Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει:"

Transcript

1 Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων και τους ορισµούς της µονοτονίας και των ακροτάτων συνάρτησης. Την έννοια του ορίου µιας συνάρτησης, τον τρόπο υπολογισµού του και τις ιδιότητές του. Τον ορισµό της συνεχούς συναρτήσης. Τον ορισµό της παραγώγου µιας συνάρτησης f σε σηµείο x o, τη γεωµετρική της ερµηνεία και τον τρόπο υπολογισµού της. Τον ορισµό της παραγώγου συνάρτησης, τους κανόνες παραγώγισης και τον τρόπο εφαρµογής τους στην εύρεση του τύπου της. Τον τρόπο εφαρµογής των κανόνων παραγώγισης για την εύρεση της µονότονίας και των ακροτάτων µιας συνάρτησης. Συνοπτική θεωρία: f(x) = g(x) Ισότητα συναρτήσεων: f=g A f =Ag Πράξεις µε συναρτήσεις: Συνάρτηση άθροισµα: S = f + g, µε S(x) = f(x) + g(x), x A f A g Συνάρτηση διαφορά: D = f - g, µε D(x) = f(x) g(x), x A f A g Συνάρτηση γινόµενο: P = f g, µε P(x) = f(x) g(x), x A f A g f f(x) Συνάρτηση πηλίκο: R =, µε R(x) =, x A f Ag και g(x) 0 g g(x) Ιδιότητες ορίων: Εφ όσον υπάρχουν τα lim f(x) και lim g(x), ισχύουν: x x o x x o 1. lim [k f(x)] = k lim f(x). lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo

2 f(x) lim f(x) x xo lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) 4. lim = x xo g(x) lim g(x) 3. x xo x xo x xo 5. x xo x xo v x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. lim v f(x) = v lim f(x) x xo x xo Συνέχεια συνάρτησης σε σηµείο x o : f συνεχής στο x A lim f(x) = f(x ) Η έννοια της παραγώγου: o f x x o o f(x o +h) - f(x o) Ορισµός f (x o ) = lim h 0 h Η f (x o ) παριστάνει: α. την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (x o, f(x o )). β. Το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης f ως πρός x όταν x = x o. Στιγµιαία ταχύτητα σώµατος που κινείται ευθύγραµµα: υ(t) = s (t) Στιγµιαία επιτάχυνση σώµατος που κινείται ευθύγραµµα: α(t) = υ (t) = s (t) Παράγωγος συνάρτησης - Κανόνες παραγώγισης: Α. Κανόνες παραγώγισης βασικών συναρτήσεων: 1. (c) = 0. (x) = 1 3. (x ν ) = νx ν ( x)'= x 1 5. (ηµx) = συνx 6. (συνx) = ηµx 7. (εφx)' = συν x 1 8. (σφx)' = - 9. (e x ) = e x 10. ηµ x Β. Παράγωγος και πράξεις: 1 (lnx)' = x 1. (cf(x)) = cf (x). (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) 3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. f(x) f'(x)g(x) - f(x)g'(x) '= g(x) [g(x)] Γ. Παράγωγος σύνθετων συναρτήσεων: (f(g(x))) = f (g(x))g (x) φ'(x) 1. (φ(x) ν ) = νφ(x) ν 1 φ (x). ( φ(x) )' = φ(x) 3. (ηµφ(x)) = συνφ(x) φ (x) 4. (συνφ(x)) = ηµφ(x) φ (x) φ'(x) 5. (εφφ(x))' = φ'(x) συν 6. (σφφ(x))' = - φ(x) ηµ φ(x) 7. (e φ(χ) ) = e φ(χ) φ'(x) φ (x) 8. (lnφ(x))' = φ(x)

3 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 11. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 1: Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθεράς συνάρτησης f(x) = c ισούται µε 0. Απόδειξη: Για h 0 έχουµε: f(x+ h) f(x) c c f'(x) = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h ΘΕΩΡΙΑ : Να δείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x ισούται µε 1. Απόδειξη: Για h 0 έχουµε: f(x+ h) f(x) x+ h x h f '(x) = lim = lim = lim = 1 h 0 h h 0 h h 0h ΘΕΩΡΙΑ 3: Να δείξετε ότι: (cf(x)) = cf (x) Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση: F(x) = cf(x). Τότε για h 0 έχουµε: F(x + h) F(x) cf (x + h) cf (x) = = = = h h f(x+ h) f(x) f(x+ h) f(x) = lim c clim cf '(x) h 0 h = = h 0 h ( cf(x) )' F'(x) lim lim h 0 h 0 ΘΕΩΡΙΑ 4: Να δείξετε ότι: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x)

4 Συναρτήσεις 1. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση: F(x) = f(x) + g(x). Τότε για h 0 έχουµε: F(x + h) F(x) f(x + h) + g(x + h) (f(x) + g(x)) ( f(x) + g(x) )' = F'(x) = lim = lim = h 0 h h 0 h f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) lim lim lim h 0 + h h = + = h 0 h h 0 h = f'(x) + g'(x)

