ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

Transcript

1 1 ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΑΠΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Θα προσπαθήσω να παροσιάσω το σχηματισμό στάσιμο κύματος από ανάκλαση σε χορδή πο το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο,προκειμένο να δείξω ότι η επιλογή της θέσης =0 και της χρονικής στιγμής t=0 καθορίζει τη μορφή της εξίσωσης το στάσιμο κύματος, αλλά δεν αλλάζει τα σμπεράσματά μας για το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων της χορδής καθώς και τις θέσεις σχηματισμού δεσμών και κοιλιών. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρούμε χορδή μήκος με το άκρο της ακλόνητα στερεωμένο.με κατάλληλο μηχανισμό θέτομε σε απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ το ελεύθερο άκρο Ο της χορδής και ατό γίνεται πηγή παραχωγής ενός εγκάρσιο αρμονικού κύματος πο διαδίδεται στη χορδή με ταχύτητα και έχει μήκος κύματος λ.το αρμονικό κύμα ανακλάται στο ακίνητο άκρο της χορδής χωρίς απώλειες ενέργειας και σχηματίζεται στάσιμο κύμα.όταν το στάσιμο κύμα φθάνει στη θέση Ο καταργείται ο μηχανισμός διέγερσης. Να βρεθεί η εξίσωση το στάσιμο κύματος. Θα εξετάσομε τέσσερεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις χωρίς βλάβη της γενικότητας. Α.Θεωρούμε ότι =0 στη θέση Ο( (Ο) =0) και t=0 τη χρονική στιγμή πο αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Ο με εξίσωση y=αημωt και θετική φορά ( ) προς τα δεξιά.το τχαίο σημείο Σ ( Σ =) αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από χρονικό διάστημα t 1 = με εξίσωση y=αημω(t-t 1) και η εξίσωση το αρμονικού κύματος πο (Σ) () (0) =0 = = παράγεται και διαδίδεται προς τα δεξιά (προσπίπτον κύμα) είναι y 1Σ =Αημπ( t - ). (1α) Το ακίνητο άκρο της χορδής ( =),όταν φθάσει το προς τα δεξιά διαδιδόμενο κύμα θα αρχίσει να ταλαντώνεται με εξίσωση y 1 =Aημπ( t - ) πο προκύπτει από την (1α).Επειδή το σημείο παραμένει διαρκώς ακίνητο,πρέπει y ΟΛ =0.Δηλαδή για τις εξισώσεις ταλάντωσης το σημείο, y 1 εξ αιτίας το προσπίπτοντος κύματος και y εξ αιτίας το ακακλώμενο κύματος πο θα δημιοργηθεί στη θέση από την Αρχή της Επαλληλίας προκύπτει: y ΟΛ = y 1 y =0 y =- y 1 y =- Aημπ( t - ) y =Αημ t π( - )π.ατή είναι η εξίσωση ταλάντωσης το άκρο της χορδής πο αποτελεί την πηγή παραγωγής το ανακλώμενο κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά.το τχαίο σημείο Σ( Σ =) αρχίζει να ταλαντώνεται εξ αιτίας το κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά(ανακλώμενο κύμα) μετά από χρονικό διάστημα t = - με εξίσωση y Σ =Αημ t-t π( - )π

