Δοµές Δεδοµένων. 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων. Ε. Μαρκάκης

Transcript

1 Δοµές Δεδοµένων 6η Διάλεξη Αναδροµικές Εξισώσεις και Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων Ε. Μαρκάκης

2 Περίληψη Χρήση αναδροµικών εξισώσεων στην ανάλυση αλγορίθµων Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Συλλογές στοιχείων Στοίβα ώθησης προς τα κάτω Παραδείγµατα πελατών για στοίβες Υλοποιήσεις στοίβας Γενικές υλοποιήσεις Δοµές Δεδοµένων 06-2

3 Παραδείγµατα ανάλυσης αλγορίθµων Σύγκριση ακολουθιακής και δυαδικής αναζήτησης Έστω ένας πίνακας ακεραίων µε Ν στοιχεία Ψάχνουµε τη θέση ενός στοιχείου στον πίνακα Πόσες πράξεις σύγκρισης χρειάζονται; Ακολουθιακή αναζήτηση (Sequential Search) Ψάχνουµε από το ένα άκρο του πίνακα ως το άλλο Κατάλληλη και για µη ταξινοµηµένο πίνακα Το εύρος του πίνακα που ψάχνουµε δίνεται µε τις παραµέτρους p, r static int search(int a[], int v, int p, int r) { int i; for (i = p; i <= r; i++) if (v == a[i]) return i; return -1; } Δοµές Δεδοµένων 06-3

4 Παραδείγµατα ανάλυσης αλγορίθµων Ανάλυση ακολουθιακής αναζήτησης Έστω Ν το εύρος του πίνακα που ψάχνουµε (Ν = r-p+1) Ο χρόνος εκτέλεσης εξαρτάται από τα δεδοµένα Χειρότερη δυνατή περίπτωση: η αναζήτηση ανεπιτυχής ή το στοιχείο είναι στην τελευταία θέση: Ο(Ν) βήµατα Μέσο κόστος επιτυχούς αναζήτησης: Υποθέτουµε ότι όλες οι θέσεις είναι εξίσου πιθανοί στόχοι Μέσο κόστος = ( N) / N = (N+1)/2 N/2 Καλύτερο από τη χειρότερη περίπτωση αλλά και πάλι Ο(Ν) Αν ο πίνακας είναι ταξινοµηµένος; Η αναζήτηση δεν εξαντλεί απαραίτητα τον πίνακα Μέσο κόστος N/2 βήµατα, µέγιστο κόστος N βήµατα Δοµές Δεδοµένων 06-4

5 Παραδείγµατα ανάλυσης αλγορίθµων Δυαδική αναζήτηση (Binary Search) Μόνο για ταξινοµηµένο πίνακα Εξετάζει το µεσαίο στοιχείο του πίνακα Συνεχίζει µε το κατάλληλο µισό του πίνακα (αναδροµή) static int search(int a[], int v, int p, int r) { while (r >= p) { int m = (p+r)/2; if (v == a[m]) return m; if (v < a[m]) r = m-1; else p = m+1; } return -1; } Δοµές Δεδοµένων 06-5

6 Παραδείγµατα ανάλυσης αλγορίθµων Ανάλυση δυαδικής αναζήτησης Σε κάθε έλεγχο µένει ο µισός πίνακας Χειρότερη περίπτωση: TN # T +! N / 2 O(1) " Για να βρούµε την πολυπλοκότητα πρέπει να λύσουµε την αναδροµική σχέση Όχι πάντα εύκολο αλλά επιλύσιµο για πολλές κατηγορίες αναδροµικών εξισώσεων Δοµές Δεδοµένων 06-6

7 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Ακολουθούν την αποσύνθεση ενός προβλήµατος Ο χρόνος εκτέλεσης ορίζεται ως συνάρτηση του χρόνου εκτέλεσης σε µικρότερα προβλήµατα Τελικά φτάνουµε σε στοιχειώδη προβλήµατα Η λύση δίνει έναν τύπο για το χρόνο εκτέλεσης Παράδειγµα 1 Βρόχος στα δεδοµένα εισόδου και απαλοιφή ενός στοιχείου πριν την επόµενη επανάληψη C N =C N-1 +N, C 1 =1 Λύση: C Ν = C N-1 +N = C N-2 +(N-1)+Ν = C N-3 + (Ν-2)+ (N-1)+ Ν = Ν = Ν(Ν+1)/2, δηλαδή O(N 2 ) Δοµές Δεδοµένων 06-7

8 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Παράδειγµα 2 Κάθε βρόχος διχοτοµεί τα δεδοµένα, επόµενη επανάληψη κοιτάζει τα µισά δεδοµένα C N =C N/2 +1, C 1 =1 Τέτοιες σχέσεις είναι χρήσιµο να τις αναλύουµε πρώτα για δυνάµεις του 2, έστω ότι Ν = 2 n C N = C + 1 = C n! = ( C n! =... = C N / = n ) + 1 Άρα C Ν = lοgn+1, δηλαδή O(lοgN) Όταν το Ν δεν είναι δυναµη του 2, αποδεικνύεται µε επαγωγή ότι C Ν lοgn+1 Άρα για κάθε Ν, C N = O(lοgN) Πόρισµα: Ο αλγόριθµος δυαδικής αναζήτησης τρέχει σε χρόνο Ο(logN) Δοµές Δεδοµένων 06-8

9 Βασικές αναδροµικές εξισώσεις Με ίδια τεχνική αναλύονται πολλά άλλα προβλήµατα Παράδειγµα 3 (προσοχή: λάθος τύπος στο βιβλιο, σελ. 74!) Κάθε βρόχος διχοτοµεί τα στοιχεία αφού τα εξετάσει Ορισµός: C N =C N/2 +N, C 1 =1 Λύση: C Ν = 2Ν, δηλαδή O(N) Παράδειγµα 4 Κάθε βρόχος εξετάζει, διχοτοµεί και κάνει αναδροµικές κλήσεις και στα 2 υποπροβλήµατα µεγέθους Ν/2 Ορισµός: C N =2C N/2 +Ν, C 1 =1 Λύση: C Ν = NlοgN, δηλαδή O(NlοgN) Παράδειγµα 5 Κάθε βρόχος διχοτοµεί και κάνει αναδροµική κλήση και για τα 2 υποπροβλήµατα Ορισµός: C N =2C N/2 +1, C 1 =1 Λύση: C Ν = 2Ν, δηλαδή O(N) Δοµές Δεδοµένων 06-9

10 Όρια ανάλυσης αλγορίθµων Εγγύηση: άνω φράγµα χρόνου εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης στη χειρότερη περίπτωση Χρησιµοποιούµε το χειρότερο δυνατό σύνολο εισόδου Πόσο πιθανή είναι η χειρότερη περίπτωση; Ένας αλγόριθµος µπορεί να είναι σχεδόν πάντα γρήγορος Πρόβλεψη: µέσος χρόνος εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης κατά µέσο όρο Χρησιµοποιούµε ένα «τυχαίο» σύνολο εισόδου Πόσο αντιπροσωπευτικό είναι το σύνολο αυτό; Πόσο τυχαία είναι πραγµατικά η είσοδος; Περιορισµός: κάτω φράγµα χρόνου εκτέλεσης Απόδειξη ότι κάθε αλγόριθµος θέλει τουλάχιστον τόσο χρόνο Γενικά πολύ πιο δύσκολη η απόδειξη κάτω φραγµάτων Δοµές Δεδοµένων 06-10

11 Κεφάλαιο 4 Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων 06-11

12 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Όλα τα υπολογιστικά συστήµατα βασίζονται σε στρώσεις αφαίρεσης (layers of abstraction) Το µοντέλο του bit: 0 ή 1 (χωρίς να µας απασχολεί πως επιτυγχάνεται, π.χ. τσιπ πυριτίου) Γλώσσα προγραµµατισµού: ο προγραµµατιστής χρειάζεται να γνωρίζει τις διαθέσιµες δοµές δεδοµένων και εντολές της γλώσσας και όχι απαραίτητα πώς υλοποιείται ο compiler Σχεδίαση αλγορίθµων: ανεξάρτητο από γλώσσα προγραµµατισµού (συνήθως) Σε κάθε επίπεδο υπάρχει διαχωρισµός µεταξύ υλοποίησης και χρήσης Δοµές Δεδοµένων 06-12

13 Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων ΑΤΔ: πελάτης, υλοποίηση και διεπαφή (ή διασύνδεση) Διεπαφή: περιγραφή τύπου δεδοµένων και πράξεων Πελάτης: πρόγραµµα που χρησιµοποιεί τις πράξεις Υλοποίηση: κώδικας που υλοποιεί τις πράξεις Προσοχή: Τα προγράµµατα πελάτες δεν µπορούν να προσπελάσουν τα δεδοµένα παρά µόνο µέσω των µεθόδων που παρέχει η διασύνδεση Διαχωρισµός διεπαφής και υλοποίησης Επιτρέπει το χτίσιµο επιπέδων αφαίρεσης Επαναχρησιµοποίηση λογισµικού Παραδείγµατα: στοίβες, ουρές, πίνακες συµβόλων Δοµές Δεδοµένων 06-13

14 Αφηρηµένοι Τύποι Δεδοµένων ΑΤΔ: πελάτης, υλοποίηση και διεπαφή (ή διασύνδεση) Διεπαφή: περιγραφή τύπου δεδοµένων και πράξεων Πελάτης: πρόγραµµα που χρησιµοποιεί τις πράξεις Υλοποίηση: κώδικας που υλοποιεί τις πράξεις Προσοχή: Τα προγράµµατα πελάτες δεν µπορούν να προσπελάσουν τα δεδοµένα παρά µόνο µέσω των µεθόδων που παρέχει η διασύνδεση Πλεονεκτήµατα ΑΤΔ Ο πελάτης µπορεί να χρησιµοποιήσει διάφορες υλοποιήσεις Η υλοποίηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί από διάφορους πελάτες Σχεδίαση αρθρωτού (άρα επαναχρησιµοποιήσιµου) κώδικα Επιτρέπει τη χρήση της πλέον βελτιστοποιηµένης υλοποίησης Δοµές Δεδοµένων 06-14

15 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Παράδειγµα: ας επανέλθουµε στην τάξη Point για επεξεργασία σηµείων στο επίπεδο Περιέχει δεδοµένα και µεθόδους class Point { double x, y; Point() { x = Math.random(); y = Math.random(); } Point(double x, double y) {this.x = x;this.y = y;} double r() { return Math.sqrt(x*x + y*y); } double theta() { return Math.atan2(y, x); } double distance(point p) { double dx = x - p.x, dy = y - p.y; return Math.sqrt(dx*dx + dy*dy); } public String tostring() { return "(" + x + "," + y + ")"; } } Δοµές Δεδοµένων 06-15

16 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Οι χρήστες (προγράµµατα-πελάτες) δεν χρειάζεται να γνωρίζουν πώς αποθηκεύονται τα σηµεία Χειρισµός σηµείων µέσω µεθόδων και µόνο Γνωρίζουµε ποιες είναι οι µέθοδοι αλλά όχι πώς λειτουργούν Διεπαφή ΑΤΔ σηµείων Περιλαµβάνει µόνο τα δηµόσια µέλη της τάξης class Point { Point() Point(double, double) double x() double y() double r() double theta() double distance(point) public String tostring() } Δοµές Δεδοµένων 06-16

17 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Υλοποίηση 1: χρήση καρτεσιανών συντεταγµένων class Point { private double x, y; Point() { x = Math.random(); y = Math.random(); } Point(double x, double y) {this.x = x; this.y = y;} double x() { return x; } double y() { return y; } double r() { return Math.sqrt(x*x + y*y); } double theta() { return Math.atan2(y, x); } double distance(point p) { double dx = x - p.x(); double dy = y - p.y(); return Math.sqrt(dx*dx + dy*dy); } public String tostring() { return "(" + x + ","+y+")"; } } Δοµές Δεδοµένων 06-17

18 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Διαφορές µε πριν: Τα δεδοµένα είναι private 2 νέες µέθοδοι x(), y() Σε ιδιωτικά µέλη µπορεί να γίνει αναφορά µόνο µέσα από την ίδια την κλάση Πρόσβαση στα δεδοµένα από το πρόγραµµα πελάτη γίνεται µόνο µέσω των µεθόδων x(), y() Έστω τώρα ότι θέλουµε να αλλάξουµε την αναπαράσταση σε πολικές συντεταγµένες αντί για καρτεσιανές Πρέπει να αλλάξουν και όλα τα προγράµµατα-πελάτες? Δοµές Δεδοµένων 06-18

19 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Υλοποίηση 2: χρήση πολικών συντεταγµένων class Point { private double r, theta; Point() { double x = Math.random(), y = Math.random(); this = new Point(x, y); } Point(double x, double y) { r = Math.sqrt(x*x + y*y); theta = Math.atan2(y, x); } double r() { return r; } double theta() { return theta; } double x() { return r*math.cos(theta); } double y() { return r*math.sin(theta); } double distance(point p) { double dx = x - p.x(); double dy = y - p.y(); return Math.sqrt(dx*dx + dy*dy); } public String tostring() { return "(" + x() + ", " + y() + ")"; } } Δοµές Δεδοµένων 06-19

20 Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων Όσοι πελάτες χρησιµοποιούσαν τις x(), y() πριν, µπορούν να εξακολουθήσουν να τις χρησιµοποιούν και τώρα Καµία απολύτως αλλαγή στον κώδικα του πελάτη Μας επιτρέπει να κάνουµε αλλαγές στην αναπαράσταση προς βελτιστοποίηση της υλοποίησης Διόρθωση σφαλµάτων χωρίς αλλαγές στους πελάτες Δοµές Δεδοµένων 06-20

21 Συλλογές στοιχείων Γενικευµένες ουρές: θεµελιώδεις δοµές δεδοµένων Τιµές: σύνολα αντικειµένων (άγνωστος τρόπος αποθήκευσης), µπορεί να είναι int, char, Object, Πράξεις: εισαγωγή νέου στοιχείου, αποµάκρυνση στοιχείου, έλεγχος αν το σύνολο είναι κενό Υλοποίηση µε λίστες ή πίνακες Η σηµασία της εισαγωγής είναι προφανής Ποιο αντικείµενο επιστρέφει η αποµάκρυνση; (π.χ. Αυτό που έχει µείνει περισσότερη ώρα, λιγότερη ώρα, το 3 ο από το τέλος,...) Κάθε κριτήριο αποµάκρυνσης νέα δοµή δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων 06-21

22 Στοίβα (Stack) Συλλογές στοιχείων Αποµακρύνουµε το αντικείµενο που εισήχθη πιο πρόσφατα Αναλογία: πλύσιµο πιάτων, στοίβα των δίσκων στο εστιατόριο Ορολογία: push (εισαγωγή) και pop (αποµάκρυνση) Αναφέρεται και ως ουρά LIFO (Last In First Out) Δοµές Δεδοµένων 06-22

23 Ουρά (Queue) Συλλογές στοιχείων Αποµακρύνουµε το αντικείµενο που εισήχθη πιο παλιά Αναλογία: ουρά στο κυλικείο Ορολογία: enqueue (εισαγωγή) και dequeue (αποµάκρυνση) Αναφέρεται συνήθως ως ουρά FIFO (First In First Out) Δοµές Δεδοµένων 06-23

24 Στοίβα ώθησης προς τα κάτω Πράξεις στοίβας Pop(): αποµάκρυνση του αντικειµένου που εισήχθη τελευταίο Push(): εισαγωγή ενός αντικειµένου στη στοίβα isempty(): είναι άδεια η στοίβα; Παράδειγµα: στοίβα χαρακτήρων Χαρακτήρας: Push, Αστερίσκος: Pop Δοµές Δεδοµένων 06-24

25 Στοίβα ώθησης προς τα κάτω Διεπαφή στοίβας ακεραίων Ο πελάτης µπορεί να δίνει και το µέγιστο πλήθος στοιχείων class intstack { // υλοποιήσεις και ιδιωτικά μέλη κρυμμένα intstack(int) boolean isempty() void push(int) int pop() } Δοµές Δεδοµένων 06-25

26 Παραδείγµατα πελατών για στοίβες Πολλές σηµαντικές εφαρµογές Υπολογισµός αριθµητικών παραστάσεων Εικονική µηχανή Java Λειτουργίες Undo και Back Γλώσσα περιγραφής σελίδων PostScript Υπολογισµός αριθµητικών παραστάσεων Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την παράσταση 5 * ( ( ( ) * ( 4 * 6 ) ) + 7 ) Η παράσταση αυτή είναι σε ενθεµατική µορφή (infix) Μετατροπή σε µεταθεµατική µορφή (postfix) * * 7 + * Κάθε τελεστής ακολουθεί τα ορίσµατά του Δεν χρειάζονται παρενθέσεις Δοµές Δεδοµένων 06-26