5 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βηµα ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά 13. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις - κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ. 17: Ασκήσεις Α Οµάδας 6, 7 Σελ. 18: Ασκήσεις Α Οµάδας 8, 9 Β Οµάδας, 3, 5 Σελ. 6: Ασκήσεις Α Οµάδας 1, 3 Σελ. 7: Ασκήσεις Α Οµάδας 5 Σελ. 36: Ασκήσεις Α Οµάδας 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 16 Σελ. 37: Ασκήσεις Α Οµάδας 17, 1, Β Οµάδας 1 Σελ. 38: Ασκήσεις Β Οµάδας 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 Σελ. 45: Ασκήσεις Α Οµάδας 1, 3, 6, 9, 10 Σελ. 46: Ασκήσεις Β Οµάδας, 3, 4, 6 Σελ. 47: Ασκήσεις Β Οµάδας 8, 10 Σελ. 48: Γενικές Ασκήσεις, 3 Β. Από το βιβλίο Μαθηµατικά γενικής παιδείας Γ Λυκείου, (εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ ) Να διαβάσω τις λυµένες ασκήσεις: Σελ. 17-0:, 5, 7 Σελ. 41-4:, 5 Σελ. 5-56: 1, 4, 6, 7, 9 Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ : 6, 8, 9, 11, 17, 19, 1, 4, 8, 30, 33, 36, 38, 43, 45, 48, 50 Σελ : 1, 4, 5, 8, 9, 11 Σελ : 0, 5, 8, 36, 39, 48, 49, 57, 60, 79, 84, 89 Σελ : 3, 5, 11, 14, 19, 3, 4 Να λύσω τα προβλήµατα: Σελ : 53, 55, 58, 61, 66 Σελ. 90-9: 31, 35, 39, 44, 48, 49

6 Συναρτήσεις 14. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις x -1,x 1. Εστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = 3x - α, x> α. Nα βρεθεί το x R ώστε η γραφική της παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Α(3,4). β. Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η f είναι θετική. Λύση: α. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(3,4), άρα: f(3) = α= 4 α= 5 β. Για x έχουµε: Για x > έχουµε: 1 f (x) > 0 x 1> 0 x > x < η x > 5 f (x) > 0 3x 5 > 0 x > 3 Άρα f(x) > 0 για x,, +. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: Λύση: 3x 3(x 1) α. f(x) = x β. g(x) = x+ γ. h(x) = ln(5 x) (x 1)(e + 1) (x + 1)(x 3) x 4 α. Πρέπει: Άρα: (x 1)(x + 1) 0 x 1 x x 1 0 (x 1)(e + 1) 0 x 1 x x Af = R { 1, + 1} e e 1 x R

7 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 15. x x 1 x R β. Πρέπει: (x + 1)(x 3) 0 x 3 0 x 3 x 3 Επίσης: 3(x 1) 0 3(x 1)(x + 1)(x 3) 0 (x 1)(x 3) 0 x 1 ή x 3 (x + 1)(x 3) Άρα το πεδίο ορισµού της g είναι το : A g = (,1] (3, + ). γ. Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως : x 4 0, x+ 0 και 5 x > 0. x+ 0 x Είναι x 4 0 (x+ )(x ) 0 και και x 0 x Επίσης: x+ 0 x και 5 x > 0 x < 5. Άρα το πεδίο ορισµού της h είναι το : A h = (,) (,5). 3. Να υπολογίσετε τα όρια: α. lim( 3x - x - 3 ) x β. x -1 x +x lim x+1 γ. lim x 1 + x 1 3 x x 9x 9 δ. lim( ηµx + συνx -1 ) Λύση: π x 4 x+-1 ε. lim x -1 x+1 lim 3x x 3 = 3 3 = 11 x α. ( ) β. 0 x + x 0 x(x+ 1) lim = lim = lim x = 1 x+ 1 x+ 1 x 1 x 1 x 1 3 x x + 9x 9 x (x 1) + 9(x 1) (x + 9)(x 1) γ. lim = lim = lim = lim(x + 9) = 10 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 π π lim ηµ x +συνx 1 =ηµ +συν 1 = + 1 = δ. ( ) π x 4

8 Συναρτήσεις 16. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ε. x+ 1 ( x+ 1)( x+ + 1) x+ 1 lim = lim = lim = x+ 1 (x + 1)( x + + 1) (x + 1)( x + + 1) x -1 x -1 x -1 x lim = lim = (x + 1)( x + + 1) ( x + + 1) x -1 x Αν lim f(x) = 10 να βρείτε το x x 0 lim g(x) όταν: x x 0 Λύση: f(x) α. g(x) = 3f(x) - 1 β. g(x) = 3f(x) + 6 γ. g(x) = f(x) 5 f(x) - 5 α. β. lim g(x) = lim[3f (x) 1] = 3 lim f (x) 1 = = 9 x xo x xo x xo lim g(x) = lim 3f(x) + 6 = 3 lim f(x) + 6 = = 6 x xo x xo x xo f(x) lim f (x) x x 10 o γ. lim g(x) = lim = = = x xo x xo f(x) 5 limf(x) x xo 5. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + αx, x R, α R. Να βρείτε την f (1) µε τον ορισµό της παραγώγου. Κατόπιν να προσδιορίσετε το α R ώστε ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς x όταν x = 1 να είναι ίσος µε 5. Λύση: f(1+ h) f(1) (1+ h) +α (1+ h) (1 +α 1) f '(1) = lim = lim = h 0 h h 0 h h + h+ 1+α h+α 1 α h(h+ +α) = lim = lim = lim(h + +α ) = +α h 0 h h 0 h h 0 Ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς x όταν x = 1 είναι ίσος µε 5 άρα: f'(1) = 5 +α = 5 α = 3 6. Εστω ρόµβος που έχει τη µεγάλη διαγώνιο τετραπλάσια από τη µικρή. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού συναρτήσει της µικρής διαγωνίου δ όταν δ = 3.

9 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 17. Λύση: Έστω και δ η µεγάλη και η µικρή διαγώνιος αντίστοιχα. δ 4δ δ Τότε: E =, άρα: Εδ ( ) = = δ δ> 0 Ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού συναρτήσει της µικρής διαγωνίου δ είναι: Ε (δ) = (δ ) = 4δ. Για δ = 3 έχουµε: Ε (3) = (4 3) = Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S(t) = (t + 1) + 5, όπου το t µετριέται σε sec και το S σε µέτρα. Να βρείτε: α. Τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [0, 5] sec. β. Τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t =,5 sec. Λύση: α. Sτελ. Sαρχ. S(5) S(0) (5 + 1) + 5 (0 + 1) 5 35 υ= = = = = 7 m/s t t τελ. αρχ. υ (t) = S'(t) = (t + 1) + 5 ' = (t + 1)(t + 1)' = (t + 1). Άρα: υ(,5) = (,5 + 1) = 7 m/s β. ( ) 8. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + 4x 6, x R. Να προσδιορίσετε το σηµείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο: Λύση: α. Η εφαπτοµένη της σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον άξονα x x. β. Η εφαπτοµένη είναι παράλληλη µε την ευθεία: y = x + 7. α. Είναι f'(x) = (x + 4x 6)' = x+ 4. Έστω (x o, f(x o )) το ζητούµενο σηµείο. Τότε: f (x o ) = λ εφ., άρα: x o + 4 = 1 x o 3 ο = ( διότι λ εφ =εφ45 λ εφ = 1 ). Επίσης: f = + 4 6= x,f(x) o o =, 4., άρα: ( ) β. Αφού η εφαπτοµένη είναι παράλληλη µε την ευθεία y = x + 7 είναι λ εφ. =. Έστω (x o, f(x o )) το ζητούµενο σηµείο. Τότε: f'(x o) =λεφ xo + 4= xo = 1 ( ) ( ) ( ) f 1 = = 9. Άρα: (x o, f(x o )) = ( 1, 9).

10 Συναρτήσεις 18. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 9. Να προσδιορίσετε τον αριθµό α R ώστε η συνάρτηση f µε τύπο: x -x αe + e f(x) =,να έχει εφαπτοµένη στη θέση x e +1 ο = ln3, κάθετη στην ευθεία µε x εξίσωση y = - 3x + 3. Κατόπιν να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης. Λύση: Λόγω καθετότητας της εφαπτόµενης µε την ευθεία y = - 3x + 3 ισχύει: 1 λεφ ( 3) = 1 λ εφ = 3 x x x x x x x x α e + e ( α e + e )'(e + 1) ( α e + e )(e + 1)' f '(x) = ' x = = x e + 1 (e + 1) ( αe e )(e + 1) ( α e + e )e αe e = x x (e + 1) (e + 1) x x x x x x x x, οπότε είναι : 1 3α α f '(ln 3) = = = 9α 7 = 16 α= ln 3 ln 3 1 e e ln 3 3 (e + 1) 3 (3+ 1) ln 3 ln e + e 3+ f(ln3) = 9 = 9 3 = + + ln 3 e e Έστω y = λx + β η εξίσωση της εφαπτόµενης. Τότε: = ln 3 +β β= ln Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι η : 1 e y= x+ ln ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = e αx. Λύση: α. Να δείξετε ότι: αf (x) - f (x) = 0, για κάθε x R. β. Να βρείτε τις τιµές του α, ώστε να ισχύει η σχέση: f (x) + f (x) = 3f(x), για κάθε x R. αx αx αx α. Έχουµε: f '(x) = (e )' = e ( α x)' =α e =αf(x) και: f ''(x) = ( α f (x))' =α f '(x) =α f (x) άρα: αf'(x) f''(x) =α f(x) α f(x) = 0

11 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 19. β. Από το ερώτηµα (α) έχουµε: f(x) 0 f ''(x) + f '(x) = 3f(x) α f(x) + α f(x) = 3f(x) ( α + α 3)f(x) = α + α = α= η α= 11. Να βρεθούν τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα (αν υπάρχουν) της συνάρτησης f µε τύπο f(x) = (x - x )e x. Λύση: Έχουµε Α f = R και: ( ) f '(x) = (x x )e ' = (x x )'e + (x x )(e )' = ( x)e + (x x )e = ( x )e x x x x x x x e > 0 x f'(x) = 0 ( x )e = 0 x = 0 x= ±. Το πρόσηµο της f φαίνεται στον επόµενο πίνακα : Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα απο τα διαστήµατα (,,, + ) ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = και τοπικό µέγιστο στο x =. Η τιµή του ελαχίστου είναι f( ) = ( ) e,ενώ η τιµή του µεγίστου εί- ναι f( ) = ( ) e. 1. Εστω η ευθεία y = x - 3. Βρείτε το σηµείο της ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σηµεία Α(1,1) και Β(1,5) να είναι ελάχιστο. Λύση: Έστω Μ(x,y) σηµείο της ευθείας. Τότε θα είναι Μ(x, x - 3). Είναι ( ) ( ) (AM) + (BM) = (x 1) + (x 3 1) + (x 1) + (x 3 5) = = (x 1) + (x 4) + (x 8) = 4x 8x+ 8= f(x), x R

12 Συναρτήσεις 0. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ( ) f '(x) = 4x 8x + 8 ' = 8x 8 και Κατασκευάζουµε τον πίνακα 7 f '(x) 0 8x 8 0 x απο όπου προκύπτει ότι η f έχει ελάχιστο στο x = 7/ το f (7/ ) = 33. Άρα το σηµείο της ευθείας που έχει ελάχιστο άθροισµα τετραγώνων των αποστάσεων 7 1 απο τα σηµεία Α και B είναι το M,. 13. Το κόστος κατασκευής x τεµαχίων ενός προϊόντος ηµερησίως µε 0 < x < 1000 δίνεται από τον τύπο: x K(x) = + 50x + 50 ευρώ. Αν κάθε τεµάχιο πωλείται x ευρώ, πόσα τεµάχια πρέπει να παράγονται ηµερησίως, ώστε να έχουµε το µέγιστο κέρδος; Λύση: Το κέρδος από πώληση x τεµαχίων είναι: x 3x P(x) = x(000 x) + 50x + 50 = x 50, 0 < x < 1000 Είναι 3x P'(x) = x 50 ' = 3x Οπότε P'(x) 0 3x x 650. Κατασκευάζουµε τον πίνακα : Άρα για να έχουµε το µέγιστο κέρδος πρέπει να παράγονται 650 τεµάχια ηµερησίως.

13 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 1. Λύνουµε µόνοι µας x -αx, x < 4 1. Εστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = βx + 1, x α x-3 α. Nα βρεθoύν τα α,β R ώστε Α f = R και η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Α(5,8). β. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.

14 Συναρτήσεις. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: x 1 (x 1) α. f (x) = β. g(x) = 100 x γ. h(x) = x ( ηµ x )(e x 1) (x 1)e ln x 4

15 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να υπολογίσετε τα όρια: 3 x 5x+ 6 x 1x + 1x 10 x+ 7 3 α. lim β. lim γ. lim x x 4 x 10 x 10 x x 4 4. Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις µε lim f(x) = 1. Να βρείτε το lim g(x) όταν: x x 0 x x 0 f(x) -1 α. g(x) = 3[f(x)] 1 β. g(x) = f(x) + 1 f (x) - g(x) Κατόπιν να υπολογίσετε το όριο lim στις περιπτώσεις (α) και (β). x x o f(x o ) + g(x o )

16 Συναρτήσεις 4. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 5. Αν f(x) = 1 + x να βρείτε τα όρια: f(x) f(1) f(x) f(3) α. lim x 1 β. lim x 1 x 3 x 9

17 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 5. x- x,x 0 6. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x+ x. 4α+1,x=0 Αν lim(x + 6) = α, να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x x 1 0 = 0.

18 Συναρτήσεις 6. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 7. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = 4x + αx + 1, x R, α R. Να βρείτε την f () χωρίς να χρησιµοποιήσετε κανόνες παραγώγισης. Κατόπιν να προσδιορίσετε το α R ώστε η κλίση της εφαπτόµενης στο σηµείο (,f()) να είναι ίση µε 8.

19 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού και του ύψους ισοπλεύρου τριγώνου συναρτήσει της πλευράς του όταν αυτή ισούται µε 10.

20 Συναρτήσεις 8. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 9. Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S(t) = - + 6t -1, όπου το t µετριέται σε s και το S σε 3 t 5t 3 µέτρα. Να βρείτε: α. Tη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [0, 4] s β. Tη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 1 s. γ. Tο συνολικό διάστηµα που διανύθηκε σε χρόνο 10 s.

21 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x + xlnx. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης στο σηµείο Α(1,f(1)).

22 Συναρτήσεις 30. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο x ίνεται η f µε f(x) =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της x γραφικής παράστασης της C f της f. Kατόπιν να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο η εφαπτόµενη περνά από τo σηµείο (1,1).

23 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α,β R ώστε η συνάρτηση f µε τύπο 3 αx + β f(x) = να έχει εφαπτοµένη παράλληλη στην ευθεία y = 3x και η x γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σηµείο Α(,). Κατόπιν να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης.

24 Συναρτήσεις 3. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 13. Έστω f, g παραγωγίσιµες στο R µε f, g συνεχείς. Αν ισχύουν: α. για κάθε x R: f (x) g (x) = 4(x ) β. f() g() = 0 να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f, C g δέχονται κοινή εφαπτόµενη σε κοινό σηµείο. Κατόπιν να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης και τις συντεταγµένες του σηµείου.

25 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 33. x - x 14. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = e + e, x > 0. Να δείξετε ότι: f(x) - f (x) f (x) = για κάθε x R. 4x

26 Συναρτήσεις 34. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 15. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x 3 e x, x R. Να βρεθούν τα α, β, γ R ώστε να ισχύει αf (x) + βf (x) + γf(x) = 1xe x, για κάθε x R.

27 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 35. συνx 16. Nα βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f µε: f(x) = + ηµ x στο [0,π]

28 Συναρτήσεις 36. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 17. Να µελετηθεί η µονοτονία και να βρεθούν αν υπάρχουν τα ακρότατα της συνάρτησης f µε τύπο: f(x) = x x - 3

29 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Έστω συνάρτηση f µε f (x) = (3x + 1) για κάθε x R. Να βρεθεί η f αν παρουσιάζει στο σηµείο (-1,f(-1)) ακρότατο και η C f τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Α(0,1).

30 Συναρτήσεις 38. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 19. Έστω η παραβολή y = x. Βρείτε το σηµείο της ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τα σηµεία Α(1,3) και Β(1,6) να είναι ελάχιστο.

31 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Έστω ορθογώνιο τρίγωνο περιµέτρου 10 cm και x µια από τις οξείες γωνίες του. α. Να εκφράσετε την υποτείνουσα του τριγώνου συναρτήσει του x. β. είξτε ότι η υποτείνουσα γίνεται ελάχιστη όταν το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές.

32 Συναρτήσεις 40. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 1. Το κόστος κατασκευής x τεµαχίων ενός προϊόντος ηµερησίως δίνεται από τον τύπο Κ(x) = 5x Αν κάθε τεµάχιο πωλείται ( x), πόσα τεµάχια πρέπει να παράγονται ηµερησίως, ώστε να έχουµε το µέγιστο κέρδος και ποιό θα είναι αυτό;

33 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 41.. Eστω η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = αx + βx +3, α, β R α. Να βρεθούν τα α,β ώστε η εφαπτόµενη στο σηµείο Α(,3) να σχηµατίζει γωνία 45 ο µε τον άξονα xx. β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Α(,3).

34 Συναρτήσεις 4. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο 3. α. Βρείτε ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε: f() = 4, f (1) = 3 και f (1) =. β.έστω οι συναρτήσεις f, g µε g(x) = (x 3 + 1) f(x) + x. Αν f (0) = 4 να βρείτε την g (0).

35 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 43. Ελέγχουµε τη γνώση µας Θέµα 1 ο Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f µε τύπο: f(x) = x - (x - 1)(x + 1) x -x-0, x ±4 Β. Να βρεθεί το α R ώστε η συνάρτηση µε τύπο: f(x) = x -16 5α-, x=4 να είναι συνεχής στο σηµείο x 0 = 4. Είναι η f συνεχής για x 4;

36 Συναρτήσεις 44. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα ο Α. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: συνx α. f(x) = ηµx + lnx β. g(x) = e x +1 γ. h(x) = lnx(x 4 + x) δ. s(x) = ηµ(x + e x ) x Β. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(x) =. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο x 0 x +1 = 4. Θέµα 3 ο Α. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x 3 + αx + βx. Να βρείτε τα α,β R ώστε η f να έχει µέγιστο στο x 0 = και f (1) = 0.

37 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 45. Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = 4x 3 + x + 5x - 10 δεν έχει ακρότατα και να βρείτε τη µονοτονία της. Θέµα 4 ο Α. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x + λx +, λ R. α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,f(1)). β. Να βρεθεί η τιµή του λ R ώστε η παραπάνω εφαπτόµενη να διέρχεται από το σηµείο Β(,-4). γ. Να δείξετε ότι για κάθε λ R η εφαπτόµενη διέρχεται από σταθερό σηµείο.

38 Συναρτήσεις 46. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Β. Να βρεθούν τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης f µε τύπο: x 6 f(x) = ln + x+1 x+1

39 Μετά το τέλος της µελέτης του ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τις βασικές έννοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες των µεταβλητών. Τους ορισµούς της απόλυτης, σχετικής, και αθροιστικής συχνότητας. Τον τρόπο κατασκευής πινάκων συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων και των γραφικών τους παραστάσεων (Ραβδόγραµµα, ιάγραµµα συχνοτήτων, Κυκλικό ιάγραµµα, Σηµειόγραµµα και Χρονόγραµµα). Τη διαδικασία της οµαδοποίησης των παρατηρήσεων σε ισοπλατείς κλάσεις και την κατασκευή πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και των αντίστοιχων Ιστογραµµάτων. Την έννοια της καµπύλης συχνοτήτων και τη µορφή της σε συγκεκριµένες κατανοµές. Τον ορισµό και τον τρόπο υπολογισµού των µέτρων θέσης και διασποράς µιας κατανοµής (µέση τιµή, σταθµικός µέσος, διάµεσος, εύρος, διακύµανση, τυπική απόκλιση.) καθώς και τις ιδιότητες της τυπικής απόκλισης στην κανονική κατανοµή. Τον ορισµό του συντελεστή µεταβολής και του οµοιογενούς δείγµατος.

40 Τυπολόγιο Σχετική συχνότητα: ν = = κ ν i f i, i 1,..., Αθροιστική συχνότητα: Ν 1 =ν1 και Ν, i... i = Ν i 1 +ν i = κ Αθροιστική σχετική συχνότητα: Νi F1 = f1 και Fi = Fi 1+ f i, i=,..., κ ή F i =, i= 1,..., ν ν Επίκεντρη γωνία κυκλικού τοµέα: o νi φ i = fi 360 = 360 ν ν κ κ 1 1 Μέση τιµή: x = ti x = xiν i x = xifi ν ν i= 1 i= 1 i= 1 Σταθµικός µέσος: x σ = ν i= 1 ν i= 1 xw i w i i ιάµεσος: δ= x ν+ αν ν = περιττός, 1 Εύρος: R = xmax xmin xν + xν + 1 δ= αν ν = άρτιος ιακύµανση: 1 s (t x) ν = i ν i= 1 1 s = (t x) ν κ i ν i= 1 i ν t ν i 1 i= 1 s = t i = x x ν i= 1 ν s 1 = ν i κ xi ν i= 1 κ i= 1 xiνi ν Τυπική απόκλιση: s= s Συντελεστής µεταβολής: s CV = x

41 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 49. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 5: Να δείξετε ότι ισχύει: i) f 1 + f + f f k = 1, ii)0 fi 1,i= 1,,..., κ Απόδειξη: ν1 ν ν3 νk ν 1+ν +ν νk ν i) f1+ f + f f k = = = = 1 ν ν ν ν ν ν νi ii) 0 νi ν fi 1 ν

42 Στατιστική 50. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις - κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ. 79: Ασκήσεις Α Οµάδας 4, 5, 7, 8 Σελ. 80: Ασκήσεις Α Οµάδας 10, 11, 1 Σελ. 81: Ασκήσεις Α Οµάδας 14 Β Οµάδας, 4 Σελ. 83: Ασκήσεις Β Οµάδας 7 Σελ. 100: Ασκήσεις Α Οµάδας 3, 4, 5, 6, 7 Σελ. 101: Ασκήσεις Α Οµάδας 9, 10, 1 Σελ. 10: Ασκήσεις Α Οµάδας 17, 19, 0 Β Οµάδας 1 Σελ. 103: Ασκήσεις Β Οµάδας, 3, 4, 5 Β. Από το βιβλίο Μαθηµατικά γενικής παιδείας Γ Λυκείου, (εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ ) Να διαβάσω τις λυµένες ασκήσεις: Σελ : 1, 3, 4, 7, 9, 11, 1 Σελ : 1,, 4, 5, 6, 7, 8 Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ : Ασκήσεις 6, 7, 11, 1, 7, 8, 30, 33, 38, 48, 51, 5, 55 Σελ : Ασκήσεις 5, 11, 1, 15, 30, 34, 36, 41, 44, 51, 55, 57, 59

43 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 51. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1. Οι παρακάτω αριθµοί είναι το πλήθος των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποίησαν σε µία µέρα 30 συνδροµητές. Να κατασκευάσετε: α. Tους πίνακες συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β. Tο διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. γ. Nα βρεθεί το ποσοστό των συνδροµητών που πραγµατοποίησαν: 1. τουλάχιστον 6 κλήσεις.. το πολύ 5 κλήσεις. 3. από 4 εως και 7 κλήσεις. Λύση: α. Ο πίνακας συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων είναι ο ακόλουθος: β. Το διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο είναι το παρακάτω:

44 Στατιστική 5. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο γ. Το ποσοστό των συνδροµητών που πραγµατοποίησαν: 1. τουλάχιστον 6 κλήσεις είναι: 100% F 5% = 100% 56,7% = 43,3%. το πολύ 5 κλήσεις είναι: F% 5 = 56,7% 3. από 4 εως και 7 κλήσεις είναι: F 7% F 3% = 83,3% 46,7% = 36,6%. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και κατόπιν να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων. Λύση: N4 N4 80 Έχουµε: F 4% = 100 ν= 100 = 100 = 00 ν F% 40 F% 1 Επίσης: F1 = = 0,1= f1 άρα: 100 ν 1 = f1 ν = 00 0,1 = 0 =Ν 1 και ν = f ν= 00 0,075= 15 Τότε: Ν =ν 1 +ν = = 35 ν 3 = Ν3 Ν = = 45 και ν 5 =ν ( ν 1 +ν +ν 3 +ν 4) = = 70 4

45 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 53. Στο διπλανό διάγραµµα φαίνεται το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων: 3. Σε κάποιους ασθενείς χορηγήθηκε ένα νέο αντιπυρετικό φάρµακο. Σε έλεγχο που διενεργήθηκε ανά µία ώρα καταγράφηκαν τα ποσοστά των ασθενών στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού. Τα ποσοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Να κατασκευασθεί το χρονόγραµµα των ποσοστών των ασθενών στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και το χρονόγραµµα των ποσοστών των ασθενών στους οποίους η θερµοκρασία δεν σηµείωσε πτώση. Λύση: Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα ποσοστά των ασθενών στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και τα ποσοστά των ασθενών στους οποίους η θερµοκρασία δεν σηµείωσε πτώση: Το χρονόγραµµα των ποσοστών των ασθενών στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και το χρονόγραµµα των ποσοστών των ασθενών στους οποίους η θερµοκρασία δεν σηµείωσε πτώση είναι το ακόλουθο:

46 Στατιστική 54. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 4. Σε ένα κυκλικό διάγραµµα ο κυκλικός τοµέας της τιµής Α έχει κεντρική γωνία ίση µε Αν η µεταβλητή που µελετούµε παίρνει τιµές Α, Β, Γ, και η τιµή Α έχει διπλάσια σχετική συχνότητα από την Β και τριπλάσια από την Γ, να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραµµα. Λύση: Έχουµε: o o φa 10 1 φ A = fa 360 fa = = = o o fa 1 Επίσης: fa = fb fb = = 6 fa 1 fa = 3fΓ fγ = = f = 1 (fa + fb + f Γ) f = f = Οι πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια ενός προϊόντος φαίνονται στο διπλανό ραβδόγραµµα. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα.

47 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 55. Λύση: Κατασκευάζουµε τον παρακάτω βοηθητικό πίνακα: 6. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει των αριθµό πελατών που επισκέφθηκαν ένα κατάστηµα σε µία χρονική περίοδο 100 ηµερών. α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: β. Να κάνετε: 1. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο γ. Να βρείτε το ποσοστό των ηµερών στις οποίες επισκέφθηκαν το κατάστηµα: 1. Λιγότεροι από 50 πελάτες. Από 35 εως 75 πελάτες 3. Από 43 εως 63 πελάτες. Λύση: α. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι ο ακόλουθος:

48 Στατιστική 56. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο β. 1. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο είναι:. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο είναι: γ. 1. Λιγότεροι από 50 πελάτες: Από τον πίνακα είναι: F % = 0% f% 5 f% 1. Από 35 εως 75 πελάτες: Από τις κεντρικές τιµές είναι: F 4% + = 59% 3. Από 43 εως 63 πελάτες: Με γραφική επίλυση στο ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % είναι: 50,3% 1% = 38,3%

49 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Να υπολογιστεί η συχνότητα που λείπει στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων αν γνωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είναι ίση µε 3,0 β. η διάµεσος είναι ίση µε 3,5 Λύση: i i i= 1 85 α. x = x ν 3,0 = (4 + 4 ω) 56,7 + 3,0ω= 4 + 4ω ν +ω 14,7 = 0,98ω ω = 15 β. Επειδη καµία από τις παρατηρήσεις δεν ισούται µε 3,5 προφανώς η διάµεσος υπολογίζεται σαν το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων οι οποίες είναι διαδοχικοί αριθµοί έστω α και α + 1.Τότε: α+α+ 1 = 3,5 α+ 1 = 7 α= 3 ηλαδή το 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες ή ίσες του 3 και το άλλο 50% είναι µεγαλύτερες ή ίσες του 4, οπότε: = ω + 5. Άρα ω = Η βαθµολογία στα 10 µαθήµατα ενός µαθητή είναι: 10, 11, 19, 10, 10, 15, 15, 15, 11, 10. Να υπολογίσετε: α. Τη µέση τιµή. β. Τη διακύµανση. γ. Την τυπική απόκλιση. δ. Το εύρος. ε. Το συντελεστή µεταβολής. Λύση: Κατασκευάζουµε τον διπλανό πίνακα:

50 Στατιστική 58. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο α i i i= 1 x = x ν = 16 = 1, β. γ. s= 9, x ν 4 i i 1 i= s = x iνi = 1678 = 167,8 158, 76 = 9, i= δ. R = x max x min = = 9 ε. s 3 CV = = = 0,38 = 3,8% x 1,6 9. Μια κανονική κατανοµή έχει µέση τιµή 30 και τυπική απόκλιση 5. Να βρεθεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που περιέχονται στα διαστήµατα: α. (5,35) β. (30,35) γ. (0,40) δ. (0,30) ε. (15,45) Είναι το δείγµα οµοιογενές; Λύση: Επειδή η κατανοµή είναι κανονική ισχύει: α. Το διάστηµα (5,35) = (x s,x + s) περιέχει το 68% των παρατηρήσεων περίπου. β. Το διάστηµα (30,35) = (x, x + s) περιέχει το 68%/ = 34% των παρατηρήσεων περίπου. γ. Το διάστηµα (0,40) = (x s,x + s) περιέχει το 95% των παρατηρήσεων περίπου. δ. Το διάστηµα(0,30) = (x s,x) περιέχει το 95%/ = 47,5% των παρατηρήσεων περίπου. ε. Το διάστηµα (15, 45) = (x 3s, x + 3s) περιέχει το 99,7% των παρατηρήσεων περίπου. s 5 Υπολογίζουµε το συντελεστή µεταβολής: CV = 0,166 16,6% x = 30 = Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. 10. Σε ένα δείγµα µιας ποσοτικής µεταβλητής έχουµε v t i = 100, v t i =4 30και i=1 i=1 s= 5. Να βρεθεί το µέγεθος του δείγµατος αν ν > 10. Λύση: Από τον τύπο της διακύµανσης έχουµε:

51 Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γενικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 59. ν t ν i ( ) i= 1 1 i ( ) ν i= 1 ν ν ν s = t 5 = 100 5ν = 100ν 480 ν 0ν+ 96 = 0 ν= 8 ή ν= 1 Επειδή ν > 10 έχουµε τελικά ν = Οι τιµές πώλησης δέκα ηλεκτρικών συσκευών (σε ευρώ) είναι: 65, 80, 80, 310, 400, 310, 80, 350, 80 και 65. α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. β. Εάν τα είδη πωληθούν µε 10% έκπτωση, ποια από τα παραπάνω µεγέθη θα αλλάξουν και ποιες θα είναι οι τιµές τους µετά την αλλαγή που θα υποστούν; γ. Εάν οι πελάτες επιβαρυνθούν µε 10 επιπλέον στη τιµή αγοράς για έξοδα µεταφοράς, ποια από τα παραπάνω µεγέθη του ερωτήµατος β. θα αλλάξουν και ποιες θα είναι οι τιµές τους µετά την αλλαγή που θα υποστούν; Λύση: ιατάσσουµε τις τιµές κατά αύξουσα σειρά: 65, 65, 80, 80, 80, 80, 310, 310, 350, x5 + x α. Είναι x = xi = 300 = 30 και δ= = = i= 1 10 β. Οι τιµές µε την έκπτωση είναι οι : y i = 0,9x i, µε i = 1,..., 10. Άρα έχουµε : y5 + y6 0,9x5 + 0,9x6 x5 + x6 y= 0,9x = 71,8 και δ y = = = 0,9 = 0,9δ x = 5 γ. Οι τιµές µε την επιβάρυνση είναι οι w i = y i + 10, i = 1,..., 10. Άρα έχουµε : w = y + 10 = 81,8 και w + w y y + 10 y + y δ w = = = + =δ y + = Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιµές x i µιας µεταβλητής και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i και για τη µέση τιµή ισχύει: x. α. Να αποδείξετε ότι: κ 1 β. Αν η διάµεσος της κατανοµής είναι δ =,να βρείτε τα κ και λ.

52 Στατιστική 60. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: α. Έχουµε κ λ = 5λ = 17 - κ (1) 1 κ λ Επίσης: x κ λ κ + 3λ 7 (1) κ+3(17-κ) 7 κ+51-3κ 7 κ 4 κ 1 () β. Επειδή το σύνολο των παρατηρήσεων είναι περιττό (ν = 5), η διάµεσος θα ισούται µε τη µεσαία παρατήρηση αν διαταχθούν σε αύξουσα σειρά (άρα είναι t 13 = ), οπότε οι παρατηρήσεις µε τιµή 1 θα είναι το πολύ 1. ηλαδή ισχύει: κ 1 (3) Από τις () και (3) προκύπτει κ = 1 και λόγω της (1) λ = Έστω ένα σύνολο ν παρατηρήσεων µε τιµές x 1, x, x 3 και x 4 και αντίστοιχες συχνότητες ν i (απόλυτες), f i (σχετικές), Ν i (αθροιστικές) και F i (αθροιστικές σχετικές). Να βρείτε τη διάµεσο των αριθµών 0, 1, ν, ν 1, f 3, N 1, N 4, F 3, F 4. Λύση: Ισχύουν: 0 f i 1 άρα 0 f 3 F 3 = f 1 + f + f 3 άρα f 3 F 3 F 4 = F 3 + f 4 = 1 άρα F 3 F 4 = 1 Η µεταβλητή παίρνει την τιµή x 1 άρα ν 1 1 και Ν 1 = ν 1 άρα 1 ν 1 = Ν 1 Ν 4 = ν 1 + ν + ν 3 + ν 4 = ν άρα ν 1 = Ν 1 Ν 4 = ν Έτσι οι εννιά αριθµοί σε αύξουσα σειρά είναι: 0, f 3, F 3, F 4, 1, ν 1, N 1, N 4,ν. Η διάµεσος αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό, ισούται µε τη µεσαία παρατήρηση, δηλαδή δ = 1.

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f είναι f, για κάθε. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα