ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης reative ommons και ειδικότερα Αναφορά Μη εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 30 Ελλάδα (Attribution Non ommercial ShareAlike 3 Greece) BY-N-SA 30 GR Εξαιρείται από την ως άνω άδεια υλικό που περιλαμβάνεται στις διαφάνειες του μαθήματος, και υπόκειται σε άλλου τύπου άδεια χρήσης Η άδεια χρήσης στην οποία υπόκειται το υλικό αυτό αναφέρεται ρητώς Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους

3 4 Το Τυπικό Σύστημα Αποδείξεων του ΠΛ Τα θεμελιώδη συστατικά του τυπικού συστήματος αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού (συντομογραφικά Prop) είναι τα προτασιακά σχήματα τα οποία φτιάχνονται από τα σύμβολα ενός λεξιλογίου : Λεξιλόγιο του Prop προτασιακές μεταβλητές : P O, P1,, Pn συνδετικά :,,,, παρενθέσεις : (,) Η σύνθεση των προτασιακών σχημάτων του Prop γίνεται με την χρήση των παρακάτω συντακτικών κανόνων: Συντακτικοί Κανόνες 1 Αν P i, Pj είναι προτασιακές μεταβλητές τότε οι Pi, Pj, ( Pi Pj ), ( Pi Pj ), P P ), P P ) είναι προτασιακά σχήματα ( i j ( i j 2 Αν Σ είναι ένα προτασιακό σχήμα, τότε κάθε σχήμα που προκύπτει από την αντικατάσταση προτασιακών μεταβλητών με άλλα σχήματα είναι επίσης ένα προτασιακό σχήμα 3 Τα μόνα προτασιακά σχήματα είναι αυτά που παράγονται από τους κανόνες (1) και (2) Παράδειγμα : Δημιουργία του προτασιακού σχήματος (( P0 ( P1 P2 ) P3 ) Από τον κανόνα (1), υπάρχει το σχήμα ( P0 P3 ) Από την αντικατάσταση P 0 / P0 P 1 προκύπτει το σχήμα (( P0 P1 ) P3 ) και από την αντικατάσταση { P 1 P 1 P 2, P 3 / P3 } προκύπτει το σχήμα (( P0 ( P1 P2 ) P3 ) Για να είναι πιο εύκολα αναγνώσιμες οι προτάσεις που προκύπτουν με την χρήση των συντακτικών κανόνων : Χρησιμοποιούμε προτασιακές μεταβλητές P, Q, R, S Παραλείπουμε το ζεύγος παρενθέσεων που περικλείει ολόκληρη την πρόταση (πχ η ( P Q) γράφεται ως P Q και η (( P Q) R) γράφεται ως ( P Q) R ) Παραλείπουμε εσωτερικές παρενθέσεις όπου είναι δυνατόν και χρησιμοποιούμε την προτεραιότητα των συνδετικών (πχ, P Q R σημαίνει P ( Q R) και όχι ( P Q) R ) Με βάση αυτές τις απλοποιήσεις η (( P0 ( P1 P2 ) P3 ) γράφεται ως P ( Q R) S Ο συμβολισμός BNF (Backus-Naur Form) που χρησιμοποιείται για την περιγραφή του συντακτικού των γλωσσών προγραμματισμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την περιγραφή του συντακτικού του Prop :

4 < προτασιακό σχήμα > ::= < προτασιακή μεταβλητή > < προτασιακό σχήμα > (< προτασιακό σχήμα > < προτασιακό σχήμα >) (< προτασιακό σχήμα > < προτασιακό σχήμα >) (< προτασιακό σχήμα > < προτασιακό σχήμα >) (< προτασιακό σχήμα > < προτασιακό σχήμα >) (< προτασιακό σχήμα > < προτασιακό σχήμα >) < προτασιακή μεταβλητή > ::= P 0 P 1 Με αυτό το τρόπο οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να ελεγθεί για το αν είναι πρόταση του Prop 41 Σημασιολογία του Prop Ορισμός Μια ερμηνεία Ι είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου των προτασιακών μεταβλητών Τα μέλη αυτού του συνόλου είναι αυτά που ικανοποιούνται από την ερμηνεία Σε μια ερμηνεία Ι αντιστοιχεί μια συνάρτηση ερμηνείας η οποία απεικονίζει κάθε προτασιακή μεταβλητή σε μια από τις τιμές αλήθειας α ή ψ Η συνάρτηση ερμηνείας που αντιστοιχεί στην ερμηνεία Ι, απεικονίζει όλα τα μέλη του Ι στην τιμή α και όλα τα υπόλοιπα στην τιμή ψ Ο συμβολισμός = I S ( I S) χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι η ερμηνεία Ι ικανοποιεί (δεν ικανοποιεί) το προτασιακό σχήμα S Η ικανοποίηση ενός σχήματος ορίζεται ως εξής : Για μια προτασιακή μεταβλητή Α, = I Α ανν Α Ι = I S ανν I S = I ( S T ) ανν = I S και = I Τ = I ( S T ) ανν = I S ή = I Τ = I ( S T ) ανν I S ή = I S και = I Τ = I ( S T ) ανν = I ( S T ) και = I ( Τ S) Παράδειγμα : Θεωρείστε την ερμηνεία Ι = {P, Q} Ελέγξτε = I P R Q S Από τον ορισμό της ερμηνείας Ι, έχουμε ότι = I P και = I Q Άρα = I P R και I Q, επομένως = I P R και I Q S Άρα I P R Q S Μερικοί ακόμα ορισμοί είναι απαραίτητοι Θεωρείστε ότι το Α συμβολίζει ένα προτασιακό σχήμα και το S ένα σύνολο προτασιακών σχημάτων 1 Α ικανοποιείται από την Ι αν = I Α 2 Α δεν ικανοποιείται από την Ι αν I Α 3 S ικανοποείται από την Ι αν κάθε μέλος του ικανοποείται από την Ι

5 4 S δεν ικανοποείται από την Ι αν τουλάχιστον ένα μέλος του δεν ικανοποιείται από την Ι 5 Το S είναι ικανοποιήσιμο αν υπάρχει τουλάχιστον μια ερμηνεία που το ικανοποιεί 6 Το S είναι μη-ικανοποιήσιμο αν δεν υπάρχει ερμηνεία που να το ικανοποιεί 7 Το S λογικά συνεπάγεται την Α αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί το S ικανοποιεί και την Α 8 Δύο προτασιακά σχήματα είναι ισοδύναμα αν κάθε ερμηνεία τα ικανοποιεί ή δεν τα ικανοποιεί συγχρόνως 9 Η Α είναι ταυτολογία ( = Α ) αν ικανοποιείται από κάθε ερμηνεία 10 Η Α είναι αντινομία αν δεν ικανοποείται από καμία ερμηνεία 42 Συστήματα Αποδείξεων για τον Προτασιακό Λογισμό Ένα από τα πρωτεύοντα ενδιαφέροντα μας είναι να μπορούμε να διαπιστώνουμε αν μια εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη Έχουμε ήδη δει έναν απλό αλγόριθμο για αυτόν τον έλεγχο: Κατασκευάζουμε τον πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα και ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις και δεν ικανοποιούν το συμπέρασμα Ο αλγόριθμος αυτός είναι μη-αποδοτικός: αν υπάρχουν n προτασιακές μεταβλητές στις n υποθέσεις και το συμπέρασμα, τότε ο πίνακας αλήθειας έχει 2 γραμμές Χρειαζόμαστε έναν πιο αποδοτικό αλγόριθμο ώστε να αποφεύγουμε να σχηματίζουμε πλήρεις πίνακες αλήθειας Μας ενδιαφέρει να βρίσκουμε αν υπάρχουν γραμμές στον πίνακα για τις οποίες οι υποθέσεις είναι αληθείς αλλά το συμπέρασμα είναι ψευδές Συνεπώς μπορούμε να αρχίσουμε από την εύρεση των ερμηνειών για τις οποίες το συμπέρασμα είναι ψευδές Για παράδειγμα, θεωρείστε την εξαγωγή συμπεράσματος { P Q R, S Q P, R Q S / R P } Πίνακας αλήθειας για το συμπέρασμα R P : R P R P α α α α ψ ψ ψ α α ψ ψ α Από τον πίνακα φαίνεται ότι χρειάζεται να εξετάσουμε μόνο την ερμηνεία που αντιστοιχεί στη δεύτερη γραμμή Γι αυτή την ερμηνεία ο πίνακας αλήθειας των υποθέσεων είναι ο ακόλουθος:

6 P Q R S P Q R S Q P R Q S ψ α α α α α α ψ α α ψ α α ψ ψ ψ α α α ψ ψ ψ ψ α ψ α α ψ Παρατηρούμε ότι για την ερμηνεία που αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή του πίνακα, οι υποθέσεις είναι αληθείς ενώ το συμπέρασμα είναι ψευδές Άρα η εξαγωγή συμπεράσματος είναι μη-έγκυρη Αν κατασκευάσουμε ολόκληρο τον πίνακα αλήθειας θα χρειαζόμασταν 64 υπολογισμούς τιμών αλήθειας ενώ με την παραπάνω απλοποίηση χρειαστήκαμε μόνο 16 Σε αυτήν την ενότητα θα εξετάσουμε τρεις μεθόδους ελέγχου εγκυρότητας οι οποίες είναι πιο αποδοτικές από τη μέθοδο των πινάκων αλήθειας στις περισσότερες των περιπτώσεων Δυστυχώς δεν γνωρίζουμε την ύπαρξη συστήματος αποδείξεων για τον ΠΛ το οποίο να μας εγγυάται τον έλεγχο εγκυρότητας σε χρόνο μικρότερο του εκθετικού Επίσης δεν γνωρίζουμε ότι τέτοιο σύστημα δεν μπορεί να υπάρξει Τα συστήματα αποδείξεων του ΠΛ κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες : Παραγωγικά συστήματα (deduction systems): σε ένα παραγωγικό σύστημα μια εξαγωγή συμπεράσματος P 1, P 2,, P n / αποδεικνύεται έγκυρη με την παραγωγή του συμπεράσματος από τις υποθέσεις χρησιμοποιώντας ένα σύνολο κανόνων λογισμού Συστήματα Ανασκευής (refutation systems) : σε ένα σύστημα ανασκευής χρησιμοποείται η σχέση μεταξύ εγκυρότητας και μη-ικανοποιησιμότητας : είναι λογική συνέπεια των P 1, P 2,, P n εφόσον το σύνολο { P 1, P 2,, P n, } είναι μη-ικανοποιήσιμο Σε ένα σύστημα ανασκευής προσπαθούμε να ανασκευάσουμε την υπόθεση ότι το σύνολο { P 1, P 2,, P n, } είναι ικανοποιήσιμο 421 Σύστημα Αποδείξεων Φυσικής ή Μορφολογικής Παραγωγής (natural deduction) Στην μορφολογική παραγωγή, η απόδειξη γίνεται με τη μορφή της παραγωγής του συμπεράσματος από τις υποθέσεις Σε κάθε βήμα της παραγωγής, είτε γίνεται η παραδοχή μιας από τις υποθέσεις είτε χρησιμοποιείται κάποιος κανόνας για την παραγωγή ενός καινούριου προτασιακού σχήματος από σχήματα σε προηγούμενα βήματα της απόδειξης Χρησιμοποιούμε δύο είδη κανόνων : κανόνες εισαγωγής κανόνες απαλοιφής Χρησιμοποιούμε έναν κανόνα από τις παραπάνω κατηγορίες για κάθε συνδετικό Οι απλούστεροι κανόνες επιτρέπουν την μετάβαση από δεδομένα σχήματα σε νέα σχήματα

7 1 Εισαγωγή σύζευξης : αν σε προηγούμενα βήματα της απόδειξης έχουμε εξασφαλίσει τα σχήματα Α και Β (είτε σαν υποθέσεις είτε σαν παραγωγές από άλλα σχήματα) τότε μπορούμε να συμπεράνουμε το σχήμα A B A Συμβολισμός : B A B 2 Απαλοιφή σύζευξης : αν έχουμε εξασφαλίσει το σχήμα A B τότε μπορούμε να εξάγουμε το Α (αριστερή απαλοιφή σύζευξης) ή το Β (δεξιά απαλοιφή σύζευξης) A B A B Συμβολισμός : και A B Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος έγκυρη P Q / Q P είναι (1) P Q (υπόθεση) (2) P (από (1) και αριστερή απαλοιφή σύζευξης) (3) Q (από (1) και δεξιά απαλοιφή σύζευξης) (4) Q P ( από (3), (2) και εισαγωγή σύζευξης) Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη P ( Q R) /( P Q) R (1) P ( Q R) (υπόθεση) (2) P (από (1) και αριστερή απαλοιφή σύζευξης) (3) Q R (από (1) και δεξιά απαλοιφή σύζευξης) (4) Q (από (3) και αριστερή απαλοιφή σύζευξης) (5) R (από (3) και δεξιά απαλοιφή σύζευξης) (6) P Q (από (2), (4) και εισαγωγή σύζευξης) (7) ( P Q) R (από (6), (5) και εισαγωγή σύζευξης) A B 3 Απαλοιφή συνεπαγωγής: _ A B 4 Εισαγωγή διάζευξης δεξιά: _ A Α B 5 Εισαγωγή διάζευξης αριστερά: _ B Α B

8 Α Β 6 Απαλοιφή ισοδυναμίας αριστερά : _ A Β Α Β 7 Απαλοιφή ισοδυναμίας δεξιά: _ Β A A 8 Απαλοιφή άρνησης : A Οι επόμενοι (και πιο πολύπλοκοι) κανόνες κάνουν χρήση υποπαραγωγών (subderivations): 9 Εισαγωγή Συνεπαγωγής: Αν μπορούμε να συμπεράνουμε το B από το σύνολο {Α, S 1, S 2,, S n } τότε μπορούμε να συμπεράνουμε το A B από το σύνολο{ S 1, S 2,, S n } (Αιτιολόγηση: αν υποθέσουμε ότι οι S 1, S 2,, S n είναι αληθείς, τότε, αφού συμπεραίνουμε Β από το {Α, S 1, S 2,, S n }δεν μπορεί να ισχύει ότι η Α είναι αληθής και η Β ψευδής) Συμβολισμός : A A B B Παράδειγμα: Δείξτε ότι η P Q, Q R / P R είναι έγκυρη Για να εφαρμόσουμε τον κανόνα εισαγωγής της συνεπαγωγής πρέπει να δείξουμε ότι μπορούμε να συμπεράνουμε το R από τα P, P Q, R R (1) P (υπόθεση) (2) P Q (υπόθεση) (3) Q (από (1), (2) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (4) Q R (υπόθεση) (5) R (από (3), (4) και απαλοιφή συνεπαγωγής) Από την (5) και τις υποθέσεις, ο κανόνας εισαγωγής της συνεπαγωγής μας δίνει Η ίδια απόδειξη μπορεί να γραφτεί και ως εξής : (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) P Q (υπόθεση παραγωγής) (13) Q (από (11), (12) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (14) Q R (υπόθεση υποπαραγωγής) (15) R (από (13), (14) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (2) P R (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής) P R

9 Στο βήμα (2) απελευθερώνουμε (ξεχνάμε) την υπόθεση της υποπαραγωγής Η ίδια απόδειξη μπορεί να γραφτεί και με ακόμα έναν τρόπο : (1) P Q (υπόθεση) (2) Q R (υπόθεση) (3) Υποπαραγωγή (31) P ( υπόθεση υποπαραγωγής) (32) Q ( από (1), (31) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (33) R ( από (32), (2) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (4) P R (από (3) και εισαγωγή συνεπαγωγής) Μέσα σε μια υποπαραγωγή επιτρέπεται να χρησιμοποιούμε σχήματα τα οποία έχουν παραχθεί έξω από την υποπαραγωγή Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει: δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σχήματα που παράγονται εντός μιας υποπαραγωγής στην κύρια παραγωγή 10 Απαλοιφή διάζευξης (ή λογισμός με περιπτώσεις) : A B A B 11 Εισαγωγή ισοδυναμίας: A B B A A B 12 Εισαγωγή Άρνησης (ή απαγωγή σε άτοπο): 13 Επανάληψη: A A A B B A Παράδειγμα: Δείξτε ότι { P Q, P } = Q (1) P Q (υπόθεση) (2) Υποπαραγωγή (21) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) Υποπαραγωγή (221) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (222) P (από (21) με επανάληψη) (223) P (υπόθεση παραγωγής) (23) Q (από (22) και εισαγωγή άρνησης) (24) Q (από (23) και απαλοιφή άρνησης) (3) Υποπαραγωγή

10 (31) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) Q (από (31) με επανάληψη) (4) Q (από (1), (2),(3) και απαλοιφή διάζευξης) Η υποπαραγωγή (3) είναι απαραίτητη για τη σωστή εφαρμογή του κανόνα της απαλοιφής διάζευξης Πως οδηγηθήκαμε σε μια τέτοια απόδειξη; P Q P Θέλουμε να δείξουμε: Q Χρειάζεται να δείξουμε Q P υποπαραγωγή (2) και Q Q υποπαραγωγή (3) Παράδειγμα: Δείξτε ότι { P Q, R Q, R S } = S P Για να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της εισαγωγής της συνεπαγωγής πρέπει να δείξουμε ότι { P Q, R Q, R S, S} = P μέσω κάποιας υποπαραγωγής (1) Υποπαραγωγή (11) S (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) Υποπαραγωγή (121) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (122) P Q (υπόθεση παραγωγής) (123) Q ( (121 ), (122) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (124) Υποπαραγωγή (1241) R (υπόθεση υποπαραγωγής) (1242) R Q (υπόθεση παραγωγής) (1243) Q ( (1241), (1242) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (1244) Q ( (123) και επανάληψη) (125) R( (124) και εισαγωγή άρνησης) (126) R ( (125) και απαλοιφή άρνησης) (127) R S (υπόθεση παραγωγής) (128) S ( (126), (127) και απαλοιφή συνεπαγωγής) (129) S ( (11) και επανάληψη) (13) P (από (12) και εισαγωγή άρνησης) (2) S P (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής)

11 422 Μορφολογική Παραγωγή: Αποδείξεις Το σύστημα της μορφολογικής παραγωγής είναι μη-αλγοριθμικό : προσφέρει κανόνες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αλλά δεν προσφέρει καμία καθοδήγηση για το σχηματισμό της απόδειξης Ευριστικοί κανόνες (heuristics): μπορούν συχνά να βοηθήσουν στην κατασκευή αποδείξεων αλλά δεν προσφέρουν εγγύηση ότι θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα : 1 Αν το συμπέρασμα που θέλουμε να εξάγουμε έχει ως κύριο συνδετικό το *, πορσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα εισαγωγής του * 2 Αν μια υπόθεση έχει * σαν κύριο συνδετικό, προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα απαλοιφής του * 3 Αν οι δύο προηγούμενοι κανόνες αποτύχουν, προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα απαλοιφής της άρνησης Δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούνται αυτοί οι κανόνες σε κάθε περίπτωση Για παράδειγμα, για να αποδείξουμε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P, P ( Q R) / Q R είναι έγκυρη, θα ήταν σφάλμα να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα εισαγωγής της συνεπαγωγής μιας και το συμπέρασμα εμφανίζεται ως υποπρόταση μιας από τις υποθέσεις Επίσης, για την εξαγωγή συμπεράσματος P Q, R /( P Q) R θα ήταν σφάλμα να χρησιμοποιηθεί ο δεύτερος κανόνας για την απαλοιφή της διάζευξης Παράδειγμα : Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P Q / P Q είναι έγκυρη Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον κανόνα εισαγωγής της συνεπαγωγής σύμφωνα με τον πρώτο ευριστικό κανόνα Χρειαζόμαστε μια υποπαραγωγή με υπόθεση P και συμπέρασμα Q : (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (1v) Q (2) P Q (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής) Παρατηρούμε ότι η υπόθεση της παραγωγής έχει ως κύριο συνδετικό το Θα προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της απαλοιφής της διάζευξης εντός της υποπαραγωγής (1): (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) P Q(υπόθεση παραγωγής) (13) Υποπαραγωγή

12 (131) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (13μ) Q (14) Υποπαραγωγή (141) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (14κ) Q (15) Q (από (12), (13), (14 ) με απαλοιφή - ) (2) P Q (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής) Η υποπαραγωγή (14) είναι τετριμμένη : χρησιμοποιείται μόνο ο κανόνας της επανάληψης Για την υποπαραγωγή (13) θα χρησιμοποιούμε τον τρίτο ευριστικό κανόνα Συνολικά, η παραγωγή θα έχει ως εξής : (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) P Q (υπόθεση παραγωγής) (13) Υποπαραγωγή (131) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (132) Υποπαραγωγή (1321) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (1322) P (από (11) με επανάληψη) (1323) P (από (131) με επανάληψη) (133) Q (από (132) με εισαγωγή ) (134) Q (από (133) με απαλοιφή ) (14) Υποπαραγωγή (141) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (142) Q (από (141) με επανάληψη) (15) Q (από (12), (13), (14) με απαλοιφή - ) (2) P R (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής) Σε κάθε σωστή παραγωγή αντιστοιχεί ένας κανόνας που μας επιτρέπει να καταλήγουμε από τις υποθέσεις στο συμπέρασμα παραλείποντας τα ενδιάμεσα βήματα Σχετικά με το προηγούμενο παράδειγμα ένας τέτοιος κανόνας είναι Απαλοιφή 2 : A B A B

13 Χρησιμοποιώντας αυτό τον κανόνα η προηγούμενη παραγωγή μπορεί να γραφτεί ως εξής : (1) P Q (υπόθεση παραγωγής) (2) Υποπαραγωγή (21) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) Υποπαραγωγή (221) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (222) P (223) P (από (221) με επανάληψη) (23) P ( από (22) με εισαγωγή ) (24) Q ( από (1), (23) με απαλοιφή 2 ) (3) P R (από (1) και εισαγωγή συνεπαγωγής) Η μορφολογική παραγωγή - εκτός από τον έλεγχο εγκυρότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αποδείξεις Μια απόδειξη είναι μια παραγωγή χωρίς υποθέσεις Επομένως το συμπέρασμα μιας απόδειξης πρέπει να είναι ταυτολογία Παράδειγμα: Αποδείξτε την ταυτολογία P P (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) P (από (11) με επανάληψη) (2) P P (από (1) και εισαγωγή ) Παράδειγμα: Αποδείξτε την ταυτολογία P P (1) Υποπαραγωγή (11) ( P P) (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) υποπαραγωγή (121) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (122) P P (από (121) με εισαγωγή ) (123) ( P P) (από (11) με επανάληψη) (13) P (από (12), (11) και εισαγωγή ) (14) P P (από (13) και εισαγωγή ) (15) ( P P) (από (11) με επανάληψη) (2) ( P P) (από (1) και εισαγωγή ) (3) P P (από (2) και απαλοιφή ) Ένα προτασιακό σχήμα που παράγεται χωρίς υποθέσεις ονομάζεται θεώρημα Το θεώρημα του προηγούμενου παραδείγματος μπορεί να συμβολιστεί ως: P P (αποκλεισμός μέσου)

14 Τα θεωρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε παραγωγές για την εξαγωγή συμπερασμάτων Παράδειγμα: Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος ( P Q) / P Q είναι έγκυρη (1) Q Q (αποκλεισμός μέσου) (2) υποπαραγωγή (21) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) υποπαραγωγή (221) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (222) P Q (από (221), (21) με εισαγωγή ) (223) ( P Q) (υπόθεση παραγωγής) (23) P (από (22) και εισαγωγή ) (24) P Q (από (23) και εισαγωγή ) (3) Υποπαραγωγή (31) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) P Q (από (31) και εισαγωγή ) (4) P Q (από (1), (2), (3) και απαλοιφή ) Παράδειγμα: Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P Q, ( P R) / Q είναι έγκυρη (1) Υποπαραγωγή (11) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) υποπαραγωγή (121) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (122) υποπαραγωγή (1221) R (υπόθεση υποπαραγωγής) (1222) P (από (121) με επανάληψη) (1223) P (από (11) με επανάληψη) (123) R (από (122) και εισαγωγή ) (124) R (από (123) και απαλοιφή ) (13) P R (από (12) και εισαγωγή ) (14) ( P R) υπόθεση (2) P (από (11), (12) με εισαγωγή ) (3) P ( από (2) με απαλοιφή ) (4) P Q (υπόθεση) (5) Q ( από (3), (4) και απαλοιφή )

15 Παραδείγματα Χρήσης Μορφολογικής Παραγωγής Παράδειγμα: Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος έγκυρη P Q, P R / P Q R είναι (1) P Q (υπόθεση παραγωγής) (2) P R (υπόθεση παραγωγής) (3) υποπαραγωγή (31) P (υπόθεση παραγωγής) (32) Q (από (31), (1) και απαλοιφή ) (33) R (από (31), (2) και απαλοιφή ) (34) Q R (από (32), (33) και εισαγωγή ) (4) P Q R (από (3) και εισαγωγή ) Παράδειγμα Αποδείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P / ( P Q) είναι έγκυρη (1) P (υπόθεση) (2) υποπαραγωγή (21) P Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) P (από (21) με απαλοιφή ) (3) ( P Q) (από (1), (2) και εισαγωγή ) Παράδειγμα : Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P Q, Q / P είναι έγκυρη (1) P Q (υπόθεση) (2) Q (υπόθεση) (3) υποπαραγωγή (31) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) Q (από (1), (31) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (4) P (από (2), (3) και εισαγωγή ) Παράδειγμα : Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος P Q, Q R / P R είναι έγκυρη (1) P Q (υπόθεση) (2) υποπαραγωγή (21) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) P R (από (21) με εισαγωγή ) (3) υποπαραγωγή (31) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) Q R (υπόθεση) (33) R (από (31), (32) και απαλοιφή 2) (34) P R (από (33) και εισαγωγή ) (4) P R (από (1),(2),(3) και απαλοιφή )

16 Παράδειγμα : Αποδείξτε το θεώρημα R ( P ( Q R)) (1) υποπαραγωγή (11) R (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) υποπαραγωγή (121) P (υπόθεση υποπαραγωγής) (122) υποπαραγωγή (1221) Q (υπόθεση υποπαραγωγής) (1222) R (από (11) με επανάληψη) (123) Q R (από (122) και εισαγωγή ) (13) P ( Q R) (από (12) και εισαγωγή ) (2) R ( P ( Q R)) (από (1) και εισαγωγή ) 423 Κατασκευή Μοντέλων Διάκριση μεταξύ συστημάτων παραγωγής και συστημάτων ανασκευής : Τα συστήματα παραγωγής (όπως η μορφολογική παραγωγή) παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού Τα συστήματα ανασκευής, προκειμένου να δείξουν ότι { P 1,, Pn } =, επιχειρούν να δείξουν ότι το σύνολο { P1,, Pn, } είναι μη-ικανοποιήσιμο Η κατασκευή μοντέλων είναι ένα τέτοιο σύστημα ανασκευής Ιδέα της Μεθόδου Κατασκευής Μοντέλων Για να αποφασίσουμε ότι ένα σύνολο είναι ικανοποιήσιμο ή όχι ψάχνουμε συστηματικά για μια ερμηνεία η οποία ικανοποιεί όλα τα μέλη του συνόλου Αν μια τέτοια ερμηνεία βρεθεί, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο Αν όχι, τότε το σύνολο είναι μη ικανοποιήσιμο Μια ερμηνεία που ικανοποιεί κάθε μέλος ενός συνόλου προτάσεων S λέγεται μοντέλο του S Ας υποθέσουμε τώρα ότι ψάχνουμε για μια ερμηνεία που ικανοποιεί ένα σύνολο προτάσεων το οποίο περιέχει μια πρόταση της μορφής A B, ας πούμε το σύνολο S { A B} Ξέρουμε ότι μια ερμηνεία ικανοποιεί την πρόταση A B αν και μόνο αν ικανοποιεί και την Α και την Β Άρα, η ερμηνεία που ψάχνουμε ικανοποιεί S { A B} αν και μόνο αν ικανοποιεί το S { A, B} Δηλαδή = I S { A B}, αν και μόνο αν = I S { A, B} για οποιαδήποτε ερμηνεία Ι Παρομοίως, = I S { A B} αν και μόνο αν = I S {A} ή = I S {B} για οποιαδήποτε ερμηνεία Ι, καθώς και I Α αν και μόνο αν = I A για οποιαδήποτε ερμηνεία Ι Παρόμοιες απλοποιήσεις υπάρχουν και για τα υπόλοιπα συνδετικά

17 Αν συνεχίσουμε κατά αυτόν τον τρόπο, είτε θα βρούμε ότι όλα τα σύνολα που προσπαθούμε να δείξουμε ότι είναι ικανοποιήσιμα περιέχουν αντινομίες οπότε το αρχικό σύνολο είναι μη-ικανοποιήσιμο είτε θα βρούμε ότι το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο με το να καταλήξουμε σε μια ερμηνεία που ικανοποιεί ένα σύνολο που περιέχει μόνο γράμματα ή αρνήσεις γραμμάτων Σε αυτήν την περίπτωση το μοντέλο αποτελείται από τα γράμματα του συνόλου που προκύπτει Φορμαλισμός της Μεθόδου Θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύνολο που αποτελείται από σύνολα προτάσεων Αρχικά = {S}, όπου S είναι το σύνολο που θέλουμε να δείξουμε ότι είναι (μη-) ικανοποιήσιμο Το διαδοχικά θα αντικαθίσταται από ένα σύνολο που προκύπτει από την εφαρμογή κανόνων αντικατάστασης, οι οποίοι παράγουν απλούστερα σύνολα Οποτεδήποτε ένα από τα σύνολα μέρη του περιέχει Α και A για κάποια πρόταση Α, το σύνολο αυτό θα αφαιρείται από το Η διαδικασία τερματίζεται όταν δεν μπορούν πλέον να εφαρμοστούν άλλοι κανόνες αντικατάστασης Αν τότε το είναι κενό, το S είναι μη ικανοποιήσιμο Διαφορετικά, κάθε μέλος του είναι ένα μοντέλο του S Κανόνες Αντικατάστασης: έχουν την μορφή : αν το περιέχει ένα σύνολο της μορφής X, τότε αντικατάστησέ το με το Y Οι κανόνες δίνονται στο παρακάτω πίνακα Κανόνας X Υ [ ] S { A B} S { A, B} [ ] S { A B} S { A}, S { B} [ ] S { A B} S { A}, S { B} [ ] S { A B} S { A, B}, S { A, B} [ ] S { ( A B)} S { A}, S { B} [ ] S { ( A B)} S { A, B} [ ] S { ( A B)} S { A, B} [ ] S { ( A B)} S { A, B}, S { A, B} [ ] S { A} S {A} [del] S { A, A} (delete) Οι κανόνες για τους οποίους το Y περιέχει δύο σύνολα λέγονται κανόνες διακλάδωσης Κανόνες εφαρμογής των κανόνων αντικατάστασης: ποτέ δεν εφαρμόζουμε έναν κανόνα διακλάδωσης αν μπορούμε να εφαρμόσουμε έναν άλλο κανόνα Επίσης, αν ο κανόνας [del] μπορεί να χρησιμοποιηθεί, τότε τον εφαρμόζουμε πριν από άλλους κανόνες

18 Παράδειγμα: Δείξτε ότι { P Q, P } = Q Θα δείξουμε ότι το σύνολο S = { P Q, P, Q }είναι μη ικανοποιήσιμο { S} {{ P Q, P, Q}} Εφαρμόζουμε τον κανόνα [ ], από τον οποίο O προκύπτει το 1 {{ P, P, Q},{ Q, P, Q}} Με την εφαρμογή του κανόνα [del] προκύπτει το 2 {{ Q, P, Q}} και κατόπιν το 3 ={} Άρα το S είναι μη ικανοποιήσιμο Παράδειγμα: Δείξτε ότι { P Q} = P Q {{ P Q, ( P 0 Q )}} Κανόνας 1 {{ P Q, P, Q)}} [ ] 2 {{ P, P, Q)},{ Q, P, Q}} [ ] 3 {{ Q, P, Q}} [del] 4 {} [del] Παράδειγμα: Δείξτε ότι { P Q, R Q, R S} S P {{ P Q, R Q, R ( S 0 P )}} Κανόνας 1 {{ P Q, R Q, R P}} [ ] 2 {{ P Q, R Q, R P}} [ ] 3 {{ P, R Q, R P},{ Q, R Q, R P}} [ ] {{ Q, R Q, R P}} [del] {{ Q, R, R P},{ Q, Q, R }} [ ] 5 P {{ Q, R, R }} [del] 6 P {{ Q, R, R }} [ ] 7 P {{ Q, R, R, P},{ Q, R, }} [ ] 8 P {{ Q, R, }} [del] 9 P {} [del] 10 Για να αποφύγουμε να γράφουμε τις ίδιες προτάσεις πολλές φορές, οι αποδείξεις μπορούν να γραφούν σε μορφή δέντρου, στο οποίο κάθε πρόταση εμφανίζεται μόνο μια φορά και το σύνολο αντιστοιχεί σε μονοπάτια από τη ρίζα στα φύλλα του δέντρου

19 Αρχικά γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου το οποίο θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι (μη) ικανοποιήσιμο Η εφαρμογή κανόνα συμβολίζεται με μια οριζόντια γραμμή και η πρόταση στην οποία εφαρμόζεται ο κανόνας μαρκάρεται με x Παράδειγμα : Δείξτε ότι { P Q} = P Q x (1) P Q x (2) ( P Q) (3) P (4) Q (5) P (6) Q ===============3 ===================4 Η εφαρμογή του κανόνα [del] συμβολίζεται με μια διπλή οριζόντια γραμμή και τον αριθμό της πρότασης η οποία, μαζί με την πρόταση που βρίσκεται ακριβώς πάνω από τη διπλή γραμμή, ενεργοποιούν τον κανόνα Η διπλή γραμμή θεωρείται ότι κλείνει αυτό το μονοπάτι του δέντρου Το δέντρο λέγεται πλήρες αν όλες οι προτάσεις έχουν χρησιμοποιηθεί Αν κάθε μονοπάτι είναι κλειστό, τότε το αρχικό σύνολο είναι μη ικανοποιήσιμο Παράδειγμα : Ελέξτε αν {( P Q) R} P ( Q R) x (1) ( P Q) R x (2) ( P ( Q R)) (3) P x (4) ( Q R) (5) Q (6) R x (7) P Q (9) P (10) Q (8) R ========== 3 ========= 6 Το δέντρο είναι πλήρες καθώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κανένα άλλο κανόνα Υπάρχει ένα μονοπάτι στο δέντρο το οποίο δεν είναι κλειστό Τα γράμματα που εμφανίζονται στο μονοπάτι αυτό αποτελούν το σύνολο { Q, R, P } Άρα η ερμηνεία που ικανοποιεί το αρχικό σύνολο είναι η Ι = {P,Q} Συνεπώς, η λογική συνεπαγωγή δεν είναι έγκυρη

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση

Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις 2ου Φροντιστηρίου: Προτασιακός Λογισμός: Κανονικές Μορφές, Απλός Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF/DNF, Άρνηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης a. Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 12η: Συναρτησιακές Εξαρτήσεις - Αξιώματα Armstrong Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Συναρτησιακές Εξαρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 13η: Κλείσιμο Συνόλου Γνωρισμάτων - Ελάχιστη κάλυψη - Αποσύνθεση - Συναρτησιακές Εξαρτήσεις Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα #10: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα #10: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ενότητα #10: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Διδάσκων: Μανασάκης Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Τα κείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 4: Μη-ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα με ε-μεταβάσεις Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 14η: Κανονικές Μορφές Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Κανονικές Μορφές (Normal Forms) Παρέχουν ένα τυπικό πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #7: Ευφυής Ελεγκτής Μέρος Α Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Προτασιακή Λογική

9.1 Προτασιακή Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ενότητα #4: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ενότητα #4: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ενότητα #4: ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΩΝ Διδάσκων: Μανασάκης Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Τα κείμενα και τα διαγράμματα της παρουσίασης έχουν ληφθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ Στοιχειώδεις αντιδράσεις, μηχανισμός και εύρεση του νόμου ταχύτητας Διδάσκοντες: Αναπλ. Καθ. Β. Μελισσάς, Λέκτορας Θ. Λαζαρίδης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Εργαλεία Κανονιστικής Ανάλυσης Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

τατιςτική ςτην Εκπαίδευςη II

τατιςτική ςτην Εκπαίδευςη II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ τατιςτική ςτην Εκπαίδευςη II Αρχείο αποτελεςμάτων Διδάσκων: Μιχάλης Λιναρδάκης ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστική Ψυχολογία 3

Γνωστική Ψυχολογία 3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Γνωστική Ψυχολογία 3 Ενότητα #3: Εισαγωγή στη Μνήμη Διδάσκων: Οικονόμου Ηλίας ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ενότητα # 6: ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Διδάσκων: Μανασάκης Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Τα κείμενα και τα διαγράμματα της παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσα χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Δειγματοληπτική διαδικασία Διδάσκων: Νίκος Ανδρεαδάκης ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μακροοικονομική Θεωρία Ι

Μακροοικονομική Θεωρία Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μακροοικονομική Θεωρία Ι Διάλεξη 5: Συνολική Ζήτηση και Συνολική Προσφορά (Μέρος Α) Διδάσκων: Γιαννέλλης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ

ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Ενότητα #8: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΧΕΔΙΟΥ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ Ενότητα 3: Συναθροιστική Ζήτηση- Εφαρμόζοντας το Υπόδειγμα IS-LM Κουτεντάκης Φραγκίσκος Γαληνού Αργυρώ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Λογικές πράξεις, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλικρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα