Υπέρτιτλος: ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ και ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΑ ΝΟΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ

Transcript

1 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά Υπέρτιτλος: ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ και ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΟΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ, ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΜΑΘΗΣΙΑΚΕΣ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΨΗΦΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Δεσποτοπούλου Αναστασία (Α.Μ.: 295) Πανεπιστήμιο Πατρών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Μεταπτυχιακή Διπλωματική Διατριβή που υποβάλλεται στην Κατεύθυνση «Μαθησιακές Δυσκολίες Δυσλεξία» του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης Μάιος 2014

2 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 1 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 4 Περίληψη... 6 Abstract.. 7 Νοεροί αριθμητικοί υπολογισμοί των μαθητών της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, στην πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών Ορισμός Μαθησιακών Δυσκολιών Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά Αναπτυξιακή Δυσαριθμησία Γνωστικό προφίλ μαθητών με Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά. 15 Η αρίθμηση-απαρίθμηση (counting) σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές Η αίσθηση του αριθμού σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές Η αριθμητική και οι νοεροί υπολογισμοί σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές. 18 Μνήμη και Μαθηματικά. 20 Ο ρόλος της μνήμης στην αριθμητική Ο ρόλος της μνήμης στους νοερούς υπολογισμούς Εργαζόμενη μνήμη και νοεροί υπολογισμοί Ορισμός και χαρακτηριστικά της εργαζόμενης μνήμης Ο ρόλος της εργαζόμενης μνήμης στους νοερούς υπολογισμούς H λεκτική εργαζόμενη μνήμη και η οπτικοχωρική διαδικασία στους μαθητές με ΜΜΔ.. 26 Διαχωρισμός ελλειμμάτων των μαθητών με ΜΜΔ Τι είναι ο νοερός υπολογισμός Τι είναι οι στρατηγικές νοερών υπολογισμών Οφέλη νοερού υπολογισμού... 33

3 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 2 Τρόποι διδασκαλίας νοερών υπολογισμών.. 34 Σύγκριση γραπτών αλγόριθμων και νοερών στρατηγικών Έρευνες σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς Στρατηγικές νοερών υπολογισμών πρόσθεσης και αφαίρεσης Η χρήση της άδειας αριθμογραμμής στους νοερούς υπολογισμούς Λάθη κατά τους νοερούς υπολογισμούς Η θέση των νοερών υπολογισμών στα αναλυτικά προγράμματα Η διεθνής εμπειρία Η ελληνική εμπειρία Σκοπός της μελέτης Μέθοδος Συμμετέχοντες. 60 Υλικά Υλικά για την επιλογή του δείγματος.. 60 Υλικά κυρίως εξέτασης Διαδικασία Στατιστική ανάλυση Αποτελέσματα Συμπεράσματα.. 83 Εκπαιδευτικές Επιπτώσεις Περιορισμοί Βιβλιογραφία Παράρτημα Παράρτημα Α Άτυπο τεστ αξιολόγησης μαθηματικής ικανότητας

4 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 3 Κλίμακα 6. Μαθηματικά του σταθμισμένου εργαλείου Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών Παράρτημα Α Βαθμολογία συμμετεχόντων στα 36 από το άτυπο τεστ αξιολόγησης μαθηματικής ικανότητας. 119 Παράρτημα Β Καρτέλες κυρίως εξέτασης 120 Παράρτημα Β Πρωτόκολλο Εξέτασης. 130

5 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 4 Εισαγωγή Η διπλή σκοπιμότητα των Μαθηματικών, ως εφόδιο για τη ζωή του ανθρώπου αλλά και ως πολιτισμικό αγαθό στο οποίο όλοι έχουν δικαίωμα, οδηγεί στην ανάγκη καθορισμού μιας ελάχιστης ποσότητας μαθηματικής γνώσης, κοινής για όλους τους μαθητές, με την έννοια ότι κάθε μαθητής, ολοκληρώνοντας τον υποχρεωτικό κύκλο σπουδών θα πρέπει να έχει κατακτήσει ένα ελάχιστο αποδεκτό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων. Οι σύγχρονες αυτές διδακτικές αντιλήψεις στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα εξυπηρετούνται από τα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών (Α.Π.Σ.) του 2003, τα οποία θέτουν τους στόχους της Μαθηματικής εκπαίδευσης στην Πρωτοβάθμια βαθμίδα (Συγγραφείς βιβλίων Μαθηματικών, 2005). Ένας από αυτούς τους στόχους που επιδιώκουν τα νέα Α.Π.Σ., μέσα από μια μακρόχρονη και μεθοδική διαδικασία μάθησης, είναι η ικανότητα των μαθητών να υπολογίζουν νοερά (Λεμονίδης κ. συν, 2007α), καθώς από τις επιστημονικές έρευνες σε όλο τον κόσμο αναγνωρίζεται πλέον η μεγάλη τους αξία στην προαγωγή της μαθηματικής σκέψης των παιδιών (Blοte, Klein, & Beishuizen, 2000 Heirdsfield & Cooper, 2004α Heirdsfield & Lamb, 2005 Maclellan, 2001 McIntosh et al., 1995 Thompson, 1999b). Ήδη από τα χρόνια των προπτυχιακών μου σπουδών στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Πατρών ο επόπτης καθηγητής μου κ. Ιωάννης Καραντζής μου είχε δώσει την ευκαιρία να διερευνήσω τους νοερούς υπολογισμούς και συγκεκριμένα τις διψήφιες νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις σε μαθητές της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου, δεδομένου ότι είχαν ήδη αρχίσει να διερευνώνται οι νοεροί υπολογισμοί σε μικρότερες τάξεις στην Ελλάδα. Έτσι, λοιπόν, η παρούσα έρευνα ξεκίνησε ως επέκταση-συνέχεια της προηγούμενης εργασίας-έρευνάς μου, με στόχο αυτή τη φορά να διερευνηθούν, όχι μόνο οι επιδόσεις των μαθητών κανονικής επίδοσης της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου στους νοερούς υπολογισμούς προσθέσεων και αφαιρέσεων διψήφιων αριθμών, αλλά και αυτών που παρουσιάζουν μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Με λίγα λόγια, να διαπιστωθεί κατά πόσον οι μαθητές αυτής της τάξης, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, είναι

6 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 5 ικανοί να υπολογίζουν σωστά νοερά, αλλά και ποιες στρατηγικές προτιμούν να χρησιμοποιούν κατά τους νοερούς υπολογισμούς τους, καθώς και τα λάθη στα οποία υποπίπτουν. Με την ευκαιρία αυτή, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες τόσο στους διευθυντές, τους δασκάλους και μαθητές των σχολείων που πρόθυμα δέχτηκαν να συνεργαστούν μαζί μου και να με βοηθήσουν στη διεξαγωγή αυτής της έρευνας, χωρίς τη συμμετοχή και συμβολή των οποίων δε θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθεί, όσο και στον επόπτη καθηγητή μου, κύριο Ιωάννη Δημάκο για την άριστη συνεργασία που είχαμε κατά τη διάρκεια ολόκληρου του ακαδημαϊκού έτους και που μου έδωσε την ευκαιρία να πραγματοποιήσω την παρούσα εργασία, από την οποία οι γνώσεις και οι εμπειρίες που αποκόμισα ήταν πολλές, αλλά και πολύ σημαντικές για τη μετέπειτα πορεία μου ως δασκάλα. Ωστόσο, δεν μπορώ να μην αναφερθώ και στον παλαιότερο επόπτη καθηγητή μου κύριο Ιωάννη Καραντζή ο οποίος μου έδωσε το έναυσμα για τη διερεύνηση και μελέτη των νοερών υπολογισμών, τέσσερα χρόνια πριν, όταν ακόμη ήμουν φοιτήτρια στο προπτυχιακό πρόγραμμα του Παιδαγωγικού Τμήματος. Αναστασία Δεσποτοπούλου Πάτρα, Mάιος 2014

7 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 6 Περίληψη Στόχος της παρούσας έρευνας ήταν να διερευνηθούν οι επιδόσεις και τα είδη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (ΜΜΔ), όταν υπολογίζουν νοερά προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών και να διαπιστωθεί αν υπάρχει αξιόλογη διαφορά στην επίδοση μεταξύ των μαθητών αυτών. Προηγούμενες μελέτες που αφορούν στις ΜΜΔ έχουν ασχοληθεί με τις απλές (π.χ. 3+5) και όχι με τις διψήφιες νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Στην παρούσα έρευνα συμμετείχαν 85 μαθητές (40 με ΜΜΔ και 45 κανονικής επίδοσης στα μαθηματικά-κε), όπως προέκυψε από την αξιολόγησή τους με σταθμισμένες και μη δοκιμασίες. Επιπλέον, στους μαθητές αυτούς χορηγήθηκε δοκιμασία στους νοερούς υπολογισμούς. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι μαθητές ΚΕ χρησιμοποιούν, κατά κύριο λόγο, στρατηγικές υψηλού επιπέδου (αυτές που συντελούν στην καλύτερη κατανόηση των αριθμών) τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση. Παρόλα αυτά, η χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου είναι πιο έντονη στην πρόσθεση συγκριτικά με την αφαίρεση, γεγονός που υποδηλώνει τη δυσκολία της αφαίρεσης ως πράξη. Επιπλέον, οι αφαιρέσεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από αυτές χωρίς κρατούμενο και για τις δύο ομάδες. Επίσης, τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι επιδόσεις των μαθητών με ΜΜΔ γενικά σε όλες τις πράξεις είναι χειρότερες από αυτές των μαθητών ΚΕ. Τέλος, οι μαθητές με ΜΜΔ υπέπεσαν σε περισσότερα λάθη σε σχέση με τους μαθητές ΚΕ, ανάλογα με το είδος της πράξης, αλλά και σε περισσότερα είδη λαθών. Τα περισσότερα λάθη των μαθητών εντοπίστηκαν κυρίως στις αφαιρέσεις με κρατούμενο, όπου είτε αφαιρούσαν τις μονάδες του μειωτέου από τις μονάδες του αφαιρετέου είτε έκαναν κάποιο λάθος στο δανεισμό. Περαιτέρω έρευνες είναι απαραίτητες προκειμένου να διαπιστωθούν οι διαφορές που εντοπίζονται στην επίδοση, τις στρατηγικές και τα λάθη μεταξύ των παραπάνω μαθητών στις διψήφιες νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Λέξεις κλειδιά: νοερός υπολογισμός, νοερές στρατηγικές, μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά

8 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 7 Abstract The purpose of the present study was to investigate the performance and the kinds of strategies that students, with and without mathematical learning disabilities (MLD), attending fourth grade of elementary school (9 years old) use when they add and subtract two-digit numbers mentally and to find out whether there is any notable difference in the performance between these groups. Previous studies related to MLD have dealt with simple mental additions and subtractions (eg 3+5) and not with two-digit calculations. Eighty five students participated in the present study (40 with MLD and 45 normally achieving students NA). All students completed tests, which evaluated their mathematical skills. The results from these tests led to the selection of the students that would form each one of the two groups. Moreover, students of both groups were assessed on a mental calculation task. The results of the study indicated that NA students tend to use sophisticated strategies (those that contribute to a better understanding of numbers) both in addition and subtraction. However, the percentage of sophisticated strategies appeared to be higher in addition than in subtraction, a fact that implies there is a particular difficulty in subtractions. Moreover, this study found that subtractions, which involve regrouping procedures (such as carrying or borrowing ), are more complex than others for both groups. Furthermore, the results showed that the performance of MLD students on mental calculation tasks was worse than NA students. Last but not least, MLD children made more errors than NA children depending on the type of operation and they made more types-categories of errors than NA children. Most errors were made in subtractions with carrying digit. There either they subtracted minuend s units from subtrahend s units or they made an error with the carrying digit. Further research is necessary in order to investigate the performance and the kinds of strategies that students, with and without mathematical learning disabilities when they add and subtract mentally two-digit numbers. Key words: mental calculation, mental strategies, mathematical learning disabilities

9 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 8 Νοεροί αριθμητικοί υπολογισμοί των μαθητών της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, στην πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών Η αριθμητική παίζει σπουδαίο ρόλο στην καθημερινή μας ζωή καθώς μας καθιστά ικανούς να κατανοούμε αριθμητικές έννοιες και να εκτελούμε υπολογισμούς. Επίσης, το να υπολογίζουμε εκ των προτέρων το χρόνο μας, να κάνουμε χρηματικές συναλλαγές, να διαβάζουμε ημερολόγια, να εντοπίζουμε μια διεύθυνση, ακόμη και το να ακολουθούμε μια συνταγή είναι παραδείγματα της εξάρτησής μας από στοιχειώδεις αριθμητικές έννοιες (Shalev, 2004). Σύμφωνα, μάλιστα, με τον Dowker (2005) η αριθμητική αποτελείται από πολλά επιμέρους στοιχεία όπως είναι η γνώση των αριθμητικών δεδομένων, η ικανότητα να εξάγει κάποιος αριθμητικές διαδικασίες, να κατανοεί και να χρησιμοποιεί τις αριθμητικές αρχές όπως η αντιμεταθετική ιδιότητα, ο υπολογισμός, η μαθηματική γνώση, να εφαρμόζει την αριθμητική για την επίλυση λεκτικών και αριθμητικών προβλημάτων και ούτω καθεξής. Έχει παρατηρηθεί, ωστόσο, πως ορισμένοι μαθητές υστερούν σε κάποιους από τους παραπάνω τομείς σε βαθμό που αξίζει εκπαιδευτικής προσοχής. Έτσι, προκειμένου να διερευνηθούν, να διαγνωστούν αλλά και να αντιμετωπιστούν οι παραπάνω δυσκολίες, όχι μόνο στην αριθμητική αλλά και γενικότερα στα μαθηματικά, τις τελευταίες δεκαετίες ένας αυξανόμενος αριθμός ερευνών έχει μελετήσει τις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, μια διαταραχή που επηρεάζει από το 3,5% έως το 13,8% του μαθητικού πληθυσμού φυσιολογικής νοημοσύνης, ανάλογα με τη χώρα και τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για να ορίσουν τις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (Rousselle & Noel, 2008). Είναι γεγονός πως οι έρευνες που έχουν διεξαχθεί για τις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά είναι κατά πολύ λιγότερες από αυτές των αναγνωστικών δυσκολιών και αυτό διότι τα μαθηματικά είναι πολύπλοκα και χρησιμοποιούν πολλές και διαφορετικές γνωστικές ικανότητες (Dowker, 2005 Fuchs & Fuchs, 2002 Gersten & Chard, 1999 Gersten, Jordan, & Flojo, 2005 Swanson & Jerman, 2006). Μάλιστα, παρά το γεγονός ότι οι περισσότερες έρευνες μιλούν για μαθηματικές δυσκολίες

10 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 9 (mathematical difficulties), ωστόσο ο πιο κατάλληλος όρος θα ήταν αριθμητικές δυσκολίες (arithmetical difficulties) δεδομένου ότι οι περισσότερες μελέτες έχουν ασχοληθεί κυρίως με τους αριθμούς και την αριθμητική, ενώ τα μαθηματικά περιλαμβάνουν και άλλα θέματα, όπως τη γεωμετρία, τις μετρήσεις και την άλγεβρα (Dowker, 2005 Fuchs & Fuchs, 2002). Συγκεκριμένα, οι μελέτες που αφορούν στις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά έχουν πρωτίστως εστιάσει στον αριθμό, την απαρίθμηση και στις αριθμητικές ικανότητες των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (Geary, 2004). Επίσης, οι περισσότερες από αυτές τις έρευνες εστιάζουν στις απλές προσθέσεις, ή καλύτερα, στις απλές νοερές προσθέσεις (π.χ. 3+6 ή 12+5) και σε μικρότερο βαθμό στις αφαιρέσεις (Fuchs & Fuchs, 2002). Στην ουσία, οι έρευνες αυτές μελετούν τα χαρακτηριστικά και την ανάπτυξη των στρατηγικών των παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά στον τομέα της απλής αριθμητικής και συγκεκριμένα στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 20 (Torbeyns, Verschaffel, & Ghesquière, 2004). Να σημειωθεί πως οι στρατηγικές, όρος ο οποίος θα αναλυθεί εκτενώς σε επόμενη ενότητα, αφορούν στην εφαρμογή γνωστών ή γρήγορα υπολογισμένων αριθμητικών δεδομένων σε συνδυασμό με ειδικές ιδιότητες του αριθμητικού συστήματος προκειμένου να βρεθεί η λύση ενός υπολογισμού του οποίου η απάντηση δεν είναι γνωστή (Thompson, 1999a). Ως εκ τούτου, ενώ υπάρχουν έρευνες που έχουν μελετήσει τους νοερούς υπολογισμούς και συγκεκριμένα τις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις όχι μόνο μέχρι το 20, αλλά και από το 20 μέχρι το 100 (δηλαδή διψήφιες), σε μαθητές κανονικής επίδοσης, παρόλα αυτά δεν υπάρχουν μέχρι στιγμής αντίστοιχες έρευνες, που να μελετούν, δηλαδή, τις διψήφιες νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις, σε μαθητές τόσο κανονικής επίδοσης όσο και με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Η μελέτη αυτή λοιπόν προέκυψε από την ανάγκη να διερευνηθούν οι επιδόσεις και τα είδη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Δ τάξης του δημοτικού σχολείου, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, όταν υπολογίζουν νοερά προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών, να διαπιστωθεί αν υπάρχει αξιόλογη διαφορά στην επίδοση μεταξύ των μαθητών αυτών και να καταγραφούν τα είδη των λαθών που κάνουν. Ωστόσο, για

11 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 10 την καλύτερη κατανόηση της έρευνας κρίνεται σκόπιμη η παρουσίαση κάποιων βασικών θεωρητικών στοιχείων που αφορούν στις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, στους νοερούς υπολογισμούς, αλλά και στο ρόλο της μνήμης στην αριθμητική και τους νοερούς υπολογισμούς. Ορισμός Μαθησιακών Δυσκολιών Ο όρος μαθησιακές δυσκολίες χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Samuel Kirk το 1963 για να προσδιορίσει «μια καθυστέρηση ή διαταραχή της ανάπτυξης σε μία ή περισσότερες λειτουργίες του προφορικού ή του γραπτού λόγου (ανάγνωση, γραφή, ορθογραφία, κατανόηση) ή και των μαθηματικών, εξαιτίας κάποιας πιθανής εγκεφαλικής δυσλειτουργίας ή διαταραχών συμπεριφοράς και συναισθημάτων». Σύμφωνα με τον Kirk, αυτές «οι μαθησιακές δυσκολίες δεν οφείλονται σε νοητική υστέρηση του παιδιού ή σε αρνητικούς πολιτιστικούς και κοινωνικούς παράγοντες» (Kirk, 1962, σελ. 263, αναφορά στους Hammill, 1990, σελ. 75 και Πόρποδας, 2003, σελ. 22). Στα χρόνια που ακολούθησαν διατυπώθηκαν, κυρίως στις Η.Π.Α., και άλλοι (συμπληρωματικοί ή περισσότερο διευκρινιστικοί) ορισμοί, από μελετητές ή επιστημονικές ομάδες εργασίας. Κατά πολλούς, ο μέχρι τώρα πληρέστερος και ευρέως αποδεκτός ορισμός για τις μαθησιακές δυσκολίες έχει δοθεί από την Εθνική Μικτή Επιτροπή για τις Μαθησιακές Δυσκολίες των Η.Π.Α., το Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, «οι μαθησιακές δυσκολίες είναι ένας γενικός όρος ο οποίος αναφέρεται σε μια ανομοιογενή ομάδα διαταραχών που εκδηλώνονται ως δυσκολίες στη μάθηση και τη χρήση της ομιλίας, της ανάγνωσης, του συλλογισμού ή των μαθηματικών ικανοτήτων. Οι διαταραχές αυτές είναι εγγενείς στο άτομο, αποδίδονται σε δυσλειτουργία του κεντρικού νευρικού συστήματος και είναι δυνατόν να εκδηλώνονται καθ όλη τη διάρκεια της ζωής του. Με τις μαθησιακές δυσκολίες είναι δυνατόν να συνυπάρχουν προβλήματα αυτοελέγχου της συμπεριφοράς, κοινωνικής αντίληψης και κοινωνικής αλληλεπίδρασης, τα οποία όμως από μόνα τους δε συνιστούν μαθησιακή δυσκολία. Αν και οι μαθησιακές δυσκολίες μπορεί να συνυπάρχουν με άλλες μειονεκτικές καταστάσεις

12 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 11 (π.χ. αισθητηριακή βλάβη, νοητική καθυστέρηση, σοβαρή συναισθηματική διαταραχή) ή με επιδράσεις εξωγενών παραγόντων (όπως οι πολιτισμικές διαφορές και η ανεπαρκής ή ακατάλληλη εκπαίδευση), εντούτοις οι μαθησιακές δυσκολίες δεν είναι το άμεσο αποτέλεσμα αυτών των καταστάσεων ή εξωγενών παραγόντων» (Hammill, 1990, σελ. 77). Από τους παραπάνω ορισμούς των μαθησιακών δυσκολιών διαπιστώνεται πως οι μαθησιακές δυσκολίες έχουν οργανική αιτιολογία που είναι ενδογενής στο μαθητή. Παρά το γεγονός ότι δεν έχουν διευκρινιστεί πλήρως οι αιτιακοί παράγοντες, ούτε ο μηχανισμός λειτουργίας τους, έχει γίνει σαφές πως εδράζονται σε δυσλειτουργίες του κεντρικού νευρικού συστήματος, επομένως αποκλείεται η δημιουργία μαθησιακών δυσκολιών μετά την είσοδο του μαθητή στο σχολείο και εξαιτίας της διδασκαλίας ή άλλων παραγόντων (Παντελιάδου και Μπότσας, 2007). Επίσης, τα χαρακτηριστικά και οι δυσκολίες που εκδηλώνουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες δεν είναι κοινές σε όλο τον πληθυσμό, με αποτέλεσμα την αδυναμία δόμησης ενός κεντρικού προφίλ και κατά συνέπεια τη δυσκολία πρότασης διδακτικής παρέμβασης που να είναι αποτελεσματική και κατάλληλη για όλους τους μαθητές αυτής της ομάδας (Παντελιάδου και Μπότσας, 2007). Ακόμη, οι μαθησιακές δυσκολίες διαφοροποιούνται από άλλες καταστάσεις μειονεξίας, όπως οι αισθητηριακές βλάβες ή η νοητική καθυστέρηση και τα προβλήματα στη μάθηση που τις χαρακτηρίζουν (Παντελιάδου και Μπότσας, 2007). Τέλος, από τους ορισμούς συμπεραίνεται πως οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες παρουσιάζουν μια απρόσμενη απόκλιση μεταξύ του γνωστικού δυναμικού τους (το οποίο είναι φυσιολογικό ή και υψηλό) και της σχολικής επίδοσής τους (η οποία είναι χαμηλή). Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά Οι μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά ή διαφορετικά μαθηματικές μαθησιακές δυσκολίες- ΜΜΔ (Mathematical Learning Disabilities-MLD, Mathematics Disabilities-MD ή Learning Disabilities in Math ή Mathematics Learning Disorder) χαρακτηρίζονται από σοβαρές βλάβες όσον αφορά στην κατάκτηση μαθηματικών ικανοτήτων. Σύμφωνα με το DSM-IV-TR

13 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 12 (Diagnostical and Statistical Manual of Mental Disorders) (American Psychiatric Association, 2000) και το ICD-10 (International Statistical Classification of Diseases and Related Health Problems) (World Health Organization, 1992) μια διάγνωση με ΜΜΔ θα μπορούσε να αποδοθεί σε ένα παιδί το οποίο αποτυγχάνει σημαντικά σε τυπικές μαθηματικές δοκιμασίες σε σχέση με το προσδοκώμενο επίπεδο για την ηλικία του, τη μόρφωση και τη νοημοσύνη του (Barbaresi et al., 2005 Geary, 2010 Mammarella et al., 2013). Έρευνες έχουν δείξει ότι περίπου 7% των παιδιών και εφήβων θα διαγνωστούν με ΜΜΔ τουλάχιστον σε μια περιοχή των μαθηματικών πριν αποφοιτήσουν απ το σχολείο, ενώ ένα επιπλέον 5-10% παιδιών και εφήβων θα χαρακτηριστούν ως χαμηλής επίδοσης ΧΕ (low achieving) (Geary, 2010). Σε αυτό το σημείο να διευκρινιστεί πως, στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει μια συμφωνία που να ορίζει από κοινού τα ανώτατα και κατώτατα όρια επίδοσης στα τεστ ή τη διαφορά εκείνη στην επίδοση που θα προσδιορίζει, θα διαγιγνώσκει και θα διαχωρίζει τους ΜΜΔ από τους ΧΕ μαθητές (Geary, 2010, όπως αναφέρεται στους Gersten, Clarke, & Mazzocco, 2007). Παρόλα αυτά, οι περισσότερες έρευνες των Η.Π.Α. εντάσσουν τους μαθητές στην κατηγορία των ΜΜΔ μαθητών όταν οι επιδόσεις τους στα τυποποιημένα (standardized) μαθηματικά τεστ είναι κάτω του 11ου εθνικού εκατοστημόριου (11th national percentile) για δύο συνεχή έτη, τουλάχιστον σε επίπεδο ερευνητικών μελετών, ενώ στην κατηγορία των ΧΕ μαθητών όταν οι επιδόσεις τους βρίσκονται μεταξύ 11ου και 25ου εκατοστημόριου, επίσης για δύο συνεχή έτη. Αντίθετα, οι μαθητές με επιδόσεις μεταξύ 26ου και 74ου εκατοστημορίου αποτελούν τους TA (typically achieving) μαθητές (Geary et al., 2008 Geary, 2010), δηλαδή τους μαθητές κανονικής επίδοσης ΚΕ. Αυτά τα εκατοστημόρια βασίζονται σε συγκεκριμένες νόρμες των τεστ. Επιπλέον, οι Barbaresi et al. (2005) και Gibbs & Cooper (1989) διαπίστωσαν ότι περίπου το 57-64% των ατόμων με ΜΜΔ είχαν ταυτόχρονα και αναγνωστικές μαθησιακές δυσκολίες RD (Reading Disabilities). Πολλές φορές ωστόσο, πέραν του όρου «μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά», χρησιμοποιείται και ο όρος «αναπτυξιακή δυσαριθμησία». Με το τι είναι όμως η αναπτυξιακή

14 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 13 δυσαριθμησία και κατά πόσον η επιστημονική κοινότητα τη διαχωρίζει από τις ΜΜΔ θα ασχοληθεί η επόμενη ενότητα. Αναπτυξιακή Δυσαριθμησία Η θεωρητική μελέτη του θέματος δεν έχει καταλήξει έως τώρα στο αν η αναπτυξιακή δυσαριθμησία DD (developmental dyscalculia) αποτελεί μια αυτόνομη μαθησιακή δυσκολία στο χώρο των μαθηματικών ή αν πρόκειται για μια πτυχή των ειδικών μαθησιακών δυσκολιών στα μαθηματικά (Πόρποδας, 2003). Μάλιστα, στην έρευνά τους οι Mammarella et al. (2013), αναφέρουν χαρακτηριστικά πως η DD μερικές φορές αποκαλείται από τους ερευνητές ΜΜΔ. Ωστόσο, ορισμένοι ξεχωρίζουν την DD σαν εκείνη την ειδική κατηγορία των μαθησιακών δυσκολιών στο χώρο των μαθηματικών η οποία περιλαμβάνει παιδιά τα οποία παρουσιάζουν πολύ συγκεκριμένα ελλείμματα στον αριθμό, την απαρίθμηση ή την αριθμητική τα οποία πιθανότατα αποδίδονται σε νευροαναπτυξιακή διαταραχή (Geary, 2010). Συγκεκριμένα, οι μαθητές με DD αποτυγχάνουν στο να θυμούνται αριθμητικά δεδομένα, να χρησιμοποιούν τις κατάλληλες στρατηγικές ή διαδικασίες υπολογισμού όταν εργάζονται με μαθηματικά προβλήματα και δυσκολεύονται όταν έχουν να αντιμετωπίσουν κλιμακούμενης δυσκολίας εργασίες (Mammarella et al., 2013 Geary et al., 2012). Επίσης, στο άρθρο τους οι Shalev et al. (2001, σελ. 59) αναφέρουν πως «εντός του γενικού πληθυσμού, υπάρχει μια υποομάδα παιδιών που δεν κατακτούν τις αριθμητικές ικανότητες με τον τυπικό τρόπο. Κάποια από αυτά τα παιδιά παρουσιάζουν δυσκολίες στην εκμάθηση των αριθμητικών πινάκων, κάποια άλλα δεν κατανοούν τους αλγορίθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, ενώ κάποια άλλα έχουν προβλήματα στην κατανόηση των αριθμητικών εννοιών ή δεν μπορούν να γράψουν, να διαβάσουν ή να ταυτίσουν τη σωστή λέξη με το σωστό αριθμό. Αυτά τα παιδιά παρουσιάζουν DD, μια μαθησιακή δυσκολία που παρεμποδίζει την κατάκτηση των αριθμητικών ικανοτήτων».

15 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 14 Ο Kosc, το 1974 σε άρθρο του, είχε ισχυριστεί ότι η DD είναι μια γενετική ή εκ γενετής μαθησιακή δυσκολία, μια υπόθεση που επαναλήφθηκε από τον Geary το Συγκεκριμένα, στο άρθρο του όριζε την DD ως εξής: «Η DD είναι μια δομική διαταραχή των μαθηματικών ικανοτήτων που έχει τις ρίζες της σε γενετική ή σύμφυτη διαταραχή ορισμένων τμημάτων του εγκεφάλου, τμήματα που αποτελούν το άμεσο ανατομικοφυσιολογικό υπόστρωμα της κατάλληλης ηλικιακής ωρίμανσης των μαθηματικών ικανοτήτων χωρίς να υπάρχει μια ταυτόχρονη διαταραχή των γενικών νοητικών λειτουργιών» (Kosc, 1974, σελ. 165). Μάλιστα, ο Kosc υποστήριξε επίσης ότι η DD συναντάται σε ποσοστό 6% στο γενικό μαθητικό πληθυσμό. Η έρευνα των Shalev et al. (2001) έδειξε πως η DD, όπως και οι άλλες μαθησιακές δυσκολίες, έχει οικογενειακή προδιάθεση, καθώς φάνηκε πως στις οικογένειες των παιδιών με DD ένα τουλάχιστον ακόμη μέλος της οικογένειας βρέθηκε με αυτή τη διαταραχή. Επιλέον, σχεδόν τα μισά, πρώτου βαθμού συγγένειας, μέλη της οικογένειας είχαν επίσης DD. Έτσι λοιπόν στην έρευνά τους καταλήγουν πως η DD είναι ένα οικογενειακό χαρακτηριστικό με επικράτηση περίπου 10 φορές υψηλότερη απ ό,τι στο γενικό πληθυσμό. Ακόμη, στο άρθρο του ο Shalev (2004) αναφέρει πως ο αριθμός των κοριτσιών με DD είναι ίσος με αυτόν των αγοριών, ένα απρόσμενο εύρημα δεδομένου ότι οι μαθησιακές δυσκολίες πλήττουν κυρίως τα αγόρια. Επιπλέον, αναφέρει πως είναι πολύ σημαντικό να αντιληφθούμε ότι τα παιδιά έχουν μια έμφυτη ικανότητα να μάθουν ένα μέρος της αριθμητικής από μόνα τους, ωστόσο το μεγαλύτερο μέρος αυτής της ικανότητας κατακτάται μέσα από την εκπαίδευση που λαμβάνουν στο σχολείο. Έρευνες έχουν δείξει ότι 40% των ατόμων με δυσλεξία παρουσιάζουν ταυτόχρονα και DD, ωστόσο ορισμένες μελέτες έχουν δείξει ότι παιδιά που έχουν ταυτόχρονα DD και δυσλεξία εμφανίζουν πιο σοβαρές και γενικευμένες λειτουργικές δυσκολίες σε σχέση με τα παιδιά που έχουν μόνο DD (Mammarella et al., 2013).

