Διακριτά Μαθηματικά Ι

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά Ι"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι Rosen: Παράγραφοι η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 2

3 Τι Είναι Μαθηματική Λογική? «Λογική είναι η επιστήμη των απαραίτητων κανόνων της σκέψης, χωρίς τους οποίους δεν είναι δυνατόν να υπάρξει κατανόηση ή συλλογισμός». IMMANUEL KANT ( ) ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ: Μια ακολουθία προτάσεων που στοχεύουν στον προσδιορισμό της αλήθειας κάποιου ισχυρισμού (η τελευταία πρόταση της ακολουθίας) που καλείται το συμπέρασμα του επιχειρήματος. Στόχος μας είναι η εύρεση κανόνων που εξασφαλίζουν την ορθότητα του επιχειρήματός μας, με (σχεδόν) ΜΗΧΑΝΙΚΟ τρόπο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι ξέρουμε πως για κάθε πραγματικό αριθμό Χ, ότι: ΑΝ Χ < -2 Η Χ > 2 ΤΟΤΕ Χ 2 > 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: ΑΝ Χ 2 4 TOTE -2 X 2. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΑΝ βρέξει την Κυριακή ΤΟΤΕ δε θα πάμε βόλτα (εκείνη η τη μέρα). μρ ) ΑΡΑ: ΑΝ πήγαμε βόλτα την Κυριακή TOTE δεν έβρεξε (εκείνη τη μέρα). 3 Προτασιακή Λογική (ΠΛ) ΣΤΟΧΟΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ: Ένας φορμαλιστικός τρόπος να αναπαριστούμε εκφράσεις στη φυσική γλώσσα που μπορούν να χαρακτηριστούν ως Α(ληθείς) ή Ψ(ευδείς). ΑΠΛΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: Αντιπροσωπεύονται από (προτασιακές) μεταβλητές και χαρακτηρίζονται τελικά Α ή Ψ: Αύριο θα βρέξει [ΝΑΙ] Τα ιακριτά Μαθηματικά είναι εύκολο μάθημα [ΝΑΙ] Ποιο είναι το όνομά σου? [ΟΧΙ] ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: Προκύπτουν από χρήση συνδυασμών απλούστερων εκφράσεων. Για παράδειγμα: Αύριο θα βρέξει ΚΑΙ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. Αύριο θα βρέξει Ή κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. ΑΝ αύριο θα βρέξει ΤΟΤΕ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. Αύριο θα βρέξει ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. 4 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

4 Γλώσσες της ΠΛ Γλώσσα Γ 0 της Προτασιακής Λογικής: Μια φορμαλιστική γλώσσα, τα στοιχεία της οποίας είναι πεπερασμένες ακολουθίες συμβόλων από: ΜΗ ΛΟΓΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ: Προτασιακές μεταβλητές p 0,p 1,p 2,q,r,s, Παίρνουν τιμή αυθαίρετα από το σύνολο {Α(λήθεια),Ψ(έμα)}. Συμβολίζουν απλές εκφράσεις της φυσικής γλώσσας που μπορούν να χαρακτηριστούν είτε αληθείς είτε ψευδείς (όχι όμως και τα δυο). Μ(Γ 0 ): Το σύνολο των προτασιακών μεταβλητών που χρησιμοποιούμε. ΛΟΓΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ: Σύνδεσμοι: ΑΡΝΗΣΗ: ( στο βιβλίο της ΕΡΡ: ~ ) ΙΑΖΕΥΞΗ: ΣΥΖΕΥΞΗ: ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ: ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ: Παρενθέσεις: (, ) 5 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 Εκφράσεις Τύποι ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.1: Έκφραση: Μια οποιαδήποτε (πεπερασμένη) παράθεση συμβόλων (ενδέχεται να μην βγάζει νόημα!) Προτασιακός Τύπος (ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ): Μια έκφραση χ είναι προτασιακός τύπος αν και μόνο αν είναι: (α) Μια προτασιακή μεταβλητή. (β) Της μορφής ( φ) ή (φ ψ), ή (φ ψ), ή (φ ψ), ή (φ ψ), όπου φ,ψ είναι προτασιακοί τύποι. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Οι προτασιακοί τύποι συμβολίζονται με τα (ελληνικά) γράμματα φ 0, φ 1, φ 2,..., χ, ψ,... Τ(Γ 0 ) : Το σύνολο των προτασιακών τύπων της γλώσσας Γ 0. 6

