ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ NEWMARK ΣΕ ΣΕΙΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ν. ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ Πολιτικός Μηχανικός ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2015

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία εκπονήθηκε στο τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Για την επιτυχή ολοκλήρωση της με βοήθησαν αρκετοί άνθρωποι τους οποίους θα ήθελα να ευχαριστήσω. Το θέμα της εργασίας υποδείχθηκε από τον Καθηγητή του πανεπιστημίου Πατρών Α. Σ. Παπαγεωργίου ο οποίος ήταν και ο επιβλέπων καθηγητής και θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την ευκαιρία που μου έδωσε να συνεργαστώ μαζί του αλλά και για την βοήθεια που μου προσέφερε προκειμένου να καταστεί δυνατή η υλοποίηση της εργασίας. Αποτελεί τιμή για εμένα που συνεργάστηκα με έναν τόσο αξιόλογο Καθηγητή. Ευχαριστώ τα μέλη της εξεταστικής επιτροπής (Καθ. Στ. Δρίτσο και Επ. Καθ. Μ. Σφακιανάκη). Ευχαριστώ τη συμφοιτήτριά μου Ε. Πράπα που με προθυμία με βοήθησε σε σημαντικά σημεία της εργασίας μου, καθώς η δικιά της μεταπτυχιακή εργασία αποτέλεσε προπομπό της παρούσας. Ένα ιδιαίτερο ευχαριστώ στη συμφοιτήτρια μου Ε. Πλεύρη με την οποία συνεργαστήκαμε ευχάριστα και εποικοδομητικά έναν ολόκληρο χρόνο για την προετοιμασία των μεταπτυχιακών μας εργασιών. Σημαντικό ρόλο διαδραμάτισαν και οι συμφοιτητές μου Ζωή και Κωνσταντίνος αφού μου προσέφεραν την βοήθεια τους όποτε τους ζητήθηκε. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου και τους φίλους μου για την αμέριστη συμπαράσταση τους. Πάτρα, Ιούλιος 2015 Πουλόπουλος Ν. Δημήτριος 2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ανελαστική συμπεριφορά του εδάφους καθώς και των γεωτεχνικών κατασκευών μας υποδεικνύουν τη σημαντικότητα μελέτης των μη συμβατικών ανελαστικών συστημάτων. Συστήματα ολίσθησης αναπτύσσονται είτε σε τεχνικά έργα του Πολιτικού- Γεωτεχνικού Μηχανικού είτε σε φυσικά πρανή. Συγκεκριμένα, ως συστήματα ολίσθησης συμπεριφέρονται φράγματα, επιχώματα, επιφανειακά θεμέλια, τοίχοι αντιστήριξης και εφέδρανα ολίσθησης. Σε φυσικά πρανή αναπτύσσονται επίσης μηχανισμοί ολίσθησης που οφείλονται στην απώλεια διατμητικής αντοχής και συνεπώς επέρχεται σχετική ολίσθηση εδαφικού πρίσματος ως προς το υπερκείμενο έδαφος με αστοχία της διεπιφάνειας που προέκυψε κατά τη διάρκεια του σεισμού. Μια καλή προσομοίωση των μοντέλων ολίσθησης που αναφέρθηκαν είναι το μοντέλο ολίσθησης Newmark το οποίο αναπτύχθηκε το 1965 από τον Nathan Newmark. Οι υπολογισμοί του για την τελική προσομοίωση του μοντέλου βασίστηκαν στην παραδοχή πως ολόκληρη η μάζα κατά την διάρκεια της κίνησής της συμπεριφέρεται σαν στερεό σώμα ενώ αναπτύσσεται αντίσταση στην επιφάνεια ολίσθησης. Οι μόνιμες μετακινήσεις αναπτύσσονται όταν οι αδρανειακές δυνάμεις του άκαμπτου σώματος υπερβαίνουν τη διατμητική αντοχή της διεπιφάνειας και υπολογίζονται έπειτα από διπλή ολοκλήρωση της σχετικής επιτάχυνσης. Ως σχετική επιτάχυνση ορίζεται η διαφορά της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης από την επιτάχυνση διαρροής ή κρίσιμη επιτάχυνση. Στην παρούσα εργασία μελετάται η απόκριση του μοντέλου ολίσθησης Newmark υποκείμενο σε δυναμική ανάλυση. Τα είδη/κατηγορίες διεγέρσεων είναι τρία και όλοι οι υπολογισμοί γίνονται στο λογισμικό Matlab. Στο σημείο αυτό διευκρινίζεται ότι οι αναλύσεις χρονοϊστορίας πραγματοποιούνται για όλο το εύρος γωνίας πρανούς θ (0 <θ<25 ) και συντελεστή τριβής μ (0.1<μ<0.8) και έτσι υπολογίζονται για συνολικά 38 συνδυασμούς θ και μ σε κάθε σεισμό ώστε να εξαχθούν ικανοποιητικά αποτελέσματα καλύπτοντας όλο το εύρος των παραμέτρων. Αρχικά πραγματοποιούνται δυναμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας λαμβάνοντας ως διέγερση καταγραφές εγγύς πεδίου που περιέχουν παλμούς κατευθυντικότητας (directivity pulses) και εξάγεται η τελική σχετική ολίσθηση (Δut). Στη συνέχεια, υποθέτουμε την εκτίμηση ότι θα μπορούσε να εξαχθεί η ίδια ποσοτικά σχετική ολίσθηση προσθέτοντας τις σχετικές μετατοπίσεις ολίσθησης που αντιστοιχούν στις διεγέρσεις από το συνεκτικό (coherent) και το μη συνεκτικό (incoherent) κομμάτι της καταγραφής που θα υπολογιστούν 3

4 ξεχωριστά. Ως coherent κομμάτι θα χρησιμοποιηθεί το αναλυτικό μοντέλο που προτείνουν οι MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) στην ερευνητική εργασία τους με τίτλο «A Mathematical Representation of Near Fault Ground Motions» και περιγράφεται στο δεύτερο κεφάλαιο. Το μοντέλο αυτό αποδεικνύεται πως περιγράφει επαρκώς τον παλμικό χαρακτήρα των καταγραφών εγγύς πεδίου και γίνεται βαθμονόμηση με την χρήση όλων των διαθέσιμων εδαφικών διεγέρσεων ενώ πραγματοποιείται και επιπλέον διερεύνηση των παραμέτρων του, της αλληλεπίδρασής τους με τον κανονικοποιημένο συντελεστή τριβής μ/αη και παρουσιάζεται η τελική επίδρασή τους στην κανονικοποιημένη σχετική ολίσθηση τόσο στην περίπτωση συμμετρικής όσο και ασύμμετρης τριβής. Έτσι υπολογίζουμε τη σχετική ολίσθηση με δυναμική ανάλυση και διέγερση τον παλμό (Δuc). Στη συνέχεια αφού αφαιρέσουμε τον παλμό από το επιταχυνσιογράφημα, η υπολειπόμενη χρονοϊστορία αναφέρεται ως μη-συνεκτική συνιστώσα ή απλούστερα ως θόρυβος. Έτσι λοιπόν θα πρέπει να υπολογίσουμε την μετατόπιση ολίσθησης λαμβάνοντας ως διέγερση το θόρυβο. Για να επιτευχθεί αυτό χρησιμοποιούμε τη λύση κλειστού τύπου που προτείνεται στην ερευνητική εργασία των Constantinou, M.C., G. Gazetas, and I. Tadjbakhsh (1984) με τίτλο «Stochastic seismic sliding of rigid mass against asymmetric coloumb friction» και περιγράφεται στο τρίτο κεφάλαιο καταλήγοντας σε μια τιμή σχετικής ολίσθησης (Δui). Ελέγχεται για κάθε σεισμό και αντίστοιχα για κάθε συνδυασμό θ και μ (38? περιπτώσεις για κάθε σεισμό), εάν ισχύει η ισότητα (Δut) = (Δuc) + (Δui) και κατ επέκταση εάν η επαλληλία των δύο αποκρίσεων προσεγγίζει την απόκριση που προκύπτει με διέγερση την εκάστοτε συνολική καταγραφή. Λόγω της μη γραμμικότητας του προβλήματος αναμένεται η επαλληλία των αποτελεσμάτων να μην συμπίπτει με το αποτέλεσμα της ανάλυσης της εκάστοτε εδαφικής κίνησης εγγύς πεδίου. Για αυτό το λόγο καθορίζεται το εύρος των παραμέτρων για τις οποίες η αρχική μας υπόθεση έχει ισχύ. Τέλος, παρατηρείται ότι στις περιπτώσεις που η σχετική ολίσθηση λόγω της συνολικής καταγραφής εγγύς-πεδίου ήταν σημαντική (>10cm) στην πλειοψηφία των καταγραφών που εξετάστηκαν τα αποτελέσματα της επαλληλίας είναι ικανοποιητικά και κυρίως για μικρές τιμές του μ η αρχική μας υπόθεση επαληθεύεται για τις περισσότερες καταγραφές. Παρ όλο ότι το σύστημά μας είναι απόλυτα μη γραμμικό και συνεπώς δεν ισχύει η επαλληλία, τα αποτελέσματα για τους 22 σεισμούς της συγκεκριμένης εργασίας δείχνουν ότι σε κάποιες περιπτώσεις η πρόσθεση της σχετικής ολίσθησης έχοντας ως διέγερση τον παλμό με εκείνη που προκύπτει από το θόρυβο, προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την τιμή της σχετικής ολίσθησης που προκύπτει από τη σεισμική καταγραφή. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ... iii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xii 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ NEWMARK ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΔΟΜΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Βασικές παράμετροι περιπτώσεις που εξετάζονται Ανάλυση της κίνησης Δομή αλγορίθμου ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΟ MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ Η αναγνώριση των σοβαρών επιπτώσεων των παλμών μεγάλης περιόδου Η ανάγκη ώστε να δημιουργηθεί ένα πιο αποτελεσματικό αναλυτικό μοντέλο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΡΡΟΗΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ (μ/αh) ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ Mavroeidis & Papageorgiou MODEL Περίπτωση συμμετρικής ολίσθησης Περίπτωση ασύμμετρης ολίσθησης ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ ΚΑΤΑΓΡΑΦΕΣ ΕΓΓΥΣ-ΠΕΔΙΟΥ ΠΑΛΜΟΙ ΕΓΓΥΣ-ΠΕΔΙΟΥ

6 3.3 ΘΟΡΥΒΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΛΥΣΗ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΥ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σεισμός 1977 Bucharest, Romania (Mw= ) - Σταθμός BRI - Radial Comp Σεισμός 1979 Coyote Lake, CA, USA (Mw=5.6) - Σταθμός GA6 - SN Comp Σεισμός 1984 Morgan Hill, CA, USA (Mw=6.2) - Σταθμός Hal - SN Comp Σεισμός 1987 Superstition Hills, CA, USA (Mw=6.4) - PTS - SN Comp Σεισμός 1989 Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) - Σταθμός LGP - SN Comp Σεισμός 1989 Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) - Σταθμός STG - SN Comp Σεισμός 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E04 - SN Comp Σεισμός 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E05 - SN Comp Σεισμός 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E06 - SN Comp Σεισμός 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E07 - SN Comp Σεισμός 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός EΜΟ - SN Comp Σεισμός 1980 Mexicali Valley, Mexico (Mw=6.4) - Σταθμός VCT - SN Comp Σεισμός 1986 North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) - NPS - SN Comp Σεισμός 1986 North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) - DSP - SN Comp Σεισμός 1992 Erzincan, Turkey (Mw=6.6) - Σταθμός ERZ - SN Comp Σεισμός 1999 Izmit, Turkey (Mw=7.4) - Σταθμός ARC - SN Comp Σεισμός 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός RRS - SN Comp Σεισμός 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός NWS - SN Comp Σεισμός 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός JFA - SN Comp Σεισμός 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός SCG - SN Comp Σεισμός 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός SCH - SN Comp Σεισμός 1971 San Fernando, CA, USA (Mw=6.6) - Σταθμός PCD - SN Comp

7 4.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Μοντέλο ολίσθησης Newmark Σχήμα 1.2: Μοντέλο Newmark για οριζόντιο επίπεδο Σχήμα 1.3: Μοντέλο Newmark για κίνηση του σώματος προς τα κάτω Σχήμα 1.4: Μοντέλο Newmark για κίνηση του σώματος προς τα πάνω Σχήμα 1.5: Στερεοπλαστική συμπεριφορά σώματος διεπιφάνειας Σχήμα 1.6: Υπολογισμός εδαφικής επιτάχυνσης σε ενδιάμεση χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήματος. Σχήμα 1.7: Σχηματική απεικόνιση αλλαγής προσήμου ταχύτητας. Σχήμα 1.8: Σχηματική απεικόνιση επιτάχυνσης. Σχήμα 2.1 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,01 και δ=1 Σχήμα 2.2 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,5 και δ=1 Σχήμα 2.3 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2 και δ=1 Σχήμα 2.4 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2,5 και δ=1 Σχήμα 2.5 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=3 και δ=1 Σχήμα 2.6 Το πεδίο των παραμέτρων και οι περιπτώσεις για τις τιμές του λόγου δ που εξετάζονται. Σχήμα Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για δ=2 Σχήμα Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για δ=5 Σχήμα Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για δ=10 Σχήμα 2.22 Περιοχή στο πεδίο των παραμέτρων όπου η επιρροή του γ είναι είτε αμελητέα είτε αρκετά μικρή. Σχήμα 2.23 Περιοχή στο πεδίο των παραμέτρων όπου η επιρροή του ν είναι είτε αμελητέα είτε αρκετά μικρή. Σχήμα 3.1 Σχηματική απεικόνιση άνω και κάτω τεμάχους του ρήγματος. Σχήμα 3.2 Διάγραμμα αrms - Mw. Σχήμα 3.3 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο θ=25 για τη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (μd=0.05). Σχήμα 4.1 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Bucharest, Romania, Σταθμό BRI. 8

9 Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1977 Bucharest, Romania, σταθμός BRI για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.7 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Coyote Lake, Σταθμός GA6. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1979 Coyote Lake, Σταθμός GA6 για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.13 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Morgan Hill, Σταθμός Hal. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1984 Morgan Hill, Σταθμός Hal, για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.18 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Superstition Hills, Σταθμός PTS. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1987 Superstition Hills, σταθμός PTS για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.25 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Loma Prieta, Σταθμός LGP. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1989 Loma Prieta, Σταθμός LGP για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.29 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Loma Prieta, Σταθμός STG. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1989 Loma Prieta, Σταθμός STG για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.32 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Imperial Valley, Σταθμός E04. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμ ό 1979 Imp erial Valley, Σταθμός E04 για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.36 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Imperial Valley, Σταθμός E05. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1979 Imperial Valley, Σταθμός E05 για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.39 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Imperial Valley, Σταθμός E06. 9

10 Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1979 Imperial Valley, Σταθμός E06 για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.42 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Imperial Valley, Σταθμός Ε07. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1979 Imperial Valley, Σταθμός E07 για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.47 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Imperial Valley, Σταθμός ΕΜΟ. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1979 Imperial Valley, Σταθμός EΜΟ για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.52 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Mexicali Valley, Σταθμός VCT. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1980 Mexicali Valley, σταθμός VCT για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.55 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό North Palm Springs, Σταθμός NPS. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1986 North Palm Springs, σταθμός NPS για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.62 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό North Palm Springs, Σταθμός DSP. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1986 North Palm Springs, σταθμός DSP για για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.65 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Erzincan, Turkey, σταθμός ERZ. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1992 Erzincan, Turkey, σταθμός ERZ για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.71 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Izmit, Turkey, σταθμός ARC. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1999 Izmit, Turkey, Σταθμός ARC για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.74 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Northridge, σταθμός RRS. 10

11 Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1994 Northridge, Σταθμός RRS για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.86 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Northridge, σταθμός NWS. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1994 Northridge, Σταθμός NWS για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.93 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Northridge, σταθμός JFA. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1994 Northridge, Σταθμός JFA για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα 4.99 Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Northridge, σταθμός SCG. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1994 Northridge, Σταθμός SCG για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό Northridge, σταθμός SCH. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1994 Northridge, Σταθμός SCH για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα Καταγραφή, παλμός, θόρυβος και διάγραμμα Husid του θορύβου για σεισμό San Fernando, σταθμός PCD. Σχήμα Σύγκριση της ολίσθησης για το σεισμό 1971 San Fernando, Σταθμός PCD για όλες τις περιπτώσεις. Σχήμα Πεδίο παραμέτρων όπου η αρχική μας υπόθεση επαληθεύεται για τον κάθε σεισμό. Σχήμα 5.1: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=0 Σχήμα 5.2: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=5 Σχήμα 5.3: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=10 Σχήμα 5.4: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=15 Σχήμα 5.5: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=20 Σχήμα 5.6: Ποσοστιαία απόκλιση αποτελεσμάτων για θ=25 Σχήμα 5.7 Περιοχή του πεδίου των παραμέτρων που ισχύει η αρχική υπόθεση σε μεγάλο ποσοστό των εξεταζόμενων σεισμικών διεγέρσεων εγγύς-πεδίου. 11

12 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.1:Τιμές μd για το συνδυασμό τιμών θ και μ Πίνακας 1.2:Τιμές μu για το συνδυασμό τιμών θ και μ Πίνακας 2.1 Τα πιο κοινά κυματίδια (wavelets) της βιβλιογραφίας Πίνακας 2.2 Τα ν και γ Πίνακας 3.1 Καταγραφές εγγύς πεδίου που χρησιμοποιούνται. Πίνακας 3.2 Παράμετροι του μοντέλου ώστε οι παλμοί να αντιστοιχούν στις καταγραφές. Πίνακας 3.3 Τιμή ARMS για τον κάθε θόρυβο. Πίνακας 4.1 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1977 Bucharest, Romania (Mw= ) - Σταθμός BRI. Πίνακας 4.2 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Coyote Lake, CA, USA (Mw=5.6) - Σταθμός GA6 - SN Comp. Πίνακας 4.3 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1984 Morgan Hill, CA, USA (Mw=6.2) - Σταθμός Hal - SN Comp. Πίνακας 4.4 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1987 Superstition Hills, CA, USA (Mw=6.4) - Σταθμός PTS - SN Comp. Πίνακας 4.5 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1989 Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) - Σταθμός LGP - SN Comp. Πίνακας 4.6 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1989 Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) - Σταθμός STG - SN Comp. Πίνακας 4.7 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E04 - SN Comp. Πίνακας 4.8 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E05 - SN Comp. Πίνακας 4.9 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E06 - SN Comp. Πίνακας 4.10 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός E07 - SN Comp. Πίνακας 4.11 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1979 Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) - Σταθμός EΜΟ - SN Comp. Πίνακας 4.12 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1980 Mexicali Valley, Mexico (Mw=6.4) - Σταθμός VCT - SN Comp. 12

13 Πίνακας 4.13 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1986 North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) - Σταθμός NPS - SN Comp. Πίνακας 4.14 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1986 North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) - Σταθμός DSP - SN Comp. Πίνακας 4.15 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1992 Erzincan, Turkey (Mw=6.6) - Σταθμός ERZ - SN Comp. Πίνακας 4.16 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1999 Izmit, Turkey (Mw=7.4) - Σταθμός ARC - SN Comp. Πίνακας 4.17 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός RRS - SN Comp. Πίνακας 4.18 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός NWS - SN Comp. Πίνακας 4.19 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός JFA - SN Comp. Πίνακας 4.20 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός SCG - SN Comp. Πίνακας 4.21 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1994 Northridge, CA, USA (Mw=6.7) - Σταθμός SCH - SN Comp. Πίνακας 4.22 Σύνοψη αποτελεσμάτων για το σεισμό 1971 San Fernando, CA, USA (Mw=6.6) - Σταθμός PCD - SN Comp. Πίνακας Απόκλιση καταγραφής από επαλληλία σε μέτρα για τον κάθε σεισμό. 13

14 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Η ανελαστική συμπεριφορά του εδάφους καθώς και των γεωτεχνικών κατασκευών μας υποδεικνύουν τη σημαντικότητα μελέτης των μη συμβατικών ανελαστικών συστημάτων. Συστήματα ολίσθησης αναπτύσσονται είτε σε τεχνικά έργα του Πολιτικού- Γεωτεχνικού Μηχανικού είτε σε φυσικά πρανή. Πιο συγκεκριμένα, αναπτύσσονται όταν έργα όπως φράγματα ή επιχώματα υπόκεινται σε σεισμική διέγερση και αστοχούν με τη μορφή σφήνας και τη μορφή κατολισθήσεων (Εικ. 1.1). Επίσης, ως σύστημα ολίσθησης μπορεί να προσομοιωθεί η δυναμική καθίζηση επιφανειακών θεμελίων καθώς και η ολίσθηση τοίχων αντιστήριξης (Εικ. 1.2) σχηματίζοντας ένα πρίσμα εδάφους τύπου Coulomb πίσω από τον τοίχο το οποίο αστοχεί όταν υπερβεί το όριο διαρροής και μετακινείται οριζόντια. Ολισθαίνοντα συστήματα θεωρούνται και οι σεισμικά μονωμένες κατασκευές επί εφεδράνων ολίσθησης (Εικ. 1.3), είτε μικρού μεγέθους όπως για παράδειγμα το άγαλμα του Ερμή του Πραξιτέλους στο μουσείο της Ολυμπίας, είτε μεγαλύτερες δομοστατικές κατασκευές όπως στην εικόνα 1.1 που φαίνεται η τριβή να παρουσιάζεται με περιοδικές μη-συμμετρικές επιφάνειες κυματιστές επαφής. Εικόνα 1.1: Συστήματα όπως φράγματα, επιχώματα και εφέδρανα ολίσθησης. Εικόνα 1.2: Δυναμική καθίζηση επιφανειακών θεμελίων - ολίσθηση τοίχων αντιστήριξης. 14

