ΦΡΕΣΚΟΣ ΣΤΑΜΑΤΙΟΣ Αριθμός Μητρώου : 5163

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Η/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ : VLSI Διπλωματική Εργασία του Φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΦΡΕΣΚΟΣ ΣΤΑΜΑΤΙΟΣ Αριθμός Μητρώου : 5163 Θέμα : Υλοποίηση Επαναληπτικής Αποκωδικοποίησης Κωδικών LDPC για Ασύρματους Δέκτες MIMO Επιβλέπων : Παλιουράς Βασίλειος Πάτρα, Μάρτιος 2009

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα : Υλοποίηση Επαναληπτικής Αποκωδικοποίησης Κωδικών LDPC για Ασύρματους Δέκτες MIMO του Φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΦΡΕΣΚΟΥ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Αριθμός Μητρώου : 5163 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 10/3/2009 Ο Επιβλέπων Παλιουράς Βασίλειος Ο Διευθυντής του Τομέα Γκούτης Κωνσταντίνος

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας : Τίτλος : Υλοποίηση Επαναληπτικής Αποκωδικοποίησης Κωδικών LDPC για Ασύρματους Δέκτες MIMO Φοιτητής : Φρέσκος Σταμάτιος Επιβλέπων : Παλιουράς Βασίλειος Περίληψη Στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής εργασίας μελετήσαμε μεθόδους κωδικοποίησης με χρήση πινάκων ισοτιμίας μεγάλων διαστάσεων που έχουν χρησιμοποιηθεί και εφαρμοσθεί μέχρι τώρα σε προηγούμενες μελέτες. Επιλέξαμε τη σχεδίαση ενός αποκωδικοποιητή, που στηρίζεται στο WiMAX e ΙΕΕΕ πρότυπο μετάδοσης και συγκεκριμένα με χρήση πομπού και δέκτη με περισσότερες από μία κεραίες. Παρουσιάζουμε, λοιπόν τη θεωρία που συσχετίζεται με το θέμα αυτό τόσο από την πλευρά της κωδικοποίησης όσο κι από την πλευρά της ασύρματης ΜΙΜΟ μετάδοσης και το πρότυπο WiMAX. Αναλύουμε κάθε τμήμα του συστήματός που προσομοιώνουμε και παραθέτουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης.

4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Υλοποίηση Επαναληπτικής Αποκωδικοποίησης Κωδικών LDPC για Ασύρματους Δέκτες MIMO Φρέσκος Σταμάτιος Διπλωματική Εργασία Ιανουάριος 2009

5 Στην οικογένειά μου και όσους με άντεξαν καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου

6 Ευχαριστίες Για την εκπόνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Βασίλη Παλιουρά για τη θερμή υποστήριξή του και τη βοήθειά του, αλλά κυρίως για την υπομονή και το έντονο ενδιαφέρον που έδειξε όλο αυτό το διάστημα, δεδομένης της προσωρινής διακοπής της για την υπηρέτηση της στρατιωτικής μου θητείας. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω και τον καθηγητή κ. Στουραΐτη για τη συμμετοχή τους στην διμελή επιτροπή. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά μου για την αμέριστη συμπαράσταση και υποστήριξη που μου παρέχει όλα αυτά τα χρόνια.

7 Πίνακας Περιεχομένων Περίληψη... 6 Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή Ανάπτυξη ασύρματων ψηφιακών επικοινωνιών Λόγος σήματος προς θόρυβο Σύστημα μετάδοσης δεδομένων Ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων Σύνοψη θεωρήματος Shannon Κώδικες διόρθωσης λαθών και κατηγορίες Ιστορική αναδρομή και εφαρμογές LDPC κωδικών Κεφάλαιο 2 ο : Οι Low-Density Parity-Check κώδικες Οι Low-Density Parity-Check Κώδικες Εισαγωγή Πίνακας-γεννήτρια (Generator Matrix) και πίνακας ισοτιμίας (Parity Check Matrix) Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC Message passing algorithm Κεφάλαιο 3 ο : Η τεχνολογία MIMO (Multiple-input and Multiple- outputs) Η τεχνολογία MIMO Εισαγωγή Τύποι συστημάτων MIMO Κατηγορίες λειτουργιών MIMO Μαθηματική Περιγραφή Κανάλι μετάδοσης σήματος Multipath fading Ορθογώνια πολύπλεξη διαίρεσης συχνότητας Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) Εφαρμογή του μοντέλου WiMAX στους LDPC κώδικες.. 41

8 Κεφάλαιο 4 ο : Ανάπτυξη τηλεπικοινωνιακού μοντέλου με LDPC κωδικοποίηση με βάση το πρότυπο WiMAX μέσω ασύρματης σύζευξης ΜΙΜΟ Γενικά Στοιχεία συστήματος LDPC Encoder Διαμορφωτής Modulator Serial to Parallel convertor Inverse Fast Fourier Transform (IFFT) Διάστημα ασφαλείας-guard Interval και κυκλικό πρόθεμα Cyclic Prefix Κανάλι και Θόρυβος Εκτίμηση σήματος και αφαίρεση κυκλικού προθέματος Μετασχηματισμός των OFDM συμβόλων σε κωδικοποιημένα σύμβολα Parallel to Serial Converter Demodulator Αποδιαμορφωτής LDPC Decoder Αποκωδικοποιητής Προσομοίωση συστήματος, αποτελέσματα και συγκρίσεις.. 67 Παράρτημα Α : Κώδικας Matlab Παράρτημα B : Βιβλιογραφία... 86

9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής εργασίας μελετήσαμε μεθόδους κωδικοποίησης με χρήση πινάκων ισοτιμίας μεγάλων διαστάσεων που έχουν χρησιμοποιηθεί και εφαρμοσθεί μέχρι τώρα σε προηγούμενες μελέτες. Επιλέξαμε τη σχεδίαση ενός αποκωδικοποιητή, που στηρίζεται στο WiMAX e ΙΕΕΕ πρότυπο μετάδοσης και συγκεκριμένα με χρήση πομπού και δέκτη με περισσότερες από μία κεραίες. Παρουσιάζουμε, λοιπόν τη θεωρία που συσχετίζεται με το θέμα αυτό τόσο από την πλευρά της κωδικοποίησης όσο κι από την πλευρά της ασύρματης ΜΙΜΟ μετάδοσης και το πρότυπο WiMAX. Αναλύουμε κάθε τμήμα του συστήματός που προσομοιώνουμε και παραθέτουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης. Στο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στις ασύρματες ψηφιακές επικοινωνίες και την πορεία τους, από την αρχή τους μέχρι σήμερα. Παρουσιάζουμε τις βασικές αρχές που τις διέπουν όπως ο λόγος σήματος προς θόρυβο, το θεώρημα Shannon και το σύστημα μετάδοσης των δεδομένων. Επιπλέον, αναφερόμαστε στους κώδικες διόρθωσης λαθών στο σύνολό τους, κάνουμε μια ιστορική αναδρομή των κωδικών ελέγχου ισοτιμίας μικρής-πυκνότητας Low-Density Parity Check και παραθέτουμε κάποιες από τις πολλές εφαρμογές τους στα σύγχρονα τεχνολογικά επιτεύγματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζουμε σε μεγαλύτερο βάθος τους κώδικες LDPC, αναφερόμαστε στη διαδικασία κωδικοποίησης ενός σήματος από τον Generator Matrix, της αποκωδικοποίησης ενός κωδικοποιημένου σήματος από τον LDPC αποκωδικοποιητή, την τεχνική του message-passing του κωδικοποιητή και τη μετάβαση από τον πίνακα ισοτιμίας στη «μήτρα-γεννήτρια» κι αντιστρόφως. Στο τρίτο κεφάλαιο κάνουμε μια μύηση του αναγνώστη στη τεχνολογία πολλαπλής εισόδου-πολλαπλής εξόδου και αναφέρουμε τύπους τέτοιων συστημάτων και κατηγορίες λειτουργιών ΜΙΜΟ. Κάνουμε μια μαθηματική περιγραφή του μοντέλου και αναλύουμε το κανάλι μετάδοσης του σήματος. Κλείνουμε το κεφάλαιο με την ανάπτυξη της ορθογώνιας πολύπλεξης διαίρεσης συχνότητας και τη χρήση του προτύπου WiMAX, αυτό καθ αυτό, αλλά και σε συνδυασμό με τους LDPC κώδικες. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στην ανάπτυξη ενός τηλεπικοινωνιακού μοντέλου με LDPC κώδικες και αναλύουμε διεξοδικά τα στοιχεία του μοντέλου που προσομοιώνουμε με το Matlab. Τέλος παραθέτουμε τα

10 αποτελέσματα των προσομοιώσεών μας και προβαίνουμε σε μια σύγκριση των αποτελεσμάτων και κάποια συμπεράσματα. Επίσης στα δύο παραρτήματα που ακολουθούν περιέχονται διαδοχικά ο πηγαίος κώδικας που χρησιμοποιήθηκε για τις προσομοιώσεις που τελέσαμε και η βιβλιογραφία από την οποία αντλήσαμε της πληροφορίες για τη συγγραφή της εργασίας.

11 Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή 1.1 Ανάπτυξη ασύρματων ψηφιακών επικοινωνιών Η εμφάνιση των φτηνών παγκόσμιων επικοινωνιακών συστημάτων θεωρείται μια από τις σημαντικότερες εξελίξεις του ανθρώπινου πολιτισμού κατά το δεύτερο μισό του 20ού αιώνα. Το 1950, ένα διεθνές τηλεφώνημα ήταν ένα αξιοσημείωτο γεγονός, και η ασπρόμαυρη τηλεόραση άρχιζε μόλις να γίνεται ευρέως διαθέσιμη. Με την πάροδο του χρόνου, όμως οι τεχνολογικές εξελίξεις στους υπολογιστές αναπτύσσονται ραγδαία. Μέχρι το 2000, ένα διηπειρωτικό τηλεφώνημα θα μπορούσε συχνά να κοστίσει λιγότερο από μια ταχυδρομική κάρτα, ενώ η επίγεια/δορυφορική ψηφιακή μετάδοση τηλεοπτικών προγραμμάτων επεκτείνεται διαρκώς. Η δε μεταφόρτωση-«κατέβασμα» μεγάλων αρχείων στιγμιαία από οπουδήποτε στον κόσμο είχε γίνει καθημερινή ανάγκη. Όλα τα παραπάνω, καθώς κι η χρήση όλο και σε μεγαλύτερη κλίμακα και εύρος εφαρμογών της κινητής τηλεφωνίας κάνει επιτακτική την ανάγκη της βελτιστοποίησης των ασύρματων ψηφιακών επικοινωνιών, τόσο ως προς την απόδοσή τους, όσο και ως προς την αξιοπιστία τους. Τα αποτελέσματα αυτής της επανάστασης γίνονται αισθητά στη καθημερινή ζωή τόσο στις πλέον ανεπτυγμένες χώρες της Δύσης, στις αναπτυσσόμενες χώρες αλλά και σε χώρες με πενιχρό βιοτικό επίπεδο. 1.2 Λόγος σήματος προς θόρυβο Δυστυχώς, όπως είναι γνωστό η επίδραση του θορύβου του καναλιού στο εκπεμπόμενο σήμα είναι αναπόφευκτη. Ο λόγος σήματος προς θόρυβο είναι μια χαρακτηριστική έννοια κάθε τηλεπικοινωνιακού συστήματος αλλά και γενικά της ηλεκτρικής εφαρμοσμένης μηχανικής. Ορίζεται ως η αναλογία της ισχύς του σήματος

12 προς την ισχύ θορύβου που αλλοιώνει το σήμα [1]. Με λιγότερο τεχνικούς όρους, η αναλογία σήματος προς θόρυβο συγκρίνει το επίπεδο ενός επιθυμητού σήματος (όπως η μουσική, μια τηλεφωνική συνδιάλεξη κ.α.) με το επίπεδο παρασιτικού θορύβου. Όσο υψηλότερη η αναλογία, λιγότερο ο αδιάκριτος ο παρασιτικός θόρυβος είναι. Psignal Asignal SNR = = (1.1) P A noise noise 2 Επειδή πολλά σήματα έχουν μια πολύ ευρεία δυναμική περιοχή, το SNR εκφράζεται συνήθως με τη μορφή της λογαριθμικής decibel κλίμακας. Decibels, το SNR είναι, εξ ορισμού, 10 φορές ο λογάριθμος της αναλογίας ισχύος σήματος ανά ισχύ θορύβου. Εάν το σήμα και ο θόρυβος μετριούνται υπό την ίδια σύνθετη αντίσταση, το SNR μπορεί να ληφθεί με να υπολογίσει 20 φορές το λογάριθμο με βάση-10 της αναλογίας εύρους: Psignal Asignal SNR( db) = 10log10 = 20log10 (1.2) Pnoise Anoise Η ύπαρξη του παρασιτικού θορύβου του καναλιού, καθώς και η απόκριση του καναλιού μετάδοσης οδηγούν σε εσφαλμένα τιμές στα σήματα κατά τη λήψη τους στους δέκτες.

13 Σχήμα 1.1.α: Γραφική αναπαράσταση τυχαίου ψηφιακού σήματος Σχήμα 1.1.β : Γραφική αναπαράσταση επίδρασης θορύβου σε ψηφιακό σήμα. Μία μέθοδος αναπαράστασης του πλήθους των σφαλμάτων στο σύνολο των δεδομένων είναι ο υπολογισμός του ποσοστού Bit Error Rate (BER) σε συνάρτηση με το SNR.( Γραφική 1.1). Γραφική 1.1: Παράδειγμα γραφικής απεικόνισης BER σε συνάρτηση με το SNR Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνουμε την ένταση του σήματος σε σχέση με το θόρυβο τόσο μειώνεται η πιθανότητα λάθους. Σε εφαρμογές που η αξιοπιστία και η

14 ποιότητα δεν είναι πρωτεύοντα ζητούμενα, όπως στην περίπτωση μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης δεν επιδιώκεται μεγιστοποίηση στο βαθμό που απαιτείται για άλλες εφαρμογές όπως στρατιωτικές, ή μεταδόσεις δεδομένων. Όσο χαμηλότερα ή πιο αριστερά βρίσκεται μια καμπύλη στην παραπάνω γραφική τόσο πιο αποδοτική είναι η διόρθωση των λαθών. 1.3 Σύστημα μετάδοσης δεδομένων Ένα τυπικό σύστημα μετάδοσης δεδομένων φαίνεται στο σχήμα 1.2. Η μετάδοση ξεκινά από την πηγή πληροφορίας και καταλήγει στον τελικό προορισμό [3]. Η πηγή πληροφορίας μπορεί να είναι κάποιο πρόσωπο ή κάποια μηχανή (π.χ., ένας ψηφιακός υπολογιστής). Η έξοδος της πηγής, η οποία πρόκειται να μεταδοθεί, μπορεί να είναι μια συνεχής κυματομορφή ή μια σειρά από διακριτά σύμβολα. Ο κωδικοποιητής πηγής μετατρέπει την έξοδο της πηγής σε μια σειρά από δυαδικά ψηφία. Σε περίπτωση που η έξοδος της πηγής είναι συνεχής κυματομορφή, ο κωδικοποιητής πηγής είναι ένας A/D μετατροπέας. Ο κωδικοποιητής πηγής ιδανικά είναι σχεδιασμένος, ώστε ο αριθμός των bits ανά μονάδα χρόνου που απαιτείται για την αναπαράσταση της εξόδου της πηγής, να είναι ελαχιστοποιημένος και η έξοδος της πηγής να μπορεί να ξανακατασκευαστεί από την σειρά δυαδικών ψηφίων, χωρίς σφάλμα. Σχήμα 1.2 : Διάγραμμα ενός τυπικού συστήματος μετάδοσης δεδομένων.

15 Ο κωδικοποιητής καναλιού μετατρέπει τη σειρά δυαδικών ψηφίων σε μια διακριτή κωδικοποιημένη ακολουθία, η οποία ονομάζεται codeword. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ακολουθία αυτή είναι επίσης μια δυαδική ακολουθία, παρόλο που σε κάποιες εφαρμογές έχουν χρησιμοποιηθεί κώδικες, οι οποίοι δεν είναι δυαδικοί. Τα διακριτά σύμβολα δεν είναι κατάλληλα για τη μετάδοση, μέσω ενός φυσικού καναλιού. Ο διαμορφωτής (modulator), μετατρέπει κάθε σύμβολο σε μια κυματομορφή διάρκειας T δευτερολέπτων, η οποία είναι κατάλληλη για μετάδοση. Η κυματομορφή αυτή μπαίνει στο κανάλι και αλλοιώνεται από τον θόρυβο που περιέχει το κανάλι. Ο αποδιαμορφωτής (demodulator), επεξεργάζεται κάθε ληφθείσα κυματομορφή διάρκειας T και παράγει μια έξοδο, η οποία μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής. Η ακολουθία εξόδου αυτή, η οποία αντιστοιχεί στην κωδικοποιημένη έξοδο του κωδικοποιητή καναλιού, ονομάζεται ληφθείσα ακολουθία. Ο αποκωδικοποιητής καναλιού μετατρέπει τη ληφθείσα ακολουθία σε μια δυαδική. Η στρατηγική αποκωδικοποίησης βασίζεται στους κανόνες της κωδικοποίησης καναλιού, καθώς και στα χαρακτηριστικά θορύβου του καναλιού. Στην ιδανική περίπτωση, η σειρά αυτή θα είναι όμοια με την codeword που είχε μεταδοθεί αρχικά, αλλά στην πραγματικότητα μπορεί να υπάρχουν λάθη, τα οποία οφείλονται στο ότι ο αποκωδικοποιητής δεν κατάφερε να κάνει την αποκωδικοποίηση σωστά, εξαιτίας της παρουσίας θορύβου στο κανάλι. Ο αποκωδικοποιητής πηγής μετατρέπει την έξοδο του αποκωδικοποιητή καναλιού σε μια εκτίμηση της εξόδου του κωδικοποιητή πηγής και παραδίδει την εκτίμηση αυτή στον τελικό προορισμό. Στην περίπτωση που η πηγή είναι συνεχής, ο αποκωδικοποιητής πηγής είναι ένας D/A μετατροπέας. Σε ένα καλοσχεδιασμένο σύστημα, η εκτίμηση αυτή θα είναι η αναπαραγωγή της εξόδου της πηγής, εκτός και αν υπάρχει πολύς θόρυβος στο κανάλι.

16 Σχήμα 1.3 : Απλοποιημένο διάγραμμα ενός συστήματος μετάδοσης δεδομένων. Για να εστιάσουμε την προσοχή μας στον κωδικοποιητή και τον αποκωδικοποιητή καναλιού, η πηγή πληροφορίας και ο κωδικοποιητής πηγής συνδυάζονται στην ψηφιακή πηγή, ενώ ο διαμορφωτής, το κανάλι και ο αποδιαμορφωτής, συνδυάζονται στο block coding channel. Τέλος, ο αποκωδικοποιητής πηγής και ο προορισμός, συνδυάζονται στο block digital sink. Το απλοποιημένο διάγραμμα του συστήματος μετάδοσης φαίνεται στο σχήμα Ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων Οι κώδικες διόρθωσης λάθους είναι απαραίτητο κι αναπόσπαστο τμήμα για ένα μεγάλο μέρος της ψηφιακής τεχνολογίας, από τους απο/διαμορφωτές, μέχρι τα κινητά τηλέφωνα και τους Compact Disk players. Το πρόβλημα είναι να σταλεί ένα μήνυμα μέσω ενός θορυβώδους καναλιού με την απόλυτη αξιοπιστία, ή τουλάχιστον με όσο το δυνατόν περισσότερη αξιοπιστία [4]. Τα ψηφιακά μηνύματα είτε αντιπροσωπεύουν ένα άρθρο εφημερίδων, είτε μια μουσική απόδοση, μια συνομιλία, ή πίνακα ζωγραφικής, αποτελούνται από μια ακολουθία μηδενικών και άσσων. Ένα ψηφιακό μήνυμα έχει τη μορφή:

17 Εντούτοις, ο θόρυβος μπορεί να αλλάξει κομμάτια της πληροφορίας κάποιο μηδενικό να μετατραπεί σε άσσο και αντίστροφα από τον αποστολέα στο δέκτη. Κατά συνέπεια το ανωτέρω μήνυμα να παραλλαχθεί σε κάποιο άλλο: Σε αυτήν την περίπτωση, δύο bit, αυτά στις θέσεις 4 και 11 άλλαξαν. Ένας τρόπος να βελτιωθεί η αξιοπιστία της μετάδοσης πρόκειται να επαναληφθούν όλα τα bits Ν φορές, κατόπιν να αποκωδικοποιηθεί το σήμα με κάποιο "κανόνα πλειοψηφίας" [4]. Έτσι αν το Ν=3 και τα λάθη συμβαίνουν στα bits 4 και 11: Γνωρίζοντας ότι οι μόνες αποδεκτές λέξεις του κώδικα (codewords) είναι 000 και 111 αναγνωρίζουμε ότι στα 011 και 010 έχει συμβεί κάποιο σφάλμα. Έτσι με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας διορθώνουμε στα 111 και 000 αντίστοιχα. Αν όμως είχαν συμβεί 2 λάθη στην ίδια ομάδα κωδικοποιημένων bit, αν δηλαδή είχε μετατραπεί το , τότε πάλι θα γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί ένα σφάλμα, αλλά, η διόρθωση του θα οδηγήσει σε εσφαλμένη απόφαση κατά την αποκωδικοποίηση. Συνεπώς ο κανόνας της πλειοψηφίας δεν έχει επαρκή απόδοσηαξιοπιστία. Βέβαια για να επιτύχουμε διόρθωση των σφαλμάτων είμαστε αναγκασμένοι να εισάγουμε επιπλέον πληροφορία, όπως να μεταδώσουμε ένα bit 3 φορές στο παραπάνω παράδειγμα. Κι έτσι υπάρχει ένα κόστος για τη μείωση των λαθών. Τώρα ένα αξιοπρόσεκτο θεώρημα του Claude Shannon [5], που διατύπωσε το 1948, δείχνει ότι είναι δυνατό να υπάρξει η χρυσή τομή: και καλή διόρθωση λάθους και ένα γρήγορο ρυθμό μετάδοσης. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν κώδικες που διαβιβάζουν τις πληροφορίες με ένα ρυθμό τόσο κοντά στην χωρητικότητα του καναλιού μετάδοσης, όσο ένα επιθυμούμε, αλλά που καθιστά και το ποσοστό λάθους εξίσου χαμηλό. Η δυσκολία έγκειται στο ότι το θεώρημα του Shannon θέτει μεν ένα άνω όριο στο ρυθμό διόρθωσης λαθών, το οποίο μπορεί να προσεγγιστεί,

18 χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ποσό δεδομένων πλεονασμού, δεν μας λέει όμως πώς να σχεδιάσουμε τέτοιους θαυμάσιους κώδικες. 1.5 Σύνοψη θεωρήματος Shannon Σαφώς, η ιδέα ενός κώδικα είναι στενά συνδεδεμένη με την ιδέα του μεγέθους της πληροφορίας που προσθέτει ο κώδικας. Κάτι που έχει νόημα αφού ενώ μια codeword αποτελείται από Ν bits άσσων και μηδενικών, το ίδιο το μήνυμα έχει μόνο Μ bits, κατόπιν η σχετική αναλογία του κώδικα (Code rate) είναι [2]: R M N = (1.3) Αυτή η σχέση μπορεί να επεκταθεί στους μη γραμμικούς κώδικες όπου ο αριθμός codewords Μ είναι όχι πάντα της μορφής 2 Μ με τον καθορισμό του code rate: R log M N 2 = (1.4) Το θεμελιώδες θεώρημα Shannon εγγυάται την ύπαρξη των κωδικών που χειρίζονται ένα δεδομένο θορυβώδες κανάλι. Λαμβάνοντας υπόψη ένα κανάλι με την πιθανότητα p να στείλουμε κάθε κομμάτι σωστά, μπορούμε να παρασκευάσουμε μια ποσότητα αποκαλούμενη χωρητικότητα C(p) του καναλιού, το οποίο είναι κατά προσέγγιση το μέγιστο ποσό πληροφοριών που μπορεί να σταλεί μέσω αυτού στη μονάδα του χρόνου. Στην πραγματικότητα: C( p) = 1+ plog p+ (1 p) log (1 p) (1.5) 2 2

19 Σχήμα 1.4: Παραδείγματα καναλιών: (α) Binary Erasure Channel (BEC) με πιθανότητα διαγραφής p και (β) Το Δυαδικό συμμετρικό κανάλι - Binary Symmetric Channel (BSC) με πιθανότητα σφάλματος p Το θεώρημα του Shannon δηλώνει ότι για οποιοδήποτε code rate R, αυστηρά μικρότερο από η χωρητικότητα C(p) και οποιοδήποτε ε> 0, υπάρχει κάποιος κώδικας με ένα αρκετά μεγάλο μήκος και με code rate τουλάχιστον R, έτσι ώστε η πιθανότητα ότι ένα λάθος θα εμφανιστεί στο μήνυμα είναι μικρότερη από το ε. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να επιτύχουμε, με τους επαρκώς μεγάλους κώδικες, επικοινωνία στο βαθμό της αξιοπιστίας που επιθυμούμε. Αυτοί οι κώδικες δεν είναι απαραίτητο να είναι γραμμικοί, και η απόδειξη δεν τους κατασκευάζει, αλλά ξέρουμε ότι υπάρχουν. Μια πρόκληση της θεωρίας κωδικοποίησης είναι να κατασκευαστούν τέτοιοι κώδικες. 1.6 Κώδικες διόρθωσης λαθών και κατηγορίες Οι κώδικες διόρθωσης λαθών χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Τους block κώδικες και τους convolutional κώδικες. Ένας block κώδικας εισάγει πλεονασμό με τέτοιο τρόπο, ώστε στο δέκτη, θεωρητικά, να μπορεί να γίνει αποκωδικοποίηση με μηδενική πιθανότητα λάθους, εξασφαλίζοντας ότι ο ρυθμός μετάδοσης (bits/sec) δε θα υπερβεί την χωρητικότητα του καναλιού. Το κύριο χαρακτηριστικό των block κωδικών, είναι το σταθερό μήκος των πακέτων που μεταδίδονται. Γενικά, ένας block κώδικας μετατρέπει μια λέξη δεδομένων, k ψηφίων, σε μία codeword n ψηφίων. Ένας convolutional κώδικας, είναι ένας κώδικας διόρθωσης λαθών, στον οποίο κάθε σύμβολο πληροφορίας, αποτελούμενο από m ψηφία, μετατρέπεται κατά

20 την κωδικοποίηση σε ένα σύμβολο n ψηφίων (με n m). Ο μετασχηματισμός αυτός είναι συνάρτηση των k τελευταίων συμβόλων πληροφορίας. Στον πίνακα 1.1, παρουσιάζονται κάποιοι από τους πιο διαδεδομένους τρόπους κωδικοποίησης, με αλφαβητική σειρά [1]. Alamouti coding (Space-Time codes) Check bit Check digit Convolutional codes Digital fountain code Differential space-time code Erasure code Forward error correction Group code Golay code Hagelbarger code Hamming code Low-density parity-check codes Parity bit Reed-Solomon error correction Reed-Muller code Sparse graph code Space-time trellis code Turbo code Viterbi algorithm Walsh code Πίνακας 1.1: Οι πιο διαδεδομένοι αλγόριθμοι κωδικοποίησης. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα ασχοληθούμε με τους LDPC κώδικες (Low- Density Parity-Check), οι οποίοι ανήκουν στην κατηγορία των block κωδικών. 1.7 Ιστορική αναδρομή και εφαρμογές LDPC κωδικών Οι κώδικες LDPC είναι ένα από πιο τα καυτά θέματα στη θεωρία κωδικοποίησης σήμερα. Ανακαλύφθηκαν αρχικά στις αρχές της δεκαετίας του 60 από τον Gallager. Επειδή, όμως, τότε δεν ήταν δυνατόν να υλοποιηθούν σε υλικό, ξεχάστηκαν προσωρινά. Με την εξέλιξη της τεχνολογίας, όμως, τα τελευταία χρόνια

21 το ενδιαφέρον στράφηκε ξανά στους κώδικες LDPC, αφού πλέον η υλοποίησή τους είναι δυνατή. Στα τελευταία έτη, βρίσκονται πλέον σε άνθιση και έχουν κάνει μια καταπληκτική επιστροφή. Οι κώδικες LDPC είναι κώδικες διόρθωσης λαθών και ανήκουν στους block κώδικες [1]. Οι LDPC κώδικες, όπως και οι άλλοι κώδικες, δε μπορούν να εξασφαλίσουν την τέλεια μετάδοση, μπορεί, όμως, η πιθανότητα λάθους να γίνει οσοδήποτε μικρή. Οι κώδικες LDPC ήταν οι πρώτοι κώδικες διόρθωσης λαθών, οι οποίοι μπορούσαν να προσεγγίσουν ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων, πολύ κοντά στο θεωρητικό μέγιστο, το όριο Shannon. Αντίθετα με πολλές άλλες κατηγορίες κωδικών, οι κώδικες LDPC είναι ήδη εξοπλισμένοι με πολύ γρήγορους αλγορίθμους (πιθανολογικούς) κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης. Το πρόβλημα είναι η σχεδίαση τέτοιων κωδικών, έτσι ώστε αυτοί οι αλγόριθμοι να μπορούν να ανακτήσουν τις αρχικές κωδικές λέξεις (codewords) παρά το μεγάλης έντασης θόρυβο. Τα νέα αναλυτικά και συνδυαστικά εργαλεία καθιστούν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα σχεδίασης. Αυτό καθιστά τους κώδικες LDPC όχι μόνο ελκυστικούς από θεωρητική άποψη, αλλά και τέλειους για τις πρακτικές εφαρμογές. Πρόσφατα, μόλις το Μάρτιο του 2005, οι LDPC κώδικες έγιναν standard για το DVB-S2 (Digital Video Broadcasting) [1]. Συγκεκριμένα, το DVB-S2 χρησιμοποιεί σύστημα διόρθωσης λαθών, το οποίο βασίζεται στην αλληλουχία ενός Bose-Chaudhuri-Hochquenghem κώδικα με ένα LDPC κώδικα. Η απόδοση του συστήματος θα πρέπει να απέχει μέχρι 0.7 db από το όριο Shannon. Το γεγονός της χρήσης του LDPC κώδικα για το DVB-S2, φανερώνει την καταλληλότητα των κωδικών LDPC για υλοποίηση. Επίσης, από το Δεκέμβριο του 2005, το πρότυπο επικοινωνίας WiMAX που ενσαρκώνεται μέσω του Mobile WiMAX βασίζεται στα πρότυπο IEEE e WirelessMAN [1] που αποτελεί αναβάθμιση του παλαιοτέρου IEEE Σύμφωνα με αυτό το Mobile WiMAX χρησιμοποιεί κωδικοποίηση με κώδικες υψηλής απόδοσης όπως οι LDPC και οι turbo, ενισχύοντας έτσι την ασφάλεια και την απόδοση NLOS. Το WiMAX-Worldwide Interoperability for Microwave Access είναι μια τεχνολογία τηλεπικοινωνιών, που παρέχει ασύρματα δεδομένα με ποικίλους τρόπους, από συνδέσεις «σημείο-προς-σημείο», μέχρι την πλήρη πρόσβαση για κινητή τηλεφωνία. Το όνομα " WiMAX" δημιουργήθηκε από το φόρουμ WiMAX, το οποίο διαμορφώθηκε Ιουνίου 2001 για να προωθήσει την προσαρμογή και τη

22 διαλειτουργικότητα των προτύπων. Το φόρουμ περιγράφει WiMAX ως μια βασισμένη σε πρότυπα τεχνολογία, που επιτρέπει την παράδοση της ασύρματης ευρυζωνικής πρόσβασης του τελευταίου μιλίου, ως εναλλακτική λύση στο καλωδιακή (cable) και την Ασυμμετρική Ψηφιακή Συνδρομητική Γραμμή (ADSL). Τέλος οι κώδικες LDPC βρίσκουν εφαρμογή τόσο στην ανάπτυξη του δικτύου 10GBase-T Ethernet (802.3an) αλλά και σε επιστήμες, που δεν έχουν να κάνουν άμεσα με τους υπολογιστές, όπως η γενετική [6],[7]. Περιγράφεται [7] μια νέα κατηγορία προβλημάτων και μερικών νέων αποτελεσμάτων στη θεωρία κωδικοποίησης που προκύπτει από την ανάλυση της σύνθεσης και της λειτουργίας του γενετικού κώδικα. Έχει αρχίσει μια προσπάθεια για την έρευνα των πιθανών συνδέσεων μεταξύ του ρυθμιστικού δικτύου των αλληλεπιδράσεων γονιδίων - regulatory network of gene interactions (RNGI)- και του μηχανισμού διόρθωσης δοκιμίων -proofreading mechanism- (έλεγχος λαθών) των διαδικασιών του κεντρικού δόγματος της γενετικής.

23 Κεφάλαιο 2 ο Οι Low-Density Parity-Check κώδικες 2.1 Οι Low-Density Parity-Check Κώδικες - Εισαγωγή Όπως προαναφέραμε, ένας block κώδικας αποτελείται από ένα σετ διανυσμάτων δεδομένου μεγέθους που ονομάζονται «κωδικές λέξεις» -codewords. Το μήκος μιας codeword είναι ο αριθμός των στοιχείων του διανύσματος ίσο με n. Τα στοιχεία μιας κωδικής λέξης επιλέγονται από ένα αλφάβητο από q=2 b, bζ + στοιχεία. Αν το q=2 τότε το αλφάβητο είναι δυαδικό. Σε ένα δυαδικό κώδικα μήκους n υπάρχουν 2 n πιθανές κωδικές λέξεις, ενώ από αυτές μπορούμε να επιλέξουμε Μ=2 k, (όπου k<n). Τότε το διάνυσμα των k bits πληροφορίας χαρτογραφείται σε μία λέξη μήκους n από το σύνολο των Μ κωδικών λέξεων. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα block κώδικα (n,k) και η σχετική αναλογία του κώδικα ορίζεται ως ο λόγος των information bits προς το μήκος της κωδικής λέξης: R k/n. Εκτός του code rate, μια άλλη σημαντική παράμετρος ενός block κώδικα, όπως ο LDPC, είναι το βάρος του (weight). Το τελευταίο ορίζεται ως ο αριθμός των μη-μηδενικών στοιχείων που περιέχει σε γραμμές και στήλες. Όταν ο αριθμός αυτός είναι σταθερός για όλες τις στήλες μεταξύ τους και αντίστοιχα τις γραμμές, τότε ο κώδικας ονομάζεται κανονικός- regular. Σε αντίθετη περίπτωση ονομάζεται μη-κανονικός irregular. 2.2 Πίνακας-γεννήτρια (Generator Matrix) και πίνακας ισοτιμίας (Parity Check Matrix) Έστω x m1, x m2,...,x mk τα k bits πληροφορίας, που κωδικοποιούνται στην κωδική λέξη C m. Τότε αναπαριστώνται από τα παρακάτω: Και η έξοδος του κωδικοποιητή: X = [x, x,...,x ] m m1 m2 mk

24 C = [ c, c,..., c ] m m1 m2 mn Η διαδικασία της κωδικοποίησης γίνεται από ένα δυαδικό γραμμικό block κωδικοποιητή μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σετ n εξισώσεων της μορφής : cmj = xm 1g1j + xm2g2 j xmk gkj, j = 1,2,..., n, gij {0,1} (2.1) m ή C = X G (2.2) όπου G k n είναι ο Generator Matrix του κώδικα. Οι γραμμές του G πρέπει να είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Παρ όλα αυτά ο πίνακας G δεν είναι μοναδικός για κάθε ζεύγος (n,k) που το χαρακτηρίζει. Απ την άλλη, χαρακτηριστικό στοιχείο του LDPC κώδικα στον πίνακα αποκωδικοποίησης (ελέγχου ισοτιμίας) είναι ότι τα μη-μηδενικά στοιχεία (δηλαδή οι άσσοι) είναι αραιά κατανεμημένα σε αυτόν [8] (Σχήμα 2.1.α). m (α) (β) Σχήμα 2.1 : (α) Αναπαράσταση πίνακα ισοτιμίας με rate ¼, N=16, M=12, j=3, k=4 και (β) γραφική αναπαράσταση των γράφου παραγόντων-factor graph Η = Πίνακας 2.1 : Άλλος ένας πίνακας με τα ίδια χαρακτηριστικά στοιχεία αλλά άλλη κατανομή των άσσων

25 Η γραφική αναπαράσταση ενός πίνακα ισοτιμίας ονομάζεται factor graph (Σχήμα 2.1.β) και αποτελείται από δύο σύνολα κόμβων που αναπαριστούν τα bit nodes και τα check nodes και τις μεταξύ τους συνδέσεις που αντιστοιχούν στη δομή των εξισώσεων ελέγχου ισοτιμίας. Κάθε σύνδεση μεταξύ ενός bit node και check node ισοδυναμεί με ένα άσσο στον πίνακα H. Οι στήλες του πίνακα αντιστοιχούν στα bit nodes ενώ οι γραμμές του πίνακα στα check nodes. Για να γίνει κατανοητό θα περιορίσουμε τον πίνακα σε ένα μέγεθος 6x9 (Ν=9, Μ=6) H = Πίνακας 2.2 : Αναπαράσταση LDPC πίνακα Ν=9, Μ=6, code rate=1/3,j=2,k=3 Σχήμα 2.2 : Γραφική αναπαράσταση του κώδικα του πίνακα 2.2 Organise Έτσι οι άσσοι στις θέσεις (1,1) και (6,1) του πίνακα ισοτιμίας H δηλώνουν ότι ο bit node b1 συνδέεται οπότε ενημερώνει κι ενημερώνεται με τους check nodes c1 και c6. Ενώ οι άσσοι στις θέσεις (1,1), (1,2) και (1,4) του πίνακα δηλώνουν ότι ο κόμβος ελέγχου c1 διαμορφώνει την τιμή του την οποία αποστέλλει με τη σειρά του πίσω στους κόμβους πληροφορίας που συνδέεται από τους bit nodes b1,b2 και b4. Παρατηρούμε ότι, αφού j=2 και k=3, κάθε bit node συνδέεται με 2 check nodes, ενώ

26 κάθε check node συνδέεται με 3 bit nodes. Ένας κώδικας ανήκει σε μια κατηγορία κωδικών με χαρακτηριστικά (n, j, k). Έτσι ο κώδικας του πίνακα 2.1 είναι ένας κώδικας (16, 3, 4), ενώ αυτός του πίνακα 2.2 είναι ένας (9, 2, 3) κώδικας. Τα δεδομένα, που εισάγονται μέσω των bit nodes σε ένα check node, πρέπει να έχουν modulo 2 άθροισμα ίσο με το μηδέν. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται parity check constraint. Άρα η codeword κατασκευάζεται έτσι ώστε όλα τα bits που συνδέονται σ ένα check node να ικανοποιούν τον parity check constraint ή ισοδύναμα μια 9 bit λέξη είναι codeword αν και μόνο αν ικανοποιεί όλα τα parity check constraints, που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι 6. Το σύνολο των codewords x =[x 1, x 2,...,x n], όπου n το μήκος της % codeword. είναι το σύνολο των δυαδικών λύσεων της γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης: T Hx = 0 (2.3) Τέλος η σχέση που συνδέει το generator matrix με τον parity check matrix είναι η: T GH = 0 (2.4) Αν έχουμε τον πίνακα G(kxn) σε μια μορφή όπως παρακάτω λέμε ότι είναι σε συστηματική μορφή [9] p11 p12 L p1 k p21 p22 K p 2k G = [ Ik P] = M M O M M M O M pk1 pk2 K pk( n k) (2.5), όπου Ι k είναι ο kxk μοναδιαίος πίνακας και P ένας kx(n-k) πίνακας που προσδιορίζει τα (n-k) bits πλεονασμού ή αλλιώς bits ελέγχου ισοτιμίας Όταν ένας generator matrix είναι σε συστηματική μορφή τότε τα πρώτα k κωδικοποιημένα είναι ίδια με αυτά που μεταφέρουν την πληροφορία ενώ τα υπόλοιπα (n-k) της κωδικής λέξης είναι γραμικός συνδυασμός των προηγούμενων. Ακόμη κι αν ένας generator matrix είναι σε μη-συστηματική μορφή μπορούμε να τον φέρουμε σε

27 μια τέτοια μορφή με αλλαγή της θέσης των στηλών του και γραμμικούς συνδυασμούς των σειρών. Για παράδειγμα έστω ο παρακάτω generator matrix σε συστηματική μορφή: G = M M O M Η codeword έχει τη μορφή: [ ] C = x x x x c c c m m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 όπου το {x mj } αντιπροσωπεύει τα 4 bits πληροφορίας και το {c mj } τα 3 parity check bits που δίνονται από το παρακάτω σύστημα: c = x + x + x c = x + x + x c = x + x + x m5 m1 m2 m3 m6 m2 m3 m4 m7 m1 m2 m4 Όπως αναφέραμε παραπάνω όμως στη (εξίσωση 2.4) το H μπορεί να εξαχθεί από το G δίνοντας μας τη σχέση 2.6 : = (2.6) T H P In k Έτσι για το παράδειγμα μας : H =

28 Αν λοιπόν το μήνυμα που στέλνουμε είναι το διάνυσμα s τότε η κωδική λέξη % t δίνεται από τη σχέση [8]: % t = % % T G s (2.7) Κι επειδή ο generator matrix είναι συστηματικός οι εξισώσεις ελέγχου ισοτιμίας είναι [8]: s Hx = 0, όπου x = % % % t % (2.8) k I I k n-k P P I P I P n-k k k n-k k n-k=k k (α) (β) Σχήμα 2.3 : Αμοιβαία αντιστοιχία συστηματικού generator matrix με parity check matrix (α) G T H για κώδικα με code rate 1/3 (β) H G T για κώδικα με code rate 1/2 2.3 Αποκωδικοποίηση των κωδικών LDPC Message passing algorithm Με βάση τον message-passing αλγόριθμο, μηνύματα (messages) στέλνονται μεταξύ των κόμβων σύμφωνα με τη συγκεκριμένη εκάστοτε δομή του Tanner γράφου του σχήματος 2.2 και εκτελούνται υπολογισμοί τόσο στους bit nodes όσο και στους parity check matrix. Ας υποθέσουμε ότι μια codeword καθώς διαδίδεται μέσω του καναλιού επικοινωνίας, κάποια από τα ψηφία της αλλοιώνονται, εξαιτίας της παρουσίας θορύβου στο κανάλι. Αφού φτάσει η αλλοιωμένη πλέον codeword στον αποκωδικοποιητή, κάθε ψηφίο της μπαίνει ως είσοδος στον αντίστοιχο bit node. Με

29 λογική του ελέγχου ισοτιμίας, μέσω κάποιας πλεονάζουσας πληροφορίας, ο κάθε bit node ελέγχει αν το bit που έλαβε είναι σωστό ή λάθος. Για να το επιτύχει «ρωτάει» όλους συνδεδεμένους του check nodes, ποια είναι η γνώμη τους για το συγκεκριμένο bit. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι το modulo 2 άθροισμα του αλλοιωμένου bit στην είσοδο του decoder και των τιμών των check nodes. Απ την άλλη, αυτά τα εισερχόμενα στους check nodes μηνύματα υπόκεινται σε πιο σύνθετους υπολογισμούς, συνυπολογίζοντας τα μηνύματα όλων των αντίστοιχων bit nodes και ενημερώνουν τις τιμές τους. Έτσι έχει ολοκληρωθεί μία πρώτη επανάληψη του αλγορίθμου. Η διαδικασία ονομάζεται διαφορετικά και probability-propagation, αφού στην είσοδο των bit nodes εισάγεται η εκ των υστέρων πιθανότητα να πάρει το συγκεκριμένο bit την τιμή 0 ή 1. Επιπλέον ο αλγόριθμος των υπολογισμών είναι επαναληπτικός, έτσι όσες περισσότερες επαναλήψεις πραγματοποιηθούν τόσο αυξάνεται η πιθανότητα σωστής εκτίμησης της σωστής τιμής. Στον αλγόριθμο του message passing, αν θέσουμε κάθε κόμβο ελέγχου με το σύμβολο c και κάθε κόμβο συμβόλου v, τότε το μήνυμα από τον bit node v στον check node c ορίζεται ως Q vc ενώ από τον check node c στον bit node v ως R vc [10]. Έστω τώρα P v (0) η πιθανότητα το μεταδιδόμενο bit να είναι μηδέν τότε χρησιμοποιούμε την έννοια log-likelihood ratio-llr που πρακτικά δίνεται από το λογάριθμο του λόγου των πιθανοτήτων να είναι μηδέν ή ένα [10]: P v pv (0) = log (2.9) p (1) v Ενώ στη θεωρητική του μορφή δίνεται από τον παρακάτω τύπο: SNR P( j) = 2 10 x ( j) (2.10) v noisy Ο αλγόριθμος message passing αποτελείται από τα παρακάτω βήματα [3],[10],[11]:

30 Αρχικοποίηση των μηνυμάτων Για κ=0 τα check-to-bit μηνύματα R vc [0] από τον check node c στον bit node v, καθώς και τα bit-to-check μηνύματα Q vc [0] αρχικοποιούνται στο μηδέν για κάθε v, και κάθε c αντίστοιχα. Στην k επανάληψη, k>0 : Για κάθε bit node v υπολογίζεται το message Q vc [k] και στέλνεται σε κάθε έναν από τους γειτονικούς check nodes c, ως εξής (σχήμα 2.4a): Q [ k] = λ + R [ k 1] vc v c' v c' C [j]\{c} (2.11) Για κάθε check node c υπολογίζεται το message R cv [k] και στέλνεται σε κάθε έναν από τους γειτονικούς bit nodes v, ως εξής (σχήμα 2.4b): R k = ( Q ' k ) (2.12) 1 cv[ ] ψ ψ v c[ ] δcv v' R[ c]\{ v} όπου ψ 1 ( x) 1 2 log(tanh( x 2)) ψ ( x) = = και cv δ είναι ένας συντελεστής διόρθωσης προσήμου, ο οποίος εξαρτάται από το μέγεθος του R[i] και από τα πρόσημα των όρων Q v c. Τελική επανάληψη: Υπολογίζεται για κάθε bit node v η ποσότητα Λ = λ + R (2.13) v v cv c C[ v] Οι hard decisions για τα bits της codeword λαμβάνονται με βάση το πρόσημο του Λ j, j=1,...,n, και η codeword ελέγχεται για τυχόν λάθη.

31 Σχήμα 2.4 : Σχεδιάγραμμα ανταλλαγής μηνυμάτων κατά την αποκωδικοποίηση α) Bit-to-Check μηνύματα, β) Check-to-Bit μηνύματα

32 Κεφάλαιο 3 ο Η τεχνολογία MIMO (Multiple-input and Multiple-outputs) 3.1 Η τεχνολογία MIMO Εισαγωγή Τα επικοινωνιακά συστήματα πολλαπλής-εισόδου πολλαπλής-εξόδου (ή όπως είναι πιο ευρέως γνωστά Multiple-Input Multiple-Output) ή MIMO είναι πλέον σημείο αναφοράς στις τηλεπικοινωνίες, και κυρίως στα ασύρματα συστήματα επικοινωνιών. Σ αυτά χρησιμοποιείται μια σειρά κεραιών, τόσο στον πομπό των σημάτων και στο δέκτη (Σχήμα 3.1), με στόχο τη βελτίωση της απόδοσης. Η τεχνολογία MIMO έχει προσελκύσει την προσοχή στις ασύρματες επικοινωνίες, δεδομένου ότι προσφέρει τις σημαντικές αυξήσεις στη απόδοση στη μετάδοση των δεδομένων και του εύρος συνδέσεων χωρίς πρόσθετο εύρος ζώνης ή ισχύ μετάδοσης. Αυτό το επιτυγχάνει με την υψηλότερη φασματική αποδοτικότητα (περισσότερα κομμάτια ανά δευτερόλεπτο ανά Hertz του εύρους ζώνης) και την αξιοπιστία ή την ποικιλομορφία συνδέσεων (μειωμένη εξασθένηση). Τα συστήματα MIMO είναι ο ακρογωνιαίος λίθος των πλέον σύγχρονων αλλά μελλοντικών ευρυζωνικών ασύρματων μοντέλων επικοινωνίας: WiFi n WiMAX e (a.k.a ) 3G / 4G

33 Ιστορική αναδρομή των MIMO συστημάτων από τις αρχές του 20 ου αιώνα Η πρώτη μετάδοση μέσω συστήματος πολλαπλών κεραιών έγινε από τον Μαρκόνι το Το σύστημα αποτελούσαν τέσσερις πύργοι-κεραίες ύψους 61 μέτρων. Το σήμα ήταν σήμα Μορς για το γράμμα S από την Αγγλία στο Signal Hill, St. John, Newfoundland, σε μια απόσταση 3425km. Χρήση των ΜΙΜΟ συστημάτων έγινε και στο ηχοβολιστικό (σόναρ) υποβρυχίων το Σε συστοιχία ακουστικών αισθητήρων το 1910's Επίσης έχουμε εφαρμογή των ΜΙΜΟ σε ραντάρ ραδιοφωνικών συχνοτήτων τη δεκαετία του Τέλος σε υπερηχητικούς σαρωτές από τη δεκαετία του Τύποι συστημάτων MIMO Τα συστήματα MIMO που αναφερόμαστε στη διπλωματική εργασία αφορούν σε αυτά που έχουν να κάνουν με ασύρματη αποστολή δεδομένων με χρήση πολλαπλών κεραιών ως πομποί και δέκτες υπάρχουν και τέτοια που ονομάζονται Multi-user MIMO[1]. Υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες συστημάτων είναι οι εξής: o Singe Input Single Output (SISO) o Single Input Multiple Output (SIMO) o Multiple Input Single Output (MISO) o Multiple Input Multiple Output (MIMO) Οι περιπτώσεις SISO/SIMO/MISO είναι όλα υπο-περιπτώσεις του MIMO: o SISO είναι η υπο-περίπτωση αυτή, στην οποία στο σύστημα και ο πομπός και ο δέκτης αποτελούνται απο μία και μόνο κεραία.

34 o MISO είναι αυτή, στην οποία το σύστημα του πομπού χρησιμοποιεί περισσότερες των 1 κεραίες, ενώ ο δέκτης έχει μόλις μία. o SIMO, αντίστροφα, είναι εκείνο το σύστημα που η επικοινωνία βασίζεται σε πομπό μιας κεραίας και δέκτη πολλαπλών κεραιών. Στην παρακάτω εικόνα (Σχήμα 3.1) απεικονίζονται και οι τέσσερις κατηγορίες (SISO, SIMO, MISO, MIMO) Σχήμα 3.1 : Γραφική αναπαράσταση των διαφορετικών υποκατηγοριών της τεχνολογίας MIMO 3.3 Κατηγορίες λειτουργιών MIMO Τα συστήματα MIMO μπορούν να υποδιαιρεθούν σε τρεις κύριες κατηγορίες, την προκωδικοποίηση (pre-coding), χωρική πολύπλεξη (spatial multiplexing-sm), και την κωδικοποίηση ποικιλομορφίας (diversity coding) [1]. Η προκωδικοποίηση είναι multi-layer beamforming υπό μια στενή έννοια ή όλη η χωρική επεξεργασία στο δέκτη σε μια ευρεία έννοια. Στο single-layer beam forming, το ίδιο σήμα εκπέμπεται από κάθε μια από τις κεραίες μετάδοσης με την

35 κατάλληλη φάση (και μερικές φορές κέρδος) έτσι ώστε η ισχύς του σήματος μεγιστοποιείται στην είσοδο των δεκτών. Τα οφέλη του είναι να αυξηθεί το κέρδος του σήματος από τον εποικοδομητικό συνδυασμό και να μειωθεί η επίδραση της εξασθένηση πολλαπλών διαδρομών (multipath fading). Ελλείψει της διασποράς, το beamforming οδηγεί σε ένα καλά καθορισμένο κατευθυντικό σχέδιο, αλλά στις τυπικές κυψελοειδείς συμβατικές ακτίνες δεν έχει εξίσου καλή απόδοση. Όταν ο δέκτης έχει τις πολλές κεραίες, μετάδοσης δεν μπορεί να μεγιστοποιήσει ταυτόχρονα το επίπεδο του σήματος και χρησιμοποιείται η προκωδικοποίηση. Είναι σημειωτέο ότι η προκωδικοποίηση απαιτεί τη γνώση του channel state information (CSI) στo δέκτη. To spatial multiplexing απαιτεί τη διαμόρφωση κεραιών MIMO. Στo spatial multiplexing, ένα high-rate σήμα είναι χωρισμένο στα πολλαπλά lower-rate streams και κάθε stream μεταδίδεται από μια διαφορετική κεραία μετάδοσης σε κανάλι ίδιας συχνότητας. Εάν αυτά τα σήματα φθάνουν στο σύνολο των κεραιών του δέκτη με επαρκώς διαφορετικές χωρικές υπογραφές, ο δέκτης μπορεί να χωρίσει αυτά τα streams, δημιουργώντας παράλληλα κανάλια δωρεάν. To spatial multiplexing είναι μια πολύ ισχυρή τεχνική για την αύξηση της χωρητικότητας του καναλιού σε υψηλότερο λόγο σήματος προς θόρυβο (SNR). Ο μέγιστος αριθμός των spatial streams περιορίζεται όσο μικρότερος είναι ο αριθμός κεραιών στον πομπό ή στο δέκτη. To spatial multiplexing μπορεί να χρησιμοποιηθεί με ή χωρίς γνώση του καναλιού μετάδοσης.

36 Γραφική 3.1 : Αναπαράσταση της σχέσης της χωρητικότητας του καναλιού σε σχέση με τον αριθμό των κεραιών αλλά και του SNR για πολλαπλές κεραίες Οι diversity coding τεχνικές χρησιμοποιούνται όταν δεν υπάρχει καμία γνώση καναλιών στον πομπό. Στις μεθόδους ποικιλομορφίας διαβιβάζεται ένα ενιαίο stream (αντίθετα από τα multiple streams του spatial multiplexing), αλλά το σήμα κωδικοποιείται χρησιμοποιώντας τις τεχνικές αποκαλούμενες ως space-time coding. Το σήμα εκπέμπεται από κάθε μια από τις κεραίες μετάδοσης χρησιμοποιώντας ορισμένες αρχές πλήρους ή σχεδόν πλήρους ορθογώνιας κωδικοποίησης. Η ποικιλομορφία εκμεταλλεύεται την ανεξάρτητη εξασθένιση στις συνδέσεις πολλαπλών κεραιών για να ενισχύσει την ποικιλομορφία σημάτων. Επειδή δεν υπάρχει καμία γνώση καναλιών, δεν υπάρχει κανένα κωδικοποίησης ποικιλομορφίας ή array gain από την diversity coding. To spatial multiplexing μπορεί επίσης να συνδυαστεί με την προκωδικοποίηση όταν είναι γνωστό το κανάλι στον πομπό ή συνδυάζεται με την diversity coding όταν μπορεί να θυσιαστεί η αξιοπιστία αποκωδικοποίησης. Η MIMO τεχνολογία είναι γίνει καυτό θέμα, την εποχή που οι ασύρματες επικοινωνίες από όλες τις ασύρματες τεχνολογίες (PAN, LAN, MAN, WAN) προσπαθούν να το εντάξουν για να βελτιώσουν στο πολλαπλάσιο το ρυθμό μετάδοσης δεδομένων αύξησης. Έτσι θα μπορέσουν να ικανοποιήσουν τους πεινασμένους για υψηλές ταχύτητες μετάδοσης ευρυζωνικούς χρήστες τους.

37 3.4 Μαθηματική Περιγραφή Όπως προείπαμε στα συστήματα MIMO ο πομπός στέλνει πολλαπλές δέσμες δεδομένων. Αυτά τα δεδομένα διαδίδονται μέσω του καναλιού στον δέκτη. Το κανάλι αυτό αποτελείται από πολλαπλά «μονοπάτια», ο αριθμός των οποίων εξαρτάται από τον αριθμό των κεραιών σε πομπό και δέκτη. Το καθένα εκφράζει την απόκριση του καναλιού από μία συγκριμένη κεραία του πομπού προς μια συγκεκριμένη κεραία του δέκτη. Έτσι, αν αναπαραστήσουμε αντίστοιχα τα σήματα σε πομπό και δέκτη με τα διανύσματα x και y, ενώ με n το διάνυσμα του προσθετικού γκαουσιανού λευκού % % % θορύβου (additive Gaussian white noise AWGN) και με τον πίνακα H την απόκριση του καναλιού, τότε η εξίσωση από την οποία προκύπτει το σήμα στο δέκτη είναι η παρακάτω: y = H x+ n % % % (3.1) Τα διανύσματα που αντιστοιχούν στα σήματα και στο θόρυβο του καναλιού είναι σύνθετα και αποτελούνται από τα επιμέρους διανύσματα x1, x2,.., x NT % % % y, y,.., y NR % % %, 1 2 n, n,.., n NR % % % και 1 2, όπου N T είναι ο αριθμός των κεραιών που αποτελούν τον πομπό και N R ο αριθμός των κεραιών που αποτελούν το δέκτη. Αναλυτικά η (3.1) γίνεται : y1 x1 n1 % y % % 2 x2 n2 H % = % + % M M M y x N N n R T NR % % % [ NR NT], (3.2) όπου η απόκριση του καναλιού H N R N T H [ N N ] έχει την παρακάτω μορφή: R h h K h h h K h = M M O M h h K h T N N N 1 N 2 N N R R R T T T, (3.3)

38 όπου h ij είναι η απόκριση του καναλιού στο μονοπάτι μεταξύ της i κεραίας που λαμβάνει το εκάστοτε σήμα στο δέκτη από τη j κεραία του πομπού. Δηλαδή: N T y = h x + n % % % i ij j i j= 1 (3.4) y % i ή = hi 1 x1+ hi2 x2 + KhiN x T N + n T % % % % i (3.5) Όλες οι παραπάνω σχέσεις αντικατοπτρίζονται συνοπτικά στο μοντέλο του MIMO καναλιού στο παρακάτω σχήμα (σχήμα 3.2). Σχήμα 3.2 : Γραφική αναπαράσταση των σημάτων και της απόκρισης του καναλιού σε ένα σύστημα MIMO Γενικά σύμφωνα με το νόμο του Shannon[5] η χωρητικότητα ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος δίνεται ως συνάρτηση του εύρους ζώνης του σήματος, της ισχύος του σήματος και της μονόπλευρης πυκνότητας φάσματος του θορύβου. P C = W log 2(1 + ) N W 0 (3.6)

39 Σύμφωνα δε με τη θεωρία της πληροφορίας η χωρητικότητα του καναλιού που μπορεί να επιτευχθεί σε MIMO συστήματα είναι [12] : όπου H H 1 H C = log det( I + H Q H ), (3.7) 2 2 σ n είναι ο ερμιτιανός ανάστροφος πίνακας της απόκρισης του καναλιού H και Q είναι πίνακας συσχέτισης του μεταδιδομένου σήματος. Δεομένου δε ότι η ισχύς του πομπού ισοκατανέμεται σε όλες τις κεραίες του: P Q= I (3.8) N Από τις σχέσεις (3.6) και (3.7) συνεπάγεται ότι η χωρητικότητα δίνεται από τη σχέση (3.8): P H C = log det( I + H H ) 2 2 NT σ n T (3.9) Μια άλλη σχέση από την οποία προκύπτει η χωρητικότητα του καναλιού για ένα σύστημα ΜΙΜΟ που αποτελείται από Ν Τ κεραίες στον πομπό και N R κεραίες στον δέκτη μέσω ενός αγνώστου, ως προς το δέκτη καναλιού είναι η (3.9) NR C = NT log 2(1+SNR ) [b/s/hz] (3.10) N T Στην περίπτωση όπου N = N = Τ R N : C = N log (1+SNR) [b/s/hz] (3.11) 2 Ο σκοπός της διπλωματικής αυτής είναι η ανάπτυξη και μελέτη του μοντέλου του αποκωδικοποιητή και για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε σταθερό κανάλι γνωστής απόκρισης στον δέκτη. Έτσι γνωρίζοντας την απόκριση του καναλιού σε συνδυασμό με το σήμα που λαμβάνεται μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση του σήματος που στάλθηκε από τον πομπό. Δηλαδή από τη σχέση (3.1) παίρνουμε: H y H H x H n = + % % %

40 1 1 H y x H n = + % % % 1 1 x= H y H n % % % (3.12) Για να ισχύσει βέβαια η παραπάνω σχέση πρέπει το σύστημα: y % = H x %, (3.13) να έχει λύση (det( H ) 0), ώστε να είναι αντιστρέψιμος ο πίνακας H. Ο προσθετικός Γκαουσσιανός λευκός θόρυβος που επηρεάζει το σήμα και μεταβάλλει τις τιμές των συμβόλων είναι τυχαίος και δεν υπάρχει τρόπος πρόβλεψης ή υπολογισμού του εκ των υστέρων. Έτσι αν ο θόρυβος δεν ενισχύεται σε μεγάλο βαθμό από τον πολλαπλασιασμό του με τον αντίστροφο πίνακα της απόκρισης του καναλιού μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η επίδραση του θορύβου είναι σχεδόν αμελητέα. Τότε μπορούμε να κάνουμε μια εκτίμηση ˆx % που δίνεται παρακάτω: ˆ % % 1 x= H y (3.14) Στην εφαρμογή δε που αναπτύξαμε και μελετήσαμε ο αριθμός των κεραιών τόσο στον πομπό, όσο και στο δέκτη είναι ίσος με δύο, μπορεί όμως η ίδια μεθοδολογία να αναπτυχθεί για οποιοδήποτε ίσο αριθμό κεραιών. Αν βέβαια ο αριθμός των κεραιών στο δέκτη είναι μεγαλύτερος από αυτόν στον πομπό, ( N N ) T R, τότε αρκεί να λύνεται το σύστημα (σχέση 3.10). Όταν όμως, όπως στην περίπτωση αυτής της διπλωματικής εργασίας οι κεραίες είναι μόλις δύο είναι πολύ εύκολο να εξαχθεί η εκτίμηση ˆx %. Έτσι αν ισχύει η (3.12) H h h h h =, (3.15) τότε η σχέση (3.11) παίρνει την παρακάτω μορφή:

41 xˆ = h11 h22 h12 h21 h21 h % 11 % h h y (3.16) xˆ % = ˆ x2 h11 h22 h12 h21 h21 h % 11 yˆ 2 h h yˆ % % (3.17) 1 xˆ 1 = ( h22 yˆ1 h12 yˆ2) % h11 h22 h12 h21 % % 1 xˆ ˆ ˆ 2 = ( h11 y2 h21 y1) % h11 h22 h12 h21 % % (3.18) 3.5 Κανάλι μετάδοσης σήματος Multipath fading Το μοντέλο του ελεύθερου χώρου δεν περιγράφει ικανοποιητικά τα περισσότερα τηλεπικοινωνιακά συστήματα αφού τα σήματα διαδίδονται σε μη ισοτροπικό μέσο και σε μικρή απόσταση από το έδαφος, ενώ ανάμεσα στον πομπό και το δέκτη υπάρχουν αντικείμενα που αλληλεπιδρούν με την ακτινοβολία. Σε αυτό το περιβάλλον, το σήμα φθάνει στο δέκτη μέσω πολλαπλών διαδρομών, με αποτέλεσμα να εμφανίζει μεγάλες διακυμάνσεις στο πλάτος, τη φάση και τη γωνία άφιξης λόγω των διαφορετικών απωλειών και καθυστερήσεων που εισάγει η κάθε διαδρομή στο εκπεμπόμενο σήμα (σχήματα 3.3 και 3.4). Αυτό είναι το φαινόμενο που αποκαλείται διεθνώς multipath fading. Το φαινόμενο αυτό έχει ταυτιστεί και εκμεταλλεύεται στο έπακρο στα συστήματα πολλαπλής-εισόδου πολλαπλής-εξόδου.

42 Σχήμα 3.3 : Γραφική αναπαράσταση του multipath fading σε ένα σύστημα MIMO σε ένα διαμέρισμα Σχήμα 3.4 : Γραφική αναπαράσταση του multipath fading σε ένα σύστημα MIMO μεταξύ ενός πύργου ελέγχου κι ενός αεροπλάνου

43 Ανάλογα με την επιλεκτικότητά τους ως προς τη συχνότητα, το multipath fading διακρίνεται σε συχνοτικά επίπεδες (flat fading) και συχνοτικά επιλεκτικές εξασθενήσεις (frequency selective fading). Αν το κανάλι έχει σταθερό κέρδος και γραμμική απόκριση φάσης σε ένα εύρος ζώνης μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του σήματος (λαμβάνοντας ως αναφορά τη συχνότητα του φέροντος), τότε το σήμα έχει υποστεί συχνοτικά επίπεδη εξασθένηση-flat fading. Η πιο σημαντική ιδιότητα αυτών των διαλείψεων είναι η διατήρηση των φασματικών χαρακτηριστικών του σήματος στο δέκτη. Στην περίπτωση που το κανάλι έχει σταθερό κέρδος και γραμμική απόκριση φάσης σε ένα εύρος ζώνης μικρότερο από το εύρος ζώνης του σήματος (λαμβάνοντας ως αναφορά τη συχνότητα του carrier), τότε το σήμα έχει υποστεί συχνοτικά επιλεκτική εξασθένηση (frequency selective fading). Οι φασματικές συνιστώσες του σήματος επηρεάζονται με διαφορετικό τρόπο με αποτέλεσμα να αλλοιώνονται τα φασματικά χαρακτηριστικά του σήματος στο δέκτη. Η καθυστέρηση που οφείλεται στις συχνοτικά επιλεκτικές εξασθενήσεις έχει ως αποτέλεσμα κάθε σύμβολο να υφίσταται παρεμβολές από αυτά που μεταδόθηκαν προηγουμένως. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως διασυμβολική παρεμβολή (intersymbol interference ISI). Η αύξηση της ισχύος του σήματος προκαλεί αύξηση της διασυμβολικής παρεμβολής, δημιουργώντας έτσι ένα κατώφλι σφαλμάτων (error threshold) που δεν μπορεί να μειωθεί. Για αυτό το λόγο, η επίδραση αυτού του φαινομένου θα πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη κατά τη σχεδίαση ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος, καθώς επηρεάζει αρνητικά τα χαρακτηριστικά της σύνδεσης πομπού-δέκτη. 3.6 Ορθογώνια πολύπλεξη διαίρεσης συχνότητας Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) Η ορθογώνια πολύπλεξη διαίρεσης συχνότητας orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) είναι μία μέθοδος εφαρμογής συστημάτων διαμόρφωσης πολλαπλού φέροντος κύματος multicarrier modulation. Σκοπός των

44 συστημάτων διαμόρφωσης πολλαπλού φέροντος είναι η όσο το δυνατόν καλύτερη αξιοποίηση των χαρακτηριστικών της ασύρματης ζεύξης Τα συστήματα πολλαπλού φέροντος βασίζονται στη φιλοσοφία διαίρει και βασίλευε (divide et impera). Το διαθέσιμο εύρος ζώνης διαιρείται σε μικρότερα τμήματα και οι carriers διαμορφώνονται από ανεξάρτητες ροές δεδομένων. Ο ρυθμός πληροφορίας data rate και το εύρος ζώνης bandwidth κάθε υποδιαύλου είναι μικρότεροι από τα αντίστοιχα συνολικά μεγέθη. Το πλήθος των υποδιαύλων επιλέγεται ώστε το εύρος ζώνης κάθε υποδιαύλου να είναι μικρότερο από το εύρος ζώνης συνοχής (coherence bandwidth) του καναλιού. Με αυτό τον τρόπο, οι διαλείψεις που υφίσταται το σήμα είναι συχνοτικά επίπεδες και η διασυμβολική παρεμβολή (intersymbol interference ISI) περιορίζεται. Στην περίπτωση της OFDM δεν πρόκειται για ανεξάρτητες ροές δεδομένων, αλλά για μία ροή πληροφορίας που έχει χωριστεί σε μικρότερες και μεταδίδεται παράλληλα. Επιπλέον, οι συχνότητες για τα φέροντα επιλέγονται ώστε να είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. H ορθογωνιότητα απαιτεί ότι συχνοτική απόσταση των υπομεταφορέων subcarriers είναι ίση με: όπου τo [ Hertz] Δ f = K TU, (3.19) TU[sec] είναι η χρήσιμη διάρκεια συμβόλων και το Κ είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός, χαρακτηριστικά ίσος με 1. είναι : Επομένως, με τους Ν subcarriers, το συνολικό ζωνοδιαβατό εύρος ζώνης θα B N Δ f[ Hertz] (3.20) Επίσης επιτρέπει την υψηλή φασματική αποδοτικότητα, με ένα συνολικό ποσοστό συμβόλων κοντά στο ρυθμό Nyquist. Σχεδόν ολόκληρη η διαθέσιμη ζώνη συχνότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί. OFDM έχει γενικά ένα σχεδόν «λευκό» φάσμα, που δίνει του τις ήπιες ιδιότητες ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολής όσον αφορά άλλους co-channel χρήστες. Η ορθογωνιότητα εξασφαλίζει, την καλύτερη αξιοποίηση του διαθέσιμου εύρους ζώνης επιτρέποντας την επικάλυψη των φασμάτων γειτονικών

45 υποδιαύλων, χωρίς όμως να παρατηρείται διακαναλική παρεμβολή (intercarrier interference ICI). Επομένως, η χρήση της τεχνικής OFDM εξασφαλίζει και οικονομία στο φάσμα που χρησιμοποιείται. Ένα πρακτικό πλεονέκτημα της OFDM είναι η υλοποίησή της με ψηφιακά κυκλώματα, γεγονός που ελαττώνει το κόστος κατασκευής ενός τέτοιου συστήματος. Για περισσότερες πληροφορίες, όσον αφορά τα συστήματα OFDM, ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στα [1],[13],[14] 3.7 Εφαρμογή του μοντέλου WiMAX στους LDPC κώδικες Το WiMAX - Worldwide Interoperability for Microwave Access είναι μια νέα πολλά υποσχόμενη τεχνολογία ευρυζωνικής ασύρματης δικτύωσης. Θα μπορούσαμε να παραλληλίσουμε τη λειτουργία του WiMAX με τη γνωστή μας τεχνολογία Wi-Fi, με τη βασική διαφορά όμως ότι το WiMAX δημιουργήθηκε για να έχει πολύ μεγαλύτερη εμβέλεια. Συγκεκριμένα, ενώ το Wi-Fi υποστηρίζει εμβέλεια επικοινωνίας έως 100 μέτρα, το WiMAX φτάνει τα 35 χιλιόμετρα ή και παραπάνω. Έτσι λοιπόν, τα τελευταία χρόνια το Wi-Fi επιτρέπει την ασύρματη πρόσβαση στο διαδίκτυο (Internet) σε μικρή εμβέλεια γύρω από τα λεγόμενα hotspots, καλύπτοντας με αυτόν τον τρόπο περιοχές όπως αεροδρόμια ή αίθουσες συνεδριάσεων. Το WiMAX στοχεύει να κάνει το ίδιο σε εμβέλεια ολόκληρης πόλης, μέσω του σήματος των παρόχων υπηρεσιών Internet (ISPs) με τρόπο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (3.5).

46 Σχήμα 3.5 : Γραφική αναπαράσταση λειτουργίας WiMAX Μάλιστα, ο τελικός χρήστης της ασύρματης ευρυζωνικής πρόσβασης απαιτείται να εγκαταστήσει στο δέκτη του (π.χ. υπολογιστής) απλά μια κάρτα δικτύωσης WiMAX, όπως γίνεται μέχρι σήμερα με τις κάρτες δικτύωσης Wi-Fi. Βασικός στόχος του WiMAX είναι και η υποστήριξη κινητικότητας του χρήστη. Έτσι, ενώ σε ασύρματο τοπικό δίκτυο (WLAN) η κινητικότητα είναι περιορισμένη, ο χρήστης του WiMAX θα μπορεί να χρησιμοποιεί τις ευρυζωνικές υπηρεσίες πρόσβασης στο διαδίκτυο και εν κινήσει. Όπως δείχνουμε και στο παρακάτω σχήμα (3.6), η υποστηριζόμενη κινητικότητα είναι μικρότερη από το σημερινό υιοθετημένο πρότυπο για συστήματα κινητών επικοινωνιών GSM, το οποίο όμως δεν μπορεί να προσφέρει τις υψηλές ταχύτητες μετάδοσης δεδομένων του WiMAX. Μέσω αυτών των υψηλών ταχυτήτων, το WiMAX θα επιτρέψει, με καλύτερη ποιότητα απ ότι το GSM, την εκτέλεση υπηρεσιών απαιτητικών σε εύρος ζώνης, όπως βιντεοκλήσεις.

47 Σχήμα 3.6 : Ταχύτητα Μετάδοσης και Κινητικότητα Χρήστη στο WiMAX Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το WiMAX θα έχει πρωτεύοντα ρόλο στην ανάπτυξη συστημάτων κινητών επικοινωνιών 4ης γενιάς (4G), τα οποία έχουν ως βασικές αρχές τη δυνατότητα χρήσης ευρυζωνικών υπηρεσιών και την ενοποίηση με το διαδικτυακό πρωτόκολλο IP. Οι υψηλοί ρυθμοί μετάδοσης συνοδευόμενοι από την απαιτούμενη αξιοπιστία του συστήματος κάνουν επιτακτική και στην περίπτωση του WiMAX τη χρήση κωδίκων διόρθωσης λαθών που πρέπει να εμφανίζουν εξαιρετικές επιδόσεις μάλιστα. Ως γνωστόν, οι LDPC κώδικες πληρούν αυτό το κριτήριο και είναι οι μόνοι κώδικες μαζί με τους turbo που αγγίζουν το θεωρητικό όριο επίδοσης του Shannon. Συνεπώς, το τελευταίο έως σήμερα πρότυπο του WiMAX το IEEE e-2005 έχει υιοθετήσει τους LDPC κώδικες. Η LDPC κωδικοποίηση στο πρότυπο e αποτελείται από έξι διαφορετικές κλάσεις LDPC κωδίκων που υποστηρίζουν τέσσερις διαφορετικούς ρυθμούς κώδικα (από 1/2 έως 5/6). Και οι έξι διαφορετικές κλάσεις έχουν την ίδια γενική δομή πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H ενώ υπάρχει η δυνατότητα επιλογής από 19 συνολικά μεγέθη κωδικών λέξεων (576 έως 2304 bits). Αυτή η μεγάλη ευελιξία στο μήκος της κωδικής λέξης αποτελεί και τη μεγαλύτερη πρόκληση σε σχεδιαστικό επίπεδο.

48 Τέλος, να σημειώσουμε απλά ότι LDPC κώδικες έχουν υιοθετηθεί και στο πρότυπο WiFi (IEEE n) το οποίο μπορεί να χαρακτηριστεί εξίσου ως τηλεπικοινωνιακό πρότυπο νέας (ή ακόμα και επόμενης!) γενιάς. Στον παρακάτω πίνακα (3.1) γίνεται μια παρουσίαση και σύγκριση των χαρακτηριστικών των δύο προτύπων. Πίνακας 3.1 : Σύγκριση χαρακτηριστικών WiMAX και Wi-Fi Ο αποκωδικοποιητής που αναπτύξαμε στην διπλωματική εργασία αυτή είναι ένας από τους πίνακες που υποστηρίζουν το πρότυπο του WiMAX με ρυθμό κωδικοποίησης 1/2 και μήκος 2304 με 64-QAM διαμόρφωση. Ο πίνακας ισοτιμίας έχει την παρακάτω κωδικοποιημένη μορφή (βλ. Πίνακα 3.2).

49 Πίνακας 3.2 : Πίνακας ισοτιμίας για WiMAX ρυθμού ίσο με R=1/2 Ο κάθε παραπάνω αριθμός αντιπροσωπεύει ένα τετραγωνικό πίνακα μεγέθους ίσο με ενενήντα έξι. Συγκεκριμένα : 0 Μοναδιαίος πίνακας -1 Μηδενικός πίνακας -x Μετατοπισμένος κατά x μοναδιαίος πίνακας Οι γραμμές δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους η μετατόπιση των στοιχείων γίνεται ξεχωριστά σε κάθε γραμμή του πίνακα 3.2. Η μορφή του φαίνεται πιο παραστατικά στο παρακάτω σχήμα (σχήμα 3.7) Σχήμα 3.7 : Δομή του WiMax e LDPC κώδικα με rate=1/2

50 Κεφάλαιο 4 ο Ανάπτυξη τηλεπικοινωνιακού μοντέλου με LDPC κωδικοποίηση με βάση το πρότυπο WiMAX μέσω ασύρματης σύζευξης ΜΙΜΟ 4.1 Γενικά Στόχος της διπλωματικής εργασίας αυτής είναι η ανάπτυξη ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος στην πλήρη έκταση του από τη δημιουργία των που θα αποσταλούν μέχρι το τέλος της αποκωδικοποίησης. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουμε τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσει ένα πακέτο bit πριν αποσταλεί από τον πομπό, την επεξεργασία του στο δέκτη και την έξοδο του αποκωδικοποιητή. Σχήμα 4.1 : Ροή πληροφορίας στο σύστημα του πομπού ΜΙΜΟ συστήματος Στο παραπάνω σχήμα (4.1) απεικονίζεται η ροή πληροφορίας και οι μεταβολές της σε κάθε block από το οποίο περνάει, και η αντίστροφη διαδικασία ανάκτησης της αρχικής μορφής της πληροφορίας περιγράφεται με το παρακάτω σχήμα (4.2)

51 Σχήμα 4.2 : Ροή πληροφορίας στο σύστημα του δέκτη ΜΙΜΟ συστήματος. Για λόγους σύγκρισης της απόδοσης ενός Multiple-Input Multiple-Output τηλεπικοινωνιακού συστήματος σε σχέση με αυτή ενός Single-Input Single-Output συστήματος, θα εξομοιώσουμε και τη λειτουργία ενός αντίστοιχου συστήματος σχήμα 4.3 και σχήμα 4.4. Σχήμα 4.3 : Ροή πληροφορίας στο σύστημα του πομπού SISO συστήματος. Σχήμα 4.4 : Ροή πληροφορίας στο σύστημα του δέκτη SISO συστήματος. Πριν προχωρήσουμε στην σύγκριση των 2 μεθόδων αποστολής θα αναφερθούμε αναλυτικά στο καθένα από τα παραπάνω μπλοκ και κάθε άλλη επεξεργασία του σήματος που δεν είναι εμφανής στα μπλοκ διαγράμματα

52 4.2 Στοιχεία συστήματος LDPC Encoder Για την εφαρμογή μας έχουμε σχεδιάσει ένα LDPC Encoder ο οποίος προκύπτει από τον Generator Matrix του κώδικα για τον WiMAX E LDPC (2304, rate=1/2) irregular κώδικα. Στην είσοδο encoder εισάγεται η raw information, τα γνωστά μας information bits. Εφόσον το μήκος του parity-check matrix H είναι 2304 και ο ρυθμός κωδικοποίησης ίσος με 1/2, ο Η έχει 1152 γραμμές. Έτσι με βάση όσα έχουμε πει στο υποκεφάλαιο 2.2 και το σχήμα 2.3 οι διαστάσεις του encoder είναι αντίστοιχα G Η είσοδος του κωδικοποιητή είναι πακέτα των 1152 bits τα οποία μετά την κωδικοποίηση και την είσοδο των parity bits σχηματίζουν κωδικές λέξεις-codewords των 2304 bits. Θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο γιατί, αλλά θεωρείται σκόπιμο πριν καν μεταδοθεί η πληροφορία στο επόμενο block να γίνει το βήμα της κωδικοποίησης ξανά για τα επόμενα δεδομένα, ώστε να έχουμε μια επάρκεια κωδικών λέξεων προς μετάδοση. Ο αριθμός αυτός των κωδικών λέξεων μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση της τάξης της διαμόρφωσης, του μήκους του IFFT καθώς και του αριθμού των κεραιών. Ο αριθμός αυτός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του γινομένου της τάξης του διαμορφωτή με την τάξη του IFFT, και τον αριθμό των κεραιών. Αν ονομάσουμε τον αριθμό των κωδικών λέξεων που θα προωθηθεί N codewords,την τάξη του διαμορφωτή modulation length, N T των αριθμό των κεραιών στον πομπό και τέλος τότε : FFT length το μήκος της του κάθε OFDM συμβόλου codewords log 2( length) length T N = k modulation FFT N (4.1), όπου k είναι ακέραιος αριθμός. Έτσι αντίστοιχα θα πρέπει να εισάγουμε είσοδο του encoder για όσες φορές χρειαστεί. Ncodewords code rate bits στην

53 4.2.2 Διαμορφωτής Modulator Στην είσοδο του διαμορφωτή καταφθάνουν οι κωδικές λέξεις από την έξοδο του κωδικοποιητή ή από κάποιον καταχωρητή στον οποίο θα αποθηκεύονται N codewords κωδικές λέξεις πριν αποσταλεί προς διαμόρφωση. Κάθε σχήμα διαμόρφωσης αντιστοιχεί τα εισερχόμενα δυαδικά ψηφία σε σύμβολα παλμούς προς μετάδοση. Το απλούστερο σχήμα διαμόρφωσης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι η διαμόρφωση BPSK, όπου το ψηφίο 1 αντιστοιχίζεται σε παλμό πλάτους +Α και το ψηφίο 0 αντιστοιχίζεται σε παλμό πλάτους -Α (ή 1 και -1) (σχήμα 4.4). Υπάρχει επίσης η QPSK όπου χρησιμοποιεί τέσσερα σημεία στο διάγραμμα του αστερισμού της, σε ίση απόσταση μεταξύ τους, πάνω σε ένα κύκλο. Με τέσσερεις φάσεις το QPSK μπορεί να κωδικοποιήσει 2 bits ανά σύμβολο, άρα προσφέρει το διπλάσιο code rate από την BPSK διαμόρφωση. Δηλαδή τα σύμβολα (00, 01, 10, ή 11) αντιστοιχούν στα σημεία (1+j, 1-j, -1+j, -1-j) στο διάγραμμα του αστερισμού της QPSK (σχήμα 4.5) Άλλο σχήμα διαμόρφωσης είναι η διαμόρφωση M-QAM όπου αντιστοιχίζεται ένα σύμβολο ανά log 2 M δυαδικά ψηφία. Για παράδειγμα, στη διαμόρφωση 16-QAM ο διαμορφωτής αντιστοιχεί ανά τέσσερα ψηφία (0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ) ένα σύμβολο οπότε προκύπτουν συνολικά 16 διαφορετικά σύμβολα. Τα προς μετάδοση σύμβολα ανήκουν στο μιγαδικό επίπεδο και αποδίδονται σχηματικά στη συνέχεια (σχήμα 4.6). Ομοίως και στην περίπτωση της 64-QAM διαμόρφωση που θα χρησιμοποιήσουμε στο πλαίσιο της εργασίας (σχήμα 4.7). Σχήμα 4.4 : Διάγραμμα αστερισμού BPSK διαμόρφωσης.

54 Σχήμα 4.5 : Διάγραμμα αστερισμού QPSK διαμόρφωσης. Σχήμα 4.6 : Διάγραμμα αστερισμού 16-QAM διαμόρφωσης. Το WiMAX δυναμικά υποστηρίζει πολλαπλά επίπεδα διαμόρφωσης, όλα τα προαναφερθέντα. Τα συστήματα WiMAX, όταν εξοπλίζονται με έναν ενισχυτή υψηλής ισχύος και λειτουργούν με μια χαμηλού επιπέδου διαμόρφωση (BPSK ή QPSK, για παράδειγμα) είναι ικανά να καλύψουν μια αρκετά μεγάλη γεωγραφική περιοχή όταν η διαδρομή ανάμεσα στο σταθμό βάσης και το σταθμό υπηρεσίας δε διακόπτεται από κάποιο εμπόδιο.

55 Σχήμα 4.7 : Διάγραμμα αστερισμού 64-QAM διαμόρφωσης. Χρησιμοποιώντας υψηλότερη διαμόρφωση (64-QAM) σε κανάλι υψηλής χωρητικότητας και εύρος ζώνης καναλιού (τρέχουσα τιμή 7 MHz, με σχεδιασμένη ανάπτυξη προς το πλήρες εύρος ζώνης όπως διευκρινίζεται στα αντίστοιχα πρότυπα της ΙΕΕΕ και της ETSI), τα συστήματα WiMAX μπορούν να παρέχουν σημαντικό εύρος ζώνης στους τελικούς χρήστες. Επιλέξαμε τη διαμόρφωση τύπου 64-QAM με βάση κυρίως το κριτήριο του ρυθμού κωδικοποίησης του διαμορφωτή. Αφού σε σύγκριση με το BPSK έχει εξαπλάσιο ρυθμό (σε κάθε σύμβολο αντιστοιχούν 6 bits) και τριπλάσιο από 4- QAM/QPSK. Έτσι θεωρώντας τη μετάδοση μιας κωδικής λέξης μήκους 2304 bits του προσομοιωμένου συστήματος μας έχουμε: Για τη μετάδοση της χρησιμοποιώντας BPSK διαμόρφωση απαιτείται η εκπομπή ( 2304 /1) = 2304 συμβόλων. Για τη μετάδοση της χρησιμοποιώντας 4-QAM ή QPSK διαμόρφωση απαιτείται η εκπομπή ( 2304 / 2) = 1152 συμβόλων. Για τη μετάδοση της χρησιμοποιώντας 64-QAM διαμόρφωση απαιτείται η εκπομπή ( 2304 / 6) = 384συμβόλων.

56 Απ την άλλη όμως καθώς αυξάνεται το σχήμα διαμόρφωσης, αυξάνονται και τα σύμβολα που μπαίνουν στον αστερισμό κατά τη διαμόρφωση και έτσι περισσότερα σύμβολα μεταφέρονται στο ίδιο πλαίσιο. Έτσι, τα εκπεμπόμενα δεδομένα είναι πολύ περισσότερα στην 64-QAM διαμόρφωση από ότι στην BPSK. Ο κίνδυνος λάθους, βέβαια, είναι πολύ μεγαλύτερος στην QAM (καθώς τα σύμβολα μπαίνουν στον αστερισμό πολύ κοντά το ένα με το άλλο και πιο πιθανό κάποιο σύμβολο, με την επίδραση του θορύβου, να ερμηνευτεί ως κάποιο άλλο κατά την αποδιαμόρφωση) και αυτό είναι το μειονέκτημά της. Μπορεί, λοιπόν, να μεταδίδουμε περισσότερα δεδομένα στον ίδιο χρόνο με την QAM διαμόρφωση, έχουμε όμως και μεγαλύτερη πιθανότητα λάθους. Αυτό απεικονίζεται στην παρακάτω γραφική (Γραφική 4.1), στην οποία συγκρίνεται ως προς την ποσοστό λαθών στα απεσταλμένα bits σε κανάλι προσθετικού λευκού Γκαουσιανού θορύβου για τις διαμορφώσεις BPSK, QPSK, 16-QAM και 64 QAM. Ενώ στη γραφική 4.2 παρουσιάζεται το ποσοστό λαθών στην περίπτωση του flat fading χωρίς κωδικοποίησης. Γραφική 4.1 : BER διάγραμμα για κανάλι προσθετικού λευκού Γκαουσιανού θορύβου

57 Γραφική 4.1 : BER διάγραμμα για κανάλι σταθερής εξασθένησης Τέλος ένα ακόμη χαρακτηριστικό του συγκεκριμένου διαμορφωτή που χρησιμοποιούμε είναι η Gray κωδικοποίηση Serial to Parallel convertor Η λειτουργία του είναι πολύ απλή. Η μόνη του λειτουργία είναι να δέχεται το N log ( modulation ) αριθμό συμβόλων στην είσοδο του σε codewords 2 length σειριακή μορφή και να τα καταμερίζει σε δύο ομάδες που αντιστοιχούν στον αριθμό των κεραιών που χρησιμοποιούμε στον πομπό. Αυτό αντιστοιχεί στη δημιουργία δύο καταχωρητών στους οποίους αποθηκεύονται τα σύμβολα τα οποία θα σταλούν, μετά από τη μετατροπή τους σε OFDM σύμβολα, παράλληλα στις κεραίες για να μεταδοθεί στο κανάλι.

58 4.2.4 Inverse Fast Fourier Transform (IFFT) Στην παράγραφο 3.6 περιγράψαμε τους λόγους που κάνουν απαραίτητη και ευεργετική για την ασύρματη μετάδοση. Σ αυτήν θα περιγράψουμε την επεξεργασία που υπόκεινται τα σήματα από την είσοδό τους στον IFFT μέχρι την αποστολή τους. Το μήκος του FFT/IFFT που θα χρησιμοποιήσουμε είναι 256 που υποστηρίζεται από το WiMAX. Έτσι χρειαζόμαστε τουλάχιστον 256 κωδικοποιημένα σύμβολα σε καθένα από τους IFFT ώστε να μη χρειαστεί να προσθέσουμε περιττά στοιχεία που θα συμπληρώσουν απλώς το σύνολο το συμβόλων στην είσοδό του. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται zero padding. Ακολουθώντας όμως αυτή τη μεθοδολογία το πλήθος των information bits που στέλνεται μειώνεται σε σχέση με τον αριθμό των περιττών bits (ελέγχου ισοτιμίας και zero padding και αυτά του κυκλικού προθέματος-cyclic prefix που θα αναπτύξουμε ακολούθως). Αν έχουμε μια συγκεκριμένη ενέργεια σήματος τότε αυτή διαμοιράζεται στα information bits αλλά και στα πλεονάζοντα bits, με αποτέλεσμα ο λόγος της ενέργειας των information bits E b προς τη φασματική πυκνότητα του θορύβου N 0, E b N 0 να είναι ουσιαστικά μικρότερος. Αυτό το πρόβλημα λύνεται πολύ απλά, εισάγοντας στην είσοδο κάθε κεραίας του πομπού αριθμό συμβόλων ίσο με τον αριθμό των υποφορέων στους οποίους μεταδίδεται το σήμα μας, που είναι 256. Για να δημιουργήσουμε τα OFDM σύμβολα που θα μεταδοθούν χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση ifft που περιέχει το Matlab. Για τον υπολογισμό του FFT και IFFT χρησιμοποιεί, όμως, τις συναρτήσεις 4.2.α και 4.2.β αντί για τους τύπους των σχέσεων 4.3.α και 4.3.β: N X( k) x( j) ω = (4.2.α) j= 1 ( j 1)( k 1) N N 1 ( j 1)( k 1) x( j) = X( k) ω N (4.2.β) N k= 1

59 N 1 ( j 1)( k 1) X( k) = x( j) ω N (4.3.α) N j= 1 N 1 ( j 1)( k 1) x( j) = X( k) ω N (4.3.β) N k= 1 Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να εξασθενεί το σήμα πριν μεταδοθεί μέσω της κεραίας στο κανάλι. Έτσι η επίδραση του θορύβου είναι σχετικά μεγαλύτερη και να παραμορφώνει το σήμα σε μεγαλύτερο βαθμό. Γενικά είναι απαραίτητο το σήμα να έχει σταθερή ενέργεια στην έξοδο του IFFT, στην είσοδο και έξοδο του FFT στο δέκτη (σχήμα 4.8) Σχήμα 4.8 : Διάγραμμα αναπαράστασης ισοενεργειακών σημείων συστήματος αποστολής-λήψης Διάστημα ασφαλείας-guard Interval και κυκλικό πρόθεμα Cyclic Prefix Στις τηλεπικοινωνίες, τα διαστήματα ασφαλείας ή guard internals χρησιμοποιούνται για να εξασφαλίσουν ότι οι διακριτές μεταδόσεις δεν επηρεάζουν η μία την άλλη. Αυτές οι μεταδόσεις μπορούν να ανήκουν στους διαφορετικούς

60 χρήστες (όπως σε TDMA) ή στον ίδιο χρήστη (όπως σε OFDM) [1]. Ο σκοπός του διαστήματος φρουράς είναι να εισαχθεί η ανοσία στις καθυστερήσεις, την ηχώ και τις αντανακλάσεις διάδοσης, στις οποίες τα ψηφιακά δεδομένα είναι πολύ ευαίσθητα. Στην coded OFDM, η αρχή κάθε συμβόλου ακολουθεί μετά από ένα διάστημα ασφαλείας. Εφ' όσον εμπίπτουν οι echoes σε αυτό το διάστημα, δεν έχουν επιπτώσεις στην δυνατότητα του δέκτη να αποκωδικοποιήσει ασφαλώς τα πραγματικά δεδομένα, αφού αυτά ερμηνεύεται μόνο έξω από το διάστημα. Χωρίς ένα διάστημα ασφαλείας [16] ανάμεσα στα διαδοχικά σύμβολα OFDM, η διασυμβολική παρεμβολή από το (i-1)-ιοστό σύμβολο δίνει μια ενόχληση στο i- ιοστό σύμβολο (σύγκριση ανάμεσα στα σχήματα 4.9.α και 4.10.α). Αν χρησιμοποιήσουμε ένα διάστημα ασφαλείας (χωρίς εκπομπή σήματος) με διάρκεια ΔG>τ max, μπορούμε τέλεια να απαλείψουμε τη διασυμβολική παρεμβολή, αλλά μια ξαφνική αλλαγή της κυματομορφής περιέχει περισσότερα φασματικά περιεχόμενα, έτσι μπορεί να επιφέρουν σε παρεμβολή ανάμεσα στους subcarriers. (σύγκριση ανάμεσα στα σχήματα 4.9.α και 4.10.β). Τα σχήματα 4.9.γ και 4.10.γ δείχνουν την τεχνική εισαγωγής διαστήματος φύλαξης με κυκλικό πρόθεμα ώστε να εξαλειφθεί πλήρως η παρεμβολή μεταξύ των υπο-φερόντων, όπου το σύμβολο OFDM επεκτείνεται κυκλικά στο χρόνο φύλαξης. Προσέχοντας το i-ιοστό παράθυρο Fourier με πλάτος ts στο τελευταίο σχήμα του δεύτερου σετ, μπορούμε να δύο ημιτονοειδή σήματα με πλήρες πλάτος, έτσι ώστε να μην επιφέρει την ανεπιθύμητη παρεμβολή. Σημειώνουμε ότι το σύμβολο OFDM έχει διάρκεια Ts αλλά η συχνότητα του subcarrier είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1/ts. Αυτό επιβάλλει ότι ο διαχωρισμός των subcarriers τώρα γίνεται λίγο μεγαλύτερος, δηλαδή 1/ts. Ο χρόνος φύλαξης επιλέγεται μεγαλύτερος από την αναμενόμενη εξάπλωση καθυστέρησης έτσι ώστε τα προϊόντα της πολυδιόδευσης από το ένα σύμβολο να μην μπορούν να επιδράσουν με το επόμενο σύμβολο Οι μεγαλύτερες περίοδοι ασφαλείας επιτρέπουν ακόμη στις πιο απόμακρες echoes για να μην επηρεάζουν την απόδοση του συστήματος [1]. Εντούτοις, τα πιο μακροχρόνια διαστήματα ασφαλείας μειώνουν την αποδοτικότητα καναλιών. Παραδείγματος χάρη, στο DVB-T, τέσσερα διαστήματα ασφαλείας είναι διαθέσιμα (ως μέρη μιας περιόδου συμβόλων): 1/32 1/16 1/8 1/4 Ως εκ τούτου, το 1/32 δίνει τη χαμηλότερη προστασία και την υψηλότερη αναλογία δεδομένων. Ενώ το 1/4 οδηγεί στην καλύτερη προστασία αλλά το χαμηλότερη αναλογία δεδομένων. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε μια καθυστέρηση 1/4 μιας περιόδου συμβόλων.

61 Σχήμα 4.9 α)εκπεμπόμενο σήμα χωρίς διάστημα φύλαξης β)εκπεμπόμενο σήμα με διάστημα φύλαξης γ)εκπεμπόμενο σήμα με διάστημα φύλαξης και κυκλικό πρόθεμα

62 Σχήμα 4.10 α)εκπεμπόμενο σήμα χωρίς διάστημα φύλαξης β)εκπεμπόμενο σήμα με διάστημα φύλαξης γ)εκπεμπόμενο σήμα με διάστημα φύλαξης και κυκλικό πρόθεμα

63 Σε ένα σύμβολο OFDM, το κυκλικό πρόθεμα είναι μια επανάληψη του τέλους του συμβόλου στην αρχή του (σχήμα 4.11). Το μήκος του κυκλικού προθέματος είναι συχνά ίσο με το διάστημα ασφαλείας. Σχήμα 4.11 : Διάγραμμα αναπαράστασης μπλοκ εισαγωγής και αφαίρεσης του κυκλικού προθέματος Το κυκλικό πρόθεμα χρησιμοποιείται συχνά από κοινού με τη διαμόρφωση προκειμένου να διατηρηθούν οι ημιτονοειδείς ιδιότητες στα πολλαπλών διαδρομών κανάλια. Στο μοντέλο που αναπτύξαμε στη διπλωματική δημιουργούμε το κυκλικό πρόθεμα και το επισυνάπτουμε στο OFDM σύμβολο πριν την αποστολή του από την κεραία (σχήμα 4.12). Σχήμα 4.12 : Διάγραμμα αναπαράστασης μπλοκ εισαγωγής και αφαίρεσης του κυκλικού προθέματος Ακολούθως θα περιγράψουμε αρχικά με τύπους και ακολούθως και με γραφήματα τη λειτουργία του. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω σήμα συμβόλων: s = d1 d2 d N % [,,..., ] T (4.4)

64 To OFDM σύμβολο x 0 που προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. x0 = [ x[0], x[1],..., x[ N 1]] T % Αν χρησιμοποιήσουμε ένα πρόθεμα μήκους L τότε θα προσθέσουμε στην αρχή του x 0 με ανεστραμμένη σειρά τα τελευταία L στοιχεία του συμβόλου. Έτσι έχουμε: (4.5) x = [ xn [ L],..., xn [ 1], xn [ ], x[1], x[2]..., xn [ ]] T % (4.6) Με χρήση γραφικών, έστω ότι έχουμε το παρακάτω σήμα και το ένα σύμβολο παρεμβαίνει στο άλλο (διασυμβολική παρεμβολή): Γραφική 4.3 : Σήμα υπό την επίδραση της διασυμβολικής παρεμβολής Για να αποφύγουμε αυτήν την παρεμβολή (θόρυβο) στο μπροστινό μέρος του συμβόλου, μετακινούμε το σύμβολό μας μακρύτερα από την περιοχή της εξάπλωσης καθυστέρησης, όπως φαίνεται παρακάτω. Έχει εισαχθεί ένα μικρό κενό διάστημα μεταξύ των συμβόλων για να αποφύγουμε την εξάπλωση καθυστέρησης. Γραφική 4.4 : Σήμα υπό την επίδραση της διασυμβολικής παρεμβολής με μετακίνηση του συμβόλου προς τα δεξιά

65 Αλλά δεν μπορούμε να έχουμε κενά διαστήματα στα σύμβολα. Αυτό δεν είναι καθόλου λειτουργικό για το hardware το οποίο αρέσκεται στο να παράγει μηχανικά σήματα ταυτόχρονα. Έτσι είναι ξεκάθαρο ότι χρειαζόμαστε να έχουμε κάτι άλλο. Γι αυτό θα αφήσουμε το σύμβολο να διαρκέσει περισσότερο από ότι πριν. Γραφική 4.5 : Σήμα υπό την επίδραση της διασυμβολικής παρεμβολής με μετακίνηση και επιμήκυνση του συμβόλου Επεκτείνουμε το σύμβολο στο ελεύθερο διάστημα, έτσι ώστε το πραγματικό σύμβολο να διαρκεί περισσότερο από έναν κύκλο. Αλλά τώρα η αρχή του συμβόλου είναι ακόμα στη ζώνη κινδύνου και αυτή η αρχή είναι το πιο σημαντικό πράγμα για το σύμβολό μας καθώς ο δέκτης το χρειάζεται ώστε να κάνει την απόφαση για το bit. Δε θέλουμε την αρχή του συμβόλου να πέσει σε αυτήν την περιοχή, έτσι ας μετακινήσουμε απλώς το σύμβολο προς τα πίσω, έτσι ώστε η αρχή του αυθεντικού συμβόλου να βρίσκεται εκτός αυτής της ζώνης. Και τότε συμπληρώνουμε αυτήν την περιοχή με κάτι. Γραφική 4.6 : Σήμα με επέκταση κυκλικού προθέματος

66 Μετακινούμε το σύμβολο ώστε να αρχίσει στην ακμή του χρόνου της εξάπλωσης καθυστέρησης και τότε συμπληρώνουμε το διάστημα φύλαξης με ένα αντίγραφο του τέλους του συμβόλου. Θέλουμε η αρχή του συμβόλου να είναι εκτός της ζώνης της εξάπλωσης καθυστέρησης έτσι ώστε να μην παραμορφώνεται και Αρχίζουμε το σήμα στο νέο όριο τέτοιο ώστε η ακμή του πραγματικού συμβόλου πέφτει έξω από αυτή τη ζώνη. Θα επεκτείνουμε το σύμβολο έτσι ώστε να γίνει 1.25 φορές μακρύτερο. Για να γίνει αυτό, αντιγράφουμε το πίσω μέρος του συμβόλου και το επικολλούμε στο μπροστινό. Στην πραγματικότητα, η πηγή των συμβόλων είναι συνεχής, έτσι αυτό που κάνουμε είναι να ρυθμίσουμε την αρχική φάση και να κάνουμε την περίοδο του συμβόλου μακρύτερη. Αλλά όλα σχεδόν τα βιβλία μιλάνε για αυτό ως μια αντιγραφή της ουράς. Και ο λόγος γι αυτό είναι ότι στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος, το κάνουμε με αυτόν τον τρόπο Κανάλι και Θόρυβος Την μορφή του καναλιού την περιγράψαμε πλήρως στην παράγραφο 3.4. Αναφέρουμε απλώς ότι κύριο τμήμα μελέτης της διπλωματική αποτελεί η μελέτη του αποκωδικοποιητή LDPC και γι αυτό χρησιμοποιούμε απλή απόκριση καναλιού με σταθερούς συντελεστές απόσβεσης για κάθε ζεύξη κεραίας πομπού-κεραίας δέκτη, για ένα συγκεκριμένο αριθμό συμβόλων. Δε λαμβάνουμε υπόψη το φαινόμενο του multipath, έτσι σε κάθε κεραία φτάνουν τα OFDM από μία άλλη μέσω μίας συγκεκριμένης και μόνο διαδρομής. Τέλος εισάγεται στο σήμα ο προσθετικός λευκός Γκαουσσιανός θόρυβος (ΑWGN) Εκτίμηση σήματος και αφαίρεση κυκλικού προθέματος Μετά τη λήψη του σήματος από κάθε κεραία επανασχηματίζουμε μια εκτίμηση του σήματος που έστειλε ο πομπός σύμφωνα με τις παραδοχές και τους

67 τύπους της παραγράφου 3.4. Από αυτή τότε αφαιρούμε τα πρώτα L στοιχεία του κάθε μηνύματος αφού αποτελούν το πρόθεμα που εμείς προσθέσαμε κατά την αποστολή και δεν αποτελούν τμήμα της πληροφορίας, έχοντας ως μόνο στόχο την εξάλειψη της διασυμβολικής παρεμβολής Μετασχηματισμός των OFDM συμβόλων σε κωδικοποιημένα σύμβολα Μετά την επανάκτηση του «χρήσιμου» μηνύματος εισάγουμε τα OFDM σύμβολα στον Fast-Fourier Transformer ο οποίος τα μετατρέπει σε απλά κωδικοποιημένα σύμβολα μήκους 256. Για την υλοποίησή του χρησιμοποιούμε την αντίστοιχη συνάρτηση FFT του Matlab, που χρησιμοποιεί τον τύπο της σχέσης 4.2.α. Με την ίδια λογική που χρησιμοποιήσαμε για τον IFFT στον πομπό θα πρέπει να μετατρέψουμε τη σχέση αυτή στην 4.3.α της παραγράφου Επομένως αυτή τη φορά, διαιρούμε την έξοδο της IFFT με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των subcarriers (δηλαδή με 16) Parallel to Serial Converter Στη συνέχεια τα κωδικοποιημένα σύμβολα στέλλονται παράλληλα από τους IFFT κάθε κεραίας εισάγονται στον μετατροπέα παράλληλου σε σειριακό ο οποίος συνδυάζει κατάλληλα τα δεδομένα και τα στοιχίζει με την αντίστοιχη μεθοδολογία αυτής που χρησιμοποιήθηκε για να μεταδοθούν παράλληλα Demodulator - Αποδιαμορφωτής Στον αποδιαμορφωτή εισάγουμε τα σειριακά δεδομένα μήκους 512. Αυτά με την αποδιαμόρφωση αντιστοιχίζονται σε ομάδες κωδικοποιημένα bits που απάρτιζαν κάθε σύμβολο (έξι ανά σύμβολο, αφού όπως είχαμε πει στην ενότητα 4.2.2

68 χρησιμοποιούμε 64-QAM διαμόρφωση). Η χρήση των αντικειμένων στο Matlab τα οποία είναι τα εργαλεία με τα οποία γίνεται η διαμόρφωση κι αποδιαμόρφωση, εκτός από την κωδικοποίηση Gray που είναι χρήσιμη ως μια μορφή interleaving άρα περιορισμό των πιθανών λαθών σε διαδοχικά bits, μας δίνουν τη δυνατότητα να μην έχουμε ακέραιες τιμές δεδομένων. Αν κάνει κάτι τέτοιο ο αποδιαμορφωτής τότε έχουμε ήδη hard decision του λάθους μέσω του αποδιαμορφωτή. Στο κανάλι τα σύμβολα που μεταδίδονται είναι με τη μορφή μιγαδικών αριθμών που έχουν προκύψει από τη διαμόρφωσή τους με 64-QAM διαμορφωτή, οποίος μετατρέπει όλα τα δεδομένα ως στοιχεία του αστερισμού της εικόνας Στο σχήμα αυτό βλέπουμε τα σύμβολα που προκύπτουν και με τη μορφή πλέγματος τις περιοχές δεδομένων που είναι πιθανότερο να βρεθεί κάποιο σύμβολο μετά από την επίδραση του θορύβου, αν αρχικά ήταν το κεντρικό. Σχήμα 4.13 : Διάγραμμα αστερισμού 64-QAM και περιοχές επιρροής κάθε συμβόλου Μετά την επίδραση του θορύβου στα σύμβολα αλλάζουν οι τιμές τόσο στο πραγματικό όσο και στο φανταστικό μέρος. Ο θόρυβος, όμως, είναι τυχαία μεταβλητή κι επειδή για μικρές τιμές του SNR ο θόρυβος η διασπορά των

69 παραμορφωμένων συμβόλων είναι μεγάλη, είναι δυνατό κάποια από αυτά να μεταφερθεί σε περιοχή επιρροής ενός άλλου συμβόλου. Ένα παράδειγμα της μορφής των συμβόλων που έχουν παραμορφωθεί από το θόρυβο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (σχήμα 4.14). Σχήμα 4.13 : Διάγραμμα αστερισμού παραμορφωμένων συμβόλων (διαμορωμένα με 64-QAM διαμόρφωση) και περιοχές επιρροής Παρατηρούμε ότι πολλά σύμβολα βρίσκονται είτε κοντά στα σύνορα 2 περιοχών επιρροής είτε μπορεί εξαιτίας του θορύβου όπως είπαμε να έχουν μεταφερθεί σε άλλες. Δεν μπορούμε όμως να γνωρίζουμε εκ των προτέρων με κάποιο κριτήριο ελάχιστης απόστασης σε ποιο σύμβολο οφείλει να αντιστοιχεί με ασφάλεια γιατί έτσι πολλαπλασιάζουμε το ποσοστό των λαθών, πριν αυτά εισαχθούν στον αποκωδικοποιητή. Για αυτό είναι καλύτερο να μετατρέψουμε τα δεδομένα σε loglikelihood ratio (LLR), δηλαδή το λόγο της μεγίστης πιθανότητας ενός αποτελέσματος κάτω από δύο διαφορετικές υποθέσεις. Μας δίνει δηλαδή ένα συντελεστή-εκτιμητή πιθανότητας. Θεωρητικά δίνεται από τη σχέση 4.7 και πρακτικά από τη σχέση 4.8.