5 Προτεραιότητα Λογικών Συμβόλων (Ι) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για λόγους απλοποίησης, θεωρούμε την προτεραιότητα των λογικών συμβόλων με την εξής σειρά: ΠΡΩΤΑ, ακολουθούν και (ίδια προτεραιότητα), και τέλος και (ίδια προτεραιότητα). Χρησιμοποιούμε παρενθέσεις για αλλαγή της προτεραιότητας εκτέλεσης. Αντί των απλών παρενθέσεων () (,), μπορούμε επίσης να χρησιμοποιούμε και τις [, ] και {, } ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ (πρόκειται για απολύτως ισοδύναμα σύμβολα). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.1: Οι τύποι p q r και { [ ( p) q] r} θεωρούνται ταυτόσημοι, αλλά και διαφορετικοί από τον τύπο [( p) ( q r )] ]. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.2: Εξετάστε αν είναι τύποι οι παρακάτω εκφράσεις: 1. ( p q r ) ( p q r ) 2. p q r 3. ( p q r) 4. ( q r ) 7 Προτεραιότητα Λογικών Συμβόλων (ΙΙ) Παράδειγμα ΠΛ.3: Έστω οι μεταβλητές p, q, r που αποτυπώνουν την αλήθεια ή το ψέμα των εκφράσεων «κάνει ά κρύο», «κάνει ά ζέστη» και «χιονίζει». Να δοθούν προτασιακοί τύποι που να αποδίδουν τις ακόλουθες εκφράσεις σε φυσική γλώσσα: 1. «εν κάνει ούτε κρύο ούτε ζέστη». p q 2. «Εφόσον κάνει κρύο, δε μπορεί να κάνει ζέστη». p q 3. «εν χιονίζει δίχως να κάνει κρύο αλλά ζέστη». [ r p q] 8

6 ενδροδιαγράμματα (Ι) ενδροδιάγραμμα Προτασιακού Τύπου: Για οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ, το δενδροδιάγραμμά του είναι μια (δυαδική) δενδρική δομή, στην οποία: τα φύλλα αντιστοιχούν σε ΕΜΦΑΝΙΣΕΙΣ προτασιακών μεταβλητών της γλώσσας που χρησιμοποιούνται στον φ, και κάθε ενδιάμεσος κόμβος αντιστοιχεί σε έναν προτασιακό τύπο που σχηματίζεται με τη βοήθεια ενός λογικού συνδέσμου, ο οποίος χρησιμοποιεί τα (ένα ή δύο) παιδιά του κόμβου αυτού ως υποτύπους (ορίσματά) του. Η ρίζα του δένδρου αυτού αναπαριστά τον ίδιο τον φ. Βάθος Τύπου φ: Η απόσταση (πλήθος ακμών) του πιο απομακρυσμένου φύλλου από τη ρίζα του δενδροδιαγράμματος που αναπαριστά τον φ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Βάθος του φ Πολυπλοκότητα (πλήθος συνδέσμων) του φ. 9 ενδροδιαγράμματα (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.2 (συνέχεια): ώστε τα δενδροδιαγράμματα όσων εκφράσεων είναι έγκυροι τύποι της ΠΛ. Για παράδειγμα, για τον προτασιακό τύπο ( p q r) ( p q r), το δενδροδιάγραμμα δ δά είναι το εξής: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Κάθε μεταβλητή εμφανίζεται σε κάποιο φύλλο τόσες φορές όσες και οι εμφανίσεις της στον τύπο. 2. Σε κάθε εσωτερικό κόμβο του δενδροδιαγράμματος δ δ αναλύεται ο λογικός σύνδεσμος με τη χαμηλότερη προτεραιότητα. 10

