Μελέτη και σύγκριση ελεύθερης - ρεαλιστικής πτώσης σωµάτων

Transcript

1 Μελέτη και σύγκριση ελεύθερης - ρεαλιστικής πτώσης σωµάτων Όλγα Τάσση Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» trendy.olga@gmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: r ηµήτριος Τάσσης Φυσικός-Ραδιοηλεκτρολόγος, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» tassis@physics.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη εργασία αυτή µελετήσαµε την πτώση µιας συµπαγούς σφαίρας (που υπακούει τους νόµους κίνησης της ελεύθερης πτώσης), όσο και ρεαλιστικές πτώσεις από µπάλες του µπάσκετ και του πινκ πονκ. Η κίνηση από τις µπάλες επηρεάστηκε έντονα από την αντίσταση του αέρα µε αποτέλεσµα η επιτάχυνσή τους να µειώνεται συνεχώς, µέχρι που µηδενίστηκε και οι µπάλες απόκτησαν οριακή ταχύτητα (η µπάλα του µπάσκετ m/s και η µπάλα του πινκ πονκ 5.5 m/s). Το µοντέλο που χρησιµοποιήσαµε για την περιγραφή της αντίστασης του αέρα, είναι το παραβολικό µοντέλο, δηλαδή είναι ανάλογη µε το τετράγωνο της ταχύτητας του κινητού. Μια πλήρης καταγραφή της κίνησης µε βιντεοκάµερα και ανάλυσή της, έδειξε ότι οι υπολογισµοί µας δεν διαφέρουν πολύ από την πραγµατικότητα. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙ ΙΑ: Πτώση σωµάτων, προσοµοίωση, αντίσταση του αέρα, οριακή ταχύτητα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ελεύθερη πτώση είναι κίνηση κατακόρυφη οµαλά επιταχυνόµενη, µε επιτάχυνση που είναι η ίδια για όλα τα σώµατα σε ένα τόπο και µεταβάλλεται από τόπο σε τόπο. Ένα σώµα πραγµατοποιεί ελεύθερη πτώση όταν αφήνεται να κινηθεί µε την επίδραση µόνο του βάρους του. Απόλυτα ελεύθερη πτώση µπορεί να πραγµατοποιηθεί µόνον στο κενό, όπου δεν υπάρχουν δυνάµεις όπως η άνωση F A και η τριβή F που ασκούνται στο σώµα κατά την κίνησή του σε ρευστό. Η επιτάχυνση του σώµατος που πραγµατοποιεί ελεύθερη πτώση έχει επικρατήσει να λέγεται επιτάχυνση της βαρύτητας (g). Με εφαρµογή του θεµελιώδους νόµου της Μηχανικής βρίσκουµε ότι η µάζα m και το βάρος B ενός σώµατος συνδέεται µε τη σχέση: B = m g. Αφού η ελεύθερη πτώση είναι κίνηση ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη (χωρίς αρχική ταχύτητα) οι εξισώσεις που περιγράφουν το διάστηµα S που διάνυσε το σώµα καθώς και την ταχύτητά του v, σε κάποια χρονική στιγµή t, είναι: S = g t () και v= g t. ()

2 Σε µια πραγµατική πτώση (κίνηση σε ρευστό και όχι σε κενό), λαµβάνοντας υπ όψιν και την επίδραση των F A και F (drag force), ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: B FA F = mα (3). Όπου α είναι η επιτάχυνση του σώµατος. Στα σώµατα που µελετήσαµε την κίνησή τους, αποδεικνύεται ότι η άνωση είναι αµελητέα, µια και η επιτάχυνση α Α που του προσδίδει, είναι αρκετά µικρότερη από την επιτάχυνση της βαρύτητας: α Α /g= d αέρα /d σώµατος <<, οπότε µπορούµε να την αγνοήσουµε χωρίς να έχουµε σηµαντικό σφάλµα στους υπολογισµούς µας. Όπου d αέρα και d σώµατος είναι η πυκνότητα του αέρα και του κινητού αντίστοιχα. Αντιθέτως, σε άλλες προσοµοιώσεις που είναι σηµαντική η άνωση (π.χ. η κίνηση µπάλας σε υγρό), επιλύεται η (3) συµπεριλαµβάνοντας και τις τρεις δυνάµεις, όπως στην περίπτωση του Βαλασιάδης Ο. κ.ά. () που λύνει αριθµητικά την (3) σε δύο διαστάσεις, για να προσοµοιώσει την πλάγια βολή. Ακόµα και µε δύο δυνάµεις µόνο (Β και F ), στη γενική περίπτωση, οι εξισώσεις κίνησης γίνονται πολύπλοκες και µόνο µια αριθµητική επίλύση είναι δυνατή, εκτός αν γίνουν κάποιες παραδοχές-προσεγγίσεις, που καθιστούν την αναλυτική λύση δυνατή. Μια τέτοια παραδοχή είναι η αντίσταση του αέρα να παρουσιάζει γραµµική η παραβολική συµπεριφορά µε την ταχύτητα του σώµατος. Ευτυχώς (όπως θα δείξουµε στη συνέχεια) και οι δύο αυτές περιπτώσεις που µπορούν να λυθούν αναλυτικά, έχουν φυσική σηµασία και είναι αυτές που µπορούµε να συναντήσουµε σε µια ρεαλιστική πτώση. Η δύναµη της τριβής γενικά περιγράφεται από τη σχέση: F v C d Av ( ) = αέρα (4) Όπου Α είναι το εµβαδόν της µετωπικής επιφάνειας (που για την περίπτωση σφαίρας A= π R ) και C ο αδιάστατος συντελεστής τριβής (βλέπε Timmerman P. 999; Βαλασιάδης κ.ά. ). F v Rv F v v και η Αν η ροή είναι νηµατώδης, τότε ( ) = 6πη (5),δηλαδή ( ) σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόµος του Stokes. Όπου η το ιξώδες του ρευστού και R η ακτίνα της σφαίρας. Στην περίπτωση που η ροή είναι τυρβώδης: C =.4 και F ( v).d R v kv = αέραπ = (6). Από τις εξισώσεις (3) και (6) µπορούµε να υπολογίσουµε το διάστηµα S που διάνυσε το κινητό σε χρόνο t (δες Μουρούζης Π. 999): gk g t t m λ m e + mg e + g S = ln( ) t= λ ln( ) t (7), όπου λ=m/k. k k λ Με βάση την παραπάνω σχέση και το αρχικό ύψος h o µπορούµε να βρούµε το ύψος που βρίσκεται το κινητό σε σχέση µε το έδαφος: λ e + g h= ho S = ho λ ln( ) t (8). λ g t

3 Αντίστοιχα, η έκφραση του ύψους h για ένα σώµα που εκτελεί ελεύθερη πτώση είναι: h h S h g t = o = o (9). Μια άλλη προσέγγιση του προβλήµατος επιχειρείται µέσω της διατήρησης της µηχανικής ενέργειας (Mungan E., 6) όπου και πάλι δεν είναι εύκολο να επιλύσει τις εξισώσεις που προκύπτουν. Επίλυση για πτώση από πολύ µεγάλο αρχικό ύψος (αρκετά km), απαιτεί να λάβουµε υπ όψη τη µεταβολή του g καθώς και τη µεταβολή της