Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ"

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία προτείνονται τα Q-διαγράμματα (δηλ. κατά προσέγγιση τυποποιημένα διαγράμματα ελέγχου), για τον έλεγχο μιας τυχαίας διωνυμικής μεταβλητής. Η μελέτη γίνεται για την παράμετρο p σε δύο περιπτώσεις: i) όταν είναι γνωστή όταν αρχίσει ο έλεγχος και ii) όταν είναι άγνωστη όταν αρχίσει ο έλεγχος. Τα διαγράμματα αυτά επιτρέπουν έλεγχο σε πραγματικό χρόνο από την αρχή της δειγματοληψίας και είναι χρήσιμα κυρίως στην περίπτωση, που η παράμετρος p είναι εκ των προτέρων άγνωστη. Για την περίπτωση που η παράμετρος p είναι γνωστή δίνεται ένας πίνακας όπου συγκρίνεται η εγγύτητα των πιθανοτήτων ελέγχου με τα Q-διαγράμματα σε σχέση με εκείνα της κατά προσέγγιση κανονικής κατανομής και με εκείνα που λαμβάνονται με τα κλασσικά 3-σ διαγράμματα. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι τα Q-διαγράμματα δίνουν καλύτερες προσεγγίσεις από τα p-διαγράμματα. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια τα Q-διαγράμματα, δηλ. τα κατά προσέγγιση τυποποιημένα διαγράμματα ελέγχου έχουν προταθεί για την παρακολούθηση μιας παραγωγικής διεργασίας. Στην παρούσα εργασία προτείνονται τα Q-διαγράμματα για τον έλεγχο της παραμέτρου p της διωνυμικής κατανομής σε μια παραγωγική διεργασία. Μελετούνται δύο περιπτώσεις, όταν το p είναι γνωστό και όταν είναι άγνωστο. Θα δείξουμε ότι τα διαγράμματα αυτά είναι χρήσιμα σε εφαρμογές και ιδιαίτερα στη μελέτη της ευστάθειας μιας παραγωγικής διεργασίας και στο να την φέρουμε σε έλεγχο με αναγνώριση και ελαχιστοποίηση συγκεκριμένων αιτίων σε ελάχιστο χρόνο αφού αυτά τα διαγράμματα μπορούν να χαραχθούν χωρίς την προηγούμενη γνώση των τιμών της παραμέτρου. Για την περίπτωση που η παράμετρος p της διωνυμικής κατανομής είναι γνωστή, τα διαγράμματα που προτείνονται εδώ θα αντικαταστήσουν τα τυποποιημένα p- διαγράμματα όπως αυτά συζητήθηκαν από τους Nelson (1989), Duncan(1986), και Montgomery (2001). Τα διαγράμματα ελέγχου συνήθως κατασκευάζονται για περιπτώσεις όπου το p είναι μικρό (π.χ. p=0.01, 0.05, 0.10, ) οπότε η διωνυμική κατανομή είναι λοξή και η κανονική κατανομή δεν δίνει ακριβείς προσεγγίσεις, ιδιαίτερα στα άκρα της κατανομής τα οποία είναι ιδιαίτερης σημασίας για τις εφαρμογές του ελέγχου των διαγραμμάτων

2 Για να πετύχουμε καλύτερες προσεγγίσεις με την κανονική κατανομή θα πρέπει να θεωρήσουμε μη γραμμικούς μετασχηματισμούς. Στην παρούσα εργασία εισάγουμε ένα μη γραμμικό μετασχηματισμό, που δίνει βελτιωμένες κανονικές προσεγγίσεις όταν το p είναι γνωστό και επιπροσθέτως έχει το πλεονέκτημα ότι επιτρέπει τη γενίκευση στην περίπτωση που το p είναι άγνωστο, χρησιμοποιώντας μια εκτιμήτρια συνάρτηση με επαρκείς στατιστικές ιδιότητες. 2. ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Για την προετοιμασία της εισαγωγής των Q-διαγραμμάτων, θεωρούμε κατ αρχήν τα βασικά διαγράμματα ελέγχου ιδιοτήτων του Shewhart. Θα εξηγήσουμε τη διαδικασία με διωνυμικές κατανομές. Ας θεωρήσουμε μια υπο-έλεγχο βιομηχανική διεργασία που έχει ποσοστό παραγομένων ελαττωματικών προϊόντων p=p 0 και έστω ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα ελέγχου για το p. Για να φτιάξουμε διάγραμμα ελέγχου του Shewhart για τον αριθμό των μη συμμορφούμενων μονάδων για κάθε δείγμα, πρέπει να επιλέξουμε ένα κάτω όριο ελέγχου (ΚΟΕ), μια κεντρική γραμμή (ΚΓ), και ένα άνω όριο ελέγχου (ΑΟΕ). Αν Χ είναι ο αριθμός των μη συμμορφούμενων μονάδων στο δείγμα, και αν P(X>KOE)=a k, P(X<AOE)=a A τότε θεωρούμε αυτά τα όρια, (a k, a A ), ως πιθανοθεωρητικά όρια. Τα συνηθισμένα 3-σιγμα όρια δίνονται από τις σχέσεις: AOE = np0 + 3 np 0(1 p 0 ), KOE = np0 3 np 0(1 p 0 ), ΚΓ = np0 Παράδειγμα 1 Έστω ότι p 0 =0.1 (10% ελαττωματικό) και παίρνουμε δείγμα μεγέθους n=40. Το Σχ. 1 δείχνει το ραβδόγραμμα για την διωνυμική b(x, 40, 0.1). AOE = np0 + 3 np 0(1 p 0) = = 9.69, ΚΓ= np0 = 4 KOE = np0 3 np 0(1 p 0) = = 1.69 Έτσι για την περίπτωσή μας οι τύποι των 3-σιγμα ορίων δίνουν μη αποδεκτό ΚΟΕ και ΑΟΕ=9.69. Χρησιμοποιώντας αλγόριθμο για την συνάρτηση κατανομής, από 3 η στήλη του Πίν. 1, βρίσκουμε P(X<AOE=9.69)=1 Β(9, 40, 0.1)= = Επίσης είναι: P(X>10)= = Συνεπώς για να φτιάξουμε το διάγραμμα ελέγχου θα πρέπει να πάρουμε ΑΟΕ=10. Πρέπει να σημειώσουμε ότι για διαγράμματα ελέγχου για το p της διωνυμικής κατανομής, ο μικρότερος ακέραιος για το ΚΟΕ είναι ΚΟΕ=1, σύμφωνα με τη σχέση (Μανατάκης, (2006)): P(Χ=0)=(1-p) n, n=1, 2,