15 Εικόνα 1.3 Σεισμική μόνωση κατασκευών με εφέδρανα ολίσθησης. Σε φυσικά πρανή αναπτύσσονται επίσης παρόμοιοι μηχανισμοί ολίσθησης που οφείλονται στην απώλεια διατμητικής αντοχής και συνεπώς επέρχεται σχετική ολίσθηση εδαφικού πρίσματος ως προς το υπερκείμενο έδαφος με αστοχία της διεπιφάνειας που προέκυψε κατά τη διάρκεια του σεισμού που οδηγεί ακόμα και σε αποκόλληση εδάφους πρανους. Η επιφάνεια που επηρεάζεται από τον σεισμό εξαρτάται από πολλούς παράγοντες όπως η ένταση του σεισμού, το εστιακό βάθος, η τοπογραφία, τα γεωλογικά δεδομένα, το εύρος, οι συχνότητες που περιέχει ο σεισμός και η διάρκεια της εδαφικής κίνησης. Εικόνα 1.4 Ολίσθηση σε φυσικά πρανή. 15

16 1.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ NEWMARK Το 1965 ο Nathan Newmark, με έμπνευση την αδημοσίευτη μελέτη του R.V.Whitman για τις παραμορφώσεις του πρανούς στο κανάλι του Παναμά, πρότεινε ένα απλό μοντέλο προσομοίωσης συμπεριφοράς χωμάτινων φραγμάτων και επιχωμάτων που διεγείρονται σεισμικά. Οι υπολογισμοί βασίστηκαν στην παραδοχή πως ολόκληρη η μάζα κατά την διάρκεια της κίνησής της συμπεριφέρεται σαν στερεό σώμα ενώ αναπτύσσεται αντίσταση στην επιφάνεια ολίσθησης. Στη περίπτωση του πρανούς, η προκύπτουσα αντίσταση είναι προφανώς διαφορετική ανάλογα με την διεύθυνση της ολίσθησης. Βάσει αυτών των παραδοχών περιέγραψε τις μόνιμες παραμορφώσεις που προκύπτουν και εισήγαγε το ομώνυμο μοντέλο ολίσθησης Newmark (Σχ.1.1). Οι μόνιμες μετακινήσεις αναπτύσσονται όταν οι αδρανειακές δυνάμεις του άκαμπτου σώματος υπερβαίνουν τη διατμητική αντοχή της διεπιφάνειας, και υπολογίζονται έπειτα από διπλή ολοκλήρωση της σχετικής επιτάχυνσης. Ως σχετική επιτάχυνση ορίζεται η διαφορά της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης από την επιτάχυνση διαρροής ή κρίσιμη επιτάχυνση. Ένα χρόνο αργότερα, το 1966 οι Seed & Martin πραγματεύονται την αξιοπιστία της ψευδοστατικής ανάλυσης στον αντισεισμικό σχεδιασμό με την χρήση ενός σεισμικού συντελεστή και εισάγουν το σκεπτικό πρόβλεψης των σεισμικών δυνάμεων εφαρμόζοντας το μοντέλο Newmark για την εκτίμηση παραμορφώσεων σε φράγματα. Το 1978 οι Maksisi & Seed αναπτύσσουν μια απλοποιημένη διαδικασία που περιορίζεται σε εδάφη με μικρή απώλεια αντοχής λόγω της κυκλικής φόρτισης και το 1979 οι Richards & Elms επεκτείνουν την εφαρμογή του μοντέλου σε τοίχους αντιστηριξης. Ωστόσο το αρχικό μοντέλο εμφανίζει αρκετές ελλείψεις και αναπτύσσονται τροποποιήσεις του όπως για παράδειγμα συμπεριλαμβάνει τις ιδιότητες του υλικού στην διεπιφάνεια αστοχίας (Kramer & Smith,1997) ή τις μη συντηρητικές παραδοχές απέναντι σε έντονες σεισμικές διεγέρσεις (Bray &Rathje, 1999). Πιο πρόσφατες μελέτες, εισήγαγαν και τις τρεις συνιστώσες του σεισμού, εφαρμόζοντας τρισδιάστατη ανάλυση, σύγκριναν τα αποτελέσματα με αυτά της μονοδιάστατης που ο Newmark αρχικά είχε προτείνει (Kramer & Lindwal, 2004) και αποδείχθηκε η ελάσσονα σημασία της κάθετης σεισμικής συνιστώσας (Garini et al, 2009). Το μοντέλο αυτό κατά την διάρκεια των χρόνων υιοθετήθηκε με μεγάλη αποτελεσματικότητα από πληθώρα μελετητών και ακολούθησαν πλείστες τροποποιήσεις αυτού: στην εκτίμηση παραμορφώσεων σε φράγματα από τους Ambraseys & Sarma (1967), Sarma (1975, 1981), Franklin & Chang (1977, Lin & Whitman (1983), Constantinou & 16

17 Gazetas (1987), Yegian et al (1991), Sawada et al (1993) Gazetas & Uddin (1994), Kramer (1996), σε παραμορφώσεις λόγω κατολισθήσεων από τους Wilson & Keefer (1983), Jibson (1994), Harp & Jibson (1995), Del Gaudio et al (2003), την σεισμική απόκριση επιχωμάτων επενδυμένα με από τους Yegian et al (1998) όπως και την χρήση του σε χώρους υγειονομικής ταφής σερεών αποβλήτων από τους Bray & Rathjee (1998), καθίζηση λόγω σεισμικής δραστηριότητας στις επιφανειακές θεμελιώσεις από Richards et al (1982); Στην ολίσθηση φραγμάτων βαρύτητας από σκυρόδεμα από τους Leger & Katsouli (1989), Danay & Adeghe (1993) και Fenves & Chopra (1996). Σχήμα 1.1: Μοντέλο ολίσθησης Newmark 17

18 1.3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΔΟΜΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Βασικές παράμετροι περιπτώσεις που εξετάζονται Το προσομοίωμα Newmark περιγράφεται από ένα απόλυτα στερεό σώμα μάζας m, εδράζόμενο επί κεκλιμένου επιπέδου το οποίο σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο και έχει συντελεστή τριβής μ. Η φόρτιση η οποία υφίσταται είναι σεισμική και παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Εάν θεωρήσουμε την δυναμική ισορροπία του σώματος: Για το οριζόντιο επίπεδο: Σχήμα 1.2: Μοντέλο Newmark για οριζόντιο επίπεδο Για κίνηση του σώματος προς τα κάτω: Σχήμα 1.3: Μοντέλο Newmark για κίνηση του σώματος προς τα κάτω 18

19 Η δύναμη της τριβής λειτουργεί πάντα αντίθετα στη φορά της κίνησης και συνεπώς η ολική αντίσταση τριβής θα είναι ίση με: Συνολικη δύναμη τριβής = F D = Τ mgsinθ = μν mgsinθ = mg(μ cos θ sin θ) = μ D mg (1.1) Ισοδύναμος συντελεστής τριβής για ολίσθηση προς τα κάτω: μ D = μcosθ sinθ (1.2) Για κίνηση του σώματος προς τα πάνω: Σχήμα 1.4: Μοντέλο Newmark για κίνηση του σώματος προς τα πάνω Συνολικη δύναμη τριβής = F U = Τ + mgsinθ = μν + mgsinθ = mg(μ cos θ + sin θ) = μ U mg (1.3) Ισοδύναμος συντελεστής τριβής για ολίσθηση προς τα πάνω: μ U = μcosθ + sinθ (1.4) 19

20 Ο συντελεστής τριβής μ παίρνει τιμές: 0.05 < μ < 0.80 και η γωνία θ: 0 θ 25. Συνοψίζοντας, οι σχέσεις που συνδέονται μεταξύ τους οι παράμετροι του μοντέλου Newmark είναι οι εξής: μ D = μcosθ sinθ (1.2) μ U = μ D + 2sinθ (1.5) δ = μ U μ D (1.6) Καθοριστικές παράμετροι λοιπόν για την απόκριση του μοντέλου Newmark είναι αφενός ο συντελεστής τριβής μ, αφετέρου η γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο. Σε αυτό τι σημείο θα πρέπει να διασαφηνιστεί πως γίνεται παραδοχή στερεοπλαστικής συμπεριφοράς της διεπιφάνειας επιπέδου σώματος δηλαδή, παραδοχή ισότητας συντελεστή στατικής και κινητικής τριβής. Ο νόμος που διέπει την κίνηση φαίνεται στο παρακάτω γράφημα. Σχήμα 1.5: Στερεοπλαστική συμπεριφορά σώματος διεπιφάνειας 20

21 Για λόγους πληρότητας, στη συγκεκριμένη εργασία χρησιμοποιήθηκαν τιμές από όλο το εύρος του συντελεστή μ (0.1<μ<0.8) σε συνδυασμό με 6 διαφορετικές κλίσεις εδάφους (0 <θ<25 ) καλύπτοντας όλο το εύρος τιμών των παραμέτρων. Οι διαφορετικές περιπτώσεις συνοψίζονται στους πίνακες που ακολουθούν. Πίνακας 1.1:Τιμές μd για το συνδυασμό τιμών θ και μ θ/μ μ=0,1 μ=0,2 μ=0,3 μ=0,4 μ=0,5 μ=0,6 μ=0,7 μ=0,8 θ=0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 θ=5 0,012 0,11 0,21 0,31 0,41 0,51 0,61 0,71 θ=10 0,023 0,12 0,22 0,32 0,42 0,52 0,61 θ=15 0,031 0,13 0,22 0,32 0,42 0,51 θ=20 0,034 0,13 0,22 0,32 0,41 θ=25 0,031 0,12 0,21 0,30 Πίνακας 1.2:Τιμές μu για το συνδυασμό τιμών θ και μ θ/μ μ=0,1 μ=0,2 μ=0,3 μ=0,4 μ=0,5 μ=0,6 μ=0,7 μ=0,8 θ=0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 θ=5 0,19 0,29 0,39 0,49 0,59 0,68 0,78 0,88 θ=10 0,37 0,47 0,57 0,67 0,76 0,86 0,96 θ=15 0,55 0,65 0,74 0,84 0,93 1 θ=20 0,72 0,81 0,91 1 1,1 θ=25 0,88 0,97 1,1 1,1 Για τους συνδυασμούς μ και θ που τα αντίστοιχα πεδία στους πίνακες είναι γραμμοσκιασμένα, προκύπτει αρνητική τιμή για το μd και επομένως δεν ορίζεται ο συγκεκριμένος συνδυασμός. 21

22 1.3.2 Ανάλυση της κίνησης Η συμπεριφορά του σώματος διέπεται από τους θεμελιώδεις νόμους της δυναμικής. Το σώμα λοιπόν, ξεκινάει από ακινησία όπου ταχύτητα και επιτάχυνση είναι μηδενικές. u (0) = 0, u (0) = 0 (1.7) Όσο η επιτάχυνση του εδάφους είναι κατ απόλυτη τιμή μικρότερη από την κανονικοποιημένη τριβή δεν υπάρχει ολίσθηση. u g < F = μg (1.8) u block = u g (1.9) u rel = u rel = 0 (1.10) Όταν η επιτάχυνση του εδάφους υπερνικήσει την τριβή, u g F (1.11) τότε ξεκινά η ολίσθηση. Κατά την διάρκεια της κίνησης θα υπάρξουν χρονικές στιγμές που η ταχύτητα του σώματος και του εδάφους θα γίνουν ίδιες, συνεπώς η σχετική ταχύτητα του σώματος θα λάβει μηδενική τιμή. u rel = 0 (1.12) Αν εκείνη τη στιγμή η επιτάχυνση του εδάφους είναι μικρότερη από την κανονικοποιημένη τριβή, u g < F (1.13) η ολίσθηση σταματά. Ορίζουμε λοιπόν σαν κρίσιμη επιτάχυνση την τιμή Αc=αcg την οποία θα πρέπει να ξεπεράσει η τιμή της u g με Αc=μg για την συμμετρική ολίσθηση και Αc1=μ1g και Αc2=μ2g αντίστοιχα για την ασύμμετρη ολίσθηση. 22

23 1.3.3 Δομή αλγορίθμου Προσδιορισμός της επιτάχυνσης του εδάφους u g Στην ανάλυσή μας έγινε η παραδοχή πως η εδαφική επιτάχυνση μεταβάλλεται γραμμικά σε κάθε χρονικό βήμα Δt προκειμένου να μπορεί να γίνει γραμμική παρεμβολή για τον υπολογισμό της σε ενδιάμεση χρονική στιγμή. u g(t) u g(t) u g(t + τ) s u g(t + Δt) t τ Δt t + Δt t Σχήμα 1.6: Υπολογισμός εδαφικής επιτάχυνσης σε ενδιάμεση χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήματος. Εάν ορίσουμε σαν s την κλίση, θα ισούται με: s = u g(t + Δt) u g(t) Δt Και η επιτάχυνση σε μία τυχαία χρονική στιγμή (όπου Δt τ): (1.14) u g(t + τ) = sτ + u g(t),0 < τ < Δt (1.15) Είναι λοιπόν μία εξίσωση ευθείας της μορφής Όπου: u g(t + τ) = ατ + β α = s, β = u g(t) 23

24 Μόρφωση της γενικής εξίσωσης κίνησης Με απλή εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα mu tot = F m(u rel) = F mu g u rel = F m u g u rel(t) = F u g(t) (1.16) Όπου: u tot = u rel + u g (1.17) η απόλυτη επιτάχυνση του σώματος ίση με το άθροισμα της σχετικής και της επιτάχυνσης του εδάφους F η δύναμη της τριβής (F = F η κανονικοποιημένη τριβή ως προς τη μάζα) m Βάσει της παραπάνω θεώρησης σε μία τυχαία χρονική στιγμή u rel(t + τ) = F (ατ + β) (1.18) 24

25 Μόρφωση της εξίσωση κίνησης ανάλογα με την κατεύθυνση κίνησης Καταρχήν ορίζεται o ισοδύναμος συντελεστής τριβής ανάλογα με την φορά της κίνησης: Για κίνηση προς τα κάτω: μ D = (μ cos θ sin θ) Για κίνηση προς τα πάνω: μ U = (μ cos θ + sin θ) Όπως έχει ήδη αναφερθεί οι δύο συντελεστές λαμβάνουν προφανώς διαφορετικές τιμές έτσι ώστε κατά το πλείστων των περιπτώσεων ολίσθηση να προκύπτει μόνο προς τα κάτω. Στο παρακάτω δενδροδιάγραμμα παρουσιάζεται η τιμή που λαμβάνει η κανονικοποιημένη τριβή ανάλογα με το πρόσημο της σχετικής ταχύτητας του σώματος καθώς και της εδαφικής επιτάχυνσης και έπειτα βάσει αυτού πως διαμορφώνεται η εξίσωση κίνησης: u rel = { > 0 F = μ D g = 0 u g = > 0 u g { > μ Ug F = μ 2 g < μ U g F = u g = 0 f = 0 < 0 u g { > μ Dg F = μ 1 g { < μ D g F = u g < 0 F = μ U g (1.19) > 0 u rel = μ D g u g u rel = = 0 u g = > 0 u g { > μ Ug u rel = μ U g u g < μ U g u rel = 0 = 0 u rel = 0 < 0 u { g { > μ Dg u rel = μ D g u g < μ D g u rel = 0 { < 0 u rel = μ U g u g (1.20) 25

26 Ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης για τον υπολογισμό της ταχύτητας Θεωρώντας την επιτάχυνση γραμμική σαν άθροισμα μιας σταθεράς και μιας γραμμικής συνάρτησης η σχετική ταχύτητα μία τυχαία στιγμή θα πρέπει να είναι συνάρτηση δευτέρου βαθμού: u rel(t + τ) = f τ a τ2 2 βτ + u rel(t) (1.21) Μετά τον υπολογισμό της ταχύτητας στο τέλος του βήματος για την χρήση της στην αρχή του επόμενου, επιβάλλεται έλεγχος αλλαγής προσήμου της ταχύτητας. Στη περίπτωση που υπάρχει αλλαγή, υπάρχει σφάλμα στον υπολογισμό του u rel(t + Δt) λόγω της αλλαγής προσήμου της f την στιγμή του μηδενισμού και θα πρέπει να γίνει διαίρεση του χρονικού βήματος και ολοκλήρωση των επιμέρους τμημάτων για τον επαναϋπολογισμό της ταχύτητας με συνθήκη για διαίρεση του βήματος: u rel(t)u rel(t + Δt) < 0 (1.22) Σχήμα 1.7: Σχηματική απεικόνιση αλλαγής προσήμου ταχύτητας. 26

27 Αν t + τ 1 η χρονική στιγμή μηδενισμού τότε την στιγμή εκείνη u rel(t + τ 1 ) = 0 0 = f t 1 a τ βt 1 + u rel(t) a τ (f + β)τ 1 u rel(t) = 0 τ 1 = [f + β] ± [f + β] 2 + 2au rel(t) a (1.23α) (1.23β) (1.23γ) (1.23δ) Πρόκειται για μία εξίσωση δευτέρου βαθμού με ακριβή λύση. Η εξίσωση αυτή θα δώσει δύο λύσεις. Αποδεκτή είναι η θετική εκ των δύο ενώ η αρνητική θα πρέπει να απορριφθεί. 27

28 Υπολογισμός της επιτάχυνσης στο σημείο μηδενισμού της ταχύτητας και επαναϋπολογισμός της επιτάχυνσης και της ταχύτητας στο τέλος του χρονικού βήματος Αφού υπολογιστεί το σημείο μηδενισμού της ταχύτητας θα πρέπει να γίνει έλεγχος ολίσθησης στο σημείο αυτό. Ενδέχεται είτε η επιτάχυνση του εδάφους να μην ξεπερνά την τριβή και η κίνηση να λάβει τέλος είτε απλά το σώμα να αρχίσει να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης στο σημείο μηδενισμού της ταχύτητας χρησιμοποιούμε τον μεσαίο κλάδο του παραπάνω αλγορίθμου. Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογιστεί η νέα επιτάχυνση με την σωστή δύναμη τριβής και κατ επέκταση η ταχύτητα στο τέλος του χρονικού βήματος. Σχήμα 1.8: Σχηματική απεικόνιση επιτάχυνσης. u rel(t + Δt) = F (αδt + β) (1.24) u rel(t + Δt) = 1 2 (u rel(t + τ 1 ) + u rel(t))τ (u rel(t + τ 1 ) + u rel(t + Δt))(Δt τ 1 ) (1.25) 28

29 Υπολογισμός της απόκρισης σε κάθε χρονική στιγμή με ολοκλήρωση της εξίσωσης της ταχύτητας Η απόκριση θα είναι εξίσωση τρίτου βαθμού και σε μία τυχαία χρονική στιγμή προκύπτει ίση με: τ u rel (t + τ) = f 2 2 s τ3 6 β τ2 2 + u rel(t)τ + c 2 (1.26) Στην αρχή του βήματος για τ = 0: u rel (t + τ) = u rel (t) c 2 = u rel (t) τ u rel (t + τ) = f 2 τ3 τ2 s β u rel(t)τ + u rel (t) (1.27α) (1.27β) Ενώ στο τέλος του βήματος για τ = Δt: Δt u rel (t + Δt) = f 2 2 s Δt3 6 β Δt2 2 + u rel(t)δt + u rel (t) (1.27α) ή u rel (t) = u rel (t) + Δt u rel(t) + Δt2 6 (u rel(t + Δt) + 2u rel(t)) (1.27β) 29

30 1.4 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στην παρούσα εργασία μελετάται η απόκριση του μοντέλου ολίσθησης Newmark υποκείμενο σε δυναμική ανάλυση. Τα είδη/κατηγορίες διεγέρσεων είναι τρία και όλοι οι υπολογισμοί γίνονται στο λογισμικό Matlab. Αρχικά πραγματοποιούνται δυναμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας λαμβάνοντας ως διέγερση καταγραφές εγγύς πεδίου που περιέχουν παλμούς κατευθυντικότητας (directivity pulses) και εξάγεται η τελική σχετική ολίσθηση (Δut). Στη συνέχεια, υποθέτουμε την εκτίμηση ότι θα μπορούσε να εξαχθεί η ίδια ποσοτικά σχετική ολίσθηση προσθέτοντας τις σχετικές μετατοπίσεις ολίσθησης που αντιστοιχούν στις διεγέρσεις από το συνεκτικό (coherent) και το μη συνεκτικό (incoherent) κομμάτι της καταγραφής που θα υπολογιστούν ξεχωριστά. Ως coherent κομμάτι θα χρησιμοποιηθεί το αναλυτικό μοντέλο που προτείνουν οι MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) στην ερευνητική εργασία τους με τίτλο «A Mathematical Representation of Near Fault Ground Motions» και περιγράφεται στο δεύτερο κεφάλαιο. Έτσι υπολογίζουμε τη σχετική ολίσθηση με δυναμική ανάλυση και διέγερση τον παλμό (Δuc). Στη συνέχεια αφού αφαιρέσουμε τον παλμό από το επιταχυνσιογράφημα, η υπολειπόμενη χρονοϊστορία αναφέρεται ως μη-συνεκτική συνιστώσα ή απλούστερα ως θόρυβος. Έτσι λοιπόν θα πρέπει να υπολογίσουμε την μετατόπιση ολίσθησης λαμβάνοντας ως διέγερση το θόρυβο. Για να επιτευχθεί αυτό χρησιμοποιούμε τη λύση κλειστού τύπου που προτείνεται στην ερευνητική εργασία του Constantinou, M.C., et al. (1984) με τίτλο «Stochastic seismic sliding of rigid mass against asymmetric coloumb friction» και περιγράφεται στο τρίτο κεφάλαιο καταλήγοντας σε μια τιμή σχετικής ολίσθησης (Δui). Τέλος, ελέγχεται για κάθε σεισμό και αντίστοιχα για κάθε συνδυασμό θ και μ (38? περιπτώσεις για κάθε σεισμό), εάν ισχύει η ισότητα (Δut) = (Δuc) + (Δui) και κατ επέκταση εάν η επαλληλία των δύο αποκρίσεων προσεγγίζει την απόκριση που προκύπτει με διέγερση την εκάστοτε συνολική καταγραφή. Λόγω της μη γραμμικότητας του προβλήματος αναμένεται η επαλληλία των αποτελεσμάτων να μην συμπίπτει με το αποτέλεσμα της ανάλυσης της εκάστοτε εδαφικής κίνησης. Για αυτό το λόγο καθορίζεται το εύρος των παραμέτρων για τις οποίες η αρχική μας υπόθεση έχει ισχύ. 30

31 2. ΜΟΝΤΕΛΟ MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) 2.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ Ένα απλό, αλλά αποτελεσματικό, αναλυτικό μοντέλο χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των εγγύς-πεδίου εδαφικών κινήσεων. Το μοντέλο αυτό περιγράφει ικανοποιητικά τις εδαφικές κινήσεις εγγύς-πεδίου, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Προσομοιώνει με επιτυχία το σύνολο των διαθέσιμων χρονοϊστοριών μετατοπίσεων, ταχυτήτων και σε αρκετές περιπτώσεις και των επιταχύνσεων καθώς και τα αντίστοιχα φάσματα απόκρισης Η αναγνώριση των σοβαρών επιπτώσεων των παλμών μεγάλης περιόδου Ήταν μόλις μετά από το σεισμό του 1994 στο Northridge της Καλιφόρνια όταν η πλειοψηφία των μηχανικών αναγνώρισε τις σοβαρές επιπτώσεις, στις κατασκευές, των παλμών μεγάλης περιόδου που περιλαμβάνονται στις σεισμικές διεγέρσεις εγγύς-πεδίου και άρχισε να εξετάζει μεθόδους για την ενσωμάτωση τους στον αντισεισμικό σχεδιασμό. Μάλιστα, δεν είναι λίγες οι φορές που έχουν δημιουργηθεί νέες διατάξεις στους αντισεισμικούς κανονισμούς βασισμένες σε εδαφικές κινήσεις που δεν ήταν αρκετά κοντά στο ρήγμα που προκάλεσε το σεισμό. Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθεί ότι οι Anderson and Bertero (1987), Hall et al. (1995), Iwan (1997), Makris (1997), Chopra and Chintanapakdee (1998, 2001), Anderson et al. (1999), Kasalanati and Constantinou (1999), Malhotra (1999), Hall and Ryan (2000), Makris and Chang (2000a,b), Sasani and Bertero (2000), Alavi and Krawinkler (2001), Cuesta and Aschheim (2001), Jangid and Kelly (2001), Liao et al. (2001), MacRae et al. (2001), Mylonakis and Reinhorn (2001), Rao and Jangid (2001), and Zhang and Iwan (2002a,b) έχουν μελετήσει είτε πειραματικά είτε αναλυτικά την ελαστική ή ανελαστική απόκριση των κατασκευών υποκείμενες σε 31

32 καταγραφές εγγύς πεδίου ή σε απλοποιημένες κυματομορφές ώστε να αντιπροσωπεύουν απλούς παλμούς εδαφικής κίνησης που παρατηρούνται σε περιοχές εγγύς πεδίου. Εικόνα 2.1 Παράδειγμα παλμού μεγάλης περιόδου σε σεισμική καταγραφή εγγύς-πεδίου Η ανάγκη ώστε να δημιουργηθεί ένα πιο αποτελεσματικό αναλυτικό μοντέλο Η σταδιακή αύξηση του αριθμού των καταγεγραμμένων χρονοϊστοριών εγγύςπεδίου επέτρεψε πρόσφατα στους σεισμολόγους να αναλύσουν με μεγαλύτερη ακρίβεια τον χαρακτήρα των εδαφικών αυτών κινήσεων και ως εκ τούτου να συμβάλλουν στη φυσική κατανόηση των χαρακτηριστικών αυτών που τις ελέγχουν (όπως οι Campillo et al., 1989, Somerville και Graves, 1993, Abrahamson και Somerville, 1996, Somerville et al, O'Connell, 1998, Oglesby et al, 1998, Papageorgiou, 1998, Somerville, 1998, 2000, O'Connell και Ake, 2002). Παρά την πρόοδο που είχε επιτευχθεί από τους σεισμολόγους και μηχανικούς, υπήρχε ακόμη μια σαφής ανάγκη για την ανάπτυξη ενός απλού, αλλά αξιόπιστου αναλυτικού μοντέλου, το οποίο να παρέχει τεχνητές εδαφικές κινήσεις που να αποτυπώνουν τον παλμικό χαρακτήρα των καταγραφών εγγύς-πεδίου, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Οι παράμετροι που θα εισάγονταν στο μοντέλο αυτό θα έπρεπε να έχουν μια σαφή φυσική σημασία και να είναι άμεσα, στο μέτρο του δυνατού, συσχετισμένες με τις φυσικές παραμέτρους των ρηγμάτων και των διαδικασιών διάδοσης των κυμάτων. Οι MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2002) στην ερευνητική εργασία τους με τίτλο «Near-source strong ground motion: characteristics and design issues» πραγματοποίησαν μια πλήρη ανασκόπηση και μελέτη των παραγόντων που επηρεάζουν τις εδαφικές κινήσεις εγγύς-πεδίου και το 2003 παρουσίασαν ένα αποτελεσματικό μαθηματικό 32

33 μοντέλο για την προσομοίωση των κινήσεων αυτών που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία και περιγράφεται στην επόμενη ενότητα. 2.2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η διάρκεια του παλμού (ή της περιόδου), το πλάτος του παλμού, καθώς επίσης και ο αριθμός και η φάση των μισών κύκλων είναι οι βασικές παράμετροι που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της κυματομορφής των εγγύς-πεδίου παλμών της ταχύτητας. Ως εκ τούτου, ένα αναλυτικό μοντέλο με τέσσερις παραμέτρους, κατ 'αρχήν θα έπρεπε να αρκεί για να περιγράψει το σύνολο των παλμών της ταχύτητας. Οι σεισμολόγοι έχουν χρησιμοποιήσει «wavelets» (που αναφέρονται επίσης ως «signals», «signatures», ή «pulses»), ιδίως σε τομείς όπως το σεισμικό φιλτράρισμα, η επεξεργασία κυματιδίων και το μοντελάρισμα διάδοσης κυμάτων. Παρά το γεγονός ότι έχουν προταθεί διάφορα κυματίδια (wavelets) στη βιβλιογραφία, μόνο λίγα από αυτά είναι δημοφιλή και χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη. Τα πιο κοινά κυματίδια (wavelets) συνοψίζονται στον Πίνακα 2.1, μαζί με τις αναλυτικές εκφράσεις τους, τις παραμέτρους που εισάγονται σε αυτά, και τις συναφείς αναφορές. Πίνακας 2.1 Τα πιο κοινά κυματίδια (wavelets) της βιβλιογραφίας Wavelet Gabor Berlage Γεν/μενο Rayleigh Ku pper Αναλυτική έκφραση f(t) = Ae (2πf p γ )2 t 2 cos [2πf p t + ν] f(t) = AH(t)t n e (2πf p γ )t cos [2πf p t + ν] f(t) = A( 1) k e i(ν+ π 2 ) (i + 2πf k+1 pt k ) f(t) = A [sin (m πt T ) m πt sin ((m + 2) m + 2 T )] Ricker 3-loop: f(t) = A(1 2π 2 f p 2 t 2 )e (πfp)2 t 2 2-loop: f(t) = Ate ( 2πfp)2 t 2 Όπου: Α:Πλάτος, fp: Παραμένουσα συχνότητα, ν: Φάση, γ: Χαρακτήρας ταλάντωσης, n: Ασσυμετρία της περιβάλλουσας συνάρτησης, k: Ελέγχει τον αριθμό των λοβών, Τ: Διάρκεια, m: Ελέγχει τον αριθμό των μισών κύκλων. 33

34 Οι προγραμματιστές του μοντέλου MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) προτείνουν ένα αναλυτικό μοντέλο που διατηρεί τα πλεονεκτήματα των Gabor wavelets (όπως τον αριθμό των παραμέτρων, τη φυσική ερμηνεία τους, την απλή μαθηματική έκφραση και τη μεγάλη ευελιξία στον τομέα των συνθετικών κυματομορφών), ενώ παράλληλα αποδίδει μια έκφραση κλειστού τύπου για την απόκριση του μονοβάθμιου συστήματος που υποβάλλεται σε τεχνητές εδαφικές κινήσεις που παράγονται από το μοντέλο αυτό. Για το σκοπό αυτό, έχουν αντικαταστήσει την περιβάλλουσα του Gauss των Gabor wavelets από μια άλλη συμμετρική συνάρτηση σε σχήμα καμπάνας που έχει απλούστερη αναλυτική έκφραση. Δηλαδή, μια μετατοπισμένη haversed sine συνάρτηση (δηλαδή, μια συνάρτηση ανυψωμένου συνημιτόνου) χρησιμοποιείται για να αντικαταστήσει την περιβάλλουσα του Gauss, ενώ το αρμονικό μέρος της ταλάντωσης παραμένει ίδιο. Έτσι, το προτεινόμενο αναλυτικό σήμα εκφράζεται ως: f(t) = A 1 2 [1 + cos (2πf p γ t)] cos(2πf pt + ν) (2.1) Οι ακόλουθες παρατηρήσεις έγιναν σχετικά με το προτεινόμενο αναλυτικό μοντέλο: Η μετατόπισμένη haversed sine συνάρτηση είναι μια περιοδική συνάρτηση, κατά συνέπεια, δεν παράγει μια περιβάλλουσα με ένα μόνο κύρτωμα όπως η συνάρτηση του Gauss των Gabor wavelets. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται εύκολα με τον περιορισμό του χρονικού διαστήματος του σήματος ως εξής: γ 2f p t γ 2f p (2.2α) Η περίοδος της αρμονικής ταλάντωσης θα πρέπει να είναι μικρότερη από την περίοδο της περιβάλλουσας που αντιπροσωπεύεται από τη συνάρτηση ανυψωμένου συνημιτόνου προκειμένου να παραχθούν φυσικά αποδεκτά σήματα, δηλαδή: 34