16 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 15 Γνωστικό προφίλ μαθητών με Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά Στο σύνολο των ερευνών για τις ΜΜΔ οι περισσότερες αφορούν κυρίως στην αριθμητική και στην έννοια του αριθμού (Dowker, 2005). Αυτές μιλούν για πολύ ειδικά ελλείμματα στην απαρίθμηση, την αίσθηση του αριθμού και την αριθμητική, τα οποία υποστηρίζεται πως οφείλονται σε νευροαναπτυξιακή διαταραχή (Dowker, 2005 Geary, 1993 Geray, 2004). Μάλιστα, «όσον αφορά στη συγκρότηση της έννοιας του αριθμού και στη δεξιότητα για απαρίθμηση-μέτρημα, οι μαθητές με ΜΜΔ ενδέχεται να έχουν αδυναμίες σε βασικές έννοιες, όπως η ταξινόμηση, η σειροθέτηση και η διατήρηση. Μάλιστα, αυτές οι δυσκολίες δεν είναι εμφανείς μόνο στις πρώτες τάξεις του δημοτικού, αλλά και αργότερα» (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007, σελ. 23). Επιπλέον, οι έρευνες των Chong & Siegel (2008), Geary et al. ( ), Passolunghi (2011) και Swanson & Jerman (2006) έχουν δείξει πως οι μαθητές με ΜΜΔ, ανεξάρτητα από την τάξη στην οποία φοιτούν, εμφανίζουν έλλειμμα στην εργαζόμενη μνήμη, αλλά και στην ταχύτητα επεξεργασίας. Τέλος, τα τελευταία χρόνια προστίθενται και αξιόλογες μελέτες για τις ΜΜΔ οι οποίες αφορούν στην επίλυση προβλημάτων (Fuchs & Fuchs, 2002), στη χρήση στρατηγικών (Torbeyns et al., 2004) και στην κατασκευή και ερμηνεία γραφημάτων (Parmar & Signer, 2005), όπου αναφέρονται οι ιδιαίτερες δυσκολίες των μαθητών με ΜΜΔ σε αυτούς τους τομείς των μαθηματικών. Στις ενότητες που θα ακολουθήσουν θα γίνει εκτενής αναφορά σε καθένα από τα παραπάνω βασικά ελλείμματα. Η αρίθμηση-απαρίθμηση (counting) σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές Σύμφωνα με τους Gelman & Gallistel (1978) τα παιδιά από πολύ μικρή ηλικία διαθέτουν ικανότητες που τους επιτρέπουν να απαριθμούν. Οι πέντε θεμελιώδεις αρχές που θεωρούν ότι είναι απαραίτητες για την επιτυχή πραγματοποίηση μιας απαρίθμησης είναι: (α) η αρχή της αντιστοιχίας ένα-προς-ένα σύμφωνα με την οποία κάθε στοιχείο μιας συλλογής πρέπει να επονομάζεται από μία και μόνο μία λέξη-αριθμό, (β) η αρχή της σταθερής ακολουθίας σύμφωνα

17 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 16 με την οποία η ακολουθία των λέξεων-αριθμών πρέπει να είναι σταθερή σε κάθε απαρίθμηση, (γ) η αρχή της πληθικότητας σύμφωνα με την οποία η λέξη-αριθμός που χρησιμοποιείται για να ονομάσει το τελευταίο στοιχείο μιας συλλογής αναπαριστά το συνολικό αριθμό των στοιχείων, (δ) η αρχή της αφαίρεσης σύμφωνα με την οποία διαφορετικής φύσης στοιχεία μπορούν να ομαδοποιηθούν σε μια συλλογή προκειμένου να τα απαριθμήσουμε και (ε) η αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς σύμφωνα με την οποία τα στοιχεία μιας συλλογής μπορούμε να τα απαριθμήσουμε με οποιαδήποτε σειρά με την προϋπόθεση όμως να μην παραβιάζονται οι υπόλοιπες αρχές απαρίθμησης (όπως αναφέρεται στους Geary, 2004 Gelman & Meck, 1983 Λεμονίδης, 1994). Οι τρεις πρώτες αρχές ορίζουν τους κανόνες απαρίθμησης, οι οποίοι με τη σειρά τους παρέχουν τη σκελετική δομή για τη γνώση απαρίθμησης των παιδιών που κατακτάται σιγά σιγά (Gelman & Meck, 1983). Σε αντίθεση με τα ΚΕ παιδιά, τα παιδιά με ΜΜΔ, ανεξάρτητα από την αναγνωστική τους ικανότητα, παρουσιάζουν φτωχή εννοιολογική κατανόηση ορισμένων από αυτές τις αρχές απαρίθμησης. Έτσι για παράδειγμα μπορεί να κατανοούν τις αρχές της πληθικότητας και της σταθερής ακολουθίας, αλλά να κάνουν συνεχώς λάθος σε εργασίες που αξιολογούν την ανεξαρτησία της σειράς (Geary, 2004). Σε κάθε περίπτωση, αυτή η φτωχή γνώση της απαρίθμησης φαίνεται να συμβάλει στην καθυστερημένη ικανότητα που έχουν να χρησιμοποιούν την απαρίθμηση για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων (Geary, 2004 Geary et al., 2008). Η αίσθηση του αριθμού σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές Η αίσθηση του αριθμού είναι δύσκολo να οριστεί, αλλά εύκολο να αναγνωριστεί (Case, 1998, όπως αναφέρεται στους Gersten & Chard, 1999). Οι μαθητές με καλή αίσθηση του αριθμού παρουσιάζουν ευχέρεια στον υπολογισμό και την κρίση μεγεθών, μπορούν και αναγνωρίζουν μη λογικά αποτελέσματα, είναι ευέλικτοι κατά τη διαδικασία των νοερών υπολογισμών και μπορούν να χειρίζονται διαφορετικές αναπαραστάσεις και να επιλέγουν την

18 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 17 πιο κατάλληλη (Gersten & Chard, 1999 Gersten et al., 2005). Δύο επιπλέον ελλείμματα ή αναπτυξιακές καθυστερήσεις των ΜΜΔ μαθητών έχουν να κάνουν με την αίσθηση του αριθμού. Το πρώτο αφορά στην αναπαράσταση και αυτονόητη κατανόηση της ακριβούς ποσότητας μιας μικρής συλλογής αντικειμένων και των συμβόλων που αναπαριστούν αυτές τις ποσότητες (π.χ. «3» = ). Το δεύτερο αφορά στην αναπαράσταση του κατά προσέγγιση μεγέθους μεγαλύτερων ποσοτήτων (Geary, 2010). Έτσι, τα ΚΕ παιδιά έχουν την ικανότητα (α) να αναγνωρίζουν άμεσα μικρές ποσότητες αντικειμένων χωρίς απαρίθμηση (μέτρημα), (β) να μη χρησιμοποιούν λεκτικές διαδικασίες ή απαρίθμηση για να εκτιμήσουν μικρά σύνολα αντικειμένων καθώς και να προσθέτουν ή να αφαιρούν μικρές ποσότητες προς και από αυτά τα σύνολα και (γ) να εκτιμούν το σχετικό μέγεθος συνόλων αντικειμένων καθώς και το αποτέλεσμα απλών αριθμητικών πράξεων που έχουν σχέση με αυτά π.χ. να ξέρουν ότι προσθέτοντας ένα αντικείμενο σε ένα σύνολο αντικειμένων τότε έχουμε περισσότερα (Geary, 2010). Αντίθετα, τα παιδιά με ΜΜΔ, ενώ μπορούν να αναγνωρίζουν αυτόματα την ποσότητα των δύο αντικειμένων, ωστόσο, όταν πρόκειται για τρία αντικείμενα, τότε θα πρέπει να τα μετρήσουν. Πιθανόν, δηλαδή να μην έχουν την εγγενή ικανότητα αναπαράστασης αυτών των ποσοτήτων ή το ακριβές σύστημα αναπαράστασης να μη διαχωρίζει αξιόπιστα το δύο από το τρία (Geary, 2010). Οι έρευνες έχουν δείξει ότι αυτές τις ικανότητες τις αποκτούν οι μαθητές με ΜΜΔ με μια καθυστέρηση 3 ετών (Geary, 2010). Ακόμη, οι παραπάνω μαθητές εμφανίζουν δυσκολίες στην ακριβή τοποθέτηση των αριθμών πάνω στην αριθμογραμμή και γενικά παρουσιάζουν μια καθυστέρηση στην ανάπτυξη μιας γραμμικής μαθηματικής αναπαράστασης της αριθμογραμμής σε σχέση με τους ΚΕ συνομηλίκους τους (Geary et al., 2008). Συγκεκριμένα, η έρευνα των Geary et al., το 2008 στην Κολούμπια του Μιζούρι, έδειξε πως όσον αφορά στην αριθμογραμμή, οι επιδόσεις των μαθητών με ΜΜΔ, ενώ ήταν παρόμοιες στις πρώτες τάξεις του δημοτικού με τους ΧΕ μαθητές, ωστόσο με την πάροδο του χρόνου ο ρυθμός ανάπτυξης ήταν πολύ αργότερος σε σχέση με αυτούς.

19 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 18 Η αριθμητική και οι νοεροί υπολογισμοί σε ΚΕ και με ΜΜΔ μαθητές Όσον αφορά στην αριθμητική και τους νοερούς υπολογισμούς, τα παιδιά αρχικά δουλεύουν με αριθμούς μέχρι το 20 (Thompson, 1999a). Οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά για την επίλυση απλών νοερών αριθμητικών προβλημάτων στην πρόσθεση και την αφαίρεση (δηλαδή μέχρι το 20) μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες, αυτές που εμπεριέχουν απαρίθμηση και αυτές που εμπεριέχουν τη χρήση αριθμητικών δεδομένων (Thompson, 1999a). Έτσι στην πρώτη κατηγορία έχουμε την απαρίθμηση, μια διαδικασία κατά την οποία τα παιδιά των πρώτων τάξεων του δημοτικού χρησιμοποιούν τα δάχτυλά τους ή άλλα αντικείμενα και, αφού απαριθμήσουν τα αντικείμενα που εκφράζουν τους δύο προσθετέους, αρχίζουν τη μέτρηση από την αρχή όλων των αντικειμένων. Σε αυτή την κατηγορία ανήκει και η επαρίθμηση την οποία κατακτούν στη συνέχεια τα παιδιά, όπου συγκρατούν στην εργαζόμενη μνήμη τους τον ένα προσθετέο και συνεχίζουν να μετρούν απαριθμώντας τα αντικείμενα του δεύτερου προσθετέου (Geary, 2004 Gersten et al., 2005 Καραντζής, 2007 Thompson, 1999a). Αρχικά, συγκρατούν τον πρώτο προσθετέο, ενώ στη συνέχεια, καθώς κατακτούν όλο και πιο υψηλού επιπέδου στρατηγικές, συγκρατούν στην εργαζόμενη μνήμη τους το μεγαλύτερο από τους δύο προσθετέους (Gersten et al., 2005 Thompson, 2000b). Την ίδια στιγμή η χρήση διαδικασιών απαρίθμησης φαίνεται να επιδρά στην ανάπτυξη στη μνήμη αναπαραστάσεων των αριθμητικών δεδομένων. Έτσι, σιγά σιγά οι μαθητές αρχίζουν να χρησιμοποιούν στρατηγικές της δεύτερης κατηγορίας, όπως η στρατηγική των όμοιων προσθετέων (π.χ. 5+6= 5+5+1= 11), η αφαίρεση σαν αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης (π.χ. 7-3=4, γιατί ξέρω ότι 4+3=7), η στρατηγική του συμπληρώματος του 10 (π.χ. 6+8= 6+4+4= 10+4= 14) (Geary, 2004 Καραντζής, 2007 Thompson, 1999a). Αργότερα, καθώς οι μαθητές πλησιάζουν στο τέλος του δημοτικού μπορούν πλέον να ανακαλούν από τη μακρόχρονη μνήμη τους τις περισσότερες απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις (Torbeyns et al., 2004).

20 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 19 Ωστόσο, τα παιδιά με ΜΜΔ διαφέρουν από τους ΚΕ συνομηλίκους τους στην ικανότητα να χρησιμοποιούν τις στρατηγικές που βασίζονται στην ανάκληση αριθμητικών δεδομένων από τη μνήμη για την επίλυση απλών αριθμητικών προβλημάτων. Αυτή η ικανότητα ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων δε φαίνεται να βελτιώνεται κατά τη διάρκεια του δημοτικού για τα περισσότερα από αυτά τα παιδιά (Geary, 2004). Συμπεραίνεται λοιπόν πως οι μαθητές με ΜΜΔ είναι πιο αδύναμοι στην ανάκληση αριθμητικών δεδομένων από τη μακρόχρονη μνήμη, και κατ επέκταση στην υπολογιστική ευχέρεια, απ ό,τι σε άλλα στοιχεία της αριθμητικής (Jordan & Hanich, 2000 Jordan, Hanich, & Kaplan, 2003). Επιπλέον, οι μαθητές αυτοί πραγματοποιούν περισσότερα λάθη στην αρίθμηση-απαρίθμηση (counting) και χρησιμοποιούν πιο συχνά ανώριμες στρατηγικές σε σχέση με τους ΚΕ συνομηλίκους τους (Geary et al., 2004 Jordan et al., 2003 Bryant, 2005 Geary, 2010). Πιο συγκεκριμένα, έρευνα των Geary et al. το 2004 στην Κολούμπια του Μιζούρι έδειξε πως οι μαθητές της Α και Β δημοτικού με ΜΜΔ εμφανίζουν μια έντονη εξάρτηση όσον αφορά στη χρήση των δακτύλων τους στις περιπτώσεις της λεκτικής απαρίθμησης-αρίθμησης ή της ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων. Έτσι, ακόμη και στην Ε δημοτικού οι ΜΜΔ μαθητές χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους για να λύσουν το 25% των απλών προσθέσεων σε αντίθεση με το 6% των ΚΕ μαθητών (Geary et al., 2004). Επιπλέον, στην ίδια έρευνα, το ποσοστό επιλογής στρατηγικών υψηλού επιπέδου για την επίλυση απλών νοερών προσθέσεων, εκ μέρους των ΜΜΔ μαθητών, εξακολουθεί να είναι μικρότερο σε σχέση με αυτό των ΚΕ μαθητών ακόμη και στην Ε τάξη (Geary et al., 2004). Έτσι, συμπεραίνεται πως οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι ΜΜΔ μαθητές για να επιλύσουν νοερές, απλές και σύνθετες, προσθέσεις είναι δύο τάξεις πιο χαμηλά απ τους ΚΕ συνομηλίκους τους, ενώ η χωρητικότητα της εργαζόμενης μνήμης τους περίπου μία τάξη πιο κάτω, χωρίς αυτό να σημαίνει πως όλα τα παραπάνω είναι μια απλή καθυστέρηση, διότι οι έρευνες έχουν δείξει ότι πολλά από αυτά αποτελούν μόνιμα ελλείμματα (Geary et al., 2004). Σε αντίστοιχα αποτελέσματα κατέληξαν και οι Mammarella et al. (2013) στην έρευνά τους σε ΜΜΔ μαθητές

21 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 20 στην Πάντοβα της Ιταλίας, η οποία αφορούσε στην επίλυση νοερών προσθέσεων με κρατούμενο. Συγκεκριμένα, φάνηκε ότι ήταν πιο αργοί στους νοερούς υπολογισμούς σε σχέση με τους ΚΕ μαθητές, έκαναν περισσότερα λάθη και εφάρμοζαν αναπτυξιακά ανώριμες στρατηγικές. Ακόμη, οι Furst & Hitch (2000) στην έρευνά τους αναφέρουν πως οι συμμετέχοντες έκαναν ένα μεγάλο αριθμό λαθών στις νοερές προσθέσεις όπου ξεχνούσαν το κρατούμενο. Γενικά, οι έρευνες έχουν δείξει πως η χωρητικότητα της WM και η ταχύτητα επεξεργασίας είναι πιο φτωχές στους μαθητές με ΜΜΔ (Passolunghi, 2011). Σε αυτό το σημείο να σημειωθεί πως, για την καλύτερη κατανόηση του ελλείμματος της εργαζόμενης μνήμης, κρίνεται αναγκαία η αναφορά, αρχικά στη σχέση της μνήμης με την αριθμητική και κυρίως με τους νοερούς υπολογισμούς, και στη συνέχεια στο ρόλο της εργαζόμενης μνήμης στους νοερούς υπολογισμούς. Μνήμη και μαθηματικά Ο ρόλος της μνήμης στην αριθμητική Τόσο η γνώση γενικά όσο και η μαθηματική γνώση πιο ειδικά, η οποία αναπαριστάνεται στη μνήμη, μπορεί να χαρακτηριστεί ως δηλωτική (declarative knowledge), διαδικαστική (procedural knowledge) και αντιληπτική γνώση (conceptual Knowledge) (Καραντζής, 2004). «Η δηλωτική γνώση αποτελείται από ένα ειδικό σώμα αριθμητικών παραγόντων από τους οποίους μπορεί να ανακληθεί, αμέσως και χωρίς προσπάθεια, η λύση βασικών αριθμητικών προβλημάτων» (Wolters et al., 1990, σελ. 20). Ο Stern (1992) ονομάζει τη δηλωτική γνώση factual knowledge λέγοντας ότι η γνώση αυτή αποτελείται από αποθηκευμένες στη μνήμη πληροφορίες οι οποίες έχουν να κάνουν με τις σχέσεις που συνδέουν τους αριθμητικούς παράγοντες μεταξύ τους. Όσον αφορά στη διαδικαστική γνώση, αυτή αποτελείται από ένα σύνολο διαδικασιών οι οποίες μπορούν να ανακληθούν για τη λύση των προβλημάτων για τα οποία δεν υπάρχει δηλωτική γνώση (Stern, 1992 Wolters et al., 1990). Είναι δηλαδή η γνώση των κανόνων και των πράξεων που χρησιμοποιεί κάποιος όταν εκτελεί τις συνηθισμένες μαθηματικές ασκήσεις και του

22 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 21 συμβολισμού που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των μαθηματικών (Van de Walle, 2005). «Το είδος αυτής της γνώσης περιέχει μία δυναμική, εφόσον το άτομο, διαμέσου διαδικαστικών οδών αλλά και διαδικασιών εξαγωγής συμπερασμάτων, κατορθώνει να παράγει νέους τύπους γνώσης και δράσης» (Καραντζής, 2004, σελ. 56). Τέλος, ένα τρίτο είδος της αναπαριστώμενης μαθηματικής γνώσης είναι η αντιληπτική γνώση. Αυτό το είδος μαθηματικής γνώσης σχετίζεται με την κατανόηση μαθηματικών εννοιών και αρχών, με βάση τις οποίες το άτομο κατορθώνει και επιλέγει την κατάλληλη στρατηγική, με την οποία οδηγείται στη λύση του προβλήματος (Καραντζής, 2004 Stern, 1992). Η κατανόηση των διαφόρων μαθηματικών εννοιών και αρχών είναι η βάση για τη δημιουργία, εκ μέρους του ατόμου, μέσα από μια διαδικασία «αφαίρεσης - γενίκευσης», ενός δικτύου σχέσεων τόσο μεταξύ των αντικειμένων της πραγματικότητας όσο και μεταξύ των στοιχείων που συνθέτουν τη μαθηματική γνώση. Αυτή η ικανότητα του ατόμου χαρακτηρίζει την οικοδόμηση της λογικο-μαθηματικής γνώσης (Καραντζής, 2004). «Η αναπαράσταση λοιπόν της μαθηματικής γνώσης σ όλα τα επίπεδα της αφαίρεσης, η οποία συνιστά ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της οργάνωσης της γνώσης σε γνωστικά σχήματα, διευκολύνει τις γνωστικές λειτουργίες της κατανόησης, της ανάκλησης και των διαδικασιών που οδηγούν στη λύση προβλημάτων. Είναι λοιπόν προφανές ότι μια άρτια οργάνωση της μαθηματικής γνώσης σε γνωστικά σχήματα, τα οποία περιέχουν δηλωτικά και διαδικαστικά στοιχεία, αναπτύσσει τη λογικο-μαθηματική σκέψη, άρα την ικανότητα λύσης προβλημάτων» (Καραντζής, 2004, σελ. 56). Επομένως, συμπεραίνουμε τη σημαντική συμβολή της μακρόχρονης μνήμης στη διεκπεραίωση των διαφόρων μαθηματικών διαδικασιών. Όμως, εξίσου σημαντικό ρόλο στη διεκπεραίωση των διαφόρων μαθηματικών διαδικασιών διαδραματίζει και η εργαζόμενη μνήμη κι αυτό διότι βρίσκεται στο σταυροδρόμι μεταξύ μνήμης, προσοχής και αντίληψης. Συγκεκριμένα, δέχεται τις πληροφορίες του αντιληπτικού περιβάλλοντος και με την κατάλληλη προσοχή που επιδεικνύει το άτομο ανασύρει από τη μακρόχρονη μνήμη τις κατάλληλες στρατηγικές και τις απαιτούμενες γνώσεις, προκειμένου

23 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 22 δραστηριοποιούμενη να επεξεργαστεί τις πληροφορίες και να δώσει λύσεις στα προβλήματα που κάθε φορά αναφύονται (Καραντζής, 2004). Ο ρόλος της μνήμης στους νοερούς υπολογισμούς «Η επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής και ο χρόνος που απαιτείται για τη λύση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι δύο σημαντικές παράμετροι οι οποίες διαφοροποιούν τις επιδόσεις των παιδιών κατά τη διάρκεια υπολογισμού νοερών πράξεων» (Καραντζής, 2004, σελ. 65). Η επίτευξη της λύσης ενός τέτοιου προβλήματος, στα πλαίσια των γνωστικών θεωριών επεξεργασίας των πληροφοριών, μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους: με τη διαδικασία της ελεγχόμενης επεξεργασίας (controlled processing) ή με τη διαδικασία της αυτόματης επεξεργασίας (automatic processing)» (Jensen & Whang, 1994 Καραντζής, 2004). Η διαδικασία της ελεγχόμενης επεξεργασίας (ενεργοποίηση της διαδικαστικής γνώσης) είναι μια γνωστική λειτουργία που απαιτεί προσοχή, νοερή προσπάθεια και χρόνο γιατί είναι απαραίτητη η μεσολάβηση της εργαζόμενης μνήμης τόσο για τον έλεγχο των εισαγόμενων πληροφοριών όσο και για τον προσεκτικό έλεγχο της όλης διαδικασίας (Jensen & Whang, 1994 Καραντζής, 2004). Ωστόσο, δεδομένου ότι εμπλέκεται η εργαζόμενη μνήμη, η οποία είναι περιορισμένης χωρητικότητας, αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να μην μπορεί να γίνει επεξεργασία πολλών (αλλά πολύ περιοριμένων) εισερχόμενων πληροφοριών μια δεδομένη στιγμή κατά τη διαδικασία της ελεγχόμενης επεξεργασίας (Jensen & Whang, 1994). Αυτού του είδους η διαδικασία λαμβάνει χώρα κατά την εκμάθηση π.χ. νέων γνώσεων ή ικανοτήτων (Jensen & Whang, 1994). Αντίθετα, η αυτόματη διαδικασία (ανάκληση δηλωτικής γνώσης) δεν απαιτεί μεγάλη προσπάθεια, προσοχή και χρόνο, γιατί το άτομο ανασύρει αυτόματα τις πληροφορίες από τη μακρόχρονη μνήμη αφήνοντας περιθώρια χωρητικότητας στην εργαζόμενη μνήμη για επεξεργασία άλλων πληροφοριών (Jensen & Whang, 1994 Καραντζής, 2004 Καραντζής, 2007).

24 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 23 Εργαζόμενη μνήμη και νοεροί υπολογισμοί Ορισμός και χαρακτηριστικά της εργαζόμενης μνήμης Σύμφωνα με τους Baddeley & Hitch (1974), Baddeley (1998), Baddely (2000) η εργαζόμενη μνήμη WM (Working Memory) είναι ένα σύνθετο σύστημα περιορισμένης χωρητικότητας το οποίο είναι υπεύθυνο για την προσωρινή συγκράτηση και επεξεργασία των πληροφοριών εκείνων που είναι απαραίτητες για την υλοποίηση κάποιου γνωστικού έργου όπως η κατανόηση, η μάθηση και ο συλλογισμός. Η WM προέκυψε από την πρωτύτερη έννοια της βραχύχρονης μνήμης STM (Short-Term Memory) η οποία θεωρήθηκε ότι περιλάμβανε ένα ενιαίο σύστημα συγκράτησης πληροφοριών (Baddeley, 2000). Στην ουσία, δηλαδή, η STM είναι WM όταν συμβάλλει στη διεκπεραίωση γνωστικών έργων. Επομένως, η διαφοροποίηση της WM από τη STM σχετίζεται με τη λειτουργικότητά της, καθώς στην πρώτη περίπτωση οι πληροφορίες πέρα από συγκράτηση υπόκεινται και σε επεξεργασία. Το μοντέλο λοιπόν της WM περιλαμβάνει τρία συστήματα καθένα από τα οποία εξειδικεύεται στο χειρισμό-επεξεργασία διαφορετικού είδους πληροφοριών. Έτσι, αποτελείται από ένα σύστημα ελέγχου, την κεντρική εκτελεστική μονάδα (central executive), η οποία υποβοηθάται από δύο υπο-συστήματα, το αρθρωτικό κύκλωμα (phonological loop) και το οπτικοχωρικό σημειωματάριο (visuo-spatial sketchpad) (Baddeley & Hitch, 1974). Το αρθρωτικό κύκλωμα είναι υπεύθυνο για την πρόσκαιρη συγκράτηση και επεξεργασία των ακουστικών και λεκτικών πληροφοριών, δηλαδή του προφορικού λόγου. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενός συστήματος προσωρινής συγκράτησης και ενός συστήματος εσωτερικής επανάληψης. Από την άλλη, το οπτικοχωρικό σημειωματάριο είναι υπεύθυνο για την πρόσκαιρη συγκράτηση και επεξεργασία οπτικών και χωρικών πληροφοριών. Η κεντρική εκτελεστική μονάδα είναι υπεύθυνη για το συντονισμό των δραστηριοτήτων αυτού του γνωστικού μηχανισμού (Baddeley & Hitch, 1974 Baddeley,1998). Έτσι, λοιπόν οι ερευνητές, τόσο οι παραπάνω όσο και άλλοι που θα αναφερθούν στη συνέχεια, συχνά κάνουν λόγο για λεκτική WM, χωρική WM και οπτική WM, όπως προκύπτει από το είδος των πληροφοριών που κάθε

25 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 24 υποσύστημα συγκρατεί και επεξεργάζεται. Στην τελευταία έκδοση του μοντέλου της WM (Baddeley, 2000) προστέθηκε και η επεισοδιακή μνήμη (episodic buffer) η οποία λειτουργεί σαν μεσολαβητής μεταξύ της μακρόχρονης μνήμης και των βοηθητικών συστημάτων της κεντρικής εκτελεστικής μονάδας, δηλαδή του αρθρωτικού κυκλώματος και του οπτικο-χωρικού σημειωματαρίου. Η WM είναι περιορισμένη όσον αφορά τον αριθμό των στοιχείων που μπορεί να συγκρατήσει ταυτόχρονα και τη χρονική διάρκεια που αυτά μπορούν να παραμείνουν. Κατά τη συνέπεια, η αποδοτική επεξεργασία πληροφοριών στην WM απαιτεί επαρκή χωρητικότητα και γρήγορη ταχύτητα επεξεργασίας εντός και μεταξύ των συστημάτων (Shiran & Breznitz, 2011). Ο ρόλος της εργαζόμενης μνήμης στους νοερούς υπολογισμούς Σύμφωνα με τη βιβλιογραφική έρευνα των DeStefano & LeFevre (2004), αλλά και τα αποτελέσματα άλλων ερευνών (Geary et al., 2007 Geary et al., 2008 Jensen & Whang, 1994 Καραντζής, 2004 Passolunghi, 2011 Wolters et al., 1990), η WM εμπλέκεται στους νοερούς υπολογισμούς με αποτέλεσμα η επίδοση στη νοερή αριθμητική να καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά της. Συγκεκριμένα, τα στοιχεία αυτά που εμπλέκονται και επηρεάζουν το αποτέλεσμα του νοερού υπολογισμού, για τα οποία θα γίνει λόγος στη συνέχεια, είναι από τη μια η χωρητικότητα και η ταχύτητα επεξεργασίας της WM και από την άλλη ο αριθμός των βημάτων της στρατηγικής που θα επιλεγεί, το μέγεθος των αριθμών και η ύπαρξη ή μη κρατούμενου κατά τους νοερούς υπολογισμούς. Αρχικά, όπως υποστηρίζουν οι DeStefano & LeFevre (2004), ο νοερός υπολογισμός προϋποθέτει την πρόσβαση στην ειδική αριθμητική γνώση που είναι απαραίτητη για την αριθμητική πράξη (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση). Έτσι, για απλά αριθμητικά προβλήματα, όπως 6+9, ο νοερός υπολογισμός ίσως να προϋποθέτει την άμεση πρόσβαση στη μακρόχρονη μνήμη όπου συγκρατούνται τα αριθμητικά δεδομένα ή πιθανότατα

26 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 25 να προϋποθέτει ένα συνδυασμό από ανάκληση αριθμητικών δεδομένων αλλά και χειρισμό διαδικασιών (DeStefano & LeFevre, 2004). Επιπλέον, στη νοερή αριθμητική, η χρήση στρατηγικών προϋποθέτει έναν αριθμό βημάτων και την προσωρινή αποθήκευση ενός αριθμού δεδομένων (π.χ. το αυθεντικό πρόβλημα και τα αποτελέσματα των ποικίλλων υποπροβλημάτων) (Wolters et al., 1990). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, η χωρητικότητα για τα νοερώς λυμένα αριθμητικά προβλήματα να περιοριστεί από τη χωρητικότητα για την επεξεργασία και αποθήκευση των πληροφοριών στην WM (Wolters et al., 1990). Δεδομένου λοιπόν ότι η σπουδαιότητα της WM ποικίλλει ανάλογα με τη στρατηγική που χρησιμοποιείται και την πολυπλοκότητα του νοερού υπολογισμού, έτσι, είναι πολύ λογικό κάποιος να μη μπορεί να χρησιμοποιήσει μια συγκεκριμένη στρατηγική επειδή η χωρητικότητα μνήμης που απαιτείται να μην επαρκεί, ενώ σε κάποιον άλλο να επαρκεί (DeStefano & LeFevre, 2004). Επίσης, μεγαλύτερης δυσκολίας αριθμητικά προβλήματα απαιτούν μεγαλύτερο αριθμό υποπροβλημάτων, αλλά και περισσότερες λειτουργίες που προϋποθέτουν προσωρινή αποθήκευση και ανάκληση των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (Wolters et al., 1990). Ταυτόχρονα, η δυσκολία ενός προβλήματος εξαρτάται και από το μέγεθος των αριθμών. Αυτοί με τη σειρά τους επηρεάζουν τον αριθμό των υποπροβλημάτων, αλλά και το φόρτο εργασίας της μνήμης. Συνεπώς, όσο μεγαλύτερα είναι τα προβλήματα (άρα και περισσότερα υποπροβλήματα) τόσο πιο αυξημένος είναι ο φόρτος εργασίας της μνήμης με αποτέλεσμα να υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα παρεμβολής και λήθης, το οποίο θα προκαλέσει λάθη (DeStefano & LeFevre, 2004 Wolters et al., 1990). Από την άλλη, μικρότερο πρόβλημα σημαίνει λιγότερα υποπροβλήματα και γρηγορότερη επίλυση. Τέλος, μεγαλύτερο φόρτο εργασίας της μνήμης και ίσως και περισσότερα βήματα, αλλά και περισσότερο χρόνο επίλυσης προκαλούν και τα προβλήματα με κρατούμενο απ ό,τι αυτά χωρίς κρατούμενο (DeStefano & LeFevre, 2004 Wolters et al., 1990). Επομένως, η ανάμειξη της WM στον νοερό υπολογισμό ίσως βοηθάει στο να εξηγήσει αυτές τις συνέπειες (DeStefano & LeFevre, 2004).

27 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 26 Απ την άλλη, οι Passolunghi & Cornoldi (2008) αναφέρουν χαρακτηριστικά πως ο κρίσιμος ρόλος της WM στην επεξεργασία των αριθμών σχετίζεται με το χειρισμό των αποθηκευμένων πληροφοριών. Οι DeStefano & LeFevre (2004) στην έρευνά τους έδειξαν ότι όταν υπολογίζουμε νοερά χρησιμοποιούμε τη φωνολογική κωδικοποίηση (άποψη για την οποία υπάρχει διαμάχη και θα συζητηθεί εκτενώς στη συνέχεια), εκτός απ την περίπτωση στην οποία η στρατηγική που χρησιμοποιούμε αποτελεί το σχηματισμό μιας νοερής εικόνας σαν να γράφουμε το σύνολο, στην οποία περίπτωση χρησιμοποιούνται οπτικοχωρικές κωδικοποιήσεις. Ωστόσο, οι περισσότερες στρατηγικές στους νοερούς υπολογισμούς έχουν λεκτική βάση. Αυτό σημαίνει ότι το αρθρωτικό κύκλωμα, στο οποίο διατηρούνται οι λέξεις και οι σημασίες τους ώστε να είναι διαθέσιμες για αξιοποίηση-επεξεργασία, είναι ζωτικής σημασίας για τον ευέλικτο νοερό υπολογισμό. H λεκτική εργαζόμενη μνήμη και η οπτικοχωρική διαδικασία στους μαθητές με ΜΜΔ Είναι γενικά αποδεκτό ότι η WM είναι ένας από τους γνωστικούς μηχανισμούς που παρουσιάζει βλάβη στους μαθητές με ΜΜΔ. Μάλιστα, στην έρευνά τους οι Siegel & Ryan (1989) αναφέρουν χαρακτηριστικά πως, ενώ οι μαθητές με αναγνωστικές δυσκολίες φαίνεται να εμφανίζουν ένα γενικό έλλειμμα στην WM, οι μαθητές με αριθμητικές δυσκολίες ωστόσο φαίνεται να έχουν ένα ειδικό έλλειμμα στην WM το οποίο σχετίζεται με την επεξεργασία αριθμητικών πληροφοριών. Ταυτόχρονα, η έρευνα των McLean & Hitch (1999) έδειξε πως τα παιδιά με ειδικές αριθμητικές δυσκολίες παρουσιάζουν βλάβη σε αρκετά αλλά όχι όλα τα συστήματα της WM και ειδικά στην κεντρική εκτελεστική μονάδα που ελέγχει τις αλληλεπιδράσεις με τη μακρόχρονη μνήμη. Παρόλα αυτά, οι έρευνες σχετικά με το ρόλο της WM στους νοερούς υπολογισμούς δεν παρέχουν μια σαφή εικόνα (DeStefano & LeFevre, 2004). Συγκεκριμένα, υπάρχει διαμάχη ως προς το ρόλο που διαδραματίζουν η λεκτική WM και η οπτικοχωρική WM στα παιδιά με ΜΜΔ. Έτσι, άλλοι υποστηρίζουν πως τα παραπάνω συστήματα παρουσιάζουν έλλειμμα, ενώ κάποιοι

28 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 27 άλλοι ισχυρίζονται το αντίθετο (Mammarella et al., 2013). Γενικά, δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο εάν οι ΜΜΔ συνδέονται με δυσκολία στη χρήση του λεκτικού τομέα ή του οπτικοχωρικού (τομείς άμεσα συνυφασμένοι με το αρθρωτικό κύκλωμα και το οπτικοχωρικό σημειωματάριο αντίστοιχα, επομένως και με τη λεκτική WM και την οπτικοχωρική WM, όπως αναφέρουν οι ερευνητές) και αν η δυσκολία στη χρήση του λεκτικού τομέα είναι ένα τυπικό χαρακτηριστικό των ΜΜΔ ή αν εμφανίζεται μόνο όταν οι ΜΜΔ συνοδεύονται και από άλλες μαθησιακές δυσκολίες που έχουν να κάνουν με τη χρήση της γλώσσας όπως η δυσλεξία (Mammarella et al., 2013). Οι Mammarella et al. (2013) στην έρευνά τους εξέτασαν την εμπλοκή των παραπάνω συστημάτων (λεκτική WM και οπτικοχωρική WM) κατά την επίλυση νοερών προσθέσεων με κρατούμενο σε παιδιά που παρουσίαζαν μόνο ΜΜΔ, σε παιδιά με ΜΜΔ και δυσλεξία, και σε κανονικής επίδοσης παιδιά. Από την έρευνα φάνηκε πως τα παιδιά με ΜΜΔ μόνο παρουσίαζαν εκτός των άλλων και έλλειμμα στη λεκτική WM παρά το γεγονός ότι δεν εμφάνιζαν κάποιο αναγνωστικό πρόβλημα. Ο Swanson (2012) σε έρευνά του σε MLD-only εφήβους (χωρίς κάποια άλλη μαθησιακή δυσκολία) και σε εφήβους με αναγνωστική μόνο δυσκολία RD-only (Reading Disability) κατέληξε στο ότι οι επιδόσεις των πρώτων ήταν σημαντικά πιο χαμηλές σε σχέση με τους τελευταίους στις μετρήσεις του οπτικοχωρικού τομέα και της οπτικής WM. Ωστόσο όλοι οι παραπάνω, καθώς και οι έφηβοι με μαθησιακές δυσκολίες τόσο στα μαθηματικά όσο και στην ανάγνωση, φάνηκε πως όλοι τους ήταν ιδιαίτερα αδύναμοι σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης συνομηλίκους τους στις μετρήσεις της λεκτικής WM. Παρόμοια ήταν και τα αποτελέσματα της έρευνας των Wilson & Swanson (2001) τα οποία έδειξαν ότι οι επιδόσεις των μαθητών τόσο στη λεκτική όσο και στην οπτικοχωρική WM μπορούν να προβλέψουν τη μαθηματική επίδοση μαθητών με ΜΜΔ. Αυτά τα αποτελέσματα συνάδουν με την υπόθεση πως η κεντρική εκτελεστική μονάδα της WM παίζει σημαντικό ρόλο στην πρόβλεψη της μαθηματικήςαριθμητικής επίδοσης, καθώς φαίνεται πως στους μαθητές με ΜΜΔ η κεντρική εκτελεστική

29 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 28 μονάδα είναι ανίκανη να ενεργοποιήσει ένα επαρκές ποσό πληροφοριών από τη μακρόχρονη μνήμη και να ενσωματωθούν αυτές οι πληροφορίες από τα δύο υποσυστήματα της WM, το αρθρωτικό κύκλωμα και το οπτικοχωρικό σημειωματάριο (Masoura, 2006). Μάλιστα, οι Gathercole & Pickering (2000) αναφέρουν πως οι μαθητές με ΜΜΔ εμφανίζουν πολύ χαμηλές επιδόσεις σε τεστ που εξετάζουν τη χωρητικότητα της κεντρικής εκτελεστικής μονάδας. Στη βιβλιογραφική τους έρευνα οι DeStefano & LeFevre (2004) καταλήγουν πως όσον αφορά στους νοερούς υπολογισμούς φαίνεται να εμπλέκονται και τα τρία συστήματα της εργαζόμενης μνήμης, εν τούτοις η ανάμειξη του κάθε συστήματος εξαρτάται από τις απαιτήσεις της εκάστοτε εργασίας-άσκησης. Τα στοιχεία για την ανάμειξη της κεντρικής εκτελεστικής μονάδας είναι σαφή. Συγκεκριμένα, υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν το ρόλο της κεντρικής εκτελεστικής μονάδας τόσο στα μονοψήφια όσο και στα πολυψήφια νοερά αριθμητικά προβλήματα. Βέβαια, η ενεργοποίηση των συστημάτων της WM ίσως εξαρτάται κατά ένα μεγάλο βαθμό από την πολυπλοκότητα του προβλήματος. Έτσι, τα μονοψήφια προβλήματα που λύνονται με ανάκληση απλών αριθμητικών δεδομένων πιθανό να χρειάζονται μόνο την κεντρική εκτελεστική μονάδα. Ωστόσο, στην περίπτωση που ο συμμετέχων επιλέγει τη στρατηγική της αρίθμησηςαπαρίθμησης (counting) για να λύσει κάποιο μονοψήφιο αριθμητικό πρόβλημα, τότε εμπλέκεται και το αρθρωτικό κύκλωμα (DeStefano & LeFevre, 2004). Καθώς όμως ο αριθμός των ψηφίων σε ένα πρόβλημα αυξάνεται, ίσως να αυξάνεται η ανάμειξη του οπτικοχωρικού σημειωματάριου για την επεξεργασία των κρατούμενων (DeStefano & LeFevre, 2004), αλλά και η ανάμειξη του αρθρωτικού κυκλώματος για τη διατήρηση των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (DeStefano & LeFevre, 2004 Furst & Hitch, 2000). Ωστόσο, οι Furst & Hitch (2000) υποστηρίζουν πως ο χειρισμός των κρατούμενων αφορά στην κεντρική εκτελεστική μονάδα. Να τονιστεί σε αυτό το σημείο ότι η αλληλεπίδραση μεταξύ της πολυπλοκότητας του αριθμητικού προβλήματος και του φορτίου στην εργαζόμενη μνήμη βρέθηκε μόνο στους πολυψήφιους και όχι στους μονοψήφιους νοερούς υπολογισμούς υπονοώντας πως ο συνδυασμός των απαιτήσεων των πολυψήφιων

30 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 29 υπολογισμών και του κρατούμενου-δανεικού είναι σημαντικός γιατί καθορίζει το φορτίο της εργαζόμενης μνήμης (DeStefano & LeFevre, 2004). Επιπλέον, η οριζόντια παρουσίαση των αριθμητικών προβλημάτων φαίνεται να ενεργοποιεί το αρθρωτικό κύκλωμα σε μεγαλύτερο βαθμό απ ό,τι η κάθετη παρουσίαση. Έτσι, οι ίδιοι προτείνουν πως ο χειρισμός οριζόντιων παρά κάθετων παρουσιάσεων στα πολυψήφια αριθμητικά προβλήματα πιθανόν να επηρεάζει την επιλογή των συμμετεχόντων όσον αφορά τη στρατηγική που θα χρησιμοποιήσουν και έτσι να παρέχουν σημαντικές και αξιόλογες πληροφορίες για την ανάπτυξη των μοντέλων των νοερών υπολογισμών (DeStefano & LeFevre, 2004). Κλείνοντας, να σημειώσουμε πως οι έρευνες σχετικά με τον ακριβή ρόλο του οπτικοχωρικού σημειωματάριου στους νοερούς υπολογισμούς είναι πολύ λίγες ώστε να μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα και επίσης όλα αυτά τα συμπεράσματα προκύπτουν από έρευνες που έχουν γίνει μόνο σε νοερές προσθέσεις, έτσι δεν μπορούμε να τα γενικεύσουμε και στις υπόλοιπες πράξεις (DeStefano & LeFevre, 2004). Διαχωρισμός ελλειμμάτων των μαθητών με ΜΜΔ Γενικά, μπορούμε να χωρίσουμε τα ελλείμματα των παιδιών με ΜΜΔ σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη είναι τα διαδικαστικά ελλείμματα (procedural deficits) τα οποία αφορούν διαδικαστικές ικανότητες, όπως η χρήση αλγόριθμων για την εκτέλεση απλών και σύνθετων υπολογισμών. Η δεύτερη κατηγορία είναι το έλλειμμα της άμεσης ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων (retrieval deficits). Βάσει των παραπάνω ο Geary (1993) πρότεινε ότι πιθανόν τα παραπάνω ελλείμματα να αποτελούν και δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες ΜΜΔ αναλόγως το έλλειμμα, αυτή του διαδικαστικού ελλείμματος που υποστηρίζει ότι είναι περισσότερο μια καθυστέρηση αναπτυξιακή, αφού σημειώνεται κάποια βελτίωση με την πάροδο του χρόνου, κυρίως στην αρίθμηση και τις απλές προσθέσεις και η άλλη της ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων η οποία είναι πιο βασική και καθοριστική καθώς παραμένει με την πάροδο του χρόνου. Έρευνες έχουν

31 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 30 δείξει ότι οι μαθητές με ΜΜΔ σημειώνουν βελτίωση στις υπολογιστικές τους δεξιότητες, όχι όμως και στην υπολογιστική ευχέρεια. Ίσως η εξήγηση για το έλλειμμα της ανάκλησης και της υπολογιστικής ευχέρειας να είναι κάποιο γνωστικής φύσης πιο μόνιμου χαρακτήρα έλλειμμα, πιθανότατα αυτό της εργαζόμενης μνήμης, όπως προτείνεται από τις πιο πολλές έρευνες (Chong & Siegel, 2008). Τέλος, σε έρευνα των Chong & Siegel (2008) σε μαθητές με ΜΜΔ τους οποίους χώρισαν σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη φύση του ελλείμματος που παρουσίαζαν, διαδικαστικό ή άμεσης ανάκλησης βασικών αριθμητικών δεδομένων, διαπιστώθηκε πως οι μαθητές της δεύτερης ομάδας σε αντίθεση με της πρώτης έδειξαν ένα μόνιμης φύσεως έλλειμμα, αυτό της φωνολογικής επεξεργασίας. Αυτό το εύρημα ενισχύει το ρόλο των διαδικασιών της γλώσσας στην ανάκληση αριθμητικών δεδομένων, επιβεβαιώνοντας την υπόθεση του φωνολογικού ελλείμματος στην ανάκληση των αριθμητικών δεδομένων, το οποίο είχε προταθεί από τον Geary (1993). Παρόλα αυτά, ο ρόλος των γλωσσικών και φωνολογικών ελλειμμάτων στις ΜΜΔ χρειάζεται περαιτέρω έρευνα. Τι είναι ο νοερός υπολογισμός Λέγοντας νοερό υπολογισμό εννοούμε τη διαδικασία εκείνη κατά την οποία το άτομο εκτιμά με ακρίβεια το αριθμητικό αποτέλεσμα χωρίς τη βοήθεια εξωτερικών μέσων π.χ. συγκεκριμένων αντικειμένων, μολυβιού και χαρτιού κ.τ.λ. (Maclellan, 2001). Πιο συγκεκριμένα, είναι ο υπολογισμός που γίνεται με το μυαλό και όχι με το χαρτί και το μολύβι, χωρίς όμως να παραγνωρίζεται η σημασία της καταγραφής των μαθηματικών συμβόλων για την ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού (Harries & Spooner, 2000, αναφορά στη Maclellan, 2001). Γίνεται, μάλιστα, με τρόπο συνειδητό από τον άνθρωπο με τη χρήση κάθε φορά μιας στρατηγικής, η οποία τον οδηγεί στην επίλυση καθημερινών προβλημάτων με γρήγορο τρόπο (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Καραντζής κ. συν., 2010). Αυτός ο υπολογισμός αποτελεί ένα από τα τρία εργαλεία που χρησιμοποιούν οι ενήλικοι για να επιλύσουν καθημερινά τους προβλήματα

32 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 31 (Λεμονίδης & Λυγούρας, 2008) και μάλιστα παρουσιάζεται με μεγαλύτερη συχνότητα χρήσης σε σχέση με τα άλλα δυο, δηλαδή την αριθμομηχανή και το χαρτί-μολύβι) (Wandt & Brown, 1957). Ο νοερός υπολογισμός ως μαθηματική διαδικασία έχει ιδωθεί με διαφορετικούς τρόπους από τους παιδαγωγούς (Reys & Barger, 1994, αναφορά στον Λυγούρας, 2006). Η συμπεριφοριστική (behavioral) οπτική ισχυρίζεται ότι ο νοερός υπολογισμός είναι μια βασική ικανότητα, που ίσως βοηθάει ως ένα προαπαιτούμενο για την υπολογιστική ικανότητα με χαρτί και μολύβι ή για τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Στην περίπτωση αυτή η πρόοδος στη γνώση κερδίζεται με άμεση διδασκαλία και πρακτική (Shibata, 1994, αναφορά στον Λυγούρας, 2006). Η κατασκευαστική (constructivist) οπτική θεωρεί το νοερό υπολογισμό ως μια υψηλού επιπέδου διαδικασία σκέψης και προτάσσει την άποψη, ότι η δημιουργία μιας στρατηγικής είναι τόσο σημαντική όσο η εκτέλεση της στρατηγικής (Sowder, 1992). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή η ανάπτυξη των αριθμητικών ικανοτήτων των μαθητών επιτυγχάνεται στην τάξη με την ανάδυση και στη συνέχεια αξιοποίηση των στρατηγικών που κατασκευάζουν και χρησιμοποιούν οι μαθητές στα νοερά προβλήματα, μετά από προτροπή του δασκάλου (Λυγούρας, 2006). Η Maclellan (2001) υποστηρίζει ότι, όταν έχεις να κάνεις έναν υπολογισμό, στην ουσία θα πρέπει να χειριστείς τους αριθμούς με τέτοιον τρόπο ώστε να πετύχεις την επιθυμητή απάντηση. Η επιθυμητή (σωστή) απάντηση μπορεί να είναι ακριβής, αλλά μπορεί να είναι και μια κατά προσέγγιση τιμή παρά μια ακριβής τιμή. Όταν ο σκοπός σε ένα αριθμητικό πρόβλημα είναι να επιτύχουμε μια ακριβή απάντηση, τότε απαιτείται υπολογισμός και μάλιστα το κατά πόσον αυτός ο υπολογισμός θα είναι νοερός εξαρτάται από το μέγεθος των αριθμών που εμπλέκονται σε αυτόν τον υπολογισμό. Αν όμως σκοπός είναι να πετύχουμε μια κατά προσέγγιση απάντηση ή αν οι αριθμοί είναι μεγάλοι όσον αφορά στο μέγεθος, τότε ενδείκνυται η εκτίμηση. Βέβαια, αυτή η εκτίμηση της απάντησης προϋποθέτει υπολογισμό. Σύμφωνα με τον Sowder (1988, αναφορά στη Maclellan, 2001) η εκτίμηση είναι μια διαδικασία νοερού υπολογισμού κατά την οποία οι αριθμοί μετατρέπονται από ακριβείς σε κατά προσέγγιση, προκειμένου να πετύχουμε

33 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 32 μια απάντηση η οποία να βρίσκεται λογικά κοντά στο αποτέλεσμα ενός ακριβούς υπολογισμού. Με άλλα λόγια, η εκτίμηση εμπεριέχει, αλλά είναι κάτι παραπάνω από υπολογισμός (Maclellan, 2001). Έτσι, η Maclellan καταλήγει στο ότι «ο νοερός υπολογισμός είναι η διαδικασία υπολογισμού ενός αριθμητικού αποτελέσματος είτε με ακρίβεια (οπότε απαιτείται νοερός υπολογισμός) είτε κατά προσέγγιση (οπότε απαιτείται κατ εκτίμηση υπολογισμός) (Maclellan, 2001, σελ. 146). Τι είναι οι στρατηγικές νοερών υπολογισμών Ο Thompson (1999a) υποστηρίζει ότι οι στρατηγικές των νοερών υπολογισμών αφορούν στην εφαρμογή γνωστών ή γρήγορα υπολογισμένων αριθμητικών δεδομένων σε συνδυασμό με ειδικές ιδιότητες του αριθμητικού συστήματος προκειμένου να βρεθεί η λύση ενός υπολογισμού του οποίου η απάντηση δεν είναι γνωστή. Ένα πολύ απλό παράδειγμα είναι αυτό ενός παιδιού που υπολογίζει ότι 5+6 κάνει 11 επειδή «ξέρω ότι 5+5 κάνει 10 και 6 είναι ένα παραπάνω από το 5». Μάλιστα, το QCA (Qualifications and Curriculum Authority, 1999), αρχή διασφάλισης ποιότητας του αναλυτικού προγράμματος της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Αγγλίας, όσον αφορά στον τομέα των μαθηματικών, αναφέρει ότι οι στρατηγικές μέθοδοι είναι αυτές που προκύπτουν όταν οι αριθμοί μεταχειρίζονται με ολιστικό τρόπο, δηλαδή σαν ολότητες και όχι ως ψηφία. Τα οφέλη είναι ότι: (α) δεδομένου ότι αυτές οι μέθοδοι είναι πιο σημαντικές και βασισμένες στην εννοιολογική κατανόηση, είναι πιο πιθανό να επιδράσουν θετικά και σε άλλες πλευρές-διαστάσεις της μαθηματικής ανάπτυξης και (β) δεδομένου ότι ορισμένες μέθοδοι είναι περισσότερο κατάλληλες από κάποιες άλλες σε ορισμένα προβλήματα, τότε μπορεί να υπάρξει αποδοτικότητα στον υπολογισμό. Ένα παράδειγμα της δεύτερης περίπτωσης είναι ότι, όταν κάποιος έχει να προσθέσει έναν αριθμό με έναν άλλο, το να προσθέσει πρώτα τις δεκάδες και στη συνέχεια ξεχωριστά τις μονάδες είναι περισσότερο κατάλληλη ως στρατηγική στην περίπτωση του παρά του 33+29, ενώ το να στρογγυλοποιήσει έναν αριθμό πριν τον

34 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 33 προσθέσει και μετά να αντισταθμίσει είναι περισσότερο κατάλληλη ως στρατηγική στην περίπτωση του παρά στο Ένα παιδί που κάνει «καλές επιλογές» σε μια τέτοια περίπτωση αναμένεται να είναι πιο αποτελεσματικό στον υπολογισμό. Τέλος, το QCA (1999) υποστηρίζει ότι μια τέτοια ευελιξία στη χρήση των νοερών στρατηγικών είναι το κλειδί του υπολογισμού. Απ την άλλη, η Callingham (2005) αναφέρει πως ανάλογα με τη φύση των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται στους νοερούς υπολογισμούς έχουν κατηγοριοποιηθεί σαν συντελεστικής και συσχετιστικής κατανόησης. Οι συντελεστικές στρατηγικές είναι αυτές που βασίζονται στην εφαρμογή μιας συγκεκριμένης διαδικασίας χωρίς κάποια εξήγηση που να υποδηλώνει την κατανόηση των υποκείμενων εννοιών. Αντίθετα, η συσχετιστική κατανόηση επιδεικνύει εννοιολογική κατανόηση του πώς δουλεύουν οι αριθμοί, έχει να κάνει με την αίσθηση του αριθμού. Οι μαθητές που επιτυγχάνουν στους νοερούς υπολογισμούς συνήθως είναι αυτοί που έχουν συσχετιστική κατανόηση και εφαρμόζουν ευέλικτες στρατηγικές (Callingham, 2005). Οφέλη νοερού υπολογισμού Η συμπερίληψη του νοερού υπολογισμού στα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης συνιστάται από τους ερευνητές (Heirdsfield & Lamb, 2005), τόσο των Η.Π.Α. όσο και της Αυστραλίας και της Μεγάλης Βρετανίας, για πολλούς λόγους. Καταρχήν, όπως αναφέρουν οι McIntosh et al. (1995), ο νοερός υπολογισμός είναι μια ικανότητα καθολικής αξίας, χρησιμοποιείται συχνά σε προβλήματα της καθημερινής ζωής και αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τον κατ εκτίμηση υπολογισμό. Επίσης, προάγει τη μαθηματική σκέψη, συμβάλλει στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού και αναπτύσσει αξιόλογους μηχανισμούς που αφορούν στην επίλυση προβλημάτων. Μάλιστα, οι Heirdsfield & Lamb (2005) τονίζουν ότι ο νοερός υπολογισμός βοηθά τα παιδιά να κατανοήσουν πώς «δουλεύουν» οι αριθμοί και να επινοήσουν στρατηγικές. Επίσης, συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση της δομής των αριθμών και των ιδιοτήτων τους, ενώ

35 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 34 συγχρόνως αποτελεί το μέσο που προάγει τη σκέψη και αναπτύσσει ικανότητες για υποθέσεις και γενικεύσεις. Ο Thompson (1999b) επισημαίνει τέσσερις βασικούς λόγους για τους οποίους πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί: (1) χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς, (2) η εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση του αριθμητικού συστήματος (αίσθηση του αριθμού), (3) η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων και (4) βοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Τέλος, δεδομένου ότι η αίσθηση των αριθμών αναφέρεται στην κατανόηση, από μέρους του παιδιού αλλά και του ανθρώπου γενικότερα, των δομών, των λειτουργιών και των τρόπων αξιοποίησης των αριθμών (Λυγούρας, 2006), όπως επίσης και του τρόπου λειτουργίας των πράξεων, τότε, μέσα από αυτή την κατανόηση αλλά και την αναζήτηση για αποδοτικές και οικονομικές στρατηγικές, η απαίτηση για ενασχόληση με τους νοερούς υπολογισμούς όντως προωθεί την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού (Maclellan, 2001). Η ίδια άποψη υποστηρίζεται και από τους Heirdsfield and Cooper (2004α) οι οποίοι αναφέρουν συγκεκριμένα ότι η διεθνής έρευνα διατείνεται ότι ο νοερός υπολογισμός προάγει την αίσθηση του αριθμού εάν οι μαθητές ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν τις δικές τους στρατηγικές νοερού υπολογισμού (Blοte, Klein, & Beishuizen, 2000 Heirdsfield & Cooper, 2004α). Τρόποι διδασκαλίας νοερών υπολογισμών Αν και είναι γενικώς αποδεκτό ότι ένα αναλυτικό πρόγραμμα το οποίο αξιοποιεί και ενθαρρύνει τη χρήση και ανάπτυξη των νοερών υπολογισμών προσφέρει πολλά οφέλη στους μαθητές, ωστόσο οι διδακτικές προσεγγίσεις ποικίλλουν (McIntosh et al., 1995). Σύμφωνα με τους McIntosh et al. (1995), παρατηρούνται τουλάχιστον τρεις διαφορετικοί τρόποι διδακτικής προσέγγισης των νοερών υπολογισμών στα δημοτικά σχολεία. Η πρώτη προσέγγιση είναι αυτή που παρουσιάζει στους μαθητές κατευθείαν τις στρατηγικές των νοερών υπολογισμών. Είναι,

36 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 35 δηλαδή, παρόμοια με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας των γραπτών αλγορίθμων. Μπορεί βραχυπρόθεσμα αυτός ο τρόπος διδασκαλίας να έχει θετικές επιδράσεις στους μαθητές, όμως πολλοί υποστηρίζουν ότι αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να χάνονται πολλά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά-πλεονεκτήματα των νοερών υπολογισμών (έναντι των γραπτών αλγορίθμων) στα οποία θα αναφερθούμε στη συνέχεια. Ο δεύτερος τρόπος διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών στηρίζεται στην οικοδόμηση της γνώσης. Δηλαδή οι μαθητές παροτρύνονται να σκεφτούν μόνοι τους στρατηγικές στηριζόμενοι στις προϋπάρχουσες γνώσεις τους. Πιο συγκεκριμένα, αυτό επιτυγχάνεται καθώς οι μαθητές σχεδιάζουν τρόπους για να επιλύσουν προβλήματα που τους έχουν δοθεί. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μαθητές επινοούν μεγαλοφυείς στρατηγικές στην προσπάθειά τους αυτή να επιλύσουν προβλήματα. Μάλιστα, πολλές έρευνες σχετικά με το πώς μαθαίνουν τα παιδιά έχουν στρέψει την προσοχή τους στον εποικοδομισμό (constructivism), την αυτονομία και τη λήψη πρωτοβουλιών κατά τη μαθησιακή διαδικασία και τη χρήση αυτοσχέδιων στρατηγικών (invented strategies) σαν μέθοδο για την ανάπτυξη βασικών υπολογιστικών διαδικασιών (McIntosh et al., 1995). Όσον αφορά στον τρίτο τρόπο διδασκαλίας, εδώ οι μαθητές διδάσκονται τους τυπικούς γραπτούς αλγόριθμους υπολογισμού και πρέπει μόνοι τους, από τις εμπειρίες τους να εξάγουν συμπεράσματα σχετικά με το πώς υπολογίζουμε νοερά. Με άλλα λόγια, δε δίνονται σαφείς οδηγίες και ιδιαίτερη προσοχή στους νοερούς υπολογισμούς. Αυτός ο τρόπος προσέγγισης έχει σαν αποτέλεσμα οι μαθητές να εκτελούν τους νοερούς υπολογισμούς εφαρμόζοντας τους μη αποδοτικούς τυποποιημένους γραπτούς αλγόριθμους (McIntosh et al., 1995). Σχετικά με τα όσα αναφέρθηκαν, οι Heirdsfield et al. (1999) υποστηρίζουν ότι τα παιδιά χρειάζεται να αποκτήσουν επάρκεια στους νοερούς υπολογισμούς μέσα από την ανάπτυξη των δικών τους αυθόρμητων στρατηγικών, παρά μέσα από την απομνημόνευση διαδικασιών. Μάλιστα, η σπουδαιότητα των νοερών υπολογισμών ως προσωπική κατασκευή αναγνωρίστηκε και στο National Statement on Mathematics for Australian Schools (Curriculum Council &

37 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 36 Australian Education Council, 1991, αναφορά στους Heirdsfield et al., 1999) στη συγγραφή του οποίου συμμετείχε και ο οργανισμός εκπαιδευτικής έρευνας της Αυστραλίας, Australian Council for Educational Research (ACER), όπου διατυπώθηκε ότι οι μαθητές πρέπει να παρακινούνται, ώστε να αναπτύσσουν δικές τους στρατηγικές νοερών υπολογισμών, να πειραματίζονται με αυτές, να τις συγκρίνουν με εκείνες που χρησιμοποιούν άλλοι συμμαθητές τους και να διαλέγουν από τις διαθέσιμες στρατηγικές εκείνες που ταιριάζουν στις δικές τους ικανότητες και στο συγκεκριμένο πλαίσιο. Επίσης, τα παλιά και ξεπερασμένα αναλυτικά προγράμματα τόσο του εξωτερικού όσο και της Ελλάδας, στηρίζονταν στη διδασκαλία των παραδοσιακών γραπτών αλγόριθμων εκτός πλαισίου (context), ήταν δηλαδή ξεκομμένα από την πραγματικότητα και δεν στηρίζονταν στην προϋπάρχουσα εμπειρία και γνώση του παιδιού (Κολέζα, 2000 Λεμονίδης, 2003). Λέγοντας «ξεπερασμένα προγράμματα» εννοούνται αυτά όπου στη διδασκαλία κυριαρχούσε η λογική της μετάδοσης της γνώσης στο παιδί και όχι της κατασκευής της από το ίδιο το παιδί (Λεμονίδης, 2003). Δηλαδή, εκεί όπου ο δάσκαλος μιλούσε όλη την ώρα, παρουσίαζε αυτός τις νέες έννοιες και ζητούσε από τους μαθητές του να κάνουν εφαρμογές για να τις μάθουν (Λεμονίδης, 2006). Αυτά τα αναλυτικά προγράμματα είχαν σαν αποτέλεσμα οι μαθητές να χρησιμοποιούν κατά το νοερό υπολογισμό στρατηγικές οι οποίες αντανακλούν τους γραπτούς αλγορίθμους, παρά το γεγονός ότι γνωρίζουν και έχουν την ικανότητα να χρησιμοποιούν πιο αποδοτικές στρατηγικές. Αντίθετα, έρευνες έχουν δείξει ότι η ενεργός εμπλοκή των μαθητών στη διαδικασία της μάθησης καθιστά ικανά τα παιδιά να καταλάβουν τον νοερό υπολογισμό, ιδιαίτερα όταν η τυπική μαθηματική γνώση οικοδομείται πάνω στην άτυπη γνώση (Heirdsfield et al., 1999). Ακόμη, η θεωρία της Ρεαλιστικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Education- RME), η οποία αναπτύχθηκε στην Ολλανδία γύρο στο 1970 με βασικό εκπρόσωπο τον Freudenthal, υποστηρίζει πως τα μαθηματικά πρέπει να είναι συνδεδεμένα με την πραγματικότητα και επίσης στέκεται στην εμπειρία του παιδιού, που είναι σχετική με την κοινωνία για να γίνει μια ανθρώπινη αξία. Ακόμη, σύμφωνα με αυτή τα μαθήματα των

38 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 37 μαθηματικών θα πρέπει να δίνουν στους μαθητές την καθοδηγούμενη ευκαιρία να ανακαλύψουν ξανά τα μαθηματικά με το να τα πραγματοποιούν (Λεμονίδης, 2003). Μάλιστα, στην ερώτηση αν οι στρατηγικές νοερού υπολογισμού πρέπει να διδαχτούν ή αν οι μαθητές αναπτύσσουν αυθόρμητα τις δικές τους μεθόδους μέσα από την εμπειρία που αποκτούν, η παρούσα θεωρία απαντά υποστηρίζοντας το συνδυασμό και των δύο. Δίνει, δηλαδή, έμφαση στις άτυπες στρατηγικές των μαθητών, αλλά δεν αφήνει την ανάπτυξή τους στην τύχη. Κατάλληλα σχεδιασμένες καταστάσεις πλαισίου (context situations) έχουν σα στόχο να εστιάσουν την προσοχή σε συγκεκριμένες στρατηγικές και να παροτρύνουν την ανάπτυξη στρατηγικών πιο υψηλού επιπέδου (Beishuizen & Anghileri, 1998). Τέλος, η Maclellan (2001) αναφέρει ότι υπάρχουν δύο σημαντικοί «όροι-περιορισμοί» που πρέπει να τηρηθούν όσον αφορά στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Πρώτον, οι νοεροί υπολογισμοί θα πρέπει να γίνουν κατανοητοί από τους μαθητές σε όλη τους την πολυπλοκότητα. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές δεν πρέπει να αντιμετωπίζουν τους νοερούς σαν μια σειρά από υπεραπλουστευμένους και συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να θυμούνται απ έξω, αλλά σαν ένα συνδεδεμένο δίκτυο νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών για τους οποίους το παιδί χρειάζεται να έχει γνώσεις σχετικά με τις σχέσεις των αριθμών, να χειρίζεται με ευκολία βασικά δεδομένα, να κατανοεί τη λειτουργία των αριθμητικών πράξεων, να μπορεί να συγκρίνει τους αριθμούς και να κατέχει βασικές έννοιες όσον αφορά στην αξία θέσης ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Δεύτερον, οι στρατηγικές των νοερών υπολογισμών θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τους μαθητές, αν βρίσκονται «αποθηκευμένες» στο εννοιολογικό τους πλαίσιο σχετικά με τους αριθμούς. Σύγκριση γραπτών αλγόριθμων και νοερών στρατηγικών Για την εκτέλεση νοερών υπολογισμών απαιτείται η χρήση στρατηγικών οι οποίες διαφέρουν από τους αλγόριθμους που συνδέονται με τις διαδικασίες χαρτιού-μολυβιού (Maclellan, 2001). Ο Plunkett (1979) επιχείρησε την ανάλυση των διαφορών που υπάρχουν

39 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 38 μεταξύ των γραπτών αλγόριθμων και των νοερών στρατηγικών προκειμένου να αποσαφηνίσει την αξία των τελευταίων. Χαρακτηρίζει, λοιπόν, τους γραπτούς αλγόριθμους ως τυποποιημένους, συμπτυγμένους, αποδοτικούς, αυτόματους (πράγμα που τους καθιστά ικανούς να χρησιμοποιηθούν ακόμη και αν κάποιος δεν τους καταλαβαίνει), συμβολικούς, σταθερής μορφής και γενικούς (το οποίο τους καθιστά ικανούς να χρησιμοποιούνται για όλους τους αριθμούς: μονοψήφιους ή πολυψήφιους, ακέραιους ή δεκαδικούς, χωρίς να απαιτείται κάποια σύνδεση με τον τρόπο που οι άνθρωποι σκέφτονται σχετικά με τους αριθμούς). Επίσης, οι αλγόριθμοι χαρακτηρίζονται από τον ίδιο αναλυτικοί (με την έννοια ότι οι αριθμοί θα πρέπει να «σπάσουν» σε ψηφία, δηλαδή σε μονάδες και δεκάδες και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθούν αυτά τα ψηφία ξεχωριστά), και όχι εύκολα κατακτήσιμοι (διότι δεν αντιστοιχούν στον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι τείνουν να σκέφτονται για τους αριθμούς). Αντίθετα, οι νοερές στρατηγικές είναι φευγαλέες και συχνά δύσκολο να τις «πιάσεις», ποικίλες (για παράδειγμα υπάρχουν 13 διαφορετικοί τρόποι να υπολογίσει κανείς χωρίς το γραπτό αλγόριθμο την πράξη 83-26), δημιουργικές, ευέλικτες (flexible) και ξεχωριστές-ιδιοσυγκρασιακές (idiosyncratic). Επιπλέον, ενώ οι γραπτοί αλγόριθμοι μεταχειρίζονται τους αριθμούς σαν απλά ψηφία και ακολουθούν τη μία και μοναδική διαδικασία, οι νοερές στρατηγικές τείνουν να μεταχειρίζονται τους αριθμούς ολιστικά, έτσι είναι πολύ πιθανόν να χρησιμοποιείται διαφορετική στρατηγική για την αφαίρεση και άλλη για την αφαίρεση Επιπλέον, οι νοερές στρατηγικές απαιτούν πλήρη κατανόηση, μπορούν να συσχετιστούν με κάποια εικόνα όπως η αριθμογραμμή και είναι περιορισμένοι στη χρήση καθώς δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε υπολογισμούς όπως 269x23 (Plunkett, 1979). Έρευνες σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς Οι νοεροί υπολογισμοί εμπεριέχουν ένα πιο ευρύ φάσμα στρατηγικών, σε σχέση με τις παραδοσιακές γραπτές διαδικασίες (Heirdsfield & Cooper, 2004β). Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, πολλές έρευνες έχουν αναδείξει την ποικιλία των στρατηγικών που

40 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 39 χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά τη διεκπεραίωση νοερών υπολογισμών διψήφιων αριθμών στην πρόσθεση και την αφαίρεση (Heirdsfield & Lamb, 2005 Macintyre & Forrester, 2003 Maclellan, 2001 Lucangeli et al., 2003 Threlfall, 2002 Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ). Η έρευνα των Macintyre & Forrester (2003) πραγματοποιήθηκε για να αναδείξει τις ικανότητες των μαθητών ηλικίας 8 ετών στους νοερούς υπολογισμούς και την ποικιλία των στρατηγικών που χρησιμοποιούσαν. Κάθε ερευνητής ζητούσε από τους μαθητές να υπολογίσουν νοερά και στη συνέχεια να καταγράψουν σε χαρτί τα αποτελέσματα προσθέσεων και αφαιρέσεων διψήφιων και τριψήφιων αριθμών. Κατόπιν ακολουθούσε συζήτηση με τον ερευνητή όπου οι μαθητές έπρεπε να περιγράψουν τις μεθόδους που χρησιμοποίησαν για να υπολογίσουν. Η εξέταση ξεκινούσε με 6 προσθέσεις (4 προσθέσεις διψήφιων αριθμών και 2 τριψήφιων αριθμών) και ακολουθούσαν 6 αφαιρέσεις (4 διψήφιες και 2 τριψήφιες). Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως κανένας μαθητής δε χρησιμοποίησε τη στρατηγική της απαρίθμησης. Οι κυρίαρχες στρατηγικές ήταν ο νοερός παραδοσιακός αλγόριθμος (ΜΑ) και η 1010 στρατηγική, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση. Μόνο ένα 10% χρησιμοποίησε τη Ν10 στρατηγική στην αφαίρεση (όλες οι στρατηγικές αναλύονται σε επόμενο κεφάλαιο). Σκοπός της έρευνας των Lucangeli et al. (2003) ήταν να αναδείξει τις αποτελεσματικές στρατηγικές που χρησιμοποιούν μαθητές ηλικίας 8-11 ετών (Γ, Δ, Ε δημοτικού) όταν εκτελούν πράξεις (προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) με διψήφιους, τριψήφιους κτλ. αριθμούς. Οι μαθητές εξετάζονταν ατομικά και, αφού τους δίνονταν πράξειςπροβλήματα, καλούνταν να τα υπολογίσουν νοερά και να εξηγήσουν τον τρόπο που σκέφτηκαν. Ο ερευνητής ηχογραφούσε τις απαντήσεις και συγχρόνως παρατηρώντας την όλη συμπεριφορά των υποκειμένων διαπίστωνε τη στρατηγική που ακολουθούσαν. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως όσον αναφορά στις προσθέσεις στην Γ τάξη κυρίαρχη στρατηγική ήταν η ΜΑ, κατόπιν η απαρίθμηση (COF) και στη συνέχεια η 1010 στρατηγική. Στη Δ και Ε τάξη στην πρώτη θέση έρχεται η 1010 στρατηγική, μετά η ΜΑ και τρίτη η COF. Όσον αφορά στις

41 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 40 αφαιρέσεις στη Γ τάξη πρώτη έρχεται η ΜΑ, στη συνέχεια η COF και η χρήση των υπόλοιπων στρατηγικών είναι μηδαμινή. Στη Δ τάξη ωστόσο, ναι μεν κυρίαρχη στρατηγική παραμένει η ΜΑ, αλλά δεύτερη έρχεται η Ν10 και ακολουθεί η COF. Τέλος, στην Ε τάξη η πλειοψηφία των μαθητών επιλέγει τη ΜΑ, κατόπιν τη 1010 και μετά την COF. Επίσης, στην Ελλάδα, ο Λυγούρας (2006) για να διαπιστώσει την επίδοση και ευελιξία των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς, πραγματοποίησε έρευνα σε μαθητές Γ Δημοτικού με ημιδομημένη προσωπική συνέντευξη. Συγκεκριμένα, ο ερευνητής πρότεινε την πράξη προφορικά και καλούσε το μαθητή, αφού υπολογίσει το αποτέλεσμα νοερά, να εξηγήσει τον τρόπο με τον οποίο εκτέλεσε την πράξη. Κατόπιν ο ερευνητής κατέγραφε την απάντηση του μαθητή, σωστή ή λανθασμένη, όπως επίσης και τη διαδικασία που χρησιμοποιούσε για να την εκτελέσει σε ένα πρωτόκολλο. Από την έρευνα προέκυψε πως οι μαθητές δυσκολεύονται περισσότερο στην αφαίρεση παρά στην πρόσθεση και μάλιστα ακόμη περισσότερο τους δυσκολεύουν οι πράξεις με κρατούμενο και ειδικά οι αφαιρέσεις με κρατούμενο. Κυρίαρχη στρατηγική τόσο στις νοερές προσθέσεις όσο και στις νοερές αφαιρέσεις είναι η Ακόμη, η έρευνα που πραγματοποιήθηκε από τους Καραντζή & Τόλλου (2009) είχε σα στόχο να διερευνήσει τα είδη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Γ Δημοτικού όταν προσθέτουν και αφαιρούν νοερά διψήφιους αριθμούς. Η εξέταση ήταν ατομική και ο εξεταστής, αφού χορηγούσε στους μαθητές καρτέλες που είχαν σε οριζόντια μορφή τις προσθέσεις και αφαιρέσεις, τους ζητούσε να υπολογίσουν το αποτέλεσμα της πράξης νοερά και στη συνέχεια, αν η απάντηση ήταν σωστή, να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους. Ο εξεταστής κατέγραφε σε πρωτόκολλο τη στρατηγική που χρησιμοποιούσε κάθε μαθητής (μόνο στις περιπτώσεις των σωστών απαντήσεων). Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως οι επιδόσεις των μαθητών είναι σημαντικά καλύτερες στις προσθέσεις απ ό,τι στις αφαιρέσεις. Επίσης, οι αφαιρέσεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από τις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο. Το ίδιο ισχύει και για τις προσθέσεις. Τέλος, οι συμμετέχοντες χρησιμοποίησαν περισσότερο τις στρατηγικές 1010, Ν10 και τον νοερό παραδοσιακό αλγόριθμο. Τέλος, υπήρχαν

