ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ 3.1γ «Μελέτη απορρόφησης ακτινοβολίας-χ σε ημιαγωγούς με χρήση τεχνικών Monte Carlo»

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ 3.1γ «Μελέτη απορρόφησης ακτινοβολίας-χ σε ημιαγωγούς με χρήση τεχνικών Mote Carlo» Συντάκτες: 1. Παναγιώτης Λιαπαρίνος 2. Νεκτάριος Καλύβας 3. Γεώργιος Φούντος 4. Ιωάννης Βαλαής 5. Ευστράτιος Δαυίδ 6. Χρήστος Μιχαήλ 1

2 Περιεχόμενα I. Περίληψη.. 3 II. Υλικά και Μέθοδοι Α. Μοντελοποίηση της διαδρομής ενός φωτονίου μέσα στον ανιχνευτή...3 Β1. Κβαντική ανιχνευτική αποδοτικότητα (QDE)...6 B1.1 Υπολογισμός QDE με βάση την εξασθένηση... 6 B1.2 Υπολογισμός QDE με βάση την εναπόθεση ενέργειας Γ. Στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν... 7 III. Αποτελέσματα/Συζήτηση IV. Συμπεράσματα V. Αναφορές 10 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η απόδοση υλικών που χρησιμοποιούνται ως ανιχνευτές ιατρικής απεικόνισης έχει εξεταστεί με διάφορες πειραματικές διατάξεις και αναλυτικά μοντέλα. Τελευταία τεχνικές Μόντε Κάρλο έχουν χρησιμοποιηθεί στη μελέτη υλικών με σκοπό να ερευνήσουν με μεγαλύτερη σαφήνεια τους παράγοντες που επηρεάζουν την απόδοσή τους. Μία από αυτές τις παραμέτρους είναι η Κβαντική Ανιχνευτική Αποδοτικότητα (Quatum Detectio Efficiecy -QDE) που εκφράζει την ικανότητα του ανιχνευτή να ανιχνεύει τα φωτόνια της δέσμης ακτίνων-χ. Η μελέτη πραγματοποιήθηκε για το άμορφο σελήνιο a-se και τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με δύο ευρέως χρησιμοποιούμενα φθορίζοντα υλικά ανιχνευτών ιατρικής απεικόνισης, τα Gd 2 O 2 S:Tb και CsI:Tl. Οι τεχνικές Μόντε Κάρλο εφαρμόστηκαν για ενέργειες ακτίνων-χ στο ενεργειακό εύρος 10 kev 80 kev και για δύο πάχη υλικού (50 mg/cm 2 ad 100 mg/cm 2 ). Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι μεταξύ των τεχνικών Μόντε Κάρλο και των αναλυτικών μοντέλων παρατηρήθηκαν διαφορές της τάξης του 10 % γα το Gd 2 O 2 S:Tb (100 mg/cm 2 ), 7.7 % για το CsI:Tl (50 mg/cm 2 ) και 8.2 % για το a-se (50 mg/cm 2 ). ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ A. Μοντελοποίηση της διαδρομής ενός φωτονίου-χ μέσα στoν ανιχνευτή Κατά τη διέλευση ενός φωτονίου Χ σε ένα υλικό η μοντελοποίηση της πορείας του ξεκινάει με την προσομοίωση της μέσης ελεύθερης διαδρομής (free path legth), fpl, που μαζί με τις αρχικές συνθήκες, θέσης x y, z και κατεύθυνσής του a, b, c si cos,si si, cos, καθορίζει τη θέση αλληλεπίδρασής x y z του φωτονίου, όπου και είναι η πολική και αζιμουθιακή γωνία 1, 1, 1 αντίστοιχα οι οποίες καθορίζονται από τη γεωμετρία της δέσμης. Εφαρμόζοντας δειγματοληψία με τη μέθοδο της αντιστροφής στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας P( fpl),υπολογίζουμε την αθροιστική 3

4 fpl συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας CDF( fpl) και καθορίζουμε τη μέση ελεύθερη διαδρομή,, όπως δίνεται παρακάτω [1]: fpl CDF( fpl) P( fpl) d( fpl) 0 (1) όπου ( E) ( E) P( fpl) exp( fpl) (2) όπου (E) είναι ο γραμμικός συντελεστής εξασθένησης του υλικού και η πυκνότητά του. Αν θεωρήσουμε ότι R 1 είναι ένας τυχαίος αριθμός ομοιόμορφα κατανεμημένος στο μοναδιαίο διάστημα [0,1), τότε θέτουμε την αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ίση με αυτόν, και έχουμε: CDF ( fpl) R 1 (3) Από τις εξισώσεις (1),(2) και (3) βρίσκουμε ότι η μέση ελεύθερη διαδρομή υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: fpl l R ( E) 1 (4) Η θέση αλληλεπίδρασης καθορίζεται από τις παρακάτω εξισώσεις: x y z x y z a fplb c (5) Εφόσον καθοριστεί η θέση αλληλεπίδρασης του φωτονίου μέσα στο υλικό, το είδος αλληλεπίδρασης θα καθοριστεί από τις σχετικές πιθανότητες των αλληλεπιδράσεων που μπορούν να συμβούν ανάλογα με τις συνθήκες, π.χ. αν η ενέργεια του φωτονίου είναι μικρότερη από MeV, το φωτόνιο δεν μπορεί να αλληλεπιδράσει με το φαινόμενο της δίδυμης γένεσης. Αν θεωρήσουμε ότι οι αλληλεπιδράσεις που 4

5 μπορούν να λάβουν χώρα είναι: το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, η ανελαστική σκέδαση (Compto) και η ελαστική σκέδαση (Rayleigh), τότε το είδος αλληλεπίδρασης επιλέγεται ως εξής: Θέτουμε ένα τυχαίο αριθμό R 2 ομοιόμορφα κατανεμημένο στο μοναδιαίο διάστημα [0,1) και ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: (α) Υπολογίζουμε την πιθανότητα για κάθε αλληλεπίδραση ξεχωριστά όπως δίνεται παρακάτω: pphot PHOT INC COH, pinc, pcoh (6) όπου,, είναι ο μερικός συντελεστής αλληλεπίδρασης για κάθε φαινόμενο ξεχωριστά ( PHOT PHOT INC COH : φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, : ανελαστική σκέδαση, : ελαστική σκέδαση). INC (β) Το είδος της αλληλεπίδρασης i καθορίζεται από τις σχέσεις (7), όπου i 1, 2, 3 υποδηλώνει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, την ανελαστική σκέδαση και την ελαστική σκέδαση, αντίστοιχα. COH pphot 0 R6 i 1 pphot pinc pcoh pphot pphot pinc R6 ό i 2 pphot pinc pcoh pphot pinc pcoh pphot pinc R6 1 i 3 pphot pinc pcoh (7) Μόλις επιλεγεί το είδος αλληλεπίδρασης i στη συνέχεια επιλέγουμε σε ποιό στοιχείο ( j) του υλικού θα πραγματοποιηθεί με βάση την παρακάτω πιθανότητα [2]: p ( Z i j, E) N ( Z j, E) w j i ( Z j, E) w j j1 i (8) 5

6 ( Z όπου w j είναι το κλασματικό βάρος του στοιχείου j, j, E) είναι ο μερικός συντελεστής αλληλεπίδρασης του στοιχείου j για την εκάστοτε i αλληλεπίδραση και N είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων του υλικού. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση που η αλληλεπίδραση είναι σκέδαση επιλέγεται ξανά μία καινούργια μέση ελεύθερη διαδρομή και η καινούργια του κατεύθυνση a', b', c' si 'cos ',si 'si',cos ' καθορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις [3, 4]: i a' cos cos b' si cos c' si si cos 0 cos si a si si b cos c (9) Β. 1. Κβαντική ανιχνευτική αποδοτικότητα (QDE) Η κβαντική ανιχνευτική αποδοτικότητα QDE ορίζεται με βάση τον παρακάτω μαθηματικό τύπο [5]: QDE 1 [ / ] t 0 (10) όπου είναι η ροή των ακτίνων-χ που διαπερνά τον ανιχνευτή και είναι η ροή των ακτίνων-χ που t 0 προσπίπτει στον ανιχνευτή.. Β. 1.1 Υπολογισμός QDE με βάση την εξασθένηση Για έναν συγκεκριμένο ανιχνευτή η απορρόφηση των ακτίνων-χ σχετίζεται με το πάχος του υλικού καθώς και με την ενέργεια της δέσμης των ακτίνων-χ. Συγκεκριμένα ο υπολογισμός του QDE δίνεται με βάση την παρακάτω μαθηματική σχέση: ( E) P QDE, AN 1 exp T (11) (E) όπου είναι ο μαζικός συντελεστής εξασθένησης του υλικού, P εκφράζει την πυκνότητα διάταξης των κόκκων στο υλικό και T είναι το πάχος του υλικού. Όταν μία δέσμη ακτίνων-χ προσπίπτει στον ανιχνευτή, οι ακτίνες-χ μπορούν να αλληλεπιδράσουν με το υλικό με βάση τα παρακάτω φαινόμενα: 6

7 φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, ελαστική σκέδαση Rayleigh, ανελαστική σκέδαση Compto. O συγκεκριμένος υπολογισμός του QDE εκφράζει τον αριθμό των ακτίνων-χ που αλληλεπίδρασαν με το υλικό του ανιχνευτή και σχετίζεται με την εξασθένηση της ακτινοβολίας. Στην παρούσα εργασία ο υπολογισμός του QDE με βάση την εξασθένηση θα συμβολίζεται με QDE,AN, όταν υπολογίζεται με αναλυτικές μεθόδους και QDE,MC, όταν υπολογίζεται με τεχνικές Μόντε Κάρλο. Β. 1.2 Υπολογισμός QDE με βάση την εναπόθεση ενέργειας Επειδή η ανίχνευση των ακτίνων-χ σχετίζεται με την εναπόθεση ενέργειας, μόνο όσες ακτίνες-χ προσφέρουν ένα ποσό ενέργειας μέσα στο υλικό του ανιχνευτή μπορούν να θεωρηθούν ότι συμβάλλουν στον υπολογισμό του QDE. Για παράδειγμα, αν ένα φωτόνιο Χ υποστεί ελαστική σκέδαση και μετέπειτα διαφύγει τον ανιχνευτή, τότε δεν δίνει ενέργεια μέσα στο υλικό του ανιχνευτή και κανένα «σήμα» δεν παράγεται που θα βοηθήσει στο σχηματισμό της ιατρικής εικόνας. Χρησιμοποιώντας τεχνικές Μόντε Κάρλο [6, 7], μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια τα φωτόνια που συνεισφέρουν στην παραγωγή σήματος, και το QDE σ αυτήν την περίπτωση δίνεται με βάση την παρακάτω μαθηματική σχέση: QDE MC N N ED, INC (12) N ED όπου η παράμετρος εκφράζει τον αριθμό των ακτίνων-χ που δίνουν ενέργεια στο υλικό του ανιχνευτή, ενώ η παράμετρος N INC εκφράζει τον αριθμό των ακτίνων-χ που προσπίπτει στον ανιχνευτή. Στην παρούσα εργασία ο υπολογισμός του QDE με βάση την εναπόθεση ενέργειας θα συμβολίζεται με QDE,MC, όταν υπολογίζεται με τεχνικές Μόντε Κάρλο. Γ. Στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν Η συγκεκριμένη μελέτη πραγματοποιήθηκε για το φωτοαγώγιμο υλικό (ημιαγωγό) a-se και τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με δύο ευρέως χρησιμοποιούμενα φθορίζοντα υλικά ανιχνευτών ιατρικής 7

8 απεικόνισης, Gd 2 O 2 S:Tb και CsI:Tl. Οι κυριότερες ιδιότητες των υλικών που χρησιμοποιήθηκαν δίνονται στον πίνακα Ι. Πίνακας Ι. Ιδιότητες των υλικών Gd 2 O 2 S:Tb, CsI:Tl και a-se: (i) Ατομικοί αριθμοί των στοιχείων του υλικού Z, (ii) Ενεργειακή στάθμη K- στοιβάδας, (iii) πυκνότητα υλικού, (iv) συντελεστής απόδοσης Κ-χαρακτηριστικής ακτινοβολίας K των ατόμων [8-11]. Gd 2 O 2 S:Tb CsI:Tl a-se Z (kev) E K 3 ( g / cm ) K 64/8/16 55/ / / ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ/ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Πίνακας ΙΙ. Η κβαντική ανιχνευτική αποδοτικότητα των υλικών Gd 2 O 2 S:Tb, CsI:Tl και a-se για πάχος 50 mg/cm 2. Σύγκριση μεταξύ αναλυτικών μοντέλων και τεχνικών Μόντε Κάρλο για εύρος ενεργειών kev. Types of detector X-ray eergy (kev) Gd 2 O 2 S:Tb CsI:Tl a-se

9 Η μεταβολή της Κβαντικής Ανιχνευτικής Αποδοτικότητας (QDE) σε σχέση με την ενέργεια της προσπίπτουσας δέσμης των ακτίνων-χ παρουσιάζεται στους πίνακες Ι και ΙΙ. Η μεταβολή QDE παρουσιάζεται για ενέργειες kev και για δύο διαφορετικά πάχη ανιχνευτών, 50 mg/cm 2 (πίνακας ΙΙ) και 100 mg/cm 2 (πίνακας ΙΙΙ). Το μοντέλο που στηρίχτηκε στις τεχνικές Μόντε Κάρλο βασίστηκε στην παραδοχή ότι μόνο οι ακτίνες-χ που εναπόθεσαν κάποιο ποσό ενέργειας μέσα στο υλικό ήταν αυτές που τελικά αλληλεπίδρασαν (εξίσωση 12) και αφορούν τις τιμές στους δύο πίνακες. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η μέγιστη διαφορά μεταξύ των τιμών και βρέθηκε να είναι: (α) 8-12 % για το λεπτό στρώμα υλικού (50 mg/cm 2 ) και % για το παχύ στρώμα υλικού (100 mg/cm 2 ) και για εύρος ενεργειών kev, όσον αφορά τον ανιχνευτή με Gd 2 O 2 S:Tb, (b) % για το λεπτό στρώμα υλικού (50 mg/cm 2 ) και % για το παχύ στρώμα υλικού (100 mg/cm 2 ) και για εύρος ενεργειών kev, όσον αφορά τον ανιχνευτή με CsI:Tl και (γ) % για το λεπτό στρώμα υλικού (50 mg/cm 2 ) και % για το παχύ στρώμα υλικού (100 mg/cm 2 ) και για εύρος ενεργειών kev, όσον αφορά τον ανιχνευτή με a-se. Πίνακας ΙΙΙ. Η κβαντική ανιχνευτική αποδοτικότητα των υλικών Gd 2 O 2 S:Tb, CsI:Tl και a-se για πάχος 100 mg/cm 2. Σύγκριση μεταξύ αναλυτικών μοντέλων και τεχνικών Μόντε Κάρλο για εύρος ενεργειών kev. Types of detector X-ray eergy (kev) Gd 2 O 2 S:Tb CsI:Tl a-se

10 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η παράμετρος απόδοσης υλικών ανιχνευτών, Κβαντική Ανιχνευτική Αποδοτικότητα (Quatum Detectio Efficiecy -QDE), για υλικό φωτοαγωγού (ημιαγωγού) a-se και τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με δύο φθορίζοντα υλικά ιατρικής απεικόνισης, Gd 2 O 2 S:Tb και CsI:Tl. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι μεταξύ των τεχνικών Μόντε Κάρλο και των αναλυτικών μοντέλων παρατηρήθηκαν διαφορές της τάξης του 10 % γα το Gd 2 O 2 S:Tb (100 mg/cm 2 ), 7.7 % για το CsI:Tl (50 mg/cm 2 ) και 8.2 % για το a-se (50 mg/cm 2 ). ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Cha H. P. ad Doi K., The validity of Mote Carlo simulatio i studies of scer radiatio i diagostic radiology, Phys. M. Biol. 28, (1983). [2] Cha H. P. ad Doi K., Eergy ad agular depedece of x-ray absorptio ad its effect o radiographic respose i scree-film systems, Phys. M. Biol. 28, (1983). [3] Liaparios P., Kadarakis I., Cavouras D., Delis H., Paayiotakis G., Modelig graular phosphor screes by Mote Carlo methods M. Phys. 33, (2006). [4] Liaparios P., Kadarakis I., Cavouras D., Delis H. ad Paayiotakis G., Mote Carlo study o the imagig performace of powder Lu 2 SiO 5 :Ce phosphor screes uder x-ray excitatio: Compariso with Gd 2 O 2 S:Tb screes, M. Phys. 34 (2007) [5] M. Dragova ad J. A. Rowlads, Optical factors affectig the detective quatum efficiecy of radiographic screes, M. Phys (1986). [6] Adreo P., Mote Carlo techiques i mical radiatio physics, Phys. M. Biol. 36, (1991). 10

11 [7] Zaidi H., Relevace of accurate Mote Carlo modelig i uclear mical imagig, M. Phys. 26 (1999) [8] L. E. Atouk, K. W. Jee, Y. El-Mohri, M. Maolibay, S. Naddif, X. Rog, Q. Zhao ad J. H. Siewerdse Strategies to improve the sigal ad oise performace of active matrix, flat-pael imagers for diagostic x-ray applicatios, M. Phys (2000). [9] J. H. Hubbell, P. N. Treha, Nirma Sigh, B. Chad, D. Mehta, M. L. Garg, R. R. Grag, Surider Sigh ad S. Puri, A review, bibliography, ad tabulatio of K, L, ad higher atomic shell x-ray fluorescece yields J. Phys. Chem. Ref. Data 23, , (1994). [10] R.M. Nishikawa, M.J. Yaffe Model of the spatial-frequecy-deped detective quatum efficiecy of phosphor screes M. Phys. vol. 17, pp , [11] Gizburg A. ad Dick C. E., Image iformatio trasfer properties of x-ray itesifyig screes i the eergy rage from 17 to 320 kev, M. Phys. 20, (1993). 11