ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00

2

3 Στη γυναίκα μου Παναγιώτα και στα παιδιά μου Έφη και Ζέτα

4

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις" άρχισε να γράφεται από το 994 με σκοπό να αποτελέσει ένα όσο το δυνατό πιο πλήρες βοήθημα για τους Β ετείς φοιτητές του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Ελπίζουμε ότι η σημερινή μορφή του εκπληρώνει τον σκοπό αυτό. Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στις μαθηματικές μεθόδους για την επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων αποφεύγοντας εκείνες τις αποδείξεις, των οποίων η έκταση και η στρυφνότητα είναι κουραστικές για ένα μη μαθηματικό αναγνώστη. Προσπαθήσαμε αυτό να γίνει όχι σε βάρος της μαθηματικής αυστηρότητας. Στο βιβλίο αυτό συμπεριλαμβάνονται και κεφάλαια τα οποία δεν είναι δυνατό να διδαχθούν μέσα στα χρονικά όρια των τεσσάρων διδακτικών ω- ρών, αλλά ελπίζουμε ότι ο αναγνώστης θα βρει αργότερα το χρόνο και το ενδιαφέρον να τα μελετήσει. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Οι λύσεις των ασκήσεων αυτών βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. Τα τελευταία χρόνια προσπαθήσαμε να δώσουμε τις λύσεις αυτές με την βοήθεια του μαθηματικού πακέτου Maple. Ο λόγος είναι απλός. Όπως πριν μερικά χρόνια άρχισε να θεωρείται «αγράμματος» όποιος δεν ήξερε να χρησιμοποιεί τον υπολογιστή, έτσι και σήμερα όποιος ασχολείται με τις θετικές επιστήμες και δεν έχει αρχίσει να μαθαίνει και να χρησιμοποιεί κάποιο μαθηματικό πακέτο κινδυνεύει να χαρακτηριστεί «αγράμματος». Από την άλλη πλευρά πολύ γρήγορα διαπιστώνει κανείς τις μεγάλες δυνατότητες που προσφέρουν τα μαθηματικά πακέτα, με την βοήθεια των οποίων βλέπει κανείς και κατανοεί αρκετά χαρακτηριστικά των διαφορικών εξισώσεων, που με τις παραδοσιακές μεθόδους θα ήταν αρκετά δύσκολο αν όχι και αδύνατο να το επιτύχει. Για να μπορέσει ο αναγνώστης να εξοικειωθεί με την σύνταξη των διαφόρων εντολών του Maple, παραθέτουμε στο παράρτημα Α τις κυριότερες εντολές που μπορεί να χρειασθεί για την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης

6 Πολλές εφαρμογές των Κεφαλαίων 3,4,5,0,, και 3 ελήφθησαν από την διπλωματική εργασία «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Φυσική» του διδάκτορος φυσικού Γιώργου Κατσάρου, τον οποίο ευχαριστώ. Τέλος δε, θα ήμουν υποχρεωμένος σε οποιονδήποτε που θα μου υποδείκνυε κάποιο φραστικό ή υπολογιστικό λάθος αλλά και παραλήψεις για τις οποίες είμαι ο μοναδικός υπεύθυνος Πάτρα 009 Δ. Σ. Σουρλάς

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε..... ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ A ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ΗΣ ΤΑΞΗΣ Β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΗΣ Δ.Ε. ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Γ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ d α+ β+ γ 3.A ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: = d α + β + γ 3.B ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΩΝ ΟΜΟΓΕΝΩΝ Δ. Ε ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ TΑΞΗΣ A ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΣ Η ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΛΑΓΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI ( ) A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ RICATTI ( ) A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ. Ε. ΤΟΥ RICATTI OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ EULER).. 89

8 4. ΓΕΝΙΚΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΝΟΥΝ ΤΟΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΩΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΑΠΕΙΡΟΥΣ ΑΛΛΟΥΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ. Ε. N ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ WRONSKI ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΗΣ Δ.Ε. Y +A(X)Y +A(X)Y= ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ N> ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Ή ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ) Αρμονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση ) Αρμονική ταλάντωση με απόσβεση ) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση ) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με απόσβεση ) Εξισώσεις Lagrange ) Κύκλωμα RLC ) Σκέδαση σωματιδίου σε ένα ορθογώνιο σκαλοπάτι δυναμικού ( ) Kίνηση υλικού σημείου σε κεντρικό πεδίο ) Κίνηση ομογενούς ελατηρίου Η ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΤΟΥ WRONSKI ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 59

9 6. ΓΕΝΙΚΑ O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Y=GY ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΟΥ Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ L(D) ΓΕΝΙΚΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ L(D) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE ) ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ Δ.Ε. ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΣ... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 9 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 3 9. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΣ Ή ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ Δ.Ε. ΗΣ ΤΑΞΕΩΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ) ΟΠΤΙΚΗ ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ - Λογισμός των Μεταβολών ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ N ΤΑΞΗΣ ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Προσδιορισμός του βέλους και της ροπής κάμψης δοκαριού ) ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ) Ελεύθερη πτώση από πολύ μεγάλο ύψος... 5

10 ) Λογισμός των Μεταβολών. Το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου με μια διαφορετική προσέγγιση ) Κίνηση χάντρας σε κυκλοειδή καμπύλη ) Κίνηση πλοίου ) Κίνηση πλοίου ) Σχήμα ομογενούς χορδής ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ. Ε. EULER ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ α) Το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε χώρο χωρίς φορτία β) Δυναμικό διόδου ηλεκτρονικής λυχνίας ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Σ Τ Ω Ν Σ Ε Ι Ρ Ω Ν ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΓΕΝΙΚΑ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. Y (X)+P(X)Y (X)+Q(X)Y(X)= H ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ SCHRÖDINGER ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΗERMITE ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ LEGENDRE ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ LEGENDRE Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ FROBENIOUS (849-97) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Ι) Δ.Ε. BESSEL ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Περιγραφή μικρών ταλαντώσεων εκκρεμούς με αυξανόμενο μήκος ) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ α) Σφαιρικό πηγάδι δυναμικού ) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. β) Κίνηση σωματιδίου μάζας m σε κεντρικό r δυναμικό της μορφής Vr () = Ve o α II) Δ.Ε. LEGENDRE ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Εύρεση ηλεκτροστατικού δυναμικού ΙΙΙ Δ.Ε. LAGUERRE

11 ) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ IV Δ.Ε. AIRY ) KBANTOMHXANIKH. Κίνηση σωματιδίου σε λεία επίπεδη επιφάνεια στο πεδίο βαρύτητας της γης V ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Κίνηση ηλεκτρονίων αγωγιμότητας ενός μετάλλου 368 VI ΣΥΜΒΑΛΛΟΥΣΑ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φάσμα ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ) Συνεζευμένοι αρμονικοί ταλαντωτές ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ) Το πρόβλημα αναμείξεως δυο δεξαμενών ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Χρονική εξέλιξη των τελεστών της θέσης και της ορμής στην εικόνα Heisenberg στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή 48 3 Η ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΓΕΝΙΚΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΝΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

12 4.3 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ OΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ο Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ Ζ- ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΟ ΧΑΟΣ ΓΕΝΙΚΑ Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΩΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγραφος Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Παράγραφος Παράγραφος 3.Α Παράγραφος ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος

13 Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 0 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Παράγραφος ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

14 Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΝΤΟΛΕΣ ΤΟΥ MAPLE ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΟ MAPLE B. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΟ MAPLE B. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ B.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ B.4 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Β.6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (Π.Α.Τ) Β.7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ Π.Α.Τ Β.8 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΟΣ Π.Α.Τ Β.9 ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΤΟΛΗΣ ODEADVISOR ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΑΣ Σ.Δ.Ε ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΙΧΜΗΣ ΚΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΕΛΤΑ Δ(X) ΤΟΥ DIRAC Γ.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΝ ΤΗΝ Δ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ.3 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Δ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ-4 ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γ-5 ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γ-6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ

15 Δ- O ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (THE COMPLEX INVERSION FORMULA) Δ- ΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ BROMWICH Δ-3 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE Δ-4 ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ BROMWICH ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΩΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ GREEN Ε. ΓΕΝΙΚΑ E. ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

16

17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος σκοπός της Επιστήμης είναι η κατανόηση της Φύσης, (με την πλατιά της έννοια), μέσα στην οποία ζούμε. Και η κατανόηση αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη των διαφόρων φαινομένων, (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών,...). Στη μελέτη αυτή πρωταρχικό ρόλο έχουν τα Μαθηματικά. Από αρχαιοτάτων χρόνων είχε γίνει αντιληπτό ότι τίποτα δεν παραμένει σταθερό, όλα αλληλένδετα μεταβάλλονται, όπως επιγραμματικά μας το εκφράζει το γνωστό ρητό του Ηράκλειτου ( π.χ.), "Πάντα ρει, πάντα χωρεί καί ουδέν μένει", ( Όλα ρέουν και αλλάζουν και τίποτα δεν παραμένει σταθερό). Η ταχύτητα ενός σώματος, που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας αλλάζει με το χρόνο. Η αεροδυναμική αντίσταση ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα. Η θέση της Γης, όπως και των άλλων πλανητών, αλλάζει με το χρόνο σε σχέση με τον Ήλιο. Το κύρτωμα μιας δοκού εξαρτάται από το βάρος, που την καταπονεί. Ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται με την ακτίνα του. Επειδή όμως τα περισσότερα φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο. Γι' αυτό προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα, (μοντέλα), κάνοντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν. Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που πιστεύουμε ότι επιδρούν λίγο, ή και καθόλου, στην εξέλιξη του φαινομένου. Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους. Κατ' αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο παίρνει τη μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της. Η συναρτησιακή αυτή σχέση ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση, (Δ.Ε.). Στη συνέχεια ο σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τις μαθηματικές ιδιότητες του προτύπου με την ανάλυση της αντίστοιχης Διαφορικής Εξίσωσης και, αν είναι δυνατόν, με τον υπολογισμό των λύσεων αυτής, έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να εξηγήσουμε την συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων, που παρατηρούμε, και να προβλέψουμε την συμπεριφορά νέων φυσικών φαινομένων. Το μέρος αυτό της μελέτης αποτελεί τον τεράστιο κλάδο των σύγχρονων μαθηματικών που καλύπτει ο όρος "Διαφορικές Εξισώσεις". Σε πιο πολύπλοκα φαινόμενα, δεν χρησιμοποιούμε μόνο μια διαφορική εξίσωση, αλλά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όπως στην περίπτωση ενός ηλεκτρικού δικτύου πολλών κυκλωμάτων ή σε μια χημική αντίδραση όπου αλληλεπιδρούν πολλές χημικές ουσίες.

18 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο τρόπος, με τον οποίον οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις, για την κατανόηση των φυσικών φαινομένων, χαρακτηρίζεται από τρία βήματα. α) Στο πρώτο βήμα συλλέγουμε δεδομένα που αφορούν το πρόβλημά μας. β) Το δεύτερο βήμα, που ονομάζεται διαδικασία δημιουργίας του προτύπου, απαιτεί γενικά μεγάλη επιδεξιότητα και εμπειρία. Εδώ πρέπει να ορίσουμε το μαθηματικό πρότυπο, (που συχνά περιέχει μια διαφορική εξίσωση), το οποίο περιγράφει το πραγματικό φαινόμενο, όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Συγχρόνως όμως πρέπει το μαθηματικό αυτό πρότυπο να είναι διατυπωμένο κατά τέτοιον τρόπο, που να μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές μαθηματικές μέθοδοι. γ) Στο τρίτο και τελευταίο βήμα πρέπει να λύσουμε το μαθηματικό πρόβλημα, δηλ. να ασχοληθούμε με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, και να συγκρίνουμε την λύση αυτή με τις πειραματικές μετρήσεις. Εάν η μαθηματική λύση συμφωνεί με τις παρατηρήσεις, τότε λέμε ότι το φυσικό πρόβλημα έχει λυθεί μαθηματικά ή ότι η θεωρία έχει επαληθευθεί. Στην αντίθετη περίπτωση δυο πράγματα μπορούν να συμβαίνουν: ή οι παρατηρήσεις είναι εσφαλμένες, ή το πρότυπο είναι ανακριβές και θα πρέπει να τροποποιηθεί. Για την τελευταία περίπτωση κλασικό παράδειγμα αποτελεί το "πρότυπο", του νόμου της κίνησης, που περιγράφεται από την εξίσωση του Newton. Ο νόμος αυτός είναι ακριβής για μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Αλλά για μεγάλες ταχύτητες ο νόμος του Einstein είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια απλή και σαφής σχέση μεταξύ των μαθηματικών μοντέλων και της πραγματικότητας. Φυσική πραγματικότητα Σύγκριση Προβλέψεις Δεδομένα Νόμοι Τεχνικές Φυσική προσέγγιση Μαθηματικά πρότυπα Εκτός από τη Διαφορική Εξίσωση, ένα μαθηματικό πρότυπο, περιέχει βοηθητικές συνθήκες που επιβάλλονται από το συγκεκριμένο πρόβλημα και κατά συνέπεια απαιτούνται από τις λύσεις της Διαφορικής Εξίσωσης. Ο συνηθέστερος τύπος βοηθητικών συνθηκών δίνεται με τον καθορισμό της τιμής της άγνωστης συνάρτησης, ή και παραγώγων αυτής, σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της λύσης. Οι συνθήκες αυτού του τύπου ονομάζονται

19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 αρχικές συνθήκες. Αν οι βοηθητικές συνθήκες δίνονται σε περισσότερα από ένα σημεία του πεδίου ορισμού της λύσης, τότε λέγονται συνοριακές συνθήκες. Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ρόλος των βοηθητικών συνθηκών ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα από τη Φυσική. Αν μια Διαφορική Εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται κάποιο φυσικό μέγεθος, τότε οι αρχικές συνθήκες μεταφέρουν τις πληροφορίες σχετικά με τις τιμές του φυσικού μεγέθους κατά το παρελθόν, και οι συνοριακές συνθήκες εκφράζουν την επίδραση του περιβάλλοντος επάνω στο φυσικό μέγεθος κατά την εξέλιξη του φαινομένου. Τέλος θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι τελικός σκοπός δεν είναι μόνο να βρούμε την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, (όταν αυτό είναι εφικτό), αλλά και να είμαστε σε θέση να ερμηνεύσουμε την λύση αυτή. ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική. Αρχίζουν δε να κάνουν την εμφάνισή τους από την εποχή του Newton (64-77) και του Leibniz (646-76). Ο Newton είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στις απλές μορφές: d = f ( ), d = f ( ), d = f (, ) d d d O Leibniz προχώρησε λίγο παραπέρα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στον Leibniz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου d/d και του ολοκληρώματος f ( ) d. Μετά τους Newton και Leibniz, τον 8ον αιώνα, σημαντικοί μαθηματικοί, όπως οι Jacob Bernoulli ( ), Johann Bernoulli ( ), Clairaut (73-765), Riccati ( ), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους. Την ίδια περίοδο, ένας πολύ σπουδαίος μαθηματικός, ο Euler ( ), ασχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους. Αργότερα οι μεγάλοι Γάλλοι μαθηματικοί Cauch ( ), Lagrange (736-83), και Laplace (749-87), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.

20 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ενώ, κατά τον 7ον και 8ον αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση διαφόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά τη διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 9ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πήρε ριζικά διαφορετικό δρόμο. Ο Peano (858-93), το 890, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauch, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Την ίδια περίοδο ο Lipschitz (83-903), το 876, και ο Picard (856-94), το 890 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος του Cauch. Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poincare (854-9), το 88, και του Liapunov (857-98) το 89, άνοιγε ένας καινούργιος δρόμος στις διαφορικές εξισώσεις, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Εδώ υποτίθεται η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του 0ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από σπουδαίους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff ( ) και ο Lefschetz (884-97). Τα τελευταία χρόνια πολλοί αξιόλογοι, σύγχρονοι, μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle (96-983), Arnold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Σήμερα οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό και ευρύ κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης.