35 1 f p < γ f p γ > 1 (2.2β) Είναι χρήσιμο για τη βαθμονόμηση του μοντέλου να εισαχθεί μια χρονική μετατόπιση, t0, στην εξίσωση (2.1) να καθορίζει με ακρίβεια τo μέγιστο στης περιβάλλουσας. Αυτή η παράμετρος εισάγεται συχνά σε όλα τα μοντέλα που παρατίθενται στον Πίνακα 2.1 ως ένα χαρακτηριστικό που παρέχει επιπλέον ευελιξία στο σήμα, επιτρέποντας τη μεταφορά του κατά μήκος του άξονα του χρόνου. Έτσι, t t t 0 (2.2γ) Ο συνδυασμός των εξισώσεων (2.1) και (2.2) δίνει τη διαμόρφωση του προτεινόμενου αναλυτικού μοντέλου για τους εγγύς-πεδίου παλμούς της ταχύτητας: v(t) = { = A 1 2 [1 + cos (2πf p γ (t t 0))] cos[2πf p (t t 0 ) + v], t 0 γ t t 2f 0 + γ, γ > 1 p 2f p = 0, για κάθε άλλη περίπτωση (2.3) Η παράμετρος Α ελέγχει το πλάτος του σήματος, fρ είναι η συχνότητα η επικρατούσα συχνότητα του σήματος), ν είναι η φάση (δηλαδή, όταν ν=0 ή ν=90 ορίζει συμμετρικά ή αντισυμμετρικά σήματα, αντίστοιχα), γ είναι μια παράμετρος που καθορίζει το χαρακτήρα της ταλάντωσης (δηλαδή, πόσες φορές περνάει από το μηδέν) του σήματος (δηλαδή, για μικρό γ το σήμα προσεγγίζει έναν παλμό σαν δέλτα, όσο αυξάνει το γ, αυξάνει και ο αριθμός των περασμάτων από το μηδέν), και t0 καθορίζει το μέγιστο σημείο της περιβάλλουσας. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του μοντέλου MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (2003) είναι ο ορισμός της διάρκειας του παλμού βασισμένης σε παραμέτρους που εισάγονται στο μοντέλο. Στη βιβλιογραφία, δεν υπάρχει μοναδική μέθοδος για τον καθορισμό της διάρκειας ή της περιόδου του παλμού της ταχύτητας, παρόλο που αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται εκτενώς. Πολλοί ερευνητές καθορίζουν τη διάρκεια του παλμού με τη χρήση των διελεύσεων από το μηδέν της κυματομορφής του παλμού. Άλλοι προτιμούν τη χρήση της τιμής κορυφής του φάσματος απόκρισης της 35

36 ταχύτητας για να καθορίσει έμμεσα την περίοδο του παλμού. Σε πολλές άλλες περιπτώσεις, καμία εξήγηση δεν παρέχεται σχετικά με την εκτίμηση της παραμέτρου αυτής. Προτείνεται λοιπόν ένας αντικειμενικός ορισμός της διάρκειας παλμού (TP) συμβατός με τις φυσικές πτυχές του προβλήματος ως το αντίστροφο της επικρατούσας συχνότητας (fp) του σήματος, έτσι: T p = 1 f p (2.4) Οι αναλυτικές εκφράσεις των χρονοϊστοριών για την επιτάχυνση του εδάφους και τη μετατόπιση συμβατές με την ταχύτητα εδάφους δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: α(t) = { = Aπf p γ sin ( 2πf p γ (t t 0)) cos(2πf p (t t 0 ) + v) +γsin[2πf p (t t 0 ) + v] [1 + cos ( 2πf, p [ γ (t t 0))] ] t 0 γ t t 2f 0 + γ, γ > 1 p 2f p = 0, σε άλλη περίπτωση (2.5) d(t) = { sin[2πf A p (t t 0 ) + v] + 1 γ 2 γ 1 sin [2πf p(γ 1) (t t γ 0 ) + ν] 4πf p C, γ [ 2 γ + 1 sin [2πf p(γ + 1) (t t γ 0 ) + ν] ] t 0 γ t t 2f 0 + γ, γ > 1 p 2f p = A 1 4πf p (1 γ 2 ) sin(ν πγ) + C, t < t 0 γ 2f p = A 1 4πf p (1 γ 2 ) sin(ν + πγ) + C, t > t 0 + γ 2f p (2.6) 36

37 Οι σταθερές τιμές μετατόπισης για t < t 0 γ/2f p και t > t 0 + γ/2f p καθορίζονται έτσι ώστε οι χρονοϊστορίες τις μετατόπισης να ικανοποιούν τη συνθήκη συνέχειας σε t = t 0 γ/2f p και t = t 0 + γ/2f p. Όταν ολοκληρώνεται ο παλμός της ταχύτητας για να ληφθεί η μετατόπιση κλειστής μορφής, μια απροσδιόριστη ακόμη σταθερά, C, εμφανίζεται στην έκφραση της μετατόπισης, δηλαδή, d(t) = v(t)dt + C ή d(t) = d I (t) + C, όπου d I (t) αντιπροσωπεύει το αόριστο ολοκλήρωμα v(t)dt. Στη συγκεκριμένη εργασία για λόγους απλότητας η σταθερά ολοκλήρωσης C λαμβάνεται ίση με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μία μετατόπιση για t < t 0 γ/2f p ίση με d I (t 0 γ/2f p), που μπορεί να μην είναι πλήρως συμβατή με τα πραγματικά αρχεία μετατόπισης, ακόμη και αν υπάρχουν χρονοϊστορίες μετατόπισης που παρουσιάζουν μη μηδενικές τιμές για t=0 λόγω των συστημάτων διόρθωσης και επεξεργασίας που εφαρμόζονται στα καταγεγραμμένα ψηφιακά δεδομένα. Ωστόσο, αυτή η μετατόπιση είναι κοντά στο μηδέν για τη μεγάλη πλειονότητα των περιπτώσεων που εξετάστηκαν στη συγκεκριμένη εργασία. Η εικόνα 2.2 απεικονίζει τη μεταβολή της κανονικοποιημένης επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης ως συνάρτηση του κανονικοποιημένου χρόνου για επιλεγμένες ν και τιμές γ. Για ν=0 και ν=180 παίρνουμε συμμετρικούς παλμούς με ανεστραμμένες πολικότητες, ενώ για ν=90 παίρνουμε αντισυμμετρικός παλμούς. Επιπλέον, όσο αυξάνει το γ τόσο περισσότερες ταλαντώσεις εμφανίζονται στο σήμα. Στην επόμενη ενότητα πραγματοποιείται περαιτέρω εξερεύνηση του μοντέλου και αναλύεται η επιρροή των παραμέτρων που εισάγονται σε αυτό. 37

38 Εικόνα 2.2 Μεταβολή της κανονικοποιημένης επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης ως συνάρτηση του κανονικοποιημένου χρόνου για επιλεγμένες ν και τιμές γ. 38

39 2.3 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΡΡΟΗΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ (μ/αh) ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ Mavroeidis & Papageorgiou MODEL Στην ενότητα 2.3 απεικονίζεται γραφικά η απόκριση του Mavroeidis & Papageorgiou (2003) Model και συγκεκριμένα πραγματοποιείται διερεύνηση των παραμέτρων (ν, γ) του. Στα διαγράμματα που ακολουθούν ο z άξονας έχει κανονικοποιημένη την σχετική ολίσθηση ((Δu) fp/v) (έτσι δεν την επηρεάζουν το fp και το amplitude), ενώ ο x άξονας είναι ο κανονικοποιημένος συντελεστής τριβής (normalized coefficient of friction) μ/αh, του οποίου η τιμή αυξάνεται αυξάνοντας το μ και κρατώντας το αh σταθερό. Όπου A H = α H g με ΑΗ τη μέγιστη επιτάχυνση της συνεκτικής (coherent) συνιστώσας η οποία, με τη σειρά της, σχετίζεται με τον παλμό της ταχύτητας (με μέγιστη τιμή VH). Το εύρος των παραμέτρων που διερευνώνται είναι 0 <ν<90 και 1<γ<3 και οι τιμές τους που εισάχθηκαν στο πρόγραμμα φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Πίνακας 2.2 Το εύρος των παραμέτρων που εξερευνώνται (ν και γ). ν γ 1,01 1,5 2 2,5 3 H διερεύνηση πραγματοποιείται τόσο για την περίπτωση συμμετρικής τριβής όσο και για εκείνη της ασύμμετρης για όλες τις τιμές του λόγου δ = μ U μ D, όπως φαίνεται στο σχήμα

40 2.3.1 Περίπτωση συμμετρικής ολίσθησης Σχήμα 2.1 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,01 και δ=1 40

41 Σχήμα 2.2 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,5 και δ=1 41

42 Σχήμα 2.3 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2 και δ=1 42

43 Σχήμα 2.4 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2,5 και δ=1 43

44 Σχήμα 2.5 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=3 και δ=1 44

45 Παρατηρήσεις-συμπεράσματα για την περίπτωση της συμμετρικής ολίσθησης Η ολίσθηση σε αυτή την περίπτωση φαίνεται να εξαρτάται από τη φάση του παλμού (παράμετρος ν του M&P (2003) model) αλλά και από τον αριθμό των ταλαντώσεων (περάσματα από το μηδέν) για χαμηλές τιμές του κανονικοποιημένου συντελεστή τριβής (παράμετρος γ του M&P (2003) model). 45

46 2.3.2 Περίπτωση ασύμμετρης ολίσθησης Ακολουθεί η διερεύνηση για την περίπτωση ασύμμετρης ολίσθησης (κεκλιμένο επίπεδο) και στο πεδίο των παραμέτρων (domain of parameters) που φαίνεται στο σχήμα 2.6 παρουσιάζεται η σχέση μεταξύ των (μ, δ, θ, μu, μd). Στη συνέχεια, αποτυπώνονται ενδεικτικά τα αποτελέσματα για τιμές του λόγου δ=2, δ=5, δ=10. Σχήμα 2.6 Το πεδίο των παραμέτρων και οι περιπτώσεις για τις τιμές του λόγου δ που εξετάζονται. 46

47 Σχήμα 2.7 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,01 και δ=2 47

48 Σχήμα 2.8 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,5 και δ=2 48

49 Σχήμα 2.9 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2 και δ=2 49

50 Σχήμα 2.10 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2,5 και δ=2 50

51 Σχήμα 2.11 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=3 και δ=2 51

52 δ=5 Σχήμα 2.12 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,01 και δ=5 52

53 Σχήμα 2.13 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,5 και δ=5 53

54 Σχήμα 2.14 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2 και δ=5 54

55 Σχήμα 2.15 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2,5 και δ=5 55

56 Σχήμα 2.16 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=3 και δ=5 56

57 δ=10 Σχήμα 2.17 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,01 και δ=10 57

58 Σχήμα 2.18 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=1,5 και δ=10 58

59 Σχήμα 2.19 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2 και δ=10 59

60 Σχήμα 2.20 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=2,5 και δ=10 60

61 Σχήμα 2.21 Μεταβολή της κανονικοποιημένης μετατόπισης για γ=3 και δ=10 61

62 Παρατηρήσεις-συμπεράσματα για την περίπτωση της ασύμμετρης ολίσθησης Στην περίπτωση της ασύμμετρης φόρτισης φαίνεται πως η σχετική ολίσθηση εξαρτάται τόσο από τη φάση του παλμού (παράμετρος ν του Mavroeidis & Papageorgiou (2003) model), όσο και από τον αριθμό των ταλαντώσεων (περάσματα από το μηδέν) (παράμετρος γ του Mavroeidis & Papageorgiou (2003) model). Πιο συγκεκριμένα σε αυτή την περίπτωση τα αποτελέσματα μελετώνται για κάθε περιοχή του πεδίου των παραμέτρων του συστήματος ολίσθησης ξεχωριστά. Για την ακρίβεια το πεδίο παραμέτρων χωρίζεται σε 10 περιοχές οι οποίες ορίζονται από τις εκάστοτε τιμές του δ (όπου δ = μ U μ D ). Αν και στις προηγούμενες σελίδες αποτυπώνονται αποτελέσματα για κάποιες συγκεκριμένες τιμές δ, έχουν γίνει εκτενείς υπολογισμοί για όλο το εύρος του πεδίου των παραμέτρων. Η διερεύνηση των παραμέτρων του Mavroeidis & Papageorgiou (2003) model συγκριτικά με το πεδίο των παραμέτρων του συστήματος ολίσθησης που μελετάται στην εργασία γίνεται με απώτερο σκοπό να βρεθεί ένας χώρος στο πεδίο παραμέτρων όπου οι παράμετροι του παλμού είτε να μην επηρεάζουν είτε να έχουν μικρή επιρροή στην κανονικοποιημένη σχετική ολίσθηση, ώστε σε συνδυασμό με τα αποτελέσματα από τις αναλύσεις χρονοϊστορίας του 4 ου κεφαλαίου να μπορεί στο άμεσο μέλλον να προβλεφθεί ικανοποιητικά η απόκριση των κατασκευών που προσομοιώνει το μοντέλο Newmark, χρησιμοποιώντας ως διέγερση το Mavroeidis & Papageorgiou (2003) model και έχοντας ως δεδομένα τα χαρακτηριστικά εδάφους και τη σεισμικότητα της περιοχής. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι το γ επηρεάζει πολύ για χαμηλές τιμές του κανονικοποιημένου συντελεστή τριβής, ενώ για υψηλότερες η επιρροή του είναι εμφανώς μικρότερη και θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως αμελητέα. Το ν με τη σειρά του παρατηρείται ότι για μεγάλες τιμές δ σε συνδυασμό με μεγάλες τιμές του κανονικοποιημένου συντελεστή τριβής δεν επηρεάζει τη σχετική ολίσθηση αλλά για τις υπόλοιπες περιοχές του πεδίου παραμέτρων η επιρροή του είναι εμφανής. Τα συμπεράσματα συνοψίζονται στα σχήματα που ακολουθούν. 62

63 Σχήμα 2.22 Περιοχή στο πεδίο των παραμέτρων όπου η επιρροή του γ είναι είτε αμελητέα είτε αρκετά μικρή. Σχήμα 2.23 Περιοχή στο πεδίο των παραμέτρων όπου η επιρροή του ν είναι είτε αμελητέα είτε αρκετά μικρή. 63

64 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ 3.1 ΚΑΤΑΓΡΑΦΕΣ ΕΓΓΥΣ-ΠΕΔΙΟΥ Οι σεισμοί είναι ταλαντώσεις του εδάφους οι οποίες οφείλονται φυσικά και ανθρωπογενή αίτια, όπως είναι οι τεκτονικές εδαφικές κινήσεις, οι κατολισθήσεις, τα ηφαίστεια και οι εκρήξεις. Οι ισχυρότεροι, σημαντικότεροι και περισσότεροι σεισμοί είναι οι τεκτονικοί, οι οποίοι προκαλούνται από τεκτονικές εδαφικές κινήσεις, δηλαδή στη διάρρηξη και σχετική ολίσθηση τεμαχών του φλοιού της γης στα ρήγματα. Ρήγμα είναι μια περιοχή του φλοιού της γης στην οποία έχει δημιουργηθεί μια ασυνέχεια (μια ρωγμή), κατά μήκος της οποίας μπορεί να πραγματοποιηθεί σχετική ολίσθηση γειτονικών τεμαχών. Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι σεισμοί προκαλούν βλάβες σε μια ζώνη μερικών χιλιομέτρων από το ρήγμα το οποίο προκάλεσε το σεισμό, η οποία λέγεται εγγύς πεδίο. Όταν ένα σημείο ενδιαφέροντος βρίσκεται κοντά στη ρηξιγενή ζώνη ενός σεισμού, απαιτείται ειδική προσοχή για τον καθορισμό των χαρακτηριστικών της διέγερσης που θα επιβληθεί. Πιο συγκεκριμένα, τόσο ο μηχανισμός διάρρηξης (είδος ρήγματος και διεύθυνση ολίσθησης), όσο και η απόσταση του σημείου ενδιαφέροντος από την εστία του σεισμού και η θέση του σε σχέση με τη διεύθυνση ολίσθησης του σεισμογόνου ρήγματος, είναι καθοριστικοί παράγοντες για τα χαρακτηριστικά της διέγερσης που θα επιβληθεί. Γενικά, σε περίπτωση όπου τα φαινόμενα κατευθυντικότητας (forward directivity) της διάρρηξης είναι σημαντικά, η επίδρασή τους είναι εμφανής στις χρονοϊστορίες εδαφικής ταχύτητας (με την ύπαρξη παλμών μεγάλης-σχετικά-περιόδου) και λιγότερο στις χρονοϊστορίες επιτάχυνσης. Πολλές φορές, βέβαια, η ύπαρξη παλμών είναι εμφανής και σε χρονοϊστορίες επιταχύνσεων (Makris & Chang, 1998). Τα φαινόμενα που σχετίζονται με εγγύτητα στη ρηξιγενή ζώνη συνήθως είναι έντονα σε μεγάλες τιμές περιόδου (μεγαλύτερες του 1 sec). Επιπλέον, για κανονικά ή ανάστροφα ρήγματα, παρατηρούνται μεγαλύτερες φασματικές τιμές για περιόδους έως 0.6sec, για τις κατασκευές που βρίσκονται στο άνω τέμαχος (hanging wall) του ρήγματος (Somerville, 2000). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι περιοχές που βρίσκονται στο άνω τέμαχος (βλ. και Σχήμα 1.5.2) βρίσκονται εν γένει πιο κοντά στη ζώνη διάρρηξης από ό,τι οι περιοχές του κάτω τεμάχους (footwall) του ρήγματος. 64

65 Σχήμα 3.1 Σχηματική απεικόνιση άνω και κάτω τεμάχους του ρήγματος Μία απλουστευμένη και συνήθως χρησιμοποιούμενη κατηγοριοποίηση των ρηγμάτων είναι αυτή που βασίζεται στην διεύθυνση και φορά της σχετικής κίνησης των τεμαχών κατά την διάρρηξη: Κανονικά (Normal faults): είναι αυτά στα οποία το πάνω τέμαχος της κεκλιμένης ρηξιγενούς επιφάνειας κινείται προς τα κάτω, δηλαδή τα δύο τεμάχη απομακρύνονται το ένα από το άλλο. Τα ρήγματα αυτά είναι αποτέλεσμα εφελκυστικών δυνάμεων, συνδέονται επομένως με έκταση του γεωλογικού σχηματισμού και παρατηρούνται εκεί όπου η λιθόσφαιρα διευρύνεται. Το επίπεδο της ρηξιγενούς επιφάνειας έχει συνήθως μεγάλη κλίση (πάνω από 45 ο ), παρ όλο δε που ονομάζονται κανονικά, δεν είναι τα πλέον συχνά συναντώμενα. Ανάστροφα (Reverse faults): είναι αυτά στα οποία συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο απ ότι στα κανονικά, δηλαδή το άνω πάνω τέμαχος του ρήγματος κινείται προς τα πάνω, επομένως τα δύο τεμάχη πλησιάζουν το ένα στο άλλο και έχουμε σμίκρυνση του γεωλογικού σχηματισμού. Τα ανάστροφα ρήγματα συνδέονται με θλιπτικές δυνάμεις και μείωση του φλοιού, παρατηρούνται δε στα όρια σύγκλισης των λιθοσφαιρικών πλακών και της δημιουργίας των ορεινών όγκων, που συνοδεύονται από επωθήσεις και πτυχώσεις. Στη βιβλιογραφία γίνεται διαχωρισμός αυτού του τύπου ρηγμάτων, ανάλογα με την γωνία κλίσης του επιπέδου του ρήγματος. Έτσι ανάστροφα θεωρούνται όσα έχουν κλίση μεγαλύτερη των 45 ο, ενώ αν η κλίση είναι μικρότερη των 45 ο χαρακτηρίζονται ως εφιππεύσεις (thrust faults). Οριζόντιας μετατόπισης (Strike-slip faults): στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται ρήγματα, στα οποία παρατηρείται οριζόντια μετατόπιση των τεμαχών επί της ρηξιγενούς επιφάνειας, χωρίς αύξηση ή μείωση του γεωλογικού σχηματισμού. Ο μηχανισμός τους είναι πολύ πιο πολύπλοκος από αυτόν των κανονικών και ανάστροφων ρηγμάτων, συνδέονται με συμπιεστικές κυρίως τάσεις και συναντώνται συνήθως στο άκαμπτο τμήμα του γήινου 65

66 φλοιού. Εδώ ανήκουν και τα ρήγματα μετασχηματισμού, τα οποία διαφέρουν ως προς τον τρόπο γένεσης και εμφανίζονται στις μεσο-ωκεάνιες ράχες. Διακρίνονται σε δεξιόστροφα (Dextral strike-slip faults) όταν η μία πλευρά του ρήγματος φαίνεται κινούμενη από αριστερά προς τα δεξιά, όταν παρατηρείται από την άλλη πλευρά του ρήγματος, και αριστερόστροφα (Sinistral strike-slip faults) στα οποία η μία πλευρά του ρήγματος φαίνεται να κινείται από δεξιά προς τα αριστερά, όταν παρατηρείται από την άλλη πλευρά του ρήγματος. Τα ρήγματα οριζόντιας μετατόπισης αποκτούν όλο και μεγαλύτερη σημασία, διότι φαίνεται να συνδέονται με πολλούς και καταστρεπτικούς σεισμούς. Πολύ γνωστά ρήγματα, όπως αυτό του Αγ. Ανδρέα (Καλιφόρνια) και της Βόρειας Ανατολίας ανήκουν στα ρήγματα οριζόντιας μετατόπισης. Ρήγµατα πλάγιας ολίσθησης (oblique slip faults) στα οποία η το διάνυσµα της ολίσθησης σχηµατίζει µετρήσιµη γωνία µε την παράταξη ή τη φορά κλίσης του ρήγµατος. Εικόνα 3.1 Κανονικό (αριστερά) και ανάστροφο (δεξιά) ρήγμα. Εικόνα 3.2 Ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης (αριστερά) και πλάγιας ολίσθησης (δεξιά). 66

67 Οι καταγραφές που χρησιμοποιούνται στη συγκεκριμένη εργασία είναι πρόσω κατευθυντικότητας (forward directivity) και συνοψίζονται στον πίνακα 3.1 όπου και αναφέρονται τα χαρακτηριστικά της κάθε μιας. Πίνακας 3.1 Καταγραφές εγγύς πεδίου που χρησιμοποιούνται. α/α Τοποθεσία Σταθμός Κατηγορία Ρήγματος Συν/σα Bucharest, Romania (Mw= ) BRI RV Rad Coyote Lake, CA, USA (Mw=5.6) GA6 SS SN Morgan Hill, CA, USA (Mw=6.2) HAL SS SN Superstition Hills, CA, USA (Mw=6.4) PTS SS SN Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) LGP OB SN Loma Prieta, CA, USA (Mw=6.9) STG OB SN Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) E04 SS SN Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) E05 SS SN Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) E06 SS SN Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) E07 SS SN Imperial Valley, CA, USA (Mw=6.5) EMO SS SN Mexicali Valley, Mexico (Mw=6.4) VCT SS SN North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) NPS OB SN North Palm Springs, CA, USA (Mw=6.1) DSP OB SN Erzincan, Turkey (Mw=6.6) ERZ SS SN Izmit, Turkey (Mw=7.4) ARC SS SN Northridge, CA, USA (Mw=6.7) RRS RV SN Northridge, CA, USA (Mw=6.7) NWS RV SN Northridge, CA, USA (Mw=6.7) JFA RV SN Northridge, CA, USA (Mw=6.7) SCG RV SN Northridge, CA, USA (Mw=6.7) SCH RV SN San Fernando, CA, USA (Mw=6.6) PCD RV SN 67

68 3.2 ΠΑΛΜΟΙ ΕΓΓΥΣ-ΠΕΔΙΟΥ Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 2, θα χρησιμοποιηθεί η αναλυτική έκφραση για την περιγραφή εδαφικών κινήσεων εγγύς του ρήγματος που προτείνουν οι Mavroeidis και Papageorgiou (2003), κατόπιν επεξεργασίας ενός πλήθους καταγραφών. Σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο, φαίνονται στον πίνακα 3.2 όλα τα χαρακτηριστικά που εισάγονται ώστε να δημιουργηθούν οι παλμοί που αντιστοιχούν στις καταγραφές εγγύς-πεδίου. Πίνακας 3.2 Παράμετροι του μοντέλου ώστε οι παλμοί να αντιστοιχούν στις καταγραφές. α/α Τοποθεσία Σταθμός Α γ ν( ) fν(hz) t0(sec) 1 Bucharest BRI Coyote Lake GA Morgan Hill HAL Superstition Hills PTS Loma Prieta LGP Loma Prieta STG Imperial Valley E Imperial Valley E Imperial Valley E Imperial Valley E Imperial Valley EMO Mexicali Valley VCT N.Palm Springs NPS N.Palm Springs DSP Erzincan ERZ Izmit ARC Northridge RRS Northridge NWS Northridge JFA Northridge SCG Northridge SCH San Fernando PCD

69 3.3 ΘΟΡΥΒΟΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΗ ΛΥΣΗ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΥ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Αφού αφαιρέσουμε τον παλμό από το επιταχυνσιογράφημα, η υπολειπόμενη χρονοϊστορία αναφέρεται ως μη-συνεκτική συνιστώσα ή απλούστερα ως θόρυβος. Στη συνέχεια λοιπόν θα πρέπει να υπολογίσουμε την μετατόπιση ολίσθησης λαμβάνοντας ως διέγερση το θόρυβο. Για να επιτευχθεί αυτό ακολουθούμε τη διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω. Για τη μη συνεκτική συνιστώσα (θόρυβος) που έμεινε από την αφαίρεση υπολογίζουμε και τυπώνουμε το Husid plot: t I(t) = u 0 g 2 (τ)dτ (3.1) Στη συνέχεια αναγνωρίζουμε τη χρονική διάρκεια Τs από t0 έως t0+ts όπου το διάγραμμα Husid έχει σχεδόν σταθερή κλίση. Εν συνεχεία, υποθέτουμε ότι ο θόρυβος μπορεί να παρομοιαστεί ως τμήμα στάσιμης διαδικασίας (stationary process) με μονόπλευρη δύναμική φασματική συνάρτηση πυκνότητας (one-sided Power Spectral Density Function) G u gu (ω) = 2S g u gu (ω). g Και κάνοντας χρήση του Parseval s Theorem, έχουμε: α RMS = 1 T s t 0 +T s t 0 u g 2 (τ)dτ ( cm2 s 4 ) (3.2) 69

70 Υποθέτοντας κατά προσέγγιση ότι ο θόρυβος είναι band-limited White Noise με PSDfunction περίπου σταθερή έως το f max, δηλαδή: G u gu g (ω) G 0 = 2S 0 (3.3) Και από το Parseval s Theorem έχουμε: α RMS 1 π G 0f max (3.4) Για σεισμικά ενεργές περιοχές (όπως η Καλιφόρνια) το f max έχει παρατηρηθεί ότι παίρνει τιμές από 5 έως 10Hz. Στη συγκεκριμένη εργασία λαμβάνεται f max=7,5hz. Έτσι, μπορεί να ληφθεί μια τιμή για το G 0: G 0 πα RMS f max ( cm2 s 3 ) (3.5) Την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στη λύση κλειστού τύπου βασισμένη στη θεωρία στοχαστικής ανάλυσης ταλαντώσεων (Random Vibration Theory) για να εκτιμήσουμε την ολίσθηση του μοντέλου Newmark λόγω του θορύβου. Από τις εξισώσεις (3.3) και (3.5) προκύπτει: S 0 a RMS π f max 2 ( cm2 s 3 ) (3.6) Η στάσιμη (stationary) μέση τιμή της ταχύτητας ολίσθησης δίνεται από την: Δu m = πs 0 2μ D g (1 1 δ ) (3.7) Η μέση τιμή της μετατόπισης ολίσθησης είναι: Δu m = (Δu m)t station (3.8) 70

71 αrms Λαμβάνοντας υπ όψιν ένα χρονικό τμήμα με διάρκεια t=t, όπου το Τ είναι η διάρκεια του stationary segment που λαμβάνουμε από το Husid plot. Αναφερόμαστε στους παραπάνω τύπους ως ο τύπος της θεωρίας στοχαστικής ανάλυσης ταλαντώσεων (Random Vibration Theory Formulae). Ως εκ τούτου: Δu m = πs 0 2μ D g (1 1 δ ) T s (m) (3.9) Στη συνέχεια ακολουθεί ο πίνακας με τις τιμές του αrms για κάθε θόρυβο όπως αυτές προέκυψαν από την παραπάνω διαδικασία, καθώς και το διάγραμμα στο οποίο φαίνεται η συσχέτιση του αrms με την ένταση του αντίστοιχου σεισμού από τον οποίο προέκυψε ο θόρυβος. Πίνακας 3.3 Τιμή αrms για τον κάθε θόρυβο. α/α Σταθμός Mw αrms 1 BRI 7,3 38,98 2 GA6 5,6 70,04 3 HAL 6,2 63,72 4 PTS 6,4 104,77 5 LGP 6,9 245,00 6 STG 6,9 75,04 7 E04 6,5 56,71 8 E05 6,5 69,68 9 E06 6,5 66,27 10 E07 6,5 121,68 11 EMO 6,5 75,50 12 VCT 6,4 199,01 13 NPS 6,1 125,29 14 DSP 6,1 82,75 15 ERZ 6,6 130,69 16 ARC 7,4 26,39 17 RRS 6,7 193,59 18 NWS 6,7 82,89 19 JFA 6,7 106,50 20 SCG 6,7 182,98 21 SCH 6,7 157,59 22 PCD 6,6 286,62 αrms - Mw ,5 6,5 7,5 Mw Σχήμα 3.2 Διάγραμμα αrms - Mw 71

72 3.4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Ακολουθεί η σύγκριση των αποτελεσμάτων για συγκεκριμένο σεισμογράφημα με την πρόσφατη δημοσίευση των GARINI ET AL (2014) (δεξιά στήλη), αποδεικνύοντας έτσι την ορθότητα του αλγορίθμου που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία. Τα αποτελέσματα δείχνουν να είναι ικανοποιητικά αφού όπως φαίνεται στη συνέχεια, οι αποκλίσεις είναι πολύ μικρές και κυρίως στο διάγραμμα της απόκρισης, γεγονός που αποδίδεται είτε στην διαδοχική ολοκλήρωση είτε στο γεγονός ότι παρουσιάζουν μικροδιαφορές μεταξύ τους τα αρχικά επιταχυνσιογραφήματα που δόθηκαν σαν φόρτιση. Σχήμα 3.3 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο θ=25 για τη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (μ d=0.05). 72

73 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται γραφικά τα αποτελέσματα για όλους τους σεισμούς που χρησιμοποιούνται στην εργασία και για κάθε περίπτωση συνδυασμού ιδιοτήτων εδάφους (γωνία πρανούς θ και συντελεστής τριβής μ) όπου η σχετική ολίσθηση είναι μη μηδενική για τις περιπτώσεις φόρτισης. Στο τέλος κάθε ενότητας του κεφαλαίου συνοψίζονται τα αποτελέσματα σε πίνακες για όλους τους συνδυασμούς θ και μ (και τις 38 περιπτώσεις) έτσι ώστε να συγκεντρώνονται με τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Στο σχήμα 4.1α οι κουκκίδες αντιπροσωπεύουν τα σημεία του πεδίου των παραμέτρων για τα οποία εξάχθηκαν αποτελέσματα και στον πίνακα 4.1α φαίνονται όλοι οι συνδυασμοί των ιδιοτήτων του εδάφους (θ και μ) και οι τιμές των συντελεστών τριβής (μd και μu) που αντιστοιχούν στο κάθε ένα σημείο του πεδίου συχνοτήτων. Σχήμα 4.1α Τα σημεία του πεδίου των παραμέτρων για τα οποία εξάχθηκαν αποτελέσματα. 73

74 Πίνακας 4.1α Οι τιμές των συντελεστών τριβής (μd και μu) που αντιστοιχούν στο κάθε ένα σημείο του πεδίου συχνοτήτων όπως παρουσιάζονται τα αποτελέσματα. 74