7 Αποτίμηση Τύπων Προτασιακές Μεταβλητές: Παίρνουν ΑΥΘΑΙΡΕΤΕΣ τιμές από το σύνολο {Α,Ψ}. α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} είναι μια συνάρτηση που αναθέτει τιμές στις προτασιακές μεταβλητές (καλείται αποτίμηση η των μεταβλητών). α : Μια επέκταση της α: Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}, που αποδίδει τιμές αλήθειας από το {Α,Ψ} σε οποιονδήποτε τύπο της Γ 0, ανάλογα με τις τιμές αλήθειας που καθορίζει για τις μεταβλητές η αποτίμηση α. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΤΥΠΟΥ φ: Καθορίζει τις τιμές αλήθειας α(φ) του τύπου φ, για όλες τις δυνατές αποτιμήσεις α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} των εμπλεκόμενων προτασιακών μεταβλητών. 11 Αυθαίρετες τιμές Μεταβλητών Πίνακες Αλήθειας (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.4: Οι πίνακες αλήθειας για τους τύπους ( p), (p q), (p q), (p q) και (p q), είναι οι εξής: p q ( p) (p q) (p q) (p q) (p q) β η A A Ψ Α Α Α Α A Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Σε τι αντιστοιχεί μια συνάρτηση αποτίμησης α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}? Εξαρτημένες τιμές Τύπων 2. Πόσες διαφορετικές τέτοιες συναρτήσεις α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} μπορώ να έχω, δεδομένου ότι η γλώσσα Γ 0 χρησιμοποιεί κπροτασιακές μεταβλητές? 3. Σε τι αντιστοιχεί μια αποτίμηση ενός συγκεκριμένου τύπου α(φ)? Πόσους τύπους κ μεταβλητών με διαφορετικές αποτιμήσεις μπορούμε να έχουμε? 12

8 Πίνακες Αλήθειας (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.4 (συνέχεια): ώστε τον πίνακα αλήθειας του τύπου φ = ( p q r) ( p q r). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Κατασκευάζουμε ΚΟΙΝΟ πίνακα αλήθειας για όλους τους υποτύπους στο δενδροδιάγραμμα του φ. p q r ( r) (p q) (p q) p q ( r) p q r φ A A A Ψ Α Α Ψ Α Α A Ψ A Ψ Ψ Α Α Α Α Ψ Α A Ψ Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ A Ψ Ψ Ψ Α Α Α A A Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ A Ψ Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α 13 Ταυτολογίες και Αντιφάσεις ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.2: Ένα σύνολο τύπων Τ = {φ 1,φ 2,...} ονομάζεται ικανοποιήσιμο, αν υπάρχει τουλάχιστον μια αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} για τις μεταβλητές που χρησιμοποιούνται σε αυτούς, τέτοια ώστε ΟΛΟΙ οι τύποι του Τ να έχουν αποτίμηση η Α. Ένας προτασιακός τύπος της Γ 0 ονομάζεται: (α) Ταυτολογία, αν και μόνο αν έχει τιμή Α(λήθεια) ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}. (β) Αντίφαση, αν και μόνο αν ΕΝ ΕΙΝΑΙ ικανοποιήσιμος, δηλαδή, ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} έχει τιμή Ψ(έμα). 14 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

9 Ταυτολογίες και Αντιφάσεις (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.5: Να εξεταστεί αν οι ακόλουθοι τύποι είναι ταυτολογίες ή αντιφάσεις: (1) ( p q r ) ( p q r ), (2) ( q p) ( p q) (3) ( p q r) ( p q r) (1) (p q r) (p q r) ΕΣΤΩ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α ΥΝΑΤΟΝ να ισχύει για κάποια αποτίμηση α ότι α(p q) = Ψ KAI ταυτόχρονα α(p q) = Α, άρα ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΑ!!! 15 Παραδείγματα Συνεπαγωγής -- Ισοδυναμίας ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.6: Ο Γιάννης (γνωρίζουμε ότι) είτε λέει πάντα αλήθεια, είτε λέει πάντα ψέματα, και κάνει τις ακόλουθες δηλώσεις: 1. «Μου Μ αρέσει η Λούσυ». 2. «ΑΝ μου αρέσει η Λούσυ ΤΟΤΕ μου αρέσει η Βίβιαν». Τελικά, ποια γυναίκα συμπαθεί ο Γιάννης? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.7: Σε ένα νησί υπάρχουν δυο φυλές, η φυλή ΕΙΛΙΚΡΙΝΕΙΣ (όλοι λένε ΠΑΝΤΑ αλήθεια) και η φυλή ΨΕΥΤΕΣ (όλοι λένε ΠΑΝΤΑ ψέματα). Ένας χρυσοθήρας φτάνει στο νησί, και ρωτά τον πρώτο ιθαγενή που συναντά: -- «Υπάρχει χρυσός στο νησί?» Αυτός απαντά: -- «Υπάρχει χρυσός στο νησί ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ εγώ λέω πάντα την αλήθεια». Τι πρέπει να συμπεράνει ο χρυσοθήρας? 16

10 Παράδειγμα Αντιθετοαναστροφής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.8: υο εστιατόρια βρίσκονται το ένα απέναντι από το άλλο. Το πρώτο έχει μια πινακίδα που γράφει «Το καλό φαγητό δεν είναι φθηνό». Το δεύτερο έχει μια πινακίδα που γράφει «Το φθηνό φαγητό δεν είναι καλό». Λένε οι δυο πινακίδες το ίδιο πράγμα? ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 η φράση (p) : «Το φαγητό είναι καλό». 2 η φράση (q) : «Το φαγητό είναι φθηνό». 1 ο εστιατόριο: p q 2 ο εστιατόριο: q p p q ( p) ( q) (p q) (q p) A A Ψ Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ A Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Α Α Α Α 17 Ταυτολογική Συνεπαγωγή ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.3: Έστω προτασιακοί τύποι φ,φ 1,φ 2,...,φ κ,χ της Γ 0. (α) Έστω ότι ισχύει πως: ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} όλων των προτασιακών μεταβλητών που χρησιμοποιούνται, ΑΝ α(φ 1 ) = Α ΚΑΙ... ΚΑΙ α(φ κ ) = Α ΤΟΤΕ α(χ) = Α Τότε λέμε ότι ο τύποι φ 1,...,φ κ συνεπάγονται ταυτολογικά τον 1 κ τύπο χ, και το συμβολίζουμε με { φ 1,...,φ κ } = χ. (β) Αν φ = χ και χ = φ τότε λέμε ότι οι φ,χ είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι τύποι ( συμβολίζεται με φ χ ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έστω ότι φ χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο φ χ? Έστω ότι {φ 1,...,φ κ } = χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο φ 1... φ κ χ? 18 Έστω ότι { } = χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο χ?

11 Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (I) Αντιμεταθετικότητα: φ χ χ φ και φ χ χ φ ΑΛΛΑ ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ φ χ χ φ Προσεταιριστικότητα: φ (χ ψ) (φ χ) ψ και φ (χ ψ) (φ χ) ψ, ΑΛΛΑ ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ (φ χ) ψ φ (χ ψ). ΑΣΚΗΣΗ: Τι ισχύει για τους φ (χ ψ) KAI (φ χ) ψ? ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η προσεταιριστικότητα επιτρέπει να γράφουμε φ χ ψ,φ χ ψ,φ χ ψ, ΑΛΛΑ ΟΧΙ φ χ ψ! Επιμεριστικότητα: φ (χ ψ) (φ χ) (φ ψ) και φ (χ ψ) (φ χ) (φ ψ) Άρνηση Συνεπαγωγής: (φ χ) φ χ De Morgan: (φ χ) φ χκαι (φ χ) φ χ 19 Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (II) ιπλή Άρνηση: φ φ Αντιθετοαναστροφή: φ χ χ φ Εξαγωγή: φ χ ψ φ (χ ψ) Αποκλεισμός Τρίτου: { } = φ φ Αντικαταστάσεις: 1. φ χ ( φ φ χ) 2. φ χ (φ χ) (χ φ) ( φ χ) ( χ φ) 3. φ χ ( φ( φ χ) 4. φ χ ( φ χ) 20

12 Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (ΙΙΙ) ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ: Για τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ισχύει ότι: ΑΝ φ = ψ ΤΟΤΕ φ ψ φ KAI φ ψ ψ ΑΣΚΗΣΗ ΠΛ.1: Για προτασιακούς τύπους τ, α, φ, χ, αν ο τ είναι ταυτολογία και ο α αντίφαση, τι μπορούμε να πούμε για τους ακόλουθους τύπους? 1. τ φ φ ουδέτερο στοιχείο 2. τ φ τ ολικό φράγμα 3. α φ α ολικό φράγμα 4. α φ φ ουδέτερο στοιχείο 5. α φ τ 6. τ φ φ 7. φ φ φ μοναδιαία ποσότητα 8. φ φ φ μοναδιαία ποσότητα 9. φ (φ χ) φ (φ χ) φ φ απορροφήσεις 21 Σε τι Χρησιμεύουν οι Νόμοι της ΠΛ? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.9: Χρησιμοποιώντας τους Νόμους της ΠΛ δημιουργείστε έναν ισοδύναμο τύπο που να έχει όσο γίνεται χαμηλότερη πολυπλοκότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ [(φ ψ) ( φ ψ)] ( φ ψ) (φ ψ) [( φ ψ) ( φ ψ)] (φ ψ) [ φ (ψ ψ)] (φ ψ) [ (ψ ψ) φ] (φ ψ) [τ φ] (φ ψ) φ ( φ φ ) ( ψ φ ) τ ( ψ φ ) ψ φ (ψ φ) 22 Ν. Προσεταιριστικότητας Ν. Επιμεριστικότητας N. Άρνησης Συνεπαγωγής Ν. Αποκλ. Τρίτου & Απορρόφ. Ν. Επιμεριστικότητας Ν. Αποκλ. Τρίτου & Απορρόφ. Ν. De Morgan

13 Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.4: Ένας προτασιακός τύπος φ Τ(Γ 0 ) είναι σε Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Κ Μ) ανν είναι της μορφής φ ψ 1 ψ 2... ψ κ (δηλαδή, λ δή δάζ διάζευξη υποτύπων), ) όπου κάθε υποτύπος ψ ν (1 ν κ) είναι της μορφής ψ ν χ ν,1... χ ν,λ (δηλαδή, σύζευξη υποτύπων) και κάθε χ ν,λ είναι είτε μια προτασιακή μεταβλητή ή η άρνησή της. ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.1 [ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ Κ Μ]: Για κάθε προτασιακό τύπο φ Τ(Γ 0 ), υπάρχει ένας ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΣ προτασιακός τύπος φ* Τ(Γ 0 ) που είναι σε Κ Μ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΠΛ.1: Στον πίνακα αλήθειας του φ, έστω ότι μια συγκεκριμένη αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} έχει α(φ) = Α. Μπορούμε να γράψουμε έναν υποτύπο χ α που γίνεται αληθής ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΙΑ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} (ΠΟΙΟΝ?) Θεωρώ τον τύπο φ* = Μ(Γ0) {Α Ψ} ( ) Α χ Θεωρώ τον τύπο φ α:μ(γ0) {Α,Ψ} και α(φ)=α χ α. Ισχύει (από κατασκευή) ότι φ φ*. 23 Κανονική ιαζευκτική Μορφή (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.10: Να δοθεί η Κ Μ του προτασιακού τύπου τόσο με πίνακα αλήθειας όσο και με χρήση των νόμων της ΠΛ: Από τον Πίνακα Αλήθειας: χ p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 p 2 p 3 p 0 p 2 p 0 ( p 2 p 0 ) p 3 p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] 1 η A A A Ψ Ψ Α Α 2 η Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 3 η Α Ψ Α Ψ Α Α Α 4 η Α Ψ Ψ Ψ Α Α Α 5 η Ψ Α Α Α Α Α Α 5 η Ψ Α Ψ Α Α Α Α 7 η Ψ Ψ Α Α Α Α Α 8 η Ψ Ψ Ψ Α Α Α Α χ (p 0 p 2 p 3 ) (p 0 p 2 p 3 ) (p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) 24

14 Κανονική ιαζευκτική Μορφή (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.10 (συνέχεια): Να δοθεί η Κ Μ του προτασιακού τύπου τόσο με πίνακα αλήθειας όσο και με χρήση των νόμων της ΠΛ: χ p 0 [( p 2 pp 0 ) p 3 ] Με χρήση Νόμων της ΠΛ: p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] ( p 0 p 0 ) ( p 2 p 3 ) p 0 p 2 p 3 N. Αντικατάστασης Ν. Αντικατάστασης Ν. Προσεταιριστικότητας Ν. Απορρόφησης 25 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.5: Ένα σύνολο συνδέσμων Σ τέτοιο ώστε ΚΑΘΕ προτασιακός τύπος φ είναι ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΣ με ΚΑΠΟΙΟ προτασιακό τύπο ψ που χρησιμοποιεί συνδέσμους ΜΟΝΟ από το Σ, ονομάζεται πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11: Ελέγξτε αν τα σύνολα συνδέσμων: Σ1 = {,, }, Σ2 = {, }, Σ3 = {, }, Σ4 = {, }, Σ5 = {, } είναι πλήρη σύνολα συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το Σ1 είναι πλήρες λόγω ύπαρξης Κ Μ για κάθε προτασιακό τύπο. Το Σ2 (όπως και το Σ3) είναι πλήρες γιατί σε κάθε Κ Μ μπορώ να εφαρμόσω De Morgan για την απάλειψη των εμφανίσεων του συνδέσμου διάζευξης (σύζευξης). Το Σ4 ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες. Πχ, δεν υπάρχει τρόπος να εκφραστεί ο προτασιακός τύπος p (γιατί?). Το Σ5 είναι πλήρες, από χρήση νόμων αντικατάστασης (πχ, στην Κ Μ). 26

15 Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων (ΙΙ) ΑΣΚΗΣΗ ΠΛ.2: Έστω ο (δυαδικός) λογικός σύνδεσμος ΟΥΤΕ...ΟΥΤΕ... (NOR) (συμβολίζεται με ) με πίνακα αλήθειας τον εξής: p q p q 1 η A A Ψ 2 η Α Ψ Ψ 3 η Ψ Α Ψ 4 η Ψ Ψ Α Νδο το σύνολο Σ6 = { } είναι πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Εκφράζουμε τους τελεστές ενός ΠΛΗΡΟΥΣ συνόλου, πχ, του Σ3 = {, }, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τον τελεστή : ( p) p p p q (p q) (p q) ΑΡΑ: Κάθε τύπος φ έχει ισοδύναμο τύπο φ που χρησιμοποιεί τελεστές από το Σ2 (λόγω πληρότητας του Σ2) και ο τύπος φ έχει ισοδύναμο τύπο φ* που χρησιμοποιεί μόνο τον τελεστή. Από μεταβατικότητα της ταυτολογικής ισοδυναμίας, οι φ και φ* είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι. 27 Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων (Ι) Ένα ισχυρό αποδεικτικό εργαλείο για ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ Θέλουμε να αποδείξουμε μια ιδιότητα (πχ, άρτιο πλήθος παρενθέσεων) ΓΙΑ ΚΑΘΕ προτασιακό τύπο φ. Αρχή της (ισχυρής) Μαθηματικής Επαγωγής (α) ί είχνουμε ότι η πρόταση ισχύει για την απλούστερη μορφή τύπου (προτασιακή μεταβλητή). β) ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ κ 1, o Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟ φμε 0 λ κ-1 1 λογικά σύμβολα. o είχνουμε ότι η πρόταση ισχύει και ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟ με κ λογικά σύμβολα. 28

