ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 4 Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ 3. ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ και ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η ενεργειακή κατάσταση των δοµικών λίθων ενός φυσικού συστήµατος (στερεού σώµατος, υγρού ή αερίου) και οι µεταβολές της περιγράφεται συνήθως από δύο έννοιες την θερµότητα και την θερµοκρασία. Ως θερµοκρασία νοείται το φυσικό µέγεθος που µετρά την ενεργειακή κατάσταση και µετρά ουσιαστικά την µέση κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων. Όπως είναι γνωστό στην στερεά κατάσταση οι δοµικοί λίθοι (που είναι άτοµα,ιόντα ή µόρια ) είναι δέσµια σε µια θέση ισορροπίας περί την οποία εκτελούν ταλαντωτικές κινήσεις. Το πλάτος της ταλαντώσεως καθορίζει την µέγιστη ταχύτητα,όταν ο ταλαντούµενος δοµικός λίθος διέρχεται από την θέση της ισορροπίας, εποµένως και την ενέργεια που κατέχει ο δοµικός λίθος. Στα υγρά και τα αέρια η κίνηση των δοµικών λίθων είναι µεταφορική και η κινητική ενέργεια οφείλεται στην ταχύτητα της µεταφορικής τους κίνησης. Εποµένως η κινητική ενέργεια των δοµικών λίθων που όπως είπαµε είναι : άτοµα, ιόντα ή µόρια, χαρακτηρίζει την κινητική κατάσταση του σώµατος. Η θερµοκρασία µετρά την µέση κινητική ενέργεια που έχουν οι δοµικοί λίθοι που αποτελούν το mυ k. Joule σώµα. Είναι γνωστή και η εξίσωση: = 3. όπου k =, ( σταθερά του grad Boltzmann ).Η µέση κινητική ενέργεια που κατέχει ένα σώµα όµως για διαφόρους λόγους µπορεί να µεταβληθεί όταν βεβαίως το σώµα δίνει ενέργεια στο περιβάλλον ή δέχεται ενέργεια από το περιβάλλον του. Θερµότητα ονοµάζουµε ακριβώς την ενέργεια που το σώµα δίνει στο περιβάλλον ή δέχεται απ αυτό για να µεταβληθεί η θερµοκρασία του Κατωτέρω αναπτύσσεται στοιχειωδώς (µέσω της Στατιστικής) η κινητική θεωρία των αερίων από την οποία µπορεί να θεµελιωθούν οι πιο πάνω έννοιες µε θεωρητικό τρόπο. 3.. Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ Η µέτρηση της θερµοκρασίας γίνεται µε τα θερµόµετρα. Η λειτουργία τους στηρίζεται στις µεταβολές των τιµών φυσικών µεγεθών ή των τιµών ιδιοτήτων των σωµάτων που εξαρτώνται από την θερµοκρασία και µεταβάλλονται µ αυτήν. Μερικά φυσικά µεγέθη που εξαρτώνται από την θερµοκρασία είναι π.χ η διαστολή του όγκου, η αύξηση του µήκους, η µεταβολή της έντασης της εκπεµπόµενης υπερέρυθρης ανά µήκος κύµατος (µε την θερµοκρασία) ή και της ορατής ακτινοβολίας, η ηλεκτρική αντίσταση, αναπτυσσόµενη ηλεκτρική τάση κ.ά. Όταν µεταβληθεί η θερµοκρασία και οι τιµές ενός φυσικού µεγέθους εξαρτάται από τις µεταβολές της τότε τα φυσικά µεγέθη αυτά αλληλοεξαρτώνται. Η εύρεση της συνάρτησης που µας περιγράφει την σχέση αυτή, µπορεί να οδηγήσει στην κατασκευή του αντίστοιχου θερµοµέτρου. Προτιµάται βεβαίως η χρήση φυσικών µεγεθών συνδεοµένων µε την θερµοκρασία µέσω απλών σχέσεων, όπως η αναλογική σχέση, η πρωτοβάθµια πολυωνυµική συνάρτηση και η εκθετική συνάρτηση. Σήµερα σε χρήση έχουµε θερµόµετρα που στηρίζουν την λειτουργία τους στην διαστολή, την ηλεκτρική αντίσταση, την εµφάνιση θερµοηλεκτρικών τάσεων και την ηλεκτροµαγνητική (ορατή ή µη) ακτινοβολία των σωµάτων. Τα θερµόµετρα διαστολής στηρίζουν την λειτουργία τους στις διαφορές των τιµών του συντελεστή διαστολής στερεού- στερεού, στερεού-υγρού και στερεού-αερίου. Έτσι επειδή οι τιµές του συντελεστή διαστολής δύο µετάλλων είναι διαφορετικές και γι αυτό ένα έλασµα αποτελούµενο από δύο παράλληλες µεταλλικές ράβδους συγκολληµένες µεταξύ τους (διµεταλλικό έλασµα ) καµπυλώνεται µε την µεταβολή της θερµοκρασίας.(θερµόµετρα µε διµεταλλικό έλασµα) Οι συντελεστές διαστολής των υγρών είναι τουλάχιστον µια τάξη µεγέθους µεγαλύτεροι από τους αντίστοιχους των στερεών και εποµένως θα είναι εµφανής η διαστολή υγρού που βρίσκεται σε διαφανές δοχείο που το περιέχει. (υδραργυρικά θερµόµετρα, οινοπνεύµατος, τολουολίου κ.λ.π.)

2 5 Τα αέρια έχουν συντελεστή διαστολής τρεις τάξεις µεγέθους µεγαλύτερο και ο όγκος τους είναι εξόχως µεταβλητός µε την θερµοκρασία (αερικό θερµόµετρο) Η ηλεκτρική ειδική αντίσταση ενός µετάλλου ή η παραγόµενη ηλεκτρική τάση στις επαφές δύο µετάλλων που βρίσκονται σε διαφορετικές θερµοκρασίες µεταβάλλεται µε την θερµοκρασία.ένας αισθητήρας εποµένως αποτελούµενος από αγώγιµο υλικό µπορεί να µετρήσει την θερµοκρασία µετρώντας το ρεύµα που τον διαρρέει.( θερµόµετρα αντιστάσεως, θερµοηλεκτρικά, επαφής ). Τα µήκη κύµατος της ακτινοβολίας (ή το φάσµα συχνοτήτων ) που εκπέµπει ένα θερµό σώµα εξαρτώνται από την θερµοκρασία του. Η ένταση της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας ανά µήκος κύµατος ( αφετική ικανότητα) εξαρτάται από την θερµοκρασία του ακτινοβολούντος σώµατος και γενικά µε την αύξηση της θερµοκρασίας το µέγιστό της µετατοπίζεται προς µεγαλύτερα µήκη κύµατος (µικρότερες συχνότητες). Ένας αισθητήρας υπερερύθρου ευαίσθητος σε ορισµένα µήκη κύµατος µετρά την ακτινοβολία δίνοντας µε το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο µικρής έντασης ηλεκτρικά ρεύµατα τα οποία ενισχυόµενα κατάλληλα µετρούν την θερµοκρασία. Την επιφάνεια που ακτινοβολεί στοχεύουµε µε την βοήθεια δέσµης λυχνίας LASER µικρής ισχύος ή συστήµατος φακών. Ένα σύγχρονο όργανο θερµοµέτρησης σε γενικές γραµµές περιλαµβάνει : α) Τον αισθητήρα β) την µονάδα επεξεργασίας των ενδείξεων του αισθητήρα γ) την µονάδα ανάγνωσης ή και καταγραφής (συνήθως ψηφιακά) σχήµα 3..α. o block diagram σύγχρονου θερµοµέτρου 3.. ΘΕΡΜΟΜΕΤΡΑ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΥΓΡΟΥ. ΤΟ Υ ΡΑΡΓΥΡΙΚΟ ΘΕΡΜΟΜΕΤΡΟ. Η λειτουργία τους βασίζεται στο γεγονός ότι : οι συντελεστές διαστολής των υγρών είναι τουλάχιστον µια τάξη µεγέθους µεγαλύτεροι των στερεών. Ένα δοχείο που περιέχει το υγρό διαστολής καταλήγει σε τριχοειδή σωλήνα από διαφανές υλικό ( γυαλί, πλαστικό ) που εκλέγεται έτσι ώστε να µην διαβρέχει τον σωλήνα. Με την αύξηση της θερµοκρασίας το υγρό διαστέλλεται περισσότερο από το δοχείο και γεµίζει τον σωλήνα.η στήλη του υγρού κινούµενη µπροστά σε µια βαθµολογηµένη κλίµακα δείχνει τότε την θερµοκρασία. (σχήµα 3..α και β) Υπάρχουν θερµόµετρα που ο τριχοειδής σωλήνας φέρει στένωση ώστε να διακόπτεται η στήλη και να δείχνουν το µέγιστο της θερµοκρασίας (ιατρικά θερµόµετρα) ή φέρουν στο εσωτερικό του σωλήνα µικρό ιππέα για να δείχνει το ελάχιστο (µετεωρολογικά θερµόµετρα) Τα πιο διαδεδοµένα θερµόµετρα αυτού του τύπου είναι τα υδραργυρικά. Το δοχείο (αποθήκη υγρού) και ο τριχοειδής σωλήνας είναι από γυαλί και το υγρό διαστολής ο υδράργυρος. Ο υδράργυρος εκλέγεται ως υγρό διαστολής διότι : α)επειδή είναι µέταλλο είναι ευθερµαγωγός,δηλ. αποκτά γρήγορα την θερµοκρασία του προς µέτρηση σώµατος. β) Έχει σχετικά σταθερό και µεγάλο συντελεστή διαστολής. γ) εν διαβρέχει το γυαλί (αποφεύγονται έτσι σταγονίδια ή κενά στην στήλη στον τριχοειδή σωλήνα) δ) Είναι σε υγρή κατάσταση σε µεγάλα όρια θερµοκρασιών.(-38,9 ο C έως +356,9 ο C ) ε) Παρασκευάζεται εύκολα σε καθαρή κατάσταση. Πειραµατικά διαπιστώνεται ότι : η αύξηση του µήκους της στήλης του υδραργύρου είναι ανάλογη µε την µεταβολή της θερµοκρασίας. Έτσι η διαίρεση της κλίµακας των υδραργυρικών θερµοµέτρων είναι ισοµετρική.

3 6 κλίµακα Celsius σχήµα 3..α κλίµακα Fahrenheit σχήµα 3..β Επειδή η στήλη του υδραργύρου είναι συνήθως πολύ λεπτή και δυσδιάκριτη προ της στήλης προσαρµόζεται κυλινδρικός φακός για να διακρίνεται ευκολότερα. Άλλα προς χρήση υγρά είναι η αλκοόλη, το τολουόλιο, στα οποία προστίθενται και χρώµατα για να είναι ευδιάκριτη στήλη του υγρού. Στα περισσότερα εξ αυτών η διαίρεση της κλίµακας δεν είναι ισοµετρική καθ όσον ο συντελεστής της κυβικής διαστολής των υγρών αυτών µεταβάλλεται αισθητά µε την θερµοκρασία Η ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ Υ ΡΑΡΓΥΡΙΚΟΥ ΘΕΡΜΟΜΕΤΡΟΥ. Για να βαθµολογήσουµε ένα θερµόµετρο χρειαζόµαστε δύο σταθερά σηµεία αναφοράς και σαν τέτοια χρησιµοποιούµε τα σηµεία τήξεως και ζέσεως του καθαρού νερού. Όπως εκτενώς θα δούµε στο κεφάλαιο Μετατροπές Φάσεων κατά την διάρκεια της τήξεως η θερµοκρασία παραµένει σταθερή (σηµείο τήξεως). Έτσι άν ένα αβαθµολόγητο θερµόµετρο τεθεί µέσα σε µίγµα νερού-πάγου κατά την διάρκεια της τήξεως του πάγου παρατηρούµε δεν µεταβάλλεται το µήκος της στήλης του υδραργύρου µέσα στον τριχοειδή σωλήνα. Σηµειώνουµε εκεί την ένδειξη 0 ο C ( ακριβέστερα όπως θα δούµε αργότερα σε ατµοσφαιρική πίεση 0,0 ο C ) για την κλίµακα Celsius ή 3 ο F για την κλίµακα Fahrenheit. Αν το θερµόµετρο τεθεί πάνω από την επιφάνεια νερού που βράζει σε ατµοσφαιρική πίεση (στους υδρατµούς )πάλι θα παρατηρήσουµε ότι η στήλη του υδραργύρου παραµένει σταθερή. Σηµειώνουµε εκεί την ένδειξη 00 ο C για την κλίµακα Celsius ή ο F για την κλίµακα Fahrenheit. Η κλίµακα του θερµοµέτρου χωρίζεται σε 00 υποδιαιρέσεις (κλίµακα Celsius) ή σε -3=80 (κλίµακα Fahrenheit).Η κλίµακα Celsius χρησιµοποιείται στην Ευρώπη και Ασία ενώ η κλίµακα Fahrenheit στην Αµερικανική Ήπειρο 3.4. ΣΧΕΣΗ ΤΩΝ ΘΕΡΜΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΛΙΜΑΚΩΝ Η σχέση των θερµοµετρικών κλιµάκων προκύπτει από το γνωστό θεώρηµα της Ευκλείδιας Γεωµετρίας : Ο λόγος δύο ποσών ισούται µε τον λόγο των µέτρων τους αν µετρηθούν µε την ίδια µονάδα. Έτσι ο λόγος των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ,ΑΓ είναι ίσος µε τον λόγο των µέτρων τους (ΑΒ),( ΑΓ ).Επειδή ισχύει : X AB = X B X A (δηλ.: αλγεβρική τιµή ΑΒ = τετµηµένη Β - τετµηµένη Α ) για το µέτρο της (AΒ) θα έχουµε: AB ( AB) = = ή (σχήµατα 3..α και 3..β) ΑΓ ( ΑΓ) ( AB) ( ΑΓ) = C 0 F = ή C F 3 = ή µετά την απλοποίηση C F 3 = 5 9

4 H ΑΠΟΛΥΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ. ΚΛΙΜΑΚΕΣ Kelvin και Rankine Αν εξετάσουµε την διαστολή του όγκου ενός αερίου πειραµατικά θα διαπιστώσουµε ότι ο όγκος είναι γραµµική συνάρτηση της θερµοκρασίας. Η τετµηµένη επί την αρχήν είναι V o και η κλίση της ευθείας V o.γ όπου γ είναι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του αερίου (σχήµα 3.5.α). Η τιµή του γ που µετρήθηκε µέχρι το τέταρτο σηµαντικό του ψηφίο για τα διάφορα γνωστά µας αέρια κυµαίνεται µεταξύ των τιµών 3, και 3, Έτσι εάν κρατήσουµε τρία σηµαντικά ψηφία ο συντελεστής κυβικής διαστολής για όλα τα αέρια θα έχει την ίδια τιµή 3, Τότε ονοµάζουµε ιδανικό αέριο το έχον συντελεστή διαστολής 3, διότι αυτός πλέον είναι κοινός για όλα τα αέρια. Η προέκταση της ευθείας V = V o.( + γ.θ ) µέχρι του σηµείου που αυτή τέµνει τον άξονα των θερµοκρασιών ορίζει το απόλυτο µηδέν. Η τιµή της θερµοκρασίας στο απόλυτο µηδέν είναι - 73 ο C. Παρατηρούµε ότι στο σηµείο αυτό ο όγκος του αερίου µηδενίζεται. Αυτό δεν γίνεται στην πραγµατικότητα γιατί στην περιοχή αυτών των θερµοκρασιών εν τω µεταξύ όλα τα αέρια έχουν υγροποιηθεί και στερεοποιηθεί. Αν µεταφέρουµε παράλληλα τον άξονα των V µέχρι το σηµείο αυτό τότε ο νέος άξονας των θερµοκρασιών Τ θα είναι Τ = θ - ( - 73 ) ή τελικά Τ = 73 + θ Το άθροισµα 73 + θ µετρείται σε βαθµούς Kelvin δηλαδή το µήκος του βαθµού Kelvin είναι όσο και του βαθµού Celsius αλλά ( ο Κ ) = 73+( ο C ) σχήµα 3.5.α. O oρισµός της κλίµακας Kelvin Αν η θερµοκρασία µετρείται σε κλίµακα Fahrenheit τότε εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε µε τον τύπο : C F 3 = ότι το απόλυτο µηδέν είναι στην κλίµακα Fahrenheit ο F και εποµένως Τ = θ όπου το Τ µετρείται σε βαθµούς Rankine αν η θερµοκρασία µετρείται σε βαθµούς Fahrenheit : ( ο R ) = ( ο F ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ και η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.. Στοιχειώδεις γνώσεις από την Χηµεία Οι πειραµατικοί νόµοι µε τους οποίους θα ασχοληθούµε προϋποθέτουν ότι είναι γνωστός από την Χηµεία ο νόµος των αερίων όγκων µε τους οποίους ενώνονται τα αέρια : Όταν δύο αέρια (στοιχεία ή ενώσεις ) αντιδρούν µεταξύ τους για τον σχηµατισµό χηµικών ενώσεων η σχέση των όγκων τους ( που µετρώνται υπό τις αυτές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας) είναι απλή και σταθερή. Αν και το προϊόν της αντιδράσεως είναι αέριο ο όγκος του είναι συνήθως διπλάσιος του όγκου του αερίου µε την µικρότερη αναλογία Η + Cl =.HCl

5 8.Η + Ο =.Η Ο 3.Η + Ν =.ΝΗ 3.CΟ + N =.CO Για να εξηγήσει τον νόµο ο Avogadro δέχτηκε ότι : ίσοι όγκοι αερίων υπό τις αυτές συνθήκες πίεσης και θερµοκρασίας περιέχουν τον ίδιο αριθµό µορίων ανεξάρτητα από την φύση των αερίων. Eνδιαφέρον παρουσιάζει το πειραµατικό γεγονός ότι στις λεγόµενες κανονικές συνθήκες (θερµοκρασία 0 ο C και πίεση bar ) ποσότητα αερίου όσο το µοριακό της βάρος ( = mole) καταλαµβάνει όγκο,4 lit.ο γραµµοµοριακός όγκος V ο,mole στις κανονικές συνθήκες θα είναι για όλα τα αέρια,4 lit/ mole. 4. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ DALON Αν αναµείξουµε στον ίδιο χώρο όγκου V δύο η περισσότερα αέρια που δεν αντιδρούν µεταξύ τους τότε η πίεση του µείγµατος ισούται µε το άθροισµα των µερικών πιέσεων των αερίων αυτών (δηλ. των πιέσεων που ασκεί το καθένα,αν καταλάβει µόνο του τον όγκο V ) Ρ ολικό = Ρ + Ρ + Ρ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ BOYLE - MARIOE (Ισόθερµη ή ισοθερµοκρασιακή µεταβολή) Ο πειραµατικός νόµος εκφράζεται ως εξής : Η πίεση και ο όγκος (ορισµένης µάζας αερίου σε σταθερή θερµοκρασία ) είναι ποσά αντίστροφα. Πειραµατικά αν παραστήσουµε γραφικά την πίεση Ρ του αερίου συναρτήσει του /V παρατηρούµε ότι τα πειραµατικά σηµεία βρίσκονται σε ευθεία γραµµή που περνά από την αρχή των αξόνων. (σχήµα 4.3.α ).Πράγµα που σηµαίνει ότι τα µεγέθη Ρ και /V είναι ανάλογα ( σύµβολο ) (Ρ / V) δηλ. έχουν σταθερό πηλίκο άρα τα µεγέθη Ρ και V είναι αντιστρόφως ανάλογα (Ρ V) ( δηλ. έχουν σταθερό γινόµενο) και η γραφική τους παράσταση είναι ισοσκελής υπερβολή. (σχήµα 4.3.β ) σχήµα. 4.3.α Ρ / V σχήµα 4.3.β Ρ V Αυτό εκφράζεται µε την σχέση: (σχήµα.3.γ.) P.V = P.V =...= P.V = σταθερό (νόµος των Boyle - Mariotte ) σχήµα 4.3.γ. Οικογένεια ισόθερµων (υπερβολών)

6 ΟΣ ΝΟΜΟΣ GAY-LUSSAC (ισοβαρής ή ισοθλιπτική µεταβολή) Αν η πίεση ορισµένης µάζας αερίου παραµείνει σταθερή, τότε διαπιστώνουµε ότι ο όγκος είναι γραµµική συνάρτηση της θερµοκρασίας. Η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραµµή (σχήµα 4.4.α) σχήµα 4.4.α H εξίσωση της ευθείας είναι V = Vο.( + γ.θ) και η κλίση της ευθείας είναι ο συντελεστής κυβικής διαστολής του αερίου γ επί τον όγκο Vο. Το γ µετρήθηκε και παρατηρήθηκε ότι έχει σχεδόν την ίδια τιµή για όλα τα αέρια από : γ = 3, grad - έως γ = 3, grad - Αν προεκτείνουµε την ευθεία, αυτή τέµνει τον άξονα των θερµοκρασιών στην θερµοκρασία - 73,5 ο C που ονοµάζεται απόλυτο µηδέν. Εκεί παρατηρούµε ότι ο όγκος του αερίου µηδενίζεται. Αυτό βεβαίως δεν γίνεται γιατί όλα τα γνωστά αέρια σε µεγαλύτερες θερµοκρασίες από - 73,5 ο C το έχουν στο µεταξύ υγροποιηθεί ή και στερεοποιηθεί. Αν µεταφέρουµε παράλληλα τον άξονα των V µέχρι το απόλυτο µηδέν τότε για τον νέο οριζόντιο άξονα Τ θα έχουµε (αλγεβρική τιµή = τετµηµένη του πέρατος - τετµηµένη της αρχής) Τ = θ -(-73,5) Τ= 73,5 + θ ή Παρατηρούµε τότε ότι τα µεγέθη V και Τα είναι ανάλογα ποσά δηλ. έχουν σταθερό πηλίκο: V V V = =... = = σταθερό ( ος νόµος του Gay-Lussac) Ο ος ΝΟΜΟΣ GAY-LUSSAC ( ισόχωρη µεταβολή ) Αν η µεταβολή στην κατάσταση ορισµένης µάζας του αερίου γίνεται µε σταθερό τον όγκο (ισόχωρη µεταβολή ) τότε παρατηρούµε ότι η πίεση Ρ είναι γραµµική συνάρτηση της θερµοκρασίας θ. (σχήµα 4.5.α) Η γραφική παράσταση είναι και πάλι ευθεία γραµµή ενώ η σχέση που ισχύει είναι η : Ρ = Ρ ο.( + γ.θ) σχήµα 4.5.α

7 30 Εδώ παρατηρούµε και πάλι ότι η προέκταση της ευθείας που παριστάνει η σχέση Ρ = Ρο.( + γ.θ) τέµνει τον άξονα των θερµοκρασιών στο - 73,6 ο C και είναι η τιµή του γ και πάλι η ίδια µε το γ του τύπου V = Vο.( + γ.θ). Έτσι και πάλι µεταφέρουµε τον άξονα των Ρ παράλληλα κ.λ.π. και καταλήγουµε να πούµε ότι : Η πίεση ορισµένης µάζας αερίου είναι ανάλογη µε την απόλυτη θερµοκρασία δηλ. ισχύει: P P P = =... = = σταθερό ( ος νόµος του Gay-Lussac) 4.6. Η Α ΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ (νόµος του Poisson) Όταν ένα αέριο βρίσκεται σε δοχείο µε αδιάθερµα τοιχώµατα τότε δεν εισέρχεται ενέργεια από το περιβάλλον ούτε εξέρχεται σ αυτό και µια τέτοια µεταβολή ονοµάζεται αδιαβατική. Πειραµατικά διαπιστώνεται αλλά και πιο κάτω θεωρητικά αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση : P.V k =σταθ όπου ο εκθέτης k είναι ο λόγος των ειδικών θερµοτήτων C P υπό σταθερή πίεση και υπό σταθερό CP όγκο C V : k = CV Η γραφική παράσταση της σχέσης P.V k =σταθ. είναι υπερβολή ( βαθµού k ) Ένα σµήνος αδιαβατικών καµπύλων που τέµνουν τις ισοθέρµους φαίνεται στο σχήµα σχήµα 4.6.α Οι αδιαβατικές καµπύλες τέµνουν τις ισόθερµες 4.7. Ο ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΚΑΙ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Θεωρούµε ποσότητα αερίου που υφίσταται διαδοχικά δύο µεταβολές απ τις ανωτέρω α) µια ισοβαρή (Ρ = σταθ.) και µια ισόθερµη (Τα =σταθ.) ή β) µια ισοβαρή και µια ισόχωρη ( V = σταθ.) ή τέλος γ) µια ισόχωρη και µια ισόθερµη. Θα εξετάσουµε µια περίπτωση π.χ την β : βλέπε σχήµα 4.7.α ). σχήµα 4.7.α Έχουµε για την ισοβαρή µεταβολή : V V = / P P και για την ισόχωρη : / = πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη και έχουµε: P. V P. V / = / πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη επί Τ /..

8 3 και έχουµε : Τ /. P V. P. V / = /. Τ / και µετά την απλοποίηση του Τ /.. P. V P. V = (συνδυαστικός νόµος ) το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και µε τις άλλες περιπτώσεις α) και γ) και σας δίνεται ως άσκηση. Ορίζουµε ως κανονικές συνθήκες την θερµοκρασία των 0 ο C και την πίεση ( Atm = bar = 000 mbar = 76 cmhg = 760 mmhg =760 orr ) PV. PO. VO συνδυαστικός νόµος τότε γράφεται : = Επειδή ο όγκος V o = n.v o,mole η προηγούµενη σχέση γράφεται O. O, mole P. V PO. nv. O, mole = ή αν καλέσουµε O R = P V = Atm., 4 lit 76cmHg., 4lit o = o κ.λ.π. O 73, 6 K 73, 6 K PV. = n. R ή τελικά την σχέση που ονοµάζουµε καταστατική εξίσωση των ιδανικών (τελείων) αερίων : P.V = n.r. () µε P: την πίεση, V: τον όγκο, η: τον αριθµό των moles(γραµµοµορίων), R: την παγκόσµια σταθερά των αερίων και : την απόλυτη θερµοκρασία V m Αν ονοµάσουµε ειδικό όγκο U = τον ανά µονάδα µάζας όγκο επειδή η = η () γράφεται m MB O m P.V =.R. MB ή V R P. =. ή τελικά m MB R P.U = R*. () µε R* = MB Η εξίσωση αυτή είναι γενικότερη της () γιατί περιέχει τις εντατικές µεταβλητές P,U,Τ όµως η R* είναι διαφορετική για κάθε αέριο ως πηλίκο της παγκόσµιας σταθεράς R. δια του µοριακού βάρους του. Το ιδανικό αέριο αποτελεί ένα µοντέλο, χρήσιµο για να µελετηθούν κατά προσέγγιση οι ιδιότητες και η συµπεριφορά των πραγµατικών αερίων. Σε ένα πρώτο επίπεδο, ιδανικό αέριο ονοµάζεται εκείνο που επαληθεύει τους Νόµους Boyle - Mariotte και Gay - Lyssac που συντίθενται σε ενιαίο νόµο υπό την µορφή της εξίσωσης γινοµένων των καταστατικών µεγεθών : P.U = R*. (όπου Ρ = η απόλυτη πίεση του αερίου, U = ο ειδικός όγκος (U = m V ), Τ = η απόλυτη θερµοκρασία του) Η παραπάνω εξίσωση ονοµάζεται καταστατική εξίσωση ή εξίσωση της κατάστασης του αερίου και παρέχει την σχέση που συνδέει τα τρία χαρακτηριστικά στοιχεία του δηλαδή πίεση, ειδικό όγκο και θερµοκρασία του και ισχύει για οποιαδήποτε κατάσταση του αερίου Η ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ. Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL-BOLZMANN Ονοµάζουµε εσωτερική ενέργεια ενός σώµατος το άθροισµα των πάσης φύσεως ενεργειών των δοµικών λίθων του.

9 3 Όπως είναι γνωστό τα σώµατα απαντώνται στη φύση ως στερεά,υγρά ή αέρια που λέγονται φάσεις. Λέγοντας δοµικός λίθος εννοούµε το µικρότερο µέρος του σώµατος που έχει τις ιδιότητές του φυσικές και χηµικές και που µπορεί να είναι άτοµο, µόριο ή ιόν. Η εσωτερική ενέργεια των σωµάτων U είναι U = Ε θερ.κιν.µορίων + Ε δυν.ενέργ.µορίων + Ε.ηλε.κτρονίων + Ε πυρήνων +.. Η έννοια της θερµοκρασίας είναι συνδεδεµένη µε τον όρο Ε θερ.κιν.µορίων και λέγοντας εννοούµε την κινητική ενέργεια που έχουν τα µόρια είτε λόγω µεταφορικής,είτε περιστροφικής, είτε παλινδροµικής κινήσεως που έχουν. Η έννοια της θερµοκρασίας ορίζει άµεσα µε την ενεργειακή κατάσταση του σώµατος ενώ θερµότητα είναι η ενέργεια που την µεταβάλλει. Αν Ε, Ε, Ε 3,. Ε Ν, είναι οι τιµές (στιγµιαίες) της κινητικής ενέργειας που έχει το,,3 Ν, µόριο τότε η κινητική θεωρία δέχεται ότι η µέση κινητική ενέργεια των µορίων Ε θερ.κιν.µορίων = E είναι ανάλογη µε την απόλυτη θερµοκρασία Τ του σώµατος : E κιν, µοριϖν = σταθ.τ ή mυ k. = 3. Joule k =, ( σταθερά του Boltzmann ). grad Η κινητική θεωρία θεµελιώνεται µε την αναφορά στο ιδανικό αέριο και οι παραδοχές που γίνονται για το ιδανικό αέριο είναι οι εξής:.τα µόρια που το αποτελούν είναι σηµειακά σφαιρίδια πεπερασµένης µάζας..τα µόρια συγκρούονται µεταξύ τους σύµφωνα µε τους νόµους κρούσης των σφαιρών. Σε συνδυασµό µε το σηµειακό χαρακτήρα των σωµατιδίων, αυτό σηµαίνει ότι θεωρούµε τις κρούσεις πάντα µετωπικές, όπου το µόνο που µεταβάλλεται είναι το µέτρο και η φορά (όχι όµως η διεύθυνση) της ταχύτητας των σωµατιδίων. Οι κρούσεις είναι ελαστικές οπότε το σύνολο της κινητικής ενέργειας των µορίων διατηρείται. 3.Τα µόρια δεν αλληλεπιδρούν µε κανέναν άλλο τρόπο µεταξύ τους. εν υπάρχουν δηλαδή, για παράδειγµα, ηλεκτρικές δυνάµεις έλξης ή άπωσης ούτε κανενός άλλου είδους δυνάµεις. Τα πραγµατικά αέρια αποκλίνουν από αυτό το µοντέλο, καθώς δεν είναι σηµειακά, και οι κρούσεις και αλληλεπιδράσεις µεταξύ τους είναι σαφώς πιο περίπλοκες. Τα ιδανικά αέρια ακολουθούν την καταστατική εξίσωση. Τα πραγµατικά αέρια αποκλίνουν όµως από αυτό τον νόµο, καθώς δεν είναι σηµειακά, και οι κρούσεις και αλληλεπιδράσεις µεταξύ τους είναι σαφώς πιο περίπλοκες. Η συµπεριφορά των πραγµατικών αερίων καθορίζεται από την καταστατική εξίσωση των πραγµατικών αερίων : P.U = a. + b. +c. 3 + όπου οι συντελεστές a,b,c, ονοµάζονται συντελεστές Virial και είναι φθίνοντες όσον οι δυνάµεις του Τ αυξάνονται.οι ατµοί (αέρια φάση σε θερµοκρασίες κάτω της κρισίµου ) συνήθως έχουν την ανάγκη δύο ή το πολύ τριών συντελεστών Virial µε dn Με την στατιστική των Maxwell-Boltzmann µπορούµε να υπολογίσουµε το ποσοστό των N µορίων µάζας m του αερίου που έχουν σε µια θερµοκρασία Τ ταχύτητες από υ έως υ+dυ και να βρούµε την συνάρτηση κατανοµής τους. O υπολογισµός για την συνάρτηση κατανοµής των ταχυτήτων είναι µακροσκελής και καταλήγει στον τύπο : 3 mυ m. k. f ( υ) = 4. π.[ ]. υ. e. π. k. Στο πιο κάτω σχήµα δίνεται ένα παράδειγµα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης κατανοµής dn των ταχυτήτων για το ποσοστό των µορίων του Οξυγόνου ( Ο )σε θερµοκρασίες που N αναγράφεται στο διάγραµµα στους 00 ο C, +0 ο C και +600 ο C:

10 Η ΘΕΡΜΟΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ. ΕΙ ΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ. Ο ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΙ ΟΜΕΤΡΙΑΣ Η θερµότητα dq που προσφέρεται σε σώµα έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της θερµοκρασίας του κατά d και αν στο ίδιο σώµα άλλη τόση θερµότητα προφανώς θα έχω και πάλι αύξηση της θερµοκρασίας κατά d. Εποµένως η θερµότητα.dq αυξάνει την θερµοκρασία κατά.d.εποµένως είναι dq ανάλογο του d. Ο λόγος της αναλογίας καλείται θερµοχωρητικότητα ενός dq σώµατος k = κατά την διάρκεια µιάς διεργασίας προσφοράς θερµότητας. Το είδος της d dq διεργασίας έχει σηµασία και εποµένως η παράγωγος είναι µερική παράγωγος π.χ. για αέριο d έχουµε : Q K P = όταν είναι σταθερή η πίεση ή και KV = Ρ Q V όταν είναι σταθερός ο όγκος. Όµως η απαιτούµενη θερµότητα dq είναι ανάλογη και µε την µάζα m του σώµατος και εποµένως είναι το dq ανάλογο µε το γινόµενο m. d. dq dq Ο λόγος της αναλογίας καλείται ειδική θερµότητα: c= ενώ το γινόµενο k = m.c = m. d d ονοµάζουµε θερµοχωρητικότητα του σώµατος. Είναι dq = m.c.d ( θεµελιώδης νόµος της θερµιδοµετρίας ).Ολοκληρώνοντας έχουµε : = Q m. c. d ( ολοκληρωτική µορφή του θεµελιώδη νόµου της θερµιδοµετρίας ) Η ειδική θερµότητα προκειµένου για τα στερεά και τα υγρά είναι σχεδόν ανεξάρτητη της πίεσης και επειδή ο όγκος τους παραµένει για συνήθεις πιέσεις αµετάβλητος ή πολύ λίγο µεταβλητός έχει µόνο µία τιµή. Τα αέρια όµως είναι εξόχως συµπιεστά και συνήθως ορίζονται δύο ειδικές θερµότητες: η ειδική θερµότητα υπό σταθερή πίεση c P και η ειδική θερµότητα υπό σταθερό όγκο c V.

11 Q Q c p = όταν η πίεση είναι σταθερή και cv = αν είναι σταθερός ο όγκος. Αν η m. d P m. d V µάζα µετριέται σε γραµµοµόρια (moles) ή προκειµένου για στοιχεία σε γραµµοάτοµα (grats) τότε ορίζονται η µοριακή ή η ατοµική θερµότητα : dq dq dq C = = = MB. = MB. c ή αντίστοιχα C = AB.c Προκειµένου για τα αέρια n. d m m. d. d MB υπάρχουν και δύο µοριακές (ατοµικές)θερµότητες C p = MB.c p και C v = ΜB.c v και αντίστοιχα C p = ΑB.c p και C v = ΑB.c v 4.0. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ. ΈΡΓΟ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Το πρώτο θερµοδυναµικό αξίωµα που λέγεται και πρώτος νόµος της θερµοδυναµικής διατυπώνεται ως εξής :Το ποσό ενέργειας dq που προστίθεται µε θέρµανση σε σύστηµα, έχει ως αποτέλεσµα αφ ενός αύξηση στην εσωτερική ενέργεια du του συστήµατος,αφ ετέρου την παραγωγή µηχανικού έργου dw και ισχύει : dq = du + dw. () Ο νόµος αυτός βασικά δηλώνει ότι ένα θερµοδυναµικό σύστηµα µπορεί να αποθηκεύσει ή να κρατήσει την ενέργεια και ότι αυτή η ενέργεια διατηρείται. Η θερµότητα dq είναι η ενέργεια που εισέρχεται σε ένα σύστηµα από µια δεξαµενή υψηλής θερµοκρασίας, ή εξέρχεται και απορροφάται σε µια χαµηλής θερµοκρασίας δεξαµενή. Ο πρώτος νόµος δηλώνει ότι αυτή η ενέργεια διατηρείται και πολλές φορές γράφεται και ως διαφορά µε την σχέση: du = dq - dw () δηλ: Η µεταβολή στην εσωτερική ενέργεια είναι ίση µε το ποσό ενέργειας που προστίθεται µε τη θέρµανση µείον το ποσό που γίνεται µηχανικό έργο. Ο πρώτος νόµος µπορεί να δηλώνει από µαθηµατική άποψη : το du είναι µια απειροστή αύξηση στην εσωτερική ενέργεια του συστήµατος, dq είναι η απειροστή θερµότητα που προστίθεται στο σύστηµα, και dw είναι το απειροστό έργο που γίνεται από το σύστηµα. Εάν η θερµότητα ήταν χρήµατα, θα µπορούσαµε να πούµε ότι οποιαδήποτε µεταβολή στoν τραπεζικό µας λογαριασµό (du) είναι ίση µε τα χρήµατα προσθέτουµε (dq) µείον τα χρήµατα που ξοδεύουµε (dw). ο έργο και η θερµότητα είναι διαδικασίες που προσθέτουν ή αφαιρούν την ενέργεια, ενώ η εσωτερική ενέργεια U είναι µια ιδιαίτερη µορφή ενέργειας που συνδέεται µε το σύστηµα ΤΟ Ο ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΣΤΑ Ι ΑΝΙΚΑ ΑΕΡΙΑ Όταν προσφερθεί ενέργεια dq σε αέριο τότε η θερµοκρασία του αυξάνεται κατά d και αν η προσφορά ενέργειας γίνεται µε σταθερό τον όγκο του αερίου τότε ισχύει : : dq = m.c v.d ενώ αν η προσφορά γίνεται µε σταθερή την πίεση θα είναι : dq = m.c p.d Ενδιαφέρουσα γίνεται τότε η έκφραση του ου νόµου στα ιδανικά αέρια : dq = du+ P.dV () αφού dw =P.dV [Σηµείωση :Αν η µεταβολή είναι ισοβαρής τότε η εσωτερική ενέργεια δεν µεταβάλλεται διότι :Η πίεση είναι αποτέλεσµα των συγκρούσεων των µορίων µε τα τοιχώµατα του δοχείου που περιέχεται το αέριο όπου και αντιστρέφεται η φορά της ορµής των µορίων του όταν τα µόρια συγκρούονται µε το τοίχωµα του δοχείου που περιέχει το αέριο (σχήµα 4..α)

12 35 σχήµα 4..α dj. mυ. F. m. υ Η προκύπτουσα δύναµη στο τοίχωµα είναι F = = και η πίεση P= = dt dt S S. dt Είναι λοιπόν η πίεση αποτέλεσµα της αναστροφής των ταχυτήτων των µορίων του αερίου δηλ. έχουµε για P = σταθ. και η εσωτερική ενέργεια U = σταθ. ( αφού µέτρο της U είναι η ταχύτητα των µορίων του αερίου ) ] Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων : P.V = n.r. έχουµε d(p.v) = d(n.r.) ή P.dV+V.dP = n.r.d () και για µια ισοβαρή µεταβολή η () δίνει P.dV+ V.0 = n.r.d και η () τότε γράφεται dq = du + n.r.d και επειδή έχουµε ισοβαρή µεταβολή όπου dq = mc p.d έχουµε : m.c p.d = du+ n.r.d (3) αν θεωρήσουµε µια ισόχωρη µεταβολή τότε ισχύει du = dq και είναι du = dq = m.c v.d (4) και η (3) γράφεται : m.c p.d= m.c v.d+ n.r.d ή m m.c p.d= m.c v.d +.R.d MB ή ΜΒ.m.c p.d = MB.m.c v.d +mr.d ΜΒ.c p = MB.c v +R δηλ. C p = C v + R Η σχέση αυτή µας δίνει την σχέση του Meyer: ή απλοποιώντας το m.d C p - C v = R 4.. Η ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ POISSON Από την σχέση dq = du+ P.dV αν θέσουµε du = m.c v.d έχουµε : dq = m.c v.d+ P.dV και θεωρώντας µια αδιαβατική µεταβολή: 0 = m.c v.d+ P.dV η. R. αν θέσουµε P= έχουµε : V η.r. 0 = m.c v.d +.dv και χωρίζοντας τις µεταβλητές τελικά θα έχουµε : V d dv m m. c v. = η. R. ή αφού η = και MB.c v = C v τελικά παίρνουµε την V MB d R dv =. και ολοκληρώνοντας από την κατάσταση έως : C V v R V ln.ln Cv V C p Cv V ln =.ln αν τεθεί C V = και από την σχέση του Meyer : C p C v = R ln v C p k = τελικά παίρνουµε C = k µε αντίστοιχη εκθετική την ( V ).ln V v

13 k V = από την οποία αν αντικαταστήσουµε το Τ από την καταστατική V PV. k k = παίρνουµε την P. V = P. V δηλ. η. R k P. V = σταθ.(νόµος του Poisson ) O ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ CARNO Όταν ένα αέριο µεταβάλλει την κατάστασή του και η µεταβολή είναι κλειστός βρόχος το έργο υπολογίζεται από το εµβαδόν του βρόχου. Έχουν µελετηθεί κατά καιρούς κυκλικές µεταβολές που χαρακτηρίζονται ως θερµικοί ή και ψυκτικοί κύκλοι αναλόγως του αν είναι το συνολικό έργο ωφέλιµο (W >0 ) ή καταναλισκόµενο W<0 Ο θερµικός κύκλος Carnot περιλαµβάνει κατά σειρά τις εξής µεταβολές:(σχήµα.4.α) α) ισόθερµη εκτόνωση β) αδιαβατική εκτόνωση 3 γ) ισόθερµη συµπίεση 3 4 δ) αδιαβατική συµπίεση 4 µέχρι ότου το αέριο επανέλθει στην αρχική κατάσταση σχήµα..α 3 4 : Ο κύκλος του Carnot Υπολογισµοί των έργων : α)ισόθερµη εκτόνωση :.Το έργο δίνεται από το εµβαδόν του - V -V - χωρίου και είναι Q =W = n.r..ln V διότι η εσωτερική ενέργεια στην ισόθερµη µεταβολή δεν µεταβάλλεται καθόσον V η θερµοκρασία που αποτελεί το µέτρο όπως µέσης κινητικής ενέργειας των µορίων παραµένει σταθερή. Β)Αδιαβατική εκτόνωση: 3. Το έργο δίνεται από το εµβαδόν του 3 V 3 - V χωρίου και είναι Q = 0 και W 3 = n.c V.( ) (η απόδειξη στο επόµενο εδάφιο) γ)ισόθερµη συµπίεση 3 4 : Το έργο δίνεται από το εµβαδόν του 3 V 3 V χωρίου και είναι Q = W 3 = n.r..ln V 4 και τέλος V3 δ) Αδιαβατική συµπίεση 4. Το έργο δίνεται από το εµβαδόν του 4 V 4 V - 4 χωρίου και είναι πάλι Q = 0 και W 4 = n.c V.( ) Είναι προφανές ότι το µηχανικό έργο είναι το εµβαδόν του βρόχου Ο συντελεστής απόδοσης α του κύκλου Carnot προκύπτει ως εξής: Wωφελιµο α = = Q Q = < όπως προκύπτει από τα ( α),(β),(γ) και (δ) W Q καταναλισκοµενο

14 4.4. Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ Από τον κύκλο του Carnot παρατηρούµε ότι Q < Q και από τον τύπο Q Q Q εύκολα προκύπτει µε την χρήση των ιδιοτήτων των αναλογιών ότι Qi Γενικεύοντας µπορούµε να γράψουµε = 0 i = Q Q = Q δηλ. Q = 0 ( θεώρηµα του Clausius ) που γράφεται 37 dq γενικότερα ως το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα = 0 dqαντ Καλούµε µεταβολή της εντροπίας το πηλίκο ds = και το σύµβολο dq αντ σηµαίνει ότι την θερµότητα που εισέρχεται ή εξέρχεται σε µιά αντιστρεπτή µεταβολή. Ολοκληρώνοντας έχουµε ότι η dq εντροπία S + σταθ. Η σταθερά ολοκληρώσεως είναι απροσδιόριστη γι αυτό είναι = χρησιµότερο µέγεθος η µεταβολή της εντροπίας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Η ΙΑΣΤΟΛΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 5. ΓΕΝΙΚΑ Από τους πολύ παλαιούς χρόνους είχε παρατηρηθεί ότι τα σώµατα θερµαινόµενα µεταβάλλουν τις διαστάσεις τους, στην µεγάλη τους πλειοψηφία µε την αύξηση της θερµοκρασίας οι διαστάσεις τους αυξάνουν (µεταλλικά αντικείµενα, υγρά,αέρια), ενώ µόνο σε λίγες περιπτώσεις µε την αύξηση της θερµοκρασίας οι διαστάσεις του σώµατος ελαττώνονται (κυρίως πολυµερείς ενώσεις πρωτεϊνικής δοµής,ελαστικό κόµµι κλπ). Το φαινόµενο ονοµάζεται διαστολή. Τα αέρια µάλιστα διαστέλλονται εντονότερα από τα υγρά που µε τη σειρά τους διαστέλλονται περισσότερο από τα στερεά. Η διαστολή για τα αέρια και τα υγρά µετράται ως διαστολή του όγκου τους (κυβική διαστολή ) ενώ στα στερεά µε την αύξηση µίας ή δύο ή και των τριών διαστάσεών τους (γραµµική, επιφανειακή, ή και κυβική διαστολή ).Το µέγεθος της µεταβολής των διαστάσεων των σωµάτων εξαρτάται από την φάση που βρίσκονται τα σώµατα (στερεά, υγρή ή αέρια ) και την χηµική τους σύσταση. Για τα στερεά έχει επίσης σηµασία αν είναι σε κρυσταλλική ή άµορφη κατάσταση. Η διαστολή µετρείται µε τον συντελεστή διαστολής που είναι το πηλίκο του ποσοστoύ µεταβολής µίας ή δύο ή των τριών διαστάσεων του σώµατος ανά βαθµό Celsius που αναφέρονται αντίστοιχα ως συντελεστές γραµµικής, επιφανειακής και κυβικής διαστολής. dl Συντελεστής γραµµικής διαστολής α στα στερεά λέγεται το πηλίκο του ποσοστoύ l της αύξησης dl µιάς γραµµικής διάστασης l στερεού σώµατος ανά βαθµό ( grad, σε ο C ή σε ο F ). dl α = l = dl dθ l. dθ Συντελεστής επιφανειακής διαστολής β το πηλίκο του ποσοστoύ της αύξησης της επιφάνειας S στερεού σώµατος ανά βαθµό Celsius ds β = S. dθ Τέλος για τα στερεά,υγρά και αέρια συντελεστής κυβικής διαστολής γ το πηλίκο του ποσοστoύ της αύξησης του όγκου του σώµατος ανά βαθµό Celsius dv γ = V. dθ Στην Ευρώπη και την Ασία ο βαθµός µετριέται µε την κλίµακα Celsius ενώ στην Αµερικανική Ήπειρο µετριέται µε την κλίµακα Fahrenheit οι πιο πάνω συντελεστές αναφέρονται ανά βαθµό Fahrenheit.

15 38.Προφανώς οι πιο πάνω συντελεστές έχουν τιµές ίσες µε τα 9 5 των τιµών που γνωρίζουµε. Οι συντελεστές αυτοί συνδέονται µε τις σχέσεις,όπως θ αποδειχθεί παρακάτω, β =.α και γ = 3.α 5. Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ Η απόσταση δύο σηµείων ενός στερεού σώµατος που αποτελείται από οµογενές υλικό µεταβάλλεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας του. Αν µε την αύξηση της θερµοκρασίας το µήκος αυξάνεται,τότε έχουµε θετικό συντελεστή διαστολής και αυτό είναι το συνήθως παρατηρούµενο. ( τέτοια είναι τα µέταλλα και τα διάφορα µεταλλικά κράµατα).όµως υπάρχουν υλικά που αποτελούνται από πολυµερισµένες ή και µεγαλοµοριακές οργανικές ενώσεις (π.χ. το καουτσούκ )που θερµαινόµενα συστέλλονται. Θα λέγεται τότε ότι αυτά έχουν αρνητικό συντελεστή διαστολής. σχήµα 5..α Μια πρισµατική ράβδος µήκους l αποτελούµενη από το υλικό των σωµάτων που φαίνονται στο σχήµα 5..β. περιγράφει σε µια διάσταση τις µεταβολές του µήκους αυτού. σχήµα 5..β. Αν η θερµοκρασία της ράβδου αυξηθεί κατά dθ τότε και το l αυξάνεται κατά dl (σχήµα 5..β.)Αν η θερµοκρασία της ράβδου αυξηθεί κατά άλλο τόσο δηλ. κατά. dθ, τότε και το µήκος θα αυξηθεί κατά. dl διότι οι απειροστές µεταβολές είναι ανάλογα ποσά Είναι εποµένως : η αύξηση του µήκους dl της ράβδου ανάλογη της αύξησης dθ της θερµοκρασίας. Αν η ράβδος είχε διπλάσιο µήκος l ή τριπλάσιο 3l προφανές είναι ότι η επιµήκυνση της ράβδου θα είναι αντίστοιχα. dl, ή 3.dl που σηµαίνει ότι: είναι η απειροστή αύξηση του µήκους dl της ράβδου ανάλογη µε το αρχικό µήκος l. σχήµα 5..γ Εποµένως επειδή η αύξηση του µήκους dl είναι ανάλογη µε τα ποσά dθ και l είναι ανάλογη και µε το γινόµενό τους l.dθ. Αυτό στα µαθηµατικά σηµαίνει ότι ο λόγος (το πηλίκο) dl l. dθ = α (5..) είναι σταθερός και ονοµάζεται :συντελεστής της γραµµικής διαστολής Ο τύπος 5.. µας δείχνει µια συνήθη διαφορική εξίσωση µε χωριζόµενες µεταβλητές και έχουµε:

16 dl = a. dθ l ολοκληρώνουµε και έχουµε : dl = a. dθ l και αν θεωρηθεί το α σταθερό dl dx = α. dθ l ή επειδή: = ln x+ C και: dx = x+ C x 39 έχουµε ln l + C = α.θ + C ή ln l = α.θ + C (5..) µε C = C - C Η σχέση (5..) είναι λογαριθµική και έχει ως αντίστοιχη εκθετική την : l = e α.θ+c (5..3 ) η οποία γράφεται : l = e α.θ.e C αν υποτεθεί ότι το µήκος της ράβδου σε θερµοκρασία 0 ο C είναι l = l o η (5..3) τότε γράφεται : l o = e α..0.e C ή l o =.e C και εποµένως η (5..3) µας δίνει τον τύπο: l = l o. e α.θ (5..4) που είναι ο τύπος που µας δίνει το µήκος της ράβδου σε κάθε θερµοκρασία Οι τιµές του γινοµένου α.θ όµως είναι πολύ µικρές (περίπου της τάξεως του 0-4 ) και αν αναπτύξουµε το e α.θ σε σειρά κατά aylor θα έχουµε: e α.θ = + a. θ! + ( aθ. ) + ( aθ. ) 3 + ( aθ. ) ! 3! 4! Οι όροι ας,3 ης,4 ης και ανωτέρας τάξεως µπορεί να παραλειφθούν διότι π.χ είναι ο όρος ( aθ. ) το πολύ της τάξεως του0-8 και οι επόµενοι πολύ µικρότεροι. Εποµένως µπορούµε να! γράψουµε τον (.4) παραλείποντας όρους ας τάξεως και άνω ως: l = l o.( +α.θ) που είναι ο συνήθως χρησιµοποιούµενος τύπος πολλές υπολογισµούς.πολλές φορές για γρήγορους υπολογισµούς κατά προσέγγιση χρησιµοποιείται και ο τύπος : l = l.α. θ 5.3. Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΙΑΣΤΟΛΗ ΚΑΙ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ Η επιφάνεια ενός στερεού σώµατος που αποτελείται από οµογενές υλικό µεταβάλλεται και αυτή µε την αύξηση της θερµοκρασίας του. Με την αύξηση της θερµοκρασίας ένα µήκος αυξάνεται και στις δυο διαστάσεις άρα και το εµβαδόν της επιφάνειας αυξάνεται. Η αύξηση ds του εµβαδού S φαίνεται στα 5.3.α και 5.3.β. σχήµατα: σχήµα 5.3.α.

17 40 Αν η επιφάνεια είχε διπλάσιο εµβαδόν S ή τριπλάσιο 3S προφανές είναι ότι η αύξηση του εµβαδού ds θα είναι αντίστοιχα. ds l, ή 3. ds που σηµαίνει ότι: είναι η αύξηση του εµβαδού ds της επιφάνειας ανάλογη µε το αρχικό εµβαδόν S Η αύξηση του εµβαδού ds όπως φαίνεται στο σχήµα είναι ανάλογη µε την αύξηση της θερµοκρασίας dθ σχήµα 5.3.β. Αν η θερµοκρασία αυξηθεί κατά dθ τότε και το S αυξάνεται κατά ds (σχήµατα 5.3.β. και β ). Αν η θερµοκρασία της επιφάνειας του στερεού αυξηθεί κατά άλλο τόσο δηλ. κατά.dθ, τότε και το εµβαδόν θα αυξηθεί κατά.ds (διότι οι απειροστές µεταβολές είναι ανάλογα ποσά ). Είναι εποµένως : η αύξηση του εµβαδού ds της ράβδου ανάλογη της αύξησης dθ της θερµοκρασίας. Εποµένως επειδή η αύξηση του εµβαδού ds είναι ανάλογη µε τα ποσά dθ και S είναι ανάλογη και µε το γινόµενό τους S.dθ. Αυτό στα µαθηµατικά σηµαίνει ότι ο λόγος (το πηλίκο) ds S. dθ () είναι σταθερός και ονοµάζεται : συντελεστής της επιφανειακής διαστολής Ο τύπος () µας δείχνει και πάλι µια συνήθη διαφορική εξίσωση µε χωριζόµενες µεταβλητές και ολοκληρώνοντας όπως στο εδάφιο 5. τελικά έχουµε: S = S o. e β.θ που είναι ο τύπος που µας δίνει το µήκος της ράβδου σε κάθε θερµοκρασία Οι τιµές του γινοµένου β.θ όµως είναι πολύ µικρές (περίπου της τάξεως του 0-4 ) και αν αναπτύξουµε το e β.θ σε σειρά κατά aylor θα έχουµε για τους ίδιους λόγους όπως και στην γραµµική διαστολή: S = S o.( +α.θ) που είναι ο συνήθως χρησιµοποιούµενος τύπος στού υπολογισµούς.πολλές φορές και εδώ για γρήγορους υπολογισµούς κατά προσέγγιση χρησιµοποιείται και ο τύπος : S = S.α. θ 5.4. Η KYBIKΗ ΙΑΣΤΟΛΗ Ο όγκος ενός σώµατος στερεού, υγρού ή αερίου που αποτελείται από οµογενές υλικό µεταβάλλεται και αυτός µε την αύξηση της θερµοκρασίας του σώµατος. Με την αύξηση της θερµοκρασίας αυξάνoνται και οι τρεις διαστάσεις άρα και όγκος. Η αύξηση του όγκου dv είναι και πάλι ανάλογη µε τον αρχικό όγκο V και ανάλογη µε την αύξηση της θερµοκρασίας dθ το πηλίκο λοιπόν dv V. dθ = γ είναι σταθερόκαι ονοµάζεται :συντελεστής της κυβικής διαστολής γ Ο τύπος µας δείχνει και πάλι µια συνήθη διαφορική εξίσωση µε χωριζόµενες µεταβλητές. Εργαζόµενοι όπως στα προηγούµενα τελικά θα έχουµε:

18 V = V o. e γ.θ 4 που είναι ο τύπος που µας δίνει τον όγκο του σώµατος σε κάθε θερµοκρασία.το γ.θ όµως έχει πολύ µικρές τιµές (περίπου της τάξεως του 0-3 ) και αν αναπτύξουµε το e γ.θ σε σειρά κατά aylor θα έχουµε για τους ίδιους λόγους όπως και στην γραµµική και επιφανειακή διαστολή : V = V o.( +γ.θ) που είναι ο συνήθως χρησιµοποιούµενος τύπος στους υπολογισµούς.πολλές φορές και εδώ για γρήγορους κατά προσέγγιση υπολογισµούς χρησιµοποιείται και ο τύπος : V = V.γ. θ 5.5. ΣΧΈΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ α, β, γ σχήµατα 5.5. Αν θεωρήσουµε ένα κύβο ακµής l ( σχήµα 5.5 ) τότε το εµβαδόν µιάς έδρας του είναι S = l και στους 0 ο C : S o = l o κα;ι οµοίως όγκος του V = l 3 και αντίστοιχα V o = l o 3. Θα έχουµε τότε από την σχέση: l =( l o. e α.θ ) ή : l = l o.( e α.θ ) ή : l = l o.e.α.θ δηλαδή S = S o. e.α.θ S = S o. e β.θ και συγκρίνοντας µε την είναι προφανές ότι είναι β =.α Για τον όγκο του εν λόγω κύβου θα έχουµε οµοίως : V = l 3 =( l o. e α.θ ) 3 ή l 3 = l o 3.( e α.θ ) 3 ή l 3 = l o 3.e 3.α.θ ή V = V o.e 3.α.θ επειδή είναι V = V o.e γ.θ προκύπτει η σχέση γ = 3.α

19 5.6. ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗ 4 Όπως γνωρίζουµε όταν σ ένα στερεό σώµα ασκηθούν δυνάµεις το σώµα είτε θα κινηθεί είτε θα υποστεί παραµορφώσεις.τα είδη των παραµορφώσεων µπορεί να ταξινοµηθούν όπως φαίνεται εδώ και να µελετηθούν ανεξάρτητα ή ως συνδυασµός τούτων : α) εφελκυσµός β) θλίψη γ) κάµψη δ) στρέψη ε) λυγισµός Στο ειδικό µάθηµα της Αντοχής των Υλικών θα µελετηθούν σε έκταση εδώ όµως θα εξετάσουµε τις αναπτυσσόµενες µηχανικές τάσεις από την θερµική διαστολή στην περίπτωση του εφελκυσµού. Μια ελαστική πρισµατική ράβδος µήκους l και εµβαδού διατοµής S που εφελκύεται από δύναµη F αλλάζει τις διαστάσεις της σε l + l και S - S.Η πειραµατική σχέση που συνδέει την δύναµη F και την επιµήκυνση l έχει σε γενικές γραµµές για όλα τα σώµατα δύο περιοχές : την περιοχή της ελαστικής παραµόρφωσης και την περιοχή της πλαστικής παραµόρφωσης,υπάρχουν το όριο ελαστικότητας και το όριο θραύσης.η σχέση των F και l καθίσταται ανεξάρτητη των διαστάσεων του σώµατος αν αντί της F παραστήσουµε το πηλίκο σ = F S που ονοµάζουµε τάση εφελκυσµού σ (και έχει µονάδες πιέσεως) συναρτήσει του ε = l, που ονοµάζουµε ανηγµένη ( ή και ποσοστιαία ) l επιµήκυνση. Η σχέση των σ και ε φαίνεται πιο κάτω (σχήµα 5.6.α.) και για την περιοχή της F l ελαστικής παραµόρφωσης ισχύει: σ = Ε.ε ( νόµος του Hooke ) όπου σ = = Ε. S l σχήµα 5.6.α Το Ε είναι η κλίση της ευθείας στην περιοχή ελαστικής παραµόρφωσης. Αν η επιµήκυνση οφείλεται σε θερµική διαστολή τότε l = l.α. θ και θα έχουµε σ = Ε. l = Ε. l. α. θ = Ε.α. θ µετά την απλοποίηση του l. Παρατηρούµε l l λοιπόν ότι η αναπτυσσόµενη τάση είναι ανεξάρτητη των διαστάσεων του σώµατος εξαρτώµενη µόνο από της σταθερές Ε, α και την διαφορά της θερµοκρασίας θ. Παράδειγµα : Χαλύβδινη ράβδος έχει µήκος l = 0,5 m και εµβαδόν διατοµής S = 4 mm και θερµαίνεται από θερµοκρασία 0 ο C στην θερµοκρασία 80 ο C. Πόση τουλάχιστον θλιπτική δύναµη F πρέπει να ασκηθεί στην ράβδο για να εµποδίση την διαστολή της ; (δίνονται για τον χάλυβα :µέτρο του Young Ε =.06 6 kp/mm και συντελεστής γραµµικής διαστολής α =.0-6 grad - ). Λύση: Έχουµε κατά τα γνωστά σ = Ε.α. θ όπου σ = F S εποµένως F = σ.s και εποµένως : F = Ε.α. θ.s και αντικαθιστώντας έχουµε : F =.0 6 kp/mm..0-6 grad -.( 80 0) grad. 4 mm = kp = mm. mm. grad. grad - = = , kp =

20 = 53,6.0 kp = 5360 kp ΙΑΣΤΟΛΗ ΤΩΝ ΥΓΡΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Για τα στερεά σώµατα ισχύουν τα αναφερόµενα στα προηγούµενα εδάφια του κεφαλαίου αυτού όµως στα υγρά και τα αέρια µόνο η διαστολή του όγκου τους έχει σηµασία αφού παίρνουν το σχήµα του δοχείου που τα περιέχουν. Προκειµένου για τα υγρά µόνο η θερµοκρασία είναι ο παράγων µεταβολής του όγκου του χωρίς να επηρεάζονται σηµαντικά από την πίεση.τα αέρια όµως είναι εξόχως συµπιεστά και η µεταβολή του όγκου τους εξαρτάται και από την πίεση. Ο νόµος της κυβικής διαστολής ισχύει για τα υγρά όπως τον αναπτύξαµε προηγουµένως µόνο που ο συντελεστής διαστολής τους είναι µια τάξη µεγέθους τουλάχιστον µεγαλύτερος όπως φαίνεται στους πίνακες Ι και ΙΙ : ΠΙΝΑΚΑΣ Ι συντελεστές διαστολής στερεών (γραµµική διαστολή) σε grad - κράµα INVAR σχεδόν µηδέν Γυαλί (Pyrex) Γυαλί (κοινό) Σίδηρος.0-6 Χάλυβας.0-6 Μπετόν.0-6 Χαλκός Ορείχαλκος Ψευδάργυρος ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ συντελεστές διαστολής υγρών (κυβική διαστολή) σε grad - Υδράργυρος Νερό (0 ο C) Οινόπνευµα Βενζόλιο Ο όγκος των αερίων όµως εξαρτάται σηµαντικά από την πίεση.υπό σταθερή πίεση ο συντελεστής κυβικής διαστολής των αερίων όπως θα δούµε στο σχετικό κεφάλαιο είναι κοινός για όλα τα αέρια και έχει τιµή : γ = grad - = grad - = 3, grad - 735, στην πίεση P 0 = Αtm ( ή P 0 =bar = 000 mbar = 76 cmhg = 760 mmhg ) ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΒΙΚΗΣ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΤΩΝ ΥΓΡΩΝ Ο συντελεστής διαστολής στα υγρά εξαρτάται από την θερµοκρασία. έχει τιµή που ισχύει για µικρή περιοχή θερµοκρασιών κοντά στην τιµή που µετρήθηκε. Παράδειγµα χαρακτηριστικό της µεταβολής έχουµε στο νερό Παρουσιάζεται εδώ και περιοχή θερµοκρασιών (µεταξύ 0 ο C και 4 ο C ) που ο συντελεστής διαστολής παίρνει αρνητικές τιµές. (σχήµα4.7.α)