3 Η έκφραση αυτή μας δίνει πληροφορίες για τον υπολογισμό του ελάχιστου μεγέθους δείγματος n, που χρειάζεται για την ανίχνευση της βελτίωσης της διεργασίας για ποσοστό p, μη συμμορφούμενων μονάδων σε επίπεδο 1-α k, και είναι: ln( αk ) n > (1) ln(1 p) Έτσι για διεργασία με p=0.1 πρέπει να πάρουμε δείγμα n: n>ln( )/ln(0.9)=39.7 για να έχουμε την κανονική 3-σίγμα τιμή των με ΚΟΕ=1, δηλ. η τιμή n=40 είναι επαρκής. 3. Q-ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ p Θεωρούμε παρατηρήσεις από διωνυμική κατανομή και θα προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε τα τυποποιημένα κανονικά Q-διαγράμματα Έστω x i μια παρατήρηση μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής από ένα δείγμα μεγέθους n. Μετασχηματίζουμε τις παρατηρηθείσες τιμές στην Q στατιστική συνάρτηση ως εξής: u i =B(x i, n i, p), Q i =Φ -1 (u i ), i=1, 2, (2) όπου Φ η συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Οι τιμές αυτές Q 1, Q 2, μπορούν να σχεδιαστούν σ ένα Q-διάγραμμα με AOE=4, ΚΓ=0, ΚΟΕ=-4. Γενικότερα, ένα διάγραμμα με (α κ, α Α ) προσεγγιστικά πιθανοθεωρητικά όρια μπορεί να σχεδιαστεί θέτοντας ΚΟΕ = z ακ, ΚΓ=0 και ΑΟΕ = z αα. Θα δώσουμε παρακάτω αριθμητικά παραδείγματα που δίνουν την ακρίβεια της κανονικής προσέγγισης για την περίπτωση των 3-σίγμα ορίων και επιτρέπουν τη σύγκριση της λειτουργίας αυτών των διαγραμμάτων με άλλα αντίστοιχα διαγράμματα. Για να κατανοήσουμε τη φύση αυτού του μετασχηματισμού, ας θεωρήσουμε πάλι τη διωνυμική κατανομή b(x, 40, 0.1). Στο Σχ.1α φαίνεται η συνάρτηση πιθανότητάς της και στο Σχ. 1β η συνάρτηση κατανομής της μετασχηματισμένης της Q- διωνυμικής κατανομής. Η σχεδίαση της Q στατιστικής συνάρτησης σ ένα (α κ, α Α ) διάγραμμα ελέγχου, είναι δυνατόν να δώσει ένα σημείο κάτω από το ΚΟΕ αν ικανοποιείται η σχ. (1). Στον Πίν. 1 φαίνεται η κατανομή αυτής της Q-διωνυμικής κατανομής με n=40 και p=0.1. Παράδειγμα 2 Για να εξηγήσουμε τη χρήση των Q-διαγραμμάτων διωνυμικής κατανομής, για την περίπτωση που το p είναι γνωστό, θα σχεδιάσουμε 40 δείγματα από τις κατανομές b(x, 40, 0.1) και b(x, 40, 0.15). Οι τιμές φαίνονται στον Πίν. 2 και η σχεδίαση του Q-διαγράμματος για αυτά τα δεδομένα φαίνονται στο Σχ. 2α. Έχουν σχεδιαστεί οι γραμμές με ΚΟΕ=-3, ΑΟΕ=3 και ΚΓ=0. Βλέπουμε από τον Πίν. 1 ότι τα πιθανοθεωρητικά όρια πρακτικά είναι τα: ( , )

4 Οι πιθανότητες αναφορικά με τις ζώνες που ορίζονται από τις γραμμές ± 1, ± 2 και ± 3 τυπικές αποκλίσεις μπορούν να προσδιοριστούν προσεγγιστικά από την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Η προσαρμοστικότητα της προσέγγισης εξαρτάται από τα n και p και γενικά βελτιώνεται καθώς το np αυξάνει. Εδώ πρέπει να επισημανθεί ότι είναι δυνατή η δημιουργία ενός αλγορίθμου Η/Υ, για τον υπολογισμό σε πραγματικό χρόνο της συνάρτησης κατανομής Β(x,n,p) της διωνυμικής κατανομής και κατ ακολουθία των Q-διαγραμμάτων με αποτέλεσμα να υπερτερεί της διαδικασίας υπολογισμού των κλασσικών 3-σ, p,np διαγραμμάτων. 4. Q-ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟ p Θεωρούμε μια ακολουθία τιμών (n i, x i ), i=1, 2, και όταν ληφθεί η i- παρατήρηση σχεδιάζουμε ένα σημείο στο Q-διάγραμμα. Έστω N i i = n, j1 = j t i i = xj j= 1 (3) Υπολογίζουμε την Q-στατιστική συνάρτηση με τη σχέση u = H(x,t,n,N 1 ), Q i =Φ -1 (u i ), i=2, 3, (4) i i i i i όπου Η είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της υπεργεωμετρικής κατανομής. Σημειώνεται ότι ο μετασχηματισμός της σχ. (4) είναι αντίστοιχος εκείνου της σχ. (2) με τη διαφορά ότι εδώ χρησιμοποιούμε την υπεργεωμετρική κατανομή, εκεί όπου προηγούμενα χρησιμοποιήσαμε τη διωνυμική κατανομή. Η υπεργεωμετρική κατανομή είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής ομοιομόρφως ελαχίστης διασποράς (ΑΟΕΔ), σε κάθε σημείο x για τη συνάρτηση κατανομής Β(x,n,p) και συγκλίνει ομοιόμορφα στην εκτίμησή της και συμβολίζεται με B(x). Η συνάρτηση B(x) έχει εξαιρετικές ιδιότητες ως εκτιμητής της Β(x,n,p), έτσι είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής με ελάχιστη διασπορά σε κάθε σημείο x για την Β(x, n, p) και συγκλίνει ομοιόμορφα στην Β(x,n,p), με πιθανότητα 1 καθώς αυξάνει το μέγεθος του δείγματος n. Τέλος θα δούμε παρακάτω σε παραδείγματα ότι τα διαγράμματα ελέγχου που λαμβάνονται απ αυτόν το μετασχηματισμό συμφωνούν πολύ με εκείνα της περίπτωσης που το p είναι γνωστό, μετά από κάποια πρώτα σημεία. Από τις ιδιότητες αυτές συνάγεται ότι, όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, δηλ. όταν τα X 1, X 2, είναι ανεξάρτητες διωνυμικές τυχαίες μεταβλητές με σταθερή παράμετρο p, τότε τα Q i είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με διακριτή Q-κατανομή. Συνεπώς οι τιμές Q 1, Q 2, μπορούν να σχεδιαστούν σε ένα Q-διάγραμμα. Θα δούμε στο πιο κάτω παράδειγμα ότι για τα ίδια διωνυμικά δεδομένα που βρίσκονται εντός ελέγχου σε μια διεργασία, η απεικόνιση τους με τις σχέσεις (4) και (2) είναι παρόμοια. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι ο σχεδιασμός των διαγραμμάτων ελέγχου γίνεται από το β δείγμα των διωνυμικών δεδομένων και όχι από το α δείγμα, γιατί αυτό χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου p

5 Παράδειγμα 3 Για να εξηγήσουμε τη χρήση των Q-διαγραμμάτων για τη διωνυμική κατανομή όταν η p είναι άγνωστη, ας θεωρήσουμε τα δεδομένα του Πίν. 3. Οι τιμές της Q υπολογίζονται με τη χρήση της σχ. (4) και δίνονται στην τελευταία γραμμή του Πίν. 2, ως Q i και ο σχεδιασμός τους φαίνεται στο Σχ. 2β. Υπενθυμίζεται ότι οι πρώτες 30 παρατηρήσεις σχεδιάστηκαν από την b(x, 40, 0.1) και οι επόμενες 30 από την b(x, 40, 0.15). Η σύγκριση των διαγραμμάτων των Σχ. 2α και 2β δείχνει μια ομοιομορφία των περιπτώσεων για p γνωστό και για p άγνωστο. Αυτό συμβαίνει ακόμη πιο έντονα όσο αυξάνει ο αριθμός του δείγματος n. Το σημαντικό είναι ότι τα Q-διαγράμματα που προκύπτουν από τις σχ. (2) και (4) μπορούν να δημιουργηθούν σε πραγματικό χρόνο, δηλ. όταν καταγραφεί κάθε διωνυμική παρατήρηση x i, οπότε το σημείο μπορεί να σχεδιαστεί αμέσως στο διάγραμμα. Τα σημεία, από τη σχ. (4), σχεδιάζονται για κάθε δείγμα, ξεκινώντας από τη β παρατήρηση. Αυτό γίνεται για τον προσδιορισμό της τιμής της p. 5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΑΠΟ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕ ΑΛΛΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στα προηγούμενα έχουμε δώσει τύπους, που μπορούν να μετασχηματίσουν παρατηρήσεις διωνυμικής κατανομής και να υπολογιστούν κατά προσέγγιση από τυποποιημένη κανονική κατανομή κι έτσι μπορούν να σχεδιαστούν σ ένα τυπικό παράδειγμα ελέγχου τύπου Shewhart. Στην περίπτωση που η p είναι γνωστή, τα Q-διαγράμματα χρησιμοποιούνται σήμερα πιο συχνά και σε αντικατάσταση των κλασσικών 3-σ, p, np ή τυποποιημένων p-διαγραμμάτων. Για το λόγο αυτό, θα ήταν χρήσιμο να μελετήσουμε την ακρίβεια της κανονικής προσέγγισης σ αυτά τα κλασσικά διαγράμματα. Το κλασσικό διάγραμμα που θα συγκριθεί με το Q-διάγραμμα είναι το τυποποιημένο np ή p διάγραμμα. Αν x είναι διωνυμική τ.μ. με σ.π.π. b(x, n, p) τότε η τυποποιημένη τ.μ. δίνεται από τη σχέση x np z = (5) np(1 p) Η προσέγγιση αυτή, γνωστή στη Στατιστική βιβλιογραφία για τ.μ., έχει προταθεί και για την περίπτωση του Στατιστικού Ποιοτικού Ελέγχου. (Duncan (1986), Nelson (1989)). Υπάρχουν κι άλλοι μη γραμμικοί μετασχηματισμοί που βελτιώνουν την κανονικότητα της διωνυμικής τ.μ. Για να συγκρίνουμε τα Q-διαγράμματα που προτείνονται εδώ με εκείνα της βιβλιογραφίας, ας θεωρήσουμε το μετασχηματισμό που προτείνεται από τους Johnson και Kotz (1980) και τον Ryan (1989). Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται arcsin-μετασχηματισμός και ορίζεται από τη σχέση: 1 x+ 3/8 1 y= 2 n sin sin ( p) (6) n+ 3/

6 Όταν έχουμε τη τ.μ. x με σ.π.π. b(x, n, p) η y ακολουθεί προσεγγιστικά την Ν(0, 1). Δίνουμε μερικά αποτελέσματα για τη σύγκριση των διαγραμμάτων που βασίζονται στις στατιστικές συναρτήσεις z, Q και y. Σχεδιάζουμε αυτά τα διαγράμματα ελέγχου με γραμμές στις τιμές 0, ± 1, ± 2 και ± 3. Χωρίζουμε τον κατακόρυφο άξονα σε 8 περιοχές ανάλογα με τις τιμές του Q, ως εξής: Περιοχή Τιμές του Q [-3,-2) [-2,-1) [-1,0) [0,1) [1,2) [2,3) Για να μελετήσουμε την κανονική προσέγγιση σε κάθε μια περίπτωση υπολογίζουμε την πιθανότητα των τ.μ. z, Q και y που ανήκει σε κάθε μια περιοχή, για διάφορες τιμές των n και p. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίν. 3 όπου οι τιμές είναι υπολογισμένες για p=0.01, 0.05 και 0.10 και για διάφορες τιμές του n. Στον Πίν. 3 η κατώτερη τιμή είναι η τιμή της πιθανότητας ότι η στατιστική συνάρτηση θα ενταχθεί στην περιοχή 1, δηλ. κάτω από 3 και η ανώτερη τιμή είναι η τιμή της πιθανότητας ότι η στατιστική συνάρτηση θα περιέχεται στην περιοχή 8, δηλ. πάνω από 3. Η προσεκτική ανάγνωση του Πίν. 3 δείχνει ότι, μικρές αλλαγές στις μικρές τιμές του n δίνει σχετικά μεγάλες αλλαγές στις πιθανότητες των περιοχών για κάθε μια στατιστική συνάρτηση, όπως επίσης και για μεγάλες τιμές του διωνυμικού μέσου np. Τα διαγράμματα υπολογίστηκαν για μικρές τιμές της πιθανότητας p για να είναι συμβατά με την πραγματικότητα. Επίσης φαίνεται ότι τα κλασσικά p-διαγράμματα είναι κατώτερα και από τα δυο άλλα διαγράμματα. Χρειάζονται αρκετά μεγάλα μεγέθη δειγμάτων για να βρίσκουμε ελαττώσεις της πιθανότητας p. Για όλα τα αποτελέσματα οι πιθανότητες των Q-διαγραμμάτων για τις περιοχές 1 και 8 είναι ή τα ίδια με αυτά των p-διαγραμμάτων ή πολύ συχνά είναι μεταξύ της τιμής (που είναι η ονομαστική κανονική τιμή) και της τιμής των p- διαγραμμάτων. Για την περιοχή 1 τα p-διαγράμματα είναι πολύ μικρά, ενώ για την περιοχή 8 είναι πολύ μεγάλα. Είναι πολύ δύσκολο να ομαδοποιήσουμε τη σύγκριση των Q και των arcsin διαγραμμάτων. Ούτε μπορεί να έχει κανείς μια συνολική προσέγγιση, αλλά θα τολμήσουμε μερικές παρατηρήσεις. Το Q-διάγραμμα τείνει να δίνει τιμές στην περιοχή 8, γενικά στενότερες, αλλά κάπως ευρύτερες από την ονομαστική τιμή των , από ότι δίνει το y-διάγραμμα, το οποίο τείνει να δίνει τιμές, που συχνά είναι αρκετά μικρότερες από την τιμή και συνεπώς το y-διάγραμμα δίνει μικρότερη προστασία στην ανίχνευση αυξήσεων της πιθανότητας p. Εξάλλου το Q- διάγραμμα τείνει να δίνει τιμές στην περιοχή 1, που είναι μικρότερες της τιμής , ενώ το y-διάγραμμα τείνει να δίνει τιμές γενικά στενότερες, αλλά συχνά ευρύτερες από την τιμή των Έτσι συνάγεται ότι το y-διάγραμμα είναι πιο ευαίσθητο στην ανίχνευση μειώσεων της πιθανότητας p και κάνουν λιγότερους λανθασμένους συναγερμούς. Επίσης το y-διάγραμμα δίνει θετικές πιθανότητες στην περιοχή 1 και συνεπώς απαιτούνται μεγαλύτερες τιμές δειγμάτων για την ανίχνευση μειώσεων της πιθανότητας p

7 Οι πίνακες που δίνονται εδώ είναι μόνο για διαγράμματα με γνωστό p. Το Q- διάγραμμα για άγνωστο p, συγκλίνει γρήγορα στο διάγραμμα με γνωστό p και η οριακή συμπεριφορά του είναι η ίδια με εκείνη του Q-διαγράμματος με άγνωστο p. Παραθέτουμε παρακάτω μερικές από τις ιδιότητες των Q-διαγραμμάτων. 6. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΙΩΝΥΜΙΚΩΝ Q-ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Στην εργασία αυτή προτείνονται τα Q-διαγράμματα για τον έλεγχο της παραμέτρου p της διωνυμικής κατανομής, τα οποία συγκρίνονται με άλλα διαγράμματα βασισμένα σε μη γραμμικούς μετασχηματισμούς. Τη σημασία και τη χρησιμότητα των Q-διαγραμμάτων θα μπορούσαμε να τη συνοψίσουμε στις ακόλουθες ιδιότητες: 1. Τα διαγράμματα αυτά μπορούν να κατασκευαστούν σε πραγματικό χρόνο, ξεκινώντας είτε από την α διωνυμική παρατήρηση (όταν το p είναι γνωστό), είτε από την β παρατήρηση (όταν το p είναι άγνωστο). 2. Τα δείγματα δεν είναι απαραίτητο να έχουν σταθερό μέγεθος. 3. Επειδή η σχεδίασή τους γίνεται σε τυποποιημένη σταθερή κλίμακα η χρήση τους είναι πολύ απλή και έχει ως συνέπεια την άμεση εξαγωγή συμπερασμάτων. 4. Είναι δυνατή η σχεδίαση διαγραμμάτων διαφορετικών διωνυμικών μεταβλητών στο ίδιο διάγραμμα. Έτσι υπάρχει μεγαλύτερη ευελιξία στο σχεδιασμό των προγραμμάτων διαχείρισης και οι χρήστες έχουν περισσότερες επιλογές στη διάθεσή τους. 5. Η χρήση αυτών των μεθόδων απαιτεί για τους υπολογισμούς τη χρήση ενός μικρού Η/Υ και καταλλήλων αλγορίθμων. Αλγόριθμοι για τη διωνυμική και την υπεργεωμετρική κατανομή γράφονται εύκολα σε γλώσσα υπολογιστή και είναι διαθέσιμοι στα στατιστικά πακέτα. ABSTRACT Approximately normalized control charts, called Q charts, are proposed for charting a binomial random variable. Transformations are given for the two cases when the parameter p is known and unknown before charting is begun. These charts permit real-time charting and are plotted in a standard normal scale and permit a flexible chart management program. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Duncan A.J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics, Richard D. Irwin, Homewood, I.L. Johnson N.L., Kotz S. (1980). Distributions in Statistics: Discrete Distributions, Houghton Mifflin Company, Boston, M.A. Μανατάκης Ε.Κ. (2006). Στατιστικά Διαγράμματα Ελέγχου για Παραγωγικές Διεργασίες, 19 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΕΣΙ, Καστοριά, σελ

8 Montgomery D.C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control, J.Wiley, New York, N.Y. Nelson L.S. (1989). Standardization of Shewhart Control Charts, Journal of Quality Technology, 21, pp Ryan T.P. (1989). Statistical Methods for Quality Improvement, J.Wiley, New York, N.Y. Σχήμα 1α. Η διωνυμική σ.π. b(x,40,0.1) Σχήμα 1β. Η Q διωνυμική σ.π.qb(q,n,p) b(x,40,0.1) Qb(q,n,p) x q Πίνακας 1. Τιμές των σ.π.b, B, Q x b(x, 40, 0.1) B(x, 40, 0.1) Q

9 Πίνακας 2. Δεδομένα και αποτελέσματα παραδειγμάτων 2 & 3 i x i Q i Q i i x i Q i Q i i x i Q i Q i i x i Q i Q i Σχήμα 2α. Q-διάγραμμα διωνυμικής με γνωστό p. Σχήμα 2β. Q-διάγραμμα διωνυμικής με άγνωστο p ΑΟΕ 3 ΑΟΕ ΚΓ ΚΓ ΚΟΕ -3 ΚΟΕ

10 Πίνακας 3. Τα p, Q Διαγράμματα & ο arcsin-μετασχηματισμός για διάφορες πιθανότητες P n Κατώτερο Ανώτερο n Κατώτερο Ανώτερο n Κατώτερο Ανώτερο z Q y z Q y z Q y z Q y z Q y z Q y

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΩΝ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΩΝ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.325-331 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΩΝ Α. Ρακιτζής 1

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 0 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (007), σελ 393-400 ΧΡΗΣΗ ΜΗ-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι επιδόσεις 30 ατόμων σε ένα ψυχομετρικό test, που προσήλθαν ως υποψήφιοι για πρόσληψη σε τραπεζικό οργανισμό. Οι επιδόσεις αυτές συνοδεύονται και από το φύλο κάθε ατόμου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Όταν το LCL βγεί αρνητικό τότε παίρνουµε LCL=0.

UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Όταν το LCL βγεί αρνητικό τότε παίρνουµε LCL=0. ιαγράµµατα Ελέγχου Αριθµού Μη-Συµµορφούµενων Μη-Συµµορφούµενο είναι ένα προϊόν που δεν ικανοποιεί µία ή περισσότερες προδιαγραφές. Συνεπώς κάθε µη-συµµορφούµενη µονάδα θα περιέχει τουλάχιστο µία µη-συµµόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής

Εισαγωγή. Αντικείμενο της Στατιστικής Εισαγωγή Οι κυνικοί λένε σαρκαστικά πως μπορείς να αποδείξεις οτιδήποτε με τη Στατιστική. Άλλοι πάλι υποστηρίζουν πως δεν μπορείς να κάνεις τίποτα με τη Στατιστική. Κάποιοι θυμίζουν ότι η Στατιστική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα