Δομές Αναζήτησης. κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο. Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου

Transcript

1 Δομές Αναζήτησης Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο όπου το κάθε στοιχείο έχει ένα Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου με κλειδί Αναζήτηση στοιχείου με δεδομένο κλειδί

2 Δομές Αναζήτησης Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο όπου το κάθε στοιχείο έχει ένα Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου με κλειδί Αναζήτηση στοιχείου με δεδομένο κλειδί Άλλες χρήσιμες λειτουργίες είναι: Διαγραφή ενός καθορισμένου στοιχείου Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί Ταξινόμηση των στοιχείων σύμφωνα με τα κλειδιά τους Εύρεση προκάτοχου ή διάδοχου Ένωση δύο δομών αναζήτησης

3 Δομές Αναζήτησης Διατεταγμένος πίνακας: χρόνος αναζήτησης (δυαδική αναζήτηση) Αναζήτηση

4 Δομές Αναζήτησης Διατεταγμένος πίνακας: χρόνος αναζήτησης (δυαδική αναζήτηση) Αναζήτηση Όμως η εισαγωγή ενός νέου στοιχείου απαιτεί χρόνο.

5 Δομές Αναζήτησης Για να πετύχουμε καλύτερο χρόνο εισαγωγής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια δενδρική δομή Αναζήτηση

6 Δομές Αναζήτησης Για να πετύχουμε καλύτερο χρόνο εισαγωγής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια δενδρική δομή Δυαδικό δένδρο αναζήτησης Η ενδοδιάτεταγμένη διάσχιση του δένδρου επισκέπτεται τους κόμβους σε αύξουσα σειρά κλειδιού

7 Διάσχιση Δυαδικού Δένδρου void traverse(link h, void (*visit)(link)){ if (h == NULL) return; traverse(h->l,visit); (*visit)(h); traverse(h->r,visit); } ενδοδιάταξη (inorder)

8 Πίνακες Συμβόλων χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης (μη ισορροπημένο) τυχαιοποιημένο δένδρο ισορροπημένο δένδρο αναζήτησης κατακερματισμός (*) Συμβαίνει με εξαιρετικά μικρή πιθανότητα

9 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου

10 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. root

11 Αν δεν υπάρχει πρόβλημα αποθηκευτικού χώρου που διατίθεται για το δένδρο τότε μπορούμε να έχουμε σε κάθε κόμβο ένα δείκτη προς το γονέα του. Αυτό απλοποιεί την υλοποίηση ορισμένων λειτουργιών. root

12 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Αναζήτηση στοιχείου με κλειδί Ξεκινάμε την αναζήτηση από τον κόμβο h=root Αν το κλειδί του h είναι στοιχείο του h ή ο h είναι o κενός κόμβος τότε επιστρέφουμε το Αν το είναι μικρότερο από το κλειδί του h τότε θέτουμε h=h->l και συνεχίζουμε την αναζήτηση στο υποδένδρο με ρίζα h Αν το είναι μεγαλύτερο από το κλειδί του h τότε θέτουμε h=h->r και συνεχίζουμε την αναζήτηση στο υποδένδρο με ρίζα h

13 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. 15< Αναζήτηση

14 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. 15> Αναζήτηση

15 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Αναζήτηση <

16 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Αναζήτηση =

17 typedef struct STnode* link; struct STnode { Item item; link l, r; int N }; static link root, z; link NEW(Item item, link l, link r, int N) { link x = malloc(sizeof *x); x->item = item; x->l = l; x->r = r; x->n = N; return x; } Για κάθε κόμβο x η μεταβλητή N μετρά τον αριθμό των κόμβων στο υποδένδρο με ρίζα x void STinit() { root = ( z = NEW(NULLitem,0,0,0) ); } int STcount() { return root->n; } Item searchr(link h, Key v) { Key t = key(h->item); if (h == z) return NULLitem; if eq(v,t) return h->item; if less(v,t) return searchr(h->l,v); else return searchr(h->r,v); } Item STsearch(Key v) { return searchr(root,v); }

18 typedef struct STnode* link; struct STnode { Item item; link l, r; int N }; static link root, z; link NEW(Item item, link l, link r, int N) { link x = malloc(sizeof *x); x->item = item; x->l = l; x->r = r; x->n = N; return x; } void STinit() { root = ( z = NEW(NULLitem,0,0,0) ); } int STcount() { return root->n; } Item searchr(link h, Key v) { Key t = key(h->item); if (h == z) return NULLitem; if eq(v,t) return h->item; if less(v,t) return searchr(h->l,v); else return searchr(h->r,v); } η μεταβλητή z αναπαριστά τους εξωτερικούς (κενούς) κόμβους Item STsearch(Key v) { return searchr(root,v); }

19 typedef struct STnode* link; struct STnode { Item item; link l, r; int N }; static link root, z; link NEW(Item item, link l, link r, int N) { link x = malloc(sizeof *x); x->item = item; x->l = l; x->r = r; x->n = N; return x; } void STinit() { root = ( z = NEW(NULLitem,0,0,0) ); } int STcount() { return root->n; } Item searchr(link h, Key v) { Key t = key(h->item); if (h == z) return NULLitem; if eq(v,t) return h->item; if less(v,t) return searchr(h->l,v); else return searchr(h->r,v); } η μεταβλητή root δείχνει στη ρίζα του δένδρου Item STsearch(Key v) { return searchr(root,v); }

20 typedef struct STnode* link; struct STnode { Item item; link l, r; int N }; static link root, z; link NEW(Item item, link l, link r, int N) { link x = malloc(sizeof *x); x->item = item; x->l = l; x->r = r; x->n = N; return x; } void STinit() { root = ( z = NEW(NULLitem,0,0,0) ); } int STcount() { return root->n; } Item searchr(link h, Key v) { Key t = key(h->item); if (h == z) return NULLitem; if eq(v,t) return h->item; if less(v,t) return searchr(h->l,v); else return searchr(h->r,v); } η συνάρτηση key επιστρέφει το κλειδί ενός αντικειμένου Item STsearch(Key v) { return searchr(root,v); }

21

22 root z -

23 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση κόμβων με μέγιστο και ελάχιστο κλειδί

24 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση κόμβου με μέγιστο κλειδί Ξεκινάμε την αναζήτηση από τον κόμβο h=root Αν ο h έχει δεξί παιδί τότε θέτουμε h=h->r και συνεχίζουμε την αναζήτηση στο υποδένδρο με ρίζα h Διαφορετικά επιστρέφουμε τον h

25 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση κόμβου με ελάχιστο κλειδί Ξεκινάμε την αναζήτηση από τον κόμβο h=root Αν ο h έχει αριστερό παιδί τότε θέτουμε h=h->l και συνεχίζουμε την αναζήτηση στο υποδένδρο με ρίζα h Διαφορετικά επιστρέφουμε τον h

26 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση προκάτοχου και διάδοχου κόμβου του x x προκάτοχος διάδοχος 20 Προκάτοχος: έχει το αμέσως μικρότερο κλειδί Διάδοχος: έχει το αμέσως μεγαλύτερο κλειδί

27 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση προκάτοχου και διάδοχου κόμβου του x προκάτοχος διάδοχος x Προκάτοχος: έχει το αμέσως μικρότερο κλειδί Διάδοχος: έχει το αμέσως μεγαλύτερο κλειδί

28 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εύρεση διάδοχου κόμβου του x Αν ο x έχει δεξί παιδί τότε επιστρέφουμε τον κόμβο με το ελάχιστο κλειδί στο υποδένδρο με ρίζα x->l Διαφορετικά επιστρέφουμε τον κατώτερο πρόγονο h του x το αριστερό παιδί του οποίου (h->l) είναι επίσης πρόγονος του x

29 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή νέου στοιχείου με κλειδί (που δεν υπάρχει ήδη στο δένδρο) Αναζητούμε το κλειδί στο δένδρο και βρίσκουμε τον κόμβο h που είναι γονέας του κενού κόμβου στον οποίο καταλήγει η αναζήτηση Δημιουργούμε νέο κόμβο x με κενά παιδιά και αποθηκεύουμε το νέο στοιχείο στον x Aν ο h δεν υπάρχει τότε θέτουμε root=x Διαφορετικά, κάνουμε τον x αριστερό παιδί του h αν η αναζήτηση ακολούθησε τον αριστερό σύνδεσμο του h. Διαφορετικά κάνουμε τον x δεξί παιδί του h

30 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. 13< Εισαγωγή

31 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. 13<14 Εισαγωγή

32 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή 13 13>

33 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή >

34 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή

35 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή

36 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Εισαγωγή

37 Item insertr(link h, Item item) { Key v = key(item), t = key(h->item); if (h == z) return NEW(item,z,z,1); if less(v,t) h->l = insertr(h->l, item); else h->r = insertr(h->r, item); (h->n)++; return h; } void STinsert(Item item) { head insertr(root, item); }

38 Εισαγωγή

39 Εισαγωγή, 8 8

40 Εισαγωγή, 8, 6 8 6

41 Εισαγωγή, 8, 6, 8 6

42 Εισαγωγή, 8, 6,,

43 Εισαγωγή, 8, 6,, 12,

44 Εισαγωγή, 8, 6,, 12, 13,

45 Εισαγωγή, 8, 6,, 12, 13, 4,

46 Εισαγωγή, 8, 6,, 12, 13, 4, 7,

47 Εισαγωγή, 8, 6,, 12, 13, 4, 7, 15,

48 Εισαγωγή 14, 8,, 6, 12, 15, 21, 4, 7,,

49 Εισαγωγή 4 4, 6, 7, 8,, 12, 13, 14, 15,,

50 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή

51 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή

52 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή

53 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή

54 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου.? Διαγραφή

55 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Αντιγράφουμε το κλειδί του διάδοχου κόμβου Διαγραφή

56 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή Διαγράφουμε τον διάδοχο κόμβο

57 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή

58 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. Διαγραφή κόμβου x Αν ο x έχει κενό παιδί τότε θέτουμε z=x, διαφορετικά θέτουμε z = διάδοχος του x. Αν ο z είναι διαφορετικός από τον x τότε αντιγράφουμε τα δεδομένα του z στον x. Αν ο z έχει κενό δεξί παιδί τότε θέτουμε y=z->l, διαφορετικά θέτουμε y=z->r. Αν ο z δεν έχει γονέα τότε θέτουμε root=y. Διαφορετικά έστω w ο γονέας του z. Αν ο z είναι αριστερό παιδί (w->l==z) τότε κάνουμε τον y αριστερό παιδί του w, και αν ο z είναι δεξί παιδί (w->r==z) τότε κάνουμε τον y αριστερό παιδί του w

59 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. x Διαγραφή x w = γονέας του z 8 z = διάδοχος του x y = παιδί του x

60 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. αντιγράφουμε τα περιεχόμενα του z στον x x 12 w = γονέας του z 21 Διαγραφή x 8 z = διάδοχος του x y = παιδί του x

61 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. θέτουμε τον y ως αριστερό παιδί του w x 12 w = γονέας του z 21 Διαγραφή x 8 z = διάδοχος του x y = παιδί του x

62 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου. διαγράφουμε τον z x 12 w = γονέας του z 21 Διαγραφή x 8 z = διάδοχος του x y = παιδί του x

63 Το κλειδί οποιουδήποτε εσωτερικού κόμβου είναι μεγαλύτερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου και μικρότερο (ή ίσο) από όλα τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου

64 επίπεδο ρίζας = 0 επίπεδο κόμβου = επίπεδο γονέα + 1 ύψος δένδρου = μέγιστο επίπεδο Μήκος διαδρομής = άθροισμα επιπέδου κάθε κόμβου (=30) Μήκος εσωτερικής διαδρομής = άθροισμα επιπέδου κάθε εσωτερικού κόμβου (=9) Μήκος εξωτερικής διαδρομής = άθροισμα επιπέδου κάθε εξωτερικού κόμβου (=21) Ισχύει: μήκος εξωτερικής διαδρομής = μήκος εσωτερικής διαδρομής + 2Ν

65 Ο χρόνος εκτέλεσης των προηγούμενων λειτουργιών είναι ανάλογος του ύψους του δένδρου αναζήτησης Ένα δυαδικό δένδρο με Ν εσωτερικούς κόμβους έχει ύψος μεταξύ lgn και Ν εσωτερικοί κόμβοι στο επίπεδο ένας εσωτερικός κόμβος ανά επίπεδο μήκος εσωτερικής διαδρομής = μήκος εσωτερικής διαδρομής =

66 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. Έστω C(Ν) το μέσο μήκος της εσωτερικής διαδρομής ενός δυαδικού δένδρου αναζήτησης με Ν κόμβους. Έχουμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση, όπου k-1 N-k

67 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. Έστω C(Ν) το μέσο μήκος της εσωτερικής διαδρομής ενός δυαδικού δένδρου αναζήτησης με Ν κόμβους. Έχουμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση, όπου

68 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. Έστω C(Ν) το μέσο μήκος της εσωτερικής διαδρομής ενός δυαδικού δένδρου αναζήτησης με Ν κόμβους. Έχουμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση, όπου

69 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. Έστω C(Ν) το μέσο μήκος της εσωτερικής διαδρομής ενός δυαδικού δένδρου αναζήτησης με Ν κόμβους. Έχουμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση, όπου Ομοίως

70 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. Έστω C(Ν) το μέσο μήκος της εσωτερικής διαδρομής ενός δυαδικού δένδρου αναζήτησης με Ν κόμβους. Επομένως

71 Ιδιότητα: Οι επιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά. μήκος εξωτερικής διαδρομής = μήκος εσωτερικής διαδρομής + 2Ν Έχουμε λοιπόν Ιδιότητα: Οι εισαγωγές και οι ανεπιτυχείς αναζητήσεις απαιτούν περίπου 2 lnn συγκρίσεις, κατά μέσο όρο, σε ένα ΔΔΑ κατασκευασμένο από Ν τυχαία κλειδιά.