Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε.

Transcript

1 Ψηφιακά Δένδρα Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών τα οποία είναι ακολουθίες συμβάλλων από ένα πεπερασμένο αλφάβητο Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω αναπαράσταση για να αποθηκεύσουμε τα στοιχεία σε ένα -αδικό δένδρο : Ένας εσωτερικός κόμβος έχει μία εξερχόμενη ακμή για κάθε σύμβολο

2 Tries Ένα trie (από retrieval) είναι ένα ψηφιακό δένδρο όπου : Τα στοιχεία αποθηκεύονται στα φύλλα του δένδρου. Οι ακμές του μονοπατιού από τη ρίζα προς το φύλλο που αποθηκεύει ένα στοιχείο σχηματίζουν ένα πρόθεμα. Θα εστιάσουμε στην περίπτωση. Αναδρομικός ορισμός Ένα trie με στοιχεία είναι ένα δυαδικό δένδρο το οποίο αποθηκεύει στοιχεία στα φύλλα του και ορίζεται αναδρομικά ως εξής : : το trie είναι ένας κενός κόμβος. : το trie είναι ένα φύλλο που περιέχει το μοναδικό στοιχείο. : το trie αποτελείται από ένα εσωτερικό κόμβο ρίζα του οποίου ο αριστερός σύνδεσμος αναφέρεται σε trie που περιέχει τα στοιχεία με το πρώτο ψηφίο και ο δεξιός σύνδεσμος αναφέρεται σε trie που περιέχει τα στοιχεία με το πρώτο ψηφίο. Το πρώτο ψηφίο αφαιρείται για την κατασκευή των υποδένδρων.

3 Tries Αναζήτηση στοιχείου : Ξεκινάμε από τη ρίζα και ακολουθούμε τις ακμές που αντιστοιχούν στα ψηφία του μέχρι να καταλήξουμε σε φύλλο ή κενό κόμβο.

4 Tries Εισαγωγή στοιχείου Εκτελούμε τη διαδικασία αναζήτησης του. Έστω ο κόμβος στον οποίο καταλήγει η αναζήτηση. Έστω αριθμός των ακμών που ακολούθησε η αναζήτηση και έστω το στοιχείο που περιέχει ο. Αν ο είναι ο κενός κόμβος τότε απλά εισάγουμε στη θέση του νέο κόμβο που αποθηκεύει το στοιχείο. Διαφορετικά έστω ότι για, όπου, και. Εισάγουμε στη θέση του ένα μονοπάτι που αντιστοιχεί στα ψηφία των θέσεων από έως. Τοποθετούμε τους κόμβους που περιέχουν τα στοιχεία και ως παιδιά του τελευταίου κόμβου του μονοπατιού.

5 Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

6 Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

7 Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

8 Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

9 Tries Ιδιότητες Η μορφή του trie είναι ανεξάρτητη από τη σειρά εισαγωγής των στοιχείων. Κάθε δεδομένο σύνολο διακριτών στοιχείων δημιουργεί ένα μοναδικό trie. Η αναζήτηση ή εισαγωγή απαιτεί χρόνο στη χειρότερη περίπτωση. Η αναζήτηση ή εισαγωγή ενός τυχαίου στοιχείου σε trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων, απαιτεί κατά μέσο όρο χρόνο. Ένα trie κατασκευασμένο από περιέχει κατά μέσο όρο τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων εσωτερικούς κόμβους.

10 Tries Η αναζήτηση ή εισαγωγή ενός τυχαίου στοιχείου σε trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων, απαιτεί κατά μέσο όρο χρόνο. Απόδειξη Έστω ένα τυχαίο στοιχείο. Η πιθανότητα που έχει καθένα από τα στοιχεία του τυχαίου trie να διαφέρει με το σε τουλάχιστον ένα από τα πρώτα ψηφία είναι. Άρα η πιθανότητα το να ταιριάζει σε όλα τα πρώτα ψηφία με κάποιο στοιχείο του trie είναι όπου χρησιμοποιήσαμε την προσέγγιση. Άρα ο μέσος χρόνος αναζήτησης του είναι

11 Συμπιεσμένα Tries Για να αποφύγουμε τη σπατάλη χώρου σε ένα trie μπορούμε να συμπίεσουμε τους κόμβους που έχουν μονόδρομη διακλάδωση:

12 Συμπιεσμένα Tries Για να αποφύγουμε τη σπατάλη χώρου σε ένα trie μπορούμε να συμπίεσουμε τους κόμβους που έχουν μονόδρομη διακλάδωση: 4 Ο ψηφίο 4 Ο ψηφίο Σε κάθε κόμβο τοποθετούμε τον αριθμοδείκτη του ψηφίου που πρόκειται να ελεγχθεί. Επιτυγχάνει χώρο αλλά κάνει δυσκολότερη την εισαγωγή.

13 Συμπιεσμένα Tries Το μέσο βάθος ενός στοιχείου σε συμπιεσμένο trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων είναι. Απόδειξη Έστω η τυχαία μεταβλητή που δίνει το βάθος του trie. Έχουμε Όμως γιατί αν τότε οι υποακολουθίες από τα πρώτα ψηφία των στοιχείων είναι διακεκριμένες, ενώ τα υπόλοιπα ψηφία ενός στοιχείου μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή, άρα

14 Συμπιεσμένα Tries Το μέσο βάθος ενός στοιχείου σε συμπιεσμένο trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων είναι. Απόδειξη Έστω η τυχαία μεταβλητή που δίνει το βάθος του trie. Έχουμε (πρέπει ).

15 Συμπιεσμένα Tries Το μέσο βάθος ενός στοιχείου σε συμπιεσμένο trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων είναι. Απόδειξη Έστω η τυχαία μεταβλητή που δίνει το βάθος του trie. Έχουμε όπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Οπότε

16 Patricia Tries Practical algorithm to retrieve information coded in alphanumeric Συμπιεσμένα tries που επιτυγχάνουν γρήγορη εισαγωγή. Τα στοιχεία αποθηκεύονται στους εσωτερικούς κόμβους αλλά δε χρησιμοποιούνται κατά την αναζήτηση. Αντικαθιστούμε τους συνδέσμους προς τα φύλλα με συνδέσμους οι οποίοι δείχνουν προς τα επάνω, στο σωστό εσωτερικό κόμβο του trie. Η αναζήτηση γίνεται όπως στο συμπιεσμένο trie, μόνο που ολοκληρώνεται στον πρώτο κόμβο που συναντάμε μέσω δείκτη προς τα πάνω

17 Patricia Tries Εισαγωγή στοιχείου Εκτελούμε τη διαδικασία αναζήτησης του. Έστω ο κόμβος στον οποίο καταλήγει η αναζήτηση. Έστω το στοιχείο που αποθηκεύει ο, και έστω η πρώτη θέση στην οποία διαφωνούν τα ψηφία των και. ( για.) Ξεκινάμε ξανά από τη ρίζα και ελέγχουμε τους αριθμοδείκτες των κόμβων στο μονοπάτι αναζήτησης : Αν δεν υπάρχει κόμβος με αριθμοδείκτη κόμβο που διακρίνει το στοιχείο από το. τότε προσθέτουμε ένα νέο Διαφορετικά εισάγουμε ένα νέο κόμβο που ελέγχει το ψηφίο.

18 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4

19 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4

20 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4

21 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4

22 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4 4

23 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 4 4

24 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 2 4 4

25 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή 2 4 4

26 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

27 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

28 Patricia Tries Παράδειγμα : Εισαγωγή

29 Patricia Tries Ιδιότητα Η αναζήτηση ή εισαγωγή ενός τυχαίου στοιχείου σε trie κατασκευασμένο από τυχαίες (διακεκριμένες) ακολουθίες ψηφίων, απαιτεί περίπου συγκρίσεις κατά μέσο όρο και περίπου συγκρίσεις στη χειρότερη περίπτωση.