2 y Σ =Αημ t - π( - - )π y Σ =Αημ t Τ π( - )π. (α) λ Παρατηρούμε ότι η ανάκλαση το προσπίπτοντος κύματος προκαλεί μεταβολή στη φάση το ανακλώμενο κύματος κατά π. Από την Αρχή της Επαλληλίας η απομάκρνση το σημείο Σ όταν σμβάλλον τα δύο (1α) κύματα είναι: y ΟΛΣ = y 1Σ y Σ y ΟΛΣ = Αημπ( t - (α) )Αημ t π( - )π λ t t t t π( )-π π( - - )π y ΟΛΣ = Ασν λ ημ λ y ΟΛΣ = Ασν π π( - )- λ λ ημ t π π( - ) y ΟΛΣ=Αημπ( - λ λ )σνπ( t - ) Η εξίσωση (3α) είναι η εξίσωση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης με πλάτος Α =Αημπ( - ) (4) και περίοδο Τ ίδια με ατήν των δύο κμάτων πο λ λ (3α) σμβάλλον,δηλαδή η (3α) είναι εξίσωση στάσιμο κύματος.το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων διακμαίνεται μεταξύ των τιμών 0 Α Α.Στη θέση =(σημείο ) η (4) δίνει Α =0, δηλαδή δεσμό.στη θέση =0 (σημείο Ο) η (4) δίνει Α =Αημπ λ και δείχνει ότι το πλάτος ταλάντωσης το ελεύθερο άκρο Ο εξαρτάται από το μήκος της χορδής και το μήκος κύματος των αρμονικών κμάτων.σημειώνεται ότι η εξίσωση (3α) ισχύει για όλο το μήκος της χορδής για t =χρονική στιγμή πο το ανακλώμενο κύμα φθάνει στο άκρο Ο.Ενδεικτικά πολογίζομε τη φάση το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t= : φ (Ο)=π λ π. Β. Θεωρούμε ότι =0 στη θέση Ο( (Ο) =0) και t=0 τη χρονική στιγμή πο αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο ( () =) με εξίσωση y 1 =Αημωt και θετική φορά ( ) προς τα δεξιά.το τχαίο σημείο Σ (Σ=) έχει ήδη αρχίσει να ταλαντώνεται πριν από χρονικό διάστημα t 1 = - με εξίσωση y=αημω(tt 1 ) και η εξίσωση το αρμονικού κύματος πο παράγεται και διαδίδεται προς τα δεξιά (προσπίπτον κύμα) είναι y 1Σ =Αημπ( t - =0 (Σ) = () = (0) ). (1β) λ Επειδή το σημείο παραμένει διαρκώς ακίνητο,πρέπει y ΟΛ =0.Δηλαδή για τις εξισώσεις ταλάντωσης το σημείο, y 1 εξ αιτίας το προσπίπτοντος κύματος και y εξ αιτίας το ακακλώμενο κύματος πο θα δημιοργηθεί στη θέση από την Αρχή της Επαλληλίας

3 3 προκύπτει: y ΟΛ = y 1 y =0 y =- y 1 y =- Aημωt y =Αημ(ωtπ) y =Αημ(π t Τ π). Ατή είναι η εξίσωση ταλάντωσης το άκρο της χορδής πο αποτελεί την πηγή παραγωγής το ανακλώμενο κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά.το τχαίο σημείο Σ( Σ =) αρχίζει να ταλαντώνεται εξ αιτίας το κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά(ανακλώμενο κύμα) μετά από χρονικό διάστημα t = - με εξίσωση y Σ =Αημ t-t π( )π Τ y Σ=Αημ t - π ( - )π Τ y Σ =Αημ t Τ π( - )π (β) λ Από την Αρχή της Επαλληλίας η απομάκρνση το σημείο Σ όταν σμβάλλον τα δύο (1β) κύματα είναι: y ΟΛΣ = y 1Σ y Σ y ΟΛΣ = Αημπ( t - (β) λ ) Αημ t π( - )π λ t t t t π( )-π π( )π y ΟΛΣ =Ασν λ λ ημ λ λ y ΟΛΣ =Ασν π π( - )- λ λ ημ( t π π Τ ) y ΟΛΣ=Αημπ( - λ λ )σν (π t Τ ) (3β) Στη θέση = (σημείο ) η σχέση Α =Αημπ( - ) λ λ δίνει Α =0, δηλαδή δεσμό.στη θέση =0 (σημείο Ο) η (4) δίνει Α =Αημπ λ και δείχνει ότι το πλάτος ταλάντωσης το ελεύθερο άκρο Ο εξαρτάται από το μήκος της χορδής και το μήκος κύματος των αρμονικών κμάτων.σημειώνεται ότι η εξίσωση (3β) ισχύει για όλο το μήκος της χορδής για t =χρονική στιγμή πο το ανακλώμενο κύμα φθάνει στο άκρο Ο.Ενδεικτικά πολογίζομε τη φάση το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t= : φ (Ο)=π λ π.. Θεωρούμε ότι =0 στη θέση ( () =0) και t=0 τη χρονική στιγμή πο αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Ο( (Ο) =-) με εξίσωση y 1Ο =Αημωt και θετική φορά ( ) προς τα δεξιά.το τχαίο σημείο Σ (Σ=) αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από χρονικό διάστημα t 1 = - με εξίσωση y=αημω(t-t 1 ) και η () =0 (0) =- (Σ) =< 0 εξίσωση το αρμονικού κύματος πο παράγεται t - και διαδίδεται προς τα δεξιά (προσπίπτον κύμα) είναι y 1Σ =Αημπ( - Τ Τ ) < 0 < 0 y1σ=αημπ( t - λ ) (1γ)

4 4 Το ακίνητο άκρο της χορδής ( () =0) όταν φθάσει το προς τα δεξιά διαδιδόμενο κύμα θα αρχίσει να ταλαντώνεται με εξίσωση y 1 =Αημπ( t Τ )πο προκύπτει από την(1γ). Επειδή το λ σημείο παραμένει διαρκώς ακίνητο,πρέπει y ΟΛ =0.Δηλαδή για τις εξισώσεις ταλάντωσης το σημείο, y 1 εξ αιτίας το προσπίπτοντος κύματος και y εξ αιτίας το ακακλώμενο κύματος πο θα δημιοργηθεί στη θέση από την Αρχή της Επαλληλίας προκύπτει: t y ΟΛ = y 1 y =0 y =- y 1 y =- Aημπ ( ) y = Aημπ t π( )π. Ατή είναι η εξίσωση ταλάντωσης το άκρο της χορδής πο αποτελεί την πηγή παραγωγής το ανακλώμενο κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά.το τχαίο σημείο Σ( Σ =) αρχίζει να ταλαντώνεται εξ αιτίας το κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά(ανακλώμενο κύμα) μετά από χρονικό διάστημα t = με εξίσωση y Σ=Αημ t-t π( )π y Σ =Αημ <0 t π( ) π y Σ =Αημ t Τ π( )π (γ) λ Από την Αρχή της Επαλληλίας η απομάκρνση το σημείο Σ όταν σμβάλλον τα δύο (1γ) κύματα είναι: y ΟΛΣ = y 1Σ y Σ y ΟΛΣ = Αημπ( t - (γ) λ ) Αημ t π( )π λ t t t t π( )-π π( )π y ΟΛΣ =Ασν λ λ ημ λ λ y ΟΛΣ =Ασν π π(- ) - λ ημ t π π( ) y ΟΛΣ=-Αημ(π λ )ημ t π π( ) yολσ=αημ(π λ )ημ t 3π π( ) y ΟΛΣ=Αημ(π λ )σν t π( )π (3γ) Στη θέση =0 (σημείο ) η σχέση Α =Α ημπ λ δίνει Α =0, δηλαδή δεσμό.στη θέση =-(σημείο Ο) δίνει Α =Αημπ λ και δείχνει ότι το πλάτος ταλάντωσης το ελεύθερο άκρο Ο εξαρτάται από το μήκος της χορδής, διότι το μετριέται από τη θέση και το μήκος κύματος των αρμονικών κμάτων. Σημειώνεται ότι η εξίσωση (3γ) ισχύει για όλο το μήκος της χορδής για t =χρονική στιγμή πο το ανακλώμενο κύμα φθάνει στο άκρο Ο.Ενδεικτικά πολογίζομε τη φάση το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t= : φ (Ο) =π 3 λ 3π.

5 5 Δ. Θεωρούμε ότι =0 στη θέση ( () =0) και t=0 τη χρονική στιγμή πο αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο ( () =0) με εξίσωση y 1 =Αημωt και θετική φορά ( ) προς τα δεξιά.το τχαίο σημείο Σ ( Σ =) έχει ήδη αρχίσει να ταλαντώνεται πριν από χρονικό διάστημα t 1 = με εξίσωση y=αημω(tt 1) και (0) =- (Σ) =<0 =0 () η εξίσωση το αρμονικού κύματος πο παράγεται και διαδίδεται προς τα δεξιά (προσπίπτον t <0 κύμα) είναι y 1Σ =Αημπ( Τ ) y 1Σ =Αημπ( t - ). (1δ) Επειδή το σημείο παραμένει διαρκώς ακίνητο,πρέπει y ΟΛ =0.Δηλαδή για τις εξισώσεις ταλάντωσης το σημείο, y 1 εξ αιτίας το προσπίπτοντος κύματος και y εξ αιτίας το ακακλώμενο κύματος πο θα δημιοργηθεί στη θέση από την Αρχή της Επαλληλίας προκύπτει: y ΟΛ = y 1 y =0 y =- y 1 y =- Aημωt y =Αημ(ωtπ) y =Aημ(π t Τ π).ατή είναι η εξίσωση ταλάντωσης το άκρο της χορδής πο αποτελεί την πηγή παραγωγής το ανακλώμενο κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά.το τχαίο σημείο Σ( Σ =) αρχίζει να ταλαντώνεται εξ αιτίας το κύματος πο διαδίδεται προς τα αριστερά(ανακλώμενο κύμα) μετά από χρονικό διάστημα t = με εξίσωση y Σ =Αημ t-t π( )π Τ y Σ=Αημ t π( )π <0 Τ Τ y Σ =Αημ t π( )π (δ) Από την Αρχή της Επαλληλίας η απομάκρνση το σημείο Σ όταν σμβάλλον τα δύο (1δ) κύματα είναι: y ΟΛΣ = y 1Σ y Σ y ΟΛΣ = Αημπ( t - (δ) ) Αημ t π( )π t t t t π( )-π π( )π y ΟΛΣ =Ασν ημ y ΟΛΣ =Ασν(-π λ - π )ημ( t π π Τ ) yολσ=ασν(π λ π )ημ( π t π Τ ) y ΟΛΣ =-Αημ(π λ )ημ( t π π Τ ) y ΟΛΣ=Αημ(π λ )ημ( t 3π π ) Τ y ΟΛΣ =Αημ(π λ )σν( t π π ) (3δ) Τ Στη θέση =0 (σημείο ) η σχέση Α =Α ημπ λ δίνει Α =0, δηλαδή δεσμό.στη θέση =- (σημείο Ο) δίνει Α =Αημπ λ και δείχνει ότι το πλάτος ταλάντωσης το ελεύθερο

6 6 άκρο Ο εξαρτάται από το μήκος της χορδής, διότι το μετριέται από τη θέση και το μήκος κύματος των αρμονικών κμάτων.σημειώνεται ότι η εξίσωση (3δ) ισχύει για όλο το μήκος της χορδής για t =χρονική στιγμή πο το ανακλώμενο κύμα φθάνει στο άκρο Ο.Ενδεικτικά πολογίζομε τη φάση το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t= : φ (Ο)=π λ 3π. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: 1. Η έκφραση της εξίσωσης το στάσιμο κύματος εξαρτάται από το πο ορίζομε τη θέση =0 και το πότε ορίζομε τη χρονική στιγμή t=0: Θέση(=0) Αρχή των χρόνων(t=0) Εξίσωση το στάσιμο κύματος Στο ελεύθερο άκρο Ο Το προσπίπτον κύμα στο άκρο O y ΟΛΣ =Αημπ( - λ λ )σνπ ( t - ) (3α) Στο ελεύθερο άκρο Ο Το προσπίπτον κύμα στο άκρο y ΟΛΣ =Αημπ( - λ λ )σν (π t Τ ) (3β) Στο ακίνητο άκρο Το προσπίπτον κύμα στο άκρο O y ΟΛΣ =Αημ(π λ )σν t π( )π (3γ) Στο ακίνητο άκρο Το προσπίπτον κύμα στο άκρο y ΟΛΣ =Αημ(π λ )σν( t π π ) (3δ) Τ. To πλάτος το στασίμο κύματος εξαρτάται από τη θέση κάθε σημείο και από το μήκος της χορδής καθώς και το μήκος κύματος λ των τρεχόντων αρμονικών κμάτων πο με τη σμβολή τος παράγον το στάσιμο κύμα. Στις εξισώσεις (3γ) και (3δ) παρά την αποσία της παραμέτρο από τον όρο το πλάτος πάρχει εξάρτηση από το μήκος της χορδής διότι η απόσταση μετριέται από το ακίνητο άκρο της χορδής (δεσμός). 3. Η κινητική κατάσταση ενός σημείο άρα και το πλάτος ταλάντωσης το- δεν εξαρτάται από την επιλογή της θέσης =0 και της χρονικής στιγμής t=0. 4.ια να σχηματίζεται κοιλία στο ελεύθερο άκρο Ο της χορδής πρέπει Α =Α Αημπ = Α ημπ λ ± λ = ± 1 π λ =κπ π =κ λ λ 4 =(κ1) λ 4 με κ=0,1,,3... Αντίστοιχα για να σχηματίζεται δεσμός στο ελεύθερο άκρο Ο της χορδής πρέπει Α =0 Αημπ λ =0 ημπ λ =0 π λ =κπ =κ λ με κ=0,1,,3...

7 7 5. Η τιμή της φάσης σε κάποιο σημείο (π.χ. στο σημείο Ο) εξαρτάται από την επιλογή της χρονικής στιγμής t=0: Αρχή των χρόνων(t=0) Φάση το σημείο Ο, όταν το ανακλώμενο κύμα φθάνει στο Ο Το προσπίπτον κύμα στο άκρο O φ (Ο) =π λ π Το προσπίπτον κύμα στο άκρο φ (Ο) =π λ π Το προσπίπτον κύμα στο άκρο O φ (Ο) =π 3 λ 3π Το προσπίπτον κύμα στο άκρο φ (Ο) =π λ 3π 6.Επιλέγοντας ως χρονική στιγμή t=0 τη χρονική στιγμή πο αρχίζει η σμβολή το προσπίπτοντος και το ανακλωμένο κύματος (εξισώσεις (3β) και (3δ)), ο όρος της φάσης σνπ( t Τ ) στην (3β) και σνπ( t Τ π) στην (3δ) γίνεται ανεξάρτητος το μήκος της χορδής με αποτέλεσμα η εξίσωση το στάσιμο κύματος να θμίζει την αντίστοιχη το σχολικού βιβλίο (y=ασνπ λ ημπ t T ), όμως όλες οι εκφράσεις ((3α),(3β),(3γ),(3δ)) απαντούν στην αναφορά το σχολικού βιβλίο ότι η εξίσωση χρειάζεται τροποποίηση ώστε στη θέση ενός ακίνητο άκρο να δίνει δεσμό. Η διαδικασία ακολοθήθηκε σκόπιμα πανομοιότπα στις τέσσερεις παραπάνω περιπτώσεις για να μπορεί να αποτελέσει και εξάσκηση στην εύρεση της εξίσωσης το τρέχοντος αρμονικού κύματος. Ξ.ΣΤΕΡΙΑΔΗΣ