Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1"

Transcript

1 Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

2 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες: Στοιχεία αριστερής υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Στοιχεία δεξιάς υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

3 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες: Στοιχεία αριστερής υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Στοιχεία δεξιάς υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Ταξινόµηση υπο-ακολουθιών αναδροµικά. Ακολουθία ταξινοµηµένη όχι σύνθεση! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

4 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες: Στοιχεία αριστερής υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Στοιχεία δεξιάς υπο-ακολ. στοιχείο διαχωρισµού. Ταξινόµηση υπο-ακολουθιών αναδροµικά. Ακολουθία ταξινοµηµένη όχι σύνθεση! quicksort(int A[], int left, int right) { if (left >= right) return; // At most 1 element q = partition(a, left, right); quicksort(a, left, q); quicksort(a, q+1, right); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

5 Διαίρεση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

6 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

7 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

8 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αν δεν έχουν εξεταστεί όλα τα στοιχεία (i < j): αντιµετάθεση(α[ i ], Α[ j ]) και συνέχεια. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

9 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αν δεν έχουν εξεταστεί όλα τα στοιχεία (i < j): αντιµετάθεση(α[ i ], Α[ j ]) και συνέχεια. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

10 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αν δεν έχουν εξεταστεί όλα τα στοιχεία (i < j): αντιµετάθεση(α[ i ], Α[ j ]) και συνέχεια. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

11 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αν δεν έχουν εξεταστεί όλα τα στοιχεία (i < j): αντιµετάθεση(α[ i ], Α[ j ]) και συνέχεια. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

12 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Διαίρεση σε ένα πέρασµα : Σάρωση από αριστερά (µε δείκτη i) µέχρι Α[ i ] pivot. Σάρωση από δεξιά (µε δείκτη j) µέχρι Α[ j] pivot. Αν δεν έχουν εξεταστεί όλα τα στοιχεία (i < j): αντιµετάθεση(α[ i ], Α[ j ]) και συνέχεια. Αν έχουν εξεταστεί όλα: επιστροφή ορίου διαχωρισµού (δείκτη j). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 2

13 Διαίρεση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

14 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

15 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

16 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

17 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

18 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

19 Διαίρεση Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

20 Διαίρεση partition(int A[], int left, int right) { int pivot = A[left]; i = left 1; j = right + 1; while (1) { while (A[++i] < pivot) ; while (A[--j] > pivot) ; if (i < j) swap(a[i], A[j]); else return(j); } } Στοιχείο διαχωρισµού : 13 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 3

21 Διαίρεση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 4

22 Διαίρεση partition(int A[], int left, int right) { int pivot = A[left]; i = left 1; j = right + 1; while (1) { while (A[++i] < pivot) ; while (A[--j] > pivot) ; if (i < j) swap(a[i], A[j]); else return(j); } } Στοιχείο διαχωρισµού : 10 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 4

23 Διαίρεση partition(int A[], int left, int right) { int pivot = A[left]; i = left 1; j = right + 1; while (1) { while (A[++i] < pivot) ; while (A[--j] > pivot) ; if (i < j) swap(a[i], A[j]); else return(j); } } Στοιχείο διαχωρισµού : 10 Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 4

24 Ανάλυση Διαχωρισµού Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 5

25 Ανάλυση Διαχωρισµού Ορθότητα partition : Διατηρεί και επεκτείνει αριστερή περιοχή µε στοιχεία pivot και δεξιά περιοχή µε στοιχεία pivot. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 5

26 Ανάλυση Διαχωρισµού Ορθότητα partition : Διατηρεί και επεκτείνει αριστερή περιοχή µε στοιχεία pivot και δεξιά περιοχή µε στοιχεία pivot. A[ i ] pivot : επέκταση αριστερής περιοχής σταµατά. A[ j ] pivot : επέκταση δεξιάς περιοχής σταµατά. Ξένες περιοχές : αντιµετάθεση στοιχείων και συνέχεια. Επικάλυψη : ολοκλήρωση διαίρεσης. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 5