42 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 41 στατιστικώς σημαντικές διαφορές στη χρήση στρατηγικών υψηλού και χαμηλού επιπέδου με τις πρώτες να κυριαρχούν στις νοερές προσθέσεις και τις δεύτερες στις νοερές αφαιρέσεις. Παρόμοια ήταν και η έρευνα που πραγματοποιήθηκε από τον Karantzis ( ) η οποία, όπως και η προηγούμενη, είχε σα στόχο να διερευνήσει τα είδη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Γ αλλά και της Δ τάξης του δημοτικού όταν προσθέτουν και αφαιρούν νοερά διψήφιους αριθμούς. Η εξέταση ήταν ατομική και ο εξεταστής, αφού χορηγούσε στους μαθητές καρτέλες που είχαν σε οριζόντια μορφή τις προσθέσεις και αφαιρέσεις, τους ζητούσε να υπολογίσουν το αποτέλεσμα της πράξης νοερά και στη συνέχεια, αν η απάντηση ήταν σωστή, να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους. Ο εξεταστής κατέγραφε σε πρωτόκολλο τη στρατηγική που χρησιμοποιούσε κάθε μαθητής (μόνο στις περιπτώσεις των σωστών απαντήσεων). Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως οι επιδόσεις των μαθητών είναι σημαντικά καλύτερες στις προσθέσεις απ ό,τι στις αφαιρέσεις. Επίσης, οι πράξεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από τις πράξεις χωρίς κρατούμενο. Μάλιστα, οι μαθητές της Δ τάξης ήταν καλύτεροι σε σχέση με αυτούς της Γ τάξης στις πράξεις με κρατούμενο. Κυρίαρχες στρατηγικές ήταν οι 1010, Ν10 και ο νοερός αλγόριθμος. Τέλος, η πλειοψηφία των μαθητών και των δύο τάξεων προτιμά τη χρήση στρατηγικών υψηλού παρά χαμηλού επιπέδου. Απ την άλλη η έρευνα των Thompson & Smith (1999) περιλάμβανε μαθητές ηλικίας 8-10 ετών και πραγματοποιήθηκε προκειμένου να αναδείξει τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν προσθέτουν και αφαιρούν νοερά διψήφιους αριθμούς. Ωστόσο, μεταξύ άλλων, στόχος της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί και κατά πόσον διαφέρουν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι λιγότερο ικανοί μαθητές σε σχέση με τους πιο ικανούς. Οι μαθητές εξετάζονταν ατομικά και οι απαντήσεις τους ηχογραφούνταν. Οι πράξεις δίνονταν μία μία στο μαθητή σε καρτέλες και είχαν οριζόντια μορφή. Επιπλέον, εξετάζονταν ξεχωριστά οι προσθέσεις από τις αφαιρέσεις. Εδώ, οι στρατηγικές δεν έχουν τις κλασικές ονομασίες ΜΑ, COF, 1010, N10 κλπ., αλλά με παρόμοιες ονομασίες περιγράφονται οι ίδιες στρατηγικές. Επίσης, το ενδιαφέρον στρέφεται κυρίως στην κατηγορία των στρατηγικών που

43 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 42 χρησιμοποιούνται (χαμηλού ή υψηλού επιπέδου) και όχι τόσο σε κάθε είδος ξεχωριστά (π.χ. τι ποσοστό μαθητών χρησιμοποίησε την ΜΑ στρατηγική κλπ). Έτσι, μεταξύ άλλων, τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως οι λιγότερο ικανοί μαθητές χρησιμοποίησαν στρατηγικές χαμηλότερου επιπέδου σε σχέση με τους πιο ικανούς (π.χ. τη στρατηγική της απαρίθμησης) τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση. Όσον αφορά στις έρευνες που έχουν γίνει και εξετάζουν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά όταν υπολογίζουν νοερά, αυτές είναι ελάχιστες όπως θα διαπιστωθεί και στην πορεία, αφορούν κυρίως στην πρόσθεση και συγκεκριμένα απλά μονοψήφια προβλήματα (π.χ. 4+3) και λίγο πιο σύνθετα (π.χ. 16+8). Έτσι, η έρευνα των Geary et al. (2004) πραγματοποιήθηκε προκειμένου, μεταξύ άλλων, να εξετάσει και τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές των Α, Γ και Ε τάξεων του δημοτικού σχολείου, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, όταν προσθέτουν νοερά μονοψήφιους αριθμούς (π.χ. 4+3) ή διψήφιους με μονοψήφιους αριθμούς (π.χ. 16+8). Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως στην Α δημοτικού οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά χρησιμοποιούσαν κατά κύριο λόγο την απαρίθμηση με δάχτυλα για να λύσουν απλές νοερές προσθέσεις και έκαναν πολλά λάθη, ενώ οι κανονικής επίδοσης συνομήλικοί τους χρησιμοποιούσαν μια μεικτή μέθοδο που περιλάμβανε απαρίθμηση με δάχτυλα αλλά και άμεση ανάκληση αριθμητικών δεδομένων. Έτσι, ακόμη και στην Ε δημοτικού η πρώτη ομάδα μαθητών συνέχιζε να χρησιμοποιεί την απαρίθμηση με δάχτυλα για να επιλύσει το 25% των απλών προσθέσεων, τη στιγμή που μόνο ένα 6% της δεύτερης ομάδας χρησιμοποιούσε αυτή τη στρατηγική. Ναι μεν και οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά άρχισαν από μια τάξη και μετά να χρησιμοποιούν τη μεικτή μέθοδο στους υπολογισμούς τους, ωστόσο αυτό συνέβη σε πολύ μεγαλύτερη τάξη σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης συνομηλίκους τους. Παρόμοια ήταν η έρευνα που είχαν πραγματοποιήσει οι Geary et al. το 1992 σε μαθητές Α δημοτικού με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, όπου εκτός των άλλων τους

44 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 43 εξέτασαν σε απλές νοερές προσθέσεις προκειμένου να διαπιστώσουν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούσαν. Η εξέταση ήταν ατομική, τους ζητούσαν να περιγράψουν τη στρατηγική που χρησιμοποίησαν και οι απαντήσεις τους ηχογραφούνταν. Οι μαθητές κανονικής επίδοσης πραγματοποίησαν λιγότερα λάθη σε σχέση με τους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, χρησιμοποίησαν περισσότερο τη στρατηγική της άμεσης ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων από τη μνήμη καθώς επίσης και την επαρίθμηση. Έτσι, λοιπόν, φάνηκε οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά να πραγματοποιούν και περισσότερα υπολογιστικά λάθη αλλά και να χρησιμοποιούν πιο ανώριμες στρατηγικές αρίθμησης-υπολογισμού (counting procedures). Κατά καιρούς έχουν γίνει μελέτες (π.χ. Torbeyns et al., 2004 Wylie et al., 2012) που αφορούν σε μαθητές με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά οι οποίες εξετάζουν τους μαθητές σε απλές νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις, ωστόσο κύριος σκοπός αυτών των ερευνών δεν είναι τόσο η ανάδειξη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν αυτοί οι μαθητές όταν υπολογίζουν νοερά όσο η διερεύνηση βασικών ελλειμμάτων των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Διαπιστώνει κανείς λοιπόν, πως στις έρευνες που αναφέρονται στους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και αφορούν στις απλές νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις δε γίνεται πουθενά αναφορά στις στρατηγικές ΜΑ, 1010, Ν10 κ.λπ. κι αυτό διότι (όπως θα αναφερθεί και στην πορεία) αυτές είναι στρατηγικές που αφορούν τις διψήφιες και όχι απλές νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις για τις οποίες δεν έχει γίνει ακόμη κάποια έρευνα πέρα από την παρούσα ερευνητική μελέτη. Στρατηγικές νοερών υπολογισμών πρόσθεσης και αφαίρεσης Από όλες τις έρευνες που μελετήθηκαν (Heirdsfield & Cooper, 2004β Heirdsfield & Lamb, 2005 Macintyre & Forrester, 2003 Maclellan, 2001 Thompson, 2000a Lucangeli et al., 2003 Threlfall, 2002 Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, Λεμονίδης, 2003

45 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 44 Λυγούρας, 2006), αναδείχτηκαν και κωδικοποιήθηκαν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στους νοερούς υπολογισμούς για την πρόσθεση και την αφαίρεση διψήφιων αριθμών, οι οποίες παρατίθενται παρακάτω: 1) Απαρίθμηση: Οι μαθητές χρησιμοποιώντας την ακολουθία των αριθμών αρχίζουν τη μέτρηση με τις μονάδες του ενός προσθετέου (συνήθως του μεγαλύτερου) και συνεχίζουν με τις μονάδες του άλλου προσθετέου. Μπορεί, μάλιστα, να προστίθενται στον πρώτο προσθετέο οι μονάδες του δεύτερου μία προς μία με τη χρήση των δαχτύλων (αρίθμηση με δάχτυλα, COF) ή μερικές φορές με ρυθμική κίνηση του κεφαλιού (Lucangeli et al., 2003). Ομοίως στην αφαίρεση η μέτρηση αρχίζει με τα αντικείμενα που εκφράζει ο μειωτέος και στη συνέχεια αφαιρούνται τα αντικείμενα που εκφράζει ο αφαιρετέος και στο τέλος μετρούνται όσα έμειναν. Και εδώ μπορεί να αφαιρούνται οι μονάδες του αφαιρετέου από το μειωτέο μία προς μία με τη χρήση των δαχτύλων και μερικές φορές με ρυθμική κίνηση του κεφαλιού (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ). Η στρατηγική αυτή είναι από τις πρώτες που μαθαίνουν τα παιδιά στη σχολική ηλικία. Ενώ για τους μαθητές των μικρότερων τάξεων (Α κυρίως και Β πιο σπάνια) είναι μία συνηθισμένη διαδικασία, στην τρίτη τάξη σπάνια χρησιμοποιείται από τους μαθητές και μόνο από αυτούς που δεν έχουν κατανοήσει πλήρως τη λειτουργία των αριθμών. Οι μαθητές που χρησιμοποιούν την αρίθμηση σε αυτήν την ηλικία χαρακτηρίζονται από μειωμένη ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς (Λυγούρας, 2006). 2) Επαρίθμηση (CON): Σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική για την πρόσθεση, στον πρώτο προσθετέο προστίθενται οι μονάδες του δεύτερου προσθετέου μία προς μία (π.χ : =59) ή οι δεκάδες του δεύτερου προσθετέου σταδιακά και ύστερα οι μονάδες του (π.χ : 34+10=44, 44+10=54, 54+5=59). Για την αφαίρεση, από το μειωτέο αφαιρούνται διαδοχικά οι μονάδες του αφαιρετέου μία-μία (π.χ : =22) ή αφαιρούνται οι δεκάδες του αφαιρετέου σταδιακά και ύστερα οι μονάδες του (π.χ : 48-10=38, 38-10=28, 28-6=22) (Καραντζής & Τόλλου, 2009).

46 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 45 3) Νοερός-παραδοσιακός αλγόριθμος (ΜΑ): Οι μαθητές συχνά υπολογίζουν το αποτέλεσμα εκτελώντας νοερά τον αλγόριθμο της κάθετης πρόσθεσης ή αφαίρεσης πηγαίνοντας δηλαδή από τα δεξιά προς τα αριστερά (Lucangeli et al., 2003 Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ) (π.χ : 4+5=9, 3+2=5, άρα άθροισμα 59 και 48-26: 6 από 8 μας δίνει 2, 2 από 4 μας δίνει 2, άρα η απάντηση είναι 22). 4) Διαχωρισμός Δεκάδων-Μονάδων ή 1010: Ονομάζεται η στρατηγική κατά την οποία οι μαθητές για να βρουν το άθροισμα ή τη διαφορά υπολογίζουν ξεχωριστά τις μονάδες και τις δεκάδες (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, Λυγούρας, 2006 Thompson, 2000a Heirdsfield & Lamb, 2005). Στην κατηγορία αυτής της στρατηγικής εντάσσονται τρεις υποκατηγορίες: : Υπολογίζονται πρώτα οι δεκάδες και μετά οι μονάδες (π.χ : 30+20=50, 4+5=9, 50+9=59 και 48-26: 40-20=20, 8-6=2, 20+2=22). 4.2 u-1010: Υπολογίζονται πρώτα οι μονάδες και μετά οι δεκάδες (π.χ : 5+4=9, 30+20=50, 50+9=59 και 48-26: 8-6=2, 40-20=20, 20+2=22). Τόσο η στρατηγική 1010 όσο και η u-1010 χαρακτηρίζονται ως στρατηγικές «διαχωρισμού» (separation) (Heirdsfield & Lamb, 2005) s: Σύμφωνα με τους Varol & Farran (2007), Blote et al. (2000) και Thompson (2000a) στην πρόσθεση, στο άθροισμα των δεκάδων προστίθενται αρχικά οι μονάδες του πρώτου προσθετέου και στη συνέχεια οι μονάδες του δεύτερου προσθετέου (π.χ : 30+20=50, 50+4=54, 54+5=59), ενώ για την αφαίρεση χωρίς κρατούμενο, οι αριθμοί αναλύονται στις δεκάδες τους, στη διαφορά των δεκάδων τους αφαιρούνται αρχικά οι μονάδες του αφαιρετέου και στη συνέχεια προστίθενται οι μονάδες του μειωτέου (π.χ : 40-20=20, 20-6=14, 14+8=22). Τέλος, στην αφαίρεση με κρατούμενο, οι αριθμοί αναλύονται στις δεκάδες τους και στη συνέχεια στη διαφορά των δεκάδων τους προστίθενται οι μονάδες του μειωτέου και από το άθροισμα αυτό αφαιρούνται οι μονάδες του αφαιρετέου (π.χ : 70-60=10, 10+4=14, 14-9=5) (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ).

47 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 46 5) Υπολογισμός με βάση τον πρώτο όρο ή Ν10: Οι μαθητές σ αυτή τη διαδικασία αναλύουν το δεύτερο όρο της πράξης και στη συνέχεια προσθέτουν ή αφαιρούν τις δεκάδες και τις μονάδες που προκύπτουν με τον αριθμό του πρώτου όρου. Στην κατηγορία αυτής της στρατηγικής εντάσσονται τρεις υποκατηγορίες: 5.1 Ν10: Στον πρώτο προσθετέο προστίθενται πρώτα οι δεκάδες του δεύτερου προσθετέου και μετά οι μονάδες του (π.χ : 34+20=54, 54+5=59), ενώ στην αφαίρεση αφαιρούνται από το μειωτέο πρώτα οι δεκάδες του αφαιρετέου και μετά οι μονάδες του (π.χ : 48-20= 28, 28-6=22) (Heirdsfield & Lamb, 2005 Thompson, 2000a). 5.2 u-n10: Στον πρώτο προσθετέο προστίθενται πρώτα οι μονάδες του δεύτερου προσθετέου και μετά οι δεκάδες του (π.χ : 34+5=39, 39+20=59), ενώ στην αφαίρεση αφαιρούνται από το μειωτέο πρώτα οι μονάδες του αφαιρετέου και μετά οι δεκάδες του (π.χ : 48-6=42, 42-20=22). Η στρατηγική Ν10 και u-n10 χαρακτηρίζεται ως «αθροιστική» στρατηγική (aggregation) (Heirdsfield & Lamb, 2005). 5.3 Επιπλέον, οι Lucangeli et al. (2003) εντάσσουν σε αυτή την κατηγορία και την περίπτωση όπου ο δεύτερος προσθετέος αναλύεται και με άλλον τρόπο: π.χ =( )+5=54+5=59. 6) Στρογγυλοποιήσεις ή Ν10C: Είναι η πιο σύνθετη διαδικασία και δείγμα της ευελιξίας που μπορεί να διακρίνει έναν μαθητή στους νοερούς υπολογισμούς. Λίγοι μαθητές τη χρησιμοποιούν και συνήθως σε υπολογισμούς με κρατούμενα. Στη στρατηγική αυτή οι μαθητές κάνουν προσθαφαιρέσεις πάνω στους όρους της πράξης, έτσι ώστε να προκύψουν αριθμοί που εύκολα μπορούν να τους προσθέσουν ή να τους αφαιρέσουν (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, Λυγούρας, 2006 Thompson, 2000a). Με άλλα λόγια, προχωρούν σε στρογγυλοποίηση του ενός ή και των δύο αριθμών. Η στρατηγική των στρογγυλοποιήσεων χωρίζεται σε δύο υποκατηγορίες: 6.1 Αντιστάθμιση: για παράδειγμα 34+25: 35+25=60, 60-1=59 και 48-26: 50-26=24, 24-2=22 (Heirdsfield & Lamb, 2005).

48 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά Ισοσκέλιση: για παράδειγμα 34+25: 40+19=59 και 48-26: 50-28=22. Η στρατηγική N10C χαρακτηρίζεται ως «ολιστική» στρατηγική (wholistic) (Heirdsfield & Lamb, 2005). 7) Στρατηγική C10: Προκειμένου να γίνει πιο εύκολα η πρόσθεση ή η αφαίρεση, στον πρώτο όρο σχηματίζεται συμπλήρωμα του 10 (Lucangeli et al., 2003). Η στρατηγική αυτή χαρακτηρίζεται από τους Varol & Farran (2007) και τους Blote et al. (2000) ως στρατηγική Α10 (π.χ : 34+6=40, 40+19=59 και 48-26: 48-8=40, 40-18=22). 8) Άμεση ανάκληση (AUTO) ή γνωστή πράξη: Ονομάζεται η στρατηγική κατά την οποία οι μαθητές γνωρίζουν απ έξω το αποτέλεσμα και το ανακαλούν αμέσως από τη μακρόχρονη μνήμη (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, Λυγούρας, 2006). Για παράδειγμα το άθροισμα οι μαθητές μπορεί να το ξέρουν απ έξω και όταν ρωτηθούν να το πουν αμέσως. 9) Συμπλήρωμα του αφαιρετέου: Σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική, ο μαθητής αυξάνει τις μονάδες του αφαιρετέου μέχρι να φτάσει στο μειωτέο. Ο αριθμός που αντιπροσωπεύει την αύξηση θα είναι η σωστή απάντηση. Η στρατηγική αυτή χωρίζεται σε δύο υποκατηγορίες. Στην πρώτη περίπτωση, όπου ο αφαιρετέος βρίσκεται σε μικρή απόσταση από το μειωτέο, τότε ο μαθητής προσθέτει μία-μία (ή όλες μαζί) τις μονάδες στον αφαιρετέο μέχρι να φτάσει στο μειωτέο (π.χ : 69+3=72, άρα η σωστή απάντηση είναι 3). Αντίθετα, στη δεύτερη περίπτωση, όπου ο αφαιρετέος βρίσκεται σε μεγάλη απόσταση από το μειωτέο, τότε η απάντηση βρίσκεται σταδιακά με «πάτημα» πρώτα στη δεκάδα κτλ. (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Thompson, 2000a). Είναι αυτό που οι Blote et al. (2000) ονομάζουν «short jump» από τον αφαιρετέο στο μειωτέο το οποίο γεφυρώνει τη διαφορά τους (π.χ : 59+1=60, 60+15=75, 1+15=16). 10) Προσθήκη δεκάδων μέχρι να ξεπεραστεί το ποσό και επιστροφή πίσω: (Van de Walle, 2005) για παράδειγμα 73-46: 46+30=76, 76-3=73, 30-3=27, άρα η σωστή απάντηση είναι 27. Όσον αφορά στις παραπάνω στρατηγικές ο Sowder (1992) αναφέρει ότι πολλοί μαθητές, όταν υπολογίζουν νοερά αριθμητικές πράξεις, στηρίζονται αποκλειστικά στη νοερή

49 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 48 αναπαράσταση του γραπτού-κάθετου αλγόριθμου. Αυτό συμβαίνει διότι αγνοούν βασικές ιδιότητες των αριθμών και τους αντιμετωπίζουν ως απλά ψηφία, χωρίς να αντιλαμβάνονται την αξία της θέσης τους. Κατά συνέπεια, η νοερή αναπαράσταση του γραπτού αλγόριθμου είναι μια μη αποδοτική στρατηγική η οποία χρησιμοποιείται από λιγότερο επιδέξιους-ευέλικτους μαθητές (Varol & Farran, 2007), ενώ αντίθετα οι επιδέξιοι μαθητές διαθέτουν μια ποικιλία στρατηγικών για να επιλέξουν την κατάλληλη στρατηγική και αυτό αντανακλά την κατανόηση που έχουν για τους αριθμούς και τις λειτουργίες τους (Hope & Sherrill, 1987). Επομένως, φαίνεται πως υπάρχει σχέση μεταξύ νοερού υπολογισμού και εννοιολογικής κατανόησης των αριθμών (Varol & Farran, 2007). Συμπερασματικά, σχετικά με την αποτελεσματικότητα, η απαρίθμηση, η αρίθμηση με δάχτυλα και ο νοερός παραδοσιακός αλγόριθμος χαρακτηρίζονται ως στρατηγικές χαμηλού επιπέδου, καθώς δεν είναι αποτελεσματικές δεδομένου ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να γίνουν λάθη στην επίλυση αριθμητικών προβλημάτων (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ). Ο Van de Walle (2005) μάλιστα αναφέρει χαρακτηριστικά ότι αποδοτική είναι η στρατηγική που εφαρμόζεται με το μυαλό και γρήγορα και η απαρίθμηση δεν είναι αποδοτική στρατηγική. Απ την άλλη, οι Heirdsfield & Cooper (2004β) ταξινομούν τις στρατηγικές με τέτοιον τρόπο, ώστε η στρατηγική διαχωρισμού, δηλαδή η 1010, η αθροιστική στρατηγική, δηλαδή η Ν10 και οι στρογγυλοποιήσεις να αποτελούν τις πιο προωθημένες. Σε αυτή την κατηγορία εντάσσονται και η C10, το συμπλήρωμα του αφαιρετέου και η προσθήκη δεκάδων μέχρι να ξεπεραστεί το ποσό και όλες μαζί αποτελούν τις λεγόμενες στρατηγικές υψηλού επιπέδου που συντελούν στην καλύτερη κατανόηση των αριθμών (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, ).

50 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 49 Η χρήση της άδειας αριθμογραμμής στους νοερούς υπολογισμούς Το σημαντικότερο ίσως μέσο για τη διδασκαλία και κατανόηση των νοερών υπολογισμών, το οποίο μάλιστα εισήγαγαν στο δημοτικό τα νέα προγράμματα σπουδών και τα σχολικά εγχειρίδια, φαίνεται πως είναι η «άδεια αριθμογραμμή» (Empty Number Line). Συγκεκριμένα, οι Rousham (2003, αναφορά στη Murphy, 2011) και Foxman & Beishuizen (2002), αναφέρουν ότι η άδεια αριθμογραμμή φαίνεται πως έχει καθιερωθεί σαν ένα αποτελεσματικό μοντέλο που ενισχύει την ανάπτυξη των στρατηγικών νοερού υπολογισμού των παιδιών. Η άδεια αριθμογραμμή παρουσιάστηκε στην Ολλανδία τη δεκαετία του 80, σαν μέρος της «ρεαλιστικής» λογικής του αναλυτικού προγράμματος των Μαθηματικών και επεκτείνει και είναι ανοιχτή στις αυθόρμητες στρατηγικές των παιδιών. Σαν παιδαγωγικό μοντέλο ενισχύει τους μαθητές να εκφράζουν με λόγια τα βήματα-στάδια επίλυσης και να αποτυπώνουν τις στρατηγικές που επιλέγουν νοερά και έχει προταθεί σε πολλές επίσημες δημοσιεύσεις (DfEE, 1999 Murphy, 2011 QCA, 1999). Η άδεια αριθμογραμμή ναι μεν έχει φανεί, όπως θα δούμε και στη συνέχεια, ότι είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την υποστήριξη των νοερών στρατηγικών πρόσθεσης και αφαίρεσης, η αποτελεσματικότητά της όμως συχνά περιορίζεται από μια έλλειψη γνώσης των δασκάλων σχετικά με τον τρόπο εξοικείωσης των μαθητών με το συγκεκριμένο εργαλείο και τη χρήση του στη διδασκαλία (Κολέζα, 2009). Γενικά η αριθμογραμμή θεωρείται βασικό εργαλείο για την απόκτηση της αίσθησης του αριθμού (Κολέζα, 2009). Τι είναι όμως η άδεια αριθμογραμμή; «Είναι μία μη διαβαθμισμένη ευθεία που λειτουργεί ως υποστηρικτικό εργαλείο για την καταγραφή και την επεξεργασία των στρατηγικών που αναπτύσσουν οι μαθητές κατά τη διάρκεια του νοερού υπολογισμού. Ξεκινώντας με μια άδεια αριθμογραμμή, οι μαθητές σημειώνουν μόνο τους αριθμούς που χρειάζονται για τον

51 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 50 υπολογισμό τους» (Κολέζα, 2009, σελ. 257). Για παράδειγμα τα παραπλεύρως σχήματα δείχνουν δύο τρόπους να καταγραφούν στην άδεια αριθμογραμμή οι διάφορες στρατηγικές λύσης για τη (νοερή) πρόσθεση Ποια είναι τα οφέλη από τη χρήση της άδειας αριθμογραμμής; Σύμφωνα με τον Gravemeijer (1994) υπάρχουν τρεις λόγοι για να διαλέξει κάποιος την άδεια αριθμογραμμή σαν μοντέλο: (1) Ενισχύει μια γραμμική αναπαράσταση του αριθμού. Υλικά όπως το Dienes Blocks, δηλαδή τα κυβάκια που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να αντιληφθούν τη θεσιακή αξία με τα οποία συγκεκριμενοποιούν τη βάση του 10 του αριθμητικού μας συστήματος, είναι στατικά και αναπαριστούν κυρίως καταστάσεις που εξετάζουν τις ποσότητες. Υλικά, όμως, όπως η άδεια αριθμογραμμή που ενσωματώνουν τη μέτρηση ή την απόσταση ταιριάζουν καλύτερα σε μια γραμμική αναπαράσταση του αριθμού. Είναι εμφανές ότι μια αναπαράσταση με Dienes Blocks δεν ταιριάζει στην τελευταία περίπτωση. (2) Ο δεύτερος λόγος έχει να κάνει με τις άτυπες διαδικασίες επίλυσης. Συγκεκριμένα, απεικονίζει πιστότερα τις διαισθητικές νοερές στρατηγικές που χρησιμοποιούνται από τα μικρά παιδιά. (3) Ενθαρρύνει την ανάπτυξη περιπλοκότερων-πιο υψηλού επιπέδου στρατηγικών κι αυτό διότι, καθώς τα παιδιά καταγράφουν τις στρατηγικές σκέψης τους, η γραμμή λειτουργεί ως σκαλωσιά για τη μάθηση, επειδή παρουσιάζει ποια μέρη του υπολογισμού ολοκληρώθηκαν και ποια παραμένουν εκκρεμή. «Κατ αυτόν τον τρόπο, η σκέψη των μαθητών και τα ενδεχόμενα λάθη τους γίνονται εμφανή στους δασκάλους και στους άλλους μαθητές (ακόμα και στους ίδιους) και προκαλούν την επικοινωνία και την ανταλλαγή απόψεων» (Κολέζα, 2009, σελ. 260). Τέλος, η άδεια αριθμογραμμή αποτελεί σημαντικό εργαλείο στη διαδικασία της μαθηματικοποίησης προβλημάτων διότι, αρχικά λειτουργεί ως «μοντέλο της» συγκεκριμένης

52 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 51 κατάστασης που περιγράφεται στο πρόβλημα, για να καταλήξει σε ένα «μοντέλο για» την υποστήριξη του μαθηματικού συλλογισμού σχετικά με μια αριθμητική πράξη (Κολέζα, 2009). Οι Heirdsfield & Lamb (2005) πραγματοποίησαν μια έρευνα στην οποία, αφού εκπαίδευσαν κατάλληλα το δάσκαλο μιας τάξης, όσον αφορά στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών, και εξέτασαν τους μαθητές με ατομικές συνεντεύξεις για να διαπιστώσουν τις στρατηγικές νοερού υπολογισμού που χρησιμοποιούσαν, στη συνέχεια εφάρμοσαν διδασκαλία μισής ώρας την εβδομάδα επί οχτώ εβδομάδες. Μάλιστα, καθ όλη την παρέμβαση οι μαθητές ενθαρρύνονταν στη χρήση της στρατηγικής Ν10 βοηθούμενοι από διδακτικά εργαλεία του τύπου αριθμογραμμή, άδεια αριθμογραμμή, ξυλάκια (bundling sticks) κτλ. Από την έρευνα φάνηκε ότι η χρήση της αριθμογραμμής και της άδειας αριθμογραμμής στους υπολογισμούς και στις στρατηγικές ήταν πιο αποτελεσματική από τα ξυλάκια (bundling sticks). Συγκεκριμένα, η άδεια αριθμογραμμή όχι μόνο συμβάλλει στην εύρεση σωστών αποτελεσμάτων στους υπολογισμούς, αλλά επιτρέπει την άνετη επίδειξη των μεθόδων των παιδιών στην τάξη, σε ένα περιβάλλον που ενισχύει τη συζήτηση σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς και όπου η βαθμιαία ανάπτυξη τόσο των γνωστικών όσο και των μεταγνωστικών στρατηγικών επιτρέπει στους μαθητές να κατασκευάσουν τις δικές τους μεθόδους (Heirdsfield & Lamb, 2005). Επίσης, σε άρθρο των Blote et al. (2000) αναφέρεται ότι η άδεια αριθμογραμμή χρησιμοποιείται σαν νοερό μοντέλο-αναπαράσταση σε προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης αριθμών μέχρι το 100. Η άδεια αριθμογραμμή προάγει τις στρατηγικές που έχουν τη μορφή ακολουθίας (sequential procedures), όπως το να ανεβαίνεις κατά 10 κρατώντας σταθερό τον πρώτο όρο (και όπως οι στρατηγικές Ν10, Ν10C: και όχι η 1010), και συμβάλλει στην ανάπτυξη αριθμητικών μηχανισμών υψηλότερου νοερού παρά διαδικαστικού επιπέδου. Οι σχέσεις μεταξύ αριθμών και στρατηγικών βασίζονται στην οπτική αναπαράσταση η οποία πρέπει να διευκολύνει την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα των μαθητών που χρησιμοποιούν την αριθμογραμμή είναι ότι γνωρίζουν όχι μόνο τις

53 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 52 απαντήσεις τους σε ένα πρόβλημα, αλλά και τις νοερές στρατηγικές τους. Συνεπώς, η άδεια αριθμογραμμή είναι συνυφασμένη με τη στρατηγική Ν10, καθώς αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί στην αριθμογραμμή με «άλματα» και να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που πραγματοποιούν στην εκτέλεση της πράξης νοερά (Threlfall, 2002). Υπάρχουν ωστόσο δύο διαφορετικοί τρόποι διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών με τη χρήση της άδειας αριθμογραμμής (McIntosh et al., 1995 Murphy, 2011). Στον πρώτο τρόπο, οι μαθητές καλούνται να δείξουν πώς αυτοί μπορούν να επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης διψήφιων αριθμών πάνω στην άδεια αριθμογραμμή. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος τους παροτρύνει να αναγνωρίσουν τα χαρακτηριστικά των διαφόρων στρατηγικών που χρησιμοποίησαν, όπως επίσης και τα πλεονεκτήματα των πιο σύντομων στρατηγικών. Έτσι, μέσα από την καθοδήγηση του δασκάλου επιλέγεται η κατάλληλη στρατηγική από τους μαθητές και συνιστάται η χρήση της. Στο δεύτερο τρόπο, ο δάσκαλος είναι αυτός που δείχνει στους μαθητές πώς να χρησιμοποιούν την άδεια αριθμογραμμή για να επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης διψήφιων αριθμών και κατόπιν τους παρακινεί να αναγνωρίσουν πιο σύντομα βήματα. Ναι μεν υπάρχει δυνατότητα λήψης αποφάσεων εκ μέρους των μαθητών, αλλά αυτές αφορούν τη στρατηγική που έχει ήδη επιδειχθεί από το δάσκαλο. Η διαφορά είναι ότι στο πρώτο μοντέλο δίνεται η δυνατότητα, μέσα από την καθοδήγηση και την αλληλεπίδραση, οι μαθητές να ανακαλύψουν εκ νέου τα μαθηματικά (εποικοδομισμός) και όχι να τα ενστερνιστούν μέσα από έναν έτοιμο-καθορισμένο τρόπο που βασίζεται στην επίδειξη του δασκάλου (McIntosh et al., 1995 Murphy, 2011). Λάθη κατά τους νοερούς υπολογισμούς Αρκετοί μαθητές του δημοτικού, κυρίως αυτοί που αντιμετωπίζουν μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, χρησιμοποιώντας κάποια στρατηγική οδηγούνται συχνά σε λανθασμένα αποτελέσματα. Τα λάθη αυτά μπορεί να διακριθούν σε δύο κατηγορίες, λάθη εννοιολογικής

54 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 53 φύσης και λάθη διαδικαστικά (Καραντζής κ. συν, 2010 McIntosh, 2004). Ένα εννοιολογικό λάθος μπορεί να γίνει όταν ο μαθητής δεν έχει επαρκώς καταλάβει τη φύση των αριθμών ή τη διαδικασία της αριθμητικής πράξης (π.χ. 0,1 0,1=0,1 και 3 1/2=1½). Αντίθετα, ένα διαδικαστικό λάθος μπορεί να γίνει όταν ο μαθητής, ενώ έχει μια γενική συνολική κατανόηση της διαδικασίας της στρατηγικής που θα χρησιμοποιήσει, εντούτοις κάνει είτε ένα λάθος απροσεξίας είτε κάποιο άλλο λάθος κατά την εκτέλεση της στρατηγικής που έχει επιλέξει (π.χ =82 και 3 5=18) (Καραντζής κ. συν, 2010 McIntosh, 2004). Απ την άλλη, οι Raghubar et. al (2009) σε άρθρο τους διακρίνουν τα λάθη που πραγματοποιούν οι μαθητές όταν εκτελούν υπολογισμούς με διψήφιους ή πολυψήφιους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες. Η πρώτη είναι τα λάθη που γίνονται συνέχεια (consistently) ή αλλιώς τα λάθη-κοριού (bugs) όπως ονομάζονται και αντικατοπτρίζουν έλλειψη εννοιολογικής γνώσης. Η δεύτερη κατηγορία είναι αυτά που γίνονται περιστασιακά ή αλλιώς τα λάθηγλιστρήματα (slips) και υποδηλώνουν έλλειψη εμπέδωσης των διαδικασιών. Και τις δύο κατηγορίες τις αποκαλούν διαδικαστικά λάθη (procedural errors). Τέλος, υπάρχουν και τα fact errors, δηλαδή τα λάθη-δεδομένων που οφείλονται σε ατελή ή ελαττωματικό υπολογισμό και υποδηλώνουν δυσκολία στην ανάκληση των αριθμητικών δεδομένων απ την μακρόχρονη μνήμη. Βέβαια υπάρχει και μια τελευταία κατηγορία λαθών η οποία δεν έχει μελετηθεί συστηματικά και αφορά στα λάθη λανθασμένης ευθυγράμμισης (misalignment) και λανθασμένης ανάγνωσης ή γραφής τα οποία έχουν αποκαλεσθεί από ορισμένους ως οπτικοχωρικά λάθη (visual-spatial errors) (Raghubar et. al, 2009). Έρευνες σε μαθητές κανονικής επίδοσης έχουν δείξει ότι με την πάροδο του χρόνου, καθώς οι μαθητές ωριμάζουν ηλικιακά και αποκτούν εμπειρία, αποκτούν όλο και περισσότερο υψηλού επιπέδου εννοιολογική και διαδικαστική γνώση η οποία διευκολύνει την επίδοσή τους στους υπολογισμούς ενώ ταυτόχρονα μειώνεται η συχνότητα διαδικαστικών λαθών (van Lehn, 1982). Παρόμοια ήταν τα αποτελέσματα της έρευνας των Raghubar et. al, (2009) σε παιδιά της Δ τάξης (με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά) τα οποία διαπιστώθηκε ότι έκαναν

55 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 54 λιγότερα διαδικαστικά λάθη σε σχέση με τους μαθητές της Γ τάξης ενώ ταυτόχρονα εκδήλωσαν ανώτερη κατάκτηση και εφαρμογή της διαδικαστικής γνώσης και μεγαλύτερη εμπέδωση αυτής της γνώσης σε σχέση με τους μαθητές της Γ. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι, ακόμα και οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, ναι μεν μπορούν να βελτιώσουν-καλύψουν τα διαδικαστικά ελλείμματα (procedural deficits) που παρουσιάζουν στους υπολογισμούς, έτσι το έλλειμμα φαίνεται να αντιπροσωπεύει περισσότερο μια αναπτυξιακή καθυστέρηση (developmental delay), ωστόσο δε συμβαίνει το ίδιο και με τα γνωστικά ελλείμματα (cognitive deficits) που παρουσιάζουν, τα οποία εντοπίζονται κυρίως στην άμεση ανάκληση των αριθμητικών δεδομένων (Geary, 1993). Σε αντίστοιχα συμπεράσματα κατέληξαν και οι Geary et al. (1992, 2004) σε έρευνά τους όπου αναφέρουν ότι τα παιδιά με ΜΜΔ μπορούν να βελτιωθούν στη γνώση και εφαρμογή των διαδικασιών υπολογισμού με την πάροδο του χρόνου, τείνοντας να εξισωθούν με τους μαθητές κανονικής επίδοσης, αλλά όχι όμως και στις διαδικασίες που σχετίζονται με την άμεση ανάκληση απλών-βασικών αριθμητικών δεδομένων και την ευχέρεια, γεγονός το οποίο υποδηλώνει ένα διαφορετικής φύσης και πιο βασικό έλλειμμα. Έτσι, ακόμη και στις απλές νοερές προσθέσεις (π.χ. 3+9) πετυχαίνουν πολύ λιγότερες σωστές απαντήσεις σε σχέση με τους ΚΕ συνομηλίκους τους, τόσο στην Γ όσο και στη Δ τάξη (Geary et al., 2004). Απ την άλλη, στις σύνθετες νοερές προσθέσεις (π.χ.17+34), στη Δ τάξη, ενώ χρησιμοποιούν παρόμοιες στρατηγικές με αυτές των ΚΕ συμμαθητών τους, ωστόσο πραγματοποιούν πολύ περισσότερα λάθη και διαδικαστικά και μνημονικά (Geary et al., 2004). Επιπρόσθετα, στην έρευνά τους οι Raghubar et. al, (2009) αναφέρουν ότι από τα αποτελέσματα της έρευνάς τους δεν προκύπτουν στοιχεία που να δείχνουν ότι τα λάθη που έκαναν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες μόνο στα μαθηματικά, όχι ταυτόχρονα και στην ανάγνωση, αντανακλούν κάποιου είδους δυσκολία στην οπτική επεξεργασία. Αυτό το εύρημα, σε συνδυασμό με άλλα, φανερώνει πως πιθανότατα στους υπολογισμούς παίζουν λιγότερο

56 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 55 σημαντικό ρόλο οι οπτικοχωρικές δεξιότητες, πράγμα το οποίο δε σημαίνει ότι ισχύει και για τους άλλους τομείς των μαθηματικών. Η θέση των νοερών υπολογισμών στα αναλυτικά προγράμματα Η διεθνής εμπειρία Σε πολλές χώρες έγινε σημαντική προσπάθεια να δοθεί έμφαση, μέσα από τα προγράμματα σπουδών, στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Συγκεκριμένα, το 1999 στην Αγγλία εισήχθηκε στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση το πρόγραμμα National Numeracy Strategy, γνωστό ως DfEE (1999), με το οποίο οι νοεροί υπολογισμοί κατέχουν σημαντική θέση στο πρόγραμμα και προτείνεται η άμεση διδασκαλία των στρατηγικών τους στο πλαίσιο ολόκληρης της τάξης. Παρά το γεγονός ότι ορισμένοι μαθητές είναι ικανοί από μόνοι τους να αναπτύξουν στρατηγικές υψηλού επιπέδου κατά το νοερό υπολογισμό (Thompson, 2000b), ωστόσο κατά γενική συναίνεση υποστηρίζεται πως οι μαθητές χρειάζεται να διδαχθούν μια ποικιλία νοερών στρατηγικών (DfEE, 1999) και υπάρχουν στοιχεία πως αυτές μπορούν να διδαχθούν. Στις Ηνωμένες Πολιτείες το NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) αναφέρει ότι πρέπει να δίνεται περισσότερη έμφαση στους νοερούς αριθμητικούς υπολογισμούς, στην επικουρική χρήση των αριθμομηχανών και στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, παρά στους παραδοσιακούς αλγορίθμους. Έτσι λοιπόν, σύμφωνα με το NCTM (2000) η διδασκαλία των μαθηματικών παύει να δίνει τόση έμφαση στη μάθηση διαδικασιών και αριθμητικών δεδομένων, αλλά πλέον δίνει έμφαση στην εννοιολογική κατανόηση. Τέλος, στην Ολλανδία δίνεται έμφαση στη νοερή αριθμητική στις μικρές τάξεις, ενώ οι παραδοσιακοί αλγόριθμοι δεν παρουσιάζονται στο σχολείο μέχρι την τρίτη τάξη (Λυγούρας, 2006).

57 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 56 Η ελληνική εμπειρία Στην Ελλάδα η χρήση των νοερών υπολογισμών και η αναγνώριση της αξίας τους για την προαγωγή της μαθηματικής σκέψης των παιδιών απουσίαζε εντελώς από τα διδακτικά προγράμματα των μαθηματικών που στηρίζονταν στα αναλυτικά προγράμματα του Καθώς τις τελευταίες δεκαετίες γινόταν διεθνώς συζήτηση για αναμόρφωση των αναλυτικών προγραμμάτων έτσι και στη χώρα μας το Υπουργείο Παιδείας έδωσε εντολή στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο να συντάξει Νέα Αναλυτικά Προγράμματα βασιζόμενο στις σύγχρονες ανάγκες της Εκπαίδευσης. Όσον αφορά στη διδασκαλία των Μαθηματικών έπρεπε να συμπεριλάβει και τους νοερούς υπολογισμούς, κυρίως στις μικρές τάξεις, καθώς από τις επιστημονικές έρευνες σε όλο τον κόσμο αναγνωρίζονταν πλέον η μεγάλη τους αξία στην προαγωγή της μαθηματικής σκέψης των παιδιών (Λυγούρας, 2006). Μάλιστα, στην Ελλάδα είχε προηγηθεί μία μεγάλη έρευνα ( ) σχετικά με τις στρατηγικές υπολογισμού των μικρών μαθητών (τυπικών και άτυπων) από τον Λεμονίδη, η οποία είχε αναδείξει τόσο τις στρατηγικές των μαθητών όσο και τη βελτίωση των παιδιών στα μαθηματικά, όταν αυτά καλούνταν να αξιοποιήσουν τις υπολογιστικές τους δυνατότητες ανεξάρτητα από τη διδασκαλία των γραπτών αλγόριθμων. Η έρευνα έδειξε πως η διδασκαλία των μαθηματικών (Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής), είχε σαν αποτέλεσμα οι μαθητές να αναπτύξουν σε μεγαλύτερο βαθμό τις υπολογιστικές τους ικανότητες, καθώς με την αυθόρμητη και απρόσκοπτη χρήση των προσωπικών τους στρατηγικών αποκτούν μεγαλύτερη αυτοπεποίθηση και αναπτύσσουν θετική στάση για τα μαθηματικά. Αυτό διαπιστώθηκε και από τη σύγκριση των δυνατοτήτων των μαθητών του συγκεκριμένου σχολείου με μαθητές άλλων σχολείων που διδάσκονταν με τον παραδοσιακό τρόπο τα μαθηματικά» (Λυγούρας, 2006 Λεμονίδης, 2003). Πέρα όμως από την έμφαση που δίνεται στους νοερούς υπολογισμούς στα νέα αναλυτικά προγράμματα και βιβλία (ΥΠΕΠΘ & ΠΙ, 2002), ταυτόχρονα παρατηρείται ότι, ενώ στα παλιά βιβλία οι γραπτές πράξεις διδάσκονταν πολύ γρήγορα χωρίς οι μαθητές να εκφράσουν τις άτυπες

58 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 57 στρατηγικές υπολογισμού και χωρίς να κατανοήσουν πλήρως τη σημασία της πράξης αυτής, τώρα στα νέα βιβλία, στη διδασκαλία των τυπικών γραπτών πράξεων (των αλγόριθμων) ακολουθείται μια διδασκαλία με διαφορετική λογική. Συγκεκριμένα, αρχικά, χωρίς να διδαχτεί καμία πράξη προτείνονται στους μαθητές προβλήματα για να εκφράσουν τους άτυπους και τους προσωπικούς τους τρόπους υπολογισμού. Εξασκούνται επίσης στους νοερούς υπολογισμούς στην πράξη αυτή και στο τέλος παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι σαν μια φυσιολογική κατάληξη (Λεμονίδης, 2006 Karantzis, ). Ταυτόχρονα, ο δάσκαλος οφείλει να βοηθήσει τους μαθητές του να αναπτύξουν δεξιότητες οι οποίες συμβάλλουν στην υιοθέτηση των κατάλληλων στρατηγικών για το νοερό υπολογισμό των απλών αριθμητικών πράξεων (Καραντζής, 2007). Φτάνοντας στο τέλος της θεωρητικής προσέγγισης του θέματος συμπεραίνεται πως οι μαθητές με ΜΜΔ παρουσιάζουν ειδικά ελλείμματα στην απαρίθμηση, στην αίσθηση του αριθμού, στην αριθμητική, στην χωρητικότητα και επεξεργασία της εργαζόμενης μνήμης, αλλά και στην ανάκληση αριθμητικών δεδομένων. Ως εκ τούτου, οι μαθητές με ΜΜΔ κατά τους απλούς νοερούς υπολογισμούς φαίνεται να χρησιμοποιούν συχνά τα δάχτυλά τους, εφαρμόζουν αναπτυξιακά ανώριμες στρατηγικές σε σχέση με τους ΚΕ συνομηλίκους τους (χρησιμοποιώντας κυρίως τις στρατηγικές της απαρίθμησης ή επαρίθμησης και όχι τόσο αυτή της άμεσης ανάκλησης αριθμητικών δεδομένων από τη μνήμη), υποπίπτουν σε περισσότερα λάθη και ιδιαίτερα στις πράξεις με κρατούμενο, ενώ ταυτόχρονα είναι πιο αργοί στους υπολογισμούς τους σε σχέση με τους ΚΕ μαθητές. Οι έρευνες που έχουν γίνει σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς σε μαθητές με ΜΜΔ, αφορούν αποκλειστικά την απλή νοερή αριθμητική, δηλαδή νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 20, ενώ αντιθέτως υπάρχουν αρκετές έρευνες που έχουν μελετήσει τους διψήφιους νοερούς υπολογισμούς, δηλαδή από το 20 έως το 100, με τη μόνη διαφορά ότι αυτές αφορούν ΚΕ μαθητές και όχι με ΜΜΔ. Φαίνεται λοιπόν ελλιπής η διεθνής βιβλιογραφία όσον αφορά στους διψήφιους νοερούς υπολογισμούς σε μαθητές με ΜΜΔ, επομένως χρειάζεται περαιτέρω έρευνα.

59 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 58 Σκοπός της μελέτης Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να διερευνήσει σε βάθος την επίδοση των μαθητών, τόσο αυτών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά όσο και αυτών κανονικής επίδοσης, στους διψήφιους νοερούς υπολογισμούς. Με άλλα λόγια, να διαπιστωθεί κατά πόσον οι μαθητές της Δ τάξης, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, είναι ικανοί να υπολογίζουν σωστά νοερά διψήφιες προσθέσεις και αφαιρέσεις (με και χωρίς κρατούμενο), ποιες στρατηγικές χρησιμοποιούν κατά τη νοερή εκτέλεσή τους, τι λάθη κάνουν και κατά πόσον εντοπίζονται διαφορές στην επίδοση, τις στρατηγικές και τα λάθη μεταξύ των δύο αυτών ομάδων (χωρίς και με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά). Αφόρμηση της παρούσας έρευνας αποτέλεσαν οι έρευνες των Καραντζής & Τόλλου (2009) και Karantzis ( ) οι οποίες όμως να επισημάνουμε ότι αφορούσαν μόνο μαθητές κανονικής επίδοσης της Γ και Δ τάξης του δημοτικού σχολείου. Έτσι, λοιπόν, οι νοερές διψήφιες προσθέσεις και αφαιρέσεις που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα έρευνα κατά την εξέταση των μαθητών ήταν αυτές που είχαν χρησιμοποιηθεί και στο παρελθόν από τους παραπάνω ερευνητές. Επιπλέον, στην παρούσα μελέτη επιχειρήθηκε μια πρώτη διάγνωση μαθησιακών δυσκολιών στα μαθηματικά, όχι καθ όλα σταθμισμένη, δεδομένου ότι δυστυχώς εργαλεία ειδικά σχεδιασμένα για τη διάγνωση των μαθησιακών δυσκολιών στα μαθηματικά δεν υπάρχουν. Έτσι, χρησιμοποιήθηκε η κλίμακα 6 Μαθηματικά του εργαλείου Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007), το οποίο αποτέλεσε αφόρμηση για τη δημιουργία μιας άτυπης δοκιμασίας αξιολόγησης της ικανότητας των μαθητών στα μαθηματικά. Συνοψίζοντας, σκοπός της παρούσας ερευνητικής μελέτης είναι να απαντηθούν τα εξής ερευνητικά ερωτήματα: 1. Υπάρχει διαφορά στην επίδοση στους νοερούς υπολογισμούς μεταξύ των μαθητών με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά;

60 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά Υπάρχει διαφορά στα είδη των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά; 3. Υπάρχει διαφορά στα λάθη που κάνουν οι μαθητές με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά όταν υπολογίζουν νοερά; 4. Υπάρχει διαφορά στην επίδοση στους νοερούς υπολογισμούς για κάθε ομάδα χωριστά ανάλογα με τη δυσκολία της πράξης που καλούνται να λύσουν οι μαθητές (χωρίς κρατούμενα με κρατούμενα ή διαφορετικά χωρίς δανεικό με δανεικό), αλλά και το είδος της πράξης (πρόσθεση, αφαίρεση); 5. Υπάρχει διαφορά στην κατηγορία των στρατηγικών (χαμηλού-υψηλού επιπέδου) που επιλέγουν οι μαθητές κάθε ομάδας χωριστά ανάλογα με το είδος της πράξης (πρόσθεση, αφαίρεση) και τη δυσκολία της (χωρίς κρατούμενο, με κρατούμενο);

61 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 60 Μέθοδος Συμμετέχοντες Στην έρευνα συμμετείχαν συνολικά 85 μαθητές (41 αγόρια και 44 κορίτσια) που φοιτούσαν στη Δ τάξη του δημοτικού σχολείου. Από το σύνολο των μαθητών οι 40 διαγνώστηκαν με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, ενώ οι υπόλοιποι 45 μαθητές παρουσίαζαν κανονική επίδοση στα μαθηματικά. Αναλυτικότερα, η κατανομή των μαθητών ανά φύλο και επίπεδο ικανότητας είχε ως εξής: 40 μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (21 αγόρια και 19 κορίτσια) και 45 μαθητές χωρίς προβλήματα στα μαθηματικά (κανονικής επίδοσης, 20 αγόρια και 25 κορίτσια). Έτσι συγκροτήθηκαν δύο (2) ομάδες εξισωμένες ως προς τον παράγοντα της χρονολογικής ηλικίας, αλλά και διαφοροποιημένες ως προς τον παράγοντα της ικανότητας στα μαθηματικά, όπως αυτή διαπιστώθηκε από την κλίμακα 6. Μαθηματικά του σταθμισμένου εργαλείου (ΑΜΔΕ) Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007), αλλά και από το άτυπο τεστ αξιολόγησης της ικανότητας των μαθητών στα μαθηματικά. Περισσότερες πληροφορίες για τη διαφοροποίηση των δύο ομάδων θα δοθούν στην ενότητα της διαδικασίας. Υλικά Υλικά για την επιλογή του δείγματος Για τις ανάγκες της παρούσας έρευνας δημιουργήθηκε μια δοκιμασία αξιολόγησης της ικανότητας των μαθητών στα μαθηματικά η οποία δόθηκε στους συμμετέχοντες κατά τη διαδικασία επιλογής του δείγματος. Η δοκιμασία αυτή δεν ήταν σταθμισμένη, ωστόσο βασίστηκε στην κλίμακα 6. Μαθηματικά του σταθμισμένου εργαλείου Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007) στο οποίο αναφέρονται τα κυρίαρχα προβλήματα που εμφανίζουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και συγκεκριμένα στην έννοια του αριθμού, τις αριθμητικές πράξεις,

62 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 61 την κατανόηση βασικών αριθμητικών δεδομένων και την επίλυση προβλημάτων. Αντίγραφα όλων των δοκιμασιών της έρευνας υπάρχουν στο Παράρτημα της παρούσας εργασίας. Με βάση λοιπόν αυτό το εργαλείο κατασκευάστηκε η άτυπη δοκιμασία αξιολόγησης η οποία περιλάμβανε 12 ασκήσεις όπου εξετάζονταν και οι τέσσερις αριθμητικές πράξεις με αριθμούς έως και τις , η έννοια του αριθμού, η κατανόηση βασικών αριθμητικών δεδομένων, η ώρα και η επίλυση προβλημάτων. Συγκεκριμένα, η δοκιμασία περιλάμβανε τέσσερα προβλήματα εκ των οποίων τα τρία ήταν απλά προβλήματα μίας πράξης (ένα με διαίρεση, ένα με πολλαπλασιασμό και ένα με αφαίρεση) και το τέταρτο ήταν σύνθετο πρόβλημα δύο πράξεων (πρόσθεση και αφαίρεση). Επιπλέον, η δοκιμασία περιλάμβανε πέντε ασκήσεις που αφορούσαν στην έννοια του αριθμού, ώστε να διαπιστωθεί κατά πόσον οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίζουν, να χειρίζονται και να συγκρίνουν πολυψήφιους αριθμούς, αλλά και να αντιλαμβάνονται τη θεσιακή αξία και να μπορούν να τοποθετούν αυτούς τους αριθμούς πάνω σε αριθμογραμμή. Ακόμη, στη δοκιμασία υπήρχε μία άσκηση με την ώρα, καθώς, ως γνωστόν, η ώρα αποτελεί κομμάτι των μαθηματικών και πολλοί μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες παρουσιάζουν έντονη δυσκολία στην εκμάθησή της (Παντελιάδου & Μπότσας, 2007). Τέλος, η δοκιμασία περιλάμβανε δύο ασκήσεις με τις αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση), όπου στη μία οι πράξεις δίνονταν σε οριζόντια μορφή και ζητούσε από τους μαθητές να τις εκτελέσουν κάθετα, ενώ στην άλλη οι πράξεις δίνονταν κάθετα. Γενικά οι ασκήσεις αντιστοιχούσαν κατά κύριο λόγο στη διδακτέα ύλη της Γ τάξης του δημοτικού σχολείου και κάποιες σε αυτή που διδάσκεται στο α τρίμηνο της Δ τάξης κι αυτό διότι στόχος δεν ήταν να εξεταστούν οι μαθητές σε έννοιες πρόσφατες και πιθανόν δύσκολες που ίσως να μην έχουν εμπεδωθεί ακόμη. Στόχος ήταν να διαπιστωθεί κατά πόσον οι μαθητές έχουν εμπεδώσει και κατανοήσει «βασικές ιδέες» των μαθηματικών (όπως διαφαίνεται και από την κλίμακα 6. του ΑΜΔΕ) και να καταστεί πιο εύκολος ο διαχωρισμός μεταξύ μαθητών που όντως παρουσιάζουν μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά από αυτούς που μπορεί απλά να είναι κάπως αδύναμοι ή να παρουσιάζουν κάποιο μαθησιακό κενό. Εξάλλου, η διαφορά στην

63 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 62 ύλη των δύο τάξεων στο α τρίμηνο δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη, καθώς οι μαθητές απλά μαθαίνουν να διαχειρίζονται μεγαλύτερους αριθμούς και επίσης εισάγεται ολοκληρωμένα η κάθετη διαίρεση η οποία και εξετάστηκε. Η δοκιμασία αυτή αρχικά δόθηκε σε λίγους μαθητές (8 μαθητές, πιλοτική έρευνα) λίγο πριν ξεκινήσει η κυρίως έρευνα, στις αρχές του Φλεβάρη, οι οποίοι φυσικά δε συμμετείχαν στην κανονική έρευνα, προκειμένου, κυρίως να εξετάσουμε το βαθμό δυσκολίας της δοκιμασίας. Η δοκιμασία βαθμολογούνταν στις 36 μονάδες. Προέκυψε από τον αριθμό των ασκήσεων της δοκιμασίας, που ήταν 12, πολλαπλασιασμένο με το 3, 3x12=36. Σε κάθε άσκηση λοιπόν αντιστοιχούσαν 3 μονάδες. Ο αριθμός των μονάδων ανά άσκηση προέκυψε από τα προβλήματα όπου, η 1 μονάδα αφορούσε στην επιλογή της κατάλληλης πράξης για την επίλυση του προβλήματος, άλλη 1 μονάδα στη σωστή εκτέλεση της πράξης (εφόσον είχε επιλεχθεί η κατάλληλη) και τέλος άλλη 1 μονάδα στη συμπλήρωση της απάντησης. Όσον αφορά στην άσκηση 8 που αφορά στην τοποθέτηση των αριθμών πάνω στην αριθμογραμμή, στόχος δεν ήταν μόνο η τοποθέτηση από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, αλλά και η κατά προσέγγιση τήρηση της απόστασης μεταξύ των αριθμών ανάλογα με την αξία τους. Οι βαθμολογίες των μαθητών της ομάδας κανονικής επίδοσης ΚΕ κυμαίνονταν από 20,5 έως 35,5 μονάδες, δηλαδή, από 56,94% έως και 98,61%, μετατρέποντας τις βαθμολογίες στα %. Αντίθετα, οι βαθμολογίες της ΜΜΔ ομάδας (ομάδα με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά) κυμαίνονταν από 1 έως και 26 μονάδες, δηλαδή 2,77% έως και 72,22%. Ο λόγος που έγιναν δεκτές βαθμολογίες των ΜΜΔ μαθητών άνω των 50% είναι διότι, οι έρευνες έχουν δείξει ότι ύστερα από παρέμβαση, οι μαθητές αυτοί μπορούν να βελτιώσουν τις επιδόσεις τους στους παραπάνω τομείς, χωρίς όμως να σημαίνει ότι θα εξαλειφθούν οι δυσκολίες τους. Συγκεκριμένα, έρευνες έχουν δείξει ότι οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες μπορούν να βελτιώσουν γενικά τις ικανότητές τους, που έχουν σχέση με τη μελέτη (study skills), καθώς και να επωφεληθούν από ειδικές τεχνικές για τα ξεχωριστά ατομικά τους προβλήματα (Shalev, 2004). Έτσι, μαθητές με δυσαριθμησία μπορούν να μάθουν αριθμητική όταν αυτή παρέχεται με

64 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 63 αριθμητικές έννοιες και στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων (π.χ. για να βρει κάποιος πόσο κάνει 7x6, μπορεί να σκεφτεί πρώτα πόσο κάνει 5x6, μετά 2x6 και να προσθέσει τα αποτελέσματα). Το ίδιο υποστηρίζει στο άρθρο του ο Dowker, (2005), όπου αναφέρει τα αποτελέσματα της εφαρμογής δύο υποστηρικτικών-παρεμβατικών προγραμμάτων (Mathematics Recovery Program και Numeracy Recovery Program) σε μαθητές ηλικίας 6-7 ετών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτόν η βελτίωση των μαθητών αυτών μετά την παρέμβαση ήταν πολύ σημαντική. Από την άλλη πλευρά βέβαια, δεν πρέπει να ξεχνάμε πως οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά ναι μεν μπορεί να κάνουν άλματα ώστε να παρουσιάζουν άνεση με τους αλγόριθμους και τις διαδικασίες, όταν παρέχεται καθοδήγηση μέσα στην τάξη, εν τούτοις τα ελλείμματα στην ανάκληση αριθμητικών συνδυασμών παραμένουν (Gersten et al., 2005 Geary, 2004). Όσον αφορά στο σταθμισμένο εργαλείο Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών, δόθηκε στους δασκάλους η κλίμακα 6. Μαθηματικά, του παρόντος εργαλείου, μόνο για τους μαθητές που οι δάσκαλοι θεωρούσαν ή ήξεραν από επίσημη διάγνωση του ΚΕΔΔΥ ότι παρουσιάζουν έντονες δυσκολίες στα μαθηματικά, προκειμένου να επιβεβαιωθεί η υποψία για μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Σκοπός αυτού του σταθμισμένου εργαλείου είναι η έγκαιρη και έγκυρη ανίχνευση των πιθανών μαθησιακών δυσκολιών των μαθητών μέσα στη σχολική τάξη, πριν από την παραπομπή σε διαγνωστικές υπηρεσίες (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007). Η κλίμακα των μαθηματικών περιλαμβάνει σε 20 προτάσεις τα κυρίαρχα προβλήματα που εμφανίζουν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Πιο συγκεκριμένα, οι προτάσεις αυτές αναφέρονται στις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές με την έννοια του αριθμού, τις αριθμητικές πράξεις, την κατανόηση βασικών αριθμητικών δεδομένων και την επίλυση προβλημάτων. Οι εκπαιδευτικοί απαντούν σε αυτές τις προτάσεις-ερωτήσεις τύπου Likert 9 σημείων (όπου 1= η συμπεριφορά εκδηλώνεται πάντα ή σχεδόν πάντα και 9= η συμπεριφορά δεν εκδηλώνεται ποτέ ή σχεδόν ποτέ). Ανάλογα με την ένταση και την ποιότητα των δυσκολιών γίνεται η ανίχνευση των προβλημάτων στα

65 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 64 μαθηματικά (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007). Βάσει λοιπόν αυτής της κλίμακας 6. Μαθηματικά του σταθμισμένου εργαλείου Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς οι μαθητές της παρούσας έρευνας που διαγνώστηκαν με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά είχαν τον χαρακτηρισμό «Πολύ Πιθανό» για μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, χαρακτηρισμός που αντιστοιχεί στις πιο χαμηλές βαθμολογίες της κλίμακας. Υλικά κυρίως εξέτασης Αφού συγκροτήθηκαν οι δύο ομάδες, πραγματοποιήθηκε η κυρίως εξέταση του δείγματος με το εξής κριτήριο. Το κριτήριο εξέτασης περιλάμβανε 16 πράξεις εκ των οποίων οι 8 ήταν προσθέσεις και οι υπόλοιπες 8 αφαιρέσεις. Επιπλέον, από τις 8 προσθέσεις οι μισές (4) ήταν πράξεις χωρίς κρατούμενο και οι άλλες μισές (4) με κρατούμενο. Το ίδιο ίσχυε και για τις αφαιρέσεις. Να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι δεν δίνονταν πρώτα οι πράξεις χωρίς κρατούμενο και στη συνέχεια με κρατούμενο, αλλά πρώτα δίνονταν δύο πράξεις χωρίς κρατούμενο, μετά δύο με κρατούμενο και στη συνέχεια εναλλάξ. Συγκεκριμένα, οι πράξεις που δόθηκαν ήταν οι εξής: Προσθέσεις Αφαιρέσεις Το κριτήριο αυτό αρχικά δόθηκε σε λίγους μαθητές (πιλοτική έρευνα), οι οποίοι φυσικά δε συμμετείχαν στην κανονική έρευνα, προκειμένου, κυρίως να εξετάσουμε το βαθμό δυσκολίας του κριτηρίου και το χρόνο, περίπου, που απαιτείται για την εκτέλεσή του. Από την πιλοτική

66 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 65 έρευνα φάνηκε πως κάθε μαθητής χρειαζόταν περίπου 20 λεπτά της ώρας για να το ολοκληρώσει (ανάλογα με τις δυνατότητές του) και ταυτόχρονα η έκταση του κριτηρίου ήταν τέτοια που δεν έδειχναν να κουράζονται πάρα πολύ ή να δυσανασχετούν ιδιαίτερα. Συνυπολογίζοντας τους παραπάνω παράγοντες, τελικά, παραμείναμε στον αρχικό αριθμό πράξεων (16), δεδομένου ότι τον ίδιο ακριβώς αριθμό πράξεων, αλλά και τις ίδιες ακριβώς πράξεις είχαν επιλέξει στην έρευνά τους και οι Καραντζής & Τόλλου (2009), Καραντζής, Δεσποτοπούλου & Σμάνη (2010), Karantzis ( ). Στόχος ήταν να μην κουραστούν οι μαθητές, γεγονός που θα αποτελούσε εμπόδιο στη διεξαγωγή της έρευνας και θα επηρέαζε τα αποτελέσματά της. Σε άλλες έρευνες όπως των Macintyre & Forester (2003), εκεί το κριτήριο εξέτασης περιλάμβανε 12 πράξεις (6 προσθέσεις και 6 αφαιρέσεις, από τις οποίες οι 4 ήταν διψήφιες και οι 2 τριψήφιες), ενώ στην έρευνα των Wolters et al. (1990) το κριτήριο περιλάμβανε 24 διψήφιες πράξεις (12 προσθέσεις και 12 αφαιρέσεις) με και χωρίς κρατούμενα. Οι καρτέλες που χορηγούνταν στα παιδιά της παρούσας έρευνας περιείχαν τις πράξεις (προσθέσεις και αφαιρέσεις) σε οριζόντια μορφή, διότι όπως υποστηρίζει και ο Van de Walle (2005, σελ. 244) «οι οριζόντιες διατάξεις ενθαρρύνουν τα παιδιά να σκέφτονται με αριθμούς και όχι με ψηφία. Με την οριζόντια διάταξη είναι εξάλλου μικρότερες οι πιθανότητες να ενθαρρυνθεί η χρήση των παραδοσιακών αλγορίθμων». Επίσης, την ίδια οριζόντια μορφή είχαν και οι καρτέλες στην έρευνα των Thompson & Smith (1999), αλλά και στην έρευνα των Καραντζής & Τόλλου (2009), Καραντζής κ. συν (2010), Karantzis ( ), όπου και εκεί χορηγούνταν ξεχωριστά οι προσθέσεις από τις αφαιρέσεις με τις προσθέσεις να προηγούνται. Μάλιστα, μελετώντας κάποιος τα βιβλία των Μαθηματικών του δημοτικού σχολείου, από την Α μέχρι και τη Δ τάξη, θα διαπιστώσει πως οι ασκήσεις οι οποίες έχουν σαν στόχο οι μαθητές να εξασκηθούν στους νοερούς υπολογισμούς παρουσιάζουν τις πράξεις σε οριζόντια μορφή (Βαμβακούση κ. συν, 2007 Καργιωτάκης κ. συν, 2007 Λεμονίδης κ. συν, 2007β Λεμονίδης κ. συν, 2007γ).

67 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 66 Στην παρούσα τώρα έρευνα, οι συγκεκριμένες καρτέλες είχαν ορθογώνιο σχήμα και σε καθεμιά ήταν γραμμένη και από μία πράξη με μεγάλους αριθμούς διαφόρων χρωμάτων, έτσι ώστε η εξέταση να είναι πιο ευχάριστη και να μην προκαλεί άγχος στα παιδιά. Αντίγραφα όλων των δοκιμασιών της έρευνας υπάρχουν στο Παράρτημα της παρούσας εργασίας. Διαδικασία Η επιλογή του δείγματος της έρευνας έγινε από δεκατρία (13) Δημοτικά Σχολεία της Αχαΐας. Η έρευνα διήρκεσε συνολικά από τα τέλη Φεβρουαρίου έως τις αρχές Απριλίου του 2013 (σχολικό έτος ) και σ αυτή συμμετείχαν μαθητές που φοιτούσαν στην Δ τάξη των ανωτέρω δημοτικών σχολείων, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Από το σύνολο των μαθητών που φοιτούσαν στην Δ τάξη των ανωτέρων Δημοτικών Σχολείων εξετάστηκαν συνολικά 143 μαθητές. Η διαδικασία επιλογής των συμμετεχόντων/ουσών διήρκεσε από τα τέλη Φεβρουαρίου έως και τα τέλη Μαρτίου Η συγκρότηση των δύο ομάδων, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, βασίστηκε στα ακόλουθα κριτήρια: α) Χρονολογική ηλικία των παιδιών. Το κριτήριο αυτό ελήφθη υπόψη προκειμένου οι ομάδες μεταξύ τους να μην παρουσιάζουν στατιστικώς σημαντική διαφορά ως προς τον παράγοντα της χρονολογικής ηλικίας. β) Γνώμη του δασκάλου για την ικανότητα του κάθε παιδιού στα μαθηματικά. Συγκεκριμένα, στις περιπτώσεις όπου ο δάσκαλος θεωρούσε ότι κάποιος/οι μαθητές αντιμετώπιζαν έντονες δυσκολίες στα μαθηματικά χορηγούνταν σε αυτόν η κλίμακα 6. Μαθηματικά από το σταθμισμένο εργαλείο (ΑΜΔΕ) Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών (Παντελιάδου & Σιδερίδης, 2007). γ) Δοκιμασία αξιολόγησης της ικανότητας των μαθητών στα μαθηματικά. Ο σκοπός της εφαρμογής της ήταν να αξιολογήσει την ικανότητα των μαθητών στην επίλυση ασκήσεων και προβλημάτων στα μαθηματικά, αλλά και να αξιοποιηθεί το αποτέλεσμα αυτής της αξιολόγησης

68 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 67 για να επαληθεύσει τη γνώμη των δασκάλων, στην περίπτωση των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, όπως αυτή αντικατοπτριζόταν από το σταθμισμένο εργαλείο ΑΜΔΕ. Όσον αφορά στη δοκιμασία αυτή, ο χρόνος ολοκλήρωσής της κυμαινόταν από 1-2 διδακτικές ώρες ανάλογα με τις δυνατότητες του κάθε μαθητή με ελάχιστες εξαιρέσεις ορισμένους μαθητές που ζήτησαν επιπλέον χρόνο, ώστε οι μαθητές να μην εκλάβουν τη δοκιμασία αυτή σαν ένα γραπτό διαγώνισμα όπου βαθμολογούνται και κατά συνέπεια αγχωθούν και δεν αποδώσουν το μέγιστο βαθμό των δυνατοτήτων τους. Η παρούσα δοκιμασία λάμβανε χώρα μέσα στην τάξη, ταυτόχρονα για όλους τους μαθητές, ακόμη και όταν δεν συμμετείχε ολόκληρη η τάξη στην έρευνα και χορηγούνταν από το δάσκαλο της τάξης. Με βάση τα αποτελέσματα αυτής της αξιολόγησης των 143 μαθητών τελικώς επελέγησαν 85 μαθητές. Ο πίνακας 1 που ακολουθεί παρουσιάζει την κατανομή των μαθητών αυτών ανά επίπεδο ικανότητας. Πίνακας 1 Κατανομή μαθητών ανά επίπεδο ικανότητας Ομάδα Ν Μ sd Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά (χαμηλής επίδοσης) Κανονικής επίδοσης (μέτριας, υψηλής επίδοσης) Η στατιστική ανάλυση έδειξε διαφορές στην επίδοση των δύο ομάδων μαθητών με τους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά να έχουν χαμηλότερη επίδοση (Μ = 13.4, sd = 5.6) απ ό,τι οι άλλοι συμμαθητές τους (Μ = 29.7, sd = 4.4) και η διαφορά αυτή ήταν στατιστικώς σημαντική (t 83 = , p =.0001, η 2 =.732). Πιο αναλυτικά, από τις ομάδες που συγκροτήθηκαν, η ομάδα 1 αποτελείται από 40 άτομα, 21 αγόρια και 19 κορίτσια, και αφορά στους μαθητές με χαμηλή επίδοση στα μαθηματικά ή διαφορετικά με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (ΜΜΔ), όπως αυτή διαπιστώθηκε τόσο από τη δοκιμασία αξιολόγησης όσο και από την κλίμακα 6 του σταθμισμένου εργαλείου

69 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 68 Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς στην οποία είχαν τον χαρακτηρισμό «Πολύ Πιθανό» για μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, χαρακτηρισμός που αντιστοιχεί στις πιο χαμηλές βαθμολογίες της κλίμακας. Αρκεστήκαμε στα παραπάνω κριτήρια για την ένταξη των μαθητών σε αυτή την ομάδα, καθώς δεν είχαν όλοι οι παραπάνω μαθητές επίσημη διάγνωση από τα ΚΕΔΔΥ για μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Αν και τα αποτελέσματα αυτά δεν αποδεικνύουν ότι οι μαθητές της ομάδας 1 εμφανίζουν όντως μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, εν τούτοις αναδεικνύουν τη διαφορά στην επίδοση των μαθητών των δύο ομάδων ως προς την μαθηματική ικανότητα. Δεδομένου, λοιπόν, ότι δεν υπάρχει επίσημη διάγνωση από τα ΚΕΔΔΥ για όλους τους μαθητές θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι η ομάδα 1 περιλαμβάνει τόσο τους μαθητές με έντονες δυσκολίες-προβλήματα στα μαθηματικά (mathematical difficulties) όσο και αυτούς με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (mathematical learning disabilities). Επομένως, πρόκειται για μια κατ εκτίμηση ομάδα μαθησιακών δυσκολιών στα μαθηματικά. Στην παρούσα έρευνα η ομάδα αυτή θα θεωρείται ενιαία, δεδομένου των κριτηρίων που τηρήθηκαν και θα ονομάζεται ομάδα ΜΜΔ, δηλαδή με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Η ομάδα 2 αφορά στους μαθητές κανονικής επίδοσης στα μαθηματικά, δηλαδή με «μέτρια» και «καλή» επίδοση, η οποία αποτελεί την ομάδα ελέγχου και αποτελείται από 45 άτομα, 20 αγόρια και 25 κορίτσια. Η κυρίως εξέταση του δείγματος των 85 μαθητών διήρκεσε από τα τέλη Μαρτίου έως και τις αρχές Απριλίου του Σχετικά με το κριτήριο της κυρίως εξέτασης, η εξέταση των συμμετεχόντων ήταν ατομική και ο εξεταστής, αφού ρωτούσε τον κάθε μαθητή προφορικά κατέγραφε τις προφορικές απαντήσεις του στο πρωτόκολλό του. Η εξέταση είχε διάρκεια περίπου 20 λεπτά της ώρας για κάθε μαθητή και πραγματοποιούνταν σε έναν ιδιαίτερο χώρο του σχολείου, έξω από την αίθουσα διδασκαλίας, όπου επικρατούσαν συνθήκες ησυχίας με σκοπό οι μαθητές ελεύθερα και χωρίς άγχος να διατυπώνουν τις σκέψεις τους. Στην αρχή, πριν ξεκινήσει η εξέταση, γίνονταν στο μαθητή ή τη μαθήτρια ερωτήσεις που είχαν σχέση με τα ενδιαφέροντα και τις ασχολίες τους, την οικογένειά τους κτλ. προκειμένου να μειωθεί το άγχος, να δημιουργηθεί ένα ευχάριστο

70 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 69 κλίμα και η όλη διαδικασία να πάρει τη μορφή παιχνιδιού. Πριν ξεκινήσει η κυρίως εξέταση, ο ερευνητής ανέφερε τους όρους, σύμφωνα με τους οποίους ο μαθητής έπρεπε να υπολογίζει νοερά το άθροισμα ή τη διαφορά των αριθμών εξηγώντας κάθε φορά τον τρόπο σκέψης του. Στη συνέχεια γίνονταν κάποιες δοκιμές, ώστε το υποκείμενο να καταστεί ικανό να ακολουθήσει τη διαδικασία της εξέτασης. Συγκεκριμένα, δινόταν στο μαθητή μία καρτέλα πρόσθεσης, έβρισκε το αποτέλεσμα και ανέφερε ποια στρατηγική χρησιμοποίησε για να την υπολογίσει. Μετά δινόταν και μια καρτέλα αφαίρεσης όπου ακολουθούνταν η ίδια διαδικασία. Όταν διαπιστωνόταν ότι ο μαθητής είχε κατανοήσει πλήρως τους όρους τότε ο ερευνητής προχωρούσε στην κυρίως εξέταση, διαφορετικά γινόταν και μια δεύτερη δοκιμή. Όταν άρχιζε η κυρίως εξέταση, ο μαθητής έπαιρνε μπροστά του μία μία τις καρτέλες και υπολόγιζε νοερά το αποτέλεσμα της πράξης. Αφού υπολόγιζε το αποτέλεσμα το ανακοίνωνε στον ερευνητή ο οποίος κατέγραφε στο πρωτόκολλο αν η απάντηση ήταν σωστή ή λανθασμένη. Σε κάθε περίπτωση ο ερευνητής ζητούσε στη συνέχεια από το μαθητή να αναφέρει πώς σκέφτηκε για να βρει το αποτέλεσμα, άκουγε προσεκτικά το μαθητή και, από τις απαντήσεις του και την εν γένει συμπεριφορά του κατά την ώρα του νοερού υπολογισμού (παρατηρούσε π.χ. αν χρησιμοποιούσε τα δάχτυλά του για τον υπολογισμό), κατέγραφε τη στρατηγική που χρησιμοποίησε στο πρωτόκολλο (οι καρτέλες με τις πράξεις που δόθηκαν στους μαθητές καθώς και τα πρωτόκολλα των μαθητών βρίσκονται στο παράρτημα). Πολλές έρευνες έχουν δείξει πως τα παιδιά μπορούν να περιγράψουν με ακρίβεια τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν στην αριθμητική, αρκεί να ερωτηθούν αμέσως μετά τη λύση του προβλήματος (Siegler, 1987, 1989, αναφορά στους Geary et al, 1992). Κατόπιν ο εξεταστής προχωρούσε στην επόμενη καρτέλα. Τέλος, η επίδοση κάθε μαθητή στην πρόσθεση ή στην αφαίρεση υπολογίστηκε για την κάθε στρατηγική ως εξής: (πλήθος σωστών απαντήσεων/8) 100. Επίσης, για κάθε τάξη μετρήθηκε τόσο ο αριθμός των λαθών ανά κατηγορία λαθών όσο και ο συνολικός αριθμός των λαθών.

