ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ. 3.1 ιηλεκτρικά οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ. ιηλεκτρικά οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια.. Πόλωση Εκτός από τη διηλεκτρική µετατόπιση D, ένα άλλο χαρακτηριστικό διανυσµατικό µέγεθος που αναφέρεται στο πεδίο εντός των διηλεκτρικών, είναι το διάνυσµα της πόλωσης P, που σε µια µακροσκοπική θεώρηση µπορεί να οριστεί από τη σχέση D = ε E+ P (.) Όταν το πεδίο εκτείνεται σ ένα οµογενές, γραµµικό ισότροπο µέσο τα διανύσµατα E P είναι παράλληλα, συνδέονται δε µε τη σχέση P = εχ ee, (.) όπου χ e είναι µια αδιάστατη σταθερά που ονοµάζεται διηλεκτρική (ή απλά ηλεκτρική) ε- πιδεκτικότητα. Αν ε = ε ε, είναι η διαπερατότητα του µέσου, όπου ε είναι η σχετική διηλεκτρική σταθερά, από τις (.6), (.) (.) έχουµε D= ε ( + χ ) E = ε ε E, (.) e

2 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ δηλαδή ισχύει η Επίσης, ισχύει η σχέση ε = + χ (.4) e P = ρ P, (.5) όπου ρ P είναι η χωρική πυκνότητα των φορτίων πόλωσης... Συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια Οι νόµοι του αστρόβιλου του Gauss µπορούν να εφαρµοστούν για τη διατύπωση των οριακών συνθηκών πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών µέσων. (ε ) (ε ) (ε ) (ε ) E Ε t α E n D α D t D n E n E t α D n α Ε D t D Σχήµα - Έτσι, από το νόµο του αστρόβιλου προκύπτει ότι οι εφαπτοµενικές συνιστώσεις της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στις δύο πλευρές της διαχωριστικής επιφάνειας είναι ίσες. Η συνέχεια αυτή της εφαπτοµενικής συνιστώσας εκφράζεται από την E = E. (.6) t t Όπως θα δούµε στη συνέχεια, όταν το µέσο () είναι αγωγός (οπότε E = ), η (.6) µας δίνει E t =, δηλαδή η E είναι κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. Επίσης, από το νόµο του Gauss προκύπτει η δεύτερη οριακή συνθήκη

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ D D = ρ, (.7) n n S όπου ρ S είναι η επιφανειακή πυκνότητα των φορτίων πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια. Από την (.7) παρατηρούµε, ότι η κάθετη συνιστώσα της διηλεκτρικής µετατόπισης µεταβάλλεται ασυνεχώς κατά τη διάβαση της συνοριακής επιφάνειας δύο διηλεκτρικών µέσων, όταν στην επιφάνεια αυτή υπάρχουν ηλεκτρικά φορτία. Το άλµα της ασυνέχειας ισούται προς την επιφανειακή πυκνότητα των φορτίων αυτών. Όταν, όµως, δεν υπάρχουν φορτία ( ρ S = ) στη διαχωριστική επιφάνεια, όπως κατά κανόνα συµβαίνει στην πράξη, η (.7) καταλήγει στην D = D, (.8) n n δηλαδή στην περίπτωση αυτή έχουµε συνέχεια των κάθετων συνιστωσών της διηλεκτρικής µετατόπισης. Από την (.7), όταν το υλικό () είναι αγώγιµο ( D n = ), προκύπτει D n S = ρ, δηλαδή η επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου ισούται µε το µέτρο της διηλεκτρικής µετατόπισης D (αφού D t = ). Ακόµη, αν ρ SP είναι η επιφανειακή πυκνότητα των φορτίων πόλωσης, ανάλογα προς την (.7) ισχύει η P P = ρ (.9) n n SP Ας σηµειωθεί, τέλος, ότι οι γωνίες πρόσπτωσης διάθλασης α α του σχήµατος -, συνδέονται µε τη σχέση tan α tan α ε =, (.) ε που προκύπτει πολύ εύκολα από τις (.6), (.8) τη σχέση ορισµού D= εe.. Αγώγιµα σώµατα Κατανοµή φορτίων.. Ηλεκτροστατικές ιδιότητες των αγωγών Είναι γνωστό, ότι στην κατάσταση ηλεκτροστατικής ισορροπίας, δεν υφίσταται πεδίο στο εσωτερικού οποιουδήποτε αγώγιµου σώµατος, ηλεκτρισµένου ή όχι, αφού διαφορετι-

4 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ κά, θα είχαµε κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων αγωγιµότητας µέσα στη µάζα του. Ο µηδενισµός όµως της έντασης της διηλεκτρικής µετατόπισης σε όλο τον όγκο του αγωγού, σύµφωνα µε την (.), συνεπάγεται την ρ = (.) Από την (.) προκύπτει ότι η χωρική πυκνότητα είναι µηδενική σε κάθε θέση µέσα στη µάζα των αγώγιµων σωµάτων. Τα φορτία συνεπώς των αγωγών κατανέµονται πάνω στην επιφάνεια. Ένα άλλο συµπέρασµα, που αποτελεί απόρροια του γεγονότος της ανυπαρξίας πεδίου µέσα στον αγωγό, είναι ότι η επιφάνεια κάθε αγώγιµου σώµατος που βρίσκεται σε κατάσταση ηλεκτροστατικής ισορροπίας είναι ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου, όλο δε το α- γώγιµο σώµα είναι ένα ισοδυναµικό στερεό. Το ηλεκτροστατικό πεδίο υφίσταται µόνο στον περιβάλλοντα τα αγώγιµα σώµατα µονωτικό χώρο, οι δε δυναµικές του γραµµές καταλήγουν στις αγώγιµες επιφάνειες, τις οποίες συναντούν κάθετα, όπως συµβαίνει µε κάθε ισοδυναµική επιφάνεια. Σύµφωνα µε τα παραπάνω τη σχέση (.7), όταν ως µέσο () θεωρηθεί ένα αγώγι- µο σώµα, έχουµε D = D = D = ρ, (. ) n n S δηλαδή το µέτρο της διηλεκτρικής µετατόπισης που είναι κάθετη στην επιφάνεια του α- γωγού στην προς το µονωτικό όψη της επιφάνειας του αγωγού, είναι ίσο µε την πυκνότητα των επιφανειακών φορτίων. Όταν η ηλέκτριση είναι θετική ( ρ S > ), το διάνυσµα D κατευθύνεται από τον αγωγό προς τον περιβάλλοντα χώρο. Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε ότι από την επιφάνεια του αγωγού αναβλύζουν δυναµικές γραµµές. Αν, αντίθετα, είναι ρ S <, η διηλεκτρική µετατόπιση D έχει αντίθετη κατεύθυνση οι δυναµικές γραµµές καταδύονται στην επιφάνεια του αγωγού. 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Κατανοµή φορτίων Κατά την ηλέκτριση των αγώγιµων σωµάτων παρατηρούνται, σε γενικές γραµµές, τα εξής: (α) Όταν σε κάποιο αγώγιµο σώµα προσδοθεί ηλεκτρικό φορτίο, το φορτίο αυτό κατανέµεται, αµέσως, στην επιφάνεια του αγωγού, κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να µην υπάρχει πεδίο στο εσωτερικό του. (β) Αν ένα ηλεκτρισµένο αγώγιµο σώµα εισαχθεί σε κάποιο πεδίο, τότε το φορτίο του αγωγού αναδιανέµεται στην επιφάνειά του κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να εξουδετερώνει στο εσωτερικό του την επίδραση του εξωτερικού πεδίου, µε τελικό αποτέλεσµα την ανυπαρξία πεδίου µέσα στον αγωγό. Οι δυναµικές γραµµές του συνιστάµενου πεδίου, στον περιβάλλοντα τον αγωγό χώρο, συναντούν κάθετα την επιφάνεια του αγωγού. (γ) Η πιο πάνω διανοµή των φορτίων καθιστά την επιφάνεια του αγωγού ισοδυνα- µική επιφάνεια του συνιστάµενου πεδίου, όλο δε το αγώγιµο σώµα ισοδυναµικό στερεό. (δ) Αν ένα αρχικά αφόρτιστο αγώγιµο σώµα, εισαχθεί σε κάποιο ηλεκτρικό πεδίο, θα εµφανιστούν στην επιφάνειά του θετικά αρνητικά φορτία, κατανεµηµένα έτσι, ώστε να πληρούνται οι προηγούµενες συνθήκες (ηλέκτριση εξ επαγωγής)... Κοιλότητες Και στην περίπτωση όπου στη µάζα ενός αγώγιµου σώµατος υπάρχουν κοιλότητες, µέσα στις οποίες δεν έχουν τοποθετηθεί ηλεκτρικά φορτία, δεν υφίσταται πεδίο στο εσωτερικό των κοιλοτήτων ούτε είναι δυνατό να αναφανούν φορτία στην εσωτερική επιφάνεια του αγώγιµου σώµατος (κελύφους)...4 Το θεώρηµα της αντιστοιχίας του Geen Το θεώρηµα αυτό, που αναφέρεται σ ένα σύστηµα αγωγών που βρίσκονται σ ένα οποιοδήποτε µονωτικό µέσο, παρέχει µια απλή σχέση που συνδέει δύο τυχούσες ηλεκτροστατικές καταστάσεις του συστήµατος. 5

6 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Στην πρώτη κατάσταση θεωρούµε ότι στους αγωγούς βρίσκονται, κατά σειρά, τα φορτία,,..., n, οπότε, το πεδίο που οφείλεται στα φορτία αυτά προκαλεί στους αγωγούς δυναµικά φ, φ,..., φ n, αντίστοιχα. Στη δεύτερη κατάσταση θεωρούµε ότι στους αγωγούς βρίσκονται τα φορτία,,..., n, οπότε τα αντίστοιχα δυναµικά έχουν τιµές φ, φ,..., φn. Σύµφωνα µε το θεώρηµα της αντιστοιχίας του Geen, τα µεγέθη αυτά συνδέονται µε τη σχέση n n φi i = φ ii i= i= (.) Η ίδια σχέση ισχύει στην περίπτωση σηµειακών φορτίων, το δυναµικό όµως του τυχόντος i-στού φορτίου θεωρείται ότι προέρχεται από όλα τα φορτία εκτός του i. φ i. Πυκνωτές Συστήµατα αγωγών.. Πυκνωτής Χωρητικότητα Πυκνωτής είναι µια διάταξη που αποτελείται από δύο αγώγιµα σώµατα, µονωµένα µεταξύ τους. Τα σώµατα αυτά αποτελούν τους δύο οπλισµούς (ή ηλεκτρόδια) του πυκνωτή. Η χωρητικότητα ενός πυκνωτή, είναι ένα µέγεθος που εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία του πυκνωτή, δηλαδή από το σχήµα των οπλισµών, τη θέση των οπλισµών από τη διηλεκτρικότητα του µεταξύ αυτών µονωτικού χώρου, είναι δε εξ ορισµού θετικό µέγεθος. Αν S είναι η επιφάνεια ενός των δύο οπλισµών (έστω του θετικά ορισµένου) l AB οποιαδήποτε διαδροµή που ξεκινάει από το θετικό οπλισµό A καταλήγει στον αρνητικό οπλισµό B, η χωρητικότητα υπολογίζεται από τη σχέση εε S C = = U E d lab όπου είναι το φορτίο U η τάση του πυκνωτή. E ds l, (.) Από την (.), εύκολα, υπολογίζεται η χωρητικότητα για τις παρακάτω τρεις χαρακτηριστικές διατάξεις: 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Επίπεδος πυκνωτής S C = εε, (.4) d όπουs το εµβαδό των πλακών d η µεταξύ τους απόσταση. (β) Κυλινδικός πυκνωτής C πε ε =, (.5) ln( / ) όπου η ακτίνα του εσωτερικού οπλισµού η ακτίνα του εξωτερικού οπλισµού ( > ), (γ) Σφαιρικός πυκνωτής C = πε ε, (.6) 4 όπου οι ακτίνες του εσωτερικού του εξωτερικού οπλισµού αντίστοιχα ( > ). Οι εκφράσεις που παρέχουν την ισοδύναµη συνολική χωρητικότητα µια σειράς n πυκνωτών που συνδέονται παράλληλα ή εν σειρά είναι οι εξής: (α) Παράλληλη σύνδεση (β) Σύνδεση σειράς C ολ n = C (.7) i= i C ολ = n (.8) C Τέλος, οι σχέσεις µετασχηµατισµού από αστέρα σε ισοδύναµο τρίγωνο αντίστροφα, για τους συµβολισµούς του σχήµατος -, είναι οι ακόλουθες: C = CC, C = CC, C = CC i= a b c C + C + C C + C + C C + C + C i, (.9α) 7

8 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ A A C C c C b C C B C B C Σχήµα - C a C CC + CC + CC CC + CC + CC =, C =, a b b c a c a b a c b c Ca Cb C CC + CC + CC = C a b b c a c c (.9β).. Σύστηµα αγωγών µερικές χωρητικότητες Έστω ένα σύστηµα που περιλαµβάνει n αγώγιµα σώµατα τα οποία έχουν φορτία,,..., n δυναµικά φ, φ,..., φ n, αντίστοιχα. Από τη γραµµική εξάρτηση µεταξύ δυναµικών φορτίων, προκύπτουν οι σχέσεις φ n i p ij j i= =, (.) όπου p ij είναι µη αρνητικοί συντελεστές, εξαρτώµενοι µόνο από τη γεωµετρία του συστή- µατος τη διηλεκτρικότητα του µέσου, που ονοµάζονται συντελεστές δυναµικού. Ως επιφάνεια αναφοράς των δυναµικών εκλέγεται η άπειρη σφαίρα όταν έχουµε να κάνουµε µ ένα ανοιχτό σύστηµα, ή για την περίπτωση κλειστού συστήµατος η περιβάλλουσα αυτό αγώγιµη επιφάνεια. Συχνά, στα πρακτικά προβλήµατα η επιφάνεια αναφοράς των δυναµικών αντικαθίσταται από τη γη. Ένα άλλο συµπέρασµα που προκύπτει από το θεώρηµα της αντιστοιχίας του Geen, είναι ότι η ορίζουσα των συντελεστών δυναµικού του συστήµατος (.) είναι συµµετρική ως προς την κύρια διαγώνιο, ισχύει δηλαδή η σχέση 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ p ij = p (.) ji Αν το σύστηµα των εξισώσεων (.) λυθεί ως προς τα φορτία, προκύπτει ένα άλλο σύστηµα της µορφής n i cijφj i= = (.) Οι συντελεστές c ij που επίσης είναι σταθεροί εξαρτώνται µόνο από τη γεωµετρία του συτήµατος τη διηλεκτρικότητα του µέσου ονοµάζονται συντελεστές επαγωγής ό- ταν i j συντελεστές χωρητικότητας όταν i = j. Οι συντελεστές χωρητικότητας είναι πάντα θετικοί ( c ij > ) ενώ οι συντελεστές επαγωγής για τους οποίους ανάλογα προς την (.) ισχύει η c ij = c, (.) είναι αρνητικοί, αν µερικοί από αυτούς µπορεί να έχουν µηδενική τιµή ( cij, i j ). Μια άλλη χαρακτηριστική σχέση που ισχύει σ ένα κλειστό σύστηµα είναι η n i= ji cij =, ( i =,,..., n) (.4) Τέλος, µε την εισαγωγή των συντελεστών C ij που ορίζονται από τις C = c, ( i j) (.5) ij ij C ii n = c (.6) ij j= Το σύστηµα (.) γράφεται µε τη µορφή Οι συντελεστές i n i = ij φi φj + iiφi + ij φi φj j= j= i+ (.7) C ( ) C C ( ) C ij ονοµάζονται µερικές χωρητικότητες, ικανοποιούν την C = C (.8) Τέλος, στην περίπτωση κλειστού συστήµατος, λόγω της (.4), ισχύει η ij ji C = (.9) ii 9

10 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ.4 Ενέργεια ηλεκτροστατικού πεδίου.4. Ενέργεια πεδίου σηµειακών φορτίων Αν q, q,..., q n είναι n σηµειακά φορτία, η ενέργεια W e που ενταµιεύεται στο πεδίο δίνεται από τη σχέση W =, (.) n e qiφi i= όπου φ i ( i =,,..., n) είναι το δυναµικό στη θέση του i-στού φορτίου που οφείλεται σ όλα πλην του q i φορτία..4. Ενέργεια πεδίου κατανεµηµένων ηλεκτρικών φορτίων Στη γενική περίπτωση όπου έχουµε χωρικά, επιφανειακά γραµµικά φορτία η ε- νέργεια We του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση We = S l ρφdv + ρ φds ρφdl V + S (.) l Όταν έχουµε φορτία διανεµηµένα µόνο στις επιφάνειες αγώγιµων σωµάτων, από την (.) προκύπτει εύκολα η W =, (.) n e φii i= όπου,,..., n τα φορτία επί των αγωγίµων σωµάτων,,...,n που έχουν δυναµικά φ, φ,..., φ n, αντίστοιχα. Η (.), αν ληφθούν υπόψη οι (.) (.), γράφεται, αντίστοιχα n n We = pij i j (.) i= j= n n W = c φφ (.4) e ij i j i= j= Στην περίπτωση ενός πυκνωτή οι εκφράσεις αυτές οδηγούν στην W C e = CU =, (.5)

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου U η τάση του πυκνωτή, το φορτίο C η χωρητικότητα..4. Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου Η πυκνότητα της ενέργειας, που είναι ενταµιευµένη σε κάθε θέση του πεδίου, εξαρτάται όχι µόνο από τις τελικές τιµές των µεγεθών E D, αλλά από τις ιδιότητες του µέσου στο οποίο εκτείνεται το πεδίο, δηλαδή από τη διαπερατότητα του µέσου που καθορίζει τη σχέση µεταξύ των E D. Η πυκνότητα της ενέργειας στη γενική περίπτωση ενός γραµµικού ή µη µέσου δίνεται από τη σχέση we = D E dd (.6) Στη συνήθη περίπτωση ενός οµογενούς, γραµµικού ισότροπου µέσου η πυκνότητα w e δίνεται από τη σχέση Η συνολική ενέργεια του πεδίου, D w ED E ε e = = = ε (.7) We προκύπτει από την ολοκλήρωση της (.6) σε όλο το χώρο W e = w dv (.8) V e Όταν έχουµε οµογενές, γραµµικό ισότροπο µέσο όπως συνήθως συµβαίνει στην πράξη η (.8), λόγω της (.7), καταλήγει στην W e = εe dv (.9) V.5 Ανάπτυξη µηχανικών δυνάµεων.5. υνάµεις σ ένα σύστηµα αγώγιµων σωµάτων Η κατά τον άξονα x συνιστώσα της µηχανικής δύναµης που ασκείται από το πεδίο σ ένα τυχόν, έστω το j-στό αγώγιµο σώµα, που µπορεί να υπολογιστεί από τη γενική σχέση

12 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ F jx, W x s = j We x j, (.4) όπου W είναι η ενέργεια των εξωτερικών πηγών που συνδέονται µε τους αγωγούς, W s η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου, ενώ η x j αναφέρεται στην αντίστοιχη συντεταγµένη του σώµατος. Στις δύο ειδικές περιπτώσεις σταθερών δυναµικών σταθερών φορτίων, από την (.4) τις (.) (.4) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: F W c, (δυναµικά σταθερά) (.4) n n e ij jx, = = i j x i j x φφ = = j e F W p (φορτία σταθερά) (.4) n n e ij jx, = = i j x i= j= xj.5. υνάµεις στους οπλισµούς πυκνωτή Η δύναµη F x που ασκείται επί του οπλισµού ενός πυκνωτή κατά την τυχούσα διεύθυνση x, δίνεται από τη σχέση: F x = U C x (.4).5. Πίεση στην επιφάνεια αγωγών σχέση Η ανά µονάδα επιφάνειας των αγωγών ασκούµενη δύναµη (πίεση) δίνεται από τη ρ p = ( E D) n = n = n = n, (.44) S εe ρse ε όπου n είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια του αγωγού µε διεύθυνση από τον αγωγό προς το περιβάλλον, ρ S είναι η επί της επιφάνειας του αγωγού πυκνότητα φορτίου. Όπως φαίνεται από την (.45), η υπό του ηλεκτρικού πεδίου ασκούµενη πίεση διευθύνεται πάντοτε από τον αγωγό προς τον περιβάλλοντα χώρο έχει µέτρο ίσο προς την πυκνότητα της ενέργειας του πεδίου στη θεωρούµενη θέση.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5.4 υνάµεις στην επιφάνεια διαχωρισµού δύο διηλεκτρικών Το πεδίο στο διηλεκτρικό (), που οι δυναµικές του γραµµές έχουν τη διεύθυνση της έντασης E, ασκεί πάνω στο στοιχείο επιφάνειας ds δύο δυνάµεις: την df l κατά τη διεύθυνση της E, που οφείλεται στην κατά µήκος των γραµµών εφελκυστική τάση p = ε E (.45) l την κάθετη df q στην df l, που οφείλεται στην εγκάρσια πίεση, που το µέτρο της είναι επίσης p l. (ε ) df l E df n (ε ) ds df df t df q Σχήµα - Αν df n df t είναι, αντίστοιχα, η κάθετη η εφαπτοµενική συνιστώσα της df στη διαχωριστική επιφάνεια, ληφθεί ως θετική διεύθυνση της df n η από το µέσο () προς το µέσο (), έχουµε: dfn = ε ( En E t ) ds (.46) df = ε E E ds (.47) t n t Ανάλογα, για το πεδίο στο χώρο (), ισχύουν οι σχέσιες dfn = ε ( En E t ) ds (.48)

14 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ df = ε E E ds (.49) t n t Οι δύο εφαπτοµενικές συνιστώσες df t df t, λόγω των οριακών συνθηκών Et = E t D n = D n (οπότε ε En = ε En ), ως ίσες αντίθετες αλληλοαναιρούνται. Η συνολική, εποµένως, δύναµη που ασκείται στη διαχωριστική επιφάνεια, είναι κάθετη σ αυτή ανεξάρτητη από τη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών. σχέση Τελικά, η πίεση p, µε διεύθυνση από το µέσο προς το µέσο, δίνεται από τη df df ε p ( ) E E n n = = ε ε n t ds ε (.5) 4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Παραδείγµατα. Σε ένα πεδίο, ο χώρος που βρίσκεται αριστερά από το επίπεδο x =, είναι γεµάτος µε οµογενές υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε =, ενώ ο χώρος που βρίσκεται δεξιά από το επίπεδο x = είναι γεµάτος µε οµογενές υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε = 4. Το δυναµικό στα σηµεία που βρίσκονται αριστερά από το επίπεδο x = ( x ) δίνεται από τη σχέση: όπου α σταθερά. ζητείται: φ = α( x 6 y), () Αν δεν υπάρχουν διανεµηµένα επιφανειακά φορτία στη διαχωριστική επιφάνεια x =, (α) Να βρεθεί αν υπάρχουν χωρικά φορτία στον χώρο x. + (β) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση δεξιά αριστερά ( x =, x = ), πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια. ε = ε ε y ε = ε ε E t = E y E t = E y E n = E x E n = E x x Σχήµα -4 5

16 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ (α) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων προκύπτει από την εξίσωση Poisson φ φ φ ρ φ = + + = x y z ε () Από την () όµως έχουµε φ = α, x φ = 6α, y φ φ = = z z Η (), λόγω των (), (4) (5), γράφεται ρ =, ε φ = x φ = z, (), (4) (5) δηλαδή ρ = (6) Άρα στο χώρο x, δεν υπάρχουν διανεµηµένα χωρικά φορτία. (β) Αν E = E x + E y, (7) x y είναι η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στα σηµεία για τα οποία x, E = E x + E y (8) x y στα σηµεία για τα οποία x >, τότε, από τις οριακές συνθήκες E = E (9) t t επειδή έχουµε για, x =, D = D, () n n D= εεe () E = E () y y 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ τη σχέση ε ε E = ε ε E ε E = ε E () x x x x Επειδή η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E συνδέεται µε τη συνάρτηση δυναµικού φ µε από τις () (4) για x =, έχουµε E = φ, (4) φ = = α x E x φ y E y = = 6 α (5) (6) Οι x, y E E υπολογίζονται εύκολα από τις (), (), (5) (6): E ε = E = α = 5 α (7) 4 x x ε ηλαδή, E = E = α (8) y y 6 E ( x = ) = αx + 6αy (9) E ( x = ) = 5αx + 6αy () 7

18 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ. ύο αγωγοί A B, εκ των οποίων ο B περιβάλλει τον A, διατηρούνται σε σταθερά δυναµικά V A V B, αντίστοιχα. Ο χώρος µεταξύ του αγωγού A µιας επιφάνειας S, στην οποία το δυναµικό είχε αρχικά µια ενδιάµεση σταθερή τιµή V, πληρούται µε διηλεκτρικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς κ. Αν αγνοηθεί η τάση επαφής η τυχόν εµφάνιση επιφανειακών φορτίων στις διαχωριστικές επιφάνειες, ζητούνται: (α) Να βρεθεί το νέο δυναµικό V της S. (β) Να αποδειχτεί ότι σε κάθε σηµείο του διηλεκτρικού η αρχική τάση V έχει µεταβληθεί σε V, όπου VA( V VB)( κ ) + V( VA VB) V = κ( V V ) + ( V V ) B A Έστω ότι V είναι η συνάρτηση δυναµικού που ικανοποιεί την εξίσωση Laplace V = () που παίρνει τις τιµές VA, V B V στους αγωγούς A, B την επιφάνεια S, πριν από την προσθήκη του διηλεκτρικού. Αφού τα δυναµικά V A V B παραµένουν σταθερά µετά την προσθήκη του διηλεκτρικού, ζητούµε να βρούµε µία λύση για τη συνάρτηση δυναµικού φ της µορφής φ = A + λv, () I S V B B V A A V ε = κε Σχήµα -4 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ µέσα στο διηλεκτρικό, φ = A + λv, () II έξω από το διηλεκτρικό, όπου A, A, λ, λ σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν. Οι φ I φ II που ικανοποιούν την εξίσωση Laplace φ = φ = (4) I II πρέπει, επιπλέον, να ικανοποιούν τις σχετικές οριακές συνθήκες. φii = A B + λvb (6) Η συνάρτηση δυναµικού φ για να είναι συνεχής στην επιφάνεια S, πρέπει να ικανοποιεί την Επειδή τα δυναµικά των αγωγών Α Β διατηρούνται σταθερά έχουµε φi = A A + λva = VA, (5) ή, λόγω των () (), την φ I S = φ, (7) II S A + λv = A + λv (8) Επίσης, από τη συνέχεια της ορθής συνιστώσας της διηλεκτρικής µετατόπισης πάνω στην επιφάνεια S, έχουµε ή D n,i S φ εκ I n S = D (9) n,ii S φii = ε n S () ή Η (), λόγω των () (), γράφεται V V εκλ = ελ n n, () κλ = λ () Από τις (5), (6), (8) () υπολογίζονται οι σταθερές A, A, λ λ µε αντικατάσταση των A, λ στην () προκύπτει η 9

20 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ VA( κ )( V VB) + V( VA VB) φ = V = κ( V V ) + ( V V ) B A Τέλος, αν στην () θέσουµε V = V, βρίσκουµε το νέο δυναµικό V της S V( κv V ) ( κ ) VV V = κ( V V ) + ( V V ) A B A B B A () (4). Να βρεθεί η διανοµή ηλεκτρικών φορτίων σ ένα ηλεκτροστατικό πεδίο, που περιγράφεται από τη συνάρτηση δυναµικού όπου φ z α ( ), για < 4πεα α = αz, για α πε x + y + z =. α Από την έκφραση της συνάρτησης δυναµικού παρατηρούµε ότι θα διευκόλυνε τους σχετικούς υπολογισµούς η χρησιµοποίηση σφαιρικών συντεταγµένων, θϕ., Έτσι, σ ένα τέτοιο σύστηµα η συνάρτηση φ έχει την έκφραση cos θ α ( ), για < < α 4πεα α φ = αcos θ, για > α πε Η ύπαρξη χωρικών φορτίων διαπιστώνεται από την εξίσωση Poisson Η Λαπλασιανή ρ () φ = () ε φ σε σφαιρικές συντεταγµένες, θϕ, επειδή η συνάρτηση δυνα- µικού φ δεν εξαρτάται από τη γωνία ϕ, δίνεται από τη σχέση φ φ φ = sin θ + sin θ θ θ Έτσι, για < < α, από τις () () έχουµε ()

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ cos θ α sin θ φ = + sin θ + 4πεα α sinθ θ α cosθ = + sinθcosθ 4πεα α sinθ α cosθ cosθ. = + = 4πεα α α Από την (4) τη () βλέπουµε ότι η πυκνότητα ρ i των χωρικών φορτίων για < < α, είναι µηδενική Εντελώς ανάλογα για (4) ρ = (5) i > α, από τις () () έχουµε α cosθ sin θ φ = + πε sin θ θ α cosθ sinθcosθ = + πε sin θ α cosθ cosθ. = = πε ηλαδή εκτός της σφαίρας ( > α) δεν υπάρχουν χωρικά φορτία: ρ =. (7) Τα τυχόν υπάρχοντα σηµειακά ή επιφανειακά φορτία µπορούµε να τα υπολογίσουµε µε τη βοήθεια του νόµου του Gauss των οριακών συνθηκών πάνω στις διαχωριστικές επιφάνειες. Προς το σκοπό αυτό, προσδιορίζουµε αρχικά το φορτίο i() που περιέχεται σε µια σφαίρα ακτίνας ( < < α). Σύµφωνα µε το νόµο του Gauss έχουµε π π () = () = = sin S N D ds D θdθdϕ, (8) όπου D είναι η συνιστώσα της διηλεκτρικής µετατόπισης κατά την ακτινική διεύθυνση. γράφεται Η (8), επειδή D φ cos θ α = εe = ε = + 4πα α, (9) (6)

22 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ δηλαδή () για οσοδήποτε µικρή ακτίνα. π cos θsin θ αsin θ = + dθ α α π cos θ α π α θ α α α = cos = ( ), () Από τη () γίνεται φανερό ότι στο εσωτερικό της σφαίρας =, () < α, υπάρχει µόνο το σηµειακό φορτίο, που είναι τοποθετηµένο στο κέντρο της. Στη συνέχεια ζητούµε να υπολογίσουµε το συνολικό φορτίο S που υπάρχει αν υ- πάρχει στη διαχωριστική επιφάνεια της σφαίρας = α. Σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, αν πάρουµε τη ροή που περνάει από την επιφάνεια µιας σφαίρας µε ακτίνα ή > α, έχουµε π π () = ολ = + S = D S = sin S N d D θdd θ ϕ () Έξω, όµως, από τη σφαίρα η συνιστώσα D, λόγω της (), έχει την έκφραση φ α cos θ D = εe = ε = 6π Η (), λόγω της (), γράφεται α + = π S cos θsin d S θ θ () = () Ώστε, στην επιφάνεια της σφαίρας = α, υπάρχει ένα κατανεµηµένο φορτίο S που είναι ίσο αντίθετο προς το σηµειακό φορτίο. Τέλος, για να προσδιορίσουµε την ε- πιφανειακή πυκνότητα ρ S του φορτίου S, από την οριακή συνθήκη D D = ρ (4) τις σχέσεις (9) () προκύπτει n n S ρ α cos θ cos θ α D ( α ) D ( a ) = = + = = + + 6π α 4πα α α S (5)

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή cos θ ρ = S 4πα 4πα (6) Ο πρώτος όρος στο δεύτερο µέλος της (6) αντιπροσωπεύει µια οµοιόµορφη κατανο- µή φορτίου πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας = α, ενώ ο δεύτερος µια κατανοµή τέτοια ώστε να δηµιουργείται ένα οµογενές πεδίο. Ας παρατηρήσουµε, ότι στα ίδια συµπεράσµατα θα µπορούσαµε να καταλήξουµε κατευθείαν από την () εξετάζοντας τη σηµασία του κάθε όρου. Πράγµατι: Ο πρώτος όρος /(4 πεα ) αντιπροσωπεύει το δυναµικό στα εσωτερικά σηµεία της σφαίρας, που οφείλεται σ ένα οµοιόµορφα διανεµηµένο στην επιφάνεια. Ο δεύτερος όρος cos /( ) = α φορτίο θ πε α αντιπροσωπεύει ένα οµοιόµορφο πεδίο, ενώ ο τρίτος όρος /(4 πε) αντιπροσωπεύει το δυναµικό που οφείλεται σε ένα σηµειακό φορτίο τοποθετηµένο στο κέντρο της σφαίρας..4 Να αποδειχτεί ότι σε κοιλότητες αγώγιµων σωµάτων στις οποίες δεν έχουν τοποθετηθεί ηλεκτρικά φορτία, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E είναι παντού µηδενική (ανυπαρξία πεδίου). Έστω το αγώγιµο κέλυφος του σχήµατος στην κοιλότητα του οποίου θεωρούµε ότι δεν υπάρχουν ηλεκτρικά φορτία. Κατά τα γνωστά, το αγώγιµο κέλυφος έχει παντού το ίδιο δυναµικό, έστω φ. Ας θεωρήσουµε αρχικά µια τυχούσα κλειστή επιφάνεια S i στο χώρο της κοιλότητας ας εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Gauss για το διάνυσµα φe, τον όγκο V i που περιορίζεται από την S i

24 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ S S i Σχήµα -6 Vi ( φe) dv = φe ds () Από τη διανυσµατική ταυτότητα (.84), τις σχέσεις (.), (.6) (.), έ- χουµε για την υπο ολοκλήρωση συνάρτηση του πρώτου µέλους της () τελικά ( ) φ φ φ = φ + φ = φ = E = ρ E E E E ε D E E ε D ε () Η (), επειδή στο εσωτερικό της κοιλότητας δεν υπάρχει φορτίο ( ρ = ), γράφεται οπότε η () παίρνει τη µορφή Si E =, () ( φ ) E E ds (4) EdV= φ Vi Si Αν στη συνέχεια θεωρήσουµε ότι η επιφάνεια S i συµπίπτει µε την εσωτερική επιφάνεια S του κελύφους, τότε το δυναµικό φ των σηµείων της S είναι το σταθερό δυναµικό φ του κελύφους, η (4) γράφεται φ EdV= φe ds= φ E ds= D ds, (5) V S S ε S όπου V είναι ο συνολικός όγκος της κοιλότητας. Το ολοκλήρωµα όµως στο δεξιό µέλος της (5), σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, είναι ίσο µε το συνολικό φορτίο της κοιλότητας, δηλαδή είναι ίσο µε µηδέν. Από την (5) έχουµε 4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η (6), επειδή ο όρος (6) EdV= V E είναι πάντοτε µη αρνητικός, ισχύει, προφανώς, µόνο αν E = (7) Από την (7), βλέπουµε ότι στο εσωτερικό της κοιλότητας δεν είναι δυνατό να υφίσταται πεδίο. Επίσης, επειδή, λόγω της (7), ισχύει η D= ε E =, (8) από την D = ρ S, (9) προκύπτει ότι η πυκνότητα του φορτίου είναι παντού µηδενική ρ S στην εσωτερική επιφάνεια του κελύφους ρ = () S Όπως, λοιπόν, φαίνεται από την (), στην εσωτερική επιφάνεια του κελύφους δεν υπάρχουν φορτία. 5

26 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ.5 Τρεις όµοιες µεταλλικές σφαίρες ABΓ,, µε ακτίνα είναι τοποθετηµένες στις τρεις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α, όπου α. Τα ως προς το άπειρο δυνα- µικά των σφαιρών ABΓ,, δίνονται από τις σχέσεις φ = κ + λ + λ φ = λ + κ + λ φ = λ + λ + κ όπου,, είναι τα φορτία των σφαιρών ABΓ,, αντίστοιχα, κλ, σταθερές της διάταξης. Ζητούνται: (α) Να υπολογιστούν οι τιµές των σταθερών κλ., (β) Ας θεωρήσουµε ότι οι τρεις σφαίρες έχουν το ίδιο φορτίο. Στην περίπτωση αυτή γειώνουµε διαδοχικά τις σφαίρες ως εξής: Γειώνουµε πρώτα τη σφαίρα A ενώ οι B Γ παραµένουν στην αρχική τους κατάσταση. Στη συνέχεια, διακόπτουµε τη γείωση της σφαίρας A γειώνουµε τη B. Κατόπιν, διακόπτουµε τη γείωση της σφαίρας B γειώνουµε τη Γ. Τέλος, διακόπτουµε τη γείωση της σφαίρας Γ. σφαίρες. Στην τελική κατάσταση της διάταξης να βρεθούν τα φορτία που έχουν παραµείνει στις α α α Σχήµα -7 6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Από την υπέρθεση των δυναµικών των τριών φορτίων,, επειδή α, έχουµε: φ φ = 4πε + 4πεα + 4πεα, () = 4πεα + 4πε + 4πεα, () φ = 4πεα + 4πεα + 4πε () Από τις (), () () προκύπτουν αµέσως οι τιµές των σταθερών κ λ κ =, λ 4πε = 4πε α (4) Α Α Β Γ α α = = φ φ = φ φ Β α Γ (α) (β ) Όταν γειωθεί η σφαίρα Α, αποκτά µηδενικό δυναµικό ( φ = ), ενώ το φορτίο µπορεί να υπολογιστεί από την φ = κ + λ + λ ή δηλαδή, = κ + λ + λ, ' ' = λ (5) κ 7

28 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Α Α Β Γ α α = = φ φ φ = φ Β α Γ (β) (β ) Όταν διακοπεί η γείωση της A γειωθεί η B, έχουµε αντίστοιχα ή λόγω της (5) φ = λ + κ + λ = λ + κ + λ, λ κλ = (6) κ Α Α Β Γ α α = = φ φ = φ = φ = Β α Γ (γ) (β ) Ανάλογα, υπολογίζεται το φορτίο της σφαίρας Γ, όταν διακόπεί η γείωση της σφαίρας B γειωθεί η Γ. Στην περίπτωση αυτή ή φ = λ + λ + κ = λ + λ + κ 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ, λόγω των (5) (6), λ ( ) = λ κ (7) κ Τέλος, αν διακοπεί η γείωση της σφαίρας Γ η κατάσταση του συστήµατος παραµένει αµετάβλητη. Από τις (5), (6) (7), αν οι σταθερές κ λ αντικατασταθούν από την (4) προκύπτει =, (8) α ( α) =, (9) α ( α) = () α.6 Να δειχτεί ότι, αν στο λεπτό τοίχωµα ενός αγώγιµου φορτισµένου κελύφους ανοίξουµε µικρή οπή, η ένταση του πεδίου στη θέση της οπής είναι ίση µε το µισό της έντασης που είχε το πεδίο στη θέση αυτής πριν το άνοιγµά της οπής. S ε ε Ε ρ S E = n ε E = E / E = E/ Ε/ -Ε/ V ρ S (+) ρ S (α) (β) (γ) Σχήµα -8 9

30 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Έστω S το (µικρό) εµβαδό της οπής που ανοίγεται πάνω στην επιφάνεια S του κελύφους. Αν ρ S ήταν η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στην S πριν το άνοιγµα της οπής (σχήµα -8(β)), τότε η ένταση E πάνω στην S ήταν: ρ S E = n, () ε όπου n είναι το προς τα έξω µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην S (χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα υποθέτουµε ρ S > ). Στη συνέχεια θεωρούµε αποµονωµένο το στοιχείο S φορτισµένο µε επιφανειακή πυκνότητα ρs. Αν εφαρµόσουµε το νόµο του Gauss για ένα στοιχειώδη κύλινδρο V (σχήµα -8(γ)), συµµετρικό ως προς την S, προκύπτει εύκολα ότι η ένταση στις δύο όψεις του S είναι E ρs E = =, () ε µε φορά προς την S. Από την υπέρθεση των καταστάσεων (β) (γ), προκύπτει η κατάσταση (α) αφού τελικά στο στοιχείο S δεν υπάρχει φορτίο ( ρs ρs = ). Συνεπώς, η ένταση του πεδίου στην οπή προκύπτει από την υπέρθεση των εντάσεων των δύο πεδίων (β) (γ). Έτσι στην εσωτερική πλευρά της οπής, αρχικά, (σχήµα -8(β)), έχουµε µηδενική ένταση, µε την υπέρθεση όµως, (σχήµα -8(γ)), της έντασης E = E / έχουµε τελικά ένταση E = E / (προς τα έξω). Στην εξωτερική πλευρά της οπής, αρχικά έχουµε ένταση E προς τα έξω, µε την υ- πέρθεση όµως της E = E / έχουµε τελικά ένταση E / προς τα έξω. ηλαδή, τόσο στην εσωτερική όσο στην εξωτερική όψη της οπής έχουµε την ίδια ένταση E / προς τα έξω.

31 V ΚΕΦΑΛΑΙΟ.7 ίνονται δύο κλειστές ισοδυναµικές επιφάνειες () () µε δυναµικά V V, αντίστοιχα. Οι επιφάνειες είναι τέτοιες ώστε η () να περιβάλλει την (), ενώ V είναι το δυναµικό ενός σηµείο Ρ µεταξύ των επιφανειών. Αν οι επιφάνειες () () αντικατασταθούν από δύο λεπτά αγώγιµα γειωµένα κελύφη, να υπολογιστούν τα φορτία που επάγονται στις δύο επιφάνειες όταν στο σηµείο Ρ προσαχθεί ένα φορτίο. P, V () () V Σχήµα -9 Επειδή η εικόνα ενός πεδίου µένει αµετάβλητη αν µία ή περισσότερες ισοδυναµικές επιφάνειες αντικατασταθούν από αφόρτιστα λεπτά υπεραγώγιµα τοιχώµατα, µπορούµε να κάνουµε εφαρµογή του θεωρήµατος της αντιστοιχίας του Geen, θεωρώντας τις εξής δύο καταστάσεις: η Κατάσταση: εν υπάρχουν φορτία στις επιφάνειες () () ούτε στο σηµείο Ρ. η Κατάσταση: Γειώνουµε τα κελύφη () () (δυναµικό µηδέν), ενώ φορτίο τοποθετείται στο σηµείο Ρ. Τα ζεύγη δυναµικών φορτίων στις δύο καταστάσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

32 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Κατάσταση Κέλυφος () Κέλυφος () Σηµείο P η V, V, V, η,, V, Σύµφωνα, λοιπόν, µε το θεώρηµα του Geen, έχουµε V + V + V =. () Επίσης, επειδή το κέλυφος () περιβάλλει πλήρως το αγώγιµο κέλυφος (), όλες οι δυναµικές γραµµές που ξεκινούν από το σηµείο Ρ καταλήγουν στις επιφάνειες των δύο κελυφών () (). Πρέπει εποµένως (κλειστό σύστηµα), να ισχύει η + + =. () Από τις () (), υπολογίζονται τα επαγώµενα φορτία : V V =, () V V V V =. (4) V V.8 Μεταξύ των οπλισµών σφαιρικού πυκνωτή παρεµβάλλεται διηλεκτρικό µέσο, που η διηλεκτρική του σταθερά σε µια απόσταση από το κέντρο του πυκνωτή δίνεται από την ε() b / a = e ε, όπου ε η διηλεκτρική σταθερά του κενού ab, οι ακτίνες του εσωτερικού του εξωτερικού οπλισµού, αντίστοιχα. Μεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή επιβάλλεται συνεχής τάση V. Ζητούνται: (α) Η χωρητικότητα του σφαιρικού πυκνωτή. (β) Η συνάρτηση δυναµικού φ στα σηµεία του διηλεκτρικού µέσου ( α b). (γ) Η ενέργεια του πυκνωτή.

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ E b a V Σχήµα - (α) Αν είναι το φορτίο του εσωτερικού οπλισµού του πυκνωτή, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου E που λόγω της υφιστάµενης σφαιρικής συµµετρίας έχει ακτινική διεύθυνση εξαρτάται µόνον από την απόσταση, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss δίνεται από την E = E () =, 4 πε( ) µε αντικατάσταση της ε () από την έκφραση της εκφώνησης, από την e a / E =, () 4πεb όπου το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση. Η διαφορά δυναµικού V συναρτήσει του φορτίου, λόγω της (), είναι a V = Ed = e d e e a 4πε b = 4πε b b b / a b/ a ( ) () a Η ζητούµενη χωρητικότητα που προκύπτει από την (), έχει τιµή 4πε b ( ) C = = V a e b/ a e () (β) Το δυναµικό φ, αφού ο εξωτερικός οπλισµός είναι γειωµένος ( φ = ), αν λάβουµε υπόψη την (), δίνεται από τη σχέση a a φ() = φ() φ() b = Ed = e d e e 4πε b = 4πε b b b / a b/ a ( ) (4)

34 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ή, λόγω της (), e φ() = e b/ a / a b/ a e e (γ) Τέλος, η ηλεκτροστατική ενέργεια W του πυκνωτή υπολογίζεται από την V (5) ή, λόγω της (), W = CV (6) W πεb = V b/ a ae ( e) (7).9 Επίπεδος πυκνωτής παραλλήλων πλακών πληρούται µε διηλεκτρικό που η διηλεκτρική του σταθερά σε µια απόσταση x από την αριστερή πλάκα δίνεται από τη σχέση x ε( x) = ε + ε d, όπου x = στην αριστερή πλάκα x = d στη δεξιά. (α) Να βρεθεί η έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E, της διηλεκτρικής µετατόπισης D, της διηλεκτρικής πόλωσης P της συνάρτησης δυναµικού φ συναρτήσει της απόστασης x. (β) Να γίνει ενδεικτική γραφική παράσταση των µεγεθών EDP,, φ συναρτήσει της απόστασης x. (γ) Να υπολογιστεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. (δ) Να βρεθεί η χωρική πυκνότητα ρ P η επιφανειακή πυκνότητα ρ SP των φορτίων πόλωσης για x = x = d. (ε) Να γίνει ενδεικτική γραφική παράσταση της ρ P συναρτήσει της απόστασης x. (στ) Αν ο µεταξύ των πλακών χώρος πληρωθεί από τα διηλεκτρικά του σχήµατος (β), να βρεθεί η συνολική χωρητικότητα του συστήµατος του σχήµατος (β), να συγκριθεί προς την προηγούµενη χωρητικότητα. 4

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ y y h x ε() x = ε + ε d h/ ε I ε I ε = ( ε /) ε II ε = ε ε = (/) ε ε III h/ εii εiii d d/4 d/4 (α) Σχήµα - (α) Έστω ρ S η σταθερή πυκνότητα φορτίου στην αριστερή πλάκα. Αν S είναι το εµβαδό το ολικό φορτίο της πλάκας, τότε η διηλεκτρική µετατόπιση του οµογενούς πεδίου του πυκνωτή είναι D= x = ρs x () S Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση έχει, λόγω της (), την έκφραση ρs E = D = x () ε() x x ε + ε d Από τις () () προκύπτει η διηλεκτρική πόλωση x x P = D ε E = ε ε E = ρ ε x () S d d + ε x Αν θεωρήσουµε ότι ο δεξιός οπλισµός του πυκνωτή είναι γειωµένος, η συνάρτηση δυναµικού φ (x), λόγω της (), είναι είναι x d x ε d ρ S dx dρ + S () x Edx ln d φ = = x ε x = (4) ε ε ε + + ε x d Από την (4), βλέπουµε ότι η διαφορά δυναµικού V µεταξύ των πλακών του πυκνωτή x (β) 5

36 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ V dρs = φ() φ( d) = ln( + ε ) (5) εε (β) Οι ενδεικτικές γραφικές παραστάσεις των EDP,, φ φαίνονται στο παρακάτω διάγραµµα (σχήµα -). (γ) Η χωρητικότητα του πυκνωτή υπολογίζεται εύκολα από την (5) C ρss S = = = εε V dρs ln( + ε ) d εε ln( + ε ) (6) (δ) Η χωρική πυκνότητα ρp των φορτίων πόλωσης δίνεται από την ρ P = P (7) Η (7), λόγω της (), δίνει D = ρ S φ =V φ P O E x = d x ρ P Σχήµα - d x d ρp = ρsε ρsε dx = d + ε x ( d + ε x) (8) Για x = x = d έχουµε, αντίστοιχα, ρε S ρ P() = (9) d 6

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ρε S ρp () d = d( + ε ) () συνθήκη Η επιφανειακή πυκνότητα ρ SP των φορτίων πόλωσης υπολογίζεται από την οριακή P P = ρ () n n SP Από τις () () προκύπτει, για x = x = d, ρ SP ρ SP() = () () d = ρ S ε + ε () (ε) Η γραφική παράσταση της ρ P συναρτήσει της απόστασης x φαίνεται στο προηγούµενο διάγραµµα. (στ) Η χωρητικότητα του πυκνωτή του σχήµατος (β), υπολογίζεται εύκολα από τα ι- σοδύναµα κυκλώµατα του σχήµατος -. C C C oλ. C C C, Σχήµα - όπου C C C S / S = ε = ε ε, (4) d d I S / S = ε = ε ε, (5) d/4 d II S / S = ε = ε ε (6) d/4 d III C, είναι η ισοδύναµη χωρητικότητα των εν σειρά πυκνωτών C C : 7

38 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ C CC S = = εε C C d, + (7) C ολ είναι η ολική ισοδύναµη χωρητικότητα S Cολ = C + C, = εε d (8) Τέλος, από τις (6) (8) παίρνουµε C ολ = ln( + ε ) C (9) Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι για ε > e είναι C > C ενώ για ε < e είναι Cολ < C. ολ. Τρείς πυκνωτές µε χωρητικότητες C, C C φορτίζονται από συστοιχίες τάσεων VV, V, αντίστοιχα. Μετά την αποµάκρυνση των πηγών συνδέουµε τους πυκνωτές ως εξής: ο θετικός οπλισµός του C συνδέεται µε τον αρνητικό του C, ο θετικός του C µε τον αρνητικό του C ο θετικός του C µε τον αρνητικό του C. Μετά την αποκατάσταση της ισορροπίας ζητούνται να υπολογιστούν: (α) Τα νέα φορτία των πυκνωτών (β) Οι νέες διαφορές δυναµικού των πυκνωτών (γ) Η ενέργεια των σπινθήρων που παράγονται κατά την σύνδεση των πυκνωτών. (δ) Να γίνει αριθµητική εφαρµογή για C = (µf), C = (µf), C = 5 (µf), V = (V), V = (V) V = 8 (V). (α) Τα αρχικά φορτία,, των τριών πυκνωτών είναι, αντίστοιχα = CV, () Αν,, = CV, () = CV () είναι τα νέα φορτία µετά τη σύνδεση των πυκνωτών, από τη διατήρηση του φορτίου στα αγώγιµα τµήµατα (ANB ) (B ΡΓ ), έχουµε 8

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ N C - + A A Β - Β + C M C + - Γ Γ P Σχήµα -4 = (4) = (5) Η τρίτη σχέση: =, που εκφράζει τη διατήρηση του φορτίου στο τµήµα ( ΓΜΑ ), δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των,,, γιατί προκύπτει από τις (4) (5) µε πρόσθεση κατά µέλη (γραµµικά εξαρτηµένη). Αν όµως κάνουµε χρήση του νόµου του αστρόβιλου του ηλεκτροστατικού πεδίου, για τον κλειστό δρόµο ΝΜΡΝ, παίρνουµε ( φ φ ) + ( φ φ ) + ( φ φ ) = V + V + V =, (6) N M M P P N όπου φ N είναι το κοινό δυναµικό του θετικού οπλισµού του C του αρνητικού του C, φ M του αρνητικού του C του θετικού του C φ Ρ του αρνητικού του C του θετικού του C. Η (6), επειδή τα φορτία,, συνδέονται µε τις τάσεις VVV,,, µε τις σχέσεις = CV, (7) γράφεται = CV (8) = CV, (9) 9

40 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ + + = () C C C Από την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων (4), (5) (), αφού λάβουµε υπόψη τις (), () (), υπολογίζονται τα φορτία, όπου C = C C V V V + = C C C, () C = C + = C V V V C C C () C = C C V V V + = C C C, () = + + (4) C C C C (β) Από τις (), () (), λόγω των (7), (8) (9), προκύπτουν αµέσως οι εκφράσεις των νέων τάσεων V, V, V C C V = = V V V C C C, (5) C C V = = V V V C C C (6) C C V = = V V V C C C (7) (γ) Η αρχική πριν τη σύνδεση ενέργεια του συστήµατος των τριών πυκνωτών είναι W = ( CV + CV + CV ) (8) Μετά τη σύνδεση, η ενέργεια του συστήµατος είναι 4

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ W = ( CV + CV + CV ) (9) Η ενέργεια που χάνεται µε µορφή σπινθήρων κατά τη σύνδεση των τριών πυκνωτών είναι Wσπ = W W = C( V V ) + C( V V ) + C( V V ) () Με αντικατάσταση των V, V, V από τις (5), (6), (7) στην () µετά την εκτέλεση των σχετικών πράξεων, καταλήγουµε στην έκφραση ( V + V + V) Wσπ = C( V + V + V) = + + C C C () δ) Από τις (), () (), (5), (6), (7) (), για τα αριθµητικά δεδοµένα της εκφώνησης έχουµε: = 47, 97 (µc), =,9 (µc), =,9 (µc), V = 7,5484 (V), V = 7, 968 (V), V =, 58 (V), W σπ = 77, 49 (mj).. Σε ένα σύστηµα τριών αγώγιµων σωµάτων,, το αγώγιµο σώµα βρίσκεται στο εσωτερικό της κοιλότητας του κοίλου αγωγού. Να δειχτεί ότι (α) Οι συντελεστές επαγωγής c, c, c, c ο συντελεστής χωρητικότητας c, των τριών αγωγών του συστήµατος ικανοποιούν τις σχέσεις c = c = c = c = c (β) Οι συντελεστές δυναµικού των τριών αγωγών του συστήµατος ικανοποιούν τις p = p = p p = p = p = p. 4

42 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Σχήµα -5 (α) Τα φορτία,, τα δυναµικά φ, φ, φ των τριών αγωγών συνδέονται, ως γνωστόν, µε τις σχέσεις = c φ + c φ + c φ, () = c φ + c φ + c φ, () = c φ + c φ + c φ, () όπου c, c, c είναι οι συντελεστές χωρητικότητας c, c, c, c, c, c οι συντελεστές επαγωγής. Οι συντελεστές c ij εξαρτώνται µόνο από τη γεωµετρία του συστήµατος τη διηλεκτρικότητα του µέσου, παραµένουν δε αµετάβλητοι στις µεταβολές των µεγεθών του πεδίου. Ο πίνακας των συντελεστών c ij είναι συµµετρικός, ισχύουν δηλαδή οι c = c, (4) c c = c (5) = c (6) Ας θεωρήσουµε µια κατάσταση όπου ο αγωγός φορτίζεται µε ένα φορτίο, ο αγωγός γειώνεται ( φ = ), ενώ ο αγωγός είναι αφόρτιστος ( = ). Επειδή =, δεν υπάρχει πεδίο στην κοιλότητα του αγωγού, συνεπώς ισχύει η φ φ = = (7) 4

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από την () την (7), προκύπτει ή, επειδή φ, cφ c = = (8) c = = (9) Αν στη συνέχεια θεωρήσουµε την κατάσταση όπου ο αγωγός γειώνεται ( φ = ), ο αγωγός φορτίζεται µε φορτίο ενώ ο αγωγός παραµένει αφόρτιστος ( = ), από την () έχουµε = c + c φ + c φ = () Επειδή, όµως, πάλιν =, τα δυναµικά φ φ είναι ίσα ( φ = φ ), οπότε από την () προκύπτει δηλαδή, ( c + c ) φ =, () c = c = c () (β) Τα δυναµικά φ, φ, φ δίνονται από τις σχέσεις φ = p + p + p, () φ = p + p + p, (4) φ = p + p + p, (5) όπου p ij ( i =,,, j =,,) είναι οι συντελεστές δυναµικού. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό µπορεί να προκύψει, αν οι συντελεστές p ij εκφραστούν συναρτήσει των c ij από τα συστήµατα των εξισώσεων (), (), (), (), (4), (5), αφού χρησιµοποιηθούν τα συµπεράσµατα της προηγούµενης ερώτησης. Μπορούµε όµως να αποδείξουµε τις ζητούµενες σχέσεις ως εξής: Ας θεωρήσουµε αρχικά µια κατάσταση όπου οι αγωγοί είναι αφόρτιστοι ( = = ), ενώ ο αγωγός έχει φορτίο. Και πάλι, επειδή =, είναι φ = φ, οπότε από τις (4) (5) έχουµε φ = p, (6) φ = p (7) 4

44 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ άρα p = p = p (8) Τέλος, αν θεωρήσουµε την κατάσταση όπου οι αγωγοί είναι αφόρτιστοι ( = =, εποµένως φ = φ ) ενώ ο αγωγός έχει φορτίο, από τις (4) (5) προκύπτουν οι άρα φ = p, (9) φ = p, () p = p = p = p (). Οι συντελεστές δυναµικού ενός συστήµατος τριών αγώγιµων σωµάτων, ικανοποιούν τις σχέσεις p + p = p + p, () p = p p, () p = p p () Αν είναι το συνολικό φορτίο των τριών αγωγών, να υπολογιστεί το φορτίο του κάθε αγωγού όταν οι τρείς αγωγοί τεθούν υπό την ίδια τάση V. Αν φ, φ, φ,, είναι τα δυναµικά τα φορτία των τριών αγωγών, αντίστοιχα, ισχύουν οι σχέσεις φ = V = p + p + p, (4) φ = V = p + p + p, (5) φ = V = p + p + p (6) = + + (7) 44

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ως γνωστό, οι συντελεστές p ij του συστήµατος των εξισώσεων (4), (5) (6) ικανοποιούν τη συνθήκη (συµµετρικός πίνακας) p = p (, i j =,,) (8) ij Από την κατά µέλη αφαίρεση των (4) (6) προκύπτει η ή, λόγω των () (), η δηλαδή, δηλαδή, ji ( p p ) + ( p p ) + ( p p ) =, ( p p ) + ( p p ) = (9) = () Επίσης, µε κατά µέλη αφαίρεση των (4) (5) έχουµε ( p p ) + ( p p ) + ( p p ) = () Η (), λόγω της (), γράφεται ( p + p p p ) + ( p p ) = () Η (), αν λάβουµε υπόψη τις () (), δίνει ( p p ) + ( p p ) =, () = (4) Τέλος, από τις (7), () (4) προκύπτει ότι = = = (5) 45

46 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ. Ηλεκτρικό φορτίο είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο σ ένα σφαιρικό όγκο ακτίνας R διηλεκτρικής σταθεράς ε = ε ε. Όλος ο υπόλοιπος χώρος είναι κενός ύλης φορτίου. Να βρεθεί το φορτίο εκείνο που όταν τοποθετηθεί σε µια αγώγιµη σφαίρα βρισκόµενη µέσα στον άπειρο κενό χώρο της οποίας ζητείται η ακτίνα, θα έχει ως αποτέλεσµα: (α) Το ως προς το άπειρο δυναµικό της αγώγιµης σφαίρας να είναι ίσο µε το ως προς το άπειρο δυναµικό του κέντρου του δοθέντος σφαιρικού χώρου. (β) Η ενέργεια των δύο πεδίων να είναι η ίδια. ε ε Ο R Σχήµα -6 Ας υπολογίσουµε αρχικά την ένταση E του πεδίου του διανεµηµένου στον σφαιρικό όγκο φορτίου. Η σταθερή χωρική πυκνότητα ρ είναι ρ = () 4 πr Με εφαρµογή του νόµου του Gauss, πάνω στην επιφάνεια µιας οµόκεντρης σφαίρας που έχει ακτίνα < R, έχουµε εe ()4 π = ρ π, () i 4 όπου Ei() είναι η ένταση (που λόγω της σφαιρικής συµµετρίας έχει ακτινική διεύθυνση εξαρτάται µόνον από την ακτινική απόσταση ) του πεδίου στο εσωτερικό της σφαίρας. Από τις () () προκύπτει η ακόλουθη έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ρ Ei() = =, () ε 4πεR 46

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση. Στο εξωτερικό της σφαίρας ( > R) η ένταση E του πεδίου, πάλι µε τη βοήθεια του νόµου του Gauss, προκύπτει ότι είναι E () = (4) 4πε Το ως προς το άπειρο δυναµικό ενός σηµείου της σφαίρας που απέχει από το κέντρο Ο απόσταση, λόγω των () (4), είναι R 4πεR R 4πε R φ() = Ed = E d + E d = d + d (5) i R Η (5), µετά την εκτέλεση των ολοκληρώσεων, δίνει φ() = + 8πR ε εε εε R (6) Από την (6), για =, προκύπτει το δυναµικό φ I του κέντρου O της σφαίρας φ I = + 8πεR ε (7) Η ενέργεια W του πεδίου που δηµιουργεί το φορτίο είναι I WI = εe dv = i V ε ε E dv + ε E dv Vi, (8) V όπου V είναι όλος ο χώρος στον οποίο εκτείνεται το πεδίο, V i ο όγκος της σφαίρας V ο εξωτερικός της σφαίρας χώρος. Η (8), µε αντικατάσταση των E i E από τις () (4), αντίστοιχα, αφού λάβουµε υπόψη τη σφαιρική συµµετρία, γράφεται δηλαδή, R I εε 4π = ε 4π + 4πε εr 4πε R W d d = + 4πε ε R 8πε R, W I = 5 + 4πεR ε (9) 47

48 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Ο R Σχήµα -7 Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε επίσης να φθάσουµε από τη σχέση WI = φρdv = V φρ dv + φ dv Vi () V ρ = φ() dv () Vi Με αντικατάσταση της φ (), από την (6), στην () προκύπτει η R I = 4 8 π + πr 8πR ε εε εεr W d, που µετά την εκτέλεση της ολοκλήρωσης καταλήγει πάλι στην (9). Στη συνέχεια θεωρούµε σφαιρικό αγωγό µε φορτίο ακτίνα R, που βρίσκεται µόνος µέσα στον άπειρο κενό χώρο. Το φορτίο διανέµεται οµοιόµορφα πάνω στην ε- ξωτερική επιφάνεια του αγωγού, που έχει σταθερό δυναµικό φ II = 4πε R () Η ενέργεια W του φορτισµένου σφαιρικού αγωγού είναι II W II = φii = 8πε R () Από τις (7), (9), () (), επειδή πρέπει να ισχύουν οι: φi = φii WI = WII, προκύπτουν οι σχέσεις 8πε R + = ε 4πε R (4) 48

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 4πε R + = ε 8πε R (5) Τέλος, από το σύστηµα των εξισώσεων (4) (5) υπολογίζονται οι ζητούµενες τι- µές R + 5ε = 5+ ε (6) 4 ε( + 5 ε) R = R. 5 (+ ε ) (7).4 Αγώγιµη σφαίρα ακτίνας a περιβάλλεται από δύο συγκεντρικά πολύ λεπτά αγώγιµα κελύφη ακτίνων b c ( a < b < c). Το δυναµικό του κελύφους ακτίνας b είναι V, ενώ η σφαίρα το κέλυφος ακτίνας c γειώνονται. Να βρεθεί η ενέργεια του συστήµατος. a b V c Σχήµα -8 Αφού το εξωτερικό κέλυφος η σφαίρα έχουν γειωθεί, το σύστηµα µας είναι ισοδύναµο µε µια διάταξη δύο πυκνωτών C ab C bc συνδεδεµένων παράλληλα υπό τάση V, όπου C ab η χωρητικότητα µεταξύ της σφαίρας του ενδιάµεσου κελύφους C bc η χωρητικότητα µεταξύ του ενδιάµεσου του εξωτερικού κελύφους. Συνεπώς, η ολική χωρητικότητα C του συστήµατος είναι C = Cab + Cbc () Οι χωρητικότητες, όµως, C ab C bc, δίνονται από τις σχέσεις 49

50 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ C 4πε ab b a ab = () 4πεbc Cbc = c b () Η (), λόγω των () (), γράφεται a c = πε + C 4 b b a c b Τελικά, η ζητούµενη ενέργεια W του συστήµατος είναι a c = = + W CV πεbv b a c b (4) (5).5 ύο όµοιοι σφαιρικοί πυκνωτές βρίσκονται µόνοι µέσα στον άπειρο κενό χώρο. Η εξωτερική ακτίνα του εσωτερικού οπλισµού είναι α, η δε εσωτερική εξωτερική ακτίνα του εξωτερικού οπλισµού είναι β γ αντίστοιχα ( α < β < γ). Η απόσταση των δύο πυκνωτών θεωρείται πάρα πολύ µεγάλη ως προς τις διαστάσεις αβ, γ. Αρχικά οι πυκνωτές είναι αφόρτιστοι, σ όλο δε το χώρο δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο. Στη συνέχεια φορτίο τοποθετείται στον εσωτερικό οπλισµό του πρώτου πυκνωτή φορτίο στον εσωτερικό επίσης οπλισµό του δεύτερου πυκνωτή αποκαθίσταται, έτσι, η ηλεκτροστατική κατάσταση Ι. Μετά την αποκατάσταση της ηλεκτροστατικής κατάστασης Ι, οι εξωτερικές επιφάνειες των δύο εξωτερικών οπλισµών συνδέονται προς στιγµή µεταξύ τους µε αγώγιµο σύρµα έτσι αποκαθίσταται η ηλεκτροστατική κατάσταση ΙΙ. Ζητούνται: (α) Τα ως προς το άπειρο δυναµικά των δύο εξωτερικών οπλισµών κατά τις καταστάσεις Ι ΙΙ. (β) Τα ηλεκτρικά φορτία όλων των οπλισµών (γ) Να δειχτεί ότι η πιο πάνω αγώγιµη σύνδεση µετέβαλε την ενέργεια του πεδίου κατά ( ) W = 6πε γ 5

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ α β α β γ γ () α, β, γ () Σχήµα -9 (α) Στην εσωτερική επιφάνεια του εξωτερικού οπλισµού του πρώτου του δεύτερου πυκνωτή αναπτύσσονται εξ επαγωγής τα φορτία, αντίστοιχα, οµοιό- µορφα διανεµηµένα. Στην κατάσταση Ι, επειδή οι εξωτερικοί οπλισµοί είναι αρχικά αφόρτιστοι, στην εξωτερική επιφάνειά τους εµφανίζονται φορτία, αντίστοιχα, που λόγω της µεγάλης απόστασης, µπορούν επίσης να θεωρηθούν οµοιόµορφα διανεµηµένα. Έτσι, αν θεωρήσουµε τον πρώτο πυκνωτή, το δυναµικό στην εξωτερική του επιφάνεια, προέρχεται ουσιαστικά µόνο από τα δύο εξωτερικά φορτία, αφού τα ίσα αντίθετα φορτία έχουν µηδενική συµβολή στα εκτός της κοιλότητας σηµεία του πεδίου. Αν, λοιπόν, φ είναι το δυναµικό του εξωτερικού οπλισµού του πρώτου πυκνωτή στην κατάσταση Ι, από την υπέρθεση των δυναµικών των δύο φορτίων ε- πειδή γ, έχουµε φ = 4πε + γ () Ανάλογα, το δυναµικό φ, του εξωτερικού οπλισµού του δεύτερου πυκνωτή είναι φ = 4πε + γ () Στην κατάσταση ΙΙ, η αγώγιµη σύνδεση των δύο εξωτερικών οπλισµών, έχει ως επακόλουθο την εξίσωση των δύο δυναµικών. Έτσι, αν φ, φ είναι τα νέα δυναµικά, τα νέα φορτία των δύο οπλισµών, έχουµε φ = φ () 5

52 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ + = + (4) αφού το συνολικό φορτίο των δύο οπλισµών παραµένει αµετάβλητο. Επειδή, όµως, οι δύο πυκνωτές είναι όµοιοι, είναι, λόγω της (4), Από τις (), (), () (6), προκύπτει = (5) = = ( + )/ (6) φ + = φ = 8πε + γ (7) (β) Όπως προέκυψε από την προηγούµενη ανάλυση, τα φορτία των οπλισµών στις δύο καταστάσεις έχουν τις τιµές του παρακάτω πίνακα Ηλεκτροστατική κατάσταση Φορτία στους οπλισµούς του πρώτου πυκνωτή Φορτία στους οπλισµούς του δεύτερου πυκνωτή = a = β = γ = a = β = γ Ι ΙΙ ( + )/ + ( )/ (γ) Από τη σχέση n W = φ, (8) i= που δίνει την ενέργεια ενός συστήµατος n αγώγιµων σωµάτων µε φορτία,,..., n αντίστοιχα δυναµικά φ, φ,..., φ n, επειδή η ενέργεια που οφείλεται στα εσωτερικά φορτία των δύο πυκνωτών είναι η ίδια στις δύο καταστάσεις Ι ΙΙ, έχουµε i i W = W W = φ + φ φ φ (9) Με την αντικατάσταση των φ, φ, φ, φ,, από τις (), (), (7) (6) στην (9) έχουµε 5

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( + ) W = 8πε γ 8πε γ 6πε γ ( + ) ( + ) = + + 8πε γ γ γ προκύπτει, δηλαδή, η ζητούµενη σχέση W = ( ) 6πε γ, ().6 ίνεται ο επίπεδος πυκνωτής του σχήµατος που οι πλάκες του διαστάσεων a b απέχουν απόσταση d. Στο µέσο ακριβώς των πλακών εισάγεται µια διηλεκτρική πλάκα διαστάσεων a b πάχους h. Η διηλεκτρική σταθερά της πλάκας είναι ε = ε ε. Να υπολογιστεί η δύναµη F που ασκείται στη διηλεκτρική πλάκα, όταν στους οπλισµούς του πυκνωτή επιβληθεί µια σταθερή διαφορά δυναµικού V. b d t h ε = ε ε F ε t x a V + x Σχήµα - Η ηλεκτροστατική ενέργεια του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση 5

54 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ t () d h () F t () (4) x x a Σχήµα - We () = C xv, () όπου Cx () είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή, όταν µήκος x του διηλεκτρικού εισχωρεί στο πεδίο του πυκνωτή. Πάνω στις διαχωριστικές επιφάνειες των περιοχών (), () (), (), οι ασκούµενες δυνάµεις ως ίσες αντίθετες αναιρούνται. Όταν η ακούµενη δύναµη F στη διαχωριστική επιφάνεια των περιοχών () (4), µετακινήσει το διηλεκτρικό κατά το απειροστό διάστηµα dx, το µηχανικό έργο dwe = Fdx, () πρέπει να είναι ίσο µε τη µεταβολή dw e της ενέργειας του πεδίου του πυκνωτή. Από την (), όµως, επειδή η τάση V είναι σταθερή, έχουµε dwe Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των () (), προκύπτει ότι dc() x F = V (4) dx = V dc() x () Για τον υπολογισµό της χωρητικότητας Cx (), σχηµατίζουµε το ισοδύναµο κύκλωµα του σχήµατος, όπου C xb b = C = ε = ε t d h, (5) xb C = ε, (6) h 54

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ C V C C 4 C Σχήµα - C ( a x) b = ε (7) d 4 Έτσι, αν C είναι η ισοδύναµη χωρητικότητα των εν σειρά πυκνωτών C, C, C από την παράλληλη σύνδεση των C 4 C, έχουµε ή Cx () C C C ( a x) b, d d h h C C C εb ε b = 4 + = 4 + = ε + Cx () = εb + h + ε ( d h ) d ε x a x. (8) Με παραγώγιση της (8) ως προς x αντικατάσταση στην (4) προκύπτει η ζητούµενη δύναµη F που ασκείται πάνω στη διηλεκτρική πλάκα εbv ε εv bh ε F = = h ε( d h) d + d h + ε( d h) (9) 55

56 ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ, ΑΓΩΓΟΙ, ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ.7 ύο οµοαξονικές αγώγιµες κυλινδρικές επιφάνειες () () µε ακτίνες α- ντίστοιχα, εµβαπτίζονται κατακόρυφα µέσα σ ένα διηλεκτρικό υγρό. Όταν στις δύο επιφάνειες επιβληθεί συνεχής τάση V, παρατηρείται ανύψωση του υγρού ανάµεσα στις επιφάνειες, µέχρις ύψος x. Αν d είναι η πυκνότητα του υγρού ζητείται να υπολογιστεί η διηλεκτρική του σταθερά. x C () C ε () V F F H ε x + V - Σχήµα - Το σύστηµα των δύο κυλινδρικών επιφανειών συνιστά έναν κυλινδρικό πυκνωτή που ο µεταξύ των οπλισµών του χώρος πληρούται κατά ένα µέρος (µήκος x ) από το διηλεκτρικό υγρό κατά το υπόλοιπο από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Έτσι, αν ε είναι η άγνωστη διηλεκτρική σταθερά του υγρού, το σύστηµα είναι ισοδύναµο µε δύο πυκνωτές C C που συνδέονται παράλληλα, όπου 56

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ C πεx = () ln( / ) C πε ( H x) = () ln( / ) Η ολική χωρητικότητα C της διάταξης είναι C C C π = + = x + H x () [ ε ε ( )] ln( / ) Στο διηλεκτρικό υγρό, κατά τα γνωστά, ενεργεί δύναµη F, που δίνεται από τη σχέση C F = V (4) x Με αντικατάσταση της () στην (4) έχουµε πε ( ε) Το βάρος της στήλης του υγρού ύψους x, είναι όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Για την ισορροπία πρέπει να ισχύει η ή, λόγω των (5) (6), η F = ln( / ) V x (5) G = dgxπ( ) x (6) πε ( ε) F+ G = (7) ln( / ) V dgx π = ( ) (8) Από την (8) προκύπτει η ζητούµενη τιµή της διηλεκτρικής σταθεράς ε του υγρού ε = ε + dxg( )ln (9) V Ας σηµειωθεί ότι η εξίσωση (5) που δίνει τη δύναµη που ενεργεί στο διηλεκτρικό υ- γρό µπορεί να προκύψει από την εξίσωση (.5). Προς το σκοπό αυτό, ας υπολογίσου- µε αρχικά την ηλεκτρική ένταση E () σε µια ακτινική απόσταση. Αν είναι το ανά µονάδας µήκους θετικό φορτίο του εσωτερικού οπλισµού, τότε, από το νόµο του Gauss θα έχουµε 57