27 Ανάλυση Διαχωρισµού Ορθότητα partition : Διατηρεί και επεκτείνει αριστερή περιοχή µε στοιχεία pivot και δεξιά περιοχή µε στοιχεία pivot. A[ i ] pivot : επέκταση αριστερής περιοχής σταµατά. A[ j ] pivot : επέκταση δεξιάς περιοχής σταµατά. Ξένες περιοχές : αντιµετάθεση στοιχείων και συνέχεια. Επικάλυψη : ολοκλήρωση διαίρεσης. Τελικά τα στοιχεία αριστερά pivot και τα στοιχεία δεξιά pivot, όπως απαιτείται. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 5

28 Ανάλυση Διαχωρισµού Ορθότητα partition : Διατηρεί και επεκτείνει αριστερή περιοχή µε στοιχεία pivot και δεξιά περιοχή µε στοιχεία pivot. A[ i ] pivot : επέκταση αριστερής περιοχής σταµατά. A[ j ] pivot : επέκταση δεξιάς περιοχής σταµατά. Ξένες περιοχές : αντιµετάθεση στοιχείων και συνέχεια. Επικάλυψη : ολοκλήρωση διαίρεσης. Τελικά τα στοιχεία αριστερά pivot και τα στοιχεία δεξιά pivot, όπως απαιτείται. Κάθε περιοχή 1 στοιχείο. Quicksort τερµατίζει. (1 σηµείο διαχωρισµού n 1) Απαραίτητα: i και j σταµατούν στο pivot. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 5

29 Ανάλυση Διαχωρισµού Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 6

30 Ανάλυση Διαχωρισµού Χρόνος εκτέλεσης partition : Κάθε στοιχείο συγκρίνεται µε pivot µία φορά (εκτός από στοιχεία εκατέρωθεν σηµείου χωρισµού). Τελικά i και j «δείχνουν» είτε γειτονικές είτε ίδια θέση γιατί όπου πέρασε το i δεν συνεχίζει j. Χρόνος εκτέλεσης partition για n στοιχεία = Θ(n). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 6

31 Ανάλυση Διαχωρισµού Χρόνος εκτέλεσης partition : Κάθε στοιχείο συγκρίνεται µε pivot µία φορά (εκτός από στοιχεία εκατέρωθεν σηµείου χωρισµού). Τελικά i και j «δείχνουν» είτε γειτονικές είτε ίδια θέση γιατί όπου πέρασε το i δεν συνεχίζει j. Χρόνος εκτέλεσης partition για n στοιχεία = Θ(n). Μετά τον διαχωρισµό, στοιχεία δεν αλλάζουν «πλευρά» (δηλ. αριστερά µένουν αριστερά, δεξιά µένουν δεξιά). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 6

32 Ανάλυση Διαχωρισµού Χρόνος εκτέλεσης partition : Κάθε στοιχείο συγκρίνεται µε pivot µία φορά (εκτός από στοιχεία εκατέρωθεν σηµείου χωρισµού). Τελικά i και j «δείχνουν» είτε γειτονικές είτε ίδια θέση γιατί όπου πέρασε το i δεν συνεχίζει j. Χρόνος εκτέλεσης partition για n στοιχεία = Θ(n). Μετά τον διαχωρισµό, στοιχεία δεν αλλάζουν «πλευρά» (δηλ. αριστερά µένουν αριστερά, δεξιά µένουν δεξιά). Υπάρχουν πολλές άλλες µορφές διαίρεσης, π.χ. pivot παίρνει τελική του θέση στον πίνακα, διαίρεση στα τρία, Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 6

33 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

34 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

35 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

36 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

37 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

38 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

39 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

40 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

41 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

42 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

43 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

44 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

45 Παράδειγµα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 7

46 Ορθότητα Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 8

47 Ορθότητα Quicksort Συνέπεια ορθότητας partition : Τερµατισµός : µέγεθος υπο-ακολουθιών n 1. Ταξινόµηση : Αριστερά στοιχεία pivot δεξιά στοιχεία. Επαγωγικά, αριστερή περιοχή και δεξιά περιοχή ταξινοµηµένες. Συνολικά, πίνακας ταξινοµηµένος. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 8

