ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

Transcript

1 ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

2 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα (μ.ο.: 7.09). Πολλά θετικά στοιχεία: 10 άριστες [8.8, 10], 7 πολύ καλές [7.6, 8.4]. 27 εργασίες σε σύνολο 28 φοιτητών με υποχρέωση εργασιών! Διάθεση για κατανόηση και προσπάθεια για πλήρη αιτιολόγηση. Βοηθά να αποφύγετε τα λάθη! Αρκετές εργασίες έδειχναν μεγάλη προσπάθεια και επένδυση χρόνου. Τι μπορεί να βελτιωθεί: Όχι αναπάντητα ερωτήματα (π.χ. 2.Β.β και4.β)! Μεγαλύτερη προσοχή στην κατανόηση του ζητούμενου. Μην μείνετε στην βαθμολογία! Τα περισσότερα ερωτήματα ήταν εύκολα! Η βαθμολόγηση ήταν μάλλον (αλλά όχι πολύ) επιεικής. «Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 2

3 Ερωτ. 1.Β.β καιερωτ. 5.Α 12 αυτοκίνητα: 4 μοντέλα με 3 ίδια αυτοκ. για κάθε μοντέλο και 5 δοκιμαστές. #τρόπων κάθε δοκιμαστής να οδηγήσει 1 αυτοκ., ώστε να οδηγηθεί τουλ. 1 αυτοκίνητο από κάθε μοντέλο; 1 μοντέλο οδηγείται από 2 δοκιμαστές, τα άλλα 3 μοντέλα από 1 δοκιμαστή: C(4, 1) = 4 τρόποι για μοντέλο με 2 δοκιμαστές. C(5, 2) = 10 τρόποι επιλογής των 2 δοκιμαστών για αυτό το μοντέλο. 3! = 6 τρόποι ανάθεσης υπόλοιπων 3 μοντέλων σε 3 δοκιμαστές. Σύνολο: 4x10x6 = 240 τρόποι. 3k διακ. αντικείμενα σε 3 διακ. υποδοχές ώστε κάθε υποδοχή να πάρει k αντικείμενα (δεν έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές). C(3k, 2k) x C(2k, k) x C(k, k) = (3k)!/(k!k!k!) Όσες και οι μεταθέσεις 3k αντικειμένων που χωρίζονται σε 3 ομάδες ομοίων με k αντικείμενα ηκαθεμία. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 3

4 Ερώτημα 2.Β #τρόποι επιλογής 100 (όχι απαραίτητα διαφορετικών και ανώνυμων) στηλών όπου κάθε στήλη αριθμός από 1 έως 1000; Συνδυασμοί με επανάληψη: C( , 100). Πιθανότητα καμία από τις 100 στήλες να μην κερδίσει; Διατάξεις με επανάληψη (χωρίς να έχει σημασία η σειρά των επιλογών) ώστε κάθε 100-άδα να είναι ισοπίθανη. Όλες οι διατάξεις 100 από 1000 με επανάληψη: άδες που «αποφεύγουν» τη νικήτρια στήλη (1000-1) 100 Πιθανότητα όλες οι 100 στήλες να «αποφύγουν» νικήτρια: (1000 1) 100 / = (1 1/1000) 100 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 4

5 Ερώτημα 3.Β Επιλογή 20 φύλλων από 40 διαφορετικά φύλλα (σε ένα αντίγραφο το καθένα) με τη σειρά επιλογής να έχει σημασία. Διατάξεις 20 από 40 χωρίς επανάληψη: 40!/20! Εκθετική ΓΣ: (1+x) 40, συντελεστής του x 20 /20! Επιλογή φύλλων συνολικής αξίας 20, όταν έχουμε 4 ίδια φύλλα για κάθε αξία k, 1 k 10, και δεν έχει σημασία σειρά επιλογής. Συνδυασμοί συνήθης ΓΣ που λαμβάνει υπόψη αξία φύλλων. Απαριθμητής για αξία k: 1+x k +x 2k +x 3k +x 4k Συνήθης ΓΣ: Συντελεστής του x 20 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 5

6 Ερώτημα 4.Β.α Διατύπωση αναδρομικής σχέσης για πλήθος συμβ/ρών μήκους n από a, b, c, d, e που περιέχουν το a τουλάχιστον μία φορά. Έστω α n το πλήθος τέτοιων συμβ/ρών μήκους n. Παρατηρούμε ότι α 0 = 0, α 1 = 1 (a), α 2 = 9, Έχουμε α n 1 συμβ/ρές μήκους n 1 με τουλάχιστον ένα a και 5 n 1 α n 1 = 4 n 1 συμβ/ρές μήκους n 1 χωρίς καθόλου a «έγκυρη» μήκους n 1, έχουμε 5 «έγκυρες» συμβ/ρές μήκους n «μη έγκυρη» συμβ/ρά μήκους n 1, έχουμε 1 «έγκυρη» μήκους n Αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις. α n = 5α n n 1 ή α n = 4α n n 1, με α 0 = 0, (α 1 = 1, ) Επαγωγή, στο 4.Β.β, είναι απλή και επιβεβαιώνει ότι η λύση 5 n 4 n ικανοποιεί τις παραπάνω αναδρομικές σχέσεις. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 6

7 Μαθηματική Λογική Προτασιακή Λογική: 2 η ΟΣΣ, 2 η Εργασία (16.12) Κατηγορηματική Λογική: 3 η ΟΣΣ, 3 η Εργασία (9.1, ) 30% 35% στις εξετάσεις «βαρόμετρο» επιτυχίας! Αντικείμενο: θεμελίωση των μαθηματικών. Πότε μια πρόταση ισχύει / μια απόδειξη είναι σωστή; Σημασιολογικά: συμπέρασμα έπεται αναγκαία από υποθέσεις. Ενδιαφέρει, δεν ελέγχεται αποδοτικά με μηχανιστικό τρόπο. Συντακτικά: όταν στην αποδεικτική διαδικασία εφαρμόζουμε σωστά συγκεκριμένους κανόνες (συντακτικής φύσης). Διατύπωση με νοημοσύνη «μηχανιστικός» έλεγχος. Ζητούμενο ισοδυναμία: σωστές «συντακτικά» αποδείξεις θεμελιώνουν (όλες και μόνο αυτές) «σημασιολογικά» σωστές προτάσεις. Εγκυρότητα Πληρότητα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 7

8 Μαθηματική Λογική Μερικά ενδιαφέροντα βιβλία: Δοξιάδης, Παπαδημητρίου. Logicomix. Δοξιάδης. Θείος Πέτρος και Εικασία του Γκόλντμπαχ. Δομή κεφαλαίου ατζέντα: Γλώσσα Προτασιακής Λογικής: πλαίσιο διατύπωσης επιχειρημάτων. (Μαθηματική επαγωγή). Σημασιολογική προσέγγιση: πίνακες αλήθειας, ιδιότητες λογικών συνδέσμων, ταυτολογία, ταυτολογική συνεπαγωγή. Συντακτική προσέγγιση: αξιώματα, modus ponens, συντακτική αντικατάσταση (τυπικά) θεωρήματα. Ισοδυναμία προσεγγίσεων: εγκυρότητα πληρότητα. Εγκυρότητα: τυπικά αποδείξιμο σημασιολογικά σωστό. Πληρότητα: σημασιολογικά σωστό αποδείξιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 8

9 Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική) πρόταση: δήλωση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής (όχι και τα δύο). Το όνομά μου είναι Δημήτρης. Χθες είχε λιακάδα στην Αθήνα. Ο Σεφέρης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας. Ο Καζαντζάκης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας. Άλλα όχι: Τι ώρα είναι; Κάνετε ησυχία παρακαλώ. Σχεδόν κάθε μέρα βρέχει (χωρίς το σχεδόν;) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 9

10 Μαθηματικές Προτάσεις Προτάσεις συνδυάζονται λογικά: Αν χιονίσει, θα πάω για σκι ή θα παίξω χιονοπόλεμο. Ο Δ είναι καλός ή ο Δ δεν είναι καλός. Θα διαβάζω τα μαθήματά μου στις 17:00 και θα παίζω μπάσκετ στις 17:00. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 10

11 Γλώσσα Προτασιακής Λογικής Στοιχειώδεις προτάσεις: προτασιακές μεταβλητές p, q, r. Βασικά δομικά στοιχεία. Διακριτές τιμές Α ή Ψ (1 ή 0). Συνδυασμός προτάσεων με (λογικούς) συνδέσμους:,,,,,. Προτασιακός τύπος: (Βάση:) Είτε προτασιακή μεταβλητή p, q, r, (Βήμα:) Είτε ( φ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), όπου φ, ψ ήδη σχηματισμένοι προτασιακοί τύποι. Επαγωγικός (ή αναδρομικός) ορισμός: Δομή αναπαρίσταται με (μοναδικό) δενδροδιάγραμμα που εξηγεί πως π.τ. προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού (Θ2.3 μοναδική αναγν.). Ιδιότητες με μαθηματική επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 11

12 Μαθηματική Επαγωγή Αποδεικνύουμε ότι «Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n n 0». Δομική επαγωγή: όλα τα στοιχεία (αριθμήσιμα) άπειρου συνόλου που ορίζεται επαγωγικά (αναδρομικά) έχουν ιδιότητα Ρ. Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής Έστω P(n) μια πρόταση που εξαρτάται από φυσικό αριθμό n. Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n n 0, αρκεί νδο: Βάση: το Ρ(n 0 ) αληθεύει. Βήμα: για κάθε n n 0, αν Ρ(n) αληθεύει, τότε P(n+1) αληθεύει. Αρχή Ισχυρής Μαθηματικής Επαγωγής Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε n n 0, αρκεί νδο: Βάση: το Ρ(n 0 ) αληθεύει. Βήμα: για κάθε n n 0, αν P(k) αληθεύει για κάθε k {n 0,, n}, τότε P(n+1) αληθεύει. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 12

13 Παράδειγμα: Διαιρετότητα Να δείξετε ότι για κάθε n 1, το n 3 +2n διαιρείται από το 3. Βάση: Αληθεύει για n = 1: Το 3 διαιρείται από το 3. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετα επιλεγμένο) n 1, το n 3 + 2n διαιρείται από το 3. Επαγωγικό βήμα: Θδο το (n+1) 3 + 2(n+1) διαιρείται από το 3. Πράγματι, όπουκαιοιδύοόροιδιαιρούνταιαπότο3 (ο 1 ος λόγω της επαγωγικής υπόθεσης). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 13

14 Ερώτημα 4.α, 1 η Εργ ΝδοσεκάθεσύνολοS = {α 1,, α n } με n 1 αριθμούς τ.ω. 0 < α 1 < < α n και 2α i α i+1, για κάθε i, ισχύει ότι: (Ιδ1) άθρ(s) < 2α n. Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α 1 } και 0 < α 1 < 2α 1. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n 1, κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ1. Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S, S = n+1 έχει Ιδ1. Έστω S = {α 1,, α n, α n+1 }. Απόδειξη Ιδ1: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 14

15 Ερώτημα 4.α, 1 η Εργ ΝδοσεκάθεσύνολοS = {α 1,, α n } με n 1 αριθμούς τ.ω. 0 < α 1 < < α n και 2α i α i+1, για κάθε i, ισχύει ότι: (Ιδ2) Α, Β S, με A B, άθρ(α) άθρ(b). Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α 1 }. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n 1, κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ2. Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S με n+1 στοιχεία έχει Ιδ2. Έστω S = {α 1,, α n, α n+1 }, και A, Β S, με A B. Αν Α και Β δεν περιέχουν α n+1, άθρ(α) άθρ(b), από επαγ. υπόθ. Αν Α και Β περιέχουν α n+1, άθρ(α) άθρ(b), από επαγ. υπόθ., γιατί άθρ(α {α n+1 }) άθρ(b {α n+1 }). Αν Α περιέχει α n+1, και Β δεν περιέχει α n+1, άθρ(α) άθρ(b) γιατί άθρ(α) α n+1 2α n > α 1 + +α n άθρ(b), λόγω Ιδ1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 15

16 Παράδειγμα Έστω Τ σύνολο π.τ. που είναι: (Βάση:) είτε προτασιακές μεταβλητές, (Βήμα:) είτε της μορφής φ ψ, όπου φ, ψ π.τ. του Τ. Νδ (με μαθ. επαγωγή) ότι το Τ δεν περιέχει ταυτολογίες. Βάση: προτασιακή μεταβλητή p δεν είναι ταυτολογία. Επαγ. υπόθεση: έστω φ, ψ Τ που δεν είναι ταυτολογίες. Επαγ. βήμα: θεωρούμε χ φ ψ. Θδο χ δεν είναι ταυτολογία. φ όχι ταυτολογία: υπάρχει αποτίμηση α που δεν ικανοποιεί φ. Αποτίμηση α δεν ικανοποιεί χ φ ψ. Άρα ο χ δεν είναι ταυτολογία. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 16

17 Ερωτ. 1.β, 2 η Εργ Νδο το σύνολο συνδέσμων Σ = {, +} δεν είναι πλήρες (+: άρνηση ) Τ Σ σύνολο π.τ. (σε τουλαχ. 2 μεταβλητές) μόνο με συνδέσμους του Σ. Ιδιότητα π.τ. στο Τ Σ που δεν ικανοποιείται από όλους π.τ. φ Τ Σ : #(αποτιμήσεων όπου φ Αληθής) είναι άρτιος. Απόδειξη με μαθηματική επαγωγή: Βάση: αληθεύει (θεωρώντας αποτιμήσεις σε τουλάχιστον 2 μεταβλητές). Επαγ. υπόθεση: έστω π.τ. φ, χ Τ Σ τ.ω. #αποτ. με φ Α(Ψ) και #αποτ. με χ Α(Ψ) είναι άρτιοι άριθμοι. Επαγ. βήμα: για φ, #αποτ. με φ Α = #αποτ. με φ Ψ που είναι άρτιος. Έστω x=#αποτ. (φ Α, χ Α), y=#αποτ. (φ Α, χ Ψ), z=#αποτ. (φ Ψ, χ Α), w=#αποτ. (φ Ψ, χ Ψ). Από επαγ. υπόθεση: x+y, z+w, x+z, y+w άρτιοι αριθμοί. Άρα, #αποτ. όπου φ+χ Αληθής = y+z που είναι άρτιος. Αν y άρτιος, τότε και x άρτιος (βλ. x+y), άρα και z άρτιος (βλ. x+z). Αν y περιττός, τότε και x περιττός (βλ. x+y), άρα και z περιττός (βλ. x+z). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 17

18 Επαγωγή: Δείτε Ακόμη Παραδείγματα Δημητρακόπουλου: Παράδ. 2.1, Ασκ.Αυτοαξ. 2.1, Λήμμα 2.1. Σημειώσεις για Μαθηματική Επαγωγή (Δομική Επαγωγή). Άλλα παραδείγματα: Ερ. 5, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3, 2 η εργ , Ερ. 3 και Ερ 4.β, 2 η εργ , Ερ. 3.β, 2 η εργ , Ερ. 2.α, επαναλ. εξ. 11, Ερ. 2.α και3.β, 2 η εργ , Ερ. 2.α και4.γ, 2 η εργ , Ερ. 1, 2 η εργ.13-14, Ερ. 1.β, 2 η εργ Ασκήσεις επαγωγής πολύ συχνά θέμα εξετάσεων είτε στην Λογική είτε στα Γραφήματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 18

19 Δενδροδιαγράμματα Η δομή ενός προτασιακού τύπου μπορεί να απεικονιστεί με τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος. Παράδειγμα: Οπροτασιακόςτύπος (p q) (r s) μπορεί να παρασταθεί με το δενδροδιάγραμμα: p q p q r s (p q) r s (p q) (r s) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 19

20 Σημασιολογική Προσέγγιση Αποτίμηση: ανάθεση τιμών αλήθειας στις μεταβλητές ενός π.τ. Από τιμές αλήθειας μεταβλητών, δενδροδιάγραμμα, και πίνακες αλήθειας λογικών συνδέσμων, υπολογίζουμε τιμή αλήθειας π.τ. Λογικοί σύνδεσμοι ορίζονται με πίνακες αλήθειας. p q p p q p q p q p q p q Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 20

21 Λογική Συνεπαγωγή Αν αληθεύει το p, τότε αληθεύει το q : p q. p q p q ( p q) Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 21

22 Σημασιολογική Προσέγγιση Αποτίμηση της τιμής αληθείας ενός τύπου εφαρμόζεται σταδιακά στο δενδροδιάγραμμα: Ξεκινάμε από προτασιακές μεταβλητές Προχωράμε στο επόμενο επίπεδο με πίνακα αληθείας. Παράδειγμα. Έστω α(p) = α(s) = Α και α(q) = α(r) = Ψ. Για (p q) (r s) έχουμε: Α p Ψ p q Α Ψ q (p q) Ψ r Α r s Α s (p q) (r s) Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 22

