτήρια θα κάνουμε δυο παρατηρήσεις, που ακολουθούν. Παρατήρηση Οι απαιτούμενες πράξεις μιας αριθμητικής μεθόδου καθορίζουν, όπως είπαμε παραπάνω, την ταχύτητά της. Για τις μεθόδους του Gauss και Jorda με φυσική οδήγηση και για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.), τάξης, είναι εύκολο να δει κανείς, μετρώντας τις πράξεις σε κάθε βήμα εφαρμογής των μεθόδων, ότι δίνονται από τον παρακάτω πίνακα Μέθοδος Διαιρέσεις Πολλαπλασιασμοί Προσθαφαιρέσεις Gauss + ( ) ( )(+ 5) 6 ( )(+ 5) 6 Jorda ( )( + ) ( )( + )

236 6 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Φυσικά ο αριθμός, που αποτελεί την τάξη του γραμμικού συστήματος (6.), είναι μεγαλύτερος ή ίσος του, ώστε να έχουμε γραμμικό σύστημα. Επειδή για κάθε φυσικό αριθμό,, και ( + ) < ( )( + 5) ( )( + ) 6 με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, από τον παραπάνω πίνακα συμπεραίνουμε ότι η μέθοδος του Gauss κοστίζει λιγότερο σε ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή από ότι η μέθοδος του Jorda. Συμπέρασμα του γεγονότος αυτού είναι ότι, η μέθοδος του Gauss θα πρέπει να προτιμάται σε σχέση με τη μέθοδο του Jorda για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σημειώνεται, τέλος, ότι, αν έχουμε να επιλύσουμε το μεγαλύτερο μικρό γραμμικό σύστημα ( = 00) με τη μέθοδο του Gauss, από τον παραπάνω πίνακα, όλες οι πράξεις που απαιτούνται και όχι μόνο οι πολλαπλασιασμοί, όπως κάναμε στην εισαγωγή για τη μέθοδο του Cramer, είναι Αυτό σημαίνει πως, αν είχαμε τον ίδιο σύγχρονο υπολογιστή, όπως στη μέθοδο του Cramer, για να κάνει όλες τις πράξεις του 00x00 γραμμικού συστήματος ο υπολογιστής θα χρειαζόταν λιγότερο από ένα χιλιοστό του δευτερολέπτου.

237 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 7 Παρατήρηση Το τρίτο κριτήριο για την ποιότητα μιας μεθόδου είναι, όπως τονίστηκε, η απαιτούμενη μνήμη στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Έτσι, αν ασχοληθεί κανείς με τη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση και μόνο, που πρέπει να προτιμάται σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση, έχει να παρατηρήσει τα παρακάτω. Καταρχήν για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.) θα χρειαστούν θέσεις μνήμης για τα στοιχεία aj,, j (), = του πίνακα A των συντελεστών των αγνώστων του και θέσεις μνήμης για τα στοιχεία του σταθερού διανύσματος b. Αυτός θα είναι και ο συνολικός αριθμός θέσεων μνήμης, που θα χρειαστούν, για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.). Αυτό συμβαίνει γιατί κατά την απαλοιφή οι πολλαπλασιαστές θα καταλαμβάνουν τις θέσεις των στοιχείων () a, j = ( + )(), του πίνακα A, που απαλείφονται j στο βήμα εφαρμογής της μεθόδου του Gauss με φυσική οδήγηση. Τελικά, δηλαδή, μετά το τελευταίο βήμα εφαρμογής της μεθόδου, οι πολλαπλασιαστές θα βρίσκονται στις θέσεις κάτω της κυρίας διαγωνίου του πίνακα και στην κύρια διαγώνιο και πάνω από αυτή θα βρίσκεται ο πάνω τριγωνικός πίνακας U της σχέσης (6.0). Φυσικά, τα νέα στοιχεία του b από την απαλοιφή στην σχέση (6.0) θα επικαλύπτουν τα αρχικά στοιχεία του σταθερού διανύσματος b. Τέλος, η λύση x του γραμμικού συστήματός μας θα καταλάβει τις θέσεις του διανύσματος b από κάτω προς τα πάνω, όπως ακριβώς υπολογίζεται στην προς τα πίσω αντικατάσταση από τις σχέσεις (6.).

238 8 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώνουμε πως στη μέθοδο του Gauss με μερική οδήγηση θα χρειαστούν επιπλέον οι θέσεις μνήμης για την εναλλαγή των εξισώσεων του γραμμικού συστήματος (6.), όταν αυτό απαιτείται Εφαρμογές της μεθόδου του Gauss Υπολογισμός της ορίζουσας ενός ομαλού πίνακα A Είναι γνωστό από τη Γραμμική Άλγεβρα ότι, αν προστεθούν πολλαπλάσια των στοιχείων μιας γραμμής ενός πίνακα στα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής, η τιμή της ορίζουσας του πίνακα, det ( A ), δεν αλλάζει. Στην μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση, αν μπορεί να εφαρμοστεί και εφόσον θεωρηθεί ότι αυτή εφαρμόζεται μόνο στον πίνακα A του γραμμικού συστήματος (6.) και όχι στο σταθερό διάνυσμα b, η μόνη ενέργεια που γίνεται είναι η παραπάνω, πρόσθεση, δηλαδή, στις γραμμές του πίνακα A κάποιου πολλαπλάσιου μιας άλλης γραμμής του πίνακα A. Συνεπώς, η ορίζουσα του πίνακα A θα είναι ίση με την ορίζουσα του τριγωνικού πίνακα της σχέσης (6.0) a a a Ο a () () () () () a a ( ). Αλλά, η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του. Συνεπώς, η ορίζουσα ενός ομαλού πίνακα με την απαλοιφή κατά Gauss με φυσική οδήγηση, θα είναι ίση με το γινόμενο των οδηγών στοιχείων () a, = (), δηλαδή

239 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 9 () () ( ) det ( A) = a a a. (6.4) Από τη Γραμμική Άλγεβρα, επίσης, είναι γνωστό ότι, αν αλλάξουν θέση δυο γραμμές ενός πίνακα, η ορίζουσά του αλλάζει πρόσημο. Συνεπώς η ορίζουσα ενός ομαλού πίνακα A με τη μέθοδο του Gauss με μερική οδήγηση θα είναι k det ( A) = ( ) a a a, (6.5) () () ( ) όπου () a, = (), τα οδηγά στοιχεία της μεθόδου του Gauss με μερική οδήγηση και k ο πληθικός αριθμός των απλών μεταθετικών πινάκων P, = (), που απαιτούνται κατά την εφαρμογή της μεθόδου, των διαφορετικών από τον αντίστοιχο μοναδιαίο πίνακα I. Με άλλα λόγια k είναι ο πληθικός αριθμός των εναλλαγών γραμμών, που απαιτείται, ώστε ο πίνακας A κατά την εφαρμογή της μεθόδου του Gauss με μερική οδήγηση να πάρει πάνω τριγωνική μορφή. Τέλος, είναι φανερό, ότι η μέθοδος του Jorda για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός ομαλού πίνακα, απαιτεί διπλάσιες ακριβώς πράξεις από εκείνες των αντιστοίχων μεθόδων του Gauss και για αυτό δεν θα πρέπει να χρησιμοποιείται ποτέ για τον υπολογισμό της τιμής της ορίζουσας ενός πίνακα. Παράδειγμα 6.6 Να βρεθεί η τιμή της ορίζουσας του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του παραδείγματος της παραγράφου με τη μέθοδο του Gauss και φυσική οδήγηση και. με τη μέθοδο του Gauss και μερική οδήγηση.

240 30 Λύση Έχουμε A = 3 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Από τη λύση του παραδείγματος της παραγράφου 6.4.., έχουμε ότι τα οδηγά στοιχεία της απαλοιφής κατά Gauss με φυσική οδήγηση είναι () a =, a = και () (3) a 33 = 4. Συνεπώς από τη σχέση (6.4) έχουμε det( A ) = ( 4) = 4.. Από τη λύση του παραδείγματος της παραγράφου , έχουμε ότι τα οδηγά στοιχεία της απαλοιφής κατά Gauss με μερική οδήγηση είναι () a =, () 5 a = και a = (3) 33 Εξάλλου, έχουμε για τους απλούς μεταθετικούς πίνακες της μεθόδου, που χρειάστηκαν στην εφαρμογή της, ότι οπότε k =. P I και P I, 4. 5 Συνεπώς, από τη σχέση (6.5) πλέον, έχουμε 5 4 det ( A ) = ( ) ( ) = 4. 5

241 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός ομαλού πίνακα A Έστω, ότι έχουμε για επίλυση την εξίσωση πινάκων AX = B, (6.6) όπου A είναι ένας x πίνακας και X, B xm πίνακες ( A, B γνωστοί πίνακες και X άγνωστος πίνακας). Είναι φανερό ότι, αν ο πίνακας A είναι ομαλός, η λύση της παραπάνω εξίσωσης πινάκων θα είναι X A B. = (6.7) Από την παραπάνω παρατήρηση, το συμπέρασμα που βγαίνει αμέσως είναι ότι, μπορεί κανείς να λύσει m γραμμικά συστήματα ταυτόχρονα, αρκεί αυτά να έχουν τον ίδιο πίνακα συντελεστών των αγνώστων. Στην πράξη για την αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων ακολουθείται η μέθοδος του Gauss με φυσική ή μερική οδήγηση. Η μόνη διαφορά είναι ότι, αντί να υπάρχει μια στήλη στο δεύτερο μέλος, υπάρχουν m στη σειρά στήλες και κάθε μια δίνει τη λύση του αντίστοιχου γραμμικού συστήματος Α x = b, k = () m, k k όπου x b, A και k, k. Αν, τώρα, m = και B = I, όπου I ο μοναδιαίος πίνακας τάξης, η σχέση (6.6) γίνεται A X = I, (6.8) οπότε, αν ο A είναι ομαλός πίνακας, από τη σχέση (6.8) έχουμε X = A. (6.9)

242 3 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Οι σχέσεις (6.8) και (6.9), πλέον, σημαίνουν ότι, η εύρεση του αντιστρόφου ενός ομαλού πίνακα A, τάξης, ανάγεται στην επίλυση γραμμικών συστημάτων με τον ίδιο πίνακα αγνώστων A και δεύτερα μέλη τις στήλες του μοναδιαίου πίνακα, τάξης. Η λύση του καθενός γραμμικού συστήματος στη σειρά, θα δίνει στη σειρά την αντίστοιχη στήλη του αντιστρόφου πίνακα, A, του πίνακα A. Σημειώνεται, τέλος, ότι και η μέθοδος του Jorda θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του αντιστρόφου ενός ομαλού πίνακα A. Σύμφωνα με την παράγραφο 6.4.4, όμως, κάτι τέτοιο δεν συνιστάται. Παράδειγμα 6.7 Να βρεθεί με τη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση ο αντίστροφος του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του παραδείγματος της παραγράφου Λύση Ο πίνακας A είναι A = 3. Άρα, σύμφωνα με τη μέθοδο του Gauss με φυσική οδήγηση και τη συνοπτική διαδικασία για διευκόλυνση στους υπολογισμούς και εξοικονόμηση χώρου, έχουμε

243 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 33 A 3 4 I ( ) T x =, 34, 54 T ( ) T x = 0,, T ( ) T x 3 =, 4, 4. T Άρα 0 A = Σημειώνεται ότι πραγματικά η λύση του γραμμικού συστήματος του παραδείγματος της παραγράφου 6.4.., αφού γνωρίζουμε τον αντίστροφο του πίνακα A, είναι 0 4 = = =, 54 4 x A b δηλαδή το ζητούμενο x =, x = και x 3 =.

244 34 όπου Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση 6.5 Επαναληπτικές ή Έμμεσες Μέθοδοι 6.5. Γενική Επαναληπτική Μέθοδος Έστω, ότι έχουμε για επίλυση το γραμμικό σύστημα (6.), b, A και. Αν διαχωρίσουμε τον πίνακα A σε διαφορά δύο πινάκων M και N, έτσι ώστε A= M N, (6.30) έτσι ώστε ο πίνακας M να είναι εύκολα αντιστρέψιμος, αντικαταστήσουμε στη σχέση (6.), σύμφωνα με τη σχέση (6.30), και κάνουμε πράξεις, έχουμε x M N x M b = +. (6.3) Η σχέση (6.3) ακριβώς, υποδείχνει έναν επαναληπτικό αλγόριθμο για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.), που είναι ο ( k+ ) ( k) x = M N x + M b, k = 0,,,, ή ισοδύναμα ο αλγόριθμος ( k+ ) ( k) x T x c k = +, = 0,,,, (6.3) όπου (0) x αυθαίρετο αρχικό διάνυσμα, που συνήθως το παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα, και T = M N c M b, =. Η σχέση (6.3) αποτελεί τη γενική επαναληπτική μέθοδο και ο πίνακας T, που παρουσιάζεται σε αυτή, ονομάζεται επαναληπτικός πίνακας της μεθόδου.

245 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 35 Είναι φανερό ότι, αν συγκλίνει η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3), δηλαδή αν ( ) ( ) lm k + k x = lm x = y, k k θα συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος (6.), δηλαδή θα έχουμε A y = b. Το ερώτημα που μπαίνει πλέον είναι, ποια είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3), όπως κατασκευάστηκε παραπάνω, να συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος (6.), για κάθε (0) x ; Αυτή τη συνθήκη, μας την εξασφαλίζει το παρακάτω θεμελιώδες θεώρημα των γενικών επαναληπτικών μεθόδων. Θεώρημα 6.3 Η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3), όπως κατασκευάστηκε παραπάνω, συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος (6.), για κάθε (0) x, αν και μόνο αν η φασματική ακτίνα του επαναληπτικού της πίνακα, T, είναι μικρότερη της μονάδας, δηλαδή ρ ( T) <. Απόδειξη Αν ( k) ( k) ε = x x, k = 0,,,, (6.33) είναι το διάνυσμα σφάλμα στην k επανάληψη της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3), από τις σχέσεις (6.3) και (6.3) έχουμε

246 36 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση ε ( k) ( k ) = T ε και από τη σχέση αυτή έχουμε τελικά ( k) k ε = T ε (0), k = 0,,,. (6.34) ( k ) Εξάλλου, η ακολουθία διανυσμάτων { } x, k = 0,,,, που παράγεται από την γενική επαναληπτική μέθοδο (6.3), θα συγκλίνει στη λύση x του γραμμικού συστήματος (6.), αν lm k x ( k ) = x ή ισοδύναμα, σύμφωνα με τη σχέση (6.33), ( k ) lm ε = 0. k Σύμφωνα με τη σχέση (6.34), όμως, η τελευταία σχέση ισοδυναμεί με τη σχέση (0) lm T k ε 0. k = (6.35) Όμως, σύμφωνα με το θεώρημα 5.9, ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει η σχέση (6.35) είναι η φασματική ακτίνα του πίνακα T να είναι μικρότερη από τη μονάδα, δηλαδή ρ ( T ) <, κι έτσι αποδείχτηκε το ζητούμενο. Στην πράξη, όμως, η εύρεση της φασματικής ακτίνας ενός πίνακα είναι επίπονη εργασία. Για αυτό, κατά την εξέταση της σύγκλισης της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3), καταρχήν χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα, το οποίο μας εξασφαλίζει ικανή συνθήκη για τη σύγκλιση της μεθόδου (6.3) στο γραμμικό σύστημα (6.).

247 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 37 Θεώρημα 6.4 Η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3), όπως κατασκευάστηκε παραπάνω, συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος (6.), αν για κάποια από τις νόρμες του επαναληπτικού της πίνακα T ισχύει T <. Απόδειξη Πράγματι, αν T <, σύμφωνα με το θεώρημα 5.6 θα έχουμε ότι και ρ ( T ) <, οπότε, από το προηγούμενο θεώρημα 6.3, έχουμε το ζητούμενο. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την ταχύτητα σύγκλισης των γενικών επαναληπτικών μεθόδων και θα υποδείξουμε τρόπους για τον εκ των προτέρων υπολογισμό του αριθμού των επαναλήψεων μιας συγκλίνουσας γενικής επαναληπτικής μεθόδου της μορφής (6.3) στη λύση ενός γραμμικού συστήματος της μορφής (6.) με την ακρίβεια, που επιζητούμε. Έτσι, αν στη σχέση (6.34) πάρουμε νόρμες, εφαρμόσουμε τη σχέση (5.8) και διαιρέσουμε με την ποσότητα (0) ε έχουμε ε ε ( k ) T k. (0) (6.36) Η σχέση (6.36) μας λέει ότι η ποσότητα k T αποτελεί, κατά ένα τρόπο, το μέτρο ελάττωσης της νόρμας του διανύσματοςσφάλμα, ύστερα από k επαναλήψεις, σε σχέση με τη νόρμα του αρχικού διανύσματος-σφάλμα ε (0). Συνεπώς, μπορούμε να

248 38 χρησιμοποιήσουμε την Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση k T ως κριτήριο ταχύτητας σύγκλισης διαφορετικών γενικών επαναληπτικών μεθόδων, για την επίλυση του ιδίου γραμμικού συστήματος. Αυτό είναι πάρα πολύ χρήσιμο, γιατί στην πράξη το αρχικό διάνυσμα-σφάλμα, ε (0), είναι άγνωστο. Έστω λοιπόν, ότι για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.), με έναν άλλο διαχωρισμό του πίνακα A, της μορφής (6.30), έχουμε εκτός της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3) και την γενική επαναληπτική μέθοδο ( k+ ) ( k) x Gx d k = +, = 0,,,, (6.37) όπου, G είναι ο επαναληπτικός της πίνακας και d. Ορισμός 6. Αν για κάποιο ακέραιο k έχουμε k k T < και G <, τότε οι ποσότητες log T k k k RT ( ) = log[( T ) ] = k και (6.38) k log G k k k RG ( ) = log[( G ) ] =, k ονομάζονται μέσες ταχύτητες σύγκλισης των γενικών επαναληπτικών μεθόδων (6.3) και (6.37) αντίστοιχα. k Ακόμη, αν k k R ( T ) > R( G ),

249 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 39 τότε η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3) θα λέμε ότι είναι ταχύτερη από την γενική επαναληπτική μέθοδο (6.37). Αποδεικνύεται ότι lm R ( T k ) = log[ ρ( T)] = R ( T). (6.39) k Η ποσότητα R ( T ) ονομάζεται ασυμπτωτική ταχύτητα σύγκλισης της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3) και φυσικά πάλι, όπως και για την μέση ταχύτητα σύγκλισης, αν R ( T) > R ( G), (6.40) θα λέμε ότι η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3) είναι ταχύτερη της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.37), για την εύρεση της λύσης του ιδίου γραμμικού συστήματος, της μορφής (6.). Η σχέση (6.40) έχει μεγάλη πρακτική αξία. Αυτό γιατί από αυτή και χρησιμοποιώντας τη σχέση (6.39), καταλήγουμε στη σχέση ρ ( T) < ρ ( G). (6.4) Έτσι, σύμφωνα με τη σχέση (6.4) και όπως ορίσαμε παραπάνω την ταχύτητα σύγκλισης μιας γενικής επαναληπτικής μεθόδου, έχουμε το παρακάτω πρακτικό συμπέρασμα «Η γενική επαναληπτική μέθοδος (6.3), για την επίλυση του γραμμικού συστήματος (6.), είναι ταχύτερη από τη γενική επαναληπτική μέθοδο (6.37), για την επίλυση του ιδίου γραμμικού συστήματος, αν για τις φασματικές ακτίνες των επαναληπτικών πινάκων των μεθόδων αυτών ισχύει η σχέση (6.4).»

250 40 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εξάλλου, από τη σχέση (6.36), κάνοντας χρήση της ιδιότητας (5.6)-v) των νορμών ενός πίνακα, έχουμε ε ε ( k ) k T. (0) (6.4) Από την τελευταία σχέση, και υπό την προϋπόθεση ότι T <, μπορεί κανείς να υπολογίσει ύστερα από πόσες επαναλήψεις ο λόγος ε ε ( k ) (0) γίνεται μικρότερος ή ίσος από ένα προκαθορισμένο αριθμό ε ( ε < ), που έχει σχέση με την ακρίβεια, που επιζητάμε, στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Πράγματι, έχοντας υπόψη μας τη σχέση (6.4), αν απαιτήσουμε T k < ε, έχουμε logε k =, log T όπου με a συμβολίζουμε τον μικρότερο μη αρνητικό ακέραιο, που είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό a. ως Σημειώνουμε ότι την ποσότητα ε μπορούμε να την πάρουμε ε = l 0,

251 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 4 για παράδειγμα, αν θέλουμε η επανάληψη ( k ) x της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3) να συμπίπτει σε δεκαδικά ψηφία με την ακριβή λύση x του γραμμικού συστήματος (6.) Βασικές επαναληπτικές μέθοδοι Θα περιγράψουμε στη συνέχεια τρεις πολύ γνωστές επαναληπτικές μεθόδους για την αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων. Και οι τρεις αυτές μέθοδοι απαιτούν τον ίδιο περιορισμό, ώστε να μπορούν να κατασκευαστούν, και παράγονται από τον ίδιο διαχωρισμό, της μορφής (6.30), του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του γραμμικού συστήματος, που θέλουμε να επιλύσουμε. Έστω, λοιπόν, ότι το γραμμικό σύστημα, που θέλουμε να επιλύσουμε είναι το (6.), όπου, A και b. Ο περιορισμός, που απαιτείται και μόνο, ώστε να μπορούν να κατασκευαστούν οι μέθοδοι, που ακολουθούν, είναι τα διαγώνια στοιχεία a, = (), να είναι διάφορα από το μηδέν. Ακόμη, ο διαχωρισμός, της μορφής (6.30), του πίνακα A θα είναι της μορφής A= D L U, (6.43) όπου D διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A, L αυστηρά κάτω τριγωνικός πίνακας με στοιχεία τα αντίθετα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα A και U αυστηρά πάνω τριγωνικός πίνακας με στοιχεία τα αντίθετα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα A. Με βάση τον περιορισμό a 0, για κάθε = (), που βάλαμε παραπάνω, από το γραμμικό σύστημα (6.) μπορούμε να προτείνουμε τον επαναληπτικό αλγόριθμο

252 4 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση x = [ b a x ], = (), k = 0,,,. (6.44) ( k+ ) ( k) j j a j= j Η σχέση (6.44) αν γραφεί υπό μορφή πινάκων, λαμβάνοντας υπόψη το διαχωρισμό (6.43) για τον πίνακα A, ισοδυναμεί με τη σχέση ( k+ ) ( k) x D L U x D b k = ( + ) +, = 0,,,. (6.45) Η σχέση (6.45), πλέον, αποτελεί μια ειδική περίπτωση της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3), γνωστή ως μέθοδος του Jacob, με επαναληπτικό πίνακα B = D ( L+ U), (6.46) και στην ουσία διαλέξαμε ως M και N, στο διαχωρισμό (6.30) του πίνακα A, τους πίνακες M = D και N = L+ U, όπου ο πίνακας M ως διαγώνιος είναι πράγματι εύκολα αντιστρέψιμος. Φυσικά η σύγκλιση της μεθόδου στη λύση του γραμμικού συστήματος (6.), θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες σύγκλισης της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3). Αν υποθέσουμε ότι οι υπολογισμοί στη σχέση (6.44) γίνονται στη σειρά και έχουμε υπολογίσει τα x, x,, x και ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) θέλουμε στη συνέχεια να υπολογίσουμε το ( k x + ), είναι φυσικό να περιμένουμε ταχύτερη σύγκλιση, αν στη θέση των ( k x ), j = (), j για τον υπολογισμό του ( k x + ), κάνουμε χρήση των x j ( k + ) j, = (), τα οποία και γνωρίζουμε ήδη, δηλαδή πάρουμε

253 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 43 x [ b ax ax ], ( k+ ) ( k+ ) ( k) = j j j j a j= j= + όπου = (), k = 0,,,. (6.47) Η σχέση (6.47) αποτελεί τη μέθοδο των Gauss Sedel και υπό μορφή πινάκων, αν λάβουμε υπόψη το διαχωρισμό (6.43) του πίνακα A, ισοδυναμεί με τη σχέση ( ) ( k+ ) ( k) D L x = U x + b ή ισοδύναμα με τη σχέση ( k+ ) ( k) x D L U x D L b k = ( ) + ( ), = 0,,,. (6.48) Η επαναληπτική μέθοδος (6.48) αποτελεί και αυτή ειδική περίπτωση της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3), με M = D L και N = U. Σημειώνουμε, ότι ο πίνακας M πάλι αντιστρέφεται εύκολα ως κάτω τριγωνικός πίνακας με διαγώνια στοιχεία διάφορα από το μηδέν. Φυσικά η αντιστροφή του θα γίνει με τη μέθοδο του Gauss, όπως έγινε η περιγραφή της στην παράγραφο , με προς τα εμπρός αντικατάσταση. Στην πράξη βέβαια η αντιστροφή γίνεται έμμεσα με την εφαρμογή του αλγόριθμου (6.47). Επίσης, ο επαναληπτικός πίνακας της μεθόδου των Gauss Sedel είναι G ( D L) U = (6.49) και η σύγκλιση της μεθόδου ακολουθεί τους κανόνες της γενικής επαναληπτικής μεθόδου (6.3). Σημειώνεται, εδώ, ότι η ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου των Gauss Sedel σε σχέση με την ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου του Jacob, για την επίλυση του ιδίου γραμμικού συστήματος, δεν

254 44 Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση είναι πάντα μεγαλύτερη, παρά την αρχική μας ελπίδα. Η ταχύτητα σύγκλισης των δυο με&