21 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΟΡΙΣΜΟΙ Διαφορική εξίσωση, (Δ.Ε), ονομάζεται μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης. Παραδείγματα: Οι παρακάτω εξισώσεις ()-(7) είναι διαφορικές εξισώσεις, επειδή: οι εξισώσεις (), (), (4), (6), και (7) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης (). Οι εξισώσεις (3) και (5) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης Ψ, (που είναι συνάρτηση περισσοτέρων της μιας μεταβλητών). d d d = () = cos () d d d Ψ Ψ Ψ d + + = 0 (3) + = z d (4) Ψ Ψ = (5) c t 3 d d + + = d d d d (sin ) + = (7) d d Οι διαφορικές εξισώσεις διακρίνονται σε: α) "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις", (Σ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής, (όπως στα παραπάνω παραδείγματα (), (), (4), (6), (7) β) "Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους", (Μ.Δ.Ε), στις ο- ποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση δυο ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών, όπως στα παραδείγματα (3) και (5). Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις είναι αντίστοιχα ης, ης, ης, ης, ης, 3ης και ης τάξης. Βαθμός διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η δύναμη στην οποία είναι υψωμένη η παράγωγος της μεγαλύτερης τάξης, όταν και τα δυο μέλη της διαφορικής εξίσωσης γραφούν σαν πολυώνυμα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της, (δηλαδή αφού γίνει απαλοιφή τυχόν δυνάμεων). (6)

22 6 ΚΑΦΑΛΑΙΟ Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις ()-(6) είναι αντίστοιχα ου, ου, ου, ου, ου και 4 ου βαθμού. Ο βαθμός της διαφορικής εξίσωσης (7) δεν ορίζεται, επειδή το αριστερό μέλος της εξίσωσης αυτής, (λόγω της παρουσίας του sin), δεν μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή πολυωνύμου ως προς την άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της. Συχνά μια διαφορική εξίσωση είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι δεν περιέχει παραγώγους, (ή δεν περιέχει μόνο παραγώγους), της άγνωστης συνάρτησης αλλά διαφορικά αυτής. Π.χ. η Δ.Ε. d+d=d είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτή η Δ.Ε. είναι ισοδύναμη προς την d/d+d/d= δηλαδή είναι μια Δ.Ε. τάξης και βαθμού Η μεγάλη σημασία των Δ.Ε. για την Φυσική οφείλεται στο γεγονός ότι σε πολλά επιστημονικά προβλήματα ζητείται να προσδιοριστεί ένα μέγεθος από κάποιες πληροφορίες που δίνονται για το συντελεστή (, (ή τους συντελεστές), μεταβολής του μεγέθους αυτού συναρτήσει κάποιου άλλου μεγέθους, (η διαφόρων άλλων μεγεθών). Π.χ. μπορεί να ζητείται η εκάστοτε θέση ενός κινητού αν είναι γνωστή η ταχύτητα ή η επιτάχυνση του, ή μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε π.χ. το δυναμικό V=V(,,z) ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ξέροντας τις μερικές παραγώγους V/, V/, V/z, (δηλαδή τους συντελεστές μεταβολής του V συναρτήσει των,, z). Οι πληροφορίες που δίνονται για τους συντελεστές μεταβολής του ζητουμένου μεγέθους, συνήθως μπορούν να εκφραστούν με μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους του μεγέθους αυτού. Αυτό σημαίνει ότι από μαθηματική άποψη, τα προβλήματα αυτά ανάγονται σε μια "Διαφορική Εξίσωση". Άσκηση: Για κάθε μια από τις παρακάτω Δ.Ε. να εξετάσετε αν είναι συνήθης ή με μερικές παραγώγους και να βρείτε την τάξη της και το βαθμό της d d + = z z z 4 d d + = sin + = 0 6. d = d. ( Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα μέγεθος μ είναι συνάρτηση κάποιου άλλου μεγέθους λ, δηλ. αν μ=μ(λ), τότε η παράγωγος dμ/dλ δίνει τον συντελεστή μεταβολής του μ συναρτήσει του λ, δηλαδή δίνει το μέτρο του πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μ όταν μεταβληθεί το λ. (Όσο μεγαλύτερη είναι η παράγωγος dμ/dλ τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβολή Δμ dμ που αντιστοιχεί σε μεταβολή του λ κατά dλ και επομένως τόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται το μ συναρτήσει του λ. Εάν η παράγωγος dμ/dλ>0 έχουμε αύξηση του μεγέθους μ και εάν dμ/dλ<0 έχουμε μείωση). Αν το μ είναι συνάρτηση διαφόρων μεγεθών, δηλαδή αν μ=μ(λ, λ,, λ n ), τότε οι μερικές παράγωγοι μ/ λ, μ/ λ,, μ/ λ n δίνουν αντίστοιχα το μέτρο του πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μ όταν μεταβληθούν τα λ, λ,, λ n, δηλαδή δίνουν τους συντελεστές μεταβολής του μ συναρτήσει των λ, λ,, λ n.

23 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ = 7. sin t z z z = α = 8. + = Απαντήσεις. Συνήθης, τάξης 4 ης, βαθμού ου.. Συνήθης, τάξης ης, ο βαθμός δεν ορίζεται. 3. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. 4. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. 5. Με μερικές παραγώγους τάξης 4 ης, βαθμού ου. 6. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. 7. Με μερικές παραγώγους τάξης ης, βαθμού ου. 8. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου.. ΛΥΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. "Επίλυση ή ολοκλήρωση" μιας Δ.Ε. ονομάζεται η εύρεση της άγνωστης συνάρτησης της οποίας κάποιες παράγωγοι εμφανίζονται στη Δ.Ε. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λύση ή ολοκλήρωμα της Δ.Ε. Μια λύση κάποιας Δ.Ε. ικανοποιεί "εκ ταυτότητος" τη Δ.Ε., δηλ. την ικανοποιεί για κάθε (. + = () Παράδειγμα: Η Δ.Ε. e 0 έχει λύση τη: = e () Aν αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση αυτή στη Δ.Ε. () παίρνουμε: e + e e = e e + e e = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε. Μια Δ.Ε. έχει άπειρες λύσεις. Π.χ. για την () κάθε συνάρτηση της μορφής: = ( + c) e (3) όπου c αυθαίρετη σταθερά, είναι λύση. (Πραγματικά, αντικαθιστώντας την (3) στην (), παρατηρούμε ότι η (3) επαληθεύει την () για κάθε ). Η (3) ονομάζεται "γενική λύση" της (). Από τη γενική λύση, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές στη σταθερά, παίρνουμε διάφορες λύσεις οι οποίες, κατά αντιδιαστολή προς τη γενική λύση, ονομάζονται "μερικές λύσεις". Π.χ. από τη γενική λύση (3), για c=0, παίρνουμε τη μερική λύση (). Στα επό- ( Εδώ και στα επόμενα η έκφραση για κάθε σημαίνει για κάθε I όπου Ι κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών.

24 8 ΚΑΦΑΛΑΙΟ μενα, όταν αναφερόμαστε σε μια "λύση" κάποιας Δ.Ε. χωρίς να διευκρινίζουμε αν πρόκειται για μια μερική λύση ή για τη γενική λύση, θα εννοούμε μια μερική λύση της Δ.Ε. Η γενική λύση μιας Δ.Ε. πρώτης τάξης έχει τη μορφή: = ϕ(, c) (4) ή Φ (, c,) = 0 (5) Aν η πεπλεγμένη μορφή (5) μπορεί να λυθεί ως προς, τότε λύνοντας την, παίρνουμε την (4). Γενικά, αποδεικνύεται ότι: α) Η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης n περιέχει n σταθερές. β) Μια συνάρτηση που περιέχει n σταθερές και επαληθεύει εκ ταυτότητος μια Δ.Ε. τάξης n είναι η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης n έχει τη μορφή: = ϕ(, c, c,, cn) (6) ή την πεπλεγμένη μορφή: Φ (, c,, c,, cn) = 0 (7) Δίνοντας διάφορες τιμές στα c, c,, c n παίρνουμε από την (6) ή την (7) διάφορες μερικές λύσεις της Δ.Ε. Άσκηση Να επαληθεύσετε ότι, για τις παρακάτω Δ.Ε., οι συναρτήσεις που δίνονται είναι οι γενικές λύσεις.. = = ce. = e e e ce = = 0 = csin+ ccos 4. = 0 = csinh+ ccosh.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε Οι γραφικές παραστάσεις των μερικών λύσεων = ϕ ( ) μιας Δ.Ε. ονομάζονται ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. Είναι φανερό από τα προηγούμενα ότι η γενική λύση μιας Δ.Ε. ης τάξης, δηλαδή Φ ( c,, ) = 0, η οποία περιέχει μια παράμετρο c, παριστάνει μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων: των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. ης τάξης. Γενικότερα η λύση μιας Δ.Ε. τάξης n, δηλαδή η: Φ (, cc,,,, c n ) = 0, η οποία περιέχει n παραμέτρους cc,,, c n παριστάνει μια n-παραμετρική οικογένεια καμπύλων: των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. τάξης n.

25 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 9.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ης ΤΑΞΗΣ Έστω μία Δ.Ε. ης τάξης που μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: = f (, ) () Γεωμετρικά η () σημαίνει ότι σε κάθε σημείο (, ) η κλίση d/d της λύσης έχει την τιμή f(,). Το γεγονός αυτό μπορούμε να το παραστήσουμε γραφικά εάν φέρουμε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, που ονομάζεται διευθύνον στοιχείο, από το σημείο (,) με κλίση f(,). Ένα σύνολο τέτοιων διευθυνόντων στοιχείων σε διάφορα σημεία του επιπέδου ονομάζεται διευθύνον πεδίο, (ή πεδίο διευθύνσεων), της διαφορικής εξίσωσης. Αν και ένα διευθύνον πεδίο δεν παρέχει μια αναλυτική λύση ή ένα τύπο για την Δ.Ε., μας δίνει όμως ποιοτικές πληροφορίες για το σχήμα και την συμπεριφορά της λύσης. Π.χ. το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. =+ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: = + Το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. Σαν αριθμητική λύση μιας Δ.Ε. ης τάξης με αρχικές συνθήκες, εννοούμε ένα σύνολο τιμών ( i, i ), (υπό μορφή πίνακα ή γραφικής παράστασης των σημείων ( i, i )), που προσεγγίζει την λύση της Δ.Ε. και διέρχεται από το σημείο των αρχικών συνθηκών. Μία από τις πιο απλές προσεγγιστικές μεθόδους για την εύρεση της μερικής λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης, που διέρχεται από το σημείο ( 0, 0 ), είναι η μέθοδος του Euler, η οποία αποτελείται από τα εξής βήματα:, υπολογίζουμε την. Στο σημείο Σ 0, με συντεταγμένες ( 0 0) = f ( 0, 0). O αριθμός ( 0, 0) = ( ) στο σημείο (, ). 0 0 f καθορίζει τη διεύθυνση της καμπύλης. Η εξίσωση της εφαπτομένης της λύσης στο σημείο ( 0, 0 ) είναι: = + f, ( ) ( )

26 0 ΚΑΦΑΛΑΙΟ Υπολογίζουμε την τιμή της γραμμικής αυτής συνάρτησης για = = 0+ h όπου h θετική σταθερά (3 : = 0+ hf ( 0, 0) 3. Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο σημείο(, ) και η εξίσωση της αντίστοιχης εφαπτομένης της ζητούμενης λύσης είναι: = + ( ) f (, ) Υπολογίζουμε την τιμή του για = = + hκαι έχουμε: = + hf (, ) 4. Συνεχίζοντας την διαδικασία αυτή προκύπτει η ακολουθία των σημείων ( n+, n+ ) όπου: = + h, = + hf, n+ n n+ n ( n n) 5. Ενώνοντας τα σημεία ( n, n) παίρνουμε προσεγγιστικά την μερική λύση της Δ.Ε. f (, ) =, που αντιστοιχεί στην αρχική συνθήκη ( 0, 0 ). n=0,,,... με ευθύγραμμα τμήματα, Σ Σ Σ 3 Σ 0 h O Ασκήσεις: Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Euler να βρείτε προσεγγιστικά με βήμα h την μερική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 0 =( 0 ) για τις παρακάτω Δ.Ε.: Σ 4 (3 Το h ονομάζεται βήμα και όσο πιο μικρή είναι η τιμή του τόσο πιο ακριβής θα είναι η προσεγγιστική λύση που θα βρεθεί. Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα, δηλαδή η n n n είναι ανάλογη διαφορά της πραγματικής τιμής από την προσεγγιστική: ( ) ( ) του βήματος h.

27 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ) =- (0)= h=0,5 ) =3 - (0)= h=0, 3) =+e (0)=0 h=0,.5 ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. Ο αντικειμενικός σκοπός της μελέτης των Δ. Ε. δεν είναι μόνο η εύρεση των λύσεων, όταν αυτό είναι δυνατό, αλλά και η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Με το παρακάτω απλό παράδειγμα θα δούμε τι σημαίνει "ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων". Η Δ.Ε.: d d = α () είναι μια από τις απλούστερες Δ.Ε. με λύση: () = ce α () Η σταθερά c, που εμφανίζεται στη λύση, καθορίζεται πλήρως από την αρχική συνθήκη. Π.χ. εάν θέλουμε για = 0 η λύση () να παίρνει την τιμή ( 0 )= 0, τότε από την () έχουμε για = 0 : 0 0 = ce α 0 c = 0e α Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε 0 =0, οπότε c= 0 και η λύση: ( ) = 0e α είναι εκείνη που διέρχεται από το σημείο (0, 0 ). H σταθερά α της Δ.Ε. = α μπορεί να θεωρηθεί σαν παράμετρος και όταν μεταβάλλεται προφανώς μεταβάλλονται και οι λύσεις. Το ερώτημα εδώ είναι πως μπορούμε να περιγράψουμε ποιοτικά την αλλαγή αυτή των λύσεων. Το πρόσημο της παραμέτρου α, θα δούμε ότι παίζει αποφασιστικό ρόλο. Πράγματι: όταν c 0 ) Εάν α>0 τότε α > lim ( ) = lim ce = - όταν c < 0 ) Εάν α=0 τότε () = c= σταθερά 3) Εάν α<0 τότε ( ) = lim ce α = 0 Η ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων φαίνεται καθαρά στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις:

28 ΚΑΦΑΛΑΙΟ Έτσι εάν επιζητούμε λύσεις που απειρίζονται δεν έχουμε παρά να διαλέξουμε την παράμετρο α να είναι θετική, για σταθερές λύσεις διαλέγουμε α=0 και τέλος για λύσεις που ασυμπτωτικά μηδενίζονται, διαλέγουμε α<0. Ένα άλλο χαρακτηριστικό, που έχει η Δ.Ε. =α είναι η ευστάθεια των λύσεων για α 0. Πιο συγκεκριμένα, εάν η παράμετρος α αντικατασταθεί από μια άλλη σταθερά β, η οποία να βρίσκεται πολύ κοντά στην α, δηλ. αβ <ε με ε πολύ μικρό, τότε η β έχει το ίδιο πρόσημο με την α και οι λύσεις, που αντιστοιχούν στις παραμέτρους α και β, δηλ. οι =ce α και =ce β έχουν την ίδια ποιοτική συμπεριφορά. Εάν όμως α=0, Σχ., τότε η παραμικρότερη μεταβολή στη τιμή του α, οδηγεί στην περίπτωση του Σχ. ή του Σχ.3, δηλ. σε ριζική αλλαγή στην συμπεριφορά των λύσεων. Το σημείο α=0 ονομάζεται σημείο διακλαδώσεως, (bifurcation point), της Δ.Ε. =α ao0 4 co0 a=0 4 co0 a!0 4 co c! c! c!0 4 Σχ. Σχ. Σχ. 3

29 . ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ης ΤΑΞΗΣ Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών θα συναντήσει κανείς θεωρήματα "ύπαρξης και μοναδικότητας". Τα θεωρήματα αυτά μας λένε κάτω από ποιές προϋποθέσεις ένα πρόβλημα, (όπως η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης), έχει λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Δυστυχώς πολλές φορές τα θεωρήματα αυτά δεν μας δίνουν και την λύση. Παρ' όλα αυτά η αξία τους είναι μεγάλη. Ένα θεώρημα ύπαρξης μας διαβεβαιώνει ότι υπάρχει λύση, που πρέπει να ψάξουμε να τη βρούμε. Θα ήταν άσκοπο να σπαταλήσουμε χρόνο και προσπάθεια για να βρούμε μια λύση, όταν στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Επίσης το σκέλος του θεωρήματος που αφορά την μοναδικότητα, μας διαβεβαιώνει ότι η λύση που υπάρχει είναι μοναδική και μας προφυλάσσει από τον κίνδυνο να ασχοληθούμε με μια λύση, που αργότερα θα διαπιστώσουμε ότι δεν είναι αυτή που θέλαμε. Για τις Δ.Ε. ης τάξης = f (, ) μπορούμε να θέσουμε το παρακάτω ερώτημα, που θα μας οδηγήσει στο σχετικό θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας. Ερώτημα: Ποιές συνθήκες πρέπει να πληροί η Δ.Ε.: = f (, ) () ουσιαστικά η συνάρτηση f (, ), ώστε να υπάρχει λύση που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη: 0 = ( 0) () Η απάντηση δίνεται από το εξής θεώρημα: Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f (, ) είναι συνεχής και η μερική παράγωγος f (, ) / φραγμένη (4 σε μια περιοχή του σημείου ( 0, 0 ), τότε το πρόβλημα των αρχικών τιμών, (Π.Α.Τ): (4 Μια συνάρηση f(,) ορισμένη στο υποσύνολο D R είναι φραγμένη εάν: ( M>0)( (, ) D)[ f(, ) <M]