48 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 9

49 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χρόνος εκτελ. αναδροµικών αλγ. µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης. Χρόνος εκτέλεσης partition(n στοιχεία) : Θ(n) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 9

50 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χρόνος εκτελ. αναδροµικών αλγ. µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης. Χρόνος εκτέλεσης partition(n στοιχεία) : Θ(n) Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. Θ(n) : αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου. T(k) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (k στοιχεία). T(n k) : ταξινόµηση δεξιού τµήµατος (n k στοιχεία). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 9

51 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χρόνος εκτελ. αναδροµικών αλγ. µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης. Χρόνος εκτέλεσης partition(n στοιχεία) : Θ(n) Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. Θ(n) : αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου. T(k) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (k στοιχεία). T(n k) : ταξινόµηση δεξιού τµήµατος (n k στοιχεία). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 9

52 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

53 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

54 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χειρότερη περίπτωση : k = 1 ή k = n 1 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά δεν γίνεται διαίρεση (µόνο αναδιάταξη)! Partition «βοηθάει ελάχιστα» τον αλγόριθµο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

55 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χειρότερη περίπτωση : k = 1 ή k = n 1 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά δεν γίνεται διαίρεση (µόνο αναδιάταξη)! Partition «βοηθάει ελάχιστα» τον αλγόριθµο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

56 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χειρότερη περίπτωση : k = 1 ή k = n 1 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά δεν γίνεται διαίρεση (µόνο αναδιάταξη)! Partition «βοηθάει ελάχιστα» τον αλγόριθµο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

57 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χειρότερη περίπτωση : k = 1 ή k = n 1 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά δεν γίνεται διαίρεση (µόνο αναδιάταξη)! Partition «βοηθάει ελάχιστα» τον αλγόριθµο. Στιγµιότυπα που quicksort χρειάζεται χρόνο Ω(n 2 ); Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

58 Χρόνος Εκτέλεσης (χ.π.) Χειρότερη περίπτωση : k = 1 ή k = n 1 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά δεν γίνεται διαίρεση (µόνο αναδιάταξη)! Partition «βοηθάει ελάχιστα» τον αλγόριθµο. Στιγµιότυπα που quicksort χρειάζεται χρόνο Ω(n 2 ); Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 10

59 Χρόνος Εκτέλεσης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

60 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

61 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

62 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

63 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Aν (περίπου ίδιο µεγέθος) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

64 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Aν (περίπου ίδιο µεγέθος) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

65 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Aν (περίπου ίδιο µεγέθος) Χειρότερη και καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά σπάνιες! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

66 Χρόνος Εκτέλεσης Καλύτερη περίπτωση : k = n / 2 (σε κάθε κλήση). Ουσιαστικά τέλεια διαίρεση! Partition «βοηθάει τα µέγιστα»! Aν (περίπου ίδιο µεγέθος) Χειρότερη και καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά σπάνιες! Αν τυχαίο στοιχείο pivot, πιθανότητα διαίρεσης (n / 4, 3n / 4) ή καλύτερης 1/2! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 11

67 Πιθανοτική Quicksort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 12

68 Πιθανοτική Quicksort Τυχαίο στοιχείο σαν στοιχείο χωρισµού (pivot). Για κάθε, πιθανότητα διαίρεσης (k, n k) = Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 12

69 Πιθανοτική Quicksort Τυχαίο στοιχείο σαν στοιχείο χωρισµού (pivot). Για κάθε, πιθανότητα διαίρεσης (k, n k) = randomquicksort(int A[], int left, int right) { if (left >= right) return; // At most 1 element pivot = random(left, right); swap(a[left], A[pivot]); q = partition(a, left, right); randomquicksort(a, left, q); randomquicksort(a, q+1, right); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 12

70 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 13

71 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 13

72 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 13

73 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Λύση αναδροµής : Αυτός ο χρόνος εκτέλεσης µε µεγάλη πιθανότητα! Πιθανότητα διαίρεσης (n / 4, 3n / 4) ή καλύτερης 1/2! Κατά «µέσο όρο», κάθε 2 επίπεδα στο δέντρο της αναδροµής, έχουµε «επιτυχηµένη» διαίρεση. Σε κάθε επίπεδο, συνολικός χρόνος διαίρεσης Θ(n). Θ(n log n) από «επιτυχηµένες» διαιρέσεις + Θ(n log n) από «αποτυχηµένες» διαιρέσεις. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 13

74 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 14

75 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Πιθανότητα «αποτυχηµένες» διαιρέσεις > c log n είναι εξαιρετικά µικρή! Χρόνος εκτέλεσης Θ(n log n) µε µεγάλη πιθανότητα! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 14

76 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Πιθανότητα «αποτυχηµένες» διαιρέσεις > c log n είναι εξαιρετικά µικρή! Χρόνος εκτέλεσης Θ(n log n) µε µεγάλη πιθανότητα! Μέση περίπτωση δεν εξαρτάται από είσοδο! Αφορά στη συµπεριφορά του αλγόριθµου. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 14

77 Χρόνος Εκτέλεσης (µ.π.) Πιθανότητα «αποτυχηµένες» διαιρέσεις > c log n είναι εξαιρετικά µικρή! Χρόνος εκτέλεσης Θ(n log n) µε µεγάλη πιθανότητα! Μέση περίπτωση δεν εξαρτάται από είσοδο! Αφορά στη συµπεριφορά του αλγόριθµου. Εξαιρετικά µικρή πιθανότητα χειρότερης περίπτωσης. Ανάλυση χειρότερης περίπτωσης δεν έχει νόηµα! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 14

78 Πιθανοτικοί Αλγόριθµοι Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 15

79 Πιθανοτικοί Αλγόριθµοι Ντετερµινιστικοί αλγόριθµοι: Προκαθορισµένη συµπεριφορά για κάθε είσοδο. Υπάρχει χειρότερη περίπτωση και µπορεί να συµβεί. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 15

80 Πιθανοτικοί Αλγόριθµοι Ντετερµινιστικοί αλγόριθµοι: Προκαθορισµένη συµπεριφορά για κάθε είσοδο. Υπάρχει χειρότερη περίπτωση και µπορεί να συµβεί. Πιθανοτικοί αλγόριθµοι: Συµπεριφορά από είσοδο και τυχαίες επιλογές. Χρήση τυχαιότητας ώστε χειρότερη περίπτωση να συµβαίνει µε πολύ µικρή πιθανότητα. Ποια είναι η χειρότερη περ. για πιθανοτική quicksort; Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 15

81 Πιθανοτικοί Αλγόριθµοι Ντετερµινιστικοί αλγόριθµοι: Προκαθορισµένη συµπεριφορά για κάθε είσοδο. Υπάρχει χειρότερη περίπτωση και µπορεί να συµβεί. Πιθανοτικοί αλγόριθµοι: Συµπεριφορά από είσοδο και τυχαίες επιλογές. Χρήση τυχαιότητας ώστε χειρότερη περίπτωση να συµβαίνει µε πολύ µικρή πιθανότητα. Ποια είναι η χειρότερη περ. για πιθανοτική quicksort; Χρόνος (απόδοση) κατά µέση τιµή. Ορθότητα µε µεγάλη πιθανότητα. Las-Vegas: αποτέλεσµα σωστό, χρόνος τυχαία µετ/τη. Monte-Carlo: χρόνος προκαθορισµένος, µπορεί λάθος αποτέλεσµα (αλλά µε πολύ µικρή πιθανότητα). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 15

82 Σύνοψη Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 16

83 Σύνοψη Quicksort: Πιθανοτικός αλγόριθµος. Χρόνος χειρότερης περ.: Θ( n2 ) Χρόνος µέσης περίπτωσης: Θ(n log n) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 16

84 Σύνοψη Quicksort: Πιθανοτικός αλγόριθµος. Χρόνος χειρότερης περ.: Θ( n2 ) Χρόνος µέσης περίπτωσης: Θ(n Χώρος: σχεδόν in-place. log n) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 16

85 Σύνοψη Quicksort: Πιθανοτικός αλγόριθµος. Χρόνος χειρότερης περ.: Θ( n2 ) Χρόνος µέσης περίπτωσης: Θ(n log n) Χώρος: σχεδόν in-place. Αναδροµή καθυστερεί και απαιτεί µνήµη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 16

86 Σύνοψη Quicksort: Πιθανοτικός αλγόριθµος. Χρόνος χειρότερης περ.: Θ( n2 ) Χρόνος µέσης περίπτωσης: Θ(n log n) Χώρος: σχεδόν in-place. Αναδροµή καθυστερεί και απαιτεί µνήµη. Εύκολη και γρήγορη υλοποίηση. Γρηγορότερος αλγόριθµος στην πράξη (για n 30). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 16

87 Σύνοψη Αλγόριθµος Καλύτερη Μέση Χειρότερη Χώρος BubbleS Ω(n) O(n 2 ) O(n 2 ) O(1) InsertionS Ω(n) O(n 2 ) O(n 2 ) O(1) SelectionS Ω(n) O(n 2 ) O(n 2 ) O(1) HeapS MergeS Ω(n log n) Ω(n log n) Ο(n log n) Ο(n log QuickS Ω(n log n) Ο(n n) n) O(n log n) O(1) O(n log n) O(n) O(n 2 )? Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 17

Quicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Quicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Quicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι

Quicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1

Πρόβληµα Επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1 Πρόβληµα Επιλογής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1 Πρόβληµα Επιλογής Πίνακας Α[ Αριθµός k, 1 k n. ] µε n στοιχεία (όχι ταξινοµηµένος). Υπολογισµός του k-οστού µικρότερου στοιχείου (στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Επιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές

Επιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Επιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Επιλογή. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Επιλογή ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2

Διαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους.

Διαβάστε περισσότερα

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 8 Quick Sort 1 / 11 Ο αλγόριθμος QuickSort 1 Προτάθηκε από τον CAR (Tony) Hoare το 1961 2 Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1 Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 20: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςIII Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Ε. QuickSort Γρήγορη Ταξινόμηση - Έμμεση Ταξινόμηση - Εξωτερική Ταξινόμηση Διδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διαίρει-και-Βασίλευε Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Αλγόριθμοι ταξινόμησης Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης BuubleSort, SelectionSort, InsertionSort, Merger Sort, Quick Soft ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Quicksort Κεφάλαιο 7 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Quicksort Ο βασικός αλγόριθµος Χαρακτηριστικά επιδόσεων Μικροί υποπίνακες Μη αναδροµική υλοποίηση Δοµές Δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 9 ο Ταξινόµηση Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ταξινόµηση Εισαγωγή Selection sort Insertion sort Bubble sort

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Προχωρημένοι Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τρείς προχωρημένους αλγόριθμους ταξινόμησης: treesort, quicksort και mergesort. 2

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο

auth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/courses/algorithms/ auth 1 Διαίρει και Βασίλευε Η γνωστότερη ρημέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: 1. Διαιρούμε το στιγμιότυπο του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Αναζήτησης Αλγόριθμοι Αναζήτησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 10: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Δ. QuickSort Γρήγορη Ταξινόμηση Ε. BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους - Έμμεση Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων Κατ οίκον Εργασία 2 Σκελετοί Λύσεων 1. (α) Αλγόριθµος: ηµιούργησε το σύνολο P που αποτελείται από τα άκρα όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων. Βρες το κυρτό περίβληµα του P µε τον αλγόριθµο του Graham. Ορθότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. Παύλος Εφραιμίδης. Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1

Ταξινόμηση. Παύλος Εφραιμίδης. Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1 Ταξινόμηση Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1 Το πρόβλημα της ταξινόμησης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 2 Ταξινόμηση Δίνεται πολυ-σύνολο Σ με στοιχεία από κάποιο σύμπαν U (πχ. U = το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων Ε. Μαρκάκης Περίληψη Quicksort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Μη αναδροµική υλοποίηση Δέντρα Μαθηµατικές ιδιότητες Δοµές Δεδοµένων 11-2

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. 1. Στατιστικά Διάταξης 2. Στατιστικά σε Μέσο Γραμμικό Χρόνο. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Ταξινόμηση. 1. Στατιστικά Διάταξης 2. Στατιστικά σε Μέσο Γραμμικό Χρόνο. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση. Στατιστικά Διάταξης. Στατιστικά σε Μέσο Γραμμικό Χρόνο Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Στατιστικά Διάταξης Με τον όρο στατιστικά διάταξης (order statistics) εννοούμε την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Ουρές Προτεραιότητας 2

Δοµές Δεδοµένων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Ουρές Προτεραιότητας 2 Δοµές Δεδοµένων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Ουρές Προτεραιότητας 2 Δοµές Δεδοµένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειµένων για αποδοτική ενηµέρωση και ανάκτηση πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ομές εδομένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειμένων για

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Δομές Δεδομένων Ουρά Προτεραιότητας: Heap Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (Αναπαράσταση,)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 9: Στατιστικά Διάταξης- Στατιστικά σε Μέσο Γραμμικό Χρόνο Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης (λίγες τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δομές Δεδομένων (Αναπαράσταση,)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ταχυταξινόμηση (Quick-Sort)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ταχυταξινόμηση (Quick-Sort) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ταχυταξινόμηση (Quick-Sort) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ταχυταξινόμηση (Quick-Sort) 7 4 9 6 2 2 4 6 7 9 4 2 2 4 7 9 7

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόµηση. Παύλος Εφραιµίδης. οµές εδοµένων και

Ταξινόµηση. Παύλος Εφραιµίδης. οµές εδοµένων και Παύλος Εφραιµίδης 1 Το πρόβληµα της ταξινόµησης 2 3 ίνεται πολυ-σύνολο Σ µε στοιχεία από κάποιο σύµπαν U (πχ. U = το σύνολο των ακεραίων αριθµών). του Σ είναι η επιβολή µιας διάταξης στα στοιχεία του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Είσοδος n αντικείμενα a 1, a 2,..., a n με κλειδιά (συνήθως σε ένα πίνακα, ή λίστα, κ.τ.λ)

Διαβάστε περισσότερα

Ο αλγόριθμος Quick-Sort. 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1

Ο αλγόριθμος Quick-Sort. 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1 Ο αλγόριθμος Quick-Sort 7 4 9 6 2 2 4 6 7 9 4 2 2 4 7 9 7 9 2 2 9 9 6/14/2007 3:42 AM Quick-Sort 1 Κύρια σημεία για μελέτη Quick-sort ( 4.3) Αλγόριθμος Partition step Δέντρο Quick-sort Παράδειγμα εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Υλοποίηση, Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Γ. MergeSort Ταξινόμηση με Συγχώνευση Δ. BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους Διδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση με συγχώνευση Merge Sort

Ταξινόμηση με συγχώνευση Merge Sort Ταξινόμηση με συγχώνευση Merge Sort 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 Πληροφορικής 1 Διαίρει και Βασίλευε Η μέθοδος του «Διαίρει και Βασίλευε» είναι μια γενική αρχή σχεδιασμού αλγορίθμων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 5) 1 / 17 Απόδοση προγραμμάτων Συχνά χρειάζεται να εκτιμηθεί η απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ταχεία Ταξινόμηση Quick-Sort

Ταχεία Ταξινόμηση Quick-Sort Ταχεία Ταξινόμηση Quc-Sort 7 4 9 6 2 2 4 6 7 9 4 2 2 4 7 9 7 9 2 2 9 9 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εργαστήριο Γνώσης και Ευφυούς Πληροφορικής 1 Outlne Quc-sort Αλγόριθμος Βήμα διαχωρισμού Δένδρο Quc-sort

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση κάδου και ταξινόμηση Ρίζας Bucket-Sort και Radix-Sort

Ταξινόμηση κάδου και ταξινόμηση Ρίζας Bucket-Sort και Radix-Sort Ταξινόμηση κάδου και ταξινόμηση Ρίζας Bucket-Sort και Radix-Sort 1, c 3, a 3, b 7, d 7, g 7, e B 0 1 3 4 5 6 7 8 9 1 BucketSort (Ταξινόμηση Κάδου) - Αρχικά θεωρείται ένα κριτήριο κατανομής με βάση το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Tυχαιοποιηµένοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιo 8.3 και 10)

Tυχαιοποιηµένοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιo 8.3 και 10) Tυχαιοποιηµένοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιo 8.3 και 10) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Ο τυχαιοποιµένος αλγόριθµος QuickSort Αλγόριθµοι Επιλογής Τυχαιποιηµένος Αλγόριθµος Ο αλγόριθµος των

Διαβάστε περισσότερα

Διωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1

Διωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1 Διωνυµικοί Συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1 Διωνυµικοί Συντελεστές Διωνυµικοί συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένες έννοιες προγραμματισμού σε C

Προχωρημένες έννοιες προγραμματισμού σε C Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση

8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Ενότητα 8 Ταξινόµηση ΗΥ0 - Παναγιώτα Φατούρου Ταξινόµηση Θεωρούµε έναν πίνακα Α[0..n-] µε n στοιχεία στα οποία έχει ορισθεί µια γραµµική διάταξη, δηλαδή ζεύγος στοιχείων x,y του Α, είτε x < y, ή x > y

Διαβάστε περισσότερα

p

p ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Οι μέθοδοι ταξινόμησης QUICK SORT και MERGE SORT κωδικοποιούνται εύκολα αναδρομικά Oι δυο αναδροµικοί µέθοδοι δέχονται 1ο όρισµα τον πίνακα, και δεν επιστρέφουν τίποτα.

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι - Πίνακες 1 Πίνακες Οι πίνακες έχουν σταθερό μέγεθος και τύπο δεδομένων. Βασικά πλεονεκτήματά τους είναι η απλότητα προγραμματισμού τους και η ταχύτητα. Ωστόσο δεν παρέχουν την ευελιξία η οποία απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εμβέλεια Μεταβλητών Εμβέλεια Μεταβλητής Οι μεταβλητές που έχουμε δει μέχρι τώρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε: Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. Σαλτογιάννη Αθανασία

Ταξινόμηση. Σαλτογιάννη Αθανασία Ταξινόμηση Σαλτογιάννη Αθανασία Ταξινόμηση Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ποια είδη αλγορίθμων ταξινόμησης υπάρχουν; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν

Διαβάστε περισσότερα

a 1 a 2 a n. 3. i = j 1 5. A[i + 1] = A[i] 6. i = i 1

a 1 a 2 a n. 3. i = j 1 5. A[i + 1] = A[i] 6. i = i 1 Εισαγωγη στον Σχεδιασμο και Αναλυση αλγοριθμων Αλγοριθμοι Ταξινομησης Η ταξινόμηση μιας ακολουθίας αριθμών είναι από τα βασικά αποτελέσματα της θεωρίας αλγορίθμων. Μια ευρεία γκάμα τέτοιων αλγορίθμων έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισμός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε:

Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισμός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε: Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισμός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε: (i) όλα τα περιεχόμενα στο αριστερό υποδέντρο του t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

ΟιβασικέςπράξειςπουορίζουντονΑΤΔ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες:

ΟιβασικέςπράξειςπουορίζουντονΑΤΔ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες: Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισμός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε: (i) όλα τα περιεχόμενα στο αριστερό υποδέντρο του t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές πράξεις που ορίζουν τον ΑΤ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες:

Οι βασικές πράξεις που ορίζουν τον ΑΤ δυαδικό δέντρο αναζήτησης είναι οι ακόλουθες: υαδικά έντρα Αναζήτησης (Binary Search Trees) Ορισµός : Ένα δυαδικό δέντρο αναζήτησης t είναι ένα δυαδικό δέντρο, το οποίο είτε είναι κενό είτε: (i) όλα τα περιεχόµενα στο αριστερό υποδέντρο του t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Αναζήτηση. Σειριακή αναζήτηση. Δυαδική Αναζήτηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Παραδοχή Στη συνέχεια των διαφανειών (διαλέξεων) η ασυμπτωτική έκφραση (συμβολισμός Ο, Ω, Θ) του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Συγχωνευτική Ταξινόμηση

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Συγχωνευτική Ταξινόμηση ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Συγχωνευτική Ταξινόμηση Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Συγχωνευτική Ταξινόμηση (Merge Sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (1) Διαφάνειες του Γ. Χ. Στεφανίδη 0. Εισαγωγή Αντικείμενο μαθήματος: Η θεωρητική μελέτη ανάλυσης των αλγορίθμων. Στόχος: επιδόσεις των επαναληπτικών και αναδρομικών αλγορίθμων.

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 9η Διάλεξη Ταξινόµηση - Στοιχειώδεις µέθοδοι Ε. Μαρκάκης Περίληψη Bubble Sort Selection Sort Insertion Sort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Shellsort Ταξινόµηση συνδεδεµένων λιστών Δοµές Δεδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 1. α. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά μεγέθους τις παρακάτω συναρτήσεις χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων: nlogn, n logn,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε μία αναδρομική συνάρτηση που θα παίρνει ως παράμετρο ένα δείκτη στη ρίζα ενός δυαδικού δένδρου και θα επιστρέφει το βαθμό του

Διαβάστε περισσότερα

Merge Sort (Ταξινόμηση με συγχώνευση) 6/14/2007 3:04 AM Merge Sort 1

Merge Sort (Ταξινόμηση με συγχώνευση) 6/14/2007 3:04 AM Merge Sort 1 Merge Sort (Ταξινόμηση με συγχώνευση) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 6/14/2007 3:04 AM Merge Sort 1 Κύρια σημεία για μελέτη Το παράδειγμα του «διαίρει και βασίλευε» ( 4.1.1) Merge-sort

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 9: Ταξινόμηση Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 9: Ταξινόμηση Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 9: Ταξινόμηση Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 9 Ταξινόμηση ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Ταξινόμηση Θεωρούμε έναν πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 10η Διάλεξη Ταξινόµηση E. Μαρκάκης Περίληψη Ταξινόµηση µε αριθµοδείκτη κλειδιού Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Προγραμματιστικές Τεχνικές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραμματιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Ρωμύλος Κορακίτης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 06-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ταξινόμηση Selection-Sort Bubble-Sort και

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση

Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Πρατικάκης (CSD) Ταξινόμηση CS100, 2016-2017 1 / 10 Το πρόβλημα της Αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Ενότητα 9 η : Συναρτήσεις Αν. καθηγητής Στεργίου Κώστας e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Ενότητα 2

Δομές Δεδομένων Ενότητα 2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Θέματα Απόδοσης Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 1 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Το Πρόβλημα της Ταξινόμησης Το πρόβλημα της ταξινόμησης (sorting) μιας ακολουθίας στοιχείων με κλειδιά ενός γνωστού τύπου (π.χ., τους ακέραιους ή τις

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 0-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Διαίρει και Βασίλευε Quick-sort και Merge-sort

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο.

Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο. Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές μαθηματικές συναρτήσεις ορίζονται αναδρομικά. Δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1o Φροντιστήριο ΗΥ240

1o Φροντιστήριο ΗΥ240 1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. 1. Ταξινόμηση του Shell. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Ταξινόμηση. 1. Ταξινόμηση του Shell. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση. Ταξινόμηση του Shell Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση του Shell Η μέθοδος που προτάθηκε από τον Shell έχει βασικό χαρακτηριστικό ότι χρησιμοποιεί µία ακολουθία ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας

Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Αναζήτηση με linearsearch, binarysearch, ternarysearch - Ανάλυση Πολυπλοκότητας ternarysearch

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 23: οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Ενδιάµεση Εξέταση Ηµεροµηνία : ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 2008 ιάρκεια : 2.00-4.00 ιδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοµατεπώνυµο: ΣΚΕΛΕΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Εξεταστική Ιανουαρίου 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 20.01.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 6α: Αναζήτηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα