κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

Transcript

1 Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι περιττή, τότε u(0, ) = 0 για κάθε 1 1. β) Σωστό ή λάθος; Αν f(0) = 0, τότε u(0, ) = 0 για κάθε 1 1. Απάντηση: Αναζητούμε λύσεις χωριζομένων μεταβλητών της μορφής u(, t) = X() Y (). Εισάγουμε στην ΜΔΕ του Laplace u = u t t και παίρνουμε X ()Y () = X()Y (). Αφού X() 0 και Y () 0, διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με τον όρο X() Y (), έχουμε X() X() = Y () Y (), όπου το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του, ενώ το δεξί μέρος συνάρτηση μόνο του. Για να μπορεί να συμβεί αυτό θα πρέπει και οι δυό όροι να είναι ίσοι με μια σταθερή ποσότητα που την ονομάζουμε λ R. Οπότε η ΜΔΕ ανάγεται στην επίλυση των ΣΔΕ X () λx() = 0, Y (t) + λy () = 0. Από την άλλη, οι συνοριακές συνθήκες u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0, δίνουν ότι θα πρέπει X( 1) = 0, X(1) = 0, αντίστοιχα. Οπότε έχουμε το εξής πρόβλημα ιδιοτιμών X () λx() = 0, X( 1) = X(1) = 0. λ = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε A + B = 0, A + B = 0, συνεπώς A = Β = 0, οπότε δεν υπάρχει μη-τετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω 2 > 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A e ω + B e ω, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A e ω + B e ω = 0, Ae ω + B e ω = 0,

2 Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Όμως Δ = e 2 ω e 2 ω και είναι μηδέν αν και μόνο αν ω = 0, άτοπο. Οπότε και σε αυτήν την περίπτωση παίρνουμε μόνο την τετριμμένη λύση A = B = 0, κι έτσι δεν υπάρχουν ιδιοτιμές κι ιδιολύσεις. λ = ω 2 < 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι X() = A cos ω + B sin ω, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A cos ω B sin ω = 0, A cos ω + B sin ω = 0. (22.1) Το τελευταίο είναι ένα ομογενές γραμμικό σύστημα για τις παραμέτρους A, B και για να έχει μήμηδενική λύση πρέπει και αρκεί η ορίζουσα Δ να είναι μηδέν. Έχουμε ότι Δ = 2 cos ω sin ω = sin 2 ω, άρα θα πρέπει 2 ω = k π ή ισοδύναμα ω = k π και συνεπώς έχουμε τις ιδιοτιμές λ 2 k = k2 π 2, k = 4 1, 2, 3, Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : k = 2 n, άρτιος. Τότε ω = n π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (22.1) δίνει A = 0. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = n 2 π 2, X n () = sin(n π ), Από την άλλη η ΣΔΕ για την Y () για λ n = n 2 π 2 δίνει ότι Y () = Γ e n π + Δe n π. Η συνοριακή συνθήκη u(, 1) = 0 μας πληροφορεί ότι θα πρέπει Y (1) = 0, οπότε θα πρέπει οπότε Γ = Δ e 2 n π, Y () = Γ e n π + Δe n π = Δe 2 n π e n π + Δe n π = Δe n π (e n π(1 ) (e n π(1 ) ) = 2 Δ 1 2 e n π (e n π(1 ) (e n π(1 ) ) = 2Δe n π sinh (n π(1 )). Οπότε έχουμε τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n () = sinh (n π(1 )), (η σταθερή παραλείπεται αφού θα εμφανισθούν στο τέλος όταν θα πάρουμε άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων). Συνεπώς, οι ιδιολύσεις του προβλήματός μας σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (, ) = X n ()Y n () = sin(n π ) sinh (n π(1 )), k = 2 n 1, περιττός. Τότε ω = (n 1 2)π και οποιαδήποτε από τις σχέσεις (22.1) δίνει B = 0. Συνεπώς έχουμε ιδιοτιμές και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ n = ( n ) π 2, X n () = cos [( n 1 2 ) π ],

3 Με όμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση βρίσκουμε ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις Y n () είναι Y n () = sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], Συνεπώς οι ιδιολύσεις σε αυτήν την περίπτωση είναι u n (, ) = cos [( n 1 2 ) π ] sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], Γράφουμε την λύση u(, ) σαν ένα άπειρo άθροισμα γραμμικών συνδυασμών των ιδιολύσεων και των δυό περιπτώσεων κι έχουμε u(, ) = { A n sin(n π ) sinh (n π(1 )) + B n cos [( n 1 2 ) π ] sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ]} (22.2) όπου οι συντελεστές A n, B n προσδιορίζονται από την συνοριακή συνθήκη u(, 1) = f(). α) Παρατηρούμε ότι αν f( ) = f() είναι περιττή συνάρτηση τότε στην παραπάνω σειρά θα πρέπει B n = 0, και η λύση παίρνει την μορφή u(, ) = A n sin(n π ) sinh (n π(1 )), όπου προφανώς όταν = 0, έχουμε ότι u(0, ) = 0. Συνεπώς η πρόταση του α) ερωτήματος είναι αληθής. β) Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f() = η οποία είναι άρτια και f(0) = 0. Τότε στην λύση (22.2) θα πρέπει A n = 0 και υπολογίζοντας τους συντελεστές B n στην σειρά Fourier (ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούμενες πράξεις) βρίσκουμε ότι B n 0. Οπότε σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ότι u(0, ) = B n sinh [( n 1 2 ) π(1 ) ], n = 1, 2, 3 η οποία συνάρτηση δεν είναι μηδέν για κάθε 1 1. Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της λύσης με συνορική τιμή u(, 1) =, και δίπλα της δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης u(0, ) u 0, Σχήμα 1: Η λύση u(, ) Σχήμα 2: Η συνάρτηση u(0, ) Οπότε η πρόταση του ερωτήματος β) είναι λανθασμένη.

4 Πρόβλημα 23. Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών τύπου Dirichlet για την εξίσωση του Laplace u + u = 0 στον κυκλικό τομέα T = {0 < θ < π /4, 0 < r < 1} με u(r, 0) = u(r, π /4) = 0, u(1, θ) = sin 4θ. θ = π 4 r = 1 Απάντηση: θ = 0 Επειδή οι συνοριακές τιμές μας δίνονται πάνω σε κυκλικό τομέα ενδείκνυται να μετασχηματίσουμε την ΜΔΕ του Laplace u + u = 0 από τις Καρτεσιανές συντεταγμένες (, ) στις πολικές συντεταγμένες (r, θ) με = r cos θ, = r sin θ, ή r = 2 + 2, θ = tan 1, και να εφαρμόσουμε την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών στις (r, θ). Γνωρίζουμε ότι η ΜΔΕ του Laplace στις (r, θ) μεταβλητές είναι u r r + 1 r u r + 1 r 2 u θ θ = 0. Αναζητούμε λύσεις της μορφής u(r, θ) = R(r) Θ(θ) και εισάγοντας στην παραπάνω ΜΔΕ βρίσκουμε ότι θα πρέπει r 2 R (r) + rr (r) R(r) = Θ (θ) Θ(θ) = λ. Επιβάλλοντας και τις συνοριακές συνθήκες u(r, 0) = 0, u(r, π ) = 0 έχουμε το εξής πρόβλημα 4 ιδιοτιμών Θ (θ) + λθ(θ) = 0, Θ(0) = Θ( π 4 ) = 0. λ = 0. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι Θ(θ) = A θ + B, και επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι A = B = 0, οπότε δεν υπάρχει μητετριμμένη λύση σε αυτήν την περίπτωση κι άρα δεν υπάρχει ιδιοτιμή και κατ επέκταση ιδιολύση. λ = ω 2 < 0, (ω > 0). Επειδή η συνάρτηση Θ(θ) είναι περιοδική, αφού η μεταβλητή θ είναι γωνία, κι επειδή σε αυτήν την περίπτωση έχουμε εκθετικές λύσεις οι οποίες δεν είναι περιοδικές συναρτήσεις, δεν μπορεί να αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις. λ = ω 2 > 0, (ω > 0). Σε αυτή την περίπτωση Θ(θ) = A cos ω θ + B sin ω θ, κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει A = 0, B sin ( ωπ 4 ) = 0.

5 δηλαδή A = 0, και ω = 4 n,. Άρα έχουμε τις ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις λ = 16 n 2, Θ n (θ) = sin(4 n θ), Από την άλλη, για λ = 16 n 2, η ΣΔΕ τύπου Euler για την R(r) έχει την γενική λύση r 2 R (r) + rr (r) 16n 2 R(r) = 0, R(r) = Γ r 4 n + Δr 4 n. Από την συνοριακή συνθήκη u(r, 0) = 0 για r = 0 έχουμε ότι θα πρέπει u(0, 0) = 0, οπότε ο όρος με r 4 n που απειρίζεται όταν r 0 δεν πρέπει να υπάρχει και συνεπώς θα πρέπει Δ = 0. Οπότε έχουμε αντίστoιχες ιδιοσυναρτήσεις R n (r) = r 4 n. Συνολικά, οι ιδιολύσεις του προβλήματος είναι u n (r, θ) = R n (r)θ n (θ) = r 4 n sin(4nθ), Γράφουμε την λύση σαν ένα άπειρο άθροισμα από γραμμικούς συνδυασμούς των ιδιολύσεων και έχουμε u(r, θ) = A n r 4 n sin(4nθ), όπου οι συντελεστές A n θα προσδιορισθούν από την συνοριακή συνθήκη u(1, θ) = sin(4 θ), δηλαδή u(1, θ) = A n sin(4nθ) = sin(4 θ), Η παραπάνω σειρά Fourier είναι ήδη αναπτυγμένη σε μια σειρά ημιτόνων όπου θα πρέπει A n = 0 για n 4,, και A 4 = 1. Οπότε u(r, θ) = r 4 sin(4 θ), η οποία χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα sin(4 θ) = 4 cos 3 θ sin θ 4 cos θ sin 3 θ, στις Καρτεσιανές συντεταγμένες (, ) παίρνει την μορφή u(, ) = Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της λύσης.

6 Πρόβλημα 24. Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0 στην ημιάπειρη λωρίδα u(, 1) = 0 με συνορικές τιμές Λ = {0 < <, 0 < < 1}, u (0, ) = 1 u(, 0) = 0 u(, 0) = u(, 1) = 0, u (0, ) = 1, lim u(, ) = 0. Πρόβλημα 25. α) Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0, στον ημιδίσκο Ω = {(, ) R 2, < 1, > 0}, με συνορικές τιμές στο σύνορο Ω u(, 0) = 0, 1 1, Ω Ω u(, ) = 3, = 1, > 0 β) Ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της u(, ) στο Ω Ω; Πρόβλημα 26. α) Να λυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace u + u = 0, στον ημιδίσκο Ω = {(, ) R 2, < 1, > 0}, Ω με συνορικές τιμές στο σύνορο Ω u(0, ) = 0, 1 1, u(, ) = 2, = 1, > 0. β) Ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της u(, ) στο Ω Ω; Ω