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ = f(, ), 0 = ( 0) (3) έχει μια και μοναδική λύση στην περιοχή αυτού του σημείου. Οι συνθήκες του θεωρήματος είναι ικανές όχι όμως και αναγκαίες. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος οφείλεται στον Picard (856-94) και η βασική της ιδέα οδηγεί σε μια διαδικασία κατασκευής της λύσης γνωστή ως μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων ή επαναληπτική μέθοδος. Τα βήματα της μεθόδου είναι τα εξής: Ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της (3) από 0 έως παίρνουμε την ολοκληρωτική εξίσωση: ( ) = ( 0 ) + f ( t, ( t)) dt (4) 0 Η σχέση (4) αποτελεί μια ισοδύναμη διατύπωση υπό μορφή ολοκληρωτικής εξίσωσης του Π.Α.Τ: = f(, ), 0 = ( 0). Στη συνέχεια για την λύση της (4), χρησιμοποιούμε το επόμενο βήμα, το οποίο αποτελείται από την διαδοχική "βελτίωση" μιας αυθαίρετης αρχικής = (5, που θεωρείται ως μηδενικής τάξης προσέγγιση στη εκλογής 0 ( ) ζητούμενη λύση ( ). Η πρώτη "βελτίωση" προκύπτει εισάγοντας στο δεύτερο μέλος της (4) τη μηδενική προσέγγιση 0 () οπότε παίρνουμε τη συνάρτηση: = ( ) ( ) f ( t, ( t)) dt που θα εισαχθεί ξανά στη (4) για να μας δώσει τη δεύτερη βελτιωμένη μορφή της λύσης και ούτω καθ' εξής. Γενικότερα θα είναι: n+ ( ) = ( 0) + (, n( )) (5) 0 f t t dt Εάν η συναρτησιακή ακολουθία ( ) n έχει όριο, τότε αυτό το όριο θα ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση (4) και άρα το Π.Α.Τ (3). Πράγματι επειδή lim = lim = ( ) ( ) ( ) n n n n+ τότε παίρνοντας το όριο και των δύο μελών της (5) θα έχουμε: ( ) lim n n+ = 0 + lim n f ( t, n( t)) dt 0 (5 Δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ της συνάρτησης 0 () και της αρχικής τιμής ( 0 ).

31 Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης 5 ( ) = 0 + lim n (, n( )) 0 f t t dt ( ) ( ) 0 f (, t ()) t dt = + 0 που είναι ακριβώς η ολοκληρωτική εξίσωση (4). ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι πάντα επιτρεπτή η εναλλαγή ορίου και ολοκληρώματος lim lim Π.χ. εάν θεωρήσουμε την ακολουθία των συναρτήσεων: ( ) τότε για 0 >0 έχουμε: n fn = ne, 0, 0 0 n 0 n n 0 n lim f ( ) d = lim ne d = n ( ) 0 n limn 0 0 = limn e d n = e = 0 n 0 = limn ( e ) = ενώ ( ) 0 0 n 0 ( ) δηλαδή: lim f ( ) d = lim ne d = 0 d = 0 0 n n 0 n lim n ( ) lim ( ) 0 n 0 n n f d f d Για να ισχύει η εναλλαγή αυτή, όπως και για να ξεπεραστούν και κάποια άλλα λεπτά σημεία της απόδειξης του θεωρήματος του Picard, πρέπει να οδηγηθούμε στις σχετικές συνθήκες για την συνάρτηση f(,). Μέσα από μια τέτοια προσεκτική μελέτη προκύπτει ότι για την απλή ύπαρξη της λύσης αρκεί: α) η f(,) να είναι συνεχής, ενώ για την μοναδικότητα απαιτείται επί πλέον να είναι φραγμένη και η παράγωγος της ως προς, δηλαδή: f (, ) β) η να είναι φραγμένη. Παρατήρηση: Η δεύτερη συνθήκη, που αναφέρεται στην παράγωγο της f ως προς και όχι ως προς δεν πρέπει να μας παραξενεύει δεδομένου ότι η εξαρτημένη μεταβλητή παίζει μεγαλύτερο ρόλο από ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι θέλουμε να λύσουμε το Π.Α.Τ.

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ) ( ) = f (, ) = +, 0 = Ας εκλέξουμε για προσέγγιση μηδενικής τάξης την 0 ( ) =. Τότε ( ) = + ( t+ ) dt = t ( ) = + + t+ dt = t 3 ( ) = + + t+ t + dt = t t 4 ( ) = + + t+ t + + = n n+ και γενικά: n( ) = ! 3! n! + ( n+ )! Παίρνοντας το όριο για n και χρησιμοποιώντας τη σειρά: n = e n n= 0! έχουμε ότι: lim n n( ) = + + (e ) + 0 = e Η συνάρτηση ()=e -- ικανοποιεί τόσο την εξίσωση όσο και την αρχική συνθήκη, συνεπώς αποτελεί μια λύση. Αν είχαμε εκλέξει για αρχική προσέγγιση την 0 ()=e θα παίρναμε = + t+ e dt = + e 0 t ( ) ( ) 3 t t ( ) = + t+ + e dt = + + e 6 και γενικά την προσέγγιση τάξης n 3 n+ n ( ) = e! 3! ( n + )! 0

33 Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης 7 Συνεπώς ( ) n n( ) ( ) = lim = e + e = e Αν κάνουμε την εκλογή ( ) e 0 = τότε: t ( ) ( ) = = + = 0 0 e dt ( e ) ( ) Μια τέτοια εκλογή σταθεροποιεί την προσεγγιστική ακολουθία και δίνει τη λύση: ( ) = ( ) = ( ) = ( ) lim n n lim n 0 0 Φυσικά η πιθανότητα εκλογής της πραγματικής λύσης σαν 0 () είναι σχεδόν μηδέν. Η ευκολία όμως εφαρμογής της μεθόδου οφείλεται κατά μεγάλο ποσοστό στην κατάλληλη εκλογή της προσέγγισης μηδενικής τάξης. Εάν όμως δεν έχουμε άλλες πληροφορίες για τη λύση, τότε σαν προσέγγιση μηδενικής τάξης χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη ( 0 ), δηλαδή θέτουμε 0 ()=( 0 ). Άσκηση : Ελέγξτε εάν οι παρακάτω Δ.Ε. με την αντίστοιχη αρχική συνθήκη έχουν α) μοναδική λύση ή β) καμία λύση ή γ) ή περισσότερες της μιας. ) ) = (0)=0 Απ. Μία λύση = (0)= Απ. Μία λύση 3) = (0)=0 Απ. Δύο λύσεις Άσκηση : Χρησιμοποιείστε την μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων του Picard για να βρείτε την λύση του Π.Α.Τ: ( ) =, 0 =

34

35 3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ Η γενική μορφή των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης είναι: F(,, ) = 0 () Αν η () λύνεται ως προς δηλαδή: d d = f (, ) τότε μπορούμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση αν ανήκει σε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: 3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση f (, ) γράφεται σαν γινόμενο δυο συναρτήσεων, κάθε μια από τις οποίες εξαρτάται μόνο από το ή το, δηλαδή f (, ) = g( ) h( ). Στη συνέχεια "χωρίζουμε" την Δ.Ε. έτσι ώστε στο πρώτο μέλος να υπάρχει μόνο η μια μεταβλητή π.χ. η και στο δεύτερο η και ολοκληρώνουμε και τα δυο μέλη: d = g( h ) ( ) d = g( d ) + c d h( ) () Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. =. Έχουμε: 0 d d d = = d = d c d = + = + c Εδώ παρατηρούμε ότι και η συνάρτηση =0, η οποία προέρχεται από την εξίσωση h( ) = = 0, ικανοποιεί τη Δ.Ε. χωρίς να προέρχεται από την γενική λύση = /( + c) για κάποια πεπερασμένη τιμή της c, σε αντίθεση με τα γραφόμενα της παρ... Όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο, η λύση =0 αποτελεί την περιβάλλουσα των λύσεων = /( + c) της Δ.Ε. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις της Δ.Ε.

36 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Σ' αυτό το παράδειγμα ας προσπαθήσουμε να δούμε εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων μιας Δ.Ε. 0 =c Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f (, ) = είναι συνεχής σ' όλο το πεδίο ορισμού της, (- <<+, - <<+ ). Άρα υπάρχει λύση. Επίσης η συνθήκη f / = =φραγμένη, ισχύει. Επομένως από κάθε σημείο του επιπέδου O διέρχεται μια και μόνο μια λύση. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. =. Έχουμε: = 0 d d = d = d = + c = ( + c) 4 Κάθε μέλος της οικογένειας των καμπυλών = ( + c) / 4 είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο 0 =-c. Όμως από κάθε τέτοια παραβολή θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το δεξιό της κλάδο που έχει θετική κλίση όπως θέλει η Δ.Ε. = > 0. Οι αριστεροί κλάδοι των παραβολών αποτελούν λύση της Δ.Ε. =. Και εδώ η τετριμμένη λύση =0 ικανοποιεί τη Δ.Ε. και αποτελεί την περιβάλλουσα των λύσεων της Δ.Ε. Όσον αφορά τις συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, παρατηρούμε ότι η f (, ) = είναι συνεχής σ' όλο το πεδίο ορισμού της (- <<+, 0). Άρα υπάρχει λύση. Όμως η πρόσθετη συνθήκη:

37 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης f = = φραγμένη δεν πληρούται πάνω στην ευθεία =0. Στην ευθεία αυτή θα συναντώνται περισσότερες από μια λύσεις. Πράγματι από κάθε σημείο = 0 της ευθείας =0 ξεκινούν δυο λύσεις η =0 και η = ( 0 ) /4όπου 0 =-c. Μ' άλλα λόγια στην αρχική συνθήκη ( 0 )=0 αντιστοιχούν οι δυο λύσεις: = 0, = ( ) / 4. 0 O 0 =-c Παρατήρηση : Όπως στο παράδειγμα έτσι και εδώ διαπιστώνουμε ότι η μηδενική συνάρτηση =0 ικανοποιεί την Δ.Ε. = και ότι δεν υπάρχει τιμή της σταθεράς c έτσι ώστε η μηδενική συνάρτηση =0 να προέρχεται από την γενική λύση = ( + c) / 4. d Παρατήρηση : Η Δ. Ε. = g( ) h( ) εκτός από την γενική λύση () d έχει και σταθερές λύσεις, οι οποίες δίνονται από την λύση της εξίσωσης h( ) = 0. Όταν g( ) = η Δ. Ε. ονομάζεται αυτόνομη. Οι αυτόνομες Δ. Ε. έχουν την εξής ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το διευθύνον πεδίο είναι αναλλοίωτο ως προς τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή κατά μήκος μιας οριζόντιας γραμμής το διευθύνον πεδίο παραμένει σταθερό. Παράδειγμα 3: Να βρεθούν όλες οι λύσεις, (η γενική λύση και οι σταθερές d λύσεις), της Δ. Ε. = h( ) = ( )( 3). Να σχεδιαστεί το διευθύνον d πεδίο. Λύση: Για την γενική λύση έχουμε:

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 d d = d = d + c ( )( 3) ( )( 3) 3 + d= + c ln = + c 3 ke 3 ή με c = k = e ke Οι σταθερές λύσεις προκύπτουν από την εξίσωση: ( ) ( )( ) h = 3 = 0 = και = 3 Παρατηρούμε ότι η σταθερή λύση = 3 προκύπτει από την γενική λύση για k =, ενώ η άλλη σταθερή λύση = δεν μπορεί να προκύψει από την γενική για κάποια τιμή του k. Οι δε γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα Ο και τέμνουν κάθετα τον άξονα Ο στα σημεία και 3. Από το θεώρημα για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, οι σταθερές λύσεις δεν τέμνουν τις μερικές λύσεις που προκύπτουν από την γενική. Αυτό σημαίνει ότι οι σταθερές λύσεις ορίζουν «λουρίδες» στο επίπεδο Ο εντός των οποίων ζουν οι μερικές λύσεις. Για να σχεδιάσουμε κάποιες μερικές λύσεις εργαζόμαστε ως εξής. Θεωρούμε την συνάρτηση h( ) = ( )( 3), η οποία είναι τριώνυμο με ρίζες το και το 3. Α) Όταν το h είναι θετικό και επομένως και η παράγωγος / < το πρόσημο της ( ) d d είναι θετική. Αλλά θετική παράγωγος της ( ) σημαίνει αύξουσα συνάρτηση. Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Ο με < θα είναι αύξουσες συναρτήσεις και όταν η ( ) θα τείνει στην μικρότερη ρίζα =. Β) Όταν < < 3 το πρόσημο της ( ) d / d και αυτή είναι αρνητική και η συνάρτηση ( ) h είναι αρνητικό, η παράγωγος θα είναι φθίνουσα.

39 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 3 Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Ο με < < 3 θα είναι φθίνουσες συναρτήσεις και όταν η ( ) θα τείνει στην μικρότερη ρίζα =. Γ) Όταν 3 < το πρόσημο της ( ) d / d ομοίως και η συνάρτηση ( ) h είναι και πάλι θετικό, η παράγωγος θα είναι αύξουσα. Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Ο με 3 < θα είναι αύξουσες συναρτήσεις και όταν η ( ) θα τείνει άπειρο. Οι διαπιστώσεις Α, Β, Γ μας βοηθούν για τον πρόχειρο αλλά ποιοτικό σχεδιασμό των μερικών λύσεων. Το παραπάνω σχήμα μπορεί να προκύψει βασιζόμενοι στις διαπιστώσεις αυτές. Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.: ) = Απ. + = c ) = Απ. = cep 3) = Απ. 3 = + c 3 4) = Απ. = c 5) = Απ. = + c 3.A ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ης ΤΑΞΗΣ Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα είναι δυνατό, μια λύση κάποιας Δ.Ε. να μη προκύπτει από τη γενική λύση για καμία τιμή της σταθεράς. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις. Παράδειγμα : Η Δ.Ε. ( ) + = a () έχει τη γενική λύση ( ) c + = a () η οποία παριστάνει την οικογένεια κύκλων που δείχνει το παρακάτω σχήμα. Οι ευθείες =α και =-α επαληθεύουν την () και επομένως είναι λύσεις της Δ.Ε.,

40 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 A B =α Γ Ο Ε Δ =-α αλλά δεν προκύπτουν από τη () για καμία τιμή της c. Οι =α και =-α είναι περιβάλλουσες των λύσεων της Δ.Ε. (). Περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών Φ(,,c)=0 ονομάζεται μια καμπύλη Κ, τέτοια ώστε: α) κάθε καμπύλη της οικογένειας εφάπτεται στη Κ και β) κάθε σημείο της Κ είναι σημείο επαφής της Κ με μια από τις καμπύλες της οικογένειας. Λόγω της ιδιότητας (β), σε κάθε σημείο (,) της περιβάλλουσας τα,, έχουν τις ίδιες τιμές όπως και για την καμπύλη της οικογένειας που περνάει από το σημείο αυτό (6. Αφού η καμπύλη αυτή είναι λύση της Δ.Ε., έπεται ότι οι τιμές αυτές των,, ικανοποιούν την Δ.Ε. Επειδή αυτό ισχύει για κάθε σημείο της περιβάλλουσας, συμπεραίνουμε ότι η περιβάλλουσα είναι λύση της Δ.Ε. Συμπέρασμα: Αν μια οικογένεια λύσεων κάποιας Δ.Ε. έχει περιβάλλουσα, τότε η περιβάλλουσα είναι μια ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. Άλλες ιδιάζουσες λύσεις παίρνουμε συνδυάζοντας ένα τμήμα της περιβάλλουσας με ένα τμήμα κάποιας από τις καμπύλες της οικογένειας. Π.χ. η καμπύλη ΑΒΓΔΕ του σχήματος, (η οποία αποτελείται από το τμήμα ΑΒ της περιβάλλουσας =α, το ημικύκλιο ΒΓΔ και το τμήμα ΔΕ της περιβάλλουσας =-α είναι μια ιδιάζουσα λύση της (). Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάθε σημείο της περιβάλλουσας παραβιάζεται η μοναδικότητα των λύσεων της Δ.Ε., αφού από αυτό διέρχονται δυο λύσεις: η μια είναι η ίδια η περιβάλλουσα και η άλλη η μερική λύση που εφάπτεται της περιβάλλουσας στο σημείο αυτό. (6 Όταν δυο καμπύλες εφάπτονται σε κάποιο σημείο, τότε στο σημείο αυτό έχουν την ίδια κλίση, αλλιώς θα τέμνονται αντί να εφάπτονται.

41 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 Η εξίσωση της περιβάλλουσας μιας οικογένειας καμπυλών με εξίσωση Φ,, c = 0 (A), βρίσκεται αν παραγωγίσουμε την (Α) ως προς c δηλαδή ( ) Φ ( c,, ) = 0 (B), και μετά απαλείψουμε το c από τις (Α) και (Β). c Απόδειξη: Έστω (,) οι συντεταγμένες του σημείου επαφής Ρ της περιβάλλουσας και μιας καμπύλης Γ της οικογένειας Φ (,, c ) = 0. Οι συντεταγμένες αυτές προσδιορίζουν μονοσήμαντα την καμπύλη Γ, (αφού σε κάθε σημείο της περιβάλλουσας εφάπτεται μια και μόνο μια καμπύλη της οικογένειας Φ (,, c ) = 0). Από την άλλη μεριά η καμπύλη Γ με τη σειρά της προσδιορίζει πλήρως την παράμετρο c. Κατά συνέπεια οι συντεταγμένες και του σημείου Ρ προσδιορίζονται πλήρως από τη τιμή της παραμέτρου c, δηλαδή: = c ( ), = c ( ) (α) Όταν η παράμετρος c μεταβάλλεται, το σημείο Ρ κινείται κατά μήκος της περιβάλλουσας και επομένως οι εξισώσεις (α) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της περιβάλλουσας. Θα προσπαθήσουμε τώρα να διατυπώσουμε την συνθήκη που ορίζει την περιβάλλουσα, δηλαδή ότι η κλίση της περιβάλλουσας στο σημείο Ρ συμπίπτει με την κλίση της καμπύλης Γ. Η κλίση της εφαπτομένης της περιβάλλουσας είναι: d() c dc c περ = = d() c c dc Η δε κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης Γ για συγκεκριμένο c δίνεται από την έκφραση, (βλ. Διανυσματική Ανάλυση Δ. Σουρλάς παρ. 8.7), Φ Φ καμ = = Φ Φ Εξισώνοντας τις δυο αυτές κλίσεις έχουμε: c Φ = Φ c +Φ c = 0 (β) Φ c Αλλά για κάθε τιμή της παραμέτρου c το σημείο της περιβάλλουσας που έ- χει συντεταγμένες ((c),(c)) ανήκει στην καμπύλη της οικογένειας, που αντιστοιχεί στην ίδια τιμή της c και επομένως η σχέση: Φ((c),(c),c)=0 (γ) ικανοποιείται για όλα τα c. Η ολική παράγωγος ως προς c της (γ) δίνει:

42 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 d Φ ( c (), c (), c) =Φ c +Φ c +Φ c = 0 dc Αλλά λόγω της (β) προκύπτει Φ c = 0 Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις =(c) και =(c) της περιβάλλουσας βρίσκονται από τις σχέσεις: Φ (,, c) = 0 και Φ (,, c) = 0 c και αν μπορούμε να απαλείψουμε το c από τις δυο παραπάνω σχέσεις έχουμε την καρτεσιανή εξίσωση της περιβάλλουσας. Παράδειγμα : Να βρεθεί η περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών = cos( + c). Λύση: Εδώ έχουμε (,, c) cos( c) 0 ( ) Φ = + = 0, ,5 Φ = sin ( + c) = 0 c () Για να απαλείψουμε το c από τις σχέσεις () και () λύνουμε ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υψώνουμε στο τετράγωνο και βρίσκουμε = =±. Άρα η περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών =cos(+c) είναι οι ευθείες =±. Παρατήρηση : Εάν μας δίνεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών Φ(,,c)= 0, τότε η Δ.Ε., της οποίας η γενική λύση είναι η Φ(,,c)=0, βρίσκεται απαλείφοντας την παράμετρο c από τις εξισώσεις: Φ(,,c)=0 d Φ (,, c) = Φ (,, c) + Φ (,, c) = 0 και d ενώ η περιβάλλουσα των λύσεων από τις εξισώσεις: Φ(,,c)=0 και ( c,, ) 0 c Φ =

43 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 7 Παράδειγμα 3: Η εξίσωση -c=(-c) παριστάνει μια οικογένεια παραβολών με την κορυφή τους πάνω στην ευθεία =. α) Παραγωγίζοντας ως προς c και απαλείφοντας το c μεταξύ της εξίσωσης που δόθηκε και της παραγώγου της ως προς c, βρείτε την περιβάλλουσα της οικογένειας. β) Βρείτε τη Δ.Ε. πρώτης τάξης για την οικογένεια αυτή των παραβολών. γ) Επιβεβαιώστε ότι η περιβάλλουσα επαληθεύει την εξίσωση αυτή. Λύση: α) Έχουμε Φ (,, c) = c ( c) = 0 () Φ = + ( c) 0 -c=/ c () Από τις σχέσεις () και () απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: = + / /4 = 0 = /4 (3) που είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. β) Παραγωγίζουμε την () ως προς και έχουμε Φ = ( c) = 0 (4) Από τις σχέσεις () και (4) απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: + = 0 (5) που είναι η ζητούμενη Δ.Ε. γ) = /4 = (6) Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις (3) και (6) στην (5): + /4 + = 0 δηλαδή η εξίσωση της περιβάλλουσας ικανοποιεί την Δ.Ε.

44 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράδειγμα 4: Ένα κανόνι ρίχνει ένα βλήμα στο επίπεδο XOZ με ταχύτητα, που έχει σταθερό μέτρο v 0 και σχηματίζει γωνία θ με τον οριζόντιο επίπεδο. Η γωνία θ μπορεί να μεταβάλλεται ρυθμίζοντας την κλίση της κάνης από 0 έως π. Τα σημεία του επιπέδου XOZ που δεν είναι δυνατό να κτυπηθούν από το κανόνι βρίσκονται πέρα από μια καμπύλη, η οποία είναι η περιβάλλουσα των τροχιών, που θα διαγράψει το βλήμα για διάφορες τιμές της θ. Να βρεθεί η καμπύλη αυτή. d r Λύση: Από τον νόμο του Νεύτωνα F = m έχουμε: dt Κατά τον άξονα ΟΧ: d d F = 0 = m c ( t) ct c dt dt = = + () () Για t=0 είναι ( 0) = 0 c = 0 και ( ) = v0 θ c = v0 άρα ( t ) v (cos θ) t 0 0 cos cosθ = () Κατά τον άξονα ΟΖ: d z dz F = z mg = m gt k dt dt = + zt () = gt + kt + k Για t=0 είναι ( ) z 0 = k = 0 και z(0) = k = v0sin θ, άρα (3)

45 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 9 zt () = gt + v0 (sin θ ) t (4) Απαλείφουμε το t μεταξύ των () και (4): () t = (5) v0 cosθ (4) g = + (5) z (tan θ ) v0 cos θ g Φ = + = ( z,, θ) z (tan θ) 0 v0 cos θ g Φ = + + = ( z,, θ) z tan tan 0 v θ θ 0 Η (6) είναι μια μονοπαραμετρική οικογένεια παραβολών, (με παράμετρο τη γωνία θ), της οποίας η περιβάλλουσα θα βρεθεί εάν παραγωγίσουμε την (6) ως προς την θ: Φ g g = tanθ = 0 tanθ = 0 (7) θ v cos θ cos θ 0 v0 και απαλείφουμε το θ, δηλαδή την tanθ από την (6) και (7): (7) 0 v tanθ = (8) g ( ) ( 8 ) 4 g v v g 0 0 v 6 z+ 0 0 ( ) + z f = = + = v0 g g v0 g Η (9) είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. (6) (9)

46 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Παρατήρηση : Εάν το κανόνι περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΟΖ, τότε η παραβολή (9) παράγει μια επιφάνεια της οποίας η εξίσωση μπορεί να προέλθει από την (9) αν αντικαταστήσουμε το με το + (γιατί;). Eπομένως θα έχουμε: g ( ) ( ) v0 v g 0 z = f + = + + Παρατήρηση 3: Θεωρούμε την Δ.Ε. F(,, ) = 0και υποθέτουμε ότι η συνάρτηση F(,, ) έχει συνεχείς τις πρώτες μερικές παραγώγους ως προς,, σε κάποιο ανοιχτό τόπο 7 D του χώρου. Από τον διαφορικό λογισμό γνωρίζουμε ότι αν ( 0, 0, 0 ) είναι σημείο του τόπου D και F ( 0, 0, 0 ) = 0 F ( 0, 0, 0 ) 0 τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση = f (, ), που ορίζεται σε μια περιοχή του σημείου ( 0, 0 ), τέτοια ώστε 0 = f ( 0, 0) και F (,, f (, ) ) = 0. Στα σημεία όμως ( 0, 0, 0 ) που επαληθεύουν συγχρόνως τις σχέσεις: F ( 0, 0, 0 ) = 0 F ( 0, 0, 0 ) = 0 δεν είμαστε βέβαιοι για την ύπαρξη μόνο μιας λύσης, της Δ.Ε. F(,, ) = 0, που ικανοποιεί τις συνθήκες 0 = ϕ( 0 ), 0 = ϕ ( 0 ). Απόρροια των ανωτέρω είναι το επόμενο θεώρημα: Θεώρημα: Θεωρούμε την Δ.Ε. F(,, ) = 0. Τότε η λύση του συστήματος: F (,, p) = 0, F (,, p) = 0 p που προκύπτει με απαλοιφή του p, (έχουμε θέσει =p), και που επαληθεύει τις σχέσεις F F F + p = 0, 0 7 Ένα υποσύνολο D ενός χώρου n διαστάσεων λέγεται ανοικτός τόπος εάν είναι ανοικτό και συνεκτικό σύνολο.

47 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 3 είναι ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. F(,, )=0. Παράδειγμα 5: Να βρεθεί η ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. 4= ( ) Λύση: Θέτουμε στη Δ.Ε. p= και έχουμε: ( ) F,, p = 4 8p 8 p = 0 p F(,, p) = 8 p = 0 (B) Απαλείφοντας το p από τις σχέσεις (Α) και (Β) προκύπτει: =- η οποία είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι επαληθεύει την Δ. Ε. όπως επίσης και τις σχέσεις: Πράγματι: και επομένως F F F + = 0 0 με =p=-4. F F = 8p 6 = 8( 4) 6 = 6, = 4 0 F F + = 6 + 4( 4 ) = 0 (A) 3.Β Παραδείγματα εφαρμογών της Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών Παράδειγμα. Οι Πυρήνες των ατόμων των ραδιενεργών στοιχείων διασπώνται και μετατρέπονται σε πυρήνες άλλων στοιχείων. Έτσι με την πάροδο του χρόνου, η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου μειώνεται. Σ' ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή t+dt, η ελάττωση dm της μάζας είναι ανάλογη της μάζας m του ραδιενεργού στοιχείου, η οποία υ- πάρχει στην αρχή του χρονικού αυτού διαστήματος. Αν τη στιγμή t=0 η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι m 0, να βρεθεί η μάζα που θα έχει απομείνει μετά παρέλευση χρόνου t. Λύση: Είναι dm=-λmdt όπου λ σταθερά που χαρακτηρίζει το στοιχείο. Επομένως dm/m=-λdt lnm=-λt+c m=c e -λt όπου c =e c Aφού για t=0 είναι m=m 0 θα έχουμε m 0 =c. Επομένως m=m 0 e -λt. Από τη σχέση αυτή, αν είναι γνωστή η σταθερά λ του στοιχείου, μπορούμε να βρούμε, για κάθε χρονική στιγμή t, τη μάζα m(t) που έχει απομείνει τη στιγμή αυτή.

48 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Παρατήρηση: Ο αριθμός των πυρήνων, έστω Ν, ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι προφανώς ακέραιος αριθμός και η μεταβολή ΔΝ του αριθμού αυτού κατά το μικρό χρονικό διάστημα (t, t+dt), (δηλαδή ο αριθμός των πυρήνων που διασπάστηκαν κατά το χρονικό αυτό διάστημα), είναι επίσης ακέραιος αριθμός. Επειδή όμως, για οποιοδήποτε δείγμα μακροσκοπικών διαστάσεων, ο αριθμός Ν είναι πολύ μεγάλος (=0 3 ) και η μεταβολή ΔΝ είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με το Ν, μπορούμε για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, να χρησιμοποιήσουμε το Ν σαν να ήταν συνεχής συνάρτηση του t και να υπολογίσουμε π.χ. την παράγωγο dν/dt (8. Μπορούμε λοιπόν να λύσουμε την παραπάνω άσκηση θεωρώντας τον αριθμό των πυρήνων Ν αντί για τη μάζα m. Η μεταβολή dν του αριθμού των πυρήνων σε χρόνο dt. είναι dν=-λνdt. Από τη σχέση αυτή, ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε Ν=Ν 0 e -λt. Παράδειγμα : Έστω ότι η συνάρτηση Ν(t) παριστάνει ένα πληθυσμό (π.χ. μιας πόλης ή μιας καλλιέργειας μικροβίων κ.λ.π.), συναρτήσει του χρόνου t. Εάν δεχθούμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι ανάλογος προς τον πληθυσμό, τότε θα έχουμε: dn = κ N () dt όπου κ η σταθερά αναλογίας. Εύκολα προκύπτει ότι η γενική λύση της () είναι: N ( t) = ce κ t () Εάν τον τύπο () τον εφαρμόσουμε για τον πληθυσμό της γης, ο οποίος σύμφωνα με μια στατιστική, το 96 ήταν 3, άνθρωποι και ο οποίος αυξανόταν με ένα ρυθμό % ανά χρόνο, τότε θα έχουμε: N(t)=ce 0.0t (3) (8 Αυτό αποτελεί προφανώς μια προσέγγιση, αφού για οποιαδήποτε συνάρτηση =f() το lim Δ 0 Δ/Δ είναι πεπερασμένο μόνο αν Δ 0 όταν Δ 0. Αυτό όμως προϋποθέτει ότι το Δ μπορεί να γίνει μικρότερο από κάθε ε>0 χωρίς να γίνει μηδέν. Δεχόμαστε λοιπόν ότι η ελάχιστη μη μηδενική μεταβολή του Ν, δηλαδή η ΔΝ =, αν συγκριθεί με τη τιμή Ν=0 3, είναι τόσο μικρή ώστε να μπορούμε, με αμελητέο σφάλμα, να τη θεωρήσουμε σαν να ήταν μικρότερη από κάθε ε>0. Η προσέγγιση αυτή είναι εξαιρετικά ακριβής όσο ακριβής θα ήταν ένας αριθμητικός υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης =f() [α,β], κατά τον οποίο το d θα το παίρναμε 0 3 φορές μικρότερο από το εύρος (β-α) του πεδίου ορισμού.

49 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 33 Η σταθερά c υπολογίζεται εάν πάρουμε σαν αρχή του χρόνου t το έτος 96, οπότε θα έχουμε: N(0)=c=3, άνθρωποι. Τότε η σχέση (3) γράφεται: t N t = 3,06 0 e (4) ( ) 9 0,0 Από τη σχέση (4) δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις για μεγάλα χρονικά διαστήματα, επειδή δεν λάβαμε υπ' όψη διάφορους παράγοντες που επηρεάζουν την αύξηση ενός πληθυσμού, όπως είναι π.χ. η τροφή, ο ζωτικός χώρος, η θνησιμότητα κ.λ.π. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο (4) για το έτος 00, δηλαδή 49 χρόνια μετά από την απογραφή του 96, θα παίρναμε: N 49 = 3,06 0 e = 8,5 0 ( ) 9 0, ενώ η πραγματική τιμή του πληθυσμού της γης το 00 είναι 6,55 0 Μια καλύτερη περιγραφή της αύξησης ενός πληθυσμού μπορούμε να πάρουμε από τη Δ.Ε.: dn dt = κ N λn με κ, λ>0 (5) η οποία προκύπτει από την () ως εξής: Εάν θεωρήσουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού κ δεν πια σταθερός αλλά είναι ανάλογος του πληθυσμού, κ = h N, τότε η () γράφεται: δηλαδή ( ) ( ) dn t dt ( ) = h N N Τα χαρακτηριστικά της h( N ) θέλουμε να είναι τέτοια ώστε όταν το Ν είναι αρκετά μικρό, το h( N ) κ > 0 και όταν το Ν είναι αρκετά μεγάλο, η συνάρτηση h( N) να φθίνει, να είναι δηλαδή αρνητική. Η πιο απλή συνάρτηση με αυτά τα χαρακτηριστικά είναι η: h( N) τότε η (6) γράφεται: ( ) = κ λn dn t = = dt Εάν θέσουμε κ/λ=μ η Δ.Ε. (5) γράφεται: ( κ λn) N κn λn dn λ N = κ N N = κn dt κ μ (6) (7) (8)

50 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Από την (8) προκύπτει η Δ.Ε. () εάν θεωρήσουμε το Ν πολύ μικρό σε N σύγκριση με το μ, οπότε. Η Δ.Ε. (8) είναι χωριζόμενων μεταβλητών και η γενική λύση της είναι: μ μ N() t = t + cμe κ (9) N N=μ μ/(+c) P(ln(cμ)/κ),μ/ t t Η γραφική παράσταση της (9) λέγεται λογιστική καμπύλη. Έχει δυο ασύμπτωτες: Ν=0 και Ν=μ, (για t - και t αντίστοιχα), και ένα σημείο καμπής Ρ(t, Ν ), το οποίο προσδιορίζεται από την εξίσωση d N / dt = 0. Η εξίσωση αυτή γράφεται: d N κ dn μ = ( μ Ν ) = 0 N = dt μ dt Από την (9) προκύπτει τότε ( ) t = ln cμ / κ. Η σταθερά ολοκλήρωσης c προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη Ν(0)=Ν 0. Βρίσκουμε ότι: και η αντίστοιχη μερική λύση είναι: () μ N t = N 0 N 0 ( μ N 0) e + κt μ c = μn N o 0 (0) Η διαφορική εξίσωση () περιγράφει την εκθετική αύξηση του πληθυσμού και η διαφορική εξίσωση (5) την λογιστική αύξηση. Παράδειγμα 3: Μια δεξαμενή έχει όγκο V=5m 3 και είναι τελείως γεμάτη με καθαρό νερό. Τη στιγμή t=0 αρχίζει να εισρέει στη δεξαμενή άλμη από ένα

51 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 35 σωλήνα με παροχή q=3lit/min, με αποτέλεσμα η δεξαμενή να ξεχειλίζει και να εκρέει απ' αυτήν ίσος όγκος νερού ανά μονάδα χρόνου. Η συγκέντρωση του αλατιού στην άλμη είναι c=0,5gr/lit. Να βρεθεί η μάζα του αλατιού, η οποία βρίσκεται διαλυμένη στο νερό, που περιέχεται στη δεξαμενή, σε μια χρονική στιγμή t>0. Πόση θα είναι η μάζα αυτή τη στιγμή t=0min; Να παρασταθεί γραφικά η m(t). (Υποθέτουμε ότι το αλάτι, που περιέχεται στην εισρέουσα άλμη, διαχέεται ακαριαία σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής ώστε η εκάστοτε συγκέντρωση αλατιού να είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής). Λύση: Θεωρούμε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή t+dt. Έστω ότι κατά το χρονικό αυτό διάστημα dt η μάζα του αλατιού που περιέχεται στη δεξαμενή μεταβάλλεται κατά dm. Η μεταβολή dm είναι: dm=[μάζα που εισρέει από t ως t+dt] - [Μάζα που εκρέει από t έως t+dt] Η μάζα αλατιού, που εκρέει κατά το χρονικό διάστημα (t, t+dt), είναι εκείνη που περιέχεται στο νερό που ξεχειλίζει κατά το χρονικό αυτό διάστημα. Από τη δεξαμενή ξεχειλίζει νερό με ρυθμό ίσο με το ρυθμό με τον οποίο προσάγεται άλμη στη δεξαμενή, δηλαδή ίσο με q. Επομένως, κατά τη διάρκεια dt του θεωρουμένου χρονικού διαστήματος, ξεχειλίζει όγκος νερού qdt. Αφού η συγκέντρωση είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής, η τιμή της συγκέντρωσης θα είναι m/v, (όπου m η διαλυμένη μάζα του αλατιού και V ο όγκος της δεξαμενής). Άρα ο όγκος qdt του νερού που ξεχειλίζει σε χρόνο dt περιέχει μάζα αλατιού [m/v]qdt. Όμοια βρίσκουμε ότι η μάζα αλατιού που εισρέει κατά το θεωρούμενο χρονικό διάστημα είναι cqdt. Έχουμε λοιπόν: m dm dm = cqdt qdt ή qdt V m = c V () H () είναι μια Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Μπορούμε να βρούμε τη γενική της λύση και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε τη σταθερά από την απαίτηση να είναι m=0 για t=0. (Πράγματι, αρχικά η δεξαμενή περιέχει καθαρό νερό και συνεπώς η μάζα m του εν διαλύσει αλατιού είναι μηδέν). Ισοδύναμος και συντομότερος τρόπος για την εύρεση της λύσης που ενδιαφέρει είναι να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα και των δυο μελών της (4) με όρια 0 ως t στο δεξιό μέλος και 0 ως m στο αριστερό. Έχουμε: m t ln ln ln c 0 0 V dm m q m q q dt c c t t m = V = V cv = V

52 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 q q m t t V V = e m = cv e cv Στην λύση αυτή αντικαθιστούμε τα αριθμητικά δεδομένα: gr 3 lit c= 0,5, V = 5m, q= 3 lit min gr 3 gr Έχουμε: cv = 0,5 5m = 0,5 5000lit=500gr lit lit lit 3 q 3 = min = min 3 V 5m 5000 Οπότε η λύση γράφεται: () m t Για είναι: () mt 3 min t 5000 = 500 e gr t = 0 m in η μάζα του αλατιού θα = 500 e gr=4,9gr Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε την γραφική παράσταση της mt ( ), η οποία για t τείνει ασυμπτωτικά στην διακεκομμένη γραμμή m = cv. Παράδειγμα 4: Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σ' ένα ρευστό, το ρευστό ασκεί στο σώμα μια δύναμη F R που έχει την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά προς τη ταχύτητα του σώματος, (αντίσταση του ρευστού). Το μέτρο της αντίστασης του ρευστού, υπό ορισμένες συνθήκες είναι ανάλογο της ταχύτητας του σώματος, ενώ υπό ορισμένες άλλες συνθήκες (9 είναι ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας. Είναι δηλαδή: F = κ v () F R R = κ v () (9 Ακριβέστερα οι () και () ισχύουν αντιστοίχως για μικρές και μεγάλες τιμές του αριθμού Renolds Re, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση ρvl Re = όπου ρ η πυκνότητα n του ρευστού, n το ιξώδες, v η ταχύτητα του σώματος και l κάποια γραμμική διάσταση του σώματος.

53 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 37 όπου v η ταχύτητα του σώματος και κ, κ συντελεστές ανεξάρτητοι της ταχύτητας. Να υπολογιστεί, σε μια τυχαία χρονική στιγμή η ταχύτητα ενός σώματος μάζας m που πέφτει από ύψος h 0 χωρίς αρχική ταχύτητα, α) με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την () και β) με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την (). Λύση: Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι: F = mg F R Γράφοντας την επιτάχυνση ως γ=dv/dt, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση F=mγ υπό τη μορφή: dv mg FR = m (3) dt α) Αν η F R δίνεται από την (), η (3) γίνεται: dv dv mg κv = m = dt dt κ g v m Τη στιγμή t=0 η ταχύτητα είναι v=0 και τη στιγμή t η ταχύτητα είναι v. Ο- λοκληρώνουμε λοιπόν και τα δυο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με όρια 0 ως t στο δεξιό μέλος και 0 ως v στο αριστερό και παίρνουμε: v = t = t ln v ln = t mg m 0 0 v dv m dv gm mg κ g v κ v κ κ m κ Αφού για t=0 είναι v=0, στην αρχή τουλάχιστον της κινήσεως θα είναι v<mg/κ. Στην περίπτωση αυτή, παραλείπουμε τα σύμβολα των απολύτων τιμών και έχουμε: κ κ κ κ t t κ mg m m ln v = t v= e v= e mg m mg κ Η γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t η ταχύτητα τείνει σε μια οριακή τιμή v ορ =mg/κ. Ποτέ το v δεν γίνεται μεγαλύτερο από mg/κ και επομένως πάντα ισχύει η παραδοχή v<mg/κ με την οποία παραπάνω παραλείψαμε το σύμβολο της απόλυτης τιμής από τη μεταβλητή των λογαριθμικών συναρτήσεων. Άρα η λύση που βρήκαμε ισχύει για κάθε t [0, ). κ

54 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 V mg/κ t (Να εξετασθεί η περίπτωση που η αρχική ταχύτητα v 0 είναι διάφορη του μηδενός) β) Αν η F R δίνεται από την (), η (3) γράφεται: dv dv mg κv = m = gdt dt κ v mg Ολοκληρώνοντας τα δυο μέλη της εξίσωσης αυτής με όρια 0 και v στο α- ριστερό μέλος και 0 ως t στο δεξιό, παίρνουμε: v κ d v mg mg = gt κ κ v mg 0 = v και αναλύουμε τη συνάρτηση μέσα στο ολοκλή- κ Θέτουμε mg ρωμα του αριστερού μέλους σε απλά κλάσματα: A B = + + Βρίσκουμε κατά τα γνωστά, Α=/, Β=-/ και d = ln ln + = ln + c + (4) Στο κάτω όριο του ολοκληρώματος έχουμε v=0 και επομένως =0, οπότε

55 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 39 ln ln() 0 = = + = 0 Επομένως η (4) γίνεται τελικά: mg ln κ + = gt Επειδή για t=0 είναι v=0, θα είναι, τουλάχιστον στην αρχή της κίνησης (5) κ v < ή <, οπότε - =-. Η (5) γράφεται τότε: mg κ g ln + m + = t = Αντικαθιστώντας την έκφραση = v και λύνοντας ως προς v παίρνουμε τελικά: v = mg e κ + e κ κ g t m g t m κ mg κ e t m Η έκφραση αυτή, αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος του δεξιού μέλους επί e v κ g t m γράφεται: κg κg t t m m mg e e mg κg = = tanh t κg κg κ t t κ m m m e + e Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής, για t 0, δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t, v = Ποτέ το v mg δεν mg γίνεται μεγαλύτερο από και επομένως πάντα ισχύει η παραδοχή < με κ βάση την οποία θέσαμε - =-. Η λύση που βρήκαμε ισχύει επομένως για κάθε t [0. ). v ορ κ

56 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 V mg/κ t Παράδειγμα 5: Σ ένα σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων ΟXY να βρεθεί μια καμπύλη =() της οποίας η εκ περιστροφής επιφάνεια γύρω από τον άξονα OX να έχει την εξής οπτική ιδιότητα: Κάθε φωτεινή ακτίνα με πηγή το σημείο Ο να ανακλάται παράλληλα προς τον άξονα OX. Λύση: Έστω Μ ένα σημείο της καμπύλης =() με συντεταγμένες (,). Φέρουμε την εφαπτομένη στο Μ, η οποία τέμνει τον ΟΧ στο σημείο A, και την κάθετο στην εφαπτομένη στο σημείο Μ, η οποία τέμνει τον OX στο σημείο Β, (βλέπε αντίστοιχο σχήμα). Σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης πρέπει <ΟΜΒ=<ΒΜΚ=φ (0. Επειδή η ΜΚ είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ έχουμε <ΒΜΚ=<ΜΒΟ. Επίσης το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ορθογώνιο και επομένως <BΑΜ=90-φ=ω. Στη συνέχεια έχουμε: tanω= =cotφ=(τριγ. ΝΒΜ) BN = BN =BN=OB-ON=OB- MN αλλά ΟΒ=(τριγ.ΟΜΒ=ισοσκ.)=ΟΜ=(τριγ.ΟΝΜ=ορθ.) ON +NM = + Άρα = + () (0 Με το σύμβολο <ΒΜΚ θα εννοούμε την γωνία που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΜ και ΜΚ.

57 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 4 Η Δ.Ε. () δεν ανήκει σε καμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις. Μπορεί όμως να γίνει χωριζομένων μεταβλητών ως εξής: d + = + ( + ) = + d Θέτουμε: + = z dz dz = z = d z = + c z = + c d z ( ) ( ) z = + c + = + c = c + c Επομένως οι καμπύλες, που ικανοποιούν το πρόβλημα είναι παραβολές και είναι άπειρες σε πλήθος. Υπενθυμίζουμε ότι εάν f (, ) = 0 είναι η εξίσωση μιας επίπεδης καμπύλης, τότε η εξίσωση της επιφάνειας που προκύπτει όταν περιστρέψουμε την καμπύλη ως προς τον άξονα Ο κατά 80 0 μοίρες είναι η f, ± + z = 0. Επομένως η εξίσωση των παραβολών = c + c ( ) κατά την περιστροφή τους γύρω από τον άξονα Ο παράγουν επιφάνειες με εξίσωση + z = c + c δηλαδή παραβολοειδείς επιφάνειες. 3.Γ Προβλήματα Εφαρμογών ) Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση": κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμο-

58 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t=t και βρίσκουμε Ν 0 και Ν αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τ. (Υπόδειξη: Σε χρόνο τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται.) ln Απάντηση: τ = t N ln N0 ) Όταν μια ακτινοβολία, (π.χ. ακτίνες Χ ή νετρόνια), διαπερνάει κάποιο υλικό πάχους d, η ένταση της Ι μειώνεται κατά di=-μid, όπου μ σταθερός συντελεστής που εξαρτάται από τη φύση του υλικού. Αν η ακτινοβολία προσπίπτει με αρχική ένταση Ι 0 σε μια επίπεδη πλάκα από κάποιο υλικό και βγαίνει από την πίσω επιφάνεια της πλάκας με ένταση Ι 0 /0 να υπολογιστεί, (συναρτήσει του μ), το πάχος της πλάκας. Απάντηση: =ln0/μ 3) Να λυθεί το παράδειγμα 3, αν τη στιγμή t=0, όχι μόνο αρχίζει να εισρέει άλμη στη δεξαμενή αλλά ρίχνουμε στη δεξαμενή και μια μάζα στερεού αλατιού Μ=kg, και αμελητέου όγκου, σε σχέση με τον όγκο της δεξαμενής, η οποία διαλύεται με σταθερό ρυθμό r= gr/min. 4) Μια τορπίλη μάζας m εκτοξεύεται οριζοντίως με αρχική ταχύτητα v 0 και επιβραδύνεται από μια δύναμη ανάλογη προς την ταχύτητα της. Υποθέτοντας ότι καμία άλλη δύναμη δεν ασκείται στη τορπίλη, βρείτε τη ταχύτητα της και το διάστημα που έχει διανύσει μετά παρέλευση χρόνου t από την εκτόξευση της. Αριθμητική εφαρμογή: v 0 =60km/h, m=00kg. k =4 0-3 kg/sec. Απάντηση: v= v e vm S = e k k t t m 0 m 0, k 5) Ο ρυθμός με τον οποίο ψύχεται ένα θερμό σώμα είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του μέσου που περιβάλλει το σώμα. Αν η θερμοκρασία κάποιου σώματος σε μια ώρα έπεσε από 0 0 C σε 70 0 C και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με 0 0 C, σε πόσο χρόνο θα πέσει η θερμοκρασία του σώματος στους 30 0 C ; Απάντηση: Σε t=ln0/ln= 3,3h. 6) Ένας αλεξιπτωτιστής αρχίζει να πέφτει από ύψος h 0 =000m και ανοίγει αμέσως το αλεξίπτωτο του. Το σύστημα αλεξιπτωτιστή - αλεξιπτώτου έχει μάζα m=85kg. Η αντίσταση F R του αέρα δίνεται από το νόμο F R =k v, όπου k =45 kg/sec σταθερός συντελεστής και v η (εκάστοτε) ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή. Να υπολογιστεί η ταχύτητα v και το ύψος h του αλεξιπτωτιστή σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις v(t) και h(t).

59 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 43 g kt Απάντηση: vt () = e k με k=k g g kt /m, ht () = h0 t + e k k 7) Nα λυθεί η προηγούμενη άσκηση αν ο αλεξιπτωτιστής δεν ανοίξει το αλεξίπτωτο του αμέσως, αλλά όταν φτάσει σε ύψος h =500m. Στην περίπτωση αυτή δεχθείτε ότι από το ύψος των h 0 =000m ως το ύψος των h =500m, (η ροή είναι "τυρβώδης"), η αντίσταση του αέρα δίνεται από τη σχέση F (T) A =/ρc D σv, όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού, c D =, αδιάστατος συντελεστής, και σ=0,4m η "μετωπική" επιφάνεια του αλεξιπτωτιστή. Από το ύψος των 500m και κάτω η ροή είναι "στρωτή" και ισχύει ότι η F R είναι ανάλογη της ταχύτητας, (βλ. προηγούμενη άσκηση). 3. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μια άλλη κατηγορία Δ.Ε. ης τάξης, που μπορεί να επιλυθεί, είναι οι ομογενείς Δ.Ε. Ορισμός: Μια συνάρτηση n μεταβλητών f = f (,,, n ) λέγεται ομογενής ως προς,,, n με βαθμό ομογένειας ν εάν ισχύει f ( λ, λ,, λ ) = λ f (,,, ) ν n n για κάθε πραγματικό αριθμό λ. Παραδείγματα: α) Η συνάρτηση f = 3 4 f (, ) = + είναι ομογενής ως προς και με βαθμό ομογένειας ν=4 διότι 3 4 f ( λ, λ) = ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) + ( λ) 4 = λ = 4 = λ f (, ) ( ) 3 z β) Η συνάρτηση f = f(,, z) = + + z είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας ν =3, διότι 3 ( λ)( λz) f ( λ, λ, λz) = ( λ)( λ ) + + ( λ)( λ)( λz) = λz 3 3 z 3 = λ + + z = λ f (,, z) f = f, = sin δεν είναι ομογενής, διότι δεν υπάρχει αριθμός ν τέτοιος ώστε: γ) Η συνάρτηση ( )

60 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 (, ) ν ν λ λ = λ (, ) ή λ sin ( λ ) ( λ )( λ ) = λ ( sin ) f f Ας θεωρήσουμε τώρα τη διαφορική εξίσωση: d g(, ) = d h(, ) () όπου οι συναρτήσεις g(,) και h(,) είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού, έστω ν. Τότε θα έχουμε: ν g( λ, λ) = λ g(, ) g(, ) = g( λ, λ) λ ν και h(, ) = h( λ, λ ) λ Αν στις δυο αυτές σχέσεις θέσουμε λ=/ προκύπτει: g(, ) g, ν = (, ), ν h = h και η εξίσωση () γίνεται: όπου ν * g, g, g d = = = = F d ν * h, h, h * g = g, και * h = h, Εάν θέσουμε = R ( ) μπορούμε να ανάγουμε την () σε Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Πράγματι αν: ν () ( ) d dr = R( ) ( ) = R( ) = + R d d Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του d/d στη () παίρνουμε: dr + R = F( R) dr = F( R) R dr = d d d F( R) R dr ln = c FR ( ) R + (3)

61 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 45 Από την (3), ολοκληρώνοντας και λύνοντας ως προς R μπορούμε κατ αρχήν να βρούμε το R, (και επομένως και το ), ως συνάρτηση του. d Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: d = + Λύση: Έχουμε: + + d + = = = d με R( ) = παίρνουμε =R() d = dr + R οπότε η (4) γίνεται: d d dr + R dr + R R + R = = R = d R d R R Χωρίζοντας τις μεταβλητές βρίσκουμε: RdR d = c + c -ln(-r )=ln=lnc -R = R - =c (4) Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. = 3e + e + 3e Λύση: Επειδή στους εκθέτες εμφανίζεται ο λόγος / είναι απλούστερο στην περίπτωση αυτή να θέσουμε /=R. Έχουμε τότε: Εξ άλλου d dr = R d= Rd+ dr = R+ d d d + e + 3e = = d d d 3e (5) Διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος αυτού δια και χρησιμοποιώντας την (5) βρίσκουμε:

62 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 R R R R dr + e + 3Re + e d 3Re = -R+ = = dr R R R d 3Re 3Re + e R R ω 3R e 3 e 3 e 3 ln ω ln R R ω ω = dr= dr = d = + e + c + e + e + e όπου ω=r. Τελικά βρίσκουμε: = c + e 3 με lnc =c Παρατήρηση: Στην ομογενή Δ. Ε. = f (, ) η συνάρτηση f (, ) δεν εξαρτάται χωριστά από τα και, αλλά μόνο από τον λόγο /. Κατά συνέπεια τα διευθύνοντα στοιχεία, που ορίζονται στα σημεία των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, (και έχουν εξίσωση = k ή / = k ), έχουν την ίδια κλίση, ( k ). Επίσης οι ολοκληρωτικές καμπύλες και το διευθύνον πεδίο είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Διευθύνον πεδίο και ολοκληρωτικές d + καμπύλες της Δ. Ε. = d Τα διευθύνοντα στοιχεία σε όλα τα σημεία των ευθειών, που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, έχουν την ίδια κλήση Ασκήσεις: Για όσες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι ομογενείς, να βρεθεί η γενική λύση.. = Απ. = ln c

63 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης = Aπ. μη ομογενής + 4 = Aπ. = c + = Aπ. = c + = Aπ. = c = Aπ. + ln = c + 7. = + ( ) / = Aπ. μη ομογενής Aπ. = + ln c d A ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: = d + + α β γ α β γ Με την αντικατάσταση = 0 + X, = 0 + Y στην Δ. Ε. d α+ β+ γ = d α + β + γ () όπου 0, σταθερές, που θα προσδιοριστούν κατάλληλα, η () γράφεται: 0 dy αx + βυ + α0 + β0+ γ = dx α X + β Υ + α + β + γ Αν τα 0, 0 επιλεγούν έτσι ώστε: 0 0 α + β + γ = 0 και α + β + γ = 0 (3) τότε η () ανάγεται στην ομογενή διαφορική εξίσωση: dy αx + βy = dx α X + β Y () (4)

64 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Για να μπορούμε από τις (3) να προσδιορίσουμε τα 0, πρέπει η ορίζουσα 0 των συντελεστών των 0, να είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή πρέπει 0 αβ α β 0. Αν αυτό δεν συμβαίνει, δηλαδή αν αβ α β = 0, τότε θα έχουμεα / α = β / β. Ονομάζοντας π.χ. λ τη σταθερή τιμή αυτού του λόγου, έχουμε α = λα και β = λβ, οπότε η () γράφεται: d α + β + γ = d λ( α + β) + γ (5) Στην περίπτωση αυτή θέτουμε: R = α + β (6) οπότε dr d = α+ β d d (7) Αντικαθιστώντας στην (5) τα α + β και d / d από τις (6) και (7) βρίσκουμε, με απλές πράξεις: dr R + γ = β+ α d λr + γ (8) Η (8) είναι Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές. Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση d + + = d + (9) Λύση: Με την αντικατάσταση = X + 0, = Y + η (9) γράφεται: 0 dy X + Y = dx X Y (0) και θέτοντας = 0 και = 0 βρίσκουμε: 0 =-3/ και 0 =-/. Έτσι θα έχουμε = X 3/ και = Y /. Η (0) στη συνέχεια γίνεται: Y + dy X + Y = = X dx X Y Y X Εάν θέσουμε R = Υ/ Χ, τοτεy γράφεται: () = RX dy = dr X + R και η () dx dx

65 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 49 dr + R R dx X + R = dr = dx R + R X Ολοκληρώνοντας και θέτοντας R = X / Y, Y = + / και X = + 3/ βρίσκουμε τελικά: arctan ln ln c = d + Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση = () d και να βρεθεί η μερική λύση που περνάει από το σημείο (, ). Λύση: Με την αντικατάσταση = X + 0, = Y + παίρνουμε από την (): 0 dy X + Y = dx X Y 0 0 Παρατηρούμε ότι το σύστημα = 0 και 0 0 = 0 δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε +=R, οπότε d / d = dr / d. Η () γίνεται τότε: dr R = + = d R R Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε: = /( + ) + c. Για να περνάει η λύση από το σημείο (,) πρέπει να είναι =/(+) +c ή c=-. Η ζητούμενη λύση είναι λοιπόν: ( ) = + Άσκηση Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε = (Απ =c) 3.B Παραδείγματα εφαρμογών των Ομογενών Δ. Ε. ) Διαγράμματα φάσεως Θεωρούμε την κίνηση ενός συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας που περιγράφεται από την Δ.Ε. ας τάξεως

66 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 = F(, ) όπου η γενικευμένη συντεταγμένη της οποίας η παράγωγος είναι ως προς τον χρόνο t. Η () είναι ισοδύναμη με το παρακάτω σύστημα Δ.Ε. πρώτης τάξης: = και = F(, ) () Μια λύση αυτού του συστήματος είναι η =(t), =(t). Θεωρούμε ένα ορθογώνιο σύστημα δυο αξόνων, όπου ο ένας άξονας παριστάνει την ταχύτητα = και ο άλλος την θέση. Ο δισδιάστατος αυτός χώρος ονομάζεται φασικός χώρος ή χώρος των φάσεων. Σε κάθε χρονική στιγμή έχουμε ένα ζεύγος (, ) = (, ) που ορίζει ένα σημείο του φασικού χώρου. Το σημείο αυτό ονομάζεται φασικό σημείο. Το σύνολο των σημείων από τα οποία περνάει το σύστημα κατά την διάρκεια της κίνησής του ορίζουν την καμπύλη φάσεως. Το σύνολο των καμπυλών ονομάζεται διάγραμμα φάσεως. Τρόπος εύρεσης των καμπυλών φάσεως: Από το σύστημα των Δ.Ε. () απαλείφοντας το χρόνο διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη θα έχουμε: F(, ) d F(, ) = = (3) d Η (3) είναι μια Δ.Ε. ης τάξης, της οποίας οι λύσεις είναι οι καμπύλες φάσεως. Ας προσδιορίσουμε το διάγραμμα φάσεως στην περίπτωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση. Η εξίσωση της κίνησης είναι: = K b με Kb>, 0 όπου Κ είναι η σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου και b μια σταθερά αναλογίας, αφού έχουμε θεωρήσει την απόσβεση ανάλογη της ταχύτητας. Στην περίπτωσή μας έχουμε: F(, ) = K b. Θεωρούμε ότι m=, και ότι η απόσβεση είναι μικρή έτσι ώστε b < 4K ο- πότε η (3) γράφεται: d K b = (4) d Η (4) είναι ομογενής Δ.Ε. πρώτου βαθμού. Έτσι: K b K b d + + = = (5) d ()

67 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 d dr Θέτουμε: = R ( ) = R ( ) = R+. d d Επομένως η (5) γράφεται: dr ( K + br) dr R+ = = d R d ( K br) dr K br R RdR d + R = = R d R R + br+ K RdR d =. K + br + R Θα υπολογίσουμε πρώτα το αριστερό ολοκλήρωμα: RdR RdR ( R + b b) = = dr = R + br+ K R + br+ K R + br+ K R b b dr d( R br K) = + dr = + + R + br+ K R + br+ K R + br+ K b dr b dr = ln ( R + br+ K) R + br + K R + br + K. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: dr R + br + K (6) b b R + br+ K = R+ + K dr b b R+ + K 4 οπότε το (6) γράφεται: 4 και θέτοντας b b R+ = K t θα έχουμε: 4 b K dt dr 4 dt = = = b b b b b t + R+ + K K t + K K

68 5 ΚΕΦΑΛΑ K = Άρα τελικά RdR R br + Έτσι θα έχο ln ( R + και θέτοντα ln + ΑΙΟ 3 tan 4 b K ά: ln ( R R R K = + ουμε: ) b br K + ας R = παίρν b b K b R b K +. ) R br K + + tan 4 b K νουμε την τελι tan 4 b K ta 4 b b K 4 b R b K + = ική λύση: 4 b b K + an 4 b R b K + ln C + ln C = +.

69 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 53 ) Τροχιά μιας βάρκας κατά μήκος ενός ποταμού. Θέλουμε να προσδιορίσουμε την καμπύλη πάνω στην οποία κινείται μια βάρκα η οποία έχει σχετική ταχύτητα v β ως προς το νερό, το ρεύμα του οποίου έχει ομοιόμορφη ταχύτητα vπ κατά την αρνητική φορά του άξονα Ο. Το μέτρο της ταχύτητας της βάρκας vβ = v είναι σταθερό αλλά το διάνυσμα v β β διευθύνεται πάντα προς την αρχή των αξόνων. Έστω ότι η βάρκα εισέρχεται από το σημείο (c,0) και κατευθύνεται προς την αρχή των αξόνων. Η κίνηση της βάρκας μπορεί να αναλυθεί στους άξονες Ο, Ο. Στον άξονα Ο κινείται με ταχύτητα d vβ, = = ν β cosθ dt () (το - οφείλεται στο ότι κινείται στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα Ο), ενώ στον άξονα O με d vβ, = = ν π νβ sinθ () dt Συνδυάζοντας τις () και () θα έχουμε: d ν π νβ sinθ = (3) d ν cosθ Όμως sin θ =, cosθ = + + β οπότε η (3) θα γραφεί:

70 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 νπ νβ d + ν + ν ν + + ν = = = d ν νβ νβ β + δηλαδή τελικά έχουμε: d ν π = d π β π β + + ν β ν β που είναι ομογενής Δ.Ε. Λύνοντας την (4) θα έχουμε: ν π β π + + ν ν + + ν d β = = = d ν ν β + + ν β νπ = (5) ν β Θέτουμε = R( ) = R( ) οπότε θα έχουμε: d dr = R+ d d. Έτσι η (5) γράφεται: dr νπ + R + νβr R+ = d ν dr d dr β νπ + R + νβr νβr νπ = = + R νβ νβ ( ) ν d v = R+ + R = + K π π ln ln + R ν β vb Θέτοντας: vπ = α, ln( R + + R ) = αln + K R+ +R = K v β β α (4)

71 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 55 οπότε: + + α α α+ + + = K = K + + = K Πολλαπλασιάζουμε την (6) με - + και έχουμε: ( ) ( ) ( ) - + =K - + -=K - + α+ α+ (6) α + = / K (7) Προσθέτουμε τις (6) και (7): α α+ α+ α = + K = K K K α) Εάν θέλουμε η βάρκα να φθάσει στην αρχή των αξόνων, θα πρέπει (0)=0 και αυτό συμβαίνει μόνο όταν -α>0, δηλαδή >α= v π v β >v π. vβ β) Εάν α> δηλαδή v β <v π τότε lim 0 ()=-, δηλαδή η βάρκα δεν θα φθάσει στο σημείο (0,0) αλλά ούτε και στην απέναντι όχθη. γ) Εάν α= τότε lim 0 ()=-K / H σταθερά K μπορεί να προσδιοριστεί από την αρχική συνθήκη: α + c ( c) = 0 0= Kc 0= K c c K = c Κ = c K α α α α α 3) Γραμμές Διανυσματικού πεδίου. Έστω A = A(,, z) ένα διανυσματικό πεδίο. Γραμμές του διανυσματικού πεδίου A ονομάζουμε τις καμπύλες εκείνες που σε κάθε σημείο τους (,,z) η εφαπτομένη έχει την διεύθυνση του A. Αν το A παριστάνει μια δύναμη τότε θα μιλάμε για δυναμικές γραμμές, ενώ όταν το A παριστάνει την ταχύτητα ενός ρευστού τότε οι γραμμές του διανυσματικού πεδίου A μας δίνουν τις ρευματικές γραμμές. Οι Δ.Ε. των γραμμών ενός διανυσματικού πεδίου δίνονται από τις σχέσεις: d d dz = = A A A z Πράγματι: Έστω C μια γραμμή του διανυσματικού πεδίου A με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: rt () = ti () + t () j+ ztk ()

72 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 dr () t Επειδή το εφαπτομενικό διάνυσμα της καμπύλης C είναι παράλληλο dt προς το διανυσματικό πεδίο A θα έχουμε: dr() t d( t) d ( t) dz ( t) = λa = λa, = λa, = λaz dt dt dt dt d d dz = = A A Az Έστω ν (, ) = ( ) iˆ+ ( + ) ˆj η ταχύτητα που επικρατεί στο σημείο (,) ενός πεδίου ροής. Θέλουμε να βρούμε τις ρευματικές γραμμές: d d d + = = + d Ομογενής Δ.Ε.. Λύνοντάς την έχουμε: + d = d () d dr Θέτουμε = R = R = R+ οπότε η () γράφεται: d d dr + R dr + R + R R + R R+ = = R = = d R d R R R RdR d δηλαδή = Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Οπότε: + R RdR d d( + R ) = C ln C + = + + R + R ( ) ln ln ln ln + R = + C + R = + C + R = C + R = C + C C = = 4 = C. Αυτή είναι η εξίσωση των ρευματικών γραμμών.

73 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 57 Γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου: v = ( ) i + ( + ) j Ρευματικές γραμμές του διανυσματικού πεδίου: v = ( ) i + ( + ) j 3.3 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης TΑΞΗΣ Η γενική μορφή των γραμμικών ( Δ.Ε. ης τάξης είναι: d P ( ) Q ( ) d + = () d Αν Q()=0 η Δ.Ε + P ( ) = 0 ονομάζεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. ης d τάξης και είναι χωριζομένων μεταβλητών. Για την λύση της Δ.Ε. () θα λύσουμε πρώτα την αντίστοιχη ομογενή, που είναι χωριζομένων μεταβλητών. d α) P ( ) 0 d + = d P ( ) d k = + P ( ) d ομ = ce β) Για την λύση της Δ.Ε. () θα χρησιμοποιήσουμε τον γραμμικό μετασχηματισμό ( ( ) = g( ) Y( ) επειδή η () είναι γραμμική και θέλουμε να ( Η Δ.Ε. () ονομάζεται γραμμική διότι η πρώτη παράγωγος και η ίδια η συνάρτηση εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη και δεν υπάρχει το γινόμενο τους. ( Η πιο γενική μορφή γραμμικού μετασχηματισμού είναι ()=g()y()+h() με Y() η νέα άγνωστη συνάρτηση και g(), h() συναρτήσεις που θα προσδιοριστούν επιδιώκοντας η νέα Δ.Ε. να έχει τέτοια μορφή ώστε να επιλύεται.

74 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 διατηρήσουμε τον χαρακτήρα της. Η συνάρτηση g ( ) θα προσδιοριστεί κατάλληλα επιδιώκοντας η Δ.Ε. να λάβει πιο απλή μορφή και να είναι επιλύσιμη. Έχουμε = gy + g Y και επομένως: gy + g Y + P( ) gy = Q( ) gy + g + P( ) g Y = Q( ) ( ) Η παραπάνω Δ.Ε. απλοποιείται σημαντικά εάν επιλέξουμε την συνάρτηση g() έτσι ώστε: g + P()g = 0 g() = ce δηλαδή η ( ) P()d g πρέπει να είναι η λύση της ομογενούς. Οπότε έχουμε: Άρα P( ) d e gy = Q( ) Y( ) = Q( ) d+ c c με c cc ( ) e = Q( ) e d + c P( ) d P( ) d =. () Ένας άλλος τρόπος λύσης της Δ.Ε. () είναι ο εξής (3 : Προσπαθούμε το πρώτο μέλος να το γράψουμε σαν παράγωγο ως προς. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε με μια κατάλληλη συνάρτηση μ ( ). Θέλουμε δηλαδή να είναι: μ + μ P= f (3) είναι: ( ( )) Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι μια κατάλληλη εκλογή της f ( ) f ( ) = μ ( ) ( ) Θέτουμε την (4) στην (3) και έχουμε: μ + μp = μ = μ + μ μ = Pμ μ ( ) ( ) p( ) d = e (5) (4) (3 Ο τρόπος αυτός ουσιαστικά βασίζεται στην έννοια του ολοκληρωτικού παράγοντα, που θα μελετηθεί στο Κεφάλαιο 4.

75 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 59 p( ) d = e και έχουμε: Έτσι πολλαπλασιάζουμε την αρχική Δ. Ε. () με μ ( ) P ( ) d P ( ) d P ( ) d e + e P( ) = e Q( ) d P( ) d P( ) d e = Q ( ) e d P( ) d P( ) d e = Q( ) e d+ c P( ) d P( ) d ( ) = e Q( ) e d+ c Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.: = Λύση: Έχουμε ( ) και τελικά ( ) P( ) =, Q( ) = P d = = e e d+ c = e e + c = ce Το αντίστοιχο διευθύνον πεδίον είναι: από το οποίο φαίνεται ότι μια σταθερή λύση είναι η =-/ που προκύπτει από την γενική λύση για c= Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.: + = 4 Λύση: Έχουμε P ( 4 ) =, Q ( ) = P ( ) d = 4ln και τελικά:

76 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 c ln 4ln 4 ( ) = e e d+ c = + c = Από την μορφή της γενικής λύσης είναι φανερό ότι δεν υπάρχει μερική λύση που να ικανοποιεί αρχική συνθήκη της μορφής: (0)= 0, αφού ο όρος c/ 4 απειρίζεται για =0. Έτσι λοιπόν οι ολοκληρωτικές καμπύλες τείνουν ασυμπτωτικά προς τον άξονα Ο. Τα παραπάνω ήταν αναμενόμενα αφού το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο μιας Δ.Ε. ης τάξης: =f(,) δεν εφαρμόζεται. Πράγματι εδώ έχουμε f(,)=-4/+ 4, και η συνάρτηση f(,) δεν είναι συνεχής για =0, δηλαδή πάνω στα σημεία του άξονα Ο. Επομένως δεν υπάρχει λύση που να ορίζεται από αρχική συνθήκη της μορφής (0)= 0, δηλαδή που να διέρχεται από τον άξονα Ο. Εξαίρεση αποτελεί η λύση = 5 /9, η οποία προκύπτει από την γενική λύση για c=0 και είναι η μόνη που είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =0. Παράδειγμα 3: Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις φ() οι οποίες έχουν την ιδιότητα: t ϕ ( t ) dt = + ϕ ( ) () α Λύση: Παραγωγίζουμε την () ως προς : d dϕ dϕ t () t dt ( ) d ϕ = + ϕ = + α d d dϕ ϕ ( ) = d η οποία είναι γραμμική Δ. Ε. και βάσει του τύπου () θα έχουμε d d ϕ( ) = e e d+ c ϕ( ) = + ce / () Η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί την αρχική εξίσωση: α t / / t + ce dt = + + ce t t t + c ep d cep α = + + α

77 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 6 α α + c ep ep = + + cep α c = ( α + ) ep α ( ) = + ep Τελικά ϕ ( α ) Ένας άλλος τρόπος, πιο σύντομος, για τον προσδιορισμό της σταθεράς c είναι ο εξής: Θέτουμε στη () =α και έχουμε: ( ) α ϕα = + ce (3) Η εξίσωση () για =α δίνει 0 ( ) ( ) = α + ϕα ϕα = α (4) Από την (3) και (4) δι' απαλοιφής του φ(α) παίρνουμε: α ( α ) c= + e Συχνά εμφανίζονται γραμμικές διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η μια ή και οι δυο συναρτήσεις P() και Q() παρουσιάζουν άλμα ασυνέχειας. Εάν το 0 είναι ένα τέτοιο σημείο ασυνέχειας, τότε είναι απαραίτητο η εξίσωση να λυθεί χωριστά για < 0 και για > 0. Στη συνέχεια οι δυο λύσεις συναρμόζονται έτσι ώστε η () να είναι συνεχής στο 0. Αυτό επιτυγχάνεται με μια κατάλληλη εκλογή των αυθαίρετων σταθερών. Σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο να καταστεί η παράγωγος () συνεχής. Παράδειγμα 4: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών: + = Q, 0 = 0, ( ) ( ) 0 όπου: Q ( ) = 0 > Λύση: Για 0 έχουμε P()= και Q()=. Επομένως: ( ) = e { e d+ c} = e e + c = + ce Για > έχουμε P()= και Q()=0. Επομένως: ( ) = c e

78 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Άρα η γενική λύση θα είναι: + ( ) = ce / ce 0 < Η συνένωση των δυο λύσεων απαιτεί: lim ( ) = lim ( ) > lim + ce = = lim { ce } > ½+ ce = c e c c = e / Η αρχική συνθήκη θα επιβληθεί στην πρώτη λύση, διότι αυτή ισχύει για =0. Έχουμε ( ) 0 = 0 /+ c = 0 c = / και επομένως το c = c + e / = / + e / = / (e ) Τελικά η λύση θα είναι: ( e ) ( ) / 0 () = / e e > Ασκήσεις. Να λυθούν οι Δ.Ε. ) - = Απ. =c+3 / ) -cot=sin Απ. = sin+csin 3) +=3e Απ. =ce - +e 4) +=sin Απ. =ce - + sin- cos 5) Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών: 0 ()+P()()=0, (0)=, όπου: P ( ) = >

79 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης A Προβλήματα Εφαρμογών ) Τοποθετούμε ένα σώμα που έχει θερμοκρασία 50 0 C σ ένα θάλαμο με σταθερή θερμοκρασία 00 0 C. Εάν σε 5 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 60 0 C, υπολογίστε α) σε πόσα λεπτά το σώμα έφτασε τους 75 0 C και β) τη θερμοκρασία του σώματος σε 0 λεπτά. (Απ. α) t=5,4min, β) Τ=79,5 0 C. Το πρόβλημα αυτό, όπως και το επόμενο, λύνεται από την Δ.Ε. dt/dt=k(t-t περ ), όπου Τ περ η θερμοκρασία περιβάλλοντος) ) Ένα σώμα με άγνωστη θερμοκρασία τοποθετείται σ ένα χώρο με σταθερή θερμοκρασία 30 0 C. Εάν μετά από 0 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 0 0 C και μετά από 0 λεπτά είναι 5 0 C, υπολογίστε την άγνωστη αρχική θερμοκρασία του σώματος. (Απ. Τ C) 3) Ένα κύκλωμα περιλαμβάνει εν σειρά μια πηγή με ΗΕΔ 3sint Volts, μια αντίσταση 0Ω και μια αυτεπαγωγή 0,5 Ηenr. Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t, εάν αρχικά ήταν 6 Αmpere. (Απ. I=609/0e -0t +30/0sint-3/0cost, Η αντίστοιχη Δ.Ε. είναι di/dt+(r/l)i=e/i 4) Τη στιγμή t=0 ανάβουμε ένα ηλεκτρικό θερμοσίφωνα, ισχύος Ρ=4Kw και χωρητικότητας 80lit. Έχουμε όμως ξεχάσει ανοικτή τη βρύση του ζεστού νερού από την οποία χύνεται νερό με ρυθμό q=0,5lit/min. Το νερό που χύνεται έτσι από τον θερμοσίφωνα αναπληρώνεται με κρύο νερό από το δίκτυο, θερμοκρασίας Τ 0 =0 0 C. Να βρεθεί η θερμοκρασία του νερού στον θερμοσίφωνα τη χρονική στιγμή t. (Ειδική θερμότητα νερού c=kcal/kg, Joule=αcal με α=0.4, Kw= kjoule/sec, πυκνότητα νερού ρ=kg/lit). qρ α P t Απάντηση: m T = T0 + e με αντίστοιχη Δ.Ε. cqρ α P q dt = dt ( T T0 ) dt cv ρ V 3.4 ΑΚΡΙΒΕΙΣ ή ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Έστω η Δ.Ε. d d P (, ) = () Q(, ) Η () γράφεται P(, ) d + Q(, ) d = 0 () Αν υπάρχει κάποια συνάρτηση F (, ) τέτοια ώστε:

80 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 F F P(, ) = και Q(, ) = (3) τότε το αριστερό μέλος της () είναι το ολικό διαφορικό (4 της συνάρτησης F και η () μπορεί να γραφεί με τη μορφή df = 0. Η γενική λύση της () είναι F (, ) = c (4) Υποθέτοντας ότι οι συναρτήσεις P(,) και Q(,) έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους, παίρνουμε από τις (3): P F Q F = και = (5) Εάν δεχθούμε ότι η F έχει συνεχείς τις δεύτερες μερικές παραγώγους, τότε από το θεώρημα του Schwarz (5 έχουμε: και επομένως θα είναι F F = P Q = (6) Η (6) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η () ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης F. Όταν συμβαίνει αυτό, η () ονομάζεται ακριβής ή πλήρης διαφορική εξίσωση και η λύση της δίνεται από την (4). Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζουμε τότε τη συνάρτηση F περιγράφεται στο παρακάτω παράδειγμα: Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση: d ( 8 ) + ( ) = 0 (7) d Λύση: Η (7) γράφεται: (4 Το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης F = F ( ) n μεταβλητών,,, n F F F,,, ορίζεται από τη σχέση: n df = d+ d+ + d f (5 H διατύπωση του θεωρήματος του Schwarz είναι η εξής: Εάν η συνάρτηση (, ) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, τότε F F = δηλαδή ο υπολογισμός της δεύτερης μερικής παραγώγου εξαρτάται από την σειρά παραγωγίσεως. n n. F δεν

81 Έχουμε: ( ) ( ) d+ 8 d = 0 P= Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 65 P και = Q Q= 8 και = P Q F F Επειδή = υπάρχει συνάρτηση F με = P και = Q, της οποίας το ολικό διαφορικό είναι η (8). Για την εύρεση της F ακολουθούμε την εξής πορεία: F F. Έχουμε = P ή =. Ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση ως προς, (θεωρώντας το σταθερό), βρίσκουμε: F ( ) d = d d = (9). Η F(,) είναι ίση με το ολοκλήρωμα (9) συν κάποια συνάρτηση φ() του : F(, ) = + ϕ ( ) (0) Πράγματι παραγωγίζοντας την (0) ως προς και παίρνοντας υπόψη ότι φ()/ =0 επαληθεύουμε τη σχέση: F = P = 3. Για να προσδιορίσουμε την φ() παραγωγίζουμε τη (0) ως προς και εξισώνουμε την παράγωγο αυτή με Q=8- F dϕ d = + = 8 () Από την () προκύπτει dφ/d=8 και φ=4 () Αντικαθιστώντας την () στην (0) βρίσκουμε: F(,)= - +4 (3) (8)

82 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Οι λύσεις της (7) είναι λοιπόν: - +4 =c Ασκήσεις: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω Δ.Ε. είναι πλήρεις και αν είναι να βρείτε τη γενική λύση τους. + d + + d = 0. ( ) ( ). e d+ e d= 0 3. e d+ e d= 0 4. d + d = 0 5. ( ) d + ( + ) d = 0 d + d = Απαντήσεις: +. + = c 4. = c. Δεν είναι πλήρης 5. Δεν είναι πλήρης 3. e = c 6. arctan + = c 3.5 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ Σε πολλά προβλήματα της Φυσικής εμφανίζονται δυο οικογένειες καμπυλών τέτοιες ώστε κάθε καμπύλη της μιας οικογένειας τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της άλλης. Π.χ. αν θεωρήσουμε κάποιο "αστρόβιλο" δυναμικό πεδίο, (π.χ. πεδίο βαρύτητας ή ηλεκροστατικό πεδίο), σε δυο διαστάσεις, δηλαδή σ' ένα επίπεδο, οι τομές των ισοδυναμικών επιφανειών αποτελούν μια οικογένεια καμπυλών που τέμνουν κάθετα τις δυναμικές γραμμές. Επίσης σε δυσδιάστατα προβλήματα αστρόβιλης ροής ασυμπίεστου ρευστού οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων η ρευματική συνάρτηση είναι σταθερή, (δηλαδή οι ρευματικές γραμμές), τέμνουν κάθετα τις καμπύλες κατά μήκος των οποίων το δυναμικό ταχύτητας είναι σταθερό. Θεωρούμε λοιπόν μια μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών: Φ (,, c) = 0 () και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών:

83 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 67 F(,, k ) = 0 () που έχουν την ιδιότητα: κάθε καμπύλη της οικογένειας () να τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της οικογένειας (). Οι ζητούμενες καμπύλες ονομάζονται "ορθογώνιες τροχιές" των καμπυλών της οικογένειας (). Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές της () α) Βρίσκουμε τη Δ.Ε. που περιγράφει τις καμπύλες της οικογένειας (), δηλαδή την Δ.Ε. της οποίας η γενική λύση είναι η Φ (,, c) = 0. Για το σκοπό αυτό παραγωγίζουμε την () ως προς και απαλείφουμε το c μεταξύ της () και της εξίσωσης που προκύπτει από την παραγώγιση, δηλαδή: Φ (, c,) = 0 d d d f (, ) (, c,) 0 = Φ = = Φ (, c,) + Φ(, c,) d d d (3) β) Λύνουμε την Δ.Ε.: d d = f (, ) (4) Σε κάθε σημείο (,) οι λύσεις της Δ.Ε. (4) και οι λύσεις της Δ.Ε. (3) θα έ- χουν κλίσεις, των οποίων το γινόμενο θα είναι ίσο προς: f (, ) = f (, ) Άρα σε κάθε σημείο, η λύση της (4) που περνάει από το σημείο αυτό είναι κάθετη προς τη λύση της (3), που περνάει από το ίδιο σημείο. Συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της (4) είναι οι ζητούμενες ορθογώνιες τροχιές. Παράδειγμα : Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των ομόκεντρων κύκλων: + = c Λύση: Παραγωγίζοντας την Φ(,,z)= + -c =0 ως προς, παίρνουμε + = 0 = Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών θα είναι λοιπόν d d = = Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουμε: ( ) ln= ln + c = k με k = lnc

84 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στο παράδειγμα αυτό, οι αρχικές καμπύλες ήταν περιφέρειες κύκλου με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα c, και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ευθείες με κλίση k που περνάνε από την αρχή των αξόνων (0,0), Σχ.. + =c =kv Σχ. Παράδειγμα : Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παραβολών = c. Λύση: Παραγωγίζοντας την = c παίρνουμε c = 0 και βρίσκουμε, (λύνοντας την πρώτη από τις εξισώσεις αυτές ως προς c και αντικαθιστώντας το c= / στη δεύτερη), = /. Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών είναι: = / d = d.

85 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 69 Σχ. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε =- /+k. Οι αρχικές καμπύλες =c ήταν, στην περίπτωση αυτή, παραβολές που περνούν από το σημείο (0,0) και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ελλείψεις με κέντρο το σημείο (0,0), μεγάλο ημιάξονα παράλληλο προς τον OX και ίσο με k και μικρό ημιάξονα ίσο προς k Σχ.. Παράδειγμα 3: Να δείξετε ότι η οικογένεια των κωνικών τομών + = είναι αυτοορθογώνια με την έννοια ότι σε κάθε σημείο κάθε c c 5 καμπύλης της οικογένειας υπάρχει άλλη καμπύλη της ίδιας οικογένειας, η οποία τέμνει την προηγούμενη καμπύλη στο εν λόγω σημείο κάθετα. Λύση: Παραγωγίζουμε την εξίσωση της οικογένειας ως προς και έχουμε: d = 0 c = c 5 = c c 5 d + + Αντικαθιστούμε τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση της οικογένειας και βρίσκουμε: ( + )( ) 5 = 0 που είναι η Δ.Ε. της οικογένειας. Η εξίσωση αυτή παραμένει αμετάβλητη όταν η παράγωγος αντικατασταθεί με -/. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών περιγράφεται από την ίδια διαφορική εξίσωση και επομένως η αρχική οικογένεια είναι αυτοορθογώνια. Σχ. 3 Άλλος τρόπος: Την Δ.Ε.

86 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 (+ )( -)-5 =0 την γράφουμε σαν τριώνυμο ως προς : α( ) +β +γ=(+ )( -)-5 =0 με α=, β= - -5 και γ=-. Εάν =f (,) και =f (,) είναι οι δυο ρίζες του τριωνύμου αυτού, τότε το γινόμενο τους, ως γνωστόν, θα είναι =α/γ=()/(-)=-. Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι οι ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. =f (,) τέμνουν κάθετα τις ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. =f (,). Όμως οι δυο αυτές Δ.Ε. περιέχονται στην αρχική Δ.Ε., δηλαδή τα δυο αυτά σύνολα των ολοκληρωτικών καμπυλών αποτελούν την αρχική οικογένεια καμπυλών και επομένως η οικογένεια αυτή είναι αυτοορθογώνια. Παρατήρηση: Εύκολα διαπιστώνουμε ότι για c>5 η οικογένεια των κωνικών τομών + = c c 5 παριστάνει έλλειψη και για 0<c<5 υπερβολή, Σχ.3, (Για c<0 η εξίσωση της οικογένειας είναι αδύνατη Ασκήσεις: ) Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παρακάτω οικογενειών καμπυλών. α) - =c (Aπ.=k) β) =ce (Aπ. =-+k) γ) - =c (Aπ. + 3 /3=k) ) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ορθογώνιες τροχιές μιας οικογένειας καμπυλών Φ(,,c)=0 με την βάθμωση Φ(,,c). 3.6 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σε πολικές συντεταγμένες η εξίσωση της οικογένειας καμπυλών, των ο- ποίων ζητούνται οι ορθογώνιες τροχιές, θα έχει την μορφή: Φ(r,θ,c)=0 () Ας θεωρήσουμε την καμπύλη της οικογένειας αυτής, που περνάει από ένα τυχαίο σημείο Σ(r,θ). Αν Ψ είναι η γωνία, που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης αυτής στο σημείο Σ, με την πολική ακτίνα r=οσ, θα είναι, (από το rdθ τρίγωνο ΑΒΣ): tan Ψ= dr

87 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 7 Η ποσότητα αυτή χαρακτηρίζει την κλίση της καμπύλης c ως προς την πολική ακτίνα. Η Δ.Ε. της οικογένειας των καμπυλών θα έχει τη μορφή: dθ r = f(, r θ ) dr () την οποία βρίσκουμε παραγωγίζοντας Β την () ως προς θ και απαλεί- rdθ φοντας την c μεταξύ της () και της εξίσωσης που προκύπτει από την παραγώγιση της (). Η Δ.Ε. των ορθογώνι- Ψ Α ων τροχιών θα είναι τότε: dr dθ Σ(r,θ) dθ θ r r = dr f (, r θ ) (3) Ο Άσκηση: Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές για τις παρακάτω οικογένειες καμπυλών: ) r=c(-cosθ) Απ. r=kcos (θ/) ) c r = ε cosθ Απ. θ tan r = k sinθ 3) r=e cθ Απ. (lnr) =k -θ ε 3.7 ΠΛΑΓΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ Θεωρούμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: Φ(,,c)=0 () και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: F(,,k)=0 () τέτοια ώστε κάθε καμπύλη της οικογένειας F να τέμνει κάθε καμπύλη της Φ υπό γωνία θ π/. Οι καμπύλες της Κ οικογένειας F λέγονται πλάγιες τροχιές της οικογένειας Φ. θ Ας υποθέσουμε ότι η Δ.Ε. της () είναι: ω φ

88 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 d f (, ) d = (3) τότε η καμπύλη Κ της οικογένειας () που διέρχεται από το σημείο (,) έχει κλίση f(,) στο (,) και η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο (,) σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα ΟΧ τέτοια ώστε: tan ϕ = f (, ) ϕ = tan [ f(, )] Η εφαπτομένη τώρα της πλάγιας τροχιάς Κ, που τέμνει την καμπύλη Κ στο σημείο (,) υπό γωνία θ, θα σχηματίζει με τον άξονα ΟΧ γωνία: ω = ϕ + θ = tan f (, ) + θ Τελικά η κλίση της πλάγιας αυτής τροχιά θα δίνεται από τη σχέση: f (, ) + tanθ tanω = tan tan ( f (, ) ) + θ = f (, )tanθ και η Δ.Ε. των πλάγιων τροχιών θα είναι: d f (, ) + tanθ = d f (, )tanθ Παράδειγμα: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών που τέμνει την οικογένεια των ευθειών =c υπό γωνία π/4. Λύση: Βρίσκουμε, κατά τα γνωστά, την Δ.Ε., της οποίας λύση είναι η οικογένεια των ευθειών Φ(,,c)=-c=0. Φ= c Φ = 0 = = c = 0 Αντικαθιστούμε την f(,)=/ στην έκφραση: π f(, ) + tan = = π (, )tan f 4 και η Δ.Ε. των ζητουμένων πλάγιων τροχιών είναι: d + = d η οποία σαν ομογενής Δ.Ε. έχει λύση: ( ) ln k + tan = 0

89 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 73 Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε =rcosθ και =rsinθ και η λύση παίρνει τη μορφή: ln kr tan tanθ = 0 ln kr θ = 0 r= ke θ ( ) ( ) ( ) δηλαδή οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι οι εκθετικές σπείρες. Άσκηση: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών, που τέμνει την οικογένεια των κύκλων + =R υπό γωνία π/4. Απ. ln( + )+tan - (/)=c 3.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ) Ηλεκτρομαγνητισμός. Ας θεωρήσουμε ένα δυσδιάστατο ηλεκτρικό, (ή μαγνητικό), πεδίο Ε=Ε(,) με δυναμικό V=V(,). Οι ισοδυναμικές καμπύλες του πεδίου Ε ορίζονται σαν οι καμπύλες του επιπέδου ΟΧΥ, σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό έχει σταθερή τιμή. Οι ισοδυναμικές καμπύλες δίνονται από την σχέση V(,)=c, με c σταθερό. Οι ορθογώνιες τροχιές, οι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες δίνουν το ηλεκτρικό πεδίο. Συγκεκριμένα η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι διάνυσμα εφαπτόμενο των ορθογωνίων τροχιών και κάθετο στις ισοδυναμικές καμπύλες. Παράδειγμα: Θεωρούμε ένα φορτίο Q τοποθετημένο στην αρχή Ο ενός συστήματος αναφοράς ΟΧΥ. Το δυναμικό σ' ένα σημείο (,) του επιπέδου δίνεται από τον τύπο V=k/r όπου k σταθερά και r η απόσταση του σημείου (,) από την αρχή Ο. Οι ισοδυναμικές καμπύλες προκύπτουν από την σχέση V=k/r=c r=k/c + =c όπου c =(k/c ), δηλαδή οι εξίσωση των ισοδυναμικών καμπυλών είναι: Φ(,,c)= + -c =0 () Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές, παραγωγίζουμε την () ως προς :

90 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 d Φ (,, c) = + = 0 =f(,)=-/ d Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. d d = = = = c f, ( ) Επομένως οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυλών είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται από την βάθμωση του δυναμικού: V V E = V = i k k k j = i r j r = r r και διαπιστώνουμε ότι πράγματι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι διάνυσμα εφαπτομενικό των ορθογωνίων τροχιών. Διεύθυνση της έντασης Ε Ισοδυναμικές καμπύλες ) Μηχανική των ρευστών. Θεωρούμε τις ισοδυναμικές καμπύλες ενός ρευστού, δηλαδή τις καμπύλες σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό του ρευστού είναι σταθερό. Τότε οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυλών είναι οι ρευματικές γραμμές, οι οποίες αποτελούν τις τροχιές που ακολουθούν τα μόρια του ρευστού κατά τη διάρκεια της ροής του ρευστού. 3) Θερμική αγωγιμότητα. Ας θεωρήσουμε μια μεταλλική πλάκα, της ο- ποίας τα σημεία δεν έχουν την ίδια θερμοκρασία. Η οικογένεια των καμπυλών, σε κάθε σημείο των οποίων, η θερμοκρασία έχει την ίδια τιμή, λέγονται ισοθερ-

91 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 75 μικές καμπύλες. Η οικογένεια των ορθογωνίων καμπυλών είναι οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων διαδίδεται η θερμότητα. 3.9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI ( ) Η γενική μορφή της εξίσωσης αυτής είναι: d d α = P ( ) + Q ( ) α R () Αν α=0 τότε η Δ.Ε. () είναι γραμμική. Αν α= τότε είναι γραμμική ομογενής, (χωριζομένων μεταβλητών) Αν όμως α {0,} τότε η () είναι μη γραμμική. Για να μετατραπεί σε γραμμική πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα μη γραμμικό μετασχηματισμό. Δοκιμάζουμε τον απλούστερο μη γραμμικό μετασχηματισμό =u β και έχουμε: P Q = βu u = Pu + Qu u = u+ u β β β β αβ αβ β+ Καταλήξαμε πάλι σε εξίσωση Bernoulli. Τώρα όμως έχουμε στη διάθεση μας την παράμετρο β που από εμάς εξαρτάται τι τιμή θα της δώσουμε έτσι ώστε η Δ.Ε. να αναχθεί σε γραμμική Δ.Ε. ομογενή ή όχι. Έτσι έχουμε τις εξής δυο επιλογές: α) αβ-β+= β(α-)=0 β=0 αδύνατη διότι η = δεν είναι λύση β) αβ-β+=0 β = και η Δ.Ε. ως προς u γίνεται γραμμική α Άρα η εξίσωση Bernoulli γραμμικοποιείται εάν θέσουμε: = u α ( ) ( ) ( ) ( ) και έχουμε: u = α P u + α Q η οποία λύνεται βάσει του τύπου () της παραγράφου 3.3. Άλλος τρόπος: Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της () με -α, ώστε ο τελευταίος της όρος να γίνει ανεξάρτητος του, τότε θα έχουμε: α P ( ) α+ Q ( ) ( ) () () α+ P α+ = + = + α + Q απ όπου είναι φανερό ότι μετατρέπεται σε γραμμική με την αντικατάσταση

92 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 α α u = = u Παρατήρηση: Αν χρησιμοποιήσουμε γραμμικό μετασχηματισμό π.χ. =gu, τότε η εξίσωση του Bernoulli παραμένει μη γραμμική, αλλά υπάρχει το ενδεχόμενο να λύνεται διαλέγοντας κατάλληλα την συνάρτηση g(). Έτσι η εξίσωση του Bernoulli με τον μετασχηματισμό =gu γράφεται: gu + g u = Pgu + Qg α u α ο δε γραμμικός όρος ως προς u, (g -Pg)u μπορεί να απαλειφθεί αν θέσουμε P ( ) d g = Pg g = e οπότε τελικά θα έχουμε λύνεται. = που είναι διαχωρίσιμη και άρα πάντα α α u Qg u Παράδειγμα: Να λυθεί η Δ.Ε. = + e Λύση: Είναι Bernoulli με P()=, Q()=e, α=/. Θέτουμε = α = = =uu u u u και έχουμε uu =u +e u u = u+ e (γραμμική Δ.Ε. ης τάξης) της οποίας η λύση είναι: u e ce = + = e + ce Χρησιμοποιώντας τον γραμμικό μετασχηματισμό =gu βρίσκουμε: e = gu + gu = gu+ gu gu + ( g g) u= e gu Θέτουμε g -g=0 g=e και έχουμε: u du e u = e e u = e = e d u u u= e + c u = e + c Τελικά = gu= e e + c = e + ce () Εφαρμογή: Ποια είναι η μερική, (ή ειδική λύση), της παραπάνω Δ.Ε. που περνάει από το σημείο (0,), δηλαδή ικανοποιεί την αρχική συνθήκη:

93 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 77 (0)= () Εφαρμόζοντας την () στην () προκύπτει: =(+c) c=0 ή c=- με αντίστοιχες μερικές λύσεις =e και =(e -e / ), βλέπε. Σχ.. Από το σημείο (0,) του επιπέδου OXY περνάνε δυο διαφορετικές λύσεις ενώ πληρούνται εκεί όλες οι συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης αφού τόσο η f, = + e ( ) όσο και η παράγωγος της ως προς : f e = + ln Σχ. ορίζονται και είναι συνεχείς σ όλο το ημιεπίπεδο - <<, >0. Πάνω στον άξονα OX (=0) είναι εξασφαλισμένη η ύπαρξη λύσης, (η f είναι συνεχής και για 0), όχι όμως και η μοναδικότητα, αφού παράγωγος f/ απειρίζεται στο ίδιο όριο. Παραβίαση του μονοσημάντου λοιπόν μπορεί να συμβεί μόνο πάνω στον οριζόντιο άξονα, ενώ απ όλα τ άλλα σημεία του θετικού ημιεπιπέδου (>0) θα περνάει μια μoναδική λύση. Η διπλή λύση για το πρόβλημα της αρχικής τιμής (0)= εξηγείται από την παρουσία της πλειότιμης συνάρτησης καθώς και από τη χρήση του μετασχηματισμού =u, που δεν ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη σχέση. Για να γίνει αμφιμονοσήμαντη αυτή η απεικόνιση θα πρέπει να διαλέξουμε ένα ορισμένο πρόσημο στη σχέση u =± και με το ίδιο αυτό πρόσημο να ερμηνεύσουμε την τετραγωνική ρίζα που εμφανίζεται στη Δ.Ε. Εάν διαλέξουμε το θετικό πρόσημο, (όπως κάναμε), τότε η συνάρτηση u θα πρέπει να είναι παντού θετική

94 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 και αν αυτό δεν συμβαίνει θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο εκείνο το τμήμα της που είναι πάνω από τον άξονα OX. Από την έκφραση: u = e + ce βλέπουμε αμέσως ότι η u είναι παντού θετική c 0 αλλά αποκτά και αρνητικό τμήμα c<0. Αυτή είναι η περίπτωση της u() που αντιστοιχεί στη λύση, (c=-), και που η γραφική της παράσταση δίνεται από το παρακάτω σχήμα, όπου η u() είναι αρνητική για όλα τα που είναι αριστερά του σημείου μηδενισμού 0 =ln(-c). Τώρα η απάντηση στο πρόβλημα είναι προφανής. Από την λύση: ( ) e e = του Σχ. θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το τμήμα της από το σημείο μηδενισμού και μετά διότι μόνο σ αυτή την περιοχή η συνάρτηση u = μπορεί να είναι θετική κι επομένως συνεπής με τον ορισμό της ως η θετική τετραγωνική ρίζα του. u - ln Σχ. Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.: ) += Aπ. = ) 3 ce + 4 /3 = Απ /3 =c + 5 /9

95 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI ) Κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο. Οι δυνάμεις τις οποίες δέχεται το σώμα είναι το βάρος του Β, η δύναμη της τριβής T και η αντίσταση του αέρα A. Από το δεύτερο νόμο του Newton θα έχουμε: ds F=mα = m =Β -T-A () dt N = mg cosθ T = N T = mg μ μ cosθ (μ=συντελεστής τριβής). Την αντίσταση του αέρα την θεωρούμε ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλαδή: ds A= k dt με k > 0. Άρα η () γράφεται: ds ds m = mgsinθ μmgcosθ k dt dt ds k ds = gsinθ μgcosθ dt m dt () Οι ποσότητες g, θ, μ είναι σταθερές. Επομένως η σχέση (3) μπορεί να γραφεί στην μορφή όπου ds dt ds = λ h dt k = και λ = sinθ μ cosθ m h g g Η ποσότητα gsinθ μgcosθ είναι θετική αφού το σώμα κινείται προς τα κάτω. Θέτοντας