Εκτιμήτριες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Εκτιμήτριες. μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας

Transcript

1 Εκτιμήτριες Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Εκτιμήτριες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας κριτήρια αμεροληψίας και συνέπειας 9 άλυτες ασκήσεις Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τις Εκτιμήτριες Μέθοδος των ροπών Έστω ένα δείγμα με σ.π.π. f() τότε η εξίσωση που μας βοηθά είναι : k k f () d, k, k Αν θες να βρεις εκτιμήτρια με μία σταθερά, χρειάζεσαι μία σχέση οπότε δουλεύεις την παραπάνω σχέση για κ=, οπότε f () d δηλαδή () f d Αν θες να βρεις εκτιμήτρια με σταθερές χρειάζεσαι δύο σχέσεις (σύστημα) οπότε δουλεύεις για κ= και για κ= k ()() f d f d k ()() f d f d S ί S Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω ένα δείγμα, v από ένα πληθυσμό με σ.π.π. f (,) Δημιουργώ τις ποσότητες : f (,),( f,)(,) f v L f (,)(,) f...(,) f v Σχηματίζω την ποσότητα πιθανοφάνειας : Αν λογαριθμίσω τότε l L l( f,)(,)...( f,) f l(,) L l(,)... f l(,) f f v v

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Οπότε παραγωγίζω με άγνωστο το θ και ψάχνω το μέγιστο της συνάρτησης.για να βεβαιώσω το μέγιστο εξετάζω το πινακάκι προσήμων της πρώτης παραγώγου ή κάνω χρήση κριτηρίου ης παραγώγου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται συνάρτηση f (),, να βρεις εκτιμήτρια με τις μεθόδους Απάντηση: μέθοδο ροπών, μέγιστης πιθανοφάνειας l.... Δίνεται συνάρτηση f () e, 0, να βρεις εκτιμήτρια με τις μεθόδους 3. Δίνεται συνάρτηση f () Απάντηση: μέθοδο ροπών, μέγιστης πιθανοφάνειας, να βρεις εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας Απάντηση: μέγιστης πιθανοφάνειας v l... v 4. Δίνεται f (),0 0, ύ, να βρεις την εκτιμήτρια με τη μέθοδο των ροπών Απάντηση: μέθοδο ροπών 5. Δίνεται f (), 0, ύ, να βρεις την εκτιμήτρια με τη μέθοδο των ροπών. Να βρεις την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας(υπόδ. : είναι η μόνη περίπτωση που δε λύνεται με παραγώγους) 6. Δίνεται 7. Δίνεται e (), 0 f () f () e, να βρεις εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το θ με α γνωστό Απάντηση: μέθοδο ροπών, να βρεις εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το μ με σ γνωστό Απάντηση: μέθοδο ροπών f (), να βρεις εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το ρ 8. Δίνεται Απάντηση: μέθοδο ροπών

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Κριτήριο αμεροληψίας Η εκτιμήτρια ονομάζεται αμερόληπτη όταν η μέση της τιμή είναι θ, δηλαδή : Αν τότε η διαφορά λέγεται μεροληψία και συμβολίζεται Κριτήριο συνέπειας Η εκτιμήτρια ονομάζεται συνεπής όταν η διασπορά τείνει προς το μηδέν καθώς το μέγεθος ν τείνει στο άπειρο, δηλαδή lm Vr 0 Προσοχή : θα σου χρειαστούν οι ιδιότητες του Ε() &Vr() Αν E(),() Vr τότε (),()(),() διασπορά ισχύει : E E y E E y b E b και επιπλέον για τη Vr() 0,()()(),()() Vr y Vr Vr y Vr b Vr ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Να εξετάσεις αν είναι αμερόληπτη και συνεπής η εκτιμήτρια 0. Να εξετάσεις αν είναι αμερόληπτη και συνεπής η εκτιμήτρια Να λυθούν οι ασκήσεις :. Έστω, τυχαίο δείγμα από πληθυσμό με μέση τιμή μ και διασπορά, να βρεις το α ώστε η στατιστική συνάρτηση S να είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του. Έστω,, y, y y δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους τυχαία δείγματα, το πρώτο από μία κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά, το δεύτερο από μία κατανομή με μέση τιμή cμ και διασπορά d, να βρεις τα α,β ώστε η εκτιμήτρια της μορφής b y να είναι η καλύτερη δυνατή εκτιμήτρια του μ ΑΣΚ.5 3. Έστω, τυχαίο δείγμα από μία κατανομή ;, E παραμέτρων α,β αν 4. Έστω, F b, να βρεις εκτιμήτριες των ροπών των ΑΣΚ.4, Vr b b ΑΣΚ.6 τυχαίο δείγμα από μία κατανομή ;, F b, να βρεις εκτιμήτριες των ροπών των E b, Vr 4b ΑΣΚ.7 παραμέτρων α,β αν 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Έστω, τυχαίο δείγμα από μία κατανομή,, 4.5, 55.3, 0, να βρεις εκτιμήτριες των ροπών των παραμέτρων α,λ (θυμίζω: E, Vr ) ΑΣΚ.8 6. Έστω, 3 f, e, να βρεις την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το α ΑΣΚ.9 7. Έστω, f, e, 0, να βρεις την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το α ΑΣΚ Έστω, l, 0, να βρεις την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το μ ΑΣΚ.3 f e 9. Έστω, 0. f, p p p,,,..., να βρεις την εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για το p Αν η παραπάνω σ.π.π. εκφράζει την επιτυχία ενός στόχου από σκοπευτή που συμμετέχει σε 5 αγώνες και πέτυχε το στόχο με 3 η, 4 η, η,3 η, η προσπάθεια αντίστοιχα, να εκτιμήσεις την πιθανότητα επιτυχίας του στόχου από σκοπευτή ΑΣΚ.3 4