(π.χ. Thompson, 1999, McIntosh, 1990, Reys, 1984, Wandt & Brown, 1957). Οι βασικές αιτίες για αυτήν την αλλαγή στη θεώρηση των δύο ειδών υπολογισμού

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής, που αναφέρονται στοn τίτλο του βιβλίου αυτού, αποτελούν την επωνυμία της ομάδας των επιστημόνων που εργάζονται για τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των μαθηματικών στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας. Κάποιες από τις απόψεις που υιοθετεί και εφαρμόζει στην πράξη η ομάδα αυτή για τη διδασκαλία των μαθηματικών είναι ότι οι μαθητές θα πρέπει να κάνουν χρήσιμα μαθηματικά, τα οποία κατανοούν, και όχι μαθηματικά που δεν κατανοούν και τα αντιμετωπίζουν με μηχανιστικό τρόπο. Ο τρόπος διδασκαλίας θα πρέπει να βασίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις και άτυπες μεθόδους των παιδιών, οι οποίες θα αναδεικνύονται και θα αναπτύσσονται. Οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να είναι σε θέση να καταλαβαίνουν το επίπεδο και τον τρόπο σκέψης των μαθητών τους, ώστε να κινούνται σύμφωνα με αυτόν. Οι νοεροί υπολογισμοί, όπως θα δούμε και στη συνέχεια, αποτελούν ένα πρόσφορο πεδίο των μαθηματικών για την κατάλληλη εφαρμογή των απόψεων αυτών. Για τον λόγο αυτόν οι νοεροί υπολογισμοί αποτέλεσαν το ερευνητικό πεδίο με το οποίο ασχοληθήκαμε για πολλά χρόνια μέσα στα πλαίσια της ομάδας των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής. Πραγματοποιήσαμε πολλές έρευνες και πειραματισμούς στην εκπαιδευτική πράξη για τους νοερούς υπολογισμούς. Στην καθημερινή ζωή οι άνθρωποι είναι αναγκασμένοι να πραγματοποιούν διάφορους υπολογισμούς. Οι υπολογισμοί αυτοί, σε γενικές γραμμές, μπορεί να γίνονται με τη χρήση τριών μέσων: α) με τη βοήθεια μηχανικών μέσων: αριθμομηχανή, κομπιούτερ, κινητό τηλέφωνο, κτλ., β) χρησιμοποιώντας χαρτί και μολύβι και εκτελώντας τους γραπτούς αλγόριθμους των πράξεων ή γ) με την πραγματοποίηση υπολογισμών με το μυαλό, δηλαδή νοερών υπολογισμών. Χρησιμοποιούνται, βεβαίως, και συνδυασμοί αυτών των μέσων, για παράδειγμα μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει για μια πράξη την αριθμομηχανή και να ελέγξει το αποτέλεσμα υπολογίζοντας με το μυαλό. Στους υπολογισμούς μπορεί κάποιες πράξεις να πραγματοποιούνται στο χαρτί, κάποιες να γίνονται με τη βοήθεια μηχανής και κάποιες με το μυαλό. Επίσης, μπορεί να πραγματοποιούνται υπολογισμοί με το μυαλό και να κρατούνται σημειώσεις με χαρτί και μολύβι. Στο Δημοτικό Σχολείο στην Ελλάδα, αλλά και σε όλο τον κόσμο, οι γραπτοί αλγόριθμοι είχαν παραδοσιακά μια κεντρική και σημαντική θέση στα Προγράμματα Σπουδών σε σχέση με τους νοερούς υπολογισμούς. Παραδοσιακά η ευχέρεια στους υπολογισμούς σήμαινε (και ίσως σημαίνει ακόμη και σήμερα για πολλούς εκπαιδευτικούς) καλή γνώση και χρήση των τυπικών γραπτών αλγορίθμων των πράξεων. Πριν από τριάντα χρόνια στα αναπτυγμένα κράτη, με σύγχρονα Προγράμματα Σπουδών στα μαθηματικά, το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου για τη διδασκαλία των μαθηματικών αφιερώνονταν στη διδασκαλία της γραπτής αριθμητικής, δηλαδή των τυπικών γραπτών αλγόριθμων της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Θεωρούνταν ότι αφενός αυτές οι ικανότητες ήταν μια ουσιαστική προετοιμασία για τη ζωή των ενηλίκων και, αφετέρου, ότι μέσω της απόκτησης αυτών των ικανοτήτων οι μαθητές κέρδιζαν και στη γνώση σχετικά με την έννοια των αριθμών. Στην Ελλάδα η αντίληψη αυτή της κυριαρχίας των αλγοριθμικών γραπτών πράξεων στη διδασκαλία άλλαξε μερικώς μέσα από τα Προγράμματα Σπουδών του Αλλά επί της ουσίας επικρατεί ακόμη και σήμερα, μέσα σε πολλές τάξεις και σε μεγάλο αριθμό εκπαιδευτικών, η παραδοσιακή λογική. Τον τελευταίο καιρό παρατηρείται μια αλλαγή και τονίζεται περισσότερο η σημαντικότητα των νοερών υπολογισμών σε σχέση με τους γραπτούς υπολογισμούς

2 (π.χ. Thompson, 1999, McIntosh, 1990, Reys, 1984, Wandt & Brown, 1957). Οι βασικές αιτίες για αυτήν την αλλαγή στη θεώρηση των δύο ειδών υπολογισμού και για την έμφαση που αποδίδεται στη σπουδαιότητα των νοερών υπολογισμών είναι οι παρακάτω: Πρώτον, η επίδραση παραγόντων από το ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον. Έρευνες που πραγματοποιήθηκαν με ενήλικες, σχετικά με το είδος των υπολογισμών που πραγματοποιούν στην καθημερινή τους ζωή, δείχνουν ότι οι περισσότεροι υπολογισμοί τους ήταν νοεροί. Οι Wand and Brown (1957) πραγματοποίησαν μια από τις πρώτες έρευνες, σε μια εποχή όπου δεν υπήρχε ευρεία διάδοση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, και βρήκαν ότι τα τρία τέταρτα από τους υπολογισμούς που πραγματοποιούν οι ενήλικοι γίνονται με το μυαλό. Σε μια πιο πρόσφατη έρευνα των Northcote and McIntosh (1999), όπου εξετάστηκε το είδος των υπολογισμών που χρησιμοποιούσαν ενήλικες κατά τη διάρκεια ενός τυπικού 24ώρου, βρέθηκε ότι το 84,6% των υπολογισμών γίνονταν νοερά, 11% γραπτά και 6,8% με αριθμομηχανές. Το 60% όλων των υπολογισμών ήταν κατ εκτίμηση και το 40% ήταν ακριβείς υπολογισμοί. Όσον αφορά τα αντικείμενα της καθημερινότητας για τα οποία πραγματοποιούνταν οι υπολογισμοί, βρέθηκε ότι οι περισσότεροι υπολογισμοί (24,9%) αφορούσαν την ώρα, με δεύτερο αντικείμενο υπολογισμού (22,9%) τα ψώνια στην αγορά. Ένας άλλος παράγοντας του κοινωνικού περιβάλλοντος είναι η ευρεία διάδοση φτηνών αριθμομηχανών και, γενικά, το ψηφιακό περιβάλλον σήμερα, που αυξάνει την ανάγκη για νοερούς υπολογισμούς ως μέσο ελέγχου των απαντήσεων που παρέχονται από τις αριθμομηχανές. Η δεύτερη ομάδα παραγόντων που επηρέασε την μετατόπιση της έμφασης από τους γραπτούς στους νοερούς υπολογισμούς αφορά τις παιδαγωγικές και διδακτικές μεθόδους και αρχές που υιοθετούν τα προγράμματα και εφαρμόζονται στο σχολείο. Στη φιλοσοφία των προγραμμάτων υπάρχει μια γενική κίνηση προς τις κονστρουκτιβιστικές προσεγγίσεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών, η οποία, όσον αφορά τους υπολογισμούς, εκφράζεται με το ενδιαφέρον για κατανόηση των στρατηγικών που κατασκευάζουν οι ίδιοι οι μαθητές, προκειμένου να υπολογίσουν νοερά. Στα σύγχρονα προγράμματα σπουδών αναφέρεται, επίσης, η σημαντική έννοια του αριθμητισμού (βλ. περισσότερα στο κεφάλαιο 1). Σύμφωνα με αυτήν οι άνθρωποι θα πρέπει να μπορούν να αντιμετωπίζουν με ευκολία τις πράξεις που παρουσιάζονται στην καθημερινή τους ζωή. Να μπορούν να κάνουν πράξεις μέσα στα πλαίσια της λύσης ενός προβλήματος και να καταλαβαίνουν τη σημασία των πράξεων, αλλά και των λύσεων που δίνονται σε ένα πρόβλημα. Σήμερα όλοι γνωρίζουν ότι οι μαθητές κάνουν πολλά λάθη στους μακροσκελείς γραπτούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, αλλά και στην εφαρμογή τεχνητών κανόνων στις πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Ο λόγος που κάνουν λάθη στην εφαρμογή αυτών των μηχανικών κανόνων των πράξεων, τους ξεχνούν εύκολα και τους μπερδεύουν μεταξύ τους είναι ότι δεν υπάρχει κατανόηση. Οι νέες αντιλήψεις στα Προγράμματα Σπουδών δίνουν ευκαιρίες στα παιδιά να εγκαταλείψουν τους κανόνες και να επικεντρωθούν στον τρόπο που μπορούν να αναπτυχθούν οι διαδικασίες με κατανόηση, έτσι ώστε να νιώσουν ότι ελέγχουν και χρησιμοποιούν σωστά τους αριθμούς. Η λογική των Προγραμμάτων Σπουδών ζητά από τους μαθητές να αναπτύξουν τη σημασία των αριθμών με ικανότητες γνώσης και κατανόησης και να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τα μαθηματικά στη λύση προβλήματος, στην επικοινωνία και την αιτιολόγηση. Αναμένεται από τους μαθητές να βρίσκουν τη σημασία σε προβλήματα με αριθμούς και να αναγνωρίζουν τις πράξεις που χρειάζονται για να τα λύσουν. Αυτό σημαίνει πρακτικά ότι η υπερβολική

3 πρακτική εξάσκηση με πολλές σελίδες μακροσκελών πράξεων (που δυστυχώς εφαρμόζουν αρκετοί εκπαιδευτικοί στην Ελλάδα) δεν είναι μέσα στη λογική των σημερινών προγραμμάτων. Το παρόν βιβλίο αυτό αποτελείται από επτά κεφάλαια, τα οποία θα παρουσιάσουμε σύντομα στην συνέχεια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά σε γενικά θεωρητικά θέματα των νοερών υπολογισμών. Αρχικά, στην ενότητα 1.1., γίνεται μια προσπάθεια να προσδιοριστούν οι νοεροί υπολογισμοί στο σύγχρονο διδακτικό περιβάλλον. Παρουσιάζεται ένας ορισμός των νοερών υπολογισμών και διαχωρίζονται οι όροι νοεροί υπολογισμοί από τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, που συγχέονται από πολλούς. Εκθτίθενται οι λόγοι για τους οποίους θεωρούνται σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί, παρουσιάζεται η θέση τους στα σύγχρονα Προγράμματα Σπουδών και η σχέση τους με την έννοια του αριθμητισμού. Στην ενότητα 1.2. αναλύεται η σχέση των νοερών υπολογισμών με την κατανόηση και πιο ειδικά την εννοιολογική και τη διαδικαστική κατανόηση. Αναλύεται, επίσης, η σχέση της έννοιας της αίσθησης του αριθμού με τους νοερούς υπολογισμούς και την εκτίμηση. Στην ενότητα 1.3. γίνεται μια προσπάθεια να παρουσιαστεί η τροχιά της ανάπτυξης των αριθμητικών ικανοτήτων, από τις πρώτες αριθμητικές έννοιες μέχρι τις πιο σύνθετες πολλαπλασιαστικές έννοιες και τους ρητούς αριθμούς, ώστε, διαμέσου αυτής της εξέλιξης, να φανεί και η ανάπτυξη των νοερών υπολογισμών. Στη συνέχεια παρουσιάζονται και αναλύονται οι νοερές στρατηγικές και τα χαρακτηριστικά τους. Τέλος, αναλύονται και συγκρίνονται τα χαρακτηριστικά των νοερών υπολογισμών και των γραπτών αλγοριθμικών πράξεων. Στην τελευταία ενότητα 1.4. αναλύεται και παρουσιάζεται η έννοια της ευελιξίας και των τριών μεταβλητών, οι οποίες την προσδιορίζουν: α) οι μεταβλητές της κατάστασης ή τα χαρακτηριστικά του προβλήματος, β) οι μεταβλητές του υποκειμένου ή ταχύτητα και αποτελεσματικότητα και γ) οι μεταβλητές του πλαισίου, που αφορούν στο κοινωνικό-πολιτισμικό πλαίσιο. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις, τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται σε αυτές και σε έρευνες που πραγματοποιήθηκαν σχετικά. Στην ενότητα 2.1 παρουσιάζονται όλες οι στρατηγικές που μπορεί να χρησιμοποιηθούν σε προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 20 και τα τρία βασικά επίπεδα ανάπτυξης αυτών των στρατηγικών. Τα αποτελέσματα ερευνών για τις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 20 παρουσιάζονται στην ενότητα 2.2. Στην ενότητα 2.3. παρουσιάζονται όλες οι στρατηγικές και η κατηγοριοποίησή τους για νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς από το 20 μέχρι το 100. Στην ενότητα 2.4. συμπεριλαμβάνονται οι έρευνες της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής για νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις μεταξύ διψήφιων και πολυψήφιων αριθμών. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται τα θέματα που σχετίζονται με τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και, πιο συγκεκριμένα, στην ενότητα 3.1. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ερευνών από τον διεθνή χώρο σχετικά με τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και της ευελιξίας. Στην ενότητα 3.2. γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών στην Ελλάδα από το τέλος του 19 ου αιώνα μέχρι σήμερα και διαχωρίζονται τρεις ιστορικές φάσεις εξέλιξης.

4 Στην ενότητα 3.3. αναλύονται και συγκρίνονται Προγράμματα Σπουδών σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς και συγκεκριμένα της Αγγλίας και της Ολλανδίας, που θεωρούνται από τα πιο σύγχρονα. Τέλος, στην ενότητα 3.4. γίνεται μια σύντομη αξιολόγηση του ελληνικού Προγράμματος Σπουδών και προτείνονται κάποιες βελτιώσεις. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στο θέμα των νοερών πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων. Στην πρώτη ενότητα (4.1) εξετάζεται διεξοδικά το θέμα της προπαίδειας. Αναλύονται οι μηχανισμοί της μάθησης και οι στρατηγικές υπολογισμού της προπαίδειας, καθώς και οι διάφοροι παράγοντες που επηρεάζουν αυτές τις στρατηγικές. Παρουσιάζονται, επίσης, προτάσεις και διδακτικές οδηγίες για τη διδασκαλία της προπαίδειας. Η ενότητα 4.2. αφορά στις απλές πράξεις της διαίρεσης. Παρουσιάζονται οι αρχικές γνώσεις των μαθητών στην διαίρεση, πριν από τη διδασκαλία, οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά στις απλές διαιρέσεις, καθώς και έρευνες που πραγματοποιήθηκαν στις απλές διαιρέσεις. Στην ενότητα 4.3 παρουσιάζονται οι νοεροί υπολογισμοί με πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Αρχικά γίνεται η κατηγοριοποίηση των στρατηγικών που μπορεί χρησιμοποιηθούν στις πράξεις αυτές και στη συνέχεια παρουσιάζονται αποτελέσματα ερευνών πάνω σε αυτό θέμα, από Έλληνες μαθητές του Δημοτικού και του Γυμνασίου. Στην τελευταία ενότητα 4.4 αναπτύσσεται το θέμα το Ελληνικού πολλαπλασιασμού. Αρχικά αναφέρονται διάφοροι ιστορικοί γραπτοί αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού και στη συνέχεια παρουσιάζεται η ιστορική προέλευση του Ελληνικού πολλαπλασιασμού και η εφαρμογή του στην εκπαίδευση. Στο πέμπτο κεφάλαιο αναπτύσσεται το θέμα των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς. Στην ενότητα 5.1 παρουσιάζεται γενικά το θέμα των ρητών αριθμών, τι είναι ρητοί αριθμοί και τι κλάσματα, και οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές στη μετάβαση από τους φυσικούς στους ρητούς αριθμούς. Στην ενότητα 5.2 παρουσιάζονται αποτελέσματα ερευνών από την Αυστραλία στις νοερές πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά. Σύμφωνα με τις έρευνες αυτές παρουσιάζεται μια αναπτυξιακή κλίμακα συμπεριφοράς για νοερούς υπολογισμούς με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά, όπως επίσης παρουσιάζεται και η σχετική δυσκολία των υπολογισμών αυτών ανάλογα με την ηλικία και την τάξη που βρίσκονται οι μαθητές. Τέλος, αναλύονται οι διάφορες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς. Η ενότητα 5.3 αναφέρεται στο θέμα της νοερής σύγκρισης των κλασμάτων. Αναλύονται οι στρατηγικές που χρησιμοποιούνται κατά τη νοερή σύγκριση των κλασμάτων και παρουσιάζονται κάποια αποτελέσματα έρευνας στη σύγκριση κλασμάτων. Τέλος, στην ενότητα 5.4 παρουσιάζονται αποτελέσματα ερευνών της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής στους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς σε Έλληνες μαθητές. Το έκτο κεφάλαιο αναφέρεται στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Αρχικά, στην ενότητα 6.1, παρουσιάζονται τα διάφορα είδη της εκτίμησης και προσδιορίζεται η υπολογιστική εκτίμηση, με την οποία θα ασχοληθούμε στη συνέχεια. Στην ενότητα 6.2 παρουσιάζονται οι παράγοντες που απαιτούνται για την υπολογιστική εκτίμηση, καθώς και η ανάπτυξη της υπολογιστικής εκτίμησης σύμφωνα με τις διάφορες ηλικίες. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι διάφορες στρατηγικές που μπορεί να χρησιμοποιηθούν σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης, καθώς και η συχνότητα με την οποία τις χρησιμοποιούν οι μαθητές σε διάφορες έρευνες. Στην ενότητα 6.3 παρουσιάζονται συμπεράσματα από έρευνες σχετικά με τη διδασκαλία της υπολογιστικής εκτίμησης. Η ενότητα 6.4 περιλαμβάνει συμπεράσματα

5 ερευνών σε σχέση με τον τρόπο που αντιμετωπίζουν οι εκπαιδευτικοί τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Τέλος, στην ενότητα 6.5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα δύο ερευνών στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής. Η πρώτη έρευνα πραγματοποιήθηκε σε υποψήφιους δασκάλους και η δεύτερη σε επίλεκτους μαθητές της Ε και Στ τάξης του Δημοτικού. Το έβδομο κεφάλαιο, που είναι και το τελευταίο, αναφέρεται στο θέμα των νοερών υπολογιστών σε μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες ή δυσκολίες στα μαθηματικά. Στην ενότητα 7.1 αναφέρονται και προσδιορίζονται οι σχετικοί όροι όπως: δυσκολίες στα μαθηματικά, δυσαριθμησία, δυσλεξία και οι σχέσεις μεταξύ τους. Στην ενότητα 7.2 παρουσιάζονται οι παράγοντες που επηρεάζουν τις μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά και ειδικά τους νοερούς υπολογισμούς. Παρουσιάζονται, επίσης, τα χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες στους νοερούς υπολογισμούς. Η ενότητα 7.3 είναι αφιερωμένη στη λειτουργία της μνήμης, με σκοπό να διευκρινιστεί ο τρόπος που πραγματοποιούνται οι νοεροί υπολογισμοί σε αυτήν. Αναλύεται περισσότερο η λειτουργία της εργαζόμενης μνήμης και του κεντρικού εκτελεστικού συστήματος, που παίζουν σημαντικό ρόλο στην εκτέλεση των νοερών υπολογισμών. Στην ενότητα 7.4 παρουσιάζονται αποτελέσματα ερευνών από τον χώρο των νευροεπιστημών σχετικά με τις περιοχές του εγκεφάλου οι οποίες καθορίζουν τη συμπεριφορά του ατόμου στις έννοιες της αριθμητικής και ειδικά αυτές που είναι σχετικές με τους νοερούς υπολογισμούς. Η ενότητα 7.5 αναφέρεται στα αριθμητικά γεγονότα και στους μηχανισμούς με τους οποίους αποθηκεύονται στη μνήμη, καθώς και στις επιπτώσεις που παρουσιάζονται σε μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες από τη δυσλειτουργία των μηχανισμών αυτών. Στην ενότητα 7.6 εξετάζεται ο τρόπος που χρησιμοποιούν και αναπτύσσονται οι στρατηγικές στους μαθητές με δυσκολίες στα μαθηματικά. Τέλος, η ενότητα 7.6 αναφέρεται στους τρόπους διδασκαλίας που είναι κατάλληλοι για μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες. Παρουσιάζονται έρευνες σχετικές με τις μνημονικές στρατηγικές για τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών και ειδικά για τη διδασκαλία της προπαίδειας. Αναφορές Northcote, M. and McIntosh, A. (1999). What mathematics do adults really do in everyday life. Australian Primary Mathematics Classroom, 4 (1), p Mclntosh, Al. (1990). Becoming numerate: Developing number sense. In S. Willis (Ed.), Being numerate: What counts? (pp.24-43). Melbourne: Australian Council foe Educational Research. Reys, R. E. (1984). Mental computation and estimation: past, present and future, present and future. Elementary School Journal, 84(5), Thompson, I. (1999). Getting your head around mental calculation. Ιn I. Thompson (ed.), Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools, Open University Press, Buckingham. Wandt, E., Brown, G.W. (1957). Non-occupational uses of mathematics: Mental and written Approximate and exact. Arithmetic Teacher, 4(4):

6