πυκνότητα και της θερµοκρασίας του µέσου. Μάλιστα συχνά οδηγούµαστε σε πολύ µεγάλες ταχύτητες (µεγαλύτερες και από την ταχύτητα του ήχου), γεγονός που εισάγει ακόµα µεγαλύτερη πολυπλοκότητα τόσο στο ίδιο το πρόβληµα όσο και στην επίλυσή του (Benaca J., ). Εµείς, σε όλους τους υπολογισµούς που σχετίζονται µε ρεαλιστική πτώση θα κάνουµε χρήση της σχέσης (8), γιατί είναι σχετικά απλή και είναι αναλυτική έκφραση που δεν χρειάζεται αριθµητική επίλυση. Χωρίς να είναι η πιο ακριβής λύση, µπορεί παρ όλ αυτά να υπολογίσει ικανοποιητικά παραµέτρους της κίνησης όπως την οριακή ταχύτητα και τον χρόνο πτώσης. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Πραγµατοποιήσαµε πτώση τριών σωµάτων από αρχικό ύψος περίπου 4m. Το πρώτο σώµα είναι µια συµπαγής σφαίρα, που η κίνησή της δεν διαφέρει από την ελεύθερη πτώση. Το δεύτερο σώµα είναι µια µπάλα του µπάσκετ και τρίτο είναι ένα µπαλάκι του πινκ-πονγκ. Τα σώµατα δεν έπεσαν µε τη σειρά που προέβλεπε ο Μουρούζης Π. (999). Για την ακρίβεια πρώτο έφτασε στο έδαφος το σώµα που έκανε ελεύθερη πτώση, µετά η µπάλα του µπάσκετ και τελευταίο το µπαλάκι του πινκ-πονγκ. Άρα κάποιο λάθος υπάρχει στην εκτίµηση της σταθεράς λ=m/k. Η µάζα από τις µπάλες είναι δεδοµένη (επίσηµη τιµή κατασκευαστών), άρα πρέπει να επανεκτιµήσουµε την τιµή του k για κάθε µπάλα. Χάρη στην ελεύθερη πτώση µπορέσαµε να εκτιµήσουµε καλύτερα το αρχικό ύψος, έτσι που να συµφωνεί καλύτερα µε τον ολικό χρόνο πτώσης της συµπαγούς µπίλιας µέχρι το έδαφος. Με το αρχικό ύψος δεδοµένο µε καλύτερη ακρίβεια, επιλέξαµε κατάλληλες τιµές για τη σταθερά k κάθε µπάλας, έτσι που ο χρόνος πτώσης από την προσοµοίωση να συµφωνεί µε τα πειραµατικά δεδοµένα. Την επιτυχηµένη προσοµοίωση των πτώσεων µπορούµε να δούµε στο Σχήµα, όπου µπορούµε να δούµε και το χρόνο που χρειάστηκε κάθε σφαίρα για να φτάσει στο έδαφος. Έχοντας πια αξιόπιστες τιµές για κάθε σταθερά λ, θα επιχειρήσουµε προσοµοίωση πτώσης από µεγαλύτερο ύψος. Εκεί περιµένουµε πραγµατικές διαφοροποιήσεις στην πτώση κάθε µπάλας. Απεναντίας για µικρό αρχικό ύψος οι τρεις πτώσεις µοιάζουν πολύ και ειδικά η πτώση της µπάλας του µπάσκετ δεν διαφέρει αισθητά από την ελεύθερη πτώση. Με τις ίδιες παραµέτρους κάναµε τους υπολογισµούς που εικονίζονται στο Σχήµα και αντιστοιχούν σε πτώση των ίδιων σωµάτων από αρχικό ύψος h o = 45m. Οι υπολογισµοί για τη συµπαγή σφαίρα έγιναν µε βάση τη σχέση (9), ενώ για τις µπάλες µε βάση τη σχέση (8). Σχήµα : Πτώση τριών σωµάτων από αρχικό ύψος h o =4 m: µια συµπαγής σφαίρα (h), µια µπάλα του µπάσκετ (h µ ) και ένα µπαλάκι του πινκ-πονκ (h π ).

4 5 ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ Ύψος, h, m 4 3 h = t t + 4 h = -.76t -.586t + 4 h(m) hπ(m) hµ(m) h = t Σχήµα : Πτώση τριών σωµάτων από αρχικό ύψος h o =45 m: µια συµπαγής σφαίρα (h), µια µπάλα του µπάσκετ (h µ ) και ένα µπαλάκι του πινκ-πονκ (h π ). Ύψος, h, m h = t + 45 ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ h = -.474t t h = -.38t -.6t h(m) hπ(m) Yµ(m) Παρατηρούµε ότι το h(t) παρουσιάζει παραβολική συµπεριφορά µόνο στην ελεύθερη πτώση. Στην πτώση της µπάλας του µπάσκετ παρατηρούµε µια απόκλιση που γίνεται ακόµα µεγαλύτερη για το µπαλάκι του πινκ-πονκ. Αν προσπαθήσουµε να φέρουµε την καλύτερη παραβολή (µε βάση τη θεωρία ελαχίστων τετραγώνων), µόνο στην ελεύθερη πτώση οι συντελεστές που προκύπτουν έχουν φυσική σηµασία που συµφωνεί µε την πραγµατικότητα (αρχικό ύψος h o =45 m και επιτάχυνση α=* = g). Στις δύο άλλες πτώσεις η προσαρµογή παραβολικής καµπύλης µας οδηγεί σε συµπέρασµα ότι τα σώµατα ξεκίνησαν από διαφορετικό ύψος h o = 5 m (µπάλα µπάσκετ) και h o = 46 m (µπάλα πινκ πονκ) και είναι σαν να ξεκίνησαν µε αρχική ταχύτητα v o =.6 m/s και v o = 4.88 m/s αντίστοιχα, γεγονός που ξέρουµε ότι δεν ισχύει. Επίσης, αν κατά την κίνηση

5 αυτή θέλουµε µια «µέση τιµή» της επιτάχυνσης, βλέπουµε ότι τη µεγαλύτερη τιµή παρουσιάζει το σώµα που κάνει ελεύθερη πτώση, ίση µε το g και ακολουθεί η µπάλα του µπάσκετ µε επιτάχυνση περίπου α µ = m/s και τέλος η µπάλα του πινκ-πονκ µε επιτάχυνση α π =. m/s. Υπολογίζοντας το ρυθµό µεταβολής της θέσης κάθε σώµατος, µπορούµε να απεικονίσουµε την ταχύτητα του κάθε σώµατος συναρτήσει του χρόνου (Σχήµα 3). Σχήµα 3: ιάγραµµα v(t) κατά την πτώση των τριών σωµάτων (µια συµπαγής σφαίρα, µια µπάλα του µπάσκετ και ένα µπαλάκι του πινκ-πονκ) από αρχικό ύψος h o =45 m. Ταχύτητα, V, m/s V(m/s) Vπ(m/s) Vµ(m/s) ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ / ΧΡΟΝΟΥ y = 9.865t y = 5.456Ln(t) y =.75Ln(t) Σχήµα 4: (α) ιάγραµµα α(t) και (β) συµπεριφορά του λόγου F /Β συναρτήσει του χρόνου, κατά την πτώση των τριών σωµάτων (µια συµπαγής σφαίρα, µια µπάλα του µπάσκετ και ένα µπαλάκι του πινκ-πονκ) από αρχικό ύψος h o =45 m. Επιτάχυνση, α, m/s ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ / ΧΡΟΝΟΥ (α) y = α(m/s) απ(m/s) αµ(m/s) F /B ΙΑΓΡΑΜΜΑ F /B - t (β) F/Β Fπ/Β Fµ/Β ,

6 Παρατηρούµε ότι στην ελεύθερη πτώση η ταχύτητα είναι ανάλογη µε το χρόνο, ενώ οι δύο µπάλες, αρχικά κάνουν µια κίνηση που µοιάζει µε ελεύθερη πτώση, αλλά σύντοµα η ταχύτητα παύει να αυξάνεται ανάλογα µε το χρόνο και τείνει σε µια σταθερή τιµή, δηλαδή µια οριακή ταχύτητα. Στη µπάλα του πινκ-πονκ αυτό όχι µόνο γίνεται πιο σύντοµα (από ότι στη µπάλα του µπάσκετ) αλλά και η οριακή της ταχύτητα είναι σηµαντικά πιο µικρή από αυτή της µπάλας του µπάσκετ (5.5 m/s και m/s αντίστοιχα). Έτσι είναι αναµενόµενο να φτάσει και αρκετά αργότερα από τη µπάλα του µπάσκετ στο έδαφος. Στη συνέχεια, από το ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας του κάθε σώµατος υπολογίζουµε την επιτάχυνσή του συναρτήσει του χρόνου (Σχήµα 4α). Παρατηρούµε ότι η επιτάχυνση της συµπαγούς σφαίρας (που εκτελεί ελεύθερη πτώση) είναι σταθερή και ίση µε g. Οι δυο άλλες µπάλες έχουν αρχικά επιτάχυνση g, αλλά πολύ σύντοµα αρχίζει να φθίνει µέχρι να µηδενιστεί. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι η αντίσταση του αέρα µεγαλώνει µέχρι που εξουδετερώνει το βάρος της µπάλας και τότε είναι που το σώµα αποκτά σταθερή - οριακή ταχύτητα. Εφόσον έχουµε υπολογίσει την επιτάχυνση α του κάθε σώµατος, µπορούµε να υπολογίσουµε την αντίσταση του αέρα, σύµφωνα µε τις σχέσεις: ( Σ F = B F και Σ F = mα) B F = mα F = B mα F = B mα mg mα = m( g α) Επειδή για τις δύο µπάλες η δύναµη αυτή διαφέρει τάξεις µεγέθους, αξίζει να υπολογίσουµε και να συγκρίνουµε το λόγο: m( g α) α F / B= = mg g Ο λόγος αυτός προφανώς τείνει στη µονάδα (όταν το σώµα τείνει να πιάσει οριακή ταχύτητα (Σχήµα 4β). Μπορούµε να σχετίσουµε το λόγο αυτό (F /Β), µε την ταχύτητα του σώµατος για να δούµε αν υπακούει την παραβολική συµπεριφορά που προβλέπει η εξίσωση (6). Έτσι προέκυψε το Σχήµα 5. Πράγµατι, ο λόγος F /Β, παρουσιάζει παραβολική συµπεριφορά µε την ταχύτητα. Για να το επιβεβαιώσουµε, αρκεί να διαπιστώσουµε γραµµική σχέση F (v) σε λογαριθµικό χαρτί που να παρουσιάζει κλίση κοντά στην τιµή. Γεγονός που το παρατηρούµε στο Σχήµα 7. Σχήµα 5: Συµπεριφορά του λόγου F /Β συναρτήσει της ταχύτητας του κινητού, κατά την πτώση των τριών σωµάτων (µια συµπαγής σφαίρα, µια µπάλα του µπάσκετ και ένα µπαλάκι του πινκ-πονκ) από αρχικό ύψος h o =45 m.

7 ΙΑΓΡΑΜΜΑ F /B - ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ..8 y =.69x +.4x +.34 y =.3x +.39x -. F/B.6.4. F/Β Fπ/Β Fµ/Β 5 5 Ταχύτητα, V, m/s Σχήµα 7: Συµπεριφορά του F /B συναρτήσει της ταχύτητας του κινητού, κατά την πτώση µιας µπάλα του µπάσκετ και µιας του πινκ-πονκ, από αρχικό ύψος h o =45 m, σε λογαριθµικούς άξονες. lo g (F /B )= *lo g v - F /B - lo g (F /B )= *lo g v πινκ πονκ µπάσκετ -3 Τ α χ ύ τη τα, V, m /s Όντως η κλίση που υπολογίσαµε είναι κοντά στην τιµή τόσο για τη µπάλα µπάσκετ (κλίση ), όσο και για το µπαλάκι του πινκ-πονκ. Μια απόκλιση από τη γραµµικότητα παρατηρείται στις µικρές ταχύτητες όπου το πιθανότερο είναι εκεί να µην ισχύει το

8 παραβολικό µοντέλο για την αντίσταση του αέρα, παρά ο νόµος του Stokes (σύµφωνα µε τον Timmerman P., 999). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η χρήση της παραβολικής σχέσης (6) ως βάση στους υπολογισµούς µας κι όχι του νόµου του Stokes, σχέση (5)- είναι δικαιολογηµένη µια και ο νόµος του Stokes προβλέπεται να ισχύει για πολύ µικρά σωµατίδια ή στην αρχή της κίνησης (ίσως µόνο για κλάσµα δευτερολέπτου) και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ισχύει το παραβολικό µοντέλο (δες Timmerman P., 999). Για καλύτερη εκτίµηση του χρόνου κίνησης αλλά και αξιοποίηση και ενδιάµεσων σηµείων από τη τροχιά της κίνησης, καταγράψαµε ολόκληρη την κίνηση των σωµάτων µε τη βοήθεια βιντεοκάµερας. Ο συνηθισµένος ρυθµός λήψης εικόνων 5-3 fps είναι ικανοποιητικός από πλευράς ακρίβειας µέτρησης χρόνου µια και αντιστοιχεί σε µετρήσεις που διαφέρουν κατά εκατοστά του δευτερολέπτου. Αυτό που δεν αρκεί όµως αν θέλουµε να καλύψουµε πτώση αρκετών µέτρων είναι η συνηθισµένη ανάλυση εικόνας, η VGA. Στην περίπτωση αυτή καλό θα είναι να έχουµε στη διάθεσή µας µια κάµερα υψηλής ακρίβειας (H), µια και κατά τη διάρκεια της καταγραφής η κάµερα πρέπει να καλύψει όλο το πεδίο κίνησης χωρίς να κινηθεί. Φυσικά απαραίτητο είναι και ένα τρίποδο στήριξης της κάµερας. Παρ όλ αυτά διαπιστώσαµε ότι όταν η πτώση δεν είναι πολύ µεγάλη µπορούµε να έχουµε καλή ακρίβεια στην καταγραφή. Η ανάλυση του video έγινε µε τη βοήθεια του προγράµµατος MultiLab της Fourier Systems Ltd. ( που ήταν αρκετά απλό και αξιόπιστο στη χρήση του. Επίσης υπάρχουν και προγράµµατα ανοιχτού λογισµικού που έχουν πολλές δυνατότητες όπως το tracker (που δοκιµάσαµε) από την Open Source Physics ( Το αποτέλεσµα ήταν να πάρουµε από το video µια πολύ οµαλή και αξιόπιστη καµπύλη h(t). Θα θέλαµε την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαµε µε τα δεδοµένα από τους υπολογισµούς να την ακολουθούσαµε και για τα πραγµατικά δεδοµένα. Και µε αυτό τον τρόπο να αποδεικνύαµε τόσο την ισχύ του παραβολικού µοντέλου της αντίστασης του αέρα µε την ταχύτητα του κινητού, όσο και ενδεχοµένως την υπακοή στο νόµο του Stokes στην αρχή της κίνησης. Όµως η ποιότητα του video θα έπρεπε να είναι καλύτερη όταν πάµε να υπολογίσουµε δευτερογενή και τριτογενή µεγέθη όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση (από µετρήσεις της θέσης). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Benaca, J. (). High-altitude free fall revised, Am. J. Phys.,78 (6), Mungan, C. (6). Energy-based solution for the speed of a ball moving vertically with drag, Eur. J. Phys., 7, Timmerman, P., & van der Weele, J. (999). On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys.,67 (6), Βαλασιάδης, Ο., ηµητρακόπουλος, Γ., ηµητριάδης, Χ., Ευαγγελινός,., Παλούρα, Ε., Πολάτογλου, Χ., Σαµαράς, Ι., Χατζηκρανιώτης, Ε., Χρυσάφης, Κ., & Ψύλλος,. (). Σηµειώσεις Μεθοδολογίας Μετρήσεων και Εφαρµογών της Πειραµατικής Φυσικής, Α.Π.Θ., 7-9. Μουρούζης, Π. (999). Εργαστηριακές ραστηριότητες Φυσικής, Κέρκυρα.