71 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 70 Στατιστική ανάλυση Αρχικά, υπολογίστηκαν οι μέσοι όροι και οι τυπικές αποκλίσεις των επιδόσεων των μαθητών κατά ομάδα (με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και κανονικής επίδοσης), πράξη, στρατηγική και παρουσία ή μη κρατούμενου. Εφαρμόστηκε το κριτήριο repeated measures ή διαφορετικά ανάλυση της διακύμανσης με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις για κάθε ομάδα ξεχωριστά, ενώ για τη σύγκριση των επιδόσεων των μαθητών μεταξύ των δύο ομάδων εφαρμόστηκε το κριτήριο multivariate ή διαφορετικά πολυμεταβλητή ανάλυση διακύμανσης. Τέλος, για τη σύγκριση των λαθών στις δύο αυτές ομάδες χρησιμοποιήθηκε το μη παραμετρικό κριτήριο χ 2.

72 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 71 Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα των επιδόσεων των συμμετεχόντων και των δύο ομάδων (με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και κανονικής επίδοσης) στις προσθέσεις και αφαιρέσεις, με ή χωρίς κρατούμενο, ανεξάρτητα από τη στρατηγική που αυτοί χρησιμοποίησαν, παρουσιάζονται στον πίνακα 2 [οι μέσοι όροι - Μ.Ο. (%) και τυπικές αποκλίσεις (%)]. Τα ποσοστά των σωστών απαντήσεων των μαθητών είναι αρκετά υψηλά και στις δύο πράξεις για τους μαθητές κανονικής επίδοσης (98.1% και 75.5% στην πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα), ενώ για τους μαθητές με ΜΜΔ τα αντίστοιχα ποσοστά είναι αρκετά πιο χαμηλά (70% και 35.6% για την πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα). Ωστόσο, παρατηρούμε ότι οι επιδόσεις τους στις προσθέσεις είναι σημαντικά καλύτερες από αυτές στις αφαιρέσεις (F 1,44 = 44.8, p <.0001, η 2 =.504 για την ομάδα κανονικής επίδοσης και F 1,39 = 68, p <.0001, η 2 =.636 για την ομάδα με ΜΜΔ). Πίνακας 2 Μέσοι όροι (Μ.Ο.) και τυπικές αποκλίσεις (%) των επιδόσεων των μαθητών (Ν MΜΔ =40, Ν Κ.Ε. =45) Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά Κανονικής επίδοσης Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Γενική επίδοση Πρόσθεση Αφαίρεση Πρόσθεση Αφαίρεση 85.6 (23.9) 54.4 (40.0) 70.0 (25.9) 63.8 (32.5) 7.5 (19.8) 35.6 (20.3) 98.9 (7.5) 97.2 (9.6) 98.1 (5.9) 95 (14.7) 56.1 (43.7) 75.5 (24.3) Επιχειρώντας μια σύγκριση εντός της κάθε πράξης παρατηρούμε ότι στις προσθέσεις χωρίς κρατούμενο οι μαθητές κανονικής επίδοσης παρουσιάζουν 98.9% επιτυχία και σε αυτές με κρατούμενο 97.2%, ενώ οι μαθητές με ΜΜΔ 85.6% και 54.4% αντίστοιχα. Η διαφορά αυτή ενώ δεν είναι στατιστικά σημαντική για την ομάδα κανονικής επίδοσης, παρόλα αυτά για την ομάδα με ΜΜΔ είναι (F 1,39 = 23.6, p <.0001, η 2 =.377) (Διαγράμματα 1 και 2). Επιπλέον, διαφορά διαπιστώνεται και μεταξύ των ποσοστών των επιδόσεων των μαθητών στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο και στις αφαιρέσεις με κρατούμενο (95% και 56,1%

73 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 72 αντίστοιχα για την ομάδα κανονικής επίδοσης και 63.8% και 7.5% για την ομάδα με ΜΜΔ), η οποία είναι στατιστικά σημαντική (F 1,44 = 36, p <.0001, η 2 =.450 για την ομάδα κανονικής επίδοσης και F 1,39 = 101.9, p <.0001, η 2 =.723 για την ομάδα με ΜΜΔ) (Διαγράμματα 1 και 2). Διάγραμμα 1 Επιδόσεις των μαθητών κανονικής επίδοσης στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με ή χωρίς κρατούμενο Πρόσθεση Αφαίρεση Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Διάγραμμα 2 Επιδόσεις των μαθητών με ΜΜΔ στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με ή χωρίς κρατούμενο Πρόσθεση Χωρίς κρατούμενο Αφαίρεση Με κρατούμενο Όσον αφορά στην ποικιλία των στρατηγικών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές και λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις σωστές απαντήσεις τους, τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι στρατηγικές 1010 (δηλαδή αυτή όπου υπολογίζονται ξεχωριστά οι δεκάδες και οι μονάδες), Ν10 (δηλαδή αυτή όπου στον έναν προσθετέο προστίθενται πρώτα οι δεκάδες και μετά οι μονάδες του δεύτερου ή το αντίστροφο) και ΜΑ (δηλαδή η νοερή απεικόνιση του γραπτού αλγόριθμου - κάθετη πράξη) κατά τη νοερή πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών είναι αυτές που ξεχώρισαν στους μαθητές κανονικής επίδοσης (πίνακες 3 και 4), ενώ στους μαθητές με ΜΜΔ έρχεται να προστεθεί και η στρατηγική της επαρίθμησης (CON) κυρίως στην πρόσθεση.

74 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 73 Πίνακας 3 Μ.Ο. και τυπικές αποκλίσεις (%) των επιδόσεων των μαθητών στις στρατηγικές νοερού υπολογισμού στις Προσθέσεις Μαθησιακές Δυσκολίες στα Κανονικής επίδοσης Μαθηματικά Στρατηγικές νοερού υπολογισμού Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Γενική επίδοση Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Γενική επίδοση Επαρίθμηση με δάχτυλα (CON) 3.8 (12.1) 1.2 (5.5) 2.5 (7.6) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Κάθετη πράξη (ΜΑ) 41.2 (44.8) 26.9 (39.8) 34.1 (39.3) 27.2 (42.2) 30 (45.4) 28.6 (42.0) Στρογγυλοποίηση (Ν10C) 0.6 (4.0) 0.6 (4.0) 0.6 (4.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Δ+δ/Μ+μ (1010) 38.1 (45.3) 23.8 (38.4) 30.9 (37.8) 60.0 (46.3) 56.1 (47.7) 58.1 (44.3) Στρατηγική Ν (8.7) 1.9 (8.7) 1.9 (8.7) 11.7 (41.2) 11.1 (29.5) 11.4 (28.3) Άλλος τρόπος 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Λανθασμένες απαντήσεις Εξετάζοντας τις προτιμήσεις των μαθητών όσον αφορά στις στρατηγικές σε κάθε πράξη ξεχωριστά, διαπιστώνουμε ότι, όσον αφορά στην ομάδα κανονικής επίδοσης, στη γενική επίδοση της πρόσθεσης (πίνακας 3) η κυρίαρχη στρατηγική είναι η 1010 (58.1%), στη δεύτερη θέση έρχεται η ΜΑ με ποσοστό 28.6% και κατόπιν η Ν10 (11.4). Αυτό που παρατηρείται είναι ότι σε καμία απάντηση δε χρησιμοποιήθηκε-επελέγη η στρατηγική της επαρίθμησης ούτε της στρογγυλοποίησης. Αντίθετα, όσον αφορά στην επίδοση των μαθητών με ΜΜΔ, κυρίαρχη στρατηγική είναι η ΜΑ με ποσοστό 34.1% και στη δεύτερη θέση βρίσκεται η 1010 στρατηγική (30.9%). Στη συνέχεια βρίσκεται η στρατηγική της επαρίθμησης (2.5%) και τελευταία η Ν10 (1.9%). Υπάρχει βέβαια και ένα μικρό ποσοστό της τάξης του 0.6% που αντιστοιχεί στη στρατηγική της στρογγυλοποίησης. Μεταξύ των προσθέσεων χωρίς κρατούμενο και των προσθέσεων με κρατούμενο στην ομάδα κανονικής επίδοσης παρατηρείται ακριβώς η ίδια σειρά με αυτή της γενικής επίδοσης στην πρόσθεση, δηλαδή 1010, ΜΑ, Ν10. Στους μαθητές με ΜΜΔ παρατηρείται σχεδόν η ίδια σειρά με αυτή της γενικής επίδοσης, δηλαδή ΜΑ (41.2%), 1010 (38.1%), CON (επαρίθμηση) (3.8%), Ν10 (1.9%) για τις προσθέσεις χωρίς κρατούμενα και ΜΑ (26.9%), 1010 (23.8%), Ν10

75 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 74 (1.9%), CON (επαρίθμηση) (1.2%) για τις προσθέσεις με κρατούμενα, δηλαδή στην πρώτη περίπτωση προηγείται η επαρίθμηση από τη Ν10 στρατηγική, ενώ στη δεύτερη συμβαίνει το αντίστροφο. Ωστόσο, οι διαφορές που παρατηρούνται στα ποσοστά των στρατηγικών 1010 και ΜΑ μεταξύ των προσθέσεων χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο είναι στατιστικώς σημαντικές (F 1,39 = 6.2, p <.018, η 2 =.136 και F 1,39 = 8.4, p <.006, η 2 =.176 αντίστοιχα). Όσον αφορά στη γενική επίδοση της αφαίρεσης (πίνακας 4), για τους μαθητές κανονικής επίδοσης, η σειρά προτίμησης παραμένει η ίδια με αυτή της πρόσθεσης, 1010 (30.7%), ΜΑ (27%), Ν10 (16.1%), ενώ ένα πολύ μικρό ποσοστό αφορά και τη στρατηγική του συμπληρώματος του αφαιρετέου. Ωστόσο, μια διαφοροποίηση παρατηρείται στις προτιμήσεις των μαθητών με ΜΜΔ σε σχέση με την πρόσθεση, όπου αυτή τη φορά κυρίαρχη είναι η στρατηγική 1010 (17.5%), κατόπιν η ΜΑ (15%) και στη συνέχεια η Ν10 (2.8%), με ένα πολύ μικρό ποσοστό να χρησιμοποιεί την υπαρίθμηση (0.6%). Ακολουθείται δηλαδή ακριβώς η ίδια σειρά με την ομάδα κανονικής επίδοσης. Πίνακας 4 Μ.Ο. και τυπικές αποκλίσεις (%) των επιδόσεων των μαθητών στις στρατηγικές νοερού υπολογισμού στις Αφαιρέσεις Μαθησιακές Δυσκολίες στα Κανονικής επίδοσης Μαθηματικά Στρατηγικές νοερού υπολογισμού Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Γενική επίδοση Χωρίς κρατούμενο Με κρατούμενο Γενική επίδοση Υπαρίθμηση με δάχτυλα (CON) 0 (0.0) 0.6 (4.0) 0.3 (2.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Κάθετη πράξη (ΜΑ) 28.1 (37.2) 1.9 (8.7) 15 (19.9) 30 (42.2) 23.9 (40.2) 27 (37.8) Στρογγυλοποίηση (Ν10C) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Δ-δ/Μ-μ (1010) 33.8 (41.0) 1.2 (7.9) 17.5 (21.5) 47.8 (45.8) 13.3 (30.0) 30.7 (31.6) Στρατηγική Ν (11.9) 3.8 (16.6) 2.8 (13.1) 15 (34.7) 17.8 (35.6) 16.1 (33.6) Συμπλήρωμα του αφαιρετέου 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 2.2 (11.7) 1.1 (7.5) 1.7 (9.5) Άλλος τρόπος 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) 0 (0.0) Λανθασμένες απαντήσεις Επιχειρώντας μια σύγκριση εντός των αφαιρέσεων, διαπιστώνουμε ότι, στην ομάδα κανονικής επίδοσης, ενώ στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο οι μαθητές προτιμούν τη

76 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 75 στρατηγική 1010 (47.8%), κατόπιν τη ΜΑ (30%) και τέλος τη Ν10 στρατηγική (15%), ωστόσο στις αφαιρέσεις με κρατούμενο οι επιλογές τους αλλάζουν με αποτέλεσμα στην πρώτη θέση να βρίσκεται η ΜΑ (23.9%), στη συνέχεια η Ν10 στρατηγική (17.8%) και τελευταία η 1010 (13.3%). Μάλιστα, αυτή η διαφορά που παρατηρείται στα ποσοστά της 1010 στρατηγικής στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο και στις αφαιρέσεις με κρατούμενο είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,44 = 26.7, p <.0001, η 2 =.378}. Όσον αφορά την ομάδα με ΜΜΔ, και εδώ υπάρχει διαφοροποίηση ανάλογα με το είδος της πράξης, έτσι στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο οι επιδόσεις είναι ίδιες με αυτές της γενικής επίδοσης, 1010 (33.8%), MA (28.1%), N10 (1.9%), ενώ στις αφαιρέσεις με κρατούμενο κυρίαρχη είναι η στρατηγική Ν10 (3.8%), στη συνέχεια βρίσκεται η ΜΑ (1.9%) και κατόπιν η 1010 (1.2%). Οι διαφορές που παρατηρούνται στα ποσοστά των στρατηγικών 1010 και ΜΑ μεταξύ των αφαιρέσεων χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο είναι στατιστικώς σημαντικές (F 1,39 = 25.8, p <.0001, η 2 =.398 και F 1,39 = 20.5, p <.0001, η 2 =.345). Επίσης ένα πολύ μικρό ποσοστό χρησιμοποίησε τη στρατηγική της υπαρίθμησης. Ωστόσο, μην ξεχνάμε ότι το ποσοστό των σωστών απαντήσεων των μαθητών με ΜΜΔ στις αφαιρέσεις γενικότερα και στις αφαιρέσεις με κρατούμενο ειδικότερα είναι πάρα πολύ μικρό. Όσον αφορά στην κατηγορία στην οποία ανήκουν οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές κανονικής επίδοσης στο νοερό υπολογισμό, τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας έδειξαν ότι οι περισσότερες σωστές απαντήσεις τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση προέκυψαν με τη χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου (69.5% και 48.5% για την πρόσθεση και Πίνακας 5 Μ.Ο. και τυπικές αποκλίσεις (%) των επιδόσεων των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με τη χρήση στρατηγικών χαμηλού και υψηλού επιπέδου Μαθησιακές Δυσκολίες στα Κανονικής επίδοσης Μαθηματικά Κατηγορίες στρατηγικών Πρόσθεση Αφαίρεση Πρόσθεση Αφαίρεση Χαμηλού επιπέδου Υψηλού επιπέδου 36.6 (38.6) 33.4 (38.5) 15.3 (19.7) 20.3 (23.1) 28.6 (42.0) 69.5 (43.3) 27 (37.8) 48.5 (37.1)

77 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 76 αφαίρεση αντίστοιχα, πίνακας 5), ενώ λιγότερες ήταν οι περιπτώσεις όπου χρησιμοποιήθηκαν στρατηγικές χαμηλού επιπέδου από τους μαθητές (28.6% και 27% για την πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα). Μάλιστα, αυτό το προβάδισμα των στρατηγικών υψηλού επιπέδου έναντι αυτών χαμηλού επιπέδου, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση, είναι στατιστικά σημαντικό (F 1,44 = 10.4, p <.002, η 2 =.191) για την πρόσθεση και (F 1,44 = 4.1, p <.049, η 2 =.085 για την αφαίρεση). Επιπλέον, από τα αποτελέσματα φαίνεται ότι η χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου είναι πιο έντονη στην πρόσθεση απ ό,τι στην αφαίρεση. Μάλιστα, από τη σύγκριση μεταξύ των προσθέσεων και αφαιρέσεων με τη χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου, διαπιστώθηκε ότι η διαφορά αυτή στα ποσοστά είναι στατιστικά σημαντική (F 1,44 = 32.2, p <.0001, η 2 =.422). Ενδεικτικά παραθέτουμε το διάγραμμα 3 που δείχνει αυτή τη διαφορά για τους μαθητές κανονικής επίδοσης. Τέλος, από τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας φάνηκε πως η διαφορά που παρατηρείται στη χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου, η οποία είναι πιο έντονη στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο απ ό,τι σε αυτές με κρατούμενο, είναι στατιστικά σημαντική (F 1,44 = 23.7, p <.0001, η 2 =.350). Διάγραμμα 3 Επιδόσεις των μαθητών κανονικής επίδοσης στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με τη χρήση στρατηγικών χαμηλού και υψηλού επιπέδου Πρόσθεση Στρατηγικές χαμηλού επιπέδου Αφαίρεση Στρατηγικές υψηλού επιπέδου Απ την άλλη πλευρά, σχετικά με τους μαθητές με ΜΜΔ, φαίνεται πως στην πρόσθεση πιο έντονη είναι η χρήση στρατηγικών χαμηλού επιπέδου, ενώ στην αφαίρεση πιο έντονη η χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου. Οι διαφορές όμως αυτές που παρατηρούνται δεν είναι στατιστικώς σημαντικές. Όσον αφορά τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου, η χρήση τους είναι πιο

78 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 77 έντονη στις προσθέσεις χωρίς κρατούμενο απ ό,τι στις προσθέσεις με κρατούμενο και αυτή η διαφορά είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,39 = 6.2, p <.018, η 2 =.136). Το ίδιο ισχύει και για τις αφαιρέσεις χωρίς και με κρατούμενο (F 1,39 = 19.7, p <.0001, η 2 =.335). Πέρα όμως από τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου των οποίων η χρήση μειώνεται καθώς πάμε από τις πράξεις χωρίς κρατούμενο στις πράξεις με κρατούμενο, αντίστοιχα φαίνεται πως μειώνεται στατιστικώς σημαντικά και η χρήση των στρατηγικών χαμηλού επιπέδου, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση, καθώς κινούμαστε από τις πράξεις χωρίς κρατούμενο στις πράξεις με κρατούμενο (F 1,39 = 11, p <.002, η 2 =.220 για την πρόσθεση και F 1,39 = 18.8, p <.0001, η 2 =.326 για την αφαίρεση). Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη σύγκριση των επιδόσεων των δύο ομάδων (κανονικής επίδοσης και με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά) στους νοερούς υπολογισμούς στην πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών, έδειξαν ότι η διαφορά που παρατηρείται στις επιδόσεις τους (με τους μαθητές κανονικής επίδοσης να έχουν πιο υψηλά ποσοστά επιτυχίας σε σχέση με τους μαθητές με ΜΜΔ), τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση, είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,83 = 49.9, p <.0001, η 2 =.375 για την πρόσθεση και F 1,83 = 66.7, p <.0001, η 2 =.445 για την αφαίρεση). Επίσης σημαντικές είναι και οι διαφορές που παρατηρούνται στις επιδόσεις τους εντός κάθε πράξης, χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο (F 1,83 = 12.5, p <.001, η 2 =.131 και F 1,83 = 48.6, p <.0001, η 2 =.369 για την πρόσθεση χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο αντίστοιχα και F 1,83 = 33.9, p <.0001, η 2 =.290 και F 1,83 = 41.9, p <.0001, η 2 =.335 για την αφαίρεση χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο αντίστοιχα). Όσον αφορά στις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν και οι δύο ομάδες, η διαφορά που παρατηρείται στη χρήση της επαρίθμησης (CON) στην πρόσθεση χωρίς κρατούμενο ειδικά, αλλά και στο σύνολο της πρόσθεσης γενικά, με τους μαθητές με ΜΜΔ να την προτιμούν κατά ένα μικρό ποσοστό και τους μαθητές κανονικής επίδοσης να μην τη χρησιμοποιούν καθόλου,

79 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 78 είναι στατιστικά σημαντική (F 1,83 =4.3, p <.040, η 2 =.050 για την πρόσθεση χωρίς κρατούμενο και F 1,83 = 4.9, p <.030, η 2 =.056 για την πρόσθεση συνολικά). Σχετικά με τη στρατηγική 1010 οι μαθητές κανονικής επίδοσης φαίνεται να την προτιμούν περισσότερο από τους μαθητές με ΜΜΔ και στην πρόσθεση χωρίς κρατούμενο και στην πρόσθεση με κρατούμενο, αλλά και στην πρόσθεση συνολικά και η διαφορά αυτή είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,83 = 4.8, p <.031, η 2 =.055 για την πρόσθεση χωρίς κρατούμενο, F 1,83 = 11.7, p <.001, η 2 =.123 για την πρόσθεση με κρατούμενο και F 1,83 = 9.1, p <.003, η 2 =.099 για την πρόσθεση συνολικά). Το ίδιο ισχύει για τη χρήση της στρατηγικής 1010 στην αφαίρεση με κρατούμενα ειδικά, αλλά και στην αφαίρεση γενικότερα (F 1,83 = 6.1, p <.015, η 2 =.069 για την αφαίρεση με κρατούμενο και F 1,83 = 4.8, p <.031, η 2 =.055 για την αφαίρεση συνολικά). Επιπλέον, πιο υψηλά ποσοστά παρατηρήθηκαν από τους μαθητές κανονικής επίδοσης έναντι των μαθητών με ΜΜΔ όσον αφορά στην επιλογή της Ν10 στρατηγικής στο σύνολο της αφαίρεσης, αλλά και επιμέρους για τις χωρίς και με κρατούμενο αφαιρέσεις, με τη διαφορά αυτή να είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,83 = 5.5, p <.021, η 2 =.062, F 1,83 = 5.2, p <.025, η 2 =.059 και F 1,83 = 5.2, p <.025, η 2 =.059 αντίστοιχα). Το ίδιο ισχύει και για τη χρήση της Ν10 στρατηγικής στο σύνολο της πρόσθεσης (F 1,83 = 4.2, p <.045, η 2 =.048). Όσον αφορά στην κατηγορία των στρατηγικών που χρησιμοποιήθηκαν, η ομάδα κανονικής επίδοσης φαίνεται να χρησιμοποιεί πιο έντονα τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου σε σχέση με την ομάδα με ΜΜΔ, τόσο στην πρόσθεση και την αφαίρεση γενικά, όσο και εντός κάθε πράξης, με και χωρίς κρατούμενο, πιο ειδικά. Αυτή η διαφορά είναι στατιστικώς σημαντική (F 1,83 = 16.2, p <.0001, η 2 =.164 για την πρόσθεση, F 1,83 = 19.2, p <.0001, η 2 =.188 για την πρόσθεση με κρατούμενο, F 1,83 = 10.2, p <.002, η 2 =.109 για την πρόσθεση χωρίς κρατούμενο και F 1,83 = 17, p <.0001, η 2 =.170 για την αφαίρεση, F 1,83 = 13.7, p <.0001, η 2 =.142 για την αφαίρεση με κρατούμενο, F 1,83 = 10, p <.002, η 2 =.108 για την αφαίρεση χωρίς κρατούμενο).

80 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 79 Όπως προκύπτει από τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας (Πίνακας 6), οι μαθητές κανονικής επίδοσης έκαναν συνολικά 97 λάθη, ενώ οι μαθητές με ΜΜΔ έκαναν συνολικά 328 λάθη. Από τα 97 λάθη των μαθητών κανονικής επίδοσης, τα 84 αφορούν την αφαίρεση με κρατούμενο, τα 7 την αφαίρεση χωρίς κρατούμενο και τα 6 την πρόσθεση. Αντίστοιχα, για τους μαθητές με ΜΜΔ από τα 328 λάθη τα 168 αφορούν την αφαίρεση με κρατούμενο, τα 58 την αφαίρεση χωρίς κρατούμενο και τα 102 την πρόσθεση. Τα λάθη αυτά προέκυψαν από τις λανθασμένες απαντήσεις των μαθητών στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών οι οποίες αντιστοιχούν στο 1.9% και 24.5% του συνόλου των απαντήσεων στην πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα, για την ομάδα κανονικής επίδοσης και στο 30% και 64.4% του συνόλου των απαντήσεων στην πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα, για την ομάδα με ΜΜΔ. Να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι μια λανθασμένη απάντηση μπορούσε να περιέχει περισσότερα από ένα είδη λαθών. Τα λάθη κατηγοριοποιήθηκαν όχι μόνο βάσει του είδους της πράξης στην οποία πραγματοποιούνταν, αλλά και σε επιμέρους κατηγορίες αναλόγως της στρατηγικής που χρησιμοποιούσαν και τον τύπο λάθους. Έτσι, φαίνεται πως και στις δύο ομάδες τα περισσότερα λάθη εντοπίζονται στις αφαιρέσεις και κυρίως στις αφαιρέσεις με κρατούμενα και μάλιστα όταν εφαρμοζόταν η στρατηγική 1010 ή ΜΑ. Στην κατηγορία αυτή τα περισσότερα λάθη γίνονταν διότι οι μαθητές, αντί να αφαιρέσουν τις μονάδες του αφαιρετέου από τις μονάδες του μειωτέου, έκαναν ακριβώς το αντίστροφο [π.χ : 90-10=80, 9-5=4, 84 ή 95-19: 9-5=4 (αντί 15-9), 9-1=8, 84]. Εξίσου σημαντικά, αλλά σε μικρότερο ποσοστό είναι τα λάθη που αφορούν το χειρισμό του κρατούμενου. Συχνά οι μαθητές προσθέτανε το κρατούμενο στις δεκάδες του μειωτέου αντί του αφαιρετέου (π.χ : 15-9=6, 1+9=10, 10-1=9, 96) ή ξεχνούσαν τελείως να προσθέσουν το κρατούμενο (π.χ , 11-6=5, 5-2=3, 35). Μια άλλη κατηγορία με αρκετά μεν λάθη η οποία όμως περιλαμβάνει διαφόρους τύπους λαθών και όχι μόνο έναν τύπο είναι αυτή όπου οι μαθητές συνηθίζουν να αλλάζουν θέση στα ψηφία του αριθμού (δηλαδή ενώ βρίσκονται στη θέση των δεκάδων τα μεταφέρουν στη θέση των μονάδων και αντίστροφα) από

81 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 80 Πίνακας 6 Απόλυτες συχνότητες λαθών ανά κατηγορία πράξεων και στρατηγικών Συχνότητες λαθών Είδος Πράξης Περιγραφή σφάλματος κατά στρατηγική Μαθησιακές Δυσκολίες Μαθηματικά Αφαίρεση με κρατούμενο Αφαίρεση χωρίς κρατούμενο Πρόσθεση Αφαίρεση των μονάδων του μειωτέου από τις μονάδες του αφαιρετέου. Στρατηγική 1010 ή ΜΑ Συχνότητες λαθών Κανονικής επίδοσης Πρόσθεση κρατούμενου στις δεκάδες του μειωτέου αντί του αφαιρετέου και παράλειψη κρατούμενου. Στρατηγική ΜΑ Διαδοχική αφαίρεση μονάδων μειωτέου και αφαιρετέου από τη διαφορά των δεκάδων. 3 0 Στρατηγική 1010 Λάθη διαδικαστικού τύπου σε επίπεδο παράλειψης ή πρόσθεσης μιας μονάδας ή δεκάδας 15 9 Αλλαγή θέσης ψηφίων και άλλου τύπου λάθη Λάθη στην υπαρίθμηση 5 0 Αδυναμία εκτέλεσης πράξης 4 0 Σύνολο Διαδοχική αφαίρεση μονάδων μειωτέου και αφαιρετέου από τη διαφορά των δεκάδων. 3 0 Στρατηγική 1010 Λάθη διαδικαστικού τύπου σε επίπεδο παράλειψης ή πρόσθεσης μιας μονάδας ή δεκάδας 21 1 Αφαίρεση διαφοράς μονάδων από διαφορά δεκάδων, αλλαγή θέσης ψηφίων και άλλου τύπου 16 2 λάθη Αλλαγή θέσης ψηφίων στο τέλος, του τύπου ΜΔ αντί ΔΜ (δεκάδες-μονάδες) π.χ. 13 αντί Λάθη στην υπαρίθμηση 4 0 Προσθήκη κρατούμενου χωρίς να χρειάζεται 0 1 Αδυναμία εκτέλεσης πράξης 4 0 Σύνολο 58 7 Λάθη διαδικαστικού τύπου σε επίπεδο παράλειψης ή πρόσθεσης μιας μονάδας ή δεκάδας 19 1 Άλλου είδους στρατηγική χωρίς τη διατήρηση της θέσης των ψηφίων 32 0 Αλλαγή θέσης ψηφίων απ την αρχή ή στο τέλος 10 2 Άθροισμα όλων των ψηφίων μαζί Μ+Μ+Δ+Δ ανεξάρτητα της θεσιακής αξίας 4 0 Λάθη στην επαρίθμηση 19 0 Παράλειψη κρατούμενου ή επιπλέον προσθήκη 4 1 Λάθος λόγω ελλιπούς μνημονικής συγκράτησης του πρώτου αθροίσματος 2 0

82 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 81 Σύνολο πράξεων Άλλου τύπου λάθη 12 2 Σύνολο Σύνολο σφαλμάτων την αρχή, κατά τη διάρκεια ή και στο τέλος της πράξης (π.χ : 8-4=4, 13-8=5, 4-1=3, 53, αντί 35). Σε αυτή την κατηγορία ωστόσο εντάσσονται και τα λάθη τα οποία προκύπτουν από μία «στρατηγική» του μαθητή που δεν έχει κάποια μαθηματική λογική και συνήθως την εφεύρει εκείνη τη στιγμή προσπαθώντας να δώσει μια απάντηση σε αυτό που του ζητήθηκε. Στις αφαιρέσεις με κρατούμενο, μια άλλη κατηγορία που αξίζει να αναφερθεί είναι αυτή όπου οι μαθητές χρησιμοποιώντας τη στρατηγική 1010, Ν10 ή ΜΑ κάνουν λάθη στην πρόσθεση ή στην αφαίρεση των δεκάδων ή των μονάδων. Οι μαθητές συνήθως κάνουν λάθη κατά τον υπολογισμό τους κατά 1 μονάδα ή δεκάδα (π.χ : 80-40=40, 7-4=2, 42 ή 87-44: 7-4=3, 8-4=5, 53). Αυτά είναι τα λεγόμενα διαδικαστικού τύπου λάθη. Τέλος, άλλες κατηγορίες λαθών που εντοπίστηκαν μόνο στους μαθητές με ΜΜΔ είναι τα λάθη στην υπαρίθμηση, η αδυναμία εκτέλεσης πράξης και η διαδοχική αφαίρεση των μονάδων του μειωτέου και του αφαιρετέου από τη διαφορά των δεκάδων (π.χ , 90-10=80, 80-5=75, 75-9=66). Στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο έγιναν λάθη από τους μαθητές με ΜΜΔ, ενώ ελάχιστα ήταν αυτά των μαθητών κανονικής επίδοσης. Αναφερόμενοι λοιπόν στους πρώτους, παρατηρούμε ότι τα περισσότερα λάθη είναι διαδικαστικού τύπου και ακολουθούν τα λάθη που περιλαμβάνουν την αφαίρεση της διαφοράς των μονάδων από τη διαφορά των δεκάδων (π.χ : 80-40=40, 7-4=3, 40-3=37, αντί 40+3=43), ενώ στην ίδια κατηγορία εντάσσονται τα λάθη αλλαγής της θέσης των ψηφίων και τα άλλου τύπου λάθη όπου δεν εφαρμόζεται κάποια «στρατηγική» με μαθηματική λογική. Τρίτη σημαντική κατηγορία είναι αυτή όπου ενώ η στρατηγική έχει εφαρμοστεί σωστά, στο τέλος γίνεται αλλαγή στη θέση των ψηφίων (π.χ : 9-6=3, 6-5=1, 31, αντί 13). Ενώ τα λάθη στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο, αλλά και στο σύνολο των προσθέσεων, ήταν πολύ λίγα για τους μαθητές κανονικής επίδοσης, δεν ισχύει το ίδιο και για τους μαθητές με

83 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 82 ΜΜΔ που έκαναν 102 λάθη στις προσθέσεις με την πλειοψηφία αυτών να αφορά την εφαρμογή μιας «άλλου είδους στρατηγικής» που εφαρμόζουν αρκετά παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (π.χ : 8+8=16, 6+2=8, 816). Στη δεύτερη θέση έρχονται τα διαδικαστικού τύπου λάθη και τα λάθη που πραγματοποιούν όταν εφαρμόζουν τη στρατηγική της επαρίθμησης. Όσον αφορά τα αποτελέσματα της χ 2 ανάλυσης, αυτή έδειξε πως οι μαθητές με ΜΜΔ πραγματοποίησαν περισσότερα είδη-κατηγορίες λαθών σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης μαθητές (χ 2 = , d f= 21, p <.0001). Επίσης, η ομάδα με ΜΜΔ πραγματοποίησε περισσότερα λάθη ανά είδος πράξης σε σχέση με την ομάδα κανονικής επίδοσης (χ 2 = , df = 2, p <.0001).

84 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 83 Συμπεράσματα Λόγω του όγκου και της ποικιλίας των αποτελεσμάτων της παρούσας έρευνας, πριν την εξαγωγή και παρουσίαση των συμπερασμάτων αυτής, κρίνεται σκόπιμη η συνοπτική παρουσίαση και υπενθύμιση των πιο σημαντικών αποτελεσμάτων που προέκυψαν. Από την έρευνα αυτή, που σκοπό είχε να διαπιστώσει κατά πόσον οι μαθητές της Δ τάξης, με και χωρίς μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, είναι ικανοί να υπολογίζουν σωστά νοερά διψήφιες προσθέσεις και αφαιρέσεις (με και χωρίς κρατούμενο), ποιες στρατηγικές χρησιμοποιούν κατά τη νοερή εκτέλεσή τους, τι λάθη κάνουν και κατά πόσον εντοπίζονται διαφορές στην επίδοση, τις στρατηγικές και τα λάθη μεταξύ των δύο αυτών ομάδων (χωρίς και με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά), εξήχθησαν τα παρακάτω αποτελέσματα. Πρώτον, παρατηρήθηκαν διαφορές στις επιδόσεις μεταξύ των δύο ομάδων μαθητών, δηλαδή κανονικής επίδοσης και με ΜΜΔ. Συγκεκριμένα, εντοπίστηκαν σημαντικές διαφορές τόσο στις προσθέσεις όσο και στις αφαιρέσεις μεταξύ των δύο ομάδων, με τα ποσοστά των σωστών απαντήσεων της ομάδας κανονικής επίδοσης να είναι υψηλότερα από αυτά των μαθητών με ΜΜΔ. Επίσης, και στις δύο ομάδες οι επιδόσεις ήταν σημαντικά καλύτερες στις προσθέσεις από ό,τι στις αφαιρέσεις, όπως και στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο σε σχέση με αυτές με κρατούμενο. Για τους μαθητές με ΜΜΔ σημαντικά καλύτερες ήταν οι επιδόσεις τους και στις προσθέσεις χωρίς κρατούμενο σε σχέση με αυτές με κρατούμενο. Όσον αφορά στις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές, αυτές που ξεχώρισαν ήταν οι 1010, Ν10 και ΜΑ για τους μαθητές κανονικής επίδοσης, ενώ στους μαθητές με ΜΜΔ έρχεται να προστεθεί και η στρατηγική της επαρίθμησης. Σχετικά με τους μαθητές κανονικής επίδοσης, χρησιμοποιήθηκαν κυρίως στρατηγικές υψηλού επιπέδου και στις δύο πράξεις και η χρήση αυτών των στρατηγικών ήταν πιο έντονη στην πρόσθεση απ ό,τι στην αφαίρεση, όπως επίσης και στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο απ ό,τι σε αυτές με κρατούμενο. Απ την άλλη πλευρά, σχετικά με τους μαθητές με ΜΜΔ, δε βρέθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των στρατηγικών υψηλού και χαμηλού επιπέδου.

85 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 84 Όσον αφορά στη σύγκριση των δύο ομάδων, σημαντική είναι η διαφορά που παρατηρείται στη χρήση της επαρίθμησης στην πρόσθεση, όπου ένα μικρό ποσοστό των μαθητών με ΜΜΔ δείχνει να την προτιμά σε αντίθεση με τους κανονικής επίδοσης μαθητές που δεν τη χρησιμοποιούν καθόλου. Επίσης, οι μαθητές κανονικής επίδοσης προτιμούν περισσότερο τη στρατηγική 1010 και Ν10 σε σχέση με τους μαθητές με ΜΜΔ, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση, με τις διαφορές αυτές να είναι στατιστικώς σημαντικές. Όσον αφορά στην κατηγορία των στρατηγικών που χρησιμοποιήθηκαν, η ομάδα κανονικής επίδοσης χρησιμοποίησε πιο έντονα τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου σε σχέση με τους μαθητές με ΜΜΔ και στις δύο πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση) και εντός κάθε πράξης (με και χωρίς κρατούμενο). Τέλος, σχετικά με τα λάθη στα οποία υπέπεσαν οι μαθητές, τα περισσότερα εντοπίστηκαν στις αφαιρέσεις με κρατούμενο και μάλιστα κατά τη χρήση των στρατηγικών 1010 και ΜΑ, όπου σύνηθες λάθος ήταν να αφαιρούν τις μονάδες του μειωτέου από τις μονάδες του αφαιρετέου ή έκαναν κάποιο λάθος στο χειρισμό του κρατούμενου ή τέλος έκαναν κάποιο διαδικαστικό λάθος. Ακόμη, οι μαθητές με ΜΜΔ πραγματοποίησαν και περισσότερα είδηκατηγορίες λαθών, αλλά και περισσότερα λάθη ανά είδος πράξης σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης συνομηλίκους τους. Βασιζόμενοι στα παραπάνω αποτελέσματα αρκετά χρήσιμα συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν. Γενικά, οι επιδόσεις των μαθητών, ανεξάρτητα από το είδος της στρατηγικής που χρησιμοποιούν, στο νοερό υπολογισμό προσθέσεων και αφαιρέσεων διψήφιων αριθμών, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι αρκετά ικανοποιητικές για τους μαθητές κανονικής επίδοσης, κάτι που φαίνεται από τα ποσοστά των σωστών απαντήσεων τα οποία είναι υψηλά και στις δύο πράξεις, ωστόσο δεν μπορούμε να ισχυριστούμε το ίδιο και για τους μαθητές με ΜΜΔ των οποίων οι επιδόσεις είναι πολύ πιο χαμηλές. Αυτές οι διαφορές στις επιδόσεις των δύο ομάδων είναι στατιστικά σημαντικές, που σημαίνει ότι οι μαθητές κανονικής επίδοσης είναι καλύτεροι σε σχέση με τους μαθητές με ΜΜΔ στους νοερούς υπολογισμούς προσθέσεων και αφαιρέσεων διψήφιων αριθμών. Αυτά τα αποτελέσματα συνάδουν εν μέρει με τα αποτελέσματα της έρευνας

86 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 85 των Raghubar et al. (2009) όπου οι επιδόσεις των μαθητών Γ και Δ τάξης με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά ήταν χειρότερες από τους ανάλογων τάξεων μαθητές κανονικής επίδοσης στους πολυψήφιους αριθμητικούς υπολογισμούς, με τη μόνη διαφορά ότι εδώ οι υπολογισμοί ήταν γραπτοί και όχι νοεροί. Παρόλα αυτά, η σημαντικά καλύτερη επίδοση και των δύο ομάδων στις προσθέσεις απ ό,τι στις αφαιρέσεις μαρτυρά ότι, γενικά, οι μαθητές δυσκολεύονται περισσότερο κατά τη νοερή εκτέλεση της αφαίρεσης σε σχέση με την πρόσθεση. Με άλλα λόγια, η πρόσθεση είναι πιο εύκολη πράξη από την αφαίρεση για τους μαθητές. Μάλιστα, οι Macintyre & Forrester (2003) σε έρευνά τους βρήκαν ότι το ποσοστό των μαθητών ηλικίας 8 ετών (αντιστοιχεί στην Γ δημοτικού στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα) που απάντησαν σωστά σε όλες τις προσθέσεις ήταν πολύ μεγαλύτερο από αυτό στις αφαιρέσεις, γεγονός που δείχνει ότι όντως οι αφαιρέσεις δυσκολεύουν πολύ τους μαθητές. Το αποτέλεσμα αυτό ενισχύεται και από έρευνα του Λυγούρα (2006, σελ. 49) ο οποίος αναφέρει ότι «ύστερα από σύγκριση στους μέσους όρους των ποσοστών αποτυχίας των μαθητών διαπιστώνουμε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά ανάμεσα στις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις» (για τους μαθητές της Γ δημοτικού). Επίσης, στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των επιδόσεων των μαθητών στις προσθέσεις και αφαιρέσεις υπάρχει και στις έρευνες των Καραντζή & Τόλλου (2009) που πραγματοποιήθηκε σε μαθητές της Γ δημοτικού και του Karatzis ( ) που πραγματοποιήθηκε σε μαθητές Γ και Δ δημοτικού. Ως γνωστόν, οι δύο αυτές πράξεις είναι «λογικές» και σχηματίζονται με βάση ορισμένους κανόνες. Ένας από αυτούς είναι και ο κανόνας της «αναστρεψιμότητας». Σύμφωνα με αυτόν, μια λογική πράξη «μπορεί ανά πάσα στιγμή να διεκπεραιωθεί νοητικά προς την αντίθετη κατεύθυνση και να απαλειφθεί» (Παρασκευόπουλος, 1985, σελ. 44). Έτσι, η αφαίρεση θεωρείται ως η αντίθετη-αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης (Matthews, 1981) και κατά το νοερό υπολογισμό παρουσιάζει πολυπλοκότητα που δυσκολεύει ιδιαίτερα τους μικρούς μαθητές (Gray

87 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 86 & Tall, 1992). Αυτή τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν επιλύουν αφαιρέσεις επισημαίνουν στην έρευνά τους και οι Cebulski & Bucher (1986). Επιχειρώντας μια σύγκριση εντός της κάθε πράξης παρατηρείται πως οι προσθέσεις χωρίς κρατούμενο είναι πιο εύκολες από τις προσθέσεις με κρατούμενο μόνο για τους μαθητές με ΜΜΔ και όχι και για τους κανονικής επίδοσης των οποίων οι επιδόσεις ήταν παρόμοιες. Μάλιστα, η έρευνα των Καραντζή & Τόλλου (2009) έδειξε ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των προσθέσεων χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο, αλλά μην ξεχνάμε ότι αυτή η έρευνα αφορούσε μόνο κανονικής επίδοσης μαθητές, απλά ένα χρόνο μικρότερους σε ηλικία (Γ δημοτικού). Φαίνεται, δηλαδή, οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές με ΜΜΔ στις προσθέσεις με κρατούμενο σε σχέση με αυτές χωρίς κρατούμενο να είναι ανάλογες των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν ηλικιακά μικρότεροι μαθητές ΚΕ. Βέβαια, αυτό δεν μπορούμε παρά να το υποθέσουμε και όχι να το στηρίξουμε με σιγουριά, αφού δεν εξετάζεται κάτι τέτοιο στην παρούσα έρευνα. Επίσης, όσον αφορά τώρα τις αφαιρέσεις, φάνηκε οι μαθητές (ΜΜΔ και κανονικής επίδοσης) να δυσκολεύονται περισσότερο όταν οι αφαιρέσεις έχουν κρατούμενο, γι αυτό και οι επιδόσεις τους σε αυτή την περίπτωση είναι χαμηλότερες. Το εύρημα αυτό συμφωνεί με τις έρευνες των Καραντζή & Τόλλου (2009), Karantzis ( ), Λεμονίδης (2003), Λυγούρας (2006), Macintyre & Forrester (2003) στις οποίες τονίζεται ότι στις αφαιρέσεις με κρατούμενο γίνονται λάθη στο δανεισμό, ενώ τα σφάλματα αυτού του τύπου είναι πολύ συνηθισμένα κυρίως στις γραπτές πράξεις και μάλιστα σε μεγάλο ποσοστό (Λεμονίδης, 1994). Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές κάνουν περισσότερα λάθη στις αφαιρέσεις όπου υπάρχει κρατούμενο συγκριτικά με αυτές που δεν υπάρχει κρατούμενο. Έρευνες έχουν δείξει ότι τα λάθη που παρατηρούνται στο νοερό υπολογισμό σχετίζονται με τη δυσκολία του προβλήματος, όπως είναι οι μεταφορές κρατουμένων. Αυτό συμβαίνει διότι ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος (π.χ. κρατούμενα) επιβαρύνεται η κεντρική εκτελεστική μονάδα της εργαζόμενης μνήμης, που είναι υπεύθυνη για τον έλεγχο των νοερών λειτουργιών, το αρθρωτικό κύκλωμα και άλλα πιθανόν

88 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 87 υποσυστήματα της εργαζόμενης μνήμης που χρησιμεύουν στην προσωρινή συγκράτηση των πληροφοριών μέχρι να ολοκληρωθεί η λύση του προβλήματος. Έτσι, αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, ο χρόνος που απαιτείται για τη λύση του προβλήματος να αυξάνει και τα λάθη να πολλαπλασιάζονται (Καραντζής, 2004). Όπως έχει φανεί και από τη βιβλιογραφία (Καραντζής & Τόλλου, 2009 Karantzis, Varol & Farran, 2007) οι κυρίαρχες στρατηγικές των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς είναι η 1010, η Ν10 και η MA. Η μόνη διαφορά στην παρούσα έρευνα είναι ότι στους μαθητές με ΜΜΔ έρχεται να προστεθεί και η στρατηγική της επαρίθμησης (CON), κυρίως στην πρόσθεση. Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφέρουμε ότι στις Ηνωμένες Πολιτείες και στο Ηνωμένο Βασίλειο οι μαθητές χρησιμοποιούν περισσότερο τη στρατηγική 1010, ίσως σαν αποτέλεσμα της έμφασης που δίνεται στην αξία θέσης ψηφίου - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες- (Blote, 2000 Threlfall, 2002). Αντίθετα, στην Ολλανδία όπου ακολουθείται η φιλοσοφία της ρεαλιστικής μαθηματικής εκπαίδευσης, όπως επίσης και στη Γερμανία, δίνεται έμφαση στη Ν10 στρατηγική η οποία εφαρμόζεται πιο μπροστά από τις άλλες στρατηγικές, γιατί θεωρείται ότι αυτή είναι η φυσική συνέχεια των στρατηγικών της απαρίθμησης (Blote, 2000 Καραντζής & Τόλλου, 2009 Threlfall, 2002). Αυτές λοιπόν οι στρατηγικές (εκτός από την ΜΑ) συμβάλλουν ουσιαστικά στην εμπέδωση των σχέσεων που υπάρχουν μεταξύ των αριθμών και προάγουν τη μαθηματική σκέψη (Καραντζής & Τόλλου, 2009). Στην παρούσα έρευνα, όσον αφορά στους μαθητές κανονικής επίδοσης, κυρίαρχη στρατηγική στις προσθέσεις, με και χωρίς κρατούμενο, είναι η στρατηγική 1010, ενώ ακολουθεί η ΜΑ και κατόπιν η Ν10. Αντίστοιχα, στην έρευνα των Lucangeli et al. (2003) που πραγματοποιήθηκε σε παιδιά ηλικίας 9 ετών (αντιστοιχεί στην Δ δημοτικού στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα) διαπιστώθηκε ως πρώτη στις προτιμήσεις των μαθητών, στη νοερή πρόσθεση διψήφιων αριθμών, η στρατηγική 1010, ενώ στη δεύτερη θέση ερχόταν η ΜΑ. Το ίδιο παρατηρήθηκε και στην έρευνα των Macintyre & Forrester (2003), όπου, από τις σωστές απαντήσεις των μαθητών στις νοερές προσθέσεις οι περισσότερες ανήκουν στη στρατηγική 1010

89 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 88 και στη συνέχεια στη ΜΑ, ενώ ελάχιστες είναι αυτές που ανήκουν στη Ν10 στρατηγική. Ωστόσο, τα ευρήματα αυτά έρχονται σε αντίθεση με την έρευνα των Καραντζή & Τόλλου (2009) όπου κυρίαρχη ήταν η στρατηγική ΜΑ. Ωστόσο, η ΜΑ ήταν η κυρίαρχη στρατηγική της ομάδας των μαθητών με ΜΜΔ στην παρούσα έρευνα. Φαίνεται και εδώ, τα αποτελέσματα μικρότερων σε ηλικία μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς να συνάδουν με αυτά των μαθητών με ΜΜΔ. Όπως και στην πρόσθεση, έτσι και στην αφαίρεση γενικά, η πλειοψηφία των μαθητών κανονικής επίδοσης, που απαντά σωστά, προτιμά τη χρήση της 1010 στρατηγικής. Παρόλα αυτά, οι Askew & Brown (2003) υποστηρίζουν πως, αν και τα παιδιά τείνουν να προτιμούν στις αφαιρέσεις τη 1010 στρατηγική, πρέπει να ενθαρρύνονται ώστε να χρησιμοποιούν τη Ν10 καθώς οδηγεί πιο εύκολα στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης. Ακόμη οι Wolters et al. (1990) υποστηρίζουν πως, δεδομένου ότι η 1010 στρατηγική απαιτεί ένα ακόμη βήμα κατά την εφαρμογή της σε σχέση με τη Ν10 στρατηγική, συνεπώς θα χρειάζεται και περισσότερο χρόνο λύσης. Ωστόσο, επιχειρώντας μια σύγκριση εντός των αφαιρέσεων, διαπιστώνεται πως, ενώ στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο κυρίαρχη στρατηγική είναι η 1010 και ακολουθούν η ΜΑ και η Ν10, παρόλα αυτά στις αφαιρέσεις με κρατούμενο κυριαρχεί η ΜΑ, ακολουθώντας η Ν10 στρατηγική και τελευταία η Αυτό το εύρημα συνάδει με τις έρευνες των Lucangeli et al. (2003) και των Καραντζή & Τόλλου (2009) όπου κυριαρχούσε η ΜΑ, ενώ η στρατηγική Ν10 κατείχε τη δεύτερη θέση. Μάλιστα, αυτή η διαφορά που παρατηρήθηκε στη χρήση της 1010 στρατηγικής και συγκεκριμένα η περιορισμένη χρήση της στις αφαιρέσεις με κρατούμενο είναι στατιστικά σημαντική. Όπως αναφέρουν οι Macintyre & Forrester (2003) η στρατηγική 1010 μπορεί να είναι μεν κατάλληλη σε άλλες περιπτώσεις νοερών υπολογισμών, ωστόσο στις αφαιρέσεις με κρατούμενα δεν ενδείκνυται, καθώς οι μαθητές υποπίπτουν σε λάθη. Συγκεκριμένα, η εφαρμογή της στρατηγικής 1010 σε αφαίρεση με κρατούμενο (π.χ : 50-10=40, 14-8=6, 30+6=36) έχει δύο κυρίως μειονεκτήματα: (α) ο φόρτος εργασίας στη μνήμη είναι σχετικά υψηλός και (β) ο κίνδυνος για διαδικαστικά λάθη του τύπου 8-4=4 αντί για 14-8=6

90 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 89 είναι μεγάλος (Blote et al., 2000). Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουν σε άρθρο τους και οι Beishuizen & Angileri (1998) λέγοντας ότι η στρατηγική 1010 είναι πιο πολύπλοκη υπολογιστική μέθοδος σε σχέση με τη Ν10 και έχει σαν αποτέλεσμα να γίνονται περισσότερα λάθη που οφείλονται στους δύο λόγους που αναφέραμε παραπάνω. Ακόμη, οι Thompson & Smith (1999) στην έρευνά τους αναφέρουν χαρακτηριστικά πως η N10 στρατηγική ίσως είναι η πιο αποδοτική νοερή στρατηγική κι αυτό διότι αποτελείται από δύο και όχι τρία βήματα κατά την εφαρμογή της. Ωστόσο, δεν είναι μια στρατηγική που αναπτύσσεται φυσικά από την πλειοψηφία των μαθητών, γι αυτό θα πρέπει να διδαχθεί προσεκτικά. Μάλιστα, αναφέρουν πως σε αντίθεση με τις υπόλοιπες στρατηγικές μπορεί εύκολα να μοντελοποιηθεί πάνω στην άδεια αριθμογραμμή. Αντίστοιχα και οι Wolters et al. (1990) υποστηρίζουν πως γενικά θα πρέπει να προτιμούνται μέθοδοι διδασκαλίας που προωθούν τη χρήση της Ν10 στρατηγικής. Όσον αφορά στους μαθητές με ΜΜΔ οι οποίοι σημείωσαν πολύ χαμηλές επιδόσεις στην αφαίρεση και ιδιαίτερα στις αφαιρέσεις με κρατούμενα, εν τούτοις, στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο προτίμησαν τη 1010 στρατηγική, κατόπιν την ΜΑ και στη συνέχεια τη Ν10, όπως ακριβώς και οι μαθητές κανονικής επίδοσης, ενώ στις αφαιρέσεις με κρατούμενο κυριάρχησε η Ν10 στρατηγική, μετά η ΜΑ και ύστερα η Οι στατιστικώς σημαντικές διαφορές που παρατηρήθηκαν στη χρήση των στρατηγικών 1010 και MA μεταξύ των αφαιρέσεων, αλλά και των προσθέσεων, με κρατούμενο και χωρίς κρατούμενο επαληθεύει για μία ακόμη φορά τον ισχυρισμό ότι οι πράξεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από αυτές χωρίς κρατούμενο. Κάτι το οποίο παρατηρείται στην ποικιλία των στρατηγικών που επέλεξαν οι μαθητές κανονικής επίδοσης, σε αντίθεση με τους μαθητές ΜΜΔ, είναι ότι σε καμία πράξη δε χρησιμοποιήθηκε η στρατηγική της επαρίθμησης, ούτε στην πρόσθεση ούτε στην αφαίρεση. Στην ίδια επίσης διαπίστωση κατέληξαν στην έρευνά τους και οι Macintyre & Forrester (2003) που πραγματοποιήθηκε σε μαθητές κανονικής επίδοσης ηλικίας 8 ετών (αντιστοιχεί στην Γ δημοτικού στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα). Άλλωστε η επαρίθμηση, όπως και η απαρίθμηση, είναι μια διαδικασία που επιλέγουν οι μαθητές στις πρώτες τάξεις του δημοτικού,

91 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 90 ενώ στη συνέχεια εγκαταλείπεται (Λυγούρας, 2006), καθώς οι μαθητές έχουν αποκτήσει εμπειρία και ευχέρεια στη χρήση βασικών δεδομένων και είναι ικανοί να χρησιμοποιούν πιο αφηρημένες-προωθημένες διαδικασίες αριθμητικών υπολογισμών (Καραντζής, 2007). Όμως, η διαφορά που παρατηρήθηκε στη χρήση της επαρίθμησης από τους μαθητές με ΜΜΔ σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης στην πρόσθεση γενικά και στην πρόσθεση χωρίς κρατούμενο πιο ειδικά, είναι στατιστικά σημαντική, γεγονός το οποίο ενισχύει τις έρευνες που υποστηρίζουν ότι οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά χρησιμοποιούν πιο συχνά ανώριμες στρατηγικές σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης συνομηλίκους τους (Bryant, 2005 Geary et al., 2004 Geary, 2010 Jordan et al., 2003). Επιπλέον, η χρήση των στρατηγικών της στρογγυλοποίησης (N10C), αλλά και του συμπληρώματος του αφαιρετέου ήταν σχεδόν μηδαμινή από την πλευρά των μαθητών ακόμη και σε πράξεις που η χρήση τους ευνοούνταν π.χ (ευνοεί τη N10C 85+15=100, 100-1=99) και (ευνοεί επίσης τη N10C 95-20=75, 75+1=76). Το ίδιο είχε παρατηρηθεί και στην έρευνα των Blote et al. (2000) όπου αναφέρεται ότι πράξεις όπως ναι μεν είναι εύκολο να επιλυθούν με τη στρατηγική Ν10, αλλά η Ν10C είναι ακόμη πιο αποδοτική στην προκειμένη περίπτωση (δηλαδή 72-19: 72-20=52, 52+1=53). Βέβαια, για να διαλέξουν οι μαθητές αυτή τη στρατηγική, όπως αναφέρεται στο άρθρο τους, θα πρέπει να έχουν κατανοήσει πλήρως τα χαρακτηριστικά των δύο αριθμών σε σχέση με τους υπόλοιπους αριθμούς και σε σχέση με το είδος του προβλήματος. Μάλιστα, οι Macintyre & Forrester (2003) υποστηρίζουν ότι η στρατηγική της στρογγυλοποίησης απαιτεί ευελιξία σκέψης σε σημαντικό βαθμό, ιδιαίτερα στην αφαίρεση. Ευέλικτοι χαρακτηρίζονται σύμφωνα με τους Varol & Farran (2007) οι μαθητές οι οποίοι είναι ικανοί να επιλέγουν τους πιο αποδοτικούς τρόπους επίλυσης προβλημάτων (είτε πρόσθεσης είτε αφαίρεσης). Σύμφωνα με τους Macintyre & Forrester (2003), το κλειδί της επιτυχίας στους νοερούς υπολογισμούς είναι η ευελιξία. Με άλλα λόγια, δεν αρκεί να είσαι απλά ικανός να χρησιμοποιείς μια συγκεκριμένη στρατηγική, αλλά θα πρέπει να μπορείς να διαλέγεις την κατάλληλη από ένα σύνολο διαφορετικών στρατηγικών ή να προσαρμόζεις τη

92 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 91 σκέψη σου έτσι ώστε να ταιριάζει στο συγκεκριμένο πρόβλημα (Macintyre & Forrester, 2003). Επομένως, θα πρέπει να αναγνωρίζεις την αξία μιας στρατηγικής και τη σχετική της χρησιμότητα σε σχέση με άλλες (Blote, 2000). Επιπλέον αποτέλεσμα της παρούσας έρευνας είναι ότι οι μαθητές κανονικής επίδοσης επιλέγουν τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση, κατά την εκτέλεση των νοερών υπολογισμών, εύρημα που συμφωνεί και με την έρευνα του Karantzis ( ). Αντίθετα, σε προηγούμενη έρευνά του (Καραντζής & Τόλλου, 2009) οι μαθητές φάνηκε ότι ενώ προτιμούσαν τη χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου κατά τη νοερή πρόσθεση, δε συνέβαινε το ίδιο κατά τη νοερή αφαίρεση, στην οποία προτιμούσαν την ΜΑ. Τόσο στην παρούσα έρευνα όσο και σε αυτές των Karantzis ( ) και Καραντζής & Τόλλου (2009) είχε ακολουθηθεί η ίδια ακριβώς μεθοδολογία, χρησιμοποιώντας το ίδιο ακριβώς υλικό στους μαθητές της ίδιας περιοχής (Πάτρα). Η μόνη διαφορά ήταν ότι η έρευνα των Καραντζή & Τόλλου (2009) είχε λάβει χώρα κατά το δεύτερο χρόνο εφαρμογής του νέου αναλυτικού προγράμματος στα μαθηματικά με αποτέλεσμα τα παιδιά αυτά να διδαχθούν το νέο πρόγραμμα και τα νέα βιβλία από τη Β δημοτικού και μετά, σε αντίθεση με τα παιδιά των άλλων ερευνών που διδάχτηκαν το νέο πρόγραμμα από την πρώτη στιγμή εισαγωγής τους στο νέο σχολείο. Λαμβάνοντας αυτά υπόψη και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι το νέο αναλυτικό πρόγραμμα και τα νέα βιβλία πιθανόν να βελτίωσαν ποσοτικά την επίδοση των μαθητών αλλά και ποιοτικά τις στρατηγικές τους. Πράγμα που σημαίνει ότι αυτή η βελτίωση στην ποιότητα ίσως είναι αποτέλεσμα της καλύτερης κατανόησης της αξίας και της θέσης των ψηφίων στον αριθμό (Karantzis, ). Δεδομένου ότι οι μαθητές, τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση χρησιμοποίησαν στρατηγικές υψηλού επιπέδου, αυτό σημαίνει, όπως έχει αναφερθεί, ότι προτίμησαν στρατηγικές όπως η 1010 και η Ν10 και όχι τη ΜΑ. Γενικά είναι επιθυμητό να μη χρησιμοποιεί κάποιος την ΜΑ ούτε να χειρίζεται-αντιμετωπίζει τους αριθμούς σαν ψηφία κατά την εκτέλεση νοερών υπολογισμών (Macintyre & Forrester, 2003). Η παραπάνω διαπίστωση της παρούσας έρευνας

93 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 92 δείχνει ότι προφανώς, οι μαθητές έχουν κατανοήσει ότι οι αριθμοί αναλύονται σε δεκάδες και μονάδες, δηλαδή αντιλαμβάνονται την αξία της θέσης των αριθμών. Έτσι, παρά το γεγονός ότι είναι γενικά αποδεκτή από τη διεθνή βιβλιογραφία η επιρροή της διδασκαλίας των γραπτών πράξεων στις αυθόρμητες νοερές στρατηγικές των παιδιών, καθώς σύμφωνα με το Λεμονίδη (2006) «πριν από τη διδασκαλία τα παιδιά παρουσιάζουν μια ποικιλία από αποτελεσματικές νοερές στρατηγικές, ενώ μετά τη διδασκαλία έχουν την τάση να χρησιμοποιούν μια νοερή στρατηγική η οποία φαίνεται να αντανακλά το γραπτό αλγόριθμο που δίδαξε ο δάσκαλος» (Καραντζής & Τόλλου, 2009), ωστόσο από τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας, φαίνεται πως ο κάθετος αλγόριθμος δεν έχει επηρεάσει σε τόσο σημαντικό βαθμό τις αυθόρμητες νοερές στρατηγικές των παιδιών. Επίσης, οι Heirdsfield & Cooper (2004α) υποστηρίζουν ότι οι αποτελεσματικές νοερές στρατηγικές απαιτούν καλή νοητική κατάκτηση του αριθμητισμού. Γενικά, όσο πιο ολόπλευρη (aspects) είναι η κατάκτηση του αριθμητισμού τόσο μεγαλύτερη και πιο συχνή είναι η πρόσβαση σε ποικιλία στρατηγικών υψηλού επιπέδου. Ακόμη, η χρήση στρατηγικών υψηλού επιπέδου, εκ μέρους των παιδιών κανονικής επίδοσης, ήταν πιο έντονη στην πρόσθεση απ ό,τι στην αφαίρεση και επιπλέον πιο έντονη στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο απ ό,τι στις αφαιρέσεις με κρατούμενο. Δηλαδή, οι μαθητές τείνουν να προτιμούν τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου σε μεγαλύτερο βαθμό στην πρόσθεση απ ό,τι στην αφαίρεση (Καραντζής & Τόλλου, 2009), όπως επίσης και στις αφαιρέσεις χωρίς κρατούμενο απ ό,τι στις αφαιρέσεις με κρατούμενο. Αυτό δείχνει για μία ακόμη φορά τη δυσκολία της αφαίρεσης έναντι της πρόσθεσης, αλλά και τη δυσκολία των πράξεων που περιέχουν κρατούμενο, γεγονός που, όπως ειπώθηκε και παραπάνω, πιθανόν να οφείλεται σε θέματα που αφορούν την επεξεργασία και συγκράτηση των πληροφοριών στην εργαζόμενη μνήμη. Απ την άλλη πλευρά, σχετικά με τους μαθητές με ΜΜΔ, δε σημειώνονται στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των στρατηγικών υψηλού και χαμηλού επιπέδου. Ωστόσο στατιστικώς σημαντικές διαφορές παρατηρήθηκαν εντός των στρατηγικών υψηλού επιπέδου και

94 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 93 χαμηλού επιπέδου, η χρήση των οποίων φάνηκε να μειώνεται και στην πρόσθεση, αλλά και στην αφαίρεση καθώς κινούμαστε από τις πράξεις χωρίς κρατούμενο στις πράξεις με κρατούμενο. Με άλλα λόγια, η χρήση καθεμιάς από τις δύο αυτές κατηγορίες μειωνόταν καθώς αυξανόταν η δυσκολία της πράξης (χωρίς κρατούμενο με κρατούμενο). Αυτό ενισχύει για μία ακόμη φορά την άποψη-εύρημα ότι οι πράξεις με κρατούμενο είναι πιο δύσκολες από αυτές χωρίς κρατούμενο. Όσον αφορά στα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη σύγκριση των δύο ομάδων, πέρα από αυτά που προαναφέρθηκαν, να σημειωθεί ότι οι επιδόσεις των μαθητών κανονικής επίδοσης ήταν καλύτερες έναντι των μαθητών με ΜΜΔ, όχι μόνο στις δύο πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση -, αλλά και εντός κάθε πράξης, δηλαδή χωρίς κρατούμενο και με κρατούμενο. Όπως έχουν αναφέρει οι έρευνες, ένα από τα βασικά ελλείμματα των μαθητών με ΜΜΔ είναι το γνωστικό έλλειμμα της εργαζόμενης μνήμης. Δεδομένου ότι, σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, η δυσκολία των πράξεων με κρατούμενο σε σχέση με αυτές χωρίς κρατούμενο οφείλονται σε θέματα που αφορούν την επεξεργασία και συγκράτηση των πληροφοριών στην εργαζόμενη μνήμη, τότε είναι αναμενόμενο οι μαθητές της ομάδας με ΜΜΔ να δυσκολεύονται σε αυτές τις πράξεις πολύ περισσότερο από τους κανονικής επίδοσης. Επιπρόσθετα, λόγω της πολυπλοκότητας της αφαίρεσης σαν πράξη, ειδικά στο νοερό υπολογισμό, και δεδομένων των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές με ΜΜΔ, ακόμη και με την ανάκληση βασικών αριθμητικών δεδομένων, αναμενόμενο είναι, λοιπόν, και στην πράξη της αφαίρεσης η δυσκολία τους να είναι πολύ μεγαλύτερη σε σχέση με την άλλη ομάδα. Όπως έχουν δείξει διάφορες έρευνες κυρίως σε μαθητές των πρώτων τάξεων του δημοτικού (Α, Β ), οι μαθητές με ΜΜΔ χρησιμοποιούν αναπτυξιακά πιο ανώριμες στρατηγικές υπολογισμού-αρίθμησης σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης συνομηλίκους τους κατά τη νοερή επίλυση απλών και σύνθετων προσθέσεων (Geary et al, 1992, 2004). Η παρούσα έρευνα έρχεται να συμφωνήσει με την παραπάνω διαπίστωση και να την επεκτείνει σε μαθητές Δ τάξης και όχι μόνο στην πρόσθεση, αλλά και στην αφαίρεση. Συγκεκριμένα, διαπιστώθηκε πως οι

95 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 94 μαθητές κανονικής επίδοσης χρησιμοποιούν πιο έντονα τις στρατηγικές υψηλού επιπέδου (1010, Ν10) σε σχέση με τους ΜΜΔ, τόσο στην πρόσθεση και την αφαίρεση γενικά, όσο και εντός κάθε πράξης, με και χωρίς κρατούμενο, πιο ειδικά. Όλα αυτά, τόσο η μειωμένη χρήση των στρατηγικών υψηλού επιπέδου συνολικά, όσο και η μειωμένη χρήση των επιμέρους στρατηγικών 1010 και Ν10 πιο ειδικά, επιβεβαιώνουν τις φτωχές υπολογιστικές ικανότητες των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και ειδικότερα στους νοερούς υπολογισμούς. Στην έρευνα των Thompson & Smith (1999) όπου οι μαθητές είχαν χωριστεί σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με τις επιδόσεις τους στους νοερούς υπολογισμούς χαμηλής επίδοσης, μέτριας επίδοσης, υψηλής επίδοσης βρέθηκε πως οι μαθητές υψηλής επίδοσης ήταν πιο πιθανό να χρησιμοποιήσουν υψηλότερου επιπέδου στρατηγικές σε σχέση με τους χαμηλής επίδοσης τόσο στην πρόσθεση όσο και στην αφαίρεση. Σχετικά με τα λάθη στα οποία υπέπεσαν οι μαθητές, όπως προαναφέρθηκε, η πλειοψηφία αυτών αφορούσε τα λάθη στις αφαιρέσεις με κρατούμενο. Στο ίδιο αποτέλεσμα κατέληξαν και οι έρευνες των Καραντζή κ. συν (2010), Καραντζή & Τόλλου (2009), Lemonidis (2008), Macintyre & Forrester (2003), όπου αναφέρεται χαρακτηριστικά ότι οι μαθητές οδηγούνται σε περισσότερα λάθη όταν οι αφαιρέσεις έχουν κρατούμενο. Στην κατηγορία αυτή τα περισσότερα λάθη γίνονταν διότι οι μαθητές, αφαιρούσαν τις μονάδες του μειωτέου από τις μονάδες του αφαιρετέου. Μάλιστα, ο Αγαλιώτης (2011) αναφέρει ότι το λάθος με τη μεγαλύτερη συχνότητα, σε έρευνα που είχε γίνει με σκοπό την ανεύρεση των λαθών, κατά την εφαρμογή των αλγορίθμων των πράξεων, ήταν η αφαίρεση του μεγαλύτερου από το μικρότερο αριθμό, ανεξάρτητα αν ανήκε στο μειωτέο ή στον αφαιρετέο. Επιπλέον, τόσο οι Beishuizen & Anghileri (1998) όσο και οι Blote et al. (2000), καταλήγουν ότι η στρατηγική 1010 είναι πιο πολύπλοκη υπολογιστική μέθοδος σε σχέση με τη Ν10, στην περίπτωση των αφαιρέσεων με κρατούμενο, και έχει σαν αποτέλεσμα να γίνονται περισσότερα λάθη του τύπου 8-4=4 αντί για 14-8=6 (στην αφαίρεση 54-18).

96 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 95 Μια επίσης σημαντική κατηγορία λαθών είναι αυτή που σχετίζεται με το χειρισμό του κρατούμενου. Όπως τονίζει και ο Lemonidis (2008), στις αφαιρέσεις με κρατούμενο γίνονται λάθη στο δανεισμό. Μάλιστα, ο ίδιος σε άλλη έρευνά του αναφέρει πως, τα σφάλματα αυτού του τύπου είναι πολύ συνηθισμένα κυρίως στις γραπτές πράξεις και μάλιστα σε μεγάλο ποσοστό. Μια εξήγηση της αιτίας αυτών των λαθών κατά το νοερό υπολογισμό είναι ότι η συγκράτηση των κρατούμενων στην εργαζόμενη μνήμη αυξάνει το πλήθος των πληροφοριών και αυτό έχει ως αποτέλεσμα την πιθανή ύπαρξη λάθους -παράλειψη κρατουμένων ή κάποιο παρεμφερές λάθος- (Λεμονίδης, 1994). Όσον αφορά τα διαδικαστικά λάθη, τα αποτελέσματα αυτά επιβεβαιώνονται και από τις έρευνες του Αγαλιώτη (2000), ο οποίος επισταμένως τονίζει ότι το λάθος αυτό είναι συνηθέστερο τόσο στον νοερό όσο και στο γραπτό υπολογισμό. Τα λάθη αυτά οφείλονται είτε σε απροσεξία είτε σε λανθασμένα μοτίβα υπολογισμών είτε, τέλος, σε έλλειψη δεξιότητας στο χειρισμό των αριθμητικών παραγόντων και παρατηρούνται κυρίως στους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά (Ashlock, 2006). Πιθανόν, αυτή η κατηγορία λαθών στους μαθητές με ΜΜΔ να σχετίζεται με το πιο μόνιμης φύσης έλλειμμά τους που αφορά στην άμεση ανάκληση αριθμητικών δεδομένων από τη μακρόχρονη μνήμη. Μάλιστα, όσον αφορά στους μαθητές με ΜΜΔ, οι ερευνητές υποστηρίζουν πως τυπικά λάθη που πραγματοποιούν αυτοί οι μαθητές γενικότερα κατά την εκτέλεση πράξεων είναι, στην αφαίρεση τα «λάθη δανεισμού» (Bryant et al., 2000 Geary, 2010) και η αφαίρεση των μονάδων του μειωτέου από τις μονάδες του αφαιρετέου (Geary, 2010) και το «κρατούμενο» στην πρόσθεση (Bryant et al., 2000). Όπως είδαμε, η κατηγορία με τα περισσότερα λάθη στην πρόσθεση ήταν αυτή όπου οι μαθητές εφεύραν μια ιδιαίτερη «στρατηγική» (π.χ : 8+8=16, 6+2=8, 816) η οποία δείχνει φανερά την αδυναμία-πρόβλημα των μαθητών με ΜΜΔ να κατανοήσουν τη θεσιακή αξία και κατ επέκταση την έννοια του αριθμού.

97 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 96 Από την έρευνα φάνηκε πως, οι μαθητές με ΜΜΔ όχι μόνο πραγματοποίησαν περισσότερα είδη λαθών σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης, αλλά και ο αριθμός των λαθών στα οποία υπέπεσαν οι μαθητές με ΜΜΔ ήταν κατά πολύ μεγαλύτερος από αυτόν των μαθητών κανονικής επίδοσης ανάλογα με το είδος πράξης (αφαίρεση με κρατούμενο, αφαίρεση χωρίς κρατούμενο, πρόσθεση). Επίσης, παρατηρήθηκε από τον εξεταστή πως η πλειοψηφία των μαθητών με ΜΜΔ χρειαζόταν περισσότερο χρόνο για να ολοκληρώσει την εξέταση σε σχέση με τους μαθητές της ομάδας κανονικής επίδοσης και χρησιμοποιούσε τα δάχτυλα προκειμένου να υπολογίσει το αποτέλεσμα απλών αριθμητικών δεδομένων. Παρόμοια ήταν τα αποτελέσματα των Mammarella et al. (2013), όπου αναφέρεται ότι οι μαθητές με DD ήταν πιο αργοί στους νοερούς υπολογισμούς σε σχέση με τους κανονικής επίδοσης μαθητές, έκαναν περισσότερα λάθη και εφάρμοζαν αναπτυξιακά ανώριμες στρατηγικές. Εκπαιδευτικές Επιπτώσεις Τι σημαίνουν όμως όλα τα προαναφερθέντα αποτελέσματα και συμπεράσματα σχετικά με τη μελέτη των νοερών διψήφιων προσθέσεων και αφαιρέσεων σε μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά; Είναι φανερό πως οι έρευνες που αφορούν στους διψήφιους νοερούς υπολογισμούς σε μαθητές με ΜΜΔ είναι ανύπαρκτες, όχι μόνο στην ελληνική αλλά και τη διεθνή εκπαιδευτική πραγματικότητα. Δεν εντοπίστηκαν παρόμοιες μελέτες σε επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια. Περαιτέρω έρευνες είναι απαραίτητες για τη μελέτη των επιδόσεων αλλά και των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά όταν εκτελούν νοερούς διψήφιους υπολογισμούς. Επιπλέον έρευνες απαιτούνται ακόμη και για το ρόλο που διαδραματίζει η εργαζόμενη μνήμη, καθώς και καθένα από τα υποσυστήματά της, κατά την εκτέλεση νοερών υπολογισμών. Ωστόσο, το γενικό συμπέρασμα της παρούσας μελέτης είναι η αδυναμία των μαθητών με ΜΜΔ όταν εκτελούν διψήφιους νοερούς υπολογισμούς και κυρίως διψήφιες νοερές αφαιρέσεις στις οποίες αποτυγχάνουν παταγωδώς. Όσον αφορά στην κατηγορία των στρατηγικών που

98 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 97 χρησιμοποιούν δε φαίνεται να υπερισχύει κάποια, δηλαδή αυτές του υψηλού ή του χαμηλού επιπέδου. Ακόμη, υποπίπτουν σε πολλά λάθη. Τι μπορεί όμως να κάνει ο εκπαιδευτικός μέσα στην τάξη ώστε, όχι μόνο να βοηθήσει τους μαθητές με ΜΜΔ, αλλά να βελτιώσει και τις επιδόσεις των υπολοίπων μαθητών κανονικής επίδοσης; Παρακάτω αναφέρονται ενδεικτικά κάποιες απλές αλλά ταυτόχρονα και πολύ χρήσιμες συμβουλές διδακτικής των νοερών υπολογισμών, όπως επίσης και κάποια αξιόλογα διδακτικά εργαλεία. Όπως αναφέρει και ο Ashlock (2006), τα λάθη είναι ένα θετικό στοιχείο στη διαδικασία της μάθησης και θεωρούνται ως μια καλή ευκαιρία για στοχασμό και ανατροφοδότηση. Έτσι, αντί να προειδοποιούμε τους μαθητές μας για λάθη που πρέπει να αποφύγουν, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τα λάθη ως καταλύτες, προκειμένου να αναζητήσουμε αιτίες και να προτείνουμε τρόπους αντιμετώπισής τους. Δεδομένου ότι η στρατηγική 1010 είναι πιο πολύπλοκη υπολογιστική μέθοδος, κυρίως στις αφαιρέσεις με κρατούμενο, σε σχέση με τη Ν10, με αποτέλεσμα να γίνονται περισσότερα λάθη, ως αντιστάθμισμα, λοιπόν, ο εκπαιδευτικός θα ήταν χρήσιμο να παροτρύνει τους μαθητές να χρησιμοποιούν, σε αυτές τουλάχιστον τις περιπτώσεις, τη στρατηγική Ν10. Σε αυτή την περίπτωση, χρήσιμο εργαλείο μπορεί να καταστεί για τους μαθητές η χρήση της άδειας αριθμογραμμής (Beishuizen & Anghileri, 1998 Blote et al., 2000). Η άδεια αριθμογραμμή βοηθάει τους μαθητές στην κατανόηση και χρήση της πολύ ευέλικτης και αποδοτικής στρατηγικής του Ν10, η οποία αρχικά, κατά τη μάθησή της, αποτελεί εμπόδιο για πολλούς μαθητές λόγω του ότι οι μαθητές πρέπει να κάνουν βήματα ανά 10 (π.χ. 48, 58, 68 κτλ. και προς τα πίσω). Εκτός αυτού, μέσα από την απόκτηση της αίσθησης του αριθμού και της ευκολίας χρήσης της στρατηγικής του Ν10, που προσφέρει η άδεια αριθμογραμμή, παρέχεται καλύτερη και πιο ουσιαστική κατανόηση της περίπλοκης στρατηγικής του 1010 (Beishuizen & Anghileri, 1998).

99 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 98 Το ίδιο υποστηρίζουν σε άρθρο τους και οι Heirdsfield & Lamb (2005) οι οποίοι αναφέρουν ότι σύμφωνα με αποτελέσματα ερευνών, όταν οι στρατηγικές νοερού υπολογισμού των παιδιών υποστηρίζονται (συνοδεύονται) από την άδεια αριθμογραμμή, τότε τα παιδιά αναπτύσσουν αποτελεσματικές στρατηγικές νοερού υπολογισμού, αλλά και πολλές εναλλακτικές στρατηγικές. Μάλιστα, σε έρευνα των Καραντζή κ. συν (2011) σε μαθητές της Γ και Δ τάξης, φάνηκε πως η παρέμβαση, που έγινε στην πειραματική ομάδα με τη διδασκαλία της στρατηγικής Ν10 μέσα από τη χρήση της άδειας αριθμογραμμής, είχε σαν αποτέλεσμα τη σημαντική βελτίωση στις επιδόσεις των μαθητών και τη χρήση της Ν10 στρατηγικής σε μεγαλύτερο ποσοστό σε σχέση με αυτό πριν την παρέμβαση. Γενικά, οι επιδόσεις των μαθητών βελτιώνονται, όταν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν απαιτούν λιγότερα γνωστικά βήματα, συνεπώς λιγότερη γνωστική υπερφόρτωση της εργαζόμενης μνήμης. Ειδικότερα, η 1010 απαιτεί τουλάχιστον ένα βήμα περισσότερο από τη Ν10 και έτσι αυξάνεται ο χρόνος συγκράτησης των πληροφοριών στη μνήμη (Καραντζής κ. συν, 2011) και κατά συνέπεια οδηγεί σε περισσότερα λάθη κυρίως στις αφαιρέσεις με κρατούμενο (Blote et al., 2000 Καραντζής κ. συν, 2010 Macintyre & Forrester, 2003). Αναφορικά με την περίπτωση της χρήσης της στρατηγικής του νοερού παραδοσιακού αλγόριθμου, ο εκπαιδευτικός μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές του στην εκτέλεση της πράξης της αφαίρεσης με κρατούμενο με βάση το μειωτέο (Αγαλιώτης, 2000). Στην αφαίρεση π.χ ο μαθητής μπορεί να αρχίσει από το μειωτέο λέγοντας: «4 βγάζω 9 δε γίνεται και λέω 14-9=5, οι 7 δεκάδες γίνονται 6 και λέω 6-1=5, άρα το αποτέλεσμα είναι 55». Τέλος, σε κάθε περίπτωση, ο εκπαιδευτικός πρέπει να καλλιεργεί τις μεταγνωστικές δεξιότητες των μαθητών του ρωτώντας τους κάθε φορά πώς σκέφτηκαν για να βρουν το αποτέλεσμα κάθε πράξης. Έτσι, θα βγουν στην επιφάνεια κάθε είδους παρερμηνείες και λανθασμένα μοτίβα υπολογισμών από τους μαθητές και ο εκπαιδευτικός με τους κατάλληλους

100 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 99 χειρισμούς θα τους βοηθήσει αφενός να συνειδητοποιήσουν τα λάθη τους και αφετέρου να αναθεωρήσουν τις λανθασμένες απόψεις τους (Καραντζής κ. συν, 2010). Περιορισμοί Προκειμένου να επιτευχθεί ο σκοπός της παρούσας μελέτης, στην έρευνα συμμετείχαν μαθητές κανονικής επίδοσης, αλλά και μαθητές που παρουσίαζαν μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Έτσι λοιπόν, όσον αφορά στη μεθοδολογία αυτής της έρευνας θα πρέπει να επισημανθεί ότι η επιλογή των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά δε βασίστηκε σε δεδομένα κρατικών φορέων (ΚΕΔΔΥ). Αυτό συνέβη διότι σπάνια μαθητές που παρουσιάζουν δυσκολίες μόνο στα μαθηματικά παραπέμπονται στα ΚΕΔΔΥ για αξιολόγηση, ενώ απ την άλλη σε πολλές διαγνώσεις δυσλεξίας που υπάρχει πιθανότητα οι μαθητές να παρουσιάζουν δυσκολίες και στα μαθηματικά αυτό δεν διευκρινίζεται. Δεδομένου ότι στην Ελλάδα δεν έχουν γίνει αντίστοιχες έρευνες στις διψήφιες νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις σε μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, ίσως μελλοντικές έρευνες όχι μόνο στη Δ τάξη αλλά και σε άλλες τάξεις του δημοτικού σχολείου θα μπορούσαν να μας δώσουν μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα για αυτούς τους μαθητές και να συντελέσουν στη δημιουργία αξιόλογων εκπαιδευτικών προγραμμάτων παρέμβασης. Τέλος, επιπλέον έρευνες θα μπορούσαν να ασχοληθούν πιο διεξοδικά με τα είδη των λαθών τα οποία διαπράττουν οι μαθητές κατά τους νοερούς υπολογισμούς.

101 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 100 Βιβλιογραφία Αγαλιώτης, Ι. Ν. (2000). Μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Αγαλιώτης, Ι. Ν. (2011). Διδασκαλία μαθηματικών στην ειδική αγωγή και εκπαίδευση: Φύση και διαχείρηση των μαθηματικών δυσκολιών. Αθήνα: Εκδόσεις Γρηγόρη. American Psychiatric Association. (1994). Diagnostic and statistical manual of mental disorders, IV. Washington, DC, American Psychiatric Press, American Psychiatric Association. (2000). Diagnostic and statistical manual of mental disorders (4th ed.). Washington, DC: American Psychiatric Association (Text Revision). (DSM IV TR). Askew, M., & Brown, M. (2003). How do we teach children to be numerate? A Professional User Review of UK research undertaken for the British Educational Research Association. London: BERA. Ashlock, R. (2006). Error Patterns in Computation: Using Error Patterns to Improve Instruction (9 th ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. Baddeley, A.D., & Hitch, G.J. (1974). Working memory. In G.H. Bower (Eds.), The Psychology of Learning and Motivation: Advances in Research and Theory. Vol. 8, (pp ). New York: Academic Press. Baddeley, A. (1998). Recent developments in working memory. Current Opinion in Neurobiology, 8, Baddeley, A. (2000). The episodic buffer: a new component of working memory? Trends in Cognitive Sciences, 4, Βαμβακούση, Ξ., Καργιωτάκης, Γ., Μπομποτίνου, Α, & Σαΐτης, Α. (2007). Μαθηματικά Δ Δημοτικού (βιβλίο μαθητή). Αθήνα: Πατάκης. Barbaresi, W. J., Katusic, S. K., Colligan, R.C., Weaver, A. L., & Jacobsen, S. J. (2005). Math learning disorder: Incidence in a population-based birth cohort, , Rochester, Minnesota. Ambulatory Pediatrics, 5,

102 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 101 Beishuizen, M., & Anghileri, J. (1998). Which mental strategies in the early number curriculum? A comparison of british ideas and dutch views. British Educational Research Journal, 24, Blote, A. W., Klein, A. S., & Beishuizen, M. (2000). Mental computation and conceptual understanding. Learning and Instruction, 10, Bryant, D., Bryant, B., & Hammill, D. D. (2000). Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weaknesses. Journal of Learning Disabilities, 33, Bryant, D. P. (2005). Commentary on early identification and intervention for students with mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38, Callingham, R. (2005). Primary students mental computation: Strategies and achievement. In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce, & A. Roche (Eds.), Building connections: Research, theory and practice (Proceedings of the 28 th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, pp ). Melbourne: MERGA. Cebulski, L., & Bucher, B. (1986). Identification and remediation of children s subtraction errors: A comparison of practical approaches. Journal of School Psychology, 24, Chong, S. L., & Siegel, L. S. (2008). Stability of computational deficits in math learning disability from second through fifth grades. Developmental Neuropsychology, 33, DeStefano, D., & LeFevre, J. (2004). The role of working memory in mental arithmetic. European Journal of Cognitive Psychology, 16, DfEE (Department for Education and Employment). (1999). The National Numeracy Strategy: Framework for teaching mathematics from Reception to Year 6. London: DfEE.

103 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 102 Dowker, A. (2005). Early identification and intervention for students with mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38, Foxman, D. & Beishuizen, M. (2003) Mental calculation methods used by 11-year-olds in different attainment bands: a reanalysis of data from the 1987 APU survey in the UK, Educational Studies in Mathematics, 51, Fuchs, L. S., & Fuchs, D. (2002). Mathematical problem-solving profiles of students with mathematics disabilities with and without comorbid reading disabilities. Journal of Learning Disabilities, 35, Furst, A. J., & Hitch, G. J. (2000). Separate roles for executive and phonological components of working memory in mental arithmetic. Memory & Cognition, 28, Gathercole, S.E., & Pickering, S.J. (2000). Working memory deficits in children with low achievements in the national curriculum at seven years of age. British Journal of Educational Psychology, 70, Geary, D. C., Bow-Thomas, C. C., & Yao, Y. (1992). Counting knowledge and skill in cognitive addition: A comparison of normal and mathematically disabled children. Journal of Experimental Child Psychology, 54, Geary, D. C. (1993). Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological, and genetic components. Psychological Bulletin, 114, Geary, D. C. (2004). Mathematics and learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37(1), Geary, D., Hoard, M. K., Byrd-Craven, J., & DeSoto, C. M. (2004). Strategy choices in simple and complex addition: Contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology, 88,

104 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 103 Geary, D. C., Hoard, M. K., Byrd-Craven, J., Nugent, L., & Numtee, C. (2007). Cognitive mechanisms underlying achievement deficits in children with mathematical learning disability. Child Development, 78, Geary, D. C., Hoard, M. K., Nugent, L., & Byrd-Craven, J. (2008). Development of number line representations in children with mathematical learning disability. Developmental Neuropsychology, 33, Geary, D. C. (2010). Mathematical learning disabilities. In J. Holmes (Ed.), Advances in Child Development and Behavior, 38, San Diego, CA: Academic Press. Geary, D. C., Hoard, M. K., Nugent, L., & Bailey, D. H. (2012). Mathematical cognition deficits in children with learning disabilities and persistent low achievement: A five-year prospective study. Journal of Educational Psychology, 104, Gelman, R., & Meck, E. (1983). Preschooler s counting: Principles before skill. Cognition, 13, Gersten, R., & Chard, D. (1999). Number sense: Rethinking arithmetic instruction for students with mathematical disabilities. The Journal of Special Education, 33(1), Gersten, R., Jordan, N. C., & Flojo, J. R. (2005). Early identification and interventions for students with mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38, Gibbs, D. P., & Cooper, E. B. (1989). Prevalence of communication disorders in students with learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 22, Gravemeijer, K. (1994). Educational development and developmental research in mathematics education. Journal for research in mathematics education, 25, Gray, E., & Tall, D. (1992). Success and failure in mathematics: Procept and procedure. Workshop on Mathematics Education and Computers, Taipei National University, Hammill, D. D. (1990). On defining learning disabilities: An emerging consensus. Journal of Learning Disabilities, 23(2),

105 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 104 Heirdsfield, A. M., Cooper, T. J., & Irons, C. J. (1999). Traditional pen-and-paper vs. mental approaches to computation: the lesson of Adrien. In of the Australian Association for Research in Education Conference, December, 1999, Melbourne, Australia. Heirdsfield, Α., & Cooper, T. (2004α). Factors affecting the process of proficient mental addition and subtraction: case studies of flexible and inflexible computers. Journal of Mathematical Behavior, 23, Heirdsfield, A., & Cooper, T. (2004β). Inaccurate mental addition and subtraction: Causes and compensation. Focus on Learning Problems in Mathematics, 26(3), Heirdsfield, A., & Lamb, J. (2005). Mental computation: The benefits of informed teacher instruction. In P. Clarkson, A. Downtown, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce, & A. Roche (Eds.), Building connections: Research, theory and practice (Proceedings of the 28 th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, pp ). Melbourne: MERGA. Hope, J. A., & Sherril, J. M. (1987). Characteristics of unskilled and skilled mental calculators. Journal for Research in Mathematics Education, 18, Jensen, A. R., & Whang, P. A. (1994). Speed of accessing arithmetic facts in long-term memory: A comparison of Chinese-American and Anglo-American children. Contemporary Educational Psychology, 19, Jordan, N. C., & Hanich, L. B. (2000). Mathematical thinking in second-grade children with different forms of LD. Journal of Learning Disabilities, 33, Jordan, N. C., Hanich, L. B., & Kaplan, D. (2003). A longitudinal study of mathematical competencies in children with specific mathematics difficulties versus children with comorbid mathematics and reading difficulties. Child Development, 74, Καραντζής, Ι. (2004). Τα προβλήματα της μνήμης των παιδιών με μαθησιακές δυσκολίες στην αριθμητική και την ανάγνωση. Αθήνα: Τυπωθήτω Γ. Δαρδανός.

106 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 105 Καραντζής, Ι. (2007). Η στρατηγική των όμοιων προσθετέων στο νοερό αριθμητικό υπολογισμό κατά τη διαδικασία υπέρβασης της πρώτης δεκάδας. Πρακτικά εισηγήσεων-2 ο Συνέδριο της ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ., Αλεξανδρούπολη. Καραντζής, Ι., & Τόλλου, Μ. (2009). Ο νοερός αριθμητικός υπολογισμός των μαθητών της Γ τάξης του δημοτικού σχολείου στις προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων αριθμών. Παιδαγωγική Επιθεώρηση, 48, Καραντζής, Ι., Δεσποτοπούλου Α., & Σμάνη Α. (2010). Οι νοεροί αριθμητικοί υπολογισμοί στην πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών. Ανάλυση των λαθών των μαθητών της Γ και Δ τάξης του δημοτικού σχολείου. Πρακτικά του 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου της Παιδαγωγικής Εταιρείας Ελλάδος, Ρέθυμνο. Karantzis, I. ( ). Mental arithmetic calculation in the addition and subtraction of twodigit numbers: The case of third and fourth grade elementary school pupils. International Journal for Mathematics in Education, 3, Καραντζής, Ι., Αγγελόπουλος, Γ., Αυγερινός, Φ., Μπακοπούλου, Ι., & Νταλιακούρας, Μ. (2011). Η επίδραση της «άδειας αριθμογραμμής» στο νοερό υπολογισμό προσθέσεων και αφαιρέσεων διψήφιων αριθμών. Πρακτικά του 4 ου Συνεδρίου της Ένωσης Ερευνητών της Διδακτικής των Μαθηματικών της ΕΝ.Ε.ΔΙΜ. (Υπό έκδοση), Ιωάννινα. Καργιωτάκης, Γ., Μαραγκού, Α., Μπελίτσου, Ν., & Σοφού, Β. (2007). Μαθηματικά Β Δημοτικού (βιβλίο μαθητή). Αθήνα: Πατάκης. Κολέζα, Ε. (2000). Ρεαλιστικά Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Αθήνα: Leader Books. Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Τόπος. Kosc, L. (1974). Developmental dyscalculia. Journal of Learning Disabilities, 7, Λεμονίδης, Χ. (1994). Περίπατος στη μάθηση της στοιχειώδους αριθμητικής. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη Α.Ε.

107 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 106 Λεμονίδης, Χ. (2003). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου. Αθήνα: Πατάκης. Λεμονίδης, Χ. (2006). Οι βασικές αλλαγές που πραγματοποιούνται στα νέα βιβλία των Μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Στο Τα νέα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά Ημερίδων, 27η και 30 η Περιφέρειες Σχολικών Συμβούλων Αθηνών, Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Α., Καψάλης, Α., & Πνευματικός, Δ. (2007α). Μαθηματικά Α Δημοτικού: Μαθηματικά της φύσης και της ζωής (βιβλίο δασκάλου). Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Α., Καψάλης, Α., & Πνευματικός, Δ. (2007β). Μαθηματικά Α Δημοτικού: Μαθηματικά της φύσης και της ζωής (βιβλίο μαθητή). Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Ε., Νικολαντωνάκης, Κ., Παναγάκος, Ι., & Σπανακά, Α. (2007γ). Μαθηματικά Γ Δημοτικού: Μαθηματικά της φύσης και της ζωής(βιβλίο μαθητή). Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα. Lemonidis, Ch. (2008). Longitudinal study on mental calculation development during the two first grades of primary school. International journal for mathematics in Education. Hellenic Mathematical Society, 1, Λεμονίδης, Χ., & Λυγούρας, Γ. (2008). Η επίδοση και η ευελιξία των μαθητών της τρίτης Δημοτικού στους νοερούς υπολογισμούς. Ευκλείδης Γ, 68, Λυγούρας, Γ. (2006). Η επίδοση και η ευελιξία μαθητών της Γ Δημοτικού στους νοερούς υπολογισμούς και το κοινωνικό τους υπόβαθρο. Ανακτήθηκε January 13, 2014, από Lucangeli, D., Tressoldi, P. E., Bendotti, M., Bonanomi, M., & Siegel, L. S. (2003). Effective strategies for mental and written arithmetic calculation from the third to the fifth grade. Educational Psychology, 23,

108 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 107 Macintyre, T., & Forrester, R. (2003). Strategies for mental calculation. In J. Williams (Ed.), Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 23(2), Maclellan, E. (2001). Mental calculation: its place in the development of numeracy. Westminster Studies in Education, 24, Mammarella, I. C., Caviola, S., Cornoldi, C., & Lucangeli, D. (2013). Mental additions and verbal-domain interference in children with developmental dyscalculia. Research in Developmental Disabilities, 34, Masoura, E. V. (2006). Establishing the link between working memory function and learning disabilities. Learning Disabilities: A Contemporary Journal, 4(2), Matthews, J. (1981). An investigation into subtraction. Educational Studies in Mathematics, 12, McLean, J. F., & Hitch, G. J. (1999). Working memory impairments in children with specific arithmetic learning difficulties. Journal of Experimental Child Psychology, 74, Mclntosh, A., Nohda, N., Reys, B., & Reys, R. (1995). Mental computation performance in Australia, Japan and the United States. Educational Studies in Mathematics, 29, Murphy, C. (2011). Comparing the use of the empty number line in England and thenetherlands. British Educational Research Journal, 37, National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Παντελιάδου, Σ., & Μπότσας, Γ. (επιμ.). (2007). Μαθησιακές δυσκολίες: Βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Γράφημα. Παντελιάδου, Σ., & Σιδερίδης, Γ. (2007). Ανίχνευση μαθησιακών δυσκολιών από εκπαιδευτικούς. Σ. Παντελιάδου (επιμ.). Φορέας Υλοποίησης: Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Παιδαγωγικό Τμήμα Ειδικής Αγωγής. Τελικός Δικαιούχος-Φορέας Υλοποίησης: Πανεπιστήμιο Πατρών, Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Εργαστήριο Γνωστικής Ανάλυσης της Μάθησης, Γλώσσας και Δυσλεξίας.

109 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 108 Παρασκευόπουλος, Ι. Ν. (1985). Εξελικτική Ψυχολογία: Η ψυχική ζωή από τη σύλληψη ως την ενηλικίωση-σχολική ηλικία. Τόμος 3 ος. Αθήνα. Parmar, R. S., & Signer, B. R. (2005). Sources of error in constructing and interpreting graphs: A study of fourth-and fifth-grade students with LD. Journal of Learning Disabilities, 38, Passolunghi, M. (2011). Cognitive and emotional factors in children with mathematical learning disabilities. International Journal of Disability, Development and Education, 58, Plunkett, S. (1979). Decomposition and all that rot. Mathematics in School, 8(3), 2-5. Πόρποδας, Κ. (επιμ.). (2003). Διαγνωστική αξιολόγηση και αντιμετώπιση των μαθησιακών δυσκολιών στο δημοτικό σχολείο. Πάτρα: Εκδ. Πανεπιστημίου Πατρών. QCA (Qualifications and Curriculum Authority). (1999). National Numeracy Strategy: Teaching Mental Calculation Strategies. London: QCA. Raghubar, Κ., Cirino, P., Barnes, M., Ewing-Cobbs, L., Fletcher, J., & Fuchs, L. (2009). Errors in multi-digit arithmetic and behavioral inattention in children with math difficulties. Journal of Learning Disabilities, 42, Rousselle, L., & Noel, M. (2008). Mental arithmetic in children with mathematics learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 41, Shalev, R. S., Manor, O., Kerem, B., Ayali, M., Badichi, N., Friedlander, Y., & Gross-Tsur, V. (2001). Developmental dyscalculia is a familial learning disability. Journal of Learning Disabilities, 34, Shalev, R. S. (2004). Developmental dyscalculia. Journal of Child Neurology, 17, Shiran, A., & Breznitz, Z. (2011). The effect of cognitive training on recall range and speed of information processing in the working memory of dyslexic and skilled readers. Journal of Neurolinguistics, 24, Siegel, L. S., & Ryan, E. B. (1989). The development of working memory in normally achieving and subtypes of learning disabled children. Child Development, 60,

110 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 109 Sowder, J. T. (1992). Making sense of number in school mathematics. In G. Leinhardt, R. Putnam, & R. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching, Hillsdale: Lawrence Erlbaum. Stern, E. (1992). Spontaneous use of conceptual mathematical knowledge in elementary school children. Contemporary Educational Psychology, 17, Συγγραφείς βιβλίων μαθηματικών. (2005). Τα Νέα Αναλυτικά Προγράμματα των Μαθηματικών και τα νέα βιβλία με... λίγα λόγια. Ανακτήθηκε January 20, 2014, από Swanson, H. L. & Jerman, O. (2006). Math Disabilities: A selective meta-analysis of the literature. Review of Educational Research, 76, Swanson, L. H. (2012). Cognitive profile of adolescents with math disabilities: Are the profiles different from those with reading disabilities? Child Neuropsychology, 18, Thompson, I., & Smith, F. (1999). Mental calculation strategies for the addition and subtraction of 2-digit numbers Final Report, Newcastle upon Tyne, UK: University of Newcastle. Thompson, I. (1999a). Mental calculation strategies for addition and subtraction: Part 1. Mathematics in School, 28(5), 2-5. Thompson, I. (1999b). Getting your head around mental calculation. In I. Thompson (Ed.), Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools. Buckingham: Open University Press. Thompson, I. (2000a). Mental calculation strategies for addition and subtraction: Part 2. Mathematics in School, 29(1), Thompson, I. (2000b). Mental and written calculation methods for addition and subtraction. Invited paper presented at BERA/BSRLM Symposium Teaching and Learning Numeracy: Policy, Practice and Effectiveness, University of Exeter. Threlfall, J. (2002). Flexible mental calculation. Educational Studies in Mathematics, 50(1),

111 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 110 Torbeyns, J., Verschaffel, L., & Ghesquière, P. (2004). Strategy development in children with mathematical disabilities: Insights from the choice/no-choice method and the chronological-age/ability-level match design. Journal of Learning Disabilities, 37, Van de Walle, J. (2005). Μαθηματικά για το δημοτικό και το γυμνάσιο: Μια εξελικτική διδασκαλία. (Αλεξανδροπούλου, Α., & Κομπορόζος, Β., Μεταφρ., Τριανταφυλλίδης, Τ., Επιμ.). Αθήνα: Τυπωθήτω Γ. Δαρδανός. Van Lehn, K. (1982). Bugs are not enough: Empirical studies of bugs, impasses and repairs in procedural skills. Journal of Mathematical Behaviour, 3(2), Varol, F., & Farran, D. (2007). Elementary school students mental computation proficiencies. Early Childhood Education Journal, 35(1), Wandt, E., & Brown, G.W. (1957). Non-occupational uses of mathematics. Arithmetic teacher, 4, Wilson, K. M., & Swanson, L. H. (2001). Are mathematics disabilities due to a domain-general or a domain-specific working memory deficit? Journal of Learning Disabilities, 34, Wolters, G., Beishuizen, M., Broers, G., & Knoppert, W. (1990). Mental arithmetic: Effects of calculation procedure and problem difficulty on solution latency. Journal of Experimental Child Psychology, 49, World Health Organization. (1992). The ICD-10 classification of mental and behavioral disorders: Clinical descriptions and diagnostic guidelines. Geneva, Switzerland: World Health Organization. Wylie, J., Jordan, J., & Mulhern, G. (2012). Strategic development in exact calculation: Group and individual differences in four achievement subtypes. Journal of Experimental Child Psychology, 113,

112 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 111 ΥΠΕΠΘ, & Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. (2002). Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (τ. 1). Αθήνα: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

113 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά 112 Παράρτημα Παράρτημα Α.1 Άτυπο τεστ αξιολόγησης μαθηματικής ικανότητας Κλίμακα 6. Μαθηματικά του σταθμισμένου εργαλείου Ανίχνευσης Μαθησιακών Δυσκολιών από Εκπαιδευτικούς για μαθητές 8-15 ετών Άτυπο τεστ αξιολόγησης μαθηματικής ικανότητας Όνομα: Ημερομηνία: 1. Η Ράνια έχει 50 μαρκαδόρους. Θέλει να τους βάλει σε 4 μολυβοθήκες, έτσι ώστε όλες να έχουν τον ίδιο αριθμό μαρκαδόρων. Πόσους μαρκαδόρους θα βάλει σε κάθε μολυβοθήκη; Θα περισσέψουν μαρκαδόροι; Λύση Απάντηση: 2. Η Δ τάξη ενός δημοτικού σχολείου έχει 3 τμήματα με 23 μαθητές σε κάθε τμήμα. Πόσους μαθητές έχει η Δ τάξη του σχολείου αυτού; Λύση Απάντηση: 3. Ένα γήπεδο έχει θέσεις. Για τον ποδοσφαιρικό αγώνα της Κυριακής έχουν προπωληθεί εισιτήρια. Πόσα εισιτήρια έχουν περισσέψει; Λύση Απάντηση:

114 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά Ένας βιβλιοπώλης πούλησε σε μια βδομάδα βιβλία. Από αυτά, τα 750 ήταν σχολικά βοηθήματα, τα 246 ήταν παραμύθια και τα υπόλοιπα ήταν λογοτεχνικά. Πόσα ήταν τα λογοτεχνικά βιβλία που πουλήθηκαν; Λύση Απάντηση: 5. Τοποθέτησε τους παρακάτω αριθμούς από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: Ποιος αριθμός είναι ο μεγαλύτερος;. Ποιος αριθμός είναι ο μικρότερος; 6. Βρες τους αριθμούς που σου ζητάει: Κάνε κάθετα τις πράξεις: (α) = (β) = (γ) 37 16= (δ) 152:8= (α) (β) (γ) (δ) 8. Τοποθέτησε τους αριθμούς στην κατάλληλη θέση της αριθμογραμμής: 0,

115 Νοεροί υπολογισμοί, μαθησιακές δυσκολίες και μαθηματικά Κάνε τις παρακάτω πράξεις: Τι ώρα είναι; 11. Γράψε τους αριθμούς: Δεκαπέντε χιλιάδες πεντακόσια είκοσι εφτά Τρεις χιλιάδες πέντε Χίλια ογδόντα έξι Εννιακόσια τριάντα τέσσερα 12. Πόσα βιβλία φανερώνει το ψηφίο 5 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις; 25 βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία. 521 βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία. 152 βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία. 315 βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία βιβλία, το 5 φανερώνει βιβλία.