23 Σημασιολογική Προσέγγιση Ταυτολογική ισοδυναμία φ ψ Για κάθε αποτίμηση, φ και ψ έχουν ίδια τιμή αλήθειας. Απόδειξη είτε με πίνακα αλήθειας είτε με ιδιότητες λογικών συνδέσμων. Π.χ. Ταυτολογία φ: φ πάντα Α (για κάθε αποτίμηση). φ αντίφαση ανν φ ταυτολογία. Ικανοποιήσιμος φ: φ δεν είναι αντίφαση. Τ = {φ 1,..., φ k } ικανοποιήσιμο: φ 1... φ k ικανοποιήσιμος. Υπάρχει αποτίμηση που ικανοποιεί (ταυτόχρονα) όλους τους τύπους του Τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 23

24 Παραδείγματα Νδο ταυτολογία. Αν p = Α, τότε Α (αληθές συμπέρασμα). Αν p = Ψ, τότε Α (ψευδής υπόθεση). Νδο ταυτολογία. p q p q (p q) p ((p q) p) p Α Α Α Α Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α A Ψ Α Ψ Ψ A Ψ Α Κάθε π.τ. με ίδια συντακτική μορφή φ (φ ψ) ψ (για κάθε φ, ψ) είναι ταυτολογία! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 24

25 Παραδείγματα Νδο ικανοποιήσιμος, όχι ταυτολογία. Ικανοποιήσιμος φ: π.χ. p = q = r = Αήp = q = Ακαιr = Ψ. Όχι ταυτολογία φ: r = Ψκαιείτεp = A, q = Ψείτεp = ψ, q = Α. p q r p q p q (p q) r (p q) r φ Α Α Α Α Α Α Α Α Α A Ψ Α Α Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α 25

26 Ταυτολογίες και Αντιφάσεις Ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες και ποιοι αντιφάσεις; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 26

27 Ταυτολογική Συνεπαγωγή Σύνολο π.τ. Τ συνεπάγεται ταυτολογικά π.τ. φ, Τ = φ : Κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και τον φ. (φ έπεται αναγκαία από υποθέσεις στο Τ). = φ (ή απλά = φ ) δηλώνει ότι φ ταυτολογία. Αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ = φ για κάθε π.τ. φ! Θ2.5: Τ = φ ανν Τ { φ} μη ικανοποιήσιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 27

28 Σημασιολογική Προσέγγιση Ποιές ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν: Παρατηρήσεις για ταυτολογικές συνεπαγωγές: μη ικανοποιήσιμο = οτιδήποτε οτιδήποτε = ταυτολογία ταυτολογία = μόνο ταυτολογία μόνο μη ικανοποιήσιμο = αντίφαση ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 28

29 Σημασιολογική Προσέγγιση Έστω σύνολο π.τ. Ποιέςαπότιςπαρακάτωαληθεύουν; Δείτε Ερ. 4, 2 η εργ (και μαζί Θεώρ. 2.5 ). Θεώρημα Συμπάγειας (2.6): Τ άπειρο σύνολο π.τ. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του είναι Τ ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 29

30 Σημασιολογική Προσέγγιση Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 30

31 Ερώτημα 2.β, 2 η Εργ Νδο Τ = φ ψ ανν Τ {φ, ψ} μη ικανοποιήσιμο. Τ = φ ψ ανν [φ ψ (φ ψ)] Τ = (φ ψ) ανν [Θεώρημα 2.5] Τ {φ ψ} μη ικανοποιήσιμο ανν Τ {φ, ψ} μη ικανοποιήσιμο Παρόμοια, μπορούμε να δείξουμε ότι: Τ = φ ψ ανν Τ {φ, ψ} μη ικανοποιήσιμο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 31

32 Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (I) Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Διπλή άρνηση Αντικατάσταση συνεπαγωγής p q q p p q q p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p p p q p q ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 32

33 Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (II) Αποκλεισμός τρίτου p p Α Αντιθετοαναστροφή p q q p Εξαγωγή p q r p (q r) De Morgan (p q) p q (p q) p q Άρνηση συνεπαγωγής (p q) p q ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 33

34 Παράδειγμα Απλοποίηση προτασιακού τύπου: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 34

35 Κανονικές Μορφές Τύπος σε κανονική διαζευκτική μορφή (ΚΔΜ), αν είναι στη μορφή φ 1 φ 2 φ n όπου n 1 και κάθε φ i είναι της μορφής θ 1 θ 2 θ m, όπου m 1 και τα θ j είναι προτασιακές μεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών. Τύπος σε κανονική συζευκτική μορφή (ΚΣΜ), αν είναι στη μορφή φ 1 φ 2 φ n όπου n 1 και φ i είναι της μορφής θ 1 θ 2 θ m, όπου m 1 και τα θ j είναι προτασιακές μεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών. Αποδεικνύεται ότι: Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ* σε ΚΔΜ, τέτοιος ώστε φ φ*. Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ** σε ΚΣΜ, τέτοιος ώστε φ φ**. Η αναγωγή ενός τυχόντος τύπου φ στην ΚΔΜ ή στην ΚΣΜ του μπορεί να επιτευχθεί με κατάλληλη εφαρμογή των νόμων της ΠΛ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 35

36 Παράδειγμα (ερ. 2.2, 2 η εργ ) Ύποπτος δηλώνει: «Λέω την αλήθεια ανν είμαι ένοχος». Γνωρίζουμε ότι είτε λέει πάντα αλήθεια είτε πάντα ψέματα. Μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι ένοχος; p «λέει αλήθεια» q «είναι ένοχος» Δήλωση: p q. Πρέπει να αληθεύει ότι: p (p q) p q p q p (p q) Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 36

37 Παράδειγμα (ερ. 5, 2 η εργ ) Ο κόσμος χωρίζεται σε ευγενείς και απατεώνες. Ευγενείς: πάντα αλήθεια. Απατεώνες: πάντα ψέματα. Κάποιος δηλώνει: «Αν είμαι ευγενής, τότε η σύζυγός μου είναι ευγενής». Είναι ευγενής; Η σύζυγός του; p «άνδρας ευγενής» «άνδρας λέει αλήθεια» q «σύζυγος ευγενής» Δήλωση: p q. Πρέπει να αληθεύει ότι: p (p q) p q p q p (p q) Α Α Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 37

38 Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων Ένα σύνολο συνδέσμων C, ονομάζεται πλήρες, ανν κάθε προτασιακός τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με ένα προτασιακό τύπο που περιέχει μόνο συνδέσμους από το C. Πλήρη σύνολα συνδέσμων: {, }, {, }, {, }, {NAND}, {NOR}, p q p NAND q p NOR r Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Α ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 38

39 Παράδειγμα Νδο { } πλήρες (με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.) { } πλήρες αν για κάθε φ, υπάρχει φ * : (α) φ φ * και (β) φ * χρησιμοποιεί μόνο τον σύνδεσμο. Βάση: προτασιακή μεταβλητή p. (α) και (β) ισχύουν τετριμμένα. Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετα επιλεγμένους π.τ. ψκαιχ, υπάρχουν ψ * και χ * : (α) ψ ψ * και χ χ *, και (β) ψ * και χ * χρησιμοποιούν μόνο τον σύνδεσμό. Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ζητούμενο ισχύει όταν φ ψ, φ ψ χ, φ ψ χ, φ ψ χ, φ ψ χ. Π.χ. όταν φ ψ χ, θέτουμε: φ * (ψ * χ * ) (ψ * χ * ) (επαγ. υπόθεση) (ψ χ) (ψ χ) (αντικατάσταση ). ψ χ φ Πράγματι, (α) φ φ * και (β) φ * χρησιμοποιεί μόνο, αφού λόγω (β) επαγ. υπόθεσης, ψ * και χ * χρησιμοποιούν μόνο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 39

40 Συντακτική Προσέγγιση Προτασιακός Λογισμός Αξιωματικό Σύστημα (όχι μοναδικό): ΑΣ1: ΑΣ2: ΑΣ3: Αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens: Ξεκινώντας από αξιώματα (ή υποθέσεις), και μόνο με συντακτική αντικατάσταση και MP, αποδεικνύουμε τυπικά θεωρήματα. φ : φ είναι τυπικό θεώρημα. Τ φ : φ αποδεικνύεται τυπικά από υποθέσεις Τ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 40

41 Τυπικές Αποδείξεις Γιαναπροκύψειτοζητούμενοαπότην εφαρμογή του ΜΡ, θα πρέπει να εμφανιστούν οι τύποι: ξ ξ ( χ (φ ψ)) Παράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ ψ χ (φ ψ). 1. φ ψ Υπόθεση Ώστε να «αποσπάσουμε» το συμπέρασμα χ (φ ψ) Μοναδική n. χ (φ ψ) Συμπέρασμα υπόθεση: Ποιος φ θα ψ μπορούσε να Οτύποςξ, θα πρέπει να είναι είναι ο τύπος ξ; τέτοιος που, αφενός θα Είναι μπορεί «να σταθεί από μόνοςάρα, πρέπει Ομόνοςτύποςξ, να με αυτές τις αποτέλεσμα Ανήκει στις του», αφετέρου, θα πρέπει προκύπτει από ιδιότητες είναι ο φ ψ. αντικατάστασης υποθέσεις; να δικαιολογεί την παρουσίατην εφαρμογή Ο φ ψ είναι υπόθεση σταόχι ΑΣ1-3; του τύπου του ΜΡ. (φ ψ) ( χ (φ ψ)) ΌΧΙ ξ ( χ (φ ψ)). προκύπτει από το ΑΣ1! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 41

42 Τυπικές Αποδείξεις Παράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ ψ χ (φ ψ). 1. φ ψ Υπόθεση 2. (φ ψ) ( χ (φ ψ)) ΑΣ1, όπου θέσαμε φ ψ στηθέσητουφ και χ στηθέσητουψ. 3. χ (φ ψ) 1,2 ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 42

43 Τυπικές Αποδείξεις Τυπική απόδειξη για φ φ 1. φ ((φ φ) φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ φ) 2. (φ ((φ φ) φ)) ((φ (φ φ)) (φ φ)) ΑΣ2 με (φ, φ), (ψ, φ φ), και (χ, φ) 3. (φ (φ φ)) (φ φ) 2, 1, ΜΡ 4. φ (φ φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ) 5. φ φ 3, 4, ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 43

44 Τυπικές Αποδείξεις Τυπική απόδειξη για φ ( ψ φ) ψ 1. ( ψ φ) (( ψ φ) ψ) ΑΣ3 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 2. φ ( ψ φ) ΑΣ1 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 3. φ Υπόθεση 4. ψ φ 2, 3, ΜΡ 5. ( ψ φ) ψ 1, 4, ΜΡ Ποιά από τα παρακάτω προκύπτουν άμεσα από αξιώματα; φ φ χ (χ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) ((φ ψ) φ) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 44

45 Τυπικές Αποδείξεις Είναι σωστή τυπική απόδειξη για ψ ( φ ψ) φ 1. ψ Υπόθεση 2. ψ ( φ ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 3. φ ψ 2, 1, ΜΡ 4. ( φ ψ) (( φ ψ) φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 5. ( φ ψ) φ 4, 3, ΜΡ Το βήμα 4 είναι λάθος!!! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 45

46 Τυπικές Αποδείξεις Σωστήτυπικήαπόδειξηγια ψ ( φ ψ) φ 1. ψ Υπόθεση 2. ψ ( φ ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, φ) 3. φ ψ 2, 1, ΜΡ 4. ( φ ψ) (( φ ψ) φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ψ) 5. ( φ ψ) φ 4, 3, ΜΡ Με χρήση του ψ ψ μπορούμε να αποδείξουμε και ότι ψ ( φ ψ) φ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 46

47 Ερωτ. 4.α, 2 η Εργ Με δεδομένα τα (φ ψ) ((ψ χ) (φ χ)) (Τ.Θ. μεταβατικότητας) και φ φ (Τ.Θ. διπλής άρνησης), νδο {φ χ, χ} φ. Τυπική απόδειξη για {φ χ, χ} φ. 1. φ χ Υπόθεση 2. χ Υπόθεση 3. χ ( φ χ) ΑΣ1 με (φ, χ) και (ψ, φ) 4. φ χ 2, 3, ΜΡ 5. ( φ φ) ((φ χ) ( φ χ)) Τ.Θ. μεταβατικότητας (φ, φ), (ψ, φ) 6. φ φ Τ.Θ. διπλής άρνησης 7. (φ χ) ( φ χ) 6, 5, ΜΡ 8. φ χ 1, 7, ΜΡ 9. ( φ χ) (( φ χ) φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, χ) 10. ( φ χ) φ 4, 9, ΜΡ 11. φ 8, 10, ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 47

48 Συντακτική vs Σημασιολογική Προσέγγιση Σημασιολογική Προσέγγιση ταυτολογία: = φ ταυτολ. συνεπαγωγή Τ = φ ικανοποιήσιμο Τ μη ικανοποιήσιμο Τ Συντακτική Προσέγγιση τυπικό θεώρημα: φ απόδειξη με υποθέσεις Τ φ συνεπές Τ: αντιφατικό Τ: αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ = φ, για κάθε φ. αν Τ αντιφατικό, τότε Τ φ, για κάθε φ. Εγκυρότητα: Πληρότητα: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 48

49 Μεταθεωρήματα Ισχύει και ότι αν Τ φ ψ, τότε Τ {φ} ψ (αλλά χρειάζεται απόδειξη, όχι δύσκολη!). Θεώρημα Απαγωγής: Θ. Αντιθετοαναστροφής: Τυπική απόδειξη για φ φ Θ. Απαγωγής σε Άτοπο: Αν Τ {φ} αντιφατικό, Τ φ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 49

50 Παραδείγματα Για νδο (φ χ) ((φ (χ ψ)) (φ ψ)) αρκεί νδο { φ χ, φ (χ ψ), φ } ψ. 1. φ Υπόθεση 2. φ (χ ψ) Υπόθεση 3. χ ψ 2, 1, ΜΡ 4. φ χ Υπόθεση 5. χ 4, 1 ΜΡ 6. ψ 3, 5, ΜΡ Για τυπικές αποδείξεις και προτασιακό λογισμό, δείτε ακόμη: Ερ. 6, 7, και 8, 2 η Εργ , ερ. 4 και 9, 2 η Εργ , Ερ. 2 και 4( * ), 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4.1, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ , ερ. 4, 2 η Εργ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 50

51 Ερωτ. 4.β, 2 η Εργ Ερ. 4.β: νδο {χ ψ, φ} χ (φ ψ) Από Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο {χ ψ, φ, χ} (φ ψ) Από Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδο το {χ ψ, φ, χ, φ ψ} είναι αντιφατικό. Το {χ ψ, φ, χ, φ ψ} είναι αντιφατικό, γιατί: {χ, χ ψ, φ, φ ψ} ψ, και {χ, χ ψ, φ, φ ψ} ψ. Νδο {φ, (ψ φ)} είναι αντιφατικό. Υπόθεση φ, ΑΣ1 και MP αποδεικνύουν ψ φ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 51

52 Άσκηση «Αντιφατικό» και «μη ικανοποιήσιμο» ισοδύναμες αλλά όχι ταυτόσημες έννοιες: ισοδυναμία χρειάζεται απόδειξη. Νδο σύνολο π.τ. Τ είναιαντιφατικό ανν είναι μη ικανοποιήσιμο. Τ αντιφατικό T φ για κάποια αντίφαση φ (άμεση συνέπεια ορισμού) Τ = φ για κάποια αντίφαση φ (Θ. Εγκυρότητας) Τ { φ} μη ικανοποιήσιμο (Θ. 2.5) Τμηικανοποιήσιμο( φ ταυτολογία) Τ μη ικανοποιήσιμο για κάθε π.τ. φ: Τ { φ} και Τ { φ} μη ικανοποιήσιμα για κάθε π.τ. φ: Τ = φ και Τ = φ (Θ. 2.5) για κάθε π.τ. φ: Τ φ και Τ φ (Θ. Πληρότητας) Τ αντιφατικό (εξ ορισμού) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 52

53 Άσκηση Έστω Τ ένα άπειρο σύνολο π.τ. Νδο αν Ταντιφατικό, υπάρχει πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 φγιακάθεφ. Τ αντιφατικό Τμηικανοποιήσιμο πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 μη ικανοποιήσιμο (Θ. Συμπάγειας) πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 = φ για κάθε φ (Παρ. 3, σελ. 33) πεπερασμένο Τ 0 Τ: Τ 0 φ για κάθε φ (Θ. Πληρότητας) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 53

54 Παράδειγμα Επαγωγής με Τυπική Απόδειξη Ακολουθία π.τ. ψ n : ψ 0 φ φ, και ψ n φ ψ n 1 Νδο για κάθε φυσικό n, ψ n. Βάση: Για n = 0, πράγματι φ φ (γνωστό τυπικό θεώρημα). Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετο n, ψ n. Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ψ n+1. Εξ ορισμού: ψ n+1 φ ψ n Προκύπτει ευθέως από επαγ. υπόθεση και Θ. Απαγωγής. Εναλλακτικά: 1. ψ n Τυπικό Θεώρημα (επαγ. υπόθεση) 2. ψ n (φ ψ n ) ΑΣ1 3. φ ψ n 1,2, ΜΡ ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 4 ( ) 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική) 54