1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής"

Transcript

1 ε ν ό τ η τ α Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω δυο ορισμούς για το τι είναι στατιστική *. 1. Στατιστική: «Όνομα ουσιαστικό. Εις τον πληθυντικό αριθμό. Αριθμητικά γεγονότα, ως στατιστικαί του πληθυσμού, αποθεμάτων. Εις τον ενικόν επιστήμη της συλλογής, κατατάξεως και χρησιμοποιήσεως των στατιστικών». 2. Στατιστική: «Σύνολο μαθηματικών μεθόδων, οι οποίες μέσω συλλογής και ανάλυσης πραγματικών δεδομένων, επιτρέπουν τη δημιουργία πιθανολογικών μοντέλων στα οποία θεμελιώνονται προβλέψεις». Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της στατιστικής μπορούμε να οδηγηθούμε στη λήψη μιας τεκμηριωμένης απόφασης. Τις στατιστικές μεθόδους τις χρησιμοποιεί σχεδόν το σύνολο των επιστημονικών ειδικοτήτων, για να θεμελιωθούν προβλέψεις, να εντοπιστούν αιτίες που παράγουν αποτελέσματα και να εξαχθούν συμπεράσματα για ένα μεγάλο σύνολο δεδομένων εξετάζοντας μόνο ένα μικρό σύνολο από αυτά Πηγές και Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Η πρώτη πηγή, και κατά τη γνώμη μας η σημαντικότερη, στην οποία μπορούμε να ανατρέξουμε για να αποκτήσουμε δεδομένα που αφορούν στην Ελλάδα είναι η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος (ΕΣΥΕ). Η ΕΣΥΕ μας παρέχει πληθώρα αξιόπιστων δημοσιευμένων στοιχείων, που * Ο πρώτος ορισμός είναι από το βιβλίο «Στατιστική» του RGD ALLEN σε μετάφραση του Κ.Α. Αθανασιάδη, εκδόσεις ΠΑΠΑΖΗΣΗ και ο δεύτερος ορισμός από το Εγκυκλοπαιδικό λεξικό ΠΑΠΥΡΟΣ LAROUSSE το Παπυράκι, ΑΘΗΝΑ

2 αφορούν σε διάφορες πτυχές της οικονομικής και κοινωνικής ζωής. Εκτός από την ΕΣΥΕ στοιχεία δημοσιεύει και η Eurostat, δηλαδή η στατιστική υπηρεσία των Ευρωπαϊκών Κοινοτήτων. Επίσης, εκτός από την ΕΣΥΕ, στοιχεία μπορούν να αναζητηθούν απευθείας από τις ημόσιες Υπηρεσίες και τους Οργανισμούς Τοπικής Αυτοδιοίκησης. Αρκετές κατηγορίες στοιχείων είναι δυνατόν να αποκτηθούν και από ιδιωτικές εταιρείες, οι οποίες τα συλλέγουν και τα διαθέτουν σε ενδιαφερόμενους, σε έντυπη ή σε ηλεκτρονική μορφή Ο Στατιστικός Πληθυσμός Σύνολα πραγμάτων ή ανθρώπων που έχουν ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά ονομάζονται Στατιστικοί πληθυσμοί. Ένας στατιστικός πληθυσμός είναι για παράδειγμα το σύνολο των εργαζομένων στον κλάδο του τουρισμού σε μια χρονική περίοδο. Ένας άλλος στατιστικός πληθυσμός είναι το σύνολο των ασθενών που βρίσκονται μια δεδομένη χρονική στιγμή σε όλα τα δημόσια και ιδιωτικά Νοσοκομεία της Ελλάδος. Οι στατιστικοί πληθυσμοί διακρίνονται σε άπειρους και σε πεπερασμένους. Άπειροι ονομάζονται οι πληθυσμοί με πολύ μεγάλο αριθμό στοιχείων, ενώ πεπερασμένοι ονομάζονται ο πληθυσμοί με καθορισμένο μέγεθος. Για παράδειγμα, η παραγωγή αυτοκινήτων τα τελευταία 50 χρόνια μπορεί να θεωρηθεί άπειρος πληθυσμός, ενώ η παραγωγή αυτοκινήτων από μια συγκεκριμένη βιομηχανία για ένα συγκεκριμένο έτος θα θεωρηθεί πεπερασμένος πληθυσμός. Σε μια ακόμη διάκριση οι πεπερασμένοι πληθυσμοί μπορεί να είναι ολιγοπληθείς ή πολυπληθείς. Αν θέλουμε να μελετήσουμε ένα στατιστικό πληθυσμό, χρειάζεται να έχουμε διαθέσιμα όλα τα στοιχεία του πληθυσμού. Επειδή αυτό είναι πολύ δαπανηρό σε χρηματικούς πόρους αλλά και σε χρόνο, εργαζόμαστε με δείγματα που έχουν επιλεγεί με τρόπους που πληρούν τα όσα η μέθοδος της δειγματοληψίας υποδεικνύει Η Στατιστική και οι Μεταβλητές της Στη στατιστική χρησιμοποιούμε τρεις κατηγορίες μεταβλητών. Τις ποσοτικές, τις κατηγορικές και τις ποιοτικές. Οι ποσοτικές μεταβλητές είναι 32

3 δεκτικές μέτρησης. Μπορούμε με άλλα λόγια να αντιστοιχήσουμε αριθμούς σε αυτή την κατηγορία των μεταβλητών. Παραδείγματα ποσοτικών μεταβλητών είναι το ύψος, το εισόδημα, το βάρος, οι ώρες εργασίας, ο αριθμός επιβατών κ.λπ.. Οι ποσοτικές μεταβλητές περαιτέρω διακρίνονται σε συνεχείς και σε ασυνεχείς. Η μεταβλητή ύψος για παράδειγμα είναι συνεχής μεταβλητή, γιατί θεωρητικά μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ δυο τιμών. Παραδείγματος χάρη, όλες οι τιμές μεταξύ 160 εκατοστών και 170 εκατοστών είναι δυνατές τιμές της μεταβλητής ύψος. Αντίθετα, ο αριθμός δωματίων ενός ξενοδοχείου, ενώ είναι ποσοτική μεταβλητή και μπορεί να λάβει τιμές όπως 20, 21, 50 κ.λπ., δεν μπορεί να λάβει τιμές μεταξύ του 20 και 21. Οι κατηγορικές μεταβλητές επιδέχονται απλώς μια ασθενή διάκριση ή κατάταξη. Παραδείγματος χάρη, η μεταβλητή φύλλο επιδέχεται τη διάκριση «άρρεν» ή «θήλυ». Οι ποιοτικές μεταβλητές επιδέχονται μετρήσεις ή διακρίσεις ανώτερου επιπέδου από ότι οι κατηγορικές. Η μεταβλητή κατάσταση υγείας, για παράδειγμα, επιδέχεται διάκριση από κακή έως άριστη και μάλιστα οι καταστάσεις υγείας μπορούν να ιεραρχηθούν: άριστη υγεία, πολύ καλή υγεία, καλή υγεία, μέτρια υγεία, κακή υγεία. Τις μεταβλητές τις συμβολίζουμε με γράμματα συνήθως κεφαλαία, όπως για παράδειγμα X, Y, Z. Οι συγκεκριμένες αριθμητικές εκφράσεις των μεταβλητών ονομάζονται τιμές των μεταβλητών. Την αριθμητική έκφραση μιας μεταβλητής τη συμβολίζουμε με μικρό γράμμα, το οποίο είναι σύνηθες να συνοδεύονται και με ένα δείκτη και γράφουμε x i, y i, z i. Για παράδειγμα, εάν με X συμβολίσουμε τη μεταβλητή ύψος και στον Πίνακα 1.1 καταχωρίσουμε 7 συγκεκριμένες τιμές της μεταβλητής ύψος σε εκατοστά, θα έχουμε: Πίνακας 1.1 i x i Η χρησιμότητα του δείκτη είναι προφανής. Ο δείκτης μας εξυπηρετεί στο να γνωρίζουμε σε ποια συγκεκριμένη παρατήρηση αναφερόμαστε. Εάν για παράδειγμα i = 3, τότε η τιμή x 3 είναι τα 167 εκατοστά ύψους κ.ο.κ.. 33

4 1.5. Χειρισμός Αριθμητικών Δεδομένων Είναι σύνηθες, τουλάχιστον για όσους ασχολούνται με τη συλλογή και την επεξεργασία αριθμητικών δεδομένων, να βρίσκονται μπροστά σε ένα σωρό από αριθμούς. Οι αριθμοί πάντα λένε κάτι, συνήθως σημαντικό, αρκεί να μπορούμε να τους χειριστούμε με έναν τρόπο που θα μας το αποκαλύψει. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε καταγράψει το ύψος σε εκατοστά 8 φοιτητών και τα παραθέσουμε στον πίνακα: Πίνακας Εκτός από το να κατατάξουμε τους 8 φοιτητές κατά σειρά ύψους, μπορούμε να χειριστούμε τους αριθμούς, έτσι ώστε να αντλήσουμε ένα σύνολο από αριθμητικές τιμές που η καθεμία από αυτές θα μας δίνει πληροφορία χρήσιμη για το σύνολο των αριθμών που επεξεργαζόμαστε Ο αριθμητικός μέσος όρος Ο αριθμητικός μέσος ή απλώς ο μέσος όρος προκύπτει εάν αθροίσουμε τους 8 προαναφερθέντες αριθμούς για το ύψος των 8 φοιτητών και το αποτέλεσμα το διαιρέσουμε με το πλήθος τους. ηλαδή ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ίσος με: εκατοστά Επομένως, «κατά μέσο όρο» το ύψος των 8 φοιτητών είναι 169, 87 εκατοστά. Ο αριθμητικός μέσος όρος συμβολίζεται ως μ ή x, εάν εργαζόμαστε με δείγματα. Εάν οι αποκλίσεις του ύψους μεταξύ των 8 φοιτητών δεν είναι σημαντικές, τότε ο μέσος όρος αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά το ύψος των φοιτητών Επικρατούσα τιμή H επικρατούσα τιμή, η οποία συμβολίζεται ως M O, είναι η τιμή που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές σε ένα σύνολο από αριθμούς. Στο 34

5 παράδειγμά μας με τα ύψη των 8 φοιτητών, η επικρατούσα τιμή είναι τα 180 εκατοστά ύψους, διότι εμφανίζεται 2 φορές Διάμεσος τιμή Η διάμεσος τιμή, η οποία συμβολίζεται ως M, είναι το μεσαίο σημείο (μεσαία παρατήρηση) των αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος τιμή χωρίζει στα δύο το σύνολο των αριθμών και οι μισοί αριθμοί είναι κάτω από τη διάμεσο τιμή και οι άλλοι μισοί πάνω από αυτήν. Στο παράδειγμά μας με το ύψος των 8 φοιτητών, για να βρεθεί το διάμεσο ύψος πρέπει να τακτοποιήσουμε τα ύψη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. Μετά την τακτοποίηση θα έχουμε: 150, 166, 167, 170, 171, 175, 180, 180. Εάν η λίστα αποτελείται από περιττό πλήθος αριθμών, είναι εύκολο να βρεθεί η διάμεσος τιμή. Εάν όμως το πλήθος των αριθμών είναι άρτιο, τότε ως διάμεση τιμή μπορούμε να λάβουμε το μέσο όρο των πλησιέστερων στη μέση τιμών. Στο παράδειγμά μας με τα ύψη των 8 φοιτητών: 150, 166, 167, 170, 171, 175, 180, 180. Οι αριθμοί μέσα στο πλαίσιο είναι οι πλησιέστεροι στη μέση. Η διάμεσος τιμή είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δυο αριθμών και είναι ίση με: ( ) / 2 = 170, 5. Πράγματι, οι μισοί φοιτητές έχουν ύψος μικρότερο από 170, 5 εκατοστά και οι υπόλοιποι πάνω από 170, 7 εκατοστά. Ο κανόνας για να προκύπτει η διάμεσος, όταν το πλήθος των αριθμητικών μας δεδομένων είναι άρτιος αριθμός, είναι ο εξής: «Εάν το πλήθος των δεδομένων μας είναι αριθμός άρτιος, τότε διαιρούμε το πλήθος των αριθμών δια δυο. Το αποτέλεσμα δείχνει την πλησιέστερη στη διάμεσο τιμή. Στο παράδειγμά μας το πλήθος των αριθμών είναι 8. Το πλήθος δια 2 είναι ίσο με 4, η τέταρτη επομένως στη σειρά παρατήρηση χωρίζει στη μέση τα αριθμητικά δεδομένα μας. Η τέταρτη παρατήρηση είναι ο αριθμός 170. Εάν όμως επιλέξουμε τον 170 ως διάμεσο τιμή πριν από τον αριθμό 170, έχουμε τρεις τιμές, τις: 150, 166,

6 και μετά από τον αριθμό 170 έχουμε τέσσερις, τις: 171, 175, 180, 180. Για να έχουμε μοιρασμένες τις παρατηρήσεις θα πρέπει να υπολογίσουμε το μέσο όρο των αριθμών 170 και 171. Ο μέσος αυτός όρος είναι η διάμεσος τιμή. Εάν το πλήθος των δεδομένων μας ήταν αριθμός περιττός και είχαμε αντί για τα ύψη 8 φοιτητών τα ύψη 7 φοιτητών και συγκεκριμένα τα: 150, 166, 167, 170, 171, 175, 180, 180, τότε στο πλήθος των αριθμών που έχουμε προσθέτουμε τη μονάδα και το αποτέλεσμα το διαιρούμε με το δυο. Στο παράδειγμά μας λοιπόν το πλήθος των αριθμών είναι ίσο με 7. Το πλήθος αριθμών συν ένα δίνει αποτέλεσμα ίσο με 8. Το αποτέλεσμα 8 δια δυο δίνει 4. Η τετάρτη στη σειρά παρατήρηση είναι η διάμεσος τιμή. Πράγματι, η τιμή 170 αφήνει τρεις τιμές πριν από αυτή και τρεις μετά. Ο αριθμητικός μέσος όρος, η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος τιμή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας στο λογιστικό φύλλο excel τις παρακάτω συναρτήσεις: AVERAGE: Είναι η συνάρτηση που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο. MODE: Είναι η συνάρτηση που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε την επικρατούσα τιμή. MEDIAN: Είναι η συνάρτηση που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τη διάμεσο τιμή. Το παρακάτω παράδειγμα επεξηγεί τη χρήση των συναρτήσεων αυτών. Ως αριθμητικά δεδομένα θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα ύψους των 8 φοιτητών, δηλαδή τα ύψη:150, 166, 167, 170, 171, 175, 180, 180. Αφού καταχωρίσουμε τις αριθμητικές τιμές του ύψους στο excel, θα προκύψει η Εικόνα 1.1. Πληκτρολογώντας στο κελί C14 τη σχέση =AVERAGE(C4:C11) προκύπτει ο μέσος όρος. Πληκτρολογώντας κελί C15 τη σχέση =MODE(C4:C11) προκύπτει η επικρατούσα τιμή. Πληκτρολογώντας στο κελί C16 τη σχέση =MEDIAN(C4:C11) προκύπτει η διάμεσος τιμή. 36

7 Εικόνα Τεταρτημόρια Το πρώτο τεταρτημόριο, το οποίο συμβολίζεται ως Q 1, είναι η τιμή εκείνη που κάτω από αυτή βρίσκεται το 25% (το 1/4) των διαθέσιμων αριθμητικών παρατηρήσεων. Το τρίτο τεταρτημόριο, το οποίο συμβολίζεται ως Q 3, είναι η τιμή εκείνη που κάτω από αυτή βρίσκεται το 75% (τα 3/4) των διαθέσιμων αριθμητικών παρατηρήσεων Δεκατημόρια Το πρώτο ή, δεύτερο, τρίτο,, ή ένατο δεκατημόριο το οποίο συμβολίζεται ως: D k όπου k = 1, 2, 3,, 9 είναι η τιμή εκείνη που αφήνει κάτω από αυτή το 10% ή το 20% ή το 30%,., ή το 90% των αριθμητικών παρατηρήσεων. 37

8 1.5.6 Εκατοστημόρια Το πρώτο, δεύτερο, τρίτο,.ή το ενενηκοστό όγδοο εκατοστημόριο, το οποίο συμβολίζουμε ως: C k όπου k = 1, 2, 3,, 98, είναι η τιμή που αφήνει κάτω από αυτή το 1% ή το 2% ή το 3%,., ή το 98% των αριθμητικών παρατηρήσεων. Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων στο λογιστικό φύλλο excel χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση QUARTILE και για τον υπολογισμό των δεκατημορίων και εκατοστημορίων χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση PER- CENTILE. Όταν τις χρησιμοποιούμε, η σύνταξη των σχέσεων χρειάζεται προσοχή. Γράφουμε =QUARTILE(.. ; 1 ή 3), όπου ο αριθμός 1 δηλώνει το πρώτο τεταρτημόριο και ο αριθμός 3 δηλώνει το τρίτο τεταρτημόριο. Επίσης, για τον υπολογισμό των δεκατημορίων ή εκατοστημορίων γράφουμε =PERCENTILE(. ; k), όπου οι αριθμοί k = 0.10, k = 0.20 δηλώνουν το πρώτο, δεύτερο κ.λπ. δεκατημόρια και οι αριθμοί k = 0.010, k = 0.020,. δηλώνουν το πρώτο, δεύτερο κ.λπ. εκατοστημόρια. εν είναι δύσκολο να αντιληφθούμε ότι η διάμεσος είναι ίση με το δεύτερο τεταρτημόριο και με το πέμπτο δεκατημόριο καθώς και με το πεντηκοστό εκατοστημόριο. Χρησιμοποιώντας ξανά τα δεδομένα ύψους των 8 φοιτητών του Πίνακα 1.2 όπως έχουν καταχωρισθεί στην Εικόνα 1.1 και: Πληκτρολογώντας * τη σχέση: =QUARTILE(C4:C11, 1), στο κελί C17 προκύπτει το πρώτο τεταρτημόριο. Πληκτρολογώντας τη σχέση =QUARTILE(C4:C11, 3), στο κελί C18 προκύπτει το τρίτο τεταρτημόριο. Πληκτρολογώντας τη σχέση =PERCENTILE(C4:C11, 0.03), στο κελί C20 προκύπτει το τρίτο εκατοστημόριο. Η συνάρτηση PERCENTRANK μπορεί να χρησιμοποιηθεί μαζί με τις συναρτήσεις QUARTILE, MEDIAN, PERCENTILE και να μας δώσει κατά- * Η σύνταξη της συνάρτησης χρειάζεται προσοχή. Ορισμένες φορές, και αυτό εξαρτάται από την έκδοση του λογιστικού φύλλου, συντάσσεται χρησιμοποιώντας ελληνικό ερωτηματικό αντί για κόμμα, δηλαδή γράφουμε =QUARTILE(C4:C11; 3) αντί =QUARTILE(C4:C11,3) για να ξεχωρίσουμε τα κελιά από το τεταρτημόριο. Το αυτό ισχύει και για τα εκατοστημόρια, τα δεκατημόρια αλλά και για κάθε άλλη συνάρτηση που απαιτείται διαχωρισμός. Για το λόγο αυτό τα δεκαδικά ψηφία αριθμών μέσα σε συνάρτηση διαχωρίζονται με κουκίδα «.» και όχι με κόμμα «,». 38

9 ταξη μιας τιμής επί τοις εκατό σε ένα σύνολο δεδομένων. Πληκτρολογώντας τη σχέση =PERCENTRANK(F3:F10;167) θα αποδώσει 0, 285 ή 28, 5%. Πράγματι, το πλήθος τιμών που είναι μικρότερες από 167 είναι 2 (Εικόνα 1.1) και το πλήθος τιμών πάνω από 167 είναι 5. Επομένως, 2/(2+5)= 0, 285. Επίσης, η συνάρτηση RANK βρίσκει τη σειρά που έχει ένας συγκεκριμένος αριθμός σε ένα σύνολο δεδομένων. Εάν πληκτρολογήσουμε τη σχέση =RANK(167;C4:C11), όπου ζητούμενη είναι η σειρά του αριθμού 167, η περιοχή C4, C11 περιέχει το σύνολο των αριθμών στο οποίο ανήκει και ο αριθμός 167 (πίνακας Εικόνας 5). Το αποτέλεσμα είναι 6. ηλαδή ο αριθμός 167 είναι έκτος στη σειρά αν η αναζήτηση της σειράς του αριθμού γίνει από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο αριθμό. Εάν όμως πληκτρολογήσουμε =RANK(167;C4:C11;1), το αποτέλεσμα είναι τρία. ηλαδή ο αριθμός 167 είναι τρίτος στη σειρά αν η αναζήτηση της σειράς του αριθμού γίνει από το μικρότερο αριθμό προς το μεγαλύτερο Η διακύμανση Ο αριθμητικός μέσος όρος, ενώ μας δίνει σημαντική πληροφορία για το σύνολο των αριθμών που εξετάζουμε, η αξία της αυτής της πληροφορίας μεγαλώνει εάν διαπιστώσουμε ότι κάθε αριθμός έχει μικρή διαφορά από τον αριθμητικό μέσο όρο. Το αριθμητικό παράδειγμα που ακολουθεί επεξηγεί την προηγούμενη παρατήρηση. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τις δύο ομάδες αριθμών του επόμενου πίνακα. Πίνακας 1.3 Ομάδα Α Ομάδα Β Και οι δύο ομάδες έχουν τον ίδιο αριθμητικό μέσο όρο μ=3. Ενώ όμως στην ομάδα Β ο μέσος όρος αντιπροσωπεύει πολύ καλά τους αριθμούς, στην ομάδα Α αυτό δε συμβαίνει. Μας χρειάζεται λοιπόν ένα μέτρο που θα παίρνει υπόψη του τη διαφορά (απόσταση) ενός αριθμού από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ας το δούμε αυτό στον παρακάτω πίνακα. 39

10 Ομάδα Α Απόλυτη απόσταση από το μέσο Πίνακας 1.4 Ομάδα Β Απόλυτη απόσταση από το μέσο = = = = = = 0 Η μέση απόσταση για την ομάδα Α είναι (2+0+2)/3 = 1, 33 και η μέση απόσταση για την ομάδα Β είναι (0+0+0)/3 = 0. Η αξία της χρήσης της μέσης απόλυτης απόστασης, όπως λέγεται, είναι προφανής. Μας πληροφορεί πόσο απέχει κατά μέσο όρο ένας αριθμός από το μέσο όρο. Όμως, όταν επεξεργαζόμαστε αριθμούς είναι περισσότερο βολικό αντί τη μέση απόλυτη απόσταση να υψώνουμε στο τετράγωνο τις αποκλίσεις και στη συνέχεια να υπολογίζουμε το μέσο όρο των τετραγωνισμένων αποκλίσεων. Επομένως, ξαναχρησιμοποιώντας τον Πίνακα 1.4 με τις ομάδες Α και Β θα έχουμε τον επόμενο Πίνακα 1.5. Ομάδα Α ιαφορές από το μέσο όρο υψωμένες στο τετράγωνο Πίνακας 1.5 Ομάδα Β ιαφορές από το μέσο όρο υψωμένες στο τετράγωνο 1 (1 3) 2 = 4 3 (3 3) 2 = 0 3 (3 3) 2 = 0 3 (3 3) 2 = 0 5 (5 3) 2 = 4 3 (3 3) 2 = 0 Ο μέσος όρος των υψωμένων στο τετράγωνο διαφορών καλείται διακύμανση. Η διακύμανση συμβολίζεται ως σ 2 ή ως s 2, εάν εργαζόμαστε με δείγματα. Ο υπολογισμός της διακύμανσης για τις ομάδες Α και Β του Πίνακα 1.5 δίνει τα αποτελέσματα: σ 2 = (4+0+4)/3 =2,66, για την ομάδα Α και σ 2 =(0+0+0)/3 = 0, για την ομάδα Β Μέση απόκλιση τετραγώνου ή τυπική απόκλιση Για να ξεπεράσουμε προβλήματα με τις μονάδες μέτρησης το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στην τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης καλείται τυπική απόκλιση και συμβολίζεται ως σ ή ως s, 40

11 εάν εργαζόμαστε με δείγματα. Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης για τα αριθμητικά δεδομένα του Πίνακα 1.5 είναι για την ομάδα Α και μηδέν για την ομάδα Β. Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι δυο από τα μέτρα διασποράς που χρησιμοποιούμε Εύρος μεταβολής και ημι-ενδοτεταρτημοριακό εύρος Εκτός από διακύμανση και την παραγόμενη από αυτή τυπική απόκλιση, το απλούστερο μέτρο για τη διασπορά είναι το εύρος της μεταβολής. Προκύπτει εύκολα, αρκεί από τη μεγαλύτερη τιμή ενός συνόλου δεδομένων να αφαιρέσουμε τη μικρότερη. Ένα άλλο, επίσης απλό μέτρο, είναι το ημιενδοτεταρτημοριακό εύρος, το οποίο προκύπτει εάν από το τρίτο τεταρτημόριο Q 3 αφαιρέσουμε το πρώτο Q 1 και το αποτέλεσμα το διαιρέσουμε με το δύο. Το μέτρο αυτό, σε αντίθεση με το εύρος, δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές δεδομένων Συντελεστής μεταβλητικότητας Για να εξετάσουμε την απόσταση της τυπικής απόκλισης σε σχέση με τον αριθμητικό μέσο όρο υπολογίζουμε το συντελεστή μεταβλητότητας, ο οποίος προκύπτει αν διαιρέσουμε την τυπική απόκλιση με τον αριθμητικό μέσο όρο. Το συντελεστή μεταβλητικότητας τον συμβολίζουμε ως CV. Για τον υπολογισμό της μέσης απόλυτης απόκλισης, του αθροίσματος απόκλισης τετράγωνων από το μέσο, της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης στο λογιστικό φύλλο excel χρησιμοποιούμε τις παρακάτω συναρτήσεις: AVEDEV είναι η συνάρτηση από την οποία χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό της μέσης απόλυτης απόστασης, DEVSQ η συνάρτηση την οποία χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του αθροίσματος αποκλίσεων τετραγώνων από το μέσο, VARP, VAR είναι οι συναρτήσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τη διακύμανση, STDEVP, STDEV είναι οι συναρτήσεις * τις οποίες χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση. Για τον υπολογισμό του εύρους χρησιμοποιούμε τη διαφορά * Όταν υπολογίζουμε τη διακύμανση ή την τυπική απόκλιση στον πληθυσμό χρησιμοποιούμε τις συναρτήσεις VARP και STDEVP αντίστοιχα. Όταν υπολογίζουμε τη διακύμανση ή την τυπική απόκλιση δείγματος χρησιμοποιούμε τις συναρτήσεις VAR, STDEV για να ληφθούν υπόψη οι βαθμοί ελευθερίας. 41

12 της συνάρτησης MIN από τη συνάρτηση MAX. Εάν χρησιμοποιήσουμε τα αριθμητικά δεδομένα ύψους των 8 φοιτητών του Πίνακα 1.2, για να υπολογίσουμε το εύρος, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητικότητας, θα προκύψει ο πίνακας της Εικόνας 1.2. Εικόνα 1.2 Για να προκύψουν τα αποτελέσματα της Εικόνας 1.2 πληκτρολογήσαμε τις σχέσεις: Πληκτρολογώντας τη σχέση =MAX(C4:C11) MIN(C4:C11), στο κελί C14 προκύπτει το εύρος. Πληκτρολογώντας τη σχέση =DEVSQ(C4:C11), στο κελί C15 προκύπτει το άθροισμα τετραγώνων των αποκλίσεων από το μέσο. Πληκτρολογώντας τη σχέση=avedev(c4:c11), στο κελί C16 προκύπτει η μέση απόλυτη απόκλιση. 42

13 Πληκτρολογώντας τη σχέση =VARP(C4:C11), στο κελί C17 προκύπτει η διακύμανση στον πληθυσμό. Πληκτρολογώντας τη σχέση =STDEVP(C4:C11), στο κελί C18 προκύπτει η τυπική απόκλιση στον πληθυσμό. Πληκτρολογώντας τη σχέση =VAR(C4:C11), στο κελί C19 προκύπτει η διακύμανση δείγματος. Πληκτρολογώντας τη σχέση =STDEV(C4:C11), στο κελί C20 προκύπτει η τυπική απόκλιση σε δείγμα. Πληκτρολογώντας τη σχέση ο συντελεστής μεταβλητικότητας., στο κελί C21 προκύπτει Απλή συχνότητα Αθροιστική συχνότητα Η διαχείριση μικρού πλήθους αριθμών δεν είναι μια ιδιαίτερα δύσκολη υπόθεση. Η δυσκολία αυξάνει όσο το πλήθος των αριθμών αυξάνει. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε καταχωρίσει στο λογιστικό φύλλο τις εβδομαδιαίες αποδοχές σε ευρώ 200 εργαζομένων (Εικόνα 1.3). Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι τα αριθμητικά δεδομένα, όπως έχουν παρατεθεί, είναι δύσχρηστα *. Εάν όμως τα αριθμητικά δεδομένα παρατεθούν με τρόπο διαφορετικό, είναι δυνατόν να αντληθεί χωρίς δυσκολία πλήθος από χρήσιμες πληροφορίες. Εάν παρατηρήσουμε τα δεδομένα μας, θα δούμε ότι μερικές από τις τιμές των εβδομαδιαίων αποδοχών επαναλαμβάνονται περισσότερες από μια φορά. Για παράδειγμα, εάν μετρήσουμε, θα δούμε ότι 8 εργαζόμενοι από τους 200 λαμβάνουν ως εβδομαδιαίες αποδοχές 100 ευρώ, 19 εργαζόμενοι λαμβάνουν ως εβδομαδιαίες αποδοχές 102, 7 εργαζόμενοι λαμβάνουν ως 115 ευρώ εβδομαδιαίες αποδοχές κ.λπ.. Επομένως, ο πίνακας αποδοχών της Εικόνας 1.3 μπορεί να πάρει τη μορφή του παρακάτω Πίνακα 1.6. * Οι συναρτήσεις που έχουμε ως τώρα αναφέρει μπορούν να εφαρμοστούν κατευθείαν στα δεδομένα της Εικόνας 1.3. Εάν για παράδειγμα πληκτρολογήσουμε τη σχέση =AVERAGE(B3:K22), θα προκύψει η αριθμητική τιμή του μέσου όρου των δεδομένων. 43

14 Εικόνα 1.3 Εβδομαδιαίες αποδοχές (Ευρώ) Πίνακας Πλήθος εργαζομένων Η δεύτερη γραμμή του Πίνακα 1.6 μας δίνει την απόλυτη συχνότητα. ηλαδή πόσες φορές εμφανίζεται μια τιμή των εβδομαδιαίων αποδοχών. Κατά άλλη διατύπωση πόσοι εργαζόμενοι λαμβάνουν εβδομαδιαίες αποδοχές ίσες με 100 ευρώ, 102 ευρώ κ.λπ. Ο Πίνακας 1.6, που κατασκευάσαμε, ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων και συνήθως έχει τη διάταξη του Πίνακα 1.7, έχοντας τόσο τη στήλη της απόλυτης αλλά και της σχετικής (%) συχνότητας. 44

15 Τιμές x i της μεταβλητής X (Εβδομαδιαίες αποδοχές) Πίνακας 1.7 Απόλυτη Συχνότητα f i των τιμών της μεταβλητής X Σχετική Συχνότητα f i % των τιμών της μεταβλητής X % % % % % % % Σύνολο= 200 Σύνολο=100% Εκτός από την έννοια της συχνότητας των τιμών f i, έχουμε και την έννοια της αθροιστικής συχνότητας των τιμών F i. Η αθροιστική συχνότητα μας δίνει το αποτέλεσμα εμφάνισης τιμών μέχρι και μιας συγκεκριμένης τιμής. Για παράδειγμα, το πλήθος των εργαζομένων που λαμβάνουν εβδομαδιαίες αποδοχές μέχρι και 104 ευρώ είναι = 62. Ο αριθμός αυτός είναι η τιμή της ζητούμενης αθροιστικής συχνότητας, η οποία μπορεί να είναι απόλυτη ή σχετική (%), οπότε ο Πίνακας 1.7, αν συμπεριλάβει και την αθροιστική συχνότητα, μας δίνει τον Πίνακα 1.8. x i f i f i % Πίνακας 1.8 Απόλυτη αθροιστική συχνότητα F i των τιμών της μεταβλητής x i Σχετική αθροιστική συχνότητα F i % των τιμών της μεταβλητής x i % 8 4.0% % % % % % % % % % % % % % 45

16 Η αθροιστική συχνότητα, που υπολογίστηκε προηγουμένως, ονομάζεται δεξιόστροφη. Εύκολα προκύπτει ότι η δεξιόστροφη συχνότητα είναι ίση με: F i = f i + F i-1 όπου F 1 = f 1 και i = 1, 2, 3,. Εκτός από τη δεξιόστροφη αθροιστική συχνότητα έχουμε και την αριστερόστροφη. Η αριστερόστροφη αθροιστική συχνότητα, την οποία συμβολίζουμε ως Φ i, μας δίνει το πλήθος των παρατηρήσεων πάνω από μια συγκεκριμένη τιμή. Η αριστερόστροφη συχνότητα είναι ίση με Φ i = N - F i, όπου Ν είναι το συνολικό πλήθος των δεδομένων μας. Για να κατασκευάσουμε τον Πίνακα 1.8 χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά δεδομένα εβδομαδιαίων αποδοχών των 200 εργατών που έχουν καταχωρισθεί στο λογιστικό φύλλο (Εικόνα 1.3), θα χρησιμοποιήσουμε τις συναρτήσεις: COUNT, COUNTIF, MAX, MIN, FREQUENCY. Τρόπος Α: με τη χρήση των συναρτήσεων COUNT, COUNTIF, MAX, MIN. Πληκτρολογώντας τη σχέση =COUNT(B3:K22), προκύπτει το πλήθος των εργαζομένων (Εικόνα 1.4). Πληκτρολογώντας τη σχέση =MAX(B3:K22), προκύπτει η μεγαλύτερη τιμή των εβδομαδιαίων αποδοχών (Εικόνα 1.4). Πληκτρολογώντας τη σχέση =MIN(B3:K22), προκύπτει η μικρότερη τιμή των εβδομαδιαίων αποδοχών (Εικόνα 1.4). Γνωρίζουμε επομένως ότι οι αποδοχές των εργαζομένων είναι από 100 έως και 115 ευρώ. Στη συνέχεια, καταχωρούμε όπως στην Εικόνα 1.4 τις αποδοχές 100, 102, 104 κ.λπ. ως και 115 ευρώ (κελί B28 έως και κελί K28). Πληκτρολογώντας τη σχέση =COUNTIF($B$3:$K$22; =100 ) η συνάρτηση COUNTIF θα μετρήσει στην περιοχή κελιών B3, K22 πόσες φορές υπάρχει ο αριθμός 100. Χρησιμοποιώντας την ίδια συνάρτηση και αλλάζοντας τον αριθμό προκύπτει πόσες φορές υπάρχει ο αριθμός 102, 104 κ.λπ. (Εικόνα 1.4 από κελί B29 έως και H29). Το άθροισμα των συχνοτήτων είναι ίσο με 200 (κελί I29). 46

17 Εικόνα 1.4 Η αθροιστική συχνότητα είναι εύκολο να προκύψει με απλή άθροιση. Προκύπτει πληκτρολογώντας τη σχέση =B30+C29 και αντιγράφοντάς την από το κελί C30 ως και το κελί H30. Να σημειώσουμε ότι για λόγους οπτικής παρουσίασης των αποτελεσμάτων ο πίνακας με τις συχνότητες στην Εικόνα 1.4 έχει παρατεθεί σε διάταξη γραμμών και όχι στηλών, όπως είναι ο Πίνακας 1.8. Τρόπος Β: με τη χρήση της συνάρτησης FREQUENCY Η συνάρτηση FREQUENCY δίνει την αθροιστική συχνότητα κατευθείαν, αρκεί και εδώ να υπάρχουν οι τιμές για τις οποίες είναι ζητούμενο η συχνότητά τους. Εάν πληκτρολογήσουμε τη σχέση =FREQUENCY($B$3: $K$22;B$28:$H28) στο κελί B31 και την αντιγράψουμε έως και το κελί H31, θα προκύψουν οι τιμές της αθροιστικής συχνότητας * (Εικόνα 1.4). * Τα άγκιστρα $ χρησιμοποιούνται για να «παγιδεύσουν» την περιοχή δεδομένων στην οποία θα γίνει χρήση μιας σχέσης. 47

18 Με απλή αφαίρεση προκύπτουν οι τιμές της απλής συχνότητας *. Εάν πληκτρολογήσουμε τη σχέση =C31 B31 στο κελί C32 και την αντιγράψουμε έως και το κελί H32, θα προκύψουν οι τιμές της απλής συχνότητας (Εικόνα 1.4) Κάνοντας ομάδες τα αριθμητικά δεδομένα Ας εξετάσουμε μια νέα σειρά από αριθμητικά δεδομένα εβδομαδιαίων αποδοχών 200 εργαζομένων, τα οποία έχουν καταχωρισθεί στο λογιστικό φύλλο και παρουσιάζονται στην Εικόνα 1.5. Εικόνα 1.5 Εύκολα μπορούμε να διακρίνουμε ότι μεταξύ εβδομαδιαίων αποδοχών ύψους 150 και 154 ευρώ έχουν καταγραφεί και αποδοχές ύψους: 151, * Εκτός από την ισότητα «=» η συνάρτηση COUNTIF μπορεί να συνταχθεί και με σύμβολα όπως «>=», δηλαδή μεγαλύτερο ή ίσο. Εάν για παράδειγμα πληκτρολογήσουμε τη σχέση =COUNTIF($B$3:$K$22; >=102 ), θα αποδώσει όλους τους αριθμούς της Εικόνας 1.4 που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από τον αριθμό 102. Το αποτέλεσμα είναι 192. Εάν πληκτρολογήσουμε τη σχέση =COUNTIF($B$3: $K$22; >102 ), θα αποδώσει όλους τους αριθμούς της Εικόνας 6.1 που είναι μεγαλύτεροι από τον αριθμό 102. Το αποτέλεσμα είναι

19 152, 153, 154 ευρώ. ηλαδή η καταγραφή είναι περισσότερο λεπτομερής συγκρινόμενη με τα δεδομένα αποδοχών, όπως έχουν καταχωριθεί στην Εικόνα 1.5. Όταν έχουμε καταγραφές με αρκετή λεπτομέρεια, πολλές φορές είναι περισσότερο χρήσιμο αντί να παρουσιάζουμε όλη τη λεπτομέρεια, όπως έχει καταγραφεί, που πολλές φορές δεν προσφέρει επιπλέον πληροφορίες, να κατασκευάζουμε ομάδες. Οι ομάδες αυτές καλούνται τάξεις (classes). Παραδείγματος χάρη, αντί να παρουσιάσουμε αναλυτικά τις αποδοχές 150, 151, 152, 153, 154 παρουσιάζουμε την τάξη από 150 ως και 154 ευρώ. Η τάξη συνοδεύεται και από την πληροφορία του πλήθους (συχνότητα) των εργαζομένων που έχουν αποδοχές εβδομαδιαίες από 150 ως και 154 ευρώ. Έτσι, η πληροφορία ότι: αποδοχές από 150 ως και 154 ευρώ έχουν 8 εργαζόμενοι είναι περισσότερο χρήσιμη. Η κατασκευή ενός τέτοιου πίνακα θα έχει την παρακάτω γενική μορφή: Τάξεις αποδοχών Αριθμός εργαζομένων που ανήκουν στην τάξη (συχνότητα f) Από 150 ως και 154 ευρώ 8 Από 155 ως και 159 ευρώ 10 κ.λπ. κ.λπ. Κάθε τάξη έχει δύο ακραίες τιμές (κάτω όριο και άνω όριο της τάξης), μεταξύ των οποίων είναι κατανεμημένες οι ενδιάμεσες τιμές. Για παράδειγμα, η τιμή 150 ευρώ είναι το κάτω όριο της τάξης και η τιμή 154 ευρώ είναι το άνω όριο της τάξης. Η διαφορά = 4 καλείται εύρος της τάξης και η τιμή ( ) / 2 = 152 καλείται κεντρική τιμή της τάξης. Η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης τιμής αποδοχών των 200 εργαζομένων και της μικρότερης τιμής αποδοχών των 200 εργαζομένων καλείται εύρος της κατανομής τάξεων. Στο παράδειγμά μας, από την Εικόνα 1.5 έχουμε μεγαλύτερη τιμή αποδοχών 194 ευρώ και μικρότερη τιμή αποδοχών 150 ευρώ. Η διαφορά, = 44 ευρώ, είναι το εύρος της κατανομής. Οι δυνατές περιπτώσεις με τα όρια της κατανομής των τάξεων έχουν καταχωρισθεί στον επόμενο Πίνακα

20 Πίνακας 1.9 Τάξεις κλειστής κατανομής πάνω και κάτω Τάξεις ανοικτής από τα κάτω κατανομής Τάξεις ανοικτής από τα άνω κατανομής Τάξεις ανοικτής από τα κάτω και τα άνω κατανομής α 0 α 1.Έως και α 1 α 0 α 1.Έως και α 1 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 2 α 3 α 2 α 3 α 2 α 3 α 2 α 3 α 3 α 4 α 3 α 4 α 3 α 4 α 3 α 4 α 4 α 5 α 4 α 5 α 4 α 5 α 4 α α k-1 α k α k-1 α k α k-1 και άνω α k-1 και άνω Έχοντας υπόψη τα προηγούμενα, ας εξετάσουμε περισσότερο προσεκτικά το πρόβλημα της ομαδοποίησης των δεδομένων. Σε ένα σύνολο διαθέσιμων αριθμητικών δεδομένων, που θα επεξεργαστούμε, υπάρχει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή μεταξύ των οποίων κατανέμονται οι υπόλοιπες τιμές των αποδοχών. Στο παράδειγμά της Εικόνας 1.5 η μεγαλύτερη τιμή είναι τα 194 ευρώ και η ελάχιστη τιμή είναι τα 150 ευρώ. Το διάστημα από 150 ευρώ ως και 194 ευρώ είναι δυνατό να διαιρεθεί με αρκετούς τρόπους σε μικρότερα διαστήματα για να κατασκευάσουμε τις τάξεις και την κατανομή συχνοτήτων των τάξεων. Γενικότερα, το πρόβλημα του πώς κατασκευάζονται οι τάξεις και πόσες τάξεις θα κατασκευάσουμε είναι συνάρτηση του προβλήματος που καλούμαστε να λύσουμε του πλήθους και της φύσης των διαθέσιμων δεδομένων. Γενικά, μπορούμε να έχουμε υπόψη τα παρακάτω: Για να προσδιορίσουμε ποιο θα είναι το εύρος των τάξεων, χρησιμοποιούμε τον παρακάτω εμπειρικό κανόνα. Όπου δ είναι το εύρος των τάξεων. Max(x) είναι η μεγαλύτερη τιμή των διαθέσιμων δεδομένων μας και Min(x) είναι η μικρότερη τιμή των διαθέσιμων δεδομένων. Ν είναι το πλήθος των δεδομένων. Επίσης, σχετικά με το πλήθος των τάξεων μπορούμε να ακολουθήσουμε τις παρακάτω εμπειρικές υποδείξεις σε συνδυασμό με την εμπειρική σχέση 50

21 ότι το πλήθος τάξεων είναι περίπου ίσο με την τετραγωνική ρίζα του πλήθους των δεδομένων, συνεπώς: 5 ως 9 τάξεις είναι αρκετές, όταν N < ως 12 τάξεις είναι αρκετές, όταν 100 < N < ως 20 τάξεις είναι αρκετές, όταν N > 250. Σύμφωνα λοιπόν με τα δεδομένα του πίνακα της Εικόνας 1.5, η μικρότερη τιμή αποδοχών είναι τα 150 ευρώ και η μεγαλύτερη είναι 194 ευρώ. Οι ομάδες που θα κατασκευάσουμε θα αρχίσουν με τα 150 ευρώ και θα τελειώσουν με τα 194 ευρώ με εύρος 4 ευρώ. Λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα, κατασκευάζουμε τον Πίνακα 1.10 που ακολουθεί. Κάτω όριο τάξης Άνω όριο τάξης Πίνακας 1.10 Κεντρική τιμή τάξης Συχνότητα f Αθροιστική συχνότητα F Σύνολο=200 Εάν τον Πίνακα 1.10 θελήσουμε να το κατασκευάσουμε στο λογιστικό φύλλο, θα πρέπει να προσέξουμε ώστε να οριστούν οι άνω και κάτω τιμές των τάξεων, για να είναι δυνατός ο υπολογισμός της κεντρικής τιμής *. Στο λογιστικό φύλλο θα προκύψει ο πίνακας της Εικόνας 1.6. * Να σημειώσουμε ότι, όταν τα δεδομένα μας είναι ομαδοποιημένα, οι τιμές x i, δηλαδή οι τιμές x 1, x 2, x 3,, x n τις οποίες χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του μέσου όρου και της διακύμανσης, είναι οι κεντρικές τιμές των τάξεων. Επίσης, να σημειώσουμε ότι ο μέσος όρος στην περίπτωση των ομαδοποιημένων σε τάξεις δεδομένων υπολογίζεται μόνο στην περίπτωση που η κατανομή τάξεων είναι κλειστή. 51

22 Εικόνα 1.6 Η στήλη της αθροιστικής συχνότητας προκύπτει από την αντιγραφή της σχέσης: =FREQUENCY($B$3:$K$22;$D29:D$37) από το κελί G29 έως και το κελί G37. Τα κελιά Β3:K22 είναι η περιοχή δεδομένων του πίνακα της Εικόνας 1.5. Τέλος, οι τιμές συχνότητας και οι κεντρικές τιμές τάξεων προκύπτουν από την αντιγραφή στα ανάλογα κελιά των =G30 G29 και =(C29+D29)/2 σχέσεων, αντίστοιχα Τα εργαλεία: ιστόγραμμα τάξη και εκατοστημόρια To λογιστικό φύλλο excel διαθέτει μια πολύ ισχυρή συλλογή εργαλείων η οποία είναι διαθέσιμη μέσω του analysis tool pack. Για να είναι δυνατή η πρόσβαση στο analysis tool pack, θα πρέπει να έχει γίνει η επιλογή της εγκατάστασής του, όταν γίνεται η εγκατάσταση του excel. Στη συνέχεια, από την επιλογή εργαλεία (tools), ενεργοποιώντας την ανάλυση δεδομένων (data analysis), θα εμφανιστεί η παρακάτω Εικόνα 1.7. Το εργαλείο Ιστόγραμμα το χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε έναν πίνακα κατανομής συχνοτήτων, όπως τον πίνακα της Εικόνας 1.8. Επιπλέον, μας δίνει τη δυνατότητα να παρουσιάσουμε τη κατανομή συχνοτήτων σε φθίνουσα σειρά. Τέλος, δίνει τη δυνατότητα και της γραφικής απεικόνισης κατασκευάζοντας ένα ιστόγραμμα. 52

23 Εικόνα 1.7 Ας δούμε βήμα-βήμα πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εργαλείο Ιστόγραμμα, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα αποδοχών της Εικόνας 1.5. Βήμα 1: Από την επιλογή εργαλεία του λογιστικού φύλου ενεργοποιούμε την ανάλυση δεδομένων. Βήμα 2: Θα εμφανιστεί το παράθυρο της Εικόνας 1.7, θα επιλέξουμε Ιστόγραμμα και στη συνέχεια θα ενεργοποιήσουμε την επιλογή μας από το κουμπί OK. Βήμα 3: Θα εμφανιστεί το παράθυρο της Εικόνας 1.8 και θα συμπληρώσουμε τα κενά πεδία: Περιοχή εισόδου, Περιοχή κλάσης δεδομένων *, Περιοχή εξόδου. Κατόπιν επιλέγουμε τι θέλουμε ως έξοδο (Εικόνα 1.8). Η περιοχή εισόδου $B$3:$K$22 είναι η περιοχή με τα δεδομένα των αποδοχών της Εικόνας 1.5. Ως περιοχή κλάσης δεδομένων καταχωρίζουμε στα κελιά $Μ$4:$Μ$12 τις άνω τιμές των τάξεων της Εικόνας 1.6, δηλαδή τις τιμές: 154, 159, 164,, 189, 194. Για έξοδο επιλέγουμε το κελί $Ν$3. Το αποτέλεσμα της εξόδου είναι ο παρακάτω πίνακας της Εικόνας 1.9 και το γράφημα της Εικόνας * Εάν δε συμπληρώσουμε την περιοχή κλάσης δεδομένων, το excel τη συμπληρώνει αυτόματα. Θα δημιουργήσει αριθμό τάξεων ίσο με τη τετραγωνική ρίζα του πλήθους των δεδομένων. 53

24 Εικόνα 1.8 Εικόνα 1.9 Στο αποτέλεσμα ξανά παρουσιάζεται η περιοχή κλάσης δεδομένων (στήλη Ν). ίπλα παρουσιάζεται η συχνότητα (στήλη Ο) και κατόπιν η σχετική αθροιστική συχνότητα. 54

25 Ο πίνακας διαβάζεται ως εξής: Μέχρι και 154 ευρώ αποδοχές έχουμε 8 εργαζόμενους, από 155 ευρώ ως και 159 ευρώ 11 εργαζόμενους κ.λπ. Η επόμενη εικόνα παρουσιάζει τη γραφική παράσταση του ιστόγραμμου και την καμπύλη της αθροιστικής συχνότητας. Εικόνα 1.10 Εάν είχαμε επιλέξει ταξινομημένο ιστόγραμμα (Pareto), θα είχαμε τον πίνακα της Εικόνας Εικόνα

26 Το νέο στοιχείο είναι ότι στη στήλη R οι συχνότητες παρουσιάζονται από τη μεγαλύτερη προς την μικρότερη: 70 > 32 > > 8. Εάν ενδιαφερόμαστε, για τη θέση (σειρά) ενός αριθμού και την ποσοστιαία του κατάταξη σε ένα σύνολο από δεδομένα, μπορούμε να εργασθούμε με το εργαλείο Τάξη και εκατοστημόρια μέσω της ανάλυσης δεδομένων. Βήμα-βήμα θα έχουμε: Βήμα 1: Από την επιλογή εργαλεία του λογιστικού φύλου ενεργοποιούμε την ανάλυση δεδομένων. Βήμα 2: Θα εμφανιστεί το παράθυρο της Εικόνας Θα επιλέξουμε Τάξη και εκατοστημόρια και στη συνέχεια θα ενεργοποιήσουμε την επιλογή μας από το κουμπί OK. Βήμα 3: Θα εμφανιστεί το παράθυρο της Εικόνας 1.13 και θα συμπληρώσουμε τα κενά πεδία: Περιοχή εισόδου, Περιοχή εξόδου. Εικόνα 1.12 Ως περιοχή εισόδου έχουμε επιλέξει τις δυο πρώτες στήλες του πίνακα της Εικόνας 1.5. Το αποτέλεσμα της εξόδου είναι ο πίνακας της Εικόνας 1.14 που ακολουθεί. 56

27 Εικόνα 1.13 Εικόνα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Τα μέτρα διασποράς χρησιμεύουν για τη μέτρηση των περιφερειακών ανισοτήτων. Τα περιφερειακά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοτική Ποιοτική ιακριτή ή ασυνεχής (dscrete qutttve vrble (Πεπερασµένο πλήθος πιθανών τιµών Άπειρο αλλά αριθµήσιµο πλήθος πιθανών τιµών Συνεχής (cotuous qutttve

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"

Περιγραφική Στατιστική. Π.Μ.Σ. Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Περιγραφική Στατιστική Παράδειγμα Γίνεται μια μελέτη για τους τραυματισμούς στο μάτι (σοβαροί ή όχι τόσο σοβαροί) κατά τη διάρκεια αγώνων τέννις, squash, badminton και ρακέτας. Σοβαρός Τραυματισμός Επιπόλαιος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας Μαθητή Τίτλος: Γίνομαι Ερευνητής/Ερευνήτρια

Φύλλο Εργασίας Μαθητή Τίτλος: Γίνομαι Ερευνητής/Ερευνήτρια Φύλλο Εργασίας Μαθητή Τίτλος: Γίνομαι Ερευνητής/Ερευνήτρια Τάξη: Γ Γυμνασίου Ενότητα: Επικοινωνώ και Συνεργάζομαι σε Διαδικτυακά Περιβάλλοντα Λύνω Προβλήματα με Υπολογιστικά Φύλλα Μάθημα: Επεξεργασία Ηλεκτρονικού

Διαβάστε περισσότερα