16 Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων (ΙΙ) Αν και υπάρχουν ΑΠΕΙΡΟΙ τύποι που μπορεί να φτιάξει κανείς υπάρχουν ΜΟΝΟ 5 περιπτώσεις που πρέπει να ελέγξουμε!!! ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.12: είξτε ότι «Κάθε προτασιακός τύπος φ περιέχει άρτιο αριθμό παρενθέσεων», αν θεωρήσουμε ότι όλοι οι τύποι παράγονται βάσει του αναδρομικού ορισμού των προτασιακών τύπων (χωρίς απλοποιήσεις). ΒΑΣΗ: Αν ο φ είναι προτασιακή μεταβλητή περιέχει 0 παρενθέσεις άρα η πρόταση ισχύει. ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι η πρόταση ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΥΣ ΗΠΟΤΕ τύπους φ και ψ. Υποθέτουμε ότι ο φ έχει 2m 0 παρενθέσεις και ο ψ έχει 2n 0 παρενθέσεις. ΕΠΑΓΩΓΙΚΟ ΒΗΜΑ: Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει και για τους πιο σύνθετους προτασιακούς τύπους ( φ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ). Για τον ( φ) : Έχει 2m+2=2(m+1) παρενθέσεις, δηλαδή άρτιο αριθμό και η πρόταση ισχύει. Για τον (φ ψ): Έχει 2m+2n+2=2(m+n+1) παρενθέσεις, δηλαδή άρτιο αριθμό και η πρόταση ισχύει. Όμοια δείχνεται η πρόταση και για τα άλλα ΙΜΕΛΗ λογικά σύμβολα. 29 Επαγωγή στην Πολυπλότητα των τύπων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11 (συνέχεια): Νδο το σύνολο συνδέσμων Σ4 = {, } ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω η γλώσσα της ΠΛ με μόνο μια μεταβλητή, την p. Θδο ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(φ) = Α, για κάθε τύπο φ με συνδέσμους από το Σ4. Αυτό σημαίνει πως είναι αδύνατον να εκφραστεί ο τύπος φ = p. ΒΑΣΗ: Mε 0 συνδέσμους, υπάρχει ένας και μόνο τύπος Χ(0) = p, και ισχύει ότι ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(0)) = Α. ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι για κάποιο κ 0, και οποιονδήποτε τύπο χ(λ) με ακριβώς 0 λ κ συνδέσμους, που είναι όλοι από το Σ4, ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(λ)) = Α. ΒΗΜΑ: Θεωρώ τυχόντα τύπο χ(κ+1) με κ+1 συνδέσμους, μόνο από το Σ4. Τότε, χ(κ+1) = χ(λ) & χ(κ-λ) για κάποιο 0 λ κ, όπου & Σ4. Από Επαγ. Υπόθεση: ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(λ)) = α(χ(κ-λ)) = Α. ΑΛΛΑ: χ(λ), χ(κ-λ) {χ 1, χ 2 }. p χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 2 χ 1 p ΑΡΑ: A Α Α Α A Α Ψ ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(κ+1))=α 30 Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α

17 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι) 1. Ελέγξτε αν είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι οι τύποι p (q r) και (p q) r, ή αν κάποιος συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλο. Να κάνετε το ίδιο και για τους τύπους (p q) r και p (q r). 2. Έστω τμια οποιαδήποτε ταυτολογία και χ ένας οποιοσδήποτε τύπος που δεν είναι ταυτολογία. Να εξεταστεί αν: i. Ο τύπος ( τ) είναι αντίφαση. ii. Οι τύποι (τ χ) χ, (τ χ) χ, (τ χ) χ και (τ χ) χείναι ταυτολογίες. 3. Να δειχθεί ότι αν οι τύποι φ 1 και φ 2 είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι, τότε έχουν ΑΚΡΙΒΩΣ τις ίδιες αποτιμήσεις, για όλες τις γραμμές του αληθοπίνακα (= αποτιμήσεις προτασιακών μεταβλητών). 31 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ) 4. Θεωρούμε το σύνολο προτασιακών τύπων: T = { p1 p2, p1 p2, p1 p3 } Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν; (ι) T = p1 p (p1 p2) (ιι) T = (p1 p2) p3 (ιιι) T = (p2 p3) (p1 p3) (ιν) T = (p1 p2) ( p1 p3) 5. Χρησιμοποιείστε τους Νόμους της ΠΛ για να φέρετε τους παρακάτω τύπους σε Κ Μ. (ι) (p q r) (p r) (ιι) (p q r) [q (r s) ] 6. Εξετάστε αν είναι ικανοποιήσιμο το σύνολο τύπων: Τ = { p (q r), p (q r), p q } Εξετάστε επίσης αν κάποιος από τους τύπους του Τ είναι ταυτολογική συνεπαγωγή κάποιου άλλου τύπου. 32

18 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙΙ) 7. Έστω Ττο σύνολο των τύπων (της ΠΛ) οι οποίοι είναι είτε προτασιακές μεταβλητές, ή της συντακτικής μορφής φ, φ φ ψ, φ ψ, όπου φ, ψ είναι ήδη κατασκευασμένοι τύποι του Τ. Για κάθε φστο Τ, φ* είναι ο τύπος που προκύπτει από τον φ ως εξής: Αντικαθιστούμε κάθε προτασιακή μεταβλητή με την άρνησή της. Εναλλάσσουμε τα,, μεταξύ τους (δηλαδή, η ο σύνδεσμος μετατρέπεται στον και ο μετατρέπεται στον ). είξτε με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων του Τότι φ φ*. 33 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙV) 8. Έστω τέσσερις προτασιακές μεταβλητές p 1, p 2, p 3, p 4 και S κάποιο υποσύνολο του συνόλου {1,2,3,4}. Οι τέσσερις προτασιακές μεταβλητές ερμηνεύονται ως εξής: p k είναι Α(ΛΗΘΕΙΑ) αν και μόνο αν το στοιχείο k ανήκει στο S. Χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές p k, κατασκευάστε προτασιακούς τύπους (οι οποίοι να εμπλέκουν αποκλειστικά τις τέσσερις προτασιακές μεταβλητές) που εκφράζουν κάθε μια από τις παρακάτω ιδιότητες: (ι) Το S είναι κενό. (ιι) Το S έχει το πολύ τρία στοιχεία (ιιι) Το S έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία. 34 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

19 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (V) 9. Αφού εκφράσετε με τύπους της ΠΛ τα παρακάτω επιχειρήματα, εξετάστε αν είναι έγκυρα. ηλαδή, θεωρώντας ότι οι δυο πρώτες φράσεις αληθεύουν, είναι ορθό το τελικό συμπέρασμα; Γιατί; (ι) Αν δουλέψω όλη τη νύχτα, θα τελειώσω την εργασία έγκαιρα. Όμως, δεν δούλεψα όλη τη νύχτα. Άρα, δεν θα τελειώσω την εργασία έγκαιρα. (ιι) Αν φάω βαρύ φαγητό, ανακατεύεται το στομάχι μου. Αν έχω ανακατεμένο στομάχι, τότε βλέπω εφιάλτες. Άρα, αν φάω βαρύ φαγητό θα δω εφιάλτες. 35 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΙΣΤΟΘΕΣΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Η ιστοθεσία του μαθήματος είναι ήδη ενεργοποιημένη!!! url: username: password: DM15user!15-DM+user! 36 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

20 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

21 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

22 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.07: Ολοκληρώματα με Ριζικά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.03: Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης a. Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Ενότητα: 1 η Ελένη Περδικούρη Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Ενότητα 1 η Το ερώτημα της γνώσης 1. Τι γνωριζουμε, δηλαδη ποια ειναι τα αντικειμενα της γνωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 6: Συμπίεση Έργου

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 6: Συμπίεση Έργου Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 6: Συμπίεση Έργου Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 5α: Λειτουργικά Συστήματα ΙΙ (Παραδείγματα Διαδρομών)

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 5α: Λειτουργικά Συστήματα ΙΙ (Παραδείγματα Διαδρομών) Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 5α: Λειτουργικά Συστήματα ΙΙ (Παραδείγματα Διαδρομών) Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση των

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. 6 η ενότητα: Συναρτήσεις. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων

Προγραμματισμός Η/Υ. 6 η ενότητα: Συναρτήσεις. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Προγραμματισμός Η/Υ 6 η ενότητα: Συναρτήσεις Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Μεθοδολογία εφαρμογής προγράμματος Ολικής Ποιότητας

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Μεθοδολογία εφαρμογής προγράμματος Ολικής Ποιότητας Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Ψωμάς Ευάγγελος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Υποενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Λογιστική Κόστους Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Παναγιώτης Σταματόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Α Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2011-12... 3 1.1 Άσκηση 1...

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Δραστηριότητα 1 Το εξωτερικό τετράγωνο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

Δομές δεδομένων. Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Δομές δεδομένων. Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 8 Ξένα Σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 5: ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Η συνάρτηση Green σε επίπεδη γεωμετρία και η μέθοδος των ειδώλων σε σφαιρική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 1: Εισαγωγή Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Λογικές συναρτήσεις και λογικοί έλεγχοι με το Excel/Calc Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι

Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι Ενότητα 2: Παράλληλες θεωρητικές και εργαστηριακές προσεγγίσεις των τεχνικών και της δομής του κουκλοθέατρου, της κινούμενης εικόνας και ενός θέματος από

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 5: Υποδείγματα Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ. Ενότητα 2: Αξία για τους Πελάτες

Μάρκετινγκ. Ενότητα 2: Αξία για τους Πελάτες Μάρκετινγκ Ενότητα 2: Αξία για τους Πελάτες Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Σκοποί 2 ης Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα